推荐学习K12【高中数学必修五学习】配套练习：3.1不等关系与不等式 第2课时

第三章 3.1 第2课时一、选择题1．若x >1>y ，下列不等式不成立的是( ) A ．x －1>1－y B ．x －1>y －1 C ．x －y >1－y D ．1－x >y －x[答案] A[解析] 特殊值法．令x ＝2，y ＝－1，则x －1＝2－1<1－(－1)＝1－y ，故A 不正确． 2．设a ＝100.1, b ＝0.110，c ＝lg0.1，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a <b <c B ．a >b >c C ．b >a >c D ．c >a >b[答案] B[解析] ∵100.1>100，∴100.1>1. 又∵0.110<0.10，∴0<0.110<1. ∵lg0.1<lg1，∴lg0.1<0.∴a >1,0<b <1，c <0，∴a >b >c ，选B ． 3．设a ＋b <0，且a >0，则( ) A ．a 2<－ab <b 2 B ．b 2<－ab <a 2 C ．a 2<b 2<－ab D ．ab <b 2<a 2[答案] A[解析] ∵a ＋b <0，且a >0，∴0<a <－b ， ∴a 2<－ab <b 2.4．已知a 2＋a ＜0，那么a ，a 2，－a ，－a 2的大小关系是( ) A ．a 2＞a ＞－a 2＞－a B ．－a ＞a 2＞－a 2＞a C ．－a ＞a 2＞a ＞－a 2 D ．a 2＞－a ＞a ＞－a 2[答案] B[解析] ∵a 2＋a <0，∴0<a 2<－a ，∴0>－a 2>a ， ∴a <－a 2<a 2<－a ，故选B ．[点评] 可取特值检验，∵a 2＋a <0，即a (a ＋1)<0，令a ＝－12，则a 2＝14，－a 2＝－14，－a ＝12，∴12>14>－14>－12，即－a >a 2>－a 2>a ，排除A 、C 、D ，选B ． 5．设a ，b ∈R ，则(a －b )·a 2<0是a <b 的( ) A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 由(a －b )·a 2<0得a ≠0且a <b ；反之，由a <b ，不能推出(a －b )·a 2<0.即(a －b )·a 2<0是a <b 的充分非必要条件．6．如果a ＞0，且a ≠1，M ＝log a (a 3＋1)，N ＝log a (a 2＋1)，那么( ) A ．M ＞N B ．M ＜NC ．M ＝ND ．M 、N 的大小无法确定[答案] A[解析] M －N ＝log a (a 3＋1)－log a (a 2＋1)＝log a a 3＋1a 2＋1，若a >1，则a 3>a 2，∴a 3＋1a 2＋1>1，∴log a a 3＋1a 2＋1>0，∴M >N ，若0<a <1，则0<a 3<a 2，∴0<a 3＋1<a 2＋1，∴0<a 3＋1a 2＋1<1，∴log a a 3＋1a 2＋1>0，∴M >N ，故选A ．二、填空题7．已知a ＞b ＞0，且c ＞d ＞0，则a d与bc的大小关系是________． [答案]ad＞b c[解析] ∵c ＞d ＞0，∴1d ＞1c ＞0，∵a ＞b ＞0，∴a d ＞bc ＞0，∴a d＞b c. 8．若a 、b 、c 、d 均为实数，使不等式a b >cd >0和ad <bc 都成立的一组值(a ，b ，c ，d )是________(只要举出适合条件的一组值即可)．[答案] (2,1，－1，－2)[解析] 由a b >c d >0知，a 、b 同号，c 、d 同号，且a b －c d ＝ad －bcbd >0.由ad <bc ，得ad －bc <0，所以bd <0.所以在取(a ，b ，c ，d )时只需满足以下条件即可： ①a 、b 同号，c 、d 同号，b 、d 异号； ②ad <bc .令a >0，b >0，c <0，d <0， 不妨取a ＝2，b ＝1，c ＝－1，则d <bc a ＝－12，取d ＝－2，则(2,1，－1，－2)满足要求． 三、解答题9．已知a ＞0，b ＞0，a ≠b ，n ∈N 且n ≥2，比较a n ＋b n 与a n －1b ＋ab n－1的大小．[解析] (a n ＋b n )－(a n －1b ＋ab n －1)＝a n －1(a －b )＋b n －1(b －a )＝(a －b )(a n －1－b n －1)， (1)当a ＞b ＞0时，a n －1＞b n －1，∴(a －b )(a n －1－b n －1)＞0，(2)当0＜a ＜b 时，a n －1＜b n －1，∴(a －b )(a n －1－b n －1)＞0，∴对任意a ＞0，b ＞0，a ≠b ，总有(a －b )(a n －1－b n －1)＞0.∴a n ＋b n ＞a n －1b ＋ab n －1.10．如果30＜x ＜42,16＜y ＜24.分别求x ＋y 、x －2y 及xy 的取值范围．[解析] 46＜x ＋y ＜66；－48＜－2y ＜－32， ∴－18＜x －2y ＜10；∵30<x <42，124＜1y ＜116，∴3024＜x y ＜4216，即54＜x y ＜218.一、选择题1．若－π2<α<β<π2，则α－β的取值范围是( )A ．(－π，π)B ．(0，π)C ．(－π，0)D ．{0}[答案] C[解析] ∵－π2<β<π2，∴－π2<－β<π2，又－π2<α<π2，∴－π<α－β<π，又α<β，∴α－β<0，∴－π<α－β<0.2．(2014·天津理，7)设a ，b ∈R ，则“a >b ”是“a |a |>b |b |”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 [答案] C[解析] 本题考查简易逻辑中充分性、必要性． 当a >b >0时，a |a |－b |b |＝a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )>0成立，当b <a <0时，a |a |－b |b |＝b 2－a 2＝(b －a )(b ＋a )>0成立， 当b <0<a 时，a |a |－b |b |＝a 2＋b 2>0成立， ∴a >b ⇒a |a |>b ·|b |；同理由a |a |>b |b |⇒a >b .选C ．3．若a >b >0，则下列不等式中总成立的是( ) A ．b a >b ＋1a ＋1B ．a ＋1a >b ＋1bC ．a ＋1b >b ＋1aD ．2a ＋b a ＋2b >ab[答案] C[解析] 解法一：由a >b >0⇒0<1a <1b ⇒a ＋1b >b ＋1a，故选C ．解法二：(特值法)令a ＝2，b ＝1，排除A 、D ，再令a ＝12，b ＝13，排除B ．4．若1a ＜1b ＜0，给出下列不等式：①a ＋b ＜ab ；②|a |＞|b |；③a ＜b ；④b a ＋ab ＞2.其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个[答案] B[解析] ∵1a ＜1b ＜0，∴a ＜0，b ＜0，a ＞b ，故③错；∴ab ＞0，∴a ＋b <0<ab ，故①成立； 又0＞a ＞b ，∴|a |＜|b |.∴②错；∵b a ＋a b ＝b 2＋a 2ab ＝(a －b )2＋2ab ab ＝(a －b )2ab＋2 且a －b ＜0，ab ＞0，∴b a ＋ab ＞2，∴④成立．∴①④正确．选B ． 二、填空题5．若规定⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc (a 、b ∈R ，a ≠b )，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －b b a 与⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －a b b 的大小关系为________．(填“>”“＝”“<”)[答案] > [解析] ∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －b b a ＝a 2＋b 2，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －a b b ＝ab －(－ab )＝2ab ，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －b b a －⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －a b b ＝a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2. ∵a ≠b ，∴(a －b )2>0， ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －b b a >⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －ab b .6．若a >b >c ，则1a －b ＋1b －c ________3a －c(填“>”、“＝”、“<”)． [答案] >[解析] ∵a >b >c ，∴a －b >0，b －c >，a －c >0. ∴1a －b ＋1b －c －3a －c＝(a －b ＋b －c )(a －c )－3(a －b )(b －c )(a －b )(b －c )(a －c )＝[(a －b )＋(b －c )]2－3(a －b )(b －c )(a －b )(b －c )(a －c )＝[(a －b )－(b －c )]2＋(a －b )(b －c )(a －b )(b －c )(a －c )>0.∴1a －b ＋1b －c >3a －c. 三、解答题7．设a ＞0，a ≠1，t ＞0比较12log a t 与log a t ＋12的大小．[解析] 12log a t ＝log a t ，∵t ＋12－t ＝t －2t ＋12＝(t －1)22，∴当t ＝1时，t ＋12＝t ；当t ＞0且t ≠1时.t ＋12＞t .∵当a ＞1时，y ＝log a x 是增函数，∴当t ＞0且t ≠1时，log a t ＋12＞log a t ＝12log a t .当t ＝1时，log a t ＋12＝12log a t .∵当0＜a ＜1时，y ＝log a x 是减函数，∴当t ＞0且t ≠1时，log a 1＋t 2＜log a t ＝12log a t ，当t ＝1时，log a t ＋12＝12log a t .综上知，当t ＝1时，log a 1＋t 2＝12log a t ；当t ＞0且t ≠1时，若a ＞1则log a 1＋t 2＞12log a t ；若0＜a ＜1则log a 1＋t 2＜12log a t .8．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx (a ≠0)满足1≤f (－1)≤2,3≤f (1)≤4，求f (－2)的取值范围． [解析] ∵f (x )＝ax 2＋bx (a ≠0)，∴f (－2)＝4a －2b . 又∵1≤f (－1)≤2,3≤f (1)≤4，∴⎩⎪⎨⎪⎧1≤a －b ≤23≤a ＋b ≤4， 设存在实数m 、n 使得4a －2b ＝m (a ＋b )＋n (a －b )， 即4a －2b ＝(m ＋n )a ＋(m －n )b .∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4m －n ＝－2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1n ＝3.∴4a －2b ＝(a ＋b )＋3(a －b )． 又∵3≤a ＋b ≤4,3≤3(a －b )≤6， ∴3＋3≤4a －2b ≤4＋6， 即6≤f (－2)≤10.。

