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角平分线专项练习30题（有答案）1．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=2AC，AD平分∠BAC，求证：点D在AB的垂直平分线上．2．如图，在△ABC中，PD⊥AC，PE⊥AB，PF⊥BC，PD=PE=PF，求证：∠BPC=90°+∠BAC．3．如图已知：BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别是D、E，BD、CE交于F，且CF=FB，求证：AF平分∠BAC．4．如图，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，若AB=AC．求证：AD平分∠BAC．5．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，BE平分∠ABC，DE⊥BC于D，DE=DC．求证：BC=AB+AE．6．已知：如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．（1）求证：AM平分∠BAD；（2）试说明线段DM与AM有怎样的位置关系？（3）线段CD、AB、AD间有怎样的关系？直接写出结果．7．如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，∠BAC的平分线分别交BC、CD于点E、F．（1）求证：△ACF∽△ABE；（2）若AC=6cm，AF=3cm，AB=10cm，求出AE的长度．8．如图，CD∥AB，∠ABC，∠BCD的角平分线交于E点，且E在AD上，CE交BA的延长线于F点．（1）BE与CF互相垂直吗？若垂直，请说明理由；（2）若CD=3，AB=4，求BC的长．9．如图，直线MN分别交直线AB，CD于点E，F，EG平分∠BEF，若∠1=50°，∠2=65°，（1）求证：AB∥CD；（2）在（1）的条件下，求∠AEM的度数．10．如图，AD平分∠MAN，BD⊥AM，CD⊥AN，垂足分别为B、C，E为线段AB上一点，（1）用尺规在射线AN上找一点F，使△CDF与△BDE全等（保留作图痕迹）；（2）若BE=3，请写出此时线段AE与AF的数量关系，并说明理由．11．如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD=CD，BD平分∠ABC，（1）分别作出D到BA、BC的距离DE、DF；（2）求证：∠A+∠C=180°．12．已知：如图，△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于D，AE平分∠BAC，EF∥DC，交BC于F，求证：BE=FC．13．如图，四边形AOBC中，AC=BC，∠A+∠OBC=180°，CD⊥OA于D．（1）求证：OC平分∠AOB；（2）若OD=3DA=6，求OB的长．14．如图，点D、B分别在∠A的两边上，C是∠DAB内一点，AB=AD，BC=CD，CE⊥AD于E，CF⊥AF于F，求证：CE=CF．15．如图，已知：在四边形ABCD中，过C作CE⊥AB于E，并且CD=CB，∠ABC+∠ADC=180°，（1）求证：AC平分∠BAD；（2）若AE=3BE=9，求AD的长；（3）△ABC和△ACD的面积分别为36和24，求△BCE的面积．16．如图，在△ABC中，AB＞AC，E为BC边的中点，AD为∠BAC的平分线，过E作AD的平行线，交AB于F，交CA的延长线于G．求证：BF=CG．17．如图，AE平分∠BAC，BD=DC，DE⊥BC，EM⊥AB，EN⊥AC．求证：BM=CN．18．如图，△ABC中，∠B的平分线与∠C的外角的平分线交于P点，PD⊥AC于D，PH⊥BA于H，求证：AP平分∠HAD．19．如图，△ABC中，若AD平分∠BAC，过D点作DE⊥AB，DF⊥AC，分别交AB、AC于E、F两点．求证：AD⊥EF．（2）若∠MON=80°，求∠PAB的度数．21．如图，已知∠1=∠2，P为BN上的一点，PF⊥BC于F，PA=PC．（1）求证：∠PCB+∠BAP=180°；（2）若BC=12cm，AB=6cm，PA=5cm，求BP的长．22．如图，△ABC中，AD是它的角平分线，P是AD上的一点，PE∥AB交BC与E，PF∥AC交BC与F．求证：D 到PE的距离与D到PF的距离相等．23．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC于点G，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．证明：BE=CF；（提示：连接线段BD、CD）25．如图，已知∠ABC=40°，∠ACB=60°，BO，CO平分∠ABC和∠ACB，DE过O点，且DE∥BC，求∠BOC的度数．26．四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，∠ADC+∠B=180°求证：2AE=AB+AD．27．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．（1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=5，AC=3，求AE、BE的长．（2）ED=BC+BD．29．如图，在△ABC中，∠C=90°，M为AB的中点，DM⊥AB，CD平分∠ACB，求证：MD=AM．30．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，M为OP上任一点，连接CM、DM，则有CM与DM相等，试说明你的理由．参考答案：1．证明：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵∠C=90°，AD平分∠BAC，∴CD=DE，在△ADC和△ADE中，，∴△ADC≌△ADE（HL），∴AE=AC，∵AB=2AC，∴BE=AB﹣AE=2AC﹣AE=AE，∴点D在AB的垂直平分线上．2．证明：连接AP，且延长至G，∵PD⊥AC，PE⊥AB，PF⊥BC，PD=PE=PF，∴点P是△ABC三角平分线的交点，∴AP平分∠BAC，∴∠CAG=∠BAG=∠BAC，∵CP平分∠ACB，BP平分∠ABC，∴∠ACP=∠ACB，∠ABP=∠ABC，∴∠CPG=∠BAG+∠ABP=（∠BAC+∠ACB），∠BPG=∠BAG+∠ABP=（∠BAC+∠BC），∴∠BPC=∠CPG+∠BPG=（∠BAC+∠ACB）+（∠BAC+∠ABC）=∠BAC+（180°﹣∠BAC）=90°+∠BAC．3．证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∠CDF=∠BEF=90°，在△CDF与△BEF中，，∴DF=EF，又∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴AF平分∠BAC（到角的两边距离相等的点在角的平分线上）4．解：方法一：连接BC，∵BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，∴∠CFB=∠BEC=90°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，在△BCF和△CBE中∵∴△BCF≌△CBE（AAS），∴BF=CE，在△BFD和△CED中∵，∴△BFD≌△CED（AAS），∴DF=DE，∴AD平分∠BAC．方法二：先证△AFC≌△AEB，得到AE=AF，再用（HL）证△AFD≌△三AED，得到∠FAD=∠EAD，所以AD平分∠BAC．5．解：∵∠BAC=90°，BE平分∠ABC，DE⊥BC于D，∴AE=DE，∵BE是公共边，∴△BDE≌△BAE（HL），∴BD=BA，AE=DE=DC，∴BC=BD+DC=AB+AE6．（1）证明：作ME⊥AD于E，∵MC⊥DC，ME⊥DA，MD平分∠ADC，∴ME=MC，∵M为BC中点，∴MB=MC，又∵ME=MC，∴ME=MB，又∵ME⊥AD，MB⊥AB，∴AM平分∠DAB．（2）解：DM⊥AM，理由是：∵DM平分∠CDA，AM平分∠DAB，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠1+∠3=90°，∴∠DMA=180°﹣（∠1+∠3）=90°，即DM⊥AM．（3）解：CD+AB=AD，理由是：∵ME⊥AD，MC⊥CD，∴∠C=∠DEM=90°，在Rt△DCM和Rt△DEM中∴Rt△DCM≌Rt△DEM（HL），∴CD=DE，同理AE=AB，∵AE+DE=AD，∴CD+AB=AD．7．（1）证明：∵∠ACB=90°，∠CDB=90°，∴∠ACD=90°﹣∠DCB，∠B=90°﹣∠DCB，∴∠ACD=∠B，（2分）∵AE平分∠CAB，∴∠CAE=∠EAB，（3分）∴△ACF∽△ABE；（7分）（2）解：∵△ACF∽△ABE，∴，（9分）∴AE===5cm8．解：（1）垂直．∵CD∥AB，∴∠ABC+∠BCD=180°，∵∠ABC，∠BCD的角平分线交于E点，∴∠ABE=∠EBC，∠DCE=∠ECB，∴∠EBC+∠ECB=∠ABC+∠BCD=（∠ABC+∠BCD）=90°，∴∠CEB=90°，∴BE与CF互相垂直．