人教版 八年级上册 三角形 知识点及题型总结

全等三角形一、知识要点：〔一〕全等变换：只改变图形的位置，二不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。

全等变换包括以下三种：1、平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。

2、对称变换：将图形沿某直线翻折180°，这种变换叫做对称变换。

3、旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换。

〔二〕全等三角形：两个三角形的形状、大小、都一样时，其中一个可以经过平移、旋转、对称等运动〔或称变换〕使之与另一个重合，这两个三角形称为全等三角形。

〔三〕全等三角形的性质： 全等三角形的对应角相等、对应边相等。

二、题型分析：题型一： 考察全等三角形的定义例题：以下说法正确的选项是〔 〕A 、全等三角形是指形状相同的两个三角形 C 、全等三角形的周长和面积分别相等 C 、全等三角形是指面积相等的两个三角形 D 、所有的等边三角形都是全等三角题型二：考察全等三角形之间的关系——传递性例题：如果△ABC 和△DEF 全等，△DEF 和△GHI 全等，那么△ABC 和△GHI ______全等， 如果△ABC 和△DEF 不全等，△DEF 和△GHI 全等，那么△ABC 和△GHI ______全等．〔填“一定〞或“不一定〞或“一定不〞〕题型三：根据三角形全等求角例1：△ABC 中，∠BAC ∶∠ACB ∶∠ABC ＝4∶3∶2，且△ABC ≌△DEF ，那么∠DEF ＝______． 例2：如图，△ABN ≌△ACM ，AB=AC ，BN=CM ，∠B=50°，∠ANC=120°，那么∠MAC 的度数等于〔 〕A 、120°B 、70°C 、60°D 、50°第二节 三角形全等的判定一、知识要点：〔一〕三角形全等的判定公理及推论有：1、“边角边〞简称“SAS 〞2、“角边角〞简称“ASA 〞3、“边边边〞简称“SSS 〞4、“角角边〞简称“AAS 〞5、斜边和直角边相等的两直角三角形〔HL 〕。

三角形的知识点及题型总结一、三角形的认识定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形。

分类：锐角三角形（三个角都是锐角的三角形）按角分类直角三角形（有一个角是直角的三角形）钝角三角形（有一个角是钝角的三角形）三边都不相等的三角形按边分类等腰三角形底边和腰不相等的等腰三角形等边三角形例题1 图1中共几个三角形。

例题2 下列说确的是（）A.三角形分为等边三角形和三边不相等三角形B.等边三角形不是等腰三角形C.等腰三角形是等边三角形D.三角形分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形例题3已知a、b、c为△ABC的三边长，b、c满足(b-2)2＋|c－3|=0，且a为方程|x－4|=2的解.求△ABC的周长，并判断△ABC的形状.二、与三角形有关的边三边的关系：三角形的两边和大于第三边，两边的差小于第三边。

例题1 以下列各组数据为边长，能够成三角形的是（）A.3，4，5B.4，4，8C.3，7，10D.10，4，5例题2 已知三角形的两边边长分别为4、5，则该三角形周长L的围是（）A.1<L<9B.9<L<14C.10<L<18D.无法确定课后练习：1、若三角形的两边长分别为5、8，则第三边可能是（）A.2B. 6C.13D.182、等腰三角形的两边长分别为6、13，则它的周长为。

3、等腰三角形的两边长分别为4、5，则第三边长为。

4、已知三角形的两边长为2和4，为了使其周长是最小的整数，则第三边的为。

5、若等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则等腰三角形的底边为（）A.3cmB.7C.7cmD.7cm或3cm6、根据下列已知条件，能唯一画出△ABC的是（）A.AB=3，BC=4，AC=8B.AB=4，BC=3，∠A=30°C.∠A=60°，∠B=45°，AB=4D.∠C=90°，AB=68、用7根火柴棒首尾顺次相连摆成一个三角形，能摆成个不同的三角形。

BPAa【变式1】如图，在t R ABC △中，AB AC =，90BAC ∠=︒，过点A 的任一直线AN ，BD AN ⊥于D ，BD AN ⊥于E求证：DE BD CE =-NEDCBA【变式2】如图，在ABC △中，90ACB ∠=︒，AC BC =，直线MN 经过点C ，且AD MN ⊥于D ，BE MN ⊥于E ，求证：DE AD BE =+.EDCBA专题 三角形的尺规作图知识点解析作三角形的三种类型：① 已知两边及夹角作三角形： 作图依据------SAS ② 已知两角及夹边作三角形： 作图依据------ASA ③ 已知三边作三角形： 作图依据------SSS典型例题【例1】作一条线段等于已知线段。

已知：如图，线段a . 求作：线段AB ，使AB = a .【例2】作一个角等于已知角。

已知：如图，∠AOB 。

求作：∠A’O’B’，使A’O’B’=∠AOB【例3】已知三边作三角形已知：如图，线段a，b，c.求作：△ABC，使AB = c，AC = b，BC = a.作法：【例4】已知两边及夹角作三角形已知：如图，线段m，n, ∠α.求作：△ABC，使∠A=∠α，AB=m，AC=n.【例5】已知两角及夹边作三角形已知：如图，∠α，∠β，线段c .求作：△ABC，使∠A=∠α，∠B=∠β,AB=c.随堂练习1．根据已知条件作符合条件的三角形，在作图过程中主要依据是（）A．用尺规作一条线段等于已知线段；B．用尺规作一个角等于已知角C．用尺规作一条线段等于已知线段和作一个角等于已知角；D．不能确定2．已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形时，第一步骤应为（）A．作一条线段等于已知线段B．作一个角等于已知角C．作两条线段等于已知三角形的边，并使其夹角等于已知角D．先作一条线段等于已知线段或先作一个角等于已知角3．用尺规作一个直角三角形，使其两条直角边分别等于已知线段时，实际上就是已知的条件是（）A．三角形的两条边和它们的夹角B．三角形的三条边C．三角形的两个角和它们的夹边；D．三角形的三个角4.已知三边作三角形时，用到所学知识是（）A．作一个角等于已知角B．作一个角使它等于已知角的一半C．在射线上取一线段等于已知线段D．作一条直线的平行线或垂线专题利用三角形全等测距离知识点解析一、利用三角形全等测距离目的：变不可测距离为可测距离。

三角形的知识点及题型总结一、三角形的认识定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾按序相接所构成的图形。

分类：锐角三角形（三个角都是锐角的三角形）按角分类直角三角形（有一个角是直角的三角形）钝角三角形（有一个角是钝角的三角形）三边都不相等的三角形按边分类等腰三角形底边和腰不相等的等腰三角形等边三角形例题 1图1中共几个三角形。

例题 2以下说法正确的选项是（）A.三角形分为等边三角形和三边不相等三角形B.等边三角形不是等腰三角形C.等腰三角形是等边三角形D.三角形分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形例题 3 已知a、b、c为△ABC的三边长，b、c知足(b-2)2＋|c－3|=0，且 a 为方程 |x －4|=2 的解 .求△ ABC的周长，并判断△ ABC的形状 .二、与三角形相关的边三边的关系：三角形的两边和大于第三边，两边的差小于第三边。

