抛物线与圆的综合教学内容

“抛物线”单元教学设计一、内容和内容解析（一）内容1.抛物线及其标准方程2.抛物线的简单几何性质本单元内容结构图如下：（二）内容解析内容本质：本单元是在抛物线的几何情境中，抽象出抛物线的几何特征，然后建立其标准方程，再利用标准方程研究其几何性质，并利用它们解决简单的实际问题.蕴含的思想与方法：本单元最重要的、最根本的数学思想方法是数形结合与坐标法.当然，在解决问题的过程中，数形结合、转化与化归、分类整合等思想方法也发挥着重要作用.知识点上下位关系：本单元是在学习了直线与圆的方程、椭圆、双曲线的基础上学习的，特别是抛物线与椭圆、双曲线同属圆锥曲线，其研究路径与椭圆、双曲线大致相同，是椭圆与双曲线知识的延续.育人价值：本单元的学习有助于学生学会合乎逻辑地、有条理地、严密精准地分析问题与解决问题，有助于发展学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象、数学建模等方面的素养.教学重点：抛物线的概念、标准方程与简单几何性质.二、目标和目标分析（一）单元目标1.了解抛物线的实际背景，感受抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，以及它的简单几何性质.3.了解抛物线的简单应用.（二）目标解析达成上述目标的标志是：1.通过实例（抛物运动轨迹、探照灯反射镜面、卫星接收天线），知道抛物线在生产生活中有广泛应用.2.通过实际绘制抛物线的过程认识抛物线的几何特征，给出椭圆的定义.能类比椭圆、双曲线的方法，通过建立适当的坐标系，得到抛物线的标准方程.能在直观认识抛物线的图形特点的基础上，用抛物线的标准方程推导出抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等简单几何性质.能用抛物线的定义、标准方程及简单几何性质解决简单的问题.能通过抛物线与方程的学习，进一步体会建立曲线的方程、用曲线的方程研究曲线性质的方法.3.通过将关于抛物线的实际问题转化为关于抛物线的数学问题，运用抛物线的定义、标准方程及简单的几何性质解决关于抛物线的数学问题，从而解决关于抛物线的实际问题，发展数学建模素养.类比用直线方程与圆、椭圆、双曲线的方程研究直线与圆、椭圆、双曲线的位置关系，用直线方程与抛物线的标准方程研究直线与抛物线的位置关系，知道直线与抛物线的公共点个数与直线的方程和抛物线的标准方程组成的方程组的解的个数的关系，从而体会用方程研究曲线的方法.三、教学问题诊断分析1.学生对坐标法已有了比较深的认识，通过前面直线、圆、椭圆、双曲线方程的学习，对用坐标法研究曲线的基本思想方法有了了解，但是，在建立抛物线方程的时候，如何建立坐标系是第一个教学问题.在教学中，应明确“适当”的“标准”是所得方程简单，能较好的反应曲线的性质，适当的方法是尽可能使曲线关于原点及坐标轴对称.观察抛物线知道，它具有对称性，并且过定点垂直于定直线的直线就是它的对称轴，在此基础上建立适当坐标系，通过对比几种建系的方程得出最简的.2.在掌握了开口方向向右的抛物线的标准方程之后，再考虑开口方向向左、向上、向下的抛物线的标准方程，是第二个教学问题.教学中，应通过类比来建坐标系得出方程.3.在研究抛物线的几何特征时，对于焦点弦问题，是第三个教学问题.在教学过程中，抓住两个方面——一元二次方程根与系数的关系及抛物线的定义，就能解决问题.4.在研究直线与抛物线的位置关系时，通过联立直线方程与抛物线方程得方程，由此判断直线与抛物线的位置关系，是第四个教学问题.在教学时，联立方程消元后，要注意二次项系数是否可以为0，要分类讨论.教学难点：（1）发现抛物线几何特征；（2）直线与抛物线的位置关系.四、教学支持条件分析学生已经学习了直线、圆、椭圆与双曲线，对解析几何的用坐标法研究曲线的基本思想与方法有了比较深入的了解.在本单元的教学中，充分运用网络画板的动态演示效果，包括演示圆锥曲线的统一定义、抛物线的几何特征、抛物线的简单几何性质、直线与抛物线的位置关系.五、课时教学设计本单元共3课时，具体分配如下：第1课时，抛物线及其标准方程；第2课时，抛物线的简单几何性质（一）；第3课时，抛物线的简单几何性质（二）.。

