初三中考数学角平分线

【中考数学必备专题】几何辅助线大揭秘之角
平分线问题
一、证明题(共3道，每道40分)
1.已知，如图，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F.求证：点F在∠DAE的平分线上.
答案：∵BF是∠CBD的平分线∴FG=FI ∵CF是∠BCE的平分线∴FH=FI ∴FG=FH ∴点F在∠DAE的平分线上
解题思路：过F作FG⊥AD于点G，FH⊥AE于点H，FI⊥BC于点I，如图只要证明FG=FH即可
试题难度：三颗星知识点：三角形角平分线
2.如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，∠B=2∠C.求证：AC=AB+BD.
答案：∵AD是∠BAC的平分线∴∠BAD=∠EAD 在△ABD和△AED中AB=AE ∠BAD=∠EAD AD=AD ∴△ABD≌△AED（SAS）∴BD=ED，∠B=∠AED ∵∠AED=∠B=2∠C ∴∠CDE=∠AED ﹣∠C=∠C ∴DE=CE ∴BD=CE ∵AC=AE+CE ∴AC=AB+BD
解题思路：在AC上截取AE=AB，连接DE，如图只要证明BD=CE即可
试题难度：三颗星知识点：三角形角平分线
3.已知：如图，在△ABC中，BE平分∠ABC，AD⊥BE，垂足为点D.求证：∠BAD=∠DAE+∠C.
答案：∵BE平分∠ABC，AD⊥BE ∴△ABF为等腰三角形（三线合一）∴∠BAD=∠BFD ∵∠BFD 为△ACF的外角∴∠BFD=∠DAE+∠C ∴∠BAD=∠DAE+∠C
解题思路：延长AD与BC交于点F，如图只要证明∠BFD=∠BAD即可
试题难度：三颗星知识点：三角形角平分线。

三角形的角平分线1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝10，AD平分∠BAC交BC于点D，且BD∶CD＝3∶2，则点D到线段AB的距离为( )A. 3B. 4C. 5D. 62. 如图，已知DB⊥AN于点B，交AE于点O，OC⊥AM于点C，且OB＝OC，若∠EAN＝25°，则∠ADB等于( )A. 40°B. 50°C. 60°D. 75°3. 如图，AB∥CD，AD⊥DC，AE⊥BC，垂足分别为D，E，∠DAC＝35°，AD＝AE，则∠B等于( )A．50° B．60° C．70° D．80°4. 如图，在△ABC中，∠B＝30°，AD平分∠BAC，DE垂直平分AB，垂足为E，若BD＝6cm，则CD等于( )A. 1cmB. 2cmC. 3cmD. 5cm5. 如图，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝3.若△ABC 的周长是22，则△ABC的面积是( )A. 28B. 30C. 32D. 336. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB，AC于点M和N，再分别以M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是( )①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC＝60°；③点D在AB的垂直平分线上；④S△DAC∶S△ABC＝1∶3.A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7. 如图，AB∥CD，AD⊥DC，AE⊥BC，垂足分别为D，E，∠DAC＝35°，AD＝AE，则∠B等于( )A．50° B．60° C．70° D．80°8. 如图，O为△ABC内任意一点，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，OF⊥BC于点F，若OD＝OE＝OF，连接OA，OB，OC，下列结论不一定正确的是( )A．△BOD≌△BOF B．∠OAD＝∠OBF C．∠COE＝∠CO F D．AD＝AE 9. 如图，在△ABC中，∠ABC＝120°，∠C＝26°，且DE⊥AB，DF⊥AC，DE ＝DF，则∠ADC的度数为____．10. 如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA＝2，则PQ的最小值为11. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE＝1，则BC=12. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线．若CD＝3cm，则BD的长为____cm.13. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB 于点E，且AB＝6cm，则△BED的周长是____ cm.14. 如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，点D在BC上，DE⊥AB于点E，DF⊥AC 于点F，且DE＝DF，若DE＝4，则AD＝____．15. 在△ABC中，∠C＝90°，O为△ABC三条角平分线的交点，OD⊥BC于点D，OE⊥AC于点E，OF⊥AB于点F，且AB＝10 cm，BC＝8 cm，AC＝6 cm，则点O到三边AB，AC，BC的距离分别为 cm， cm， cm 16. 如图，∠AOE＝∠BOE＝15°，EF∥OB，EC⊥OB，若EC＝1，则EF＝____．17. 如图，△ABC是等边三角形，P是∠ABC的平分线上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q.若BF＝2，则PE的长为18. 如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E，F，BE，CF相交于点D，若BD＝CD，求证：AD平分∠BAC.19. 如图，已知BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在射线BD上，PM⊥AD 于点M，PN⊥CD于点N.求证：PM＝PN.20. 如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，求AC的长．参考答案：11 1---8 BACCD DCB9. 137°10. 211. 312. 613. 614. 815. 2 2 216. 2 17. 318. 解：在△BDF 和△CDE 中，∠BFD ＝∠CED ＝90°，∠FDB ＝∠EDC ，BD ＝CD ，∴△BDF ≌△CDE(AAS)，∴DF ＝DE ，又∵DF ⊥AB ，DE ⊥AC ，∴AD 平分∠BAC19. 解：在△ABD 和△CBD 中，AB ＝CB ，∠ABD ＝∠CBD ，BD ＝BD ，∴△ABD ≌△CBD(SAS)，∴∠ADB ＝∠CDB ，又∵∠ADB ＋∠ADP ＝∠CDB ＋∠CDP ＝180°，∴∠ADP ＝∠CDP ，∴DP 平分∠ADC ，又∵PM ⊥AD ，PN ⊥CD ，∴PM ＝PN20. 解：过点D 作DF⊥AC，∵AD 是∠BAC 平分线，DE ⊥AB ，∴DF ＝DE ＝2，∵S △ABD ＝4×22＝4，∴S △ACD ＝7－4＝3， ∴2AC 2＝3，即AC ＝3。

N M O A B PPO N M B A角平分线四大模型专题知识解读【专题说明】角平分线在几何中占有重要地位，是解决许多问题的桥梁和纽带，角平分线把一个角分成相等的两个部分，其“轴承对称功能”衍生出“角平分线上的点到角两边的距离相等”以及“等腰三角形三线合一”、“三角形的内心到三边的距离相等”等性质，而角平分线与平行线相结合构造出等腰三角形，也常在解题中给我们带来帮助，本专题介绍四种常考解题方法。

【方法技巧】模型1 角平分线上的点向两边作垂线如图，P 是∠MON 的平分线上一点，过点P 作PA ⊥OM 于点A ，PB ⊥ON 于点B 。

结论：PB=PA 。

【模型分析】利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口。

模型2 截取构造对称全等如图，P 是∠MON 的平分线上一点，点A 是射线OM 上任意一点，在ON 上截取OB=OA ，连接PB 。

结论：△OPB ≌△OPA 。

【模型分析】P O N M B AQP O N M 利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等。

利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。

模型3 角平分线+垂线构造等腰三角形如图，P 是∠MO 的平分线上一点，AP ⊥OP 于P 点，延长AP 于点B 。

结论：△AOB 是等腰三角形。

【模型分析】构造此模型可以利用等腰三角形的“三线合一”，也可以得到两个全等的直角三角形，进而得到对应边、对应角相等。

这个模型巧妙地把角平分线和三线合一联系了起来。

模型4 角平分线+平行线如图，P 是∠MO 的平分线上一点，过点P 作PQ ∥ON ，交OM 于点Q 。

结论：△POQ 是等腰三角形。

【模型分析】有角平分线时，常过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形，为证明结论提供更多的条件，体现了角平分线与等腰三角形之间的密切关系。

中考数学专题复习题：角平分线一、单项选择题（共7小题）1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N．再分别以点M，N为圆心，大于1MN的长为半径画弧，两弧交于点P，2作射线AP交边BC于点D，若CD＝4，AB＝12，则△ABD的面积是（）A．12B．24C．36D．48第1题图第2题图第3题图2．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，若AD=2，BC=6，则△DBC的面积是（）A．12B．8C．6D．23．如图，在△ABC中，BD，CD分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，过点D作DE⊥BC于点E．已知DE=1，△ABC的周长为14，则△ABC的面积为（）A．7B．14C．8D．164．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于1MN的长为半径画弧，两弧交于点P，2连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（）①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④BD=2CD．A．4B．3C．2D．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，按以下步骤作图：①以B为圆心，任意长为半径作弧，分别交BA、BC于M、N两点；②分别以M、N为圆心，以大于1MN的长为半2径作弧，两弧相交于点P；③作射线BP，交边AC于D点，若AB=5,BC=3，则线段CD的长为（）A．32B．53C．43D．85第5题图第6题图第7题图6．如图，点D是△ABC的边BC上一点，连接AD，△ABD与△ACD的面积比是5:4，AB=10，AC=8，∠BAC=50°，则∠BAD的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．35°7．如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，若BC=18，DE=8，则△BCE的面积等于（）A．36B．54C．63D．72二、填空题（共5小题）8．已知：如图，在ΔABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=9cm，BD=6cm，那么AB的长是________．9．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC于E，若BC＝12，则△DEC的周长为________．10．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，按下列方式作图：①以点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，BC于点F，G；②分别以点F，G为圆心，大于12FG的长度为半径画弧，两弧交于点H；③作射线CH交AB于点E，若AE=3，BC=7，则△BEC的面积为________．第10题图第11题图11．如图所示，已知△ABC的周长是30，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，则△ABC的面积是________．12．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D．若BD：DC=3：2，点D到AB的距离为6，则BC的长是________．三、解答题（共513．如图，请在△ABC内确定一点O，使得点O到△ABC的两边AB，AC的距离相等，且点O到A、B两点的距离相等．14．如图所示，在△ABC外作△ABD和△ACE，使AD=AB，AE=AC，且∠DAB=∠EAC=α，连接BE，CD相交于P点．（1）求证：△ADC≌△ABE．（2）∠DPB=________（用含α的代数式表示）．（3）求证：点A在∠DPE的平分线上．15．如图，BD//GE，∠AFG=∠1=50°，AQ平分∠FAC，交BD的延长线于点Q，交DE于点H，∠Q=15°，求∠CAQ的度数．16．如图所示，已知射线CB∥OA，∠C＝∠OAB＝120°，E、F在CB上，且满足∠FOB＝∠AOB，OE平分∠COF．（1）求∠EOB的度数．（2）若平行移动AB，那么∠OBC：∠OFC的值是否随之变化？若变化，请找出规律；若不变，求出这个比值．（3）在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC＝∠OBA？若存在，求出∠OEC度数；若不存在，请说明理由．17．数学活动：探究利用角的对称性构造全等三角形解决问题，利用角平分线构造“全等模型”解决问题，事半功倍．【问题提出】（1）尺规作图：如图1，用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，说明∠CAD=∠DAB的依据是△AFD≌△AED，这两个三角形全等的判定条件是________．【问题探究】（2）①构距离，造全等如图2，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°,∠BAD和∠CDA的平分线AE,DE交于边BC 上一点E．过点E作EF⊥AD于点F．若BC=12cm，则EF=________cm．②巧翻折，造全等如图3，在△ABC中，AB<AC,AD是△ABC的角平分线，请说明∠B>∠C；小明在AC上截取AE=AB．连接DE，则△ABD≌△AED(SAS)．请继续完成小明的解答．【问题解决】（3）如图4，在△ABC中，∠A=60°,BE,CF是△ABC的两条角平分线，且BE,CF交于点P．请判断PE与PF之间的数量关系，并说明理由．。

专题08 角平分线的重要模型（二）非全等类角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各大模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，，本专题就角平分线的非全等类模型作相应的总结，需学生反复掌握。

