数学建模新手“必读教程”第一部分基本知识：一、数学模型的定义现在数学模型还没有一个统一的准确的定义，因为站在不同的角度可以有不同的定义。
不过我们可以给出如下定义：“数学模型是关于部分现实世界和为一种特殊目的而作的一个抽象的、简化的结构。
”具体来说，数学模型就是为了某种目的，用字母、数学及其它数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图象、框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构表达式。
一般来说数学建模过程可用如下框图来表明：数学是在实际应用的需求中产生的，要解决实际问题就必需建立数学模型，从此意义上讲数学建模和数学一样有古老历史。
例如，欧几里德几何就是一个古老的数学模型，牛顿万有引力定律也是数学建模的一个光辉典范。
今天，数学以空前的广度和深度向其它科学技术领域渗透，过去很少应用数学的领域现在迅速走向定量化，数量化，需建立大量的数学模型。
特别是新技术、新工艺蓬勃兴起，计算机的普及和广泛应用，数学在许多高新技术上起着十分关键的作用。
因此数学建模被时代赋予更为重要的意义。
二、建立数学模型的方法和步骤1. 模型准备要了解问题的实际背景，明确建模目的，搜集必需的各种信息，尽量弄清对象的特征。
2. 模型假设根据对象的特征和建模目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言作出假设，是建模至关重要的一步。
如果对问题的所有因素一概考虑，无疑是一种有勇气但方法欠佳的行为，所以高超的建模者能充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于辨别主次，而且为了使处理方法简单，应尽量使问题线性化、均匀化。
3. 模型构成根据所作的假设分析对象的因果关系，利用对象的内在规律和适当的数学工具，构造各个量间的等式关系或其它数学结构。
这时，我们便会进入一个广阔的应用数学天地，这里在高数、概率老人的膝下，有许多可爱的孩子们，他们是图论、排队论、线性规划、对策论等许多许多，真是泱泱大国，别有洞天。
不过我们应当牢记，建立数学模型是为了让更多的人明了并能加以应用，因此工具愈简单愈有价值。
一个大学生如果具有坚实的数学基础(素质),那么将来他(她)无论从事什么样的工作, 成功的机会都大.数学建模是用数学来解决各种实际问题的桥梁, 因此了解、掌握数学建模的思想和方法也是具有良好的数学基础(素质)的重要组成部分.“硬能力”很重要！“一位美国朋友谈及对未来中国人的看法: 20年后, 中国年轻人会丢了中国人现在的硬能力, 他们崇拜各种明星, 不愿献身科学, 不再以学术研究为荣, 聪明拔尖的学生都去学金融、法律等赚钱的专业; 而美国人因为认识到其硬能力(例如数学)不行, 进行教育改革, 20年后, 不但保持了其软实力即非专业能力的优势, 而且在硬能力上赶上中国人.”—“正在丢失的硬实力”, 鲁鸣, 《青年文摘》2011年第5期其实金融、法律等专业也需要许多数学!(全文见“参考文章”)什么是数学建模?数学模型(Mathematical Model)是用数学符号对一类实际问题或实际发生的现象的(近似的)描述.数学建模(Mathematical Modeling)则是获得该模型并对之求解、解释验证并得到结论的全过程.数学建模不仅是了解基本规律, 而且从应用的观点来看更重要的是预测和控制所建模的系统的行为的强有力的工具.↑→→→→→→→→↓↑↓↑↓↓↑↓←←←←←通不过↓↓通过定义：数学建模就是上述框图多次执行的过程简言之:合理假设、数学问题、解释验证.数学问题 = 建立数学模型 + 求解数学模型合理假设、建立数学模型、求解数学模型、解释验证.记住这些, 将会受益即使对于那些自己几乎不做建模的学生, 他们也将面对其他人的模型.(Even students who will do little modeling on their own will be confronted by the models of others.)数学上, 希格斯玻色子(的存在性)是描述称为希格斯场的一种力场的方程组的一个推论. ……物理学家Brian Greene说: “这是能对现实世界的各种事情作出预测的数学方法的伟大胜利.”“40多年来, 这个希格斯玻色子一直是我们的方程中假设的数学符号.”