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15、正弦交流电的相量表示法

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正弦交流电的相量表示法

正弦交流电的相量表示法

之一，广泛应用于交流电的分析、设计和控制中。
02
正弦交流电的基础知识
正弦交流电的定义
总结词
正弦交流电是指电压和电流随时间按 正弦规律变化的电能。
详细描述
正弦交流电是现代电力系统中最常用 的电能形式，其电压和电流的大小和 方向随时间变化，且变化规律呈正弦 波形。
正弦交流电的特性
总结词
正弦交流电具有周期性、频率、幅值、相位等特性。
THANKS
性等特性。
相量表示法在交流电机、电力系 统、通信和控制等领域有广泛应 用，是现代电力电子和通信技术
中不可或缺的工具。
04
相量表示法与正弦交流电的 关系
相量与正弦交流电的对应关系
相量是复数，其实部表示正弦交流电 的幅度，虚部表示正弦交流电的相位 。
相量长度（模）表示正弦交流电的有 效值或最大值，相量的角度表示正弦 交流电的相位。
02
相量运算能够简化正弦交流电的分析过程，使得复 杂的三角函数运算转化为简单的复数运算。
03
相量运算在交流电路的分析、设计与控制中有广泛 应用。
相量在电路分析中的应用
在交流电路分析中，相量表示法 能够将时域的三角函数形式转换 为复数形式，便于计算和分析。
通过相量图和相量运算，可以分 析交流电路的阻抗、功率和稳定
复数几何意义
复数在平面坐标系中可以用点或 向量表示，实部为x轴坐标，虚部 为y轴坐标。
阻抗和导纳
阻抗定义
阻抗是电路中阻碍电流流动的量，表示为复数 形式Z=R+jX，其中R是电阻，X是电抗。
导纳定义
导纳是类似于阻抗的量，表示为复数形式Y=G+jB， 其中G是电导，B是电纳。
阻抗和导纳的关系

10.正弦交流电路的相量表示法

10.正弦交流电路的相量表示法

I 2＝ 1590 0 j15(V )
＝100 20 100 2 (V ) U
指数表示法：
复数形式：
I cos jI sin I i i
I (cos j sin ) I i i
j
欧拉公式：
e
cos j sin
j i I Ie
课前提问
1、什么是旋转矢量？为什么提出旋转矢量？ 2、什么是相量和相量图？ 3、复数的四种表示方法是什么？
正弦量的相量表示法
教学任务： • 会画相量图
• 能够用复数的三种形式表示正弦量
回顾正弦交流电路的描述方法：
1. 瞬时值（三角函数法）： i I m sin t i
Im

2. 波形图法：

6

旋转矢量的加法
化简：一个电路中只有一种频 率。 要素。 三要素退化为两个 固定位置
B A
C
i
i
正弦量
t
对应
相量图
I m
i
初始相量
相量：电工学中用来表示正弦量大小和相位的矢量。记作 I
相量图表示法：
314t 48)V ， 例： 已知： u1 (t ) 100sin(
求：
有理数
复数：
a bj I
极坐标表示法：
最大值： 有效值：

I I m m i
o
i
I m
i(t ) 2 I sin( t i ) I I i
有效值相量的模表示正弦量的有效值 相量的幅角表示正弦量的初相位
优点：方便乘除运算。
【例题讲解】
u(t ) 2U sin(t θ )

