最全大学高等数学函数极限和连续

函数极限与连续知识点总结大一函数极限与连续知识点总结函数极限和连续是微积分中非常重要的概念，对于大一学生来说，掌握这些知识点是非常关键的。

在本文中，我将对函数极限和连续的相关知识进行总结，并强调一些必要的注意事项。

一、函数极限1. 定义：函数极限是指当自变量趋近于某个特定值时，函数对应的因变量的值也趋近于一个确定的值。

数学上可以表示为lim(f(x))=L，其中lim表示极限，f(x)表示函数，L表示极限值。

2. 基本性质：- 极限存在唯一性：当自变量趋近于某个特定值时，函数对应的极限值唯一。

- 有界性：如果函数在某个区间内有极限，那么函数在该区间内是有界的。

- 保号性：如果函数在某个点的左侧极限和右侧极限大于（或小于）某个特定值，那么函数在该点处的极限也大于（或小于）该特定值。

3. 常用的函数极限：- 常数函数的极限：对于常数函数f(x)=C，其极限值为C。

- 多项式函数的极限：多项式函数的极限与最高次项的系数有关。

- 幂函数的极限：幂函数的极限与指数之间的关系有关。

- 三角函数的极限：三角函数的极限可以通过泰勒展开或利用三角函数的性质推导得出。

二、连续函数1. 定义：连续函数是指在定义域内，函数的图像可以画成一条连续的曲线，即没有间断点。

数学上可以表示为f(x)在[a, b]上连续。

2. 基本性质：- 连续函数的和、差、积仍然是连续函数。

- 连续函数与常数的乘积仍然是连续函数。

- 连续函数的复合函数仍然是连续函数。

- 定义域上的有界函数与连续函数的乘积仍然是连续函数。

3. 常见连续函数：- 多项式函数与有理函数在其定义域上都是连续函数。

- 正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数在其定义域上都是连续函数。

三、注意事项1. 极限的计算要点：- 直接代入法：当极限形式符合直接代入法的条件时，可以直接将自变量的值代入函数中计算极限值。

- 四则运算法则：对于在极限运算过程中出现的加、减、乘、除操作，可以利用四则运算法则进行简化。

第一章函数.极限和连续第一节函数1.决定函数的要素：对应法则和定义域2.基本初等函数：（六类）（1）常数函数（y=c）；（2）幂函数（y=x a）；（3）指数函数（y=a x，a>0,a≠1）;（4）对数函数（y=log a x，a>0,a ≠1）（5）三角函数；（6）反三角函数。

注:分段函数不是初等函数。

特例：y=√x2是初等函数3.构成复合函数的条件：内层函数的值域位于外层函数的定义域之内。

4.复合函数的分解技巧：对照基本初等函数的形式。

5.函数的几种简单性质：有界性，单调性，奇偶性，周期性。

第二节极限1.分析定义∀&>0(任意小) ∃∂>0当|x|>ð（或0<|x−x0|<ð）时总有 |f (x )−A |<&称 lim x →∞f (x )=0 (或lim x →x0f (x )=A ) 2.极限存在的充要条件lim x →x0f (x )=A ↔lim x →x 0+f (x )=lim x →x 0−f (x )=A 3.极限存在的判定准则（1）夹逼定理f 1（x ）≤f (x )≪f 2(x ) ,且 lim x →x0f 1(x )=A = lim x →x0f 2(x ) 所以lim x →x0f (x )=A （2）单调有界准则单调有界数列一定有极限。

4.无穷小量与无穷大量，则称 时，f （x ）为无穷小量 ， 则称 时，f （x ）为无穷大量 注：零是唯一的可作为无穷小的常数。

性质1 有限多个无穷小的代数和或乘积还是无穷小。

∞=→)(lim 0x f x x ）（或∞→→x x x 00)(lim 0=→x f x x ）（或∞→→x x x 0注：无限个无穷小量的代数和不一定是无穷小量性质2 有界变量或常数与无穷小的乘积还是无穷小。

