抛物线圆综合(中考压轴大题)

2022-2023学年人教版中考数学复习《圆综合压轴题》专题提升训练（附答案）1．锐角三角形△ABC的外心为O，外接圆直径为d，延长AO，BO，CO，分别与对边BC，CA，AB交于D，E，F．（1）求的值；（2）求证：．2．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CP是⊙O的切线．点P在AB的延长线上．（1）求证：∠COB＝2∠PCB；（2）若M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB＝6．求MC•MN的值．3．如图，AC为⊙O的直径，CF切⊙O于点C，AF交⊙O于点D，点B在DF上，BC交⊙O于点E，且∠CAF＝2∠BCF，BG⊥CF于点G，连接AE．（1）求∠AEB的度数；（2）求证：△CBG∽△ABE；（3）若∠F＝60°，GF＝2，求⊙O的半径长．4．如图，△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，E是上一点，弦BE交AC于点F，弦AD⊥BE于点G，连接CD、CG，且∠CBE＝∠ACG．（1）求证：∠CAG＝∠ABE；（2）求证：CG＝CD；（3）若AB＝4，BC＝2，求GF的长．5．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AD⊥BC，垂足为D，直径AE平分∠BAD，交BC于点F，连结BE．（1）求证：∠AEB＝∠AFD；（2）若AB＝10，BF＝5，求DF的长；（3）若点G为AB的中点，连结DG，若点O在DG上，求BF：FC的值．6．如图，△ABC为⊙O的内接等腰三角形，AB＝AC，CD为⊙O的直径，DF∥AC交AB、BC于点E、F．（1）求证：DE＝EF；（2）若sin∠B＝，⊙O的半径为5，求CF的长．7．如图，⊙O为△ABC的外接圆，AB为⊙O直径，AC＝BC，点D在劣弧BC上，CE⊥CD交AD于E，连接BD．（1）求证：△ACE≌△BCD．（2）若CD＝2，BD＝3，求⊙O的半径．8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在BC边上（不包括端点B，C），过A，C，D三点的⊙O交AB于另一点E，连接AD，DE，CE，且CE⊥AD于点G，过点C作CF∥DE交AD于点F，连接EF．（1）求证：四边形DCFE是菱形；（2）当tan∠AEF＝，AC＝4时，求⊙O的直径长．9．如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D作DH⊥AC于点H，且DH是⊙O的切线，连接DE交AB于点F，连接BE．（1）求证：DC＝DE；（2）若AE＝4，．求：①BE的长；②cos∠BDF的值．10．如图，AB是半圆的直径，AC为半圆的切线，AC＝AB、在半圆上任取一点D，作DE⊥CD，交直线AB 于点F，BF⊥AB，交线段AD的延长线于点F．（1）设是x°的弧，并要使点E在线段BA的延长线上，则x的取值范围是；（2）不论D点取在半圆什么位置，图中除AB＝AC外，还有两条线段一定相等，指出这两条相等的线段，并予证明．11．如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，连接P A，PB，AB，已知∠PBA＝∠C．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）连接OP，若OP∥BC，且OP＝8，⊙O的半径为2，求BC的长．12．如图，点C是以AB为直径的圆O上一点，直线AC与过B点的切线相交于D，点E是BD的中点，直线CE交直线AB于点F．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）若ED＝3，cos F＝，求⊙O的半径．13．如图①，AB为⊙O的直径，AD与⊙O相切于点A，DE与⊙O相切于点E，点C为DE延长线上一点，且CE＝CB．（1）求证：BC为⊙O的切线；（2）连接AE并延长与BC的延长线交于点G（如图②所示）．若AB＝，CD＝9，求线段BC和EG 的长．14．如图，AB为⊙O的直径，AB＝10，C为⊙O上一点，AD⊥CD，垂足为D，且交⊙O于E，C是的中点．（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）若AC＝8，请直接写出CD的长．（3）若DC+DE＝6，求AE的长．15．如图，AB为⊙O的直径，点P是⊙O外一点，PD与⊙O相切于点C，与BA的延长线交于点D，DE ⊥PO，交PO的延长线于点E，连接PB，∠EDB＝∠EPB．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）若PB＝3，DB＝4，求⊙O的半径．16．如图，点P是⊙O外一点，P A切⊙O于点A，AB是⊙O的直径，连接OP，过点B作BC∥OP交⊙O 于点C，连接AC交OP于点D．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若PD＝cm，AC＝8cm，点E是的中点，连接CE，求CE的长．17．如图，点O是等腰△ABC的外心，AD是圆O的切线，切点为A，过点C作CD∥AB，交AD于点D．连接AO并延长交BC于点M，连接AD，交过点C的直线于点P，且∠BCP＝∠ACD．（1）判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AB＝12，BC＝8．求PC的长．18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以AC为直径作⊙O，交AB于D，过点O作OE∥AB，交BC于E．（1）求证：ED为⊙O的切线；（2）如果⊙O的半径为，ED＝2，延长EO交⊙O于F，连接DF、AF，求△ADF的面积．19．如图1，AB是圆O的直径，O为圆心，AD、BD是半圆的弦，且∠PDA＝∠PBD．延长PD交圆的切线BE于点E（1）判断直线PD是否为⊙O的切线，并说明理由；（2）如图2，如果∠BED＝60°，PD＝，求P A的长．20．如图，AB是⊙O的直径，点C是的中点，连接AC并延长至点D，使CD＝AC，点E是OB上一点，且＝，CE的延长线交DB的延长线于点F，AF交⊙O于点H，连接BH．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）当OB＝2时，求BH的长．21．如图，AB是⊙O的直径，延长BA至点P，过点P作⊙O的切线PC，切点为C，过点B向PC的延长线作垂线BE交该延长线于点E，BE交⊙O于点D，已知P A＝1，PC＝OC，（1）求BE的长；（2）连接DO，延长DO交⊙O于F，连接PF，①求DE的长；②求证：PF是⊙O的切线．参考答案1．（1）解：由于AD，BE，CF交于点O，∴＝，＝，＝，∴++＝1；（2）证明：如图，延长AD交⊙O于M，设R为△ABC的外接圆半径，AD，BE，CF交于点O．∵＝＝1﹣＝1﹣，同理有：＝1﹣，＝1﹣，代入++＝1，得（1﹣）+（1﹣）+（1﹣）＝1，∴++＝2，∴++＝＝．2．（1）证明：∵CP是⊙O的切线，∴OC⊥CP，∴∠PCB+∠OCB＝90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACO+∠OCB＝90°，∴∠ACO＝∠PCB，∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO，∵∠PCB＝∠A，∴∠COB＝2∠A＝2∠PCB；（2）解：如图2中，连接MA．∵点M是弧AB的中点，∴＝，∴∠ACM＝∠BAM，∵∠AMC＝∠AMN，∴△AMC∽△NMA，∴＝，∴AM2＝MC•MN，∵AB是⊙O的直径，∴∠AMB＝90°，∵AM＝BM，AB＝6．∴2AM2＝62，∴AM2＝18，∴MC•MN＝18．3．解：（1）如图，∵AC是⊙O的直径，∴∠AEC＝∠AEB＝90°．（2）如图∵CF与⊙O相切，∴∠ACF＝90°．∴∠BCF＝90°﹣∠ACE＝∠CAE．∵∠CAF＝2∠BCF．∴∠CAF＝2∠CAE．∴∠CAE＝∠BAE．∴∠BCF＝∠BAE．∵BG⊥BF，AE⊥BC，∴∠CGB＝∠AEB＝90°．∵∠BCF＝∠BAE，∠CGB＝∠AEB，∴△CBG∽△ABE．（3）连接BD，如图2所示．∵∠DAE＝∠DCE，∠DAE＝∠BCF，∴∠DCE＝∠BCF．∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°．∴CD⊥AF．∵∠DCB＝∠BCF，CD⊥AF，BGCBF，∴BD＝BG．∵∠F＝60°，GF＝2，∠BGF＝90°，∴tan∠F＝＝BG＝tan60°＝，∵BG＝2，∴BD＝BG＝2．∵∠AFC＝60°，∠ACF＝90°，∴∠CAF＝30°．∵∠ADC＝90°，∠CAF＝30°，∴AC＝2CD．∵∠CAE＝∠BAE，∠AEC＝∠AEB，∴∠ACE＝∠ABE．∴AB＝AC．设⊙O的半径为r，则AC＝AB＝2r，CD＝r．∵∠ADC＝90°，∴AD＝r．∴DB＝AB﹣AD＝2r﹣r＝（2﹣）r＝2．∴r＝4+6．∴⊙O的半径长为4+6．4．（1）证明：∵BC是⊙O的直径，∴∠CAB＝90°，∴∠CAG+∠BAG＝90°，∵AD⊥BE，∴∠AGB＝90°，∴∠BAG+∠ABE＝90°，∴∠CAG＝∠ABE；（2）证明：∵∠CGD＝∠CAG+∠ACG，∠ABC＝∠ABE+∠CBE，由（1）知，∠CAG＝∠ABE，∵∠CBE＝∠ACG，∴∠CGD＝∠ABC，∵∠ABC＝∠D，∴∠DGC＝∠D，∴CG＝CD；（3）解：连接AE、CE，∵BC是直径，∴∠BEC＝90°，∴∠AGE＝∠BEC，∴AD∥CE，∵∠CAE＝∠EBC，∠ACG＝∠EBC，∴∠CAE＝∠ACG，∴AE∥CG，∴四边形AGCE是平行四边形，∴AF＝AC，∵AC2＝BC2﹣AB2，∴AC2＝﹣42，∴AC＝6，∴AF＝×6＝3，∵BF2＝AF2+AB2，∴BF2＝32+42，∴BF＝5，∵∠ABG＝∠ABF，∠AGB＝∠BAF，∴△BAG∽△BF A，∴BA：BF＝BG：BA，∴4：5＝BG：4，∴BG＝，∵FG＝BF﹣BG，∴FG＝5﹣＝．5．（1）证明：∵AE为⊙O的直径，∴∠ABE＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∵AD⊥BC，∴∠ADF＝90°，∴∠AFD+∠F AD＝90°，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠F AD，∴∠AEB＝∠AFD；（2）解：如图1，过点F作BM⊥AB于点M．则∠AMF＝90°，∵∠AFD＝∠BFE，∠AFD＝∠AEB，∴∠BFE＝∠AEB，∴BF＝BE＝5，∵∠ABE＝∠AMF＝90°，∠BAE＝∠MAF，∴△AMF∽△ABE，∴，即，设MF＝x，则AM＝2x，∴BM＝10﹣2x，∵BM2+MF2＝BF2，∴（10﹣2x）2+x2＝52，解得x＝3，即MF＝3，∵AE平分∠ABD，AD⊥BC，∴DF＝MF＝3；（3）解：∵∠ADB＝90°，G为AB的中点，∴AG＝DG＝BG，OG⊥AB，∴∠BGD＝∠AGD＝90°，∴△ADG为等腰直角三角形，∴∠GAD＝45°，∴∠ABD＝45°，过点F作FH⊥AB于点H，如图2，∵AF平分∠BAD，∴FD＝FH，∵∠ABD＝45°，∴BF＝FH＝FD，∵∠AFD＝∠AEB，∠AEB＝∠C，∴∠AFD＝∠C，∴AF＝AC，又∵AD⊥BC，∴FD＝DC，设FD＝DC＝x，则BF＝x，∴．6．（1）证明：如图，连接DB，∵CD为⊙O的直径，∴∠DBC＝90°，∵DF∥AC，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝∠DFB，∴EB＝EF，∵∠DBF＝90°，∴∠DBE+∠EBF＝∠EDB+∠EFB，∴∠DBE＝∠EDB，∴DE＝EB，∴DE＝EF；（2）解：如图，连接AO，EO，延长AO交BC于点G，∵AB＝AC，∴AG⊥BC，∵OC＝OD，DE＝EF，∴OE∥FC，FC＝2OE，∴∠AEO＝∠B，∵OE⊥OA，在Rt△AEO中，sin∠AEO＝，∵sin∠B＝，⊙O的半径为5，∴＝，∴AE＝，∴OE＝＝＝．∴CF＝2OE＝．7．解：（1）证明：∵AB为⊙O直径，∴∠ACB＝90°，∵CE⊥CD，∴∠ECD＝90°，∴∠ACE＝90°﹣∠ECB＝∠BCD，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（ASA）；（2）∵△ACE≌△BCD，∴CE＝CD，AE＝BD，∵CE⊥CD，∴△ECD是等腰直角三角形，∵CD＝2，BD＝3,∴DE＝2，AE＝3，∴AD＝5，∵AB为⊙O直径，∴∠ADB＝90°，∴AB＝＝2，∴⊙O的半径为．8．解：（1）证明：∵CE⊥AD，∴EG＝CG，∵CF∥DE，∴∠DEG＝∠FCG，∵∠FGC＝∠DGE，∴△DEG≌△FCG（ASA），∴ED＝FC，∴四边形DCFE为平行四边形，又∵CE⊥DF，∴四边形DCFE是菱形；（2）∵AG⊥EC，EG＝CG，∴AE＝AC＝4，∵四边形AEDC内接于⊙O，∴∠BED＝∠BCA＝90°，∵四边形DCFE是菱形，∴EF∥DC，DE＝DC，∴∠AEF＝∠ABC，∴tan∠ABC＝tan∠AEF＝，在Rt△BED中，设DE＝3a，则BE＝4a，∴DC＝3a，BD＝＝5a，∵BC2+AC2＝AB2，∴（5a+3a）2+42＝（4a+4）2，解得a＝或a＝0（舍去），∴DE＝DC＝2，∴AD＝＝＝2．即⊙O的直径长为2．9．解：（1）证明：连接OD，BE，∵OD⊥AC，且DH是⊙O的切线，∴∠ODH＝∠DHA＝90°，∴OD∥CA，∴∠C＝∠ODB，∵OD＝OB，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠OBD＝∠C，∵∠OBD＝∠DEC，∴∠C＝∠DEC，∴DC＝DE；（2）①由（1）可知：OD∥AC，∴∠AEF＝∠ODF，∴∠AFE＝∠OFD，∴△AFE∽△OFD，∴，∵AE＝4，∴OD＝6，∵AB为⊙O的直径，∴；∴BE的长为8；②在Rt△AEB中，，∵∠BDF＝∠BAE，∴．10．解：（1）0＜x＜90，（2）连接BD，可证△BDF∽△ADB，得＝，∵∠DBE＝∠DAC，∴∠BDE＝∠ADC＝90°﹣∠ADE，∴△BDE∽△ADC，∴＝，∴＝，∴BE＝BF．11．（1）证明：连接OB，如图所示：∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∴∠C+∠BAC＝90°，∵OA＝OB，∴∠BAC＝∠OBA，∵∠PBA＝∠C，∴∠PBA+∠OBA＝90°，即PB⊥OB，∴PB是⊙O的切线；（2）解：∵⊙O的半径为2，∴OB＝2，AC＝4，∵OP∥BC，∴∠C＝∠BOP，又∵∠ABC＝∠PBO＝90°，∴△ABC∽△PBO，∴＝，即＝，∴BC＝2．12．（1）证明：连CB、OC，如图，∵BD为⊙O的切线，∴DB⊥AB，∴∠ABD＝90°，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BCD＝90°，∵E为BD的中点，∴CE＝BE，∴∠BCE＝∠CBE，而∠OCB＝∠OBC，∴∠OBC+∠CBE＝∠OCB+∠BCE＝90°，∴OC⊥CF，∴CF是⊙O的切线；（2）解：CE＝BE＝DE＝3，在Rt△BFE中，cos F＝，tan F＝＝，∴BF＝4，∴EF＝＝5，∴CF＝CE+EF＝8，在Rt△OCF中，tan F＝＝，∴OC＝6，即⊙O的半径为6．13．（1）证明：如图1，连接OE，OC；∵CB＝CE，OB＝OE，OC＝OC∴△OEC≌△OBC（SSS）∴∠OBC＝∠OEC又∵DE与⊙O相切于点E∴∠OEC＝90°∴∠OBC＝90°∴BC为⊙O的切线．（2）解：如图2，过点D作DF⊥BC于点F，则四边形ABFD是矩形，∵AD，DC，BG分别切⊙O于点A，E，B∴DA＝DE，CE＝CB，在Rt△DFC中，CF＝＝1，设AD＝DE＝BF＝x，则x+x+1＝9，x＝4，∵AD∥BG，∴∠DAE＝∠EGC，∵DA＝DE，∴∠DAE＝∠AED；∵AD∥BG，∵∠AED＝∠CEG，∴∠EGC＝∠CEG，∴CG＝CE＝CB＝5，∴BG＝10，在Rt△ABG中，AG＝＝6，∵AD∥CG，∴＝＝，∴EG＝×6＝．14．（1）证明：连接OC．∵C是的中点，∴AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠OAC，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∴∠DAC＝∠OCA，∴DA∥OC，∵AD⊥DC，∴∠ADC＝90°，∴∠OCD＝90°，即OC⊥DC，∵OC为半径，∴DC为⊙O的切线．（2）解：∵AB是⊙O的直径，∴AB＝10，∠ACB＝90°＝∠ADC，∴BC＝＝6，又∵∠DAC＝∠OAC，∴△ACD∽△ABC，∴＝，即＝，解得：CD＝4.8．（3）如图，连接EC，作CF⊥AB于F．∵CA平分∠BAD，CD⊥AD，CF⊥AB，∴CD＝CF，∵＝，∴CE＝BC，∴Rt△CDE≌Rt△CFB，∴DE＝BF，∴CF+BF＝CD+DE＝6，设BF＝x，则CF＝6﹣x，由△ACF∽△CBF，可得CF2＝AF•BF，∴（6﹣x）2＝（10﹣x）•x，解得x＝2或9（舍弃），∴BF＝DE＝2，CD＝CF＝4，易证AF＝AD＝8，∴AE＝AD﹣DE＝6．15．（1）证明：∵∠EDB＝∠EPB，∠DOE＝∠POB，∴∠DEO＝∠PBO，∵DE⊥PE，∴∠DEO＝90°，∴∠PBO＝90°，∴PB是⊙O的切线；（2）由（1）知，PB是⊙O的切线，∴∠PBD＝90°，∵PB＝3，DB＝4，∴PD＝5，∵PC和PB都是⊙O的切线，∴PC＝PB＝3，∠OCD＝90°，∴CD＝2，设⊙O的半径为x，则OC＝x，OD＝4﹣x，则22+x2＝（4﹣x）2，解得，x＝，即⊙O的半径是．16．（1）证明：如图，连接OC，∵P A切⊙O于A．∴OA⊥P A，∴∠P AO＝90°，∵OP∥BC，∴∠AOP＝∠OBC，∠COP＝∠OCB，∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠AOP＝∠COP，在△P AO和△PCO中，∴△P AO≌△PCO（SAS），∴∠P AO＝∠PCO＝90°，∴OC⊥PC，∴PC是⊙O的切线；（2）解：连接EA、EB，作BH⊥CE于H，如图，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠AEB＝90°，∵OP∥BC，∴PO⊥AC，∴AD＝CD＝AC＝4，在Rt△P AD中，P A＝＝＝，∵∠APO＝∠DP A，∴Rt△P AD∽Rt△POA，∴P A：PO＝PD：P A，即：PO＝：，解得PO＝，∴OD＝PO﹣PD＝3，∵AO＝BO，OD∥BC，∴BC＝2OD＝6，在Rt△ACB中，AB＝＝10，∵点E是的中点，∴∠BCE＝∠ACE＝∠ACB＝45°，∴AE＝BE，∴△BCH和△ABE都是等腰直角三角形，∴CH＝BH＝BC＝3，BE＝AB＝5，在Rt△BEH中，EH＝＝4，∴CE＝CH+EH＝3+4＝7．17．解：（1）直线PC与圆O相切，理由为：过C点作直径CE，连接EB，如图，∵CE为直径，∴∠EBC＝90°，即∠E+∠BCE＝90°，∵AB∥DC，∴∠ACD＝∠BAC，∵∠BAC＝∠E，∠BCP＝∠ACD．∴∠E＝∠BCP，∴∠BCP+∠BCE＝90°，即∠PCE＝90°，∴CE⊥PC，∴PC与圆O相切；（2）∵AD是⊙O的切线，切点为A，∴OA⊥AD，∵BC∥AD，∴AM⊥BC，∴BM＝CM＝BC＝4，∴AC＝AB＝12，在Rt△AMC中，AM＝＝8，设圆O的半径为r，则OC＝r，OM＝AM﹣r＝8﹣r，在Rt△OCM中，OM2+CM2＝OC2，即42+（8﹣r）2＝r2，解得：r＝，∴CE＝2r＝＝9，OM＝8﹣＝，∴BE＝2OM＝7，∵∠E＝∠MCP，∴Rt△PCM∽Rt△CEB，∴＝，即＝∴PC＝．18．解：（1）证明：连接OD，∵OE∥AB，∴∠COE＝∠CAD，∠EOD＝∠ODA，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠COE＝∠DOE，在△COE和△DOE中，，∴△COE≌△DOE（SAS），∴∠ODE＝∠OCE＝90°，∴ED⊥OD，∴ED是圆O的切线；（2）连接CD，交OE于M，在Rt△ODE中，∵OD＝，DE＝2，∴OE＝＝＝，∵OE∥AB，∴△COE∽△CAB，∴＝，∴AB＝5，∵AC是直径，∴∠ADC＝90°，∴cos∠BAC＝＝＝，∴AD＝，∴CD＝＝，∵EF∥AB，∴，∴CM＝DM＝CD＝，∴EF＝OE+OF＝4，BD＝AB﹣AD＝5﹣＝，∴S△ADF＝S梯形ABEF﹣S梯形DBEF＝（AB+EF）•DM﹣（BD+EF）•DM＝×（5+4）×﹣×（+4）×＝．∴△ADF的面积为．19．解：（1）直线PD是否为⊙O的切线．理由如下：连接OD，如图1，∵OD＝OB，∴∠1＝∠OBD，∵∠PDA＝∠PBD，∴∠1＝∠PDA，∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，即∠2+∠1＝90°，∴∠PDA+∠2＝90°，即∠PDO＝90°，∴OD⊥PD，∴PD为⊙O的切线；（2）如图2，连接OD，∵ED和EB为⊙O的切线，∴ED＝EB，而∠BED＝60°，∴△EDB为等边三角形，∴∠EBD＝60°，∴∠PBD＝30°，∴∠PDA＝30°，而∠ADB＝90°，∴∠P＝30°，在Rt△OAD中，OD＝PD＝×＝1，OP＝2OD＝2，∴P A＝PO﹣OA＝2﹣1＝1．20．证明：（1）连接OC，∵AB是⊙O的直径，点C是的中点，∴∠AOC＝90°，∵OA＝OB，CD＝AC，∴OC是△ABD是中位线，∴OC∥BD，∴∠ABD＝∠AOC＝90°，∴AB⊥BD，∵点B在⊙O上，∴BD是⊙O的切线；解：（2）由（1）知，OC∥BD，∴△OCE∽△BFE，∴，∵OB＝2，∴OC＝OB＝2，AB＝4，，∴，∴BF＝3，在Rt△ABF中，∠ABF＝90°，根据勾股定理得，AF＝5，∵S△ABF＝AB•BF＝AF•BH，∴AB•BF＝AF•BH，∴4×3＝5BH，∴BH＝．21．解：（1）设圆的半径是r，则OP＝P A+r＝1+r，OC＝r，PC＝r．∵PC是圆的切线，∴∠PCO＝90°，∴在直角△PCO中，PC2+OC2＝OP2，即（r）2+r2＝（1+r）2，解得：r＝1或r＝﹣（舍去负值）．在直角△OPC中，cos∠POC＝＝，∴∠POC＝60°，∵∠PCO＝90°，BE⊥BC，∴BE∥OC，∴△OPC∽△BPE，∠B＝∠POC＝60°，∴＝＝，∴BE＝OC＝；（2）①在△OBD中，OB＝OD，∠B＝60°，∴△OBD是等边三角形，BD＝OB＝1，∠BOD＝60°．∴DE＝BE﹣BD＝﹣1＝；②∵在△OPC和△OPF中，，∴△OPC≌△OPF（SAS），∴∠OFP＝∠OCP＝90°，∴PF是⊙O的切线．。

二次函数与圆的综合题（中考数学压轴题必考）例1.如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点（A在左边），抛物线经过点D以AB为直径画⊙P，试判定点D与⊙P的位置关系，并证明．练习1.如图，二次函数y＝ax2﹣（a+1）x（a为常数，且0＜a＜1）的图象过原点O并与x轴交于点P；过点A（1，﹣1）的直线l垂直y轴于点B，并与二次函数的图象交于点Q，以OA为直径的⊙C交x轴于点D，连接DQ．（1）点B与⊙C的位置关系是；（2）点A是否在二次函数的图象上；（填“是”或“否”）（3）若DQ恰好为⊙C的切线，①猜想：四边形OAQD的形状是，证明你的猜想；②求二次函数的表达式．例2.如图示已知点M的坐标为（4，0），以M为圆心，以2为半径的圆交x轴于A、B，抛物线过A、B两点且与y轴交于点C．过C点作⊙M 的切线CE，求直线OE的解析式．练习2.平面直角坐标系中，已知A（﹣4，0），B（1，0），且以AB为直径的圆交y轴的正半轴，设平行于x轴的直线交抛物线y＝﹣x2﹣x+2于E，F两点，问：是否存在以线段EF为直径的圆，恰好与x轴相切？若存在，求出该圆的半径；若不存在，请说明理由．练习3.如图，抛物线y＝﹣x2﹣x+2与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y 轴交于点C（0，2）．以AB为直径作⊙M，直线经过点E（﹣1，﹣5），并且与⊙M相切，求该直线的解析式．练习4.如图，抛物线y＝﹣x2+x+2．经过A、B、C三点，A点坐标为（4，0），B点坐标为（﹣1，0），以AB的中点P为圆心，AB为直径作⊙P的正半轴交于点C，M为抛物线的顶点，试说明直线MC与⊙P的位置关系，并证明你的结论．练习5.如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．以AB为直径作⊙M．（1）求出M的坐标并证明点C在⊙M上；（2）若P为抛物线上一动点，求出当CP与⊙M相切时P的坐标；练习6.在平面直角坐标系中，已知A（﹣4，0），B（1，0），且以AB为直径的圆交y轴的正半轴于点C，过点C作圆的切线交x轴于点D．（1）求点C的坐标和过A，B，C三点的抛物线的析式；（2）求点D的坐标：（3）设平行于x轴的直线交抛物线于E，F两点，问：是否存在以线段EF为直径的圆，恰好与x轴相切？若存在，求出该圆的半径，若不存在，请说明理由．练习7.如图，在平面直角坐标系中，已知OA＝n，OC＝m，⊙M与y轴相切于点C，与x轴交于A，B两点，∠ACD＝90°，抛物线y＝ax2+bx+c经过A，B，C三点．（1）求证：∠OCA＝∠OBC；（2）若A（x1，0），B（x2，0），且x1，x2满足x1+x2＝5，x1•x2＝4，求点C 的坐标和抛物线的解析式；（3）若△ACD≌△ABD，在四边形ABDC内有一点P，且点P到四边形四个顶点的距离之和P A+PB+PC+PD最小，求此时距离之和的最小值及P点的坐标（用含n的式子表示）．练习8.已知二次函数y＝mx2+（m﹣3）x﹣3（m＞0）（1）求证：它的图象与x轴必有两个交点；（2）这条抛物线与x轴交于两点A、B（A在B左），与y轴交于点C，顶点为D，sin∠ABD＝，⊙M过A、B、C三点，求⊙M的面积；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使P A是⊙M的切线？若存在，求出P点的坐标，若不存在，说明理由．例3.如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的对称轴为y轴，且经过（0，0）和（，）两点，点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的⊙P总经过定点A（0，2）．（1）求a，b，c的值；（2）求证：在点P运动的过程中，⊙P始终与x轴相交；（3）设⊙P与x轴相交于M（x1，0），N（x2，0）（x1＜x2）两点，当△AMN 为等腰三角形时，求圆心P的纵坐标．练习9.已知：如图，抛物线y＝ax2+bx+1的图象关于y轴对称，且抛物线过点（2，2），点P为抛物线上的动点，以点P为圆心的⊙P与x轴相切，当点P运动对，⊙P始终经过y轴上的一个定点E．（1）求抛物线的解析式；（2）当⊙P的半径为时，⊙P与y轴交于M、N两点，求MN的长；（3）求定点E到直线y＝kx﹣8k的距离的最大值．练习10.已知：直线y＝﹣x﹣4分别交x、y轴于A、C两点，抛物线y＝ax2+bx （a＞0）经过A、O两点，且顶点B的纵坐标为﹣2（1）判断点B是否在直线AC上，并求该抛物线的函数关系式；（2）以点B关于x轴的对称点D为圆心，以OD为半径作⊙D，试判断直线AC与⊙D的位置关系，并说明理由；（3）若E为⊙D的优弧AO上一动点（不与A、O重合），连接AE、OE，问在抛物线上是否存在点P，使∠POA：∠AEO＝2：3？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．练习11.已知A是x轴正半轴上一个动点，以线段OA为直径作⊙B，圆心为点B，直径OA＝m，线段EF是⊙B的一条弦，EF∥x轴，点C为劣弧EF的中点，过点E作DE垂直于EF，交抛物线C1：y＝ax2+bx（a＞0）于点G，抛物线经过点O和点A．（1）求证：DG＝m；（2）拖动点A，如果抛物线C1与⊙B除点O和点A外有且只有一个交点，求b的值；（3）拖动点A，抛物线C1交⊙B于点O、E、F、A，①求证：DE＝m﹣；②直接写出FC2的值（用a，m的代数式表示）练习13.如图，在平面直角坐标系中，以点C（1，1）为圆心，2为半径作圆，交x轴于A．B两点，开口向下的抛物线经过点A，B，且其顶点P在⊙C上．（1）求∠ACB的大小；（2）写出A，B两点的坐标；（3）由圆与抛物线的对称性可知抛物线的顶点P的坐标为（1，3），求出抛物线的解析式；（4）在该抛物线上是否存在一点D点，使线段OP与CD互相平分？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．例4.如图1，抛物线y＝ax2+3ax（a为常数，a＜0）与x轴交于O，A两点，点B 为抛物线的顶点，点D是线段OA上的一个动点，连接BD并延长与过O，A，B三点的⊙P相交于点C，过点C作⊙P的切线交x轴于点E．（1）①求点A的坐标；②求证：CE＝DE；（2）如图2，连接AB，AC，BE，BO，当，∠CAE＝∠OBE时，①求证：AB2＝AC•BE；②求的值．练习14.如图1，已知圆O的圆心为原点，半径为2，与坐标轴交于A，C，D，E 四点，B为OD中点．（1）求过A，B，C三点的抛物线解析式；（2）如图2，连接BC，AC．点P在第一象限且为圆O上一动点，连接BP，交AC于点M，交OC于点N，当MC2＝MN•MB时，求M点的坐标；（3）如图3，若抛物线与圆O的另外两个交点分别为H，F，请判断四边形CFEH的形状，并说明理由．练习15.如图，二次函数与x轴的一个交点A的坐标为（﹣3，0），以点A为圆心作圆A，与该二次函数的图象相交于点B，C，点B，C的横坐标分别为﹣2，﹣5，连接AB，AC，并且满足AB⊥AC．过点B作BM⊥x轴于点M，过点C作CN⊥x轴于点N．（1）求该二次函数的关系式；（2）经过点B作直线BD，在A点右侧与x轴交于点D，与二次函数的图象交于点E，使得∠ADB＝∠ABM，连接AE，求证：AE＝AD；（3）若直线y＝kx+1与圆A相切，请求出k的值．例5.已知抛物线y＝ax2+bx+5（a≠0）经过A（5，0），B（6，1）两点，且与y 轴交于点C．（1）求抛物线y＝ax2+bx+5（a≠0）的函数关系式；（2）如图1，连接AC，E为线段AC上一点且横坐标为1，⊙P是△OAE外接圆，求圆心P点的坐标；（3）如图2，连接AC，E为线段AC上任意一点（不与A、C重合）经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F；①点E在运动过程中四边形OEAF的面积是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由；②求出当△AEF的面积取得最大值时，点E的坐标．练习16.如图1，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（1，0），B（﹣5，0）两点，且与y轴交于点C．（1）求b，c的值．（2）在第二象限的抛物线上，是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？求出点P的坐标及△PBC的面积最大值．若不存在，请说明理由．（3）如图2，点E为线段BC上一个动点（不与B，C重合），经过B、E、O 三点的圆与过点B且垂直于BC的直线交于点F，当△OEF面积取得最小值时，求点E坐标．练习17.如图1，抛物线y＝+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C，顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，以AB为直径在x轴上方画半圆交y轴于点E，圆心为G，P为半圆上一动点，连接DP，点Q为PD的中点．①判断点C、D与⊙G的位置关系，并说明原因；②当点P沿半圆从点B运动到点A时，求线段AQ的最小值．练习18.如图1，二次函数y＝ax2﹣3ax+b（a、b为参数，其中a＜0）的图象与x 轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D．（1）若b＝﹣10a，求tan∠CBA的值（结果用含a的式子表示）；（2）若△ABC是等腰三角形，直线AD与y轴交于点P，且AP：DP＝2：3．求抛物线的解析式；（3）如图2，已知b＝﹣4a，E、F分别是CA和CB上的动点，且EF＝AB，若以EF为直径的圆经过点C，并交x轴于M、N两点，求MN的最大值．课后练习1.抛物线y＝ax2+bx﹣4交x轴于A（﹣2，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，点P是介于B、C之间的抛物线上的动点（包括B、C两点），点E是△ABP 的外接圆圆心．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，当P为抛物线的顶点时，求圆心E的坐标；（3）如图2，作PH⊥x轴于点H，延长PH交⊙E于点Q，当P从C点出发，沿该抛物线运动到B点，求点Q在这个运动过程中的路径长．2.如图，在正方形OABC中，AB＝4，点E是线段OA（不含端点）边上一动点，作△ABE的外接圆交AC于点D．抛物线y＝ax2﹣x+c过点O，E．（1）求证：∠BDE＝90°；（2）如图1，若抛物线恰好经过点B，求此时点D的坐标；（3）如图2，AC与BE交于点F．①请问点E在运动的过程中，CF•AD是定值吗？如果是，请求出这个值，如果不是，请说明理由；②若，求点E坐标及a的值．。

