医学统计学课件抽样误差均数估计于

图 自由度分别为1、5、∞时的t分布
t分布的特征
t分布是一簇曲线，当ν不同时，曲线形状不同； 单峰分布，以0为中心，左右对称；
当ν逼近∞时，t分布逼近u分布，故标准正态分布
是t分布的特例; t分布曲线下面积是有规律的。
请看演示 t 分布
t界值表
表上阴影部分，表示t,以外的尾部面积占总面积百分数，即概率P。
X
从正态分布总体中1000次抽样的 u 值的分
布(n=4)
.2
均数为 0.007559
标准差为 1.006294
.15
Fraction
.1
.05
0
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 u
t 分布的概念
实际工作中，总体方差未知。所以，用样本 方差代替总体方差，
此时 X 的分布如何？ s
设从正态分布N(，2)中随机抽取含量为n的样本，
样本均数和标准差分别为 X 和s，设： t X s
X
则t值服从自由度为n-1的t分布(t-distribution)。
记为：
X
t s
~ t(n1)
X
t分布图形
f(t)
0.3
=∞(标准正态曲线) =5 =1
0.2
0.1
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
所得样本的方差s2接近于总体方差2的可能性
大，远离总体方差的可能性小。
即2值接近其均数n-1的可能性大，远离n-1的
可能性小。
2分布的特征
自由度＝10时，20.025,10＝20.48，20.975,10＝
3.25。 从正态分布的总体中随机抽样，得到的样本其
2值大于等于20.48的概率为0.025，小于等于
而标准误是描述统计量的抽样误差，即样本统计量和总体
区
参数的接近程度；
2、用途上
别 标准差常用于表现观察值的波动范围；
标准误常表示抽样误差的大小，估计总体参数可信区间。
3、与样本含量
标准差是随着样本含量的增多，逐渐趋于稳定。
标准误是随着样本含量的增多，逐渐减少。
与标准差的关系
首先，标准差和标准误都是变异指标，说明个体 之间的变异用标准差，说明统计量之间的变异用
Fraction
1 .9 .8 .7 .6 .5 .4 .3 .2 .1 0
2.5 2.8 3.1 3.4 3.7 4 4.3 4.6 4.9 5.2 5.5 5.8 6.1 6.4 6.7 7 7.3 7.6 7.9
x
图 从正态分布N（5.00，0.502）总体中抽样样本均数的分布
.5
.4
.3
假设检验
(hypothesis test)
3) 参数的估计
X
从正态分布总体中1000次抽样的 X s 值的
分布(n=4)
X
.35
均数为 0.05696
标准差为 1.55827
.3
.25
Fraction
.2
.15
.1
.05
0
-8 -6 -4 -2
0
2
4
6
8
t
t 分布的概念
用样本方差代替总体方差，此时
X s
X
不服从正态分布。
t 分布的概念
1908 年 ， W.S.Gosset (1876-1937) 以 笔 名 Student发表了著名的t分布，证明了：
0.5
0.4 f(2)
0.3
0.2
0.1
=2
=3 =4 =5
0.0
0
2
4
请看演示
2 分布
=6
6
8
10
12
2
2分布的特征
(1) 2分布为一簇单峰正偏态分布曲线 ；随
的逐渐加大，分布趋于对称。
(2) 自由度为的2分布，其均数为，方差为 2。
(3) 自由度为的2分布实际上是个标准正态
分布变量之平方和。
统计 推断
知
风险
抽样误差
sampling error，sampling variability 由抽样引起的样本统计量与总体参数间的 差别。 原因：个体变异＋抽样 表现：
➢ 样本统计量与总体参数间的差别 ➢ 不同样本统计量间的差别
抽样误差是不可避免的！ 抽样误差是有规律的！
均数的模拟试验
Fraction
.2
.1
0
4.1
4.4
4.7
5
5.3
5.6
5.9
x
图 从正态分布N（5.00，0.502）总体中抽样样本均数的分布
结论2
X 的分布很有规律，围绕着，中间多，两
边少，左右基本对称; 样本均数的变异范围较之原变量的变异范围
大大缩小；
2.中心极限定理
central limit theorem