教案设计高中数学《抛物线的简单几何性质》一、教材分析（一）教学内容《抛物线的简单几何性质》是人教版高中数学（必修）第二册上第八章的第6节的内容。

本节课的主要内容是探究抛物线的简单几何性质及应用。

通过对抛物线的简单几何性质进行分析，并利用这些性质来解决简单的几何问题。

（二）教材的地位和作用本节课是在学习了抛物线的定义及其标准方程的基础上，系统地按照抛物线方程来研究抛物线的简单几何性质，该内容是高中数学的重要内容，也是高考的重点与热点内容。

其中，蕴含的数形结合思想也是高中数学的重要思想。

学习本节课的内容能够较好地培养学生抽象概括能力，观察分析能力和探索求知的精神。

（三）课时安排本节内容安排1课时完成教学。

二、教学目标根据新课程标准的理念以及对教材的分析和高中学生的认知规律，本课节的教学目标确定为：知识目标：掌握抛物线的简单几何性质，理解抛物线方程与抛物线曲线间互逆推导的逻辑关系及利用数形结合解决实际问题，初步学习利用方程研究曲线性质的方法。

能力目标：让学生经历知识产生与形成的过程，培养学生观察、分析、逻辑推理、理性思维的能力，以及对研究方法的思想渗透及运用数形结合思想解决问题的能力。

情感目标：通过数与形的辩证统一，对学生进行辩证唯物主义教育，培养学生认真参与、积极交流的主体意识，锻炼学生善于发现问题的规律和及时解决问题的态度。

三、难重点分析重点：抛物线的简单几何性质。

只有在完全掌握抛物线的简单几何性质的基础上，才能自如地解决相关几何问题。

难点：抛物线的简单几何性质的应用。

要求能灵活地运用抛物线的性质来解决简单的几何问题。

四、教法与学法分析（一）教法分析本节课以启发式教学为主，综合运用演示法、讲授法、讨论法、有指导的发现法及练习法等教学方法。

先通过多媒体动画演示，创设问题情境；在抛物线简单几何性质的教学过程中，通过多媒体演示，有指导的发现问题，然后进行讨论、探究、总结、运用，最后通过练习加以巩固提高。

抛物线的准线和圆相切知识点
1.定义：平面内，到定点与定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。

其中定点叫抛物线的焦点，定直线叫抛物线的准线。

2.抛物线是轴对称图形。

对称轴为直线x=-b/2a。

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。

特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0).
3.抛物线有一个顶点P，坐标为：P(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)当-b/2a=0时，P在y 轴上;当Δ=b^2-4ac=0时，P在x轴上。

4.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小:当a>0时，抛物线向上开口;当a<0时，抛物线向下开口。

|a|越大，则抛物线的开口越小。

5.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左;
当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右。

6.常数项c决定抛物线与y轴交点。

抛物线与y轴交于(0，c)。

直线和圆的位置关系有相离、相交、相切。

判定方法有两种：一是由直线与圆的公共点的个数来判断；二是由圆心到直线的距离与半径的关系来判断：设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则结论为：相离：d＞r；相切：d=r；相交：d ＜r。

