2014届高考理科数学总复习(第1轮)全国版课件：3.2等差数列(第1课时)

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参考题
设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知 S5=S13，且a1＞0，求当n为何值时，Sn最大. 解法1：由S5=S13， 得 ［a1 (a1 4d )］ 13 a1 (a1 12d )］ 5 ［ ， 所以 22 2 所以 d a1， 17 n(n 1)d (n n取最大值. 9) 2 81 因为a1＞0，所以当n=9时，S S na a.
3
3
7
2.已知{an}是等差数列，a1+a2=4，a7+a8 =28，则该数列的前10项和S10等于( ) B A. 64 B. 100 C. 110 D. 120 设数列{an}的公差为d, 则 2a1+d=4 2a1+13d=28，解得 d=2. a1=1 故 故选B.

.
五、a,b的等差中项为
ab 2
.
6
1.等差数列{an}中，已知 an=33，则n=( ) C A. 48 B. 49 C. 50 D. 51 由已知解得公差 2 d ， 再由通项公式得 3 解得n=50.故选C. 1 2 (n 1) 33，

1a +a =4, a1 , 2 5 3

又n∈N*，所以n=9时，Sn最大.
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解法3：因为S5=S13， 所以S13-S5=0， 即a6+a7+a8+a9+a10+a11+a12+a13=0. 又a6+a13=a7+a12=a8+a11=a9+a10， 所以a9+a10=0. 又a1＞0，所以a9＞0，a10＜0. 故当n=9时，Sn最大.

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(3)记数列{|an|}的前n项和为Tn， 求Tn的表达式. 因为当n≤5时，an≤0; 当n≥6时，an＞0， 故当n≤5时，Tn=-Sn=9n-n2；

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当n≥6时， Tn=|a1|+|a2|+…+|a5|+|a6|+…+|an| =-a1-a2-…-a5+a6+a7+…+an =Sn-2S5=n2-9n-2×(-20)=n2-9n+40. 所以Tn= 9n-n2(n≤5) n2-9n+40(n≥6).

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【点评】：公差不为零的等差数列的前n项 的和是关于n的二次函数(常数项为0)，反之 也成立.因为和式是二次函数，所以和式有 最大值(或最小值)，求其最值可按二次函数 处理，不过需注意自变量n是正整数.
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设数列{an}是公差不为零的等差数列，Sn是 数列{an}的前n项和，且 3 S2 9S2，S 4 4S 2， 求数列{an}的通项公式. 设等差数列{an}的公差为d. 由 及已知条件得 n( n 2=9(2a 1) (3a1S n na1 +3d) d 1+d)， ① 2 4a1+6d=4(2a1+d). ②

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题型2：等差数列前n项和的应用 2. 已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n. (1)求证：{an}为等差数列； (1)证明：当n=1时，a1=S1=-8. 当n≥2时，an=Sn-Sn-1 =n2-9n-［(n-1)2-9(n-1)］ =2n-10.

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又n=1时，a1=-8也满足此式. 所以an=2n-10(n∈N*). 又an+1-an=2(n+1)-10-(2n-10)=2， 所以{an}为等差数列. (2)求Sn的最小值及相应n的值； 因为 9 所以，当n=4或5时， ) 2 81 ， Sn (n 2 4 Sn取最小值-20.
a2＋8da ＋12d2＝－16 1 1 即 a1＝－4d
，
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a ＝－8 1 解得 d＝2
a ＝8 1 ，或 d＝－2
.
因此 Sn＝－8n＋n(n－1)＝n(n－9)，或 Sn＝8n－n(n－1)＝－n(n－9)．
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【点评】：应用等差数列的通项公式，求出 基本量，然后利用求和公式求解．
由①+②得-7d<11,即 d 11 . 7 11 由①+③得13d≤-1,即 d . 3 于是 11 11 d . 又d∈Z，故d=-1.3 7 代入①②得10<a1≤12.又a1∈Z，故a1=11或 a1=12. 所以，所有可能的数列{an}的通项公式是 an=12-n和an=13-n,n=1,2,3,….

