概统12.0

2012年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数 学(供文科考生使用)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合{}{}2|320,,|05,A x x x x R B x x x R =-+=∈=<<∈,则满足条件A C B ⊆⊆的集合C的个数为( )A.1B.2C.3D.4A. 0.35B. 0.45C. 0.55D. 0.65 3.函数()cos2f x x x =在区间[]0,2π上的零点的个数为( )A.2B.3C.4D.5 4.命题“存在一个无理数,它的平方是有理数”的否定是( )A.任意一个有理数,它的平方是有理数B.任意一个无理数,它的平方不是有理数C.存在一个有理数,它的平方是有理数D.存在一个无理数,它的平方不是有理数 5.过点()1,1P 的直线,将圆形区域(){}22,|4x y xy +≤分为两部分,使得这两部分的面积之差最大,则该直线的方程为( )A.20x y +-=B.10y -=C.0x y -=D.340x y +-=6.已知定义在区间[]0,2上的函数()y fx =的图象如图所示,则()2y f x =--的图象为( )7.定义在()(),00,-∞+∞U 上的函数()f x ,如果对于任意给定的等比数列{}(){},n n a f a 仍是等比数列,则称()f x 为“保等比数列函数”.现有定义()(),00,-∞+∞U 在上的如下函数: ①()2f x x =②()2x f x =③()f x④()ln ||f x x =则其中是“保等比数列函数”的()f x 的序号为( )A .①②B ③④ C.①③ D.②④8.设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若三边的长为连续的三个正整数,且,320cos A B C b a A >>=,则sin :sin :sin A B C 为( )A.4:3:2B.5:6:7C.5:4:3D.6:5:49.设,,a b c R ∈,则"1"abc =是"a b c ≤++的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件10.如图,在圆心角为直角的扇形OAB 中,分别以,OA OB 为直径作两个半圆.在扇形OAB 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是( )A.112π-B.1πC.21π- D.2π二、填空题(本大题共7小题,每小题5分,共35分)11.一支田径运动队有男运动员56人,女运动员42人.现用分层抽样的方法抽取若干人,若抽取的男运动员有8人,则抽取的女运动员有__________人12.若31bi a bi i+=+-(,a b 为实数,i 为虚数单位),则a b +=________13.已知向量()()1,0,1,1==a b ,则(1)与2+a b 同向的单位向量的坐标表示为____(2)向量3-b a 与向量a 夹角的余弦值为____14.若变量,x y 满足约束条件11,33x y x y x y -≥-⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩则目标函数23z x y =+的最小值为________15.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为________ 16.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果________ 17.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数,他们研究过如图所示的三角形数:...10631将三角形数1,3,6,10,⋅⋅⋅记为数列{}n a ,将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{}n b ,可以推测:(1)2012b 是数列{}n a 中的第_________项;(2)21k b -=______(用k 表示)三、解答题(本大题共5小题,共65分.解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)18.(本小题12分)设函数()()22sin cos cos f x x x x x x R ωωωωλ=+⋅-+∈的图象关于直线πx =对称.其中,ωλ为常数,且1(,1)2ω=.(1)求函数()f x 的最小正周期;(2)若()y f x=的图象经过点π(,0)4,求函数()f x 的值域.BAO 俯视图侧视图正视图22114419.(本小题12分)某个实心零部件的形状是如图所示的几何体,其下部是底面均是正方形,侧面是全等的等腰梯形的四棱台1111A B C D ABCD -,上部是一个底面与四棱台的上底面重合,侧面是全等的矩形的四棱柱2222ABCD A B C D -.(1)证明:直线11B D ⊥平面22ACC A ;(2)现需要对该零部件表面进行防腐处理.已知112110,20,30,13AB A B AA AA ====(单位:厘米),每平方厘米的加工处理费为0.20元,需加工处理费多少元?20.(本小题13分)已知等差数列{}n a 前三项的和为3-,前三项的积为8.(1)求等差数列{}n a 的通项公式;(2)若231,,a a a 成等比数列,求数列{}||n a 的前n 项和.21.(本小题14分)设A 是单位圆221x y +=上的任意一点,l 是过点A 与x 轴垂直的直线,D 是直线l 与x 轴的交点,点M 在直线l 上,且满足()||||0,1DM m DA m m =>≠且.当点A 在圆上运动时,记点M 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程,判断曲线C 为何种圆锥曲线,并求其焦点坐标;(2)过原点斜率为k 的直线交曲线C 于,P Q 两点,其中P 在第一象限,且它在y 轴上的射影为点N ,直线QN 交曲线C 于另一点H .是否存在m ,使得对任意的0k >,都有PQ PH ⊥?若存在,求m 的值;若不存在,请说明理由.22.(本小题14分)设函数()()()10,n f x ax x b x n =-+>为正整数,,a b 为常数.曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程为1x y +=.(1)求,a b 的值;(2)求函数()f x 的最大值; (3)证明:()1f x ne<A 2B 2D 2C 2C 1D 1B 1A 1D C B A2012年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（文史类）试题参考答案一、选择题：A 卷：1．D 2．B 3．D 4．B 5．A 6．B 7．C 8．D 9．A 10．C 二、填空题：11． 6 12． 3 13．（Ⅰ）；（Ⅱ） 14． 2 15．12π 16． 9 17．（Ⅰ）5030；（Ⅱ）()5512k k -三、解答题：18．解：（Ⅰ）因为22()sin cos cos f x x x x x ωωωωλ=-+⋅+cos22x x ωωλ=-+π2sin(2)6x ωλ=-+.由直线πx =是()y f x =图象的一条对称轴，可得πsin(2π)16ω-=±，所以ππ2ππ()62k k ω-=+∈Z ，即1()23k k ω=+∈Z ．又1(,1)2ω∈，k ∈Z ，所以1k =，故56ω=.所以()f x 的最小正周期是6π5. （Ⅱ）由()y f x =的图象过点π(,0)4，得π()04f =，即5πππ2sin()2sin 6264λ=-⨯-=-=，即λ=.故5π()2sin()36f x x =-()f x的值域为[22-.19．