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第2章 结构动力学基础(新版)

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结构动力学第二章 运动方程的建立

结构动力学第二章 运动方程的建立

h—框架结构的高度 E—弹性模量 Ib和Ic—梁和柱的截面惯性矩
ρ→∞：
k
24EIc h3
ρ→0
：
k
6EIc h3
2.1 基本动力体系
3. 阻尼力（Damping Force）
阻尼：引起结构能量的耗散，使结构振幅逐渐变小的一种作用 阻尼来源（物理机制）： (1)固体材料变形时的内摩擦，或材料快速应变引起的热耗散； (2)结构连接部位的摩擦，结构构件与非结构构件之间的摩擦； (3)结构周围外部介质引起的阻尼。例如，空气、流体等。
非保守力做功的变分等于0。
t2 (T V )dt t2 Wncdt 0
t1
t1
Wnc Pncju j
j
其中：
T —— 体系的总动能； V —— 体系的位能，包括应变能及任何保守力的势能； Wnc—— 作用于体系上非保守力（包括阻尼力及任意外荷载）所做的功； δ —— 指（在指定时间段内）所取的变分。
p(t) fI fD fs 0 fI mu fD cu fs ku
mu cu ku p(t)
图2.8 单质点体系的受力分析
2.2 运动方程的建立
3. 虚位移原理
虚位移原理的优点：虚位移原理是建立在对虚功分析的基础之 上，而虚功是一个标量，可以按代数方式运算，因 而比Newton第二定律，或D’Alembert原理中需要采 用的矢量运算更简便。
对如下图所示结构体系，用虚位移原理建立方程更简便一些
2.2 运动方程的建立
4. Hamilton原理
应用变分法来建立结构体系的运动方程。 动力学中广泛应用的变分法是Hamilton原理 体系的平衡位置是体系的稳定位置，在稳定位置，体系的能量取得极值, 一般是极小值。

结构动力学基础

结构动力学基础

m l/ 5
m l/ 5
m l/ 5
m l/ 5
0
1
2
3
4
5
l/5
0
l/5
1y = 1 1 φ1(x) 2
l/5
3
l/5
4
l/5
5
0
2 θ1 = 1 1 φ (x) 2
3
4
5
如图10-9a中，梁分为5个单元，取结点位移参数（挠度y 和转角θ）作为 广义坐标。在图10-9a中取中间四个结点的八个位移参数 y1、θ1，y2、θ2，y3、 θ3，y4、θ4 作广义坐标。
T
sin t
(10 3)
(10 4)
0 -y y T
t
y cos t
v v
y A

0
t

v
sin t
T t
0
A sin t
-A
3、结构的自振周期
由式
A

y (t ) A sin(t ) 及图，可见位移方程是一个周期函数。 2 y T 周 期： T
⑶ 是结构动力特性的重要数量标志。
泛美大厦，60层 钢结构，南北方向 的基本固有周期为 2.90秒，
大坝，400英尺高的混凝土重力坝的基 本固有周期由强迫振动试验测得在蓄水 为310英尺和345英尺十分别为0.288秒 和0.306秒，
金门大桥，金门大桥桥墩跨距1280.2米全桥总 长2737.4米的悬索桥，其横向振动的基本基本固 有周期为18.20秒，竖向振动的基本基本固有周期 为10.90秒，纵向振动的基本基本固有周期为3.81 秒，扭转振动的基本基本固有周期为4.43秒

第二章结构动力学分析动力学基础及运动方程的建立

第二章结构动力学分析动力学基础及运动方程的建立
1 (t ) c1 c2 m1 0 u 2 (t ) c2 0 m2 u 1 k1 k 2 c2 u 2 k2 c2 u k 2 u1 0 k 2 u 2
K u P M u
动力平衡法的步骤
1）分析体系各质点所受的真实力和假想惯性力； 2）沿质点各自由度方向列出平衡方程。
动力平衡法的优点
把动力问题变成了人们所熟悉的静力问题。
2.2 运动方程的建立
2.2.2 虚位移原理
虚位移原理：如果一个平衡的体系在一组力的作用 下承受一个虚位移，即体系约束所允许的任何微小 位移，则这些力所作的总功等于零。 虚位移：满足体系约束条件的无限小位移。 理想约束：在任意虚位移下，约束反力所作虚功之 和等于零。
描述体系在运动过程中任意时刻全部质点的位置所需要的独 立几何参数的数目。
y2
y1
平面上的质点 W=2
非刚性悬臂 W=2
EI
刚性梁 W=1
四层结构 W=4
图2.1 动力自由度的确定
几个值得注意的问题
1. 弹性体系的振动自由度
描述体系的振动，需要确定体系中全部质量在任一瞬 时的位置，为此所需要的独立坐标数就是弹性体系振动的 自由度。值得注意的是：体系中集中质量的个数不一定等 于体系振动的自由度，自由度数目与计算假定有关，而与 集中质量数目和超静定次数无关。
d T T V ( ) Q j (t ) , j 1, 2, , n dt q j q j q j

