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1．椭圆的参数方程椭圆的参数方程(1)中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φy ＝b sin φ(φ为参数)，规定参数φ的取值范围是[0,2π)．(2)中心在(h ，k )的椭圆普通方程为(x －h )2a 2＋(y －k )2b 2＝1，则其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝h ＋a cos φy ＝k ＋b sin φ(φ为参数)．[例1] 已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值．[思路点拨] (1)由椭圆的参数方程公式，求椭圆的参数方程，由换元法求直线的普通方程．(2)将椭圆上的点的坐标设成参数方程的形式，将问题转化为三角函数求最值问题． [解] (1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，直线l 的普通方程为2x＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|.则|PA |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|PA |取得最大值， 最大值为2255.当sin(θ＋α)＝1时，|PA |取得最小值，最小值为255.利用椭圆的参数方程，求目标函数的最大(小)值，通常是利用辅助角公式转化为三角函数求解．1．已知椭圆x 225＋y 216＝1，点A 的坐标为(3,0)．在椭圆上找一点P ，使点P 与点A 的距离最大．解：椭圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)．设P (5cos θ，4sin θ)，则|PA |＝(5cos θ－3)2＋(4sin θ)2＝9cos 2θ－30cos θ＋25 ＝(3cos θ－5)2＝|3cos θ－5|≤8， 当cos θ＝－1时，|PA |最大．此时，sin θ＝0，点P 的坐标为(－5,0).[例2] 已知A ，B 分别是椭圆36＋9＝1的右顶点和上顶点，动点C 在该椭圆上运动，求△ABC 的重心G 的轨迹方程．[思路点拨] 由条件可知，A ，B 两点坐标已知，点C 在椭圆上，故可设出点P 坐标的椭圆参数方程形式，由三角形重心坐标公式求解．[解] 由题意知A (6,0)、B (0,3)．由于动点C 在椭圆上运动，故可设动点C 的坐标为(6cos θ，3sin θ)，点G 的坐标设为(x ，y )，由三角形重心的坐标公式可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6＋0＋6cos θ3，y ＝0＋3＋3sin θ3，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝1＋sin θ.消去参数θ得△ABC 的重心G 的轨迹方程为(x －2)24＋(y －1)2＝1.本题的解法体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性，运用参数方程显得很简单，运算更简便．2．已知椭圆方程是x 216＋y 29＝1，点A (6,6)，P 是椭圆上一动点，求线段PA 中点Q 的轨迹方程．解：设P (4cos θ，3sin θ)，Q (x ，y )，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ＋62，y ＝3sin θ＋62，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ＋3，y ＝32sin θ＋3(θ为参数)，∴9(x －3)2＋16(y －3)2＝36即为所求．3．设F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右两个焦点．(1)若椭圆C 上的点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32到F 1，F 2的距离之和等于4，写出椭圆C 的方程和焦点坐标； (2)设点P 是(1)中所得椭圆上的动点，求线段F 1P 的中点的轨迹方程．解：(1)由椭圆上点A 到F 1，F 2的距离之和是4，得2a ＝4，即a ＝2.又点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆上，因此14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322b 2＝1，得b 2＝3，于是c 2＝a 2－b 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1，焦点坐标为F 1(－1,0)，F 2(1,0)．(2)设椭圆C 上的动点P 的坐标为(2cos θ，3sin θ)，线段F 1P 的中点坐标为(x ，y )，则x ＝2cos θ－12，y ＝3sin θ＋02，所以x ＋12＝cos θ，2y 3＝sin θ.消去θ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋4y23＝1即为线段F 1P 中点的轨迹方程.[例3] 已知椭圆4＋y 2＝1上任一点M (除短轴端点外)与短轴两端点B 1，B 2的连线分别交x 轴于P ，Q 两点，求证：|OP |·|OQ |为定值．[思路点拨] 利用参数方程，设出点M 的坐标，并由此得到直线MB 1，MB 2的方程，从而得到P ，Q 两点坐标，求出|OP |，|OQ |，再求|OP |·|OQ |的值．