1.4.2 含有一个量词的命题的否定

1.4.3含有一个量词的命题的否定【教学内容分析】“含有一个量词的命题的否定”选自数学人教A版选修2-1第一章第四节的内容，它包括两块内容：一是含有一个全称量词的命题的否定，二是含有一个存在量词的命题的否定。

本节课是学生在老师的带领下，通过探究理解含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，并且会正确地对含有一个量词的命题进行否定。

在教学中使学生体会从具体到一般的认知过程,培养学生抽象、概括的能力,通过学生的合作探究,培养培养他们的良好的思维品质。

【学情分析】本节内容是数学选修2-1第一章的最后一节内容,学习对象为高二年级学生，他们在前面已经学习了全称量词与存在量词的定义，以及否命题和一般命题的否定。

所以本节课在此基础上，也是学生对命题的否定的再认识，学生能够知道含有一个量词的命题的否定方法和前面学习的一般命题的否定方法有部分区别。

同时学好本节课也是为了让学生对否命题与命题的否定能够区分开。

【教学目标】1．知识与技能目标：理解全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题；2．过程与方法目标：通过探究实例，能够归纳出含一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律；3．情感态度价值观：通过本节课的学习，培养学生的辨析能力以及良好的思维品质。

【教学重难点】重点：理解全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题；难点：正确地对含有一个量词的命题进行否定。

【设计思路】本节课是针对于高二年级的教学内容，“含有一个量词的命题的否定”即是含有全称量词或者存在量词的命题的否定。

学生通过探究实例，老师进行引导归纳出全称命题的否定变成了特称命题，在这一过程当中，量词进行改变，条件不变，结论进行否定。

其次学生通过类比全称命题的否定是特称命题，自行归纳得出特称命题的否定是全称命题，在这一过程当中，还是量词进行改变，条件不变，结论否定。

所以通过对比形式变化，可以得出：含有一个量词的命题的否定即是：量词改变，结论否定。

│ 考点类析
[小结] (1)对任意的实数 x，a>f(x)恒成立，只需 a>f(x)max； 若存在一个实数 x0 ，使 a>f(x0 )成立，只需 a>f(x)min.(2)关于 恒成立的问题的求解方法：一是转化为二次函数求解；二是 利用分离参数法求解．
__∀__x_∈__M__，__￢_p__(_x_) ___________.
│ 预习探究
一些常见的量词的否定
词语 词语的 否定
词语
词语的 否定
是
不是
至少有 一个 一个 也没有
一定是
不一定是
至少 有n个 至多有 n－1 个
都是 大于
小于 且

不都是
小于或 等于
大于或 等于
或
至多 所有 x 有一个 成立
│ 考点类析
例 2 写出下列特称命题的否定，并判断其真假． (1)p：∃x0∈R，2x0＋1≥0； (2)q：∃x0∈R，x20－x0＋14<0； (3)r：有些分数不是有理数． 解：(1) ￢p：∀x∈R，2x＋1<0，￢p 为假命题． (2) ￢p：∀x∈R，x2－x＋14≥0. ∵x2－x＋14＝x－122≥0，∴￢p 是真命题． (3) ￢r：一切分数都是有理数，￢r 是真命题．
含有一个量词的命题的否定
► 知识点一 含有一个量词的全称命题的否定
对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：
全称命题 p：∀x∈M，p(x)，它的否定￢p： _____∃__x0_∈__M__，__￢__p_(_x_0_) ______.
► 知识点二 含有一个量词的特称命题的否定 对于含有一个量词的特称命题的否定，有下面的结论： 特称命题 p：∃x0∈M，p(x0)，它的否定￢p：

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(2)用全称量词或存在量词表示下列语句： ①有理数都能写成分数形式； ②方程 x2＋2x＋8＝0 有实数解； ③有一个实数乘以任意一个实数都等于 0.
【解】 ①任意一个有理数都能写成分数形式. ②存在实数 x，使方程 x2＋2x＋8＝0 成立. ③存在一个实数 x，它乘以任意一个实数都等于 0.上一页返回首页第二十二页，共三十八页。
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【自主解答】 (1)命题的否定：“存在一个平行四边形的对边不都平行”. 由平行四边形的定义知，这是假命题.
(2)命题的否定：“存在一个非负数的平方不是正数”.因为 02＝0，不是正 数，所以该命题是真命题.
(3)命题的否定：“所有四边形都有外接圆”.因为只有对角互补的四边形才 有外接圆，所以原命题为真，所以命题的否定为假命题.
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全XX称X (quán chēnɡ)命题与特称命题的真假 判断
指出下列命题是全称命题还是特称命题，并判断它们的真假. (1)∀x∈N,2x＋1 是奇数； (2)存在一个 x0∈R，使x0－1 1＝0； (3)存在一组 m，n 的值，使 m－n＝1； (4)至少有一个集合 A，满足 A {1,2,3}.
(4)命题的否定：“∀x，y∈Z，都有 2x＋y≠3”. ∵当 x＝0，y＝3 时， 2x＋y＝3， ∴原命题为真，命题的否定为假命题.
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对含有一个量词的命题的否定要注意以下问题 1.确定命题类型，是全称命题还是特称命题. 2.改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词改为恰当的全 称量词. 3.否定结论：原命题中的 “是”“有”“存在 ”“成立”等改为“不 是”“没有”“不存在”“不成立”等. 4.无量词的全称命题要先补回量词再否定.