模型1.双角平分线模型（导角模型） 【模型解读】双角平分线模型（导角模型）指的是当三角形的内角（外角）的平分线相交时，可以导出平分线的夹角的度数。

【模型图示】条件：BD ，CD 是角平分线.结论：1902BDC A∠=︒+∠1902BDC A ∠=︒-∠12BDC A ∠=∠1．（2022·广东·九年级专题练习）BP 是∠ABC 的平分线，CP 是∠ACB 的邻补角的平分线，∠ABP =20°，∠ACP =50°，则∠P =（ ）4231DAEFCB4321DACBMA．30° B．40° C．50° D．60°【答案】A【分析】据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出∠P 的度数．【详解】∠BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，∠∠ABP=∠CBP=20°，∠ACP=∠MCP=50°，∠∠PCM是△BCP的外角，∠∠P=∠PCM−∠CBP=50°−20°=30°，故选：A．【点睛】本题考查三角形外角性质以及角平分线的定义，解题时注意：一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．2．（2022·山东·济南中考模拟）如图1，在△ABC中，∠BAC的平分线AD与∠BCA的平分线CE交于点O．(1)求证：∠AOC＝90°＋12∠ABC；(2)当∠ABC＝90°时，且AO＝3OD（如图2），判断线段AE，CD，AC之间的数量关系，并加以证明．【答案】(1)见解析(2)43AE+CD=AC，证明见解析【分析】（1）求出∠BAC+∠BCA=180°-∠ABC，根据角平分线定义求出∠OAC=12∠BAC，∠OCA=12∠BCA，即可求出∠OAC+∠OCA的度数，根据三角形内角和定理求出即可；（3）在AC上分别截取AM、CN，使AM=AE，CN=CD，连接OM，ON，证△AEO∠∠AMO，△DCO∠∠NCO，推出∠EOA=∠MOA，∠CON=∠COD，OD=ON，求出∠MON=∠MOA=45°，根据角平分线性质求出MK=ML，据此计算即可求解．（1）证明：∠∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，∠∠BAC+∠BCA=180°-∠ABC，∠∠BAC的平分线AD与∠BCA的平分线CE交于点O．∠∠OAC=1 2∠BAC，∠OCA=12∠BCA，∠∠OAC+∠OCA=12（∠BAC+∠BCA）=12（180°-∠ABC）=90°-12∠ABC，∠∠AOC=180°-（∠OAC+∠OCA）=180°-（90°-12∠ABC），即∠AOC=90°+12∠ABC；（2）解：43AE+CD=AC，证明：如图2，∠∠AOC=90°+12∠ABC=135°，∠∠EOA=45°，在AC上分别截取AM、CN，使AM=AE，CN=CD，连接OM，ON，则在∠AEO和∠AMO中，AE AMEAO MAOAO AO=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠AEO∠∠AMO，同理∠DCO∠∠NCO，∠∠EOA=∠MOA，∠CON=∠COD，OD=ON，∠∠EOA=∠MOA=∠CON=∠COD=45°，∠∠MON=∠MOA=45°，过M作MK∠AD于K，ML∠ON于L，∠MK=ML，S△AOM=12AO×MK，S△MON=12ON×ML，∠AOMMONSAOON S∆∆=，∠AOMMONS AMS MN∆∆=，∠AO AMON MN=，∠AO=3OD，∠31 AOOD=，∠31 AO AMON MN==，∠AN=43AM=43AE，∠AN+NC=AC，∠43AE+CD=AC．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线定义和性质，三角形的面积，三角形内角和定理的应用，熟练掌握各性质定理是解答此题的关键．3.（2022•蓬溪县九年级月考）某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关系”进行了探究．（1）如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，∠A＝64°，则∠BPC＝ ；（2）如图2，△ABC的内角∠ACB的平分线与△ABC的外角∠ABD的平分线交于点E．其中∠A＝α，求∠BEC．（用α表示∠BEC）；（3）如图3，∠CBM、∠BCN为△ABC的外角，∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，请你写出∠BQC 与∠A的数量关系，并说明理由．（4）如图4，△ABC外角∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，∠A＝64°，∠CBQ，∠BCQ的平分线交于点P，则∠BPC＝ °，延长BC至点E，∠ECQ的平分线与BP的延长线相交于点R，则∠R＝ °．【分析】（1）根据三角形的内角和角平分线的定义；（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用∠A与∠1表示出∠2，再利用∠E与∠1表示出∠2，于是得到结论；（3）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出∠EBC与∠ECB，然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；（4）结合（1）（2）（3）的解析即可求得．【解答】解：（1）∵PB、PC分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠PBC=1 2∠ABC，∠PCB=12∠ACB（角平分线的性质），∴∠BPC+∠PBC+∠PCB＝180°（三角形内角和定理），∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（12∠ABC+12∠ACB）＝180°−12（∠ABC+∠ACB）＝180°−12（180°﹣∠A）＝180°﹣90°+12∠A＝90°+12∠A＝90°+12×64°＝122°．故答案为：122°；（2）∵BE是∠ABD的平分线，CE是∠ACB的平分线，∴∠ECB=12∠ACB，∠ECD=12∠ABD．∵∠ABD是△ABC的外角，∠EBD是△BCE的外角，∴∠ABD＝∠A+∠ACB，∠EBD＝∠ECB+∠BEC，∴∠EBD=12∠ABD=12（∠A+∠ACB）＝∠BEC+∠ECB，即12∠A+∠ECB＝∠ECB+∠BEC，∴∠BEC=12∠A=12ᵯ；（3）结论∠BQC＝90°−12∠A．∵∠CBM与∠BCN是△ABC的外角，∴∠CBM＝∠A+∠ACB，∠BCN＝∠A+∠ABC，∵BQ，CQ分别是∠ABC与∠ACB外角的平分线，∴∠QBC=12（∠A+∠ACB），∠QCB=12（∠A+∠ABC）．∵∠QBC+∠QCB+∠BQC＝180°，∴∠BQC＝180°﹣∠QBC﹣∠EQB＝180°−12（∠A+∠ACB）−12（∠A+∠ABC），＝180°−12∠A−12（∠A+∠ABC+∠ACB）＝180°−12∠A﹣90°＝90°−12∠A；（4）由（3）可知，∠BQC＝90°−12∠A＝90°−12×64°=58°，由（1）可知∠BPC＝90°+12∠BQC＝90°+12×58°=119°；由（2）可知，∠R=12∠BQC＝29°故答案为119，29．【点评】本题考查了三角形的外角性质与内角和定理，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．4．（2022·辽宁沈阳·九年级期中）阅读下面的材料，并解决问题(1)已知在∠ABC中，∠A=60°，图1-3的∠ABC的内角平分线或外角平分线交于点O，请直接写出下列角度的度数，如图1，∠O＝ ；如图2，∠O＝ ；如图3，∠O＝ ；(2)如图4，点O是∠ABC的两条内角平分线的交点，求证：∠O＝90°+12∠A(3)如图5，在∠ABC中，∠ABC的三等分线分别与∠ACB的平分线交于点O1O2，若∠1＝115°，∠2＝135°，求∠A的度数．【答案】(1)120°，30°，60°(2)见解析(3)70°【分析】（1）由∠A的度数，在∠ABC中，可得∠ABC与∠ACB的和，又BO、CO是内角平分线或外角平分线，利用角平分线的定义及三角形内角和定理、三角形的外角性质进而可求得答案；（2）由∠A的度数，在∠ABC中，可得∠ABC与∠ACB的和，又BO、CO是角平分线，利用角平分线的定义及三角形内角和定理可证得结论；（3）先分别求出∠ABC与∠ACB的度数，即可求得∠A的度数．（1）①在图1中：∠BO平分∠ABC，CO平分∠ACB∠∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB∠∠OBC+∠OCB=12（∠ABC+∠ACB）=12（180°-∠BAC）=12（180°-60°）=60°∠∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=120°；②在图2中：∠BO平分∠ABC，CO平分∠ACD∠∠OBC=12∠ABC，∠OCD=12∠ACD∠∠ACD=∠ABC+∠A∠∠OCD=12（∠ABC+∠A）∠∠OCD=∠OBC+∠O∠∠O=∠OCD-∠OBC=12∠ABC+12∠A-12∠ABC=12∠A=30°．③在图3中：∠BO平分∠EBC，CO平分∠BCD∠∠OBC=12∠EBC，∠OCB=12∠BCD∠∠OBC+∠OCB=12（∠EBC+∠BCD）=12（∠A+∠ACB+∠BCD）=12（∠A+180°）=12（60°+180°）=120°∠∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=60°．故答案为：120°，30°，60°．（2）证明：∠OB 平分∠ABC ，OC 平分∠ACB ， ∠∠OBC =12∠ABC ，∠OCB =12∠ACB ，∠O =180°-（∠OBC +∠OCB ）=180°-12（∠ABC +∠ACB ）=180°-12（180°-∠A ）=90°+12∠A ．（3）设∠ABO 2=∠O 2BO 1=∠O 1BC =α，∠ACO 2=∠BCO 2=β， ∠2α+β=180°-115°=65°，α+β=180°-135°=45°解得：α=20°，β=25° ∠∠ABC +∠ACB =3α+2β=60°+50°=110°，∠∠A =70°．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质等知识，熟练掌握三角形内角和定理，以及基本图形是解题的关键．模型2.角平分线加平行线等腰现（角平分线+平行线） 【模型解读】1）过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形；2）有角平分线时，过角一边上的点作角平分线的平行线，交角的另一边的直线于一点，也可构造等腰三角形。

专题07 角平分线的重要模型（一）全等类角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各大模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，本专题就角平分线的全等类模型作相应的总结，需学生反复掌握。