[证明] 设M (2cos φ，sin φ)，φ为参数，因为B 1(0，－1)，B 2(0,1)，则MB 1的方程为y ＋1＝sin φ＋12cos φ·x ，令y ＝0，则x ＝2cos φsin φ＋1，即|OP |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos φ1＋sin φ.MB 2的方程为y －1＝sin φ－12cos φx ，令y ＝0，则x ＝2cos φ1－sin φ.∴|OQ |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos φ1－sin φ.∴|OP |·|OQ |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos φ1＋sin φ·⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos φ1－sin φ＝4.即|OP |·|OQ |＝4为定值．利用参数方程证明定值(或恒成立)问题，首先是用参数把要证明的定值(或恒成立的式子)表示出来，然后利用条件消去参数，得到一个与参数无关的定值即可．4．求证：椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(a >b >0,0≤θ≤2π)上一点M 与其左焦点F 的距离的最大值为a ＋c (其中c 2＝a 2－b 2)．证明：M ，F 的坐标分别为(a cos θ，b sin θ)，(－c,0)． |MF |2＝(a cos θ＋c )2＋(b sin θ)2＝a 2cos 2θ＋2ac cos θ＋c 2＋b 2－b 2cos 2θ ＝c 2cos 2θ＋2ac cos θ＋a 2＝(a ＋c cos θ)2.∴当cos θ＝1时，|MF |2最大，|MF |最大，最大值为a ＋c .一、选择题1．椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)，若θ∈[0,2π]，则椭圆上的点(－a,0)对应的θ＝( )A ．πB.π2C ．2πD.32π 解析：选A ∵在点(－a,0)中，x ＝－a ，∴－a ＝a cos θ，∴cos θ＝－1，∴θ＝π.2．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)和极坐标方程ρ＝－6cos θ所表示的图形分别是( )A ．圆和直线B ．直线和直线C ．椭圆和直线D ．椭圆和圆解析：选D 对于参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，利用同角三角函数关系消去θ化为普通方程为x 24＋y 2＝1，表示椭圆．ρ＝－6cos θ两边同乘ρ， 得ρ2＝－6ρcos θ， 化为普通方程为x 2＋y 2＝－6x ， 即(x ＋3)2＋y 2＝9.表示以(－3,0)为圆心，3为半径的圆．3．椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)的左焦点的坐标是( )A ．(－7，0)B ．(0，7)C ．(－5,0)D ．(－4,0)解析：选A 根据题意，椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)化成普通方程为x 216＋y 29＝1，其中a ＝4，b ＝3，则c ＝16－9＝7， 所以椭圆的左焦点坐标为(－7，0)．4．两条曲线的参数方程分别是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ－1，y ＝1＋sin 2θ(θ为参数)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos t ，y ＝2sin t (t为参数)，则其交点个数为( )A ．0B ．1C ．0或1D ．2解析：选B 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ－1，y ＝1＋sin 2θ，得x ＋y －1＝0(－1≤x ≤0， 1≤y ≤2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos t ，y ＝2sin t得x 29＋y 24＝1.如图所示，可知两曲线交点有1个．二、填空题5．椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)的离心率为________．解析：由椭圆方程为x 225＋y 216＝1，可知a ＝5，b ＝4，∴c ＝a 2－b 2＝3，∴e ＝c a ＝35.答案：356．已知P 为曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数，0≤θ≤π)上一点，O 为坐标原点，若直线OP 的倾斜角为π4，则点P 的坐标为________．解析：曲线C 的普通方程为y 216＋x 29＝1(0≤y ≤4)，易知直线OP 的斜率为1，其方程为y ＝x ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y 216＋x29＝1，消去y ，得x 2＝16×925，故x ＝125⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＝－125舍去，故y ＝125， 所以点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫125，125. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫125，1257．已知椭圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝4sin φ(φ为参数)，点M 在椭圆上，对应的参数φ＝π3，点O 为原点，则直线OM 的斜率为________．