解：（Ⅰ）因为四棱柱2222ABCD A B C D -的侧面是全等的矩形，所以2AA AB ⊥，2AA AD ⊥. 又因为AB AD A = ，所以2AA ⊥平面ABCD . 连接BD ，因为BD ⊂平面ABCD ，所以2AA BD ⊥.因为底面ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥. 根据棱台的定义可知，BD 与B 1 D 1共面.又已知平面ABCD ∥平面1111A B C D ，且平面11BB D D 平面ABCD BD =， 平面11BB D D 平面111111A B C D B D =，所以B 1 D 1∥BD . 于是由2AA BD ⊥，AC BD ⊥，B 1 D 1∥BD ，可得211AA B D ⊥，11AC B D ⊥. 又因为2AA AC A = ，所以11B D ⊥平面22ACC A .（Ⅱ）因为四棱柱2222ABCD A B C D -的底面是正方形，侧面是全等的矩形，所以2221222()410410301300(cm )S S S A B AB AA =+=+⋅=+⨯⨯=四棱柱上底面四棱柱侧面.又因为四棱台1111A B C D ABCD -的上、下底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形，所以2211111()42S S S A B AB A B h =+=+⨯+四棱台下底面四棱台侧面等腰梯形的高()221204(101120(cm )2=+⨯+.于是该实心零部件的表面积为212130*********(cm )S S S =+=+=， 故所需加工处理费为0.20.22420484S =⨯=（元）.20．解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，则21a a d =+，312a a d =+，由题意得1111333,()(2)8.a d a a d a d +=-⎧⎨++=⎩ 解得12,3,a d =⎧⎨=-⎩或14,3.a d =-⎧⎨=⎩所以由等差数列通项公式可得23(1)35n a n n =--=-+，或43(1)37n a n n =-+-=-.故35n a n =-+，或37n a n =-. （Ⅱ）当35n a n =-+时，2a ，3a ，1a 分别为1-，4-，2，不成等比数列；当37n a n =-时，2a ，3a ，1a 分别为1-，2，4-，成等比数列，满足条件. 故37,1,2,|||37|37, 3.n n n a n n n -+=⎧=-=⎨-≥⎩记数列{||}n a 的前n 项和为n S .当1n =时，11||4S a ==；当2n =时，212||||5S a a =+=； 当3n ≥时，234||||||n n S S a a a =++++ 5(337)(347)(37)n =+⨯-+⨯-++-2(2)[2(37)]311510222n n n n -+-=+=-+. 当2n =时，满足此式.综上，24,1,31110, 1.22n n S n n n =⎧⎪=⎨-+>⎪⎩21．解：（Ⅰ）如图1，设(,)M x y ，00(,)A x y ，则由||||(0,1)DM m DA m m =>≠且，可得0x x =，0||||y m y =，所以0x x =，01||||y y m=. ①因为A 点在单位圆上运动，所以22001x y +=. ②将①式代入②式即得所求曲线C 的方程为222 1 (0,1)y x m m m+=>≠且.因为(0,1)(1,)m ∈+∞ ，所以当01m <<时，曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，两焦点坐标分别为(0)，0)； 当1m >时，曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆，两焦点坐标分别为(0,，(0,.（Ⅱ）解法1：如图2、3，0k ∀>，设11(,)P x kx ，22(,)H x y ，则11(,)Q x kx --，1(0,)N kx ，直线QN 的方程为12y kx kx =+，将其代入椭圆C 的方程并整理可得 222222211(4)40m k x k x x k x m +++-=.依题意可知此方程的两根为1x -，2x ，于是由韦达定理可得 21122244k x x x m k -+=-+，即212224m x x m k =+.因为点H 在直线QN 上，所以2121222224km x y kx kx m k -==+.于是11(2,2)PQ x kx =-- ，22112121222242(,)(,)44k x km x PH x x y kx m k m k =--=-++ . 而PQ PH ⊥等价于2221224(2)04m k x PQ PH m k -⋅==+ ， 即220m -=，又0m >，得m故存在m =2212y x +=上，对任意的0k >，都有PQ PH ⊥.解法2：如图2、3，1(0,1)x ∀∈，设11(,)P x y ，22(,)H x y ，则11(,)Q x y --， 1(0,)N y ，因为P ，H 两点在椭圆C 上，所以222211222222,,m x y m m x y m ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 两式相减可得 222221212()()0m x x y y -+-=. ③依题意，由点P 在第一象限可知，点H 也在第一象限，且P ，H 不重合， 故1212()()0x x x x -+≠. 于是由③式可得 212121212()()()()y y y y m x x x x -+=--+. ④又Q ，N ，H 三点共线，所以QN QH k k =，即1121122y y y x x x +=+.于是由④式可得211212121121212()()12()()2PQ PHy y y y y y y m k k x x x x x x x --+⋅=⋅=⋅=---+. 而PQ PH ⊥等价于1PQ PH k k ⋅=-，即212m -=-，又0m >，得m =故存在m =2212y x +=上，对任意的0k >，都有PQ PH ⊥.22．解：（Ⅰ）因为(1)f b =，由点(1,)b 在1x y +=上，可得11b +=，即0b =.因为1()(1)n n f x anx a n x -'=-+，所以(1)f a '=-.又因为切线1x y +=的斜率为1-，所以1a -=-，即1a =. 故1a =，0b =. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，1()(1)n n n f x x x x x +=-=-，1()(1)()1n nf x n x x n -'=+-+. 令()0f x '=，解得1n x n =+，即()f x '在(0,)+∞上有唯一零点01n x n =+. 在(0,)1nn +上，()0f x '>，故()f x 单调递增；图2 (01)m <<图3 (1)m >图1 第21题解答图而在(,)1nn +∞+上，()0f x '<，()f x 单调递减. 故()f x 在(0,)+∞上的最大值为1()()(1)111(1)nn n n n n n f n n n n +=-=++++. （Ⅲ）令1()ln 1+(0)t t t t ϕ=->，则22111()= (0)t t t t t tϕ-'=->. 在(0,1)上，()0t ϕ'<，故()t ϕ单调递减； 而在(1,)+∞上()0t ϕ'>，()t ϕ单调递增.故()t ϕ在(0,)+∞上的最小值为(1)0ϕ=. 所以()0(1)t t ϕ>>，即1ln 1(1)t t t >->.令11t n =+，得11ln 1n n n +>+，即11ln()ln e n n n++>， 所以11()e n n n++>，即11(1)e n n n n n +<+. 由（Ⅱ）知，11()(1)en n n f x n n +≤<+，故所证不等式成立.。