(Essay: Nature's secrets foretold Higgs discovery celebrates math's power to make predictions about the real world, By Tom Siegfried, Science News, July 4th, 2012.)植根于核科学的数学模型也在环境科学家的工具箱中找到了一席之地. 依赖于数值方法的最早的全球气候模型与核武器设计者研发的模型十分相似, 后者是为了分析核爆炸产生的冲击波必须求解的流体动力学方程.(Nuclear Weapons' Surprising Contribution to Climate Science, ScienceDaily (July 13, 2012))贷款问题 — 离散模型某人想贷款200,000, 20年用来买房. 如果按当时的年利率6.39%, 20年后一次还清的话, 银行 将按月利率0.5325%的复利计算, 要还240200000(10.005325)723,410+= 太多了, 怕还不起, 所以决定每个月还一点钱.假设: 月等额还款，20年还请.提示:贷款模型是按月利率，按月计算的.用符号表示，设一开始的贷款金额记为0(200,000)A =，贷款年数记为(240)N =月， 年利率记为R = 0.0639，月利率记为r = R/12 = 0.005325数学模型的建立：确定变量以及变量之间的关系, 即数学模型的建立：这个月(记为第n 个月)尚欠银行的款数记为n A , 上个月(记为第n - 1个月)结余欠款记为1n A -加上利息记为1(1)n A r -+，减去这个月的还款x , 还欠1(1)n A r x -+-.所以,这个月的欠款等于上个月欠款加上利息, 再减去这个月的(等额)还款; 一开始的借(欠)款已知; 20年必须还清. 用数学语言表示, 即:1(1) 1,2,3,..., ; 0-=+-=⎧⎨=⎩已知n n N N A A r x n N A A240240, 0N A ==表示20年 = 240个月还清贷款.求解这个数学模型只需要用到等比级数部分和的求和公式.数学模型的求解:[][]1021020(1)(1) (1)(1) (1)1(1)A A r x A A r xA r x r x A r x r =+-=+-=+-+-=+-++[]{}3220320(1) (1)1(1)(1) (1)1(1)(1)A A r xA r x r r xA r x r r =+-=+-+++-⎡⎤=+-++++⎣⎦容易观察出规律, 并用数学归纳法证明, 对于任何n 有210(1)1(1)(1)...(1)n n n A A r x r r r -⎡⎤=+-+++++++⎣⎦由等比级数部分和的求和公式(1r y +=)211(1)(1...), 1,1n n y y y y yn y --=-++++≥>于是有00(1)1(1)1(1)(1)(1)1n nn nn r r A A r x A r x r r +-+-=+-=+-+-由于0N A =, 所以0(1)(1)1N NA r r x r +=+-解释验证:利用数学软件, 例如, Mathematica ，Matlab ，可以用不同的数据代入此公式得到结果和银行的结果相比较相关问题 在公式0(1)(1)1N NA r r x r +=+-4个变量中任何一个都可以作为因变量，其他3个作为自变量，这样就又有了另外3个数学模型.0(1)[(1)1]kkk x A A r r r =+-+-0(1)(1)1n nA r r x r +=+-0ln[]ln(1)x x A r n r -=+或0log[]log(1)x x A rn r -=+0[(1)1](1)nn x r A r r +-=+练习请严格按照“合理假设、数学模型的建立、数学模型的求解、解释验证”的步骤来回答下列问题.某人想贷款买房, 他估计在10年里每月的还款能力x = 3000元没有问题, 已知贷款年利率R = 6%(月利率r = 0.5%), 贷款年数为N = 10年. 1. 建立他应该借多少钱的数学模型.2. 请从你所建立的数学模型估算一下他应该借(贷款)多少钱?(提示:120(1.005) 1.8194 ).作业花旗银行的一则低息现金贷款广告：借50,000元, 分36期(月) 还清, 每月还1,637元. 问：该银行的贷款月利率为多少？