解析：当φ＝π3时，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos π3＝1，y ＝4sin π3＝23，故点M 的坐标为(1,23)．所以直线OM 的斜率为2 3.答案：2 3 三、解答题8．已知两曲线的参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ<π)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2，y ＝t(t∈R)，求它们的交点坐标．解：将⎩⎨⎧x ＝5cos θy ＝sin θ(0≤θ＜π)化为普通方程得：x 25＋y 2＝1(0≤y ≤1，x ≠－5)，将x ＝54t 2，y ＝t 代入得，516t 4＋t 2－1＝0，解得t 2＝45，∴t ＝255，x ＝54t 2＝54×45＝1，∴两曲线的交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，255.9．已知椭圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，求椭圆上一点P 到直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－3t ，y ＝2＋2t (t 为参数)的最短距离．解：设点P (3cos θ，2sin θ)，直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－3t ，y ＝2＋2t 可化为2x ＋3y －10＝0，点P 到直线的距离d ＝|6cos θ＋6sin θ－10|13＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪62sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－1013.因为sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4∈[－1,1]，所以d ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤10－6213，10＋6213，所以点P 到直线的最短距离d min ＝10－6213. 10．椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)与x 轴正半轴交于点A ，若这个椭圆上总存在点P ，使OP⊥AP (O 为原点)，求离心率e 的取值范围．解：设椭圆的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)(a ＞b ＞0)，则椭圆上的点P (a cos θ，b sin θ)，A (a,0)．∵OP ⊥AP ，∴b sin θa cos θ·b sin θa cos θ－a＝－1，即(a 2－b 2)cos 2θ－a 2cos θ＋b 2＝0. 解得cos θ＝b 2a 2－b 2或cos θ＝1(舍去)．∵a ＞b ，－1≤cos θ≤1，∴0＜b 2a 2－b 2≤1.把b 2＝a 2－c 2代入得0＜a 2－c 2c2≤1.即0＜1e 2－1≤1，解得22≤e ＜1.故椭圆的离心率e 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1.。
221抛物线及其标准方程［基础达标］ 1.已知抛物线的焦点坐标是 F (0,— 2)，则它的标准方程为() 2 2A. y = 8xB. y =— 8x 2 2C. x = 8yD. x =— 8y解析：选D.p = 2，二p = 4,焦点在y 轴负半轴上，故其标准方程为x 2=— 8y . 2. 抛物线x 2= 8y 的准线方程为( )A. y = — 2B. x = — 2C. y = — 4D. x = — 4解析：选A.其焦点为(0 , 2)，故准线方程为y =— 2.3. 点P 为抛物线y 2= 2px 上任一点，F 为焦点，则以P 为圆心，以| PF 为半径的圆与准 线1()A.相交B.相切C.相离D.位置由F 确定解析：选B.圆心P 到准线I 的距离等于| PF ，二相切.4. 如图，南北方向的公路 L,A 地在公路正东2 km 处，B 地在A 北偏东60 °方向2 3 km 处，河流沿岸曲线 PQ 上任意一点到公路 L 和到A 地距离相等.现要在曲线PQ 上某处建一座码头，向A , B 两地运货物，经测算，从 M 到A , B 修建公路的费用都为 a 万元/km ,那么,A. (2 + ”』3) a 万元B. (2 3+ 1) a 万元C. 5a 万元D. 6a 万元解析：选C.依题意知曲线 PQ 是以A 为焦点、L 为准线的抛物线，根据抛物线的定义知： 欲求从M 到A , B 修建公路的费用最低，只需求出 B 到直线L 的距离即可.••• B 地在A 地北 偏东60°方向2 3 km 处，••• B 到点A 的水平距离为3 km, /• B 到直线L 的距离为3+ 2= 5(km), 那么，修建这两条公路的总费用最低为 5a 万元，故选C.5. 一个动圆的圆心在抛物线 y 2 = 8x 上，且动圆恒与直线 x + 2= 0相切，则动圆必过定点()A. (0 , 2)B. (0，— 2)C. (2 , 0)D (4 , 0) 解析：选C.由抛物线定义知圆心到准线x + 2 = 0的距离等于到焦点 F (2 , 0)的距离，••动圆必过定点(2 , 0). 6. ___________________________________________ 经过点P (4 , — 2)的抛物线的标准方程为 ___________________________________________________ .