卷积的性质

函数卷积及其应用摘要 卷积是一个很重要的数学概念．它描述了对两个〔或多个〕函数之积进展变换的运算法则，是频率分析的最有效的工具之一。

本文通过对卷积的概念，性质，具体应用以及对卷积公式，卷积定理等方面进展较为全面和系统的论述和总结，使得对卷积的内涵有更全面更深刻的理解和认识。

关键词 卷积 卷积公式 性质 应用1引言卷积是在信号与线性系统的根底上或背景中出现的。

狄拉克为了解决一些瞬间作用的物理现象而提出了"冲击函数〞这一符号，而卷积的诞生正是为了研究"冲击函数〞效劳的；卷积是一种数学积分变换的方法，也是分析数学中一种重要的运算。

卷积在物理学，统计学，地震预测，油田勘察等许多方面有十分重要的应用。

本文通过对卷积的概念，性质，应用等方面进展较为全面和系统的论述和总结，使得对卷积的内涵有更全面更深刻的理解和认识。

2卷积的定义和性质 2.1卷积的定义〔根本内涵〕设:)(),(x g x f 是1R 上的两个可积函数，作积分:()()τττd x g f -⎰+∞∞- 随着*的不同取值，这个积分就定义了一个新函数)(x h ，称为函数()x f 与)(x g 的卷积，记为)(x h =)()(x g x f *(或者()()x g f *) .注(1)如果卷积的变量是序列()()n h n x 和，则卷积的结果：∑+∞-∞=*=-=i n h n x i n h i x n y )()()()()(，其中星号*表示卷积。