正弦交流电的相量表示法

正弦交流电的相量表示法

u
波形图
O
ωt
瞬时值表达式 u Umsin( t )
相量 U Uψ
必须 小写
重点
前两种不便于运算，重点介绍相量表示法。
2.正弦量用旋转有向线段表示
设正弦量: y
u
Umsin(
t ψ)
u
u0ω
O
x
u1
U
O
m
ψ
ω t1
ωt
若:有向线段长度 = Um
有向线段与横轴夹角 =
初相位
有向线段以速度ω 按逆时针方向旋转
②只有正弦量才能用相量表示， 非正弦量不能用相量表示。
③只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上。
I
U
④相量的两种表示形式
相量式: U Uejψ U ψ U( cos ψ jsin ψ)
相量图: 把相量表示在复平面的图形
可不画坐标轴
I
U
⑤相量的书写方式
• 模用最大值表示 ，则用符号：U m 、Im
• 实际应用中，模多采用有效值，符号： U 、I
如：已知 u 220 sin(ω t 45)V
则U m 220e j45V或 U 220 e j45V 2
⑥“j”的数学意义和物理意义
e 旋转 90 因子： j90
ej90 cos 90 jsin90 j
设相量 A rejψ B
+j
则:该旋转有向线段每一瞬时在纵轴上的投影即表示
相应时刻正弦量的瞬时值。
3. 正弦量的相量表示
实质：用复数表示正弦量 复数表示形式
设A为复数: (1) 代数式A =a + jb
+j
b
r
0
A

正弦交流电的相量表示法

正弦交流电的相量表示法

相量的两种表示形式
例：已知同频率的正弦量的表达式分别为
例： 用相量图来表示下列正弦量
u 1 U m sin ω t V
u2 U m sin(ω t - 120 o ) V
u3 U m sin(ω t 120 o ) V
解：
•
U3
•
120 °
•
120° U1
U2
例：
例：写出下列正弦量的相量,并
求出：i = i1+i2 ,画出相量图。
i1 20 2 sin(t 60o)A
i2 10 2 sin(t - 30o )A
解：
İ1= 20∠60°A
İ2=10∠-30°A
İ = İ1+ İ2 = 20∠60°+10 ∠－30°
=20(cos60 °+jsin60 °)+ 10[cos(－30°)
+jsin (－30°)
加减运算用代数式, 实部与实部相加减, 虚部与虚 部分别相加减。
乘除运算用指数式或极坐标式，模相乘或相除， 辐角相加或减。
复数及其四则运算
用画图法作相量的加、减运算
03 正弦量的相量表示法
正弦量的相量表示法
正弦信号可用一旋转矢量来表示，
令：矢量长度＝Im 矢量初始角＝Ψ
如图所示：
矢量旋转速度＝ω
注意：
• ①相量只是表示正弦量，而不等于正弦量，两者只有对应关
系。 i=Im sin(t )≠Im
•
Im Im
• 正弦量是时间的函数，而相量仅仅是表示正弦量的复数，两 者不能划等号！
• ②只有正弦量才能用相量表示，非正弦量不能用相量表示。 • 因此，只有表示正弦量的复数才能称之为相量。 • ③只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上。

正弦交流电路的相量表示法

正弦交流电路的相量表示法

03
相量表示法的应用
相量与复数的关联
01
相量是复数的一种表示形式，其 实部表示电压或电流的有效值， 虚部表示其相位角。
02
通过复数运算，可以方便地计算 正弦交流电路中的电压、电流和 阻抗等参数。
相量在电路分析中的应用
利用相量图，可以直观地分析正弦交 流电路中的电压、电流和阻抗之间的 关系。
通过相量法，可以简化正弦交流电路 的计算过程，提高计算效率和精度。
02
正弦交流电路的基本概念
正弦交流电的产生
交流发电机
通过机械能转换为交流电，发电 机转子旋转产生磁场，定子切割 磁力线产生感应电动势，从而产 生正弦交流电。
交流调压器
通过改变磁通量或改变匝数来调 节输出电压，从而产生正弦交流 电。
正弦交流电的特性
01
02
03
周期性
正弦交流电的电压、电流 等参数随时间按正弦规律 变化，具有周期性。
通过相量图，可以直观地理解电路的相位 关系和阻抗的性质。
03
02
简化了正弦交流电路的分析过程，使得计算 变得直观和方便。
04
局限性
相量法仅适用于线性时不变系统，对于非 线性或时变系统，相量法不再适用。
05
06
对于多频输入信号，相量法可能无法准确 描述信号的频谱特性。
未来研究方向
01
深入研究非线性电路和时变系统的相量表示法，以扩展相量法 的应用范围。
VS
电动机的启动和制动
利用相量法，可以研究电动机的启动和制 动过程，为电动机的控制提供理论支持。
滤波器问题
滤波器的频率响应
通过相量法，可以分析滤波器的频率响应特 性，从而设计出符合要求的滤波器。