例题 1以以下各组数据为边长，能够成三角形的是（），4，5，4，8，7，10，4，5例题 2已知三角形的两边边长分别为4、5，则该三角形周长L 的范围是（）A.1<L<9B.9<L<14C.10<L<18D.没法确立课后练习：1、若三角形的两边长分别为5、8，则第三边可能是（）B. 62、等腰三角形的两边长分别为6、13，则它的周长为。

3、等腰三角形的两边长分别为4、已知三角形的两边长为 2 和4、5，则第三边长为。

4，为了使其周长是最小的整数，则第三边的为。

5、若等腰三角形的周长为13cm，此中一边长为 3cm，则等腰三角形的底边为（）D.7cm 或3cm6、依据以下已知条件，能独一画出△ABC的是（）A.AB=3，BC=4，AC=8B.AB=4，BC=3，∠ A=30°C.∠A=60°，∠ B=45°， AB=4D.∠C=90°， AB=68、用7 根火柴棒首尾按序相连摆成一个三角形，能摆成个不一样的三角形。

第十一章三角形知识归纳与题型突破（题型清单）01思维导图02知识速记一、三角形的定义由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．要点诠释：（1）三角形的基本元素：①三角形的边：即组成三角形的线段；②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角；③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点.（2）三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”.（3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A 、B 、C 的三角形记作“△ABC ”，读作“三角形ABC ”，注意单独的△没有意义；△ABC 的三边可以用大写字母AB 、BC 、AC 来表示，也可以用小写字母a 、b 、c 来表示，边BC 用a 表示，边AC 、AB 分别用b 、c 表示．二、三角形的三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边.推论：三角形任意两边的之差小于第三边.要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．（3）证明线段之间的不等关系．三、三角形的分类1.按角分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形三角形　锐角三角形斜三角形　钝角三角形要点诠释：①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形;②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形.2.按边分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形　底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形　等边三角形要点诠释：①不等边三角形：三边都不相等的三角形；②等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角;③等边三角形：三边都相等的三角形.四、三角形的三条重要线段三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下：线段名称三角形的高三角形的中线三角形的角平分线文字语言从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段．三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段．图形语言作图语言过点A 作AD ⊥BC 于点D ．取BC 边的中点D ，连接AD ．作∠BAC 的平分线AD ，交BC 于点D ．标示图形符号语言1．AD 是△ABC 的高．2．AD 是△ABC 中BC 边上的高．3．AD ⊥BC 于点D ．4．∠ADC ＝90°，∠ADB ＝90°．1．AD 是△ABC 的中线．2．AD 是△ABC 中BC 边上的中线．3．BD ＝DC ＝12BC 4．点D 是BC 边的中点．1．AD 是△ABC 的角平分线．2．AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ．3．∠1＝∠2＝12∠BAC ．(或∠ADC＝∠ADB＝90°)推理语言因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC．(或∠ADB＝∠ADC＝90°)因为AD是△ABC的中线，所以BD＝DC＝12BC．因为AD平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝12∠BAC．用途举例1．线段垂直．2．角度相等．1．线段相等．2．面积相等．角度相等．注意事项1．与边的垂线不同．2．不一定在三角形内．—与角的平分线不同．重要特征三角形的三条高(或它们的延长线)交于一点．一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点．一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点．五、三角形的稳定性三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性.要点诠释：（1）三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．（2）三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．（3）四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在门框未安好之前，先在门框上斜着钉一根木板，使它不变形．六、三角形的内角和三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；③求一个三角形中各角之间的关系．七、三角形的外角1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外角.要点诠释：(1)外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上；②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形某条边的延长线．（2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角．2．性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．要点诠释：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理论证明经常使用的理论依据．另外，在证角的不等关系时也常想到外角的性质．3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.要点诠释：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的三个外角和是360°．八、多边形的概念1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形．2．相关概念：边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角.外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．3.多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形．如图：要点诠释：(1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可；(2)过n 边形的一个顶点可以引(n -3)条对角线，n 边形对角线的条数为(3)2n n -；(3)过n 边形的一个顶点的对角线可以把n 边形分成(n -2)个三角形．九、多边形内角和n 边形的内角和为(n -2)·180°(n ≥3)．要点诠释：(1)内角和公式的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；(2)正多边形的每个内角都相等，都等于(2)180n n- °；十、多边形的外角和多边形的外角和为360°．要点诠释：(1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n 边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关；(2)正n 边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于360n°；(3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相等外角的度数．凸多边形凹多边形03题型归纳题型一三角形的稳定性例题：（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，墙上置物架的底侧一般会各设计一根斜杆，与水平和竖直方向的支架构成三角形，这是利用三角形的（）A．全等性B．对称性C．稳定性D．灵活性巩固训练1．（23-24八年级上·云南昆明·期末）我国建造的港珠澳大桥全长55公里，集桥、岛、隧于一体，是世界最长的跨海大桥．如图，这是港珠澳大桥的斜拉索，它能拉住桥面，并将桥面向下的力通过钢索传给索塔，确保桥面的稳定性和安全性．那么港珠澳大桥斜拉索建设运用的数学原理是（）A．三角形的不稳定性B．三角形的稳定性C．四边形的不稳定性D．四边形的稳定性3．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，松花江大桥的钢架结构采用三角形的形状，这其中运用的数学道理是.4．（23-24七年级下·全国·假期作业）如图，建高楼常需要用塔吊来吊建筑材料，而塔吊的上部是三角形结构，这是因为三角形具有．题型二判断三边是否能构成三角形例题：（23-24七年级下·江苏盐城·期末）下列每组数分别表示3根小木棒的长度(单位：cm)，其中能搭成三角形的是（）A．4，5，10B．5，5，10C．5，8，10D．5，10，15巩固训练1．（23-24七年级下·海南儋州·期末）下列长度的三条线段中，能构成三角形的是（）A．1，3，5B．2，4，6C．1，2，3D．3，4，52．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）甲同学对下列三角形的边长分别进行标注，那么他标注错误的是（）A．B．C．D．3．（2024·河北邯郸·二模）将一根吸管按如图所示的位置摆放在单位长度为1的数轴（不完整）上，吸管左-”处，右端对应数轴上的“5”处．若将该吸管剪成三段围成三角形，第一刀剪在数轴上的端对应数轴上的“8“5-”处，则第二刀可以剪在（）A．“4-”处B．“3-”处C．“1-”处D．“2”处题型三已知三角形的两边长，求第三边的取值范围两边长分别为4与5，第三边的长为奇数，则第三边的长的例题：（23-24七年级下·重庆·期末）已知ABC最大值为．巩固训练1．（23-24七年级下·江苏无锡·期末）已知三角形的两边长为3和4，则第三条边长可以为．（请写出一个符合条件的答案）2．（23-24七年级下·黑龙江大庆·期中）一个三角形的两边长为2和6，第三边为奇数，则这个三角形的周长为．3．（23-24七年级下·内蒙古包头·期中）一个三角形的两边长分别为5和7，若x 为最长边且为整数，则此三角形的周长为．题型四判断是否三角形的高线例题：下列各图中，正确画出AC 边上的高的是（）A ．B ．C ．D ．巩固训练1．下面四个图形中，线段BD 是ABC 的高的图形是（）A ．B ．C ．D ．2．（2023秋·甘肃庆阳·八年级统考期末）如图，在ABC 中，A ∠是钝角，下列图中作BC 边上的高线，正确的是（）A ．B ．C ．D ．3．如图，AD BC ⊥，EC BC ⊥，CF AB ⊥，点D ，C ，F 是垂足，下列说法错误的是（）A ．ABD △中，AD 是BD 边上的高B ．ABD △中，EC 是BD 边上的高C ．CEB 中，EC 是BC 边上的高D ．CEB 中，FC 是BE 边上的高题型五根据三角形的中线求面积例题：（2023春·广东茂名·七年级校考阶段练习）如图，ABC 的面积为20，点D ，E ，F 分别为BC AD CE，，的中点，则阴影部分BFC △的面积为（）A ．4B ．5C ．6D ．10巩固训练1．（2023春·山西太原·七年级山西大附中校考期中）如图，AD BE 、是ABC 的中线，则下列结论中，正确的个数有（）（1）AOE COE S S = ；（2）AOB EODC S S = 四边形；（3）2BOC COE S S = ；（4）4ABC BOC S S = ．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．（2023春·江苏扬州·七年级校联考阶段练习）如图，BD 是ABC 的中线，点E 、F 分别为BD CE 、的中点，若AEF △的面积为22cm ，则ABC 的面积是________2cm ．3．（2023春·江苏南京·七年级校考阶段练习）如图，且满足13AE AD =，13AF AC =题型六与平行线有关的三角形内角和问题例题：（23-24七年级下·上海虹口·期中）如图，已知AB ED ∥，80EDC ∠=︒，53ECD ∠=︒，105B ∠=︒，那么ACB =∠．巩固训练1．（23-24七年级下·陕西渭南·期中）如图，在三角形ABC 中，点D ，H ，E 分别是边AB ，BC ，CA 上的点，连接DE ，DH ，F 为DH 上一点，连接EF ，若12180∠+∠=︒，365B ∠=∠=︒，52C ∠=︒．则FEC ∠的度数为︒．2．