t2
t1
(T V )dt

t2
t1
Wnc d建立体系的运动方程 体系的动能
T

1 2 12 m2 u 2 m1u 2

结构动力学基础理论

结构动力学基础理论

第四章
运动方程的建立
y (t)
单自由度 体系模型
c m k
F (t)

质量块m，用来表示结构的质量和惯性特性 自由度只有一个：水平位移y(t) 无重弹簧，刚度为 k，提供结构的弹性恢复力 无重阻尼器，阻尼系数c，表示结构的能量耗散，提供结构的阻尼力 随时间变化的荷载F(t)
单自由度体系运动方程的建立（直由度数为单元节点可发生的 独立位移未知量的总个数。 综合了集中质量法和广义坐标法的某些特点，是最灵活有效的 离散化方法，它提供了既方便又可靠的理想化模型，并特别适 合于用电子计算机进行分析，是目前最为流行的方法。 已有不少专用的或通用的程序（如SAP，ANSYS等）供结构分 析之用。包括静力、动力 和稳定分析。

代入：


单自由度无阻尼体系运动方程的解：
v(t )
0 v

sint v0 cost
（3-11）
第六章 简谐振动荷载反应
谐振荷载：
p (t )
k 1

则组合系数Ak(t)称为体系的广义坐标。
nπ x ( x ) bn sin l n 1
广义坐标 位移函数

广义坐标表示相应位移函数的幅值，是随时间变化的函数。 广义坐标确定后，可由给定的位移函数确定结构振动的位移曲线。 以广义坐标作为自由度，将无限自由度体系转化为有限个自由度。
1.3 动力荷载类型
概念：动荷载是时间的函数！
分类： 确定性荷载 动荷载 非确定性荷载
周期性荷载 非周期性荷载
确定性荷载：荷载的变化是时间的确定性函数。
FP
例如： 简谐荷载
t
FP
冲击荷载
t

结构动力学第二章

结构动力学第二章

∂T ∂V d ∂T ( )− + = Pncj (t ), & dt ∂u j ∂u j ∂u j
其中： T —— 体系的动能；
j = 1,2,L , N
V —— 体系的位能，包括应变能及任何保守力的势能； Pncj ——与 uj 相应的非保守力（包括阻尼力及任意外荷载）。
– 红色部分为引入动力自由度概念的目的，蓝色部分为实 现此目的的手段。 – 概念中的“全部”、“独立”两个条件非常关键。
• 严格来说，所以结构体系质量都是连续分布的，为无限自 由度体系，研究比较困难。但许多情况下，可以作一定的 简化，变为有限自由度体系。 • 简化并确定结构动力自由度最典型的方法：集中质量法
动能
1 & mu 2 转动质量 2
T =
1 &2 Jθ 2
1 2 V = ku 转动弹簧 2
1 &2 V = kθ θ 2
位能
1 1 & & &j T = ∑ ∑ mij u i u j = ∑ m j u 2 2 i j 2 j
V =
1 ∑ ∑ kij ui u j 2 i j
∫
1 体系的动能：T = mu 2 & 2
粘滞(性)阻尼力可表示为：
& f D = -cu
D — 表示阻尼（damping） c — 阻尼系数（Damping coefficient）
k c
u m
f S(t) m f D(t) f I (t)
& u — 质点的运动速度
阻尼系数 c 的确定：
• 不能像结构刚度 k 那样可通过结构几何尺寸、构件尺寸等 来获得，因为 c 是反映了多种耗能因素综合影响的系数， 阻尼系数一般是通过结构原型振动试验的方法得到。 • 粘性（滞）阻尼理论仅是多种阻尼中最为简单的一种。 • 其它常用的阻尼：

结构动力学

结构动力学

第一章概述1．动力荷载类型：根据何在是否随时间变化，或随时间变化速率的不同，荷载分为静荷载和动荷载根据荷载是否已预先确定，动荷载可以分为两类：确定性（非随机）荷载和非确定性（随机）荷载。

