1.4.3含有一个量词的命题的否定

§1.4.3含一个量词的命题的否定1、 设集合M=｛1，2，3，4，5，6，7｝，试写出下列各命题的非（否定）：（1）1,>∈∀n M n ；（2）n ∃是质数，使M n ∈。

2、 写出下列命题的非，并判断它们的真假：（1）任意实数x ，都是方程3x －5=0的根；（2）0,2>∈∀x R x ；（3）1,2=∈∃x R x ； （4）R x ∈∃，x 是方程x 2－3x+2=0的根。

3、 写出下列命题的否定：（1）存在一个三角形是直角三角形；（2）至少有一个锐角α，使sin α=0；（3）在实数范围内，有一些一元二次方程无解；（4）不是每一个人都会开车。

4、 写出下列各命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判定其真假：（1）N n ∈∀，若n 是完全平方数，则N n ∈；（2）R b a ∈∀,，若a=b ，则a 2=ab ；（3）R q x ∈∀,，若q>0,则x 2+x －q=0有实根；（4）R y x ∈∀,，若xy=0,则x=0或y=0。

5、 写出下列命题的否定：（1）1,2->∈∀x R x ；（2）01,2=+∈∃x R x 使。

6、 举反例说明下列命题是假的：（1）0,>∈∀x R x ；（2）1,,=∈∃∈∀xy R y R x 使得7、写出下列命题的否定，并判断真假：（1）正方形都是菱形；（2）,x R ∃∈使43x x ->参考答案1、（1）1,≤∈∃n M n 使。