（23-24七年级下·陕西咸阳·期中）如图，AN 平分BAM ∠，BM 平分ABN ∠，AN BM ⊥于点C ，25MBN ∠=︒，则下列说法：①90BCN ∠=︒；②AM BN ；③50DAM ∠=︒；④60MAN ∠=︒，其中正确的是．（填序号）3．（23-24七年级下·上海浦东新·期中）如图，将一副直角三角板放在同一条直线AB 上，其中3045OMN OCD ∠=︒∠=︒，．将三角尺OCD 绕点O 以每秒10︒的速度顺时针方向旋转一周，设旋转的时间为t 秒．在旋转的过程中，边CD 恰好与边MN 平行，t 的值为．题型七与角平分线有关的三角形内角和问题例题：（23-24七年级下·江苏南京·期末）如图，在ABC 中，AD 平分BAC ∠，过点A 作EF BC ∥．若40EAB ∠=︒，80C ∠=︒，则ADC ∠=．巩固训练1．（23-24七年级下·上海浦东新·阶段练习）如图，在ABC 中，125BDC ∠=︒，如果ABC ∠与ACB ∠的平分线交于点D ，那么A ∠=度．2．（23-24七年级下·辽宁大连·期中）如图，在ABC 中，BD CD 、分别平分,ABC ACB BG CG ∠∠、、分别平分三角形的两个外角,48EBC FCB G ∠∠∠=︒、，则D ∠=︒．3．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）如图，在ABC 中，30B ∠=︒，70C ∠=︒，AE 平分BAC ∠，AD BC ⊥于点D ．(1)求BAE ∠的度数．(2)求EAD ∠的度数．题型八三角形的外角的定义及性质例题：（23-24七年级下·四川乐山·期末）如图，在ABC 中，点D 在BC 的延长线上，70A ∠=︒，120ACD ∠=︒，则B ∠=︒．巩固训练1．（23-24七年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，已知直线12l l ∥，154∠=︒，2100∠=︒，则A ∠=度．2．（23-24七年级下·江苏淮安·期末）如图，ABC 的两个外角的平分线交于点P ．若64BPC ∠=︒，则A ∠=．3．（23-24七年级下·江西南昌·期末）已知直线12l l ∥，将含30︒角的直角三角板按如图所示摆放．若2140∠=︒，则1∠=．题型九多边形的内角和与外角和例题：（23-24七年级下·江苏镇江·期末）足球的表面是由12个正五边形和20个正六边形组成的.如图，将足球上的一个正六边形和它相邻的一个正五边形展开放平，则图中的ABC ∠=．巩固训练1．（23-24九年级下·重庆开州·阶段练习）如图，3∠和4∠是四边形ABCD 的外角，若1120∠=︒，275∠=︒，则34∠+∠=．2．（23-24八年级下·江西萍乡·期末）一个多边形的内角和是它的外角和的1.5倍，则这个多边形的边数为．3．（23-24七年级下·河南驻马店·阶段练习）如图，已知59MON ∠=︒，正五边形ABCDE 的顶点A 、B 在射线OM 上，顶点E 在射线ON 上，则NED ∠的度数为．题型十在网格中画三角形的中线、高线及求三角形的面积例题：（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第六十九中学校校考期中）下图为79⨯的网格，每一小格均为正方形，已知ABC ．(1)画出ABC 中BC 边上的中线AD ；(2)画出ABC 中AB 边上的高CE ．(3)直接写出ABC 的面积为_________．巩固训练1．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第四十七中学校考期中）如图所示方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A ，点B ，点C 在小正方形的顶点上．(1)画出ABC 中边BC 上的高AD ；(2)画出ABC 中边AB 上的中线CE ；(3)直接写出ACE △的面积为______．2.（23-24七年级下·江苏连云港·阶段练习）如图，在方格纸内将ABC 水平向右平移4个单位得到A B C ''' ．(1)画出A B C ''' ；(2)若连接AA '，BB '，则这两条线段之间的关系是_________；(3)画出AB 边上的中线CD ；（利用网格点和直尺画图）(4)图中能使ABC PBC S S ＝△△的格点P 有_________个（点P 异于点A ）．3．（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，方格纸中每个小正方形边长均为1，在方格纸内将ABC 的点C 平移至点C '得到A B C ''' ．(1)画出A B C ''' ；(2)线段AC 和A C ''的关系是_______．(3)借助方格画出AB 边上的中线CD 和高CE ；(4)四边形ACC A ''面积为_______．第十一章三角形知识归纳与题型突破（题型清单）01思维导图02知识速记一、三角形的定义由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．要点诠释：（1）三角形的基本元素：①三角形的边：即组成三角形的线段；②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角；③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点.（2）三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”.（3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A 、B 、C 的三角形记作“△ABC ”，读作“三角形ABC ”，注意单独的△没有意义；△ABC 的三边可以用大写字母AB 、BC 、AC 来表示，也可以用小写字母a 、b 、c 来表示，边BC 用a 表示，边AC 、AB 分别用b 、c 表示．二、三角形的三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边.推论：三角形任意两边的之差小于第三边.要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．（3）证明线段之间的不等关系．三、三角形的分类1.按角分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形三角形　锐角三角形斜三角形　钝角三角形要点诠释：①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形;②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形.2.按边分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形　底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形　等边三角形要点诠释：①不等边三角形：三边都不相等的三角形；②等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角;③等边三角形：三边都相等的三角形.四、三角形的三条重要线段三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下：线段名称三角形的高三角形的中线三角形的角平分线文字语言从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段．三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段．图形语言作图语言过点A 作AD ⊥BC 于点D ．取BC 边的中点D ，连接AD ．作∠BAC 的平分线AD ，交BC 于点D ．标示图形符号语言1．AD 是△ABC 的高．2．AD 是△ABC 中BC 边上的高．3．AD ⊥BC 于点D ．4．∠ADC ＝90°，∠ADB ＝90°．1．AD 是△ABC 的中线．2．AD 是△ABC 中BC 边上的中线．3．BD ＝DC ＝12BC 4．点D 是BC 边的中点．1．AD 是△ABC 的角平分线．2．AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ．3．∠1＝∠2＝12∠BAC ．(或∠ADC＝∠ADB＝90°)推理语言因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC．(或∠ADB＝∠ADC＝90°)因为AD是△ABC的中线，所以BD＝DC＝12BC．因为AD平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝12∠BAC．用途举例1．线段垂直．2．角度相等．1．线段相等．2．面积相等．角度相等．注意事项1．与边的垂线不同．2．不一定在三角形内．—与角的平分线不同．重要特征三角形的三条高(或它们的延长线)交于一点．一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点．一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点．五、三角形的稳定性三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性.要点诠释：（1）三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．（2）三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．（3）四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在门框未安好之前，先在门框上斜着钉一根木板，使它不变形．六、三角形的内角和三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；③求一个三角形中各角之间的关系．七、三角形的外角1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外角.要点诠释：(1)外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上；②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形某条边的延长线．（2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角．2．性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．要点诠释：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理论证明经常使用的理论依据．另外，在证角的不等关系时也常想到外角的性质．3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.要点诠释：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的三个外角和是360°．八、多边形的概念1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形．2．相关概念：边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角.外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．3.多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形．如图：要点诠释：(1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可；(2)过n 边形的一个顶点可以引(n -3)条对角线，n 边形对角线的条数为(3)2n n -；(3)过n 边形的一个顶点的对角线可以把n 边形分成(n -2)个三角形．九、多边形内角和n 边形的内角和为(n -2)·180°(n ≥3)．要点诠释：(1)内角和公式的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；(2)正多边形的每个内角都相等，都等于(2)180n n- °；十、多边形的外角和多边形的外角和为360°．要点诠释：(1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n 边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关；(2)正n 边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于360n°；(3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相等外角的度数．凸多边形凹多边形03题型归纳题型一三角形的稳定性例题：（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，墙上置物架的底侧一般会各设计一根斜杆，与水平和竖直方向的支架构成三角形，这是利用三角形的（）A．全等性B．对称性C．稳定性D．灵活性【答案】C【分析】本题主要考查了三角形具有稳定性，根据三角形具有稳定性，即可进行解答．【详解】解：墙上置物架的底侧一般会各设计一根斜杆，与水平和竖直方向的支架构成三角形，这是利用三角形的稳定性，故选；C．巩固训练1．（23-24八年级上·云南昆明·期末）我国建造的港珠澳大桥全长55公里，集桥、岛、隧于一体，是世界最长的跨海大桥．如图，这是港珠澳大桥的斜拉索，它能拉住桥面，并将桥面向下的力通过钢索传给索塔，确保桥面的稳定性和安全性．那么港珠澳大桥斜拉索建设运用的数学原理是（）A．三角形的不稳定性B．三角形的稳定性C．四边形的不稳定性D．四边形的稳定性【答案】B【分析】本题主要考查了三角形的特性，解题的关键是熟练掌握三角形的稳定性；根据三角形的稳定性进行解答即可．。