课时训练15不等关系与不等式一、不等式性质的直接应用与判断1.若1a <1b<0,则下列结论不正确的是()A.a2<b2B.ab<b2C.b+a>2D.b<1答案:D解析:由1<1<0可知,b<a<0,所以b<1不成立,故选D.2.(2015山东威海高二期中,1)已知a>b,则下列不等式中成立的是()A.a2>b2B.1<1C.1>1D.a3>b3答案:D解析:A.虽然-1>-2,但(-1)2>(-2)2不成立;B.虽然3>-2,但是13<1-2不成立;C.虽然2>-3,但是12-(-3)>12不成立;D.∵a>b,∴a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)>0.(∵a2+ab+b2=(a+12b)2+34b2>0)成立.综上可知,只有D正确.故选D.3.已知下列说法:①若a<b<0,则a2>ab;②若a≥b,ac≥bc,则c≥0;③若a>b>0,c<0,则ca >cb;④若0<a<1,则log a(1+a)>log a(1+1a)其中正确的有.答案:①③④解析:对于①,由a<b,a<0,可得a2>ab,故①正确;对于②,当a=b时,c可以为负数,故②错误;对于③,当a>b>0时,得0<1a <1b,又c<0,∴c a >c b,故③正确;对于④,当0<a<1时,1a>1,则1+a<1+1a,∴log a (1+a )>log a (1+1a ),故④正确. 二、利用不等式的性质比大小4.(2015山东威海高二期中,2)不等式:①a 2+2>2a ;②a 2+b 2≥2(a-b-1);③a 2+b 2≥ab 恒成立的个数是( ) A.0 B.1C.2D.3答案:D解析:①a 2+2-2a=(a-1)2+1≥1,∴a 2+2>2a ,正确;②∵a 2+b 2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0, ∴a 2+b 2≥2(a-b-1),正确; ③a 2+b 2-ab=(a -12b)2+34b 2≥0,当且仅当a=b=0时取等号,正确.综上可得:①②③都恒成立.故选D . 5.若A=a 2+3ab ,B=4ab-b 2,则A ,B 的大小关系是 ( )A.A ≤BB.A ≥BC.A<B 或A>BD.A>B答案:B解析:∵A-B=a 2+3ab-4ab+b 2=a 2-ab+b 2=(a -b 2)2+34b 2≥0,∴A ≥B.6.(2015河南郑州高二期末,16)现有甲、乙两人相约爬山,若甲上山的速度为v 1,下山的速度为v 2(v 1≠v 2),乙上山和下山的速度都是v 1+v 22(甲、乙两人中途不停歇且下山时按原路返回),则甲、乙两人上下山所用的时间t 1,t 2的大小关系为 . 答案:t 1>t 2解析:由题意知,甲用的时间t 1=S v 1+S v 2=S ·v 1+v2v 1v 2,乙用的时间t 2=2×Sv1+v 22=4Sv 1+v 2. ∵t 1-t 2=S ·v 1+v 2v1v 2−4Sv 1+v 2=S (v 1+v 2v 1v 2-4v 1+v 2)=S (v 1-v 2)2v 1v 2(v 1+v 2)>0.∴t 1>t 2.7.已知a ,b ,x ,y 均为正实数,且1a >1b ,x>y ,试判断x x+a 与y y+b的大小关系. 解:因为x x+a −y y+b=bx -ay(x+a )(y+b ),又1a >1b 且a>0,b>0,所以b>a>0. 又x>y>0,所以bx>ay ,即bx-ay>0. 又x+a>0,y+b>0, 所以bx -ay (x+a )(y+b )>0,即xx+a>yy+b. 三、利用不等式的性质求代数式范围8.设x ,y 为实数,满足3≤xy 2≤8,4≤x 2y ≤9,则x 3y 4的最大值是 . 答案:27解析:∵4≤x 2y ≤9,∴16≤x 4y 2≤81.① ∵3≤xy 2≤8,∴18≤1xy 2≤13.②由①②可得2≤x 4y 2·1xy 2≤27,即2≤x 3y 4≤27.∴x 3y 4的最大值为27.9.已知1<a<2,3<b<4,求下列各式的取值范围: (1)2a+b ;(2)a-b ;(3)a b.解:(1)因为1<a<2,所以2<2a<4.又3<b<4,所以5<2a+b<8. (2)因为3<b<4,所以-4<-b<-3. 又1<a<2,所以-3<a-b<-1. (3)因为3<b<4,所以14<1b <13. 又1<a<2,所以14<ab <23.四、利用不等式的性质证明10.已知a>b>0,c<d<0. 求证:√d 3<√bc 3.思路分析:解答本题可先比较a d 与b c的大小,进而判断√a d3<√b c3. 证明:∵c<d<0,∴-c>-d>0.∴0<-1c <-1d.又a>b>0,∴-a d >-b c>0.∴√-a d 3>√-b c 3,即-√a d 3>-√b c 3.两边同乘以-1,得√a d3<√b c3.(建议用时:30分钟)1.若a ,b ∈R ,且a>b ,则( )A.a 2>b 2B.b a<1 C.lg(a-b )>0 D.(12)a<(12)b答案:D解析:∵a>b ,无法保证a 2>b 2,ba <1和lg(a-b )>0,∴排除A 与B,C,故选D .2.如果a<b<0,那么下列不等式成立的是( ) A.1<1B.ab<b 2C.-ab<-a 2D.-1<-1答案:D解析:当a=-2,b=-1时,检验得A,B,C 错误,故D 正确. 3.若a>b>c ,则下列不等式成立的是( ) A.1a -c >1b -c B.1a -c <1b -c C.ac>bc D.ac<bc答案:B解析:∵a>b>c ,∴a-c>b-c>0.∴1a -c <1b -c .故选B.4.下列结论正确的是()A.若a>b>0,a>c,则a2>bcB.若a>b>c,则ac >bcC.若a>b,n∈N*,则a n>b nD.a>b>0,则ln a<ln b答案:A解析:对于B,当c<0时,不成立,对于C,当a=1,b=-2,n=2时,a n>b n不成立.对于D,由对数函数性质得不正确,故选A.5.若α,β满足-π2<α<β<π2,则2α-β的取值范围是()A.-π<2α-β<0B.-π<2α-β<πC.-3π2<2α-β<π2D.0<2α-β<π答案:C解析:∵-π2<α<π2,∴-π<2α<π.又-π2<β<π2,∴-π2<-β<π2.∴-3π2<2α-β<3π2.又α-β<0,α<π2,∴2α-β<π2.故-3π2<2α-β<π2.6.若实数a≠b,则a2-ab ba-b2(填不等号).答案:>解析:(a2-ab)-(ba-b2)=a2-ab-ba+b2=(a-b)2,∵a≠b,∴(a-b)2>0.∴a2-ab>ba-b2.7.已知2b<a<-b,则ab的取值范围为.答案:-1<a<2解析:∵2b<a<-b,∴2b<-b.∴b<0.∴-bb <ab<2bb,即-1<ab<2.8.若m<n,p<q且(p-m)(p-n)<0,(q-m)(q-n)<0,则m,n,p,q从小到大顺序是.答案:m<p<q<n解析:∵(p-m)(p-n)<0,∴{p -m >0,p -n <0或{p -m <0,p -n >0.又m<n ,∴m<p<n. 同理m<q<n ,又p<q ,∴m<p<q<n.9.甲、乙两位采购员同去一家粮食销售公司买了两次粮食(同一品种),两次粮食的价格不同,两位采购员的购粮方式也不同.其中,甲每次购买1 000 kg,乙每次购粮用去1 000元钱,谁的购粮方式更合算? 解:设两次价格分别为a 元、b 元,则甲的平均价格为m=a+b2元, 乙的平均价格为n=2 0001 000a +1 000b=2aba+b ,∴m-n=a+b 2−2ab a+b=(a -b )22(a+b )>0. ∴乙更合算.10.已知函数f (x )=ax 2-c ,-4≤f (1)≤-1,-1≤f (2)≤5,求f (3)的取值范围. 解:因为f (x )=ax 2-c ,所以{f (1)=a -c ,f (2)=4a -c .即{a -c =f (1),4a -c =f (2), 解得{a =13[f (2)-f (1)],c =13f (2)-43f (1),所以f (3)=9a-c=83f (2)-53f (1). 又因为-4≤f (1)≤-1,-1≤f (2)≤5, 所以53≤-53f (1)≤203,-83≤83f (2)≤403, 所以-1≤83f (2)-53f (1)≤20, 即-1≤f (3)≤20.。

