含有一个量词的命题的否定练习题

1.4.3含有一个量词的命题的否定一、选择题1．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( ) A ．任意一个有理数，它的平方是有理数 B ．任意一个无理数，它的平方不是有理数 C ．存在一个有理数，它的平方是有理数 D ．存在一个无理数，它的平方不是有理数 [答案] B[解析] 量词“存在”否定后为“任意”，结论“它的平方是有理数”否定后为“它的平方不是有理数”，故选B ．2．(2015·潍坊四县联考)命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是( ) A ．∀x ∈R ，|x |>0 B ．∃x 0∈R ，|x 0|>0 C ．∀x ∈R ，|x |≤0 D ．∃x 0∈R ，|x 0|≤0[答案] C[解析] 由词语“有些”知原命题为特称命题，故其否定为全称命题，因为命题的否定只否定结论，所以选C ．3．(2015·东北三校模拟)已知命题p ：∃x ∈(0，π2)，sin x ＝12，则¬p 为( )A ．∀x ∈(0，π2)，sin x ＝12B ．∀x ∈(0，π2)，sin x ≠12C ．∃x ∈(0，π2)，sin x ≠12D ．∃x ∈(0，π2)，sin x >12[答案] B[解析] ¬p 表示命题p 的否定，即否定命题p 的结论，由“∃x ∈m ，p (x )”的否定为“∀x ∈m ，¬p (x )”知选B4．(2015·某某省八校联考)命题“∀x ∈R ，e x >x 2”的否定是( ) A ．不存在x ∈R ，使e x >x 2B ．∃x ∈R ，使e x <x 2C ．∃x ∈R ，使e x ≤x 2D ．∀x ∈R ，使e x ≤x 2[答案] C[解析] 原命题为全称命题，故其否定为存在性命题，“>”的否定为“≤”，故选C ． 5．(2015·某某市曲江一中月考)下列说法正确的是( )A ．“a >1”是“f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)在(0，＋∞)上为增函数”的充要条件B ．命题“∃x ∈R 使得x 2＋2x ＋3<0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋3>0”C ．“x ＝－1”是“x 2＋2x ＋3＝0”的必要不充分条件 D ．命题p ：“∀x ∈R ，sin x ＋cos x ≤2”，则¬p 是真命题 [答案] A[解析] a >1时，f (x )＝log a x 为增函数，f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)为增函数时，a >1，∴A 正确；“<”的否定为“≥”，故B 错误；x ＝－1时，x 2＋2x ＋3≠0，x 2＋2x ＋3＝0时，x 无解，故C 错误；∵sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)≤2恒成立，∴p 为真命题，从而¬p 为假命题，∴D 错误．6．命题p ：存在实数m ，使方程x 2＋mx ＋1＝0有实数根，则“非p ”形式的命题是( ) A ．存在实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0无实根 B ．不存在实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0有实根 C ．对任意的实数m ，方程x 2＋mx ＋1＝0无实根 D ．至多有一个实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0有实根 [答案] C[解析] ¬p ：对任意实数m ，方程x 2＋mx ＋1＝0无实根，故选C ． 二、填空题7．命题“存在x ∈R ，使得x 2＋2x ＋5＝0”的否定是______. [答案] 任意x ∈R ，使得x 2＋2x ＋5≠0[解析] 特称命题的否定是全称命题，将“存在”改为“任意”，“＝”改为“≠”． 8．命题“过平面外一点与已知平面平行的直线在同一平面内”的否定为________. [答案] 过平面外一点与已知平面平行的直线不都在同一平面内 [解析] 原命题为全称命题，写其否定是要将全称量词改为存在量词．9．命题“∃x ∈R ，使x 2＋ax ＋1<0”为真命题，则实数a 的取值X 围是________. [答案] a >2或a <－2[解析] 由于∃x ∈R ，使x 2＋ax ＋1<0，又二次函数f (x )＝x 2＋ax ＋1开口向上，故Δ＝a 2－4>0，所以a >2或a <－2.三、解答题10．写出下列命题的否定并判断真假：(1)不论m 取何实数，方程x 2＋x －m ＝0必有实数根； (2)所有末位数字是0或5的整数都能被5整除； (3)某些梯形的对角线互相平分； (4)被8整除的数能被4整除．[解析] (1)这一命题可以表述为p ：“对所有的实数m ，方程x 2＋x －m ＝0都有实数根”，其否定是¬p ：“存在实数m ，使得x 2＋x －m ＝0没有实数根”，注意到当Δ＝1＋4m <0，即m <－14时，一元二次方程没有实根，因此¬p 是真命题．(2)命题的否定是：存在末位数字是0或5的整数不能被5整除，是假命题． (3)命题的否定：任一个梯形的对角线都不互相平分，是真命题． (4)命题的否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除，是假命题．一、选择题1．(2015·某某理)命题“∀n ∈N *，f (n )∈N *且f (n )≤n ”的否定形式是( ) A ．∀n ∈N *,f (n )∉N *且f (n )>n B ．∀n ∈N *,f (n )∉N *或f (n )>n C ．∃n 0∈N *,f (n 0)∉N *且f (n 0)>n 0 D ．∃n 0∈N *,f (n 0)∉N *或f (n 0)>n 0 [答案] D[解析] 命题“∀n ∈N *，f (n )∈N *且f (n )≤n ” 其否定为：“∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *或f (n 0)>n 0”．2．已知命题“∀a 、b ∈R ，如果ab >0，则a >0”，则它的否命题是( ) A ．∀a 、b ∈R ，如果ab <0，则a <0 B ．∀a 、b ∈R ，如果ab ≤0，则a ≤0 C ．∃a 、b ∈R ，如果ab <0，则a <0 D ．∃a 、b ∈R ，如果ab ≤0，则a ≤0 [答案] B[解析] 条件ab >0的否定为ab ≤0； 结论a >0的否定为a ≤0，故选B ．3．已知命题p ：∀x ∈R,2x <3x ；命题q ：∃x ∈R ，x 3＝1－x 2，则下列命题中为真命题的是( )A ．p ∧qB ．(¬p )∧qC ．p ∧(¬q )D ．(¬p )∧(¬q )[答案] B[解析] 由20＝30知p 为假命题；令h (x )＝x 3＋x 2－1，则h (0)＝－1<0，h (1)＝1>0，∴方程x 3＋x 2－1＝0在(－1,1)内有解，∴q 为真命题，∴(¬p )∧q 为真命题，故选B ．4．(2014·某某省某某市检测)下列命题中是假命题．．．的是( ) A ．∃m ∈R ，使f (x )＝(m －1)·xm 2－4m ＋3是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减 B ．∀a >0，函数f (x )＝ln 2x ＋ln x －a 有零点 C ．∃α、β∈R ，使cos(α＋β)＝cos α＋sin βD ．∀φ∈R ，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数 [答案] D[解析] ∵f (x )为幂函数，∴m －1＝1，∴m ＝2，f (x )＝x －1，∴f (x )在(0，＋∞)上递减，故A 真；∵y ＝ln 2x ＋ln x 的值域为[－14，＋∞)，∴对∀a >0，方程ln 2x ＋ln x －a ＝0有解，即f (x )有零点，故B 真；当α＝π6，β＝2π时，cos(α＋β)＝cos α＋sin β成立，故C 真；当φ＝π2时，f (x )＝sin(2x ＋φ)＝cos2x 为偶函数，故D 为假命题．二、填空题5．已知命题p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋14<0，命题q ：∃x 0∈R ，sin x 0＋cos x 0＝2，则p ∨q ，p ∧q ，¬p ，¬q 中是真命题的有________.[答案] p ∨q ¬p[解析] ∵x 2－x ＋14＝(x －12)2≥0，故p 是假命题，而存在x 0＝π4，使sin x 0＋cos x 0＝2，故q 是真命题，因此p ∨q 是真命题，¬p 是真命题．6．(2015·某某市八县联考)已知命题p ：m ∈R ，且m ＋1≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立，若p ∧q 为假命题且p ∨q 为真命题，则m 的取值X 围是________.[答案] m ≤－2或－1<m <2[解析] p ：m ≤－1，q ：－2<m <2，∵p ∧q 为假命题且p ∨q 为真命题，∴p 与q 一真一假，当p 假q 真时，－1<m <2，当p 真q 假时，m ≤－2，∴m 的取值X 围是m ≤－2或－1<m <2.三、解答题7．写出下列命题的否定． (1)p ：∀x >1，log 2x >0； (2)p ：∀a ，b ∈R ，a 2＋b 2>0； (3)p ：有的正方形是矩形； (4)p ：∃x 0∈R ，x 20－x 0＋2>0. [解析] (1)¬p ：∃x 0>1，log 2x 0≤0. (2)¬p ：∃a 、b ∈R ，a 2＋b 2≤0. (3)¬p ：任意一个正方形都不是矩形． (4)¬p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋2≤0. 8.已知命题p ：f (x )＝x ＋1x ＋a在[2，＋∞)上单调递减；命题q ：g (x )＝log a (－x 2－x ＋2)的单调递增区间为[－12，1)．若命题p ∧q 为真命题．某某数a 的取值X 围．[解析] ∵f (x )＝x ＋1x ＋a ＝1＋1－ax ＋a在[2，＋∞)上单调递减， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1－a >0，－a ≤2.∴－2≤a <1.∵g (x )＝log a (－x 2－x ＋2)的单调递增区间为[－12，1)，∴0<a <1.要使p ∧q 为真命题，应有p 真且q 真，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2≤a <1，0<a <1，∴0<a <1.∴实数a 的取值X 围是0<a <1.。