一、解答题1．在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点(1,0)A -和点B ，与y 轴交于点C ，顶点D 的坐标为(1,4)-．(1)直接写出抛物线的解析式；(2)如图1，若点P 在抛物线上且满足，求点P 的坐标； (3)如图2，M 是直线BC 上一个动点，过点M 作MN x ⊥轴交抛物线于点N ，Q 是直线AC 上一个动点，当为等腰直角三角形时，直接写出此时点M 及其对应点Q 的坐标2．在平面直角坐标系中，二次函数22y ax bx =++的图象与x 轴交于()()3,0,1,0A B -两点，与y 轴交于点C ．（1）求二次函数的解析式；（2）点P 是直线AC 上方的抛物线上一动点，当ACP △面积最大时，求出点P 的坐标；（3）点M 为抛物线上一动点，在x 轴上是否存在点Q ，使以A C M Q 、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．3．在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1．对于点A 和线段BC ，给出如下定义：若将线段BC 绕点A 旋转可以得到⊙O 的弦B ′C ′（B ′，C ′分别是B ，C 的对应点），则称线段BC 是⊙O 的以点A 为中心的“关联线段”．（1）如图，点A ，B 1，C 1，B 2，C 2，B 3，C 3的横、纵坐标都是整数．在线段B 1C 1，B 2C 2，B 3C 3中，⊙O 的以点A 为中心的“关联线段”是 ；（2）△ABC 是边长为1的等边三角形，点A （0，t ），其中t ≠0．若BC 是⊙O 的以点A 为中心的“关联线段”，求t 的值；（3）在△ABC 中，AB ＝1，AC ＝2．若BC 是⊙O 的以点A 为中心的“关联线段”，直接写出OA 的最小值和最大值，以及相应的BC 长．4．综合与探究如图，在平面直角坐标系中，点()0,10A ，点B 是x 轴的正半轴上的一个动点，连接AB ，取AB 的中点M ，将线段MB 绕着点B 按顺时针方向旋转90°，得到线段BC ．过点B 作x 轴的垂线交直线AC 于点D ．设点B 坐标是(),0t（1）当6t =时，点M 的坐标是 ；（2）用含t 的代数式表示点C 的坐标；（3）是否存在点B ，使四边形AOBD 为矩形？若存在，请求出点B 的坐标；若不存在，请说明理由；（4）在点B 的运动过程中，平面内是否存在一点N ，使得以A 、B 、N 、D 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N 的纵坐标（不必要写横坐标）；若不存在，请说明理由．5．如图（1），在菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，点E 在边CD 上（不与点C ，D 重合），连结AE ，交BD 于点F ．（1）如图（2），若点M 在BC 边上，且DE ＝CM ，连结AM ，EM ．求证：三角形AEM 为等边三角形；（2）设DF x BF=，求tan ∠AFB 的值（用x 的代数式表示）； （3）如图（3），若点G 在线段BF 上，且FG ＝2BG ，连结AG 、CG ，DF x BF =，四边形AGCE 的面积为S 1，ABG 的面积为S 2，求12S S 的最大值．6．如图，在平面直角坐标系中，ABC 的边AB 在x 轴上，且OB OA >，以AB 为直径的圆过点C ．若点C 的坐标为()0,4，10AB =，（1）求抛物线的解析式；（2）点P 为该函数在第一象限内的图象上一点（不与BC 重合)，过点P 作PQ BC ⊥，垂足为点Q ，连接PC ．若以点P 、C 、Q 为顶点的三角形与COA 相似，求点P 的坐标；（3）若ACB ∠平分线所在的直线l 交x 轴与点E ，过点E 任作一直线l '分别交射线CA ，CB （点C 除外）于点M ，N ．则11CM CN+的是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．7．如图1，⊙I 与直线a 相离，过圆心I 作直线a 的垂线，垂足为H ，且交⊙I 于P 、Q 两点（Q 在P 、H 之间）．我们把点Q 称为⊙I 关于直线a 的“近点”，点P 称为⊙I 关于直线a 的“远点”把PQ ·QH 的值称为⊙I 关于直线a 的“特征数”．（1）如图2，在平面直角坐标系xOy 中，点E 的坐标为（0，3）．半径为1的⊙O 与两坐标轴交于点A 、B 、C 、D ．①过点E 画垂直于y 轴的直线m ，则⊙O 关于直线m 的“近点”“远点”分别是点_____和_____（填“A ”、“B ”、“C ”或“D ”），⊙O 关于直线m 的“特征数”为_____；②若直线n 的函数表达式为33y x =-+．求⊙O 关于直线n 的“特征数”；（2）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 经过点M （1，2），点F 是坐标平面内一点，以F 5为半径作⊙F ．若⊙F 与直线l 相离，点N （1-，0）是⊙F 关于直线l 的“近点”．且⊙F 关于直线l 的“特征数”是6，求直线l 的函数表达式．8．如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，其中A（3，0），B（－1，0），与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，直线y＝kx＋b1经过点A、C，连接CD．（1）分别求抛物线和直线AC的解析式；（2）在直线AC下方的抛物线上，是否存在一点P，使得△ACP的面积是△ACD面积的2倍，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使线段AQ绕Q点顺时针旋转90°得到线段QA1，且点A1恰好落在该抛物线上？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．9．已知：如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝﹣x+b（b＞0）交x轴于点A，交y轴于点C，以OA，OC为边作矩形ABCO，矩形ABCO的面积是36．（1）求直线AC的解析式．（2）点P为线段AB上一点，点Q为第一象限内一点，连接PO，PQ，∠OPQ＝90°，且OP＝PQ，设AP的长为t，点Q的横坐标为d，求d与t的函数关系式．（不要求写出自变量t的取值范围）（3）在（2）的条件下，过点Q作QE∥PO交AB的延长线于点E，作∠POC的平分线OF 交PE于点F，交PQ于点K，若KQ＝2EF，求点Q的坐标．10．如图，平面直角坐标系中，点O为原点，抛物线交x轴于()2,05,0B两点，交y轴于点C．A-、()（1）求抛物线解析式；（2）点P在第一象限内的抛物线上，过点P作x轴的垂线，垂足为点H，连AP交y轴于点E，设P点横坐标为t，线段EC长为d，求d与t的函数解析式；（3）在（2）条件下，点M在CE上，点Q在第三象限内抛物线上，连接PC、PQ、PM，PQ与y轴交于W，若，，，求点Q的坐标．11．已知：如图1，点A（a，b），AB x⊥轴于点B2++-+=．a b a b24(8)0（1）试判断△AOB的形状，并说明理由；（2）如图2，若点C为线段AB的中点，连OC并作OD OC⊥，且OD OC=，连AD交x轴于点E，试求点E的坐标；（3）如图3，若点M为点B的左边x轴负半轴上一动点，以AM为一边作45∠=︒交MANy轴负半轴于点N，连MN，在点M运动过程中，试猜想式子OM MN ON+-的值是否发生变化？若不变，求这个不变的值；若发生变化，试求它变化的范围．12．直角三角板ABC的斜边AB的两个端点在⊙O上，已知∠BAC=30°，直角边AC与⊙O 相交于点D，且点D是劣弧AB的中点．(1)如图1，判断直角边BC所在直线与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)如图2，点P是斜边AB上的一个动点（与A、B不重合），DP的延长线交⊙O于点Q，连接QA、QB．①AD=6，PD=4，则AB= ；PQ= ；②当点P在斜边AB上运动时，求证：QA+QB=3QD．13．如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，直径DF交BC于点G．(1)如图1，求证：∠BAD－∠BCF＝90°；(2)如图2，连接AC，当∠BAC＝∠CFD＋∠ACD时，求证：CA＝CB；(3)如图3，在（2）的条件下，AC交DF于点H，∠BAC＝∠DGB，45CGBG，AC＝9，求△CDH的面积．14．同学们学过正方形与等腰三角形发现它们都是轴对称图形，它们之间有很多相似，在正边形ABCD中，E是对角线AC上一点（不与点A、C重合），以AD、AE为邻边作平行四边形AEGD，GE交CD于点M，连接CG．(1)如图1，当12AE AC<时，过点E作EF BE⊥交CD于点F，连接GF并延长交AC于点H．求证：EB EF=；(2)在ABC中，AB AC=，90BAC∠=︒．过点A作直线AP，点C关于直线AP的对称点为点D，连接BD，CD直线BD交直线AP于点E．如图2，①依题意补全图形；②请用等式表示线段EB，ED，BC之间的数量关系，并予以证明．15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．(1)求抛物线的函数表达式．(2)若点P为第三象限内抛物线上一动点，作PD⊥x轴于点D，交AC于点E，过点E作AC 的垂线与抛物线的对称轴和y轴分别交于点F、G，设点P的横坐标为m．①求PE2的最大值；②连接DF、DG，若∠FDG＝45°，求m的值．16．【问题提出】如图①，在△ABC中，若AB＝8，AC＝4，求BC边上的中线AD的取值范围．【问题解决】解决此问题可以用如下方法：延长AD 到点E ，使DE ＝AD ，再连结BE （或将△ACD 绕着点D 逆时针旋转180°得到△EBD ），把AB 、AC ，2AD 集中在△ABE 中，利用三角形三边的关系即可判断．由此得出中线AD 的取值范围是__________【应用】如图②，如图，在△ABC 中，D 为边BC 的中点、已知AB ＝10，AC ＝6，AD ＝4，求BC 的长．【拓展】如图③，在△ABC 中，∠A ＝90°，点D 是边BC 的中点，点E 在边AB 上，过点D 作D F⊥DE 交边AC 于点F ，连结EF ．已知BE ＝5，CF ＝6，则EF 的长为__________.17．已知二次函数()20y x bx c a =++≠的图象与x 轴的交于A 、B （1，0）两点，与y 轴交于点()03C -，．(1)求二次函数的表达式及A 点坐标；(2)D 是二次函数图象上位于第三象限内的点，若点D 的横坐标为m ，ACD △的面积为S ，求S 与m 之间的函数关系式，并写出ACD △的面积取得最大值时点D 的坐标；(3)M 是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点N ．使以M 、N 、B 、O 为顶点的四边形是平行四边形？若有，请写出点N 的坐标（不写求解过程）．18．如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数图像222(1)2y x a x a a =-+++的顶点为P ，点B 39(2,)16- 是一次函数5119216y x =+上一点．(1)当a ＝0时，求顶点P 坐标；(2)若a ＞0，且一次函数2y x b =-+的图象与此抛物线没有交点，请你写出一个符合条件的一次函数关系式（只需写一个，不必写出过程）；(3)作直线OC ：12y x =与一次函数5119216y x =+交于点C ．连结OB ，当抛物线与△OBC 的边有两个交点时，求a 的取值范围．19．已知O 为ABC ∆的外接圆，AC BC =，点D 是劣弧AB 上一点（不与点A ，B 重合），连接DA ，DB ，DC ．(1)如图1，若AB 是直径，将ACD ∆绕点C 逆时针旋转得到BCE ∆．若4CD =，求四边形ADBC 的面积；(2)如图2，若AB AC =，半径为2，设线段DC 的长为x ．四边形ADBC 的面积为S ． ①求S 与x 的函数关系式；②若点M ，N 分别在线段CA ，CB 上运动（不含端点），经过探究发现，点D 运动到每一个确定的位置．DMN ∆的周长有最小值t ，随着点D 的运动，t 的值会发生变化．求所有t 值中的最大值，并求此时四边形ADBC 的面积S ．20．如图，在ABCD 中，90ABD ∠=︒，5cm AD =，8cm BD =．点P 从点A 出发，沿折线AB BC -向终点C 运动，点P 在AB 边、BC 边上的运动速度分别为1cm/s 、5cm /s ．在点P 的运动过程中，过点P 作AB 所在直线的垂线，交边AD 或边CD 于点Q ，以PQ 为一边作矩形PQMN ，且2QM PQ =，MN 与BD 在PQ 的同侧．设点P 的运动时间为t （秒），矩形PQMN 与ABCD 重叠部分的面积为()2cm S ．（1）求边AB 的长．（2）当04t <<时，PQ = ，当48t <<时，PQ = ．（用含t 的代数式表示）（3）当点M 落在BD 上时，求t 的值．（4）当矩形PQMN 与ABCD 重叠部分图形为四边形时，求S 与t 的函数关系式．【参考答案】参考答案**科目模拟测试一、解答题1．(1)223y x x =--；(2)，； (3)，；，；，；，； ，；，． 【解析】【分析】（1）根据顶点的坐标，设抛物线的解析式为y ＝a （x ﹣1）2﹣4，将点A （﹣1，0）代入，求出a 即可得出答案；（2）利用待定系数法求出直线BD 解析式为y ＝2x ﹣6，过点C 作CP 1∥BD ，交抛物线于点P 1，再运用待定系数法求出直线CP 1的解析式为y ＝2x ﹣3，联立方程组即可求出P 1（4，5），过点B 作y 轴平行线，过点C 作x 轴平行线交于点G ，证明△OCE ≌△GCF（ASA），运用待定系数法求出直线CF解析式为y＝12x﹣3，即可求出P2（52，﹣74）；（3）利用待定系数法求出直线AC解析式为y＝﹣3x﹣3，直线BC解析式为y＝x﹣3，再分以下三种情况：①当△QMN是以NQ为斜边的等腰直角三角形时，②当△QMN是以MQ为斜边的等腰直角三角形时，③当△QMN是以MN为斜边的等腰直角三角形时，分别画出图形结合图形进行计算即可．(1)解：∵顶点D的坐标为（1，﹣4），∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4，将点A（﹣1，0）代入，得0＝a（﹣1﹣1）2﹣4，解得：a＝1，∴y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3，∴该抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；(2)解：∵抛物线对称轴为直线x＝1，A（﹣1，0），∴B（3，0），设直线BD解析式为y＝kx+e，∵B（3，0），D（1，﹣4），∴，解得：，∴直线BD解析式为y＝2x﹣6，过点C作CP1∥BD，交抛物线于点P1，设直线CP1的解析式为y＝2x+d，将C（0，﹣3）代入，得﹣3＝2×0+d，解得：d＝﹣3，∴直线CP1的解析式为y＝2x﹣3，结合抛物线y＝x2﹣2x﹣3，可得x2﹣2x﹣3＝2x﹣3，解得：x1＝0（舍），x2＝4，故P1（4，5），过点B作y轴平行线，过点C作x轴平行线交于点G，∵OB＝OC，∠BOC＝∠OBG＝∠OCG＝90°，∴四边形OBGC是正方形，设CP1与x轴交于点E，则2x﹣3＝0，解得：x＝32，∴E（32，0），在x轴下方作∠BCF＝∠BCE交BG于点F，∵四边形OBGC是正方形，∴OC＝CG＝BG＝3，∠COE＝∠G＝90°，∠OCB＝∠GCB＝45°，∴∠OCB﹣∠BCE＝∠GCB﹣∠BCF，即∠OCE＝∠GCF，∴△OCE≌△GCF（ASA），∴FG＝OE＝32，∴BF＝BG﹣FG＝3﹣32＝32，∴F（3，﹣32），设直线CF解析式为y＝k1x+e1，∵C（0，﹣3），F（3，﹣32），∴，解得：，∴直线CF解析式为y＝12x﹣3，结合抛物线y＝x2﹣2x﹣3，可得x2﹣2x﹣3＝12x﹣3，解得：x1＝0（舍），x2＝52，∴P2（52，﹣74），综上所述，符合条件的P点坐标为：（4，5）或（52，﹣74）；(3)解：（3）设直线AC解析式为y＝m1x+n1，直线BC解析式为y＝m2x+n2，∵A（﹣1，0），C（0，﹣3），∴，解得：，∴直线AC解析式为y＝﹣3x﹣3，∵B（3，0），C（0，﹣3），∴，解得：，∴直线BC解析式为y＝x﹣3，设M（t，t﹣3），则N（t，t2﹣2t﹣3），∴MN＝|t2﹣2t﹣3﹣（t﹣3）|＝|t2﹣3t|，①当△QMN是以NQ为斜边的等腰直角三角形时，此时∠NMQ＝90°，MN＝MQ，如图2，∵MQ∥x轴，∴Q（﹣13t，t﹣3），∴|t2﹣3t|＝|t﹣（﹣13t）|，∴t2﹣3t＝±43t，解得：t＝0（舍）或t＝53或t＝133，∴，；，；②当△QMN是以MQ为斜边的等腰直角三角形时，此时∠MNQ＝90°，MN＝NQ，如图3，∵NQ∥x轴，∴Q（，t2﹣2t﹣3），∴NQ＝|t﹣|＝13|t2+t|，∴|t2﹣3t|＝13|t2+t|，解得：t＝0（舍）或t＝5或t＝2，∴M3（5，2），Q3（﹣5，12）；M4（2，﹣1），Q4（0，﹣3）；③当△QMN是以MN为斜边的等腰直角三角形时，此时∠MQN＝90°，MQ＝NQ，如图4，过点Q作QH⊥MN于H，则MH＝HN，∴H（t，），∴Q（，），∴QH＝|t﹣|＝16|t2+5t|，∵MQ＝NQ，∴MN＝2QH，∴|t2﹣3t|＝2×16|t2+5t|，解得：t＝7或1，∴M5（7，4），Q5（﹣7，18）；M6（1，﹣2），Q6（0，﹣3）；综上所述，点M及其对应点Q的坐标为：，；，；M3（5，2），Q3（﹣5，12）；M4（2，﹣1），Q4（0，﹣3）；M5（7，4），Q5（﹣7，18）；M6（1，﹣2），Q6（0，﹣3）．【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式，求一次函数与二次函数图象交点坐标，全等三角形判定和性质，正方形判定和性质，等腰直角三角形性质等，本题属于中考压轴题，综合性强，难度较大，熟练掌握待定系数法、等腰直角三角形性质等相关知识，运用数形结合思想、分类讨论思想是解题关键．2．（1）224233y x x =--+；（2）35(,)22P -（3）存在，12(1,0),(5,0)Q Q --，34(27,0),(27,0)Q Q ．【解析】【分析】（1）根据待定系数法求抛物线解析式；（2）设224(,)33P t t --根据（1）的结论求得C 的坐标，进而求得AC 的解析式，过P 作PD ⊥x 轴交AC 于点D ，进而求得PD 的长，根据12APC C A S PD x x =⋅⋅-△求得APC S 的表达式，进而根据二次函数的性质求得取得最大值时，t 的值，进而求得P 点的坐标；（3）分情况讨论，①//CM AQ ，②//AC MQ ，根据抛物线的性质以及平行四边形的性质先求得M 的坐标进而求得Q 点的坐标．【详解】（1）二次函数22y ax bx =++的图象与x 轴交于()()3,0,1,0A B -两点，则093202a b a b =-+⎧⎨=++⎩解得2343a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴抛物线解析式为224233y x x =--+ （2）抛物线224233y x x =--+与y 轴交于点C ，令0x =，则2y = (0,2)C ∴设直线AC 的解析式为y kx b =+，由(3,0)A -，(0,2)C ，则302k b b -+=⎧⎨=⎩解得232k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴直线AC 的解析式为223y x =+， 如图，过P 作PD ⊥x 轴交AC 于点D ，设224(,)33P t t --，则2(,2)3D t t +， 2224222223333PD t t t t t ⎛⎫∴=--+-+=-- ⎪⎝⎭∴12APC C A S PD x x =⋅⋅-△212(2)323t t =⨯--⨯2239324t t t ⎛⎫=--=-++ ⎪⎝⎭ ∴当32t =-时，APC S 取得最大值，此时222423435223332322t t ⎛⎫⎛⎫--+=-⨯--⨯-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∴35(,)22P - （3）存在，理由如下抛物线解析式为224233y x x =--+()228133x =-++ ∴抛物线的对称轴为直线1x =①如图，当//CM AQ 时，Q 点在x 轴上，//CM x 轴∴,M C 关于抛物线的对称轴直线1x =对称，(0,2)C(2,2)M ∴-2CM ∴=122AQ AQ ∴==(3,0)A -12(1,0),(5,0)Q Q ∴--②当//AC MQ 时，如图，设M 的纵坐标为n ，四边形ACQM 是平行四边形，点A ,Q 在x 轴上，则,AQ MC 的交点也在x 轴上， 202n +∴= 解得2n =-设(,2)M m -，2242233x x ∴-=--+ 解得17x =-(17,2)M ∴--A 点到C 点是横坐标加3，纵坐标加2∴M 点到Q 点也是横坐标加3，纵坐标加2 即(173,0)Q -±34(27,0),(27,0)Q Q ∴综上所述，存在点Q ，使得以A C M Q 、、、为顶点的四边形是平行四边形，Q 点的坐标为12(1,0),(5,0)Q Q --，34(27,0),(27,0)Q Q ．【点睛】本题考查了二次函数综合，待定系数法，二次函数最值，二次函数的图象与性质，平行四边形的性质，综合运用以上知识是解题的关键．3．（1）B 2C 2；（233-3）OA 最小值为1，相应的3BC =OA 最大值为2，相应的6BC =【解析】【分析】（1）结合题意，根据旋转和圆的性质分析，即可得到答案；（2）根据题意，分B C ''在x 轴上方和x 轴上方两种情况；根据等边三角形、勾股定理、全等三角形的性质，得32AD OD ==，从而完成求解； （3）结合题意，得当AC '为⊙O 的直径时，OA 取最小值；当A 、B '、O 三点共线时，OA 取最大值；根据勾股定理、等腰三角形的性质计算，即可得到答案．【详解】（1）线段B 1C 1绕点A 旋转得到的11B C ''，均不能成为⊙O 的弦∴线段B 1C 1不是⊙O 的以点A 为中心的“关联线段”；线段B 2C 2绕点A 旋转得到的22B C ''，如下图：∴线段B 2C 2是⊙O 的以点A 为中心的“关联线段”；线段B 3C 3绕点A 旋转得到的33B C ''，均不能成为⊙O 的弦∴线段B 3C 3不是⊙O 的以点A 为中心的“关联线段”；故答案为：B 2C 2；（2）∵△ABC 是边长为1的等边三角形，点A （0，t ），⊙O 的半径为1 ∴//B C x ''轴分B C ''在x 轴上方和x 轴上方两种情况：当B C ''在x 轴上方时，B C ''与y 轴相交于点D ，见下图：∵1OB OC ''==∴1122B D B C '''== ∴2232OD OB B D ''=-=∵△ABC 是边长为1的等边三角形，即△AB C ''是边长为1的等边三角形， ∴AC D OC D ''∠=∠，AD B C ''⊥ ∴AC D OC D ''△≌△∴32AD OD == ∴3AO AD OD =+=∴3t =；当B C ''在x 轴上方时，B C ''与y 轴相交于点D ，见下图：同理，3AO AD OD =+=∴()0,3A -；∴t 3=-；∴3t =或3-；（3）当AC '为⊙O 的直径时，OA 取最小值，如下图：∴OA 最小值为1，90AB C ''∠=︒ ∴223BC B C AC AB ''''==-=；当A 、B '、O 三点共线时，OA 取最大值，2OA AC '== ，如下图：作AE OC '⊥交OC '于点E ，作C F AO '⊥交AO 于点F ，如下图∵2OA AC '==∴1122OE OC '==∴2215AE AO OE - ∵11222AE OC OB C F '''⨯=⨯⨯ ∴1152C F AE '==∴2214OF OC C F ''=-=∴34B F OB OF ''=-=∴262BC B C C F B F ''''==+=∴OA 最小值为1，相应的3BC =；OA 最大值为2，相应的62BC =． 【点睛】本题考查了旋转、圆、等边三角形、勾股定理、全等三角形、等腰三角形的知识；解题的关键是熟练掌握旋转、圆周角、等腰三角形三线合一、勾股定理的性质，从而完成求解．4．（1）(3,5)M ，（2）1(5,)2C t t +；（3）(20,0)B ；（4）154或10． 【解析】 【分析】（1）利用中点坐标公式计算即可．（2）如图1中，作ME OB ⊥于E ，CF x ⊥轴于F ．证明()MEB BFC AAS ∆≅∆，利用全等三角形的性质即可解决问题．（3）如图2中，存在．由题意当CF OA =时，可证四边形AOBD 是矩形，构建方程即可解决问题．（4）分三种情形：①如图3中，当AD BD =时，以AB 为对角线可得菱形ADBN ，此时点N 在y 轴上．②如图4中，当AD AB =时，以BD 为对角线可得菱形ABND ．此时点N 的纵坐标为6．③因为BD AB ≠，所以不存在以AD 为对角线的菱形． 【详解】解：（1）如图1中，(0,10)A ，(6,0)B ，AM BM =， (3,5)M ∴，（2）如图1中，作ME OB ⊥于E ，CF x ⊥轴于F ．//ME OA ，AM BM =， 12OE EB t ∴==，152ME OA ==，90MEB CFB CBM ∠=∠=∠=︒，90MBE CBF ∴∠+∠=︒，90MBE BME ∠+∠=︒， BME CBF ∴∠=∠，()MEB BFC AAS ∴∆≅∆，5BF ME ∴==，12CF BE t ==，5OF OB BF t ∴=+=+， 1(5,)2C t t ∴+．（3）存在．如图2中，作ME OB ⊥于E ，CF x ⊥轴于F ．理由：由题意当=10CF OA =时，//OA CF ， ∴四边形AOFC 是平行四边形，90AOF ∠=︒，∴四边形AOFC 是矩形，90DAO AOB DBO ∴∠=∠=∠=︒，∴四边形AOBD 是矩形，又∵由（2）得12CF BE t ==， 即：1102t =，解得：20t =．(20,0)B ∴．（4）①如图3中，当AD BD =时，以AB 为对角线可得菱形ADBN ，此时点N 在y 轴上．AD BD =， BAD ABD ∴∠=∠，OAB ABD ∴∠=∠，OAB BAD ∴∠=∠． tan tan OAB BAD ∴∠=∠， ∴12OB BC OA BA ==，即1102t =，5t ∴=，5OB ∴=，设AN NB m ==，在Rt OBN △中，则有2225(10)m m =+-， 解得254m =， 25151044ON OA AN ∴=-=-=， ∴点N 的纵坐标为154． ②如图4中，当AD AB =时，以BD 为对角线可得菱形ABND ．此时点N 的纵坐标为10．③BD AB ≠，∴不存在以AD 为对角线的菱形． 综上所述，满足条件的点N 的纵坐标为154或10． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的判定和性质，菱形的判定和性质，翻折变换，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．5．（1）证明见解析；（23333xx；（3）194【解析】 【分析】（1）如图，连接,AC 证明,ACB ACD 都为等边三角形，可得,AC AD = 再证明,ACM ADE ≌从而可得答案；（2）如图，记,AC BD 交于点,O 设,,DFa OFb 四边形ABCD 为菱形，60,ABC ∠=︒表示33,33OA OB a b 利用,2DF ax BF a b则2,1a xb x再利用三角函数的定义可得答案；（3）如图，设,DFESn 证明,DFE BFA ∽ 2,BFAnSx 再表示2222,,33ABGAGFn nSS S x x 结合菱形的轴对称的性质可得：2=,3CBG nS x 表示,AFDn S x可得2=,BCD ABDn n S Sxx 可得2212243334,3nn n S x x x x n S x 再利用二次函数的性质可得答案.【详解】证明：（1）如图，连接,AC 菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，,60,120,60,AB BC CDAD ABC ADC BAD BCD BAC CAD ACB,ACB ACD 都为等边三角形，,AC AD ∴=,60,DE CM ACM ADE,ACM ADE ≌ ,,AMAE MAC EAD 60,MACCAECAEEADAME ∴是等边三角形（2）如图，记,AC BD 交于点,O设,,DF a OF b 四边形ABCD 为菱形，60,ABC ∠=︒,,30,ACBD OB OD a b ABO33,33OAOB a b ,2DF a x BFa b1221,a b bx a a 11,22b ax 则2,1ax bx333tan 13a b OAa AFBOFbb32331,3133xxxx（3）如图，设,DFESn四边形ABCD 是平行四边形，,DFE BFA ∽22=,BFAn DF x S BF2,BFAn SxFG ＝2BG ， 2222,,33ABGAGFn n SS S xx根据菱形的轴对称的性质可得：2=,3CBG n S x ,AFD ABFS DF x SBF2,AFDn n S x x x 2=,BCDABD n n SSxx1222224=333n n n n n nS nn x x x x x x， 2212243334,3n n n S x x x x n S x 30,a所以12S S 有最大值， 当31232x时，最大值为：1119334.424【点睛】本题考查的是菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，列二次函数关系式，二次函数的性质，锐角三角函数的应用，灵活运用以上知识解题是解本题的关键.6．（1）213442y xx =-++；（2）点P 的坐标为：（6，41，2）；（3）11NC MC +=【解析】 【分析】（1）根据题意，先证明AOC ∆∽COB ∆，得到AO OCCO OB=，求出点A 、B 的坐标，然后利用待定系数法，即可求出抛物线解析式；（2）根据题意，可分为两种情况：AOC ∆∽PQC ∆或AOC ∆∽CQP ∆，结合解一元二次方程，相似三角形的判定和性质，分别求出点P 的坐标，即可得到答案；（3）过点E 作EI ⊥AC 于I ，EJ ⊥CN 于J ，然后由角平分线的性质定理，得到EI =EJ ，再证明△MEI ∽△MNC ，△NEJ ∽△NMC ，得到111NC MC EI+=，然后求出EI 一个定值，即可进行判断． 【详解】解：（1）∵以AB 为直径的圆过点C ， ∴∠ACB =90°， ∵点C 的坐标为()0,4， ∴CO ⊥AB ，∴∠AOC =∠COB =90°，∴∠ACO +∠OCB =∠ACO +∠OAC =90°， ∴∠OCB =∠OAC , ∴AOC ∆∽COB ∆，∴AO OCCO OB=， ∵4CO =，10AO BO AB +==， ∴10AO OB =-， ∴1044OB OB-=， 解得：2OB =或8OB =， 经检验，满足题意， ∵OB OA >， ∴8OB =，∴点A 为（2-，0），点B 为（8，0）．设抛物线的解析式为2y ax bx c =++，把点A 、B 、C 三点的坐标代入，有44206480c a b c a b c =⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩，解得：14324a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩，∴抛物线的解析式为213442y x x =-++；（2）根据题意，如图：当AOC ∆∽PQC ∆时， ∴ACO PCQ ∠=∠， ∵90ACO OCB ∠+∠=︒， ∴90PCQ OCB ∠+∠=︒， ∴PC ⊥OC ， ∴点P 的纵坐标为4，当4y =时，有2134442x x -++=，解得：16x =或20x =（舍去）； ∴点P 的坐标为（6，4）；当AOC ∆∽CQP ∆时，则此时BC 垂直平分OP ，作PG ⊥y 轴，垂足为G ，如上图， ∴90CQP AOC ∠=∠=︒，∴AC ∥OP ， ∴∠ACO =∠POG ， ∵90PGO AOC ∠=∠=︒， ∴AOC ∆∽PGO ∆， ∴AO OCPG GO=， 设点P 为（x ，213442x x -++）， ∴PG x =，213442GO x x =-++，∴22413442x x x =-++， 解得：171x =±-， ∵点P 在第一象限， ∴171x =-，∴2134217242x x -++=-，∴点P 的坐标为（171-，2172-）；综合上述，点P 的坐标为：（6，4）或（171-，2172-）； （3）过点E 作EI ⊥AC 于I ，EJ ⊥CN 于J ，如图：∵CE 是∠ACB 的角平分线， ∴EI =EJ ，∵EI ∥CN ，EJ ∥CM ，∴△MEI ∽△MNC ，△NEJ ∽△NMC ， ∴EI ME NC MN =，EJ NE MC MN =， ∴1EI EJ ME NENC MC MN MN +=+=， ∴1EI EI NC MC +=， ∴111NC MC EI+=， ∵△ACO ∽△AEI ，∴12AI AO EI CO ==，∵AC = ∵AC AI IC AI EI =+=+，12=，解得：EI =∴111NC MC EI +==∴11NC MC+是一个定值． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，求二次函数的解析式，二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是熟练掌握题意，正确的作出辅助线，运用数形结合的思想进行解题．7．（1）①B ；D ；4；②1；（2）1522y x =-+或24y x =-+【解析】 【分析】（1）①根据“近点”、“远点”以及“ 特征数”的定义判断即可；②过点O 作OH ⊥直线n 于点H ，交O 于点Q ，P ．先分别求得点E 、F 的坐标，进而可求得EF 的长，再利用等积法求得OH 的长，进而即可解决问题；（2）如图，先求得“近点”N 到直线l 的距离NH AOB AHN △∽△即可求得答案． 【详解】解：（1）①由题意，点B 是O 关于直线m 的“近点”， 点D 是O 关于直线m 的“远点”， ∵点E 的坐标为（0，3）．⊙O 的半径为1， ∴OE ＝3，OB ＝OD ＝1，∴BE ＝OE －OB ＝2，DB ＝OB ＋OD ＝2，O 关于直线m 的特征数224DB BE =⋅=⨯=， 故答案为：B ；D ；4；②如图，过点O 作OH ⊥直线n 于点H ，交O 于点Q ，P ，设直线33y x =-+交x 轴于点F ，交y 轴于点E ， 令y ＝0，则x ＝3；令x ＝0，则y ＝3， ∴(3F ，0)，(0,3)E ，3OE ∴=，3OF =，22223(3)23EF OE OF ∴=+=+=，∵1122EOF S OE OF EF OH =⋅=⋅△， ∴11332322OH ⨯⨯=⨯⋅， 解得：32OH =， 12QH OH OQ ∴=-=， 又∵2PQ OQ OP =+=，O ∴关于直线n 的“特征数” 1212PQ QH =⋅=⨯=；（2）如图，设直线l 交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，过点F 作FH ⊥直线l ，垂足为点H ，交⊙F 于N ，G ，∵⊙F 5，∴FN ＝FG 5，∴GN ＝FN ＋FG 5∵⊙F 关于直线l 的“特征数”是6， ∴GN·NH ＝6，NH ＝6， 解得：NH设直线l 的解析式是y kx b =+， ∵直线l 经过点M （1，2），∴将（1，2）代入y kx b =+，得：2k b +=， 2b k ∴=-，(2)y kx k ∴=+-，∴当0x =时，2y k =-，∴点B 坐标为（0，2－k ），|2|OB k ∴=-，当0y =时，(2)0kx k +-=， 解得：2k x k-=， ∴点A 坐标为（2k k-，0）， 2||k OA k -∴=，22|(1)||1|k k AN k k--=--=+，AB ∴2||k k-= BAO NAH ∠=∠，90AOB AHN ∠=∠=︒， AOB AHN ∴△∽△，∴NH ANOB AB=，∴|2|522|1|||k k k k k-=--+， 整理，得：22520k k ++=，解得：12k =-或2k =-，∴直线l 的解析式为1522y x =-+或24y x =-+．【点睛】本题属于圆综合题，考查了一次函数的性质，相似三角形的判定和性质运用以及勾股定理的运用，远点，近点，特征数等新定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．8．（1）y ＝－x 2+2x +3，y ＝-x +3；（2）存在，（－1，0）或（4，－5）；（3）存在，（1，2）或（1，－3） 【解析】 【分析】（1）将点A ，B 坐标代入抛物线解析式中，求出b ，c 得出抛物线的解析式，进而求出点C 的坐标，再将点A ，C 坐标代入直线AC 的解析式中，即可得出结论；（2）利用抛物线的对称性得出BD AD =，进而判断出ABC 的面积和ACP △的面积相等，即可得出结论；（3）分点Q 在x 轴上方和在x 轴下方，构造全等三角形即可得出结论． 【详解】（1）把(30)A ，、(10)B -，代入2y x bx c =-++， 解得2b =、3c =∴抛物线的解析式为2y x 2x 3=-++则C 点为（0，3），又(30)A ，，代入1y kx b =+， 得1k =-，13b =， ∴直线AC 的解析式为3y x =-+， （2）如图，连接BC ，∵点D 是抛物线的对称轴与x 轴的交点， ∴AD BD =， ∴2ABCACDSS=，∵2ACP ACD S S =△△，∴ACP ABC S S =△△，此时，点P 与点B 重合， 即：(10)P -，， 过B 点作PB AC ∥交抛物线于点P ，则直线BP 的解析式为1y x =--①， ∵抛物线的解析式为2y x 2x 3=-++②，联立①②解得，10x y =-⎧⎨=⎩或45x y =⎧⎨=-⎩，∴P （4，﹣5），∴即点P 的坐标为（﹣1，0）或（4，﹣5）； （3）由（1）可知，抛物线解析式为()214y x =--+ 把1x =代入直线AC 解析式3y x =-+得AC 与抛物线对称轴的交点(1,2)M ，如下图所示：22222BM AM ==+，4AB =即222BM AM AB +=则MAB △是等腰直角三角形，符合题意，M 点即为所求Q 点的一种情况，当Q 点在x 轴下方时，设Q 为(1,)m ，0m ＜， 因为线段AQ 绕Q 点顺时针旋转90°得到线段1QA 过A1作直线DQ 的垂线于E 点，则1ADQ QEA ≌ ∴2AD QE ==，1DQ EA m ==- ∴12(1)A m m --，∵点A1恰好落在抛物线2y x 2x 3=-++上， 代入，解得m=－3或2m = (舍去) ∴Q （1，－3）综上，Q 点坐标为（1,2）或（1，－3）， 【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，涉及解析式的求解，与三角形面积有关的问题，全等三角形的判定与性质，解题的关键是利用数形结合的思想，设点坐标并结合几何图形的性质列式求解．9．（1）直线AC 的解析式为y ＝﹣x +6；（2）d =4-t ；（3）Q （212，1）． 【解析】 【分析】（1）先由解析式求出得A 、C 点的坐标，得OA =OC ，得四边形ABCO 为正方形，再根据正方形的面积求得边长，便可得b 的值；（2）过点Q 作QG ⊥AB 交AB 延长沿于点G ，证明Rt △AOP ≌Rt △GPQ （AAS ），得到AP =GQ ，进而求得结论便可；（3）过点P 作PH ⊥OF 于点H ，延长PH 交EQ 的延长线于点R ，EQ 的延长线与x 轴交于点N ，过Q 作QM ⊥x 轴于点M ．证明Rt △AOP ≌Rt △GPQ （CCS ），得PK =QR ，∠R=∠OKP，再证明∠R=∠FPR，得EP=ER，再证FE=NR，设FE=NR=k，NQ=m，在Rt△PQE中，由勾股定理列出方程，得到k与m的关系，解Rt△PQE得tan∠PEQ，进而把这个函数值运用到△OAP中，求得t的值，再运用（2）中结论得Q的纵坐标d的值，再运用到△QNM中求得NM，NQ的值，进而求得ON，便可得Q的横坐标的值．【详解】解：（1）∵直线y＝﹣x+b（b＞0）交x轴于点A，交y轴于点C，A b C b，∴(,0),(0,)∴OA=OC=b，∴矩形ABCO为正方形，∵矩形ABCO的面积是36．∴b=6，即直线AC的解析式为y＝﹣x+6；（2）如图，过点Q作QG⊥AB交AB延长沿于点G，∵∠OPQ=90°，∴∠APO+∠GPQ=90°，∵∠APO+∠AOP=90°，∴∠AOP=∠GPQ，∵在矩形ABCO，∠OAP=90°，QG⊥AB,∴∠QGP=∠OAP=90°，∵PQ=OP，∴Rt△AOP≌Rt△GPQ（AAS），∴AP=GQ，∵AP=t，∴GQ=t，∴d=4-t；（2）过点P作PH⊥OF于点H，延长PH交EQ的延长线于点R，EQ的延长线与y轴交于点N，过Q作QM⊥y轴于点M．则AP=t，QM=d，且d=6-t．∵OF 平分∠POC ， ∴∠POF =∠COF =∠PFO ， ∴PF =PO ，∵PH ⊥OF ，∠OPQ ＝90°， ∴∠OPH =∠FPH ，∠KPH =∠POH ， 在△OPK 和△PQR 中， 90OPK PQR PO QP POK QPR ∠∠︒⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝＝， ∴△OPK ≌△PQR （ASA ）， ∴PK =QR ，∠R =∠OKP ，∵∠OKP +∠POK =∠POK +∠OPH =90°， ∴∠OKP =∠OPH ， ∴∠R =∠OPH ， ∵PO =PF ，PH ⊥OF ， ∴∠OPH =∠FPH ， ∴∠R =∠FPR ， ∴EP =ER ，∵PE ∥ON ，OP ∥EN ， ∴四边形OPEN 是平行四边形， ∴EN =PO =PF ， ∴PE -PF =ER -EN ， ∴FE =NR ，设FE =NR =k ，则KQ =2FE =2k ， 又设NQ =m ，∴PK=QR=m+k，∴PQ=m+3k，∴PO=EN=PF=m+3k，∴QE=EN-QR=m+3k-m=3k，PE=PF+FE=4k+m，在Rt△PQE中，∵PE2=PQ2+QE2，∴（4k+m）2=（3k+m）2+（3k）2，∴k1=0（舍去），k2=m，∴PQ=4m，QE=3m，∴tan∠PEN=43 PQQE=，∵OP∥EN，∴∠OPA=∠PEN，∴tan∠APO=43，∵AO=6，∴AP=4.5，∴t=4.5，∴QM=d=6-t=1.5，∵PE∥OC，∴∠QNM=∠PEN，∴tan∠QNM=tan∠PEN=43，∴NM=9 tan8QMQNM=∠，∴m=NQ158 =，∴PE=ON=4k+m=5m=758，∴OM=ON+NM=212，∴Q（212，1）．【点睛】本题是一次函数与四边形的综合题，主要考查了一次函数的图象与性质，全等三角形的性质与判定，正方形的性质，旋转的性质，解直角三角形的应用，等腰三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，是一道综合性极强的题目，解决这类问题常用到数形结合、方程和转化等数学思想方法．构造全等三角形是解题的关键，也是问题的突破口．10．（1）；（2）；（3）【解析】 【分析】（1）由抛物线的二次项系数 再根据交点式可得抛物线为从而可得答案；（2）先画好图形，证明利用相似三角形的性质求解从而可得答案；（3）如图，过P 作轴于,K 过M 作于,N 证明即再求解则，再解方程可得 4,t = 再求解的解析式，再联立解析式解方程可得答案. 【详解】 解：（1） 抛物线交x 轴于()2,0A -、()5,0B 两点，所以可得抛物线为：（2）如图，过P 作于,H 连AP 交OC 于则，x 则令0,（3）如图，过P作轴于,K过M作于,N 由（2）得：，，轴，则轴，，即结合（1）可得：四边形为矩形，。