量为n=11的样本，则由该样本计算的t值大于等于2.228 的概率为0.025，小于等于-2.228的概率亦为0.025。
t分布曲线下面积规律
-t 0 t
单尾：P(t≤- t,)=，或P(t≥t,)= 双尾：P(t≤- t/2,)+P(t≥t/2,)=，
即P(-t/2,<t< t/2,)=1-
3.25的概率亦为0.025。
P(2≤3.25)+P(2≥20.48)＝0.05
2分布近似描述具有某种属性的实际频数Ai与
理论频数Ti之间的抽样误差
2 (Ai Ti)2
Ti
6. F分布
F-distribution
抽样误差 中心极限定理 标准误 分布 参数估计
F分布
设 从 两 个 方 差 相 等 的 正 态 分 布 N(1,2) 和
s sx n
前者称为理论标准误，后者称为样本标准误。
与样本含量的关系
n 越大，均数的均数就越接近总体均数； n 越大，变异越小，分布越窄； 对称分布接近正态分布的速度，大于非对称
分布。分布越偏，接近正态分布所需样本含 量就越大。
与标准差的关系
1、意义上
标准差描述个体值之间的变异，即观察值间的离散程度；
F(0.05;20,20)= 2.12表示，从方差相等的正态分布 总 体 中 随 机 抽 取 n1=n2=21 的 样 本 ， 则 由 两 样 本计算的F值大于等于2.12的可能性为0.025， 而小于1/2.12=0.4717的可能性亦为0.025。
F分布的特征
样本统计量的抽样分布
任何一个样本统计量均有其分布规律。 从正态分布总体中抽样： 均数的抽样分布为正态分布； 样本方差的分布服从2分布； 样本方差之比服从F分布； t 值服从 t 分布； ……
得单尾t0.05，10=1.812，则：
P(t≤-1.812)=0.05
0.05
0.05
或P(t≥1.812)=0.05
-1.812 0 1.812
表明：按t分布的规律，从正态分布总体中抽取样本含
量为n=11的样本，则由该样本计算的t值大于等于1.812的
概率为0.05，或者小于等于-1.812的概率亦为0.05。
5. 2分布
chi-distribution
抽样误差 中心极限定理 标准误 分布 参数估计
2 分布
设从正态分布N(,2)中随机抽取含量为n的样本，样
本均数和标准差分别为 X 和s，设：
2 (n 1)s2 2
2值服从自由度为n-1的2分布(2-distribution)
2 分布
=1
抽样误差 中心极限定理 标准误 分布 参数估计
中心极限定理(central limit theorem)
（一）从均数为、标准差为 的正态总体中， 独立随机抽取例数为n的样本，样本均数
的分X 布服从正态分布；
■样本均数的均数为 μ;
■样本均数的标准差为
x
。 n
中心极限定理
（二）从非正态(nonnormal)分布总体(均数为μ， 方差为σ)中随机抽样(每个样本的含量为n)，可 得无限多个样本，每个样本计算样本均数，则 只要样本含量足够大(n>50),样本均数也近似服 从正态分布。
表中数据表示与确定时相应的t界值（critical value），常记为t,。
t分布表明，从正态分布总体中随机抽取的样本，由 样本计算的t值接近0的可能性较大，远离0的可能性较 小。
t X
t1 t2
s X
t3
t4
抽样
总体
样本
tn-3 tn-2 tn-1 tn
统计量
-t 0 t
ｔ分布
例如，当=10，单尾概率=0.05时，查表
假设一个已知总体，从该总体中抽样，对每 个样本计算样本统计量(均数、方差等)，观察 样本统计量的分布规律－－抽样分布规律。
正态分布总体 偏三角分布总体 均匀分布总体 指数Ｆ分布总体 双峰分布总体
均数的模拟试验
考察： 样本均数的均数与总体均数有何关系？ 样本均数的标准差与总体标准差有何关系？ 样本均数的分布形状如何？ 不同的样本含量对上述性质的影响如何？
医学统计学课件抽样误差均数估计于
主要内容
抽样误差 中心极限定理 标准误 ｔ分布
2 分布
F分布 参数估计
1. 抽样误差
Sampling error
抽样误差 中心极限定理 标准误 分布 参数估计
了解抽样误差的重要性
总体
随机 抽样
同质、个体变异
样本
代表性、抽样误差
总体参数
未知
样本统计量已
2=u12+ u22+……+ uv2
2分布－与正态分布的关系
0.025
-1.96
0.025