抛物线教案(总12页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--抛物线教案：抛物线及其标准方程索争科攀钢一中【教学目的】1．掌握抛物线的定义及其标准方程；2．掌握抛物线的焦点、准线及方程与焦点坐标的关系；3．认识抛物线的变化规律.【教学重点】抛物线的定义及标准方程【教学难点】区分标准方程的四种形式【课时安排】两课时【教学过程】第一课时一、导入新课：通过前面的学习，我们知道，与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e的点的轨迹，当0＜e＜1时是椭圆，当e＞1时是双曲线，那么，当e=1时，它是什么曲线呢？用自制的抛物线作图演示模板作出抛物线，然后得出结论，曲线就是初中见过的抛物线。

下面，我们就将学习抛物线的定义及其标准方程。

二、讲授新课：1．抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫抛物线。

点F 叫抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线。

下面，根据抛物线的定义，我们来求抛物线的方程。

2．抛物线的标准方程：23①推导过程：取过点F 且垂直于直线l 的直线为x 轴，垂足为K ，线段KF 的中垂线为y 轴，建立直角坐标系xOy （如图8—20）。

设|KF |=p (p ＞0)，那么焦点F 的坐标为（)0,2p ，准线l 的方程为.2p x -=设点M （x ，y ）是抛物线上任意一点，点M 到l 的距离为d 。

由抛物线的定义知，抛物线就是集合}|||{d MF M P ==.|2|)2(|,2|,)2(||2222px y p x p x d y p x MF +=+-∴+=+-=将上式两边平方并化简，得y 2=2px （p >0） ①方程①叫抛物线的标准方程，它表示的抛物线的焦点在x 轴的正半轴上，坐标是).0,2(p 它的准线方程是2p x -=。

②抛物线标准方程的四种形式：一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：y 2=－2px ，x 2=2py ，x 2=－2py 。

圆与抛物线相切问题圆与抛物线相切是一个经典的几何问题，涉及到圆和抛物线的性质以及它们相切的条件。

首先，我们来看一下圆和抛物线的基本性质。

圆是一个闭合的曲线，所有点到圆心的距离都相等。

圆的方程通常表示为(x-a)² + (y-b)² = r²，其中(a, b)是圆心的坐标，r是半径。

抛物线是一种二次曲线，其图像呈现出类似抛物体运动的形状。

抛物线的一般方程是y = ax² + bx + c，其中a、b、c是常数且a不等于0。

抛物线开口的方向取决于a的正负。

当圆与抛物线相切时，它们满足以下几个条件：1. 相切点处的切线相切于圆和抛物线，且切线垂直于相切点处的切线。

2. 相切点处的切线是圆和抛物线的公共切线。

为了找到圆与抛物线的相切点，我们需要解决一个联立方程组。

假设圆的方程是(x-a)² + (y-b)² = r²，抛物线的方程是y =ax² + bx + c。

我们可以通过联立这两个方程组成的方程组，解出相切点的坐标。

另外，我们还可以利用切线的性质来解决这个问题。

在相切点处，圆和抛物线的切线斜率相等。

我们可以求出圆和抛物线在相切点处的切线方程，然后比较它们的斜率是否相等来判断它们是否相切。

总之，圆与抛物线相切是一个涉及到几何、代数和微积分知识的问题，需要综合运用这些知识来解决。

通过分析圆和抛物线的性质，以及切线的性质，我们可以找到它们相切的条件和相切点的坐标。

希望这个回答能够帮助你更好地理解圆与抛物线相切的问题。

高三数学《抛物线》教案一、教学内容本节课选自高三数学教材下册第五章《圆锥曲线与方程》中的第二节《抛物线》。

详细内容包括：1. 抛物线的定义与标准方程；2. 抛物线的简单几何性质；3. 抛物线的焦点、准线及其应用；4. 实践活动中抛物线的绘制。

二、教学目标1. 让学生掌握抛物线的定义、标准方程及简单几何性质；2. 培养学生运用抛物线的焦点、准线解决实际问题的能力；3. 激发学生学习兴趣，培养空间想象力和逻辑思维能力。