【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习第十二章概率、随机变量及其概率分布 12.3 几何概型理1．几何概型的概念设D是一个可度量的区域(例如线段、平面图形、立体图形等)，每个基本事件可以视为从区域D内随机地取一点，区域D内的每一点被取到的机会都一样；随机事件A的发生可以视为恰好取到区域D内的某个指定区域d中的点．这时，事件A发生的概率与d的测度(长度、面积、体积等)成正比，与d的形状和位置无关．我们把满足这样条件的概率模型称为几何概型．2．几何概型的概率计算公式一般地，在几何区域D中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d内”为事件A，则事件A发生的概率P(A)＝d的测度D的测度.3．要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；(2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性．4．随机模拟方法(1)使用计算机或者其他方式进行的模拟试验，以便通过这个试验求出随机事件的概率的近似值的方法就是模拟方法．(2)用计算机或计算器模拟试验的方法为随机模拟方法．这个方法的基本步骤是①用计算器或计算机产生某个范围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义；②统计代表某意义的随机数的个数M和总的随机数个数N；③计算频率f n(A)＝MN作为所求概率的近似值．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零．( √)(2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．( √)(3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．( √)(4)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．( √)(5)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．( ×)(6)从区间[1,10]内任取一个数，取到1的概率是P＝19.( ×)1．(教材改编)在线段[0,3]上任投一点，则此点坐标小于1的概率为________．答案13解析坐标小于1的区间为[0,1]，长度为1，[0,3]区间长度为3，故所求概率为13.2．(2015·山东改编)在区间[0,2]上随机地取一个数x，则事件“－1≤121log()2x+≤1”发生的概率为________．答案34解析∵由－1≤121log()2x+≤1，得12≤x＋12≤2，∴0≤x≤32.∴由几何概型的概率计算公式得所求概率P＝32－02－0＝34.3．(2014·辽宁改编)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是________．答案π4解析设质点落在以AB为直径的半圆内为事件A，则P(A)＝阴影面积长方形面积＝12π·121×2＝π4.4．(2014·福建)如图，在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．答案0.18解析 由题意知，这是个几何概型问题，S 阴S 正＝1801 000＝0.18， ∵S 正＝1，∴S 阴＝0.18.5．(教材改编)如图，圆中有一内接等腰三角形．假设你在图中随机撒一把黄豆，则它落在阴影部分的概率为________． 答案1π解析 设圆的半径为R ，由题意知圆内接三角形为等腰直角三角形，其直角边长为2R ，则所求事件的概率为： P ＝S 阴S 圆＝12×2R ×2R πR ＝1π.题型一 与长度、角度有关的几何概型例1 (1)(2015·重庆)在区间[0,5]上随机地选择一个数p ，则方程x 2＋2px ＋3p －2＝0有两个负根的概率为________．(2)在区间[－π2，π2]上随机取一个数x ，则cos x 的值介于0到12之间的概率为________．答案 (1)23 (2)13解析 (1)方程x 2＋2px ＋3p －2＝0有两个负根， 则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，x 1＋x 2＜0，x 1·x 2＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧4p 2－p －，－2p ＜0，3p －2＞0，解得p ≥2或23＜p ≤1，又p ∈[0,5]，则所求概率为P ＝3＋135＝1035＝23.(2)当－π2≤x ≤π2时，由0≤cos x ≤12，得－π2≤x ≤－π3或π3≤x ≤π2，根据几何概型概率公式得所求概率为13.(3)如图所示，在△ABC 中，∠B ＝60°，∠C ＝45°，高AD ＝3，在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，求BM <1的概率． 解 因为∠B ＝60°，∠C ＝45°，所以∠BAC ＝75°. 在Rt△ABD 中，AD ＝3，∠B ＝60°， 所以BD ＝ADtan 60°＝1，∠BAD ＝30°.记事件N 为“在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，使BM <1”，则可得∠BAM <∠BAD 时事件N 发生．由几何概型的概率公式，得：P (N )＝30°75°＝25.引申探究1．本例(2)中，若将“cos x 的值介于0到12”改为“cos x 的值介于0到32”，则概率如何？解 当－π2≤x ≤π2时，由0≤cos x ≤32，得－π2≤x ≤－π6或π6≤x ≤π2，根据几何概型概率公式得所求概率为23.2．若本例(3)中“在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ”改为“在线段BC 上找一点M ”，求BM <1的概率．解 依题意知BC ＝BD ＋DC ＝1＋3，P (BM <1)＝11＋3＝3－12.思维升华 求解与长度、角度有关的几何概型的方法求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)，然后求解．要特别注意“长度型”与“角度型”的不同．解题的关键是构建事件的区域(长度或角度)．(1)如图，在直角坐标系内，射线OT 落在30°角的终边上，任作一条射线OA ，则射线OA 落在∠yOT 内的概率为________．(2)已知集合A ＝{x |－1<x <5}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －23－x >0，在集合A 中任取一个元素x ，则事件“x ∈(A ∩B )”的概率是________． 答案 (1)16 (2)16解析 (1)如题图，因为射线OA 在坐标系内是等可能分布的，所以OA 落在∠yOT 内的概率为60°360°＝16. (2)由题意得A ＝{x |－1<x <5}，B ＝{}x | 2<x <3，故A ∩B ＝{x |2<x <3}．由几何概型知，在集合A 中任取一个元素x ，则x ∈(A ∩B )的概率为P ＝16.题型二 与面积有关的几何概型 命题点1 与平面图形面积有关的问题例2 (2015·福建改编)如图，矩形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为(1,0)，且点C 与点D 在函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，－12x ＋1，x ＜0的图象上．若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于________． 答案 14解析 由图形知C (1,2)，D (－2,2)，∵S 四边形ABCD ＝6，S 阴＝12×3×1＝32.∴P ＝326＝14.命题点2 与线性规划知识交汇命题的问题例3 (2014·重庆)某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为________． 答案932解析 设小张与小王的到校时间分别为7：00后第x 分钟，第y 分钟，根据题意可画出图形，如图所示，则总事件所占的面积为(50－30)2＝400.小张比小王至少早5分钟到校表示的事件A ＝{(x ，y )|y －x ≥5,30≤x ≤50,30≤y ≤50}，如图中阴影部分所示，阴影部分所占的面积为12×15×15＝2252，所以小张比小王至少早5分钟到校的概率为P (A )＝2252400＝932.思维升华 求解与面积有关的几何概型的注意点求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解．(1)在区间[－π，π]内随机取出两个数分别记为a ，b ，则函数f (x )＝x 2＋2ax－b 2＋π2有零点的概率为________．(2)(2014·湖北改编)由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x －2≤0确定的平面区域记为Ω1，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x ＋y ≥－2确定的平面区域为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为________．答案 (1)1－π4 (2)78解析 (1)由函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π2有零点， 可得Δ＝(2a )2－4(－b 2＋π2)≥0，整理得a 2＋b 2≥π2，如图所示，(a ，b )可看成坐标平面上的点， 试验的全部结果构成的区域为Ω＝{(a ，b )|－π≤a ≤π，－π≤b ≤π}， 其面积S Ω＝(2π)2＝4π2. 事件A 表示函数f (x )有零点，所构成的区域为M ＝{(a ，b )|a 2＋b 2≥π2}， 即图中阴影部分，其面积为S M ＝4π2－π3，故P (A )＝S M S Ω＝4π2－π34π2＝1－π4. (2)如图，平面区域Ω1就是三角形区域OAB ，平面区域Ω2与平面区域Ω1的重叠部分就是区域OACD ，易知C (－12，32)，故由几何概型的概率公式，得所求概率P ＝S 四边形OACDS △OAB ＝2－142＝78.题型三 与体积有关的几何概型例4 在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1 内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________． 答案 1－π12解析 V 正＝23＝8，V 半球＝12×43π×13＝23π，V 半球V 正＝2π8×3＝π12， 故点P 到O 的距离大于1的概率为1－π12.思维升华 求解与体积有关问题的注意点对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A －A 1BD 内的概率为________．