第十二章全等三角形知识归纳与题型突破（题型清单）01思维导图02知识速记一、全等图形形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等形.要点诠释：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等.二、全等三角形能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.三、全等三角形的性质全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等.要点诠释：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具.四、全等三角形的判定五、全等三角形的证明思路SAS HL SSS AAS SAS ASA AAS ASA AAS⎧→⎧⎪⎪→⎨⎪⎪⎪→⎩⎪⎪→→⎧⎪⎪→⎧⎪⎪⎨⎨⎪→⎨⎪⎪⎪⎪⎪→⎩⎩⎪⎪→⎧⎪⎨→⎪⎩⎪⎩找夹角已知两边找直角找另一边边为角的对边找任一角找夹角的另一边已知一边一角边为角的邻边找夹边的另一角找边的对角找夹边已知两角找任一边六、全等三角形证明方法全等三角形是平面几何内容的基础，这是因为全等三角形是研究特殊三角形、四边形、相似图形、圆等图形性质的有力工具，是解决与线段、角相关问题的一个出发点.运用全等三角形，可以证明线段相等、线段的和差倍分关系、角相等、两直线位置关系等常见的几何问题.可以适当总结证明方法.1．证明线段相等的方法：(1)证明两条线段所在的两个三角形全等.(2)利用角平分线的性质证明角平分线上的点到角两边的距离相等.(3)等式性质.2．证明角相等的方法：(1)利用平行线的性质进行证明.(2)证明两个角所在的两个三角形全等.(3)利用角平分线的判定进行证明.(4)同角（等角）的余角（补角）相等.(5)对顶角相等.3．证明两条线段的位置关系（平行、垂直）的方法；可通过证明两个三角形全等，得到对应角相等，再利用平行线的判定或垂直定义证明.4．辅助线的添加:(1)作公共边可构造全等三角形；(2)倍长中线法；(3)作以角平分线为对称轴的翻折变换全等三角形；(4)利用截长(或补短)法作旋转变换的全等三角形.5.证明三角形全等的思维方法:（1）直接利用全等三角形判定和证明两条线段或两个角相等，需要我们敏捷、快速地发现两条线段和两个角所在的两个三角形及它们全等的条件.（2）如果要证明相等的两条线段或两个角所在的三角形全等的条件不充分时，则应根据图形的其它性质或先证明其他的两个三角形全等以补足条件.（3）如果现有图形中的任何两个三角形之间不存在全等关系，此时应添置辅助线，使之出现全等三角形，通过构造出全等三角形来研究平面图形的性质.七、角平分线概念：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线。