三、教学难点与重点重点：抛物线的定义、标准方程、简单几何性质及焦点、准线。

难点：抛物线焦点、准线的求解与应用。

四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔；2. 学具：直尺、圆规、量角器。

五、教学过程1. 引入：通过展示生活中抛物线的实例（如抛物线运动、拱桥等），引出本节课的主题——抛物线。

2. 新课导入：讲解抛物线的定义，引导学生观察抛物线的特点，推导抛物线的标准方程。

3. 知识讲解：（1）抛物线的定义与标准方程；（2）抛物线的简单几何性质；（3）抛物线的焦点、准线及其应用。

4. 例题讲解：（1）求抛物线的标准方程；（2）求抛物线的焦点、准线；（3）抛物线在实际问题中的应用。

5. 随堂练习：针对例题进行变式训练，巩固所学知识。

6. 实践活动：分组讨论，利用学具绘制抛物线，观察抛物线的性质，加深对知识的理解。

六、板书设计1. 定义：抛物线是平面内到一个定点（焦点）距离等于到一条定直线（准线）距离的点的轨迹；2. 标准方程：y^2=2px（p>0）；3. 简单几何性质：对称性、开口方向、顶点、渐近线；4. 焦点、准线：F（p,0），x=p；5. 例题与解答。

七、作业设计1. 作业题目：（1）求抛物线y^2=8x的焦点、准线；（2）求抛物线x^2=4y的顶点、对称轴；（3）抛物线y^2=4x与直线y=2x+1相交，求交点坐标。

2. 答案：（1）焦点F（2,0），准线x=2；（2）顶点（0,0），对称轴y轴；（3）交点（2,5）。

高三数学《抛物线》教案一、教学内容本节课选自高三数学教材下册第五章《圆锥曲线与方程》中的抛物线部分。

具体内容包括：抛物线的定义、性质、标准方程及其应用。

二、教学目标1. 理解并掌握抛物线的定义、性质和标准方程。

2. 能够运用抛物线的性质解决实际问题，提高数学应用能力。

3. 培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

三、教学难点与重点重点：抛物线的定义、性质和标准方程。

难点：抛物线标准方程的推导及其在实际问题中的应用。

四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔。

2. 学具：直尺、圆规、量角器。

五、教学过程1. 导入：通过展示生活中的抛物线实例，如拱桥、篮球抛物线等，引导学生思考抛物线的性质和用途。

2. 基本概念：（1）抛物线的定义：介绍抛物线的起源，引导学生理解抛物线的定义。

（2）抛物线的性质：通过动画演示，让学生观察抛物线的对称性、顶点、焦点等性质。

（3）抛物线的标准方程：引导学生根据性质推导出抛物线的标准方程。

3. 例题讲解：（1）求抛物线的标准方程。

（2）已知抛物线上一点，求该点处的切线方程。

4. 随堂练习：（1）判断下列图形是否为抛物线。

（2）求下列抛物线的标准方程。

5. 应用拓展：（1）抛物线在实际问题中的应用。

（2）抛物线与圆、直线等图形的位置关系。

六、板书设计1. 定义、性质、标准方程。

2. 例题解答步骤。

3. 课后作业及答案。

七、作业设计1. 作业题目：（1）求下列抛物线的标准方程：① y²=4x；② x²=4y；③ y²=8x；④ x²=8y。

（2）已知抛物线y²=4x上一点（1，2），求该点处的切线方程。

2. 答案：（1）① y²=4x，焦点（1，0），顶点（0，0）；② x²=4y，焦点（0，1），顶点（0，0）；③ y²=8x，焦点（2，0），顶点（0，0）；④ x²=8y，焦点（0，2），顶点（0，0）。