模型1.角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段等）【模型解读与图示】已知如图1，OP 为AOB ∠的角平分线、PM 不具备特殊位置时，辅助线的作法大都为在OB 上截取ON OM =，连结PN 即可.即有OMP ∆≌ONP ∆，利用相关结论解决问题.图121．（2022·湖北十堰·九年级期末）在△ABC 中，∠ACB ＝2∠B ，如图①，当∠C ＝90°，AD 为∠BAC 的角平分线时，在AB 上截取AE ＝AC ，连结DE ，易证AB ＝AC ＋CD ．（1）如图②，当∠C≠90°，AD 为∠BAC 的角平分线时，线段AB ，AC ，CD 又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想；（2）如图③，当AD 为△ABC 的外角平分线时，线段AB ，AC ，CD 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．【答案】（1）AB AC CD =+；证明见解析；（2）AB AC CD +=；证明见解析．【分析】（1）首先在AB 上截取AE ＝AC ，连接DE ，易证△ADE ≌△ADC （SAS ），则可得∠AED ＝∠C ，ED ＝CD ，又由∠AED ＝∠ACB ，∠ACB ＝2∠B ，所以∠AED ＝2∠B ，即∠B ＝∠BDE ，易证DE ＝CD ，则可求得AB ＝AC ＋CD ；（2）首先在BA 的延长线上截取AE ＝AC ，连接ED ，易证△EAD ≌△CAD ，可得ED ＝CD ，∠AED ＝∠ACD ，又由∠ACB ＝2∠B ，易证DE ＝EB ，则可求得AC ＋AB ＝CD ．【详解】（1）猜想：AB AC CD =+．证明：如图②，在AB 上截取AE AC =，连结DE ，∵AD 为ABC V 的角平分线时，∴BAD CAD ∠=∠，∵AD AD =，∴()SAS ADE ADC ≌△△，∴AED C ∠=∠，ED CD =，∵2ACB B ∠=∠，∴2AED B ∠=∠．∵B EDB ∠=∠，∴EB ED =，∴EB CD =，∴AB AE DE AC CD =+=+．（2）猜想：AB AC CD +=．证明：在BA 的延长线上截取AE AC =，连结ED ．∵AD 平分FAC ∠，∴EAD CAD ∠=∠．在EAD V 与CAD V 中，AE AC =，EAD CAD ∠=∠，AD AD =，∴EAD CAD ≌△△．∴ED CD =，AED ACD ∠=∠．∴FED ACB ∠=∠．又2ACB B ∠=∠，FED B EDB ∠=∠+∠，EDB B ∠=∠．∴EB ED =．∴EA AB EB ED CD +===．∴AC AB CD +=．【点睛】此题考查三角形综合题、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．2．（2022·山东烟台·九年级期末）已知在ABC V 中，满足2ACB B ∠=∠，(1)【问题解决】如图1，当90C ∠=︒，AD 为BAC ∠的角平分线时，在AB 上取一点E 使得AE AC =，连接DE ，求证：AB AC CD =+．(2)【问题拓展】如图2，当90C ∠≠︒，AD 为BAC ∠的角平分线时，在AB 上取一点E 使得AE AC =，连接DE ，（1）中的结论还成立吗？若成立，请你证明：若不成立，请说明理由．(3)【猜想证明】如图3，当AD 为ABC V 的外角平分线时，在BA 的延长线上取一点E 使得AE AC =，连接DE ，线段AB 、AC 、CD 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明． 【答案】(1)证明见解析(2)成立，证明见解析(3)猜想AB AC CD +=，证明见解析【分析】（1）先根据SAS 定理证出AED ACD ≅V V ，根据全等三角形的性质可得ED CD =，AED ACD ∠=∠，再根据三角形的外角性质可得45B BDE ∠=∠=︒，然后根据等腰三角形的判定可得EB ED =，从而可得EB CD =，最后根据线段和差、等量代换即可得证； （2）先根据SAS 定理证出AED ACD ≅V V ，根据全等三角形的性质可得ED CD =，AED C ∠=∠，再根据三角形的外角性质可得B BDE ∠=∠，然后根据等腰三角形的判定可得EB ED =，从而可得EB CD =，最后根据线段和差、等量代换即可得证；（3）先根据SAS 定理证出AED ACD ≅V V ，根据全等三角形的性质可得ED CD =，AED ACD ∠=∠，从而可得FED ACB ∠=∠，再根据三角形的外角性质可得B BDE ∠=∠，然后根据等腰三角形的判定可得EB ED =，从而可得EB CD =，最后根据线段和差、等量代换即可得证．（1）证明：∵AD 为BAC ∠的角平分线，∴EAD CAD ∠=∠，在AED V 与ACD △中，AE AC EAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AED ACD SAS ≅V V ，∴ED CD =，AED ACD ∠=∠，又∵90ACB ∠=︒，2ACB B ∠=∠，∴45B ∠=︒，90AED ∠=︒，∴45AED BDE B ∠=∠=∠−︒，∴B BDE ∠=∠，∴EB ED =，∴EB CD =，∴AB AE EB AC CD =+=+．（2）解：（1）中的结论还成立，证明如下：∵AD 为BAC ∠的角平分线时，∴EAD CAD ∠=∠，在AED V 与ACD △中，AE AC EAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AED ACD SAS ≅V V ，∴AED C ∠=∠，ED CD =，∵2ACB B ∠=∠，∴2AED B ∠=∠，又∵AED B EDB ∠=∠+∠，∴B EDB ∠=∠，∴EB ED =，∴EB CD=，∴AB AE EB AC CD =+=+．（3）解：猜想AB AC CD +=，证明如下：∵AD 平分EAC ∠，∴EAD CAD ∠=∠，在AED V 与ACD △中,AE AC EAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AED ACD SAS ≅V V ，∴ED CD =，AED ACD ∠=∠，如图，∴180180AED ACD ︒−∠=︒−∠，即FED ACB ∠=∠，∵2ACB B ∠=∠，∴2FED B ∠=∠，又∵FED B EDB ∠=∠+∠，∴EDB B ∠=∠，∴EB ED =，∴AB AE EB ED CD +===，∴AB AC CD +=．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．3．（2022·浙江·九年级期中）（1）如图1，在△ABC 中，∠ACB ＝2∠B ，∠C ＝90°，AD 为∠BAC的平分线交BC于D，求证：AB＝AC＋CD．（提示：在AB上截取AE＝AC，连接DE）（2）如图2，当∠C≠90°时，其他条件不变，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系，直接写出结果，不需要证明．（3）如图3，当∠ACB≠90°，∠ACB＝2∠B ，AD为△ABC的外角∠CAF的平分线，交BC的延长线于点D，则线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并加以证明．【答案】（1）见解析；（2）AB＝AC＋CD；（3）AB＝CD﹣AC【分析】（1）在AB上截取AE=AC，连接DE，根据角平分线的定义得到∠1=∠2．推出△ACD≌△AED（SAS）．根据全等三角形的性质得到∠AED=∠C=90，CD=ED，根据已知条件得到∠B=45°．求得∠EDB=∠B=45°．得到DE=BE，等量代换得到CD=BE．即可得到结论；（2）在AC取一点E使AB=AE，连接DE，易证△ABD≌△AED，所以∠B=∠AED，BD=DE，又因为∠B=2∠C，所以∠AED=2∠C，因为∠AED是△EDC的外角，所以∠EDC=∠C，所以ED=EC，BD=EC，进而可证明AB+BD=AE+EC=AC；（3）在AB的延长线AF上取一点E，使得AE=AC，连接DE．证明△ACD≌△AED，根据全等三角形的性质得到DE=BE，BE=CD，即可得出结论．【详解】（1）证明：在AB上取一点E，使AE=AC∵AD为∠BAC的平分线∴∠BAD =∠CAD ．在△ACD 和△AED 中，AE AC BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACD ≌△AED （SAS ）．∴∠AED =∠C =90°，CD =ED ，又∵∠ACB =2∠B ，∠C =90°，∴∠B =45°． ∴∠EDB =∠B =45°．∴DE =BE ， ∴CD =BE ．∵AB =AE ＋BE ， ∴AB =AC ＋CD ．（2）证明：在AB 取一点E 使AC=AE ，在△ACD 和△AED 中，AC AE BAD EAD AD AD ＝＝＝⎧⎪∠∠⎨⎪⎩, ∴△ACD ≌△AED ，∴∠C=∠AED ，CD=DE ，又∵∠C=2∠B ，∴∠AED=2∠B ，∵∠AED 是△EDC 的外角，∴∠EDB=∠B ，∴ED=EB ，∴CD=EB ，∴AB=AC+CD ；（3）猜想：AB =CD ﹣AC证明：在BA 的延长线上取一点E ，使得AE =AC ，连接DE ，在△ACD 和△AED 中，AC AE CAD EAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△AED （SAS ），∴∠ACD =∠AED ，CD =DE ，∴∠ACB =∠FED ，又∵∠ACB =2∠B∴∠FED =2∠B ，又∵∠FED =∠B ＋∠EDB ，∴∠EDB =∠B ，∴DE =BE ，∴BE =CD ，∵AB =BE -AE∴AB =CD ﹣AC ．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，关于线段和差关系的证明，通常采用截长补短法.4．（2022·北京九年级专题练习）在四边形ABDE 中，C 是BD 边的中点．（1）如图（1），若AC 平分BAE ∠，90ACE ∠=︒，则线段AE 、AB 、DE 的长度满足的数量关系为______；（直接写出答案）（2）如图（2），AC 平分BAE ∠，EC 平分AED ∠，若120ACE ∠=︒，则线段AB 、BD 、DE、AE的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明．【答案】（1）AE＝AB＋DE；（2）AE＝AB＋DE＋12BD，证明见解析．【分析】（1）在AE上取一点F，使AF＝AB，由三角形全等的判定可证得△ACB≌△ACF，根据全等三角形的性质可得BC＝FC，∠ACB＝∠ACF，根据三角形全等的判定证得△CEF≌△CED，得到EF＝ED，再由线段的和差可以得出结论；（2）在AE上取点F，使AF＝AB，连结CF，在AE上取点G，使EG＝ED，连结CG，根据全等三角形的判定证得△ACB≌△ACF和△ECD≌△ECG，由全等三角形的性质证得CF＝CG，进而证得△CFG是等边三角形，就有FG＝CG＝12BD，从而可证得结论．【详解】解：（1）如图（1），在AE上取一点F，使AF＝AB．∵AC平分∠BAE，∴∠BAC＝∠FAC．在△ACB和△ACF中，AB AFBAC FACAC AC⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴△ACB≌△ACF（SAS）．∴BC＝FC，∠ACB＝∠ACF．∵C是BD边的中点，∴BC＝CD．∴CF＝CD．∵∠ACE＝90°，∴∠ACB＋∠DCE＝90°，∠ACF＋∠ECF＝90°．∴∠ECF＝∠ECD．在△CEF和△CED中，CF CDECF ECDCE CE⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴△CEF≌△CED（SAS）．∴EF＝ED．∵AE＝AF＋EF，∴AE＝AB＋DE．故答案为：AE＝AB＋DE；（2）AE＝AB＋DE＋12BD．证明：如图（2），在AE上取点F，使AF＝AB，连结CF，在AE上取点G，使EG＝ED，连结CG．∵C 是BD 边的中点，∴CB ＝CD ＝12BD ．∵AC 平分∠BAE ，∴∠BAC ＝∠FAC ． 在△ACB 和△ACF 中，AB AF BAC FAC AC AC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴△ACB ≌△ACF （SAS ）．∴CF ＝CB ，∠BCA ＝∠FCA ．同理可证：△ECD ≌△ECG ∴CD ＝CG ，∠DCE ＝∠GCE ．∵CB ＝CD ，∴CG ＝CF ．∵∠ACE ＝120°，∴∠BCA ＋∠DCE ＝180°−120°＝60°．∴∠FCA ＋∠GCE ＝60°．∴∠FCG ＝60°．∴△FGC 是等边三角形．∴FG ＝FC ＝12BD ．∵AE ＝AF ＋EG ＋FG ，∴AE ＝AB ＋DE ＋12BD ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质的运用，能熟练应用三角形全等的判定和性质是解决问题的关键．模型2.角平分线垂两边（角平分线+外垂直）【模型解读与图示】已知如图1，OP 为OAB ∠的角平分线、PM OA ⊥于点M 时，辅助线的作法大都为过点P 作PN OB ⊥即可.即有PM PN =、OMP ∆≌ONP ∆等，利用相关结论解决问题. 图1 图2图3邻等对补模型：已知如图2，AP 是∠CAB 的角平分线，EP =DP辅助线：过点P 作PG ⊥AC 、PF ⊥AB结论：①︒=∠+∠180EPD BAC （D P E A 、、、四点共圆）；②EG DF =；③DF AE AD 2+=1．（2022·北京·中考真题）如图，在ABC ∆中，AD 平分,.BAC DE AB ∠⊥若2,1,AC DE ==则ACD S ∆=____．【答案】1【分析】作DF AC ⊥于点F ，由角平分线的性质推出1DF DE ==，再利用三角形面积公式求解即可．【详解】解：如图，作DF AC ⊥于点F ，∵AD 平分BAC ∠，DE AB ⊥，DF AC ⊥，∴1DF DE ==， ∴1121122ACD S AC DF ∆=⋅=⨯⨯=．故答案为：1． 【点睛】本题考查角平分线的性质，通过作辅助线求出三角形ACD 中AC 边的高是解题的关键．B2．（2022·山东泰安·中考真题）如图，△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 与内角∠ABC 的平分线BP 交于点P ，若∠BPC ＝40°，则∠CAP ＝（ ）A ．40°B ．45°C ．50°D ．60°【答案】C 【分析】根据外角与内角性质得出∠BAC 的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP ＝∠FAP ，即可得出答案.【详解】解：延长BA ，作PN ⊥BD ，PF ⊥BA ，PM ⊥AC ，设∠PCD ＝x °，∵CP 平分∠ACD ，∴∠ACP ＝∠PCD ＝x °，PM ＝PN ，∵BP 平分∠ABC ，∴∠ABP ＝∠PBC ，PF ＝PN ，∴PF ＝PM ，∵∠BPC ＝40°，∴∠ABP ＝∠PBC ＝∠PCD ﹣∠BPC ＝（x ﹣40）°，∴∠BAC ＝∠ACD ﹣∠ABC ＝2x °﹣（x °﹣40°）﹣（x °﹣40°）＝80°，∴∠CAF ＝100°，在Rt △PFA 和Rt △PMA 中，{PA PA PM PF==， ∴Rt △PFA ≌Rt △PMA （HL ），∴∠FAP ＝∠PAC ＝50°．故选C ．【点睛】本题考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质和直角三角全等的判定等知识，根据角平分线的性质得出PM ＝PN ＝PF 是解题的关键．3．（2022·江苏扬州·中考真题）如图，在ABCD Y 中，BE 、DG 分别平分ABC ADC ∠∠、，交AC 于点E G 、．(1)求证：,BE DG BE DG =∥；(2)过点E 作EF AB ⊥，垂足为F ．若ABCD Y 的周长为56，6EF =，求ABC ∆的面积． 【答案】(1)见详解(2)84【分析】（1）由平行四边形的性质证()ABE CDG ASA ∆≅∆即可求证；（2）作EQ BC ⊥，由ΔΔΔABC ABE EBC S S S =+即可求解；（1）证明：在ABCD Y 中，∵//AB CD ，∴BAE DCG ∠=∠，∵BE 、DG 分别平分ABC ADC ∠∠、，ABC ADC ∠=∠，∴ABE CDG ∠=∠，在ABE ∆和CDG ∆中，∵BAE DCG AB CDABE CDG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()ABE CDG ASA ∆≅∆，∴BE DG AEB CGD =∠=∠，，∴BE DG ∥．（2）如图，作EQ BC ⊥，∵ABCD Y 的周长为56，∴28AB BC +=，4．（2022·河北·九年级专题练习）已知OP平分∠AOB，∠DCE的顶点C在射线OP上，射线CD交射线OA于点F，射线CE交射线OB于点G．（1）如图1，若CD⊥OA，CE⊥OB，请直接写出线段CF与CG的数量关系；（2）如图2，若∠AOB=120°，∠DCE=∠AOC，试判断线段CF与CG的数量关系，并说明理由．【答案】（1）CF=CG；（2）CF=CG，见解析【分析】（1）结论CF=CG，由角平分线性质定理即可判断．（2）结论：CF=CG，作CM⊥OA于M，CN⊥OB于N，证明△CMF≌△CNG，利用全等三角形的性质即可解决问题．【详解】解：（1）结论：CF=CG；证明：∵OP平分∠AOB，CF⊥OA，CG⊥OB，∴CF=CG（角平分线上的点到角两边的距离相等）；（2）CF=CG．理由如下：如图，过点C 作CM ⊥OA ，CN ⊥OB ，∵OP 平分∠AOB ，CM ⊥OA ，CN ⊥OB ，∠AOB =120°，∴CM =CN （角平分线上的点到角两边的距离相等），∴∠AOC =∠BOC =60°（角平分线的性质），∵∠DCE =∠AOC ，∴∠AOC =∠BOC =∠DCE =60°，∴∠MCO =90°-60° =30°，∠NCO =90°-60° =30°，∴∠MCN =30°+30°=60°，∴∠MCN =∠DCE ，∵∠MCF =∠MCN -∠DCN ，∠NCG =∠DCE -∠DCN ，∴∠MCF =∠NCG ，在△MCF 和△NCG 中，CMF CNG CM CNMCF NCG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△MCF ≌△NCG （ASA ），∴CF =CG （全等三角形对应边相等）．【点睛】本题考查三角形综合题、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握角平分线的性质的应用，熟练证明三角形全等．模型3.角平分线垂中间（角平分线+内垂直）【模型解读与图示】已知如图1，OP 为AOB ∠的角平分线，PM OP ⊥于点P 时，辅助线的作法大都为延长MP 交OB 于点N 即可。

中考数学复习----《角的平分线与线段的垂直平分线》知识点总结与专项练习题（含答案解析）知识点总结1.角平分线的定义：角的内部把角平均分成两个相等的角的射线叫做角的平分线。

