高中数学 第二章 2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系课件 新人教版必修2

2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
第1课时
1、空间中两条直线的位置关系有（ ） A、 1种 B、 2种 C、 3种 D、无数种
D A CΒιβλιοθήκη BN提问 :
1 直线AA1与直线BC什么关系? 2 直线MB1与直线CC1什么关系?
M D1 A1 B1 C1
异面直线的定义：
D A C
B
N
我们把不同在任何一 个平面内的两条直线 叫做异面直线（skew lines）
———平行线的传递性
推广：在空间平行于一条已知直线的所有直线都互相平行．
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㈡：在平面内, 我们可以证明 “ 如果一个角的两边与另一个角的
两边分别平行，那么这两个角相等或互补 ”．空间中这一结
论是否仍然成立呢？ 观察 :如图所示,长方体ABCD-A1B1C1D1中, ∠ADC与∠A1D1C1 ,
例如 :
M D1 A1 B1
C1 1 直线AA 与BC异面直线关系 1
2 直线MB1与CC1异面直线关系
主要特征：既不平行，也不相交
异面直线的定义：
D A C
B
N
我们把不同在任何一 个平面内的两条直线 叫做异面直线（skew lines）
回答 :
M D1 A1 B1
C1 1 直线AA1与BC异面直线关系
(4)理论支持 ㈠：我们知道,在同一平面内, 如果两条直线都和第三条直线平行, 那么这两条直线互相平行.在空间这一规律是否还成立呢?
观察 : 将一张纸如图进行折叠 , 则各折痕及边 a, b, c, d, e, … 之间有何关系？
a
b
c
d
e
a∥b ∥c ∥d ∥e ∥ …

第三页，共30页。
1.空间中两条直线(zhíxiàn)的位 置观关察系(g观uā察n教ch室á)内：的日光灯管所在直线与黑板
(hēibǎn)的左右两侧所在的直线,想一想: 它们相交吗?平行吗?共面吗?
观察上方体的棱所在 直线,回答类似的问题.
思考：我们把具有上述特征的两条 直线取个怎样的名字才好呢？
第四页，共30页。
异面直线(zhíxiàn)的定 义我们: (wǒ men)把不同在任何一个平面内的两条
直线叫做异面直线（skew lines）。
想一想:怎样通过图形来表示(biǎoshì)异面 直为了线表? 示异面直线a，b不共面的特点，作图时 ，通常用一个或两个平面衬托。如下图:
m
m
l
l
第五页，共30页。
(A)l至多与a，b中的一条(yī tiáo)相交; (B)l至少与a，b中的一条(yī tiáo)相交; (C)l与a,b都相交; (D)l至少与a，b中的一条(yī tiáo)平行.
第二十八页，共30页。
（3）两异面直线(zhíxiàn)所成的角的范围是C （ ）
（A）（0°,90°） （B）[0°,90°)
第一页，共30页。
教学(jiāo xué)目的：
1.会判断两条直线的位置关系，学会用图形语 言、符号语言表示三种位置关系. 2.理解公理四,并能运用公理四证明线线平行. 3掌握空间两直线的位置 明两直线异面； 4. 掌握异面直线所成角的概念及异面直线垂 直(chuízhí)的概念，能求出一些较特殊的异 面直线所成的角
第二十五页，共30页。
（3）两条直线a,b分别和异面直线c,d都相交，则直线a
，b的位置关系(guān xì)是（ D）
（A）一定是异面直线（B）一定是相交直线