2020-2021学年高一数学人教B 版必修5同步课时作业3.1不等关系与不等式1.若110a b<<，则下列结论中不正确的是( ) A.22a b <B.2ab b <C.0a b +<D.||||||a b a b +>+ 2.已知a b c >>，且0a b c ++=，则下列不等式恒成立的是( )A.ab bc >B.ac bc >C.ab ac >D.a b b c >3.已知,0x y xy >>，那么下列不等式一定成立的是( )A.22x y >B.22x y <C.11x y >D.11x y< 4.下列结论中正确的是（ ）A.若a b >，则ac bc >B.若a b >，则11a b< C.若22ac bc >，则 a b >D.若a b >，则22ac bc >5.已知()()()2,13,2a p a a q a ∈=--=-R ，则p 与q 的大小关系为( )A.p q >B.p q ≥C.p q <D.p q ≤ 6.设,a b R ∈，若0a b ->，则下列不等式中正确的是( )A.0b a ->B.330a b +<C.220a b -<D.0b a +>7.设0a b <<，则下列不等式中正确的是( )A.a b >B.2a b a b +<< C.2a b a b +<< D.2a b a b +>> 8.已知2R,(1)(3),(2)a p a a q a ∈=--=-，则p 与q 的大小关系为( )A.p q >B.p q ≥C.p q <D.p q ≤9.已知1201,01a a <<<<，记1212,1M a a N a a ==+-，则M 与N 的大小关系是( )A.M N <B.M N >C.M N =D.无法确定10.若,a b 均为不等于零的实数，条件:p 对任意的10,0x ax b -<<+>恒成立；条件:20q b a ->，则p 是q 的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件11.已知,αβ为实数，给出下列三个论断：①0αβ>；②||5αβ+>；③|||αβ>>以其中的两个论断为条件，另一个论断为结论，写出你认为正确的命题是___________(用序号及“⇒”表示).12.设0,a b c x y z >>>=则,,x y z 的大小关系是____________________(用“>”连接).13.给出以下三个不等式：①212a a +>；②2232()2a b a b +>--，其中恒成立的不等式共有_________个.14.已知ABC △的三边,,a b c 满足2,2b c a c a b +≤+≤，则b a 的取值范围是___________.15.已知0,0a b >>的大小.答案以及解析1.答案：D 解析：222110,0,,,0,b a b a ab b a b a b<<∴<<∴><+<∴A ，B ，C 中结论均正确.0,||||||,b a a b a b <<∴+=+∴D 中结论错误.故选D.2.答案：C解析：因为a b c >>，且0a b c ++=，所以0,0a c ><，所以ab ac >.3.答案：D 解析：由,0x y xy >>，得0x y >>或0y x <<.当0x y >>时，由不等式的性质，得2211,0x y x y ><<.当0y x <<时，由不等式的性质，得2211,0x y x y<<<.综上，当,0x y xy >>时，11x y <一定成立.故选D. 4.答案： C解析：当0c ≤时，ac bc ≤，故选项A 不正确；取2,1a b ==-，11a b>，故选项B 不正确；由22ac bc >，知0c ≠，所以20c >，所以a b >，故选项C 正确；当0c =时，22ac bc =，故选项D 不正确.5.答案：C解析：因为()222(1)(3)(2)434410p q a a a a a a a -=----=-+--+=-<，所以p q <，故选C.6.答案：D解析：由a b >，得a b a <<－，0a b ∴>＋，且0a b >－，0b a ∴<－，A 错，D 对； 可取特值，如332170a b a b =>=，=-，＋，故B 错；而22()()0a b a b a b >－＝－＋，C 错7.答案：B解析：因为0a b <<，所以0a -=<，故a <A 错误；022a b b a b +--=>，故2a b b +>，C ，D 错误；由022a b a b a +--=<，知2a b a +<.综上所述，2a b a b +<<，故选B. 8.答案：C解析：222(1)(3)(2)43(44)10p q a a a a a a a -=----=-+--+=-<，所以p q <，故选C.9.答案：B解析：∵1201,01a a <<<<，∴12110,110a a -<-<-<-<，∴12121212(1)1M N a a a a a a a a -=-+-=--+12212(1)(1)(1)(1)0a a a a a =---=-->，∴M N >，故选B.10.答案：A解析：当10x -<<时，恒有0ax b +>成立，∴当0a >时，0ax b b a +>->，当0a <时，0ax b b +>>，0,0b a b ∴->>，20b a ∴->，p q ∴⇒.当3,02a b b =>时，1202b a b -=->，但当56x =-时，5510644ax b a b b b b ⎛⎫+=⋅-+=-+=-< ⎪⎝⎭，此时，q p ，p ∴是q 的充分不必要条件.11.答案：⇒①③②解析：220,|||||()αβαβαβαβ>>>+=+=22288283225αβαβ++>++⨯=>，||5αβ∴+>.12.答案：z y x >>解析：方法一 222()0,y x c a b y x -=->∴>.同理可得,z y z y x >∴>>.方法二 令3,2,1a b c ===，则x y z ===z y x >>.13.答案：2解析：因为2221(1)0a a a -+=-≥，所以①不恒成立；因为2222223(1)(1)10a b a b a b +-++=-+++>，所以②恒成立；因为220-=>0>，所以，即③恒成立.14.答案：2332b a << 解析：∵2,2bc a c a b +≤+≤，且,c a b c b a >->-，∴22a b c b a c c a b c b a -<⎧⎪-<⎪⎨≤-⎪⎪≤-⎩∴2222a b a b a b b a b a a b b a b a-<-⎧⎪-<-⎪⎨-<-⎪⎪-<-⎩∴2332b a <<. 15.答案：方法一(作差法)+-=.20≥>，0≥，当且仅当a b =时取等号，a b =时取等号.方法二(作商法) 因为0,0a b >>=====11≥，当且仅当a b=时取等号，a b=时取等号.方法三0+>，所以2222()()a b a b a b b aa bb a b a⎛⎫---=+-+=-=⎪⎝⎭2()()a b a bab+--≤，当且仅当a b=时取等号，a b=时取等号.（张老师推荐）好的学习方法和学习小窍门一、提高听课的效率是关键。