答案 16解析 因为11A A BD A ABD V V －－＝＝13·S △ABD ·AA 1＝16·S矩形ABCD·AA 1＝16V长方体，故所求概率为VA －A 1BD V 长方体＝16.16．混淆长度型与面积型几何概型致误典例 (14分)在长度为1的线段上任取两点，将线段分成三段，试求这三条线段能构成三角形的概率．易错分析 不能正确理解题意，无法找出准确的几何度量来计算概率． 规范解答解 设x 、y 表示三段长度中的任意两个．因为是长度，所以应有0<x <1,0<y <1,0<x ＋y <1，即(x ，y )对应着坐标系中以(0,1)、(1,0)和(0,0)为顶点的三角形内的点，如图所示．[6分] 要形成三角形，由构成三角形的条件知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y >1－x －y ，1－x －y >x －y ，1－x －y >y －x ，所以x <12，y <12，且x ＋y >12，故图中阴影部分符合构成三角形的条件．[10分] 因为阴影部分的三角形的面积占大三角形面积的14，故这三条线段能构成三角形的概率为14.[14分]温馨提醒 解决几何概型问题的易误点：(1)不能正确判断事件是古典概型还是几何概型，导致错误．(2)利用几何概型的概率公式时，忽视验证事件是否具有等可能性，导致错误．[方法与技巧]1．区分古典概型和几何概型最重要的是看基本事件的个数是有限个还是无限个． 2．转化思想的应用对一个具体问题，可以将其几何化，如建立坐标系将试验结果和点对应，然后利用几何概型概率公式．(1)一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在坐标轴上即可； (2)若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型；(3)若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标系建立与体积有关的几何概型． [失误与防范]1．准确把握几何概型的“测度”是解题关键；2．几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果．A 组 专项基础训练(时间：40分钟)1．(2014·湖南改编)在区间[－2,3]上随机选取一个数X ，则X ≤1的概率为________． 答案 35解析 在区间[－2,3]上随机选取一个数X ，则X ≤1，即－2≤X ≤1的概率为P ＝35.2．在区间[－1,4]内取一个数x ，则22x x －≥14的概率是________．答案 35解析 不等式22x x －≥14，可化为x 2－x －2≤0，则－1≤x ≤2， 故所求概率为2－－4－－＝35. 3．已知△ABC 中，∠ABC ＝60°，AB ＝2，BC ＝6，在BC 上任取一点D ，则使△ABD 为钝角三角形的概率为_________________________________________________． 答案 12解析 如图，当BE ＝1时，∠AEB 为直角，则点D 在线段BE (不包含B 、E 点)上时，△ABD 为钝角三角形；当BF ＝4时，∠BAF 为直角，则点D在线段CF (不包含C 、F 点)上时，△ABD 为钝角三角形．所以△ABD 为钝角三角形的概率为1＋26＝12.4．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是__________． 答案 1－π4解析 如图所示，正方形OABC 及其内部为不等式组表示的区域D ，且区域D 的面积为4，而阴影部分表示的是区域D 内到坐标原点的距离大于2的区域．易知该阴影部分的面积为4－π.因此满足条件的概率是1－π4.5．已知一只蚂蚁在边长分别为5,12,13的三角形的边上随机爬行，则其恰在离三个顶点的距离都大于1的地方的概率为________．答案 45解析 由题意可知，三角形的三条边长的和为5＋12＋13＝30，而蚂蚁要在离三个顶点的距离都大于1的地方爬行，则它爬行的区域长度为3＋10＋11＝24，根据几何概型的概率计算公式可得所求概率为2430＝45.6．有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________． 答案 23解析 V 圆柱＝2π，V 半球＝12×43π×13＝23π，V 半球V 圆柱＝13， 故点P 到O 的距离大于1的概率为23.7．在区间[1,5]和[2,4]上分别各取一个数，记为m 和n ，则方程x 2m 2＋y 2n2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆的概率是________． 答案 12解析 ∵方程x 2m 2＋y 2n2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，∴m >n .如图，由题意知，在矩形ABCD 内任取一点Q (m ，n )，点Q 落在阴影部分的概率即为所求的概率，易知直线m ＝n 恰好将矩形平分， ∴所求的概率为P ＝12.8．随机地向半圆0<y <2ax －x 2(a 为正常数)内掷一点，点落在圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点与该点的连线与x 轴的夹角小于π4的概率为______．答案 12＋1π解析 半圆域如图所示：设A 表示事件“原点与该点的连线与x 轴的夹角小于π4，由几何概型的概率计算公式得P (A )＝A 的面积半圆的面积＝14πa 2＋12a 212πa 2＝12＋1π.9．随机向边长为5,5,6的三角形中投一点P ，则点P 到三个顶点的距离都不小于1的概率是________． 答案24－π24解析 由题意作图，如图则点P 应落在深色阴影部分，S 三角形＝12×6×52－32＝12，三个小扇形可合并成一个半圆，故其面积为π2，故点P 到三个顶点的距离都不小于1的概率为12－π212＝24－π24.10．已知向量a ＝(－2,1)，b ＝(x ，y )．(1)若x ，y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a ·b ＝－1的概率； (2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，求满足a ·b <0的概率．解 (1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6×6＝36(个)；由a ·b ＝－1有－2x ＋y ＝－1，所以满足a ·b ＝－1的基本事件为(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3个； 故满足a ·b ＝－1的概率为336＝112. (2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，则全部基本事件的结果为Ω＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6}； 满足a ·b <0的基本事件的结果为A ＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6且－2x ＋y <0}；画出图形如图，矩形的面积为S 矩形＝25，阴影部分的面积为S 阴影＝25－12×2×4＝21，故满足a ·b <0的概率为2125.B 组 专项能力提升(时间：30分钟)11．一个长方体空屋子，长，宽，高分别为5米，4米，3米，地面三个角上各装有一个捕蝇器(大小忽略不计)，可捕捉距其一米空间内的苍蝇，若一只苍蝇从位于另外一角处的门口飞入，并在房间内盘旋，则苍蝇被捕捉的概率是________． 答案π120解析 屋子的体积为5×4×3＝60立方米，捕蝇器能捕捉到的空间体积为18×43π×13×3＝π2立方米．故苍蝇被捕捉的概率是π260＝π120.12．(2015·湖北改编)在区间[0,1]上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x ＋y ≥12”的概率，p 2为事件“|x －y |≤12”的概率，p 3为事件“xy ≤12”的概率，则下列关系正确的是________．①p 1<p 2<p 3 ②p 2<p 3<p 1 ③p 3<p 1<p 2 ④p 3<p 2<p 1答案 ②解析 如图，点(x ，y )所处的空间为正方形OBCA 表示的平面区域(包括其边界)，故本题属于几何概型中的“面积比”型．分别画出三个事件对应的图形，根据图形面积的大小估算概率的大小．满足条件的x ，y 构成的点(x ，y )在正方形OBCA 及其边界上．事件“x ＋y ≥12”对应的图形为图①所示的阴影部分；事件“|x －y |≤12”对应的图形为图②所示的阴影部分；事件“xy ≤12”对应的图形为图③所示的阴影部分．对三者的面积进行比较，可得p 2<p 3<p 1.13.如图，已知点A 在坐标原点，点B 在直线y ＝1上，点C (3,4)，若AB ≤10，则△ABC 的面积大于5的概率是________． 答案524解析 设B (x,1)，根据题意知点D (34，1)，若△ABC 的面积小于或等于5，则12×DB ×4≤5，即DB ≤52，此时点B 的横坐标x ∈[－74，134]，而AB ≤10，所以点B 的横坐标x ∈[－3,3]，所以△ABC 的面积小于或等于5的概率为 P ＝3－－746＝1924，所以△ABC 的面积大于5的概率是1－P ＝524.14．已知集合A ＝[－2,2]，B ＝[－1,1]，设M ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈B }，在集合M 内随机取出一个元素(x ，y )．(1)求以(x ，y )为坐标的点落在圆x 2＋y 2＝1内的概率； (2)求以(x ，y )为坐标的点到直线x ＋y ＝0的距离不大于22的概率． 解 (1)集合M 内的点形成的区域面积S ＝8.因圆x 2＋y 2＝1的面积S 1＝π，故所求概率为S 1S＝π8. (2)由题意|x ＋y |2≤22，即－1≤x ＋y ≤1，形成的区域如图中阴影部分，阴影部分面积S 2＝4，所求概率为S 2S ＝12.15．甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的．如果甲船停泊时间为1 h ，乙船停泊时间为2 h ，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率．解 设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x 与y ，记事件A 为“两船都不需要等待码头空出”，则0≤x ≤24,0≤y ≤24，要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达1 h 以上或乙比甲早到达2 h 以上，即y －x ≥1或x －y ≥2.故所求事件构成集合A ＝{(x ，y )|y －x ≥1或x －y ≥2，x ∈[0,24]，y ∈[0,24]}．A 为图中阴影部分，全部结果构成集合Ω为边长是24的正方形及其内部．所求概率为P(A)＝A的面积Ω的面积＝－2×12＋－2×12242＝506.5576＝1 0131 152.。