命题的否定（北京习题集）（教师版）一．选择题（共3小题）1．（2019秋•海淀区校级期中）已知命题:p x Q ∃∈，230x -=，则p ⌝为( ) A ．x Q ∃∈，230x -≠ B ．x Q ∃∉，230x -= C ．x Q ∀∈，230x -≠ D ．x Q ∀∉，230x -=2．（2018秋•潮阳区期末）已知命题1:p x ∀，2x R ∈，1212(()())()0f x f x x x --，则p ⌝是( ) A ．1x ∃，2x R ∈，1212(()())()0f x f x x x -- B ．1x ∀，2x R ∈，1212(()())()0f x f x x x -- C ．1x ∃，2x R ∈，1212(()())()0f x f x x x --<D ．1x ∀，2x R ∈，1212(()())()0f x f x x x --<3．（2018秋•丰台区期末）已知命题:p x R ∃∈，210x ->，那么p ⌝是( ) A ．x R ∃∈，210x -<B ．x R ∃∈，210x - C ．x R ∀∈，210x -< D ．x R ∀∈，210x -二．填空题（共8小题）4．（2017秋•东城区校级期末）x R ∀∈，2104x x -+的否定是 ． 5．（2018春•西城区期末）已知命题:p x R ∀∈，221x x +>，则:p ⌝ ． 6．（2017秋•海淀区校级期末）已知:P x R ∃∈，240x x -+<；则P ⌝为 ．7．（2018秋•东城区校级期中）命题“5x ∀>，2250x ->的否定是 ，其是 命题（填“真、假” )． 8．（2018春•西城区校级期中）已知：命题:1p x ∀>，有21x >，则命题p ⌝为： ． 9．（2018•房山区一模）已知命题:(0,)p x ∀∈+∞，21x >，则p ⌝为 ．10．（2018•北京）能说明“若()(0)f x f >对任意的(0x ∈，2]都成立，则()f x 在[0，2]上是增函数”为假命题的一个函数是 ．11．（2018•海淀区校级三模）能够说明命题:p x R ∃∈，220x ax a ++是假命题的一个实数a 是 ． 三．解答题（共1小题）12．（2019秋•海淀区校级期中）命题“0x ∀>，2230x x +->”的否定是 ．命题的否定（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一．选择题（共3小题）1．（2019秋•海淀区校级期中）已知命题:p x Q ∃∈，230x -=，则p ⌝为( ) A ．x Q ∃∈，230x -≠ B ．x Q ∃∉，230x -= C ．x Q ∀∈，230x -≠ D ．x Q ∀∉，230x -=【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可． 【解答】解：命题为特称命题， 则命题的否定为x Q ∀∈，230x -≠， 故选：C ．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，根据特称命题的否定是全称命题是解决本题的关键．比较基础． 2．（2018秋•潮阳区期末）已知命题1:p x ∀，2x R ∈，1212(()())()0f x f x x x --，则p ⌝是( ) A ．1x ∃，2x R ∈，1212(()())()0f x f x x x -- B ．1x ∀，2x R ∈，1212(()())()0f x f x x x -- C ．1x ∃，2x R ∈，1212(()())()0f x f x x x --<D ．1x ∀，2x R ∈，1212(()())()0f x f x x x --<【分析】由全称命题的否定是特称命题，写出命题p 的否定p ⌝来． 【解答】解：根据全称命题的否定是特称命题，得； 命题p 的否定是:p ⌝1x ∃，2x R ∈，1212(()())()0f x f x x x --<．故选：C ．【点评】本题考查了全称命题的否定命题是什么，解题时直接写出它的否定命题即可，是容易题． 3．（2018秋•丰台区期末）已知命题:p x R ∃∈，210x ->，那么p ⌝是( ) A ．x R ∃∈，210x -<B ．x R ∃∈，210x - C ．x R ∀∈，210x -< D ．x R ∀∈，210x -【分析】根据特称命题的否定是全称命题，即可得到命题的否定． 【解答】解：命题“x R ∃∈，210x ->”为特称命题，∴根据特称命题的否定是全称命题得到命题的否定为：x R ∀∈，210x -．故选：D ．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，要求熟练掌握特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题．二．填空题（共8小题）4．（2017秋•东城区校级期末）x R ∀∈，2104x x -+的否定是 0x R ∃∈，200104x x -+< ． 【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行求解即可． 【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，即0x R ∃∈，200104x x -+<， 故答案为：0x R ∃∈，200104x x -+< 【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，根据全称命题的否定是特称命题是解决本题的关键． 5．（2018春•西城区期末）已知命题:p x R ∀∈，221x x +>，则:p ⌝ x R ∃∈，221x x + ． 【分析】根据全称命题的否定是特称命题，写出即可． 【解答】解：命题:p x R ∀∈，221x x +>； 则:p x R ⌝∃∈，221x x +． 故答案为：:p x R ⌝∃∈，221x x +．【点评】本题考查了全称命题的否定是特称命题的应用问题，是基础题．6．（2017秋•海淀区校级期末）已知:P x R ∃∈，240x x -+<；则P ⌝为 x R ∀∈，240x x -+ ． 【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可．【解答】解：特称命题的否定是全称命题得:p x R ⌝∀∈，240x x -+， 故答案为：x R ∀∈，240x x -+．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．7．（2018秋•东城区校级期中）命题“5x ∀>，2250x ->的否定是 5x ∃>，2250x - ，其是 命题（填“真、假” )．【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可． 【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题： 即5x ∃>，2250x -，“5x ∀>，2250x ->恒成立，∴原命题为真命题， 则命题的否定是假命题，故答案为：5x ∃>，2250x - 假．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，结合全称命题的否定是特称命题是解决本题的关键．比较基础． 8．（2018春•西城区校级期中）已知：命题:1p x ∀>，有21x >，则命题p ⌝为： 1x ∃>，21x ． 【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题:1p x ∀>，有21x >，则命题p ⌝为：1x ∃>，21x ； 故答案为：1x ∃>，21x ；【点评】本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，是基础题．9．（2018•房山区一模）已知命题:(0,)p x ∀∈+∞，21x >，则p ⌝为 0(10,)x ∃∈+∞，21x ． 【分析】命题p 是全称命题，其否定应为特称命题，注意量词和不等号的变化． 【解答】解：命题p “：(0,)x ∀∈+∞，21x >”是全称命题， 否定时将量词对任意的x 变为x ∃，再将不等号>变为即可．故答案为：0(10,)x ∃∈+∞，21x ．【点评】本题考查命题的否定，全称命题和特称命题，属基本知识的考查．注意在写命题的否定时量词的变化，属基础题．10．（2018•北京）能说明“若()(0)f x f >对任意的(0x ∈，2]都成立，则()f x 在[0，2]上是增函数”为假命题的一个函数是 ()sin f x x = ．【分析】本题答案不唯一，符合要求即可． 【解答】解：例如()sin f x x =，尽管()(0)f x f >对任意的(0x ∈，2]都成立，当[0x ∈，)2π上为增函数，在(2π，2]为减函数，故答案为：()sin f x x =．【点评】本题考查了函数的单调性，属于基础题．11．（2018•海淀区校级三模）能够说明命题:p x R ∃∈，220x ax a ++是假命题的一个实数a 是12． 【分析】若命题:p x R ∃∈，220x ax a ++是假命题，则命题:p x R ⌝∀∈，220x ax a ++>是真命题，结合二次函数的图象和性质，可得答案．【解答】解：若命题:p x R ∃∈，220x ax a ++是假命题则命题:p x R ⌝∀∈，220x ax a ++>是真命题， 即△2440a a =-<， 解得：(0,1)a ∈， 故答案为：12（答案不唯一，(0,1)上任意数均可） 【点评】本题考查的知识点是命题的否定，二次函数的图象和性质，难度中档． 三．解答题（共1小题）12．（2019秋•海淀区校级期中）命题“0x ∀>，2230x x +->”的否定是 00x ∃>，20230x x +- ． 【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．【解答】解：命题为全称命题，则命题“0x ∀>，2230x x +->”的否定是为00x ∃>，20230x x +-， 故答案为：00x ∃>，20230x x +-． 【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．。

