第10章 结构动力学

度 法
m m11
yቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ(t) 2 y(t) 0
Ｆm＝y(１t) m 11
l EI
二阶线性齐次常微分方程
y(t) 11 F y(t) 11[my(t)]
11

1 k11
柔 度 法
其通解为
y(t) c1 cost c2 sin t
由初始条件 y(0) y0 y(0) y0
第二，结构在动荷载作用下，产生抵抗结构加速度的 惯性力。动力计算必须考虑惯性力。
4、结构动力计算中体系的自由度
自由度的定义
确定体系中所有质量位置所需的独立几何参数，称 作体系的动力自由度数。
自由度的简化
实际结构都是无限自由度体系，这不仅导致分析困难， 而且从工程角度也没必要。常用简化方法有：
结构动力学的研究内容 结构动力学是研究工程结构的动力特性及其在动荷载
作用下的动力反应分析原理和方法的一门理论和技术学科。
结构动力学的任务 讨论结构在动力荷载作用下反应的分析的方法。
寻找结构固有动力特性、动力荷载和结构反应三者间 的相互关系，即结构在动力荷载作用下的反应规律，为结 构动力可靠性设计、保证结构的经济与安全以及结构健康 诊断提供科学依据。
或者
y
ky
F P(t)
y 2 y FP (t)
m
上式就是单自由度体系强迫振动的微分方程
1、简谐振动作用时的强迫振动
运动方程及其解
F(t)
F(t) F sin t
l
F --荷载幅值 --荷载频率
运动方程
my(t) k11y(t) F sin t
或
y(t) 2 y(t) F sin t m

= =
C1 sin ωt + C1ω cosωt
C2 cos
− C2ω
ωt
sin
ωt
得：⎧⎪C2 = y0
⎨ ⎪⎩C1
=
y0
ω
于是：
y=
y0
ω
sin ωt +
y0
cos ωt
进一步可确定式 y = C sin(ωt + φ) 中的C和φ
⎧ ⎪C = ⎪
C12 +C22 =
y02
+(
y0
ω
)2
⎨
⎪⎪⎩φ
第10章 结构动力学
本章内容的基本要求
本章课程的任务是使学生了解和掌握结构的动力特性和动力响应 的计算分析方法 ，具体为：
（1）掌握结构动力分析的基本方法，掌握单自由度及两自由度体 系的自由振动及其在简谐荷载作用下的强迫振动的计算方法 ；
（2）了解阻尼的作用，了解频率的近似计算方法。
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10-1 动力计算概述
φ
C2
C1
y
2π
ω
Cφ
C
φ
ωt
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3、几个术语
（1）周期：振动一次所需的时间。
（2）工程频率
T = 2π ω
单位时间内的振动次数（与周期互为倒数）。
f=1= ω T 2π
（3）频率（圆频率）
旋转向量的角速度，即体系在2π秒内的振动 次数。自由振动时的圆频率称为“自振频率”。
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自振频率是体系本身的固有属性，与体系的 刚度、质量有关，与激发振动的外部因素无关。
P(t)
固端弯矩 M = PL
自由端位移 w = Pδ1 δ1: 单位荷载下的位移

例. 计算图示体系的自振频率。
m1 m
A l /2 l B EI= k C
解：单自由度体系，
1 m2 m 3
D l /2
以表示位移参数的幅值,
各质点上所受的力为：
A1
. .
m1
B

k
C
m2
.A .
2
l I1 m1 2 A1 m 2 2 1 2 2 3 I 2 m2 A2 m l 3 2 1 m 2 l 2
动力荷载
FI my
k 弹簧刚度系数
FI FD FS Fp (t ) my(t ) cy(t ) ky(t ) Fp (t )
第10章 结构动力学
重力影响
k c
Fs k st
FD cy Fs ky
m W
m
W
Fp(t) y(t) 静位移
st
V
l /2
l /2
1
A,E,I
E,I
E,A

l3 ml 3 48 EI T 2 3 48 EI ml 48 EI
H
1 m H
l
V
1 m V
第10章 结构动力学
例3.计算图示刚架的频率和周期。
1
m EI1= I
6 EI h2 6 EI h2
k
12 EI h3
Fp (t ) k y y 4m 2m
第10章 结构动力学
1 k 2 m
例2
A l/2 l/2
B l/2 l/2
FI my
C m y
F 1
1 1 l 2 l 1 l l 2 l l3 11 ( l ) EI 2 2 3 2 2 2 2 3 2 8EI l3 y (my) 11 (my) 8EI