1 •已知a, b为非零实数，且a<b，则下列不等式一定成立的是（）A. a2<b2B. ab2>a2b11 b aC沪<ab D.a<bb a解析：若a<b<0,则a2>b2,故 A 错；若0<a<b,则->匚,故 D 错；若ab<0,即a<0, b>0,则a2b>ab2, a b故B错。

答案：C2. 设M = x2, N=-x—1,贝V M与N的大小关系是（）A. M>NB. M = NC. M<ND.与x有关1 3解析：M —N= X2+ x+ 1= x+ 2 2+ 4>0,所以M>N。

答案：A3. 已知0<a<b<1，则（）1 1 1 a 1 bA b>a B. 2 a< 2b1 1C. （8）2<（妙）2 D•看辰1 1 a一b 1111 1 1解析：因为0<a<b<1，所以［—-=—<0,可得; a> b; （lga）2>（|gb）2; lga<lgb<0,可得一>—。

b a ab b a 2 2 2 ' Iga Igb答案：D4. 如果a, b, c满足c<b<a,且ac<0,那么下列选项中不一定成立的是（）A. ab>acB. bc>ac2 2C. cb <abD. ac（a —c）<0解析；因为且所以Q O」所以l血一血二!：）>（）, be-de—（A- 此仗一町<0,所以.拟Bi D均正确°因为&可能等于4也可能不等于仇所以彳护3不一定成立。

答案：C1 15. 已知a, b为实数，则“ a>b>1 ”是“肓<b37”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件解析：宙 ^>1=^2 - l>b~ I --------------- ―,应一1 0— 1 当妆=0，D=2■时卩7<~~ 、但不成立》 a — L 力—1 所次丄产炉心1、故选乐a -1b — 1答案：A16•已知一1<a<0, A = 1 + a 2, B = 1 — a 2, C = ，比较 A , B, C 的大小结果为()1 + a A . A<B<C B . B<A<C C. A<C<B D . B<C<A1 5 3解析：方法一：不妨设 a =—;，贝U A = , B = ;, C = 2,由此得B<A<C ,选B 。