抛物线的简单几何性质教案教案标题：抛物线的简单几何性质教案目标：1. 了解抛物线的定义和基本性质。

2. 掌握抛物线的焦点、准线、顶点等重要概念。

3. 能够应用抛物线的性质解决简单几何问题。

教案步骤：步骤一：引入1. 引导学生回顾直线、圆等几何图形的性质，引出抛物线的概念。

2. 展示一张抛物线的图像，让学生观察并描述其形状和特点。

3. 引导学生思考抛物线的性质和应用领域。

步骤二：抛物线的定义和基本性质1. 讲解抛物线的定义：平面上到一个定点（焦点）和一条定直线（准线）的距离相等的点的轨迹。

2. 介绍抛物线的基本性质：a. 抛物线关于准线对称。

b. 焦点到抛物线上任意一点的距离等于该点到准线的距离。

c. 抛物线的顶点是其最高（或最低）点，对称轴经过顶点。

d. 抛物线开口方向由抛物线的二次项系数的正负决定。

步骤三：抛物线的重要概念1. 介绍抛物线的焦点、准线和顶点的定义和性质。

2. 指导学生通过几何构造方法确定抛物线的焦点、准线和顶点。

步骤四：抛物线的应用1. 给出一些简单的抛物线几何问题，如：已知焦点和准线，求抛物线方程；已知顶点和焦点，求抛物线方程等。

2. 引导学生分析问题，运用抛物线的性质解决问题。

3. 给予学生充分的练习机会，巩固抛物线的性质和应用。

步骤五：小结与拓展1. 对本节课所学内容进行小结，强调抛物线的定义和基本性质。

2. 提供一些拓展问题，让学生进一步思考抛物线的性质和应用。

教学资源：1. PowerPoint或白板等教学工具。

2. 抛物线的图像和实例题目。

教学评估：1. 课堂练习：布置一些练习题，检验学生对抛物线的理解和应用能力。

2. 个人或小组作业：要求学生解答一些抛物线相关的问题，加深对知识的理解。

教学延伸：1. 引导学生进一步探究抛物线的性质和应用，如抛物线的焦半径、离心率等。

2. 引导学生进行实际观察和实验，了解抛物线在现实生活中的应用，如抛物线反射器、喷泉喷水形状等。

备注：该教案适用于中学数学教学，学生年级和学习能力可以根据实际情况进行调整。

数学教案模板高中抛物线
教学目标：学生能够了解抛物线的定义、性质和应用，掌握抛物线的标准方程和一般方程，能够解决相关的计算题目。

教学重点：抛物线的定义、性质及应用。

教学难点：抛物线的一般方程及相关计算题目的解决。

教学准备：教师准备PPT、黑板、彩色粉笔、教材等。

教学过程：
一、导入
请学生回顾圆的性质，并提问什么是抛物线？抛物线有哪些性质？
二、讲解
1. 抛物线的定义：横坐标和纵坐标的平方成正比。

2. 抛物线的性质：焦点、准线、对称轴、顶点等。

3. 抛物线的标准方程和一般方程。

三、练习
1. 计算抛物线的焦点和准线。

2. 给出抛物线上一点的坐标，求该点到焦点的距离。

四、拓展
1. 抛物线与直线的交点求解。

2. 抛物线的应用：如抛物线天花板的设计、射击运动等。

五、总结
让学生总结抛物线的性质和方程，并强化知识点。

六、作业
1. 完成教材上相关练习题。

2. 仿照课堂上的例题，设计自己的抛物线计算题目。

教学反思：本节课内容涵盖抛物线的定义、性质、方程以及应用，教师应注重学生的实际运用能力和分析问题的能力，通过讲解、训练和练习，帮助学生掌握相关知识。

教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校《抛物线和简单几何性质》教案一､教学目标(一)知识教学点使学生理解并掌握抛物线的几何性质,并能从抛物线的标准方程出发,推导这些性质.(二)能力训练点从抛物线的标准方程出发,推导抛物线的性质,从而培养学生分析､归纳､推理等能力.(三)学科渗透点使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法,加深对直角坐标系中曲线方程的关系概念的理解,这样才能解决抛物线中的弦､最值等问题.二､教材分析1.重点:抛物线的几何性质及初步运用.(解决办法:引导学生类比椭圆､双曲线的几何性质得出.)2.难点:抛物线的几何性质的应用.(解决办法:通过几个典型例题的讲解,使学生掌握几何性质的应用.)3.疑点:抛物线的焦半径和焦点弦长公式.(解决办法:引导学生证明并加以记忆.)三､活动设计提问､填表､讲解､演板､口答.教学过程【情境设置】由一名学生回答,教师板书.