（2）{}M ，n n ∉∈∀质数。

2、（1）命题的非：053≠-∈∃x R ，x 使。

∵x=3时，3×3－5=4≠0，∴命题的非为真。

（2）命题的非： 02≤∈∃x R ，x 使。

∵x=0时，02=0，∴命题的非为真。

（3）命题的非：1,2≠∈∀x R x 。

∵x=1时，x 2=1,∴命题的非为假。

（4）命题的非：R x ∈∀，x 不是方程x 2－3x+2=0根。

1.4.3含有一个量词的命题的否定一、选择题1．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( ) A ．任意一个有理数，它的平方是有理数 B ．任意一个无理数，它的平方不是有理数 C ．存在一个有理数，它的平方是有理数 D ．存在一个无理数，它的平方不是有理数 [答案] B[解析] 量词“存在”否定后为“任意”，结论“它的平方是有理数”否定后为“它的平方不是有理数”，故选B ．2．(2015·潍坊四县联考)命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是( ) A ．∀x ∈R ，|x |>0 B ．∃x 0∈R ，|x 0|>0 C ．∀x ∈R ，|x |≤0 D ．∃x 0∈R ，|x 0|≤0[答案] C[解析] 由词语“有些”知原命题为特称命题，故其否定为全称命题，因为命题的否定只否定结论，所以选C ．3．(2015·东北三校模拟)已知命题p ：∃x ∈(0，π2)，sin x ＝12，则¬p 为( )A ．∀x ∈(0，π2)，sin x ＝12B ．∀x ∈(0，π2)，sin x ≠12C ．∃x ∈(0，π2)，sin x ≠12D ．∃x ∈(0，π2)，sin x >12[答案] B[解析] ¬p 表示命题p 的否定，即否定命题p 的结论，由“∃x ∈m ，p (x )”的否定为“∀x ∈m ，¬p (x )”知选B4．(2015·某某省八校联考)命题“∀x ∈R ，e x >x 2”的否定是( ) A ．不存在x ∈R ，使e x >x 2B ．∃x ∈R ，使e x <x 2C ．∃x ∈R ，使e x ≤x 2D ．∀x ∈R ，使e x ≤x 2[答案] C[解析] 原命题为全称命题，故其否定为存在性命题，“>”的否定为“≤”，故选C ． 5．(2015·某某市曲江一中月考)下列说法正确的是( )A ．“a >1”是“f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)在(0，＋∞)上为增函数”的充要条件B ．命题“∃x ∈R 使得x 2＋2x ＋3<0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋3>0”C ．“x ＝－1”是“x 2＋2x ＋3＝0”的必要不充分条件 D ．命题p ：“∀x ∈R ，sin x ＋cos x ≤2”，则¬p 是真命题 [答案] A[解析] a >1时，f (x )＝log a x 为增函数，f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)为增函数时，a >1，∴A 正确；“<”的否定为“≥”，故B 错误；x ＝－1时，x 2＋2x ＋3≠0，x 2＋2x ＋3＝0时，x 无解，故C 错误；∵sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)≤2恒成立，∴p 为真命题，从而¬p 为假命题，∴D 错误．6．命题p ：存在实数m ，使方程x 2＋mx ＋1＝0有实数根，则“非p ”形式的命题是( ) A ．存在实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0无实根 B ．不存在实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0有实根 C ．对任意的实数m ，方程x 2＋mx ＋1＝0无实根 D ．至多有一个实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0有实根 [答案] C[解析] ¬p ：对任意实数m ，方程x 2＋mx ＋1＝0无实根，故选C ． 二、填空题7．命题“存在x ∈R ，使得x 2＋2x ＋5＝0”的否定是______. [答案] 任意x ∈R ，使得x 2＋2x ＋5≠0[解析] 特称命题的否定是全称命题，将“存在”改为“任意”，“＝”改为“≠”． 8．命题“过平面外一点与已知平面平行的直线在同一平面内”的否定为________. [答案] 过平面外一点与已知平面平行的直线不都在同一平面内 [解析] 原命题为全称命题，写其否定是要将全称量词改为存在量词．9．命题“∃x ∈R ，使x 2＋ax ＋1<0”为真命题，则实数a 的取值X 围是________. [答案] a >2或a <－2[解析] 由于∃x ∈R ，使x 2＋ax ＋1<0，又二次函数f (x )＝x 2＋ax ＋1开口向上，故Δ＝a 2－4>0，所以a >2或a <－2.三、解答题10．写出下列命题的否定并判断真假：(1)不论m 取何实数，方程x 2＋x －m ＝0必有实数根； (2)所有末位数字是0或5的整数都能被5整除； (3)某些梯形的对角线互相平分； (4)被8整除的数能被4整除．[解析] (1)这一命题可以表述为p ：“对所有的实数m ，方程x 2＋x －m ＝0都有实数根”，其否定是¬p ：“存在实数m ，使得x 2＋x －m ＝0没有实数根”，注意到当Δ＝1＋4m <0，即m <－14时，一元二次方程没有实根，因此¬p 是真命题．(2)命题的否定是：存在末位数字是0或5的整数不能被5整除，是假命题． (3)命题的否定：任一个梯形的对角线都不互相平分，是真命题． (4)命题的否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除，是假命题．一、选择题1．(2015·某某理)命题“∀n ∈N *，f (n )∈N *且f (n )≤n ”的否定形式是( ) A ．∀n ∈N *,f (n )∉N *且f (n )>n B ．∀n ∈N *,f (n )∉N *或f (n )>n C ．∃n 0∈N *,f (n 0)∉N *且f (n 0)>n 0 D ．∃n 0∈N *,f (n 0)∉N *或f (n 0)>n 0 [答案] D[解析] 命题“∀n ∈N *，f (n )∈N *且f (n )≤n ” 其否定为：“∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *或f (n 0)>n 0”．2．已知命题“∀a 、b ∈R ，如果ab >0，则a >0”，则它的否命题是( ) A ．∀a 、b ∈R ，如果ab <0，则a <0 B ．∀a 、b ∈R ，如果ab ≤0，则a ≤0 C ．∃a 、b ∈R ，如果ab <0，则a <0 D ．∃a 、b ∈R ，如果ab ≤0，则a ≤0 [答案] B[解析] 条件ab >0的否定为ab ≤0； 结论a >0的否定为a ≤0，故选B ．3．已知命题p ：∀x ∈R,2x <3x ；命题q ：∃x ∈R ，x 3＝1－x 2，则下列命题中为真命题的是( )A ．p ∧qB ．(¬p )∧qC ．p ∧(¬q )D ．(¬p )∧(¬q )[答案] B[解析] 由20＝30知p 为假命题；令h (x )＝x 3＋x 2－1，则h (0)＝－1<0，h (1)＝1>0，∴方程x 3＋x 2－1＝0在(－1,1)内有解，∴q 为真命题，∴(¬p )∧q 为真命题，故选B ．4．(2014·某某省某某市检测)下列命题中是假命题．．．的是( ) A ．∃m ∈R ，使f (x )＝(m －1)·xm 2－4m ＋3是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减 B ．∀a >0，函数f (x )＝ln 2x ＋ln x －a 有零点 C ．∃α、β∈R ，使cos(α＋β)＝cos α＋sin βD ．∀φ∈R ，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数 [答案] D[解析] ∵f (x )为幂函数，∴m －1＝1，∴m ＝2，f (x )＝x －1，∴f (x )在(0，＋∞)上递减，故A 真；∵y ＝ln 2x ＋ln x 的值域为[－14，＋∞)，∴对∀a >0，方程ln 2x ＋ln x －a ＝0有解，即f (x )有零点，故B 真；当α＝π6，β＝2π时，cos(α＋β)＝cos α＋sin β成立，故C 真；当φ＝π2时，f (x )＝sin(2x ＋φ)＝cos2x 为偶函数，故D 为假命题．二、填空题5．已知命题p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋14<0，命题q ：∃x 0∈R ，sin x 0＋cos x 0＝2，则p ∨q ，p ∧q ，¬p ，¬q 中是真命题的有________.[答案] p ∨q ¬p[解析] ∵x 2－x ＋14＝(x －12)2≥0，故p 是假命题，而存在x 0＝π4，使sin x 0＋cos x 0＝2，故q 是真命题，因此p ∨q 是真命题，¬p 是真命题．6．(2015·某某市八县联考)已知命题p ：m ∈R ，且m ＋1≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立，若p ∧q 为假命题且p ∨q 为真命题，则m 的取值X 围是________.[答案] m ≤－2或－1<m <2[解析] p ：m ≤－1，q ：－2<m <2，∵p ∧q 为假命题且p ∨q 为真命题，∴p 与q 一真一假，当p 假q 真时，－1<m <2，当p 真q 假时，m ≤－2，∴m 的取值X 围是m ≤－2或－1<m <2.三、解答题7．写出下列命题的否定． (1)p ：∀x >1，log 2x >0； (2)p ：∀a ，b ∈R ，a 2＋b 2>0； (3)p ：有的正方形是矩形； (4)p ：∃x 0∈R ，x 20－x 0＋2>0. [解析] (1)¬p ：∃x 0>1，log 2x 0≤0. (2)¬p ：∃a 、b ∈R ，a 2＋b 2≤0. (3)¬p ：任意一个正方形都不是矩形． (4)¬p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋2≤0. 8.已知命题p ：f (x )＝x ＋1x ＋a在[2，＋∞)上单调递减；命题q ：g (x )＝log a (－x 2－x ＋2)的单调递增区间为[－12，1)．若命题p ∧q 为真命题．某某数a 的取值X 围．[解析] ∵f (x )＝x ＋1x ＋a ＝1＋1－ax ＋a在[2，＋∞)上单调递减， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1－a >0，－a ≤2.∴－2≤a <1.∵g (x )＝log a (－x 2－x ＋2)的单调递增区间为[－12，1)，∴0<a <1.要使p ∧q 为真命题，应有p 真且q 真，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2≤a <1，0<a <1，∴0<a <1.∴实数a 的取值X 围是0<a <1.。