5. 定义 设 是同一极限过程中的无穷小，则 若则称 是比高阶的无穷小,记作 若 则称是比 低阶的无穷小若则称 是的同阶无穷小;特别地，当c=1 时，则称是的等价无穷小,记作若 则称是关于 的 k 阶无穷小。

大一高数极限与连续知识点大一的高等数学是大多数理工科大学生不可避免的一门课程。

其中，极限与连续是数学分析中最基础、最重要的概念之一。

虽然这两个概念看似简单，但实际上却涉及到许多有趣且深奥的知识点。

到底什么是极限呢？在微积分中，我们使用极限来描述函数在某一点的局部行为。

换句话说，我们想要通过无限逼近的过程，了解一个函数在某个点附近的表现。

在数学符号中，我们用lim来表示极限，例如lim(x->a) f(x) = L，意味着当x无限接近a时，函数f(x)的取值无限接近于L。

接下来，关于连续函数的概念也非常重要。

一个函数在一个点上连续，指的是该点的函数值与其极限相等。

也就是说，如果一个函数f在点a处有定义，并且满足lim(x->a) f(x) = f(a)，那么我们就可以说函数f在点a连续。

在学习极限与连续的过程中，我们会遇到一些经典的例题，以便更好地理解这两个概念。

例如，考虑函数f(x) = x^2，我们可以通过计算在x趋近于0的过程中，f(x)的取值无限接近于0，从而得到lim(x->0) f(x) = 0。

这种情况下，我们可以说f(x)在x=0处连续。

然而，并非所有函数都在每个点上连续。

有些函数在某些点上存在断点，即函数值不等于其极限。

一个典型的例子是f(x) = 1/x。

当x趋近于0时，f(x)的取值趋近于无穷大或者负无穷大，即函数f(x)在x=0处不连续。

另外，我们还需要掌握一些极限运算的性质和规律。

比如，如果存在lim(x->a) f(x) = L和lim(x->a) g(x) = M，那么根据极限的四则运算法则，我们可以得到以下结论：- lim(x->a) [f(x) + g(x)] = L + M- lim(x->a) [f(x) - g(x)] = L - M- lim(x->a) [f(x) * g(x)] = L * M- lim(x->a) [f(x) / g(x)] = L / M （假设M≠0）在计算极限的过程中，我们还会用到一些特殊的极限形式，比如0/0、无穷大/无穷大等。

