123角的平分线的性质-黑龙江省大兴安岭塔河县第三中学校八年级数学上册教学实录

12.3 .1角的平分线的性质第1课时角的平分线的作法及性质（学案）【学习目标】（一）知识与技能：1．会用尺规作一个已知角的平分线；2．掌握角平分线的性质．（二）过程与方法：1．在探究作已知角的平分线的方法和角平分线的性质的过程中，发展几何直觉；2．提高综合运用三角形全等的有关知识解决实际问题的能力；3．掌握简单的角平分线在生产、生活中的应用。

（三、）情感态度与价值观：1．在探究作角的平分线的过程中，培养探究的兴趣，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验；2．通过合作、交流、讨论，增强合作、沟通能力．【学习重难点】重点：1．掌握角平分线的性质定理；2．角平分线性质的证明及运用．难点：1．角平分线性质的探究；2．角平分线性质定理的证明及应用．【学习方法】自主探索、合作交流、指导探究【授课类型】新授课【课时安排】1课时【学习过程】一、知识点1 利用直尺和圆规作一个角的平分线1.自己动手画一个∠AOB，作出∠AOB的角平分线 OC2.平分一个平角∠AOB，通过作角平分线得到射线OC，然后反向延长OC 得到直线CD直线CD 与直线AB 存在什么样的位置关系？二、知识点2 角平分线的性质角平分线的性质：角的平分线上的点．几何语言：∵OC是∠AOB的平分线，，∴=作用：，三、随堂演练3.已知△ABC中, ∠C=900,AD平分∠CAB,且AB=10，BC=6，BD=4,求（1）点D到AB的距离是多少，（2）△ABD的面积是多少。

四、拓展延伸（小组讨论）1.如图，△ABC中，BD = CD，AD 是∠BAC 的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．求证：BE =CF．（在此题的已知条件下，你还能得到哪些结论，能否证明？）五、师生互动，课堂小结通过这节课的学习，你哪些收获呢？六、课后作业完成本课时相应练习册七、课外思考如图，点D、B分别在∠MAN的两边上，C是∠MAN内一点，AB =AD，BC = CD，CE⊥AM于E，CF⊥AN于F.求证：CE = CF.在此题的已知条件下，你还能得到哪些结论，能否证明？。

角的平分线的性质（一）教学目标1、应用三角形全等的知识，解释角平分线的原理．2．会用尺规作一个已知角的平分线．教学重点利用尺规作已知角的平分线．教学难点角的平分线的作图方法的提炼．教学过程Ⅰ．知识回顾问题1：三角形中有哪些重要线段．问题2：你能作出这些线段吗？Ⅱ．合作探究思考：右图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC．将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线．你能说明它的道理吗？要说明AC是∠DAC的平分线，其实就是证明∠CAD=∠CAB．∠CAD和∠CAB分别在△CAD和△CAB中，那么证明这两个三角形全等就可以了．看看条件够不够在△ABC和△ADC．因为所以△ABC≌△ADC（SSS）．所以∠CAD=∠CAB．即射线AC就是∠DAB的平分线．这种平分角的方法告诉了我们一种作已知角的平分线的方法。

作已知角的平分线的方法：已知：∠AOB．求作：∠AOB的平分线．作法：（1）以O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA、OB于M、N．（2）分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径作弧．两弧在∠AOB 内部交于点C．（3）作射线OC，射线OC即为所求．议一议：1．在上面作法的第二步中，去掉“大于MN的长”这个条件行吗？2．第二步中所作的两弧交点一定在∠AOB的内部吗？总结：1．去掉“大于MN的长”这个条件，所作的两弧可能没有交点，所以就找不到角的平分线．2．若分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画两弧，两弧的交点可能在∠AOB•的内部，也可能在∠AOB的外部，而我们要找的是∠AOB 内部的交点，•否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠AOB的平分线了．3．角的平分线是一条射线．它不是线段，也不是直线，•所以第二步中的两个限制缺一不可．4．这种作法的可行性可以通过全等三角形来证明．思考如图，任意画一角∠BAC，做出∠BAC的角平分线AP，在AP上任取一点O，过点O画出OA,OB的垂线，分别记垂足为E,D。

12.3 角的平分线的性质教学目标知识与技能1.能够利用三角形全等，证明角平分线的性质和判定．2.会用尺规作已知角的平分线．3.能利用角平分线性质进行简单的推理，解决一些实际问题．过程与方法经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力．情感态度价值观在探讨作角的平分线的方法及角的平分线的性质的过程中，培养学生探究问题的兴趣，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验，逐步培养学生的理性精神教学重点角平分线画法、性质和判定．教学难点角的平分线的性质的探究教学准备平分角的仪器(自制)三角尺、多媒体课件等．教学过程（师生活动）设计理念创设情境，导入新课1.在纸上任意画一个角，用剪刀剪下，用折纸的方法，如何确定角的平分线？2. 有一个简易平分角的仪器（如图），其中AB=AD,BC=DC,将A点放角的顶点，AB和AD沿AC画一条射线AE,AE就是∠BAD的平分线，为什么？复习旧知识，回忆角的平分线的定义让学生体验利用证明三角形全等的方法来对画法做出说明．要求学生能说明所作的射线是角平分线的理由．探索新知，建立模型探究1.(1)从上面对平分角的仪器的探究中，可以得出作已知角的平分线的方法。