解析：设抛物线的标准方程为 y 2= 2px 或x 2=— 2py ,把R4 , — 2)分别代入得(—2)1 2 2修建这两条公路的总费用最低是M 课时作业=8p或16=—2p x ( —2) ; • p= 或p = 4,故对应的标准方程为y= x和x =—8y.答案：y? = x 或x =—8y7. ___________________________________________________________________ 已知圆x2+ y2—6x—7= 0与抛物线y2= 2px( p>0)的准线相切，则p = _____________________ 解析：圆方程可化为(x —3)2+ y2= 16,圆心为(3 , 0)，半径为4,由题意知1 = 2，二p =2.答案：228. 过点A(0 , 2)且和抛物线C：y = 6x相切的直线l方程为___________ .解析：当直线I的斜率不存在时，I的方程为x = 0，与抛物线C相切；当直线I的斜率2k 2存在时，设其方程为y—2= kx,与y= 6x联立，消去x得y—2=©y ,3 3即ky2—6y + 12= 0,由题意可知k丰0, △= ( —6)2—48k = 0,- k=：,「. y — 2 = -x.4 4即为3x—4y + 8= 0.答案：x = 0 或3x—4y + 8= 09. 已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点Mm —3)到焦点F的距离为5,求m的值、抛物线方程及其准线方程.解：设所求抛物线方程为x2=—2py(p>0)，则焦点F的坐标为『，一2 ；'因为Mm —3)在抛物线上，且|MF = 5,了〃= 6p,故 2 p 2I Y m+；-3+2丿=5，》=4,解得1 厂!m=±2 p6.所以所求的抛物线方程为x2=—8y, m=±2 . 6，准线方程为y = 2.10. 一辆卡车高3 m,宽1.6 m，欲通过断面为抛物线形的隧道，已知拱口AB宽恰好是拱高CD的4倍，若拱宽为a m,求能使卡车通过的a的最小整数值.解：以拱顶为原点，拱高所在直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系•设抛物线方程a a a a 为x2=—2py(p>0)，则点B的坐标为(2, —4，由点B在抛物线上，•••(2)2= —2p •(—才,•点E到拱底AB的距离为4—|y| = 4 —詈>3.解得a>12.21 ,T a取整数，• a的最小整数值为13.［能力提升］1.0为坐标原点，F为抛物线C： y2= 4辰的焦点，P为C上一点，若|PF| = 4羽，则△ POFF 面积为()A. 2B. 2 2C. 2 3D. 4解析：选C.设Rx。
2.2.1 椭圆及其标准方程学习目标 1.理解椭圆的定义.2.掌握椭圆的标准方程及标准方程的推导过程．知识点一椭圆的定义思考给你两个图钉，一根无弹性的细绳，一张纸板，一支铅笔，如何画出一个椭圆？答案在纸板上固定两个图钉，绳子的两端固定在图钉上，绳长大于两图钉间的距离，笔尖贴近绳子，将绳子拉紧，移动笔尖即可画出椭圆．梳理(1)平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．(2)椭圆的定义用集合语言叙述为：P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a,2a>|F1F2|}．(3)2a与|F1F2|的大小关系所确定的点的轨迹如下表：知识点二椭圆的标准方程思考在椭圆的标准方程中a>b>c一定成立吗？答案不一定，只需a>b，a>c即可，b，c的大小关系不确定．梳理(1)椭圆标准方程的两种形式(2)椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系(3)根据方程判断椭圆的焦点位置及求焦点坐标判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中x 2项和y 2项的分母哪个更大一些，即“谁大在谁上”．如方程为y 25＋x 24＝1的椭圆，焦点在y 轴上，而且可求出焦点坐标F 1(0，－1)，F 2(0,1)，焦距|F 1F 2|＝2.(1)已知F 1(－4,0)，F 2(4,0)，平面内到F 1，F 2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆．(×) (2)已知F 1(－4,0)，F 2(4,0)，平面内到F 1，F 2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆．(×) (3)平面内到点F 1(－4,0)，F 2(4,0)两点的距离之和等于点M (5,3)到F 1，F 2的距离之和的点的轨迹是椭圆．(√)(4)平面内到点F 1(－4,0)，F 2(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆．(×)类型一 椭圆定义的应用例1 点P (－3,0)是圆C ：x 2＋y 2－6x －55＝0内一定点，动圆M 与已知圆相内切且过P 点，判断圆心M 的轨迹． 考点 椭圆的定义 题点 椭圆定义的应用解 方程x 2＋y 2－6x －55＝0化成标准形式为(x －3)2＋y 2＝64，圆心为(3,0)，半径r ＝8.因为动圆M 与已知圆相内切且过P 点，所以|MC |＋|MP |＝r ＝8，根据椭圆的定义，动点M 到两定点C ，P 的距离之和为定值8>6＝|CP |，所以动点M 的轨迹是椭圆． 引申探究若将本例中圆C 的方程改为：x 2＋y 2－6x ＝0且点P (－3,0)为其外一定点，动圆M 与已知圆C 相外切且过P 点，求动圆圆心M 的轨迹方程．解 设M (x ，y )，由题意可知，圆C ：(x －3)2＋y 2＝9， 圆心C (3,0)，半径r ＝3.