第二章 极限与连续一、本章提要 1.基本概念函数的极限，左极限，右极限，数列的极限，无穷小量，无穷大量，等价无穷小，在一点连续，连续函数，间断点，第一类间断点（可去间断点，跳跃间断点），第二类间断点.2.基本公式(1) 1sin lim0=→口口口，(2) e )11(lim 0=+→口口口(口代表同一变量). 3.基本方法⑴ 利用函数的连续性求极限； ⑵ 利用四则运算法则求极限； ⑶ 利用两个重要极限求极限； ⑷ 利用无穷小替换定理求极限；⑸ 利用分子、分母消去共同的非零公因子求形式的极限； ⑹ 利用分子，分母同除以自变量的最高次幂求∞∞形式的极限； ⑺ 利用连续函数的函数符号与极限符号可交换次序的特性求极限； ⑻ 利用“无穷小与有界函数之积仍为无穷小量”求极限.4.定理左右极限与极限的关系，单调有界原理，夹逼准则，极限的惟一性，极限的保号性，极限的四则运算法则，极限与无穷小的关系，无穷小的运算性质，无穷小的替换定理，无穷小与无穷大的关系，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质.二、要点解析问题1 如果 A x f x x =→)(lim 0存在，那么函数)(x f 在点0x 处是否一定有定义?解析 A x f x x =→)(lim 0存在与)(x f 在0x 处是否有定义无关．例如1sin lim0=→xxx ，而)(x f =xx sin 在0=x 处无定义；又如0lim 20=→x x ，而2)(x x f =在0=x 处有定义.所以，)(lim 0x f x x →存在，不一定有)(x f 在0x 点有定义.问题2 若A x f x g x x =⋅→)()(lim 0存在，那么)(lim 0x g x x →和)(lim 0x f x x →是否一定存在？是否一定有)(lim 0x g x x →·)(x f =)(lim 0x g x x →·)(lim 0x f x x →？解析 )(lim 0x g x x →·A x f =)(存在，并不能保证)(lim 0x g x x →与)(lim 0x f x x →均存在.例如0lim 1lim 02==→→x x x x x ，而x x 1lim 0→不存在.又因为只有在)(lim 0x g x x →与)(lim 0x f x x →均存在的条件下，才有)(lim 0x g x x →·)(x f =)(lim 0x g x x →·)(lim 0x f x x →,所以)(lim 0x g x x →·)(x f 存在，不能保证)(lim 0x g x x →·)(x f =)(lim 0x g x x →·)(lim 0x f x x →．问题3 +∞=→xx 1e lim 是否正确，为什么?解析 不正确.尽管+∞=+→xx 10e lim ，而0e1lim elim e lim 101010===---→-→→xx xx xx .这说明,0→x 时，x1e 不是无穷大.三、例题精解 例1 求下列极限:(1) ))(cos sin (lim tan 2224πx x x x x ++→；(2) 1)1232(lim +∞→++x x x x ；(3) 3111limxx x --→；(4) )1sin sin (lim 0xx x x x ++→； (5) )2sin(lim x x x -++∞→；(6) xx x x 1sin53lim2-∞→.解 (1)由于讨论函数xx x x x f tan 222)(cos sin )(++=在4π=x 处有定义，而且在4π=x 处连续，所以有 ])(cos sin [lim tan 2224πx x x x x ++→4πtan 222)4π(cos )4π(sin )4π(++= 222)22()22(16π++= 116π2+=． (2)123lim()21x x x x +→∞++ 1212lim()21x x x x +→∞++=+12lim(1)21x x x +→∞=++ （这是∞1型，设法将其化为口口）口（11lim +∞→）11221lim(1)12x x x ++→∞=++2121)2111(lim )2111(lim ++⋅++=∞→+∞→x x x x x212121)]2111(lim [)2111(lim ++++=∞→+∞→+x x x x x211e ⋅= e =．(3)1x → （这是00型未定式）21(11x →⎡⎤++=21(1)1x x →⎡⎤-+=（分子、分母均含非零因子1-x ）21x →=32=． (4) )1s i n s i n (lim 0xx x x x ++→ xx x x x x 1sin lim sin lim 00++→→+= 01+=1=．需要注意，01sinlim 0=+→xx x 是由于x 为+→0x 时的无穷小量，x 1sin ≤1，即x 1sin 为有界函数，所以x x1sin为+→0x 时的无穷小.