第二课时 全称量词命题与存在量词命题的否定课前预习课标要求素养要求1. 能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定.2. 能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定.通过全称量词命题与存在量词命题的否定的学习，重点提升数学抽象、逻辑推理素养.知识探究新知探究►■情境引入一位探险家被土人抓住，土人首领说：“你猜你被烧死还是被五马分尸，如果你说真话，你将被烧死，说假话，将被五马分 国: 尸”.> i问题请问探险家该如何保命？提示 探险家应该说“我将被五马分尸”.如果土人首领将探险家五马分尸，那就说明探险家说的就是真话，而说真话应该 被烧死；如果土人首领将探险家烧死，那就说明探险家说的就是假话，而说假话应该被五 马分尸.所以，土人首领怎么处置探险家都不行，只能让他活着.七知避梳理1. 命题的否定当命题是真命题时，命题的否定是假命题：当命题是假命题时，命题的否定是真 命题.2. 全称量词命题的否定改量词，否定结论对于全称量词命题p ： V.vG/W,工具有性质p(x),通常把它的否定表示为X 不具有性质p(.v).全称量词命题的否定是存在量词命题.3. 存在量词命题的否定对于存在量词命题p：x具有性质p(x),通常把它的否定表示为VxeM,x不具有性质p(x).存在量词命题的否定是全称量词命题.拓展深化［微判断］判断下列说法的正误.1.V.veR._?一3工+3>0的否定是VWR,.『一3*+3〈0.(乂)提示3-vGR,2.V xeR.j尹x的否定是.『=》.(/)［微训练］写出下列命题的否定：(1)V.veg,3j+2r+lE。

；(2曰锐角a,使sin a=cos a：(3)所有的矩形都是平行四边形：(4)3.01,使X2—2x-3=0.答案(1)公丘。

，3_?+2丫+起。

.(2)V锐角a,sin a^cos a.(3)存在一个矩形不是平行四边形.(4)V a>1,疽一2x-3H0.［微思考1全称量词命题的否定有什么特点？存在量词命题的否定有什么特点？提示全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题.方法步骤：改量词，否定结论.课堂互动匙型物题型一全称量词命题的否定【例1】写出下列全称量词命题的否定：(1)任何一个平行四边形的对边都平行；(2)1,2,3,4,5中的每一项都是偶数；(3)",bWR,方程ax=b都有唯一解.解(1)其否定为：存在一个平行四边形，它的对边不都平行.(2)其否定为：1,2,3,4,5中至少有一项不是偶数.(3)其否定为：女八/?ER，使方程ax=b的解不唯一或不存在.规律方法全称量词命题的否定是存在量词命题，对省略全称量词的全称量词命题可补上量词后进行否定.【训练1】命题*VreR.二使得的否定形式是()A.V.vGR,MEN',使得〃O2B.VxER,VnGN",使得〃。

2.3.2全称量词命题与存在量词命题的否定学习目标 1.通过实例总结含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律.2.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．知识点含量词的命题的否定1．命题“∀x∈R，x2－1≥－1”的否定是全称量词命题．()2．若命题¬p是存在量词命题，则命题p是全称量词命题．()3．“∃x∈M，p(x)”与“∀x∈M，¬p(x)”的真假性相反．()4．“任意x∈R，x2<0”的否定为“∃x∈R，x2≥0”．()一、全称量词命题的否定例1写出下列命题的否定．(1)所有分数都是有理数；(2)所有被5整除的整数都是奇数；(3)∀x∈R，x2－2x＋1≥0.解：反思感悟全称量词命题否定的关注点(1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定¬p：∃x∈M，¬p(x)．(2)全称量词命题的否定是存在量词命题，对省略全称量词的全称量词命题可补上量词后进行否定．跟踪训练1写出下列全称量词命题的否定：(1)所有自然数的平方都是正数；(2)任何实数x都是方程5x－12＝0的根；(3)对任意实数x，x2＋1≥0.解：二、存在量词命题的否定例2写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假．(1)某些梯形的对角线互相平分；(2)存在k∈R，函数y＝kx＋b随x值的增大而减小；(3)∃x，y∈Z，使得2x＋y＝3.解：反思感悟存在量词命题否定的关注点(1)存在量词命题的否定是全称量词命题，写命题的否定时要分别改变其中的量词和判断词．即p：∃x∈M，p(x)，它的否定¬p：∀x∈M，¬p(x)．(2)存在量词命题的否定是全称量词命题，对省略存在量词的存在量词命题可补上量词后进行否定．跟踪训练2写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假：(1)有的素数是偶数；(2)∃a，b∈R，a2＋b2≤0.解：三、全称量词命题与存在量词命题的综合应用例3已知命题p：∀x∈R，不等式x2＋4x－1>m恒成立．求实数m的取值范围．解：延伸探究1．把本例中的条件变为：“存在实数x，使不等式－x2＋4x－1>m有解”，求实数m的取值范围．解：2．把本例中的条件“∀x∈R”改为“∀x≥1”，求实数m的取值范围．解：反思感悟求解含有量词的命题中参数范围的策略(1)对于全称量词命题“∀x∈M，a>y(或a<y)”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数y的最大值(或最小值)，即a>y max(或a<y min)．(2)对于存在量词命题“∃x∈M，a>y(或a<y)”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数y的最小值(或最大值)，即a>y min(或a<y max)．跟踪训练3已知命题p：∀x∈{x|－3≤x≤2}，都有x∈{x|a－4≤x≤a＋5}，且¬p是假命题，求实数a的取值范围．解：1．命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是()A．∀x∈R，|x|＋x2<0 B．∀x∈R，|x|＋x2≤0C．∃x∈R，|x|＋x2<0 D．∃x∈R，|x|＋x2≥02．命题“∃x>0,2x2＝5x－1”的否定是()A．∀x>0,2x2≠5x－1 B．∀x≤0,2x2＝5x－1C．∃x>0,2x2≠5x－1 D．∃x≤0,2x2＝5x－13．命题“∀x∈[0，＋∞)，2x2－x≥0”的否定是()A．∀x∉[0，＋∞)，2x2－x<0B．∀x∉[0，＋∞)，2x2－x≥0C．∃x∈[0，＋∞)，2x2－x<0D．∃x∈[0，＋∞)，2x2－x≥04．命题“同位角相等”的否定为________________________________________________________________________．5．命题：“有的三角形是直角三角形”的否定是：______________________ __________________.1．知识清单：(1)全称量词命题、存在量词命题的否定．(2)命题真假的判断. (3)全称量词命题与存在量词命题的综合应用．2．方法归纳：转化思想．3．常见误区：否定不唯一，命题与其否定的真假性相反．1．命题p：“存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根”，则p的否定是()A．存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根B．不存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根C．对任意实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实数根D．至多有一个实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根2．对某次考试，有命题p：所有学生都会做第1题，那么命题p的否定是()A．所有学生都不会做第1题B．存在一个学生不会做第1题C．存在一个学生会做第1题D．至少有一个学生会做第1题3．命题“存在实数x，使x>1”的否定是()A．对任意实数x，都有x>1 B．不存在实数x，使x≤1C．对任意实数x，都有x≤1 D．存在实数x，使x≤14．(多选)关于命题p：“∀x∈R，x2＋1≠0”的叙述，正确的是()A．¬p：∃x∈R，x2＋1＝0 B．¬p：∀x∈R，x2＋1＝0C．p是真命题，¬p是假命题D．p是假命题，¬p是真命题5．(多选)对下列命题的否定说法正确的是()A．p：能被2整除的数是偶数；p的否定：存在一个能被2整除的数不是偶数B．p：有些矩形是正方形；p的否定：所有的矩形都不是正方形C．p：有的三角形为正三角形；p的否定：所有的三角形不都是正三角形D．p：∀n∈N,2n≤100；p的否定：∃n∈N,2n>1006．命题“任意一个x∈R，都有x2－2x＋4≤0”的否定是________________________．7．命题“∃x，y∈Z，使得x2>2y”的否定是__________．8．已知命题p：存在x∈R，x2＋2x＋a＝0.若命题¬p是假命题，则实数a的取值范围是________．9．写出下列命题的否定．(1)有些四边形有外接圆；(2)末位数字为9的整数能被3整除；(3)∃x∈R，x2＋1<0.解:10．写出下列命题的否定，并判断其否定的真假：(1)p：不论m取何实数，方程x2＋mx－1＝0必有实根；(2)∀x，y∈R，x2＋y2＋2x－4y＋5＝0.解:11．下列命题的否定是真命题的为()A．p1：每一个合数都是偶数B．p2：两条平行线被第三条直线所截内错角相等C．p3：全等三角形的周长相等D．p4：所有的无理数都是实数12．(多选)下列命题的否定是假命题的是()A．等圆的面积相等，周长相等B．∀x∈N，x2≥1C．任意两个等边三角形都是相似的D．3是方程x2－9＝0的一个根13．已知命题p：∃x∈{x|1<x<3}，x－a≥0；若¬p是真命题，则实数a的取值范围是() A．a<1 B．a>3 C．a≤3 D．a≥314．命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥2x＋1”的否定形式是()A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n<2x＋1 B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n<2x＋1 C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n<2x＋1 D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n<2x＋1。