由|MC |＝|MP |＋r ，故|MC |－|MP |＝r ＝3， 即(x －3)2＋(y －0)2－(x ＋3)2＋(y －0)2＝3， 整理得x 294－y 2274＝1(x <0)．反思与感悟 椭圆是在平面内定义的，所以“平面内”这一条件不能忽视． 定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量．常数2a 必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆，这是判断一曲线是否为椭圆的限制条件．跟踪训练1 (1)下列命题是真命题的是________．(将所有真命题的序号都填上) ①已知定点F 1(－1,0)，F 2(1,0)，则满足|PF 1|＋|PF 2|＝2的点P 的轨迹为椭圆； ②已知定点F 1(－2,0)，F 2(2,0)，则满足|PF 1|＋|PF 2|＝4的点P 的轨迹为线段； ③到定点F 1(－3,0)，F 2(3,0)的距离相等的点的轨迹为椭圆． 考点 椭圆的定义 题点 椭圆定义的应用 答案 ②解析 ①2<2，故点P 的轨迹不存在；②因为2a ＝|F 1F 2|＝4，所以点P 的轨迹是线段F 1F 2；③到定点F 1(－3，0)，F 2(3,0)的距离相等的点的轨迹是线段F 1F 2的垂直平分线(y 轴)． (2)已知一动圆M 与圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，与圆C 2：(x －3)2＋y 2＝81内切，试求动圆圆心M 的轨迹方程． 考点 椭圆的定义 题点 椭圆定义的应用解 由题意可知C 1(－3,0)，r 1＝1，C 2(3,0)，r 2＝9， 设M (x ，y )，半径为R ， 则|MC 1|＝1＋R ，|MC 2|＝9－R ， 故|MC 1|＋|MC 2|＝10，由椭圆定义知，点M 的轨迹是一个以C 1，C 2为焦点的椭圆，且a ＝5，c ＝3，故b 2＝a 2－c 2＝16.故所求动圆圆心M 的轨迹方程为x 225＋y 216＝1.类型二 椭圆的标准方程例2 求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12的椭圆的标准方程．考点 椭圆定义及标准方程的应用 题点 椭圆标准方程的应用解 方法一 ①当椭圆焦点在x 轴上时，可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧ ⎝ ⎛⎭⎪⎫132a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132b ＝1，0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝15，b 2＝14.由a >b >0，知不合题意，故舍去；②当椭圆焦点在y 轴上时，可设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)． 依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫132a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132b 2＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫－122a 2＋0＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝14，b 2＝15.所以所求椭圆的标准方程为y 214＋x 215＝1.方法二 设椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )． 则⎩⎪⎨⎪⎧19m ＋19n ＝1，14n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝5，n ＝4.所以所求椭圆的方程为5x 2＋4y 2＝1，故椭圆的标准方程为y 214＋x 215＝1.引申探究求与椭圆x 225＋y 29＝1有相同焦点，且过点(3，15)的椭圆方程．解 由题意可设其方程为x 225＋λ＋y 29＋λ＝1(λ>－9)，又椭圆过点(3，15)，将此点代入椭圆方程，得 λ＝11(λ＝－21舍去)， 故所求的椭圆方程为x 236＋y 220＝1.反思与感悟 (1)若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x 轴上和在y 轴上两种情况讨论，也可设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ≠n ，m >0，n >0)．(2)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)有公共焦点的椭圆方程为x 2a 2＋λ＋y 2b 2＋λ＝1(a >b >0，b 2>－λ)，与椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)有公共焦点的椭圆方程为y 2a 2＋λ＋x 2b 2＋λ＝1(a >b >0，b 2>－λ)．跟踪训练2 求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)椭圆的两个焦点坐标分别为F 1(－4,0)，F 2(4,0)，椭圆上一点P 到两焦点的距离之和等于10；(2)椭圆过点(3,2)，(5,1)；(3)椭圆的焦点在x 轴上，且经过点(2,0)和点(0,1)． 考点 椭圆标准方程的求法 题点 定义法求椭圆的标准方程解 (1)设其标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．由题意可知2a ＝10，c ＝4，故b 2＝a 2－c 2＝9， 故所求椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.