正弦量的相量表现法[会要]

正弦量的相量表现法[会要]

4－１ 正弦交流电路的分析方法一、用向量表示正弦量表示正弦量的方法：三角函数式、波形图、相量图（式）。

一、正弦量的旋转矢量表示1、相量：在一平面直角坐标系上画一矢量，它的长度等于正弦量的最大值，它与横轴正方向之间的夹角为正弦量的初相，而角速度因是固定的也可不必再标明，这种仅反映正弦量的最大值和初相的“静止的”矢量，称为相量。

如：∙m I 、∙m U 、∙m E 。

有效值相量：表示出正弦量的有效值和初相位的相量。

如：∙I 、∙U 、∙E 。

2、注意：⑴相同单位的量应按相同的的比例尺来画，不同单位的量可以用不同的比例尺来画；⑵只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上，否则无法进行比较和运算。

二、同频率正弦量的加、减确定m I 和ψ可用曲线相加法，也可用相量作图法。

１、 相量作图法的步骤：先用出相量1∙I 和2∙I ，而后以1∙I 和2∙I 为邻边作一平行四边形，其对角线即为合成电流i 的相量∙I 。

∙I的长度为有效值，∙I 与横轴正方向的夹角即为初相ψ。

２、应用相量作图法对正弦量进行减法时，实质与加法相同。

例如： ∙∙∙∙∙-+=-=)(2121I I I I I ３、三角形法求矢量加、减两矢量求和：两相量“头尾相连”，第三条边即是它们的和。

两矢量求差：两相量“尾尾相连，指向最减数的第三边即为它们的差。

多个相量相加时：各相量“头尾相连”，由第一个相量的箭尾和最后一个相量的箭头作一相量，即为求和的相量。

三、相量的复数表示式把一个表示正弦量的相量画在复平面上，相量便可以用复数来表示，从而正弦量也就可以用复数表示。

jb a I +=∙其中，a----实部，b----虚部ψψsin ,cos I b I a ==则： ()ψψψψsin cos sin cos j I jI I jb a I +=+=+=∙，式中，Ｉ----复数的模，ψ----复数的幅角ab tg b a I =+=ψ,22复数的三角函数形式变换为指数形式再简写为极坐标形式为：ψψ∠==∙I Ie I j复数和正弦量之间也是一一对应的关系，表示正弦量的复数称为相量表示式，也简称相量，以后述及相量，若进行运算指复数运算，若作图指位置在初始时间的相量图。

正弦交流电路的相量表示法


220
23
3
220 [cos( ) j sin( )] (110 j 190 .5)V
3
3
I
100 / 6
/3
220
U
u 正弦量
对应
相量图 U
t


例4
已知： u1(t) 100sin(314t 48)V ，
u2 (t) 50sin(314t 45)V
相量图: 把相量表示在复平面的图形
可不画坐标轴

2、相量式的书写方式：
模用最大值表示 ，则用符号：Um 、Im、E. m 模用有效值表示，则用符号： U 、I、E.
3注.3 意正弦：量在的实相量际表应示用法 中，模更多采用有效值表示
U I
注 意：
1) 相量只是表示正弦量，而不等于正弦量。
为了与一般的复数相区别，我们把表示正弦量的
复数称为相量，并在大写字母上打“.”表示。
设正弦量 u Umsin(ωt ψ)
相量表示:
U Uejψ Uψ 相量的模=正弦量的有效值
相量辐角=正弦量的初相角
或
Um Umejψ Umψ
相量的模=正弦量的最大值 相量辐角=正弦量的初相角
U• 220 45？
4 2 sin (ω t 30 ) ？
2
有效值
j45
瞬时值
4.已知：
U m 220 ？ e45
U 100 15V
2.已知：I 1060A
i 10 sin ( ω t 60)？A
最大值
U 100V ？负号 ？ U 100 ej15 V
+j
b
A