(3)命题的否定：“∀x，y∈Z， 2x＋y≠3”． ∵当 x＝0，y＝3 时， 2x＋y＝3， 因此命题的否定是假命题．
小结 特称命题的否定是全称命题， 写命题的否定时要分别 改变其中的量词和判断词．
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理论迁移
例 3 (1)已知命题 p：“对∀x∈R，∃m∈R，使 4x＋2xm＋ 1＝0”．若命题 p 是假命题，则实数 m 的取值范围是 ______________． (2)已知命题 p：关于 x 的方程 x2＋2x＋5＝k 有解， p 是真 命题，则实数 k 的取值范围是____________．
特称命题的否定
例 2 写出下列特称命题的否定，并判断其否定的真假： (1)有些实数的绝对值是正数； (2)某些平行四边形是菱形； (3)∃x，y∈Z，使得 2x＋y＝3.
解
(1)命题的否定：“不存在一个实数，它的绝对值是正
数”，也即“所有实数的绝对值都不是正数”．由于|－2| ＝2，因此命题的否定为假命题．
(2)不等式m－f(x0)>0可化为m>f(x0)， 若存在一个实数x0，使不等式m>f(x0)成立，
只需m>f(x)min.又f(x)＝(x－1)2＋4，
∴f(x)min＝4，∴m>4. ∴实数m的取值范围是(4，＋∞).
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达标检测
导学案 20 页 练一练
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归纳延伸
1．全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题． 2．写含一个量词的命题的否定时，要改变量词和判断词， 并结合命题的实际意义进行表述． 3．根据命题 p 与命题 p 的真假性相反，和方程、不等式结 合，可以解决一些参数范围问题.
(2)命题 p 为假，∴方程 x2＋2x＋5＝k 无解， 又 x2＋2x＋5＝(x＋1)2＋4≥4，

1.4.2 含一个量词的命题的否定教学目标分析：知识目标：（1）掌握对含有一个量词的命题进行否定的方法，要正确掌握量词否定的各种形式；（2）明确全称命题的否定是存在命题，存在命题的否定是全称命题.过程与方法：使学生体会从具体到一般的认知过程，培养学生抽象、概括的能力．情感目标：通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育．重难点分析：重点：全称量词与存在量词命题间的转化；难点：隐蔽性否定命题的确定；互动探究：一、课堂探究：1、复习引入：（1）判断下列命题是否为全称命题：①有一个实数α，tan α无意义；②任何一条直线都有斜率；（2）判断以下命题的真假： ①21,04x R x x ∀∈-+≥；②2,3x Q x ∃∈=数学命题中出现“全部”、“所有”、“一切”、“任何”、“任意”、“每一个”等与“存在着”、“有”、“有些”、“某个”、“至少有一个”等的词语，在逻辑中分别称为全称量词与存在性量词（用符号分别记为“ ∀”与“∃”来表示）；由这样的量词构成的命题分别称为全称命题与特称命题。