个平面.
Al
B
C
推论2 两条相交直线唯一确定一个平面. 推论3 两条平行直线唯一确定一个平面.
文字语言：
平面公理3
公理3 如果两个不重合的平面有一个 公共点，那么这两个平面有且只有一条 过该点的公共直线.
图形语言：
P
a
符号语言：
P 且P l且P l.
公理3是判定两个平面是否相交的根据.
∵ EH是△ABD的中位线 ∴EH ∥BD且EH = BD 同理，FG ∥BD且FG = BD
∴EH ∥FG且EH =FG
A
H E
D G
∴EFGH是一个平行四边形
B
F
C
解题思想： 把所要解的立体几何问题转化为平面几何的问题
——解立体几何时最主要、最常用的一种方法。
三、两条异面直线所成的角
如图所示，a，b是两条异面直线，在空间中任选一点O， 过O点分别作 a，b的平行线 a′和 b′， 则这两条线所成
结论：不同在任何一个平面内的两条直线 为异面直线.
定义：不同在任何一个平面内的两条直线 叫做异面直线.
位置关系 公共点个数 是否共面
相交
只有一个 共面
平行 异面
没有 没有
共面 不共面
立交桥
练习 如图所示：正方体的棱所在的直线 中，与直线A1B异面的有哪些？
D1 A1
C1 B1
D A
C B
练习 如图所示：正方体的棱所在的直线 中，与直线A1B异面的有哪些？
B1
3）A1B与D1B1。
1）AB与CC1所成的角 = 9 0°
D
C
2）A1 B1与AC所成的角 = 4 5°
A
B
3）A1B与D1B1所成的角 = 6 0°

Rt△EFG中，求得∠EGF =45° (2)∵BFIIAE ∴∠FBG(或其补角)为所求， Rt△BFG中，求得∠FBG=600
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6.课堂小结
异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。 相交直线
空间两直线的位置关系
平行直线异面直线来自异面直线的画法 用平面来衬托异面直线所成的角 平移，转化为相交直线所成的角
答：从图中可看出，∠ADC=∠A₁D₁C₁, ∠ADC+∠A₁ B₁C₁ =180°
定理(等角定理):空间中，如果两个角的两边分别对应平行， 那么这两个角相等或互补.
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3.异面直线所成的角
(1)复习回顾 在平面内，两条直线相交成四
个角，其中不大于90度的角称为它 们的夹角，用以刻画两直线的错开 程度，如图.
对?
答：共有三对
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我们知道，在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行， 那么这两条直线互相平行.在空间这一规律是否还成立呢?
视察：将一张纸如图进行折叠，则各折痕及边a,b,c,d,e,... 之间有何关系?
allb llc lld lle ll ...
公 理 4 :在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行. 平行线的传递性
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六角螺母
C
D B
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练习1:在教室里找出几对异面直线的例子 合作探究 一
分别在两个平面内的两条直线是否一定异面?
答 ：不一定：它们可能异面，可能相交，也可能平行。
a与b是异面直线
a与b是相交直线
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a与b是平行直线
1.异面直线的定义：

习
标
• 探
与 GH 相交，CD 与 EF 平行．故异面直线有且仅有 3 对．
• 固
新
双
知
(2)如图①中，直线 GH∥MN；
基
合 作 探 究 • 攻 重
图②中，G，H，N 三点共面，但 M 平面 GHN，因此直线 GH 与 MN 异面；
课
图③中，连接 MG(图略)，GM∥HN，因此，GH 与 MN 共面；
知
基
合 作 探 究 • 攻 重
课 时 分 层 作 业
难
返
图 2-1-20
首
页
自
当
主
堂
预
达
习
标
•
•
探
固
新
双
知
(1)求证：四边形 BB1M1M 为平行四边形；
基
合
(2)求证：∠BMC＝∠B1M1C1. 【导学号：07742100】
作
探
究
•
攻
重
课 时 分 层 作 业
难
返 首 页
自 主
思路探究：(1)欲证四边形 BB1M1M 是平行四边形，可证其一组对边平行
合 作 探 究 • 攻 重
点)3.会用异面直线所成的角的定义找出或作出异面直线所成的角，会在直角 三角形中求简单异面直线所成的角．(难点、易错点)
课 时 分 层 作 业
难
返 首 页
[自 主 预 习·探 新 知]
自 主
1．异面直线
当 堂
预
达
习 •
(1)定义：不同在__任__何__一__个__平_面__内____的两条直线．
(2)若 a∥b，a、c 是异面直线，那么 b 与 c 不可能平行，否则由公理 4 知 a∥c.]