(2)设椭圆的一般方程为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )，则⎩⎪⎨⎪⎧9A ＋4B ＝1，25A ＋B ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝391，B ＝1691.故所求椭圆的标准方程为x 2913＋y 29116＝1. (3)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．由⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＝1，1b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1. 类型三 求与椭圆有关的轨迹方程例3 已知B ，C 是两个定点，|BC |＝8，且△ABC 的周长等于18.求这个三角形的顶点A 的轨迹方程．考点 椭圆标准方程的求法 题点 定义法求椭圆的标准方程解 以过B ，C 两点的直线为x 轴，线段BC 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，如图所示．由|BC |＝8可知点B (－4,0)，C (4,0)．由|AB |＋|AC |＋|BC |＝18， 得|AB |＋|AC |＝10>8＝|BC |，因此，点A 的轨迹是以B ，C 为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a ＝10，但点A 不在x 轴上． 由a ＝5，c ＝4，得b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9.所以点A 的轨迹方程为x 225＋y 29＝1(y ≠0)．反思与感悟 求与椭圆有关的轨迹方程常用的方法：(1)定义法：若动点的轨迹特点符合某一基本轨迹(如椭圆、圆等)的定义，则可用定义直接求解．(2)直接法：将动点满足的几何条件或者等量关系直接坐标化，列出等式后化简，得出动点的轨迹方程．(3)相关点法：根据相关点所满足的方程，通过转换求出动点轨迹的方程．跟踪训练3 如图，设定点A (6,2)，P 是椭圆x 225＋y 29＝1上的动点，求线段AP 的中点M 的轨迹方程． 考点 椭圆标准方程的求法 题点 定义法求椭圆的标准方程 解 设M (x ，y )，P (x 1，y 1)． ∵M 为线段AP 的中点，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x －6，y 1＝2y －2，又∵x 2125＋y 219＝1， ∴点M 的轨迹方程为(x －3)225＋(y －1)29＝14.1．椭圆x 225＋y 2＝1上一点P 到一个焦点的距离为2，则点P 到另一个焦点的距离为( )A ．5B ．6C ．7D ．8 考点 椭圆的标准方程题点 由椭圆的标准方程求焦点、焦距 答案 D解析 设椭圆的左、右焦点分别为F 1，F 2，|PF 1|＝2， 结合椭圆定义|PF 2|＋|PF 1|＝10，可得|PF 2|＝8.2．已知椭圆的焦点为(－1,0)和(1,0)，点P (2,0)在椭圆上，则椭圆的方程为( ) A.x 24＋y 23＝1 B.x 24＋y 2＝1 C.y 24＋x 23＝1 D.y 24＋x 2＝1 考点 椭圆标准方程的求法 题点 待定系数法求椭圆的标准方程 答案 A解析 c ＝1，a ＝12×((2＋1)2＋0＋(2－1)2＋0)＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝3，∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.3．设F 1，F 2是椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|∶|PF 2|＝2∶1，则△F 1PF 2的面积＝________.考点 椭圆定义及其标准方程的应用 题点 椭圆定义及其标准方程的综合应用 答案 4解析 由椭圆方程，得a ＝3，b ＝2，c ＝ 5. ∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6且|PF 1|∶|PF 2|＝2∶1， ∴|PF 1|＝4，|PF 2|＝2， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2， ∴△PF 1F 2是直角三角形，故△F 1PF 2的面积为12|PF 1|·|PF 2|＝12×2×4＝4.4．在椭圆x 23＋y 2＝1中，有一沿直线运动的粒子从一个焦点F 2出发经椭圆反射后经过另一个焦点F 1，再次被椭圆反射后又回到F 2，则该粒子在整个运动过程中经过的路程为________． 考点 椭圆定义及其标准方程的应用 题点 椭圆定义及其标准方程的综合应用 答案 4 3解析 把粒子运动轨迹表示出来，可知整个路程为4a ，即4 3.5．若△ABC 的三边长a ，b ，c 成等差数列，且b ＝6，求顶点B 的轨迹方程． 考点 椭圆标准方程的求法 题点 定义法求椭圆的标准方程解 以直线AC 为x 轴，AC 的中点为原点，建立平面直角坐标系，设A (－3,0)，C (3,0)，B (x ，y )，则|BC |＋|AB |＝a ＋c ＝2b ＝2|AC |＝12， ∴B 点的轨迹是以A ，C 为焦点的椭圆， 且a ′＝6，c ′＝3，b ′2＝27. 故所求的轨迹方程为x 236＋y 227＝1(y ≠0)．1．平面内到两定点F 1，F 2的距离之和为常数，即|MF 1|＋|MF 2|＝2a ， 当2a ＞|F 1F 2|时，轨迹是椭圆； 当2a ＝|F 1F 2|时，轨迹是一条线段F 1F 2； 当2a ＜|F 1F 2|时，轨迹不存在．