在全称命题与特称命题的逻辑关系中，,p q p q ∨∧都容易判断，但它们的否定形式是我们困惑的症结所在。

探究一、写出下列命题的否定：（1）所有的矩形都是平行四边形；（2）每一个素数都是奇数；（3）2,210x R x x ∀∈-+≥.这些命题和它们的否定在形式上有什么变化?2、含有一个量词的全称命题的否定：一般地，对于一个含有一个量词的全称命题的否定有下面的结论：全称命题p ：,()x M p x ∀∈，它的否定p ⌝：00,()x M p x ∃∈⌝说明：全称命题的否定是特称命题.探究二、写出下列命题的否定：（1）有些实数的绝对值是正数；（2）某些平行四边形是菱形；（3）200,10x R x ∃∈+<. 这些命题和它们的否定在形式上有什么变化?3、含有一个量词的特称命题的否定：一般地，对于一个含有一个量词的特称命题的否定有下面的结论：特称命题p ：00,()x M p x ∃∈，它的否定p ⌝：,()x M p x ∀∈⌝.说明：特称命题的否定是全称命题.4、关键量词的否定：（1）p ：所有能被3整除的数都是奇数；（2）p ：每一个平行四边形的四个顶点共圆；（3）p ：对任意x Z ∈，2x 的个位数字不等于3.（4）p ：所有的正方形都是矩形.变式：命题“对任意的32,10x R x x ∈-+≤”的否定是（ ）.A. 不存在32,10x R x x ∈-+≤B. 存在32,10x R x x ∈-+≤C. 存在32,10x R x x ∈-+>D. 对任意的32,10x R x x ∈-+>例2、写出下列特称命题的否定：（1）p ：2000,220x R x x ∃∈++≤； （2）p ：有的三角形是等边三角形；（3）p ：有一个素数含有三个正因数.（4）p ：至少有一个实数x ，使310x +=.变式：对下列命题的否定说法错误的是（ ）.A. p ：能被3整除的数是奇数；p ⌝：存在一个能被3整除的数不是奇数B. p ：每个四边形的四个顶点共圆；p ⌝：存在一个四边形的四个顶点不共圆C. p ：有的三角形为正三角形；p ⌝：所有的三角形不都是正三角形D. p ：2,220x R x x ∃∈++≤；p ⌝：2,220x R x x ∀∈++>小结：全称命题的否定变成特称命题.例3、命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是( )．A ．所有不能被2整除的整数都是偶数B ．所有能被2整除的整数都不是偶数C ．存在一个不能被2整除的整数是偶数D ．存在一个能被2整除的整数不是偶数答案：原命题是全称命题，则其否定是特称命题，故选D.变式：下列命题正确的个数是（ ）.①“在三角形ABC 中，若sin sin A B >，则A B >”的否命题是真命题；②命题:23p x y ≠≠或，命题:5q x y +≠，则p 是q 的必要不充分条件；③“32,10x R x x ∀∈-+≤”的否定是“32,10x R x x ∃∈-+>”.A.0B.1C.2D.3答案：D.二、课堂练习：教材第26页练习第1、2题1、写出下列命题的否定：（1）,n Z n Q ∀∈∈；（2）任意素数都是奇数；（3）每个指数函数都是单调函数.2、写出下列命题的否定：(1) 有些三角形是直角三角形；（2）有些梯形是等腰梯形；（3）存在一个实数，它的绝对值不是正数.反思：全称命题的否定变成特称命题.反思总结：1、 本节课你学到了哪些知识点？2、 本节课你学到了哪些思想方法？3、 本节课有哪些注意事项？课外作业：（一）教材第26页习题1.4 A 组第3题，B 组第1题1、写出下列命题的否定：(1)32,x N x x ∀∈>；(2) 所有可以被5整除的整数，末位数字都是0；(3) 2000,10x R x x ∃∈-+≤； (4) 存在一个四边形，它的对角线互相垂直.2、判断下列命题的真假，写出下列命题的否定：（1）每条直线在y 轴上都有截矩；（2）每个二次函数都与x 轴相交；（3）存在一个三角形，它的内角和小于180︒；（4）存在一个四边形没有外接圆.（二）补充3、命题“对任意的x R ∈，3210x x -+≤”的否定是（ ）A ．不存在x R ∈，3210x x -+≤B ．存在x R ∈，3210x x -+≤C ．存在x R ∈，3210x x -+>D ．对任意的x R ∈，3210x x -+>答案：C4、命题“若12<x ，则11<<-x ”的逆否命题是（ ）A ．若12≥x ，则1≥x 或1-≤x B.若11<<-x ，则12<xC.若1>x 或1-<x ，则12>xD.若1≥x 或1-≤x ，则12≥x答案:D5、已知命题:p x ∀∈R ，sin 1x ≤，则（ ）A.:p x R ⌝∃∈，sin 1x ≥B.:p x R ⌝∀∈，sin 1x ≥C.:p x R ⌝∃∈，sin 1x >D.:p x R ⌝∀∈，sin 1x >6、写出下列命题的否定：（1）若24x >，则2x >；（2）若0,m ≥则20x x m +-=有实数根；（3）可以被5整除的整数，末位是0；（4）被8整除的数能被4整除；（5）若一个四边形是正方形，则它的四条边相等.7、已知:,sin cos p x R x x m ⌝∃∈+≤为真命题，2:,10q x R x mx ∀∈++>为真命题，求实数m 的取值范围.2m ≤<.课后反思：。