（2）∵∠CEB=90°，∴∠FEB=90°，在△FBE和△CBE中，∵，∴△FBE≌△CBE（ASA），∴BF=BC，EF=EC，∵CD∥AB，∴∠DCE=∠AFE，∵∠FEA=∠CED，∴△DCE≌△AFE，∴DC=AF，∵CD=3，AB=4，BF=AF+AB，∴BF=BC=7．9．（1）证明：∵∠1+∠2+∠FEG=180°，∵∠1=50°，∠2=65°，∴∠FEG=65°，∵EG平分∠BEF，∴∠BEF=2∠FEG=130°，∴∠BEF+∠1=180°，∴AB∥CD．（2）∵∠AEM=∠BEF，∵∠BEF=130°，∴∠AEM=130°，答：∠AEM的度数是130°10．解：（1）以D为圆心，DE为半径交AN于F1或F2，如图，∵AD平分∠MAN，BD⊥AM，CD⊥AN，∴DB=DC，∵DE=DF，∴Rt△CDF≌Rt△BDE（HL）；（2）∵DB=DC，DA=DA，∴Rt△DBA≌Rt△DCA（HL）；∴AB=AC，∵Rt△CDF≌Rt△BDE，∴BE=CF，∴当F点在F1时，AF=AE；当F点在F2时，AF2=AC+CF2=AB+CF2=AE+BE+BE，∴AF﹣AE=2BE=6．11．解：（1）如图所示：．（2）证明：∵BD平分∠ABC，DE⊥BA，DF⊥BC，∴DE=DF，∠E=∠DFC=90°，∴在Rt△DEA和Rt△DFC中∴Rt△DEA≌Rt△DFC（HL），∴∠C=∠EAD，∵∠BAD+∠EAD=180°，∴∠BAD+∠C=180°12．证明：过点E作EG⊥AB于点G，过F点作FH⊥AC于点H，∵△ABC中，∠ABC=90°，∴∠C+∠BAC=90°，∵BD⊥AC于D，∴∠ADB=90°，∴∠BAC+∠ABD=90°，∴∠C=∠ABD，∵点E在∠BAC的平分线上，∴GE=DE，∵EF∥DC且BD⊥AC于D，FH⊥AC于D∴ED=FH，∴GE=FH，在△BEG与△CFH中，，∴△BEG≌△CFH（AAS），∴BE=CF．13．证：（1）作CE⊥OB于E，∵∠A+∠OBC=180°，∠OBC+∠CBE=180°∴∠A=∠CBE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（AAS），∴CD=CE，∴OC平分∠AOB．（2）∵OD=3DA=6，∴AD=BE=2，在Rt△ODC和Rt△OEC中∵∴Rt△ODC≌Rt△OEC（HL），∴OE=OD=6，∴OB=OE﹣BE=4．14．证明：在△ADC和△ABC中，，∴△ADC≌△ABC（SSS），∴∠DAC=∠BAC，∵CE⊥AD于E，CF⊥AF于F，∴CE=CF15．解：（1）作CF⊥AD的延长线于F，∴∠F=90°．∵CE⊥AB，∴∠CEA=∠CEB=90°，∴∠F=∠CEA=∠CEB．∵∠ADC+∠CDF=180°，且∠ABC+∠ADC=180°∴∠CDF=∠B．在△CDF和△CEB中，∴△CDF≌△CEB（AAS），∴CF=CE．∵CF⊥AD，CE⊥AB，∴AC平分∠BAD；（2）在Rt△CAF和Rt△CAE中，∴Rt△CAF≌Rt△CAE（HL），∴AF=AE．∵△CDF≌△CEB，∴DF=EB．∵3BE=9，∴BE=3，∴DF=3．∵AD=AF﹣DF，∴AD=AE﹣DF．∵AE=9，∴AD=9﹣3=6；（3）∵△CAF≌△CAE，△CDF≌△CEB，∴S△CAF=S△CAE，S△CDF=S△CEB．．设△BCE的面积为x，则△CDF的面积为x，由题意，得24+x=36﹣x，∴x=6，答：△BCE的面积为6．16．证明：延长FE至Q，使EQ=EF，连接CQ，∵E为BC边的中点，∴BE=CE，∵在△BEF和CEQ中，∴△BEF≌△CEQ，∴BF=CQ，∠BFE=∠Q，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠BAD，∵EF∥AD，∴∠CAD=∠G，∠BAD=∠GFA，∴∠G=∠GFA，∴∠GFA=∠BFE，∵∠BFE=∠Q（已证），∴∠G=∠Q，∴CQ=CG，∵CQ=BF，∴BF=CG．17．证明：连接BE、EC，∵BD=DC，DE⊥BC∵BE=EC．∵AE平分∠BAC，EM⊥AB，EN⊥AC，EM=EN，∠EMB=∠ENC=90°．在Rt△BME和Rt△CNE中，∵BE=EC，EM=EN，∴Rt△BME≌Rt△CNE（HL）∴BM=CN．18．证明：过P作PF⊥BE于F，∵BP平分∠ABC，PH⊥BA于H，PF⊥BE于F，∴PH=PF（角平分线上的点到角的两边距离相等）．又∵CP平分∠ACE，PD⊥AC于D，PF⊥BE于F，∴PF=PD（角平分线上的点到角的两边距离相等）．∴PD=PH（等量代换）．∴AP平分∠HAD（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）．19．证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠EAD=∠FAD，∠AED=∠AFD=90°，∵∠AED+∠EAD+∠EDA=180°，∠FAD+∠AFD+∠ADF=180°，∴∠EDA=∠FDA，∵DE=DF，∴AD⊥EF三线合一）20．（1）证明：∵∠PAB=∠PBA，∴PA=PB，∵PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，∴OP平分∠MON（到角的两边距离相等的点在角的平分线上）；（2）解：∵∠MON=80°，PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，∴∠APB=360°﹣90°×2﹣80°=100°，∵∠PAB=∠PBA，∴∠PAB=（180°﹣100°）=40°21．证明：（1）如图，过点P作PE⊥AB于E，∵∠1=∠2，PF⊥BC，∴PE=PF，在△APE和△CPF中，，∴△APE≌△CPF（HL），∴∠PAE=∠PCB，∵∠PAE+∠PAB=180°，∴∠PCB+∠BAP=180°；（2）∵△APE≌△CPF，∴AE=FC，∵BC=12cm，AB=6cm，∴AE=×（12﹣6）=3cm，BE=AB+AE=6+3=9cm，在Rt△PAE中，PE==4cm，在Rt△PBE中，PB==cm．22．证明：∵PE∥AB，PF∥AC，∴∠EPD=∠BAD，∠DPF=∠CAD，∵△ABC中，AD是它的角平分线，∴∠BAD=∠CAD，∴∠EPD=∠DPF，即DP平分∠EPF，∴D到PE的距离与D到PF的距离相等23．证明：连接BD，CD，∵AD平分∠BAC，且DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°，∵DG⊥BC且平分BC，∴BD=CD，在Rt△BED与Rt△CFD中，，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴BE=CF．24．证明：∵DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，∴∠BED=∠CFD，∴△BDE与△CDE是直角三角形，∵，∴Rt△BDE≌Rt△CDF，∴DE=DF，∴AD是∠BAC的平分线25．解：∵∠ABC=40°，∠ACB=60°，BO，CO平分∠ABC和∠ACB，∴∠OBC+∠OCB=（∠ACB+∠ABC）=50°；∴∠BOC=180°﹣50°=130°26．证明：过C作CF⊥AD于F，∵AC平分∠BAD，∴∠FAC=∠EAC，∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴∠DFC=∠CEB=90°，∴△AFC≌△AEC，∴AF=AE，CF=CE，∵∠ADC+∠B=180°∴∠FDC=∠EBC，∴△FDC≌△EBC∴DF=EB，∴AB+AD=AE+EB+AD=AE+DF+AD=AF+AE=2AE∴2AE=AB+AD27．（1）证明：连接BD，CD，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°，∵DG⊥BC且平分BC，∴BD=CD，在Rt△BED与Rt△CFD中，，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴BE=CF；（2）解：在△AED和△AFD中，，∴△AED≌△AFD（AAS），∴AE=AF，设BE=x，则CF=x，∵AB=5，AC=3，AE=AB﹣BE，AF=AC+CF，∴5﹣x=3+x，解得：x=1，∴BE=1，AE=AB﹣BE=5﹣1=4．28．证明：（1）由三角形的外角性质，∠BAD+∠ABD=∠1+∠EDC，∵∠1=90°﹣∠EDC，∴∠BAD+90°=90°﹣∠EDC，∴∠BAD=∠EDC，延长DB至F，使BF=BD，则AB垂直平分DF，∴∠BAD=∠DAF，AD=AF，∴∠DAF=∠EDC，∠2=∠F，在△ADF中，∠F+∠DAF=∠1+∠EDC，∴∠1=∠F，∴∠1=∠2；（2）在△AED和△ACF中，，∴△AED≌△ACF（ASA），∴ED=CF，∵CF=BC+BF=BC+DB，∴ED=BC+BD．29．证明：如图，连接CM，设AB、CD相交于点E，则CM是斜边上的中线，MC=MB=AM，∴∠MCB=∠B，∵CD平分∠ACB，∠C=90°，∴∠BCD=×90°=45°，∴∠MCD=∠MCB﹣45°=∠B﹣45°，又∵∠DEM=∠BEC=180°﹣∠B﹣45°=135°﹣∠B，∴∠D=90°﹣∠DEM=∠B﹣45°，∴∠D=∠MCD，∴MD=MC，∴MD=AM．30．解：∵OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，∴PC=PD，∵OM是公共边，∴△POC≌△POD（HL），∴OC=OD，∴△COM≌△DOM（SAS），∴CM=DM。