2023年九年级数学中考专题：二次函数与圆综合压轴题1．如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．(1)求抛物线解析式；(2)如图2，M是抛物线顶点，的外接圆与x轴的另一交点为D，与y轴的另一交点为E．①求；②若点N是第一象限内抛物线上的一个动点，在射线上是否存在点P，使得与相似？如果存在，请求出点P的坐标；(3)点Q是拋物线对称轴上一动点，若为锐角，且，请直接写出点Q 纵坐标的取值范围．2．【概念学习】在平面直角坐标系中，对于已知的点和图形，给出如下定义：如果图形上存在一点，使得当时，，则称点为图形的一个“垂近点”．(1)【初步理解】若图形为线段，，，在点、、、中，是线段的“垂近点”的为________；(2)【知识应用】若图形为以坐标原点为圆心，2为半径的圆，直线与轴交于点、与轴交于点，如果线段上的点都是的“垂近点”，求的取值范围；(3)若图形为抛物线，以点为中心，半径为的四边形，轴，轴，如果正四边形上存在“垂近点”，直接写出的取值范围．3．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点，与y 轴交于C点，D为抛物线顶点．(1)连接AD，交y轴于点E，P是抛物线上的一个动点．①如图一，点P是第一象限的抛物线上的一点，连接PD交x轴于F，连接，若，求点P的坐标．②如图二，点P在第四象限的抛物线上，连接AP、BE交于点G，若，则w 有最大值还是最小值？w的最值是多少？(2)如图三，点P是第四象限抛物线上的一点，过A、B、P三点作圆N，过点作轴，垂足为I，交圆N于点M，点在运动过程中，线段是否变化？若有变化，求出MI的取值范围；若不变，求出其定值．(3)点Q是抛物线对称轴上一动点，连接OQ、AQ，设AOQ外接圆圆心为H，当的值最大时，请直接写出点H的坐标．4．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2＋bx－4(a≠0)经过点A(－2，0)和点B(4，0)．（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；（2）点P为抛物线上第一象限内一点，若S△ABC＝2S△PBC，求点P的坐标；（3）如图2，点D是第二象限内抛物线上一点，过点D作DF⊥x轴，垂足为F，△ABD 的外接圆与DF相交于点E．试问：线段EF的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．5．如图，抛物线经过点，，直线AC的解析式为，且与y轴相交于点C，若点E是直线AB上的一个动点，过点E作轴交AC于点F．（1）求抛物线的解析式；（2）点H是y轴上一动点，连结EH，HF，当点E运动到什么位置时，四边形EAFH 是矩形?求出此时点E，H的坐标；（3）在（2）的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为上以动点，求的最小值．6．已知二次函数的图象经过点A（2，0），B（，0），C（0，4），点为二次函数第二象限内抛物线上一动点，轴于点，交直线于点，以为直径的圆⊙M与交于点．（1）求这个二次函数的关系式；（2）当三角形周长最大时．求此时点点坐标及三角形的周长；（3）在（2）的条件下，点N为⊙M上一动点，连接BN，点Q为BN的中点，连接HQ，求HQ的取值范围．7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线，y与轴交于A、B两点，与轴交于点C．（1）求点A、B、C的坐标；（2）如图1，连接BC，点D是抛物线上一点，若∠DCB=∠ABC，求点D的坐标；（3）如图2，若点P在以点O为圆心，OA长为半径作的圆上，连接BP、CP，请你直接写出CP+BP的最小值．8．如图，在平面直角坐标系中，半径为1的圆的圆心在坐标原点，且与两坐标轴分别交于、、、四点，点坐标为．抛物线与轴交于点，与直线交于点、，且、分别与圆相切于点和点．（1）求抛物线的解析式．（2）过点作圆的切线交的延长线于点，判断点是否在抛物线上，说明理由．（3）抛物线对称轴交轴于点，连接并延长交于点，求点的坐标．9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交y轴于点，交x轴于两点．(1)求此抛物线的解析式；(2)已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A、C两点之间，问：当点P运动到什么位置时，的面积最大？并求出此时P点的坐标和的最大面积；(3)过点B作线段的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线相切，请判断抛物线的对称轴l与有怎样的位置关系，并给出证明．10．如图，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线经过B、C两点，且与x轴交于另一点A．（1）求抛物线的解析式．（2）点P是线段BC下方的抛物线上的动点（不与点B、C重合），过P作PD∥y轴交BC 于点D，以PD为直径的圆交BC于另一点E，求DE的最大值及此时点P的坐标；（3）当（2）中的DE取最大值时，将△PDE绕点D旋转，当点P落在坐标轴上时，求点E的坐标．11．直角坐标系xOy中，有反比例函数上的一动点P，以点P为圆心的圆始终与y轴相切，设切点为A（1）如图1，⊙P运动到与x轴相切时，求OP2的值．（2）设圆P运动时与x轴相交，交点为B、C，如图2，当四边形ABCP是菱形时，①求出A、B、C三点的坐标．②设一抛物线过A、B、C三点，在该抛物线上是否存在点Q，使△QBP的面积是菱形ABCP 面积的？若存在，求出所有满足条件的Q点的坐标；若不存在，说明理由．12．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，以点P（2，）为圆心的圆与y轴相切于点A，与x轴相交于B、C两点（点B在点C的左边）．（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）在（1）中的抛物线上是否存在点M，使△MBP的面积是菱形ABCP面积的．如果存在，请直接写出所有满足条件的M点的坐标；如果若不存在，请说明理由；（3）如果一个动点D自点P出发，先到达y轴上的某点，再到达x轴上某点，最后运动到（1）中抛物线的顶点Q处，求使点D运动的总路径最短的路径的长．13．已知，如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A(﹣1，0)，B(3，0)，点E为二次函数第一象限内抛物线上一动点，EH⊥x轴于点H，交直线BC于点F，以EF为直径的圆⊙M与BC交于点R.(1)求这个二次函数关系式.(2)当△EFR周长最大时.①求此时点E点坐标及△EFR周长.②点P为⊙M上一动点，连接BP，点Q为BP的中点，连接HQ，求HQ的最大值.14．如图所示，对称轴为直线的抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，点在抛物线对称轴上并且位于轴的下方，以点为圆心作过、两点的圆，恰好使得弧的长为周长的．(1)求该抛物线的解析式；(2)求的半径和圆心的坐标，并判断抛物线的顶点与的位置关系；(3)在抛物线上是否存在一点，使得？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．15．已知抛物线y＝ax2+bx+5（a≠0）经过A（5，0），B（6，1）两点，且与y轴交于点C．(1)求抛物线y＝ax2+bx+5（a≠0）的函数关系式；(2)如图1，连接AC，E为线段AC上一点且横坐标为1，⊙P是△OAE外接圆，求圆心P 点的坐标；(3)如图2，连接AC，E为线段AC上任意一点（不与A、C重合）经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F；①点E在运动过程中四边形OEAF的面积是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由；②求出当△AEF的面积取得最大值时，点E的坐标．16．如图1，已知圆O的圆心为原点，半径为2，与坐标轴交于A，C，D，E四点，B 为OD中点．(1)求过A，B，C三点的抛物线解析式；(2)如图2，连接BC，AC．点P在第一象限且为圆O上一动点，连接BP，交AC于点M，交OC于点N，当MC2＝MN•MB时，求M点的坐标；(3)如图3，若抛物线与圆O的另外两个交点分别为H，F，请判断四边形CFEH的形状，并说明理由．17．已知一次函数：与轴交于点，与轴交于点．抛物线（、为常数）过定点，连接，点为线段上一动点．（1）求出点的坐标；（2）过作于点，于点，设点横坐标为，长度为，试求关于的函数解析式；（3）①当，时，该抛物线上存在唯一的点使，求此时抛物线的解析式；②过点作交线段于点，连接并延长交的外接圆于点，当点在上移动时，求的最大值．18．已知抛物线经过，，三个点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，作的外接圆，为上方半圆上一点，当时，求的长；（3）如图2，直线与抛物线交于，两点，与轴交于点，作轴的平行线，分别与线段、抛物线交于，两点（点与点，不重合），点为射线上一点，当与相似时，求的最大面积．参考答案：1．(1)(2)①；②存在，或或或(3)或2．(1)，；(2)；(3)或时，正方形上存在抛物线的“垂近点”．3．(1)①，②w有最小值，w的最值是(2)不变，(3)或4．（1）；（2）；（3）为定值．5．（1）；（2），；（3）6．（1）；（2）F（，4），△EFD的周长为；（3）．7．（1），，；（2），；（3）8．（1）；（2）点在抛物线上；（3）9．（1）；（2），；（3）相交，10．（1）y=x2﹣x﹣2；（2）m=2时，DE有最大值，此时P；（3），或E或11．（1）16；（2）①A（0，），B（2，0），C（6，0）；②存在，满足条件的Q点有（0，），（14，），（8，）和（6，0）．12．（1）．（2）存在，点M的坐标为（0，），（3，0），（4，），（7，）．（3）．13．(1)y＝﹣x2+2x+3；(2)①E(，)，周长为+；②HQ的最大值大为：+.14．(1)(2)2，，点在上(3)存在，，，15．(1)抛物线解析式为y＝x2﹣x+5(2)圆心P点的坐标为（，）(3)①四边形OEAF的面积是定值，这个定值为；②当△OEF的面积取得最小值时，E点坐标为（，）16．(1)y＝﹣x2+x+2；(2)M（，）；(3)四边形CFEH是矩形．17．（1）；（2）（）；（3）①；②18．（1）；（2）；（3）．。

近6年全国各地中考数学真题压轴题训练——圆及其方程（100题）（原卷版)1．如图，在Rt ABC 中，90ACB D ∠︒＝，为AB 的中点，以CD 为直径O 的分别交AC BC ，于点E F ，两点，过点F 作FG AB ⊥于点G . ()1试判断FG 与O 的位置关系，并说明理由．()2若3 2.5AC CD ＝，＝，求FG 的长．2．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，∠BAD=90°，点E 在BC 的延长线上，且∠DEC=∠BAC ．（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）若AC ∥DE ，当AB=8，CE=2时，求AC 的长．3．已知△ABC，以AB 为直径的⊙O 分别交AC 于D ，BC 于E ，连接ED ，若ED=EC ．（1）求证：AB=AC ；（2）若AB=4，BC= ，求CD 的长．4．如图，AB ，AC 分别是半⊙O 的直径和弦，OD ⊥AC 于点D ，过点A 作半⊙O 的切线AP ，AP 与OD 的延长线交于点P ．连接PC 并延长与AB 的延长线交于点F ．（1）求证：PC 是半⊙O 的切线；（2）若∠CAB=30°，AB=10，求线段BF 的长．5．（2015崇左）如图，在平面直角坐标系中，点M 的坐标是（5，4），⊙M 与y 轴相切于点C ，与x 轴相交于A 、B 两点．（1）则点A 、B 、C 的坐标分别是A （__，__），B （__，__），C （__，__）；（2）设经过A 、B 两点的抛物线解析式为21(5)4y x k =-+，它的顶点为F ，求证：直线F A 与⊙M 相切； （3）在抛物线的对称轴上，是否存在点P ，且点P 在x 轴的上方，使△PBC 是等腰三角形．如果存在，请求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．6．如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AD平分∠CAE交⊙O于点D，且AE⊥CD，垂足为点E．（1）求证：直线CE是⊙O的切线．（2）若BC＝3，CD＝，求弦AD的长．7．如图，已知等腰直角三角形ABC，点P是斜边BC上一点（不与B，C重合），PE是△ABP的外接圆⊙O的直径．（1）求证：△APE是等腰直角三角形；（2）若⊙O的直径为2，求的值．8．如图，点O在∠APB的平分线上，⊙O与P A相切于点C．（1）求证：直线PB与⊙O相切；（2）PO的延长线与⊙O交于点E．若⊙O的半径为3，PC=4．求弦CE的长．9．如图，已知四边形ABCD内接于圆O，连结BD，∠BAD=105°，∠DBC=75°．（1）求证：BD=CD；（2）若圆O的半径为3，求的长．10．如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，DE⊥PO交PO延长线于点E，连接PB，∠EDB=∠EPB．（1）求证：PB 是的切线．（2）若PB=6，DB=8，求⊙O 的半径．11．如图，△ABC 中，AB =AC ，以AB 为直径的⊙O 与BC 相交于点D ，与CA 的延长线相交于点E ，过点D 作DF ⊥AC 于点F ．（1）试说明DF 是⊙O 的切线；（2）若AC =3AE ，求tan C ．12．如图，点A B C 、、在半径为8的O 上，过点B 作BD AC ∕∕，交OA 延长线于点D ．连接BC ，且30BCA OAC ∠=∠=︒．（1）求证：BD 是O 的切线；（2）求图中阴影部分的面积．13．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，△ABC 的三个顶点坐标分别为A （1，4），B （1，1），C （3，1）．（1）画出△ABC 关于x 轴对称的△A 1B 1C 1；（2）画出△ABC 绕点O 逆时针旋转90°后的△A 2B 2C 2；（3）在（2）的条件下，求线段BC 扫过的面积（结果保留π）．14．如图，AB 为⊙O 直径，AC 为⊙O 的弦，过⊙O 外的点D 作DE ⊥OA 于点E ，交AC 于点F ，连接DC 并延长交AB 的延长线于点P ，且∠D =2∠A ，作CH ⊥AB 于点H ．（1）判断直线DC 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）若HB =2，cos D =35，请求出AC 的长．15．⊙O 为△ABC 的外接圆，请仅用无刻度的直尺，根据下列条件分别在图1，图2中画出一条弦，使这条弦将△ABC 分成面积相等的两部分（保留作图痕迹，不写作法）．（1）如图1，AC=BC ；（2）如图2，直线l 与⊙O 相切于点P ，且l ∥BC ．16．如图，AB 为⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，过点C 的直线交AB 的延长线于点D ，AE ⊥DC ，垂足为E ，F 是AE 与⊙O 的交点，AC 平分∠BAE ．（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）若AE=6，∠D=30°，求图中阴影部分的面积．17．如图，⊙O 中，弦AB 与CD 相交于点E ,AB CD =,连接AD BC 、.求证：⑴AD BC =；⑵AE CE =.18．如图，AB 是⊙O 的直径，ED 切⊙O 于点C ，AD 交⊙O 于点F ，∠AC 平分∠BAD ，连接BF ．（1）求证：AD ⊥ED ；（2）若CD=4，AF=2，求⊙O 的半径．19．如图，AB 是半圆O 的直径，C 、D 是半圆O 上的两点，且OD ∥BC ，OD 与AC 交于点E ．（1）若∠B=70°，求∠CAD 的度数；（2）若AB=4，AC=3，求DE 的长．20．如图，点C 为△ABD 外接圆上的一动点（点C 不在BD 上，且不与点B ，D 重合），∠ACB=∠ABD=45°．（1）求证：BD 是该外接圆的直径；（2）连结CD ，求证：AC=BC+CD ；（3）若△ABC 关于直线AB 的对称图形为△ABM ，连接DM ，试探究222DM AM BM ，，,三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．21．已知四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，AC 是⊙O 的直径，DE ⊥AB ，垂足为E ．（1）延长DE 交⊙O 于点F ，延长DC ，FB 交于点P ，如图1．求证：PC=PB ；（2）过点B 作BG ⊥AD ，垂足为G ，BG 交DE 于点H ，且点O 和点A 都在DE 的左侧，如图2．若AB=，DH=1，∠OHD=80°，求∠BDE 的大小．22．如图，⊙O 的弦AB 、CD 的延长线相交于点P ，且AB ＝CD ．求证PA ＝PC ．23．如图，在等腰ABC ∆中，AB AC =，以AC 为直径作O 交BC 于点D ，过点D 作DE AB ⊥，垂足为E .（1）求证：DE 是O 的切线.（2）若DE =30C ∠=︒，求AD 的长. 24．如图1，AB 是⊙O 的直径，点C 在AB 的延长线上，AB=4，BC=2，P 是⊙O 上半部分的一个动点，连接OP ，CP ．（1）求△OPC 的最大面积；（2）求∠OCP 的最大度数；（3）如图2，延长PO 交⊙O 于点D ，连接DB ，当CP=DB 时，求证：CP 是⊙O 的切线．25．如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，交BC 于点E ．（1）求证：BE=CE ；（2）若BD=2，BE=3，求AC 的长．26．如图，在Rt ABC ∆中，90C ︒∠＝，以BC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，切线DE 交AC 于点E ．（1）求证：A ADE ∠∠＝；（2）若85AD DE ＝，＝，求BC 的长．27．如图，在等腰ABC △中，120BAC ∠=︒，AD 是BAC ∠的角平分线，且6AD =，以点A 为圆心，AD 长为半径画弧EF ，交AB 于点E ，交AC 于点F ，（1）求由弧EF 及线段FC 、CB 、BE 围成图形（图中阴影部分）的面积；（2）将阴影部分剪掉，余下扇形AEF ，将扇形AEF 围成一个圆锥的侧面，AE 与AF 正好重合，圆锥侧面无重叠，求这个圆锥的高h ．28．如图，M ，N 是以AB 为直径的⊙O 上的点，且AN ＝BN ，弦MN 交AB 于点C ，BM 平分∠ABD ，MF ⊥BD 于点F ．（1）求证：MF 是⊙O 的切线；（2）若CN ＝3，BN ＝4，求CM 的长．29．如图，AB是⊙O的直径，点D是弧AE上一点，且∠BDE=∠CBE，BD与AE交于点F.（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若BD平分∠ABE，求证：DE2=DF·DB；（3）在（2）的条件下，延长ED，BA交于点P，若PA=AO，DE=2，求PD的长.=．30．如图ABC内接于O，60B∠=，CD是O的直径，点P是CD延长线上一点，且AP AC()1求证：P A是O的切线；()2若PD=O的直径．31．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=AC，BD⊥AC，垂足为E，点F在BD的延长线上，且DF=DC，连接AF、CF.(1)求证：∠BAC=2∠DAC；(2)若AF＝10，BC＝tan∠BAD的值.32．如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC．（1）求证：AE=ED；（2）若AB=10，∠CBD=36°，求AC的长．33．如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点．∠APC=∠CPB=60°．（1）判断△ABC的形状：；（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；（3）当点P位于AB的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积．34．如图，AB 是⊙O 的直径，AC 与⊙O 交于点F ，弦AD 平分BAC ∠，DE AC ⊥，垂足为E ．（1）试判断直线DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由； （2）若⊙O 的半径为2，60BAC ︒∠=，求线段EF 的长． 35．如图，在ABC △中，,120AB AC BAC =∠=︒，点D 在BC 边上，D 经过点A 和点B 且与BC 边相交于点E ．(1)求证：AC 是D 的切线；(2)若CE =D 的半径．36．如图，在以线段AB 为直径的⊙O 上取一点，连接AC 、BC ．将△ABC 沿AB 翻折后得到△ABD ．（1）试说明点D 在⊙O 上；（2）在线段AD 的延长线上取一点E ，使AB 2=AC·AE.求证：BE 为⊙O 的切线；（3）在（2）的条件下，分别延长线段AE 、CB 相交于点F ，若BC=2，AC=4，求线段EF 的长.37．如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，∠ABC 的平分线交⊙O 于点D ，DE ⊥BC 于点E ．（1）试判断DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）过点D 作DF ⊥AB 于点F ，若DF=3，求图中阴影部分的面积．38．如图所示，⊙O 的半径为4，点A 是⊙O 上一点，直线l 过点A ；P 是⊙O 上的一个动点（不与点A 重合），过点P 作PB ⊥l 于点B ，交⊙O 于点E ，直径PD 延长线交直线l 于点F ，点A 是DE 的中点．（1）求证：直线l 是⊙O 的切线；（2）若PA=6，求PB 的长．39．如图，A B是⊙C的直径，M、D两点在AB的延长线上，E是⊙C上的点，且DE2＝DB· DA．延长AE至F，使AE＝EF，设BF＝10，cos∠BED=4 5 .(1)求证：△DEB∽△DAE；(2)求DA，DE的长；(3)若点F在B、E、M三点确定的圆上，求MD的长.40．如图，已知AB是⊙O的直径，CB⊥AB，D为圆上一点，且AD∥OC，连接CD，AC，BD，AC与BD交于点M．（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）若CD AD，求CMMA的值．41．如图，AD是△ABC的外接圆⊙O的直径，点P在BC延长线上，且满足∠P AC=∠B．（1）求证：P A是⊙O的切线；（2）弦CE⊥AD交AB于点F，若AF•AB=12 ，求AC的长．42．如图，在OABC中，以O为圆心，OA为半径的圆与BC相切与点B，与OC相交于点D．（1）求BD 的度数．（2）如图，点E 在⊙O 上，连接CE 与⊙O 交于点F ，若EF AB =，求OCE ∠的度数．43．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 为⊙O 上一点，CN 为⊙O 的切线，OM ⊥AB 于点O ，分别交AC 、CN 于D 、M 两点．（1）求证：MD=MC ；（2）若⊙O 的半径为5，MC 的长．44．如图，△ABC 内接于⊙O，2,BC AB AC ==，点D 为AC 上的动点，且cos B =. (1)求AB 的长度；(2)在点D 运动的过程中，弦AD 的延长线交BC 的延长线于点E ，问AD •AE 的值是否变化？若不变，请求出AD •AE 的值；若变化，请说明理由.(3)在点D 的运动过程中，过A 点作AH⊥BD，求证：BH CD DH =+.45．如图，AB 是⊙O 的直径，点E 为线段OB 上一点（不与O ，B 重合），作EC ⊥OB ，交⊙O 于点C ，作直径CD ，过点C 的切线交DB 的延长线于点P ，作AF ⊥PC 于点F ，连接CB ．（1）求证：AC 平分∠FAB ；（2）求证：BC 2=CE•CP ；（3）当CF CP =34时，求劣弧BD 的长度．46．如图所示，AB 是⊙ 直径， 弦 于点 ，且交⊙ 于点 ，若 ．（1）判断直线 和⊙ 的位置关系，并给出证明； （2）当 ， 时，求 的长．47．如图，以△ABC 的一边AB 为直径作⊙O ，⊙O 与BC 边的交点恰好为BC 的中点D ，过点D 作⊙O 的切线交AC 于点E ．（1）求证：DE ⊥AC ；（2）若AB=3DE ，求tan ∠ACB 的值．48．如图，ABC ∆为O 的内接三角形，AB 为O 的直径，过点A 作O 的切线交BC 的延长线于点D ．（1）求证：DAC DBA ∆∆∽； （2）过点C 作O 的切线CE 交AD 于点E ，求证：12CE AD =； （3）若点F 为直径AB 下方半圆的中点，连接CF 交AB 于点G ，且6AD =，3AB =，求CG 的长．49．如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点，∠APB=60°，连接PO 并延长与⊙O 交于C 点，连接AC ，BC ． （1）求证：四边形ACBP 是菱形；（2）若⊙O 半径为1，求菱形ACBP 的面积．50．如图，已知D ，E 分别为△ABC 的边AB ，BC 上两点，点A ，C ，E 在⊙D 上，点B ，D 在⊙E 上．F 为BD 上一点，连接FE 并延长交AC 的延长线于点N ，交AB 于点M ． （1）若∠EBD 为α，请将∠CAD 用含α的代数式表示；（2）若EM=MB，请说明当∠CAD为多少度时，直线EF为⊙D的切线；（3）在（2）的条件下，若MNMF的值．51．如图，C、D是半圆O上的三等分点，直径AB=4，连接AD、AC，DE⊥AB，垂足为E，DE交AC于点F．（1）求∠AFE的度数；（3）求阴影部分的面积（结果保留π和根号）．52．定义：数学活动课上，李老师给出如下定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”.理解：⑴如图，已知是⊙上两点，请在圆上找出满足条件的点，使为“智慧三角形”（画出点的位置，保留作图痕迹）；⑵如图，在正方形中，是的中点，是上一点，且，试判断是否为“智慧三角形”，并说明理由；运用：⑶如图，在平面直角坐标系中，⊙的半径为，点是直线上的一点，若在⊙上存在一点，使得为“智慧三角形”，当其面积取得最小值时，直接写出此时点的坐标.53．如图，在Rt△ABC中，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB为半径作圆，分别与BC，AB相交于点D，E，连结AD．已知∠CAD=∠B．（1）求证：AD是⊙O的切线．（2）若BC=8，tanB=12，求⊙O 的半径．54．如图，已知AB是⊙O上的点，C是⊙O上的点，点D在AB的延长线上，∠BCD=∠BAC．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若∠D=30°，BD=2，求图中阴影部分的面积．55．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC、AC交于点D、E，过点D作DF⊥AC于点F．（1）若⊙O的半径为3，∠CDF=15°，求阴影部分的面积；（2）求证：DF是⊙O的切线；（3）求证：∠EDF=∠DAC．56．在△中，，点在以为直径的半圆内．请仅用无刻度的直尺．．．．．．分别按下列要求画图（保留画图痕迹）．（1）在图1中作弦，使；（2）在图2中以为边作一个45°的圆周角．57．图1.2是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AC的两个端点均在小正方形的顶点上；△，点B在小正方形顶点上；（2）在图2中画出以AC为腰的等（1）在图1中画出以AC为底边的等腰直角ABC腰ACD，点D在小正方形的顶点上，且ACD的面积为8.58．如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以BC为直径作⊙O交AB于点D．（1）求线段AD的长度；（2）点E是线段AC上的一点，试问：当点E在什么位置时，直线ED与⊙O相切？请说明理由．59．如图，BE是O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，过点A作⊙O的切线交BE延长线于点．（1）若∠ADE=25°，求∠C的度数；（2）若AB=AC，CE=2，求⊙O半径的长．60．如图1，菱形ABCD 的顶点A ，D 在直线上，60BAD ∠=︒，以点A 为旋转中心将菱形ABCD 顺时针旋转()030αα︒<<︒，得到菱形'''AB C D ，''B C 交对角线AC 于点M ，''C D 交直线l 于点N ，连接MN ．（1）当''MN B D 时，求α的大小．（2）如图2，对角线''B D 交AC 于点H ，交直线l 与点G ，延长''C B 交AB 于点E ，连接EH ．当'HEB ∆的周长为2时，求菱形ABCD 的周长．61．如图， 是⊙ 的直径，点 是 延长线上的一点，点 在⊙ 上，且AC=CD, ＝ ． （ ）求证： 是⊙ 的切线；（ ）若⊙ 的半径为 ，求图中阴影部分的面积．62．如图，在直角坐标系中，⊙A 的圆心A 的坐标为（-1，0），半径为1，点P 为直线334y x =-+上的动点，过点P 作⊙A 的切线，切点为Q ，求切线长PQ 的最小值.63．如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，以AB 为直径作O ，点D 为O 上一点，且CD CB =，连接DO 并延长交CB 的延长线于点E ．（1）判断直线CD 与O 的位置关系，并说明理由； （2）若2BE =，4DE =，求圆的半径及AC 的长．64．如图，等边三角形ABC 的边长为2，以A 为圆心，1为半径作圆分别交AB ，AC 边于D ，E ，再以点C 为圆心，CD 长为半径作圆交BC 边于F ，连接E ，F ，那么图中阴影部分的面积为________.65．如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD 与过点C 的切线互相垂直，垂足为点D ，AD 交⊙O 于点E ，连接CE ，CB ．（1）求证：CE =CB ；（2）若AC =CE AE 的长．66．如图，AB 是O 的直径，点C 为BD 的中点，CF 为O 的弦，且CF AB ⊥，垂足为E ，连接BD 交CF 于点G ，连接CD ，AD ，BF ．(1)求证：BFG CDG ∆≅∆； (2)若2AD BE ==，求BF 的长．67．如图，在以点O 为中心的正方形ABCD 中，4=AD ，连接AC ，动点E 从点O 出发沿O C →以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点C 停止．在运动过程中，ADE ∆的外接圆交AB 于点F ，连接DF 交AC 于点G ，连接EF ，将EFG ∆沿EF 翻折，得到EFH ∆．(1)求证：DEF ∆是等腰直角三角形；(2)当点H 恰好落在线段BC 上时，求EH 的长；(3)设点E 运动的时间为t 秒，EFG ∆的面积为S ，求S 关于时间t 的关系式．68．如图1和2，ABCD 中，AB =3，BC =15，43tan DAB ∠＝．点P 为AB 延长线上一点，过点A 作O 切CP 于点P ，设BP x =．（1）如图1，x 为何值时，圆心O 落在AP 上？若此时O 交AD 于点E ，直接指出PE 与BC 的位置关系；（2）当4x =时，如图2，O 与AC 交于点Q ，求C A P ∠的度数，并通过计算比较弦AP 与劣弧PQ 长度的大小； （3）当O 与线段AD 只有一个公共点时，直接写出x 的取值范围．69．如图，四边形ABCD 内接于O ，AC 为O 的直径，D 为AC 的中点，过点D 作DE AC ，交BC 的延长线于点E ．（1）判断DE 与O 的位置关系，并说明理由； （2）若O 的半径为5，8AB =，求CE 的长． 70．如图，PA 是O 的切线，切点为A ，AC 是O 的直径，连接OP 交O 于E ．过A 点作AB PO ⊥于点D ，交O 于B ，连接BC ，PB ．(1)求证：PB 是O 的切线；(2)求证：E 为∆的内心； (3)若cos PAB ∠=1BC =，求PO 的长． 71．探究活动一：如图1，某数学兴趣小组在研究直线上点的坐标规律时，在直线AB 上的三点A （1，3）、B （2，5）、C （4，9），有k AB ＝5321--＝2，k AC ＝9341--＝2，发现k AB ＝k AC ，兴趣小组提出猜想：若直线y ＝kx+b （k≠0）上任意两点坐标P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）（x 1≠x 2），则k PQ ＝2121y y x x --是定值．通过多次验证和查阅资料得知，猜想成立，k PQ 是定值，并且是直线y ＝kx+b （k≠0）中的k ，叫做这条直线的斜率． 请你应用以上规律直接写出过S （﹣2，﹣2）、T （4，2）两点的直线ST 的斜率k ST ＝ ． 探究活动二数学兴趣小组继续深入研究直线的“斜率”问题，得到正确结论：任意两条不和坐标轴平行的直线互相要直时，这两条直线的斜率之积是定值．如图2，直线DE 与直线DF 垂直于点D ，D （2，2），E （1，4），F （4，3）．请求出直线DE 与直线DF 的斜率之积． 综合应用如图3，⊙M 为以点M 为圆心，MN 的长为半径的圆，M （1，2），N （4，5），请结合探究活动二的结论，求出过点N 的⊙M 的切线的解析式．72．如图，在⊙O 中， ，AD ⊥OC 于D ．求证：AB=2AD ．73．如图，△ABC 在平面直角坐标系中，顶点的坐标分别为A(-4，4)，B(-1，1)，C(-1，4)． (1)画出与△ABC 关于y 轴对称的△A 1B 1C 1． (2)将△ABC 绕点B 逆时针旋转90°，得到△A 2BC 2，画两出△A 2BC 2． (3)求线段AB 在旋转过程中扫过的图形面积．(结果保留π)74．如图，在O 中，点C D 、分别是半径OB 、弦AB 的中点，过点A 作AE CD ⊥于点E ．（1）求证：AE 是O 的切线；（2）若2AE ＝，23sin ADE ∠＝，求O 的半径．75．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出了“三斜求积术”，三斜即指三角形的三条边长，可以用该方法求三角形面积．若改用现代数学语言表示，其形式为：设a b c ，，为三角形三边，S 为面积，则S =，这是中国古代数学的瑰宝之一．而在文明古国古希腊，也有一个数学家海伦给出了求三角形面积的另一个公式，若设2a b cp ++=（周长的一半），则S（1）尝试验证．这两个公式在表面上形式很不一致，请你用以578，，为三边构成的三角形，分别验证它们的面积值； （2）问题探究．经过验证，你发现公式①和②等价吗？若等价，请给出一个一般性推导过程（可以从⇒①②或者⇒②①）；（3）问题引申．三角形的面积是数学中非常重要的一个几何度量值，很多数学家给出了不同形式的计算公式．请你证明如下这个公式：如图，ABC △的内切圆半径为r ，三角形三边长为a b c ，，，仍记2a b cp ++=，S 为三角形面积，则S pr ＝． 76．如图，在ABC ∆中，AB AC =，以AB 为直径的O 与边BC ，AC 分别交于D ，E 两点，过点D 作DH AC⊥于点H ．（1）判断DH 与O 的位置关系，并说明理由；（2）求证：H 为CE 的中点；（3）若10BC =，cos C =，求AE 的长． 77．如图，AB 、CD 是O 的两条直径，过点C 的O 的切线交AB 的延长线于点E ，连接AC 、BD ．（1）求证：ABD CAB ∠=∠；（2）若B 是OE 的中点，12AC =，求O 的半径．78．如图，在ABC ∆中．ABC ACB ∠∠＝，以AC 为直径的⊙O 分别交AB BC 、于点M N 、，点P 在AB 的延长线上，且12BCP BAC ∠∠＝．（1）求证：CP 是⊙O 的切线；（2）若BC cos BCP ∠＝B 到AC 的距离．79．如图，已知AB 是⊙O 的直径，过O 点作OP ⊥AB ，交弦AC 于点D ，交⊙O 于点E ，且使∠PCA=∠ABC ． (1)求证：PC 是⊙O 的切线；(2)若∠P=60°，PC=2，求PE 的长．80．如图，在△ABC 中，BA =BC ，以AB 为直径的⊙O 分别交AC ，BC 于点D ，E ，BC 的延长线与⊙O 的切线AF 交于点F ．（1）求证：∠ABC =2∠CAF ；（2）若AC =CE ：EB =1：4，求CE ，AF 的长．81．如图，ABC ∆是O 的内接三角形，AB 为O 直径，6AB =，AD 平分BAC ∠，交BC 于点E ，交O 于点D ，连接BD ．（1）求证：BAD CBD ∠=∠；（2）若125AEB ∠=︒，求BD 的长（结果保留π）．82．如图，四边形ABCD 为菱形，以AD 为直径作O e 交AB 于点F ，连接DB 交O e 于点H ，E 是BC 上的一点，且BE BF =，连接DE ．（1）求证：DE 是O e 的切线．（2）若2BF =，DH =，求O e 的半径． 83．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CA CB =，点O 在ABC ∆的内部，O 经过B ，C 两点，交AB 于点D ，连接CO 并延长交AB 于点G ，以GD ，GC 为邻边作GDEC ．（1）判断DE 与O 的位置关系，并说明理由．（2）若点B 是DBC 的中点，O 的半径为2，求BC 的长．84．如图，在平行四边形ABCD 中，AE BC ⊥，垂足为点E ，以AE 为直径的O 与边CD 相切于点F ，连接BF 交O 于点G ，连接EG ．（1）求证：CD AD CE =+．（2）若4AD CE =，求tan EGF ∠的值．85．如图，AB 是⊙O 的直径，弧ED=弧BD ，连接ED 、BD ，延长AE 交BD 的延长线于点M ，过点D 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点C ．（1）若OA CD ，求阴影部分的面积； （2）求证：DE DM ．86．如图，在ABCD 中，2=AD AB ，以点A 为圆心、AB 的长为半径的A 恰好经过BC 的中点E ，连接DE ，AE ，BD ，AE 与BD 交于点F ．（1）求证：DE 与A 相切． （2）若6AB =，求BF 的长．87．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在AB 的延长线上，CD 与⊙O 相切于点D ，CE ⊥AD ，交AD 的延长线于点E ． （1）求证：∠BDC =∠A ；（2）若CE =4，DE =2，求AD 的长．88．如图，在△ABC 中，∠C=90°,AE 平分∠BAC 交BC 于点E,O 是AB 上一点，经过A,E 两点的⊙O 交AB 于点D ，连接DE ，作∠DEA 的平分线EF 交⊙O 于点F ，连接AF. （1）求证：BC 是⊙O 的切线；（2）若sin ∠EFA=45,AF=求线段AC 的长.89．如图，O是ABC的外接圆，AB为直径，∠BAC的平分线交O于点D，过点D作DE⊥AC分别交AC、AB的延长线于点E、F．（1）求证：EF是O的切线；（2）若AC=4，CE=2，求BD的长度．（结果保留π）90．如图，在⊙O中，AB是直径，BC是弦，BC=BD，连接CD交⊙O于点E，∠BCD=∠DBE.（1）求证：BD是⊙O的切线.（2）过点E作EF⊥AB于F，交BC于G，已知DE=EG=3，求BG的长.91．如图，点M是矩形ABCD的边AD延长线上一点，以AM为直径的⊙O交矩形对角线AC于点F，在线段CD 上取一点E，连接EF，使EC＝EF．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若cos∠CAD＝35，AF＝6，MD＝2，求FC的长．92．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，以AD为直径的⊙O与边BC相切于点E，与边AC相交于点G，且AG＝EG，连接GO并延长交⊙O于点F，连接BF．（1）求证：①AO＝AG．②BF是⊙O的切线．（2）若BD ＝6，求图形中阴影部分的面积．93．如图，AB 为O 的直径，点C 在O 上．（1）尺规作图：作BAC ∠的平分线，与O 交于点D ；连接OD ，交BC 于点E （不写作法，只保留作图痕迹，且用黑色墨水笔将作图痕迹加黑）；（2）探究OE 与AC 的位置及数量关系，并证明你的结论．94．如图，△ABC 内接于⊙O ，AD 与BC 是⊙O 的直径，延长线段AC 至点G ，使AG ＝AD ，连接DG 交⊙O 于点E ，EF ∥AB 交AG 于点F ．（1）求证：EF 与⊙O 相切．（2）若EF ＝AC ＝4，求扇形OAC 的面积．95．如图，△ABC 内接于⊙O ，BC 是⊙O 的直径，OD ⊥AC 于点D ，连接BD ，半径OE ⊥BC ，连接EA ，EA ⊥BD 于点F ．若OD ＝2，则BC ＝_____．96．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是AC 上一点，过B ，C ，D 三点的⊙O 交AB 于点E ，连接ED ，EC ，点F 是线段AE 上的一点，连接FD ，其中∠FDE ＝∠DCE ．（1）求证：DF 是⊙O 的切线．（2）若D 是AC 的中点，∠A ＝30°，BC ＝4，求DF 的长．97．如图，在ABC ∆中，BA BC =，90ABC ︒∠=，以AB 为直径的半圆O 交AC 于点D ，点E 是BD 上不与点B ，D 重合的任意一点，连接AE 交BD 于点F ，连接BE 并延长交AC 于点G ．（1）求证：ADF BDG ∆≅∆；（2）填空：①若=4AB ，且点E 是BD 的中点，则DF 的长为 ；②取AE 的中点H ，当EAB ∠的度数为 时，四边形OBEH 为菱形．98．如图，AB 是O 的直径，过O 外一点P 作O 的两条切线PC ，PD ，切点分别为C ，D ，连接OP ，CD ．（1）求证：OP CD ⊥；（2）连接AD ，BC ，若50DAB ∠=︒，70CBA ∠=︒，2OA =，求OP 的长．99．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，点O 在BC 边上，∠BAC 的平分线交⊙O 于点D ，连接BD 、CD ，过点D 作BC 的平行线与AC 的延长线相交于点P ．（1）求证：PD 是⊙O 的切线；（2）求证：△ABD ∽△DCP ；（3）当AB=5cm ，AC=12cm 时，求线段PC 的长．100．如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB 是⊙O 的直径，OF ⊥AB ，交AC 于点F ，点E 在AB 的延长线上，射线EM 经过点C ，且∠ACE+∠AFO=180°. （1）求证：EM 是⊙O 的切线；（2）若∠A=∠.（结果保留π和根号）.。