不等关系与不等式A 组基础稳固1．已知c<d，a>b>0，以下不等式中必建立的一个是()A．a＋c>b＋d B ．a－c>b－da bC．ad<bc D. c>d分析：∵ c<d，∴－ c>－ d.又∵ a>b>0，∴ a－ c>b－d.应选B.答案： B2．以下说法正确的个数为()①若 a>| b|，则 a2>b2；②若 a>b， c>d，则 a－ c>b－d；③若 a>b， c>d，则 ac>bd；④若c ca>b>0，c<0，则a>b.A．1 B ．2C．3 D ．4分析：①∵ a>| b|≥0，∴ a2>b2建立，∴①正确；②取＝2，＝ 1，＝3，d ＝－ 2，则 2－3<1－ ( －2) ，故②错误；ab c③取 a＝4，b＝1， c＝－1， d＝－2，则 4×( －1)<1 ×( － 2) ，故③错误；1 1c c④∵ a>b>0，∴0<a<b且 c<0，∴a>b，∴④正确．答案： B223．若x≠2且y≠－ 1，则M＝x＋y－ 4x＋2y的值与－ 5 的大小关系是()C．M＝－ 5 D ．不可以确立分析： M－(－5)＝ x2＋ y2－4x＋2y＋5＝( x－2)2＋( y＋1)2，∵ x≠2且 y≠－1，∴( x－2)2＋( y＋1) 2>0，∴M>－ 5. 应选 A.答案： A4．设a>b>1，c<0，给出以下三个结论：c cc c①a>b；②a <b；③ log b( a－c)>log a( b－c) ．此中全部的正确结论的序号是()A．① B ．①②C．②③ D ．①②③1 1 c c c c c分析：由 a>b>1，c<0得a<b，a>b；幂函数 y＝x( c<0)是减函数，因此a<b；由于 a－ c>b－ c ，因此 log b ( a － c )>loga (a － c )>log a (b －c ) ，①②③均正确，选D.答案： D5．若 <<，则1 ＋ 1 的值为 ()a b cc － b a － cA ．正数B ．负数C ．非正数D ．非负数1 1 a － c ＋ c － ba － b.分析：c － b ＋ a － c＝c － ba － c＝c － ba － c∵ a <b <c ，∴ c － b >0，a － c <0， a － b <0，a －b∴>0.c － ba － c答案： A6．若 a >1，且 ＝ log a ( 2 ＋1) ， ＝ log a ( － 1) ， ＝ log a (2 a ) ，则 ， ， p 的大小关系为m a n a p m n()A ．n >m >pB ． m >p >nC ．m >n >pD ． p >m >n分析：∵ a >1，∴ a 2＋ 1>2a, 2a >a － 1.已知 m ＝ log a ( a 2＋ 1) ， n ＝log a ( a － 1) ， p ＝ log a (2 a ) ，∴m 、 n 、 p 的大小关系为 m >p >n .答案： B1 17．若 1<a <b ，则有以下结论：①log a b >log b a ；② |log a b ＋ log b a |>2 ；③ (log b a ) 2<1；④ |log a b | ＋ |log b a |>|log a b ＋ log b a |.此中，正确的结论是 ________( 填序号 ) ．1 1分析：用特别值法．由 1<a <b ，知 0<b <a <1.令 a 1 ， 11 ＝ ＝ ，则 log a ＝ 2， log b＝ .2 b4 b a2可判断①②③均正确，④不正确． 答案：①②③a8．已知 12<a <60,15< b <36，则 a － b 的取值范围为 ________， b 的取值范围为 ________．1a分析：由 b 的范围， 可求－ b 的范围， b 的范围， 再由不等式性质，可求 a － b 的范围， b 的－ 36<－b <－ 15， 1 1 1 1 a36< < ， 范围．由 15< <36?－－由b 15<b 12<a <60? 15<b <36? ? 3b24<a b <45.12<a <60<4.∴ －， a的取值范围分别为( － 24,45) ，1， 4 .a bb3答案： ( － 24,45)1， 4343349．(1) 设 m ≠n ， x ＝ m －mn ， y ＝ n m － n ，比较 x 与 y 的大小；(2) 已知 a >0 且 a ≠1， P ＝ log a ( a 3＋ 1) ， Q ＝ log a ( a 2＋ 1) ，比较 P 与 Q 的大小．解： (1) x － ＝ (4－ 3 ) － (3－ 4)＝3(－ )－ 3( － ) ＝ ( － )(3－3)＝( － ) 2(2y m mn n m nm m nn m n m n m nm n m＋ mn ＋n 2) ．∵m ≠ n ，∴ ( m － n ) 2>0.又∵2＋2＝ m ＋ n 2 ＋ 3n 2＋n >0，m mn242 22，∴( m － n ) ( m ＋ mn ＋ n )>0 ∴x － y >0，∴ x >y .(2) － ＝ log a (3＋ 1) － log a ( 2＋ 1) a 3＋ 1aa＝loga 2 .P Qa ＋ 1当 a >1 时， a 3 ＋1>a 2＋ 1，a 3＋1a 3＋ 1∴2>1，∴ log a 2>0；a ＋ 1a ＋ 1当 0<a <1 时， a 3＋ 1<a 2＋ 1，a 3＋1a 3＋ 1∴ a 2＋ 1<1，∴ log a a 2＋ 1>0.综上可知，当 a >0 且 a ≠1时， P － Q >0，即 P >Q .bb c10．已知 a >b >c >0，求证： a － b >a － c >a － c .b b b b －cbcb － c证明：由于 a － b － a － c ＝ a － ba － c ，a － c － a － c ＝ a － c . 又 a >b >c >0，则 a － c >0，a －b >0， b －c >0，因此b b －cb －c b b bca －b a － c>0， a － c >0，即 a － b － a － c >0， a － c － a －c >0，所b bc 以>> .a －b a －c a －cB 组 能力提高11．若 d >0，d ≠1， m ， n ∈ N * ，则 1＋ d m ＋n 与 d m ＋ d n 的大小关系是 ()A ．1＋ d m ＋ n >d m ＋ d nB ． 1＋ d m ＋n <d m ＋ d nC ．1＋ d m ＋n ≥ d m ＋ d n D ．不可以确立m ＋ n m n m n mm n分析： 1＋ d － ( d ＋d ) ＝ (1 － d ) ＋ d ( d － 1) ＝(1 － d )(1 －d ) ．∵ ， ∈N *, 1－ m 与 1－ n 同号，∴ (1 － m )(1 － n )>0.m ndddd答案： A2x 2x 312．设 x ， y 为实数，知足3≤xy ≤8,4 ≤ y ≤9，则 y 4的最大值是 ________．x 2x 4分析：由 4≤ y ≤9，得 16≤ y 2≤81.21 1 1x 3又∵ 3≤ xy ≤8，∴ 8≤xy 2≤ 3，∴ 2≤ y 4≤27.x 3又∵ x ＝ 3，y ＝ 1 知足条件，这时 y 4＝27.x 3∴ y 4的最大值是 27.答案： 2713．设 f ( x ) ＝ (4 a － 3) x ＋ b － 2a ， x ∈，若 f (0) ≤2， f (1) ≤2，求 a ＋b 的取值范围．解：∵ f (0) ＝ b － 2a ，f (1) ＝ b ＋2a － 3，且 f (0) ≤2， f (1) ≤2，f1 － f 0 ＋ 3f1 ＋ f 0 ＋ 3 3f1 ＋ f0＋917∴a ＝， b ＝2 ? a ＋ b ＝4≤ .4417∴a ＋ b 的取值范围是 －∞， 4 .11 114． (1) 设 x ≥1， y ≥1，证明： x ＋ y ＋ xy ≤ x ＋ y ＋ xy ；(2) 设 1<a ≤b ≤ c ，证明： log a b ＋ log b c ＋ log c a ≤log b a ＋log c b ＋ log a c .证明： (1) ∵x ≥1， y ≥1，11 12∴x ＋ y ＋ xy ≤ x ＋ y ＋ xy ? xy ( x ＋ y ) ＋1≤ y ＋x ＋ ( xy ) .将上式中的右式减左式，得－＝－＝( xy ＋ 1)( xy － 1) － ( x ＋ y )( xy － 1) ＝ ( xy － 1)( xy － x－ y ＋ 1) ＝ ( xy －1)( x － 1)( y － 1) ．∵ x ≥ 1， y ≥1，∴ ( xy － 1)( x － 1)( y －1) ≥0，逆推可得所要证明的不等式建立．(2) 设 log a b ＝ x ， log b c ＝ y ，由对数的换底公式得11 1log c a ＝ xy ， log b a ＝ x ， log c b ＝ y ， log a c ＝ xy .11 1于是，所要证明的不等式即为x ＋ y ＋ xy ≤ x ＋ y ＋ xy ，此中 x ＝ log a b ≥1， y ＝ log b c ≥1.故由 (1) 可知所要证明的不等式建立．。