三角形的角平分线1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝10，AD平分∠BAC交BC于点D，且BD∶CD＝3∶2，则点D到线段AB的距离为( )A. 3B. 4C. 5D. 62. 如图，已知DB⊥AN于点B，交AE于点O，OC⊥AM于点C，且OB＝OC，若∠EAN＝25°，则∠ADB等于( )A. 40°B. 50°C. 60°D. 75°3. 如图，AB∥CD，AD⊥DC，AE⊥BC，垂足分别为D，E，∠DAC＝35°，AD＝AE，则∠B等于( )A．50° B．60° C．70° D．80°4. 如图，在△ABC中，∠B＝30°，AD平分∠BAC，DE垂直平分AB，垂足为E，若BD＝6cm，则CD等于( )A. 1cmB. 2cmC. 3cmD. 5cm5. 如图，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝3.若△ABC 的周长是22，则△ABC的面积是( )A. 28B. 30C. 32D. 336. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB，AC于点M和N，再分别以M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是( )①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC＝60°；③点D在AB的垂直平分线上；④S△DAC∶S△ABC＝1∶3.A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7. 如图，AB∥CD，AD⊥DC，AE⊥BC，垂足分别为D，E，∠DAC＝35°，AD＝AE，则∠B等于( )A．50° B．60° C．70° D．80°8. 如图，O为△ABC内任意一点，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，OF⊥BC于点F，若OD＝OE＝OF，连接OA，OB，OC，下列结论不一定正确的是( )A．△BOD≌△BOF B．∠OAD＝∠OBF C．∠COE＝∠CO F D．AD＝AE 9. 如图，在△ABC中，∠ABC＝120°，∠C＝26°，且DE⊥AB，DF⊥AC，DE ＝DF，则∠ADC的度数为____．10. 如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA＝2，则PQ的最小值为11. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE＝1，则BC=12. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线．若CD＝3cm，则BD的长为____cm.13. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB 于点E，且AB＝6cm，则△BED的周长是____ cm.14. 如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，点D在BC上，DE⊥AB于点E，DF⊥AC 于点F，且DE＝DF，若DE＝4，则AD＝____．15. 在△ABC中，∠C＝90°，O为△ABC三条角平分线的交点，OD⊥BC于点D，OE⊥AC于点E，OF⊥AB于点F，且AB＝10 cm，BC＝8 cm，AC＝6 cm，则点O到三边AB，AC，BC的距离分别为 cm， cm， cm 16. 如图，∠AOE＝∠BOE＝15°，EF∥OB，EC⊥OB，若EC＝1，则EF＝____．17. 如图，△ABC是等边三角形，P是∠ABC的平分线上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q.若BF＝2，则PE的长为18. 如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E，F，BE，CF相交于点D，若BD＝CD，求证：AD平分∠BAC.19. 如图，已知BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在射线BD上，PM⊥AD 于点M，PN⊥CD于点N.求证：PM＝PN.20. 如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，求AC的长．参考答案：11 1---8 BACCD DCB9. 137°10. 211. 312. 613. 614. 815. 2 2 216. 2 17. 318. 解：在△BDF 和△CDE 中，∠BFD ＝∠CED ＝90°，∠FDB ＝∠EDC ，BD ＝CD ，∴△BDF ≌△CDE(AAS)，∴DF ＝DE ，又∵DF ⊥AB ，DE ⊥AC ，∴AD 平分∠BAC19. 解：在△ABD 和△CBD 中，AB ＝CB ，∠ABD ＝∠CBD ，BD ＝BD ，∴△ABD ≌△CBD(SAS)，∴∠ADB ＝∠CDB ，又∵∠ADB ＋∠ADP ＝∠CDB ＋∠CDP ＝180°，∴∠ADP ＝∠CDP ，∴DP 平分∠ADC ，又∵PM ⊥AD ，PN ⊥CD ，∴PM ＝PN20. 解：过点D 作DF⊥AC，∵AD 是∠BAC 平分线，DE ⊥AB ，∴DF ＝DE ＝2，∵S △ABD ＝4×22＝4，∴S △ACD ＝7－4＝3， ∴2AC 2＝3，即AC ＝3。
一、选择题
1.根据角平分线定理，若一条射线是角的平分线，则它将这个角分为两个：
A.锐角
B.钝角
C.相等的小角（答案）
D.不等的小角
2.在三角形ABC中，若AD是∠BAC的平分线，那么：
A.AB = AC
B.BD = CD（答案）
C.∠B = ∠C
D.AD是BC的中线
3.角平分线定理表明，角的平分线上的点到这个角的两边的距离：
A.相等（答案）
B.不等
C.无法确定
D.与角的大小有关
4.在△PQR中，若RS是∠PQR的平分线，且RS交PQ于点S，那么下列哪个选项是正
确的？
A.PS = QS（答案）
B.∠PRS = ∠QRS
C.RS是△PQR的高
D.RS是△PQR的中线
5.根据角平分线的性质，在△XYZ中，若XY是∠XZY的平分线，那么：
A.XY平分∠XYZ
B.XY平分对边XZ
C.点Y到XZ两边的距离相等（答案）
D.XY是XZ的中垂线
6.在四边形ABCD中，若AC是对角∠BAD的平分线，那么：
A.AB = AD
B.BC = CD
C.点C到AB和AD的距离相等（答案）
D.AC是BD的中线
7.角平分线定理不适用于哪种情况？
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.圆形（答案）
8.在△MNO中，若MN是∠NMO的平分线，且MN交NO于点P，那么下列哪个选项
是错误的？
A.点P到MO和NO的距离相等
B.∠PMN = ∠PNM
C.MN是△MNO的高（答案）
D.MN将∠NMO分为两个相等的小角。
题（有答案）三角形高中线角平分线专项练习30题（有答案）1．如图，△ABC中，∠A=30°，∠B=70°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE于F．（1）试说明∠BCD=∠ECD；（2）请找出图中所有与∠B相等的角（直接写出结果）．2．如图，AD为△ABC的中线，BE为三角形ABD中线，中线，的度数；（1）∠ABE=15°，∠BAD=35°，求∠BED的度数；边上的高；（2）在△BED中作BD边上的高；边的距离为多少？（3）若△ABC的面积为60，BD=5，则点E到BC边的距离为多少？3．在△ABC中，AD是BC边上的中线，若△ABD和△ADC的周长之差为4（AB＞AC），AB与AC的和为14，的长．求AB和AC的长．4．如图△ABC中，∠A=20°，CD是∠BCA的平分线，△CDA中，DE是CA边上的高，又有∠EDA=∠CDB，求的大小．∠B的大小．5．△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC交BC于点E．的大小．（1）∠B=30°，∠C=70°，求∠EAD的大小．（2）若∠B＜∠C，则2∠EAD与∠C﹣∠B是否相等？若相等，请说明理由．是否相等？若相等，请说明理由．6．在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，∠B=20°，∠C=60°，求∠CAD和∠DAE的度数．的度数．7．在△ABC中．中．（如图）（1）若∠A=60°，AB、AC边上的高CE、BD交于点O．求∠BOC的度数．（如图）（2）若∠A为钝角，AB、AC边上的高CE、BD所在直线交于点O，画出图形，并用量角器量一量∠BAC+∠BOC= _________°，再用你已学过的数学知识加以说明．，再用你已学过的数学知识加以说明．（3）由（1）（2）可以得到，无论∠A为锐角还是钝角，总有∠BAC+∠BOC=_________°．8．在△ABC中，已知∠ABC=60°，∠ACB=50°，BE是AC上的高，CF是AB上的高，H是BE和CF的交点．的交点．的度数．求∠ABE、∠ACF和∠BHC的度数．9．如图，△ACB中，∠ACB=90°，∠1=∠B．