(5)lim x →+∞sin lim x →+∞= (函数符号与极限符号交换)sin x =sin limx =0s i n = 0=． (6)235lim1sinx x x x→∞- (35)lim11(sin )x x xx x→∞-= （适当变形）lim (35)11lim (sin )x x x xx x→∞→∞-=（利用商的极限公式）105lim (3)111lim (sin )x xx x x →∞→-= （利用重要极限1sin lim 0=→口口口） 3=例2 设⎪⎩⎪⎨⎧<+>=,0,,0,1sin )(22x x a x x x x f 问a 为何值时)(lim 0x f x →存在，并求此极限值. 解 对于分段函数，讨论分段点处的极限.由于函数在分段点两边的解析式不同，所以，一般先求它的左、右极限.01sin lim )(lim 200==++→→xx x f x x ，a x a x f x x =+=--→→)(lim )(lim 20．为使)(lim 0x f x →存在，必须即),(lim )(lim 0x f x f x x -+→→=0=a .因此，0=a 时，)(lim 0x f x →存在且0)(lim 0=→x f x ．例3 设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<--≥+=,0,,0,2cos )(x x x a a x x x x f 问当a 为何值时，0=x 是)(x f 的间断点? 是什么间断点?解0lim ()lim x x f x x--→→=lim x -→=lim x -→=lim x -→==，212cos lim )(lim 0=+=++→→x x x f x x ，当ax f x f x x 2121)(lim )(lim 0≠≠-+→→，即，亦即1≠a 时，0=x 是)(x f 的间断点；由于a 为大于0的实数，故)0()0(-+f f 与均存在，只是)0()0(-+≠f f ，故0=x 为)(x f 的跳跃间断点.例 4 已知 011lim 2=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--++∞→b ax x x x ，求b a ,的值. 解 因为 )11(lim 2b ax x x x --++∞→ 2(1)()1lim 1x a x a b x bx →∞--++-=+0=，由有理函数的极限知，上式成立，必须有2x 和x 的系数等于0,即⎩⎨⎧=+=-001b a a ，于是1,1-==b a .四、练习题⒈ 判断正误⑴ 若函数)(x f 在0x 处极限存在，则)(x f 在0x 处连续. ( × ) 解析 函数在一点连续，要求函数在该点极限存在，且极限值等于该点函数值．如函数⎩⎨⎧=≠=,0,1,0,)(x x x x f 0lim )(lim 00==→→x x f x x ，即函数)(x f 在0=x 处极限存在；但1)0(0)(lim 0=≠=→f x f x ，所以函数⎩⎨⎧=≠=0,1,0,)(x x x x f 在0=x 处不连续． ⑵分段函数必有间断点. ( × )解析 分段函数不一定有间断点．如函数⎩⎨⎧<-≥=0,,0,)(x x x x x f 是分段函数，()0lim )(lim 00=-=--→→x x f x x ，0lim )(lim 0==++→→x x f x x ，所以0)(lim 0=→x f x ；又因为0)0(=f ，即)0()(lim 0f x f x =→，所以函数)(x f 在0=x 处连续，无间断点．⑶x 3tan 与x 3sin 是0→x 时的等价无穷小. ( √ ) 解析 13cos 1lim 3sin 3tan lim00==→→xx x x x ，由等价无穷小的定义，x 3tan 与x 3sin 是0→x 时的等价无穷小．⑷无界函数不一定是无穷大量. ( √ ) 解析 无穷大必无界，但反之不真．如函数x x x f cos )(=，当∞→x 时是无界函数；但若取2ππ2+=n x ，∞→x （∞→n ）时0cos )(==x x x f ，不是无穷大量． 2.选择题⑴下列极限存在的是( B )(A) xx 4lim ∞→; (B) 131lim 33-+∞→x x x ; (C) xx ln lim 0+→; (D) 11sin lim 1-→x x . 解析 (A)04lim =-∞→x x ，+∞=+∞→x x 4lim ， 所以xx 4lim ∞→不存在；(B)311311lim 131lim 3333=-+=-+∞→∞→xx x x x x ，极限存在； (C)-∞=+→x x ln lim 0，所以x x ln lim 0+→不存在；(D)1→x 时，01→-x ，∞→-11x ，所以11sin lim 1-→x x 不存在．⑵已知615lim=-+∞→x ax x ,则常数=a ( C ).(A) 1； (B) 5 ； (C) 6 ； (D) -1.解析 611515lim==-+=-+∞→a xx a x ax x ，所以 6=a ． ⑶xx f 12)(=在0=x 处 ( C ).(A) 有定义； (B) 极限存在； (C) 左极限存在； (D) 右极限存在.