当时序n=0时，序列h(-i)是)(i h 的时序i 取反的结果;时序取反使得)(i h 以纵轴为中心翻转180度，所以这种相乘后求和的计算法称为卷积和，简称卷积.另外，n 是使)(i h -位移的量，不同的n 对应不同的卷积结果. 〔2〕如果卷积的变量是函数)(t x 和)(t h ，则卷积的计算变为：)()()()()(t h t x dp p t h p x t y *=-=⎰+∞∞-，其中p 是积分变量，积分也是求和，t 是使函数)(p h -位移的量，星号*表示卷积.〔3〕由卷积得到的函数g f *一般要比g f 和都光滑.特别当g 为具有紧致集的光滑函数，f 为局部可积时，它们的卷积g f *也是光滑函数. 2.2卷积的性质性质〔交换律〕设)(x f ,)(x g 是1R 上的两个可积函数，则)()()()(x f x g x g x f *=*. 证=*)()(x g x f ()()τττd x g f -⎰+∞∞-令τ-=x u ，则u x -=τ，τd du -= 所以=*)()(x g x f ()()τττd x g f -⎰+∞∞-=()()du u g u x f ⎰-∞∞+--=()()du u x f u g ⎰+∞∞--=)()(x f x g *性质〔分配律〕设)(),(x g x f )(x h 是1R 上的三个可积函数，则()()[]x h x g x f +*)()()()()(x h x f x g x f *+*=.证 根据卷积定义()()[]x h x g x f +*)(=()()()[]ττττd x h x g f -+-⎰+∞∞-=()()τττd x g f -⎰+∞∞-+()()τττd x h f -⎰+∞∞-性质〔结合律〕设)(),(x g x f )(x h 是1R 上的三个可积函数，则()()[]()x h x g x f **()()()[]x h x g x f **=.证 令()()=*=x g x f x m )(()()τττd x g f -⎰+∞∞-，()()()()()dv x h v x g x h x g x s ⎰+∞∞--=*=，则()()[]()x h x g x f **=()()x h x m *=()()du u x h u m -⎰+∞∞-=()()()du u t h d u g f -⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎰⎰+∞∞-+∞∞-τττ=()()τττd du u t h u g f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎰⎰+∞∞-+∞∞-)(令v x u u x v -=-=则,，上式=()()τττd dv v h v x g f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎰⎰+∞∞-+∞∞-)( =()()du u x s f -⎰+∞∞-τ=()()x s x f *性质()()x g x f x g x f *≤*)()(. 证明 =*)()(x g x f ()()τττd x g f -⎰+∞∞-≤()()τττd x g f -⋅⎰+∞∞-=()()x g x f *.性质〔微分性〕设)(),(x g x f 是1R 上的两个可积函数，则())()()()()()(x g x f x g x f x g x f dxd'*=*'=*. 证明 ()()()()()τττττd h dxx df d dx x dg x f x g x f dx d ⎰⎰∞+∞-∞+∞-=-=*-)()( 即意义 卷积后求导和先对其任一求导再卷积的结果一样. 性质〔积分性〕设()()()x h x g x f *=，则()()()()()()()x h x g x h x g x f11)1(---*=*=.意义 卷积后积分和先对其任一积分再卷积的结果一样. 推广 ()()()()()()()()x h x g x h x g x fn n n *=*=.性质〔微积分等效性〕设)(x f ,)(x g 是1R 上的两个可积函数，则()()ττd g x f x g x f x⎰∞-*'=*)()(.例2.1设()0010≥<⎩⎨⎧=x x x f ，()000≥<⎩⎨⎧=-x x e x g x ，求()x g x f *)(.解 由卷积定义知()x g x f *)(=()()τττd x g f -⎰+∞∞-=()()t t t tx e e e d e-----=-=⋅⎰1110ττ例2.2 设函数试计算其卷积()()()t f t f t y 21*=. 