1.4.3含有一个量词的命题的否定一、选择题1．命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是()A．存在x0∈R，x30－x20＋1≤0B．存在x0∈R，x30－x20＋1≥0C．存在x0∈R，x30－x20＋1>0D．对任意的x∈R，x3－x2＋1>0考点全称命题的否定题点全称命题的否定答案 C解析由题意知，原命题为全称命题，故其否定为特称命题，所以否定为“存在x0∈R，x30－x20＋1>0”．故选C.2．已知命题p：存在a0∈(－∞，0)，a20－2a0－3>0，那么命题p的否定是()A．存在a0∈(0，＋∞)，a20－2a0－3≤0B．存在a0∈(－∞，0)，a20－2a0－3≤0C．对任意a∈(0，＋∞)，a2－2a－3≤0D．对任意a∈(－∞，0)，a2－2a－3≤0考点存在量词的否定题点含存在量词的命题的否定答案 D解析依题意得綈p：对任意a∈(－∞，0)，a2－2a－3≤0，故选D.3．设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A,2x∈B，则() A．綈p：∀x∈A,2x∈BB．綈p：∀x∉A,2x∉BC．綈p：∃x0∉A,2x0∈BD．綈p：∃x0∈A,2x0∉B考点全称命题的否定题点全称命题的否定答案 D解析 命题p ：∀x ∈A,2x ∈B 是一个全称命题，其命题的否定綈p 应为∃x 0∈A,2x 0∉B ，选D.4．对下列命题的否定说法错误的是( )A ．p ：能被2整除的数是偶数；綈p ：存在一个能被2整除的数不是偶数B ．p ：有些矩形是正方形；綈p ：所有的矩形都不是正方形C ．p ：有的三角形为正三角形；綈p ：所有的三角形不都是正三角形D ．p ：∃n 0∈N,2n 0≤100；綈p ：∀n ∈N,2n >100.考点 存在量词的否定题点 含存在量词的命题的否定答案 C解析 “有的三角形为正三角形”为特称命题，其否定为全称命题：“所有的三角形都不是正三角形”，故选项C 错误．5．已知命题p ：∃x 0∈R ，使tan x 0＝1，命题q ：x 2－3x ＋2<0的解集是{x |1<x <2}，下列结论：①命题“p ∧q ”是真命题；②命题“p ∧(綈q )”是假命题；③命题“(綈p )∨q ”是真命题；④命题“(綈p )∨(綈q )”是假命题，其中正确的是( )A ．①②③④B ．①②④C ．①③④D ．②③考点 存在量词的否定题点 含一个量词的命题真假判断答案 A解析 当x ＝π4时，tan x ＝1， ∴命题p 为真命题．由x 2－3x ＋2<0得1<x <2，∴命题q 为真命题，∴p ∧q 为真，p ∧(綈q )为假，(綈p )∨q 为真，(綈p )∨(綈q )为假．6．已知p ：∀x ∈R ，ax 2＋2x ＋3>0，如果綈p 是真命题，那么a 的取值范围是( )A ．a <13B ．0<a ≤13C ．a ≤13D ．a ≥13 考点 含有一个量词的命题题点 由含有一个量词的命题的真假求参数的取值范围答案 C解析 綈p ：∃x 0∈R ，ax 20＋2x 0＋3≤0，显然当a ＝0时，满足题意；当a >0时，由Δ≥0，得0<a ≤13； 当a <0时，满足题意．所以a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，13. 7．已知命题p ：∃x 0∈R ，cos x 0≥a ，下列a 的取值能使“綈p ”是真命题的是( )A ．－1B ．0C ．1D ．2考点 存在量词的否定题点 含一个量词的命题真假判断答案 D解析 綈p ：∀x ∈R ，cos x <a 是真命题，则a >1.8．已知命题p ：∃x 0∈R ，x 20＋1<2x 0，命题q ：若mx 2－mx －1<0恒成立，则－4<m ≤0，那么( )A ．“綈p ”是假命题B ．“綈q ”是真命题C ．“p ∧q ”为真命题D ．“p ∨q ”为真命题考点 存在量词的否定题点 含一个量词的命题真假判断答案 D解析 对于命题p ：x 20＋1－2x 0＝(x 0－1)2≥0， 即对任意的x ∈R ，都有x 2＋1≥2x ，因此命题p 是假命题．对于命题q ，若mx 2－mx －1<0恒成立，则当m ＝0时，－1<0恒成立；当m ≠0时，由mx 2－mx －1<0恒成立，得⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝m 2＋4m <0，即－4<m<0.故－4<m≤0，故命题q是真命题．因此，“綈p”是真命题，“綈q”是假命题，“p∧q”是假命题，“p∨q”是真命题，故选D.二、填空题9．命题“某些平行四边形是矩形”的否定是________．考点存在量词的否定题点含存在量词的命题的否定答案每一个平行四边形都不是矩形10．命题“∃x0∈(0，＋∞)，x0＋4x0<4”的否定是________命题．(填“真”或“假”) 考点存在量词的否定题点含一个量词的命题真假判断答案真解析命题“∃x0∈(0，＋∞)，x0＋4x0<4”的否定是“∀x∈(0，＋∞)，x＋4x≥4”，根据基本不等式得此命题正确．11．由命题“存在x0∈R，使e|x0－1|－m≤0”是假命题，得m的取值范围是(－∞，a)，则实数a的值是________．考点存在量词的否定题点由含量词的命题的真假求参数的范围答案 1解析其否定为：∀x∈R，使e|x－1|－m>0，且为真命题，即m<e|x－1|，只需m<(e|x－1|)min＝1.故a＝1.三、解答题12．判断下列命题是全称命题还是特称命题，并写出它们的否定．(1)p：对任意的x∈R，cos x≤1都成立；(2)q：∃x0∈R，x20＋1>3x0；(3)s：有些三角形是锐角三角形．考点存在量词的否定题点含一个量词的命题真假判断解(1)由于命题中含全称量词“任意”，所以是全称命题，因此其否定为特称命题，所以綈p：∃x0∈R，使cos x0>1成立．(2)由于“∃x 0∈R ”表示至少存在实数中的一个x 0，即命题中含有存在量词“至少存在一个”，为特称命题，因此其否定为：綈q ：对任意一个x ，都有x 2＋1≤3x ，即∀x ∈R ，x 2＋1≤3x .(3)为特称命题，把存在量词改为全称量词，并把结论否定，故綈s ：所有的三角形都不是锐角三角形．13．已知p ：∀a ∈(0，b ](b ∈R 且b >0)，函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫x a ＋π3的周期不大于4π.(1)写出綈p ；(2)当綈p 是假命题时，求实数b 的最大值．考点 含有一个量词的命题题点 由含有一个量词的命题的真假求参数的取值范围解 (1) 綈p ：∃a 0∈(0，b ](b ∈R 且b >0)，函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫x a 0＋π3的周期大于4π.(2)由于綈p 是假命题，所以p 是真命题，所以∀a ∈(0，b ]，2π1a≤4π恒成立， 解得a ≤2，所以0<b ≤2，所以实数b 的最大值是2.四、探究与拓展14．若命题“∃x 0∈R ，使得sin x 0cos x 0>m ”是真命题，则m 的值可以是( )A ．－13B ．1 C.32 D.23考点 存在量词的否定题点 由含量词的命题的真假求参数的范围答案 A解析 sin x cos x ＝12sin 2x ∈⎣⎡⎦⎤－12，12， ∵命题“∃x 0∈R ，使得sin x 0cos x 0>m ”是真命题，∴m <12，故当m ＝－13时，满足条件，故选A. 15．已知命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋2x ＋1≠0，q ：∃x 0∈R ，ax 20＋ax 0＋1≤0.若(綈p )∧(綈q )为真命题，求实数a 的取值范围．考点 存在量词的否定题点 由含量词的命题的真假求参数的范围解 因为(綈p )∧(綈q )为真命题，所以綈p 与綈q 都是真命题，从而p 与q 都是假命题．所以“关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0有解”与“ax 2＋ax ＋1>0对一切x ∈R 恒成立”都是真命题．由关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0有解，得a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，Δ＝4－4a ≥0，即a ＝0或a ≤1且a ≠0， 所以a ≤1.由ax 2＋ax ＋1>0对一切x ∈R 恒成立，得a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a <0，即a ＝0或0<a <4， 所以0≤a <4.由⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤1，0≤a <4得0≤a ≤1，故实数a 的取值范围是[0,1]．。