1. 4.2含有一个量词的命题的否定课前预习学案一、预习目标（1） 归纳总结出含有一个量词的命题的含义与它们的否定在形式上的变化规律。

（2）根据全称量词和存在量词的含义，用简洁、自然的语言表叙含有一个量词的命题的否定二、预习内容1、明确命题的构成我们现在所涉及的命题一般由四部分组成：一是被判断对象；二是被判断对象的结果(或性质)；三是修饰被判断对象的量词，分为两类：一类是————，一般常用“一切”、“所有”、“每一个”、“任意一个”等词语表达，另一类是————，一般常用“有些”、“存在”、“至少有一个”等词语表达；四是“判断词”，是联系被判断对象与结果(或性质)的肯定词或否定词，肯定词常用“是”、“有”等表示，否定词常用“不是”、“没有”等表示．如命题“至少有一个质数不是奇数”中，“质数”为被判断对象，“奇数”为结果(或性质)，“至少有一个”为量词，“不是”为否定词．2﹑掌握常见的关键词(量词与判断词)的否定形式 正面词语 等于大于 小于 是 都是 能 否定词语正面词语 任意的 所有的 至多一个 至少一个 至多有n 个 至少有n 个 否定词语说明：写命题p 的否定形式，不能一概在关键词前加“不”，而要搞清一个命题研究的对象是个体还是全体，如果研究的对象是个体，只须将“是”改成“不是”，将“不是”改成“是”等即可.如果命题研究的对象不是一个个体，就不能简单地将“是”改在“不是”， 将“不是”改成“是”等，而是要分清命题是全称命题，还是特称命题.注：全称命题“,()x M P x ∀∈”的否定为特称命题“00,()x M P x ⌝∃∈”特称命题“00,()x M P x ∃∈”的否定为全称命题“,()x M P x ∀∈”三、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案一、学习目标1．通过生活和数学中的实例，理解对含有一个量词的命题的否定的意义；2．能正确地对含有一个量词的命题进行否定；3．进一步提高利用全称量词与存在量词准确、简洁地叙述数学内容的能力；4．培养对立统一的辩证思想二、学习过程探究一：1、全称命题的否定1．(2007年山东高考文理科)命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是（）A．不存在x∈R，x3－x2＋1≤0 B．存在x∈R，x3－x2＋1≤0C．存在x∈R，x3－x2＋1＞0 D．对任意的x∈R，x3－x2＋1＞0探究二：特称命题的否定3．(2007年海南省调研文理科)已知特称命题p：∃x∈R，2x＋1≤0，则命题P的否定是（）A．∃x∈R，2x＋1＞0B．∀x∈R，2x＋1＞0C．∃x∈R，2x＋1≥0D．∀x∈R，2x＋1≥0（三）反思总结1、书写命题的否定时一定要抓住决定命题性质的量词，从对量词的否定入手，书写命题的否定2．书写命题的否定时，一定要注重理解数学符号的意义3．由于全称量词的否定是存在量词，而存在量词的否定又是全称量词；因此，全称命题的否定一定是特称命题；特称命题的否定一定是全称命题．(四)当堂检测写出下列全称命题与特称的否定⑴p：所有能被3整除的整数都是奇数；⑵p：每一个四边形的四个顶点共圆；⑶p：对任意，的个位数字不等于3。