的高；（1）试说明CD是△ABC的高；（2）如果AC=8，BC=6，AB=10，求CD的长．的长．10．如图，已知△ABC的高AD，角平分线AE，∠B=26°，∠ACD=56°，求∠AED的度数．的度数．11．如图，△ABC中，∠ABC=40°，∠C=60°，AD⊥BC于D，AE是∠BAC的平分线．的平分线．（1）求∠DAE的度数；的度数；是哪几个三角形的高．（2）指出AD是哪几个三角形的高．12．如图，在△ABC中，∠ABC=66°，∠ACB=54°，BE是AC上的高，CF是AB上的高，H是BE和CF的交点，的度数．求∠ABE、∠ACF和∠BHC的度数．13．如图，在△ABC中，∠B=60°，∠C=20°，AD为△ABC的高，AE为角平分线为角平分线的度数；（1）求∠EAD的度数；的关系并说明理由．（2）寻找∠DAE与∠B、∠C的关系并说明理由．14．如图，已知：AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC=60°，∠BCE=40°，求∠ADB的度数．的度数．15．如图，AD是△ABC的BC边上的高，AE是∠BAC的角平分线，的角平分线，的度数．（1）若∠B=47°，∠C=73°，求∠DAE的度数．的代数式表示）（2）若∠B=α°，∠C=β°（α＜β），求∠DAE的度数（用含α、β的代数式表示）16．如图，在△ABC中，AD是角平分线，∠B=60°，∠C=45°，求∠ADB和∠ADC的度数．的度数．17．已知△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，BE平分∠ABC，分别交CD、AC于点F、E，求证：∠CFE=∠CEF．18．如图（1），△ABC中，AD是角平分线，AE⊥BC于点E．（1）．若∠C=80°，∠B=50°，求∠DAE的度数．的度数．（2）．若∠C＞∠B，试说明∠DAE=（∠C﹣∠B）．（3）．如图（2）若将点A在AD 上移动到A´处，A´E⊥BC于点E．此时∠DAE变成∠DA´E，（2）中的结论还正确吗？为什么？确吗？为什么？19．如图，已知△ABC的周长为21cm，AB=6cm，BC边上中线AD=5cm，△ABD周长为15cm，求AC长．长．20．我们知道，任何一个三角形的三条内角平分线相交于一点，如图，若△ABC 的三条内角平分线相交于点I，过I作DE⊥AI分别交AB、AC于点D、E．）请你通过画图、度量，填写右上表（图画在草稿纸上，并尽量画准确）（1）请你通过画图、度量，填写右上表（图画在草稿纸上，并尽量画准确）之间有何数量关系，请写出来，并说明其中的道理．（2）从上表中你发现了∠BIC与∠BDI之间有何数量关系，请写出来，并说明其中的道理．40°60°90°120°∠BAC的度数的度数∠BIC的度数∠BDI的度数21．如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB=50°，∠C=60°，求∠DAE和∠BOA 的度数．的度数．22．如图，在△ABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高，填空：是高，填空：（1）BE=_________=_________（2）∠BAD=__________________（3）∠AFB=_________=90°（4）S△ABC=_________S△ABE．23．如图，BM是△ABC的中线，AB=5cm，BC=3cm，那么△ABM与△BCM的周长是差是多少？的周长是差是多少？24．在△ABC中，AB=AC，AD是中线，△ABC的周长为34cm，△ABD的周长为30cm，求AD的长．的长．25．如图，在三角形ABC中，AD是BC边上的中线，三角形ABD的周长比三角形ACD的周长小5，你能求出AC与AB的边长的差吗？的边长的差吗？26．如图，在△ABC中，AC=AB，AD是BC边上的中线，则AD⊥BC，请说明理由．，请说明理由．27．如图，∠BAD=∠CAD，则AD是△ABC的角平分线，对吗？说明理由．的角平分线，对吗？说明理由．28．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多5cm，AB与AC的和为11cm，的长．求AC的长．29．如图所示，AD是△ABC的中线，AE是△ACD的中线，已知DE=2cm，求BD，BE，BC的长．的长．30．如图所示，AD是△ABC的中线，AB=6cm，AC=5cm，求△ABD和△ADC的周长的差．的周长的差．参考答案：1．（1）∵∠B=70°，CD ⊥AB 于D ， ∴∠BCD=90°﹣70°=20°，在△ABC 中，∵∠A=30°，∠B=70°， ∴∠ACB=180°﹣30°﹣70°=80°， ∵CE 平分∠ACB ， ∴∠BCE=∠ACB=40°，∴∠ECD=∠BCE ﹣∠BCD=40°﹣20°=20°， ∴∠BCD=∠ECD ；（2）∵CD ⊥AB 于D ，DF ⊥CE 于F ， ∴∠CED=90°﹣∠ECD=90°﹣20°=70°， ∠CDF=90°﹣∠ECD=90°﹣20°=70°，所以，与∠B 相等的角有：∠CED 和∠CDF ． 2．（1）∵∠BED 是△ABE 的一个外角，的一个外角， ∴∠BED=∠ABE+∠BAD=15°+35°=50°．（2）如图所示，EF 即是△BED 中BD 边上的高．边上的高． （3）∵AD 为△ABC 的中线，BE 为三角形ABD 中线， ∴S △BED =S △ABC =×60=15； ∵BD=5，∴EF=2S △BED ÷BD=2×15÷5=6， 即点E 到BC 边的距离为6．3．∵AD 是BC 边上的中线，边上的中线， ∴BD=CD ，∴△ABD 的周长﹣△ADC 的周长=（AB+AD+BD ）﹣（AC+AD+CD ）=AB ﹣AC=4，（2分）分） 即AB ﹣AC=4①， 又AB+AC=14②， ①+②得．2AB=18， 解得AB=9，②﹣①得，2AC=10， 解得AC=5，∴AB 和AC 的长分别为：AB=9，AC=5． 4．∵DE 是CA 边上的高，边上的高， ∴∠DEA=∠DEC=90°， ∵∠A=20°，∴∠EDA=90°﹣20°=70°， ∵∠EDA=∠CDB ，∴∠CDE=180°﹣70°×2=40°，在Rt △CDE 中，∠DCE=90°﹣40°=50°， ∵CD 是∠BCA 的平分线，的平分线，∴∠BCA=2∠DCE=2×50°=100°，在△ABC 中，∠B=180°﹣∠BCA ﹣∠A=180°﹣100°﹣20°=60°．故答案为：60 5．（1）∵∠B=30°，∠C=70° ∴∠BAC=180°﹣∠B ﹣∠C=80° ∵AE 是角平分线，是角平分线， ∴∠EAC=∠BAC=40°∵AD 是高，∠C=70° ∴∠DAC=90°﹣∠C=20°∴∠EAD=∠EAC ﹣∠DAC=40°﹣20°=20°；（2）由（1）知，∠EAD=∠EAC ﹣∠DAC=∠BAC ﹣（90°﹣∠C ）①把∠BAC=180°﹣∠B ﹣∠C 代入①，整理得，整理得 ∠EAD=∠C ﹣∠B ，∴2∠EAD=∠C ﹣∠B ．6．∵AD 是高，∠C=60°，∴∠CAD=90°﹣∠C=90°﹣60°=30°； ∵∠B=20°，∠C=60°，∴∠BAC=180°﹣∠B ﹣∠C=180°﹣20°﹣60°=100°， ∵AE 是角平分线，是角平分线， ∴∠CAE=∠BAC=×100°=50°，∴∠DAE=∠CAE ﹣∠CAD=50°﹣30°=20°． 7．（1）∵BD 、CE 分别是边AC ，AB 上的高，上的高， ∴∠ADB=∠BEC=90°， 又∵∠BAC=60°，∴∠ABD=180°﹣∠ADB ﹣∠A=180°﹣90°﹣60°=30°， ∴∠BOC=∠EBD+∠BEO=90°+30°=120°； （2）如图所示：）如图所示：∠BAC+∠BOC=180°；理由如下：∵BD 、CE 分别是边AC ，AB 上的高，上的高， ∴∠ADB=∠BEC=90°，∵∠ABD=180°﹣∠ADB ﹣∠BAD=180°﹣90°﹣∠BAD=90°﹣∠BAD ，∠O=180°﹣∠BEO ﹣∠DBA=90°﹣∠DBA=90°﹣（90°﹣∠BAD ）=∠BAD ， ∵∠BAC=180°﹣∠DAB ， ∴∠BAC=180°﹣∠O ， ∴∠BAC+∠O=180°； （3）由（1）（2）可得∠BAC+∠BOC=180°．8．∵BE是AC上的高，上的高，∴∠AEB=90°，∵∠ABC=60°，∠ACB=50°，∴∠A=180°﹣60°﹣50°=70°，∴∠ABE=180°﹣90°﹣70°=20°，∵CF是AB上的高，上的高，∴∠AFC=90°，∴∠ACF=180°﹣90°﹣70°=20°，∵∠ABE=20°，∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=60°﹣20°=40°，∵∠ACF=20°，∠ACB=50°，∴∠BCH=30°，∴∠BHC=180°﹣40°﹣30°=110°．9．（1）∵∠1+∠BCD=90°，∠1=∠B ∴∠B+∠BCD=90°∴△BDC是直角三角形，即CD⊥AB，∴CD是△ABC的高；的高；（2）∵∠ACB=∠CDB=90°∴S△ABC=AC •BC=AB•CD，∵AC=8，BC=6，AB=10，∴CD===10.∵∠B=26°，∠ACD=56°∴∠BAC=30°∵AE平分∠BAC ∴∠BAE=15°∴∠AED=∠B+∠BAE=41°11．（1）∵AD⊥BC于D，∴∠ADB=∠ADC=90°，∵∠ABC=40°，∠C=60°，∴∠BAD=50°，∠CAD=30°，∴∠BAC=50°+30°=80°，∵AE是∠BAC的平分线，的平分线，∴∠BAE=40°，∴∠DAE=50°﹣40°=10°．