第十二章 概率与统计1、[文] 一个容量为20的样本，数据的分组与几个组的频数如下：[10，20]，2；[20，30]，3；[30，40]，4；[40，50]，5；[50，60]，4；[60，70]，2. 则样本在区间[10，50]上的频率为 . 1．[文] 0.7 2. (文)某校高中生共有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，现采用分层抽取容量为45人的样本，那么高一、高二、高三年级抽取的人数分别为 A. 15，5，25 B. 15，15，15 C. 10，5，30 D. 15，10，20 2. (文)D 【思路分析】： 每20人中抽取1人 【命题分析】：考察抽样方法。

3、(理)同时抛掷5枚均匀的硬币80次，设5枚硬币正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的次数为ξ，则ξ的数学期望是 A ．20 B ．25 C ．30 D ．403、(理)Ｂ【思路分析】： 抛掷－次，正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的概率为1652525=C ，2516580=⨯=ξE 【命题分析】：考察等可能事件的概率的求法及数学期望的求法。

4．一个容量为20的样本数据，分组后，组距与频数如下：),40,30[;3),30,20[;2),20,10[3),70,60[;3),60,50[;5),50,40[;4，则样本在区间)50,10[内的频率是（ ）A ．0.05B ．0.25C ．0.50D ．0.704．D 【思路分析】：7.0205432=+++=P ，故选D.【命题分析】：考查频率的计算方法. 5、(理)随机变量ξ的分布列为1201)(-==ξk k P (*N k ∈ ， )162≤≤k ，则=ξE _______ .5、(理) 3341201360= +⨯+⨯=ξ3221(1201E …)1615⨯+ 3346068060120)(23172162322===+⋯++=C C C C .6．对甲乙两学生的成绩进行抽样分析，各抽取5门功课，得到的观测值如下：甲：70 80 60 70 90 乙：80 60 70 84 76那么，两人中各门功课发展较平稳的是 ．【思路分析】：7474S 104S 70.4x x ====甲乙甲乙，，，，故S S >甲乙. 【命题分析】：考察抽样分析、期望（平均数）的应用 7、（12分）[理]甲、乙两人玩轮流抛掷一对骰子的游戏，由甲先掷，乙后掷，然后甲再掷，…. 规定先得到两颗骰子点数之和等于7的一方获胜，一旦决出胜负游戏便结束.（Ⅰ）若限定每人最多掷两次，求游戏结束时抛掷次数ξ的概率分布和数学期望； （Ⅱ）若不限定两人抛掷的次数，求甲获胜的概率. 7[理]、【思路分析】(Ⅰ) 抛掷一次出现的点数共有6×6 = 36种不同结果，其中“点数之和为7”包含了(1 , 6) , (2 , 5) , (3 , 4) , (4 , 3) , (5 , 2) , (6 , 1)共6个结果，∴抛掷一次出现的点数之和为7的概率为61366= ………………………… 2分 ξ可取1 , 2 , 3 , 4P (ξ=1) =61，P (ξ=2) =3656165=⨯，P (ξ= 3) =2162561)65(2=⨯P (ξ= 4) =2161251)65(3=⨯∴ξ的概率分布列为E ξ= 1×61+ 2×365+ 3×21625+ 4×216125=216671 …………………………… 8分 (Ⅱ) 不限制两人抛掷的次数，甲获胜的概率为：P =61+ (65)2×61+ (65)4×61+ …= 116)65(1612=-.……………………………………………… 12分【命题分析】主要考查等可能事件，互斥事件，相互独立事件，随机事件的概率分布、数学期望，无穷递缩等比数列各项的和等知识，以及运用概率知识解决实际问题的能力. 8、 (理)袋中有4个黑球，3个白球，2个红球，从中任取2个球. 已知每取到一个黑球得0分，每取到一个白球得1分，每取到一个红球得2分. 用ε表示任取2个球的得分，求：(1)ε的分布列； (2)ε的数学期望.8、(理)(1)(2)E ξ＝0×6＋1×3＋2×36＋3×6＋4×36＝9．9、（本题满分12分）（理）盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有两节废电池，现在无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止，试回答下列问题。