2.角平分线的性质：①平分角。

②角平分线上任意一点到角两边的距离相等。

3.角平分线的判定：角的内部到角两边相等的点一定在角平分线上。

4.角平分线的尺规作图：具体步骤：①以角的顶点O为圆心，一定长度为半径画圆弧，圆弧与角的两边分别交于两点M、N。

如图①。

②分别以点M与点N为圆心，大于MN长度的一半为半径画圆弧，两圆弧交于点P。

如图②。

③连接OP，OP即为角的平分线。

5.线段的垂直平分线的定义：过线段的中点且与线段垂直的直线是这条线段的垂直平分线。

6.垂直平分线的性质：①垂直且平分线段。

②垂直平分线上任意一点到这条线段两个端点的距离相等。

7.垂直平分线的判定：到线段两端点距离相等的点一定在线段的垂直平分线上。

8.垂直平分线的吃规作图：具体步骤：①以线段两个端点为圆心，大于线段长度的一半为半径画圆弧，两圆弧在线段的两侧别分交于M、N。

如图①②连接MN，过MN的直线即为线段的垂直平分线。

如图②练习题1、（2022•鄂尔多斯）如图，∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，DE∥OB交OA于点D，EC⊥OB，垂足为C．若EC＝2，则OD的长为（）A．2 B．2C．4 D．4+2【分析】过点E作EH⊥OA于点H，根据角平分线的性质可得EH＝EC，再根据平行线的性质可得∠ADE的度数，再根据含30°角的直角三角形的性质可得DE的长度，再证明OD＝DE，即可求出OD的长．【解答】解：过点E作EH⊥OA于点H，如图所示：∵OE平分∠AOB，EC⊥OB，∴EH＝EC，∵∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，∴∠AOC＝2∠AOE＝30°，∵DE∥OB，∴∠ADE＝30°，∴DE＝2HE＝2EC，∵EC＝2，∴DE＝4，∵∠ADE＝30°，∠AOE＝15°，∴∠DEO＝15°，∴∠AOE＝∠DEO，∴OD＝DE＝4，故选：C．2、（2022•北京）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB．若AC＝2，DE＝1，则S △ACD＝．【分析】过D点作DH⊥AC于H，如图，根据角平分线的性质得到DE＝DH＝1，然后根据三角形面积公式计算．【解答】解：过D点作DH⊥AC于H，如图，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DH⊥AC，∴DE＝DH＝1，∴S△ACD＝×2×1＝1．故答案为：1．3、（2022•黑龙江）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AC＝6，BC＝8，CD＝．【分析】过点D作DE⊥AB于E，利用勾股定理列式求出AB，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD＝DE，然后根据△ABC的面积列式计算即可得解．【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝＝10，∵AD平分∠CAB，∴CD＝DE，∴S△ABC＝AC•CD+AB•DE＝AC•BC，即×6•CD+×10•CD＝×6×8，解得CD＝3．故答案为：3．4、（2022•宜昌）如图，在△ABC中，分别以点B和点C为圆心，大于BC长为半径画弧，两弧相交于点M，N．作直线MN，交AC于点D，交BC于点E，连接BD．若AB＝7，AC＝12，BC＝6，则△ABD的周长为（）A．25 B．22 C．19 D．18【分析】根据题意可知MN垂直平分BC，即可得到DB＝DC，然后即可得到AB+BD+AD ＝AB+DC+AD＝AB+AC，从而可以求得△ABD的周长．【解答】解：由题意可得，MN垂直平分BC，∴DB＝DC，∵△ABD的周长是AB+BD+AD，∴AB+BD+AD＝AB+DC+AD＝AB+AC，∵AB＝7，AC＝12，∴AB+AC＝19，∴△ABD的周长是19，故选：C．5、（2022•湖北）如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，连接AC，分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线MN分别交AD，BC于点E，F．下列结论：①四边形AECF是菱形；②∠AFB＝2∠ACB；③AC•EF＝CF•CD；④若AF平分∠BAC，则CF＝2BF．其中正确结论的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】根据题意分别证明各个结论来判断即可．【解答】解：根据题意知，EF垂直平分AC，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF，∴AE＝AF＝CF＝CE，即四边形AECF是菱形，故①结论正确；∵∠AFB＝∠FAO+∠ACB，AF＝FC，∴∠FAO＝∠ACB，∴∠AFB＝2∠ACB，故②结论正确；∵S四边形AECF＝CF•CD＝AC•OE×2＝AC•EF，故③结论不正确；若AF平分∠BAC，则∠BAF＝∠FAC＝∠CAD＝90°＝30°，∴AF＝2BF，∵CF＝AF，∴CF＝2BF，故④结论正确；故选：B．33．（2022•鄂尔多斯）如图，在△ABC中，边BC的垂直平分线DE交AB于点D，连接DC，若AB＝3.7，AC＝2.3，则△ADC的周长是．【分析】根据线段垂直平分线的性质可得BD＝CD，进一步即可求出△ADC的周长．【解答】解：∵边BC的垂直平分线DE交AB于点D，∴BD＝CD，∵AB＝3.7，AC＝2.3，∴△ADC的周长为AD+CD+AC＝AB+AC＝6，故答案为：6．34．（2022•青海）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC 于点D，交BC于点E，∠BAE＝10°，则∠C的度数是．【分析】根据线段垂直平分线的性质可得AE＝EC，从而可得∠EAC＝∠C，然后利用三角形内角和定理可得∠EAC+∠C＝80°，进行计算即可解答．【解答】解：∵ED是AC的垂直平分线，∴AE＝EC，∴∠EAC＝∠C，∵∠ABC＝90°，∠BAE＝10°，∴∠EAC+∠C＝180°﹣∠BAE﹣∠ABC＝80°，∴∠EAC＝∠C＝40°，故答案为：40°．。

专题14 角平分线问题专题知识点概述1.角的平分线定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线，例如：如下图，因为OC 是∠AOB 的平分线，所以∠1=∠2=∠AOB ，或∠AOB=2∠1=2∠2. 类似地，还有角的三等分线等.2.作角平分线角平分线的作法（尺规作图）①以点O 为圆心，任意长为半径画弧，交OA 、OB 于C 、D 两点；②分别以C 、D 为圆心，大于CD 长为半径画弧，两弧交于点P ；③过点P 作射线OP ，射线OP 即为所求．3.角平分线的性质（1）定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等。

符号语言：∵OP 平分∠AOB ，AP ⊥OA ，BP ⊥OB ，∴AP=BP.12（2）逆定理：到角的两边距离相等的点在角的平分线上。

符号语言：∵ AP ⊥OA ，BP ⊥OB ，AP=BP ，∴点P 在∠AOB 的平分线上.注意：三角形的角平分线。

三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.三角形的角平分线的数学语言：如下图，AD 是ΔABC 的角平分线，或∠BAD ＝∠CAD 且点D 在BC 上.说明：AD 是ΔABC 的角平分线∠BAD ＝∠DAC ＝∠BAC (或∠BAC ＝2∠BAD ＝2∠DAC) . （1）三角形的角平分线是线段；（2）一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部；（3）三角形三条角平分线交于三角形内部一点，这一点叫做三角形的内心；（4）可以用量角器或圆规画三角形的角平分线.4.角平分线的综合应用21（1）为推导线段相等、角相等提供依据和思路；（2）在解决综合问题中的应用．例题解析与对点练习【例题1】（2020•襄阳）如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，EG平分∠BEF，若∠EFG＝64°，则∠EGD的大小是（）A．132°B．128°C．122°D．112°【答案】C【分析】根据平行线的性质得到∠BEF＝180°﹣∠EFG＝116°，根据角平分线的定义得到∠BEG=12∠BEF＝58°，由平行线的性质即可得到结论．【解析】∵AB∥CD，∠EFG＝64°，∴∠BEF＝180°﹣∠EFG＝116°，∵EG平分∠BEF交CD于点G，∴∠BEG=12∠BEF＝58°，∵AB∥CD，∴∠EGD＝180°﹣∠BEG＝122°．【对点练习】（2020长春模拟）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E．若∠A=54°，∠B=48°，则∠CDE的大小为（）A．44° B．40° C．39° D．38°【答案】C．【解析】根据三角形内角和得出∠ACB，利用角平分线得出∠DCB，再用平行线的性质解答即可．∵∠A=54°，∠B=48°，∴∠ACB=180°﹣54°﹣48°=78°，∵CD平分∠ACB交AB于点D，∴∠DCB=78°=39°，∵DE∥BC，∴∠CDE=∠DCB=39°，【点拨】本题考查三角形内角和定理、平行线性质、角平分线定义。

三角形内外角平分线一.命题的证明及应用在中考常有与三角形内外角平分线有关的题目，若平时不注意总结是很难一下子解决的．下面来一起学习一下．命题1 如图１，点D是△ABC两个内角平分线的交点，则∠D=90°+∠A．证明：如图１：∵∠1＝∠，∠２＝∠，∴2∠1＋2∠2＋∠A＝180°①∠1＋∠2＋∠D=180°②①－②得：∠1＋∠2＋∠A＝∠D③由②得：∠1＋∠2=180°－∠D④把③代入④得：∴180°－∠D＋∠A＝∠D∠D=90°+∠A．点评利用角平分线的定义和三角形的内角和等于180°，不难证明.命题2 如图２，点D是△ABC两个内角平分线的交点，则∠D=90°－∠A．证明：如图２：∵DB和DC是△ABC的两条外角平分线，∴∠D=180°－∠1－∠2=180°－（∠DBE+∠DCF）=180°－（∠A+∠4+∠A+∠3）=180°－（∠A+180°）=180°－∠A－90°=90°－∠A；点评利用角平分线的定义和三角形的一个外角等于与它不相邻两外角的和以及三角形的内角和等于180°，可以证明.命题3 如图3，点E是△ABC一个内角平分线与一个外角平分线的交点，则∠E=∠A．证明：如图3：∵∠1=∠2，∠3=∠4，∠A+2∠1=2∠4①∠1+∠E=∠4②①×代入②得：∠E=∠A．点评利用角平分线的定义和三角形的一个外角等于与它不相邻两外角的和，很容易证明.命题4如图４，点E是△ABC一个内角平分线BE与一个外角平分线CE的交点，证明:AE是△ABC的外角平分线.证明：如图3：∵BE是∠ABC的平分线,可得：EH=EFCE是∠ACD的平分线, 可得：EG=EF∴过点E分别向AB、AC、BC所在的直线引垂线，所得的垂线段相等.即EF=EG=EH∵EG=EH∴AE是△ABC的外角平分线．点评利用角平分线的性质和判定能够证明．应用上面的结论能轻松地解答一些相关的比较复杂的问题，下面来一起看．例1如图5，PB和PC是△ABC的两条外角平分线．①已知∠A=60°，请直接写出∠P的度数.②三角形的三条外角平分线所在的直线形成的三角形按角分类属于什么三角形？解析：①由命题2的结论直接得：∠P=90°－∠A=90°－×60°=60°②根据命题2的结论∠P=90°－∠A，知三角形的三条外角平分线所在的直线形成的三角形的三个角都是锐角，则该三角形是锐角三角形．点评此题直接运用命题2的结论很简单．同时要知道三角形按角分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．例２如图6，在△ABC中，延长BC到D,∠ABC与∠ACD的角平分线相较于点，∠BC与∠CD的平分线交与点，以此类推，…，若∠A=96°，则∠= 度．解析：由命题③的结论不难发现规律∠∠A．可以直接得：∠=×96°=3°．点评此题是要找出规律的但对要有命题③的结论作为基础知识．例３（203陕西第一大题填空题第八小题，此题３分）如图7，△ABC的外角∠ACD 的平分线CP的内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP=_______________．解析：此题直接运用命题４的结论可以知道ＡＰ是△ABC的一个外角平分线，结合命题３的结论知道∠BAC=2∠BPC, CAP=(180°－∠BAC )= (180°－2∠BPC )=50°．点评对命题3、4研究过的读者此题不难，否则将是一道在考试的时候花时间也不一定做的出来的题目．例４(2003年山东省)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，∠ACB的平分线与∠ABC的外角平分线交与E点，连接AE，则∠AEB= 度．解析：有题目和命题４的结论可以知道AE是△ABC的一个外角平分线, 结合命题2的结论知道∠AEB=∠ACB－∠ACB=90°－×90°=45°点评从上面的做题过程来看题目中给出的“∠A=30°”这个条件是可以不用的．二.角平分线定理使用中的几种辅助线作法一、已知角平分线，构造三角形例题、如图所示，在△ABC 中，∠ABC=3∠C ，AD 是∠BAC 的平分线，BE ⊥AD 于F 。

中考数学知识整理三角形中的角平分线与垂直平分线数学知识整理：三角形中的角平分线与垂直平分线在中考数学中，三角形是一个重要的几何图形。

学习和掌握三角形的性质、特点以及相关定理，对于解题和理解某些数学概念都有着重要意义。

本文将着重介绍三角形中的角平分线与垂直平分线，帮助读者更好地理解和应用相关知识。

1. 角平分线角平分线是指从一个角的顶点出发，将这个角平分成两个相等的角的直线段。

对于任意一个三角形ABC，如果从顶点A引出一条角平分线AD，则AD将角BAC平分为两个相等的角BAD和CAD。

（插图1：三角形ABC，AD为角BAC的角平分线）角平分线的性质有以下几点：1.1 角平分线的定理定理1：如果一条直线平分一个角，那么这条直线上的任意一点到这个角的两边的距离相等。

定理2：如果一条线段平分一个角且通过角的顶点，那么这条线段上的任意一点到这个角的两边的距离相等。

这两个定理表明了角平分线在平分角时所具备的重要性质，这些性质经常被应用于解决相关的几何问题。

1.2 角平分线分割线段角平分线不仅将角分为两个相等的部分，还有一个重要的性质是它可以将三角形的对边分割成两个比例相等的线段。

具体地说，如果在线段BC上任取一点D，且AD是∠BAC的角平分线，则有以下结论：结论1：$\dfrac{BD}{CD}=\dfrac{AB}{AC}$结论2：$\dfrac{BD}{CD}=\dfrac{AB^2}{AC^2}$这两个结论在解决线段的比例问题时经常被使用。

2. 垂直平分线垂直平分线是指从一个线段的中点引出一条与该线段垂直且等长的线段。

对于任意一个三角形ABC，如果线段DE是边AC的垂直平分线，则AD=DC，且线段DE与边AC垂直。

（插图2：三角形ABC，DE为边AC的垂直平分线）垂直平分线有以下性质：2.1 垂直平分线的定理定理1：如果一条直线垂直平分一个线段，那么这条直线上的任意一点到这个线段的两个端点的距离相等。

初三数学角平分线试题1.角的平分线上的点到角的两边的距离相等【答案】对【解析】根据角平分线的性质即可判断.角的平分线上的点到角的两边的距离相等，本题正确.【考点】角平分线的性质点评：熟练掌握基本图形的性质是学好图形问题的基础，因而此类问题在中考中比较常见，常以填空题、选择题形式出现，属于基础题，难度一般.2.如图，∠BAC=60°，AP平分∠BAC，PD⊥AB，PE⊥AC，若AD=，则PE=___.【答案】1【解析】由∠BAC=60°，AP平分∠BAC可得∠DAP=30°，即可得到AP=2DP，根据AD=可得PD的长，再根据角平分线的性质即可求得结果.∵∠BAC=60°，AP平分∠BAC∴∠DAP=30°∵PD⊥AB∴AP=2DP∵AD=∴DP=1∵AP平分∠BAC，PD⊥AB，PE⊥AC∴PE=DP=1.【考点】角平分线的性质，含30°角的直角三角形的性质点评：含30°角的直角三角形的性质是平面图形中一个非常重要的性质，在中考中比较常见，常以填空题、选择题形式出现，属于基础题，难度一般，需多加关注.3.已知，如图，∠AOB=60°，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，若CD=CE，则∠COD+∠AOB=__________度.【答案】90【解析】由CD⊥OA，CE⊥OB，CD=CE可得OC平分∠AOB，即可求得结果.∵CD⊥OA，CE⊥OB，CD=CE∴OC平分∠AOB∵∠AOB=60°∴∠COD=30°∴∠COD+∠AOB=90°.【考点】角平分线的判定点评：本题是角平分线的性质的基础应用题，在中考中比较常见，常以填空题、选择题形式出现，属于基础题，难度一般.4.下列命题中是真命题的是A．有两角及其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等B．相等的角是对顶角C．余角相等的角互余D．两直线被第三条直线所截，截得的同位角相等【答案】A【解析】根据平面图形的基本概念依次分析各项即可判断.A.有两角及其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等，是真命题，本选项正确；B.直角都相等，但不一定是对顶角，C.余角相等的角相等，D.两直线平行，同位角相等，故错误，均不是真命题.【考点】平面图形的基本概念点评：此类题目综合性强，知识点多，在中考中比较常见，常以填空题、选择题形式出现，难度不大，需多加关注.5.在同一平面内，到三角形三边距离相等的点只有一个【答案】对【解析】根据三角形的性质结合角平分线的性质即可判断.在同一平面内，到三角形三边距离相等的点是三角形三条内角平分线的交点，只有一个，故本题正确.【考点】角平分线的性质点评：平面图形的基本概念中的关键字词学生往往容易忽视，因而此类问题是学生的易错点，在中考中比较常见，常以填空题、选择题形式出现，属于基础题，难度一般.6.在同一平面内，到三角形三边所在直线距离相等的点只有一个【答案】错【解析】根据三角形的性质结合角平分线的性质即可判断.在同一平面内，到三角形三边所在直线距离相等的点可能是三角形三条内角平分线的交点，也可能是任两个外角平分线的交点，不止一个，故本题错误.【考点】角平分线的性质点评：平面图形的基本概念中的关键字词学生往往容易忽视，因而此类问题是学生的易错点，在中考中比较常见，常以填空题、选择题形式出现，属于基础题，难度一般.7.三角形三条角平分线交于一点【答案】对【解析】根据三角形的角平分线的性质即可判断，若动手操作则更为直观.三角形三条角平分线交于一点，本题正确.【考点】角平分线的性质点评：熟练掌握基本图形的性质是学好图形问题的基础，因而此类问题在中考中比较常见，常以填空题、选择题形式出现，属于基础题，难度一般.8.如图，点P为△ABC三条角平分线交点，PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，则PD________________PF.【答案】=，=【解析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等即可判断.∵点P为△ABC三条角平分线交点，PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，∴PD=PE=PF.【考点】角平分线的性质点评：此类问题知识点独立，在中考中不太常见，常以填空题、选择题形式出现，属于基础题，难度一般.9.利用角平分线的性质，找到△ABC内部距三边距离相等的点.【答案】三个内角平分线交点【解析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等即可判断.△ABC内部距三边距离相等的点是三个内角平分线交点.【考点】角平分线的性质点评：此类问题知识点独立，在中考中不太常见，常以填空题、选择题形式出现，属于基础题，难度一般.10.在图△ABC所在平面中，找到距三边所在直线距离相等的点.【答案】如图所示：【解析】（1）以B为圆心，以任意长为半径画圆，分别交AB、BC于D、E两点，（2）再分别以D、E为圆心，以大于DE为半径画圆，两圆相交于F，连接BF，则BF即为∠B的平分线；同理作∠A的平分线，两平分线相交于点G1，则点G1即为所求；同理作出△ABC相邻外角的平分线分别交于G1，G2，G3，综上，满足题意的点有四个，如图所示：【考点】角平分线的性质的应用点评：本题是角平分线的性质的基础应用题，是常见的作图题，在中考中比较常见，一般与垂直平分线同时出现，难度不大，需熟练掌握.。