确定性荷载是荷载随时间的变化规律已预先确定，是完全已知的时间过程；非确定性荷载是荷载随时间变化的规律预先不可以确定，是一种随机过程。

根据荷载随时间的变化规律，动荷载可以分为两类：周期荷载和非周期荷载。

根据结构对不同荷载的反应特点或采用的动力分析方法不同，周期荷载分为简谐荷载（机器转动引起的不平衡力）和非简谐周期荷载（螺旋桨产生的推力）；非周期荷载分为冲击荷载（爆炸引起的冲击波）和一般任意荷载（地震引起的地震动）。

2．结构动力学与静力学的主要区别：惯性力的出现或者说考虑惯性力的影响3．结构动力学计算的特点：①动力反应要计算全部时间点上的一系列解，比静力问题复杂且要消耗更多的计算时间②于静力问题相比，由于动力反应中结构的位置随时间迅速变化，从而产生惯性力，惯性力对结构的反应又产生重要的影响4．结构离散化方法：将无限自由度问题转化为有限自由度问题集中质量法：是结构分析中最常用的处理方法，把连续分布的质量集中到质点，采用真实的物理量，具有直接直观的优点。

广义坐标法：广义坐标是形函数的幅值，有时没有明确的物理意义，但是比较方便快捷。

有限元法：综合了集中质量法与广义坐标法的特点，是广义坐标的一种特殊应用，形函数是针对整个结构定义的；有限元采用具有明确物理意义的参数作为广义坐标，形函数是定义在分片区域的。

①与广义坐标法相似，有限元法采用了形函数的概念，但不同于广义坐标法在全部体系(结构)上插值(即定义形函数),而是采用了分片的插值(即定义分片形函数)，因此形函数的公式(形状)可以相对简单。

②与集中质量法相比，有限元法中的广义坐标也采用了真实的物理量，具有直接直观的优点。

5．结构的动力特性：自振频率、振型、阻尼第二章分析动力学基础及运动方程的建立1．广义坐标：能决定质点系几何位置的彼此独立的量；必须是相互独立的参数2．约束：对非自由系各质点的位置和速度所加的几何或运动学的限制；(从几何或运动学方面限制质点运动的设施)3．结构动力自由度，与静力自由度的区别：结构中质量位置、运动的描述动力自由度：结构体系在任意瞬间的一切可能的变形中，决定全部质量位置所需要的独立参数的数目静力自由度：是指确定体系在空间中的位置所需要的独立参数的数目为了数学处理上的简单，人为在建立体系的简化模型时忽略了一些对惯性影响不大的因素确定结构动力自由度的方法：外加约束固定各质点，使体系所有质点均被固定所必需的最少外加约束的数目就等于其自由度4．有势力的概念与性质：有势力（保守力）：每一个力的大小和方向只决定于体系所有各质点的位置，体系从某一位置到另一位置所做的功只决定于质点的始末位置，而与各质点的运动路径无关。

刘晶波结构动力学课件21w

刘晶波结构动力学课件21w
线弹性体系：由线性弹簧(或线性构件)组成的体 系。
—最简单的理想化力学模型。
阻尼弹性体系：当线弹性系统中进一步考虑阻尼 影响时
15/45
2.1 基本概念
阻尼系数 c 的确定： 不能像结构刚度k那样可通过结构几何尺寸、构件尺寸和
材料的力学性质等来获得，因为c是反映了多种耗能因 素综合影响的系数，阻尼系数一般是通过结构原型振 动试验的方法得到。 粘性(滞)阻尼理论仅是多种阻尼中最为简单的一种。 其它常用的阻尼： 摩擦阻尼：阻尼力大小与速度大小无关，一般为常数； 滞变阻尼：阻尼力大小与位移成正比(相位与速度相同)； 流体阻尼：阻尼力与质点速度的平方成正比。
方向指向体系的平衡位置。
fs ku
fs
k
1
a
d
-u0
O
b
u u0
fs k
1
u
s— 表示弹簧(Spring)
c
(a)
k— 弹簧的刚度(Spring Stiffness)
u— 质点位移
(b)
11/45
2.1 基本概念
2.1.5 惯性力（Inertial Force）
惯性：保持物体运动状态的能力。 惯性力：大小等于物体的质量与加速度的乘积，
动力自由度的定义：结构体系在任意瞬时的一切可能的 变形中，决定全部质量位置所需的独立参数的数目称 为结构的动力自由度(数)。
4/45
2.1.1 广义坐标与动力自由度
静力自由度：确定结构体系在空间中位置所需的独立参 数的数目称为结构的自由度。
动力自由度：决定结构体系质量位置所需的独立参数的 数目称为结构的动力自由度(数)。
结构动力学
教师：刘晶波 助教：王东洋
清华大学土木工程系 2015年秋

结构动力学基础全文

结构动力学基础全文

2
目
录
第一章 结构动力学简述...............................................................................................................1 第二章 动力学原理.......................................................................................................................3 §2-1 约束 ....................................................................................................................................3 2-1-1 完整约束 .................................................................................... 错误！未定义书签。 2-1-2 非完整约束 ................................................................................ 错误！未定义书签。 §2-2 广义力 ................................................................................................................................3 §2-3 达朗贝（D′ALEMBERT）原理 ........................