1.4.3含有一个量词的命题的否定【教学内容分析】“含有一个量词的命题的否定”选自数学人教A版选修2-1第一章第四节的内容，它包括两块内容：一是含有一个全称量词的命题的否定，二是含有一个存在量词的命题的否定。

本节课是学生在老师的带领下，通过探究理解含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，并且会正确地对含有一个量词的命题进行否定。

在教学中使学生体会从具体到一般的认知过程,培养学生抽象、概括的能力,通过学生的合作探究,培养培养他们的良好的思维品质。

【学情分析】本节内容是数学选修2-1第一章的最后一节内容,学习对象为高二年级学生，他们在前面已经学习了全称量词与存在量词的定义，以及否命题和一般命题的否定。

所以本节课在此基础上，也是学生对命题的否定的再认识，学生能够知道含有一个量词的命题的否定方法和前面学习的一般命题的否定方法有部分区别。

同时学好本节课也是为了让学生对否命题与命题的否定能够区分开。

【教学目标】1．知识与技能目标：理解全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题；2．过程与方法目标：通过探究实例，能够归纳出含一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律；3．情感态度价值观：通过本节课的学习，培养学生的辨析能力以及良好的思维品质。

【教学重难点】重点：理解全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题；难点：正确地对含有一个量词的命题进行否定。