3.1不等关系与不等式一、选择题：本题共8个小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【题文】已知a b >，c d >，那么一定正确的是 （ ）A ．ad bc >B ．ac bd >C ．a c b d ->-D ．a d b c ->-2．【题文】设201612016a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，120162016b =，1lg 2016c =，则c b a ,,的大小关系为 （ ） A ．c a b << B ．b c a <<C ．a b c <<D ．b a c <<3．【题文】已知,a b 为非零实数，且0a b <<，则下列命题成立的是 （ ）A ．22a b <B ．2211ab a b <C ．22a b ab <D ．b a a b< 4．【题文】设22(21),(1)(3)M a a N a a =--=+-，则有 （ ）A. M N >B. M N ≥C. M N <D. M N ≤5．【题文】如果01a <<，那么下列不等式中正确的是 （ ）A ．(1)log (1)0a a -+>C ．32(1)(1)a a ->+D ．1(1)1a a +->6．【题文】设,a b ∈R ，若0a b ->，则下列不等式中正确的是 ( )A ．0b a ->B ．330a b +<C ．220a b -<D ．0b a +> 7．【题文】设 1a b >>，0c <，给出下列三个结论：①c c a b>；②c c a b >； ③()()log >log b a a c b c --．其中所有正确结论的个数是 （ ）A ．0B ．1C ．2D ．38．【题文】已知,,a b c ∈R ，则下列推证中错误的是（ ）A ．22a b ac bc >⇒≥B ．,0a b c a b c c><⇒< C ．3311,0a b ab a b >>⇒< D ．2211,0a b ab a b >>⇒<二、填空题：本题共3小题.9．【题文】132-，123，2log 5三个数中最大的数是 ． 10．【题文】若13,12,a b ≤≤-≤≤则2a b -的取值范围为______．11．【题文】若2,a b c ==，则a 、b 、c 的大小顺序是 ．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.12．【题文】已知：m n >，a b <，求证：m a n b ->-.13．【题文】设110,1ab a >->，比较a +1的大小. 14．【题文】已知,a b ∈R ，b a x -=3，a b a y -=2，试比较x 与y 的大小．3.1不等关系与不等式 参考答案及解析1. 【答案】D【解析】由同向不等式的加法性质可知由a b >，c d >，可得,a c b d a d b c +>+∴->-．考点：不等式性质.【题型】选择题【难度】较易2. 【答案】D 【解析】()201612016110,1,20161,lg 0,.20162016a b c c a b ⎛⎫=∈=>=<∴<< ⎪⎝⎭考点：比较大小.【题型】选择题【难度】较易3. 【答案】B 【解析】因为0a b <<，所以可令2,1a b =-=，可排除A 、C 、D ，故选B.考点：不等式的性质.【题型】选择题【难度】较易4. 【答案】B【解析】()()()()22222211324223M N a a a a a a a a a -=---+-=-----=-()22110a a +=-≥恒成立，所以M N ≥．故B 正确．考点：作差法比较大小．【题型】选择题【难度】一般5. 【答案】A【解析】因为01,a <<所以011,a <-<所以(1)x y a =-在R 上单调递减，所以A.本题也可以用特殊值法，如：令12a =来解决. 考点：比较大小.【题型】选择题【难度】一般6. 【答案】D 【解析】由0a b ->得a b >，0,,0.a b a b a b ∴>≥∴>±∴+>考点：不等式性质.【题型】选择题【难度】一般7. 【答案】C【解析】①∵1a b >>，0c <，∴(0c c c b a a b ab --=>），故c c a b>，正确； ②∵0c <，∴c y x =在()0,+∞上是减函数，而0a b >>，所以c c a b <，错误；③当1a b >>时，有()()()log >log >log b b a a c b c b c ---，正确．故选C ．考点：比较大小．【题型】选择题【难度】一般8. 【答案】D【解析】对于A ： 20c ≥，则22ac bc ≥，故A 正确；对于B ：0a b a b c c c--=> ，当0c <时，有a b <，故B 正确； 对于C ：∵33a b >，0ab >，∴不等式两边同乘以()3ab 的倒数，得到3311b a >，即11a b<，故C 正确； 对于D ：∵22a b >，0ab >，∴不等式两边同乘以()2ab 的倒数，得到2211b a >，不一定有11a b<，故D 错误．故选D ． 考点：不等关系与不等式．【题型】选择题【难度】较难9. 【答案】2log 5 【解析】11322221,12,log 5log 42-<<<>=，所以最大的数为2log 5． 考点：指数、对数式大小判定．【题型】填空题【难度】一般10．【题文】若13,12,a b ≤≤-≤≤则2a b -的取值范围为______．【答案】[]0,7【解析】13,12,226,21,a b a b ≤≤-≤≤∴≤≤-≤-≤利用同向不等式可以相加，得到2a b -的取值范围为[]0,7．考点：不等式的性质.【题型】填空题【难度】一般10. 【答案】[]0,7【解析】13,12,226,21,a b a b ≤≤-≤≤∴≤≤-≤-≤利用同向不等式可以相加，得到2a b -的取值范围为[]0,7．考点：不等式的性质.【题型】填空题【难度】一般11. 【答案】a b c >>【解析】a ==，2bc ===，因为20+>，>>，故a b c >>. 考点：不等关系与不等式.【题型】填空题【难度】一般12. 【答案】证明略【解析】证法一：由m n >知0m n ->，由a b <知0b a ->.∴()()()()0m a n b m n b a m a n b ---=-+->⇒->-.证法二：∵a b <，∴a b ->-，又∵m n >，∴()()m a n b +->+-，即m a n b ->-.考点：不等式的性质.【题型】解答题【难度】较易13. 【答案】ba ->+111 【解析】由,10111,0<<⇒>->b a b a2211111ab a b ab b a b b ⎛⎫-- ⎪--⎝⎭∴-==--， 又110,10,1ab b b a>->->，22∴-⇒> 考点：平方法作差比较大小.【题型】解答题【难度】一般14. 【答案】详见解析 【解析】()()()32221x y a b a b a a a b a b a b a -=--+=-+-=-+， 当b a >时，0>-y x ，所以y x >；当b a =时，0=-y x ，所以y x =；当b a <时，0<-y x ，所以y x <．考点：作差法比较大小.【题型】解答题【难度】一般。