高中数学（必修一）第一章 全称量词命题和存在量词命题的否定 练习题（含答案解析）学校:___________姓名：___________班级：______________一、单选题1．命题“R x ∃∈，2220x x ++<”的否定是（ ）A ．R x ∃∈，2220x x ++≥B ．R x ∀∈，2220x x ++≥C ．R x ∃∈，2220x x ++>D ．R x ∀∉，2220x x ++≥2．若命题“2000R,(1)10a x x x ∃+∈-+≤”的否定是真命题，则实数a 的取值范围是（）A ．[]1,3-B ．()1,3-C ．(][),13,-∞-+∞D ．()(),13,-∞-⋃+∞3．命题“[)0,x ∃∈+∞，210x -<”的否定为（ ）A ．[)20,,10x x ∀∈+∞-≥B ．()2,0,10x x ∃∈-∞-<C ．[)20,,10x x ∀∈+∞-<D ．[)20,,10x x ∃∈+∞-≥4．命题“∀n ∈N *，f （n ）∈N *且f （n ）≤n ”的否定形式是（ ）A ．∀n ∈N *，f （n ）∉N *且f （n ）＞nB ．∀n ∈N *，f （n ）∉N *或f （n ）＞nC ．()**00N N n f n ∃∈∉，且f （n 0）＞n 0D ．()**00N N n f n ∃∈∉，或f （n 0）＞n 05．命题“2110x x ∀≥-<，”的否定是（ ）A ．2110x x ∀≥-≥，B ．2110x x ∃≥-≥，C ．2110x x ∃<-≥，D ．2110x x ∀<-<，6．已知集合{}1,2,4,5,6P =，{}2,4,6M =，则下列说法正确的是（ ）A ．对任意x P ∈，有x M ∈B ．对任意x P ∈，有x M ∉C ．存在x M ∈，使得x P ∉D ．存在x P ∈，使得x M ∉二、填空题7．若命题“2,220x R x ax a ∃∈++-=是假命题”，则实数a 的取值范围是___________.8．已知命题p ：∀x ∈R ，x 2+x ﹣a ＞0为假命题，则实数a 的取值范围是 __.9．命题“x ∀∈R ，40x -≤”的否定是______．10．p ：x R ∀∈，20x ≥的否定是__________．三、解答题11．写出下列命题的否定，并判断真假.(1)q: x∈R ，x 不是5x -12=0的根;(2)r:有些素数是奇数;(3)s: x 0∈R ，|x 0|＞0.12．设全集U =R ，集合{}15A x x =≤<，非空集合{}212B x x a =≤≤+，其中a R ∈.(1)若“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，求a 的取值范围；(2)若命题“x B ∃∈，x A ∈R ”是真命题，求a 的取值范围.四、多选题13．命题p ：()0,2x ∃∈，3cos x x >.命题q ：每个正三棱锥的三个侧面都是正三角形.关于这两个命题，下列判断正确的是（ ）A ．p 是真命题B ．p ⌝：()0,2x ∀∈，3cos x x ≤C ．q 是真命题D ．q ⌝：每个正三棱锥的三个侧面都不是正三角形参考答案与解析：1．B【分析】由特称命题的否定：将存在改任意，并否定原结论，即可得答案.【详解】由特称命题的否定为全称命题，所以原命题的否定为R x ∀∈，2220x x ++≥.故选：B2．B【分析】写出命题的否定，则∆<0，从而可得出答案.【详解】:解：命题“2000R,(1)10a x x x ∃+∈-+≤”的否定为“()2R,110x x a x ∀∈+-+>”为真命题，所以()2140a ∆=--<，解得13a -<<，即实数a 的取值范围是()1,3-.故选：B.3．A【分析】根据存在量词命题的否定直接得出结果.【详解】命题“2[0,)10x x ∃∈+∞-<，”的否定为：“2[0,)10x x ∀∈+∞-≥，”.故选：A4．D【分析】利用全称命题的否定是特称命题形成结果即可.【详解】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀n ∈N *，f （n ）∈N *且f （n ）≤n ”的否定形式是：()**00N N n f n ∃∈∉，或f （n 0）＞n 0.故选：D.5．B【分析】由命题的否定的定义判断．【详解】全称命题蝗否定是特称命题．命题“2110x x ∀≥-<，”的否定是2110x x ∃≥-≥，．故选：B ．6．D【分析】根据集合间的关系，全称命题、特称命题的真假判断可得答案.【详解】由于{}1,2,4,5,6P =，{}2,4,6M =，所以M P ，故存在x P ∈，使得x M ∉．故选：D ．7．21a -<<##(2,1)-##{|21}a a -<<【分析】等价于2,220x R x ax a ∀∈++-≠，解2=44(2)0,a a ∆--<即得解.【详解】解：因为命题“2,220x R x ax a ∃∈++-=是假命题”，所以2,220x R x ax a ∀∈++-≠，所以222=44(2)4480,20,21a a a a a a a ∆--=+-<∴+-<∴-<<.故答案为：21a -<<8．a 14≥- 【分析】根据命题p 为假命题，则它的否定￢p 是真命题，利用判别式∆≥0求出实数a 的取值范围.【详解】解：因为命题p ：∀x ∈R ，x 2+x ﹣a ＞0为假命题，所以它的否定￢p ：∃x ∈R ，x 2+x ﹣a ≤0为真命题，所以∆＝12﹣4×（﹣a ）≥0，解得a 14≥-. 故答案为：a 14≥- 9．0x ∃∈R ，040x ->【分析】根据全称命题的否定形式，即可求解. 【详解】全称命题的否定是特称命题，∴命题“x ∀∈R ，40x -≤”的否定是：“0x ∃∈R 040x ->”． 故答案为：0x ∃∈R ，040x ->10．0x R ∃∈，200x <【分析】利用全称命题的否定是特称命题，即可求解．【详解】因为命题是全称命题，根据全称命题的否定是特称命题，所以命题的否定为：0x R ∃∈，200x <．故答案为: 0x R ∃∈，200x <．11．（1）⌝q: x 0∈R ，x 0是5x -12=0的根 真命题（2）⌝r:任意一个素数都不是奇数 假命题（3）⌝s:x∈R ，|x|≤0 假命题【分析】分别写出（1），（2），（3）命题的否定，再判断真假.【详解】(1)q: x 0∈R ，x 0是5x -12=0的根，真命题. (2)r:任意一个素数都不是奇数，假命题. (3)s:x∈R ，|x|≤0，假命题.【点睛】命题的否定与否命题的区别：否命题是对原命题既否定条件，又否定结论；命题的否定，只是否定命题的结论. 对特（全）称命题进行否定的方法是：改量词，否结论.12．(1)1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭(2)[)2,+∞【分析】（1）由题意得出B A ⊆，从而列出不等式组，求a 的范围即可，（2）由题意R BA ≠∅，列出不等式，求a 的范围即可．（1）解：若“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，则B A ⊆，又集合B 为非空集合， 故有122125a a +⎧⎨+<⎩，解得122a <， 所以a 的取值范围1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭， （2） 解：因为{}15A x x =≤<，所以{|1R A x x =<或5}x ，因为命题“x B ∃∈，x A ∈R ”是真命题，所以R B A ≠∅，即125a +，解得2a ．所以a 的取值范围[)2,+∞．13．AB【分析】根据全称命题、存在命题的否定形式可判断BD 的正误，根据反例可判断A 的正误，根据正三棱锥的定义可判断C 的正误.【详解】p 的否定为()0,2x ∀∈，3cos x x ≤，故B 正确. 因为()0,22π∈，3cos 22ππ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以p 的否定为假命题，故p 是真命题，故A 正确. 对B ，每个正三棱锥的三个侧面都是等腰三角形，不一定是正三角形，故q 为假命题， 故C 错误，而q ⌝为：存在一个正三棱锥，它的三个侧面不都是正三角形，故D 错误. 故选：AB.。