正弦交流电的相量表示法(2)

电工基础
正弦量的表示法：
解析式： i(t ) I m sin(t ) A
i
Im
最大值相量： I m I m
有效值相量： I I
最大值： I m
I
Im
I
有效值： I
平均值：
I
I
电工基础
例：写出下列正弦量的相量形式：
i1 (t ) 5 2 sin(t 53.1) A
2
虚数
用 j 代替
虚部 实部
i
B a jb
j
复数 A a jb 代数式
0
D
b
A
C a jb
D a jb
复数的模
r

0
1
r a 2 b2

复数矢量与实轴正方向的夹角
a
C
0
取值在正180度到负180度之间
a r cos
0
电工基础
三、正弦量的相量表示法： re j r cos jr sin
Im
t
正弦交流电
I me j (t ) I m cos(t ) jI m sin(t )
用 I me
I me
j (t )
代
jt
替
I m sin(t ) I mt
加减用代 数式运算
A B a1 jb1 a2 jb2 (a1 a2 ) j (b1 b2 ) A B a1 jb1 (a2 jb2 ) (a1 a2 ) j (b1 b2 )
A B
A
A B
A
B B
1
1

正弦交流电的基本概念、相量表示法

在复平面中，以实轴为电阻轴，虚轴为感抗和容抗之和，将阻抗的相量标在图上，形成阻抗相量 图。
04
交流电路的分析
交流电路的元件
01
02
03
电阻元件
在交流电路中，电阻元件 的阻抗不随时间变化，其 值由电阻的物理性质决定。
电感元件
在交流电路中，电感元件 的感抗随频率变化，其值 由电感的物理性质决定。
电容元件
幅角
相量与实轴正方向的夹角，表示正弦交流电的 相位。
相量运算
加标法题
将•两个文同字频内率容的相量 • 文字内容
按•平行文四字边内形容法则进 • 文行字合内成容。
减法
将一个相量减去另一 个相量，等于将一个 相量的起点平移到另 一个相量的终点后再
进行加法运算。
数乘
一个标量与一个相量 的乘积，表示该标量 乘以相量的模长和幅
表示发电机或变压器的输出功率与输入功 率的比值，反映了设备本身的损耗。
THANKS
角。
比例关系
对于两个同频率的相 量，其比值等于相应 正弦量的比值，即电 压与电流的比值为电 阻，电压与感抗的比 值为电感，电流与容 抗的比值为电容。
03
正弦交流电的相量表示
电压的相量表示
电压的相量表示法
将正弦交流电压的幅度和初相角用复数表示，即$U = U_{m}angletheta$。其 中，$U_{m}$表示电压的幅度，$theta$表示电压的初相角。
电压相量图
在复平面中，以实轴为幅度轴，虚轴为相位轴，将电压的相量标在图上，形成 电压相量图。
电流的相量表示
电流的相量表示法
将正弦交流电流的幅度和初相角用复 数表示，即$I = I_{m}angletheta$。 其中，$I_{m}$表示电流的幅度， $theta$表示电流的初相角。