中考压轴题专项训练1——抛物线专题考点分析：命题预测：函数是数形结合的重要体现，是每年中考的必考内容，函数的概念主要用选择、填空的形式考查自变量的取值范围，及自变量与因变量的变化图像、平面直角坐标系等，一般占2%左右．一次函数与一次方程有紧密地联系，是中考必考内容，一般以填空、选择、解答题及综合题的形式考查，占5%左右．反比例函数的图像和性质的考查常以客观题形式出现，要关注反比例函数与实际问题的联系，突出应用价值，3—6分；二次函数是初中数学的一个十分重要的内容，是中考的热点，多以压轴题出现在试卷中．要求：能通过对实际问题情景分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义；会用描点法画二次函数图像，能丛图像上分析二次函数的性质；会根据公式确定图像的顶点、开口方向和对称轴，并能解决复杂的图形综合问题。

二次函数常考点汇总：1. 两点间的距离公式：22)()(AB B A B A x x y y -+-=2. 中点坐标公式：已知A ),(A A y x ，B ),(B B y x ，则线段AB 的中点C 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛++2,2B A B A y y x x 。

3. 在平面直角坐标系中求面积的方法：公式法、割补法（做铅垂高或水平宽） 4. 几何分析法：特别是构造“平行四边形”、“梯形”、“相似三角形”、“直角三角形”、“等腰三角形”等图形时，利用几何分析法能给解题带来方便。

例题精讲：1.如图，直线y＝﹣x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c 经过点A，B．（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；（2）M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N．①点M在线段OA上运动，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标；②点M在x轴上自由运动，若三个点M，P，N中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称M，P，N三点为“共谐点”．请直接写出使得M，P，N三点成为“共谐点”的m的值．2．如图①，抛物线y＝﹣x2+（a+1）x﹣a与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C．已知△ABC的面积是6．（1）求a的值；（2）求△ABC外接圆圆心的坐标；（3）如图②，P是抛物线上一点，Q为射线CA上一点，且P、Q两点均在第三象限内，Q、A是位于直线BP同侧的不同两点，若点P到x轴的距离为d，△QPB的面积为2d，且∠P AQ＝∠AQB，求点Q的坐标．3.已知，在平面直角坐标系xoy 中，点A 的坐标为（0，2），点P （m ，n ）是抛物线2114y x =+上的一个动点．（1）①如图1，过动点P 作PB ⊥x 轴，垂足为B ，连接PA ，求证：PA=PB ； ②如图2，设C 的坐标为（2，5），连接PC ，AP+PC 是否存在最小值？如果存在，求点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；（2）如图3，过动点P 和原点O 作直线交抛物线于另一点D ，若AP=2AD ，求直线OP 的解析式．4.【变式】在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21124y x =+的顶点为M ，直线2y x =，点()0P n ，为x 轴上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线分别交抛物线21124y x =+和直线2y x =于点A ，点B.（1）直接写出A ，B 两点的坐标（用含n 的代数式表示）；⑵设线段AB 的长为d ，求d 关于n 的函数关系式及d 的最小值，并直接写出此时线段OB 与线段PM 的位置关系和数量关系；(3) 已知二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 为整数且0a ≠），对一切实数x 恒有x ≤y ≤2124x +，求a ，b ，c 的值.5．如图，已知二次函数()21y x m x m =+--（其中0＜m ＜1）的图像与x 轴交于A 、B 两点（点A在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，对称轴为直线l ．设P 为对称轴l 上的点，连接P A 、PC ，P A =PC ． （1）∠ABC 的度数为 °；（2）求P 点坐标（用含m 的代数式表示）；（3）在坐标轴上是否存在点Q （与原点O 不重合），使得以Q 、B 、C 为顶点的三角形与△P AC 相似，且线段PQ 的长度最小？如果存在，求出所有满足条件的点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．6.（本题满分10分）如图，二次函数2y x bx c =++的图像与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，C OB =O ．点D 在函数图像上，CD//x 轴，且CD 2=，直线l 是抛物线的对称轴，E 是抛物线的顶点．（1）求b 、c 的值；（2）如图①，连接BE ，线段C O 上的点F 关于直线l 的对称点F '恰好在线段BE 上，求点F 的坐标； （3）如图②，动点P 在线段OB 上，过点P 作x 轴的垂线分别与C B 交于点M ，与抛物线交于点N ．试问：抛物线上是否存在点Q ，使得Q ∆P N 与∆APM 的面积相等，且线段Q N 的长度最小？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，说明理由．7．（8分）如图，已知抛物线y=x2﹣4与x轴交于点A，B（点A位于点B的左侧），C 为顶点，直线y=x+m经过点A，与y轴交于点D．（1）求线段AD的长；（2）平移该抛物线得到一条新拋物线，设新抛物线的顶点为C′．若新抛物线经过点D，并且新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线CC′平行于直线AD，求新抛物线对应的函数表达式．答案解析1.【解答】解：（1）∵y＝﹣x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，∴0＝﹣2+c，解得c＝2，∴B（0，2），∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B，∴，解得，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+2；（2）①由（1）可知直线解析式为y＝﹣x+2，∵M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N，∴P（m，﹣m+2），N（m，﹣m2+m+2），∴PM＝﹣m+2，AM＝3﹣m，PN＝﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）＝﹣m2+4m，∵△BPN和△APM相似，且∠BPN＝∠APM，∴∠BNP＝∠AMP＝90°或∠NBP＝∠AMP＝90°，当∠BNP＝90°时，则有BN⊥MN，∴N点的纵坐标为2，∴﹣m2+m+2＝2，解得m＝0（舍去）或m＝2.5，∴M（2.5，0）；当∠NBP＝90°时，过点N作NC⊥y轴于点C，则∠NBC+∠BNC＝90°，NC＝m，BC＝﹣m2+m+2﹣2＝﹣m2+m，∵∠NBP＝90°，∴∠NBC+∠ABO＝90°，∴∠ABO＝∠BNC，∴Rt△NCB∽Rt△BOA，∴＝，∴＝，解得m＝0（舍去）或m＝，∴M（，0）；综上可知当以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似时，点M的坐标为（2.5，0）或（，0）；②由①可知M（m，0），P（m，﹣m+2），N（m，﹣m2+m+2），∵M，P，N三点为“共谐点”，∴有P为线段MN的中点、M为线段PN的中点或N为线段PM的中点，当P为线段MN的中点时，则有2（﹣m+2）＝﹣m2+m+2，解得m＝3（三点重合，舍去）或m＝；当M为线段PN的中点时，则有﹣m+2+（﹣m2+m+2）＝0，解得m＝3（舍去）或m＝﹣1；当N为线段PM的中点时，则有﹣m+2＝2（﹣m2+m+2），解得m＝3（舍去）或m＝﹣；综上可知当M，P，N三点成为“共谐点”时m的值为或﹣1或﹣．2．【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+（a+1）x﹣a令y＝0，即﹣x2+（a+1）x﹣a＝0解得x1＝a，x2＝1由图象知：a＜0∴A（a，0），B（1，0）∵s△ABC＝6∴解得：a＝﹣3，（a＝4舍去）（2）设直线AC：y＝kx+b，由A（﹣3，0），C（0，3），可得﹣3k+b＝0，且b＝3∴k＝1即直线AC：y＝x+3，A、C的中点D坐标为（﹣，）∴线段AC的垂直平分线解析式为：y＝﹣x，线段AB的垂直平分线为x＝﹣1代入y＝﹣x，解得：y＝1∴△ABC外接圆圆心的坐标（﹣1，1）（3）作PM⊥x轴，则＝∵∴A、Q到PB的距离相等，∴AQ∥PB设直线PB解析式为：y＝x+b∵直线经过点B（1，0）所以：直线PB的解析式为y＝x﹣1联立解得：∴点P坐标为（﹣4，﹣5）又∵∠P AQ＝∠AQB可得：△PBQ≌△ABP（AAS）∴PQ＝AB＝4设Q（m，m+3）由PQ＝4得：解得：m＝﹣4，m＝﹣8（当m＝﹣8时，∠P AQ≠∠AQB，故应舍去）∴Q坐标为（﹣4，﹣1）3.【解答】解：（1）①设P（m，n）∴n=m2+1，∵PB⊥x 轴，∴PB=m2+1，∵A（0，2）∴AP==m2+1，∴PB=PA；②过点P作PB⊥x轴于B，由（1）得PA=PB，所以要使AP+CP最小，只需当BP+CP最小，因此当C，P，B共线时取得，此时点P的横坐标等于点C（2，5）的横坐标，所以点P的坐标为（2，2），（2）如图，作DE⊥x轴于E，作PF⊥x轴于F，由（1）得：DA=DE，PA=PF∵PA=2DA，∴PF=2DE，∵△ODE∽△OPF，∴==，设P（m，m2+1），则D（m，m2+）∵点D在抛物线y=x2+1上，∴m2+=（m）2+1，解得m=±2，∴P 1（，3），直线OP 的解析式为y=x ， P 2（﹣，3）直线OP 的解析式为y=﹣x ， 综上所求，所求直线OP 的解析式为y=x 或y=﹣x ．4.【解答】解：(1)21(2)4A n n +，，()B n n ，. (2) d =AB=A B y y -=2124n n -+.∴ d =2112()48n -+=2112()48n -+.∴ 当14n =时，d 取得最小值18. 当d 取最小值时，线段OB 与线段PM 的位置 关系和数量关系是OB ⊥PM 且OB=PM. (如图)(3) ∵对一切实数x 恒有 x ≤y ≤2124x +， ∴对一切实数x ，x ≤2ax bx c ++≤2124x +都成立. (0a ≠) ①当0x =时，①式化为 0≤c ≤14.xy111APBMO∴整数c 的值为0.此时，对一切实数x ，x ≤2ax bx +≤2124x +都成立.(0a ≠) 即 222,12.4x ax bx ax bx x ⎧≤+⎪⎨+≤+⎪⎩ 对一切实数x 均成立. 由②得 ()21ax b x +-≥0 (0a ≠) 对一切实数x 均成立.∴()210,10.a b >⎧⎪⎨∆=-≤⎪⎩ 由⑤得整数b 的值为1.此时由③式得，2ax x +≤2124x +对一切实数x 均成立. (0a ≠) 即21(2)4a x x --+≥0对一切实数x 均成立. (0a ≠) 当a=2时，此不等式化为14x -+≥0，不满足对一切实数x 均成立.当a≠2时，∵ 21(2)4a x x --+≥0对一切实数x 均成立，(0a ≠)∴2220,1(1)4(2)0.4a a ->⎧⎪⎨∆=--⨯-⨯≤⎪⎩∴由④，⑥，⑦得 0 <a ≤1.∴整数a 的值为1.∴整数a ，b ，c 的值分别为1a =，1b =，0c =.5．【解答】解：（1）45．理由如下：令x =0，则y =-m ，C 点坐标为（0，-m ）．令y =0，则()210x m x m +--=，解得11x =-，2x m =． ∵0＜m ＜1，点A 在点B 的左侧，∴B 点坐标为（m ，0）．∴OB =OC =m ．∵∠BOC ＝90°，∴△BOC 是等腰直角三角形，∠OBC ＝45°． （2）如图①，作PD ⊥y 轴，垂足为D ，设l 与x 轴交于点E ，由题意得，抛物线的对称轴为12mx -+=． 设点P 坐标为（12m-+，n ）． ∵P A = PC ， ∴P A 2= PC 2，即AE 2+ PE 2=CD 2+ PD 2．∴()222211122m m n n m -+-⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．解得12m n -=．∴P 点的坐标为11,22m m -+-⎛⎫⎪⎝⎭． ④⑤② ③ ⑥ ⑦图①图②（3）存在点Q 满足题意．∵P 点的坐标为11,22m m -+-⎛⎫⎪⎝⎭， ∴P A 2+ PC 2=AE 2+ PE 2+CD 2+ PD 2=222221111112222m m m m m m -+---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ∵AC 2=21m +，∴P A 2+ PC 2=AC 2．∴∠APC ＝90°． ∴△P AC 是等腰直角三角形．∵以Q 、B 、C 为顶点的三角形与△P AC 相似， ∴△QBC 是等腰直角三角形．∴由题意知满足条件的点Q 的坐标为（-m ，0）或（0，m ）． ①如图①，当Q 点的坐标为（-m ，0）时，若PQ 与x 轴垂直，则12m m -+=-，解得13m =，PQ =13． 若PQ 与x 轴不垂直， 则22222221151521222222510m m PQ PE EQ m m m m --+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=-+=-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ∵0＜m ＜1，∴当25m =时，2PQ 取得最小值110，PQ ．＜13， ∴当25m =，即Q 点的坐标为（25-，0）时， PQ 的长度最小．②如图②，当Q 点的坐标为（0，m ）时，若PQ 与y 轴垂直，则12m m -=，解得13m =，PQ =13． 若PQ 与y 轴不垂直， 则22222221151521222222510m m PQ PD DQ m m m m --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-=-+=-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ∵0＜m ＜1，∴当25m =时，2PQ 取得最小值110，PQ ．＜13， ∴当25m =，即Q 点的坐标为（0，25）时， PQ 的长度最小．综上：当Q 点坐标为（25-，0）或（0，25）时，PQ 的长度最小．6. 【解答】解：（1）.3)(03,20.0,c -),,0(,.2,12.1x 2CD x //2-=∴=-=++=∴∴=-==-∴=∴=c c c c c c B c C OC OB b bl CD ，舍去或解得）点坐标为（：抛物线对称轴为直线，轴，（2）设点F 坐标为（0，m ）.∵对称轴是直线,1:=x l ∴点F 关于直线l 的对称点’F 的坐标为（2，m ）. ∵直线BE 经过点B （3,0），E （1，-4），∴利用待定系数法可得直线BE 的表达式为y=2x-6. ∵点’F 在BE 上，∴m=2⨯2-6=-2,即点F 的坐标为（0，-2）. （3）存在点Q 满足题意。

因动点产生的相切问题例 1 如图1，已知⊙O 的半径长为3，点A 是⊙O 上一定点，点P 为⊙O 上不同于点A 的动点．（1）当1tan 2A =时，求AP 的长；（2）如果⊙Q 过点P 、O ，且点Q 在直线AP 上（如图2），设AP ＝x ，QP ＝y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）在（2）的条件下，当4tan 3A =时（如图3），存在⊙M 与⊙O 相内切，同时与⊙Q 相外切，且OM ⊥OQ ，试求⊙M 的半径的长．图1 图2 图3思路点拨1．第（1）题的计算用到垂径定理和勾股定理．2．第（2）题中有一个典型的图，有公共底角的两个等腰三角形相似．3．第（3）题先把三个圆心距罗列出来，三个圆心距围成一个直角三角形，根据勾股定理列方程．满分解答（1）如图4，过点O 作OH ⊥AP ，那么AP ＝2AH ．在Rt △OAH 中，OA ＝3，1tan 2A =，设OH ＝m ，AH ＝2m ，那么m 2＋(2m )2＝32．解得355m =．所以125245AP AH m ===． （2）如图5，联结OQ 、OP ，那么△QPO 、△OAP 是等腰三角形．又因为底角∠P 公用，所以△QPO ∽△OAP ． 因此QP OP POPA=，即33y x=．由此得到9y x=．定义域是0＜x ≤6．图4 图5（3）如图6，联结OP ，作OP 的垂直平分线交AP 于Q ，垂足为D ，那么QP 、QO 是⊙Q 的半径． 在Rt △QPD 中，1322PD PO ==，4tan tan 3P A ==，因此52QP =．如图7，设⊙M 的半径为r ．由⊙M 与⊙O 内切，3O r =，可得圆心距OM ＝3－r ． 由⊙M 与⊙Q 外切，52Q r QP ==，可得圆心距52QM r =+．在Rt △QOM 中，52QO =，OM ＝3－r ，52QM r =+，由勾股定理，得22255()(3)()22r r +=-+．解得911r =．图6 图7 图8考点伸展如图8，在第（3）题情景下，如果⊙M 与⊙O 、⊙Q 都内切，那么⊙M 的半径是多少？同样的，设⊙M 的半径为r ．由⊙M 与⊙O 内切，3O r =，可得圆心距OM ＝r －3． 由⊙M 与⊙Q 内切，52Q r QP ==，可得圆心距52QM r =-．在Rt △QOM 中，由勾股定理，得22255()(3)()22r r -=-+．解得r ＝9．例2 如图1，A(－5,0)，B(－3,0)，点C在y轴的正半轴上，∠CBO＝45°，CD//AB，∠CDA＝90°．点P从点Q(4,0)出发，沿x轴向左以每秒1个单位长的速度运动，运动时间为t秒．（1）求点C的坐标；（2）当∠BCP＝15°时，求t的值；（3）以点P为圆心，PC为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．图1答案（1）点C的坐标为(0,3)．（2）如图2，当P在B的右侧，∠BCP＝15°时，∠PCO＝30°，43t=+；如图3，当P在B的左侧，∠BCP＝15°时，∠CPO＝30°，433t=+．图2 图3（3）如图4，当⊙P与直线BC相切时，t＝1；如图5，当⊙P与直线DC相切时，t＝4；如图6，当⊙P与直线AD相切时，t＝5.6．图4 图5 图6例3 如图1，菱形ABCD 的边长为2厘米，∠DAB ＝60°．点P 从A 出发，以每秒3厘米的速度沿AC 向C 作匀速运动；与此同时，点Q 也从点A 出发，以每秒1厘米的速度沿射线作匀速运动．当点P 到达点C 时，P 、Q 都停止运动．设点P 运动的时间为t 秒．（1）当P 异于A 、C 时，请说明PQ //BC ；（2）以P 为圆心、PQ 长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t 为怎样的值时，⊙P 与边BC 分别有1个公共点和2个公共点？ 图一答案 （1）因为2AQ tAB=，3223AP t t AC ==，所以AQ AP AB AC =．因此PQ //BC ．（2）如图2，由PQ ＝PH ＝12PC ，得1(233)2t t =-．解得436t =-． 如图3，由PQ ＝PB ，得等边三角形PBQ ．所以Q 是AB 的中点，t ＝1．如图4，由PQ ＝PC ，得233t t =-．解得33t =-． 如图5，当P 、C 重合时，t ＝2．因此，当436t =-或1＜t ≤33-或t ＝2时，⊙P 与边BC 有1个公共点． 当436-＜t ≤1时，⊙P 与边BC 有2个公共点．图2 图3 图4 图5因动点产生的线段和差问题例1 在平面直角坐标系中，已知点A(－2,0)，B(0,4)，点E在OB上，且∠OAE＝∠OBA．（1）如图1，求点E的坐标；（2）如图2，将△AEO沿x轴向右平移得到△AE′O′，连结A′B、BE′．①设AA′＝m，其中0＜m＜2，使用含m的式子表示A′B2＋BE′2，并求出使A′B2＋BE′2取得最小值时点E′的坐标；②当A′B＋BE′取得最小值时，求点E′的坐标（直接写出结果即可）．图1 图2思路点拨1．图形在平移的过程中，对应点的连线平行且相等，EE′＝AA′＝m．2．求A′B2＋BE′2的最小值，第一感觉是用勾股定理列关于m的式子．3．求A′B＋BE′的最小值，第一感觉是典型的“牛喝水”问题——轴对称，两点之间线段最短．满分解答（1）由∠OAE＝∠OBA，∠AOE＝∠BOA，得△AOE∽△BOA．所以AO BOOE OA=．因此242OE=．解得OE＝1．所以E(0,1)．（2）①如图3，在Rt△A′OB中，OB＝4，OA′＝2－m，所以A′B2＝16＋(2－m)2．在Rt△BEE′中，BE＝3，EE′＝m，所以BE′2＝9＋m2．所以A′B2＋BE′2＝16＋(2－m)2＋9＋m2＝2(m－1)2＋27．所以当m＝1时，A′B2＋BE′2取得最小值，最小值为27．此时点A′是AO的中点，点E′向右平移了1个单位，所以E′(1,1)．②如图4，当A′B＋BE′取得最小值时，求点E′的坐标为8(,1)7．图3 图4考点伸展第（2）②题这样解：如图4，过点B作y轴的垂线l，作点E′关于直线l的对称点E′′，所以A′B＋BE′＝A′B＋BE′′．当A′、B、E′′三点共线时，A′B＋BE′′取得最小值，最小值为线段A′E′′．在Rt△A′O′E′′中，A′O′＝2，O′E′′＝7，所以A′E′′＝53．当A′、B、E′′三点共线时，''''''A O A OBO E O=．所以247m=．解得87m=．此时8'(,1)7E．例2 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A (－2, －4 )、O (0, 0)、B (2, 0)三点．（1）求抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的解析式；（2）若点M 是该抛物线对称轴上的一点，求AM ＋OM 的最小值．图1答案 （1）212y x x =-+。

1.如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点.（1）求A、B、C的坐标；（2）点M为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x 轴于点N.若点P在点Q左边，当矩形PQMN的周长最大时，求△AEM的面积；（3）在（2）的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ.过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G，.若FG=DQ，求点F的坐标.2．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点A的坐标为（-1，0），对称轴为直线x=-2．（1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；（2）点D是抛物线与y轴的交点，点C是抛物线上的另一点．已知以AB为一底边的梯形ABCD的面积为9．求此抛物线的解析式，并指出顶点E的坐标；（3）点P是（2）中抛物线对称轴上一动点，且以1个单位/秒的速度从此抛物线的顶点E 向上运动．设点P运动的时间为t秒．①当t为__________秒时，△PAD的周长最小？当t为__________秒时，△PAD是以AD 为腰的等腰三角形？（结果保留根号）2②点P在运动过程中，是否存在一点P，使△PAD是以AD为斜边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．3.如图，已知抛物线2y ax bx c =++的顶点坐标为Q （2，-1），且与轴交于点C （0,3），与轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的右侧），点P 是该抛物线上一动点，从点C 沿抛物线向点A 运动（点P 与A 不重合），过点P 作PD ∥轴， 交AC 于点D ．(1)求该抛物线的函数关系式；(2)当△ADP 是直角三角形时，求点P 的坐标；(3)在问题(2)的结论下，若点E 在轴上，点F 在抛物线上，问是否存在以A 、P 、E 、F 为顶点的平行四边形？若存在，求点F 的坐标；若不存在，请说明理由．4.如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（m ，m ），点B 的坐标为（n ，-n ），抛物线经过A 、O 、B 三点，连接OA 、OB 、AB ，线段AB 交y 轴于点C ．已知实数m 、n （m ＜n ）分别是方程x 2-2x-3=0的两根． （1）求抛物线的解析式；（2）若点P 为线段OB 上的一个动点（不与点O 、B 重合），直线PC 与抛物线交于D 、E 两点（点D 在y 轴右侧），连接OD 、BD ． ①当△OPC 为等腰三角形时，求点P 的坐标；②求△BOD 面积的最大值，并写出此时点D 的坐标．y x y x 图165．如图，抛物线y=a（x-h）2+k经过点A（0，1），且顶点坐标为B（1，2），它的对称轴与x轴交于点C．（1）求此抛物线的解析式．（2）在第一象限内的抛物线上求点P，使得△ACP是以AC为底的等腰三角形，请求出此时点P的坐标．（3）上述点是否是第一象限内此抛物线上与AC距离最远的点？若是，请说明理由；若不是，请求出第一象限内此抛物线上与AC距离最远的点的坐标．6．如图，已知抛物线y=14x2+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知A点的坐标为A（-2，0）．（1）求抛物线的解析式及它的对称轴方程；（2）求点C的坐标，连接AC、BC并求线段BC所在直线的解析式；（3）试判断△AOC与△COB是否相似？并说明理由；（4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若不存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．7.已知抛物线y=ax 2-2ax+c 与y 轴交于C 点，与x 轴交于A 、B 两点，点A 的坐标是（-1,0），O 是坐标原点，且．（1 ）求抛物线的函数表达式；（2 ）直接写出直线BC 的函数表达式；（3 ）如图1 ，D 为y 轴的负半轴上的一点，且OD=2，以OD 为边作正方形ODEF.将正方形ODEF 以每秒1个单位的速度沿x 轴的正方向移动，在运动过程中，设正方形ODEF与△OBC 重叠部分的面积为s ，运动的时间为t 秒（0＜t ≤2）.求： ①s 与t 之间的函数关系式；②在运动过程中，s 是否存在最大值？如果存在，直接写出这个最大值；如果不存在，请说明理由．（4 ）如图2 ，点P （1，k ）在直线BC 上，点M 在x 轴上，点N 在抛物线上，是否存在以A 、M 、N 、P 为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出M 点坐标；若不存在，请说明理由。

第03讲中考压轴题-圆的综合考点梳理一．近5年中考双压轴之圆的综合考点归纳二．题型概述几何综合题是中考必考固定题型，考察知识点多，条件隐秘，要求学生有较强的理解能力，分析问题和解决问题的能力，对数学知识，数学方法有较强的驾驭能力，并有较强的创新意识与创新能力。

它常用相似图形与圆的知识为考察重点，并贯彻其他几何，代数，三角函数等知识，多以证明，计算等题型出现。

三．解题策略1.要点：解几何综合题应注意观察，分析图形，把复杂的图形分解为几个基本图形，通过添加辅助线补全或构造基本图形，掌握常规的证题方法和思路，运用转化的思想解决几何证明问题，运用方程思想解决几何计算问题（还要灵活运用数学思想方法，数行结合，分类讨论）2.一般策略：①认真分析题意，从已知条件出发逐步推理分析到结论的演绎推理法；②也可由结论逆向分析获得问题突破的逆向分析法；③还可以是双向的综合分析策略。

年份知识点2015考察圆切线的性质求边长，相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识2016考察圆的切线证明，翻折变换的性质，垂径定理，勾股定理及逆定理，，相似三角形的判定与性质．2017考察圆垂径定理求半径、勾股定理、相似三角形的判定和性质、相交弦定理、锐角三角函数等知识2018考察圆周角定理，圆内接四边形的性质，全等三角形的判定与性质，以及相似三角形的判定与性质2019考察圆的切线证明，三角函数，相似三角形，二次函数最值问题3.中考试题中与圆有关的证明及计算，都与圆的切线有关，属于中档题，只要熟悉切线的性质与判定，特别是掌握如何判定切线很重要，需要指出的是，与圆有关的证明题，往往是以圆为载体，考查时往往还涉及特殊三角形的识别或构造，这些识别策略，构造策略靠的是对圆中常用的辅助线的熟悉，比如连半径，作垂直于弦的垂线段等，根据具体情况来决定。