[美]R.克里夫《结构动力学》补充详解及习题解

[美]R.克里夫《结构动力学》补充详解及习题解

前言结构动力学是比较难学的一门课程，但是你一旦学会并且融会贯通，你就会为成为结构院士、大师和总工垫定坚实的基础。

结构动力学学习的难点主要有以下两个方面。

1 概念难理解，主要表现在两个方面，一是表达清楚难，如果你对概念理解的很透彻，那么你写的书对概念的表述也会言简意赅，切中要害（克里夫的书就是这个特点），有的书会对一个概念用了很多文字进行解释，但是还是没有说清楚，也有的书受水平限制，本身表述就不清楚。

二是理解难，有点只可意会不可言传的味道，老师讲的头头是道，自己听得云山雾绕。

2 公式推导过程难，一是力学知识点密集，推导过程需要力学概念清析，并且需要每一步的力学公式熟悉；二是需要一定的数学基础，而且有的是在本科阶段并没有学习的数学知识。

克里夫《结构动力学》被称为经典的结构动力学教材，但是也很难看懂。

之所以被称为经典，主要就是对力学的概念表达的语言准确，概念清楚。

为什么难懂呢？是因为公式的推导过程比较简单，省略过多。

本来公式的推导过程既需要力学概念清楚也需要数学公式熟悉，但是一般人不是力学概念不清楚，就是数学公式不熟悉，更有两者都不熟悉者。

所以在学习过程中感觉很难，本学习详解是在该书概念清楚的基础上，对力学公式推导过程进行详细推导，并且有的加以解释，帮助你在学习过程中加深理解和记忆。

达到融会贯通，为你成为结构院士、大师和总工垫定坚实的基础。

以下黑体字是注释，其它为原书文字。

[美] R∙克里夫《结构动力学》辅导学习详解第1章结构动力学概述… …第Ⅰ篇单自由度体系第2章基本动力体系的组成… …§2-5 无阻尼自由振动分析如上一节所述，有阻尼的弹簧-质量体系的运动方程可表示为mv̈(t)+cv̇(t)+kν(t)=p(t)（2-19）其中ν(t)是相对于静力平衡位置的动力反应；p(t)是作用于体系的等效荷载，它可以是直接作用的或是支撑运动的结构。

为了获得方程（2-19）的解，首先考虑方程右边等于零的齐次方程，即mv̈(t)+cv̇(t)+kν(t)=0（2-20）mv(t)+kν(t)=0（2-20a）此处公式应该为mv(t)+kν(t)=0，因为该节是无阻尼自由振，而且（2-20）的解，式（2-21）也是公式mv(t)+kν(t)=0的解在作用力等于零时产生的运动称为自由振动，现在要研究的即为体系的自由振动反应。

结构动力学_2

结构动力学_2

初相位
4、振幅C和初相位
x0 C sin
x0 Ccos
C
x02
x02
2
arctan x0
x0
——振幅 ——初相位
第2章 单自由度系统
x
3
x02
x02
2
sin(t
)
x
x02 2
x02
T 2
x0 0
t
图2.7 无阻尼系统自由振动位移曲线
-3
0
3
第2章 单自由度系统
x x02 x022 cos(t )
mx cx kx 0
设：
x Aept
第2章 单自由度系统
mp2 cp k 0
p1,2 c
c2 4mk 2m
c2 4mk
1、过阻尼系统
0 x A1e p1t A2e p2t
第2章 单自由度系统
2、临界阻尼系统
0
c2 4mk 0
cc 2 mk 2m
x
e
c 2m
t
第2章 单自由度系统
3、解的形式
x Asint x Bcost x Asint Bcost
x A2 B2 ( A sint B cost)
A2 B2
A2 B2
A2 B2 (cos sint sincost)
C sin(t )
第2章 单自由度系统
x C sin(t )
振幅
剪切变形
第2章 单自由度系统
3EI
ml 3
——弯曲频率
2 3EI
ml 3
——剪切频率
第2章 单自由度系统
图2.5 框架的剪切变形
第2章 单自由度系统
③摆问题