2．所谓椭圆的标准方程，指的是焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标原点；在x 2a 2＋y 2b 2＝1与y 2a 2＋x 2b 2＝1这两个标准方程中，都有a >b >0的要求，如方程x 2m ＋y 2n＝1(m >0，n >0，m ≠n )就不能确定焦点在哪个轴上；分清两种形式的标准方程，可与直线截距式x a ＋yb＝1类比，如x 2a 2＋y 2b2＝1中，由于a >b ，所以在x 轴上的“截距”更大，因而焦点在x 轴上(即看x 2，y 2分母的大小)．3．对于求解椭圆的标准方程一般有两种方法：一是通过待定系数法求解，二是通过椭圆的定义进行求解．一、选择题1．平面内，F 1，F 2是两个定点，“动点M 满足|MF 1→|＋|MF 2→|为常数”是“M 的轨迹是椭圆”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件考点 椭圆的定义 题点 椭圆定义的应用 答案 B解析 当|MF 1→|＋|MF 2→|＞|F 1F 2→|时，M 的轨迹才是椭圆．2．已知方程x 23＋k ＋y 22－k ＝1表示椭圆，则k 的取值范围为( )A ．k >－3且k ≠－12B ．－3<k <2且k ≠－12C ．k >2D ．k <－3 答案 B解析 由题意，知需满足⎩⎪⎨⎪⎧3＋k >0，2－k >0，3＋k ≠2－k ，解得－3<k <2且k ≠－12. 3．已知椭圆x 2100＋y 264＝1的左焦点为F 1，一动直线过椭圆右焦点F 2且与椭圆交于点M ，N ，则△F 1MN 的周长为( )A ．16B ．20C ．32D ．40 考点 椭圆的定义题点 椭圆定义的应用答案 D解析 结合椭圆的定义，知a ＝10，且△F 1MN 的周长为4a ＝40.4．已知△ABC 的周长为20，且顶点B (0，－4)，C (0,4)，则顶点A 的轨迹方程是( )A.x 236＋y 220＝1(x ≠0) B.x 220＋y 236＝1(x ≠0) C.x 26＋y 220＝1(x ≠0) D.x 220＋y 26＝1(x ≠0) 考点 椭圆定义及其标准方程的应用题点 椭圆定义及其标准方程的综合应用答案 B解析 由|AB |＋|AC |＝12＞|BC |＝8，得点A 的轨迹是以B ，C 为焦点的椭圆(x ≠0)．5．P 是椭圆x 216＋y 29＝1上一点，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，若|PF 1|·|PF 2|＝12，则∠F 1PF 2的大小为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°考点 椭圆定义及其标准方程的应用题点 椭圆定义及其标准方程的综合应用答案 B解析 因为|PF 1|＋|PF 2|＝8，cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1||PF 2|－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝12.又因为∠F 1PF 2∈[0，π)，所以∠F 1PF 2＝π3. 6．已知椭圆x 24＋y 22＝1上有一点P ，F 1，F 2是椭圆的左、右焦点，若△F 1PF 2为直角三角形，则这样的点P 有( )A ．3个B ．4个C ．6个D ．8个 考点 椭圆定义及其标准方程的应用题点 椭圆标准方程的应用答案 C解析 当∠PF 1F 2为直角时，根据椭圆的对称性知，这样的点P 有2个；同理当∠PF 2F 1为直角时，这样的点P 有2个；当P 点为椭圆的短轴端点时，∠F 1PF 2最大，且为直角，此时这样的点P 有2个．故符合要求的点P 有6个．7．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，M 为椭圆上一动点，F 1为椭圆的左焦点，则线段MF 1的中点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．线段D ．直线 考点 椭圆的定义题点 椭圆定义的应用答案 B解析 由题意，知|PO |＝12|MF 2|，|PF 1|＝12|MF 1|， 又|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，所以|PO |＋|PF 1|＝a >|F 1O |＝c ，故由椭圆的定义，知P 点的轨迹是椭圆．二、填空题8．已知椭圆的焦点在y 轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为215，则此椭圆的标准方程为_______________．考点 椭圆的标准方程题点 由定义求标准方程答案 y 216＋x 2＝1 解析 由已知2a ＝8,2c ＝215，所以a ＝4，c ＝15，所以b2＝a2－c2＝16－15＝1. 又椭圆的焦点在y轴上，所以椭圆的标准方程为y216＋x2＝1.9．已知中心在原点，长轴在x 轴上，一焦点与短轴两端点连线互相垂直，焦点与长轴上较近顶点的距离为4(2－1)，则此椭圆方程是____________．答案 x 232＋y 216＝1 解析 由题意，得⎩⎨⎧ a －c ＝4(2－1)，b ＝c ，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧ a ＝42，b ＝4，所以椭圆方程为x 232＋y 216＝1. 10．设F 1，F 2分别为椭圆x 23＋y 2＝1的左、右焦点，点A ，B 在椭圆上，若F 1A →＝5F 2B →，则点A 的坐标是________．