【设计思路】本节课是针对于高二年级的教学内容，“含有一个量词的命题的否定”即是含有全称量词或者存在量词的命题的否定。

学生通过探究实例，老师进行引导归纳出全称命题的否定变成了特称命题，在这一过程当中，量词进行改变，条件不变，结论进行否定。

其次学生通过类比全称命题的否定是特称命题，自行归纳得出特称命题的否定是全称命题，在这一过程当中，还是量词进行改变，条件不变，结论否定。

所以通过对比形式变化，可以得出：含有一个量词的命题的否定即是：量词改变，结论否定。

1．4.3含有一个量词的命题的否定学习目标 1.理解含有一个量词的命题的否定的意义.2.掌握对全称命题与特称命题否定的方法．知识点一全称命题的否定全称命题p 綈p 结论∀x∈M，p(x)∃x0∈M，綈p(x0)全称命题的否定是特称命题知识点二特称命题的否定特称命题p 綈p 结论∃x0∈M，p(x0)∀x∈M，綈p(x)特称命题的否定是全称命题1．命题綈p的否定为p.(√)2．∃x0∈M，p(x0)与∀x∈M，綈p(x)的真假性相反．(√)3．从特称命题的否定看，是对“量词”和“p(x)”同时否定．(×)4．用自然语言描述的全称命题的否定形式是唯一的．(×)一、全称命题的否定例1写出下列全称命题的否定：(1)任何一个平行四边形的对边都平行；(2)数列：1,2,3,4,5中的每一项都是偶数；(3)∀a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解．解(1)其否定：存在一个平行四边形，它的对边不都平行．(2)其否定：数列：1,2,3,4,5中至少有一项不是偶数．(3)其否定：∃a ，b ∈R ，使方程ax ＝b 的解不唯一或不存在．反思感悟 全称命题的否定是特称命题，对省略全称量词的全称命题可补上量词后进行否定． 跟踪训练1 写出下列全称命题的否定： (1)p ：所有自然数的平方都是正数； (2)p ：任何实数x 都是方程5x －12＝0的根； (3)p ：对任意实数x ，x 2＋1≥0.解 (1)綈p ：有些自然数的平方不是正数． (2)綈p ：存在实数x 0不是方程5x 0－12＝0的根． (3)綈p ：存在实数x 0，使得x 20＋1<0. 二、特称命题的否定例2 写出下列特称命题的否定，并判断其真假． (1)p ：∃x 0∈R,2x 0＋1≥0； (2)q ：∃x 0∈R ，x 20－x 0＋14<0； (3)r ：有些分数不是有理数．解 (1)綈p ：∀x ∈R ,2x ＋1<0，綈p 为假命题． (2)綈q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋14≥0.∵x 2－x ＋14＝⎝⎛⎭⎫x －122≥0， ∴綈q 是真命题．(3)綈r ：一切分数都是有理数，綈r 是真命题．反思感悟 特称命题的否定是全称命题，写命题的否定时要分别改变其中的量词和判断词．即p ：∃x 0∈M ，p (x 0)成立⇒綈p ：∀x ∈M ，綈p (x )成立． 跟踪训练2 写出下列特称命题的否定，并判断其否定的真假． (1)有些实数的绝对值是正数； (2)某些平行四边形是菱形； (3)∃x 0，y 0∈Z ，使得2x 0＋y 0＝3.解 (1)命题的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，即“所有实数的绝对值都不是正数”．它为假命题．(2)命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，即“每一个平行四边形都不是菱形”．由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题．(3)命题的否定是“∀x，y∈Z，2x＋y≠3”．当x＝0，y＝3时，2x＋y＝3，因此命题的否定是假命题．三、全称命题、特称命题的应用例3已知命题“对于任意x∈R，x2＋ax＋1≥0”是假命题，求实数a的取值范围．解因为全称命题“对于任意x∈R，x2＋ax＋1≥0”的否定形式为：“存在x0∈R，x20＋ax0＋1<0”．由“命题真，其否定假；命题假，其否定真”可知，这个否定形式的命题是真命题．由于函数f (x)＝x2＋ax＋1是开口向上的抛物线，借助二次函数的图象(图略)易知，Δ＝a2－4>0，解得a<－2或a>2.所以实数a的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)．反思感悟若全称命题为假命题，通常转化为其否定形式——特称命题为真命题解决，同理，若特称命题为假命题，通常转化为其否定形式——全称命题为真命题解决．跟踪训练3已知函数f (x)＝x2＋ax－2.(1)∀x∈[1，＋∞)，都有f (x)>0，求实数a的取值范围；(2)∃x0∈(1，＋∞)，f (x0)<0，求实数a的取值范围．解(1)f (x)>0⇔x2＋ax－2>0，－x<a(x∈[1，＋∞))，又x≥1，所以2x设g(x)＝2－x(x∈[1，＋∞))，x依题意得g(x)<a在[1，＋∞)上恒成立．又g(x)在[1，＋∞)上是减函数，－1＝1.所以g(x)max＝g(1)＝21因此a>1，故实数a的取值范围是(1，＋∞)．(2)f (x)<0⇔x2＋ax－2<0.－x>a，x∈(1，＋∞)，又x>1，所以2x－x(x∈(1，＋∞))，设h(x)＝2x依题意得h (x )>a 在(1，＋∞)上有解，由h (x )在(1，＋∞)上是减函数，结合图象(图略)， 可知h (x )<1，因此a <1，故实数a 的取值范围是(－∞，1)．1．命题“∀x ∈R ，|x |＋x 2≥0”的否定是( ) A ．∀x ∈R ，|x |＋x 2<0 B ．∀x ∈R ，|x |＋x 2≤0 C ．∃x 0∈R ，|x 0|＋x 20<0 D ．∃x 0∈R ，|x 0|＋x 20≥0 答案 C2．∃m 0，n 0∈Z ，使得m 20＝n 20＋2 019的否定是( )A ．∀m ，n ∈Z ，使得m 2＝n 2＋2 019B ．∃m 0，n 0∈Z ，使得m 20≠n 20＋2 019C ．∀m ，n ∈Z ，使得m 2≠n 2＋2 019D ．以上都不对 答案 C3．命题“存在一个三角形，内角和不等于180°”的否定为( ) A ．存在一个三角形，内角和等于180° B ．所有三角形，内角和都等于180° C ．所有三角形，内角和都不等于180° D ．很多三角形，内角和不等于180° 答案 B4．已知命题p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1<0，命题q ：∃x 0∈R ，3sin x 0＋4cos x 0＝5，则p ∨q ，p ∧q ，綈p ，綈q 中是真命题的有________． 答案 p ∨q ，綈p解析 ∵x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34≥34， ∴p 是假命题．∵3sin x ＋4cos x ＝5sin(x ＋φ)，其中cos φ＝35，sin φ＝45.故q是真命题．因此p∨q是真命题，綈p是真命题．5．设命题p：∀x∈R，x2＋ax＋2<0，若綈p为真，则实数a的取值范围是________．答案(－∞，＋∞)解析綈p：∃x0∈R，x20＋ax0＋2≥0为真命题，显然a∈R.1．知识清单：(1)全称命题的否定．(2)特称命题的否定．2．方法归纳：定义法．3．常见误区：方法不清．1．命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是()A．存在x0∈R，x30－x20＋1≤0B．存在x0∈R，x30－x20＋1≥0C．存在x0∈R，x30－x20＋1>0D．对任意的x∈R，x3－x2＋1>0答案 C解析由题意知，原命题为全称命题，故其否定为特称命题，所以否定为“存在x0∈R，x30－x20＋1>0”．