全国名校高考数学复习优质专题训练汇编（附详解）含有一个量词的命题的否定专题训练[A 基础达标]1 .命题“ ？ x€ R, |x汁x2>0”的否定是（）A . ? x€ R, |x| + x2<0 B. ? x€ R, |x| + x2< 0C. ? x o € R, |x o 1 + X o<O D . ? x o € R, |x°| + x o> 0解析：选C.? x€R, |x汁x o>0的否定是？ X o €R, |x°| + x0<0.故选 C.0 .命题“存在x0€ R，使得ex0< 0”的否定是（）A .不存在x°€ R，使得ex o>OB .对任意x€ R, e x>0C.对任意x€ R, e x<0D .存在x0€ R，使得ex0>0解析：选B.命题“存在X o dR，使得ex o< 0”的否定是对任意x€ R, e x>0.3. 对下列命题的否定说法错误的是（）A . p：所有质数都是奇数；綈p：存在一个质数不是奇数B . p：有些矩形是正方形；綈p：所有的矩形都不是正方形C. p:有的三角形为正三角形；綈p：所有的三角形不都是正三角形D . p：? x0€ R, x0+x O+ 0< 0;綈p：? x€ R, x0+ x+ 0>0 解析：选C. “有的三角形为正三角形”为特称命题,其否定为全称命题：所有的三角形都不是正三角形，故选项C错误.4. 若存在x o€ R，使ax°°+ 0x o + a v0,则实数a的取值范围是（）A . a v1 B. a<1C.—1 v a v 1D. —1 v a< 1解析：选A.当a< 0时，显然存在x oC R,使ax O + 0x o+ a v 0.当a >0时，需满足A= 4—4a0>0,得—1v a v 1,故O v a v 1,综上所述，实数a的取值范围是a v 1.5. 已知函数f（x）= |0—1|,若命题“ ?捲,X2 € [a, b]且X[V x?,使得f（X1）> f（X0）”为真命题，则下列结论一定正确的是（）A . a>0 B. a v0C. b<0 D . b>1全国名校高考数学复习优质专题训练汇编(附详解)解析：选B.函数f(x) = |2x—1|的图象如图所示.由图可知f(x)在(一乂，0]上为减函数，在(0, +乂)上为增函数，所以要满足？ x i, X2<a, b]且x i V X2,使得f(x i)>f(xj为真命题,贝泌有a v0,故选B.6. _____________________________________________ 命题“所有的长方体都是四棱柱”的否定是 ____________________ .解析：全称命题的否定是特称命题，命题“所有的长方体都是四棱柱”的否定应为“有些长方体不是四棱柱”.答案：有些长方体不是四棱柱7 .命题“至少有一个正实数x满足方程x2+ 2(a—1)x + 2a+ 6 = 0”的否定是________ .解析：把量词“至少有一个”改为“所有”，“满足”改为“都不满足”得命题的否定.答案：所有正实数x都不满足方程x2+ 2(a—1)x + 2a + 6= 08 .若？ x € R , x2—ax + 1< 0为假命题，则a的取值范围为解析：？ x€R, x2—ax+ 1< 0 为假命题，即对？ x€R, x2—ax+ 1>0 为真命题.需△= (—a)2—4<0,即a2—4<0,解得一2<a<2,故a的取值范围为(—2, 2).答案：(一2, 2)9. 判断下列命题的真假，并写出它们的否定.(1) ? a , [3 € R, sin( a+ 0工sin a +sin [3 ;(2) ? x0, y o € Z, 3x o —4y o= 20;(3) 在实数范围内，有些一元二次方程无解；(4) 正数的绝对值是它本身.解：(1)当a= = 0时，sin( a+ 3= sin a+ sin 3 故命题为假命题.命题的否定为？a, 09R, sin (a + 0) = sin a+sin 00.(2) 真命题.命题的否定为？ x, y®, 3x—4y z20.(3) 真命题.命题的否定为在实数范围内，所有的一元二次方程全国名校高考数学复习优质专题训练汇编（附详解） 都有解.（4）省略了量词“所有的”，该命题是全称命题，且为真命题.命 题的否定为有的正数的绝对值不是它本身.10. 命题p 是“对某些实数x ,有x — a >0或x — b <0”，其中a 、 b 是常数.（1） 写出命题p 的否定；（2） 当a 、b 满足什么条件时，命题p 的否定为真？解：（1）命题p 的否定：对任意实数x ,有x — a < 0且x — b >0.1 x — a w 0,（2）要使命题p 的否定为真，需要使不等式组的解集 l x — b > 0不为空集,通过画数轴可看出，a 、b 应满足的条件是b v a.［B 能力提升］ b € ［0，+* ）, f （x ） = x 2 + bx + c 在［0，+x ） X 。