三角形重难点题型汇编（十一大题型）【题型01：三角形的三边关系】【题型02：三角形中线与面积问题】【题型03：三角形中线与周长问题】【题型04：根据三角形的三边关系化简】【题型05：三角形内角和定理与角平分线、高的综合运算】【题型06：三角形内角和定理与折叠问题综合】【题型07：三角形内角和定理与新定义问题综合】【题型08：多边形的对角线】【题型09：截角问题】【题型10：多边形内角和和外角和的综合运算】【题型11：多边形内角和和外角和的综合实际应用】【题型01：三角形的三边关系】1．已知三角形的两边长分别为4cm和7cm，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（）A．12cm B．11cm C．6cm D．3cm【答案】C【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，解题的关键是掌握三角形两边之和大于第三边；三角形的两边差小于第三边．根据三角形的三边关系可得7―4<x<7+4，再解不等式可得答案．【详解】解：设三角形的第三边为x cm，由题意可得：7―4<x<7+4，即3cm<x<11cm，故选：C．2．若三角形三边长为4 ，2x+1，11 ，则x 的取值范围是（）A．3<x<6B．1<x<3C．1<x<5D．3<x<7【答案】D【分析】本题考查三角形三条边的关系和一元一次不等式的解法，根据三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边，列不等式求解即可得出答案．【详解】解：根据三角形三边关系可得出11―4<2x+1<11+4，解得：3<x<7，故选：D．3．在△ABC中，AB=AC，若其周长为20，则AB边的取值范围是（）A．1<AB<4B．5<AB<10C．4<AB<8D．4<AB<10【答案】B【分析】本题考查三角形的三边关系、等腰三角形的性质；设AB=AC=x，由三角形的三边关系定理得出x>5，再由边长为正数得出x<10，即可得出结果．掌握三角形的三边关系定理是解题的关键．【详解】解：设AB=AC=x，∵在△ABC中，AB=AC，若其周长为20，∴BC=20―2x，∵AB+AC>BC，即x+x>20―2x，解得：x>5，又∵BC=20―2x>0，解得：x<10，∴5<x<10，即5<AB<10．故选：B．4．若一个三角形的边长均为整数，且两边长分别为3和5，则这样的三角形共有个．【答案】5【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，解题的关键是掌握三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．三角形的两边差小于第三边．设第三边的长为x，根据三角形的三边关系的定理可以确定x的取值范围，进而得到答案．【详解】解：设第三边的长为x，则5―3<x<5+3，所以2<x<8．∵x为整数，∴x可取3，4，5，6，7．∴这样的三角形共有5个，故答案为：5．5．一个三角形的两边长分别为5和7，若x为最长边且为整数，则此三角形的周长为．【题型02：三角形中线与面积问题】6．如图，在△ABC中，D是BC的中点，若△ABC的面积是4，则△ADC的面积是（ ）A．1B．2C．2.5D．3【答案】B【分析】本题考查了三角形的面积和中线的性质：三角形的中线将三角形分为相等的两部分，知道中线将三角形面积分为相等的两部分是解题的关键．根据中线将三角形面积分为相等的两部分即可求解．【详解】∵在△ABC中，D是BC的中点，△ABC的面积是4，∴△ADC的面积是△ABC的面积的一半∴△ADC的面积是2故选：B．7．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，AD是BC边上的中线，则△ABD的面积为（）A．3B．4C．5D．68．如图，已知AD和DE分别是△ABC和△ABD的中线，若△ABC的面积是8，则△BDE的面积是（）A．2B．3C．4D．5【答案】A10．如图所示，在△ABC中，已知点D、E、F分别是BC、AD、CE的中点，且△ABC的面积为96，则△BEF的面积是（）A．48B．32C．24D．1611．如图，把△ABC的三边BA、CB和AC分别向外延长一倍，将得到的点A′、B′、C′顺次连接成△A′B′C′，若△ABC的面积是5，则△A′B′C′的面积是．由题意得：AB=AA′，BC∴S△AA′B′=S△ABB′=S△ABC=5，∴S△A′B′C′=S△AA′B′+S△ABB【题型03：三角形中线与周长问题】12．如图，在△ABC中，点D是BC边上的中点，若△ABD和△ACD的周长分别为16和11，则AB―AC的值为（）A．5B．11C．16D．2713．如图，CM是△ABC的中线，BC=8cm，若△BCM的周长比△ACM的周长大2cm，则AC的长为cm．【答案】6【分析】本题主要考查了三角形的中线的定义，根据中线的定义得出AM=BM，由△BCM 的周长比△ACM的周长大2cm，得BC―AC=2，代入即可求解，熟练掌握三角形中线的有关计算是解题的关键．【详解】∵CM是△ABC的中线，∴AM=BM，由△BCM的周长为BC+BM+MC，△ACM的周长AC+AM+MC，∵△BCM的周长比△ACM的周长大2cm，∴BC+BM+MC―(AC+AM+MC)=BC―AC=2，∵BC=8cm，∴AC=6cm，故答案为：6．14．如图，在△ABC中，点E是BC的中点，AB=7，AC=10，△ACE的周长是25，则△ABE 的周长是．【答案】22【分析】根据点E是BC的中点，得到CE=BE，根据AC=10，△ACE的周长是25，得到AE+CE=25―10=15继而得到AE+BE=15，结合AB+AE+BE=15+7=22解答即可．本题考查了中点的意义，三角形周长的计算，熟练掌握中点和三角形周长的意义是解题的关键．【详解】解：∵△ACE的周长是25，，∴AE+CE+AC=25，∵AC=10，∴AE+CE=25―10=15，∵点E是BC的中点，∴CE=BE，∴△ABE的周长AB+AE+BE=15+7=22，故答案为：22．15．如图，E是边BC的中点，若AB=4，△ACE的周长比△AEB的周长多1，则AC=．【答案】5【分析】本题考查了三角形的中线，掌握理解三角形中线的定义是解题关键．先根据三角形中线的定义可得BE=CE，再根据三角形的周长公式即可得．【详解】解：∵E是边BC的中点，∴BE=CE，∵△ACE的周长比△AEB的周长多1，且AB=4，∴AC+AE+CE―(AB+AE+BE)=1，即AC―4=1，∴AC=5，故答案为：5．16．如图，在△ABC中，AB=9，AC=7，AD是中线．若△ABD的周长为19，则△ACD 的周长为．【答案】17【分析】本题考查了三角形的中线，三角形的周长公式，根据三角形的中线的定义可得BD=CD，然后求出△ABD与△ACD的周长之差=AB―AC，掌握中线的定义及三角形的周长公式是解题的关键．【详解】解：∵AD为中线，∴BD=CD，∴△ABD的周长为：AB+AD+BD，△ACD的周长为：AC+AD+CD，∴△ABD与△ACD的周长差为：AB―AC=9―7=2，∵△ABD的周长为19，∴△ACD的周长为17，故答案为：17．【题型04：根据三角形的三边关系化简】17．已知△ABC三边分别是a、b、c，化简|a+b―c|―|c―a+b|+|b―a―c|=【答案】3a―b―c【分析】本题考查三角形的三边关系，绝对值的性质，整式的加减运算．根据三角形的任意两边之和大于第三边可得a+b>c，a+c>b，c+b>a，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，然后利用整式的加减运算进行计算即可得解．【详解】解：∵a、b、c分别为△ABC的三边长，∴a+b>c，a+c>b，c+b>a∴a+b―c>0，b―a―c<0，c―a+b>0，∴|a+b―c|―|c―a+b|+|b―a―c|=a+b―c―(c―a+b)+(―b+a+c)=a+b―c―c+a―b―b+a+c=3a―b―c故答案为：3a―b―c．18．已知a、b、c是三角形的三边长，化简：|a―b―c|―|b―a―c|=．【答案】2b―2a【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，绝对值的意义，整式的加减运算，掌握三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题关键．根据三角形的三边关系可知，a<b+c，b<a+c，进而去绝对值符号，合并同类项即可．【详解】解：a、b、c是三角形的三边长，∴a<b+c，b<a+c，∴a―(b+c)=a―b―c<0，b―(a+c)=b―a―c<0，∴|a―b―c|―|b―a―c|=b+c―a―(a+c―b)=b+c―a―a―c+b=2b―2a，故答案为：2b―2a．19．已知a、b、c是一个三角形的三边长．