D1 A1
D A
C1 答案：
B1 C
D1C1、C1C、CD、 D1D、AD、B1C1
B
异面直线直观图的画法
异面直线直观图的画法
两条直线异面:
异面直线直观图的画法
两条直线异面:
m
l
异面直线直观图的画法
分别在两个相交平面内的两条异面直线:
异面直线直观图的画法
分别在两个相交平面内的两条异面直线:
m
l
巩固：
1. 画两个相交平面，在这两个平面内各画 一条直线，使它们成为： ⑴平行直线；⑵相交直线；⑶异面直线.
巩固： 1. 画两个相交平面，在这两个平面内各画 一条直线，使它们成为： ⑴平行直线；⑵相交直线；⑶异面直线.
b
a
⑴
巩固：
1. 画两个相交平面，在这两个平面内各画 一条直线，使它们成为： ⑴平行直线；⑵相交直线；⑶异面直线.
2.1.2空间中直线与直线 之间的位置关系
复习引入
确定平面的条件：
复习引入
确定平面的条件：
经过不共线三点
经过一条直线和直线外的一点 有且只有
经过两条相交直线
一个平面
经过两条平行直线
练习
1. 下列四个命题中，正确的是(
)
A. 四边形一定是平面图形
B. 空间的三个点确定一个平面
C. 梯形一定是平面图形
知EH和FG交于P点，求证: EH、FG、
BD三线共点.
A
E
H
D
P
B
G F
C
讲授新课
问题1：在平面几何中，两直线的位置 关系如何？
讲授新课
问题1：在平面几何中，两直线的位置
关系如何？

（3）求异面直线 BC 和 AA1 的距离．
解：(3) ∵AB⊥AA1，AB∩AA1=A，
D1
AB⊥BC，AB∩BC=B， A1
C1 B1
∴AB是BC和AA1的公垂线段
∵AB=a，
D A
C B
∴BC和AA1的距离是a .
12
例4 在正方体ABCD－A1B1C1D1中,求:
(1)A1B与B1D1所成角; (2)AC与BD1所成角.
BD.
C
又在△BCD
中， CF
CG
2
2
，∴FG//BD,FG=
2
BD.
CB CD 3
3
根据公理4，EH//FG
又FG＞EH,∴四边形EFGH的一组对边平行但不相等
∴四边形EFGH是梯形.
6
例例2 2 如图， A 是平面 BCD外的一点 G, H 分别是
ABC, ACD 的重心.求证： GH // BD ．
异面直线所成的角的范围： (0, ] 2
17
课后再做好复习巩固. 谢谢！
再见！
新疆 王新敞
奎屯
王新敞 特级教师 源头学子小屋 wxckt@ 新疆奎屯
·2007·
18
]
2
b a
O b′
a'
a
b' Ob
9
四、异面直线所成的角
如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异
面直线垂直．两条异面直线a,b 垂直，记作a⊥b.
异面直线所成的角的范围：(0, ]
D1
C1
2
A1
B1
两条异面直线的公垂线、距离
和两条异面直线都垂
D
C
直相交的直线，我们称之

-14-
2.1.2 空间中直线与直线 之间的位置关系
12
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知识梳理
重难聚焦
典例透析
例如,在如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1中,棱AB和B1C1所在 的直线既不平行也不相交,找不到一个平面同时经过这两条棱所在 的直线,则AB和B1C1是异面直线.要注意分别在两个平面内的直线 不一定是异面直线,可以平行,可以相交,也可以异面.
-2-
2.1.2 空间中直线与直线 之间的位置关系
1 2 34 5
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知识梳理
重难聚焦
典例透析
1.异面直线 (1)概念:不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线. (2)图示:如图,为了表示异面直线a,b不共面的特点,作图时,通常用 一个或两个平面衬托.
-3-
2.1.2 空间中直线与直线 之间的位置关系
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知识梳理
重难聚焦
典例透析
-9-
2.1.2 空间中直线与直线 之间的位置关系
1 2 34 5
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知识梳理
重难聚焦
典例透析
归纳总结等角定理是由平面图形推广到空间图形而得到的,当这两 个角的两边方向分别相同或相反时,它们相等,否则它们互补.
-10-
2.1.2 空间中直线与直线 之间的位置关系
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题型一 题型二 题型三 题型四
知识梳理
重难聚焦
典例透析
-31-
2.1.2 空间中直线与直线 之间的位置关系
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题型一 题型二 题型三 题型四
知识梳理
重难焦
典例透析
反思1.求两条异面直线所成的角的一般步骤: (1)作:根据所成角的定义,用平移法作出两条异面直线所成的角; (2)证:证明作出的角就是要求的角; (3)计算:寻找或作出含有此角的三角形,求解计算; (4)结论:若求出的角是锐角或直角,则它就是所求异面直线所成