含有一个量词的命题的否定例1写出下列全称命题的否定：（1）p：所有人都晨练；（2）p：∀x∈R，x2＋x+1>0；（3）p：平行四边形的对边相等；（4）p：∃x∈R，x2－x+1＝0；分析：（1）⌝ P：有的人不晨练；（2）∃x∈R，x2＋x+1≤0；（3）存在平行四边形，它的的对边不相等；（4）∀x∈R，x2－x+1≠0；例2写出下列命题的否定。

（1）所有自然数的平方是正数。

（2）任何实数x都是方程5x-12=0的根。

（3）对任意实数x，存在实数y，使x+y＞0.（4）有些质数是奇数。

解：（1）的否定：有些自然数的平方不是正数。

（2）的否定：存在实数x不是方程5x-12=0的根。

（3）的否定：存在实数x,对所有实数y，有x+y≤0。

（4）的否定：所有的质数都不是奇数。

解题中会遇到省略了“所有，任何，任意”等量词的简化形式，如“若x＞3，则x2＞9”。

在求解中极易误当为简单命题处理；这种情形下时应先将命题写成完整形式，再依据法则来写出其否定形式。

例3写出下列命题的否定。

（1）若x2＞4 则x＞2.。

（2）若m≥0,则x2+x-m=0有实数根。

（3）可以被5整除的整数，末位是0。

（4）被8整除的数能被4整除。

（5）若一个四边形是正方形，则它的四条边相等。

解（1）否定：存在实数x，虽然满足20x＞4，但0x≤2。

或者说：存在小于或等于2的数x，满足20x＞4。

（完整表达为对任意的实数x, 若x2＞4 则x＞2）（2）否定：虽然实数m≥0,但存在一个x，使20x+ 0x-m=0无实数根。

（原意表达：对任意实数m,若m≥0,则x2+x-m=0有实数根。

）（3）否定：存在一个可以被5整除的整数，其末位不是0。

（4）否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除.(原意表达为所有能被8整除的数都能被4整除)（5）否定：存在一个四边形，虽然它是正方形，但四条边中至少有两条不相等。