感悟实践1、（2015年深圳中考第22题）如图1，水平放置一个三角板和一个量角器，三角板的边AB和量角器的直径DE在一条直线上，AB=BC=6cm，OD=3cm，开始的时候BD=1cm，现在三角板以2cm/s的速度向右移动．（1）当B与O重合的时候，求三角板运动的时间；（2）如图2，当AC与半圆相切时，求AD；（3）如图3，当AB和DE重合时，求证：CF2=CG•CE．2、（2016年深圳中考第22题）如图，已知⊙O的半径为2，AB为直径，CD为弦．AB与CD交于点M，将沿CD翻折后，点A与圆心O重合，延长OA至P，使AP=OA，连接PC（1）求CD的长；（2）求证：PC是⊙O的切线；（3）点G为的中点，在PC延长线上有一动点Q，连接QG交AB于点E．交于点F（F与B、C不重合）．问GE•GF是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由．3、（2017年深圳中考第22题）如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，点M是上任意一点，AH=2，CH=4．（1）求⊙O的半径r的长度；（2）求sin∠CMD；（3）直线BM交直线CD于点E，直线MH交⊙O于点N，连接BN交CE于点F，求HE•HF的值．上的动点，且cos∠4、（2018年深圳中考第22题）如图，△ABC内接于⊙O，BC＝2，AB＝AC，点D为 晦ABC（1）求AB的长度；（2）在点D的运动过程中，弦AD的延长线交BC延长线于点E，问AD•AE的值是否变化？若不变，请求出AD•AE的值；若变化，请说明理由；（3）在点D的运动过程中，过A点作AH⊥BD，求证：BH＝CD+DH．5、（2019年深圳中考第22题）闯关练习1．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0，c＜0）交x轴于点A，B，交y轴于点C，设过点A，B，C三点的圆与y轴的另一个交点为D．（1）如图1，已知点A，B，C的坐标分别为（﹣2，0），（8，0），（0，﹣4）；①求此抛物线的表达式与点D的坐标；②若点M为抛物线上的一动点，且位于第四象限，求△BDM面积的最大值；（2）如图2，若a=1，求证：无论b，c取何值，点D均为定点，求出该定点坐标．2．如图，A（﹣5，0），B（﹣3，0），点C在y轴的正半轴上，∠CBO=45°，CD∥AB．∠CDA=90°．点P 从点Q（4，0）出发，沿x轴向左以每秒1个单位长度的速度运动，运动时时间t秒．（1）求点C的坐标；（2）当∠BCP=15°时，求t的值；（3）以点P为圆心，PC为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．3．如图，AE切⊙O于点E，AT交⊙O于点M，N，线段OE交AT于点C，OB⊥AT于点B，已知∠EAT=30°，AE=3，MN=2．（1）求∠COB的度数；（2）求⊙O的半径R；（3）点F在⊙O上（是劣弧），且EF=5，把△OBC经过平移、旋转和相似变换后，使它的两个顶点分别与点E，F重合．在EF的同一侧，这样的三角形共有多少个？你能在其中找出另一个顶点在⊙O上的三角形吗？请在图中画出这个三角形，并求出这个三角形与△OBC的周长之比．4．如图，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO交⊙于点E、F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO与⊙O交于点C，连接BC，AF．（1）求证：直线PA为⊙O的切线；（2）试探究线段EF、OD、OP之间的等量关系，并加以证明；（3）若BC=6，tan∠F=，求cos∠ACB的值和线段PE的长．5．己知：如图．△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连接AD．（1）求证：∠DAC=∠DBA；（2）求证：P是线段AF的中点；（3）若⊙O的半径为5，AF=，求tan∠ABF的值．考场直播1．如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦DE⊥AB分别交⊙O于E，交AB于H，交AC于F．P是ED延长线上一点且PC=PF．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）点D在劣弧AC什么位置时，才能使AD2=DE•DF，为什么？（3）在（2）的条件下，若OH=1，AH=2，求弦AC的长．2．如图，⊙O的半径为1，点P是⊙O上一点，弦AB垂直平分线段OP，点D是上任一点（与端点A、B不重合），DE⊥AB于点E，以点D为圆心、DE长为半径作⊙D，分别过点A、B作⊙D的切线，两条切线相交于点C．（1）求弦AB的长；（2）判断∠ACB是否为定值？若是，求出∠ACB的大小；否则，请说明理由；（3）记△ABC的面积为S，若=4，求△ABC的周长．能力平台1．如图，等腰三角形ABC中，AC=BC=10，AB=12．以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，DF⊥AC，垂足为F，交CB的延长线于点E．（1）求证：直线EF是⊙O的切线；（2）求sin∠E的值．2．如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，⊙O交直线OB于E，D，连接EC，CD．（1）求证：直线AB是⊙O的切线；（2）试猜想BC，BD，BE三者之间的等量关系，并加以证明；（3）若tan∠CED=，⊙O的半径为3，求OA的长．3．如图①，②，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（4，0），以点A为圆心，4为半径的圆与x轴交于O，B两点，OC为弦，∠AOC=60°，P是x轴上的一动点，连接CP．（1）求∠OAC的度数；（2）如图①，当CP与⊙A相切时，求PO的长；（3）如图②，当点P在直径OB上时，CP的延长线与⊙A相交于点Q，问PO为何值时，△OCQ是等腰三角形？4．如图1，在平面直角坐标系xOy中，点M在x轴的正半轴上，⊙M交x轴于A、B两点，交y轴于C、D 两点，且C为的中点，AE交y轴于G点，若点A的坐标为（﹣2，0），AE=8．（1）求点C的坐标；（2）连接MG、BC，求证：MG∥BC；（3）如图2，过点D作⊙M的切线，交x轴于点P．动点F在⊙M的圆周上运动时，的比值是否发生变化？若不变，求出比值；若变化，说明变化规律．5．如图，从⊙O外一点A作⊙O的切线AB、AC，切点分别为B、C，且⊙O直径BD=6，连接CD、AO．（1）求证：CD∥AO；（2）设CD=x，AO=y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）若AO+CD=11，求AB的长．6.如图，在平面直角坐标系中，⊙M过原点O，与x轴交于A（4，0），与y轴交于B（0，3），点C为劣弧AO的中点，连接AC并延长到D，使DC=4CA，连接BD．（1）求⊙M的半径；（2）证明：BD为⊙M的切线；（3）在直线MC上找一点P，使|DP﹣AP|最大．7.如图1，过点A（0，4）的圆的圆心坐标为C（2，0），B是第一象限圆弧上的一点，且BC⊥AC，抛物线y=x2+bx+c经过C、B两点，与x轴的另一交点为D．（1）点B的坐标为（，），抛物线的表达式为；（2）如图2，求证：BD∥AC；（3）如图3，点Q为线段BC上一点，且AQ=5，直线AQ交⊙C于点P，求AP的长．8.如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=﹣2x+b（b≥0）的位置随b的不同取值而变化．（1）已知⊙M的圆心坐标为（4，2），半径为2．当b=时，直线l：y=﹣2x+b（b≥0）经过圆心M；当b=时，直线l：y=﹣2x+b（b≥0）与⊙M相切；（2）若把⊙M换成矩形ABCD，其三个顶点坐标分别为：A（2，0）、B（6，0）、C（6，2）．设直线l扫过矩形ABCD的面积为S，当b由小到大变化时，请求出S与b的函数关系式．21。

押浙江卷第24题（圆的综合问题）押题方向：圆的综合问题2023年浙江真题考点命题趋势2023年绍兴卷、湖州卷、、衢州卷第21题台州卷、杭州卷、金华卷第23题宁波卷、舟山、嘉兴卷、丽水卷第24题圆的综合题从近几年浙江各地中考来看，圆的综合问题经常出现在压轴题；预计2024年浙江卷还将重视圆综合问题（圆的相关概念与定理、相似、勾股、三角函数、三角形、四边形等）的考查。

1．（2023•杭州）如图，在⊙O 中，直径AB 垂直弦CD 于点E ，连接AC ，AD ，BC ，作CF ⊥AD 于点F ，交线段OB 于点G （不与点O ，B重合），连接OF ．（1）若BE ＝1，求GE 的长．（2）求证：BC 2＝BG •BO ．（3）若FO ＝FG ，猜想∠CAD 的度数，并证明你的结论．2．（2023•湖州）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点O 在边AC 上，以点O 为圆心，OC 为半径的半圆与斜边AB 相切于点D ，交OA 于点E ，连结OB ．（1）求证：BD ＝BC ．（2）已知OC ＝1，∠A ＝30°，求AB 的长．3．（2023•金华）如图，点A在第一象限内，⊙A与x轴相切于点B，与y轴相交于点C，D，连结AB，过点A作AH⊥CD于点H．（1）求证：四边形ABOH为矩形．（2）已知⊙A的半径为4，OB＝，求弦CD的长．4．（2023•绍兴）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线CD，交AB的延长线于点D，过点A作AE⊥CD于点E．（1）若∠EAC＝25°，求∠ACD的度数；（2）若OB＝2，BD＝1，求CE的长．5．（2023•台州）我们可以通过中心投影的方法建立圆上的点与直线上点的对应关系，用直线上点的位置刻画圆上点的位置．如图，AB是⊙O的直径，直线l是⊙O的切线，B为切点．P，Q是圆上两点（不与点A重合，且在直径AB的同侧），分别作射线AP，AQ交直线l于点C，点D．（1）如图1，当AB＝6，弧BP长为π时，求BC的长；（2）如图2，当，时，求的值；（3）如图3，当，BC＝CD时，连接BP，PQ，直接写出的值．6．（2023•衢州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O为AC边上一点，连结OB．以OC为半径的半圆与AB边相切于点D，交AC边于点E．（1）求证：BC＝BD．（2）若OB＝OA，AE＝2．①求半圆O的半径．②求图中阴影部分的面积．7．（2023•宁波）如图1，锐角△ABC内接于⊙O，D为BC的中点，连结AD并延长交⊙O于点E，连结BE，CE，过C作AC的垂线交AE于点F，点G在AD上，连结BG，CG，若BC平分∠EBG且∠BCG ＝∠AFC．（1）求∠BGC的度数．（2）①求证：AF＝BC．②若AG＝DF，求tan∠GBC的值．（3）如图2，当点O恰好在BG上且OG＝1时，求AC的长．8．（2023•浙江）已知，AB是半径为1的⊙O的弦，⊙O的另一条弦CD满足CD＝AB，且CD⊥AB于点H（其中点H在圆内，且AH＞BH，CH＞DH）．（1）在图1中用尺规作出弦CD与点H（不写作法，保留作图痕迹）；（2）连结AD，猜想：当弦AB的长度发生变化时，线段AD的长度是否变化？若发生变化，说明理由；若不变，求出AD的长度；（3）如图2，延长AH至点F，使得HF＝AH，连结CF，∠HCF的平分线CP交AD的延长线于点P，点M为AP的中点，连结HM．若PD＝AD，求证：MH⊥CP．9．（2023•丽水）如图，在⊙O中，AB是一条不过圆心O的弦，点C，D是的三等分点，直径CE交AB于点F，连结AD交CF于点G，连结AC，过点C的切线交BA的延长线于点H．（1）求证：AD∥HC；（2）若＝2，求tan∠FAG的值；（3）连结BC交AD于点N，若⊙O的半径为5．下面三个问题，依次按照易、中、难排列．请根据自己的认知水平，选择其中一道问题进行解答．①若OF＝，求BC的长；②若AH＝，求△ANB的周长；③若HF•AB＝88，求△BHC的面积．1）在证明圆周角相等或弧相等时，通常“由等角找等弧”或“由等弧找等角”；2）当已知圆的直径时，常构造直径所对的圆周角；3）在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化。

1.（08福建莆田）如图：抛物线经过A （-3，0）、B （0，4）、C （4，0）三点. （1） 求抛物线的解析式.（2）已知AD = AB （D 在线段AC 上），有一动点P 从点A 沿线段AC 以每秒1个单位长度的速度移动；同时另一个动点Q 以某一速度从点B 沿线段BC 移动，经过t 秒的移动，线段PQ 被BD 垂直平分，求t 的值；（3）在（2）的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点M ，使MQ+MC 的值最小？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由。

（注：抛物线2y ax bx c =++的对称轴为2b x a=-）4.（08广东深圳）如图9，在平面直角坐标系中，二次函数)0(2>++=a c bx ax y 的图象的顶点为D 点，与y 轴交于C 点，与x 轴交于A 、B 两点， A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），OB ＝OC ，tan∠ACO＝31． （1）求这个二次函数的表达式．（2）经过C 、D 两点的直线，与x 轴交于点E ，在该抛物线上是否存在这样的点F ，使以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若平行于x 轴的直线与该抛物线交于M 、N 两点，且以MN 为直径的圆与x 轴相切，求该圆半径的长度．（4）如图10，若点G （2，y ）是该抛物线上一点，点P 是直线AG 下方的抛物线上一动点，当点P 运动到什么位置时，△APG 的面积最大？求出此时P 点的坐标和△APG 的最大面积.y x O E D CB A GA BCD O xy7.（08湖北荆门）已知抛物线y =ax 2+bx +c 的顶点A 在x 轴上，与y 轴的交点为B （0，1），且b =－4ac ． (1) 求抛物线的解析式；(2) 在抛物线上是否存在一点C ，使以BC 为直径的圆经过抛物线的顶点A ？若不存在说明理由；若存在，求出点C 的坐标，并求出此时圆的圆心点P 的坐标；(3) 根据(2)小题的结论，你发现B 、P 、C 三点的横坐标之间、纵坐标之间分别有何关系?10.（08湖北武汉）如图 1，抛物线y=ax2-3ax+b 经过A （-1,0），C （3,2）两点，与y 轴交于点D ，与x 轴交于另一点B.（1）求此抛物线的解析式；（2）若直线y=kx-1（k≠0）将 四 边 形ABCD 面积二等分，求k 的值；（3）如图2，过点 E （1，-1）作EF ⊥x 轴于点F ，将△AEF 绕平面内某点旋转 180°后得△MNQ （点M ，N ，Q 分别与 点 A ，E ，F 对应），使点M ，N 在抛物线上，求点M ，N 的坐标.3（08湖南益阳）我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线.如图，点A 、B 、C 、D 分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D 的坐标为(0，-3)，AB 为半圆的直径，半圆圆心M 的坐标为(1,0)，半圆半径为2.(1) 请你求出“蛋圆”抛物线部分的解析式，并写出自变量的取值范围； (2)你能求出经过点C 的“蛋圆”切线的解析式吗？试试看；O x y ABO x y A C B P P 1 D P 2 PAOBMDCyx(3)开动脑筋想一想，相信你能求出经过点D 的“蛋圆”切线的解析式.14.（08江苏常州）如图,抛物线24y x x =+与x 轴分别相交于点B 、O ,它的顶点为A ,连接AB,把AB 所的直线沿y 轴向上平移,使它经过原点O,得到直线l ,设P 是直线l 上一动点.(1) 求点A 的坐标;(2) 以点A 、B 、O 、P 为顶点的四边形中,有菱形、等腰梯形、直角梯形,请分别直接写出这些特殊四边形的顶点P 的坐标;(3) 设以点A 、B 、O 、P 为顶点的四边形的面积为S,点P 的横坐标为x,当462682S +≤≤+,求x 的取值范围.15、（08江苏淮安）如图所示，在平面直角坐标系中．二次函数y=a(x-2)2-1图象的顶点为P ，与x 轴交点为 A 、B ，与y 轴交点为C ．连结BP 并延长交y 轴于点D. (1)写出点P 的坐标；(2)连结AP ，如果△APB 为等腰直角三角形，求a 的值及点C 、D 的坐标； (3)在(2)的条件下，连结BC 、AC 、AD ，点E(0，b)在线段CD(端点C 、D 除外)上,将△BCD 绕点E 逆时针方向旋转90°，得到一个新三角形．设该三角形与△ACD 重叠部分的面积为S ，根据不同情况，分别用含b 的代数式表示S ．选择其中一种情况给出解答过程，其它情况直接写出结果；判断当b 为何值时,重叠部分的面积最大?写出最大值．27、（08江西南昌）如图，抛物211y ax ax =--+经过点19(,)28P -，且与抛物线221y ax ax =--相交于A 、B 两点（1）求a 值；（2）设211y ax ax =--+与x 轴分别交于M N ，两点（点M 在点N 的左边），221y ax ax =--与x 轴分别交于E F ，两点（点E 在点F 的左边），观察M N E F ，，，四点的坐标，写出一条正确的结论，并通过计算说明；（3）设A B ，两点的横坐标分别记为A B x x ，，若在x 轴上有一动点(0)Q x ，，且A B x x x ≤≤，过Q 作一条垂直于x 轴的直线，与两条抛物线分别交于C ，D 两点，试问当x为何值时，线段CD 有最大值？其最大值为多少？33、（08山东临沂）如图，已知抛物线与x 轴交于A （－1，0）、B （3，0）两点，与y 轴交于点C （0，3）。