（2）AD是△ABE、△ABD、△ABC、△AED、△AEC、△ADC的高．的高．12．∵∠ABC=66°，∠ACB=54°，∴∠A=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=180°﹣66°﹣54°=60°．又∵BE是AC边上的高，所以∠AEB=90°，∴∠ABE=180°﹣∠BAC﹣∠AEB=180°﹣90°﹣60°=30°．同理，∠ACF=30°，∴∠BHC=∠BEC+∠ACF=90°+30°=120°．13．（1）∵在△ABC中，∠BAC=180°﹣∠C﹣∠B=180°﹣20°﹣60°=100°，又∵AE为角平分线，为角平分线，∴∠EAB=∠BAC=50°，在直角△ABD中，∠BAD=90°﹣∠B=90°﹣60°=30°，∴∠EAD=∠EAB﹣∠BAD=50°﹣30°=20°；（2）根据（1）可以得到：∠EAB=∠BAC=（180°﹣∠B﹣∠C）∠BAD=90°﹣∠B，则∠EAD=∠EAB﹣∠BAD=（180°﹣∠B﹣∠C）﹣（90°﹣∠B ）=（∠B﹣∠C）．14．∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC=60°，∴∠DAC=∠BAD=30°，∵CE是△ABC的高，∠BCE=40°，∴∠B=50°，∴∠ADB=180°﹣∠B﹣∠BAD=180°﹣30°﹣50°=100°15．（1）∵∠B=47°，∠C=73°，∴∠BAC=180°﹣47°﹣73°=60°，∵AD是△ABC的BC边上的高，边上的高，∴∠BAD=90°﹣47°=43°，∵AE是∠BAC的角平分线，的角平分线，∴∠BAE=∠BAC=30°，∴∠DAE=∠BAD﹣∠BAE=43°﹣30°=13°；（2））∵∠B=α°，∠C=β°，∴∠BAC=180°﹣α°﹣β°，∵AD是△ABC的BC边上的高，边上的高，∴∠BAD=90°﹣α°，∵AE是∠BAC的角平分线，的角平分线，∴∠BAE=∠BAC=（180°﹣α°﹣β°），∴∠DAE=∠BAD﹣∠BAE=90°﹣α°﹣（180°﹣α°﹣β°），=90°﹣α°﹣90°+α°+β°，=（β﹣α）°16．∵∠B=60°，∠C=45°，∴∠BAC=180°﹣60°﹣45°=75°，∵AD为∠BAC的角平分线，的角平分线，∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=37.5°，在△ABD 中，∠ADB=180°﹣∠BAD ﹣∠B=82.5°， 则∠ADC=180°﹣∠ADB=97.5°． 17．∵∠ACB=90°， ∴∠1+∠3=90°， ∵CD ⊥AB ， ∴∠2+∠4=90°，又∵BE 平分∠ABC ， ∴∠1=∠2， ∴∠3=∠4， ∵∠4=∠5， ∴∠3=∠5，即∠CFE=∠CEF．18．（1）在△ABC 中，∠BAC=180°﹣∠B ﹣∠C=180°﹣50°﹣80°=50°； ∵AD 是角平分线，是角平分线， ∴∠DAC=∠BAC=25°；在△ADC 中，∠ADC=180°﹣∠C ﹣∠DAC=75°； 在△ADE 中，∠DAE=180°﹣∠ADC ﹣AED=15°． （2）∠DAE=180°﹣∠ADC ﹣AED=180°﹣∠ADC ﹣90°=90°﹣∠ADC=90°﹣（180°﹣∠C ﹣∠DAC ）=90°﹣（180°﹣∠C ﹣∠BAC ）=90°﹣[180°﹣∠C ﹣（180°﹣∠B ﹣∠C ）]=（∠C ﹣∠B ）． （3）（2）中的结论仍正确．）中的结论仍正确．∠A ʹDE=∠B+∠BAD=∠B+∠BAC=∠B+（180°﹣∠B ﹣∠C ）=90°+∠B ﹣∠C ；在△DA ʹE 中，∠DA ʹE=180°﹣∠A ʹED ﹣∠A ʹDE=180°﹣90°﹣（90°+∠B ﹣∠C ）=（∠C ﹣∠B ）． 19．∵AB=6cm ，AD=5cm ，△ABD 周长为15cm ， ∴BD=15﹣6﹣5=4cm ， ∵AD 是BC 边上的中线，边上的中线， ∴BC=8cm ，∵△ABC 的周长为21cm ， ∴AC=21﹣6﹣8=7cm ． 故AC 长为7cm ． 20．（1）填写表格如下：）填写表格如下：∠BAC 的度数40° 60° 90°120° ∠BIC 的度数的度数 110°120°135°150°∠BDI 的度数110° 120° 135°（2）∠BIC=∠BDI ，理由如下：，理由如下：∵△ABC 的三条内角平分线相交于点I ， ∴∠BIC=180°﹣（∠IBC+∠ICB ） =180°﹣（∠ABC+∠ACB ） =180°﹣（180°﹣∠BAC ） =90+∠BAC ； ∵AI 平分∠BAC ， ∴∠DAI=∠DAE ． ∵DE ⊥AI 于I ， ∴∠AID=90°．∴∠BDI=∠AID+∠DAI=90°+∠BAC ． ∴∠BIC=∠BDI ．21．∵∠A=50°，∠C=60°∴∠ABC=180°﹣50°﹣60°=70°， 又∵AD 是高，是高， ∴∠ADC=90°，∴∠DAC=180°﹣90°﹣∠C=30°， ∵AE 、BF 是角平分线，是角平分线，∴∠CBF=∠ABF=35°，∠EAF=25°， ∴∠DAE=∠DAC ﹣∠EAF=5°，∠AFB=∠C+∠CBF=60°+35°=95°，∴∠BOA=∠EAF+∠AFB=25°+95°=120°， ∴∠DAC=30°，∠BOA=120°． 故∠DAE=5°，∠BOA=120°． 22．（1）∵AE 是中线，是中线， ∴BE=CE=BC ， （2）∵AD 是角平分线，是角平分线， ∴∠BAD=∠CAD=∠BAC ， （3）∵AF 是高，是高，∴∠AFB=∠AFC=90°，（4）S △ABC =，S △ABE =，∵BC=2BE，∴S△ABC=2S△ABE，故答案为CE，BC，∠CAD，∠BAC，∠AFC，2 23．∵BM是△ABC的中线，的中线，∴MA=MC，∴C△ABM﹣C△BCM=AB+BM+MA﹣BC﹣CM﹣BM =AB﹣BC=5﹣3=2cm．答：△ABM与△BCM的周长是差是2cm．24．方法1：由题意知：AB+AC+BC=34，AB+AD+BD=30，∵AB=AC，BD=BC，∴②×2得：2AB+2AD+BC=60③，③﹣①得：2AD=26，∴AD=13cm．方法2：∵AB=AC，D是中点，且AB+AC+BC=34，∴BD=BC，AB=（AB+AC），∴AB+BD=（AB+AC）+BC=（AB+AC+BC）=17cm （周长的一半）．∵AB+BD+AD=30cm，AD=30﹣17=13cm．25．能．．能．由题意知：△ABD的周长=AB+BD+AD，△ACD的周长=AC+CD+AD，又因为AD是BC边上的中线，边上的中线，所以BD=CD．∵△ABD的周长比△ACD的周长小5，∴AC+CD+AD﹣（AB+BD+AD）=AC﹣AB=5．即AC与AB的边长的差为5 26．∵AD是BC边上的中线，∴BD=DC，∵AC=AB，AD=AD，∴△ABD≌△ACD（SSS），∴∠ADB=∠ADC，∵∠ADB+∠ADC=180°，∴∠ADB=∠ADC=90°，∴AD⊥BC．27．错误．．错误．因为AD虽然是线段，但不符合三角形角平分线定义，这里射线AD是∠BAC的平分线．的平分线．28．∵AD是BC边上的中线，边上的中线，∴D为BC的中点，CD=BD．∵△ADC的周长﹣△ABD的周长=5cm．∴AC﹣AB=5cm．又∵AB+AC=11cm，∴AC=8cm．即AC的长度是8cm．29．∵AD是△ABC的中线，AE是△ACD的中线，的中线， ∴BD=CD=2DE=4cm，∴BE=BD+DE=6cm，∴BC=2BD=8cm．30．∵AD是△ABC中BC边上的中线，边上的中线，∴BD=DC=BC，∴△ABD和△ADC的周长的差=（AB+BC+AD）﹣（AC+BC+AD）=AB﹣AC=1．。
13.3 角的均分线的性质一、选择题 1．如图 1 所示 ，∠ 1=∠ 2，PD ⊥ OA ，PE ⊥ OB ，垂足分别为 D ，E ，则以下结论中错误的选项是 （ ）．A ． PD=PEB ．OD=OE C．∠ DPO=∠ EPO D ． PD=ODBEACPDEFOD ABDCA E B（ 1） (2) (3)2．如图 2 所示，在△ ABC 中， AB=AC ， AD 是△ ABC 的角均分线， DE ⊥AB ， DF ⊥ AC ，垂足分别是 E ，F ，则以下四个结论：① AD 上随意一点到C ，B 的距离相等；② AD 上随意一点到 AB ，AC 的距离相等；③ BD=CD ， AD ⊥ BC ；④∠ BDE=∠ CDF ，此中正确的个数是（ ）． A ．1个 B．2个 C ．3个 D． 4 个3．如图 3 所示，在 Rt △ ABC 中，∠ C=90°， AC=BC=1， AB=2 ，AD 在∠ BAC?的均分线上，DE ⊥ AB 于点 E ，则△ DBE 的周长为（ ）．A ．2B ．1+2C ． 2D．没法计算AAAEDC EFPOEBOFB BDC(4)(5)(6)4．如图 4 所示，已知∠ AOB ，求作射线 OC ，使 OC 均分∠ AOB ， ?作法的合理次序是（）．（ 1）作射线 OC ；（ 2）在 OA 和 OB 上，分别截取 OD ， OE ，使 OD=OE ； （ 3）分别以 D ， E 为圆心，大于1DE 的长为半径作弧，在∠ AOB 内，两弧交于点 C ．2A ．（ 1）（ 2）（ 3）B ．（ 2）（ 1）（ 3）C ．（ 2）（ 3）（ 1）D ．（ 3）（ 2）（ 1） 二、填空题1．