高中数学学习材料唐玲出品§1 不等关系（数学北京师大版必修5）建议用时 实际用时满分 实际得分45分钟100分一、选择题（每小题5分，共20分） 1.如果c ＜b ＜a ,且ac ＜0，那么下列不等式中不一定成立的是（ ）A.ab ＞acB.c (b -a )＞0C. ＜D.ac (a -c )＜02.若1a <1b<0，则下列不等式：①a +b <ab ； ②|a |>|b |；③a <b ；④a 2<b 2中，正确的个数是（ ）A.1B.2C.3D.43.若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式成立的是（ ）A. 1a <1bB.a 2>b 2C. 21a c +>21b c + D.a |c |>b |c |4. 已知1，2∈(0，1)，记M ＝12，N12-1，则M 与N 的大小关系是( )A .M ＜NB .M ＞NC .M =ND .不确定二、填空题(每小题5分，共20分)5.若1＜α＜3， ＜β＜2，则α |β|的取值范围是_____________.6．已知a >b >0，c <d <0，则b ac -与a b d-的大7．已知a ，b ，c ，d 均为实数，有下列命题：①若ab >0，bc ad >0，则c a db>0； ②若ab >0，c a db>0，则bc ad >0； ③若bc ad >0，c a db>0，则ab >0.其中正确命题的个数是 .8.设命题p ：若a ＞b ，则1＜ 1，q ：若1＜0，则ab ＜0.给出以下三个复合命题：①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧q .其中真命题有 ____________ (填序号). 三、解答题(共60分) 9．（12分）已知f （x ） ，若1≤f （1）≤2，2≤f （2）≤3，求f （3）的范围.10．（12分）已知实数,,满足，，试比较,,的大小.11.（12分）已知a，b，c是不全相等的正数，求证：12．(12分) 已知，，.求证：，，不能都大于14.13.（12分）若二次函数y=f（x）的图像关于y轴对称，且1≤f（1）≤2，3≤f（2）≤4，求f（3）的范围.§1 不等关系（数学北京师大版必修5）答题纸得分：一、选择题题号 1 2 3 4答案二、填空题5． 6． 7． 8．三、解答题9.10.11.12.13.§1 不等关系（数学北京师大版必修5）参考答案一、选择题1 .C 解析：∵ c ＜b ＜a ，ac ＜0，∴ c ＜0，a ＞0.∴ b ＞c ⇒ab ＞ac ，∴ A 正确. ∵ b -a ＜0，∴ c (b -a )＞0，∴ B 正确. ∵ a ＞c ，∴2＜2；又当b =0时22，∴ C 不一定成立.∵ ac ＜0，a -c ＞0，∴ ac (a -c )＜0.2.B 解析：∵ 1a <1b<0，∴ b <a <0，∴ a +b <0<ab ，|b |>|a |，∴ a 2<b 2，故①④正确. 3.C 解析：∵ a >b ，c 2+1>0，∴ 21a c +>21bc +.4. B 解析：M N121211121 ，∵1，2∈(0，1)，∴1121)＞0，∴ M ＞N .二、填空题5.-3＜α-|β|＜3 解析：∵ -4＜β＜2，∴ 0≤|β|＜4.∴ -4＜-|β|≤0.∴ -3＜α-|β|＜3.6.b ac - a b d- 解析：由题意知 a >b >0， c > d >0， ∴ a c b d 0，∴ 0 1a c - 1b d -.∵ a b 0，∴ b a c - ab d-.7. 3 解析：由bc ad 0得bc ad ，又ab 0，∴ bc ab ad ab ，即c a d b，∴0，故①正确；由 ，，得ab( ) 0，即bc-ad 0，故②正确；由 >0，得bc ad ab->0，∵ ，∴ ，故③正确.8. ② 解析：∵ p 为假命题，q 为真命题，∴ p ∨q 为真命题.三、解答题9. 解法1：整体代换令f （3）=9a +b = ，则49,1,m n m n +=⎧⎨+=⎩解得5,38.3m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即.因为1≤a +b ≤2，2≤4a +b ≤3， 所以2≤f （3）≤193，即f （3）的范围是[2，193]. 解法2:巧妙换元令a +b =x ，4a +b =y ， 则a =y x -，b =4x y-，1≤x ≤2，2≤y ≤3.因为f （3）=9a +b =853y x-，6≤8y 5x ≤19， 所以2≤f （3）≤193，即f （3）的范围是[2，193].解法3：增元换元 令2,01,34,01,a b t t a b s s =++≤≤⎧⎨=++≤≤⎩解得1,3453t s a t s b -+⎧=⎪⎪⎨-++⎪=⎪⎩.因为0≤t ≤1，0≤s ≤1，且f （3）=9a +b =58143t s -+，所以2≤f （3）≤193，即f （3）的范围是[2，193].10.解：4 42= 2 2≥0，∴ c ≥b .又6 4 3 2，①4 4 2，②由①-②得2 2 22，即12.∵ 12= 12 234 ＞0，∴ 12＞a ，∴ b ＞a ，∴ c ≥b a .11．证明：∵ （b-c ）2≥0，∴ b 2+c 2-2bc ≥0，即b 2+c 2≥2bc.又a >0，∴ a （b 2+c 2）≥2abc .同理b （c 2+a 2）≥2abc ，c （a 2+b 2）≥2abc .∵ a ，b ，c 不全相等，∴ 以上三个式子中至少有一个式子取不到等号. 故12. 证明：假设（1-a ）b14，（1-b ）c 14，（1-c ）a 14， 由（1a - b ）2≥0，展开得(1)2a b -+≥(1)a b ->12. 同理可得(1)2b c -+>12，(1)2c a -+>12.∴ (1)2a b -++(1)2b c -++(1)2c a -+>32，即32>32，矛盾. ∴ 原结论成立.13. 解：设f （x ）=ax 2+c （a ≠0），又∵ f （3）=9a +c ，故设λ1f （1）+λ2f （2）=f （3），则有121249,1,λλλλ+=⎧⎨+=⎩解得125,38,3λλ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴ f （3）=8(2)5(1)3f f -.∵ 1≤f （1）≤2，3≤f （2）≤4， ∴ 5≤5f （1）≤10，24≤8f （2）≤32. ∴ 14≤8f （2） 5f （1）≤27. ∴143≤8(2)5(1)3f f -≤9，即143≤f （3）≤9.。

第三章不等式课题: 3.1不等式与不等关系第1课时授课类型：新授课【教学目标】1．知识与技能：通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等式（组）的实际背景，掌握不等式的基本性质；2．过程与方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法；3．情态与价值：通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯。

【教学重点】用不等式（组）表示实际问题的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题。

理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。

【教学难点】用不等式（组）正确表示出不等关系。

【教学过程】1.课题导入在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系。

如两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边，等等。

人们还经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系。

在数学中，我们用不等式来表示不等关系。

下面我们首先来看如何利用不等式来表示不等关系。

2.讲授新课1）用不等式表示不等关系引例1：限速40km/h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v 不超过40km/h ，写成不等式就是：40v ≤引例2：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于 2.5%，蛋白质的含量p 应不少于2.3%，写成不等式组就是——用不等式组来表示2.5%2.3%f p ≤⎧⎨≥⎩ 问题1：设点A 与平面α的距离为d,B 为平面α上的任意一点，则||d AB ≤。

问题2：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。

据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。

若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？解：设杂志社的定价为x 元，则销售的总收入为 2.5(80.2)0.1x x --⨯ 万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式2.5(80.2)200.1x x --⨯≥ 问题3：某钢铁厂要把长度为4000mm 的钢管截成500mm 和600mm 两种。