2023年春九年级数学中考复习《圆综合压轴解答题》专题提升训练（附答案）1．如图，已知四边形ACBD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AB＝10，点D是半圆的中点，连接CD，点I是CD上一点，且DI＝DB．（1）求证：点I是△ABC的内心；（2）若BC＝6，求△BIC的面积；（3）随着点C的变化，点I的位置也发生改变，请探求CI长度的取值范围．2．如图，在△ABC中，AB＝4，以AB为直径作⊙O，分别交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D作⊙O的切线DH交AC于点H，且DH⊥AC，连接DE与AB交于点G．（1）求证：AB＝AC；（2）填空：①当BD＝时，四边形EODA为菱形；②若∠EGA＝∠EAG，则GO 的长为．3．如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，连接AD并延长至点C，连接BC交⊙O于点E，AB＝BC＝10，AC＝12，过点D作DF⊥BC于点F．（1）求证：直线DF是⊙O的切线；（2）连接DE，设△CDE的面积为S1，四边形ADEB的面积为S2，求的值；（3）点P在上，且的长为，点Q为线段BD上一动点，连接PQ，求的最小值．4．（1）如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3，若AD平分∠BAC交CB于点D，那么点D到AC的距离为；（2）如图②，四边形ABCD内接于⊙O，AC为直径，点B是半圆AC的三等分点（弧AB＜弧BC），连接BD，若BD平分∠ABC，且BD＝8，求四边形ABCD的面积．（3）如图③，有一块半径为1的⊙O，若⊙O的内接四边形ABCD满足∠ABC＝60°，AB＝AD，且AD+DC＝2，求AB的长．5．如图1，△ABC内接于⊙O，弦AE交BC于点D，连接BO，且∠ABO＝∠DAC．（1）求证：AE⊥BC；（2）如图2，点F在弧AC上，连接CF、BF，BF交AE于点M，若∠ACF＝∠OBC，求证：MD＝ED；（3）如图3，在（2）的条件下，∠BFC＝3∠EAC，若BM＝，AM＝3时，求弦CF 的长．6．如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，连接BO并延长交边AC于点D．（1）如图1，求证：∠BAC＝2∠ABD；（2）如图2，过点B作BH⊥AC于点H，延长BH交⊙O于点G，连接OC，CG，OC 交BG于点F，求证：BF＝2HG；（3）如图3，在（2）的条件下，若AD＝2，CD＝3，求线段BF的长．7．如图，等边△ABC内接于⊙O，点D是弧AC上一点，连接BD交AC于E．（1）如图1，求证∠ADB＝∠CDB；（2）如图2，点F为线段BD上一点，连接CF，若∠BCF＝2∠ABD时，求证：BF＝DE+AD；（3）在（2）的条件下，作∠BCF的平分线交⊙O于M，在CM上取点R，连接AR交CF于点T，若TR＝1，MR＝5，∠CAT＝3∠ACD，求AT的长．8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2．（1）若点D、E、F分别在AB，AC，BC边上（如图1），连接DE，DF，EF，且∠EDF ＝90°，DE＝DF．①四边形DECF的四个顶点是否在同一个圆上，并说明你的理由；②EF最小值为；四边形CEDF的面积是；（请直接写出答案）③点C到线段EF的最大距离为；（请直接写出答案）（2）若点D、E、F分别在AC，BC，AB边上（如图2），连接DE，DF，EF，且∠EDF ＝90°，DE＝DF，求EF的最小值．9．已知，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC于点G，连接AO．（1）如图1，求证：∠BAO＝∠CAD；（2）如图2，过点O作ON⊥BC于N，过点B作BH⊥AC于H，交AD于点E，交⊙O 于点F，求证：AE＝2ON；（3）如图3，在（2）的条件下，直线OE交AB于点P，交AC于点Q，若HC：EF＝：2，BP＝11，CQ＝2，求线段AD的长．10．（1）如图1，P是半径为5的⊙O上一点，直线l与⊙O交于A、B两点，AB＝8，则点P到直线l的距离的最大值为．问题探究：（2）如图2，在等腰△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝45°，F是高AD和高BE的交点，求S△ABF：S△BFD的值．问题解决：（3）如图3，四边形ABCD是某区的一处景观示意图，AD∥BC，∠ABC＝60°，∠BCD ＝90°，AB＝60m，BC＝80m，M是AB上一点，且AM＝20m．按设计师要求，需在四边形区域内确定一个点N，修建花坛△AMN和草坪△BCN，且需DN＝25m．已知花坛的造价是每平米400元，草坪的造价是每平米200元，请帮设计师算算修好花坛和草坪预算最少需要多少元？11．如图，AB是⊙O的直径，P为AB上一点，弦CD与弦EF交于点P，PB平分∠DPF，连DF交AB于点G．（1）求证：CD＝EF；（2）若∠DPF＝60°，PE：PF＝1：3，AB＝2，求OG的长．12．已知⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，弧AB上一点D满足DB＝DA，连结CD交AB于点E．（1）求∠AED+∠ABC的值．（2）求证：AC•BC＝CE•CD；（3）连接OE，若∠BOE＝∠BEO，求△BEO与△BED的面积比．13．【基础巩固】（1）如图1，点A，F，B在同一直线上，若∠A＝∠B＝∠EFC，求证：△AFE∼△BCF；【尝试应用】（2）如图2，AB是半圆⊙O的直径，弦长AC＝BC＝4，E，F分别是AC，AB上的一点，∠CFE＝45°，若设AE＝y，BF＝x，求出y与x的函数关系及y的最大值．【拓展提高】（3）已知D是等边△ABC边AB上的一点，现将△ABC折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E，F分别在AC和BC上．如图3，如果AD：BD＝1：2，求CE：CF的值．14．如图1，▱ABCD为⊙O的内接四边形，已知，以A为顶点作∠P AZ＝45°，交BC于P，交CD于Z．（1）求证：四边形ABCD为正方形；（2）若BC＝4BP，求DZ：CZ的值；（3）如图2，过P作PQ⊥AD于Q，过Z作ZX⊥AB于X，交PQ于Y．若，求四边形ZYPC的面积．15．如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝16cm，AB＝20cm，动点D由点C向点A 以每秒1cm速度在边AC上运动，动点E由点C向点B以每秒cm速度在边BC上运动，若点D、点E从点C同时出发，运动t秒（t＞0），联结DE．（1）求证：△DCE∽△BCA；（2）如图2，设经过点D、C、E三点的圆为⊙P；①当⊙P与边AB相切时，求t的值；②在点D、点E运动过程中，若⊙P与边AB交于点F、G（点F在点G左侧，如图3），联结CP并延长交边AB于点M，连接PF，当△PFM与△CDE相似时，求CE的长．16．问题解决：（1）如图①，半圆O的直径AB＝6，点P是半圆O上的一个动点，则△P AB的面积最大值是．（2）如图②，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，OA＝6，点C、D分别在OA和OB上，且AC＝2，D是OB的中点，点E在弧AB上．连接CE、DE，四边形CODE的面积是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．（3）如图③，四边形ABCD中，AB＝AD＝6，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，四边形ABCD的面积是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．17．给出定义：有两个内角分别是它们对角的两倍的四边形叫做倍对角四边形．（1）如图1，在倍对角四边形ABCD中，∠D＝2∠B，∠A＝2∠C，求∠B与∠C的度数之和；（2）如图2，锐角△ABC内接于⊙O，若边AB上存在一点D，使得BD＝BO，∠OBA 的平分线交OA于点E，连结DE并延长交AC于点F，∠AFE＝2∠EAF．求证：四边形DBCF是倍对角四边形；（3）如图3，在（2）的条件下，过点D作DG⊥OB于点H，交BC于点G．当4DH＝3BG时，求△BGH与△ABC的面积之比．18．【概念提出】圆心到弦的距离叫作该弦的弦心距．【数学理解】如图①，在⊙O中，AB是弦，OP⊥AB，垂足为P，则OP的长是弦AB的弦心距．（1）若⊙O的半径为5，OP的长为3，则AB的长为．（2）若⊙O的半径确定，下列关于AB的长随着OP的长的变化而变化的结论：①AB的长随着OP的长的增大而增大；②AB的长随着OP的长的增大而减小；③AB的长随着OP的长的确定而确定；④AB的长与OP的长无关．其中所有正确结论的序号是．【问题解决】如图②，已知线段EF，MN，点Q是⊙O内一定点．（3）用直尺和圆规过点Q作弦AB，满足AB＝EF；（保留作图痕迹，不写作法）（4）若弦AB，CD都过点Q，AB+CD＝MN，且AB⊥CD．设⊙O的半径为r，OQ的长为d，MN的长为l．①求AB，CD的长（用含r，d，l的代数式表示）；②写出作AB，CD的思路．19．阅读，然后解答问题：我们新定义一种三角形，两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．（1）根据“奇异三角形”的定义，请你证明：“三边分别为3，，5的三角形是奇异三角形；（2）在Rt△ABC中，AB＝c，AC＝b，BC＝1，且c＞b＞1，若Rt△ABC是奇异三角形，求b和c；（3）如图，AB是⊙的直径，C是⊙O上一点（不与点A、B重合），D是半圆的中点，C、D在直径AB的两侧，若在⊙O内存在点E，使AE＝AD，CB＝CE．①求证：△ACE是奇异三角形；②当△ACE是直角三角形时，求∠AOC的度数．20．问题情境：如图1，P是⊙O外的一点，直线PO分别交⊙O于点A，B，则P A是点P 到⊙O上的点的最短距离．（1）探究证明：如图2，在⊙O上任取一点C（不与点A，B重合），连接PC，OC．求证：P A＜PC．（2）直接应用：如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，以BC为直径的半圆交AB于D，P是弧CD上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是．（3）构造运用：如图4，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A1MN，连接A1B，则A1B 长度的最小值为．（4）综合应用：如图5，平面直角坐标系中，分别以点A（﹣2，3），B（4，5）为圆心，以1，2为半径作⊙A，⊙B，M，N分别是⊙A，⊙B上的动点，P为x轴上的动点，直接写出PM+PN的最小值为．参考答案1．（1）如图1，证明：∵点D是半圆的中点，∴∠ACD＝∠ABD＝∠BCD＝∠DAB，∵DI＝DB．∴∠DIB＝∠DBI，∴∠DCB+∠CBI＝∠ABD+∠ABI，∴∠CBI＝∠ABI，∴点I是△ABC的内心；（2）如图2，作AE⊥CD于E，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，∴∠ACD＝∠ABD＝∠BCD＝∠DAB＝45°，在Rt△ABC中，BC＝6，AB＝10，∴AC＝8，在Rt△ACE中，AE＝CE＝AC＝4，在Rt△ADE中，AE＝4，BD＝AD＝＝5，∴DE＝3，∴CD＝CE+DE＝7，∵DI＝BI＝5，∴CI＝2，作IJ⊥BC于J，∴IJ＝CI＝2，∴S△BIC＝＝＝6；（3）如图3，∵DI＝BD＝5，∴I在以D为圆心，5为半径的圆上一段弧上运动，作⊙O的直径DC′与⊙D交于点I′，当C与C′重合，I与I′重合时，IC最大，C′I′＝10﹣5，∴0＜CI≤10﹣52．（1）证明：连接OD，∵DH为⊙O的切线，D为切点，∴OD⊥DH，∵DH⊥AC，∴∠ODH＝∠DHC＝90°，∴OD∥AC，∴∠ODB＝∠C，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠OBD＝∠C，∴AB＝AC；（2）解：①如图，连接AD、OD、EO，∵四边形EODA为菱形，∴AD＝OD＝AB＝2，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴BD＝，故答案为：2；②∵∠EGA＝∠EAG，∴∠EAG＝∠OGD，∵AE∥OD，∴∠CED＝∠ODE，∠EAG＝∠AOD，∴∠OGD＝∠GOD，∴OD＝DG，∵∠B＝∠AED，∴∠ODE＝∠B，又∵∠OGD＝∠DGB，∴△OGD∽△DGB，设OG＝x，∴，∴，∵x＞0，∴x＝﹣1，∴OG＝﹣1，故答案为：﹣1．3．（1）证明：连接OD，∵AO＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AB＝BC，∴∠OAD＝∠C．∴OD∥BC，∵DF⊥BC，∴DF⊥OD，∵OD是⊙O的半径，∴直线DF是⊙O的切线；（2）解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵AB＝BC，∴AD＝DC＝6，∵四边形ADEB是⊙O的内接四边形，∴∠ADE+∠ABE＝180°，∵∠ADE+∠CDE＝180°，∴∠CDE＝∠ABC，∵∠C＝∠C，∴△CDE∽△CBA，∴＝，∴；（3）如图，过点Q作QG⊥AB于点G，∵sin∠ABD＝，∴QG＝BQ，∴PQ+BQ＝PQ+QG，∴当P，Q，G三点共线时，PQ+BQ有最小值为PG，∵的弧长为π，∴，∴∠POB＝60°，∴PG＝OP•sin60°＝，∴PQ+BQ的最小值为．4．解：（1）如图1，作DE⊥AC于E，作DF⊥AB于F，∵AD平分∠BAC，∴DE＝DF，由S△ABC＝S△ABD+S△ACD得，AB•AC＝，∴4×3＝4•DE+3DE，∴DE＝，故答案是；（2）如图2，作CE⊥BD于E，作AF⊥BD于F，∵AC是直径，∴∠ABC＝90°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠ABD＝，∴＝，∠ECB＝90°﹣∠DBC＝45°＝∠DBC，∴AD＝CD，BE＝CE，∵点B是半圆AC的三等分点（弧AB＜弧BC），∴的度数是60°，的度数是120°，∴∠ADB＝30°，∠BDC＝60°，∴∠ADB＝∠DCE＝30°，∴△ADF≌△DCE（AAS），∴AF＝DE，∴AF+CE＝DE+BE＝8，∴S四边形ABCD＝S△ABD＝＝＝＝＝32；（3）如图3连接AC，延长CD至E，使DE＝AD，连接AE，∵AB＝AD，∴＝，∴∠ACB＝∠ACE，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADE＝∠ABC＝60°，∴△ADE是等边三角形，∴∠E＝60°，∴∠B＝∠E，又∵AC＝AC，∴△ABC≌△AEC（AAS），∴BC＝CE，∵CE＝DE+CD＝AD+CD＝2，∴BC＝2．∵⊙O的半径是1，∴BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∴AB＝BC•cos60°＝1．5．（1）证明：延长BO交⊙O于G，连接AG，如图：∵＝，∴∠G＝∠C，∵∠ABO＝∠DAC，∴∠G+∠ABO＝∠C+∠DAC，∵BG为⊙O直径，∴∠BAG＝90°，∴∠G+∠ABO＝∠C+∠DAC＝90°，∴∠ADC＝90°，∴AE⊥BC；（2）证明：设BF交AC于N，延长BO交⊙O于G，连接CG，BE，如图：∵BG为⊙O直径，∴∠BCG＝90°，∴∠G+∠OBC＝90°，∵∠G＝∠BFC，∠OBC＝∠ACF，∴∠BFC+∠ACF＝90°，∴∠CNF＝90°，∴∠NBC+∠NCB＝90°，由（1）知：AE⊥BC有∠DAC+∠NCB＝90°，∴∠NBC＝∠DAC，∵＝，∴∠DAC＝∠DBE，∴∠NBC＝∠DBE，又∠BDM＝∠BDE＝90°，BD＝BD，∴△BDM≌△BDE（ASA），∴MD＝ED；（3）解：连接AF、BE，如图：∵＝，∴∠BFC＝∠BAC，∵∠BFC＝3∠EAC，∴∠BAC＝3∠EAC，∴∠BAE＝2∠EAC，由（2）知∠EAC＝∠DBE＝∠DBM，BE＝BM＝，∴∠EBM＝2∠EAC，∴∠EBM＝∠BAE，又∠BEM＝∠AEB，∴△BEM∽△AEB，∴＝＝，∵AM＝3，∴＝＝，解得：EM＝2，AB＝5，在Rt△AMN中，MN2+AN2＝AM2＝9（Ⅰ），在Rt△ABN中，（+MN）2+AN2＝AB2＝25（Ⅱ），由（Ⅰ）、（Ⅱ）可得：MN＝，AN＝，∵∠AMF＝∠BME，∠AFM＝∠BEM，∴△BEM∽△AFM，∴＝，即＝，∴MF＝，∴NF＝MF﹣MN＝，∵cos∠BAC＝cos∠BFC，∴＝，即＝，∴CF＝．6．（1）如图1，证明：连接OA，OC，∴OB＝OC，又AB＝AC，OA＝OA，∴△AOB≌△AOC（SSS），∴∠OAC＝∠OAB，∴∠BAC＝2∠OAB，∵OA＝OB，∴∠ABD＝∠OAB，∴∠BAC＝2∠ABD；（2）如图2，证明：连接AG，OG，延长AO交BG于M，交BC于P，交⊙O于N，由（1）知，∠BAO＝∠CAO，∴＝，∵AB＝AC，∴AP⊥BC，∵BH⊥AC，∠AMH＝∠BMP，∴∠CBG＝∠CAO，∵＝，∴∠CAG＝∠CBG，∴∠CAG＝∠CAO，∴AM＝AG，＝，∴GM＝2GH，∠BON＝∠COG，∵OB＝OG，∴∠OBG＝∠OGB，∴△BOM≌△GOF（ASA），∴BM＝GF，∴BM+MF＝GF+MF，即BF＝MG＝2GH；（3）如图3，解：设∠ABD＝α，由（1）（2）知，∠BAC＝2∠ABD＝2α，∠CAG＝，连接AG，作DT⊥AB于T，截取TK＝AT，∴AD＝DK＝2，∴∠DKA＝∠DAK＝2α，∵∠BDK＝∠AKD﹣∠ABD＝2α﹣α＝α，∴BK＝DK＝2，∴AK＝AB﹣BK＝3，∴AT＝KT＝＝，∴DT＝＝＝，∴cos2α＝＝＝，tanα＝＝，在Rt△ABH中，AH＝AB•cos2α＝5×＝，在Rt△AHG中，GH＝AH•tanα＝＝，∴BF＝2GH＝．7．解：（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠ACB＝60°，∴＝，∴∠ADB＝∠CDB；（2）证明：如图，作∠BCF的角平分线，交BD于点G，设∠ACD＝α，∵＝，∴∠ABD＝∠ACD＝α，∵∠BCF＝2∠ABD，∴∠FCG＝∠BCG＝∠ACD＝α，∵△ABC是等边三角形，∴BC＝AC，∵＝，∴∠DAC＝∠DBC，在△ADC与△BGC中，，∴△ADC≌△BGC（SAS），∴BG＝AD，DC＝GC，∵＝，∴∠BDC＝∠BAC＝60°，∴△DGC是等边三角形，∴∠FGC＝∠EDC＝60°，在△CED与△CFG中，，∴△CED≌△CFG（ASA），∴ED＝FG，∴BF＝BG+GF＝AD+DE，即BF＝DE+AD；（3）解：设∠ACD＝α，则∠CAT＝3∠ACD＝3α，如图，延长CF交⊙O点P，交AM于N点，连接P A，过M点作MQ∥AP，交AR于Q 点，连接PM，∵CM是∠BCF的平分线，由（2）得∠FCG＝∠BCG＝∠ACD＝α，∴∠ACP＝∠ACB﹣∠BCF＝60°﹣2α，∠BAT＝∠BAC﹣∠CAT＝60°﹣3α，∵＝，＝，∴∠MAB＝∠BCG＝α，∠MAP＝∠FCG＝α，∴∠MAC＝∠BAC+∠BAM＝60°+α，∴∠MAT＝∠MAC﹣∠CAT＝60°+α﹣3α＝60°﹣2α，∠P AT＝∠MAT+∠MAP＝60°﹣2α+α＝60°﹣α，∵＝，∴∠AMP＝∠ACP＝60°﹣2α，∴∠AMP＝∠MAT＝60°﹣2α，∴MP∥AR，∴∠AMQ＝∠MAP＝α，∠MQT＝∠P AR＝60°﹣α，∵＝，∴∠AMC＝∠ABC＝60°，∴∠QMR＝∠AMC﹣∠AMQ＝60°﹣α，∴∠QMR＝∠MQR＝60°﹣α，∴QR＝MR＝5，∵设MP＝AQ＝m，则QT＝QR﹣TR＝5﹣1＝4，∴AT＝QT+AQ＝4+m，∵＝，∴∠MPC＝∠MAC＝60°+α，又∵∠MNP＝∠ANT＝∠APC+∠P AM＝60°+α，∠ATN＝∠ACP+∠CAT＝60°﹣2α+3α＝60°+α，∴∠MNP＝∠MPC＝∠ANT＝∠ATN＝60°+α，∴MP＝MN，AN＝AT，∴AM＝MN+AN＝MP+AT＝m+4+m＝4+2m，在△AMR中，∠AMR＝60°，AM＝4+2m，MR＝5，AR＝5+m，如图，过R点作AM边的高HR，∴∠MRH＝30°，∴MH＝MR＝，HR＝＝MR＝，∴AH＝AM﹣MH＝+2m，在Rt△AHR中，HR2+AH2＝AR2，∴（）2+（+2m）2＝（5+m）2，解得：m＝2或﹣（舍去），∴AT＝4+m＝6．8．解：（1）①取EF中点P，连接CP，DP，∵点P为EF中点，∴PE＝PF＝EF．∵∠ACB＝∠EDF＝90°，∴CP＝DP＝AC，∴PE＝PF＝PC＝PD，∴点E、D、F、C在以P为圆心，EF为半径的同一个圆上；②当DE⊥AC时，DE的长度最小，此时EF最短，∵∠A＝45°，AD＝，∴DE＝1，∵DE＝DF，∴EF＝＝；∵D是AB的中点，∴AD＝BD＝CD＝，CD⊥AB，∠BCD＝45°，∵DE⊥DF，∴∠EDF＝90°，∴∠ADE＝∠CDF，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（ASA），∴S△ADE＝S△CDF，∴S四边形DECF＝S△DEC+S△DCF＝S△DEC+S△ADE＝S△ADC＝××＝1；故答案为；1．③由②可知当EF取最小值时，点C到线段EF的最大距离为EF＝．故答案为．（2）过点F分别作FG⊥CA于点G，设DC＝a，CE＝b，∵∠CDE+∠GDF＝∠GDF+∠DFG＝90°，∴∠CDE＝∠DFG，∵∠C＝∠DGF，DE＝DF，∴△DCE≌△FGD（AAS），∴FG＝DC＝a，GD＝CE＝b，则2a+b＝2，a2+b2＝DF2，∴DF2＝a2+（2﹣2a）2，＝5a2_8a+4＝5，当a＝时，DF2最小，此时EF2最小，∴EF的最小值为．9．（1）证：如图1，作直径AE，连接BE，∴∠ABE＝90°，∴∠BAO＝90°﹣∠E，∵＝，∴∠E＝∠C，∴∠BAO＝90°﹣∠C，∵AD⊥BC，∴∠AGC＝90°，∴∠CAD＝90°﹣∠C，∴∠BAO＝∠CAD；（2）证：如图2，∵ON⊥BC，∴BC＝2CN，作直径CM，连接BM，AM，∴MB⊥BC，∵ON⊥BC，∴ON∥BM，∴△CON∽△CMB，∴＝＝2，∴BM＝2ON，∵＝，∴∠BAM＝∠BCM，∴∠BAM＝∠BCM＝90°﹣∠BMC，∵＝，∴∠BMC＝∠BAC，∴∠BAM＝90°﹣∠BAC，∵∠AHB＝90°，∴∠ABH＝90°﹣∠BAC，∴∠BAM＝∠ABH，∴BE∥AM，∴四边形AMBE是平行四边形，∴AE＝BM，∴AE＝2ON；（3）解：如图3，连接AF，CF，连接CE并延长交AB于I，连接OB、OC和BD，作OJ⊥AB于J，∵AG⊥BC，BH⊥AC，∴CI⊥AB，又∵∠AEH＝∠BEG，∴∠GBE＝∠EAH，∵＝，∴∠F AC＝∠GBE，∴∠F AC＝∠EAH，∵∠AHF＝∠AHE＝90°，AH＝AH，∴△AHE≌△AHF（ASA），∴EH＝FH，∴FH＝，同理可得：EG＝DG＝，∴tan∠BFC＝＝＝，∴∠BFC＝60°，∵＝，∴∠BAC＝∠BFC＝60°，∴∠BOC＝2∠BAC＝120°，∵OB＝OC，ON⊥BC，∴∠BON＝＝60°，∴OA＝OB＝2ON，∵AE＝2ON，∴AO＝AE，∴∠AOE＝∠AEO，∴∠AOP＝∠AEQ，∵∠BAO＝∠CAD，∵△AOP≌△AEQ（ASA），∴AP＝AQ，∴△APQ是等边三角形，∴∠APQ＝60°，∵∠AEH＝90°﹣∠BAC＝30°，∴∠AEH＝∠ABH＝30°，∴PE＝PB＝11，设AP＝AQ＝PQ＝x∴OP＝EQ＝PQ﹣PE＝x﹣11，AC＝AQ+CQ＝x+2，在Rt△AIC中，∠BAC＝60°，AC＝x+2，∴AI＝AC＝（x+2），CI＝（x+2），∴BI＝AB﹣AI＝（x+11）﹣（x+2）＝+10，在Rt△BIC中，BC2＝BI2+CI2，＝（）2+[（x+2）]2，在Rt△POJ中，∠APH＝60°，OP＝x﹣11，∴PJ＝（x﹣11），OJ＝（x﹣11），∴AJ＝AP﹣PJ＝x﹣（x﹣11）＝，在Rt△AOJ中，OA2＝OJ2+AJ2＝[（x﹣11）]2+（）2，∴OB2＝[（x﹣11）]2+（）2，∵BN＝OB，∴BC＝2BN＝OB，∴BC2＝3OB2＝3•[（x﹣11）]2+（）2，∴3•[（x﹣11）]2+（）2＝（）2+[（x+2）]2，化简，得，x2﹣23x+130＝0，∴x1＝13，x2＝10（舍去），∴AB＝x+11＝24，AC＝x+2＝15，∴BH＝AB＝12，AH＝12，∴CH＝AC﹣AH＝3，∴BC＝＝21，∵∠CAD＝∠CBH，∠AGC＝∠BHC＝90°，∴△ACG∽△BCH，△BGE∽△AGC，∴＝＝，＝∴＝＝＝，∴AG＝，CG＝，∴BG＝BC﹣CG，＝21﹣＝，∴＝，∴DG＝EG＝，∴AD＝AG+DG＝+＝．10．解：（1）点P到直线l距离的最大值，即过圆心O向直线l作垂线交圆O于点P，连接OA，∵AB＝8，OC⊥AB，∴AC＝4，由勾股定理得：OC＝3，∴PC＝8，故答案为：8；（2）过点F作FG⊥AB，∵∠ABC＝45°，AD⊥BC，∴△ABD为等腰直角三角形，∴AB＝BD，又∵△ABC为等腰三角形，且AB＝BC，BE⊥AC，∴BE平分∠ABC，又∵FD⊥BC，FG⊥AB，∴FG＝FD，∴S△ABF＝×AB×FG，S△BDF＝×BD×DF，∴；（3）连接MC，过点A作AP⊥BC于点P，∵∠ABC＝60°，AB＝60，∴BP＝30，AP＝30，∴CD＝30，设总费用为W元，∴W＝400S△AMN+200S△BNC，∴W＝200（2S△AMN+S△BNC），∴当2S△AMN+S△BNC最小时，总费用最小，又∵AM＝20米，BM＝40米，∴2S△AMN＝S△BMN，∴当S△BMN+S△BNC最小时，费用最小，即S四边形BMNC最小时，费用最小，又∵S四边形BMNC＝S△BMC+S△CMN，过点M作MH⊥BC，垂足为H，∵∠ABC＝60°，BM＝40米，∴BH＝20米，MH＝20米，MC＝40米，∴∠BCM＝30°，∴∠DCM＝60°，∴S△BMC＝＝800（平方米），∴当S△CMN最小时，费用最小，∴S△CMN＝×NQ＝20NQ，∴当NQ最小时，费用最小，∵ND＝25米，∴N点在以D为圆心，25为半径的圆上运动，过圆心D向MC作垂线交⊙D于N点，交MC于Q，即此时NQ最小，∵CQ＝15米，DQ＝45米，∴NQ＝45﹣25＝20（米），∴S△MNC最小值＝×20＝400（平方米），∴S四边形BMNC最小值＝1200（平方米）∴W最小值＝200×1200＝240000（元），11．（1）证明：如图，过点O作OM⊥EF于点M，ON⊥CD于点N，连接OF、OD，则∠OMF＝∠OND＝90°，∵PB平分∠DPF，OM⊥EF，ON⊥CD，∴OM＝ON，在Rt△OFM和Rt△ODN中，，∴Rt△OFM≌Rt△ODN（HL），∴FM＝DN，∵OM⊥EF，ON⊥CD，∴EF＝2FM，CD＝2DN，∴CD＝EF；（2）∵PE：PF＝1：3，∴设PE＝x，PF＝3x，则EF＝PE+PF＝4x，∵OM⊥EF，∴EM＝FM＝EF＝2x，∴PM＝EM﹣PE＝2x﹣x＝x，∵PB平分∠DPF，∠DPF＝60°，∴∠FPB＝DPB＝DPF＝30°，∴OM＝x，OP＝x，在Rt△OPM和Rt△OPN中，，∴Rt△OPM≌Rt△OPN（HL），∴PM＝PN，由（1）知：FM＝DN，∴PM+FM＝PN+DN，∴PF＝PD，∵∠DPF＝60°，∴△PDF是等边三角形，∵PB平分∠DPF，∴PB⊥DF，垂足为G，∴DF＝PF＝3x，FG＝DF＝，∴PG＝＝＝，∴OG＝PG﹣OP＝﹣x＝，∵AB＝2，∴OF＝AB＝，在Rt△OFG中，根据勾股定理，得OG2+FG2＝OF2，∴（）2+（）2＝（）2，整理，得x2＝3，解得x＝±（负值舍去），∴x＝，∴OG＝＝＝．12．（1）解：∵BC是直径，∴∠CAB＝90°，∴∠ACB+∠ABC＝90°，∴∠ACB+∠ABC＝45°，∵BD＝AD，∴＝，∴∠ACD＝∠BCD，∵∠AED＝∠ACD+∠CAE，∴∠AED+∠ABC＝90°+∠ACB+∠ABC＝135°；（2）证明：∵＝，∴∠ACD＝∠BCE，∵∠CBE＝∠ADC，∴△CBE∽△CDA，∴＝，∴AC•BC＝CE•CD；（3）解：如图，过点B作BT⊥OE交CD于点T，连接OT．∵BO＝BE，∴BO垂直平分线段OE，TB平分∠ABC，∴TO＝TE，∴TB平分∠OTE，∵CE平分∠ACB，∴∠BTD＝∠TCB+∠TBC＝（∠ACB+∠ABC）＝45°，∴∠OTE＝90°，∴OT⊥CD，∴CT＝TD，∵BC是直径，∴∠BDT＝90°，∴∠BTD＝∠DBT＝45°，∴BD＝DT＝CT，∵CO＝OB，CT＝TD，∴BD＝2OT，∴DT＝CT＝2ET，∴CE＝3DE，∴S△BEC＝3S△ADE，∵BO＝OC，∴S△BEC＝2S△BEO，∴2S△BEO＝3S△DEB，∴＝．13．（1）证明：∵∠A＝∠EFC，∴∠E+∠EF A＝∠EF A+∠CFB，∴∠E＝∠CFB，∵∠A＝∠B，∴△AFE∽△BCF；（2）解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴AB＝＝8，∵AC＝BC，∴∠A＝∠B＝45°，∴∠A＝∠B＝∠CFE＝45°，由（1）可得△AFE∽△BCF，∴，即，∴y＝﹣x2+x（0≤x≤8），∴当x＝4时，y最大＝2；（3）解：连接DE，DF，∵△EFC与△EFD关于EF对称，∴∠EDF＝∠ECF＝60°，EC＝ED，FC＝FD，∵∠BDF+∠EDF＝∠BDE＝∠A+∠DEA，∵∠EDF＝∠A＝60°，∴∠BDF＝∠DEA，∴△ADE∽△BFD，设AD＝x，CE＝DE＝a，CF＝DF＝b，∵AD：BD＝1：2，∴DB＝2x，∴AB＝3x＝AC＝BC，∴AE＝3x﹣a，BF＝3x﹣b，∵△ADE∽△BFD，∴，∴，由前两项得，2ax＝b（3x﹣a），由后两项得，（3x﹣a）（3x﹣b）＝2x2，即：3x（3x﹣a）﹣b（3x﹣a）＝2x2，∴3x（3x﹣a）﹣2ax＝2x2，∴a＝x，∴，∴CE：CF＝4：5．14．（1）∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠B＝∠D．又∵∠B+∠D＝180°，∴∠B＝∠D＝90°．∴四边形ABCD为矩形，∵，∴AB＝AD．∴四边形ABCD为正方形．（2）延长CD至点Q，使得DQ＝BP，连接AQ，如图，∵四边形ABCD为正方形，∴∠ABP＝∠ADQ＝90°．在△ABP和△ADQ中，，∴△ABP≌△ADQ（SAS），∴AP＝AQ，∠BAP＝∠DAQ．∵∠BAD＝90°，∴∠DAP+∠BAD＝90°．∴∠DAP+∠QAD＝90°．∴∠QAP＝90°．∵∠P AZ＝45°，∴∠P AZ＝∠QAZ＝45°．在△APZ和△AQZ中，，∴△APZ≌△AQZ（SAS）．∴PZ＝QZ．设AB＝4a，DZ＝t，则BP＝a，ZC＝4a﹣t，ZP＝t+a，在Rt△CPZ中，∵ZC2+CP2＝ZP2，∴（4a﹣t）2+（3a）2＝（t+a）2．解得：t＝．∴DZ＝a，CZ＝a，∴DZ：CZ＝3：2．（3）∵四边形ABCD为正方形，PQ⊥AD，ZX⊥AB，∴四边形AXYQ，AXZD，XBPY，XBCZ均为矩形．设AB＝a，AX＝m，AQ＝n，则mn＝．由（2）可知，PZ＝DZ+BP＝m+n，CZ＝XB＝a﹣m，CP＝DQ＝a﹣n．在Rt△CPZ中，∵ZC2+PC2＝PZ2，∴（a﹣m）2+（a﹣n）2＝（m+n）2．化简得：a2﹣（m+n）a＝mn．∴S四边形ZYPC＝（a﹣m）（a﹣n）＝a2﹣（m+n）a+mn＝2mn＝2×＝5．15．（1）证明：∵∠C＝90°，AC＝16，AB＝20，∴BC＝＝12，∴＝，∵＝＝，∴＝，∵∠C＝∠C，∴△DCE∽△BCA；（2）解：①如图1，作PG⊥AC于G，PF⊥BC于F，作PH⊥AB于H，设CD＝3a，CE＝4a，DE＝5a，由题意得，PH＝PC＝DE＝，PF＝CG＝CD＝a，FG＝2a，∵S△ABC＝S△APB+S△PBC+S△P AC，∴BC•AC＝AB•PH++，∴12×16＝20×a+12×a+16×2a，∴a＝，∴t＝3a＝；②如图2，设CD＝3a，CE＝4a，DE＝5a，∴PF＝DE＝a，由（1）知，△DCE∽△BCA，当△PMF∽△DCE时，∴△PMF∽△BCA，＝＝，∴PM＝a，FM＝2a，由S△ABC＝得20•CM＝12×16，∴CM＝，∵CP+PM＝CM，∴a+a＝，∴4a＝，即CE＝，当△PMF∽△ECD时，类比上可得，a+2a＝，∴4a＝，∴CE＝，综上所述：CE＝或．16．解：（1）点P运动至半圆O的中点时，如图1：此时底边AB上的高最大，即P'O＝r＝3，△P AB的面积最大值，∴S△P'AB＝×3×6＝9，故答案为：9；（2）四边形CODE的面积存在最大值，作OG⊥CD，垂足为G，延长OG交弧AB于点E′，则此时△CDE'的面积最大，如图2：∵OA＝OB＝6，AC＝2，点D为OB的中点，∴OC＝4，OD＝3，在Rt△COD中，CD＝5，OG＝2.4，∴GE′＝6﹣2.4＝3.6，∴四边形CODE'面积为S△CDO+S△CDE′＝×3×4+×5×3.6＝15，∴四边形CODE的面积的最大值为15；（3）四边形ABCD的面积存在最大值，连接BD，作△ABD的外接圆O，过A作AE⊥BD于E，如图3：∵∠DAB＝60°，∠DCB＝120°，∴∠DAB+∠DCB＝180°，∴A、B、C、D四点共圆，即C在⊙O上，∵AD＝AB，∠DAB＝60°，∴△ADB是等边三角形，有BD＝AB＝AD＝6，在Rt△ABE中，BE＝AB＝3，AE＝BE＝3，∴S△ABD＝BD•AE＝×6×3＝9，当C为中点，即A、E、C共线时，△BDC的面积最大，此时∠ACB＝∠ADB＝60°，AC为⊙O直径，∴∠CAB＝30°，∴AC＝＝4，∴CE＝AC﹣AE＝，∴S△BDC＝BD•CE＝×6×＝3，∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BDC＝12，即四边形ABCD的面积的最大值是12．17．（1）解：在倍对角四边形ABCD中，∠D＝2∠B，∠A＝2∠C，∵∠A+∠B+∠C+∠D＝360°，∴3∠B+∠3∠C＝360°，∴∠B+∠C＝120°，∴∠B与∠C的度数之和为120°；（2）证明：在△BED与△BEO中，，∴△BED≌△BEO（SAS），∴∠BDE＝∠BEO，∵∠BOE＝2∠BCF，∴∠BDE＝2∠BCF连接OC，设∠EAF＝α，则∠AFE＝2α，∴∠EFC＝180°﹣∠AFE＝180°﹣2α，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝α，∴∠AOC＝180°﹣∠OAC﹣∠OCA＝180°﹣2α，∴∠EFC＝∠AOC＝2∠ABC，∴四边形DBCF是倍对角四边形；（3）解：过点O作OM⊥BC于M，∵四边形DBCF是倍对角四边形，∴∠ABC+∠ACB＝120°，∴∠BAC＝60°，∴∠BOC＝2∠BAC＝120°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝30°，∴BC＝2BM＝BO＝BD，∵DG⊥OB，∴∠HGB＝∠BAC＝60°，∵∠DBG＝∠CBA，∴△DBG∽△CBA，∴＝＝，∵4DH＝3BG，BG＝2HG，∴DG＝，∴＝＝，∴＝．18．解：（1）连接OA，∵OP⊥AB，∴AP＝，∵OA＝5，OP＝3，∴AP＝＝4，∴AB＝2AP＝8，故答案为：8；（2）设半径为r不变，∴AB＝2AP＝2，当r不变，OP的长增大时，AB减小；OP长确定时，AB也确定，故选：②③；（3）如图，利用△MPF和△OP'B全等，首先作EF的垂直平分线，再取FM＝r，然后以点O为圆心，MP为半径画圆，再以OQ为直径画圆，两圆交点为P'，从而画出线段AB，如图，线段AB即为所求；（4）①解：设AB＝2m，CD＝2n，如图，可得：，解得：，∴AB＝，CD＝，②作图思路：先作斜边为4r，一条直角边为2，另一条直角边为的直角三角形；再作斜边为，一条直角边为l，另一条直角边为的直角三角形；再在⊙O中作出长为的弦，再如（3）中作法，过点Q作弦AB；最后过点Q作AB的垂直弦CD．19．（1）证明：在△ABC中，三边长分别是3，和5，∵32+52＝2（）2，。

中考数学抛物线压轴题之取值范围（1）当k＝3时，求抛物线与x轴的两个交点坐标；（2）无论k取任何实数，抛物线过x轴上一定点，求定点坐标；（3）当k＝5时，设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A，B（点A在点B的左边）两点，连接AC，在线段AC上是否存在点D，使△ABD是直角三角形，若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由．（4）点E（﹣1，1），点F（﹣2，2），抛物线与线段EF只有一个交点，求k的取值范围2．定义：若函数y＝x2+bx+c（c≠0）与x轴的交点A，B的横坐标为x A，x B，与y轴交点的纵坐标为y C，若x A，x B中至少存在一个值，满足x A＝y C（或x B＝y C），则称该函数为友好函数．如图，函数y＝x2+2x﹣3与x 轴的一个交点A的横坐标为3，与y轴交点C的纵坐标为﹣3，满足x A＝y C，称y＝x2+2x﹣3为友好函数．（1）判断y＝x2﹣4x+3是否为友好函数，并说明理由；（2）请探究友好函数y＝x2+bx+c表达式中的b与c之间的关系；（3）若y＝x2+bx+c是友好函数，且∠ACB为锐角，求c的取值范围．3．已知抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣3，0），B（﹣1，0）两点（如图1），顶点为M．（1）a、b的值；（2）设抛物线与y轴的交点为Q（如图1），直线y＝﹣2x+9与直线OM交于点D．现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上．当抛物线的顶点平移到D点时，Q点移至N点，求抛物线上的两点M、Q间所夹的曲线扫过的区域的面积；（3）设直线y＝﹣2x+9与y轴交于点C，与直线OM交于点D（如图2）．现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上．若平移的抛物线与射线CD（含端点C）没有公共点时，试探求其顶点的横坐标的取值范围．4．已知抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣2与y轴交于点C．（1）抛物线的顶点坐标为，点C坐标为；（用含m的代数式表示）（2）当m＝1时，抛物线上有一动点P，设P点横坐标为n，且n＞0．①若点P到x轴的距离为2时，求点P的坐标；②设抛物线在点C与点P之间部分（含点C和点P）最高点与最低点纵坐标之差为h，求h与n之间的函数关系式，并写出自变量n的取值范围；（3）若点A（﹣3，2）、B（2，2），连结AB，当抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣2与线段AB只有一个交点时，直接写出m的取值范围．5．如图1，二次函数y＝ax2﹣3ax+c的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点c直线y＝﹣x+4经过点B、C．（1）求抛物线的表达式；（2）过点A的直线y＝kx+k交抛物线于点M，交直线BC于点N，连接AC，当直线y＝kx+k平分△ABC的面积，求点M的坐标；（3）如图2，把抛物线位于x轴上方的图象沿x轴翻折，当直线y＝kx+k与翻折后的整个图象只有三个交点时，求k的取值范围．6．如图所示，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，A（﹣5，0），与y轴交于C（0，﹣5），并且对称轴x＝﹣3．（1）求抛物线的解析式；（2）P在x轴上方的抛物线上，过P的直线y＝x+m与直线AC交于点M，与y轴交于点N，求PM+MN的最大值；（3）点D为抛物线对称轴上一点，①当△ACD是以AC为直角边的直角三角形时，求D点坐标；②若△ACD是锐角三角形，求点D的纵坐标的取值范围．7．在平面直角坐标系中，给出如下定义：已知两个函数，如果对于任意的自变量x，这两个函数对应的函数值记为y1、y2，恒有点（x，y1）和点（x，y2）关于点（x，x）成中心对称（此三个点可以重合），由于对称中心（x，x）都在直线y＝x上，所以称这两个函数为关于直线y＝x的“相依函数”．例如：y＝x和y＝x为关于直线y＝x的“相依函数”（1）已知点M（1，m）是直线y＝2x+4上一点，请求出点M（1，m）关于点（1，1）成中心对称的点N的坐标；（2）若直线y＝3x+n和它关于直线y＝x的“相依函数”的图象与y轴围成的三角形的面积为8，求n的值；（3）若二次函数y＝ax2+bx+c和y＝x2+d为关于直线y＝x的“相依函数”．①请求出a、b的值；②已知点P（﹣3，2）、点Q（2，2），连接PQ，直接写出y＝ax2+bx+c和y＝x2+d两条抛物线与线段PQ有且只有两个交点时对应的d的取值范围．1．【解答】（1）解：∵y＝x2+kx+k﹣1，∴当k＝3时，y＝x2+3x+3，令y＝0，得x2+5x+2＝0，解得x3＝﹣1，x2＝﹣5，∴抛物线与x轴的交点坐标是（﹣1，0），5）．（2）证明：∵y＝x2+kx+k﹣1，∴当y＝2时，x2+kx+k﹣1＝8，解得x1＝﹣1，x8＝1﹣k，∴无论k取任何实数，抛物线过x轴上一定点（﹣1．（3）解：k＝5时，抛物线的解析式为y＝x2+5x+5，令y＝0，可得x2+5x+4＝0，解得x＝﹣2或﹣4，∴A（﹣4，5），﹣1），令x＝0，得到y＝3，4），如图1中，∵OA＝OC＝6，∠AOC＝90°，∴∠CAO＝45°，当∠ABD′＝90°时，AB＝BD′＝3，∴D′（﹣1，3），当∠ADB＝90°时，AD＝BD，1.5）．综上所述，满足条件的点D的坐标为（﹣7，1.5）．（4）如图8中，观察图象可知，当x＝﹣2时，∴4﹣6k+k﹣1≥2，∴k≤2，∴k≤1时，抛物线与线段EF只有一个交点．2．【解答】解：（1）y＝x2﹣4x+6是友好函数，理由如下：当x＝0时，y＝3，x＝4或3，∴y＝x2﹣5x+3与x轴一个交点的横坐标和与y轴交点的纵坐标都是3，∴y＝x6﹣4x+3是友好函数；（2）当x＝2时，y＝c，∵y＝x2+bx+c是友好函数，∴x＝c时，y＝0，2）在y＝x2+bx+c上，代入得：0＝c6+bc+c，∴0＝c（c+b+1），而c≠4，∴b+c＝﹣1；（3）①如图1，当C在y轴负半轴上时，由（2）可得：c＝﹣b﹣6，即y＝x2+bx﹣b﹣1，显然当x＝8时，y＝0，即与x轴的一个交点为（1，2），则∠ACO＝45°，∴只需满足∠BCO＜45°，即BO＜CO∴c＜﹣1；②如图2，当C在y轴正半轴上，∴显然都满足∠ACB为锐角，∴c＞8，且c≠1；③当C与原点重合时，不符合题意，综上所述，c＜﹣1或c＞2．3．【解答】解：（1）将A（﹣3，0），3）代入抛物线y＝ax2+bx+3中，得：，解得：a＝7、b＝4．（2）连接MQ、QD，由图形平移的性质知：QN，即四边形MQND是平行四边形；由（1）知，抛物线的解析式：y＝x2+4x+3＝（x+2）4﹣1，则点M（﹣2、Q（2；则，直线OM：y＝x，得：，解得．则D（，）；曲线扫过的区域的面积：S＝S▱MQND＝2S△MQD＝2××OQ×|x M﹣x D|＝3×|﹣5﹣|＝．（3）由于抛物线的顶点始终在y＝x上，h）2+h；①当平移后抛物线对称轴右侧部分经过点C（0，9）时h3+h＝4（依题意②当平移后的抛物线与直线y＝﹣2x+9只有一个交点时，依题意：，消去y，得：x2﹣（2h﹣7）x+h2+h﹣9＝0，则：△＝（6h﹣2）2﹣2（h2+h﹣9）＝﹣10h+40＝0结合图形，当平移的抛物线与射线CD（含端点C）没有公共点时或h＞4．4．【解答】解：（1）y＝x2﹣2mx+m5﹣2＝（x﹣m）2﹣3，∴顶点坐标为（m，﹣2），在y＝x2﹣5mx+m2﹣2中，当x＝5时，y＝m2﹣2，∴点C坐标为（6，m2﹣2），。

【压轴必刷】中考数学压轴大题之经典模型培优案专题17函数与圆综合问题【例1】如图，抛物线y＝ax2+bx+2经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）在y轴上是否存在点P使得∠OBP+∠OBC＝45°，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；（3）点M是BC为直径的圆上的动点，将点M绕原点O顺时针旋转90°得点N，连接NA，求NA的取值范围．【例2】如图1：抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C．动点E（m，0）（0＜m＜3），过点E作直线l⊥x轴，交抛物线于点M．（1）求抛物线的解析式及C点坐标；（2）连接BM并延长交y轴于点N，连接AN，OM，若AN∥OM，求m的值．（3）如图2．当m＝1时，P是直线l上的点，以P为圆心，PE为半径的圆交直线l于另一点F（点F 在x轴上方），若线段AC上最多存在一个点Q使得∠FQE＝90°，求点P纵坐标的取值范围．【例3】如图，抛物线y＝ax2+bx+2与直线AB相交于A（﹣1，0），B（3，2），与x轴交于另一点C．（1）求抛物线的解析式；（2）在y上是否存在一点E，使四边形ABCE为矩形，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；（3）以C为圆心，1为半径作⊙O，D为⊙O上一动点，求DA+DB的最小值【例4】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+3的对称轴是直线x＝2，与x轴相交于A，B 两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（Ⅰ）求抛物线的解析式及顶点坐标；（Ⅱ）M为第一象限内抛物线上的一个点，过点M作MN⊥x轴于点N，交BC于点D，连接CM，当线段CM＝CD时，求点M的坐标；（Ⅲ）以原点O为圆心，AO长为半径作⊙O，点P为⊙O上的一点，连接BP，CP，求2PC+3PB的最小值．1．如图，在平面直角坐标系上，一条抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，连接BC并延长．（1）求抛物线的解析式；（2）点M是直线BC在第一象限部分上的一个动点，过M作MN∥y轴交抛物线于点N．1°求线段MN的最大值；2°当MN取最大值时，在线段MN右侧的抛物线上有一个动点P，连接PM、PN，当△PMN的外接圆圆心Q在△PMN的边上时，求点P的坐标．2．如图1，已知抛物线y＝ax2﹣12ax+32a（a＞0）与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C．（1）连接BC，若∠ABC＝30°，求a的值．（2）如图2，已知M为△ABC的外心，试判断弦AB的弦心距d是否有最小值，若有，求出此时a的值，若没有，请说明理由；（3）如图3，已知动点P（t，t）在第一象限，t为常数．问：是否存在一点P，使得∠APB达到最大，若存在，求出此时∠APB的正弦值，若不存在，也请说明理由．3．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C（0，6），抛物线的顶点坐标为E（2，8），连结BC、BE、CE．（1）求抛物线的表达式；（2）判断△BCE的形状，并说明理由；（3）如图2，以C为圆心，为半径作⊙C，在⊙C上是否存在点P，使得BP+EP的值最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．4．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点C（2，﹣3），且与x轴交于原点及点B（8，0）．（1）求二次函数的表达式；（2）求顶点A的坐标及直线AB的表达式；（3）判断△ABO的形状，试说明理由；（4）若点P为⊙O上的动点，且⊙O的半径为2，一动点E从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段AP匀速运动到点P，再以每秒1个单位长度的速度沿线段PB匀速运动到点B后停止运动，求点E的运动时间t的最小值．5．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴分别相交于A、B两点，与y轴相交于点C，下表给出了这条抛物线上部分点（x，y）的坐标值：x…﹣10123…y…03430…（1）求出这条抛物线的解析式及顶点M的坐标；（2）PQ是抛物线对称轴上长为1的一条动线段（点P在点Q上方），求AQ+QP+PC的最小值；（3）如图2，点D是第四象限内抛物线上一动点，过点D作DF⊥x轴，垂足为F，△ABD的外接圆与DF相交于点E．试问：线段EF的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．6．如图，抛物线的顶点为A（0，2），且经过点B（2，0）．以坐标原点O为圆心的圆的半径r＝，OC ⊥AB于点C．（1）求抛物线的函数解析式．（2）求证：直线AB与⊙O相切．。

