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A. 3
B．2 3
C．4 3
D．6
解析：选D BC边上的高等于bsin C＝4 3× 23＝6.
3．在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cos B＝－14，则b ＝________. 解析：由余弦定理得b2＝4＋(7－b)2－2×2×(7－b)× －14，解得b＝4. 答案：4
4．在△ABC中，已知a＝5，b＝7，B＝120°，则△ABC 的面积为________．
(1)求∠ADC的大小； (2)求AB的长．
[解] (1)在△ADC中，AD＝10，AC＝14，DC＝6，
由余弦定理得
cos∠ADC
＝AD2＋2ADDC·D2－C AC2＝1002＋×3160－×1696＝－12， ∴∠ADC＝120°.
(2)由(1)知∠ADB＝60°，
在△ABD中，AD＝10，B＝30°，∠ADB＝60°，
左边＝
sin A－sin Ccos B sin B－sin Ccos A
＝
sinB＋C－sin Ccos B sinA＋C－sin Ccos A
＝
sin sin
Bcos Acos
CC＝ssiinn
BA＝右边．
1．三角恒等式证明的三个基本原则 (1)统一边角关系． (2)由繁推简． (3)目标明确，等价转化． 2．三角恒等式证明的基本途径 (1)把角的关系通过正、余弦定理转化为边的关系， 然后进行化简、变形． (2)把边的关系转化为角的关系，一般是通过正弦定 理，然后利用三角函数公式进行恒等变形．
故ab的取值范围是( 2， 3)． 答案：( 2， 3)
题点三：与三角形有关的最值问题 3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设S为
△ABC的面积，满足S＝ 43(a2＋b2－c2)． (1)求角C的大小； (2)求sin A＋sin B的最大值． 解：(1)由题意可知12absin C＝ 43×2abcos C. 所以tan C＝ 3. 因为0<C<π，所以C＝π3.
预习课本P54，思考并完成以下问题
(1)正弦定理在三角形中能解决哪类问题？ (2)余弦定理在三角形中能解决哪类问题？
[新知初探]
1．正弦定理可解决的两类问题 (1)已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形． (2)已知三角形的两角和任一边解三角形． 2．余弦定理可解决的两类问题 (1)已知三角形的两边和它们的夹角解三角形． (2)已知三角形的三边解三角形． 3．三角形的面积公式 (1)S＝12absin C＝12bcsin A＝12casin B； (2)S＝12a·ha＝12b·hb＝12c·hc＝(ha，hb，hc表示a, b，c边上的高)．
解：(1)由已知得2[1－cos(A－B)]＋4sin Asin B＝2＋ 2， 化简得－2cos Acos B＋2sin Asin B＝ 2， 故cos(A＋B)＝－ 22. 所以A＋B＝34π，从而C＝π4. (2)因为S△ABC＝12absin C， 由S△ABC＝6，b＝4，C＝π4，得a＝3 2. 由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C，得c＝ 10.
[活学活用] 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 证明：a2－c2 b2＝sinsiAn－CB. 证明：由余弦定理可知：
a2＝b2＋c2－2bc·cos A，b2＝a2＋c2－2ac·cos B，
即a2－b2＝b2－a2－2bc·cos A＋2ac·cos B，
整理得：a2－c2 b2＝acos
2
答案： 2
三角恒等式证明问题
[典例]
在△ABC中，求证：ab－ －ccccooss
BA＝ssiinn
B A.
[证明] [法一 化角为边]
左边＝
a－ca2＋2acc2－b2 b－cb2＋2bcc2－a2
＝
a2－c2＋b2 2a
2b ·b2＋a2－c2
＝
b a
＝
sin sin
B A
＝右边．
[法二 化边为角]
[小试身手]
1．判断下列结论是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)公式S＝12absin C适合求任意三角形的面积．
(√ )
(2)三角形中已知三边无法求其面积．
( ×)
(3)在三角形中已知两边和一角就能求三角形的面积． ( √ )
2．在△ABC中，已知C＝60°，b＝4 3，则BC边上的高等于
在△ABD中，由余弦定理，得 BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos A ＝22＋42－2×2×4cos A＝20－16cos A. 在△CDB中，BD2＝CB2＋CD2－2CB·CDcos C ＝62＋42－2×6×4cos C ＝52－48cos C. 所以20－16cos A＝52－48cos C. 因为cos C＝－cos A，所以64cos A＝－32， 所以cos A＝－12，所以A＝120°， 所以S＝16sin 120°＝8 3.