1．4.3含有一个量词的命题的否定整体设计教材分析本节内容重在让学生通过数学中的一些实例，探究并归纳出含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，并在教师引导下，让学生根据全称量词和存在量词的含义，用简洁、自然的语言表述含有一个量词的命题的否定，通过例题和习题的教学，进一步使学生能够根据含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，正确地对含有一个量词的命题进行否定．课时分配1课时教学目标知识与技能1．通过探究数学中的一些实例，使学生归纳总结出含有一个量词的命题与它们的否定命题在形式上的变化规律．2．通过例题和习题的教学，使学生能够根据含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，正确地对含有一个量词的命题进行否定．过程与方法使学生体会从具体到一般的认知过程，培养学生抽象、概括的能力．情感、态度与价值观在学习新知的过程中，培养学生的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质．重点难点教学重点：通过探究，了解含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，会正确地对含有一个量词的命题进行否定．教学难点：正确地对含有一个量词的命题进行否定．教学过程引入新课提出问题回顾我们在1.3.3中学习过的逻辑联结词“非”的有关知识，对给定的命题p，如何得到命题p 的否定(即非p )，它们的真假性之间有何联系？活动设计：学生自由发言．教师用多媒体展示常用的一些词语和它的否定词语对照表，并完成表格．活动结果：对命题“p”全盘否定后得到命题“非p”，而“非p”的真假与命题“p”的真假相反．设计意图：复习逻辑联接词“非”的相关知识，并引出含一个量词的命题的否定．探究新知提出问题1：判断下列命题是全称命题还是特称命题，你能写出它们的否定命题吗？(1)所有的矩形都是平行四边形；(2)每一个素数都是奇数；(3)x∈R，x2－2x＋1≥0；(4)有些实数的绝对值是正数；(5)某些平行四边形是菱形；(6)x∈R，x2＋1＜0.活动设计：用时10分钟，学生独立思考，小组内部讨论，最后把以上命题的否定命题形成书面形式，由小组代表答出讨论结果，由其他同学修正补充．活动成果：前三个命题都是全称命题，即具有形式“x∈M，p(x)”．其中命题(1)的否定是“某些矩形不是平行四边形”，也就是说，存在一个矩形不是平行四边形；命题(2)的否定是“某些素数不是奇数”，也就是说，存在一个素数不是奇数；命题(3)的否定是“并非x∈R，x2－2x＋1≥0”，也就是说，x∈R，x2－2x＋1＜0；后三个命题都是特称命题，即具有形式“x∈M，p(x)”；其中命题(4)的否定是“所有实数的绝对值都不是正数”；命题(5)的否定是“所有的平行四边形都不是菱形”；命题(6)的否定是“不存在x∈R，x2＋1＜0”，也就是说，x∈R，x2＋1≥0.提出问题2：你能发现这些命题和它们的否定命题在形式上发生了什么变化吗？活动设计：在学生独立思考的基础上，自由发言，教师对问题进行补充、归纳、总结．活动结果：从命题的形式上看，前三个全称命题的否定都变成了特称命题；后三个特称命题的否定都变成了全称命题．(板书)一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：全称命题p：x∈M，p(x)，它的否定p：x0∈M，p(x0)；特称命题p：x0∈M，p(x0)＝，它的否定p：x∈M，p(x)．即全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．理解新知提出问题：写出命题“若一个四边形是正方形，则它的四条边相等”的否命题．．．．．．及命题的否定．．．．并思考：命题的否定与否命题有什么区别？活动设计：学生独立思考，小组内讨论，形成统一意见．活动成果：否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等；命题的否定：存在一个四边形，虽然它是正方形，但它的四条边中至少有两条不相等．由此可见命题的否定与否命题的区别：其一：若命题为“若p，则q”，其否命题为“若p，则q”，其命题的否定：“若p，则q”；其二：原命题与其命题的否定不可同真同假，即原命题真，其否定命题假；原命题假，其否定命题真；而否命题与其原命题的真假没有关系．设计意图：复习巩固否命题的概念，进一步认识命题的否定与否命题的区别，以防学生混淆概念．运用新知判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假，写出这些命题的否定：(1)三角形内角和为180°；(2)每个二次函数的图象都开口朝下；(3)存在一个四边形不是平行四边形．思路分析：首先分清是全称命题还是特称命题，然后写成x∈M，p(x)或x∈M，p(x)的形式，再进一步做出否定．解：(1)是全称命题且为真命题．命题的否定：存在一个三角形其内角和不等于180°；(2)是全称命题且为假命题．命题的否定：存在一个二次函数的图象开口不朝下；(3)是特称命题且为真命题．命题的否定：所有四边形都是平行四边形．点评：含有一个量词的命题的否定要“改变条件，否定结论”“改变”是指将改成，改成；“否定”是指对结论语句的全盘否定．命题的真假性可以通过其否定命题的真假来判断原命题的真假．巩固练习1．命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是()A．不存在x∈R，x3－x2＋1≤0B．存在x∈R，x3－x2＋1≤0C. 存在x0∈R，x30－x20＋1>0D．对任意的x∈R，x3－x2＋1>02．已知命题p：x∈R，sinx≤1，则()A．p：x0∈R，sinx0≥1B．p：x0∈R，sinx0≥1C．p：x0∈R，sinx0>1D．p：x∈R，sinx>1答案：1.C 2.C变练演编1．命题x∈R，x2－x＋3>0的否定是________．2．命题x∈R，x2－x＋3>0的否定是________．思路分析：特称命题的否定是一个全称命题，全称命题的否定是一个特称命题．否定时存在量词变为全称量词，全称量词变为存在量词．答案：1.x0 ∈R，x20 －x0 ＋3≤02．x∈R，x2－x＋3≤0点评：符号语言精而准，用符号语言来表达数学问题是学好数学的基本功．达标检测1．“至多有三个”的否定为()A．至少有三个B．至少有四个C．有三个D．有四个2．“三个数a，b，c不全为0”的否定是()A．a，b，c都不是0 B．a，b，c至多一个是0C．a，b，c至少一个是0 D．a，b，c都是03．“奇数是质数”的否定是________．4．“任意的x∈Z，若x>2，则x2>4”的否定是________．5．“ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实根”的否定是________．答案：1.B 2.D3．存在奇数不是质数4．x0∈Z，虽然x0>2，但x20≤45．ax2＋2x＋1＝0没有负的实根课堂小结知识收获：(1)注意区分命题的否定与否命题两个概念．(2)要说明一个全称命题是错误的，实际上是对这个全称命题进行否定．要说明一个特称命题是错误的，实际上是对这个特称命题进行否定．(3)全称命题与特称命题的关系：全称命题p：x∈M，p(x)的否定是p：x0∈M，p(x0)；即全称命题的否定是特称命题．特称命题p：x0∈M，p(x0)的否定是p：x∈M，p(x)；即特称命题的否定是全称命题．方法收获：程序化．思维收获：由一般到特殊、转化思想．布置作业(1)教学反思：如何写出含有一个量词的命题的否定，原先的命题与它的否定在形式上有什么变化？(2)作业：课本习题1.4A组第3题，B组(1)(2)(3)(4)．补充练习基础练习1．命题“存在x0∈Z，使x20＋2x0＋m≤0”的否定命题是()A．存在x0∈Z，使x20＋2x0＋m>0B．不存在x∈Z，使x2＋2x＋m>0C．对于任意x∈Z，都有x2＋2x＋m≤0D．对于任意x∈Z，都有x2＋2x＋m>02．下列语句是特称命题的是()A．整数n是2和5的倍数B．存在整数n，使得n能被11整除C ．若3x －7＝0，则x ＝73D ．x ∈M ，p(x)3．下列全称命题中是真命题的个数是( )①所有偶数都能被2整除；②所有奇数都能被3整除；③任意实数的平方都不小于0. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 4．全称命题“a ∈Z ，a 有一个正因数”的否定是________．5．特称命题“有些三角形的三条中线相等”的否定是________． 答案：1.D 2.B 3.C4．a 0∈Z ，a 0没有正因数5．每一个三角形的三条中线不相等 拓展练习6．下列四个命题： p 1：x ∈(0，＋∞)，(12)x <(13)x ， p 2：x ∈(0,1), log 12x>log 13xp 3：x ∈(0，＋∞)，(12)x >log 12x ， p 4：x ∈(0，13)，(12)x <log 13x其中的真命题是( )A ．p 1，p 3B ．p 1，p 4C ．p 2，p 3D ．p 2，p 47．命题“存在x 0∈R,2x 0≤0”的否定是( )A ．不存在x 0∈R, 2x 0>0B ．存在x 0∈R, 2x 0≥0C ．对任意的x ∈R, 2x ≤0D ．对任意的x ∈R, 2x >0 答案：6.D 7.D 设计说明通过探究数学中的一些实例，教师引导学生用简洁自然的语言表述含有一个量词的命题的否定，让学生归纳总结出含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律．这种教师有目的地进行创设学习情境，整合教材顺序，有效的问题引导，让学生经历观察特征、认识概念、运用概念的过程，对学生完整地、深刻地理解含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律很有帮助．使学生体会到从具体到一般的认识过程，培养学生抽象概括的能力．备课资料1．下列特称命题中，假命题．．．是( ) A ．x ∈Z ，x 2－2x －3＝0B ．至少有一个x ∈Z ，x 能被2和3整除C ．存在两个相交平面垂直于同一条直线D ．x ∈{x 是无理数}，x 2是有理数思路分析：要判断特称命题“x ∈M ，p(x)”为真命题，只需在集合M 中找一个元素x 0，使p(x 0)成立即可；如果在集合M 中找不到元素x 0，使p(x 0)成立，那么这个特称命题就为假命题．解：因为找不到两个相交平面垂直于同一条直线，所以命题“存在两个相交平面垂直于同一条直线”为假命题，应选C.点评：判断特称命题的真假，要通过生活和数学中的实例、知识综合判定．2．下列命题：①至少有一个x使x2＋2x＋1＝0成立；②对任意的x都有x2＋2x＋1＝0成立；③对任意的x都有x2＋2x＋1＝0不成立；④存在x使x2＋2x＋1＝0成立．其中是全称命题的有()A．1个B．2个C．3个D．0个思路分析：根据全称命题的定义，逐一进行判断即可．解：①至少有一个x使x2＋2x＋1＝0成立；特称命题②对任意的x都有x2＋2x＋1＝0成立；全称命题③对任意的x都有x2＋2x＋1＝0不成立；全称命题④存在x使x2＋2x＋1＝0成立；特称命题，应选B.点评：分辨一个命题是全称命题还是特称命题的关键是看命题中含有的量词，当不含量词时，则注意理解命题含义的实质．3．命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是()A．不存在x∈R，x3－x2＋1≤0B．存在x∈R，x3－x2＋1≤0C．存在x∈R，x3－x2＋1>0D．对任意的x∈R，x3－x2＋1>0思路分析：要分清是全称命题还是特称命题，然后写成∈M，p(x)或∈M，p(x)的形式，再进一步作出否定．解：命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”是全称命题，它的否定是“存在x∈R，x3－x2＋1>0”，应选C.点评：一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：全称命题p ：x ∈M ，p(x)，它的否定p ：x ∈M ，p(x)；特称命题p ：x ∈M ，p(x)，它的否定p ：x ∈M ，p(x)．4．给出下列四个命题：①有理数是实数；②有些平行四边形不是菱形；③x ∈R ，x 2－2x>0；④x ∈R,2x ＋1为奇数．以上命题的否定为真命题的序号依次是________．思路分析：原命题与其否定的真假性正好相反，因此只需直接判断原命题的真假即可． 解：①有理数是实数； 真命题 ②有些平行四边形不是菱形； 真命题 ③x ∈R ，x 2－2x>0； 假命题 ④x ∈R,2x ＋1为奇数； 真命题 应选③.点评：本题的关键是根据原命题与命题的否定的特点来完成该题，即原命题真，命题的否定假；原命题假，命题的否定真．5．设0<a ，b ，c<1，求证：(1－a)b ，(1－b)c ，(1－c)a 不同时大于14.思路分析：本题直接证明较难入手，可考虑用反证法．解：反证法：假设⎩⎪⎨⎪⎧(1－a )b>14(1－b )c>14(1－c )a>14⎩⎪⎨⎪⎧(1－a )b>12，(1－b )c>12，(1－c )a>12，所以32<(1－a )b ＋(1－b )c ＋(1－c )a ≤1－a ＋b 2＋1－b ＋c 2＋1－c ＋a 2＝32.左右矛盾，故假设不成立，原命题得证．点评：原命题与其命题的否定不可同真同假，即原命题真，其命题的否定为假；原命题假，其命题的否定为真．(设计者：赵传俊)。