2022-2023学年人教版中考数学复习《圆综合压轴题》解答题专题突破训练（附答案）1．如图，AB是⊙O的直径，且AB＝10，弦CD⊥AB于点E，G是弧AC上一点，连接AD，AG，GD，BC．（1）若G是弧AC上任意一动点，请找出图中和∠G相等的角（不在原图中添加线段或字母），并说明理由．（2）当点C是弧BG的中点时，①若∠G＝60°，求弦DG的长，②连接BG，交CD于点F，若BE＝2，求线段CF的长．2．如图，等腰△ABC内接于⊙O，AB＝AC，连结OC，过点B作AC的垂线，交⊙O于点D，交OC于点M，交AC于点E，连结AD．（1）若∠D＝α，请用含α的代数式表示∠OCA；（2）求证：CE2＝EM•EB；（3）连接CD，若BM＝4，DM＝3，求tan∠BAC的值及四边形ABCD的面积与△BMC 面积的比值．3．已知：AB为⊙O的直径，＝，D为弦AC上一动点（不与A、C重合）．（1）如图1，若BD平分∠CBA，连接OC交BD于点E．①求证：CE＝CD；②若OE＝2，求AD的长．（2）如图2，若BD绕点D顺时针旋转90°得DF，连接AF．求证：AF为⊙O的切线．4．如图，点D是以AB为直径的⊙O上一点，过点B作⊙O的切线，交AD的延长线于点C，E是BC的中点，连接DE并延长与AB的延长线交于点F．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若OB＝BF，EF＝4．求⊙O的半径；（3）在（2）条件下，求BE、DE、弧围成的阴影部分的面积．5．如图1，⊙O的弦BC＝6，A为BC所对优弧上一动点且sin∠BAC＝，△ABC的外角平分线AP交⊙O于点P，直线AP与直线BC交于点E．（1）求证：点P为的中点；（2）如图2，求⊙O的半径和PC的长；（3）若△ABC不是锐角三角形，求P A•AE的最大值．6．如图，点P在y轴的正半轴上，⊙P交x轴于B、C两点，以AC为直角边作等腰Rt△ACD，BD分别交y轴和⊙P于E、F两点，连接AC、FC，AC与BD相交于点G．（1）求证：∠ACF＝∠ADB；（2）求证：CF＝DF；（3）∠DBC＝°；（4）若OB＝3，OA＝6，则△GDC的面积为．7．如图，⊙O是直角三角形ABC的外接圆，直径AC＝4，过C点作⊙O的切线，与AB延长线交于点D，M为CD的中点，连接BM，OM，且BC与OM相交于点N．（1）求证：BM与⊙O相切；（2）当∠BAC＝60°时，求弦AB和弧AB所夹图形的面积；（3）在（2）的条件下，在弧AB上取一点F，使∠ABF＝15°，连接OF交弦AB于点H，求FH的长度是多少？8．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，P为AB延长线上一点，∠BCP＝∠BAC．∠ACB的平分线交⊙O于点D，交AB于点E，（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）求证：△PEC是等腰三角形；（3）若AC+BC＝2时，求CD的长．9．圆内接四边形ABCD，AB为⊙O的直径．（1）如图1，若D为弧AB中点，AB＝4．①求∠DCB的度数；②求四边形ABCD面积的最大值．（2）如图2，对角线AC，BD交于点E，连结OE并延长交CD于点F，若OE＝3EF＝3，求AB的长．10．已知：∠MBN＝90°，点A在射线BM上，点C在射线BN上，D在线段BA上，⊙O 是△ACD的外接圆；（1）若⊙O与BN的另一个交点为E，如图1，当，BD＝1，AD＝2时，求CE的长；（2）如图2，当∠BCA＝∠BDC时，判断BN与⊙O的位置关系，并说明理由；（3）如图3，在BN上作出C点，使得∠ACD最大，并求当AD＝2，时，⊙O 的半径．11．如图1，C、D为半圆O上的两点，且点D是弧BC的中点．连结AC并延长，与BD 的延长线相交于点E．（1）求证：CD＝ED；（2）连结AD与OC、BC分别交于点F、H．①若CF＝CH，如图2，求证：CH＝CE；②若圆的半径为2，BD＝1，如图3，求AC的值．12．如图，线段AB＝6，以AB为直径作⊙O，C为⊙O上一点，过点B作⊙O的切线交AC 的延长线于点D，连接BC．（1）求证：△BCD∽△ABD；（2）若∠D＝50°，求的长．（3）点P在线段AC上运动，直接写出△PBD的外心运动的路径长．13．如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，3），点B在x轴正半轴上，且∠ABO＝30°，C为线段OB上一点，作射线AC交△AOB的外接圆于点D，连接OD，∠COD＝∠OAD．（1）求∠BAD的度数；（2）在射线AD上是否存在点P，使得直线BP与△AOB的外接圆相切？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，直径AE交BC于点H，点D 在弧AC上，过点E作EF∥BC交AD的延长线于点F，延长BC交AF于点G．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若BC＝2，AH＝CG＝3，求EF的长；（3）在（2）的条件下，直接写出CD的长．15．如图，AB是⊙O的直径，P A是⊙O的切线，连接OP交⊙O于点E，点C在⊙O上，四边形OBCE为菱形，连接PC．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）连接BP交⊙O于点F，交CE于点G．①连接OG，求证：OG⊥CG；②若OB＝3，求BF的长．16．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线m：y＝x+与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P在直线m上，以点O为圆心，OP为半径的⊙O交x轴于点C、D（点C 在点D的左侧），与y轴负半轴交于点E，连接PE，交x轴于点F，且AF＝AP．（1）判断直线m与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）求∠PEB的度数；（3）若点Q是直线m上位于第一象限内的一个动点，连接EQ交x轴于点G，交⊙O于点H，判断EG•EH是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．17．如图，线段AB是⊙O的直径，过点B作一条射线BC与AB垂直，点P是射线BC上的一个动点，连接PO交⊙O于点F，连接AF并延长交线段BP于点E，设⊙O的半径为r，PB的长为t（t＞0）．（1）当r＝3时，①若∠F AO＝∠EPF，求的长，②若t＝4，求PE的长；（2）设PE＝n2t，其中n为常数，且0＜n＜1，若t﹣r为定值，求n的值及∠EAB的度数．18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上的一点，以AD为直径作⊙O，⊙O 与BC相切于点E，连结AE，过点C作CG⊥AB于点G，交AE于点F，过点E作EP⊥AB于点P．（1）求证：∠BED＝∠EAD；（2）求证：CE＝EP；（3）连接PF，若CG＝8，PG＝6，求四边形CFPE的面积．19．如图，以△ABC的边AB为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E，AB＝AC．（1）求证：DE⊥AC；（2）延长CA交⊙O于点F，点G在上，．①连接BG，求证：AF＝BG；②经过BG的中点M和点D的直线交CF于点N，连接DF交AB于点H，若AH：BH＝3：8，AN＝7，试求出DE的长．20．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AD⊥BC，垂足为D，直径AE平分∠BAD，交BC 于点F，连结BE．（1）求证：∠AEB＝∠AFD．（2）若AB＝10，BF＝5，求AD的长．（3）若点G为AB中点，连结DG，若点O在DG上，求BF：FC的值．参考答案1．解：（1）∠AGD＝∠B，理由如下：连接AC，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCD＝90°，∵CD⊥AB，∴∠CEB＝90°，∴∠BCD+∠B＝90°，∴∠ACD＝∠B，∵∠AGD＝∠ACD，∴∠AGD＝∠B；（2）连接OC，OG，OD，OC交CD于M，∵∠AGD＝∠B＝60°，OB＝OC，∴△BOC是等边三角形，∴∠BOC＝60°，∵点C是的中点，∴∠COG＝∠COB＝∠BOD＝60°，∴CD是⊙O的直径，∴CD＝AB＝10；（3）连接BG，交CD于F，连接AC，∵＝＝，∴∠BCD＝∠GBC，∴CF＝BF，∵∠ACD＝∠ABC，∠AEC＝∠BEC，∴△ACE∽△CBE，∴CE2＝AE×BE＝8×2＝16，∵CE＞0，∴CE＝4，设BF＝CF＝x，则EF＝4﹣x，∴（4﹣x）2+22＝x2，解得x＝，∴CF＝．2．（1）解：如图，连接OA，OB，在△AOB与△AOC中，，∴△AOB≌△AOC（SSS），∴∠OAB＝∠OAC＝，∵，∴∠ACB＝∠D＝α，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝α，∴∠BAC＝180°﹣2α，∴∠OAC＝90°﹣α，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝90°﹣α；（2）证明：∵BD⊥AC，∴∠BEC＝90°，∴∠CBE＝90°﹣∠ACB＝90°﹣α，∴∠OCA＝∠CBE，∵∠CEM＝∠CEB，∴△CEM∽△BEC，∴，∴CE2＝EM•EB；（3）解：如图，连接AO并延长交BD于点N，连接CN，CD，∵AB＝AC，∠OAB＝∠OAC，∴AO垂直平分BC，∴BN＝CN，∵∠OCA＝∠DAC，∴OC∥AD，∴∠DMC＝∠ABD＝∠ACB，∵，∴∠BAC＝∠CDM，∴∠DCM＝∠ABC，∴∠DCM＝∠DMC，∴CD＝DM＝3，∵AC⊥BD，∴∠AED＝∠AEN，∵∠OAC＝∠DAC，AE＝AE，∴△AEN≌△AED（ASA），∴EN＝ED，∴AC垂直平分DN，∴CN＝CD＝3，∴BN＝CN＝3，∴MN＝BM﹣BN＝4﹣3＝1，由EN＝DE得：MN+EM＝DM﹣EM，∴1+EM＝3﹣EM，∴EM＝1，∴EB＝BM+EM＝4+1＝5，DE＝DM﹣EM＝3﹣1＝2，由（2）知，CE2＝EM•EB＝1×5＝5，∴CE＝（负值已舍），∵∠BAC＝∠BDC，∠DEC＝∠AEB，∴△DEC∽△AEB，∴，∴AE＝，在Rt△ABE中，tan∠BAC＝，由（2）知，∠OCA＝∠CBE＝∠CAD，∴AD∥OC，∴＝，∴CE＝，∴S四边形ABCD＝AC×BD＝＝，S△BMC＝＝＝2，∴四边形ABCD的面积与△BMC面积的比值为．3．（1）①证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠BCA＝90°，∵＝，∴∠CBA＝∠BAC＝45°，∠BOC＝90°，∴∠BCO＝45°，∵BD平分∠CBA，∴∠CBD＝∠DBA＝22.5°，∵∠CED＝∠CBD+∠BCE＝67.5°，∠CDE＝∠ABD+∠BAC＝67.5°，∴∠CED＝∠CDE，∴CE＝CD；②解：如图1，取BD中点G，连接OG，∵O为AB的中点，∴OG∥AD，AD＝2OG，∴∠OGE＝∠CDE，∵∠OEG＝∠CED，∠CED＝∠CDE，∴∠OGE＝∠OEG，∴OG＝OE＝2，∴AD＝2OG＝4；（2）证明：如图2，在BC上截取BP＝AD，连接DP，∵＝，∴BC＝AC，∴CP＝CD，∵∠ACB＝90°∴∠CPD＝45°，∴∠BPD＝135°，由旋转性质得，∠BDF＝90°，BD＝FD，∴∠BDC+∠FDA＝90°，∵∠BDC+∠CBD＝90°，∴∠CBD＝∠ADF，∴△DF A≌△BDP（SAS），∴∠F AD＝∠BPD＝135°，∴∠F AB＝∠F AD﹣∠BAC＝135°﹣45°＝90°，∴OA⊥AF，又∵OA为半径，∴AF为⊙O的切线．4．解：（1）连接OD，BD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝∠BDC＝90°，在Rt△BCD中，BE＝EC，∴DE＝EC＝BE，∴∠EBD＝∠EDB，∵BC是⊙O的切线，∴AB⊥BC，∴∠EBD+∠DBO＝90°，∴∠EDB+∠DBO＝90°，∵OD＝OB，∴∠DBO＝∠BDO，∴∠EDB+∠BDO＝90°，即∠ODF＝90°，∴DF⊥OD，∵OD为⊙O的半径，∴DF为⊙O的切线；（2）∵OB＝BF，∴OF＝2OB＝2OD，∴sin F＝＝，∴∠F＝30°，∴OB＝BF＝EF•cos F＝4×cos30°＝2，即⊙O的半径为2；（3）由（2）知，OD＝2，∠BOD＝90°﹣∠F＝60°，∴DF＝OD•tan∠BOD＝2×＝6，∵EF＝4，∠F＝30°，∴BE＝EF•sin30°＝2，∵阴影部分的面积＝三角形ODF的面积﹣三角形FEB的面积﹣扇形BOD的面积，∴S阴＝S△ODF﹣S△FEB﹣S扇形BOD＝OD•DF﹣BF•BE﹣π•OD2＝＝4﹣2π，∴阴影部分的面积为4﹣2π．5．（1）证明：①如图1，连接OC，AB，∵AP平分∠BAF，∴∠BAP＝∠P AF，∵∠P AF+∠P AC＝180°，∠P AC+∠PBC＝180°，∴∠P AF＝∠PBC，又∠BAP＝∠PCB，∴∠PBC＝∠PCB，∴PB＝PC，∴＝，∴点P为的中点；（2）解：连接OB，OC，过O作OM⊥BC于M，∴OM垂直平分BC，∴BM＝CM＝BC＝3，∠BOM＝∠BOC＝∠BAC，∵sin∠BAC＝，∴sin∠BOM＝＝，∴OB＝5，∴⊙O的半径是5，在Rt△OMC中，OM＝＝4，在Rt△PMC中，PM＝OM+OP＝9，∴PC＝＝3；（3）∵∠ACE+∠BCA＝∠BPE+∠BCA＝180°，∴∠ACE＝∠BPE，同理，∠CAE＝∠PBC＝∠P AB，∴△ACE∽△APB，∴＝，∴P A•AE＝AC•AB，如图4，过C作CQ⊥AB于Q，∵sin∠BAC＝，∴CQ＝AC•sin∠BAC，∴S△ABC＝AB•CQ＝AB•AC，∴P A•AE＝S△ABC，∵△ABC非锐角三角形，且BC＝6，∴当A运动到使∠ACB＝90°时，△ABC面积最大，在Rt△ABC中，BC＝6，AB＝10，∴AC＝＝8，∴S△ABC＝BC•AC＝24，∴此时，P A•AE＝80，即P A•AE的最大值为80．6．（1）证明：连接AB，∵OP⊥BC，∴BO＝CO，∴AB＝AC，又∵AC＝AD，∴AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，又∵∠ABD＝∠ACF，∴∠ACF＝∠ADB；（2）证明：∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC，∵∠ACF＝∠ADF，∵∠ACD﹣∠ACF＝∠ADC﹣∠ADF，即∠FCD＝∠FDC，∴CF＝DF；（3）解：连接AF，由（2）知CF＝DF，则点F在CD的垂直平分线上，∵AC＝AD，∴点A在CD的垂直平分线上，∴AF是CD的垂直平分线，∴AF平分∠CAD，∴∠CAF＝45°，∴∠CBD＝45°，故答案为：45；（4）解：作CH⊥BD于H，∵OB＝OC＝3，∠DBC＝45°，∴CH＝BH＝3，∵OA＝6，OC＝3，∴AC＝3，∴CD＝AC＝3，∴DH＝，∴DB＝BH+DH＝9，∵∠ACD＝∠DBC，∠CDG＝∠BDC，∴△DCG∽△DBC，∴DC2＝DG•DB，∴（3）2＝DG•9，∴DG＝5，∴△GDC的面积为＝15，故答案为：15．7．（1）证明：如图，连接OB，∵⊙O是直角三角形ABC的外接圆，∴∠ABC＝∠DBC＝90°．在Rt△DBC中，M为CD的中点，∴BM＝MC，∴∠MBC＝∠MCB．又∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC．∵CD为⊙O的切线，∴∠ACD＝90°．∴∠MCB+∠OCB＝∠MBC+∠OBC＝90°，即OB⊥BM．又∵OB为⊙O的半径，∴BM与⊙O相切；（2）解：∵∠BAC＝60°，OA＝OB，∴△ABO为等边三角形，∴∠AOB＝60°．∵AC＝4，∴OA＝2，∴弦AB和弧AB所夹图形的面积＝S扇形AOB﹣S△AOB＝．（3）解：连接OB，∠ABF＝15°时，∠AOF＝30°，∴等边△ABO中，OF平分∠AOB，∴OF⊥AB．在Rt△AOH中，AO＝2，∠AOH＝30°，∴AH＝1，∴OH＝，∴FH＝．8．（1）证明：连接OC，∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACO+∠OCB＝90°，∵OA＝OC，∴∠BAC＝∠ACO，∠BCP＝∠BAC，∴∠BCP＝∠ACO，∴∠BCP+∠OCB＝90°，∴OC⊥PC，∵OC为半径，∴PC是⊙O的切线；（2）证明：∵∠ACB的平分线交⊙O于点D，∴∠ACD＝∠BCD，∵∠PCE＝∠PCB+∠BCD，∠PEC＝∠BAC+∠ACD，∴∠PEC＝∠PCE，∴△PEC是等腰三角形；（3）解：作DM⊥AC于M，DN⊥CB交CB的延长线于N，∵CD平分∠ACB，DM⊥∠AC，DN⊥CB，∴DM＝DN，，∵∠AMD＝∠BND＝90°，∴Rt△AMD≌Rt△BND（HL），∴AM＝BN，∵∠DMC＝∠MCN＝∠CND＝90°，∴四边形CMDN为矩形，∵DM＝DN，∴矩形CMDN为正方形，∴CN＝，∵AC+BC＝CM+AB+CB＝2CN，∴AC+BC＝CD，∵AC+BC＝2，∴CD＝．9．解：（1）①∵AB为直径，D为的中点，∴∠DCB＝180°﹣∠A＝180°﹣45°＝135°，②连接BD，AC交于点E，当四边形ABCD面积最大时，即△BCD面积最大，当OC⊥BD时，CE最大，∵AB＝4，∴BD＝AD＝2，∴OE＝，∴S，∴S四边形ABCD的最大值为：S；（2）直线OF交⊙O于点M，N，过F作PQ∥AB交直线BD，AC于点P，Q，∵∠Q＝∠A＝∠CDE，∴△PFD∽△CFQ，∴PF•FQ＝FD•FC，∵∠N＝∠MDF，∠MFD＝∠CFN，∴△MFD∽△CFN，∴MF•FN＝FD•FC，∴PF•FQ＝MF•FN，∴，∴FP＝FQ＝，设半径为r，∴（r﹣4）（r+4）＝，∵r＞0，∴r＝3，∴AB＝6．10．解：（1）连接AE，∵∠AEC+∠ADC＝180°，∠BDC+∠ADC＝180°，∴∠BDC＝∠AEC，∵∠CBD＝∠ABE，∴△ABE∽△CBD，∴，∵BC＝，AD＝2，BD＝1，∴AB＝AD+BD＝2+1＝3，∴，∴BE＝2，∴CE＝BE﹣BC＝；（2）BN是⊙O的切线，理由如下：连接CO并延长交⊙O于点F，连接DF，则∠CDF＝90°，∴∠CFD+∠FCD＝90°，∵∠BCA＝∠BDC，∠B＝∠B，∴∠BAC＝∠BCD，∵∠CAD＝∠CFD，∴∠CFD＝∠BCD，∴∠FCB＝∠FCD+∠BCD＝∠FCD+∠CFD＝90°，∴BC⊥OC，∵OC是半径，∴BC是⊙O的切线，即BN是⊙O的切线；（3）过点A，C，D三点作⊙O，当BC是⊙O的切线时，∠ACD最大，连接CO并延长交⊙O于点G，连接AG，DG，则∠CDG＝90°，∠CAG＝90°，∴∠CGD+∠DCG＝90°，∵BC是⊙O的切线，∴BC⊥OC，∴∠BCO＝90°，∴∠BCD+∠DCG＝90°，∴∠BCD＝∠CGD，∵∠CGD＝∠CAD，∴∠BCD＝∠BAC，∵∠B＝∠B，∴△BCD∽△BAC，∴，∴BC2＝BD•BA，∵AD＝2，∴BA＝BD+AD＝BD+2，∴BC2＝BD（BD+2）＝BD2+2BD，∵BC2+BA2＝AC2，AC＝2BD，∴BC2＝AC2﹣BA2＝（2BD）2﹣（BD+2）2＝11BD2﹣4BD﹣4，∴11BD2﹣4BD﹣4＝BD2+2BD，∴5BD2﹣3BD﹣2＝0，∴BD＝﹣（舍去）或BD＝1，∴BD＝1，∴BA＝BD+AD＝1+2＝3，AC＝2BD＝2，∵∠B＝90°，∴AB⊥BC，∵CG⊥BC，∴CG∥AB，∴∠BAC＝∠ACG，∵∠B＝∠CAG＝90°，∴△BAC∽△ACG，∴，∴，∴CG＝4，∴OC＝2，即⊙O的半径为2．11．（1）证明：如图1中，连接BC．∵点D是弧BC的中点．∴＝，∴∠DCB＝∠DBC，∵AB是直径，∴∠ACB＝∠BCE＝90°，∴∠E+∠DBC＝90°，∠ECD+∠DCB＝90°，∴∠E＝∠DCE，∴CD＝ED；（2）①证明：如图2中，∵CF＝CH，∴∠CFH＝∠CHF，∵∠CFH＝∠CAF+∠ACF，∠CHA＝∠BAH+∠ABH，∵∠CAD＝∠BAH，∴∠ACO＝∠OBC，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∴∠ACO＝∠BCO＝∠ACB＝45°，∴∠CAB＝∠ABC＝45°，∴AC＝BC，∵∠ACH＝∠BCE＝90°，∠CAH＝∠CBE，∴△ACH≌△BCE（ASA），∴CH＝CE；②解：如图3中，连接OD交BC于G．设OG＝x，则DG＝2﹣x．∵＝，∴∠COD＝∠BOD，∵OC＝OB，∴OD⊥BC，CG＝BG，在Rt△OCG和Rt△BGD中，则有22﹣x2＝12﹣（2﹣x）2，∴x＝，即OG＝，∵OA＝OB，∴OG是△ABC的中位线，∴OG＝AC，∴AC＝．12．（1）证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠DCB＝90°，∵BD切⊙O于点B，∴∠ABD＝90°，∴∠DCB＝∠ABD，∵∠D＝∠D，∴△BCD∽△ABD；（2）解：连接OC，∵∠D＝50°，∠ABD＝90°，∴∠A＝40°，∴∠COB＝2∠A＝80°，∵直径AB＝6，∴半径r＝3，∴的长为＝；（3）解：取BD的中点E，AD的中点F，连接EF，当点P在点C处时，△PBD为直角三角形，E为△PBD的外心，当点P在点A处时，△ABD为直角三角形，F为△PBD的外心，∵AB＝6，EF为△ABD的中位线，∴EF＝AB＝3，∴△PBD的外心运动的路径长为3．13．解：（1）∵∠AOB＝90°，∠ABO＝30°，∴∠OAB＝90°﹣∠ABO＝60°，∵＝，∴∠COD＝∠BAD，∵∠COD＝∠OAD，∴∠BAD＝∠OAD＝，即∠BAD的度数为30°；（2）如图，存在点P，使得直线BP与△AOB的外接圆相切，∵∠AOB＝90°，∴AB是△AOB外接圆的直径，∴AB⊥PB，∴∠ABP＝90°，∴∠PBC＝90°﹣∠ABO＝90°﹣30°＝60°，由（1）得，∠OAC＝30°，∴∠ACO＝90°﹣∠OAC＝60°，∴∠PCB＝∠ACO＝60°，∴△PBC是等边三角形，∵A（0，3），∴OA＝3，∴OC＝OA•tan∠OAC＝3×＝，在Rt△AOB中，OA＝3，∠OAB＝60°，∴OB＝OA•tan60°＝3，∴BC＝OB﹣OC＝3﹣＝2，作PQ⊥BC于Q，∴PQ＝CQ•tan∠PCB＝×＝3，∴OQ＝OC+CQ＝2，∴P（3，﹣2）．即：存在点P，使得直线BP与△AOB的外接圆相切，此时点P（3，﹣2）．14．（1）证明：∵AB＝AC，∴，∵AE是直径，∴，∴∠BAE＝∠CAE，又∵AB＝AC，∴AE⊥BC，又∵EF∥BC，∴EF⊥AE，∵OE是半径，∴EF是⊙O的切线；（2）解：连接OC，设⊙O的半径为r，∵AE⊥BC，∴HG＝HC+CG＝4，∴AG＝＝＝5，在Rt△OHC中，OH2+CH2＝OC2，∴（3﹣r）2+1＝r2，解得：r＝，∴AE＝，∵EF∥BC，∴△AEF∽△AHG，∴，∴，∴EF＝；（3）解：∵AH＝3，BH＝1，∴AB＝＝＝，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠B+∠ADC＝180°，∵∠ADC+∠CDG＝180°，∴∠B＝∠CDG，又∵∠DGC＝∠AGB，∴△DCG∽△BAG，∴，∴，∴CD＝．15．（1）证明：连接OC，∵四边形OBCE为菱形，∴OB＝BC，OB∥CE，∴OB＝OC＝BC，∴△OBC是等边三角形，∴∠BOC＝∠COE＝60°，∴∠AOP＝∠COP＝60°，∵OA＝OC，OP＝OP，∴△APO≌△CPO（SAS），∴∠PCO＝∠BAP，∵AB是⊙O的直径，P A是⊙O的切线，∴∠P AO＝90°，∴∠PCO＝90°，∵OC是⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线；（2）①证明：由（1）知，∠AOP＝60°，∠P AO＝90°，∴∠APO＝30°，∵OA＝OP，∴OE＝PE，∴PE＝BC，∵PO∥BC，∴∠PEG＝∠BCG，∠EPG＝∠CBG，∴△PEG≌△BCG（ASA），∴EG＝CG，∴OG⊥CG；②解：∵OB＝3，∴OA＝OB＝3，∴OP＝2OA＝6，∴AP＝＝3，∴PB＝＝＝3，连接AF，∵AB是⊙O的直径，∴AF⊥PB，∵S△APB＝AP•AB＝PB•AF，∴AF＝＝＝，∴BF＝＝＝．16．解：（1）直线m与⊙O相切，理由：连接PO，∵AP＝AF，∴∠APF＝∠AFP，∵∠AFP＝∠EFO，∴∠APF＝∠EFO，∵OP＝OE，∴∠OPF＝∠OEF，∵∠FOE＝90°，∴∠OFE+∠OEF＝∠OPF+∠APF＝90°，∴∠APO＝90°，∴PO⊥直线AB，∵OP是⊙O的半径，∴直线m与⊙O相切；（2）∵y＝x+与x轴交于点A，与y轴交于点B，∴令y＝0，得x＝﹣2，令x＝0，得y＝，∴A（﹣2，0），B（0，），∴OA＝2，OB＝，∴tan∠BAO＝＝，∴∠BAO＝30°，∴∠AOP＝60°，∵∠AOB＝90°，∴∠BOP＝30°，∵OP＝OE，∴∠OPE＝∠EOP，∵∠BOP＝∠OPE+∠OEP＝2∠PEB＝30°，∴；（3）连接CE、CH，∵CD⊥BE，∴∠COE＝∠DOE＝90°，∴∠CHE＝∠ECG＝90°＝45°，∵∠CEG＝∠HEC，∴△CEG∽△HEC，∴．∴EG•EG＝CE•EC＝2．17．解：（1）①∵OA＝OF，∴∠OAF＝∠OF A，∴∠POB＝∠OAF+∠OF A＝2∠OAF，∴∠POB＝2∠EPF，∵BC⊥AB，∴∠OBP＝90°，∴∠POB+∠EPF＝90°，∴2∠EPF+∠EPF＝90°，∴∠EPF＝30°，∴∠POB＝60°，∴n＝60，∵r＝OB＝3，∴的长为；②延长FO交⊙O于点G，连接BF，BG，∵FG是⊙O的直径，∴∠FBG＝90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB＝90°，∴∠AFB+∠GBF＝180°，∴AF∥BG，∴，∵OP＝＝5，∴PF＝OP﹣OF＝2，∵PB＝4，∴，∴PE＝1；（2）∵t﹣r的值为定值，∴t﹣r＝0，∴t＝r，∴OB＝BP，∴∠POB＝＝45°，∵OA＝OF，∴∠OAF＝∠OF A，∴∠POB＝∠OAF+∠OF A＝2∠OAF，∴∠EAB＝∠OAF＝＝22.5°，由②同理得AF∥BG，∴，∵OP＝＝＝r，∴PF＝OP﹣OF＝（﹣1）r，PG＝OP+OG＝（+1）r，∴，∴n，∵0＜n＜1，∴n＝﹣1，∴∠EAB＝22.5°．18．（1）证明：连结OE，∵BC与⊙O相切于点E，∴OE⊥BC，∴∠BED+∠OED＝90°，∵AD是直径，∴∠AED＝90°，∴∠EAD+∠ADE＝90°，∵OE＝OD，∴∠OED＝∠ADE，∴∠BED＝∠EAD；（2）证明：∵AC⊥BC，OE⊥BC，∴AC∥OE，∴∠CAE＝∠AEO，∵OA＝OE，∴∠EAO＝∠AEO，∴∠CAE＝∠EAO，又∵EP⊥AB，EC⊥AC，∴CE＝EP；（3）解：连结PF，∵∠ACB＝90°，CG⊥AB，∴∠CAE+∠AEC＝∠AFG+∠EAP＝90°，∵∠CAE＝∠EAP，∴∠AEC＝∠AFG＝∠CFE，∴CF＝CE，∵CE＝EP，∴CF＝PE，∵CG⊥AB，EP⊥AB，∴CF∥EP，∴四边形CFPE是平行四边形，又∵CE＝EP，∴平行四边形CFPE是菱形，∴CF＝PF，设CF＝x，则PF＝x，FG＝8﹣x，在Rt△PFG中，由勾股定理可得：x2＝（8﹣x）2+62，解得：x＝，∴四边形CFPE的面积＝CF•PG＝．19．（1）证明：如图1，连接OD，∵DE为⊙O的切线，∴∠ODE＝90°，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，又∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB，∴∠C＝∠ODB，∴OD∥AC，∴∠DEC＝∠ODE＝90°，∴DE⊥AC；（2）①证明：如图2，连接BF，AG，∵AB为⊙O的直径，∴∠AFB＝∠BGA＝90°，∵．∴∠ABD＝∠DBG，∵∠ABC＝∠C，∴∠C＝∠DBG，∴CF∥BG，∴∠FNG+∠BF A＝180°，∴∠FBG＝90°，∵∠FBG＝∠AFB＝∠BGA＝90°，∴四边形AFBG为矩形，∴AF＝BG；②解：如图3，连接AD，∵AB为⊙O的直径，∴∠BDA＝90°，∵AB＝AC，∴BD＝DC，∵CF∥BG，∴∠NCD＝∠MBD，在△BDM和△CDN中，，∴△BDM≌△CDN（ASA），∴BM＝CN，过点C作CP∥DH交BA的延长线于点P，∴＝，∴BH＝HP，∵AH：BH＝3：8，∴AH：AP＝3：5，∵FH∥CP，∴＝＝，∵AB＝AC，∴＝，设AB＝5k，则AC＝5k，F A＝BG＝3k，连接FB，∵∠BF A＝90°，∴BF＝＝4k，∵M为BG中点，∴BM＝BG＝k，∴CN＝k，∴AN＝AC﹣CN＝5k﹣k＝k＝7，则k＝2，∵∠DEC＝∠BFC＝90°，∴DE∥BF，∴＝，∴EF＝EC，∴DE＝BF＝2k，∴DE＝4．20．（1）证明：∵AE为⊙O的直径，∴∠ABE＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∵AD⊥BC，∴∠ADF＝90°，∴∠AFD+∠F AD＝90°，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠AFD，∴∠AEB＝∠AFD；（2）解：如图1，过点B作BM⊥AE于点M．∵∠AFD＝∠BFE，∠AFD＝∠AEB，∴∠BFE＝∠AEB，∴BF＝BE＝5，∵AB＝10，∠ABE＝90°，∴AE＝＝＝5，∵，∴BM＝＝2，∴EM＝FM＝＝＝，∴AF＝AE﹣EF＝5﹣2＝3，∵∠BMF＝∠ADF＝90°，∠AFD＝∠BFM，∴△BFM∽△AFD，∴，∴，∴AD＝6；（3）解：∵∠ADB＝90°，G为AB的中点，∴AG＝DG＝BG，∵O为AE的中点，G为AB的中点，∴OG∥BE，∵∠ABE＝90°，∴∠AGD＝90°，∴△ADG为等腰直角三角形，∴∠GAD＝45°，∴∠ABD＝45°，过点F作FH⊥AB于点H，如图2，∵AF平分∠BAD，∴FD＝FH，∵∠ABD＝45°，∴BF＝FH＝FD，∵∠AFD＝∠AEB，∠AEB＝∠C，∴∠AFD＝∠C，∴AF＝AC，又∵AD⊥BC，∴FD＝DC，设FD＝DC＝x，则BF＝x，∴．。