角平分线专项一、基础部分———双角平分线条件：在ΔABC 中，角平分线BD 、CE 相交于点O. 结论：（1）A BOC ∠+︒=∠2190 （2）BC CD BE A =+⇔︒=∠60 （3）OEOD A =⇒︒=∠60（4）AC AB A OE OD =︒=∠⇒=或60条件：在ΔABC 中，外角平分线相交于点O. 结论：A BOC ∠-︒=∠2190条件：在ΔABC 中，内角平分线与外角平分线相交于点O. 结论：A BOC ∠=∠21OACB OCBA条件：．在△ABC 中，∠ABC 的平分线BE 与∠BCA 的平分线CD 交于点O,∠A=90° 结论：S △BOC =21S 四边形BDEC练习1．在△ABC 中，∠BAC 的平分线AD 与∠BCA 的平分线CE 交于点O （1）如图1，求证：OB 平分∠ABC （2）如图1，求证：∠AOC ＝90°＋21∠ABC （3）如图2，当∠ABC ＝90°、且A0＝30D 时，连接DE,△DOE 的面积为6，求△AOC 面积，判断线段AE 、CD 与AC 之间的关系，加以证明，2.如图1，已知线段AC∥y轴，点B在第一象限，且AO平分∠BAC，AB交y轴与G，连OB、OC．（1）判断△AOG的形状，并予以证明；（2）若点B、C关于y轴对称，求证：AO⊥BO；（3）在（2）的条件下，如图2，点M为OA上一点，且∠ACM=45°，BM交y轴于P，若点B的坐标为（3，1），求点M的坐标．模型1 角平分线性质——————角平分线上的点向两边作垂线如图，P 是∠MON 的平分线上一点，过点P 作P A ⊥OM 于点A ，PB ⊥ON 于点B 。

结论：PB =P A 。

练习：1. AB ＞AC ，∠A 的平分线与BC 的垂直平分线相交于D ，自D 作DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E ，F ． 求证：BE=CF ．2、如图，AD ⊥DC ，BC ⊥DC ：，E 是DC 上一点，AE 平分∠DAB ． (1)如果BE 平分∠ABC ，求证：点E 是DC 的中点； (2)如果E 是DC 的中点，求证：BE 平分∠ABC ．NM OABP第7题图EB3.如图，以∆ABC 的两边AB 、AC 为边向外作等边∆ABD 与等边∆ACE ，连接BE 、CD 相交于点O ，连接OA ，求证：OA 平分∠DOE.4.已知，如图 1 在△ABC 中，点 D 在 AC 上，且 BD 平分∠ABC （1）求证：S △BAD:S △BDC=BA:BC（2）在（1）的条件下，如图 2，在△ABC 外取一点 E ，使∠EAB=∠BCA ，EA=DC ，连接 ED 交 AB 于点 F ，请你探究线段 EF 与 FD 的数量关系，并证明你的结论O ECBDA模型2 截取构造对称全等如图，P 是∠MON 的平分线上一点，点A 是射线OM 上任意一点，在ON 上截取OB =OA ，连接PB 。