15、正弦交流电的相量表示法cos

思考：
i1 i3
i2
i1(t) = 4 cos(t+00 ) A i2(t) = 3 cos(t +90 o )A
i3 = i1 + i2
利用三角函数公式 利用波形图
相量法
§5.2 - 5.3 正弦交流电的相量表示
内容： 1、正弦量的相量表示 2、两类约束的相量形式 时数： 2 学时 要求：会用相量图和复数表示正弦交流电， 并能运用相量进行两个正弦量的四则 运算及乘方开方运算。复述基尔霍夫 定律相量形式及欧姆定律相量形式的 内容。
4 0 .8 j 4 0 .6 3 .2 j 2 .4
o U 2 3 53
B
u2
–
3 cos( 53 ) j 3 sin( 53 )
o o
3 cos 53 j 3 sin 53
o
o
u3 5 2 cos t V
3 0 .6 j 3 0 .8
5 0 0 I3
i3(t) = 5
2 cos t A
例2
i1
i3
相 量 图 法
i2
i3 = i1 + i 2
i1(t) = 4 i2(t) = 3
0
)A 2 cos(t + 37°
2 cos(t – 53°)A
+j
I 1 4 37
I1
I 2 3 53
0 I 3 5 0
0
I 1 4 37
I 2 3 53
4 cos 37 0 j 4 sin 37 0 3.2 j 2.4 I1
0 0 I 2 3 cos( 53 ) j 3 sin( 53 ) 1.8 j 5
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0
I m 1 4 0
+j Im2
0
390 0 Im2
I m 3 5 37
0
5
θ
i
Im3 3
4
Im1+1
i3(t) = 5 sin(t +37 o ) A
例2
i1 i3
i2
i3 = i1 + i 2
i1(t) = 4 i2(t) = 3
0
2 sin(t 2 sin(t
思考：
i1 i3
i2
i1(t) = 4 sin(t+00 ) A i2(t) = 3 sin(t +90 o )A
i3 = i1 + i2
利用三角函数公式 利用波形图
相量法
§5.2 - 5.3 正弦交流电的相量表示
内容： 1、正弦量的相量表示 2、两类约束的相量形式 时数： 2 学时 要求：会用相量图和复数表示正弦交流电， 并能运用相量进行两个正弦量的四则 运算及乘方开方运算。复述基尔霍夫 定律相量形式及欧姆定律相量形式的 内容。
重难点：相量表示法
§5.2 正弦交流电的相量表示法

一、正弦交流电与旋转矢量的关系 1、矢量 能同时表示大小和方向的物理量
y
动画
u(t)
Um x
A O
t
T
( t u )
2、旋转矢量
3、关系
t 0 时刻的静止矢量能表示 振幅和初相
矢量 OA 在 Y 轴上的投影 就是正弦交流电的瞬时值 OY U m sin( t u ) u ( t )
U 3 U 1 U 2 5 500
二、欧姆定律的相量形式 1、欧姆定律 I R I R _ + U + U
R U I
U R I
I _ +
Z
U
U Z= I
_
2、广义欧姆定律与复阻抗
U u U U Z u i I i I I
i 1 5 2 sin( t 45 ) A
o
i1 i 3 i2
i2 5
2 sin( t 45
o
)A
i3 = i1 + i2
I 3 I 1 I 2 5 45
5 cos 45
0
0
5 45
0
0
5 20 A
o
j 5 sin 45
0
5 cos( 45
4 0 0 Im1
1、化极座标式
390 0 Im2
2、加减运算 I m 1 4 cos 0 0 j 4 sin 0 0 4
3 cos 90 0 j 3 sin 90 0 j 3 Im2
Im 3 Im1 Im 2 4 j 3
二、正弦交流电的相量表示法
同频信号只需要表示振幅和初相两个要素
1、相量 t 0 时刻的静止矢量
u 20 2 sin( t 120
0 0
Im I U m U
U 20 120
0
)
i 10 sin( t 45
)
I m 10 45
0
2、相量图 静止矢量画在平面座标中的图形
o Um 5 30 1 .2 Z o Im 4 30
。
I m 4 30
o
电压与电流同相，该元件为电阻
Z R 1.2
例2 已知某元件压流 如左，求复阻抗
U m 9 30
o
o
u(t) = 9 sin(200 t +30 )V 。 i(t) = 3 sin(200 t - 60 )A
0
0
小结：
1、正弦交流电的四种表示方法 时域：函数式、波形图 (表三要素) 频域：相量式、相量图 (表两要素) 2、正弦交流电的相量表示 I 与 i(t) 的联系和区别: 联系: 区别: I ( Im ) i(t) 的振幅、初相 i(t) 是正弦函数，是 t 的函数
I 是复常数，不是 t 的函数
同频条件下， I 与 i(t)是对应关系
4 0 .8 j 4 0 .6 3 .2 j 2 .4
o U 2 3 53
B
u2
–
3 cos( 53 3 cos 53
o
o
) j 3 sin( 53
o
o
)
j 3 sin 53
u3 5 2 sin t V
3 0 .6 j 3 0 .8 1 .8 j 2 .4
0
+37° )A –53° )A
I 1 4 37
I 2 3 53
4 cos 37 0 j 4 sin 37 0 I1
3.2 j 2.4
0 0 I 2 3 cos( 53 ) j 3 sin( 53 ) 1.8 j 2.4
I 3 I1 I 2 5
i(t) =
I
3、四种相量表示法的互换
极坐标式 指数式 代数式 三角式
4、KCL、KVL的相量形式 5、广义欧姆定律和复阻抗相量
加减运算
相互 关系
a b b u arctan a
2 2
U
三、特殊角与典型三角形
2
1
1
sin 45
0
1 2
2 2
cos 45
0
3 2
2 2
tan 45
0
1 3 3
450
sin 30
0