（原意表达为无论哪个四边形，若它是正方形，则它的四条边中任何两条都相等。

1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定1．若命题(]0:,1p x ∃∈-∞，200x <，则p ⌝为（ ）A ．(],1x ∀∉-∞，20x ≥B ．(]0,1x ∃∉-∞，200x ≥C ．(],1x ∀∈-∞，20x ≥D ．(]0,1x ∃∈-∞，200x >2．命题:p “()(),0x R f x g x ∃∈≠”，则p ⌝是 （ ）A ．(),0x R f x ∀∈=且()0g x =B ．()(),0x R f x g x ∀∈=C ．()00,0x R f x ∃∈=且()00g x =D ．()()000,0x R f x g x ∃∈=3．命题p ：0x R ∃∈，20010x x -+的否定是（ ）A ．0x R ∃∈，20010x x -+>B ．x R ∀∈，210x x -+C ．x R ∀∈，210x x -+>D ．0x R ∃∈，20010x x -+<4．已知命题p ：∀x ∈R +，ln x ＞0，那么命题p ⌝为（ ）A ．∃x ∈R +，ln x ≤0B ．∀x ∈R +，ln x ＜0C ．∃x ∈R +，ln x ＜0D ．∀x ∈R +，ln x ≤05．设命题:,1p x Q x Q ∀∉+∉，则p ⌝为（ ）A ．00,1x Q x Q ∃∉+∈B ．,1x Q x Q ∀∈+∈C ．,1x Q x Q ∀∉+∈D ．00,1x Q x Q ∃∈+∈6．命题“x R ∀∈，210x x -+≥”的否定是（ ）A ．x R ∀∈，210x x -+<B ．x R ∀∈，210x x -+≤C ．0x R ∃∈，20010x x -+<D ．0x R ∃∈，20010x x -+≤7．命题“x R ∀∈，210x x ++≤”的否定为（ ）A ．x R ∃∈，210x x ++>B ．x R ∀∈，210x x ++≥C ．x R ∃∉，210x x ++>D ．x R ∀∉，210x x ++≤8．已知命题:p x R ∀∈，2210x +>，命题p 的否定是（ ）A ．x R ∀∈，2210x +≤B ．x R ∃∈，2210x +>C ．x R ∃∈，2210x +<D ．x R ∃∈，2210x +≤9．命题“0x ∃>，使得21x ≥”的否定为（ ）A ．0x ∃>，使得21x <B ．0x ∃≤，使得21x ≥C ．0x ∀>，都有21x <D ．0x ∀≤，都有21x <10．下列有关命题的说法中错误．．的是（ ） A ．若p q ∧为假命题,则,p q 均为假命题B ．命题“若2320x x -+=,则1x =”的逆否命题为:“若1x ≠，则2320x x -+≠”C ．若命题:p x R ∃∈，使得210x x ++<,则:p x R ⌝∀∈，均有210x x ++≥D ．“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件11．命题：x R ∃∈，210x x -+=的否定是______．12．命题：“0x ∃>，210x x +-<”的否定为_____．13．命题：“x R ∃∈，不等式230ax x ++>”的否定形式是__________．14．命题：“()0,x ∀∈+∞，210x x ++>”的否定是________.15．写出命题“存在2,230x R x x ∈-->”的否定是________.16．已知命题p ：x R ∀∈，()2140x a x +-+>，命题q ：[]1,2x ∃∈，220ax -≥.（1）若p ⌝为真，求实数a 的取值范围；（2）若p q ∧为假，p q ∨为真，求实数a 的取值范围.17．写出下列命题的否定：（1）分数是有理数；（2）三角形的内角和是180°. 18．已知命题:p x R ∀∈，2210ax x ++≠，:q x R ∃∈，210ax ax ++.若p 与q 均为假命题，求实数a 的取值范围.19．写出下列命题的否定：（1）有些三角形是直角三角形；（2）有些梯形是等腰梯形；（3）存在一个实数，它的绝对值不是正数.20．写出下列命题的否定：（1）n ∀∈Z ，Q n ∈；（2）任意奇数的平方还是奇数；（3）每个平行四边形都是中心对称图形.21．写出下列命题的否定，并判断真假：（1）任意两个等边三角形都相似；（2）x R ∃∈，210x x -+=.22．写出下列存在量词命题的否定：（1）x R ∃∈，20x +；（2）有的三角形是等边三角形；（3）有一个偶数是素数.23．写出下列全称量词命题的否定：（1）所有能被3整除的整数都是奇数；（2）每一个四边形的四个顶点在同一个圆上；（3）对任意x∈Z，2x的个位数字不等于3.24．求2210++=至少有一个负实根的充要条件．ax x25．写出下列全称量词命题的否定：（1）p：每一个四边形的四个顶点共圆；（2）p：所有自然数的平方都是正数；（3）p：任何实数x都是方程5x－12＝0的根；（4）p：对任意实数x，x2＋1≥0.参考答案1．C【分析】根据含一个量词的命题的否定方法：修改量词，否定结论，直接得到结果.【详解】因为(]200:,1,0p x x ∃∈-∞<，所以(]210:,,x x p ∀∈-∞≥⌝， 故选：C ．2．B【分析】根据含一个量词的命题的否定方法：修改量词，否定结论，直接得到结果.【详解】因为:p “()(),0x R f x g x ∃∈≠”，所以:p ⌝“()(),0x R f x g x ∀∈=”，故选：B.3．C【分析】根据特称命题的否定是全称命题，即可判断结果．【详解】由特称命题的否定可知： 命题p 的否定是“x R ∀∈，210x x -+>， 故选：C ．【点评】本题考查特称命题的否定，属基础题．4．A【分析】利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可.【详解】因为特称命题的否定是全称命题，故命题“p ：∀x ∈R +，ln x ＞0”的否定p ⌝为：∃x ∈R +，ln x ≤0.故选：A.【点评】本题考查含有一个量词的命题的否定，要注意两个方面的变化：1.量词，2.结论，属于基础题. 5．A【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．【详解】命题是全称命题，则命题的否定是特称命题， 即:p ⌝00,1x Q x Q ∃∉+∈．故选：A ．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，根据全称命题的否定是特称命题是解决本题的关键，属于基础题．6．C【分析】利用含有一个量词的否定的定义可得答案．【详解】命题“x R ∀∈，210x x -+≥”的否定是“0x R ∃∈，20010x x -+<”故选：C7．A【分析】由含有一个量词的命题的否定的定义进行求解即可．【详解】命题“x R ∀∈，210x x ++≤”的否定为“x R ∃∈，210x x ++>”故选：A8．D【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解即可．【详解】命题:p x R ∀∈，2210x +>的否定是：x R ∃∈，2210x +≤故选：D9．C【分析】利用含有一个量词的命题的否定定义得出选项．【详解】命题“0x ∃>，使得21x ≥”的否定为“0x ∀>，都有21x <”故选：C10．A【分析】由复合命题的真值表即可判断A ；由原命题与逆否命题的关系即可判断B ；由特称命题的否定是全称命题即可判断C ；根据充分必要条件的定义即可判断D ．【详解】对于A ．若p q ∧为假命题，则p ，q 中至少有一个为假命题，故A 错．对于B ．命题：“若p 则q ”的逆否命题为：“若q ⌝则p ⌝”，故B 正确；对于C ．由含有一个量词的命题的否定形式得，命题p ：∃x ∈R ，使得x 2+x +1＜0，则p ⌝为：∀x ∈R ，均有x 2+x +1≥0，故C 正确；对于D ．由x 2﹣3x +2=0解得，1x =或2x =，故1x =可推出x 2﹣3x +2=0，但x 2﹣3x +2=0推不出1x =，故“1x =”是“x 2﹣3x +2＞0”的充分不必要条件，即D 正确故选：A ．【点评】本题考查简易逻辑的基础知识：四种命题及关系，充分必要条件的定义，复合命题的真假和含有一个量词的命题的否定，这里要区别否命题的形式，本题是一道基础题．11．2,10x R x x ∀∈-+≠【解析】试题分析：根据特称命题的否定为全称命题，可知命题“2,10x R x x ∃∈-+=”的否定是“”.考点：全称命题与特称命题.12．0x ∀>，210x x +-≥.【分析】根据特称命题的否定：改变量词，否定结论，可得出结果.【详解】命题“0x ∃>，210x x +-<”为特称命题，其否定为：“0x ∀>，210x x +-≥”.故答案为：0x ∀>，210x x +-≥.【点评】本题考查特称命题否定的改写，属于基础题.13．x R ∀∈，不等式230ax x ++≤【分析】,()x M p x ∃∈的否定为,()x M p x ∀∈⌝.【详解】根据特称命题的否定是全称命题，知“x R ∃∈，不等式230ax x ++>”的否定为“x R ∀∈，不等式230ax x ++≤”.故答案为：x R ∀∈，不等式230ax x ++≤.【点评】本题考查含有一个量词的命题的否定，关键是理解特称命题、全称命题的含义，是一道容易题. 14．()0,x ∃∈+∞，210x x ++≤【分析】利用全称命题的否定是特称命题，直接写出命题的否定即可．【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“()0,x ∀∈+∞，210x x ++>”的否定是“()0,x ∃∈+∞，210x x ++≤”.故答案为：()0,x ∃∈+∞，210x x ++≤.【点评】本题考查命题的否定的应用，全称命题与特称命题互为否定关系，考查基本知识的应用． 15．“任意2,230x R x x ∈--≤”【分析】由含有一个量词的命题的否定的定义求解即可．【详解】命题“存在2,230x R x x ∈-->”的否定是“任意2,230x R x x ∈--≤”故答案为：“任意2,230x R x x ∈--≤”16．（1）3a ≤-或5a ≥；（2）[)13,5,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.【分析】（1）p ⌝为真，则p 为假，由判别式求出实数a 的取值范围，并取补集即可；（2）p q ∧为假，p q ∨为真，则p 、q 一真一假，由p 真q 假和p 假q 真分别求出a 的取值范围取并集即可．【详解】（1）若p 为真：22(1)162150a a a ∆=--=--<，解得35a -<<，∵p ⌝为真，∴p 为假，∴3a ≤-或5a ≥.（2）由（1）得：p 真35a -<<，若q 为真：[]1,2x ∃∈，22a x ≥，∴12a ≥， ∵p q ∧为假，p q ∨为真，∴p 、q 一真一假. ①p 真q 假：3512a a -<<⎧⎪⎨<⎪⎩，∴132a -<<； ②p 假q 真：3512a a a ≤-≥⎧⎪⎨≥⎪⎩或，∴5a ≥. 综上：a 的取值范围是[)13,5,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.【点评】方法点睛：本题考查根据含有一个量词的命题的真假求参数的问题，p 或q 与p 且q 的真假判断如下：1. p 和q 都为真，则p 且q 为真；p 和q 有一个为假或者都为假，则p 且q 为假；2. p 和q 都为假，则p 或q 为假；p 和q 有一个为真或者都为真，则p 且q 为真．17．（1）存在一个分数不是有理数；（2）有些三角形的内角和不是180°.【分析】根据含有一个量词命题的否定，分别写出每个命题的否定，得到答案.【详解】（1）原命题省略了全称量词“所有"，所以该命题的否定：存在一个分数不是有理数.（2）原命题省略了全称量词“任何一个”，所以该命题的否定：有些三角形的内角和不是180°. 【点评】本题考查含有一个量词命题的否定，属于简单题.18．[0,1]【分析】先写出p ⌝和q ⌝，从而得到p ⌝与q ⌝都是真命题，从而分别得到a 的不等式，得到a 的范围.【详解】:p x R ∀∈，2210ax x ++≠，:q x R ∃∈，210ax ax ++，:p x R ∴⌝∃∈，2210ax x ++=，:q x R ⌝∀∈，210ax ax ++>.因为p 与q 均为假命题，所以p ⌝与q ⌝都是真命题.由p ⌝为真命题得0a =或0,440,a a ≠⎧⎨-≥⎩，故1a ≤. 由q ⌝为真命题得0a =或20,40,a a a >⎧⎨-<⎩，故04a ≤< .1,04,a a ⎧∴⎨<⎩解得01a ≤≤. 故实数a 的取值范围是[0,1].【点评】本题考查含有一个量词命题的否定，根据命题的真假求参数的范围，属于中档题.19．（1）任意三角形都不是直角三角形；（2）所有的梯形都不是等腰梯形；（3）任意一个实数，它的绝对值都是正数.【分析】根据含有一个量词命题的否定，分别写出每个命题的否定，得到答案.【详解】（1）该命题的否定：任意三角形都不是直角三角形；（2）该命题的否定：所有的梯形都不是等腰梯形；（3）该命题的否定：任意一个实数，它的绝对值都是正数.【点评】本题考查含有一个量词命题的否定，属于简单题.20．（1）n ∃∈Z ，n ∉Q ；（2）存在一个奇款的平方不是奇数；（3）存在一个平行四边形不是中心对称图形.【分析】根据含有一个量词命题的否定，分别写出每个命题的否定，得到答案.【详解】（1）该命题的否定：n ∃∈Z ，n ∉Q ；（2）该命题的否定：存在一个奇款的平方不是奇数；（3）该命题的否定：存在一个平行四边形不是中心对称图形.【点评】本题考查含有一个量词命题的否定，属于简单题.21．（1）见解析；（2）见解析【分析】根据含有一个量词命题的否定，分别写出每个命题的否定，再判断其真假，得到答案.【详解】（1）该命题的否定：存在两个等边三角形，它们不相似.因为任意两个等边三角形的三边成比例，所以任意两个等边三角形都相似.因此这是一个假命题.（2）该命题的否定：x R ∀∈，210x x -+≠.因为对任意x ∈R ，22131024x x x ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭， 所以这是一个真命题.【点评】本题考查含有一个量词命题的否定，判断命题的真假，属于简单题.22．（1）x R ∀∈，20x +>；（2）所有的三角形都不是等边三角形；（3）任意一个偶数都不是素数【分析】根据含有一个量词命题的否定，分别写出每个命题的否定，得到答案.【详解】（1）该命题的否定：x R ∀∈，20x +>.（2）该命题的否定：所有的三角形都不是等边三角形.（3）该命题的否定：任意一个偶数都不是素数.【点评】本题考查含有一个量词命题的否定，属于简单题.23．（1）存在一个能被3整除的整数不是奇数；（2）存在一个四边形，它的四个顶点不在同一个圆上；（3）x Z ∃∈，2x 的个位数字等于3.【分析】根据含有一个量词命题的否定，分别写出每个命题的否定，得到答案.【详解】（1）该命题的否定：存在一个能被3整除的整数不是奇数.（2）该命题的否定：存在一个四边形，它的四个顶点不在同一个圆上.（3）该命题的否定：x Z ∃∈，2x 的个位数字等于3.【点评】本题考查含有一个量词命题的否定，属于简单题.24．1a ≤【分析】先对二次项系数分为0和不为0两种情况讨论，在二次项系数不为0时又分两根一正一负和两根均为负值两种情况，综合在一起找到a 所满足的充要条件1a .【详解】（1）0a =时方程为一元一次方程，其根为12x =-，符合题目要求.（2）当0a ≠时，方程为一元二次方程，它有实根的充要条件是判断式0∆≥，即440a -≥，从而1a ≤，又设方程2210ax x ++=的两根为12,x x ，则由韦达定理得121221,x x x x a a+=-= ①方程2210ax x ++=有一个负实根的充要条件是110a a≤⎧⎪⎨<⎪⎩，得0a <， ②方程2210ax x ++=有两个负根的充要条件是12010a aa⎧⎪≤⎪⎪-<⎨⎪⎪>⎪⎩，即01a <≤,综上，2210ax x ++=至少有一个负实根的充要条件是：1a ≤.【点评】本题主要考查了一元二次方程根的分布问题．在二次项系数不确定的情况下，一定要分二次项系数为0和不为0两种情况讨论，属于中档题．25．答案见解析.【分析】由命题的否定的定义完成，同时全称 量词需改为存在量词．【详解】解（1）￢p ：存在一个四边形，它的四个顶点不共圆.（2）￢p ：有些自然数的平方不是正数.（3）￢p ：存在实数x 0不是方程5x 0－12＝0的根.(4)￢p ：存在实数x 0，使得20x ＋1<0.【点评】本题考查命题的否定，掌握命题的否定的概念是解题基础．写命题否定时存在量词与全称量词需互换．。