由此可知，体系的自由振动由两部分组成：一部分由初位移 y 0 引
0 引起，变现为正弦规律 起，表现为余弦规律；另一部分由初速度 y
[图10-13(a)、(b)]，两者叠加为简谐振动[图10-13(c)]。
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图10-13
令
y0 A sin
（d）
目录

则有
0 y
A cos
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图10-8 简支梁的广义位移
3. 有限单元法 有限元法是将实际结构离散成有限个单元，对每个单元给定插
目录
值函数，然后叠加单元在各个相应结点的贡献建立系统求解方程。 有限单元法根据基本未知量选取的不同，分为位移有限元法、应力
有限元法和混合有限元法。其中，位移有限元方法应用最广。
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在确定结构震动自由度时，应注意不能根据结构有几个集中 质量就判定它有几个自由度，而应该由确定集中质量位置所需的独
小，如图10-2。例如打桩机的桩锤对桩的冲击、各种爆炸荷载等。
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图10-2 冲击荷载
（3）突加荷载。在一瞬间施加于结构上并继续留在结构上的荷载， 如图10-3。例如吊重物的起重机突然启动时施加于钢丝绳的荷载就 是这种突加荷载。
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图10-3 突加荷载
（4）快速移动荷载。例如高速通过桥梁的列车、汽车等。
普通高等学校土木工程专业精编系列规划教材
结构力学
主编 丁克伟
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10 结构动力学
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目录
目录
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10.1 结构动力学计算基本概念 10.2 自由度结构自由振动 10.3 简谐荷载作用下的单自由度体系受迫振动 10.4 一般荷载作用下的单自由度体系受迫振动

（1）重力 W 为静力荷载
（2）弹性恢复力 S(t) k[ y jw y(t)] 与位移成正比，方向与位移指向相
反的。在k质为点刚上度R所(系t加)数的，c力其y• (意t) 义是使质点沿位移方向产生的单位位移时所需
（3）阻尼力
•• 与质点的速度成正比，方向与速度相反。c为
粘滞阻尼系I (数t) 。 m y(t)
my(t) cy(t) ky(t) 0
当动力位移由质点的静力平衡位置算起时，可不考虑质点的重力。
（二）柔度法：取振动体系为研究对象。
I (t) R(t)
FP 1
m y(t)
δ（柔度 系数）
按动静法，体系的动力位移可看为是由于惯性力和阻尼力静力作 用所引起的可得方程：
y(t) [I(t) R(t)]
10.1 一般概念
一、结构的动力荷载及分类
动力荷载：是指荷载的大小、方向、位置随时间迅速变化的 荷载；它使结构质量产生不容忽视的加速度，使结构发生明 显的振动，即在平衡位置附近往返运动。
静力荷载：是指荷载的大小、方向、位置不随时间变化的荷 载；同时考虑其对结构的影响来看，如果荷载变化极其缓慢， 使结构质量产生的加速度可以忽略不计时，仍属于静力荷载
T
T
T
（二）自振周期与频率
自振频率（圆频率）
自振周期
T 2
k 1 g g m m W st
T 2π m 2π mδ 2π Wδ 2π Δst
动静法 根据达朗贝尔（d’Alembert)原理，设想将惯性力I(t)加
于振动体系的质点上，则任一瞬时体系中的实际各力与惯 性力处于平衡状态。
三、 动力计算简图和动力自由度
动力计算中要引入惯性力，因此计算简图要考虑质量的 分布。