cos 30 3
0

0
tan 30
0

2 300
3
600
1
sin 60
0
cos 60
) j sin( 45
0
0
)
10 cos 45
5
2
i3(t) = 10 sin t A
例2 求 u3(t)
+ +
u1 4
2 sin( t 37
o
)V
o
u2 3
2 sin( t 53
o
)V
o
u3
–
A
u1
– +
U 1 4 37
4 cos 37
o
j 4 sin 37
I3
I2
2 sin t
+1
i3(t) = 5
A
§5 .3 两类约束的相量形式
一、基尔霍夫定律的相量形式
1、KCL 假设节点的电流为同频正弦信号
∑ ik = 0 k=1 ∑ uk = 0
k=1
n
∑
k=1 n
n
Ik = 0
2、KVL 假设回路中的电压为同频正弦信号
n
∑
Uk = 0
k=1
例1 求 i3(t)
a、模是电压与电流振幅或有效值的比值
Z
=
Um Im
=
U I
b、幅角是这段电路电压与电流的相位差 u i
例1 已知某元件压流 如左，求复阻抗
U m 5 30
o
u(t) = 5 sin(100 t +30 )V 。 i(t) = 4 sin(100 t +30 )A

1 2
tan 60
0
3
2
sin 37
0

3 5
cos 37
0
0

4 5
tan 37
0
0
4 3
3 4
5 370
530
3
sin 53
0
4 5
cos 53
3 5
tan 53

4
例1
i1 i3
i2
i3 = i1 + i 2 i1(t) = 4 sin(t+00 ) A i2(t) = 3 sin(t +90 o )A
U m 4 30
o
。
I m 8 120
o
o Um 4 30 0 . 5 90 Z o Im 8 120
o
电压滞后电流 900，该元件为电容
Z 0.5 cos( 90 ) j0.5 sin( 90 )
0 0
0.5 cos 90 j0.5 sin 90 j0.5
3、化极座标式 4、还原信号
Im3
4 3 arctan
2 2
3 4
5 37
0
i3(t) = 5 sin(t +37 o ) A
相量计算的一般规律
时域表达式
极坐标式
三角式
代数式 加 减
乘
除
三角式
极坐标式
代数式
时域
频域
例1
i1 i3
相 量 图 法
i2
i3 = i1 + i 2 i1(t) = 4 sin(t+00 ) A i2(t) = 3 sin(t +90 o )A
5 0 0 I3
i3(t) = 5
2 sin t
A
例2
i1
i3
相 量 图 法
i2
i3 = i1 + i 2
i1(t) = 4 i2(t) = 3
0
2 sin(t 2 sin(t
+ 37°)A – 53°)A
I 1 4 37
+j