结构动力学(克拉夫) 第二章 分析动力学基础

结构动力学(克拉夫) 第二章 分析动力学基础

第二章 分析动力学基础2.1 基本概念 2.1.1 约束• 定义：对非自由系各质点的位置和速度所加的几何或 运动学的限制。

N 个质点的约束方程： → → 为mi 的位置向量及速度 **弹簧支座不是约束。

• 约束的分类：*稳定（不含t → 左图） 与非稳定（含t → 右图）* 完整（不含 → ）几何约束（有限约束） 与非完整（含 → ）运动约束（微分约束） • 约束条件：zc=a （水平面绝对光滑）一个完整约束 *水平面粗糙，仅滚动无滑动，A 点速度为零 。

两个完整约束*若为刚性圆球，三个约束（A点两个水平方向速度为零，可证明约束微分方程不能积分成有限形式）非完整约束单向（约束方程为不等式）：柔索 与双向（约束方程为等式）：刚杆 工程力学中研究对象：稳定的、完整的、双 向约束• 质点系约束方程：→ （N ：质点数；M 约束数） 2.1.2 自由度与广义坐标 广义坐标定义：能决定体系几何位置的、彼此独立的量广义坐标个数→空间质点系:n=3N-k;平面质点系: n=2N-k0),,,,,,(11=⋅⋅⋅⋅⋅⋅N N r r r r t f 0),,(=i i r r t f i i r r ,0),(=i i rr f 0),,(=i i rr t f Ai r0),(=i r t f i r 0),,(=i i rr t f ϕϕa x a x v C C A =⇒=−=)(0积分 lr ≤l r =0),,(1=⋅⋅⋅N k r r f )~1;~1(0)(M k N i r f i k ===x双连刚杆双质点系的约束方程：广义坐标数：广义坐标：独立参数→角度→ 振型等（见下页） 梁的挠度曲线用三角级数表示： 广义坐标→*自由度定义：在固定时刻，约束许可条件下能自由变更的 独立的坐标数目（对完整约束=广义坐标数）• 自由度数→空间质点系：n=3N-k 平面质点系：n=2N-k （N ：质点数；k: 约束数） 非完整约束：（广义坐标数>系统自由度数）2.1.3 功的定义元功：A →B 过程中力作的功：对摩擦传动轮的例，由于力未移动，位移=？ • 功的新定义：(传动齿轮)• 功率：2.1.4 有势力和体系的势能有势力：（1）大小和方向只决定于体系质点的位置（2）体系从位置A 移动到位置B ，力作功只决定于位置而与路径无关取体系的任意位置为“零位置O ”，从位置A 移动到零位置O 各力作的功为体系在位置A 时的势能UA(位能)。

结构振动分析基础2-3章

结构振动分析基础2-3章

ω1
ω2
在振型空间是独立的，而在物理上是同时发生的。
当结构按某一自振频率作自由振动时，其变形形状 保持不变，此变形形状称为结构的主振型，简称为 振型(mode of vibration)。
基本振型：与基频对应的振型称为结构的基本振型 (fundamental mode of vibration)。 结构的位移响应： 对线性（线弹性）系统，结构的 位移响应可用结构振型的线性组合来表示。
a
x0


x(t )
利用三角 关系： 令： 见图，显 然有：
x0
sin(a b) cosasinb sinacosb
b — t; a—
sin t x0 cos t
x0

A cos
2
x0 A sin
arctan x 0
a x T t
A
2A
x、 、a

A
o
-A - A - 2A
> 0 a<0 减速
( 0)
<0 <0 加速 <0 >0 减速 >0 >0 加速
• 结构动力学的基本特性
与结构静力学相比，动力学的复杂性主要表现在： 1）数学处理复杂 引入惯性力涉及到二阶微分方程的求解； 结构阻尼机理的复杂性。 2）解答不是惟一的 由于荷载是时间的函数，因此结构的动力响应（位移、 速度和加速度等）也与时间有关。 3）需考虑结构本身的动力特性 惯性力是结构内部弹性力所平衡的的一个重要部分； 阻尼对结构响应也有一定的影响。
稀疏型 单跨梁、悬臂梁和不考虑扭转振动的 房屋建筑等结构
分 类
密集型 连续梁、板、空间结构、考虑扭转振 动的房屋建筑等结构