0
0
N
其中，ωn— 第n阶自振频率，{φ}n—第 n阶振型。
[Φ]和[Ω]也分别称为振型矩阵和谱矩阵。
13
5 DOF with uniform mass and stiffness
5 DOF Base Isolated 14
15
5 DOF with uniform mass and stiffness
k22 2m22 k2N 2m2n 0
k N1 2mN1 k N 2 2mN 2 k NN 2mNN
10
对于N个自由度的稳定结构体系，频率方程是关于ω2的 N次方程，
a N ( 2 ) N a N 1 ( 2 ) N 1 a1 2 a 0 0
由此可以解得N个正实根（ω12<ω22<ω32…<ωN2）。 ωn(n=1, 2, …, N)即为体系的自振频率。其中量值最小的 频率ω1叫基本频率(相应的周期T1=2π/ω1叫基本周期)。 从以上分析可知，多自由度体系只能按一些特定的频 率即按自振频率做自由振动。按某一自振频率振动时，结 构将保持一固定的形状，称为自振振型，或简称振型。
上述齐次方程组有非零解条件为：系数行列式为零
A [I ] 0
N×N矩阵[A]一般将有N个特征值，对应N个特征向量
6
§10-2 多自由度体系的自由振动
多自由度体系无阻尼自由振动的方程为：
M u K u 0
其中：[M]、[K]为N×N阶的质量和刚度矩阵 {u}和{ü}是N阶位移和加速度向量 {0}是N阶零向量
11
把相应的自振频率ωn代入运动方程的特征方程得到振型
K n 2 M n 0
{φ}n={φ1n, φ2n , …, φNn }T—体系的第n阶振型 。 ➢ 由于特征方程的齐次性(线性方程组是线性相关的)，振型向量 是不定的，只有人为给定向量中的某一值，例如令φ1n=1，才能确 定其余的值。 ➢ 实际求解时就是令振型向量中的某一分量取定值后才能求解。 虽然令不同的分量等于不同的量，得到的振型在量值上会不一样， 但其比例关系是不变的。

5.与其它课程之间的关系
结构动力学以和数学为基础。 要求熟练掌握已学过的知识和数学知识（微分方程的求解）。 结构动力学作为结构抗震、抗风设计计算的基础。
2014-1-10
第10章
10.2体系的动力自由度
1.动力自由度的定义
动力问题的基本特征是需要考虑惯性力，根据达朗贝尔（D‘Alembert Jean Le Rond）原理，惯性力与质量和加速度有关，这就要求分析质量分布和质量位 移，所以，动力学一般将质量位移作为基本未知量。 确定体系中全部质量位置所需要的独立几何参数数目，成为体系的动力自由 度。
4 ( x) sin
2014-1-10
…
广义坐标法是一种数学简化方法
第10章
10.2体系的动力自由度
有限单元法：
可以看作是分区的广义坐标法，其要点与静力问题一样，是先把结构划分 成适当数量的区域（称为单元），然后对每一单元施行广义坐标法。详见 有限单元法参考资料，这里不再赘述。 一般地说，有限元法是最灵活有效的离散化方法，它提供了既方便又可靠 的理想化模型，并特别适合于用电子计算机进行分析，是目前最为流行的 方法，已有不少专用的或通用的程序可供结构动力学分析之用。 有限单元法也是一种数学简化方法
2014-1-10
第10章
10.1 概述
2.动力荷载及其分类
动力荷载分类方法有很多种，常见的是按动力作用随时间的变化规律来分。 周期性荷载：其特点是在多次循环中荷载相继呈现相同的时间历程。如旋 转机械装置因质量偏心而引起的离心力。 周期性荷载又可分为简谐荷载和非简谐周期荷载，所有非简谐周期荷载均 可借助Fourier级数分解成一系列简谐荷载之和。 冲击和突加载荷： 其特点是荷载的大小在极短的时间内有较大的变化。冲 击波或爆炸是冲击载荷的典型来源；吊车制动力对厂房的水平作用是典型 的突加荷载。 随机载荷：其时间历程不能用确定的时间函数而只能用统计信息描述。风 荷载和荷载均属此类。对于随机荷载，需要根据大量的统计资料制定出相 应的荷载时间历程（荷载谱）。 前两种荷载属于确定性荷载，可以从运动方程解出位移的时间历程并进一 步求出应力的时间历程。 随机荷载属于非确定性荷载，只能求出位移响应的统计信息而不能得到确 定的时间历程，因而~92层之间有一颗巨 大的‘金色大球’，由实 心钢板堆焊而成，直径约 5.4米，重达680吨，价值 400W美元。其实质是调质 阻尼器TMD（Tuned Mass Damper），作用是减轻飓 风、地震给大楼带来的震 动。