解 由卷积定义知所以()()()t f t f t y 21*==()()τττd t f f -⎰+∞∞2-1显然这个积分值与函数()ttt ><⎩⎨⎧=-τττμ01，所取非零值有关，即与参数t 的取值有关.()1当t 0<时，因30<<<τt ，所以()0=-τμt ，此时()()()t f t f t y 21*==003)(=⋅⎰--ττd e t()2当30<<t 时，只有t <<τ0时，有()1=-τμt ，此时()()()t f t f t y 21*==t tt e d e ----=⎰10)(ττ()3当3>t 时，因为t <<<30τ，所以()1=-τμt ，此时()()()t f t f t y 21*==()t t e e d e ----=⎰1330)(ττ综上所述，有()()()t f t f t y 21*==()33001-103><<<⎪⎩⎪⎨⎧⋅---t t t e e e tt3.卷积定理3.1 时域卷积定理设两函数)(),(21t f t f ，的傅里叶变换分别为：[],)()(1~1t f s F =ω[],)()(1~1t f s F =ω则两函数卷积的傅里叶变换为：[]),()()()(2121~ωωF F t f t f s ⋅=*上式称为时域卷积定理，它说明两信号在时域的卷积积分对应于在频域中该两信号的傅立叶变换的乘积.证明 []=*)()(21~t f t f s ()()dt e d t f f t j ωτττ-+∞∞-+∞∞-⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21 =()()τττωd dt e t f f tj ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎰⎰+∞∞--+∞∞-21=()()τωτωd e F f t j -+∞∞-⎰21=()()ττωωd e f F t j -+∞∞-⎰12=()()=⋅ωω12F F ),()(21ωωF F ⋅ 3.2频域卷积定理设两函数)(),(21t f t f ，的傅里叶变换分别为：[],)()(1~1t f s F =ω[],)()(1~1t f s F =ω则两函数卷积的傅里叶变换为：[]),()(21)()(2121~ωωπF F t f t f s *=上式称为频域卷积定理，它说明两信号在时域的乘积对应于这两个函数傅氏变换的卷积除以π2.证明 ()()()()ωππωωπωd e du u w F u F F F s tj ⎰⎰∞+∞-∞+∞-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡*21211-~212121 于是例3.1 求积分方程的解，其中()()t f t h ,为函数，且()()()t h t f t g 和,的Fourier 变换都存在. 解 假设()[](),ωG t g F =()[](),ωH t h F =()[](),ωF t f F = 由卷积定义知现对积分方程两端取Fourier 变换可得解得所以原方程的解为例3.2 求常系数非齐次线性微分方程 的解，其中()t f 为函数. 解 设()[]()[]()ωωF t f F Y t y F ==),(现对原方程两端取Fourier 变换，并根据Fourier 变换的性质可得 解得所以原方程的解 由卷积定理得=()()τττd e f t f et t--∞+∞--⎰=*212. 例3.3求微分积分方程的解.其中c b a t ,,,+∞<<∞-均为常数. 解 设()[]()()[]()ωωH t h F X t x F ==,现对原方程两端取Fourier 变换，并根据Fourier 变换的性质可得解得()()()⎪⎭⎫⎝⎛-+=++=ωωωωωωωc a i b H i c b ai H X ，所以原方程的解4.卷积公式及其应用与推广 4.1卷积公式设X 和Y 的联合密度函数为）y x f ,(，则Y X Z +=得概率密度为证明 Y X Z +=的分布函数是：⎰⎰=≤+=≤=Dz xy f p z Z p Z F )()z Y X ()()(其中D ={}z y x y x ≤+:),(于是⎰⎰⎰⎰⎰⎰+∞∞-∞-+=+∞∞--∞-≤+-===zy x u yz zy x Z dudy y y u f dxdyy x f dxdy y x f Z F ),(),(),()(=⎰⎰∞-+∞∞--z dydu y y u f ),(从而⎰+∞∞--='=dy y y z f Z F Z f z z ),()()(由X 和Y 的对称性知⎰+∞∞--='=dx x x z f Z F Z f z z ),()()(。