故选C.2．命题“所有实数的平方都是正数”的否定为()A．所有实数的平方都不是正数B．有的实数的平方是正数C．至少有一个实数的平方不是正数D．至少有一个实数的平方是正数答案 C3．命题“∃x 0∈(0，＋∞)，02x<x 20”的否定为( ) A ．∀x ∈(0，＋∞)，2x <x 2 B ．∀x ∈(0，＋∞)，2x ≥x 2 C ．∀x ∈(0，＋∞)，2x >x 2 D ．∃x 0∈(0，＋∞)，02x>x 20 答案 B4．下列否定不正确的是( )A ．“∀x ∈R ，x 2>0”的否定是“∃x 0∈R ，x 20≤0”B ．“∃x 0∈R ，x 20<0”的否定是“∀x ∈R ，x 2<0”C ．“∀θ∈R ，sin θ≤1”的否定是“∃θ0∈R ，sin θ0>1”D ．“∃θ0∈R ，sin θ0＋cos θ0<1”的否定是“∀θ∈R ，sin θ＋cos θ≥1” 答案 B解析 特称命题的否定是全称命题，将存在改为任意，并将结论加以否定，因此命题“∃x 0∈R ，x 20<0”的否定形式是“∀x ∈R ，x 2≥0”．5．已知命题p ：“∀x ∈R ，e x >0”，命题q ：“∃x 0∈R ，x 0－2>x 20”，则( ) A ．命题p ∨q 是假命题 B ．命题p ∧q 是真命题 C ．命题p ∧(綈q )是假命题 D ．命题p ∨(綈q )是真命题 答案 D解析 命题p ：“∀x ∈R ，e x >0”是真命题， 命题q ：“∃x 0∈R ，x 0－2>x 20”， 即x 20－x 0＋2<0， 即⎝⎛⎭⎫x 0－122＋74<0， 显然是假命题，所以p ∨q 真，p ∧q 假，p ∧(綈q )真，p ∨(綈q )真．故选D. 6．命题“∀x >0，x ＋1x ≥1”的否定为______________．答案 ∃x 0>0，x 0＋1x 0<17．命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是_______．答案 ∀x ∈R ，|x |≤0解析 由词语“有些”知原命题为特称命题，故其否定为全称命题，而命题的否定只否定结论．8．已知p ：∀x ∈R ，ax 2＋2x ＋3>0，如果綈p 是真命题，那么a 的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎦⎤－∞，13 解析 易知綈p ：∃x 0∈R ，ax 20＋2x 0＋3≤0， 显然当a ＝0时，满足题意； 当a >0时，由Δ≥0，得0<a ≤13；当a <0时，满足题意． 所以a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，13. 9．判断下列命题的真假，并写出它们的否定： (1)∀α，β∈R ，sin(α＋β)≠sin α＋sin β； (2)∃x 0，y 0∈Z,3x 0－4y 0＝20；(3)在实数范围内，有些一元二次方程无解．解 (1)当α＝β＝0时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β，故命题为假命题． 命题的否定为：∃α0，β0∈R ，sin(α0＋β0)＝sin α0＋sin β0. (2)真命题．命题的否定为：∀x ，y ∈Z ,3x －4y ≠20.(3)真命题．命题的否定为：在实数范围内，所有的一元二次方程都有解．10．已知p ：∀a ∈(0，b ](b ∈R 且b >0)，函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫x a ＋π3的最小正周期不大于4π. (1)写出綈p ；(2)当綈p 是假命题时，求实数b 的最大值． 解 (1)綈p ：∃a 0∈(0，b ](b ∈R 且b >0)， 函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫x a 0＋π3的最小正周期大于4π. (2)由于綈p 是假命题，所以p 是真命题， 所以∀a ∈(0，b ]，2π1a≤4π恒成立，解得a≤2，所以0<b≤2，所以实数b的最大值是2.11．命题“∀n∈N*，f (n)∈N*且f (n)≤n”的否定形式是()A．∀n∈N*，f (n)∉N*且f (n)>nB．∀n∈N*，f (n)∉N*或f (n)>nC．∃n0∈N*，f (n0)∉N*且f (n0)>n0D．∃n0∈N*，f (n0)∉N*或f (n0)>n0答案 D解析“f (n)∈N*且f (n)≤n”的否定为“f (n)∉N*或f (n)>n”，全称命题的否定为特称命题，故选D.12．已知命题p：∀x∈R,2x<3x；命题q：∃x0∈R，x30＝1－x20.则下列命题为真命题的是() A．p∧q B．(綈p)∧qC．p∧(綈q) D．(綈p)∧(綈q)答案 B解析由20＝30知，p为假命题；令h(x)＝x3＋x2－1，则h(0)＝－1<0，h(1)＝1>0，∴方程x3＋x2－1＝0在(0,1)内有解，∴q为真命题，∴p∧q，p∧(綈q)，(綈p)∧(綈q)均为假命题，(綈p)∧q为真命题，故选B.13．若∃x0∈R，x20－ax0＋1≤0为假命题，则a的取值范围为________．答案(－2,2)解析∃x0∈R，x20－ax0＋1≤0为假命题，即对∀x∈R，x2－ax＋1>0为真命题．需Δ＝(－a)2－4<0，即a2－4<0，解得－2<a<2，故a的取值范围为(－2,2)．14．已知命题p：y＝(3－c)x在R上为减函数，命题q：∀x∈R，x2＋2c－3>0.若綈(p∧q)为假命题，则实数c的取值范围为________．答案 (2,3)解析 由题意可知p ∧q 为真命题，所以p ，q 都是真命题，所以⎩⎪⎨⎪⎧0<3－c <1，2c －3>0，解得2<c <3，故实数c 的取值范围为(2,3)．15．已知函数f (x )＝x －1，g (x )＝2x ＋a ，若∀x 1∈⎣⎡⎦⎤12，1，∃x 2∈[2,3]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－∞，－3]解析 由题意知f (x )min ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤12，1≥g (x )min (x ∈[2,3])， 因为f (x )在⎣⎡⎦⎤12，1上为减函数，g (x )在[2,3]上为增函数， 所以f (x )min ＝f (1)＝1，g (x )min ＝g (2)＝4＋a ， 所以1≥4＋a ，即a ≤－3.16．已知m ∈R ，命题p ：对任意x ∈[0,1]，不等式2x －2≥m 2－3m 恒成立；命题q ：存在x ∈ [－1,1]，使得m ≤ax 成立．(1)若p 为真命题，求m 的取值范围；(2)当a ＝1时，p 且q 为假命题，p 或q 为真命题，求m 的取值范围． 解 (1)对任意x ∈[0,1]， 不等式2x －2≥m 2－3m 恒成立， 令f (x )＝2x －2(x ∈[0,1])， 则f (x )min ≥m 2－3m ，当x ∈[0,1]时，f (x )min ＝f (0)＝－2， 即m 2－3m ≤－2，解得1≤m ≤2.因此，当p 为真命题时，m 的取值范围是[1,2]． (2)当a ＝1时，若q 为真命题，则存在x ∈[－1,1]，使得m ≤x 成立，所以m ≤1. 因此，当命题q 为真时，m ≤1.因为p 且q 为假命题，p 或q 为真命题， 所以p ，q 中一个是真命题，一个是假命题．当p 真q 假时，由⎩⎪⎨⎪⎧1≤m ≤2，m >1，得1<m ≤2；当p 假q 真时，由⎩⎪⎨⎪⎧m <1或m >2，m ≤1，得m <1.综上所述，m 的取值范围为(－∞，1)∪(1,2]．。