(1)若a=3，b=5，则c的取值范围是_______．(2)试化简：|b+c―a|+|b―c―a|+|c―a―b|．【答案】(1)2<c<8(2)a+b+c【分析】本题考查三角形三边关系，化简绝对值，关键是掌握三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边；正有理数的绝对值是它本身，负有理数的绝对值是它的相反数．（1）由三角形三边关系定理即可得到答案；（2）由绝对值的意义和三角形三边关系定理即可化简．【详解】（1）解：由三角形三边关系定理得：5―3<c<3+5，∴2<c<8．故答案为：2<c<8．（2）解：∵b+c>a，a+c>b，a+b>c，∴|b+c―a|+|b―c―a|+|c―a―b|=b+c―a+a+c―b+a+b―c=a+b+c．20．已知△ABC的三边长是a，b，c．(1)若a=6，b=8，且三角形的周长是小于22的偶数，求c的值；(2)化简|a+b―c|+|c―a―b|．【答案】(1)c=4或6(2)2a+2b―2c【分析】本题考查了三角形三边关系、化简绝对值，熟练掌握三角形三边关系是解此题的关键．（1）由三角形三边关系结合三角形的周长是小于22的偶数，得出2<c<8，即可得出答案；（2）由三角形三边关系得a+b>c，再利用绝对值的性质化简即可．【详解】（1）解：∵△ABC的三边长是a，b，c，a=6，b=8，∴8―6<c<8+6，即2<c<14，∵三角形的周长是小于22的偶数，∴2<c<8，∴c=4或6；（2）解：由三角形三边关系得：a+b>c，∴a+b―c>0，c―a―b=c―(a+b)<0，∴|a+b―c|+|c―a―b|=a+b―c―(c―a―b)=a+b―c―c+a+b=2a+2b―2c．21．已知a，b，c是△ABC三边的长．(1)若a，b，c满足|a―b|+|b―c|=0，试判断△ABC的形状；(2)化简|a+b―c|+|a―b―c|+|c―a―b|+|b―a―c|．【答案】(1)等边三角形(2)2a+2b【分析】本题考查化简绝对值、不等式的性质、三角形的三边关系和三角形分类；（1）根据非负数的性质，可得出a=b=c，进而得出结论；（2）利用三角形的三边关系得到a―b―c<0，b―c―a<0，c―a―b<0，然后去绝对值符号后化简即可．【详解】（1）∵|a―b|+|b―c|＝0，∴a―b=0且b―c=0，∴a=b=c，∴△ABC为等边三角形；（2）∵a，b，c是△ABC的三边长，∴b+c>a，a+c>b，a+b>c，∴a―b―c<0，b―a―c<0，c―a―b<0，∴|a+b―c|+|a―b―c|+|c―a―b|+|b―a―c|=a+b―c―a+b+c―c+a+b―b+a+c=2a+2b．【题型05：三角形内角和定理与角平分线、高的综合运算】22．如图，在△ABC中，∠B=46°，∠C=80°，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC交BC于点E，DF⊥AE于点F．(1)求∠BAE的度数；(2)求∠ADF的度数．23．如图，△ABC中，∠B<∠C，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC交BC于E，(1)当∠B=30°，∠C=50°时，求∠DAE的度数；(2)猜想：∠DAE与∠B、∠C有什么关系，并说明理由．24．△ABC中，∠C>∠B，AD是高，AE是三角形的角平分线．(1)当∠B=24°，∠C=68°时，求∠DAE的度数；(2)根据第（1）问得到的启示，∠C―∠B与∠DAE之间有怎样的等量关系，并说明理由．25．如图所示，在△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC= 60°，∠C=70°．(1)求∠EAD的度数；(2)求∠BOA的度数．【题型06：三角形内角和定理与折叠问题综合】26．如图，将长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C的对应点为点E，BE交AD于点O．若∠CBD=31°，则∠BOD的度数为（）A．118°B．111°C．101°D．62°27．如图，把三角形纸片ABC折叠，使得点B，点C都与点A重合，折痕分别为DE，MN，若∠BAC=110°，则∠DAM的度数为（）A．40°B．60°C．70°D．80°【答案】A【分析】本题考查了三角形内角和定理、折叠的性质，由三角形内角和定理得出∠B+∠C=70°，由折叠的性质可得：∠B=∠DAE，∠C=∠CAM，从而得出∠BAD+∠CAM=70°，即可得出答案．【详解】解：∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∠BAC=110°，∴∠B+∠C=180°―∠BAC=70°，由折叠的性质可得：∠B=∠DAE，∠C=∠CAM，∴∠BAD+∠CAM=70°，∵∠BAD+∠CAM+∠DAM=110°，∴∠DAM=40°，故选：A．28．如图，△ABC是一张纸片，把∠C沿DE折叠，点C落在点C′的位置，若∠C=30°，则α+β的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°【答案】D【分析】此题考查了翻折变换（折叠问题）三角形内角和定理以及平角的定义，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键．由折叠的性质得到∠C′=∠C,∠CED=∠C′ED,∠CDE=∠C′DE，再利用三角形内角和定理及平角的定义即可求出所求α+β的度数．【详解】解：由折叠的性质得：∠C′=∠C,∠CED=∠C′ED,∠CDE=∠C′DE，∴∠C′ED+∠C′DE=180°―∠C′=150°，∴∠CED+∠C′ED+∠CDE+∠C′DE=300°，∵∠α+∠β+∠C′ED+∠CED+∠C′DE+∠CDE=360°，∴α+β=360°―300°=60°，故选：D．29．如图，将△ABC沿DE折叠，点A落在点F处，已知∠1+∠2=100°，则∠F=度．30．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在B边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A=22°，则∠CDE度数为．【答案】67°/67度【分析】根据折叠的性质和直角三角形的有关知识求解即可．本题考查的是直角三角形和折叠的性质，解题的关键是根据折叠的性质找到对应相等的角．【详解】解：∵将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处，∠ACB=90°，∴∠BCD=∠ECD=45°，∠B=∠CED，∵∠A=22°，∴∠B=90°―22°=68°，∴∠CED=∠B=68°，∴∠CDE=180°―45°―68°=67°，故答案为：67°．31．如图甲所示三角形纸片ABC中，∠B=∠C，将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到AB 边上的E点处，折痕为BD（如图乙）．再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为EF（如图丙），则∠ABC的大小为°．32．如图，把长方形纸片ABCD沿折痕EF折叠，使点B与点D重合，点A落在点G处，∠DFG=70°，则∠BEF的度数为．33．如图，△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB上，连接CD，将△BDC沿CD对折得到△EDC，点E恰好在AC上，若∠ADE=20°，则∠B=．【答案】55°/55度【分析】本题考查折叠的性质，三角形的内角和定理，根据折痕是角平分线，求出∠BCD,∠BDC 的度数，进而求出∠B的度数即可．【题型07：三角形内角和定理与新定义问题综合】34．新定义：在△ABC中，若存在最大内角是最小内角度数的n倍(n为大于1的正整数)，则称△ABC为“n倍角三角形”. 例如，在△ABC中，若∠A＝90°，∠B＝60°，则∠C＝30°，因为∠A最大，∠C最小，且∠A＝3∠C，所以△ABC为“3倍角三角形”.(1)在△DEF中，若∠E＝40°，∠F＝60°，则△DEF为“_______倍角三角形”.(2)如图，在△ABC中，∠C＝36°，∠BAC、∠ABC的角平分线相交于点D，若△ABD为“6倍角三角形”，请求出∠ABD的度数.【答案】(1)2(2)18°或54°【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠D，根据n倍角三角形的定义判断；（2）根据角平分线的定义、三角形内角和定理求出∠ADB，n倍角三角形的定义分情况讨论计算，得到答案．【详解】（1）解：在△DEF中，∠E＝40°，∠F＝60°，则∠D＝180°﹣∠E﹣∠F＝80°，∴∠D＝2∠E，∴△DEF为“2倍角三角形”，故答案为：2；（2）解：∵∠C＝36°，35．