第2章 结构动力学基础工程,振动,稳定,全套,课件

第2章 结构动力学基础工程,振动,稳定,全套,课件

动荷载的特性 结构的动力特性 结构响应分析
2
结构动力体系
位移
静荷载
大小 方向 作用点
结构体系
输入 input
刚度、约束 杆件尺寸 截面特性
静力响应
输出 Output
内力 应力
数值
动荷载
大小 方向 作用点 时间变化
结构体系
输入 input
质量、刚度 阻尼、约束 频率、振型
动力响应
输出 Output
k 1
n
则组合系数Ak(t)称为体系的广义坐标。 nπ x ( x ) bn sin l n 1
广义坐标 位移函数

广义坐标表示相应位移函数的幅值，是随时间变化的函数。 广义坐标确定后，可由给定的位移函数确定结构振动的位移曲线。 以广义坐标作为自由度，将无限自由度体系转化为有限个自由度。
11
2.2 结构动力学的任务和研究内容
• 结构动力学的任务
a. 确定结构的固有动力特性，建立结构的固 有动力特性、动荷载和结构动力响应三者 间的相互关系； b. 提供结构动力响应分析方法； c. 提供对结构进行动力设计的依据。
12
• 结构动力学的研究内容
动荷载 结构 体系 控制
理论研究：
• • 结构的响应分析（结构动力学的正问题） 结构的参数识别或系统识别（反问题）
mdx dx
DOF=∞
m
机器振动
y
y
21
2.3.2 体系自由度的简化
1. 集中质量法
把结构的分布质量按一定的规则集中到结构的某个或 某些位置上，成为一系列离散的质点或质量块 。 适用于大部分质量 集中在若干离散点 上的结构。
m1

结构动力学2PPT课件

结构动力学2PPT课件
可见质量 mi 的惯性力幅值为
Ii mi Ai 2 (i 1,2,n)
3.动内力幅值计算
位移、惯性力、动荷载频率相同，对于无阻尼体系三者同时达到幅值。故，可 将荷载幅值和惯性力幅值加在结构上，按静力学方法体系的最大动内力和最大 动位移。
例1 试求图示体系质量的最大动位移，并绘制结构的最大动力弯矩图。已知＝
3
EI 。 m l3
A m1 m
l2
EI
q sin t
B
C m2 2m EI
l2
l2
2021/5/25
第10页/共32页
10
解 本例静定结构，选择柔度法求解。
1 A m1 m
l2
EI
q sin t
B
C m2 2m EI
l/2
l2
l2
M1图
M图21源自l/4M图
P
q
ql2/8
用图乘法求得，11
l3 8E
小到大排列，称为频率谱。
➢将求得的 1 2 回代入(2)，由于系数行列式等于零，n个方程是相关的，只
能由其中的n-1个方程解得各自由度动位移之间的比值。可见，体系按某一频
率振动的形状是不变的，称之为振型。
✓ 振型向量 Ai A1i A2i
Ani T
✓ 振型向量常用表述方法一：令某自由度位移为1，例 Ai 1 2i
k 是对称矩阵，k k T
M 也是对称矩阵，同理，有 A jT M Ai AiT M A j
(3)-(4)，有
i2
2 j
AiT M A j 0
因为 i j ，所以 AiT M A j 0 i j
振型第一正交性：多自由度体系任意两个不同振型关于质量矩阵正交。