由正弦定理得sin∠ABADB＝sAinDB，
∴AB＝ADssinin∠BADB＝10sisnin3600°°＝10×1
3 2 ＝10
3.
2
求解与长度或角度有关问题的一般方法 将需要求的“长度”或“角度”归结到某一个可解 的三角形内，然后利用正弦(或余弦)定理求出．
[活学活用]
如图所示，在△ABC 中，AB＝AC＝2，BC＝2 3，
题点四：多边形的面积问题 4．已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB＝2，BC＝6，
CD＝DA＝4，求四边形ABCD的面积． 解：如图所示，连接BD，则四边形ABCD的面积为： S＝S△ABD＋S△BCD＝12AB·AD·sin A＋12BC·CDsin C. 因为A＋C＝180°，所以sin A＝sin C， 所以S＝12(AB·AD＋BC·CD)·sin A＝ 12(2×4＋6×4)sin A＝16sin A.
解析：由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B， 即c2＋5c－24＝0，解得c＝3.
所以S△ABC＝12acsin
B＝12×5×3sin
120°＝154
3 .
答案：154 3
与长度或角度有关的问题
[典例] 如图所示，在△ABC中，已 知B＝30°，D是BC边上的一点，AD＝ 10，AC＝14，DC＝6，
题点二：与三角形有关的范围问题
2．在锐角三角形ABC中，A＝2B，a，b，c所对的角分别为
A，B，C，则ab的取值范围是________． 解析：在锐角三角形ABC中，A，B，C均小于90°，
即2BB<<9900°°，， 180°－3B<90°，
∴30°<B<45°.
由正弦定理知：ab＝ssiinn AB＝ssiinn2BB＝2cos B∈( 2， 3)，
B－bcos c
A，
又ac＝ssiinn AC，bc＝ssiinn BC，
∴a2－c2 b2＝sin
Acos
B－cos sin C
Asin
B＝sinsiAn－CB.
与三角形有关的综合问题 题点一：与三角形面积有关的综合问题 1．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为 a，b，c.已
知4sin2A－2 B＋4sin Asin B＝2＋ 2. (1)求角C的大小； (2)已知 b＝4，△ABC的面积为6，求边长 c的值．
(2)由已知sin A＋sin B＝sin A＋sinπ－A－π3
＝sin A＋sin23π－A
＝sin
A＋3 2Leabharlann cosA＋12sinA
＝
3sinA＋π6≤
2π
30<A<
3
.
当A＝π3时，即△ABC为等边三角形时取等号．
所以sin A＋sin B的最大值为 3.
点 D 在 BC 边上，∠ADC＝45°，则 AD 的长度等
于________．
解析：在△ABC 中，由余弦定理，有
cos C＝AC2＋2ABCC·B2－C AB2＝2×22×322
＝ 3
23，
则 C＝30°. 在△ACD 中，由正弦定理，有sAinDC＝sin∠ACADC，
∴AD＝ACsi·nsin453°0°＝2×212＝ 2，即 AD 的长度等于 2.
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(1)解决此类问题的关键是根据题意画出图形，将图形中 的已知条件与未知量之间的关系转化为三角形中的边与角的 关系，求解三角形使问题获解．
(2)三角形问题中，常涉及求边、求角及求面积等问题， 用正、余弦定理作为解题的工具进行转化求解．在涉及变量 取值范围或最值问题时，常常用到函数等数学相关知识．
(3)解三角形时，角的取值范围至关重要，角的取值范围 往往隐含在题目中，不深入挖掘很容易出错．