（ 1）若 OC 为∠ AOB 的均分线，点 P 在 OC 上， PE ⊥OA ， PF ⊥ OB ，垂足分别为 E ，F ，则PE=________，依据是 ________________ ．（ 2）如图 5 所示，若在∠ AOB 内有一点 P ，PE ⊥ OA ，PF ⊥ OB ，垂足分别为 E ，F ，且 PE=PF ，则点 P 在 _______，依据是 ____________ ．2．△ ABC 中，∠ C=90°， AD均分∠ BAC，已知 BC=8cm，BD=5cm，则点 D?到 AB?的距离为 _______．3．如图 6 所示， DE⊥AB 于 E，DF⊥ AC 于点 F，若 DE=DF，只要O 增添一个条件， ?这个条件是 __________ ．4．以下图，∠ AOB=40°， OM均分∠ AOB， MA⊥ OA于 A， MB?⊥OB?于 B， ?则∠ MAB的度数为 ________．三、解答题1．以下图，AD是∠ BAC的均分线， DE⊥ AB 于 E， DF⊥ AC于 F，且 BD=CD，那么相等吗？为何？AN M BBE与 CFEBDA F C2．以下图，∠ B=∠ C=90°， M是 BC中点， DM均分∠ ADC，判断 AM?能否均分∠ DAB，说明原因．M DCA B3．以下图，已知 PB⊥ AB，PC⊥ AC，且 PB=PC，D是 AP 上一点，由以上条件能够获得∠BDP= ∠ CDP吗？为何？ADCBP研究应用拓展性训练1．（与现实生活联系的应用题）以下图，在一次军事演习中，?红方侦探员发现蓝方指挥部设在 A 区，到公路、铁路的交错处 B 点 700m．假如你是红方指挥员，?请你以下图的作图地图上标出蓝方指挥部的地点．BA区比率尺 1:200002．（研究题）已知：在△ABC中， AB=AC．（1）依据以下要求画出图形：①作∠BAC的均分线交 BC于点 D；②过 D作 DE⊥ AB，垂足为点 E；③过点 D作 DF⊥ AC，垂足为点 F ．（2）依据上边所画的图形，能够获得哪些相等的线段（AB=AC除外）？说明原因．3．以下图，在△ ABC中， P， Q?分别是 BC， AC上的点，作 PR⊥ AB， PS⊥ AC，垂足分别是R，S．若 AQ=PQ， PR=PS， ?下边三个结论① AS=AR，② QP∥ AR，③△ BRP≌△ CSP中，正确的是（）．A ．①和③B．②和③C．①和② C ．①，②和③BRPA Q S C、、答案 :一、1． D 分析：∵∠ 1=∠ 2， PD ⊥ OA 于 E ， PE ⊥ OB 于 E ，∴ PD=PE ．又∵ OP=OP ，∴△ OPE ≌△ OPD ．∴ OD=OE ，∠ DPO=∠ EPO ．故 A ，B ， C 都正确．2． D 分析：如答图，设点 P 为 AD 上随意一点，连接PB ，PC ．∵ AD 均分∠ BAC ，∴∠ BAD=∠ CAD ．又∵ AB=AC ， AP=AP ，∴△ ABP ≌△ ACP ，∴ PB=PC ． A故①正确．由角的均分线的性质知②正确．∵ AB=AC ，∠ BAD=∠ CAD ，AD=AD ，P∴△ ABD ≌△ ACD ．E F∴ BD=CD ，∠ ADB=∠ ADC ．BDC又∵∠ ADB+∠ ADC=180°， ∴∠ ADB=∠ ADC=90°， ∴ AD ⊥BC ，故③正确．由△ ABD ≌△ ACD 知，∠ B=∠ C ．又∵ DE ⊥ AB 于点 E ， DF ⊥AC 于点 F ，∴∠ BED=∠ CFD=90°，∴∠ BDE=∠ CDF ．故④正确．4． C 分析：∵ AD 均分∠ CAB ， AC ⊥ BC 于点 C ，DE ⊥ AB 于 E ，∴ CD=DE ．又∵ AD=AD ，∴ Rt △ACD ≌ Rt △ AED ，∴ AC=AE ． 又∵ AC=BC ，∴ AE=BC ，∴△ DBE 的周长为 DE+BD+EB=CD+BD+EB=BC+EB=AC+EB=AE+EB=AB= 2 ．提示：想法将 DE+BD+EB 转成线段 AB ．5． C二、 1．（ 1） PF 角均分线上的点到角的两边的距离同样（ 2）∠ AOB 的均分线上 到角的两边距离相等的点在角的均分线上2．分析：以下图，AD 均分∠ CAB ， DC ⊥ AC 于点 C ， DM ⊥AB 于点 M ．∴ CD=DM ，∴ DM=CD=BC-BD=8-5=3．答案： 3C提示：利用角的均分线的性质．D3． AD 均分∠ BAC ．4．分析：∵ OM 均分∠ AOB ，∴∠ AOM=∠ BOM=AOB=20°．AMB2又∵ MA ⊥ OA 于 A ， MB ⊥ OB 于 B ，∴MA=MB．∴Rt △OAM≌ Rt△ OBM，∴∠ AMO=∠ BMO=70°，∴△ AMN≌△ BMN，∴∠ ANM=∠ BNM=90°，∴∠ MAB=90° -70 ° =20°．答案： 20°三、 1．分析： BE=CF．∵AD均分∠ BAC， DE⊥ AB于点 E， DF⊥ AC于点 F，∴DE=DF．又∵ BD=DC，∴ Rt△ BDE≌Rt △ CDF，∴ BE=CF．提示：由角的均分线的性质可知DE=DF，进而为证△ BDE≌△ CDF供给了条件．2．分析： AM均分∠ DAB．原因：如答图13-9 所示，作 MN⊥ AD于点 N，∵ DM均分∠ CDA，MC ⊥ DC于点 C，MN⊥ AD于点 N，∴MC=MN．又∵ M是 BC的中点，∴ CM=MB，∴MN=BM，∴ AM均分∠ DAB．3．分析：能够．∵ PB⊥AB于点 B， PC⊥ AC于点 C，且 PB=PC，D CNM A B∴AP均分∠ BAC，∴∠ BAP=∠CAP．在 Rt△ ABP和 Rt△ ACP中，PB=PC ， AP=AP，∴Rt △ABP≌ Rt△ ACP，∴ AB=AC．在△ ABD与△ ACD中，AB=AC ，∠ BAP=∠CAP， AD=AD，∴△ ABD≌△ ACD，∴∠ ADB=∠ ADC，∴∠ BDP=∠ CDP．研究应用拓展性训练1．如答图所示．分析：由题意可知，蓝方指挥部P 应在∠MBN的均分线上．又∵比率尺为1： 20000，∴ P 离 B 为 3． 5cm．提示：到角的两边距离相等的点在角的均分线上．2．（ 1）分析：按题意绘图，如答图13-11 ．（2）能够获得 ED=FD， AE=AF， BE=CF，BD=CD．原因以下：∵ AB=AC，∠ 1=∠ 2， AD=AD，∴△ ABD≌△ ACD，∴ BD=DC．∵∠ 1=∠2， DE⊥AB 于点 E， DF⊥ AC于点 F，∴DE=DF．A1 2E F BD C又∵ AD=AD，∴Rt △AED≌ Rt△ AFD，∴ AE=AF，∴AB-AE=AC-AF，即 BE=CF．提示：正确地画出图形是解决问题的重点，另三角形全等来找寻相等的线段．3． C分析：如答图所示，连接AP．∵PR⊥AB于点 R， PS⊥ AC于点 S， PR=PS，∴ AP均分∠ BAC，∴∠ 1=∠2．又∵ AQ=QP，∴∠ 2=∠ 3，∴∠ 1=∠ 3，∴ PQ∥ AR．在 Rt △APR和 Rt△ APS中，外此题主要应用角的均分线的性质及BRP312PR=PS ， AP=AP，A Q S C ∴Rt △APR≌ Rt△ APS，∴ AR=AS．而△ BRP与△ CSP不具备三角形全等的条件，故①②正确．提示：此题的打破口是判断出点P 在∠ BAC的均分线上．。
人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质考试复习题（含答案)在Rt△ABC中，△ACB=90°，BC=2cm，CD△AB，在AC上取一点E，使EC=BC，过点E作EF△AC交CD的延长线于点F，若EF=5cm，则AE=cm．【答案】3．【解析】∵∵ACB=90°，∵∵ECF+∵BCD=90°．∵CD∵AB，∵∵BCD+∵B=90°．∵∵ECF=∵B，在∵ABC和∵FEC中，∵∵ECF=∵B，EC=BC，∵ACB=∵FEC=90°，∵∵ABC∵∵FEC（ASA）．∵AC=EF．∵AE=AC﹣CE，BC=2cm，EF=5cm，∵AE=5﹣2=3cm．82．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是角平分线，DE∠AB于E，且DE=3 cm，BD=5 cm，则BC=_________ cm。
【答案】8【解析】试题解析：∵CD⊥AC，DE⊥AB，AD平分∠BAC，∴CD=DE=3，BC=CD+BD=3+5=8cm．83．已知∠ABC＝30°，BD是∠ABC的平分线，则∠ABD＝________.【答案】15°【解析】角平分线的定义。
根据角平分线的定义解答：∵∵ABC=30°，BD是∵ABC的平分线，∵∵ABD=12∵ABC=12×30°=15°。