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其中正确的命题是 ②③④ (填上正确命 题的序号). ①中若数列各项为零时不满足； ②③④都是等差数列的性质.

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题型1：a1，d，an，n，Sn中“知三求二”
1.已知等差数列 {an}中，a3a7＝－ 16，a4＋a6＝0，求{an}的前 n 项和 Sn.
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分析：由于数列{an}是等差数列，则可 将条件中的 a3，a7，a4，a6 均用首项 a1 与公 差 d 来表示，进而建立关于 a1 与 d 的方程 组来求解． 解：设{an}的公差为 d， a ＋2da ＋6d＝－16 1 1 则 ， a1＋3d＋a1＋5d＝0
10 9 S10 10a1 100， 2d
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3.设数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*),关于数列 {an}有下列四个命题： ①若an=an+1(n∈N*)，则{an}既是等差数列又是 等比数列； ②若Sn=an2+bn(a,b∈R)，则{an}是等差数列； ③a,b,c成等差数列的充要条件是 a ④若{an}是等差数列，则Sm,S2m-Sm,S3m-Sc ； b 2m 2 (m∈N*)也成等差数列.

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由②得d=2a1，代入①有 a12 4 a1， 9 4 解得a1=0或 a1 . 9 当a1=0时，d=0(舍去). 因此， 4 8 a1 }的通项公式为 故数列{an ，d . 9 9

4 8 4 an (n 1) 2n 1 n N 9 9 9

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四、等差数列的常用性质 1.在等差数列{an}中，若m+n=p+q,m、n、 p、q∈N*,则⑩ . am+an=ap+aq 2.若等差数列{an}的前n项和为Sn,则an与S2n
1的关系式为
Sn,S3n-S2n成

S 2 n1 ；S ,S n 2n a n= 2n 1
等差数列

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Sn=an2+bn
3
二、等差数列的通项公式 1.原形结构式：an=⑤ . a1+(n-1)d 2.变形结构式：an=am+⑥ (n＞m). (n-m)d

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三、等差数列的前n项和公式 n a1 an 。 1.原形结构式：Sn=⑦ 2 n(n 1) . =⑧ na1 d 2 2.二次函数型结构式： Sn=⑨ . an2+bn
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设等差数列{an}的首项a1及公差d都是整数,前n项 和为Sn. (1)若a11=0，S14=98,求数列{an}的通项公式； 由S14=98,得2a1+13d=14. 又a11=a1+10d=0,故解得d=-2,a1=20. 因此，数列{an}的通项公式是an=22-2n, n=1,2,3,….

n 1
2
17
1
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解法2：因为S5=S13， 所以5a1+10d=13a1+78d， 所以 2 d a1 . 所以由 17

2 an a1 (n 1)( a1 ) 0 17 2 解得8.5≤n≤9.5. a n· an1 ( a1 ) 0， 1 17

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(2)若a1≥6，a11>0，S14≤77， 求所有可能的数列{an}的通项公式. 由 S14≤77 2a1+13d≤11 a11>0 a1+10d>0 a1≥6, 得 即 2a1+13d≤11 ① a1≥6, -2a1-20d<0 ② -2a1≤-12 ③.

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第三章
第 讲
数列
（第一课时）1源自考点 搜 索 高考 猜 想
●等差数列的概念 ●等差数列的判定方法 ●等差数列的性质 ●等差数列的综合问题 考查等差数列的通项公式、求和 公式及其性质；同时考查等差数列 的函数性.
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一、等差数列的判定与证明方法 1.定义法：① . an-an-1=d (n≥2) 2.等差中项法：② . 3.通项公式法：③ an-1+an+1=2an (n≥2) . 4.前n项和公式法：④ =kn+b . an

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1. 由五个量a1、d、n、an、Sn中的三个量 可求出其余两个量，即“知三求二”.要求 选用公式恰当，即能减少运算量，达到快 速、准确的目的.
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2. 在等差数列中，当a1＞0，d＜0时，解不 等式组 an≥0 an+1≤0可得Sn 达到最大值时的n的值； 当a1＜0，d＞0时，解不等式组 an≤0 an+1≥0可得Sn达到最小值时的n的值.