再论贷款问题 — 连续模型(微分方程)模型, 连续模型和离散模型的关系预习：设()s t 为随时间变化的距离函数，在时间间隔 ,t t t +∆[]上的平均速度为()()()s t t s t v t t+∆-=∆若当0,0t t ∆≠∆→时平均速度的极限0,0()()lim t t s t t s t t ∆≠∆→+∆-∆存在，则称其为t 时刻的瞬时速度，记为d ()()()d s t v t s t t'==，即0,0()()()()lim t t s t t s t v t s t t ∆≠∆→+∆-'==∆()v t 也称为函数()s t 的导数(或微商).函数乘积的求导法则: 设(),()f x g x 都可导, 即(),()f x g x ''存在, 则(()())()()()()f x g x f x g x f x g x '''⋅=⋅+⋅定积分, 微积分基本定理:()()()()bx b x aaf x dx f x f b f a =='==-⎰我们还是以贷款问题为例. 借期(单位时间)一期不一定非要一个月, 信用卡的计息就是按天算的. 所以考虑连续模型是有道理的.假设一开始0t =的贷款(或借款)本金总额记为0A , 单位时间(一期)的利率记为r%, 只不过这时假设时间是连续的, 也就是说, 要把 n 个单位时间后所欠金额记为n A 改为0t >时刻所欠金额()A t . 任何时刻都可以计算所欠银行的金额.我们来建立模型, 先不考虑等额还款. 在时间区间 [,]t t t +∆上, t t +∆时刻所欠金额为()A t t +∆, t 时刻所欠金额为()A t , 因此在区间 [,]t t t +∆里所欠金额的增加为 ()rA t t ∆, 应该有()()()A t t A t rA t t +∆-=∆或()()()A t t A t rA t t+∆-=∆如果[,]t t t +∆的长度t ∆越来越小, 并趋于零时, 即0t ∆→时, 就得到下列连续模型(微分方程模型)()() t>0(0)dA t rA t dtA A ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 它的解为0()rtA t A e =如果设单位时间的长度为1, t 等于k 个单位时间,即 t k =, 从而有000002()()()(1)!!rk r knnk k n n A k A e A e r r A A r n n ∞∞======++∑∑如果 r 比较小, 则可以认为有一次近似式0()(1)kA k A r =+或由带Lagrange 余项的泰勒(Taylor)公式,20000()()()()()()2!f f x f x f x x x x x ξ'''=+-+-其中ξ在0x 和x 之间.若00, , rrde x x r e dr=→=,则有 212!rr ee r ξ=++如果 r 比较小, 则可以认为有一次近似式 0()(1)kA k A r =+现在再来考虑等额还款, 即单位时间里还固定的金额 x , 于是模型变成()()()A t t A t rA t t x t +∆-=∆-∆令 0t ∆→, 就得到()() 0(0)⎧=->⎪⎨⎪=⎩dA t rA t x t dtA A 由()()dA t rA t xdt-=- 两边乘 rte-,()()rt rt rtdA t e re A t xe dt----=- 即()(())()rtrtrt rtdA t d e A t ere A t xe dt dt-----==-从 0 到 t 积分就得到()(0)(1)rtrtx e A t A e r---=-000()(1)(1)()rtrt rtrtrt rt x A t A e e er x A e e rx xA e r r-=+-=+-=-+当 t k = 时, 再利用 rke的一次近似(1)rkke r ≈+就得到00()()(1) (1)((1)1)kk kx x A k A r r rx A r r r=-++=+-+-若, ()0t N A N ==，则连续模型中相应的公式分别为000(1)()r Nr Nr N x x x A ee A e r r r =+-=-+0 (1)r Nr NA re x e =-0log[]x x A rN r-=, 0 ()1r Nr Nx e A e =-为求()0A N =的r , 需要求解下面的代数方程式00r Nr NA rexex -+=若0200000,0.005325,240A r N ===,则离散模型算出的还款为1478.22x =; 而连续模型算出的还款为 1476.28c x x =<。