定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的1，我们称这两个角互为“友爱角”，2这个三角形叫作“友爱三角形”．例如：在△ABC中，如果∠A=80°，∠B=40°，那么∠A与∠B 互为“友爱角”，△ABC为“友爱三角形”(1)如图1，△ABC是“友爱三角形”，且∠A与∠B互为“友爱角”（∠A>∠B），∠ACB=90°．①求∠A、∠B的度数．②若CD是△ABC中AB边上的高，则△ACD、△BCD都是“友爱三角形”吗？为什么？(2)如图2，在△ABC中，∠ACB=70°，∠A=66°，D是边AB上一点（不与点A，B重合），连接CD，若△ACD是“友爱三角形”，直接写出∠ACD的度数．【答案】(1)①∠A=60°，∠B=30°；②△ACD、△BCD都是“友爱三角形”，理由见解析(2)33°或38°∴∠A+3∠ACD=180°，即3∠ACD=114°，∴∠ACD=38°，综上所述，∠ACD的度数为33°或38°．36．【定义】如果两个角的差为30°，就称这两个角互为“伙伴角”，其中一个角叫做另一个角的“伙伴角”．例如：α=50°，β=20°，α―β=30°，即α是β的“伙伴角”，β也是α的“伙伴角”．(1)已知∠1和∠2互为“伙伴角”，且∠1+∠2=90°，则∠1=．(2)如图1所示，在△ABC中，∠ACB=90°，过点C作AB的平行线CM，∠ABC的平分线BD 分别交AC，CM于D、E两点①若∠A>∠BEC，且∠A和∠BEC互为“伙伴角”，求∠A的度数；②如图2所示，∠ACM的平分线CF交BE于点F，当∠A和∠BFC互为“伙伴角”时，∠A的度数为多少？【题型08：多边形的对角线】37．过多边形的一个顶点可以作4条对角线，则这个多边形的边数是（）A．六B．七C．八D．九【答案】B【分析】本题考查了多边形的对角线，掌握过n边形的一个顶点可以作(n―3)条对角线是解题关键．过n边形的一个顶点可以作(n―3)条对角线，据此解答即可．【详解】解：设多边形的边数是n，由题意得：n―3=4，∴n=7．∴这个多边形的边数是七．故选：B．38．从某多边形一个顶点出发连接其余各顶点得7条对角线，则这个多边形的边数为（）A．7B．8C．9D．1039．某多边形由一个顶点引出的对角线可以将该多边形分成10个三角形，则这个多边形的边数是（）A．11B．12C．13D．14【答案】B【分析】此题考查了多边形对角线条数，n边形从一个顶点出发可以引出(n―3)条对角线，把多边形分成(n―2)个三角形，据此作答即可.【详解】解：设这个多边形的边数是n，则n―2=10，解得n=12，即这个多边形的边数是12，故选：B.40．从多边形的一个顶点出发，可以作8条对角线，则该多边形的边数是（）A．九B．十C．十一D．十二【答案】C【分析】本题主要考查了多边形的对角线，掌握n边形从一个顶点出发可引出(n―3)条对角线求解即可．【详解】解：设多边形边数为n，由题意得：n―3=8，∴n=11，故选：C．【题型09：截角问题】41．将一张正方形的纸片减去一个角后，剩下纸片的角的个数为（）A．5B．3或4C．4或5D．3或4或5∴剩下纸片的角的个数为3或4或5；故选D．【点睛】本题主要考查了在不同情况下正方形的不同剪法，做此题考虑要全面不要遗漏，42．若一个多边形截去一个角后变成了六边形，则原来多边形的边数可能是（）A．5或6B．6或7C．5或6或7D．6或7或8【答案】C【分析】实际画图，动手操作一下，可知六边形可以是五边形、六边形、七边形截去一个角后得到．【详解】解：如图，原来多边形的边数可能是5，6，7．故选C【点睛】本题考查的是截去一个多边形的一个角，解此类问题的关键是要从多方面考虑，注意不能漏掉其中的任何一种情况．43．一个n边形削去一个角后变成(n+1)边形，其内角和变为2 520°，则原多边形的边数是()A．7B．10C．14D．15【答案】D【分析】根据多边形内角和公式可得：(n+1)边形内角和＝(n+1-2)×180=2520度，可求得结果.【详解】因为(n+1)边形内角和＝(n+1-2)×180=2520度所以多边形边数n＝2520÷180+1＝15故选D【点睛】本题考查了多边形内角和公式，熟练掌握公式是解题的关键.44．一个多边形截去一个角后，形成一个六边形，那么原多边形边数为．【答案】5或6或7【分析】实际画图，数形结合，可知六边形可以是五边形，六边形，七边形截去一个角后得到．【详解】解：如图所示：六边形可以是五边形，六边形，七边形截去一个角后得到．故答案为：5或6或7．【点睛】本题主要考查了多边形，此类问题要从多方面考虑，注意不能漏掉其中的任何一种情况．【题型10：多边形内角和和外角和的综合运算】45．若正多边形的一个外角的度数为45°，则这个正多边形的内角和度数为（）A．540°B．720°C．1080°D．1440°【答案】C【分析】本题主要考查了多边形的外角和定理及多边形的内角和公式．先根据多边形的外角和定理求出多边形的边数，再根据多边形的内角和公式求出这个正多边形的内角和．【详解】解：正多边形的边数为：360°÷45°=8，则这个多边形是正八边形，所以该正多边形的内角和为(8―2)×180°=1080°．故选：C．46．一个正多边形，它的每个内角都等于相邻外角的5倍，则这个正多边形是（）A．正五边形B．正十边形C．正十二边形D．不存在47．若一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（）A．5B．6C．8D．10【答案】C【分析】本题考查了多边形的内角和和外角和问题，设这个多边形的边数为n，根据多边形的内角和公式和外角和并结合题意得出等式，计算即可得出答案．【详解】解：设这个多边形的边数为n，由题意得：(n―2)⋅180°=360°×3，解得：n=8，故这个多边形的边数是8，故选：C．48．如图所示，七边形ABCDEFG中，AB，ED的延长线相交于点O，若图中∠1，∠2，∠3，∠4的和为240°，则∠BOD的度数为（）A．40°B．45°C．50°D．60°∵任意多边形的外角和均为360°且∠1，∠2，∠3，∠4的和为∴∠CDO+∠HCD+∠OBH=即：∠OHB+∠OBH=120°49．一个正多边形的一个内角是与其相邻的一个外角的3倍，则这个正多边形的边数是．【答案】8【分析】首先设正多边形的一个外角等于x°，由在正多边形中，一个内角的度数恰好等于它相邻的外角的3倍，即可得方程：x+3x=180，解此方程即可求得答案．此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．此题难度不大，方程思想的应用是解题的关键．【详解】解：设正多边形的一个外角等于x°，∵一个内角的度数恰好等于它相邻的外角的3倍，∴这个正多边形的一个内角为：3x°，∴x+3x=180，解得：x=45，∴这个正多边形的边数是：360°÷45°=8．故答案为：8．50．一个多边形的内角和比外角和的4倍少180度，求这个多边形的边数．【题型11：多边形内角和和外角和的综合实际应用】51．创客小组的同学给机器人设定了如图的程序，机器人从点O出发，沿直线前进3米后左转18°，再沿直线前进3米，又向左转18°……照这样走下去，机器人第一次回到出发地O点时，一共走的路程是（）A．18米B．54米C．60米D．90米【答案】C【分析】本题考查了多边形的外角和定理的应用．由题意可知机器人所走的路线为一个正多边形，根据多边形的外角和，即可求出答案．【详解】解：由题意可知机器人所走的路线为一个正多边形，该正多边形的边数为：360°÷18°=20，∴他需要走20次才会回到原来的起点，即一共走了20×3=60（米）．故选：C．52．某科技小组制作了一个机器人，它能根据指令要求进行行进和旋转，某一指令规定：机器人先向前方行走5m，然后左转20°，若机器人反复执行这一指令，则从出发到第一次回到原处，机器人一共走了（）A．45m B．60m C．90m D．120m53．如图，蚂蚁先从点A出发前进6cm，向右转72°，再前进6cm，又向右转72°，…，这样一直走下去，那么蚂蚁第一次回到出发点A时，一共走了cm．【答案】30【分析】本题主要考查了多边形内角与外角的应用，解题的关键是判断出蚂蚁所走的路线为正多边形，牢记任何一个多边形的外角和都是360°，正多边形的每一个外角都相等．由题意可知蚂蚁所走的路线为正多边形，根据多边形的外角和定理即可求出答案．【详解】解：∵蚂蚁从A点出发最后回到出发点A时正好走了一个正多边形，∴根据外角和定理可知正多边形的边数为n=360°÷72°=5，则一共走了5×6=30（厘米）．故答案为：30．54．小宇阅读了一篇《东方窗棂之美》的文章，文章中有一张如图1所示的图片，图中有许多不规则的多边形组成，代表一种自然和谐美．如图2是从图1图案中提取的由六条线段组成的图形，若∠1=60°，则∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数是．。