卷积的数学原理及其应用一、卷积的数学原理卷积是一种重要的数学运算，在信号处理、图像处理和机器学习等领域有着广泛的应用。

卷积的数学原理基于线性时不变系统的理论，它可以将输入信号和系统的脉冲响应进行数学运算，得到输出信号。

卷积的数学定义如下：\[ (f*g)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau)g(t-\tau) d\tau \]其中，\(f(t)\)和\(g(t)\)是两个输入信号，\(\)表示卷积运算符，\((f g)(t)\)表示卷积结果。

卷积运算可以理解为将一个函数在时间或空间上翻转，与另一个函数进行叠加求积分。

卷积的性质包括交换律、结合律和分配律。

其中，交换律表示卷积运算的输入函数可以交换位置，即\(f g = g f\)；结合律表示多个函数进行卷积运算的顺序可以改变，即\((f g)h = f(g h)\)；分配律表示卷积运算对加法和乘法具有分配性质，即\((f+g)h = f h + g h\)和\(a(f+g) = a f + a g\)。

二、卷积的应用卷积在信号处理、图像处理和机器学习等领域有着广泛的应用。

以下是卷积的几个常见应用：1. 信号滤波卷积在信号处理中常用于滤波操作。

通过选择合适的滤波器函数进行卷积运算，可以实现不同频率的信号分离和降噪。

常见的滤波器包括低通滤波器、高通滤波器和带通滤波器等。

2. 图像处理卷积在图像处理中可以用于图像增强、边缘检测和图像分割等任务。

通过选择不同的卷积核函数进行卷积运算，可以实现对图像的特征提取和图像处理操作。

3. 特征提取卷积神经网络（Convolutional Neural Network，CNN）是一种深度学习模型，广泛应用于计算机视觉领域。

CNN通过卷积操作提取输入图像的特征，并通过后续的池化、激活函数和全连接层等操作实现对输入数据的分类或回归预测。

4. 语音识别卷积神经网络在语音识别领域也有着重要的应用。

卷积的性质卷积的本质，是一个全局变量（维数大于等于2）投影到一个全局变量上的运算。

在这个性质里，只有当维数超过两时，才能构成全局变量；当维数小于两时，则是用另外的变量作为全局变量的投影。

但必须注意，维数必须是整数或实数。

在矩阵理论中，卷积就是将矩阵中的某个元素乘以另一个元素后所得结果的乘积。

我们在计算一些对象间的关系时常需用到矩阵的运算。

所谓运算，就是把矩阵变换成行向量、列向量或线性表组成的新的行列式和列向量，再根据原来矩阵的性质对其进行操作。

而卷积是其中最重要的操作之一。

2、一个矩阵只要可逆就有与初始矩阵等同的特征值，它也称为可逆矩阵。

反过来，任何不可逆矩阵都不可能是一个可逆矩阵。

3、所有可逆矩阵都有相同的行列式，因此所有可逆矩阵都可表示成一个行向量加一个列向量。

每个可逆矩阵都有唯一确定的逆矩阵。

如果n 个矩阵A， B， C……满足Ax+By=0，则称A， B， C……是可逆矩阵。

3、所有可逆矩阵都有相同的行列式，因此所有可逆矩阵都可表示成一个行向量加一个列向量。

每个可逆矩阵都有唯一确定的逆矩阵。

如果n个矩阵A， B， C……满足Ax+By=0，则称A， B， C……是可逆矩阵。

4、可逆矩阵都是实对称矩阵。

设a， b是正交矩阵且存在非零常数c，使得Ax=cBc=b。

那么称a， b是正交矩阵，简称正交。

所有正交矩阵都是可逆矩阵。

实际上，正交矩阵总是可逆矩阵。

若A是正交矩阵， B是可逆矩阵，则称AB是正交阵。

显然，正交矩阵A=B。

5、可逆矩阵不仅可以按行列式定义，还可以按行向量定义：若A是可逆矩阵，且存在正交基， B是可逆矩阵，且存在对角阵，即A=BC，则称B为A的转置矩阵，记作B=A。

6、可逆矩阵与正交矩阵的关系类似于正交矩阵与对角矩阵的关系。

7、不可逆矩阵的可表示成一个行向量，并且可由此推出它的逆矩阵。

8、从左边看，若A=B，B=A，则称A为可逆矩阵的左逆阵， B为可逆矩阵的右逆阵，记作Acirc B。

卷积公式详解(一)卷积公式详解什么是卷积?卷积是一种数学运算符号，广泛应用于信号处理、图像处理和深度学习等领域。

它用于描述两个函数之间的关系，通常用符号“*”表示。

卷积的定义给定两个函数 f(x) 和 g(x)，它们的卷积定义为：∞(τ)g(x−τ)dτ(f∗g)(x)=∫f−∞或者对于离散的情况，定义为：∞(m)g(n−m)(f∗g)(n)=∑fm=−∞其中，−∞到+∞或者−∞到+∞的积分或者求和表示函数的有效范围。

卷积的意义卷积运算在信号处理和图像处理中具有重要的意义。

它可以用于信号的平滑、信号的去噪、边缘检测等。

在深度学习中，卷积神经网络（CNN）利用卷积运算对图像进行特征提取和分类。

卷积公式的解释卷积公式 (f ∗g )(n )=∑f ∞m=−∞(m )g (n −m ) 表示函数 f 和 g 的有效范围内，对两个函数进行对位相乘后的求和。

首先，函数 f(m) 和 g(n-m) 表示在不同位置的函数 g 与函数 f 的对应值，对这些对应值进行相乘，然后将乘积求和得到最终的结果。

求和的范围是在整个函数 f(m) 和 g(n-m) 的有效范围内，即对所有的 m 求和。

卷积的性质卷积具有一些重要的性质，如交换律、结合律和分配律等。

这些性质使得卷积在信号处理和深度学习中非常有用。

1.交换律：f ∗g =g ∗f 2.结合律：(f ∗g )∗ℎ=f ∗(g ∗ℎ) 3.分配律：f ∗(g +ℎ)=f ∗g +f ∗ℎ卷积的应用卷积在很多领域都有广泛的应用，下面列举几个常见的应用场景：• 信号平滑：通过卷积可以对信号进行平滑处理，去除噪声和不必要的波动。