角平分线模型的三种考法类型一、角平分线上的点向两边作垂线1已知，△ABC中，∠BAC=120°，AD平分∠BAC，∠BDC=60°，AB=2，AC=3，则AD的长是．1.如图，AC、BD是四边形ABCD的对角线，BD平分∠ABC，2∠ACD=∠ABC+∠BAC，已知∠CAD=43°，则∠BDC=．2.已知：AD是△ABC的角平分线，且AD⊥BC．(1)如图1，求证：AB=AC；(2)如图2，∠ABC=30°，点E在AD上，连接CE并延长交AB于点F，BG交CA的延长线于点G，且∠ABG=∠ACF，连接FG．①求证：∠AFG=∠AFC；②若S△ABG:S△ACF=2:3，且AG=2，求AC的长．3.在平面直角坐标系中，点A的坐标是(0,a)，点B的坐标(b,0)且a，b满足a2-12a+36+a-b=0．(1)求A、B两点的坐标；(2)如图(1)，点C为x轴负半轴一动点，OC<OB，BD⊥AC于D，交y轴于点E，求证：OD平分∠CDB．(3)如图(2)，点F为AB的中点，点G为x正半轴点B右侧的一动点，过点F作FG的垂线FH，交y轴的负半轴于点H，那么当点G的位置不断变化时，S△AFH-S△FBG的值是否发生变化?若变化，请说明理由；若不变化，请求出相应结果．类型二、过边上的点向角平分线作垂线构造等腰三角形2已知：ΔABC中，D为BC的中点，AG平分∠BAC,CG⊥AG于G，连结DG，若AB=6,AC=4，求DG的长．1.已知：等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°；AC=BC；∠1=∠3；BE⊥AD．求证：BE=12 AD．2.如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=AC，D是AC上一点，AE⊥BD交BD的延长线于E，AE=12BD，且DF⊥AB于F，求证：CD=DF类型三、利用角平分线的性质，在角两边截长补短3如图，在ΔABC中，AB>AC，AD平分∠BAC交BC于D，求证：AB-AC>BD-CD.1.如图所示，在ΔABC中，∠ACB=60°，AE,BD是ΔABC的角平分线，AE,BD交于点G，求证：GD=GE．2.阅读下面材料：小明遇到这样一个问题:如图一，△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，猜想线段AD与DC数量关系.小明发现可以用下面方法解决问题:作DE⊥BC交BC于点E：(1)根据阅读材料可得AD与DC的数量关系为.(2)如图二，△ABC中，∠A=120°，AB=AC，BD平分∠ABC，猜想线段AD与DC的数量关系，并证明你的猜想.(3)如图三，△ABC中，∠A=100°，AB=AC，BD平分∠ABC，猜想线段AD与BD、BC的数量关系，并证明你的猜想.3.如图，已知B(-1，0)，C(1，0)，A为y轴正半轴上一点，点D为第二象限一动点，E在BD的延长线上，CD交AB于F，且∠BDC=∠BAC．(1)求证：∠ABD=∠ACD；(2)求证：AD平分∠CDE；(3)若在点D运动的过程中，始终有DC=DA+DB，在此过程中，∠BAC的度数是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC的度数．4.如图1，点A、D在y轴正半轴上，点B、C分别在x轴上，CD平分∠ACB与y轴交于D点，∠CAO=90°-∠BDO．(1)求证：AC=BC；(2)在(1)中点C的坐标为4,0，点E为AC上一点，且∠DEA=∠DBO，如图2，求BC+EC的长；(3)在(1)中，过D作DF⊥AC于F点，点H为FC上一动点，点G为OC上一动点，(如图3)，当点H在FC上移动、点G在OC上移动时，始终满足∠GDH=∠GDO+∠FDH，试判断FH、GH、OG这三者之间的数量关系，写出你的结论并加以证明．课后训练1如图，在ΔABC中，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠ACB的平分线，AD、CE相交于点F，试判断FE和FD之间的数量关系.2如图，在ΔABC中，∠ABC=2∠C，BE平分∠ABC，交AC于E，AD⊥BE于D，求证：AC= 2BD.3如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=100°，BD是∠ABC的平分线，延长BD至点E，DE=AD，试求∠ECA的度数．4如图1，在△ABC中，CM是AB边的中线，∠BCN=∠BCM交AB延长线于点N，2CM=CN．(1)求证AC=BN；(2)如图2，NP平分∠ANC交CM于点P，交BC于点O，若∠AMC=120°，CP=kAC，求CPCM的值．5如图，在△ABC中，AD为BC边上的高，AE是∠BAD的角平分线，点F为AE上一点，连接BF，∠BFE=45°．(1)求证：BF平分∠ABE；(2)连接CF交AD于点G，若SΔABF=SΔCBF，求证：∠AFC=90°；(3)在(2)的条件下，当BE=3，AG=4.5时，求线段AB的长．6已知△ABC中，BE平分∠ABC，BE交AC于点E，CD平分∠ACB，交AB于点D，BE与CD交于点O．(1)如图1，求证：∠BOC=90°+1∠BAC．2(2)如图2，连接OA，求证：OA平分∠BAC．(3)如图3，若∠BAC=60°，BD=4，CE=2，求ODOC的值．7已知：在ΔABC和ΔDEC中，AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠ECD=α．(1)如图1，A，C，D在同一直线上，延长AE交BD于F，求证：AF⊥BD；(2)如图2，AE与BD交于F，G在AD上，若FG平分∠AFD，求证：点C在直线FG上．角平分线模型的三种考法类型一、角平分线上的点向两边作垂线1已知，△ABC 中，∠BAC =120°，AD 平分∠BAC ，∠BDC =60°，AB =2，AC =3，则AD 的长是．【答案】5【分析】过D 作，DE ⊥AC ，DF ⊥AB 交AB 延长线于F ，然后根据全等三角形的性质和30°角直角三角形的性质即可求解．【详解】过D 作，DE ⊥AC ，DF ⊥AB 交AB 延长线于F ，∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，∴DE =DF ，∠DEC =∠DFB =90°=∠DEA ，∵∠BAC +∠BDC +∠DCE +∠DBA =360°，∠BAC =120°，∠BDC =60°，∴∠DCE +∠DBA =180°，∵∠DBF +∠DBA =180°，∴∠DCE =∠DBF ，在△DEC 和△DFB 中，∠DCE =∠DBF∠DEC =∠DFBDE =DB∴△DEC ≌△DFB AAS ，∴CE =BF ，在Rt △DEA 和Rt △DFA 中，DE =DF DA =DA ，∴Rt △DEA ≌△DFA HL ，∴AE =AF ，∵AE =AC -CE ,AF =AB +BF ，∴AC -CE =AB +BF ，∴CE +BF =AC -AB =1，∴CE =BF =12，∴AF =AB +BF =52，∵AD 平分∠BAC ，∴∠DAB =12∠BAC =60°，∴∠ADF =180°-∠DAB -∠DFB =30°，∴AD =2AF =5．【点睛】此题考查了全等三角形和角平分线的性质，解题的关键是作出辅助线构造全等三角形．1.如图，AC 、BD 是四边形ABCD 的对角线，BD 平分∠ABC ，2∠ACD =∠ABC +∠BAC ，已知∠CAD =43°，则∠BDC =．【答案】47°【分析】过D 作DE ⊥BC 于E ，DF ⊥AB 于F ，DG ⊥AC 于G ，依据DC 平分∠ACE ，BD 平分∠ABC ，利用角平分线的性质，即可得到DF =DG ，进而得出AD 平分∠CAF ．再根据三角形外角的性质，即可得到∠BDC =12∠BAC ，进而得出结论．【解析】如图所示，过D 作DE ⊥BC 于E ，DF ⊥AB 于F ，DG ⊥AC 于G ，∵BD 平分∠ABC ，DE ⊥BC ，DF ⊥AB ，∴DF =DE ，∵2∠ACD =∠ABC +∠BAC ，∠ACE =∠ABC +∠BAC ，∴∠ACE =2∠ACD ，∴CD 平分∠ACE ，又∵DE ⊥BC ，DG ⊥AC ，∴DE =DG ，∴DF =DG ，又∵DF ⊥AB ，DG ⊥AC ，∴AD 平分∠CAF ，∵∠CAD =43°，∴∠CAF =86°，∠BAC =94°，∵∠DCE 是△BCD 的外角，∠ACE 是△ABC 的外角，∴∠BDC =∠DCE -∠DBC =12∠ACE -12∠ABC =12∠ACE -12∠ABC =12∠ACE -∠ABC =12∠BAC =12×94°=47°故答案为：47°．【点评】本题主要考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．2.已知：AD 是△ABC 的角平分线，且AD ⊥BC．(1)如图1，求证：AB =AC ；(2)如图2，∠ABC =30°，点E 在AD 上，连接CE 并延长交AB 于点F ，BG 交CA 的延长线于点G ，且∠ABG =∠ACF ，连接FG ．①求证：∠AFG =∠AFC ；②若S △ABG :S △ACF =2:3，且AG =2，求AC 的长．【答案】(1)见解析；(2)①见解析；②6．【分析】(1)用ASA 证明△ABD ≌△ACD ，即得AB =AC ；(2)①证明△BAG ≌△CAE 可得AG =AE ，再用SAS 证明△FAG ≌△FAE ，即得∠AFG =∠AFC ；②过F 作FK ⊥AG 于K ，由S △ABG :S △ACF =2:3，可得S △CAE :S △ACF =2:3，S △FAE :S △ACF =1:3，而△FAG ≌△FAE ，故S △FAG :S △ACF =1:3，即得AG :AC =1:3，根据AG =2，可求AC =6．【解析】解：(1)证明：∵AD 是△ABC 的角平分线，∴∠BAD =∠CAD ，∵AD ⊥BC ，∴∠ADB =∠ADC ，在△ABD 和△ACD 中，∠BAD =∠CADAD =AD ∠ADB =∠ADC，∴△ABD ≌△ACD ASA ，∴AB =AC ；(2)①∵AB =AC ，∠ABC =30°，AD ⊥BC ，∴∠BAD =∠CAD =60°，∴∠BAG =60°=∠CAD ，在△BAG 和△CAE 中，∠BAG =∠CAEAB =AC ∠ABG =∠ACE，∴△BAG ≌△CAE ASA ，∴AG =AE ，在△FAG 和△FAE 中，AG =AE∠GAF =∠EAF AF =AF，∴△FAG ≌△FAE SAS ，∴∠AFG =∠AFC ；②过F 作FK ⊥AG 于K ，如图：由①知：△BAG ≌△CAE，∵S △ABG :S △ACF =2:3，∴S △CAE :S △ACF =2:3，∴S △FAE :S △ACF =1:3，由①知：△FAG ≌△FAE ，∴S △FAG :S △ACF =1:3，∴12AG ⋅FK :12AC ⋅FK =1:3，∴AG :AC =1:3，∵AG =2，∴AC =6．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的相关知识.3.在平面直角坐标系中，点A 的坐标是(0,a )，点B 的坐标(b ,0)且a ，b 满足a 2-12a +36+a -b =0．(1)求A 、B 两点的坐标；(2)如图(1)，点C 为x 轴负半轴一动点，OC <OB ，BD ⊥AC 于D ，交y 轴于点E ，求证：OD 平分∠CDB ．(3)如图(2)，点F 为AB 的中点，点G 为x 正半轴点B 右侧的一动点，过点F 作FG 的垂线FH ，交y 轴的负半轴于点H ，那么当点G 的位置不断变化时，S △AFH -S △FBG 的值是否发生变化?若变化，请说明理由；若不变化，请求出相应结果．【答案】(1)A (0，6)，B (6，0)；(2)证明见解析；(3)不变化，S △AFH -S △FBG =9．【分析】(1)由非负性可求a ，b 的值，即可求A 、B 两点的坐标；(2)过点O 作OM ⊥BD 于M ，ON ⊥AC 于N ，根据全等三角形的判定和性质解答即可；(3)由于点F 是等腰直角三角形AOB 的斜边的中点，所以连接OF ，得出OF =BF ．∠BFO =∠GFH ，进而得出∠OFH =∠BFG ，利用等腰直角三角形和全等三角形的判定和性质以及三角形面积公式解答即可．【解析】解：(1)∵a 2-12a +36+a -b =0∴(a -6)2+a -b =0，∴a -6=0a -b =0 ，即a =b =6．∴A (0，6)，B (6，0)．(2)如图，过点O 作OM ⊥BD 于M ，ON ⊥AC 于N ，根据题意可知∠ACO +∠CAO =90°．∵BD ⊥AC ，∴∠BCD +∠CBE =90°，∴∠CAO =∠CBE ．∵A (0，6)，B (6，0)，∴OA =OB =6．在△AOC 和△BOE 中，∠CAO =∠EBOOA =OB ∠AOC =∠BOE =90°，∴△AOC ≅△BOE (ASA )．∴OE =OC ，AC =BE ，S △AOC =S △BOE ．∴12AC ∙ON =12BE ∙OM ，∴OM =ON ，∴点O 一定在∠CDB 的角平分线上，即OD 平分∠CDB ．(3)如图，连接OF ，∵△AOB 是等腰直角三角形且点F 为AB 的中点，∴OF ⊥AB ，OF =FB ，OF 平分∠AOB ．∴∠OFB =∠OFH +∠HFB =90°．又∵FG ⊥FH ，∴∠HFG =∠BFG +∠HFB =90°，∴∠OFH =∠BFG ．∵∠FOB =12∠AOB =45°，∴∠FOH =∠FOB +∠HOB =45°+90°=135°．又∵∠FBG =180°-∠ABO =180°-45°=135°，∴∠FOH =∠FBG ．在△FOH 和△FBG 中∠OFH =∠BFGOF =BF ∠FOH =∠FBG，∴△FOH ≅△FBG (ASA )．∴S △FOH =S △FBG ，∴S △AFH -S △FBG =S △AFH -S △FOH =S △FOA =12S △AOB =12×12OA ∙OB =14×6×6=9．故不发生变化，且S △AFH -S △FBG =9．【点睛】本题为三角形综合题，考查非负数的性质，角平分线的判定，等腰直角三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，正确添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．类型二、过边上的点向角平分线作垂线构造等腰三角形2已知：ΔABC 中，D 为BC 的中点，AG 平分∠BAC ,CG ⊥AG 于G ，连结DG ，若AB =6,AC =4，求DG 的长．【答案】DG =1【分析】延长CG 交AB 于点E . 根据等腰三角形的判定与性质得CG =EG ，AE =AC ,再根据三角形中位线的性质得出DG =12BE =12(AB -AC )，从而得出DG 的长．【详解】解：延长CG 交AB 于点E ．∵AG 平分∠BAC ，CG ⊥AG 于G ，∴CG =EG ，AE =AC =4，∴BE =AB -AC =2，∵CG =EG ，D 为BC 的中点，∴DG =12BE =1．故答案为DG =1.【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质，三角形中位线定理，根据题意作出辅助线，利用三角形中位线定理求解是解题的关键． 1.已知：等腰直角三角形ABC 中，∠ACB =90°；AC =BC ；∠1=∠3；BE ⊥AD ．求证：BE =12AD ．【答案】见解析.【分析】延长AC 、BE 交于F ，首先由ASA 证明△AEF ≌△AEB ，得到BE =12BF ，然后再次通过ASA 证明△ACD ≌△BCF ，得到AD =BF ，问题得解.【解析】证明：延长AC 、BE 交于F ，∵∠1=∠3，BE ⊥AE ，在△AEF 和△AEB 中，∠1=∠3AE =AE ∠AEF =∠AEB =90°，∴△AEF ≌△AEB (ASA)，∴FE =BE ，∴BE =12BF ，∵∠ACD =∠BED =90°，∠ADC =∠BDE ，∴∠1=∠2，在△ACD 和△BCF 中，∠ACD =∠BCF =90°AC =BC ∠1=∠2，∴△ACD ≌△BCF (ASA )，∴AD =BF ，∴BE =12AD .【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线，两次证明全等是解题关键，也考查学生的推理能力，题目比较好，有一定的难度． 2.如图，在△ABC 中，∠C =90°，BC=AC ，D 是AC 上一点，AE ⊥BD 交BD 的延长线于E ，AE =12BD ，且DF ⊥AB 于F ，求证：CD =DF 【答案】见解析【解析】证明：延长AE 、BC 交于点F . 如图所示：∵AE ⊥BE ，∴∠BEA =90°，又∠ACF =∠ACB =90°，∴∠DBC +∠AFC =∠FAC +∠AFC =90°，∴∠DBC =∠FAC ，在△ACF 和△BCD 中,∠ACF =∠BCD =90°AC =BC ∠FAC =∠DBC，∴△ACF ≌△BCD (ASA )，∴AF =BD .又AE =12BD ，∴AE =12AF ，即点E 是AF 的中点，∴AB =BF ，∴BD 是∠ABC 的角平分线，∵∠C =90°，DF ⊥AB 于F ，∴CD =DF .类型三、利用角平分线的性质，在角两边截长补短3如图，在ΔABC 中，AB >AC ，AD 平分∠BAC 交BC 于D，求证：AB -AC >BD -CD .【答案】详见解析【分析】可以在AB 上截取AE =AC ，构造三角形全等，再结合三角形三边关系可证得结论．【详解】在AB 上截取AE =AC ，则BE=AB-AC，在△AED和△ACD中，AE=AC∠EAD=∠CADAD=AD，∴△AED≌△ACD(SAS)，∴DE=DC，在△BDE中，BD-DE<BE(三角形两边之差小于第三边)，∴BE>BD-CD，即AB-AC>BD-CD.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，构造三角形全等是解题的关键．1.如图所示，在ΔABC中，∠ACB=60°，AE,BD是ΔABC的角平分线，AE,BD交于点G，求证：GD=GE．【答案】详见解析【分析】在AB上截AF=AD，连接FG，根据角平分线的性质、结合三角形内角和定理可得∠AGD=60°，∠AGB=120°，证明ΔADG≌ΔAFG，得GD=GF，∠AGD=∠AGF=60°，可证得ΔBGF≌ΔBGE，即可得GF=GE=GD.【解析】证明：在AB上截AF=AD，连接FG，∵AE平分∠BAC，∴∠EAC=∠EAB，又∵AG=AG，∴ΔADG≌ΔAFG ，∴GD=GF，∠AGD=∠AGF，∵∠ACB=60°，AE,BD是ΔABC的角平分线，∴∠AGB=180°-12∠CAB-12∠CBA=180°-12∠CAB+∠CBA=120°∴∠AGD=∠AGF=∠BGF=∠BGE=60°，∵∠BGF =∠BGEBG =BG∠GBF =∠GBE∴ΔBGF ≌ΔBGE ASA ，∴GF =GE ，∴GD =GE .【点睛】本题考查角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，作辅助线是解题的关键．2.阅读下面材料：小明遇到这样一个问题:如图一，△ABC 中，∠A =90°，AB =AC ，BD 平分∠ABC ，猜想线段AD 与DC 数量关系.小明发现可以用下面方法解决问题:作DE ⊥BC 交BC 于点E ：(1)根据阅读材料可得AD 与DC 的数量关系为.(2)如图二，△ABC 中，∠A =120°，AB =AC ，BD 平分∠ABC ，猜想线段AD 与DC 的数量关系，并证明你的猜想.(3)如图三，△ABC 中，∠A =100°，AB =AC ，BD 平分∠ABC ，猜想线段AD 与BD 、BC 的数量关系，并证明你的猜想.【答案】(1)CD =2AD ；(2)CD =3AD ；(3)BC =AD +BD .【分析】(1)由角平分线的性质可得AD =DE ，根据∠A =90°，AB =AC ，可得∠C =45°，由DE ⊥BC 可得△DEC 是等腰直角三角形，可得CD =2DE ，进而可得答案；(2)在BC 上截取BE =AB ，连接DE ，利用SAS 可证明△ABD ≌△EBD ，可得AD =DE ，∠BED =∠A =120°，由等腰三角形的性质可得∠C =30°，利用三角形外角性质可得∠CDE =90°，利用含30°角的直角三角形的性质即可得答案；(3)在BC 上取一点E ，使BE =BD ，作DF ⊥BA 于F ，DG ⊥BC 于G ，由角平分线的性质就可以得出DF =DG ，利用AAS 可证明△DAF ≌△DEG ，可得DA =DE ，利用外角性质可求出∠EDC =40°，进而可得DE =CE ，即可得出结论．【解析】(1)∵∠A =90°，BD 平分∠ABC ，DE ⊥BC ，∴DE =AD ，∵∠A =90°，AB =AC ，∴∠C =45°，∴△CDE 是等腰直角三角形，∴CD =2DE =2AD ，故答案为CD =2AD(2)如图，在BC 上截取BE =AB ，连接DE ，∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD =∠DBE ，在△ABD 和△EBD 中，AB =BE∠ABD=∠DBE BD =BD，∴△ABD ≌△EBD ，∴DE =AD ，∠BED =∠A =120°，∵AB =AC ，∴∠C =∠ABC =30°，∴∠CDE =∠BED -∠C =90°，∴CD =3DE =3AD .(3)如图，在BC 上取一点E ，是BE =BD ，作DF ⊥BA 于F ，DG ⊥BC 于G ，∴∠DFA =∠DGE =90°．∵BD 平分∠ABC ，DF ⊥BA ，DG ⊥BC ，∴DF =DG ．∵∠BAC =100°，AB =AC ，∴∠FAD =80°，∠ABC =∠C =40°，∴∠DBC =20°，∵BE =BD ，∴∠BED =∠BDE =80°，∴∠FAD =∠BED ．在△DAF 和△DEG 中，∠DFA =∠DGE∠FAD =∠BED DF =DG，∴△DAF ≌△DEG (AAS )，∴AD =ED ．∵∠BED =∠C +∠EDC ，∴80°=40+∠EDC ，∴∠EDC =40°，∴∠EDC =∠C ，∴DE =CE ，∴AD =CE ．∵BC =BE +CE ，∴BC =BD +AD ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质的运用，角平分线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时合理添加辅助线是解答本题的关键．3.如图，已知B (-1，0)，C (1，0)，A 为y 轴正半轴上一点，点D 为第二象限一动点，E 在BD 的延长线上，CD 交AB 于F ，且∠BDC =∠BAC ．(1)求证：∠ABD =∠ACD ；(2)求证：AD 平分∠CDE ；(3)若在点D 运动的过程中，始终有DC =DA +DB ，在此过程中，∠BAC 的度数是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC 的度数．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)不变，60°【分析】(1)根据∠BDC=∠BAC，∠DFB=∠AFC，再结合∠ABD+∠BDC+∠DFB=∠BAC+∠ACD +∠AFC=180°，即可得出结论；(2)过点A作AM⊥CD于点M，作AN⊥BE于点N．运用“AAS”证明△ACM≌△ABN得AM=AN．根据“到角的两边距离相等的点在角的平分线上”得证；(3)运用截长法在CD上截取CP=BD，连接AP．证明△ACP≌ABD得△ADP为等边三角形，从而求∠BAC的度数．【解析】(1)证明：∵∠BDC=∠BAC，∠DFB=∠AFC，又∵∠ABD+∠BDC+∠DFB=∠BAC+∠ACD+∠AFC=180°，∴∠ABD=∠ACD；(2)过点A作AM⊥CD于点M，作AN⊥BE于点N．则∠AMC=∠ANB=90°，∵OB=OC，OA⊥BC，∴AB=AC，∵∠ABD=∠ACD，∴△ACM≌△ABN(AAS)，∴AM=AN，∴AD平分∠CDE(到角的两边距离相等的点在角的平分线上)；(3)∠BAC的度数不变化．在CD上截取CP=BD，连接AP．∵CD=AD+BD，∴AD=PD，∵AB=AC，∠ABD=∠ACD，BD=CP，∴△ABD≌△ACP，∴AD=AP，∠BAD=∠CAP，∴AD=AP=PD，即△ADP是等边三角形，∴∠DAP=60°，∴∠BAC=∠BAP+∠CAP=∠BAP+∠BAD=60°．【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质，运用了角平分线的判定定理和“截长补短”的数学思想方法，综合性较强．4.如图1，点A、D在y轴正半轴上，点B、C分别在x轴上，CD平分∠ACB与y轴交于D点，∠CAO=90°-∠BDO．(1)求证：AC=BC；(2)在(1)中点C的坐标为4,0，点E为AC上一点，且∠DEA=∠DBO，如图2，求BC+EC的长；(3)在(1)中，过D作DF⊥AC于F点，点H为FC上一动点，点G为OC上一动点，(如图3)，当点H在FC上移动、点G在OC上移动时，始终满足∠GDH=∠GDO+∠FDH，试判断FH、GH、OG这三者之间的数量关系，写出你的结论并加以证明．【答案】(1)见解析；(2)8；(3)GH=FH+OG，证明见解析．【分析】(1)结合题意易得∠CAO=∠CBD，从而易证△CAO≌△CBD AAS得到结论；(2)如图所示，过D作DN⊥AC于N点，结合(1)易证得Rt△BDO≌Rt△EDN HL及Rt△CDO≌Rt△CDN HL，由全等三角形的性质可求解；(3)如图所示，在x轴的负半轴上取OM=FH，连接DM，易证得△DFH≌△DOM SAS，得到DH= DM及∠1=∠ODM，结合题意易得∠GDH=∠GDM，再证得△GDH≌△GDM SAS得到MG=GH从而得到结论．【解析】(1)证明：∵∠CAO=90°-∠BDO，∠CBD=90°-∠BDO，∴∠CAO=∠CBD，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，在△CAD和△CBD中，∠CAO=∠CBD ∠ACD=∠BCD CD=CD，∴△CAD≌△CBD AAS，∴AC=BC；(2)解：由(1)知∠DEA=∠DBO=∠CAD，∴BD=AD=DE，如图所示，过D作DN⊥AC于N点，∵CD平分∠ACB，∴DO=DN，在Rt△BDO和Rt△EDN中，BD=DE DO=DN，∴Rt△BDO≌Rt△EDN HL，∴BO=EN，在Rt△CDO和Rt△CDN中，CD=CD DO=DN，∴Rt△CDO≌Rt△CDN HL，∴CO=CN，∴BC+EC=BO+OC+CN-EN=2OC=8；(3)GH=FH+OG．∵CD平分∠ACB，在x轴的负半轴上取OM=FH，连接DM，如图所示：在△DFH和△DOM中，DF=DO∠DFH=∠DOM OM=FH， ∴△DFH≌△DOM SAS，∴DH=DM，∠1=∠ODM，∴∠GDH=∠1+∠2=∠ODM+∠2=∠GDM，在△GDH和△GDM中,DH=DM∠GDH=∠GDM DG=DG，∴△GDH≌△GDM SAS，∴MG=GH，∴GH=MG=OM+OG=FH+OG．【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质的综合运用；解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质的综合运用．课后训练1如图，在ΔABC中，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠ACB的平分线，AD、CE相交于点F，试判断FE和FD之间的数量关系.【答案】详见解析【分析】如图，过点F作FH⊥BC，FG⊥AB，垂足分别为H、G，根据角平分线，可得点F是ΔABC的内心，则有FG=FH，继而根据三角形内心的性质可得∠FDH=∠FEG，从而可得ΔFDH≌ΔFEG，继而可得FE=FD.【详解】FE=FD，理由如下：如图，过点F作FH⊥BC，FG⊥AB，垂足分别为H、G.∵F是∠BAC，∠ACB的平分线AD、CE的交点，∴F为ΔABC的内心，∴FG=FH.∵∠B=60°，∴∠FAC+∠FCA=12∠BAC+∠BCA=60°，又∵∠FDH=∠B+∠BAD=60°+∠BAD；∠FEG=∠BAD+∠FAC+∠FCA=60°+∠BAD，∴∠FDH=∠FEG，又GH=FH，∴ΔFDH≌ΔFEG，∴FD=FE.【点睛】本题考查了三角形的内心的性质，全等三角形的判定与性质解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．2如图，在ΔABC中，∠ABC=2∠C，BE平分∠ABC，交AC于E，AD⊥BE于D，求证：AC=2BD.【答案】详见解析【分析】延长BD至N，使DN=BD，易得AD垂直平分BN，继而证得AE=EN，则可证得结论．【详解】延长BD至N，使DN=BD，连接AN．∵AD⊥BE，∴AD垂直平分BN，∴AB=AN，∴∠N=∠ABN，又∵BE平分∠ABC，∠ABC=2∠C，∴∠ABN=∠NBC=∠C，∴∠NBC=∠C，∴AN∥BC，∴∠C=∠NAC，∴∠NAC=∠N，∴AE=EN，∵BE=EC，∴AC=BN=2BD．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定、线段垂直平分线的性质以及平行线的判定与性质．注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．3如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=100°，BD是∠ABC的平分线，延长BD至点E，DE=AD，试求∠ECA的度数．【答案】40°【分析】在BC上截取BF=AB，连接DF，通过证明△ABD≌△FBD SAS，可得∠DFC=180°-∠A= 80°，再通过证明△DCE≌△DCF SAS，即可求得∠ECA=∠DCB=40°【详解】解：如图，在BC 上截取BF =AB ，连接DF ，∵BD 是∠ABC 的平分线，∴∠ABD =∠FBD ，在△ABD 和△FBD 中，AB =FB ,∠ABD =∠FBD ,BD =BD ,∴△ABD ≌△FBD SAS ，∴∠BFD =∠A ，AD =DF ，∴DE =DF ，∴∠DFC =180°-∠A =80°，又∵∠ABC =∠ACB =40°，∴∠FDC =60°，∵∠EDC =∠ADB =180°-∠ABD -∠A =60°，∴∠EDC =∠FDC ，在△DCE 和△DCF 中，DE =DF ,∠EDC =∠FDC ,DC =DC ,∴△DCE ≌△DCF SAS ，故∠ECA =∠DCB =40°．【点睛】本题考查了全等三角形的问题，掌握全等三角形的性质以及判定定理是解题的关键．4如图1，在△ABC 中，CM 是AB 边的中线，∠BCN =∠BCM 交AB 延长线于点N ，2CM =CN．(1)求证AC =BN ；(2)如图2，NP 平分∠ANC 交CM 于点P ，交BC 于点O ，若∠AMC =120°，CP =kAC ，求CP CM的值．【答案】(1)见解析；(2)2k k +1【分析】(1)延长CM 至点D ，使CM =DM ，可证ΔACM ≅ΔBDM ，由全等三角形的性质从而得出AC =BD ，根据题目已知，可证ΔDCB ≅ΔNCB ，由全等三角形的性质从而得出BN =BD ，等量代换即可得出答案；(2)如图所示，作CQ =CP ，可证ΔCPO ≅ΔCQO ，由全等三角形的性质相等角从而得出∠1=∠2=∠3，进而得出∠4=∠5，故可证ΔNOB ≅ΔNOQ 等量转化即可求出CP CM的值．【详解】(1)如图1所示，延长CM 至点D ，使CM =DM ，在△ACM 与△BDM 中，CM =DM∠AMC =∠BMD AM =BM，∴ΔACM ≅ΔBDM ，∴AC =BD ，∵2CM =CN ，∴CD =CN ，在△DCB 与△NCB 中，CD =CN∠DCB =∠NCB CB =CB,∴ΔDCB ≅ΔNCB ，∴BN =BD ，∴AC =BN ；(2)如图所示，∵∠AMC =120°，∴∠CMN =60°，∵NP 平分∠MNC ，∠BCN =∠BCM ，∠PNC +∠BCN =12∠AMC =60°，∴∠CON =120°，∠COP =60°，∴∠CMN +∠BOP =180°，作CQ =CP ，在△CPO 与△CQO 中，CQ =CP∠QCO =∠PCO CO =CO，∴ΔCPO ≅ΔCQO ，∴∠1=∠2=∠3，∴∠4=∠5，在△NOB 与△NOQ 中，∠4=∠5∠BNO =∠QNO NO =NO，∴ΔNOB ≅ΔNOQ ，∴BN =NQ ，∴CN =CP +NB ，∴2CM =CP +AC ，设AC =a ，∴CP =ka ，CM =a (k +1)2，∴CP CM=2k k +1．【点睛】本题考查全等三角形的综合应用，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．5如图，在△ABC 中，AD为BC 边上的高，AE 是∠BAD 的角平分线，点F 为AE 上一点，连接BF ，∠BFE =45°．(1)求证：BF平分∠ABE；(2)连接CF交AD于点G，若SΔABF=SΔCBF，求证：∠AFC=90°；(3)在(2)的条件下，当BE=3，AG=4.5时，求线段AB的长．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)7.5【分析】(1)根据AE是∠BAD的角平分线和∠BFE=45°得2∠FBA+2∠BAF=90°，再结合AD为BC边上的高得出∠EBF=∠FBA即可证明；(2)过点F作FM⊥BC于点M，FN⊥AB于点N，证明△ABF≅△CBF，得出∠AFB=∠CFB，再根据∠BFE=45°，解出∠AFB=∠CFB=135°即可证明；(3)根据△ABF≅△CBF及AD为BC边上的高证明△AFG≅△CFE，得出AG=EC=4.5，再根据BE= 3，解得BC=BE+EC=7.5，结合△ABF≅△CBF即可求出AB=BC=7.5；【详解】(1)证明：∵AE是∠BAD的角平分线，∴∠BAD=2∠BAF.∵∠BFE=45°，∴∠FBA+∠BAF=45°.∴2∠FBA+2∠BAF=90°.∵AD为BC边上的高，∴∠EBF+∠FBA+2∠BAF=90°.∴∠EBF=∠FBA.∴BF平分∠ABE.(2)过点F作FM⊥BC于点M，FN⊥AB于点N，∵BF平分∠ABE，且FM⊥BC，FN⊥AB，∴FM=FN.∵SΔABF=SΔCBF，∴AB=BC，∵BF平分∠ABE，∴∠ABF=∠CBF，在△ABF和△CBF中，AB=BC∠ABF=∠CBF BF=BF∴△ABF≅△CBF(SAS)，∴∠AFB=∠CFB，∵∠BFE=45°，∴∠AFB =∠CFB =135°，∴∠AFC =90°，(3)∵△ABF ≅△CBF ，∴AF =FC ，∠AFC =90°，∴∠AFC =∠EFC ，∵AD 为BC 边上的高，∴∠ADE =90°，∴∠EAD +∠AEC =∠FCE +∠AEC ，∴∠EAD =∠FCE .在△AFG 和△CFE 中，∠EAD =∠FCEAF =CF∠AFC =∠EFC∴△AFG ≅△CFE (ASA ).∴AG =EC =4.5，∵BE =3，∴BC =BE +EC =7.5，∵△ABF ≅△CBF ，∴AB =BC =7.5.【点睛】本题主要考查了全等三角形的证明以及性质运用，角平分线的判定以及基本性质，熟练掌握全等三角形的几种判定方法以及角平分线的判定是解答该题的关键．6已知△ABC 中，BE 平分∠ABC ，BE 交AC 于点E ，CD 平分∠ACB ，交AB 于点D ，BE与CD 交于点O ．(1)如图1，求证：∠BOC =90°+12∠BAC ．(2)如图2，连接OA ，求证：OA 平分∠BAC ．(3)如图3，若∠BAC =60°，BD =4，CE =2，求OD OC的值．【答案】(1)见解析(2)详见解析(3)23【分析】(1)由角平分线的性质得出∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，由三角形的内角和定理得出∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC，∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，代入即可得出结论；(2)过点O作ON⊥BC于N，OM⊥AB于M，OK⊥AC于K，证明OM=OK，则点O在∠BAC的平分线上，即可得出结论；(3)过点B作BH⊥CD交CD的延长线于点H，过点O作OF平分∠BOC交BC于点F，过点O作ON⊥BC于N，OM⊥AB于M，证明∠BOF=∠BOD，∠COF=∠COE，由角平分线的性质得出∠OBF=∠OBD，∠OCF=∠OCE，由ASA证得△BOF≌△BOD，BF=BD=4，由ASA证得△COF≌△COE，CF=CE=2，求出BC=6，由S△BOD:S△BOC=12OD⋅BH:12OC⋅BH=OD:OC，S△BOD:S△BOC=12BD⋅OM:12BC⋅ON=BD:BC，进行计算即可得出结论．【详解】(1)证明：∵BE平分∠ABC，CD平分∠ACB，∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC，∵∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，∴∠BOC=180°-∠OBC+∠OCB=180°-12∠ABC+12∠ACB=180°-12∠ABC+∠ACB=180°-12180°-∠BAC=180°-90°+12∠BAC=90°+12∠BAC；(2)证明：如图，过点O作ON⊥BC于N，OM⊥AB于M，OK⊥AC于K，∵BE平分∠ABC，CD平分∠ACB，∴OM=ON，ON=OK，∴OM=OK，∴点O在∠BAC的平分线上，∴OA平分∠BAC；(3)解：如图，过点B作BH⊥CD交CD的延长线于点H，过点O作OF平分∠BOC交BC于点F，过点O作ON⊥BC于N，OM⊥AB于M，∵∠BAC =60°，∴∠BOC =90°+12∠BAC =120°，∴∠BOD =∠COE =180°-∠BOC =180°-120°=60°，∵OF 平分∠BOC ，∴∠BOF =∠COF =12∠BOC =60°，∴∠BOF =∠BOD ，∠COF =∠COE ，∵BE 平分∠ABC ，CD 平分∠ACB ，∴∠OBF =∠OBD ，∠OCF =∠OCE ，在△BOF 和△BOD 中，∠OBF =∠OBDBO =BO ∠BOF =∠BOD，∴△BOF ≌△BOD ASA ，∴BF =BD =4，在△COF 和△COE 中，∠OCF =∠OCECO =CO ∠COF =∠COE，∴△COF ≌△COE ASA ，∴CF =CE =2，∴BC =BF +CF =4+2=6，∵S △BOD :S △BOC =12OD ⋅BH :12OC ⋅BH =OD :OC ，S △BOD :S △BOC =12BD ⋅OM :12BC ⋅ON =BD :BC ，∴OD OC =BD BC=46=23．【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定与性质、三角形内角和定理、三角形面积的计算等知识，熟练掌握角平分线的性质与判定以及全等三角形的判定与性质是解题的关键．7已知：在ΔABC 和ΔDEC 中，AC =BC ，DC =EC ，∠ACB =∠ECD =α．(1)如图1，A ，C ，D 在同一直线上，延长AE 交BD 于F ，求证：AF ⊥BD ；(2)如图2，AE 与BD 交于F ，G 在AD 上，若FG 平分∠AFD ，求证：点C 在直线FG 上．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】(1)先说明∠ACB =∠ECD =12×180°=90°，根据SAS 证明ΔACE ≌ΔBCD ，得出∠CAE =∠CBD ，说明∠CAE +∠CDB =90°，即可得出答案；(2)连接CF ，过点C 作CM ⊥BD 于点M ，CN ⊥AE 于点N ，根据SAS 证明ΔBCD ≌ΔACE 得出∠CBM =∠CAN ，根据AAS 证明ΔCBM ≌ΔCAN ，得出CM =CN ，说明CF 平分∠MFN ，得出∠AFG =∠DFG ，证明∠CFM +∠MFA +∠AFG =∠CFN +∠NFD +∠DFG =180°即可得出结论．【详解】(1)证明：∵A ，C ，D 在同一直线上，∠ACB =∠ECD =α，∴∠ACB =∠ECD =12×180°=90°，∵在ΔACE 和ΔBCD 中AC =BC∠ACE =∠BCD CE =CD，∴ΔACE ≌ΔBCD SAS ，∴∠CAE =∠CBD ，∵∠CBD +∠BDC =90°，∴∠CAE +∠CDB =90°，∴∠AFD =180°-∠CAE +∠CDB =90°，∴AF ⊥BD ．(2)证明：连接CF ，过点C 作CM ⊥BD 于点M ，CN ⊥AE 于点N ，如图所示：∵∠ACB =∠DCE ，∴∠ACB +∠ACD =∠ACD +∠DCE ，即∠BCD =∠ACE ，∵在ΔBCD 和ΔACE 中BC =AC∠BCD =∠ACE CD =CE，∴ΔBCD ≌ΔACE SAS ，∴∠CBM =∠CAN ，∵在ΔCBM 和ΔCAN 中∠CBM =∠CAN∠CMB =∠CNA =90°CB =CA，∴ΔCBM ≌ΔCAN ，∴CM =CN ，∵CM⊥BD，CN⊥AE，∴CF平分∠MFN，∴∠MFC=∠NFC，∵FG平分∠AFD，∴∠AFG=∠DFG，∵∠MFA=∠NFD，∴∠CFM+∠MFA+∠AFG=∠CFN+∠NFD+∠DFG，∵∠CFM+∠MFA+∠AFG+∠CFN+∠NFD+∠DFG=360°，∴∠CFM+∠MFA+∠AFG=∠CFN+∠NFD+∠DFG=180°，∴C、F、G在同一直线上，即点C在直线FG上．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，垂直的定义，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形．。