2012 届高考数学第一轮基础知识点复习教学设计 : 概率与统计第十二编概率与统计§12.1 随机事件的概率1.以下说法不正确的有 .①某事件发生的频次为P（A） =1.1②不行能事件的概率为0，必定事件的概率为 1③小概率事件就是不行能发生的事件，大体率事件就是必定发生的事件④某事件发生的概率是跟着试验次数的变化而变化的答案①③④2. 给出以下三个命题，此中正确命题有个.①有一大量产品，已知次品率为10%，从中任取 100 件，必有 10 件是次品；②做7 次抛硬币的试验，结果 3 次出现正面，所以正面出现的概率是；③随机事件发生的频次就是这个随机事件发生的概率.答案03.已知某台纺纱机在 1 小时内发生0 次、1 次、2 次断头的概率分别是0.8 ，0.12 ， 0.05 ，则这台纺纱机在 1 小时内断头不超出两次的概率和断头超出两次的概率分别为，.答案4.甲、乙两人下棋，两人和棋的概率是, 乙获胜的概率是，则乙不输的概率是.答案5.投掷一粒骰子，察看掷出的点数，设事件A 为出现奇数点，事件B 为出现2 点，已知P（A）=，P（B）=，则出现奇数点或 2 点的概率之和为 .答事例 1 盒中仅有 4 只白球 5 只黑球，从中随意拿出一只球 .（ 1）“拿出的球是黄球”是什么事件？它的概率是多少？（ 2）“拿出的球是白球”是什么事件？它的概率是多少？（3）“拿出的球是白球或黑球”是什么事件？它的概率是多少？解（ 1）“拿出的球是黄球”在题设条件下根本不行能发生，所以它是不行能事件，其概率为0.（2）“拿出的球是白球”是随机事件，它的概率是.（3）“拿出的球是白球或黑球”在题设条件下必定要发生，所以它是必定事件，它的概率是1.例 2 某射击运动员在同一条件下进行练习，结果以下表所示：射击次数击中 10 环次数击中 10 环频次（ 1）计算表中击中10 环的各个频次；（ 2）这位射击运动员射击一次，击中10 环的概率为多少？0.89 解（ 1）击中 10 环的频次挨次为0.8 ，0.95 ，0.88 ，0.93， 0.906.（ 2）这位射击运动员射击一次，击中10 环的概率约是，0.9.例 3（ 14 分）国家射击队的某队员射击一次，命中10 环的概率以下表所示：7～命中环数 10环 9环 8环 7环概率求该射击队员射击一次（1）射中 9 环或 10 环的概率；（2）起码命中 8 环的概率；（3）命中不足 8 环的概率 .解记事件“射击一次，命中环”为 A（∈ N，≤ 10），则事件 A 相互互斥 .2 分（ 1）记“射击一次，射中9 环或 10 环”为事件A，那么当 A9，A10 之一发生时，事件 A 发生，由互斥事件的加法公式得P（A） =P（ A9） +P（ A10） =0.32+0.28=0.60.5 分（2）设“射击一次，起码命中 8 环”的事件为 B，那么当 A8， A9， A10 之一发生时，事件 B 发生 . 由互斥事件概率的加法公式得P （B） =P（ A8） +P（ A9） +P（ A10）分（ 3）因为事件“射击一次，命中不足8 环”是事件B：“射击一次，起码命中 8 环”的对峙事件：即表示事件“射击一次，命中不足 8 环”，依据对峙事件的概率公式得P （） =1-P （B）分1.在 12 件瓷器中，有 10 件一级品， 2 件二级品，从中任取 3件.(1)“ 3 件都是二级品”是什么事件？（2）“ 3 件都是一级品”是什么事件？（3）“起码有一件是一级品”是什么事件？解（ 1）因为 12 件瓷器中，只有 2 件二级品，拿出 3 件都是二级品是不行能发生的，故是不行能事件.（2）“ 3 件都是一级品”在题设条件下是可能发生也可能不发生的，故是随机事件 .★精选文档★（ 3）“起码有一件是一级品”是必定事件，因为12 件瓷器中只有 2 件二级品，取三件必有一级品 .2.某公司生产的乒乓球被 08 年北京奥委会指定为乒乓球竞赛专用球 . 日前相关部门对某批产品进行了抽样检测，检查结果以下表所示：抽取球数优等品数优等品频次（1）计算表中乒乓球优等品的频次；（2）从这批乒乓球产品中任取一个，质量检查为优等品的概率是多少？（结果保存到小数点后三位）解（ 1）依照公式 p=，能够计算出表中乒乓球优等品的频次挨次是0.900 ， 0.920 ， 0.970 ， 0.940 ， 0.954 ，0.951.（ 2）由（ 1）知，抽取的球数n 不一样，计算获得的频次值固然不一样，但跟着抽取球数的增加，却都在常数0.950 的邻近摇动，所以抽取一个乒乓球检测时，质量检查为优等品的概率为0.950.3. 玻璃球盒中装有各色球12 只，此中 5 红、4 黑、2 白、1 绿，从中取 1 球，求：（ 1）红或黑的概率；（ 2）红或黑或白的概率.★精选文档★解方法一记事件 A1：从12 只球中任取 1 球得红球；A2 ：从 12 只球中任取 1 球得黑球；A3 ：从 12 只球中任取 1 球得白球；A4 ：从 12 只球中任取 1 球得绿球，则P （A1） =， P（ A2） =，P（ A3） =， P（ A4）=.依据题意， A1、 A2、 A3、 A4 相互互斥，由互斥事件概率加法公式得（ 1）拿出红球或黑球的概率为P （A1+A2） =P（ A1） +P（ A2） =+=.（ 2）拿出红或黑或白球的概率为P （A1+A2+A3）=P（ A1） +P（ A2）+P（ A3）=++=.