(完整版)结构动力学基础

(完整版)结构动力学基础

my cy ky FP (t)
§2-5 广义单自由度体系：刚体集合
➢刚体的集合（弹性变形局限于局部弹性 元件中）
➢分布弹性（弹性变形在整个结构或某些 元件上连续形成）
➢只要可假定只有单一形式的位移，使得 结构按照单自由度体系运动，就可以按 照单自由度体系进行分析。
E2-1
x
p( x,t
)
=p
x a
作用时间： 恒载 活载 作用位置： 固定荷载 移动荷载 对结构产生的动力效应： 静荷载 动荷载
静荷载： 动荷载：
大小、方向和作用点不随时间变 化或变化很缓慢的荷载。
大小、方向或作用点随时间变化 很快的荷载。
快慢标准： 是否会使结构产生显著的加速度
显著标准： 质量运动加速度所引起的惯性力 与荷载相比是否可以忽略
FP (t ) FI FD FS1 FS2 0
其中各力的大小：
惯性力： FI my 弹性力Fs=Fs1+Fs2： 位移法：柱子一端产生单位平移时的杆端剪力
1
12i
l2
柱端发生平移 y 时产生的梁-柱间剪力：
EI
12 EI FS1 l13 y
12EI
FS 2
l
3 2
y
l
等效粘滞阻尼力： FD cy
大型桥梁结构 的有限元模型
第二章 运动方程的建立
定义
在结构动力分析中，描述体系质量运动规律的数学 方程，称为体系的运动微分方程，简称运动方程。
▪ 运动方程的解揭示了体系在各自由度方向的位移 随时间变化的规律。
▪ 建立运动方程是求解结构振动问题的重要基础。 ▪ 常用方法：直接平衡法、虚功法、变分法。
8
比较：
c k
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在建筑抗震设计中，通常采用最大惯性力作为地震作用。
根据地震引起建筑物主要的振动方向，地震作用分为水平地震作
用和竖向地震作用。
其大小与地面运动加速度、结构的自身特性（自振频率、阻尼、
质量等）有关。 10
结构与土工抗震-李荣建
二、结构地震反应
结构地震反应是指地震时地面振动使建筑结构产生的内力、变形、 位移及结构运动速度、加速度等的统称。可分类称为地震内力反 应、地震位移反应、地震加速度反应等。 结构地震反应是一种动力反应，其大小与地面运动加速度、结构 自身特性等有关，一般根据结构动力学理论进行求解。 结构地震反应又称地震作用效应。
16
结构与土工抗震-李荣建
三、计算简图及结构自由度
2.计算简图
进行结构地震反应分析时，首先要确定结构动力计算简图。
结构的惯性力是结构动力计算的关键。
结构惯性与结构质量有关。
计算简图中的结构质量的模拟有两种，一种是连续化分布，另
一种是集中分布。
工程上常用集中分布质量的模型进行动力计算，该方法计算简
便，精度可靠。 17
5
结构与土工抗震-李荣建
一、结构动力学问题
动力问题
高速水流引起的结构脉动响应 例
冲击荷载引起的振动问题
如爆破、爆炸、滑坡……
强烈地震下建筑物的动力响应 例
确定地面运动——工程地震学 结构地震反应——结构动力学
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结构与土工抗震-李荣建
1
一、结构动力学问题
1、结构分析的三大要素
荷载 （激励、输入）
7
结构
11
结构与土工抗震-李荣建
三、计算简图及结构自由度
1. 结构自由度 • 集中质量法 独立坐标的数目，举例
自由度是一种人为假设 举例：水塔
单自由度系统振动理论是一 切复杂结构体系动力分析 的基础
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结构与土工抗震-李荣建
2
三、计算简图及结构自由度
1. 结构自由度 • 集中质量法 独立坐标的数目，举例
质点的动力平衡条件为
FI + FD + FS = 0
将定义式代入上式，得单质点系的动力方程为
m(δg + δ ) + cδ + kδ = 0
δ+ 2λωδ + ω2δ = −δg
式中，ω =
阻尼比。 27
k ，称为体系的自振频率； λ = c 称为
m
2mω
结构与土工抗震-李荣建
二、地震运动方程及解答
3、有阻尼自由振动 方程的根： s = −ξω ± ω ξ 2 −1
1. 临界阻尼体系 ξ = 1
运动反应：δ (t) = [u0 (1+ ωt) + u0t]e−ωt
定义： ccr = 2mω
临界阻尼系数
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结构与土工抗震-李荣建
3、有阻尼自由振动
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结构与土工抗震-李荣建
3、有阻尼自由振动
2. 超阻尼体系
自由度是一种人为假设 举例：电视塔
三、计算简图及结构自由度
1. 结构自由度
• 集中质量法 • 独立坐标的数目，举例
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结构与土工抗震-李荣建
14
结构与土工抗震-李荣建
三、计算简图及结构自由度
z 广义坐标法
广义坐标的独立变分数目，举例
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结构与土工抗震-李荣建
三、计算简图及结构自由度
1.结构自由度
计算简图中各质点可运动的独立参数称为体系的自由度。 空间中一个自由质点可有三个独立的平动位移（忽略转 动），因此它具有三个平动自由度。若限制质点在平面内 运动，则一个质点有两个自由度。 根据结构自由度数量，可分单自由度体系和多自由度体系。 结构体系中的质点数和自由度数可以相同，也可以不同。
初始条件： u0 = 0 38
δu(t) = PΔt sinωtt m结mω构与土工抗震-李荣建