与角平分线有关的基本题型在认识平面几何(二)中，角平分线在三角形的三条重要线段中尤其重要.它就像几何中的“变形金刚”，会时不时呈现一种它的新的形态.但俗话说的好，万变不离其宗，笔者带你了解一下它的基本形态，相信你就能了解它的各种变化了.我们来认识一下它的四种基本题型，记住结论，你可以迅速解决一类填空选择题;掌握方法，你可以对付它的任何变形.一、两条内角平分线的夹角与顶角的关系例 1 如图1，在ABC ∆中,BE 平分,ABC CE ∠平分ACB ∠.若80A ∠=°，则BEC ∠= ;若A n ∠=°，求BEC ∠用含n 的代数式表示)分析 已知顶角，则根据三角形内角和为180°可以求出两底角的和，再由角平分线的性质得到EBC ∠与EBC ∠的和为两底角和的一半，结合三角形内角和等于180°，求出BEC ∠.在ABC ∆中，A n ∠=°Q ,180180ABC BCA A n ∴∠+∠=°−∠=°−°.BE Q 平分ABC ∠ , CE 平分ACB ∠, 11()9022EBC ECB ABC BCA n ∴∠+∠=∠+∠=°−°, ∴在EBC ∆中，1180()902BEC EBC ECB n ∠=°−∠+∠=°−°. 结论 两条内角平分线的夹角等于90度加上顶角的一半(即1902BEC A ∠=°+∠). 变形 如图2 , 84MON ∠=°，点,A B 分别在射线,OM ON 上移动，AOB ∆的角平分线AC 与BD 交于点P .试问:随着点,A B 位置的变化，APB ∠的大小是否会变化?若保持不变，请求出APB ∠的度数.若发生变化，请说明理由.解 APB ∠的大小不变，始终为132°.Q 在OAB ∆中，84MON ∠=°,18096OAB OBA MON ∴∠+∠=°−∠=°,AOB ∴∆的角平分线AC 与BD 交于点P ,1()482PAB PBA OAB OBA ∴∠+∠=∠+∠=°， ∴在PAB ∆中，180()132APB PAB PBA ∴∠=°−∠+∠=°.二、两条外角平分线的夹角与顶角的关系例2 如图3，在ABC ∆中，BO 平分外角,CBD CO ∠平分外角BCE ∠.若A n ∠=°，求BOC ∠.分析 因为涉及到三角形的两个外角，所以用三角形的外角和为360°来表示DBC ECB ∠+∠简单一些.解 ,A n ∠=°∴Q 与A ∠相邻的外角为180n °−°.根据三角形的外角和为360°,360(180)180DBC ECB n n ∴∠+∠=°−°−°=°+°.又BO Q 平分外角,CBD CO ∠平分外角BCE ∠,11()9022OBC OCB DBC ECB n ∴∠+∠=∠+∠=°+°， ∴在BOC ∆中，1180()902BOC OBC OCB n ∠=°−∠+∠=°−°. 结论 两条外角平分线的夹角等于90度减去顶角的一半(即1902BOC A ∠=°−∠). 为了便于同学们区分这两个结论，笔者用“内优外患”来记，内优:内角平分线是90度加上顶角的一半;外患:外角平分线是90度减去顶角的一半.“优”就是“加”，“患”就是“减”. 变形 如图4，垂直相交的两直线OA 与OB 相交于点O ，连接并延长BA 至E ，在ABO ∠的内部作射线BF 交AO 于点C .若,,EAC FCA ABC ∠∠∠的平分线交于点G ，过点G 作BE 的垂线，垂足为H ，试问,AGH BGC ∠∠的大小关系如何?请写出你的结论并证明.分析 AG 和CG 是ABC ∆的两条外角平分线，则1902AGC ABC ∠=°−∠. 由GH BE ⊥，得190902HGB HBG ABC AGC ∠=°−∠=°−∠=∠. 所以HGB BGA AGC BGA ∠−∠=∠−∠,即AGH BGC ∠=∠.三、一条内角平分线一条外角平分线的夹角与顶角的关系例3 如图5，在ABC ∆中，BE 平分ABC ∠, CE 平分外角ACM ∠.若A n ∠=°，求BEC ∠.分析 由三角形的外角性质，可知ACM ABC BAC ∠=∠+∠ , ECM EBC BEC ∠=∠+∠;再由角平分线的性质得到BEC ∠和A ∠的关系.解 ACM ABC BAC ∠=∠+∠Q ,ECM EBC BEC ∠=∠+∠,又BE Q 平分ABC ∠, CE 平分外角ACM ∠,12EBC ABC ∴∠=∠，12ECM ACM ∠=∠, 1122BEC A n ∴∠=∠=°. 结论 三角形的一条内角平分线和一条外角平分线的夹角等于顶角的一半(即12BEC A ∠=∠). 变形 如图6 , ABC ∆中，ABC ∠的角平分线与ACB ∠的外角ACD ∠的平分线交于1A .(1)①探索A ∠与1A ∠之间数量关系并证明你的结论;②若1A BC ∠的角平分线与1A CD ∠的角平分线交于2A , 2A BC ∠与2A CD 的平分线交于3A ，如此继续下去可得4,,n A A ⋅⋅⋅请你直接写出n A ∠与A ∠的数量关系 .(2)如图7，若E 为BA 延长线上一动点，连,EC AEC ∠与ACE ∠的角平分线交于Q ，随着点E 的运动，1Q A ∠+∠的值是否变化?若变化，请说明理由;若不变，请求出其值. 解 (1)①112A A ∠=∠. ACD ABD BAC ∠−∠=∠Q , 11,BA CA 是ABC ∠的角平分线与ACB ∠的外角ACD ∠的平分线，11112A ACD A BD BAC ∴∠=∠−∠=∠. ②1()2n n A A ∠=∠.(2) ACD ABD BAC ∠−∠=∠Q , 11,BA CA 是ABC ∠的角平分线与ACB ∠的外角ACD ∠的平分线，11112A ACD A BD BAC ∴∠=∠−∠=∠. ,,AEC ACE BAC EQ CQ ∠+∠=∠Q 是,AEC ACE ∠∠的角平分线，11()22QEC QCE AEC ACE BAC ∴∠+∠=∠+∠=∠, 1180()1802Q QEC QCE BAC ∴∠=°−∠+∠=°−∠, 1180Q A ∴∠+∠=°.四、顶角平分线与一条高线的夹角与两底角的关系例4 如图8 , ABC ∆中，AD 平分BAC ∠ ,BE AC ⊥于点E ，交AD 于点F ，试说明12()2ABC C ∠=∠+∠.解 180ABC C BAC ∠+∠=°−∠Q ,又AD Q 平分BAC ∠,21BAC ∴∠=∠.,1902,2(902)BE AC BAC ⊥∴∠=°−∠∴∠=°−∠Q ,22ABC C ∴∠+∠=∠’ 即12()2ABC C ∠=∠+∠. 例5 在ABC ∆中，C B ∠>∠.如图9, AD BC ⊥于点,D AE 平分BAC ∠，试说明 1()2EAD C B ∠=∠−∠.解 180()BAC B C ∠=°−∠+∠Q ,又AE Q 平分BAC ∠,12EAC BAC ∴∠=∠. ,90AD BC DAC C ⊥∴∠=°−∠Q ,又EAD EAC DAC ∠=∠−∠Q ,1()2EAD C B ∴∠=∠−∠. 结论 顶角平分线和同顶点高线的夹角等于两底角差的一半;顶角平分线和不同顶点高线的夹角等于两底角和的一半.变形 在ABC ∆中，C B ∠>∠,AD BC ⊥于点,D AE 平分BAC ∠.(1)如图10(1), AE 平分BAC ∠, F 为AE 上的一点，且FD BC ⊥于点D ，这时EFD ∠与,B C ∠∠有何数量关系?请说明理由;(2)如图10(2) , AE 平分BAC ∠, F 为AE 延长线上的一点,FD BC ⊥于点D ，请你写出这时AFD ∠与,B C ∠∠之间的数量关系(只写结论，不必说明理由).(提示:过点A 作BC 的垂线段AM ，再利用垂直于同一直线的两直线平行得到EFD EAM ∠=∠，其理由如顶角平分线和同顶点高线的题例)纵观各地试题，有的给基础习题添加新问题，有的给基本模型创设“新情境”，有的给核心概念赋予新视角.希望同学们能抓住问题的本质，灵活运用与角平分线有关的基本题型，提升自己的解题水平.。