84．如图所示,在△ABC中,∠C=90°,∠CAB=50°.按以下步骤作图:①以点A为圆心,小于AC的长为半径画弧,分别交AB,AC于点E,F;②分别以点E,F为圆心,大于12EF的长为半径画弧,两弧相交于点G;③作射线AG交BC边于点D．则∠ADC的度数为.【答案】65°【解析】【分析】根据已知条件中的作图步骤知，AG是∠CAB的平分线，根据角平分线的性质解答即可．【详解】根据已知条件中的作图步骤知，AG是∠CAB的平分线，∵∠CAB=50°，∴∠CAD=25°；在△ADC中，∠C=90°，∠CAD=25°，∴∠ADC=65°（直角三角形中的两个锐角互余）；故答案是：65°．85．如图，在Rt∠ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC ＝15，且BD∠DC＝3∠2，则D到边AB的距离是_________．【答案】6．【解析】【分析】【详解】试题分析：过点D作DE⊥AB于点E，⊥在直角⊥ABC中，⊥C=90°，AD平分⊥BAC，⊥CD=DE⊥BD：CD=3：2，BC=15⊥CD=6，⊥DE=6．故答案为6．考点：角平分线的性质∠，BC=9cm，BD=6cm，86．如图，在ABC中，90∠=，AD平分CABC那么点D到直线AB的距离是cm【答案】3【解析】CD=BC-BD=3cm，根据角平分线上的点到角两边的距离相等87．如图，AB//CD,CE平分∠ACD，若∠1=250，那么∠2的度数是 .【答案】500【解析】解：如图，∵AB∥CD，CE平分∠ACD，∠1=25°，∴∠2=∠1+∠3，∵∠1=∠3=25°，∴∠2=25°+25°=50°88．如图，P是∠AOB的平分线上的一点，PC∠AO于C，PD∠OB于D，写出图中一组相等的线段__________（只需写出一组即可）【答案】PC=PD【解析】解：∵OP平分∵AOB，PC∵OA，PD∵OB，∵PC=PD（角平分线性质）．故填PC=PD．89．如图，在△ABC中，,AD平分,BC=8,BD=5,那么CD=________,点D到线段AB的距离是________.【答案】3；3【解析】考点：角平分线的性质．分析：首先过点D作DE∵AB于点E，由在∵ABC中，∵C=90°，AD平分∵CAB，根据角平分线的性质，可得DE=CD，又由BC=8，BD=5，即可求得答案．解：过点D作DE∵AB于点E，∵在∵ABC中，∵C=90°，AD平分∵CAB，∵DE=CD，∵BC=8，BD=5，∵CD=BC-BD=3，∵DE=CD=3，即点D到线段AB的距离是3．故答案为3，3．90．如图所示，在∠ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，AD＝2 cm，则点D到BC的距离为________cm．【答案】2【解析】【分析】【详解】解：根据角平分线性质：角平分线上的点到角的两边距离相等，则点D到BC的距离为2cm故答案为：2．【点睛】本题考查角平分线的性质．。
同步习题及讲解一、选择题．1．如图6，AC⊥BC，DE⊥AB，AD平分∠BAC，下面结论错误的是（）．A．BD+ED=BC B．DE平分∠ADB C．AD平分∠EDC D．ED+AC>AD2．如图7：△ABC中，∠C=90°，E是AB中点，D在∠B的平分线上，DE⊥AB，则（）． A．BC>AE B．BC=AE C．BC<AE D．以上全不对3．下列命题正确的是（）．A．三角形的一个外角等于两个内角和 B．三角形的一个外角大于任何一个内角C．有两边和一角对应相等的两个三角形全等 D．有两边对应相等的两个直角三角形全等二、证明题．4．如图，AD是∠BAC的角的平分线，DB⊥AB，DC⊥AC，B、C是垂足，那么EB与EC•的关系是怎样的呢？请证明你的结论．5．如图，在△ABC中，外角∠CBD和∠BCE的平分线交于F，那么点F是否在∠DAE的平分线上？请证明你的结论．三、探索题:6．△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是角的平分线，探索：在AB上是否存在点E，DE•不与AB垂直，而△BDE之周长等于AB的长．若点E存在，请你出证明；若点E不存在，请说明理由．四、聚焦中考:7．下面是一个正确的命题：在下图中，如果BD⊥AC，CE⊥AB，CE与BD相交于点O，并且BO=CO，那么∠1=∠2，如果把上面的命题中的“BO=CO”改为结论，把“∠1=∠2”移入条件，所得到的命题是正确的命题，还是不正确的命题？请给出证明：如果是不正确的命题，则举出反例．答案:一、1．B 2．B 3．D二、4．提示：∵∠BAD=∠CAD，AD=AD，∠DBA=∠DCA，∴△ABD≌△ACD，∴∠ADB=∠ADC，BD=DC，又∵DE=DE，∴△BDE≌△CDE，∴BE=EC5.过F作FM⊥AD于M，作FN⊥AE于N，作FP⊥BC于P，∵BF是∠DBC平分线，•∴FM=FP，同理FN=FP，∴FM=FN，∴F在∠DAE平分线上．三、6.不存在，作DH⊥AB于H，设点F在AB上，且AF=BD，点E是HB上任一点，有FE=FH+HE，又可证得DH=DC，△BDE的周长等于AB的长，由三角形三边关系得FE=•EH+•DH>DE，所以“周长”BD+DE+EB<EB+AF+DH+HE=AB，同样可证：AH•上任一点也不满足题目要求．四、7．是正确命题，可先用“AAS”证△AOE≌△AOD，再证△DEG≌△DFH．。
2023--2024学年度人教版数学八年级上册期末复习核心考点三种题型精炼专题06 角的平分线性质问题一、选择题1. （2023湖南张家界）如图，已知直线AB CD P ，EG 平分BEF Ð，140Ð=︒，则2Ð的度数是（ ）A. 70︒B. 50︒C. 40︒D. 140︒【答案】A 【解析】根据平行线的性质可得140EFG ︒Ð=Ð=， 180EFG BEF Ð+Ð=︒，EGF BEG Ð=Ð，推得140BEF Ð=︒，根据角平分线的性质可求出BEG Ð的度数，即可求得2Ð的度数．∵AB CD P ，∴140EFG ︒Ð=Ð=，180EFG BEF Ð+Ð=︒，EGF BEG Ð=Ð，∴18040140BEF Ð=︒-︒=︒，又∵EG 平分BEF Ð，∴1702BEG BEF Ð=Ð=︒，∴027BEG =Ð=︒Ð故选：A ．【点睛】考查平行线的性质和角平分线的性质．掌握平行线的性质和角平分线的性质是解决本题的关键．2.如图，CE 是△ABC 的外角∠ACD 的平分线，若∠B=35°，∠ACE=60°，则∠A=（ ）A ．35°B ．95°C ．85°D ．75°【答案】C ．【解析】本题考查了三角形外角性质，角平分线定义的应用，注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．根据三角形角平分线的性质求出∠ACD ，根据三角形外角性质求出∠A 即可．∵CE 是△ABC 的外角∠ACD 的平分线，∠ACE=60°∴∠ACD=2∠ACE=120°∵∠ACD=∠B+∠A∴∠A=∠ACD ﹣∠B=120°﹣35°=85°3.如图，△ABC 中，AD 为△ABC 的角平分线，BE 为△ABC 的高，∠C=70°，∠ABC=48°，那么∠3是（ ）A.59°B.60°C.56°D.22°【答案】A ．【解析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，高线的定义，熟记概念与定理并准确识图是解题的关键．根据高线的定义可得∠AEC=90°，然后根据∠C=70°，∠ABC=48°求出∠CAB ，再根据角平分线的定义求出∠1，然后利用三角形的内角和等于180°列式计算即可得解。
12.3 角的平分线的性质 同步测试基础闯关全练知识点一 作已知角的平分线1．用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，如图12 -3-1，则说明∠CAD= ∠DAB 的依据是 ( )A.SSSB.SASC.ASAD.AAS2．作∠AOB 的平分线时，以O 为圆心，某一长度为半径作弧，与OA ，OB 分别相交于C ，D ，然后分别以C ，D 为圆心，适当的长度为半径作弧，使两弧相交于一点．则这个适当的长度为 ( )A ．大于21CDB ．等于21CD c ．小于21CD D ．以上都不对 知识点二角平分线的性质3．如图12 -3-2，已知BG 是∠ABC 的平分线，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥BC 于点F ，DE=6．则DF 的长度是 ( )A.2B.3C.4D.64．如图12-3-3，在Rt △ABC 中，∠C= 90°，以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC 、AB 于点M 、N ，再分别以点M 、N 为圆心，大于21MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP 交BC 于点D ，若CD=5，AB=18，则△ABD 的面积是 ( )A.15 B ．30 C.45 D ．605．如图12-3-4，BD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB 于点E ，若BC=5，△BCD 的面积为5，则DE= ( ) A.21 B.1 C.2 D.56．如图12-3-5．在△ABC 中，∠ACB= 90°．AD 是△ABC 的角平分线，BC= 10 cm ，BD ：DC=3:2．则点D 到AB 的距离为 .7.如图12-3-6，已知点O 在∠BAC 的平分线上，BO ⊥AC ，CO ⊥AB ，垂足分别为D 、E ，求证：OB= OC.知识点三 角平分线的判定8．如图12-3 -7，已知点P 到BE 、BD 、AC 的距离恰好相等，则点P 的位置：①在∠B的平分线上：②在∠DAC 的平分线上；③在∠ECA 的平分线上；④恰在∠B ，∠DAC ，∠ECA 的平分线的交点处，上述结论中，正确的有 ( )A.1个B.2个C.3个D.4个9．如图12 -3-8．PM ⊥OA ．PN ∠OB ，垂足分别为点M ，N ，PM =PN,∠BOC= 30°．则∠AOB= .10.如图12-3-9，BE= CF ，DE ⊥AB ，交AB 的延长线于点E ，DF ⊥AC 于点F ，且DB= DC.求证：AD 是∠BAC 的平分线．