方法二（ 1）拿出红球或黑球的对峙事件为拿出白球或绿球，即A1+A2的对峙事件为A3+A4，∴拿出红球或黑球的概率为P （A1+A2） =1-P（ A3+A4） =1-P （A3） -P （A4）=1--==.（2） A1+A2+A3的对峙事件为 A4.P （A1+A2+A3）=1-P （A4） =1-=.一、填空题1. 在一个袋子中装有分别标明数字1， 2，3，4，5 的五个小球，这些小球除标明的数字外完整同样. 现从中随机取出 2 个小球，则拿出的小球标明的数字之和为 3 或 6 的概率是 .答案2.某参军新兵的打靶练习中，连续射击 2 次，则事件“至罕有 1 次中靶”的互斥事件是（写出一个即可）.答案 2 次都不中靶3.甲:A1 、 A2 是互斥事件；乙： A1、A2 是对峙事件，那么甲是乙的条件 .答案必需不充足4.将一颗质地平均的骰子（它是一种各面上分别标有点数 1，2， 3， 4， 5， 6 的正方体玩具）先后投掷 3 次，起码出现一次 6 点向上的概率是.答案5.一个口袋内装有一些大小和形状都同样的白球、黑球和红球，从中摸出一个球，摸出红球的概率是0.3 ，摸出白球的概率是0.5 ，则摸出黑球的概率是.答案0.26.在第 3、 6、 16 路公共汽车的一个停靠站（假设这个车站只好停靠一辆公共汽车），有一位乘客需在 5 分钟以内乘上公共汽车赶到厂里，他可乘 3 路或 6 路公共汽车到厂里，已知 3 路车、6 路车在 5 分钟以内到此车站的概率分别为0.20和 0.60 ，则该乘客在 5 分钟内能乘上所需要的车的概率为.答案 0.807.中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打竞赛，甲夺得冠军的概率为，乙夺得冠军的概率为，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为.答案8. 甲、乙两人下棋，甲获胜的概率是40%，甲不输的概率是 90%，则甲、乙二人下成和棋的概率为.答案 50%二、解答题9. 某射手在一次射击训练中，射中10 环、 9 环、 8 环、7 环的概率分别为0.21 、0.23 、0.25 、0.28 ，计算这个射手在一次射击中：（1）射中 10 环或 9 环的概率；（2）不够 7 环的概率 .解（ 1）设“射中10 环”为事件A，“射中 9 环”为事件B，因为 A， B 互斥，则P（A+B） =P（A） +P（B） =0.21+0.23=0.44.（2）设“少于 7 环”为事件 c，则P （c） =1-P （）=1-（0.21+0.23+0.25+0.28）=0.03.10.某医院一天派出医生下乡医疗，派出医生人数及其概率以下：医生人数 012345 人及以上概率求：（ 1）派出医生至多 2 人的概率；（ 2）派出医生起码 2 人的概率 .解记事件 A：“不派出医生” ，事件 B：“派出 1 名医生”，事件 c：“派出 2 名医生”，事件 D：“派出 3 名医生”，事件 E：“派出 4 名医生”，事件 F：“派出许多于 5 名医生” . ∵事件 A， B， c ，D， E， F 相互互斥，且 P（ A）=0.1 ， P（ B） =0.16 ， P（ c） =0.3 ，P（D） =0.2 ，P（ E） =0.2 ， P（ F） =0.04.（1）“派出医生至多 2 人”的概率为P （A+B+c） =P（ A） +P（ B） +P（c）=0.1+0.16+0.3=0.56.（ 2）“派出医生起码 2 人”的概率为P （c+D+E+F）=P（ c）+P（ D） +P（ E） +P（ F）=0.3+0.2+0.2+0.04=0.74.或 1-P （A+B） =1-0.1-0.16=0.74.11.投掷一个平均的正方体玩具（各面分别标有数字1、2、 3、 4、 5、 6），事件 A 表示“向上一面的数是奇数”，事件 B 表示“向上一面的数不超出 3”，求 P（ A+B） .解方法一因为 A+B的意义是事件 A 发生或事件 B 发生，所以一次试验中只需出现 1、2、3、5 四个可能结果之一时，A+B就发生，而一次试验的全部可能结果为 6 个，所以（P A+B）==.方法二记事件 c 为“向上一面的数为2”，则 A+B=A+c，且 A 与 c 互斥 .又因为 P（ c） =，P（ A） =，所以 P（A+B） =P（A+c） =P（ A） +P（c）=+=.方法三记事件 D 为“向上一面的数为 4 或 6”，则事件 D 发生时，事件A 和事件B 都不发生，即事件A+B不发生 . 又事件A+B发生即事件 A 发生或事件 B 发生时，事件 D不发生，所以事件 A+B与事件 D 为对峙事件 .因为 P（D） ==，所以 P（A+B） =1-P（ D） =1-=.12.袋中有 12 个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，获得红球的概率为，获得黑球或黄球的概率是，获得黄球或绿球的概率是，试求获得黑球、黄球、绿球的概率各是多少？★精选文档★解分别记获得红球、黑球、黄球、绿球为事件A、B、c、D. 因为 A、 B、c、 D 为互斥事件，依据已知获得解得 .∴获得黑球、黄球、绿球的概率各是，， .2016 崭新精选资料 - 崭新公函范文 -全程指导写作–独家原创11/11。