独立参数也称为体系的广义坐标，可以是位移、转角或 其它广义量。
质量块mg 无质量弹簧k
(a) 弹簧－质点
2ust
动力反应
u
(b) 静力和动力反应
静力问题和动力问题位移反应的区别
1.4 结构离散化方法
离散化：把无限自由度问题转化为有限自由 度的过程
三种常用的离散化方法： 1、集中质量法、 2、广义坐标法、 3、有限元法。
F (t) = Asinωt F (t) = Acosωt F (t) = Asin(ωt − φ)
可以是机器转动引起的不平衡力等。
p(t)
t
(a) 简谐荷载
1.2 动力荷载的类型
（2）非简谐周期荷载
荷载随时间作周期性变化，是时间t的周期函数，但不
能简单地用简谐函数来表示。 例如：平稳情况下波浪对堤坝的动水压力；轮船螺旋 桨产生的推力等。
n =1
nπx
L
sin(.)— 形函数（形状函数），给定函数，满足边界条件；
bn(t)— 广义坐标，一组待定参数，对动力问题是作为时间的函数。
∑ u( x, t )
=
N n =1
bn
(t)
sin
nπx
L
2、广义坐标法
悬臂梁：
x
(b) 悬臂梁
用幂级数展开：
∞
∑ u(x) = b0 + b1x + b2 x2 + L = bn xn n=0
结构动力学和静力学的本质区别：考虑惯性力的影响
结构产生动力反应的内因（本质因素）：惯性力
惯性力的产生是由结构的质量引起的，对结构中质量位 置及其运动的描述是结构动力分析中的关键，这导致 了结构动力学和结构静力学中对结构体系自由度定义 的不同。

ch
0 0
0
kh(t)dt
0
0
(t)dt
0
或： m h(0 ) h(0 ) c h(0 ) h(0 ) kh( )(0 0 ) 1
即： mh(0) ch(0) 1 (1)
积分两次：
0
dt
t mhdt
0
dt
t chdt
0
dt
t
kh(t)dt
0
t
dt (t)dt
t
x(t) h(t )y( )d y(t) * h(t)
卷积积分
此式也可以由上页的(*)式推出：
y(t)
y( )
t
t
此式也可以由上页的(*)式推出：
x(t) 1
2
H
(
)
y(t)eit dteit d
1
2
H
(
)
y( )ei d eit d
1
2
y( )
H
(
)e
当t 0时， (t)＝0，故有
mh ch kh 0 或 h 2nh n2h 0
其通解为： h(t) en t ( A cosd t B sin d t)
积分常数A和B由初始条件确定
则： mh ch kh (t) (*)
对(*)式两边从0-到0+积分两次
积分一次：mh 0 0
2
或： 1 e－itdt 2 ()
故： 1
2
() 或：1
2 ()
同样： 1 ei0 t
2
( 0 )
1 ei0 t
2
( 0 )
(3)脉冲响应函数
实际上，在第四章瞬态振动一章已经求过h(t)。 求h(t)的步骤如下： ①建立系统运动微分方程