t = τ 脉冲 p(t)
Δτ 期间系统的反应： Δδ (t) = p(τ )Δτ sin(t −τ )
mω (t > τ )
t时刻系统的总反应：
δ
(t)
=
1 mω
t
∫0
p(τ
)sin ω(t
−τ
)dτ
—无阻尼单自由度系统Duhamel积分
远场 地面摆动为主
3
渐进性破坏
震害关联分析
宏观震害是多种因素综合作用 的结果!
结构与土工抗震-李荣建
第2章 结构动力学基础
2.1 地震分析模型概述
2.2 单自由度结构的地震反应
2.3 多自由度结构的地震反应
2.4 多自由度结构地震反应方程的计算与解答
4
结构与土工抗震-李荣建
2.1 地震分析模型概述
• 结构动力学问题 • 地震作用 • 结构地震反应 • 计算简图及结构自由度
30
结构与土工抗震-李荣建
5
无阻尼自由振动解：
δ
(t)
=
u0 ω
sin
ωt
+
u0
cos ωt
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结构与土工抗震-李荣建
2、几个定义
• 圆频率（角速度）ω = k m
• 频率 f = ω / 2π • 周期 T = 1/ f = 2π / ω • 阻尼比 ξ = c / 2mω
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结构与土工抗震-李荣建
δ i +1
=
δi
+
Δtδi
+
(1 2
−
β
)Δt 2δi
+
βΔt 2δi+1
δi+1
=
1 βΔt 2
a = (1− 2β )δi + 2βδi+1, 0 ≤ β ≤ 1/ 2
δ i +1
=
δi
+
Δtδi
+
1 2
Δt 2a
δ i+1
=
δi
+
Δ tδi
+
(1 2
−
β
)Δ t 2δi
+
β Δ t 2δi+1
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结构与土工抗震-李荣建
Newmark —β法
δi+1 = δi + (1− γ )Δtδi + γΔtδi+1
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结构与土工抗震-李荣建
一、结构动力学问题
3、动荷载的种类 随机的：如地震 确定的： 周期性的： 简谐的，一般周期荷载 非周期性的： 冲击
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结构与土工抗震-李荣建
二、地震作用
地震时由于地面运动使原来处于静止的建筑产生强迫振动。
将地震时由地面运动加速度振动在结构上产生的惯性力称为结构
ห้องสมุดไป่ตู้
的地震作用（earthquake action）。
24
结构与土工抗震-李荣建
4
一、单自由度地震运动方程
弹性力 FS 其大小与位移 δ成正比，其方向与位移方
向相反，可以表示为 FS = kδ
阻尼力 FD 其方向与速度相反，大小与速度成正比，
FD = cδ
式中 c ──阻尼系数； δ ──质点对地面
的相对速度
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结构与土工抗震-李荣建
一、单自由度地震运动方程
自由振动：无外界激励、无支座运动 有初始位移/速度！！！
齐次方程： mδ+ cδ + kδ = 0
假定解的形式： δ (t) = Gest
ms 2 + cs + k = 0
令 ω = k m ξ = c / 2mω
方程的解为： s = − c ± c2 − 4mk = −ξω ± ω ξ 2 −1
结构与土工抗震
李荣建 主讲
1
结构与土工抗震-李荣建
课程理解-认识
地震地质勘察
地基基础抗震
土 工 抗 地震及震害 结构动力学 震
场地效应
土动力特性
边坡坝坡抗震
地下结构抗震
地震反应谱
结构抗震设计分析
2
结构与土工抗震-李荣建
地表断裂为主
¾震害关联分析
双共振
近场
共振
共振
震源
波群
场地
建筑物
一次性破坏 选择性破坏
量等于该楼层上、下各半的区域质量 （楼盖、墙体等）之和；对单层单跨 或多跨工业厂房，屋盖结构是主要质
量，可集中于各跨屋盖标高处。
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结构与土工抗震-李荣建
三、计算简图及结构自由度
2.计算简图
当结构无明显主要质量 时（如烟囱）,可将结 构分成若干区域，而将 各区域的质量集中于质 心处。
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结构与土工抗震-李荣建
惯性力 FI 是一种假想作用于质点上的力，其大小等
于质量乘绝对加速度，方向与加速度方向
相反，
FI = mδa = m(δg + δ )
式中δa──质点的绝对加速度；
δ ──质点对地面的相对加速度。
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结构与土工抗震-李荣建
一、单自由度地震运动方程
FS = kδ FD = cδ FI = mδa = m(δg + δ )
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结构与土工抗震-李荣建
动量原理：
——系统受脉冲作用的反应
脉冲冲量： I == pp(t))ΔΔtt == PPΔΔtt 系统动量： mδu((00)) == I == PΔΔtt
u((00)
==
PPΔΔtt mm
初始速度
系统反应
以初始速度引发的自由振动 uδ((tt))==uωuω000ssininωωt t++u0u0 c0ocsoωstωt