• 信号滤波：卷积可以对信号进行滤波，如低通滤波、高通滤波等。

•图像处理：卷积在图像处理中被广泛应用，如边缘检测、图像增强等。

•深度学习：卷积神经网络（CNN）利用卷积运算对图像进行特征提取和分类。

总结通过本文的解释，我们了解了卷积的定义、意义和公式。

两个门函数卷积的规律两个门函数卷积的规律是利用卷积运算的性质，即卷积的运算可以看作是两个函数的相乘再进行平移求和的过程。

假设有两个门函数A(t)和B(t)，它们的定义如下：A(t) = | 1 (0 <= t < 1)| 0 (其他)B(t) = | 1 (-0.5 <= t < 0.5)| 0 (其他)则它们的卷积函数C(t)可以表示为：C(t) = ∫A(u)B(t-u)du由于A(t)和B(t)都是门函数，所以它们在指定的范围内值为1，其他范围内值为0：A(u) = | 1 (0 <= u < 1)| 0 (其他)B(t-u) = | 1 (-0.5 <= t-u < 0.5)| 0 (其他)将A(u)和B(t-u)代入卷积函数C(t)中，我们可以将积分范围分成三个部分来计算C(t)的值：当0 <= t < 0.5 时，有A(u)B(t-u) = 1，所以在该范围内积分结果为：∫A(u)B(t-u)du = ∫1 du = u (在0到1之间求积分)= t (因为u=t)当0.5 <= t < 1.5 时，A(u)B(t-u) = 1，所以在该范围内积分结果为：∫A(u)B(t-u)du = ∫1 du = u (在0到1之间求积分)= 1 (因为u=1)当t >= 1.5 时，A(u)B(t-u) = 0，所以在该范围内积分结果为：∫A(u)B(t-u)du = ∫0 du = 0综上，两个门函数卷积的规律可以总结为：C(t) = t (0 <= t < 0.5)1 (0.5 <= t < 1.5)0 (t >= 1.5)。

向量卷积运算公式摘要：1.卷积运算的定义2.向量卷积运算公式3.向量卷积运算的性质4.向量卷积运算的应用正文：1.卷积运算的定义卷积运算是一种在信号处理和图像处理中广泛应用的运算。

它主要是通过一个函数（信号）与另一个函数（卷积核）的组合，产生一个新的函数（输出信号）。

卷积运算可以用于提取信号的特征，或者对信号进行滤波等操作。

2.向量卷积运算公式在向量卷积运算中，假设有两个向量A 和B，其长度分别为m 和n，则它们的卷积运算可以用以下公式表示：(A * B)[i] = ∑(A[j] * B[i-j]) (0 <= i <= m-1, 0 <= j <= n-1)其中，A * B 表示向量A 和向量B 的卷积，[i] 表示卷积结果的第i 个元素。

公式中的求和符号表示对向量A 中的每个元素与向量B 中对应的元素进行点乘，然后将结果相加。

3.向量卷积运算的性质向量卷积运算具有以下性质：1) 交换性：A * B = B * A，即卷积运算满足交换律。

2) 分配律：(A + B) * C = A * C + B * C，即卷积运算满足分配律。

3) 结合律：(A * B) * C = A * (B * C)，即卷积运算满足结合律。

4) 数值稳定性：对于常数k，A * k = k * A。

4.向量卷积运算的应用向量卷积运算在信号处理和图像处理中有广泛应用，例如：1) 在图像处理中，卷积运算可以用来实现滤波、锐化、边缘检测等操作。

2) 在深度学习中，卷积运算被用于实现卷积神经网络（CNN），用于图像分类、目标检测等任务。