解析 因xx f 12)(=，在0=x 处无定义，02lim )(lim 100==--→→xx x x f ，即xx f 12)(=在0=x 处左极限存在，+∞==++→→x x x x f 1002lim )(lim ，即xx f 12)(=在0=x 处右极限不存在，由极限存在的充要条件，可知函数xx f 12)(=在0=x 处的极限不存在． ⑷当+∞<<x 0时，xx f 1)(=( D ). (A)有最大值与最小值; (B)有最大值无最小值;(C)无最大值有最小值; (D)无最大值无最小值. 解析 xx f 1)(=在()+∞,0上是连续函数，图形如下：所以当+∞<<x 0时，xx f)(=无最大值与最小值． 3.填空题(1)已知b a ,为常数，3122lim2=-++∞→x bx ax x ，则=a 0 ，=b 6 ； 解 ∞→x 时极限值存在且值为3，则分子、分母x 的最高次幂应相同，所以0=a ，那么 32122lim 122lim 122lim 2==-+=-+=-++∞→∞→∞→b xx b x bx x bx ax x x x ，所以6=b ． (2)23)(2+-=x x x f 的连续区间是(][)∞+∞-,21, ；解 由0232≥+-x x ，知函数)(x f 的定义区间为(][)∞+∞-,21, ．又因为初等函数在其定义区间上连续，所以23)(2+-=x x x f 的连续区间是(][)∞+∞-,21, ．(3)0=x 是xxx f sin )(=的 可去 间断点; 解 0=x 时，函数xx x f sin )(=无定义，但1sin lim 0=→x xx ，极限存在，所以0=x 是xxx f sin )(=的可去间断点． (4)若a x x =∞→)(lim ϕ(a 为常数)，则=ϕ∞→)(elim x x ae ．解 由复合函数求极限的方法，a x x x x e e elim )(lim )(==ϕϕ∞→∞→．4.解答题⑴ θθθθsin cos 1lim0-→； 解一 θθθθsin cos 1lim0-→2cos2sin22sin 2lim 20θθθθθ→=2cos2122sinlimθθθθ⋅=→2cos21lim10θθ→⋅=21=． 解二 无穷小量的等价代换，由于0→θ时，2~cos 1,~sin 2θθθθ-，所以 θθθθsin cos 1lim0-→θθθθ⋅=→2lim 2021= ．⑵ 设x x f ln )(=，求 1)(lim1-→x x f x ； 解由无穷小量的等价代换，1→x 即01→-x 时，()[]1~11ln ln )(--+==x x x x f ，所以 111lim 1ln lim 1)(lim111=--=-=-→→→x x x x x x f x x x ． ⑶ x xx sin elim -+∞→；解 +∞→x 时，x-e是无穷小量，x sin 是有界变量．因为有界变量乘无穷小量仍是无穷小量，所以 0sin elim =-+∞→x xx ．⑷ 设⎩⎨⎧>-≤=,1,56,1,)(x x x x x f 试讨论)(x f 在1=x 处的连续性，写出)(x f 的连续区间；解 1lim )(lim 11==--→→x x f x x ，()156lim )(lim 11=-=++→→x x f x x ，所以1)(lim 1=→x f x ．且1)1(=f ，即)1()(lim 1f x f x =→，所以函数)(x f 在1=x 处连续．又因为当1≤x 时函数x x f =)(连续，当1>x 时函数56)(-=x x f 也连续，所以函数)(x f 的连续区间为()∞+∞-,．⑸ 设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<=,0,sin ,0,1,0,e )(x xxx x x f x求)(lim ),(lim 00x f x f x x +-→→,并问)(x f 在0=x 处是否连续；解 1e lim )(lim 0==--→→xx x x f ，1sin lim )(lim 0==++→→xxx f x x ，所以1)(lim 0=→x f x ．且1)0(=f ，即)0()(lim 0f x f x =→，所以函数)(x f 在0=x 处连续．⑹ 讨论1e 1e )(11+-=xxx f 的间断点；解 0=x 时，函数无定义，所以0=x 为函数的间断点．因为11e 1e lim )(lim 110-=+-=--→→xxx x x f ，1e1e 1lim 1e 1e lim )(lim 110110=+-=+-=--→→→+++xxx xxx x x f ，即)(lim )(lim 0x f x f x x +-→→≠，所以0=x 为函数1e 1e )(11+-=xx x f 的跳跃间断点．(7) 求xx x 2sin )1ln(lim0+→；解 由无穷小量的等价代换，0→x 时，x x x x 2~2sin ,~)1ln(+所以 212lim 2sin )1ln(lim00==+→→x x x x x x ．(8) 试证方程135=-x x 至少有一个根介于1和2之间.证 设函数13)(5--=x x x f ，则)(x f 在[]2,1上连续，且3)1(-=f ，25)2(=f ，即区间端点函数值异号．由根的存在定理，至少存在一点[]2,1∈ξ使得0)(=ξf ，即方程135=-x x 至少有一个根介于1和2之间．。