1．4.3 含有一个量词的命题的否定1．含有一个量词的全称命题的否定全称命题p綈p结论∀x∈M，p（x)错误!∃x0∈M,綈p（x0)全称命题的否定是错误!特称命题2．含有一个量词的特称命题的否定特称命题p綈p结论∃x0∈M，p （x0）错误!∀x∈M,綈p（x)特称命题的否定是错误!全称命题1．判一判(正确的打“√",错误的打“×”)（1）∃x0∈M，p（x0)与∀x∈M,綈p(x)的真假性相反．( ）(2)从特称命题的否定看，是对“量词"和“p(x）”同时否定．( )（3）命题“非负数的平方是正数”的否定是“非负数的平方不是正数”．（)答案（1)√（2)×（3）×2．做一做（请把正确的答案写在横线上）(1）“至多有一个”的否定为_______________________________________．(2)已知命题p：∀x∈R，sin x≤1,则綈p是_____________________________．（3)命题“∃x0∈Q，x20＝5”的否定是________（填“真”或“假”）命题．(4)已知命题p：∀x〉0,总有（x＋1)e x〉1,则綈p为________．答案（1)至少有两个（2）∃x0∈R，sin x0>1 (3）真(4)∃x0〉0，使得（x0＋1)e x0≤1探究1 全称命题的否定例1 判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定．（1）p：∀x∈错误!,sin x＋错误!≥2；(2）p：∀m∈R,函数f(x)＝x2＋mx是偶函数；(3)p:每个三角形至少有两个锐角．[解］(1）p是真命题，由x∈错误!得sin x∈(0,1），sin x＋错误!〉2错误!＝2,故p为真命题．綈p：∃x0∈错误!，sin x0＋错误!〈2。