[基础巩固]1．命题“正方形都是菱形”的否定是()A．任意一个正方形，它是菱形B．任意一个正方形，它不是菱形C．存在一个正方形，它不是菱形D．存在一个正方形，它是菱形解析全称命题的否定为存在量词命题．故答案为C.答案 C2．(2022·福州模拟)命题“∀x>0，x2－1≤0”的否定是()A．∃x≤0，x2－1>0B．∀x>0，x2－1>0C．∃x>0，x2－1>0 D．∀x≤0，x2－1>0解析因为全称量词命题的否定是存在量词命题，命题“∀x>0，x2－1≤0”是全称量词命题，所以其否定是“∃x>0，x2－1>0”．故选C.答案 C3．(多选)下列四个命题，是真命题的有()A．有些不相似的三角形面积相等B．∃x∈Q，x2＝2C．∃x∈R，x2＋1＝0D．有一个实数的倒数是它本身解析只要找出等底等高的两个三角形，面积就相等，但不一定相似，∴A为真命题．当且仅当x＝±2时，x2＝2，∴不存在x∈Q，使得x2＝2，∴B为假命题．对∀x∈R，x2＋1≠0，∴C为假命题．D中1的倒数是它本身，∴D为真命题．故选A、D.答案AD4．命题：“有的三角形是直角三角形”的否定是____________ .解析命题：“有的三角形是直角三角形”是存在量词命题，其否定是全称量词命题，按照存在量词命题改为全称量词命题的规则，即可得到该命题的否定．答案所有的三角形都不是直角三角形5．命题“任意一个x∈R，都有x2－2x＋4≤0”的否定是________．解析原命题为全称量词命题，其否定为存在量词命题，既要改量词又要否定结论，所以其否定为：存在一个x∈R，使得x2－2x＋4＞0.答案存在一个x∈R，使得x2－2x＋4＞06．写出下列命题的否定，并判断它们的真假．(1)∀x∈R，x2>0；(2)∃x∈R，x2＝1；(3)∃x∈R，x是方程x2－3x＋2＝0的根；(4)等腰梯形的对角线垂直．解析(1)命题的否定：∃x∈R，使x2≤0，因为x＝0时，02＝0，所以命题的否定为真．(2)命题的否定：∀x∈R，使x2≠1，因为x＝1时，x2＝1，所以命题的否定为假．(3)命题的否定：∀x∈R，x不是方程x2－3x＋2＝0的根，因为x＝1时12－3×1＋2＝0，即x＝1为方程的根，所以命题的否定为假．(4)命题的否定：存在一个等腰梯形的对角线不垂直，是真命题．[能力提升]7．(多选)下列命题是真命题的是()A．所有的素数都是奇数B．有一个实数x，使x2＋2x＋3＝0C．命题“∀x∈R，x＋|x|≥0”的否定是“∃x∈R，x＋|x|＜0”D．命题“∃x∈R，x＋2≤0”的否定是“∀x∈R，x＋2＞0”解析对于A中，2是一个素数，其中2是偶数，所以A是假命题；对于B中，对于方程x2＋2x＋3＝0，其中Δ＝22－4×3＝－8＜0，所以不存在实数，使得x2＋2x＋3＝0成立，所以B是假命题；对于C中，根据全称量词命题与存在量词命题的关系，可得命题“∀x∈R，x＋|x|≥0”的否定是“∃x∈R，x＋|x|＜0”，所以C是真命题；对于D中，根据全称量词命题与存在量词命题的关系，可得命题“∃x∈R，x＋2≤0”的否定是“∀x∈R，x＋2＞0”，所以C是真命题．答案CD8．已知命题p：存在x∈R，x2＋2x＋a＝0.若命题綈p是假命题，则实数a的取值范围是________．解析∵命题綈p是假命题，∴p是真命题，即存在x∈R，x2＋2x＋a＝0为真命题，∴Δ＝4－4a≥0，∴a≤1.答案{a|a≤1}9．已知命题p：存在x∈R，x2＋2ax＋a≤0.若命题p是假命题，则实数a的取值范围是________．解析 命题的否定：任意x ∈R ，x 2＋2ax ＋a ＞0为真命题，∴Δ＝4a 2－4a ＜0，∴0＜a ＜1.答案 0＜a ＜110．已知命题“存在x ∈R ，ax 2－2ax －3>0”是假命题，求实数a 的取值范围．解析 因为命题“存在x ∈R ，ax 2－2ax －3>0”的否定为“对于任意x ∈R ，ax 2－2ax －3≤0恒成立”，由命题真，其否定假；命题假，其否定真可知该命题的否定是真命题．事实上，当a ＝0时，对任意的x ∈R ，不等式－3≤0恒成立；当a ≠0时，借助二次函数的图象，数形结合，很容易知道不等式ax 2－2ax －3≤0恒成立的等价条件是a <0且其判别式Δ＝4a 2＋12a ≤0，即－3≤a <0.综上知，实数a 的取值范围是－3≤a ≤0.[探索创新]11．若命题p ：“任意x ∈R ，ax 2＋4x ＋a ≥－2x 2＋1”是真命题，求实数a 的取值范围． 解析 依题意，ax 2＋4x ＋a ≥－2x 2＋1恒成立，即(a ＋2)x 2＋4x ＋a －1≥0恒成立，所以有⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋2＞0，16－4(a ＋2)(a －1)≤0， ⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＞－2，a 2＋a －6≥0，⇔a ≥2.。