1. 把改成 ，把p(x）改为 P （x） 2. P与“非p”真假性相反 ——可以通过“非p”的 真 假判断命题p的真假
含有一个量词的命题的否定
全称命题
P:M, p(x）
P: M, P（x）
特称命题
特称命题
P:M, p(x）
命题的 否定
P: M, P（x）
全称命题
全称命题与特称命题的真假性判断
真：需要说明对任意的xM，P(x)恒成立；
全称命题
假：只要找出某个x0 M，使P(x)不成立. 真：只要找出某个x0 M，使P(x)成立.
全部是才对
特称命题
只要有就行
假：需要说明对一切xM，P(x)恒不成立；
知识回顾
全称命题
“x M,p(x)"
命题的否定形式
9”。在求解中极易误当为简单命题处理；这
必有一个 所有x成立 种情形下时应先将命题写成完整形式，再依 个 个 立 至少有n 至多有一 所有x不成
词语的 一个也没 至多有n- 至少有两 存在一个x 存在有一
据法则来写出其否定形式。
有 1个 个
否定
不成立
个成立
课堂练习3
例3 写出下列命题的否定。
（1） 若x2 ＞4 则x＞2.。 （2） 若m≥0,则x2 +x-m=0有实数根。 （3） 可以被5整除的整数，末位是0。 （4） 被8整除的数能被4整除。
否定：存在一个素数不是奇数；
（3）xR，x2-2x+1≥0
x M,p(x)
否定：xR，x2-2x+1<0；
新课引入 知识回顾
问题1：指出下列命题的形式，写出下列命题的否定。
（1）所有的矩形都是平行四边形；