已知什么？求作什么？【已知：∠AOB求作：∠AOB的平分线】(2)把简易平分角的仪器放在角的两边.且平分角的仪器两边相等,从几何角度怎么画?【以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N.】从实验中抽象出几何模型,明确几何作图的基本思路和方法.(3) 简易平分角的仪器BC=DC,从几何角度如何画 【分别以点M ，N 为圆心，大于二分之一MN 长为半径画弧，两弧在角的内部交于点C. (4)OC 与简易平分角的仪器中,AE 是同一条射线吗? 【是】 (5)你能说明OC 是∠AOB 的平分线吗? 【提示：利用全等的性质】 探究2. (1)在已画好的角的平分线OC 上任意找一点P,过P 点分别作OA 、OB 的垂线交OA 、O 于M 、N, PM 、PN 的长度是∠AOB 的平分线上一点到∠AOB 两边的距离。

第十二章全等三角形12.3角的平分线的性质课时2 角的平分线的判定【知识与技能】掌握角的平分线的判定，能灵活运用角的平分线的判定解题.【过程与方法】通过学生自主探索、操作、领会和感悟角的平分线的判定，并能体会感性认识与理性认识之间的联系与区别.【情感态度与价值观】通过认识的升华，使学生进一步理解数学，也使学生关注数学、热爱数学.角的平分线的判定.灵活运用角的平分线的判定解题.多媒体课件.教师出示教材P49思考：如图12-3-4，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，并且离公路与铁路的交叉处500 m.这个集贸市场应建于何处(在图上标出它的位置，比例尺为1∶20 000)?学生先自主思考，教师对学生的回答进行简单的点评，再将这个问题作为本节课开始的一个悬念.探究1：角的平分线的判定教师提出问题：我们知道，角的平分线上的点到角的两边的距离相等.那么，到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？探究新知让学生以四人为一个小组合作学习，动手操作、探究，获得问题的结论.从实践中可知：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，将条件和结论互换：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.教师指出条件和结论，学生叙述证明过程，教师板演：已知：如图12-3-5，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，PD=PE.求证：点P在∠AOB的平分线上.证明：经过点P作射线OC，如图12-3-5.∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.∴Rt△PDO≌Rt△PEO(HL)，∴∠DOP=∠EOP，即∠AOC=∠BOC，∴OC是∠AOB的平分线.∴点P在∠AOB的平分线上.然后教师解决情境导入中的那个问题，让学生根据上面的结论，确定这个集贸市场应该建于何处.学生分组讨论后回答.接着师生共同探究角的平分线的性质与判定的区别与联系：角的平分线的性质说明了角的平分线上的点的纯粹性，即只要是角的平分线上的点，它到此角的两边一定等距离，而无一例外；角的平分线的判定反映了角的平分线的完备性，即只要是到角的两边距离相等的点，都一定在角的平分线上，而绝不会漏掉一个.在实际应用中，前者用来证明线段相等，后者用来证明角相等(角的平分线).最后教师归纳角的平分线的作用：角的平分线的判定可以帮助我们证明角相等，使证明过程简化.需要注意的是：在推导过程中，应注意垂直关系的书写，指明垂线段，并由垂线段相等直接得到角相等，而不必再去证明三角形全等.教师出示教材P50例题如图12-3-6，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P.求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.教师分析：因为已知、求证中都没有具体说明哪些线段的长度表示距离，而证明距离相等必须标出它们，所以这一段话要在证明中写出，同辅助线一样处理.如果已知中写明点P 到三边的距离是哪些线段的长，那么图中画实线，在证明中就可以不写.学生独立完成，并让一名学生板演，教师点评：证明：如图12-3-6，过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F.∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，∴PD=PE.同理可得,PE=PF.∴PD=PE=PF.即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.教师点拨：在几何里，如果证明的过程完全一样，只是字母不同，可以用“同理”二字概括，省略详细的证明过程.教师继续让学生思考：点P在∠A的平分线上吗?这说明三角形的三条角平分线有什么关系?学生独立思考后得到结论：点P在∠A的平分线上，三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三角形三条边的距离都相等.接着教师让学生独立完成：教材P50练习第1题(学生完成之后,教师点评).1.角的平分线的判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.2.作用：证明角相等.。