一、选择题1．已知a ＋b ＞0，b ＜0，那么a ，b ，－a ，－b 的大小关系是( )A ．a ＞b ＞－b ＞－aB ．a ＞－b ＞－a ＞bC ．a ＞－b ＞b ＞－aD ．a ＞b ＞－a ＞－b答案 C解析 方法一 ∵a ＋b ＞0，∴a ＞－b ，又b ＜0，∴a ＞0，且|a |＞|b |，∴a ＞－b ＞b ＞－a .方法二 设a ＝3，b ＝－2，则a ＞－b ＞b ＞－a .2．设0＜b ＜a ＜1，则下列不等式成立的是( )A ．ab ＜b 2＜1B ．log 12b ＜log 12a ＜0 C ．2b ＜2a ＜2 D ．a 2＜ab ＜1答案 C解析 设a ＝23，b ＝13，验证即得A ，D 错误；结合y ＝log 12x ，y ＝2x 的单调性得B 错误，C 正确．3．已知a ，b ∈(0，1)，记M ＝ab ，N ＝a ＋b －1，则M 与N 的大小关系是( )A ．M ＜NB ．M ＞NC ．M ＝ND ．不确定答案 B解析 M －N ＝ab －(a ＋b －1)＝ab －a －b ＋1＝(a －1)(b －1)．∵a ，b ∈(0，1)，∴a －1＜0，b －1＜0∴M －N ＞0，∴M ＞N .4．已知四个条件：①b ＞0＞a ，②0＞a ＞b ，③a ＞0＞b ，④a ＞b ＞0，能推出1a ＜1b成立的有( ) A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个答案 C解析 ①中，a ＜0＜b ，∴1a ＜1b ，②中，b ＜a ＜0，∴1a ＜1b ，④中a ＞b ＞0，∴1a ＜1b ，故①②④三个均可推得1a ＜1b .5．已知a ，b ＞0且a ≠1，b ≠1，若log a b ＞1，则( )A ．(a －1)(b －1)＜0B ．(a －1)(a －b )＞0C ．(b －1)(b －a )＜0D ．(b －1)(b －a )＞0答案 D解析 由a ，b ＞0且a ≠1，b ≠1，及log a b ＞1＝log a a 可得：当a ＞1时，b ＞a ＞1，当0＜a ＜1时，0＜b ＜a ＜1，代入验证只有D 满足题意．6．下列命题中，一定正确的是( )A ．若a ＞b ，且1a ＞1b ，则a ＞0，b ＜0B ．若a ＞b ，b ≠0，则a b ＞1C ．若a ＞b ，且a ＋c ＞b ＋d ，则c ＞dD ．若a ＞b ，且ac ＞bd ，则c ＞d答案 A解析 对于A ，∵1a ＞1b ，∴b－a ab ＞0，又a ＞b ，∴b －a ＜0，∴ab ＜0，∴a ＞0，b ＜0，故A 正确；对于B ，当a ＞0，b ＜0时，有a b＜1，故B 错； 对于C ，当a ＝10，b ＝2时，有10＋1＞2＋3，但1＜3，故C 错；对于D ，当a ＝－1，b ＝－2时，有(－1)×(－1)＞(－2)×3，但－1＜3，故D 错．故选A.7．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则谁先到教室( )A ．甲B ．乙C ．同时到达D ．无法判断答案 B解析 设路程为S ，步行速度v 1，跑步速度v 2，则甲用时t 1＝12S v 1＋12S v 2， 乙用时t 2＝2S v 1＋v 2， t 1－t 2＝S 2v 1＋S 2v 2－2S v 1＋v 2＝S ⎣⎢⎡⎦⎥⎤v 1＋v 22v 1v 2－2v 1＋v 2 ＝（v 1＋v 2）2－4v 1v 22v 1v 2（v 1＋v 2）·S ＝（v 1－v 2）2·S 2v 1v 2（v 1＋v 2）＞0 ∴甲用时多．二、填空题8．给出下列命题：①a ＞b ⇒ac 2＞bc 2；②a ＞|b |⇒a 2＞b 2；③a ＞b ⇒a 3＞b 3；④|a |＞b ⇒a 2＞b 2.其中正确的命题序号是________．答案 ②③解析 ①当c 2＝0时不成立．②一定成立．③当a ＞b 时，a 3－b 3＝(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＝(a －b )·⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＋34b 2＞0成立． ④当b ＜0时，不一定成立．如：|2|＞－3，但22＜(－3)2.9．一辆汽车原来每天行驶x km ，如果该辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km ，那么在8天内它的行程就超过2 200 km ，写出不等式为______________；如果它每天行驶的路程比原来少12 km ，那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间，用不等式表示为______________．答案 8(x ＋19)＞2 200 8x x －12＞9 解析 由题意知，汽车原来每天行驶x km ，8天内它的行程超过2 200 km ，则8(x ＋19)＞2 200.若每天行驶的路程比原来少12 km ，则原来行驶8天的路程就要用9天多，即8x x －12＞9. 10．已知实数x ，y 满足－4≤x －y ≤－1，－1≤4x －y ≤5，则9x －3y 的取值范围是______． 答案 [－6，9]解析 设9x －3y ＝a (x －y )＋b (4x －y )＝(a ＋4b )x －(a ＋b )y ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋4b ＝9，a ＋b ＝3，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2， ∴9x －3y ＝(x －y )＋2(4x －y )，∵－1≤4x －y ≤5，∴－2≤2(4x －y )≤10，又－4≤x －y ≤－1，∴－6≤9x －3y ≤9.三、解答题11．(1)若bc －ad ≥0，bd ＞0，求证：a ＋b b ≤c ＋d d； (2)已知a ，b ，m 均为正数，且a ＜b ，求证：a ＋m b ＋m ＞a b. 解 (1)方法一 ∵bc －ad ≥0，∴bc ≥ad .∵bd ＞0，∴c d ≥a b ，∴c d ＋1≥a b＋1， 即a ＋b b ≤c ＋d d. 方法二 作差比较，a ＋b b －c ＋d d ＝ad ＋bd －bc －bd bd ＝ad －bc bd， ∵ad －bc ≤0，bd ＞0，∴ad －bc bd ≤0，∴a ＋b b ≤c ＋d d. (2)a ＋m b ＋m －a b ＝ab ＋bm －ab －am b （b ＋m ）＝（b －a ）m b （b ＋m ）， ∵a ＜b ，∴b －a ＞0，又m ，b 均为正数，∴（b －a ）m b （b ＋m ）＞0，∴a ＋m b ＋m ＞a b. 12．若二次函数f (x )的图象关于y 轴对称，且1≤f (1)≤2，3≤f (2)≤4，求f (3)的取值范围． 解 由题意设f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，则⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝a ＋c ，f （2）＝4a ＋c ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝f （2）－f （1）3，c ＝4f （1）－f （2）3， 而f (3)＝9a ＋c ＝3f (2)－3f (1)＋4f （1）－f （2）3＝8f （2）－5f （1）3， 因为1≤f (1)≤2，3≤f (2)≤4，所以5≤5f (1)≤10，24≤8f (2)≤32，所以－10≤－5f (1)≤－5，所以14≤8f (2)－5f (1)≤27，所以143≤8f （2）－5f （1）3≤9， 即143≤f (3)≤9.所以f (3)的取值范围是⎣⎡⎦⎤143，9.13．设f (x )＝1＋log x 3，g (x )＝2log x 2，其中x ＞0且x ≠1，试比较f (x )与g (x )的大小．解 f (x )－g (x )＝1＋log x 3－2log x 2＝log x 3x 4， (1)当⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜1，3x 4＞1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，0＜3x 4＜1，即1＜x ＜43时，log x 3x 4＜0，∴f (x )＜g (x )； (2)当3x 4＝1，即x ＝43时，log x 3x 4＝0，即f (x )＝g (x )； (3)当⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜1，0＜3x 4＜1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，3x 4＞1，即0＜x ＜1，或x ＞43时，log x 3x 4＞0，即f (x )＞g (x )． 综上所述，当1＜x ＜43时，f (x )＜g (x )； 当x ＝43时，f (x )＝g (x )； 当0＜x ＜1，或x ＞43时，f (x )＞g (x )．。