A．∀ x∈R，都有 x2－x＋1≤0
B．∃ x0∈R，使 x20－x0＋1>0
C．∃ x0∈R，使 x20－x0＋1≤0
D．以上均不正确
)
【解析】原命题为全称命题，其否定为特称命题，
故选C.
【答案】C
2．命题“存在x0∈R，20 ≤0”的否定是(
)
A．不存在x0∈R，20 >0
B．存在x0∈R，2x≥0
(2)所有的矩形都是平行四边形．
(3)∀a，b∈R，方程ax＝b都有惟一解．
(4)可以被5整除的整数，末位是0.
解：(1)是全称命题，其否定为：存在一个素数，它
不是奇数，因为2是素数，而不是奇数，所以其否定
是真命题．
(2)是全称命题，其否定为：存在一个矩形，它不是
平行四边形，假命题．
(3)是全称命题，其否定为：∃a，b∈R，使方程ax＝b
个三角形且它的内角和不等于180°.
(2)是全称命题且为假命题．
命题的否定：存在一个二次函数的图象开口不向下．
(3)是全称命题且为真命题．
命题的否定：存在一个平行四边形的对边不都平行．
(4)是全称命题且为真命题．命题的否定：某个负数
的平方不是正数．
迁移体验1
写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)任何一个素数是奇数．
有实数x，都有x2＋x＋1>0”，其中，把存在量词“存
在一个”变为全称量词“对所有的”．
对省略量词的命题怎样否定？
提示：对于含有一个量词的命题，容易知道它是全
称命题或特称命题．一般地，省略了量词的命题是
全称命题，可加上“所有的”或“对任意”，它的否定是
特称命题．
1．命题：“∀ x∈R，都有 x2－x＋1>0”的否定是(

2.判断下列命题是全称命题还是特 称命题，你能写出下列命题旳否定吗？
（1）全部旳矩形都是平行四边形； （2）每一种素数都是奇数； （3）x∈R, x2－2x＋1≥0； （4）有些实数旳绝对值是正数； （5）某些平行四边形是菱形； （6） x∈R, x2＋1＜0.
分析
前三个命题都是全称命题，即具
有 “ x ∈M，p（x）”旳形式；
（2）命题“ x ∈N, x3>x2”旳否定是
___x_∈__N__,_x_3_≤__x_2__.
2. 选择题
（1）命题“原函数与反函数旳图象有关
y=x对称”旳否定是（C ）
A. 原函数与反函数旳图象有关y=-x对称 B. 原函数不与反函数旳图象有关y=x对称 C.存在一种原函数与反函数旳图象不有关 y=x对称 D. 存在原函数与反函数旳图象有关y=x对称
（2）命题“全部能被3整除旳整数都
是奇数”旳否定是（C ）
A.全部能被3整除旳整数都不是奇数 B.不存在一种奇数，它不能被3整除 C.存在一种奇数，它不能被3整除 D.不存在一种奇数，它能被3整除
3.解答题
写出下列命题旳否定，并判断 它们旳真假：
（1）正方形旳四边相等; （2）平方和为0旳两个实数都为0; （3）对任意实数x，x>0.
（1）每条直线在y轴上都有截距； （2）每个二次函数旳图像都与x轴相交.
解：（1）存在一条直线，它在y轴上没有 截距；
（2）存在一种二次函数，它旳图像 与x轴相交.
探究二：
写出下列命题旳否定：
（1）有些实数旳绝对值是正数； （2）某些平行四边形是菱形； （3） x∈R, x2＋1＜0.
经过观察，我们发觉，以上三个特称 命题旳否定都能够用全称命题表达.