概统的知识点总结概念与特点知识点是指在某一特定领域内已知或已掌握的一定数量的信息，包括已知的原理、规律、事实、现象等。

知识点是科学或学科研究和教学活动的基本要素，是人类认识世界和改造世界的工具和手段。

知识点的特点主要有以下几个方面：1. 具体性：知识点是特定领域内的具体信息，具有一定的实质内容。

2. 系统性：知识点之间具有一定的内在联系，构成了一个有机的系统。

3. 普遍性：知识点可以普遍适用于一定范围内的问题和现象，具有一定的普遍性。

4. 相对性：知识点是相对具体的，总是针对某一领域或某一问题而言的，具有一定的相对性。

5. 发展性：知识点是不断发展和积累的，随着科学技术的进步和社会实践的发展，知识点会不断地增加和更新。

知识点的分类按照知识点的内容和性质，可以将知识点分为以下几类：1. 事实知识点：指具体的客观存在的事实或现象，例如地球绕太阳公转、水分子由氢原子和氧原子组成等。

2. 规律知识点：指在一定条件下反复出现的一定规律性的现象，例如万有引力定律、牛顿运动定律等。

3. 原理知识点：指揭示事物发展运动的根本原理，例如相对论的原理、量子力学的原理等。

4. 概念知识点：指对客观现实的抽象概括和概念化的表达，例如能量、力、速度等概念。

5. 方法知识点：指解决问题或实现某一目标所需的具体方法和工具，例如科学实验方法、数学推理方法等。

知识点的获取与积累1. 观察和实验：通过对客观事物的观察和实验，可以获取大量的事实知识点和规律知识点。

2. 学习和阅读：通过学习和阅读书籍、文献、资料等，可以获取大量的原理知识点、概念知识点和方法知识点。

3. 经验和实践：通过实际工作和社会实践，可以积累大量的实践知识点和方法知识点。

4. 合作和交流：通过与他人合作和交流，可以获取他人的知识和经验，从而积累更多的知识点。

知识点的应用与拓展1. 知识点的应用：在各个领域的科学研究、工程技术和社会实践中，都需要运用各种知识点来解决问题和实现目标。

第一章 概率论基础知识 §1.1.1 随机试验特点:1.可在相同条件下重复进行；2.试验结果不止一个，且可以预知一切可能的结果的取值范围；3.试验前不能确定会出现哪一个结果。

§1.1.2 样本空间定义: Ω表示一个试验的所有可能的集合，称Ω为样本空间. 而这个随机试验的每个基本结果称为样本点，记作ω.基本事件:只含有一个样本点ω的事件,记为{ω}.两个特殊事件: 必然事件、不可能事件.§1.1.3 事件的关系及运算交换律 ,A B B A A B B A ==结合律 ()(),()()A B C A B C A B C A B C == 分配律 ()()(),()()()A B C AB AC A B C A B A C ==对偶律 ,AB AB AB AB ==§1.2.1 频率及性质:().n n A k k A kA f A n定义在次重复试验中，若事件发生了次，则称为事件发生的频数，称为事件发生的频率，记为频率的性质:()()()1211(1) 01(2)1; ()0;3,,,()().n n n rrr n i n i i i f A f f A A A r f A f A φ==≤≤Ω==∑；＝若为个两两互斥的事件，则§1.2.2 概率的公理化定义1.1211,,,P()P()i i i i A A A A ∞∞===∑对于两两互不相容的事件2. A,B AB ϕ=互斥（即）()()()P A B P A P B ⇒=+3. ()()()P A B P A P AB -=-4. ()()()()P AB P A P B P AB =+-()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =++---+§1.3.1 古典概型（1）试验只有有限个可能结果;（2）每次试验中，每个样本点出现的可能性相同；在古典概型中，若Ω中有n 个样本点，事件A 中有k 个样本点，则()k nP A =.Eg.两个基本的摸球模型:口袋中有N 只球，其中m 个红球，余下是白球,他们除颜色以外没有差别，现随机从中摸球n 次并观察摸出球的颜色，计算恰好摸到k 个红球的概率。