(2）p是假命题,当m＝0时，f（x)才是偶函数．綈p：∃m0∈R，函数f（x)＝x2＋m0x不是偶函数．(3）p是真命题．綈p：有的三角形至多有一个锐角．拓展提升1。

1.4.3 含有一个量词的命题的否定教学目标：利用日常生活中的例子和数学的命题介绍对量词命题的否定，使学生进一步理解全称量词、存在量词的作用.教学重点：全称量词与存在量词命题间的转化； 教学难点：隐蔽性否定命题的确定； 课 型：新授课 教学手段：多媒体 教学过程：一、创设情境数学命题中出现“全部”、“所有”、“一切”、“任何”、“任意”、“每一个”等与“存在着”、“有”、“有些”、“某个”、“至少有一个”等的词语，在逻辑中分别称为全称量词与存在性量词（用符号分别记为“ ∀”与“∃”来表示）；由这样的量词构成的命题分别称为全称命题与存在性命题。

在全称命题与存在性命题的逻辑关系中，,p q p q ∨∧都容易判断，但它们的否定形式是我们困惑的症结所在。

二、活动尝试问题1：指出下列命题的形式，写出下列命题的否定。

（1）所有的矩形都是平行四边形； （2）每一个素数都是奇数； （3）∀x ∈R ，x 2-2x+1≥0分析：（1）∀∈x M,p(x)，否定：存在一个矩形不是平行四边形；∃∈⌝x M,p(x)（2）∀∈x M,p(x)，否定：存在一个素数不是奇数；∃∈⌝x M,p(x) （3）∀∈x M,p(x)，否定：∃x ∈R ，x 2-2x+1<0；∃∈⌝x M,p(x) 这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？结论：从命题形式上看，这三个全称命题的否定都变成了存在性命题. 三、师生探究问题2：写出命题的否定 （1）p ：∃ x ∈R ，x 2＋2x +2≤0； （2）p ：有的三角形是等边三角形； （3）p ：有些函数没有反函数；（4）p ：存在一个四边形，它的对角线互相垂直且平分； 分析：（1）∀ x ∈R ，x 2＋2x+2>0；（2）任何三角形都不是等边三角形； （3）任何函数都有反函数；（4）对于所有的四边形，它的对角线不可能互相垂直或平分； 从集合的运算观点剖析：()U UU A B A B = 痧 ,()U UU A B A B =痧四、数学理论1.全称命题、存在性命题的否定一般地，全称命题P ：∀ x ∈M,有P （x ）成立；其否定命题┓P 为：∃x ∈M,使P （x ）不成立。