¬r为假命题.
例3:写出下列命题的否定,并判断其真假:
(1)p:不论m取何实数,方程x2+x-m=0必 有实数根;
(2)q:存在一个实数x0,使得x20+x0+1≤0;
(3)r:等圆的面积相等,周长相等. 2 解 : 1 这一命题可以表述为 p :" 对所有的实数 m, 规律技巧 : 分清所给命题是全称命题还是特称命 解： q : x¬r: R, 都有x x 1 0. 2 否定形式是 解： (3) 否定形式是 存在两个 2 方程 x , x m 0有实数根 ". ,同时要熟悉常用量 题是正确写出其否定的关键 等圆 其面积不相等或周长不相等 . 1 3
全称命题 p : x M,p(x)
它的否定 p :
x M,p(x)
即：命题否定后，全称量词变为存在量词，“肯定” 变为“否定”
理论迁移
例1 写出下列全称命题的否定： （1）p：所有能被3整除的整数都是奇数 （2）p：每一个四边形的四个顶点共圆 （3）p： x∈Z，x2的个位数字不等于3.
2 2 其否定形式是 : 由x x 1 词的否定形式 . (x )
2 2 4 ¬r 是假命题 . p : 存在实数m, 使得x x m 0没有实数根.
0知q是真命题.
小结
含有一个量词的命题的否定
结论： 全称命题的否定是特称命题
特称命题的否定是全称命题
一般地，我们有： “x M , p( x)”的否定为 “x M , p( x)” , “x M , p( x)”的否定为 “x M , p( x)”。
1ห้องสมุดไป่ตู้4.2 含有一个量词的命题的否定
复习回顾

复习巩固
全称命题： （1）基本形式：x M , p( x) （2）意义： 对任意x属于M，有p( x)成立 （3）真假性的判断： 只要有一个x值不成立，即为假命题 一假即假 特称命题： （1）基本形式： x0 M , p( x0 ) （2）意义： 存在x0属于M，使p( x0 )成立 （3）真假性的判断： 只要有一个x值成立，即为真命题 一真即真
课堂展示
1、如何对含有一个量词的命题进行否定？
对全称命题p : x M , p( x ), 它的否定p：x0 M，（ p x0）. （两变） “任意”变“存在”，“p(x)”变“﹁ p(x)”
对特称命题p : x0 M , p( x0 ), 2、全称命题、特称命题的否定形式？ 它的否定p：x M，（ p x）.
（两变） “存在”变“任意”，“p(x)”变 “﹁p(x)”
教师点拨
例题分析
巩固Байду номын сангаас习
巩固练习
例题分析
巩固练习
巩固练习
知识小结:
1、全称命题、特称命题的否定形式如何？ 2、全（特）称命题的否定与命题的否定 的区别？

课后作业：
1、课本P27, 3题 2、小聚焦P42。 3、复习本章内容。

1．4.3 含有一个量词的命题的否定1．含有一个量词的全称命题的否定全称命题p綈p结论∀x∈M，p（x)错误!∃x0∈M,綈p（x0)全称命题的否定是错误!特称命题2．含有一个量词的特称命题的否定特称命题p綈p结论∃x0∈M，p （x0）错误!∀x∈M,綈p（x)特称命题的否定是错误!全称命题1．判一判(正确的打“√",错误的打“×”)（1）∃x0∈M，p（x0)与∀x∈M,綈p(x)的真假性相反．( ）(2)从特称命题的否定看，是对“量词"和“p(x）”同时否定．( )（3）命题“非负数的平方是正数”的否定是“非负数的平方不是正数”．（)答案（1)√（2)×（3）×2．做一做（请把正确的答案写在横线上）(1）“至多有一个”的否定为_______________________________________．(2)已知命题p：∀x∈R，sin x≤1,则綈p是_____________________________．（3)命题“∃x0∈Q，x20＝5”的否定是________（填“真”或“假”）命题．(4)已知命题p：∀x〉0,总有（x＋1)e x〉1,则綈p为________．答案（1)至少有两个（2）∃x0∈R，sin x0>1 (3）真(4)∃x0〉0，使得（x0＋1)e x0≤1探究1 全称命题的否定例1 判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定．（1）p：∀x∈错误!,sin x＋错误!≥2；(2）p：∀m∈R,函数f(x)＝x2＋mx是偶函数；(3)p:每个三角形至少有两个锐角．[解］(1）p是真命题，由x∈错误!得sin x∈(0,1），sin x＋错误!〉2错误!＝2,故p为真命题．綈p：∃x0∈错误!，sin x0＋错误!〈2。

(2）p是假命题,当m＝0时，f（x)才是偶函数．綈p：∃m0∈R，函数f（x)＝x2＋m0x不是偶函数．(3）p是真命题．綈p：有的三角形至多有一个锐角．拓展提升1。