考点 椭圆定义及其标准方程的应用题点 椭圆标准方程的应用答案 (0，±1)解析 根据题意，设A 点坐标为(m ，n )，B 点坐标为(c ，d )． F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，其坐标分别为(－2，0)，(2，0)，可得F 1A →＝(m ＋2，n )，F 2B →＝(c －2，d )．∵F 1A →＝5F 2B →，∴c ＝m ＋625，d ＝n 5. ∵点A ，B 都在椭圆上，∴m 23＋n 2＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋62523＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n 52＝1. 解得m ＝0，n ＝±1，故点A 坐标为(0，±1)．11．若点O 和点F 分别为椭圆x 22＋y 2＝1的中心和右焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则|OP |2＋|PF |2的最小值为________．考点 椭圆定义及其标准方程的应用题点 椭圆标准方程的应用答案 2解析 由题意可知，O (0,0)，F (1,0)，设P (2cos α，sin α)，则|OP |2＋|PF |2＝2cos 2α＋sin 2α＋(2cos α－1)2＋sin 2α＝2cos 2α－22cos α＋3＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α－222＋2， 所以当cos α＝22时，|OP |2＋|PF |2取得最小值2. 三、解答题12．已知F 1(－c,0)，F 2(c,0)为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 在椭圆上，且△PF 1F 2的面积为22b 2，求cos ∠F 1PF 2的值． 考点 椭圆定义及其标准方程的应用题点 椭圆定义及其标准方程的综合应用解 依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ |PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1||PF 2|＝4a 2，|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos ∠F 1PF 2＝4c 2，整理得|PF 1|·|PF 2|＝2b 21＋cos ∠F 1PF 2. ∵△PF 1F 2的面积为22b 2， ∴12×2b 21＋cos ∠F 1PF 2×sin ∠F 1PF 2＝22b 2， ∴1＋cos ∠F 1PF 2＝2sin ∠F 1PF 2，又∵sin 2∠F 1PF 2＋cos 2∠F 1PF 2＝1， ∴cos ∠F 1PF 2＝13(cos ∠F 1PF 2＝－1舍去)． 13．已知椭圆8x 281＋y 236＝1上一点M 的纵坐标为2. (1)求M 的横坐标；(2)求过M 且与x 29＋y 24＝1共焦点的椭圆的方程． 考点 椭圆标准方程的求法题点 待定系数法求椭圆的标准方程 解 (1)把M 的纵坐标代入8x 281＋y 236＝1， 得8x 281＋436＝1，即x 2＝9，解得x ＝±3，即M 的横坐标为3或－3. (2)椭圆x 29＋y 24＝1的焦点在x 轴上且c 2＝9－4＝5.设所求椭圆的方程为x 2a 2＋y 2a 2－5＝1(a 2＞5)， 把M 点坐标代入椭圆方程，得9a 2＋4a 2－5＝1， 解得a 2＝15(a 2＝3舍去)．故所求椭圆的方程为x 215＋y 210＝1. 四、探究与拓展14．已知椭圆x 23＋y 24＝1的两个焦点为F 1，F 2，M 是椭圆上一点，且|MF 1|－|MF 2|＝1，则△MF 1F 2是( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形考点 椭圆的定义题点 椭圆定义的应用答案 B解析 由椭圆定义，知|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＝4，且已知|MF 1|－|MF 2|＝1，所以|MF 1|＝52，|MF 2|＝32. 又|F 1F 2|＝2c ＝2，所以有|MF 1|2＝|MF 2|2＋|F 1F 2|2，因此∠MF 2F 1＝90°，即△MF 1F 2为直角三角形．15．如图所示，△ABC 的底边BC ＝12，其他两边AB 和AC 上中线的和为30，求此三角形重心G 的轨迹方程，并求顶点A 的轨迹方程．考点 椭圆标准方程的求法题点 定义法求椭圆的标准方程解 以BC 边所在直线为x 轴，BC 边中点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则B (6,0)，C (－6,0)，CE ，BD 为AB ，AC 边上的中线，则|BD |＋|CE |＝30.由重心性质可知，|GB |＋|GC |＝23(|BD |＋|CE |)＝20＞12. ∵B ，C 是两个定点，G 点到B ，C 的距离和等于定值20，且20＞12＝|BC |，∴G 点的轨迹是椭圆，B ，C 是椭圆焦点， ∴2c ＝|BC |＝12，c ＝6,2a ＝20， a ＝10，b 2＝a 2－c 2＝102－62＝64，故G 点的轨迹方程为x 2100＋y 264＝1(x ≠±10)． 设G (x ′，y ′)，A (x ，y )，则有x ′2100＋y ′264＝1.由重心坐标公式知⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝x 3，y ′＝y 3，故A 点轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 32100＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 3264＝1， 即x 2900＋y 2576＝1(x ≠±30).。