第一篇嗨，亲爱的小伙伴们！今天咱们来唠唠八年级上册数学人教版的那些事儿。

先说全等三角形这块儿哈，这可是个重点。

要知道全等三角形的对应边相等，对应角也相等。

判断两个三角形全等的条件有“SSS”（三边相等）、“SAS”（两边及其夹角相等）、“ASA”（两角及其夹边相等）、“AAS”（两角及其中一角的对边相等）、“RHS”（直角三角形斜边和一条直角边相等）。

做题的时候，可得瞪大眼睛看清楚条件哟！还有角平分线的性质也得记住，角平分线上的点到角两边的距离相等。

这在证明线段相等的时候经常能用到呢。

一次函数也很重要哦！一般式是 y = kx + b，k 表示斜率，b 是截距。

当 k 大于 0 时，函数图像是上升的；k 小于 0 ，图像就下降啦。

通过图像能解决好多实际问题，比如算行程、算成本啥的。

整式的乘除也别落下。

同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘。

这些运算规则要牢记，不然做题容易出错哟！再说三角形这部分，三角形的内角和是 180 度，外角等于不相邻的两个内角之和。

三角形的三边关系也有讲究，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

怎么样，小伙伴们，这些知识点都记住了没？多做几道题巩固巩固，数学成绩肯定能蹭蹭涨！第二篇嘿，友友们！咱们接着聊聊八年级上册数学的那些宝贝知识点和题型。

先讲讲轴对称图形吧，对称轴两边的图形是完全重合的哟。

等腰三角形和等边三角形都是轴对称图形，它们的性质要搞清楚。

等腰三角形两腰相等，两底角也相等；等边三角形三边相等，三个角都是 60 度。

因式分解可是个技术活，有提公因式法、公式法，像平方差公式和完全平方公式都得用得溜。

数据的分析也不能马虎，平均数、中位数、众数要会算会用。

方差能反映数据的波动大小，做题的时候要根据具体情况选择合适的统计量。

整式的乘法可别弄混了，单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式，都有各自的法则，一步一步来，别着急。

再说说平方根和立方根，正数有两个平方根，它们互为相反数；0 的平方根是 0；负数没有平方根。