2022-2023学年九年级数学中考复习《圆综合压轴解答题》专题提升训练（附答案）1．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D是弧BC的中点，BC与AD、OD分别交于点E、F．（1）求证：DO∥AC；（2）求证：DE•DA＝DC2；（3）若，求的值．2．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝6，射线CM⊥BC，点D是边BC 上一动点，连接AD，过点A作AE⊥AD交射线CM于点E，连接DE．（1）求证：点A、E、C、D在同一圆上；（2）若BD＝1，则AE＝．（3）①当△CDE面积的最大时，求BD的长；②当点D从点B运动到点C时，直接写出△ACE的外接圆圆心经过的路径长．3．如图①，A是⊙O外一点，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，过点B 作BD∥AC，交⊙O于点D，连接DO，并延长DO交⊙O于点E，连接AE．已知BD＝2，⊙O的半径为3．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）求AE的长；（3）如图②，若点M是⊙O上一点，且BM＝3，过A作AN∥BM，交弧ME于点N，连接ME，交AN于点G，连接OG，则OG的长度是．4．定义：两个角对应互余，且这两个角的夹边对应相等的两个三角形叫做余等三角形．如图1，在△ABC和△DEF中，若∠A+∠E＝∠B+∠D＝90°，且AB＝DE，则△ABC和△DEF是余等三角形．（1）图2，等腰直角△ABC，其中∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是AB上任意一点（不与点A、B重合），则图中△和△是余等三角形，并求证：AD2+BD2＝2CD2．（2）图3，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为5，且AD2+BC2＝100，①求证：△ABC和△ADC是余等三角形．②图4，连接BD交AC于点I，连接OI，E为AI上一点，连接EO并延长交BI于点F，若∠ADB＝67.5°，IE＝IF，设OI＝x，S△EIF＝y，求y关于x的函数关系式．5．如图，△ABC内接于⊙O，弦AD平分∠BAC，AD交BC于点E，且BE＝CE．（1）如图1，求证：AD为⊙O的直径；（2）如图2，点P为弧CD上一点，连接AP交BC于点F，过点P作⊙O的切线，交BC的延长线于点G，GH⊥PF于点H，求证：PH＝FH；（3）如图3，在（2）的条件下，连接DF，且∠DFB＝3∠P AD，点R在CG上，连接DR，DR交CH于点N，RN＝RG，HN＝1，DF＝5，求DE的长．6．已知△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝3，点D是线段AB上一个动点，以BD为直径的⊙O与边BC交于点F，连接DF．（1）如图1，证明：DF∥AC；（2）如图2，当AD＝时，判断直线AC与⊙O的位置关系，并说明理由；（3）如图3，若E是边AC上任意一点，连接DE，EF，求△DEF面积的最大值．7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，O为AB上一点，以点O为圆心，OA为半径作⊙O，分别交AB、AC于点E、F，且与BC相切于点D，连接OF．解答下列问题：（1）∠BAC与∠OF A之间的关系是；（2）求证：∠AFO＝2∠BAD；（3）若＝，求tan的值．8．如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径作⊙O，与边AC相切于点C，交AB边于点D，E为AC中点，连接DE．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）点P是线段BC上一动点，当DP+EP最小时，请在图中画出点P的位置；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并用2B铅笔或黑色水笔加黑加粗）（3）在（2）的条件下，若CD＝5，tan B＝，求出CP的长度．9．定义：如果三角形三边的长a、b、c满足，那么我们就把这样的三角形叫做“匀称三角形”．如：三边长分别为1，1，1或3，5，7，…的三角形都是“匀称三角形”．（1）已知“匀称三角形”的两边长分别为4和6，则第三边长为．（2）如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DF⊥AC，垂足为F，交AB的延长线于E，求证：EF是⊙O的切线；（3）在（2）的条件下，若，判断△AEF是否为“匀称三角形”？请说明理由．10．在△ABC中，∠B＝90°，D是△ABC外接圆上的一点，且点D是∠B所对的弧的中点．（1）尺规作图：在图1中作出点D；（要求：不写作法，保留作图痕迹）（2）如图2，连接BD，CD，过点B的直线交边AC于点M，交该外接圆于点E，交CD 的延长线于点P，BA，DE的延长线交于点Q．①若＝，AB＝4，BC＝3，求BE的长；②若DP＝（AB+BC），DP＝DQ，求∠PDQ的度数．11．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，＝，点E在AC上，以AE为直径的⊙O经过点D．（1）求证：①BC是⊙O的切线；②CD2＝CE•CA；（2）若点F是劣弧AD的中点，且CE＝3，试求阴影部分的面积．12．如图，四边形ABEC是平行四边形，过A、B、C三点的⊙O与CE相交于点D．连接AD、OD，DB是∠ADE的角平分线．（1）判断△BDE的形状，并说明理由；（2）求证：BE是⊙O的切线；（3）如果AB＝，BE＝8，求⊙O的半径．13．已知：AB是⊙O直径，AC＝AD．（1）求证：AB平分∠CAD；（2）E是弧AD上一点，连接CE、DE，作BK∥DE交CE于K，求证：BK＝EK；（3）在（2）的条件下，连接AE，若∠DAE+4∠DAB＝90°，AD＝，KE＝1，求⊙O的半径．14．如图1，E点为x轴正半轴上一点，⊙E交x轴于A、B两点，交y轴于C、D两点，P 点为劣弧上一个动点，且A（﹣2，0），E（2，0）．（1）的度数为°；（2）如图2，连结PC，取PC中点G，连结OG，则OG的最大值为；（3）如图3，连接P A，PC．若CQ平分∠PCD交P A于Q点，求线段AQ的长；（4）如图4，连接P A、PD，当P点运动时（不与B、C两点重合），求证：为定值，并求出这个定值．15．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90，过点A作AH⊥BC于点H，以AH为直径作⊙O，分别交AB，AC于点E，F．过点F作⊙O的切线交BC于点G．（1）求证：△FGC为等腰三角形．（2）填空：①当H为的中点时，∠FGC＝°；②若AB的长为4，当H为的三等分点时，FC的长为．16．已知⊙O是△ABC的外接圆，AB为⊙O的直径，点N为AC的中点，连接ON并延长交⊙O于点E，连接BE，BE交AC于点D．（1）如图1，求证：∠CDE+∠BAC＝135°；（2）如图2，过点D作DG⊥BE，DG交AB于点F，交⊙O于点G，连接OG，OD，若DG＝BD，求证：OG∥AC；（3）如图3，在（2）的条件下，连接AG，若DN＝，求AG的长．17．问题提出：（1）如图1，P是半径为5的⊙O上一点，直线l与⊙O交于A、B两点，AB＝8，则点P到直线l的距离的最大值为．问题探究：（2）如图2，在等腰△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝45°，F是高AD和高BE的交点，求S△ABF：S△BFD的值．问题解决：（3）如图3，四边形ABCD是某区的一处景观示意图，AD∥BC，∠ABC＝60°，∠BCD ＝90°，AB＝60m，BC＝80m，M是AB上一点，且AM＝20m．按设计师要求，需在四边形区域内确定一个点N，修建花坛△AMN和草坪△BCN，且需DN＝25m．已知花坛的造价是每平米200元，草坪的造价是每平米100元，请帮设计师算算修好花坛和草坪预算最少需要多少元？18．如图，在等腰锐角三角形ABC中，AB＝AC，过点B作BD⊥AC于D，延长BD交△ABC 的外接圆于点E，过点A作AF⊥CE于F，AE，BC的延长线交于点G．（1）判断EA是否平分∠DEF，并说明理由；（2）求证：①BD＝CF；②BD2＝DE2+AE•EG．19．已知P是⊙O上一点，过点P作不过圆心的弦PQ，在劣弧PQ和优弧PQ上分别有动点A、B（不与P、Q重合），连接AP、BP．若∠APQ＝∠BPQ．（1）如图1，当∠APQ＝45°，AP＝1，BP＝2时，求⊙O的半径；（2）在（1）的条件下，求四边形APBQ的面积；（3）如图2，连接AB，交PQ于点M，点N在线段PM上（不与P、M重合），连接ON、OP，若∠NOP+2∠OPN＝90°，探究直线AB与ON的位置关系，并说明理由．20．△ABC内接于圆O，直径CO交劣弧AB于点G，G为劣弧AB中点．（1）如图1，求证：CB＝CA；（2）如图2，点D为劣弧BC上一点，连接DC并延长至点E，连接BE交圆O于点F，连接CF，若CF平分∠ACE，求证：∠BAD＝2∠DEB；（3）如图3，在（2）的条件下，当AD经过圆心O，AB：CD＝8：5，CF＝，连接OE，求线段OE的长．参考答案1．（1）证明：∵D是弧BC的中点，∴∠CAD＝∠DAB＝∠CAB，∵∠DAB＝∠DOB（圆心角定理），∴∠CAB＝∠DOB，∴DO∥AC．（2）证明：∵D是弧BC的中点，∴∠DCB＝∠DAC，在△DCE和△DAC中，，∴△DCE∽△DAC，∴，即DE•DA＝DC2．（3）解：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴tan∠CAD＝＝，由（2）可知△DCE∽△DAC，∴＝＝，设CD＝2m，则AD＝4m，DE＝m，AE＝AD﹣DE＝3m，∵DO∥AC，∴∠CAD＝∠FDE，在△ACE和△DFE中，，∴△ACE∽△DFE，∴＝＝＝3．2．（1）证明：根据题意可知∠DCE＝90°，∠DAE＝90°，∵∠DCE+∠DAE＝180°，∴点A、E、C、D在以DE为直径的同一圆上．（2）如图1，过点A作AF⊥CM，垂足为点F，∵BC⊥CM，BC⊥AB，∴AF∥BC，AF⊥AB，∵∠EAF+∠DAF＝90°，∠BAD+∠DAF＝90°，∴∠EAF＝∠DAB，∴Rt△AEF∽Rt△ADB，∴，∵BD＝1，AB＝3，AF＝BC＝6，AD＝＝，∴，解得AE＝2，故答案为：2．（3）①由（2）可知Rt△AEF∽Rt△ADB，∴，设DB＝x，则EF＝2x，EC＝2x+3，DC＝BC﹣BD＝6﹣x，∴S△CDE＝（6﹣x）（2x+3）＝﹣（x﹣）2+，∴当△CDE面积最大时，x＝，即BD＝．②如图2所示，由（1）可知△ACE外接圆的圆心O是DE的中点，OA＝OC，∴点O在AC的垂直平分线上运动，∴点O的运动路径为O1O2，根据题意BC＝6，AB＝3，∴AC＝＝3，∵∠CO2O1，+∠O2CO1＝90°，∠O2CO1+∠ACB＝90°，∴∠CO2O1＝∠ACB，又∠CO1O2＝∠ABC＝90°，∴△CO1O2∽△ABC，∴，即，解得O1O2＝3，故答案为：3．3．（1）证明：如图1，连接OB，∵AB与⊙O相切于点B，∴OB⊥AB，∴∠OBA＝90°，∵BD∥AC，∴∠AOE＝∠ODB，∠AOB＝∠OBD，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠AOE＝∠AOB，在△AOB与△AOE中，，∴△AOB≌△AOE（SAS），∴∠AEO＝∠ABO＝90°，∴OE⊥AE，∵E在⊙O上，∴AE是⊙O的切线；解：（2）如图2，过O作OH⊥BD于H，则BH＝DH＝，∠BHO＝90°，在Rt△OBH中，OH＝，∵∠OHB＝∠ABO＝90°，∠OBD＝∠AOB，∴△OBH∽△AOB，∴，即，∴AB＝，∵AB，AE是⊙O的切线，∴AE＝AB＝；（3）取AO的中点P，如图3，连接BP，EP，OB，OE，在Rt△AOB中，∵P是斜边AO的中点，∴AP＝OP＝BP，同理，EP＝AP＝OP，∴AP＝OP＝BP＝EP，∴A，B，O，E四点共圆，∵∠ABO＝90°，∴AO为圆的直径，连接OB，OM，BE，∵OB＝OM＝BM＝3，∴∠OBM＝60°，∴∠ABM＝∠ABO+∠OBM＝150°，∵AN∥BM，∴∠BAN＝180°﹣∠ABM＝30°，连接BE，设BE与AN交于Q点，如图4，又∠BEM＝，∴∠BAN＝∠BEM，∵∠AQB＝∠EQG，∴△AQB∽△EQG，∴，又∠BQG＝∠AQE，∴△BQG∽△AQE，∴∠AEB＝∠AGB，∵AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB＝∠AGB，∵A，B，O，E四点共圆，如图5，连接AO，设BG与AO交于H点，∴∠AOB＝∠AEB，又∠BHO＝∠AHG，∴△BHO∽△AHG，∴∠OBH＝∠OAG，，∵∠AHB＝∠GHO，∴△AHB∽△GHO，∴∠ABG＝∠AOG，∵∠ABG+∠OBH＝90°，∠OBH＝∠∠OAG，∴∠AOG+∠OAG＝90°，∴∠AGO＝90°，如图6，延长GO交BM于F，∵BM∥AN，∴∠BFO＝180°﹣∠AGO＝90°，∴OF⊥BM，∴BF＝，又BO＝3，∴，过B作BD⊥AN于D，则在Rt△ABD中，∠BAD＝30°，∴BD＝，∵∠OFB＝∠AGO＝∠BDG＝90°，∴四边形BDGF为矩形，∴FG＝BD＝，∴OG＝FG﹣OF＝．4．解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠A+∠B＝90°，∠ACD+∠BCD＝90°，AC＝BC，∴△ACD和△BCD是余等三角形，过D作DE⊥AC于E，过D作DF⊥BC于F，如图：∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠A＝∠B＝45°，∴△ADE和△BDF是等腰直角三角形，∴DE＝，DF＝，∵DE⊥AC，DF⊥BC，∠ACB＝90°，∴四边形CEDF是矩形，∴CE＝DF＝，Rt△DCE中，DE2+CE2＝CD2，∴（）2+（）2＝CD2，∴AD2+BD2＝2CD2；故答案为：ACD，BCD；（2）①连接DO并延长交⊙O于E，连接AE、CE，如图：∵DE是⊙O直径，∴∠EAD＝90°，在Rt△EAD中，AD2+AE2＝DE2＝100，∵AD2+BC2＝100，∴AE＝BC，∴∠ACE＝∠BAC，∵∠AEC＝∠CBA，AC＝AC，∴△AEC≌△CBA（AAS），∴∠EAC＝∠BCA，∵∠EAC+∠CAD＝90°，∴∠BCA+∠CAD＝90°，同理可得：∠BAC+∠ACD＝90°，而AC＝AC，∴△ABC和△ADC是余等三角形；②连接OA、OB，过O作OM⊥BD于M，过O作ON⊥AC于N，如图：由①知：∠BAC+∠ACD＝90°，又∠ACD＝∠ABD，∴∠BAC+∠ABD＝90°，∴AC⊥BD，∵IE＝IF，∴△EFI是等腰直角三角形，∵OM⊥BD，∴△MOF是等腰直角三角形，∴OM＝FM，∵△EFI是等腰直角三角形，∴∠AEO＝∠BFO＝135°，∵∠ADB＝67.5°，∴∠AOB＝2∠ADB＝135°，∴∠AOE＝45°﹣∠BOF＝∠OBF，且OA＝OB，∴△AOE≌△OBF（AAS），∴OE＝BF，设OE＝BF＝a，OM＝FM＝b，则ON＝MI＝a，OF＝AE＝b，在Rt△OIM中，（a）2+b2＝x2，化简得a2+2b2＝2x2，在Rt△OBM中，（a+b）2+b2＝52，化简得a2+2b2+2ab＝25，∴2ab＝25﹣2x2，∴y＝EI•FI＝（a+b）2＝（a2+2b2）+ab＝x2+＝．5．解：（1）如图连接BD，CD，∵OD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∵∠CAD＝∠CBD，∠BAD＝∠BCD，∴BD＝CD，∵BE＝CE，∴DE⊥BC即∠ADB+∠EBD＝90°，∵∠ABC＝∠ADC∠ECD+∠EDC＝90°，∴∠ABC+∠CBD＝90°∴∠ABD＝90°，∴AD是圆O的直径；（2）连接OP，∵PG是圆O的切线，∴GH⊥PF，∴∠HCP+∠CPH＝90°，∴∠GPH+∠OPH＝90°，∴∠HGP＝∠OPH，∵OP＝OA，∴∠HGP＝∠OPH，∴∠HGD＝∠OPH＝∠OAD，∵∠FGH+∠GFH＝∠EAF+∠EF A＝90°，∵∠EF A＝∠GFH，∴∠FGH＝∠EAF，∴∠HGP＝∠FGH，∴∠HGP+∠HPG＝∠FGH+∠GFH＝90°，∴∠HPG＝∠HFG，∴PG＝FG，即PH＝FH；（3）连接PD，延长GH与PF交于M点，DR与AP交于T点，∵GH⊥PF，∠APD＝90°，∴∠APD＝∠MHF＝90°，∴MH∥DP，∵H是PF的中点，∴M是DF的中点，∴DM＝FM＝DF＝，∴PD＝2MH，∵RN＝RG，∴∠NGR＝∠RNG，∴∠DRE＝∠NGE+∠RNG＝2∠RGN，∵∠AEF＝∠GHF＝90°，∠HFG＝∠AFE，∴∠DAP＝∠FGH，∴∠DRE＝2∠DAP，∵∠DFB＝∠DRE+∠RDF＝3∠DAP，∴∠RDF＝∠DAP，∵∠DNM＝∠RNG，∴∠DNM＝∠NDM＝∠DAP，∴MN＝DM＝，∵NH＝1，∴MH＝，∴PD＝2MH＝3，∴PH＝HF＝＝2，∵DP∥MN，∴∠PDT＝∠HNT＝∠DAP，△HNT∽△PDT，∴＝＝＝＝，∴PT＝，∴tan∠DAP＝tan∠PDT＝＝＝＝，∴AP＝6，AF＝2EF，∴AF＝AP﹣PH﹣HF＝2，∵AE2+EF2＝AF2，∴5EF2＝4，∴EF2＝，∵DE2+EF2＝DF2，∴DE2+＝25，∴DE＝．6．（1）证明：∵AB＝5，AC＝4，BC＝3，∴AC2+BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，∵BD是⊙O直径，∴∠DFB＝90°，∴∠ACB＝∠DFB，∴DF∥AC；解：（2）AC与⊙O相切，理由如下：如图1，∵，∴BD＝AB﹣AD＝，∴BO＝DO＝，∵DF∥AC，∴，即，∴BF＝，过O作OM⊥AC于M，ON⊥BC于N，则BN＝FN＝，∴，∵OM⊥AC，ON⊥BC，∴∠OMC＝∠ACB＝∠ONC＝90°，∴四边形OMCN为矩形，∴OM＝CN＝，∴OM＝BO，又OM⊥AC，∴AC是⊙O的切线；（3）如图2，∵DF∥AC，∴△BDF∽△BAC，∴，设BF＝x，∴，∴DF＝，∵DF∥AC，CF＝BC﹣BF＝3﹣x，∴＝，∴当x＝时，S△DEF最大值为，即△DEF的面积最大值为．7．解：（1）∵OA＝OF，∴∠OAF＝∠OF A，即∠BAC＝∠OF A，故答案为：相等；（2）证明：连接OD，如图，∵BC为切线，∴OD⊥BC，∵∠C＝90°，∴OD∥AC，∴∠ODA＝∠CAD，∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD，∴∠OAD＝∠CAD，∴∠OAC＝2∠OAD，∵OA＝OF，∴∠OAC＝∠AFO，∴∠AFO＝2∠BAD；（3）作OH⊥AF于H，如图，则AH＝HF，∵＝，∴设AH＝HF＝2x，则CF＝3x，∵∠ODC＝∠C＝∠OHC＝90°，∴四边形ODCH为矩形，∴OH＝CD，OD＝CH＝2x+3x＝5x，在Rt△AOH中，OH＝＝x，∴CD＝x，在Rt△ACD中，tan∠CAD＝＝＝．∴tan的值为．8．解：（1）证明：连接OD，∵BC是⊙O的直径，∴∠CDB＝90°，∴∠ADC＝90°，∵E是AC的中点，∴AE＝EC＝ED，∴∠ECD＝∠EDC，∵OD＝OC，∴∠OCD＝∠ODC，∴∠ECD+∠OCD＝∠EDC+∠ODC，即∠ECB＝∠ODE＝90°，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（2）①过D作CB的垂线，交⊙O于F，交BC于M；②连接EF，EF与BC交于点P；此时的P即为使DP+EP最小的点；作图如右图；（3）∵CD＝5，tan B＝，∴BD＝CD÷tan B＝，∴BC＝＝＝，∴CE＝＝BC•tan B＝＝，设DM＝3a，则BM＝4a，∵DB＝＝5a＝，∴a＝，∴DM＝4，BM＝，∴CM＝BC﹣BM＝﹣＝3，∵DF⊥BC，∴MF＝DM＝4，∵∠ACB＝∠FMC＝90°，∠EPC＝∠MPF，∴△ECP∽△FMP，∴＝，即＝，解得CP＝，故CP的长度为．9．（1）解：设第三边长为x，①当时，解得x＝8，②当是，解得x＝5，③当时，解得x＝2，∵2+4＝6，∴当三边长为2，4，6时，不能构成三角形，所以③舍去，故答案为：5或8；（2）证明：如图1，连接OD，AD，∵AB是⊙O直径，∴AD⊥BC，∵AB＝AC，∴D为BC的中点，即BD＝CD，∵O为AB中点，∴OD∥AC，OD＝，∵DF⊥AC，∴∠AFD＝90°，∵OD∥AC，∴∠ODE＝∠AFD＝90°，∴OD⊥EF，∵OD是⊙O半径，∴EF是⊙O的切线；（3）解：△AEF是“匀称三角形”，理由如下：如图2，过B作BM⊥EF于M，∴∠BMD＝∠CFD＝90°，在△BMD和△CFD中，，∴△BMD≌△CFD（AAS），∴BM＝CF，∵，∴，∵∠BMD＝∠CFD＝90°，∴△EBM∽△EAF，∴，设AE＝5x，则AF＝3x，∴，∵，∴，∴△AEF是“匀称三角形”．10．解：（1）如图1，作∠ABC的角平分线，交圆于点D，则点D为∠B所对的弧的中点，（2）①连结AE，∵＝，∴∠ABE＝∠BAC，∵＝，∴∠AEB＝∠ACB，又∵AB为公共边，∴△ABE≌△BAC（AAS），∴∠EAB＝∠ABC＝90°，又∵＝，BC＝3，∴AE＝BC＝3，在Rt△ABE中，AB＝4，AE＝3，∴BE＝＝＝5，∴BE＝5；②方法一：连结AD，过点D作DG⊥AB于点G，DH⊥BC于点H，∵点D是∠B所对的弧的中点，∴BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵∠DGB＝∠DHC＝90°，BD＝BD，∴△BDG≌△BDH（AAS），∴BG＝BH，DG＝DH，∵∠DGB＝∠DHB＝∠GBH＝90°，∴四边形DGBH是正方形，∴BG＝DG＝BH＝DH＝BD，∵A、B、C、D四点共圆，∴∠DAB+DCB＝180°，∵∠DCH+∠DCB＝180°，∴∠DAB＝∠DCH，∵∠DGA＝∠DHC＝90°，DG＝DH，∴△AGD≌△CHD（AAS），∴AG＝CH，∴AB+BC＝AG+BG+BH﹣HC＝2BG＝BD，∵DP＝（AB+BC），∴DP＝DQ＝BD，∴∠DBQ＝∠DQB＝45°，∴∠EDB＝90°，∴BE为圆的直径，∵又∵AC为直径，∴点M为圆心，∴MA＝MB，∴∠MAB＝∠ABM，∵＝，∴∠MAB＝∠BDC，设∠P＝α，则∠ABM＝2α，∵∠ABM+∠PBD＝∠ABD＝45°，∴2α+α＝45°，∴α＝15°，∴∠BDC＝30°，∵BE为直径，∴∠EDB＝90°，∴∠PDQ＝180°﹣∠EDB﹣∠BDC＝180°﹣90°﹣30°＝60°．方法二：∵点D是∠B所对的弧的中点，∴BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵∠DGB＝∠DHC＝90°，BD＝BD，∴△BDG≌△BDH（AAS），∴BG＝BH，DG＝DH，∵∠DGB＝∠DHB＝∠GBH＝90°，∴四边形DGBH是正方形，∴BG＝DG＝BH＝DH＝BD，∵A、B、C、D四点共圆，∴∠DAB+DCB＝180°，∵∠DCH+∠DCB＝180°，∴∠DAB＝∠DCH，∵∠DGA＝∠DHC＝90°，DG＝DH，∴△AGD≌△CHD（AAS），∴AG＝CH，∴AB+BC＝AG+BG+BH﹣HC＝2BG＝BD，∵DP＝（AB+BC），∴DP＝DQ＝BD，∴P、Q、B三点在以点D为圆心，DP为半径的圆上，∴∠PDQ＝2∠PBQ＝2∠ADE，又∵∠PDQ+∠ADE＝90°，∴∠PDQ＝60°．11．（1）①证明：如图1，连接DO，∵＝，∴∠F AD＝∠DAE＝∠F AE，∵∠DAE＝∠DOE（圆周角定理），∴∠F AE＝∠DOE，∴DO∥AB，根据题意可知AB⊥BC，∴DO⊥BC，∴BC是⊙O的切线．②如图2，连接DE，OD，∵AB为直径，OA＝OD，∴∠ADO+∠EDO＝∠ADE＝90°，∠ADO＝∠DAO，由（1）可知∠CDE+∠EDO＝90°，∴∠DAO＝∠CDE，在△CDE和△CAD中，，∴△CDE∽△CAD，∴，故CD2＝CE•CA．（2）如图3，连接DO、FO、DE，AD和OF交于点G，则DO＝EO＝AO，根据题意点F是劣弧AD的中点，且＝，∴∠AOF＝∠DOF＝∠EOD＝×180°＝60°，∴△OAF和△ODE是等边三角形，∴∠C＝90°﹣∠COD＝30°，∴OD＝OE＝CE＝CO＝3，由（1）可知DO∥AB，∴∠ODA＝∠DAF，在△ODG和△F AG中，，∴△ODG≌△F AG（AAS），∴S△ODG＝S△F AG，∴S阴影部分＝S扇形DOF＝＝．12．解：（1）∵四边形ABEC是平行四边形，∴AB∥CE，AC＝BE，∴∠ADC＝∠DAB，∴AC＝BD（圆周角定理），∴BE＝BD，故△BDE是等腰三角形．（2）如图1，连接OB，则2∠DAB＝∠DOB，由（1）可知BE＝BD，∴∠BDE＝∠E，∵AB∥CE，DB是∠ADE的平分线，∴∠EDB＝∠ABD，∠EDB＝∠ADB，∴∠ABD＝∠ADB＝∠BDE＝∠E，∴△ABD∽△BED，∴∠DAB＝∠DBE，∵OD＝OB，∴∠OBD＝＝＝90°﹣∠DAB＝90°﹣∠DBE，即∠OBD+∠DBE＝90°，∴OB⊥BE，故BE是⊙O的切线．（3）如图2，过点O作OF⊥DB，过点D、E分别作DM⊥AB，EN⊥AB交AB的延长线于点N，则有∠BOF＝∠DOF＝∠BOD，BF＝DF＝DB，DM＝EN，DE＝DM，又∠DAM＝∠BOD，∴∠BOF＝∠DAM，根据题意有AB＝CE＝4，BE＝BD＝8，∴BF＝4，由（2）可知△ABD∽△BED，∴＝，即，解得DE＝，在Rt△DMB和Rt△ENB中，，∴Rt△DMB≌Rt△ENB（HL），∴BM＝BN＝MN＝DE＝，∴AM＝AB﹣BM＝﹣＝，在RtDMB中，DM＝＝，在Rt△ADM和Rt△OBF中，，∴Rt△ADM∽Rt△OBF，∴＝，即＝，解得OF＝3，在Rt△OBF中，OB＝＝5，故⊙O的半径为5．13．（1）证明：如图（1），连接BC，BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠C＝∠D＝90°，∵AC＝AD，∴∠ABC＝∠ABD，∴∠CAB＝∠DAB，∴AB平分∠CAD；（2）证明：如图（2）连接EB，由（1）得：∠CAB＝∠DAB，∴，∴∠CEB＝∠DEB，∵BK∥ED，∴∠KBE＝∠DEB，∴∠KBE＝∠CEB，∴BK＝EK；（3）解：连接OC，OK，CB，作OF⊥CK于F，作CT⊥OB于T，设∠CAB＝α，∠EAD＝β，则4α+β＝90°，又∵α+β+∠ACE＝90°，∴∠ACE＝3α，∵∠ACO＝α，∴∠OCK＝2α，又∵∠COB＝2α，∴∠COT＝∠OCF，∴△COT≌△OCF，∴OC＝CK，∴OB＝CK＝r，CE＝r+1，∴CF＝＝OT，∴AT＝r+，∵△BCT∽△ABC，∴AC2＝AT•AB，∴10＝，解得r＝或r＝﹣2（舍），∴r＝．14．解：（1）如图1，连接CE，AC，∵A（﹣2，0），E（2，0），∴OA＝OE＝2，∵AB⊥CD，∴CD垂直平分AE，∴CA＝CE，∵CE＝AE，∴CA＝CE＝AE，∴∠CEA＝60°，∴∠CEB＝180°﹣∠CEA＝120°，故答案为120；（2）由题可得，AB为⊙E直径，且AB⊥CD，由垂径定理可得，CO＝OD，连接PD，如图2，又∵G为PC的中点，∴OG∥PD，且OG＝，当D，E，P三点共线时，此时DP取得最大值，且DP＝AB＝2AE＝8，∴OG的最大值为4，故答案为4；（3）如图3，连接AC，BC，∵直径AB⊥CD，∴，∴∠ACD＝∠CP A，∵CQ平分∠DCP，∴∠DCQ＝∠PCQ，∴∠ACD+∠DCQ＝∠CP A+∠PCQ，∴∠ACQ＝∠AQC，∴AQ＝AC由（1）可得，AC＝AE＝4，∴AQ＝4；证明：（4）由题可得，直径AB⊥CD，∴AB垂直平分CD，如图4，连接AC，AD，则AC＝AD，由（1）可得，△ACE为等边三角形，∴∠CAE＝60°，∴∠DAC＝2∠CAE＝120°，将△ACP绕A点顺时针旋转120°至△ADM，∴△ACP≌△ADM，∴∠ACP＝∠ADM，PC＝DM，∵四边形ACPD为圆内接四边形，∴∠ACP+∠ADP＝180°，∴∠ADM+∠ADP＝180°，∴M，D，P三点共线，∴PD+PC＝PD+DM＝PM，过A作AG⊥PM于G，则PM＝2PG，∵∠APM＝∠ACD＝30°，在Rt△APG中，∠APM＝30°，设AG＝x，则AP＝2x，∴，∴PM＝2PG＝，∴，∴，∴为定值．15．（1）证明：如图，连接OF，∵FG与⊙O相切，∴∠OFG＝90°，∴∠AFO+∠GFC＝90°，∵AO＝OF，∴∠OAF＝∠OF A，∵∠AHC＝90°，∴∠OAF+∠C＝90°，∴∠C＝∠GFC，∴GF＝GC，∴△FGC为等腰三角形；（2）解：①∵H为的中点，∴＝，∴∠EAH＝∠F AH＝∠BAC＝45°，∵AH⊥BC，∴∠C＝45°．又由（1）知∠C＝∠GFC，∴∠FGC＝180°﹣2×45°＝90°，故答案为：90；②连接OF，OG．∵AH⊥BC，FG与⊙O相切，∴∠OHG＝∠OFG＝90°∴△HOG和△FOG是直角三角形，在Rt△HOG和Rt△FOG中，，∴Rt△HOG≌Rt△FOG（HL），∴HG＝FG＝CG．当H为EF的三等分点时，分以下两种情况讨论．a．如图，当H为靠近点E的三等分点时，∠EAH＝30°，∠F AH＝60°，又∵∠AHB＝90°，AB＝4，BH＝2，AH＝2，∴HC＝AH•tan60°＝2×＝6，GC＝3，∴∠C＝90°﹣∠F AH＝30°．过点G作FC的垂线，垂足为点K，则点K为FC的中点，∴KC＝GC•cos30°＝3×＝，∴FC＝2KC＝3；b．如图，当H为靠近点F的三等分点时，∠EAH＝60°，∠F AH＝30°，又∵∠AHB＝90°，AB＝4，∴AH＝2，∴HC＝AH•tan30°＝2×＝，∴GC＝，∴∠C＝60°，又△FGC是等腰三角形，∴△FGC是等边三角形，∴FC＝GC＝．16．（1）证明：如图1，过点O作OP⊥BC，交⊙O于点P，连接AP交BE于Q，∴＝，∴∠BAP＝∠CAP，∵点N为AC的中点，∴＝，∴∠ABE＝∠CBE，∵AB是⊙O的直径，∴∠C＝90°，∴∠BAC+∠ABC＝90°，∴∠QAB+∠QBA＝×90°＝45°，∴∠AQB＝∠EQP＝135°，△AQD中，∠EQP＝∠CAP+∠ADQ＝135°，∴∠CDE+∠BAC＝135°；（2）证明：在△DGO和△DBO中，，∴△DGO≌△DBO（SSS），∴∠ABD＝∠DGO，∵DG⊥BE，∴∠GDB＝90°，∴∠ADG+∠BDC＝90°，∵∠BDC+∠CBE＝90°，∴∠ADG＝∠CBE＝∠ABD＝∠DGO，∴OG∥AD；（3）解：如图3，过点G作GK⊥AC于K，延长GO交BC于点H，由（2）知：OG∥AC，∴GH∥AC，∴∠OHB＝∠C＝90°，∴OH⊥BC，∴BH＝CH，∵∠K＝∠C＝∠OHC＝90°，∴四边形GHCK是矩形，∴CH＝GK，设GK＝y，则BC＝2y，ON＝GK＝y，由（2）知：∠ADG＝∠DBC，在△GKD和△DCB中，，∴△GKD≌△DCB（AAS），∴GK＝DC＝y，∵OE∥BC，∴∠E＝∠DBC，∴tan∠DBC＝tan E，∴，即＝，∴EN＝，∴AN＝CN＝y+，ON＝y，由勾股定理得：AO2＝ON2+AN2，∴（y+）2＝y2+（y+）2，解得：y1＝﹣（舍），y2＝，∴AG＝＝＝2．17．解：（1）点P到直线l距离的最大值，即过圆心O向直线l作垂交圆O于点P，连接OA，∵AB＝8，OC⊥AB，∴AC＝4，由勾股定理得：OC＝3，∴PC＝8，故答案为：8；（2）过点F作FG⊥AB，∵∠ABC＝45°，AD⊥BC，∴△ABD为等腰直角三角形，∴，又∵△ABC为等腰三角形，且AB＝BC，BE⊥AC，∴BE平分∠ABC，又∵FD⊥BC，FG⊥AB，∴FG＝FD，∴，∴；（3）连接MC，过点A作AP⊥BC，∵∠ABC＝60°，AB＝60，∴，∴，设总费用为W，∴，∴W＝100（2S△AMN+S△BNC），∴当最小时，总费用最小，又∵AM＝20米，BM＝40米，∴2S△AMN＝S△BMN，∴当最小时，费用最小，即S四边形BMNC最小时，费用最小，又∵S四边形BMNC＝S△BMC+S△CMN，过点M作MH⊥BC，垂足为H，∵∠ABC＝60°，BM＝40米，∴BH＝20米，MH＝20米，MC＝40米，∴∠BCM＝30°，∴∠DCM＝60°，∴，（平方米）∴当S△CMN最小时，费用最小，∴，∴当NQ最小时，费用最小，∵ND＝25米，∴N点在以D为圆心，25为半径的圆上运动，过圆心D向MC作垂线交⊙D于N点，交MC于Q，即此时NQ最小，∵CQ＝15米，DQ＝45米，∴NQ＝45﹣25＝20（米），∴S△MNC最小值＝（平方米），∴S四边形BMNC最小值＝（平方米）∴W最小值＝100×＝120000（元），18．解：（1）EA平分∠DEF，理由如下：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，又∵∠ACB＝∠AEB，∴∠ABC＝∠AEB∵∠ABC+∠AEC＝180°，∠AEF+∠AEC＝180°，∴∠ABC＝∠AEF，∴∠AEB＝∠AEF，∴EA平分∠DEF，（2）①由（1）知：EA平分∠DEF，∵BD⊥AC，AF⊥CE，∴AD＝AF，在Rt△ABD和Rt△ACF中，，∴Rt△ABD≌Rt△ACF（HL），∴BD＝CF，②由（1）知，∠AEB＝∠AEF，∵∠AEF＝∠CEG，∴∠AEB＝∠CEG，∵∠BAE+∠BCE＝180°，∠BCE+∠ECG＝180°，∴∠BAE＝∠ECG，∴△AEB∽△CEG，∴，∴BE•CE＝AE•EG，∴BD2﹣DE2＝（BD+DE）（BD﹣DE）＝BE（CF﹣EF）＝BE•CE，∴BD2﹣DE2＝AE•EG，即BD2＝DE2+AE•EG．19．解：（1）连接AB，∵∠APQ＝∠BPQ＝45°，∴∠APB＝∠APQ+BPQ＝90°，∴AB是⊙O的直径，∴AB＝＝＝3，∴⊙O的半径为；（2）连结AB，AQ，OQ，BQ，∵AB是⊙O的直径，∴∠APB＝90°，∵∠APQ＝45°，∴∠AOQ＝90°，∴S四APBQ＝S△APB+S△AQB＝•PB•AP+•AB•OQ＝×2×1+×3×＝+；（3）AB∥ON，证明：连接OA、OB、OQ，∵∠APQ＝∠BPQ，∴＝，∴∠AOQ＝∠BOQ，∵OA＝OB，∴OQ⊥AB，∵OP＝OQ，∴∠OPN＝∠OQP，∵∠OPN+∠OQP+∠NOP+∠NOQ＝180°，∴2∠OPN+∠NOP+∠NOQ＝180°，∵∠NOP+2∠OPN＝90°，∴∠NOQ＝90°，∴NO⊥OQ，∴AB∥ON．20．证明：（1）如图1，∵CG是圆O直径，∴，∵G是劣弧AB的中点，∴，∴，∴，∴CB＝CA；（2）如图2，延长BD至N，连接FD，∴四边形ABDC为圆内接四边形，∴∠CAB+∠BDC＝180°，又∠BDC+∠NDE＝180°，∴∠CAB＝∠NDE，同理，∠ECF＝∠EBD，∵CA＝CB，∴∠CAB＝∠CBA，又∠CBA＝∠ADC，∴∠NDE＝∠ADC，∵CF平分∠ACE，∴∠ECF＝∠ACF，∵∠EBD＝∠ACF，∠ACF＝∠ADF，∴∠EBD＝∠ADF，∵∠NDE＝∠ADC，∴∠EBD+∠CEB＝∠ADF+∠FDC，∵∠CEB＝∠FDC，又∠FDC＝∠CBE，∴∠CBE＝∠CEB，∵∠BAD＝∠BCD，∠BCD＝∠CBE+∠CEB，∴∠BAD＝2∠DEB；（3）如图3，由（2）可得，∠CBE＝∠CEB，∴CB＝CE，∵CB＝CA，∴CA＝CE，∵AD是⊙O直径，∴∠ACD＝∠ACE＝90°，∴△ACE是等腰直角三角形，∵AB：CD＝8：5，∴设AB＝8a，则CD＝5a，过A作AP⊥BE于P，连接AE，∵∠ABP＝∠ACF＝45°，∴∠ABP＝∠BAP＝45°，∴AP＝BP，∴，∴，∵∠BAP＝∠CAE＝45°，∴∠BAP+∠P AC＝∠CAE+∠P AC，∴∠CAB＝∠P AE，∵∠CAB＝∠CBA＝∠ADC，∴∠ADC＝∠P AE，∵∠ACD＝∠APE＝90°，∴△ADC∽△EAP，∴，∵AE＝，∴，∴，∵AD2﹣AC2＝CD2＝25a2，∴，连接DF，过F作FM⊥DE于M，如图4，∵∠CBE＝∠CEB，∠CBE＝∠CDF，∴∠CDF＝∠CEB，∴FD＝FE，∴DM＝EM＝，∵DE＝DC+CE＝DC+AC＝，∴，∴CM＝DM﹣DC＝，∵∠FCE＝45°，FM⊥DE，∴△FCM为等腰直角三角形，∴，∴，又CF＝，∴，∴a＝，∴DE＝14，AD＝10，CD＝6，AC＝8，过O作OG⊥DE于G，∴DG＝CG＝∵AO＝DO＝5，∴OG＝，又EG＝DE﹣DG＝14﹣3＝11，∴OE＝＝．。