问题抛物线的标准方程是怎样的?答为:抛物线的标准方程是 .与椭圆､双曲线一样,通过抛物线的标准方程可以研究它的几何性质.下面我们根据抛物线的标准方程:来研究它的几何性质.【探索研究】1.抛物线的几何性质(1)范围因为,由方程可知,所以抛物线在轴的右侧,当的值增大时,也增大,这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.(2)对称性以代,方程不变,所以抛物线关于轴对称.我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴.(3)顶点抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点,在方程中,当时,因此抛物线的顶点就是坐标原点.(4)离心率抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离的比,叫做抛物线的离心率,由抛物线的定义可知其他三种标准方程抛物线的几何性质可类似地求得,教师用小黑板给出来表让学生填写.再向学生提出问题:与椭圆､双曲线的几何性质比较,抛物线的几何性质有什么特点?学生和教师共同小结:(1)抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它也可以无限延伸,但没有渐近线;(2)抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;(3)抛物线只有一个顶点､一个焦点､一条准线;(4)抛物线的离心率是确定的,为1.【例题分析】例1已知抛物线关于轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点 ,求它的标准方程,并用描点法画出图形.求标准方程,请一名学生演板,教师予以纠正.画图可由教师讲解,步骤如下:由求出的标准方程 ,变形为 ,根据计算抛物线在的范围内几个点的坐标,得0 1 2 3 4 ……0 1 2.8 3.5 4 ……描点画出抛物线的一部分,再利用对称性,就可以画出抛物线的另一部分(如图 ).然后说明利用抛物线的通性,能够方便地画出反映抛物线基本特征的草图.例 2 探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分,光源位于抛物线的焦点处.已知灯口圆的直径为 ,灯深 ,求抛物线的标准方程和焦点位置.解:如图,在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系,使反光镜的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合,轴垂直于灯口直径.抛物线的标准方程为 ,由已知条件可得点的坐标是(40,30)且在抛物线上,代入方程得:,所以所求抛物线的标准方程为 ,焦点坐标是 .(三)随堂练习1.求适合下列条件的抛物线方程①顶点在原点,关于轴对称,并且经过点②顶点在原点,焦点是 [来源:学｡科｡网]③顶点在原点,准线是④焦点是 ,准线是2.一条隧道的顶部是抛物拱形,拱高是 m,跨度是m,求拱形的抛物线方程答案:1.①②③④2. (要选建立坐标系)(四)总结提炼抛物线的性质和椭圆､双曲线比较起来,差别较大.它的离心率等于1;它只有一个焦点､一个顶点､一条对称轴､一条准线;它没有中心,也没有渐近线.(五)布置作业1.顶点在原点､焦点在轴上,且过点的抛物线方程是( )A. B. C. D.2.若抛物线上横坐标为6的点到焦点的距离为8,则焦点到准线的距离为( )A.1B.2C.4D.63.若垂直于轴的直线交抛物线于点 ,且 ,则直线的方程为__________.4.抛物线形拱桥,当水面宽时,水面离拱顶为 ,若水下降 ,则此时水面宽为___________.5.抛物线的顶点是双曲线的中心,而焦点是双曲线的左顶点,求抛物线方程.6.若抛物线上一点到准线及对称轴的距离分别是10和6,求的横坐标及抛物线方程.答案:1.B 2.C 3. 4. 5. 6.9,(六)板书设计教案点评:本节课首先设置情境,让学生利用类比的思想,探索､归纳､总结出与椭圆､双曲线类似的性质,并与椭圆､双曲线的性质比较,便于学生掌握这三种曲线的性质｡通过两道例题和练习进一步让学生掌握性质的运用｡。