() A．2 对
B．3 对
C．6 对
D．12 对
解析：选 C.如图所示，在长方体 AC1 中，与对角线 AC1 成异面 直线位置关系的是：A1D1、BC、BB1、DD1、A1B1、DC，所以 组成 6 对异面直线．
3．如图，点 G、H、M、N 分别是三棱柱的顶点或所在棱的中 点，则表示直线 GH，MN 是异面直线的图形是________．
(1)判断两直线平行仍是立体几何中的一个重要组成部分，除了 平面几何中常用的判断方法以外，公理 4 也是判断两直线平行的 重要依据． (2)证明角相等，利用空间等角定理是常用的思考方法；另外也 可以通过证明两个三角形全等或相似来证明两角相等．在应用等 角定理时，应注意说明这两个角同为锐角、直角或钝角．
(2)异面直线所成的角 两条异面直线所成的角是由两条相交直线所成的角扩充而成的， 由平移原理可知，当两条异面直线在空间的位置确定后，它们所 成的角的大小也就随之确定了．
1．分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是( )
A．异面
B．平行
C．相交
D．以上均有可能
答案：D
2．长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面直线有
章 点、直线、面之间的位置关系
2．1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
1.会判断空间两直线的位置关系． 2.理解两异面直线的 定义，会求两异面直线所成的角． 3．能用公理 4 解决一些简单的相关问题．
1．空间直线的位置关系 (1)异面直线 ①定义：把不同在_任__何__一__个__平面内的两条直线叫做异面直线． ②画法：(通常用平面衬托)
A．6 C．5 答案：B
B．4 D．8
3．若正方体 ABCD-A1B1C1D1 中∠BAE＝25°.

4.如图, 1 是长方体的一条棱,这个长方体中与 AA1 .如图, 是长方体的一条棱, AA 异面的棱共有( 异面的棱共有( B ) A.3条 B.4条 C.5条 D.6条 . 条 . 条 . 条 . 条
5.两条异面直线是指( D ) .两条异面直线是指( A.空间两条没有公共点的直线 . B.平面内一直线与这个平面外的一直线 . C.分别在两个平面内的两条直线 . D.不同在任何一个平面内的两条直线 .
2.1.2
空间直线与直线之间的位置关系
2. 空间两条直线 不重合 的位置关系 空间两条直线(不重合 不重合)的位置关系 按有无公共点分: ⑴按有无公共点分: 有且只有一个公共点——相交直线 ①有且只有一个公共点 相交直线 平行直线 没有公共点—— 异面直线 ②没有公共点
{
⑵按是否共面分: 按是否共面分: ①在同一平面内—— 在同一平面内
60 °
F 1 1 PE= BC PF= AD 且PE//BC, PF//AD , . 2 2
3
∴
PE2 + PF2 EF2 23 1 cos EPF= ∠ = = 2PE PF 2 2
即异面直线AD和BC成600角
∠EPF=120 °
6.课堂小结 课堂小结
异面直线的定义: 异面直线的定义 一个平面内的两条直线叫做异面直线. 不同在 任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线. 相交直线 空间两直线的位置关系 平行直线 异面直线 异面直线的画法 异面直线所成的角 用平面来衬托 平移,转化为相交直线所成的角 平移,
6.正方体ABCD- A1B1C1D1中,AC,BD交于O, 则OD1与A1C1所成的角的度数为 900
D1 A1 B1
C1
D O A B