中考数学角平分线的用法三角形的高、中线和角平分线是三角形中三种非常重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们深入研究三角形的一些特征起到了很大的帮助作用，因此我们需要从不同的角度认识这三种线段。

今天，我们先来举例说明有关三角形的角平分线的几种应用类型。

类型一：三角形角平分线定义的直接应用例1：如图所示，在△ABC中，D，E，F是BC边上的三点，且∠1＝∠2＝∠3＝∠4，AE是哪个三角形的角平分线（）例1图A．△ABE B．△ADF C．△ABC D．△ABC，△ADF【分析】根据三角形的角平分线的定义得出．【解答】解：∵∠2＝∠3，∴AE是△ADF的角平分线；∵∠1＝∠2＝∠3＝∠4，∴∠1+∠2＝∠3+∠4，即∠BAE＝∠CAE，∴AE是△ABC的角平分线．故选：D．【点评】三角形的角平分线是指三角形一个内角的平分线与对边交点连接的线段．类型二：三角形的角平分线与高线相结合求角的度数例2：如图，在△ABC中，AD是高，AE是∠BAC的平分线，∠B ＝70°，∠C＝34°，求∠DAE的大小．例2图【分析】根据三角形内角和定理求得∠BAC的度数，则∠EAC即可求解，然后在△ACD中，利用三角形内角和定理求得∠DAC的度数，根据∠DAE=∠DAC-∠EAC即可求解．【点评】本题考查了三角形的内角和定理以及三角形的角平分线的定义，正确理解∠DAE=∠DAC-∠EAC是关键．类型三：求三角形两内角平分线相交所成角的度数例3：如图，△ABC中，BE，CD为角平分线且交点为点O，当∠A ＝60°时，（1）求∠BOC的度数；（2）当∠A＝100°时，求∠BOC的度数；（3）若∠A＝α°时，求∠BOC的度数．例3图【分析】（1）在△ABC中利用三角形内角和定理和角平分线的定义可求得∠OBC+∠OCB，在△BOC中利用三角形内角和定理可求得∠BOC；（2）方法同（1）；（3）方法同（1）．【点评】本题主要考查三角形内角和定理及角平分线的定义，掌握三角形内角和为180°是解题的关键．。