知识点四 证明几何文字命题的一般步骤11.求证：三角形的互为同旁内角的两个外角的平分线的交点到三角形三边（或所在直线）的距离相等．能力提升全练1．如图12 -3 -10．△ABC 的三边AB ，BC ，AC 的长分别为12，18，24，O 是△ABC 三条角平分线的交点，则S S S OAC OBC OAB △△△::= ( )A.1 : 1 : 1B.1 : 2 : 3C.2 : 3 : 4D.3 : 4 : 52．如图12 -3 - 11，△ABC 的外角的平分线BD 与CE 相交于点P ，若点P 到AC 的距离为3，则点P 到AB 的距离为 ( )A.1B.2C.3D.43．如图12 -3 - 12，在△ABC 中，点O 是△ABC 内一点，且点O 到△ABC 三边的距离相等，若∠A=70°．则∠BOC 的度数为 ( )A.35°B.125°C.55°D.135° 三年模拟全练 一、选择题1．如图12 -3 -13，在△ABC 中，AD 是角平分线，DE ⊥AB 于点E ．△ABC 的面积为15，AB=6，DE=3．则AC 的长是 ( ) A.8 B.6 C.5 D.42．如图12 -3 -14，在△ABC 中，点D 在边BC 上，若∠BAD=∠CAD ，AB=6，AC=3,S ABD △=3，则S ACD △= ( )A. 3B. 6C.23D.293．如图12 -3 - 15，已知AB ∥CD ，AD ⊥DC ，AE ⊥BC 于点E ，∠DAC= 35°，AD=AE ，则∠B 等于 ( )A.50°B.60°C.70°D.80° 三，解答题4．如图12 -3 - 16，四边形ABCD 中，∠B= 90°，AB ∥CD ，M 为BC 边上一点，且AM平分∠BAD ，DM 平分∠ADC.求证：(1)AM ⊥DM ；(2)M 为BC 的中点.五年中考全练 选择题1．如图12 -3 -17，∠B= ∠C=90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC ，且∠ADC= 110°，则∠MAB= ( )A.30°B.35°C.45°D.60°2．如图12 -3 - 18，OP 为∠AOB 的平分线，PC ⊥ OA ，PD ⊥OB ，垂足分别是C 、D ，则下列结论错误的是 ( )A.PC=PDB.∠CPO=∠DOPC.∠CPO= ∠DPOD.OC=OD3．如图12 -3 -19，AB ∥CD ，BP 和CP 分别平分∠ABC 和∠DCB ．AD 过点P ．且与AB垂直，若AD=8，则点P 到BC 的距离是 ( )A.8B.6C.4D.2 核心素养全练1．本节课我们知道了角的平分线有以下性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．从而小芳产生了以下的想法：如图12 -3 - 20．已知△ABC 中，AD 平分∠BAC ，那么AB ：AC= BD ：CD 成立吗？若成立，请尝试证明．2．如图12 -3 -21，在△ABC 中，∠B= ∠C ，D 是BC 边上的一动点，过点D 作DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ．当点D 移动到什么位置时，AD 恰好平分∠BAC?请说明理由．12.3角的平分线的性质基础闯关全练1.A从角平分线的作法得出，△AFD与△AED的三边对应相等，则△AFD≌△AED( SSS)，所以∠CAD= ∠DAB.故选A．2.A适当的长度为大于21CD．3.D ∵BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，∴DF=DE=6．故选D．4.C作DE⊥AB于E，由题意知AD是△ABC的角平分线，∵∠C= 90°，DE⊥AB，∴DE=DC=5．∴△ABD的面积=21AB·DE=45，故选C．5.C作DF⊥BC交BC的延长线于F．∵BC=5．△BCD的面积为5，∴21BC·DF=5，∴DF：2，∵BD平分∠ABC,DE⊥AB,DF⊥BC,∴DE=DF=2，故选C．6．答案4 cm解析∵BC= 10 cm,BD：DC=3：2，∴DC=4 cm,∵AD是△ABC的角平分线，∠ACB= 90°，∴点D到AB的距离等于DC的长，即点D到AB的距离等于4 cm.7.∴证明∵点O在∠BAC的平分线上，BO⊥AC,CO⊥AB, ∴OE=OD,∠BEO= ∠CD0=90°.在△BEO和△CDO中，∵∴△BEO≌△CDO( ASA)，∴O B=OC．8.D点P到BE、BD、AC的距离恰好相等，根据角平分线的判定可知①②③④都是正确的．9．答案60°解析∵PM⊥OA，PN⊥OB，PM =PN，∴∠AOC= ∠BOC=30°．∴∠AOB= 60°．10.证明∵DE⊥AB．DF⊥AC，∴∠AED= ∠CFD=90°．又∵DB =DC．BE= CF．∴Rt△BED≌Rt ACFD( HL).∴DE =DF．又∵DE⊥AB．DF⊥AC．∴AD是∠BAC的平分线．11.证明已知：如图，BD为△ABC的外角∠CBG的平分线，CE为△ABC的外角∠BCH 的平分线，BD、CE相交于点P求证：点P到△ABC的三边（或所在直线）的距离相等，证明：如图，过点P作PF⊥BC，PM⊥AC，PN⊥AH，垂足分别为F，M．N．∵PF⊥BC，PM⊥AG，且BD平分上CBG，∴PF=PM．同理，PF=PN，∴PF=PM=PN，即点P到△ABC的三边（或所在直线）的距离相等．能力提升全练1．C ∵O是△ABC三条角平分线的交点，AB，BC，AC的长分别为12,18,24,∴SSS OACOBCOAB△△△::=AB：CB：AC= 12: 18：24=2：3：4故选C2.C如图，过P作PQ⊥AC于Q，PW⊥BC于W，PR⊥AB于R，∵△ABC的外角的平分线BD与CE相交于点P，∴PQ=PW，PW=PR，∴PR=PQ，∵点P到AC的距离为3，即PQ=3，∴PR=3．即点P到AB的距离为3．3.B ∵∠A= 70°,∴∠ABC+∠ACB=180°-70°=110°,∵点O到△ABC三边的距离相等，∴BO平分∠ABC,CO平分∠ACB,∴∠OBC+ ∠OCB=21×( ∠ABC+∠ACB)= 550,∴∠BOC=180°-55°=125°，故选B．三年模拟全练一、选择题1.D过点D作DF⊥AC于F．如图，∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∴DE=DF=3，∴S ABC△=21×6×3+21AC×3= 15,解得AC=4．故选D．2.C如图，过D作DP⊥AC交AC的延长线于P,DQ∠AB于Q，∵∠BAD=∠CAD,∴DP=DQ,∵S ABD△=21AB·DQ=21×6·DQ=3,∴DQ=1，∴DP=1，∴S ACD△=21AC·DP=23，故选C．3.C ∵AD⊥DC,AE⊥BC,AD=AE,∴CA平分∠BCD, ∵∠DAC=35°,AD⊥DC,∴∠ACD=90°-35°=55°,∴∠BCD=2∠ACD=2×55°=110°,∵AB∥CD,∴∠B=180°-∠BCD=180°-110°=70°.故选C．二、解答题4．证明(1)∵AB∥CD，∴∠BAD+∠ADC=180°, ∵AM平分∠BAD ,DM平分∠ADC,∴2∠MAD+2 ∠ADM= 180°,∴∠MAD+ ∠ADM= 90°,∴∠AMD= 90°,即AM⊥DM.(2)如图，过M作MN⊥AD,交AD于N，∵∠B=90°,AB∥CD,∴BM⊥AB, CM⊥CD,∵AM平分∠BAD,DM平分∠ADC,∴BM =MN ,MN= CM，∴BM=CM．即M为BC的中点.五年中考全练选择题1.B 如图，作MN⊥AD于N，∵∠B= ∠C=90°, ∴AB∥CD,∴∠DAB=180°-∠ADC=70°,∵DM平分∠ADC,MN⊥AD,MC⊥CD,∴MN=MC，∵M是BC的中点，∴MC=MB，∴MN=MB，又MN⊥AD,MB⊥AB,∴∠MAB=21∠DAB=35°，故选B．2.B A．由角平分线上的点到角两边的距离相等，得PC= PD,故A中结论正确；B.∵DP为∠AOB的平分线，∴∠COP= ∠DOP,∵∠COP≠∠CPO,∴∠CPO≠∠DOP,故B中结论错误；C.∵PC⊥OA,PD⊥OB,∴∠PCO= ∠PDO=90°,∵∠COP= ∠DOP,OP=OP,∴△COP≌△DOP( AAS),∴∠CPO= ∠DPO,故C中结论正确； D.∵△COP≌△DOP,∴OC=OD,故D中结论正确．故选B．3.C 如图，过点P作PE⊥BC于E，∵AB∥CD, PA⊥BA,∴PD⊥CD,∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB,∴PA=PE,PD=PE,∴PE=PA=PD，∵PA +PD =AD=8，∴PA= PD=4，∴PE =4．故选C．核心素养全练1．解析成立．在图1中作DE⊥AB,DF⊥AC，垂足分别为E,F,∵AD平分∠BAC，∴DE=DF，∵S ABD△=21AB·DE，SACD△=21AC·DF,∴SABD△:S ACD△=AB:AC.在图2中作AP⊥BC，垂足为P, ∴S ABD△=21BD·AP,SACD△=21CD·AP,∴S ABD△:S ACD△=BD:CD.∴AB：AC=BD：CD.2．解析当点D移动到BC的中点时．AD恰好平分∠BAC. 理由：当D是BC的中点时，BD= CD.∵DE⊥AB.DF⊥AC.∴∠DEB= ∠DFC=90°.又∵∠B=∠C，BD= CD，∴△DEB≌△DFC( AAS).∴DE =DF.又∵DE⊥AB．DF⊥AC,∴AD平分∠BAC.。
