向量共线定理的证明讲课教案

2．2．4向量共线定理教学目标：1、掌握两向量共线条件判定两向量是否平行2、学会用共线向量的条件处理一些几何问题教学重点：向量共线的条件教学难点：向量共线与几何共线的区别教材分析：在学生掌握向量数乘概念的基础上，重点研究向量数乘的几何意义即共线向量。

向量共线的条件是由实数与向量的积推出的。

要让学生理解两个向量共线的充要条件，能够运用两向量共线条件判定两向量是否平行教学方法：教学过程：一、情景创设：(一)复习向量数乘(二)引例：P66 例2二、数学建构：向量共线定理：（向量共线的充要条件）向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b a λ=．三、数学应用：例1 判断下列各题中的向量是否共线：（1）21245a e e =-，12110b e e =-； （2）12a e e =+，1222b e e =-，且1e ，2e 共线．解：（1）当0a =时，则0b =，显然b 与a 共线．当0a ≠时， 12121121(4)10454b e e e e a =-=-=，∴b 与a 共线． （3）当1e ，2e 中至少有一个为零向量时，显然b 与a 共线．当1e ，2e 均不为零向量时，设12e e λ=∴2(1)a e λ=+，2(22)b e λ=-若1λ=-时，，0a =，显然b 与a 共线．若1λ≠-时，221b a λλ-=+， ∴b 与a 共线．例2 。

如图，已知3AD AB =，3DE BC =．试判断AC 与AE 是否共线． 解：∵333()3AE AD DE AB BC AB BC AC =+=+=+=∴AC 与AE 共线．例3．(1)P68 ex 2(2) 设12,e e 是两个不共线的向量，已知122AB e ke =+，123CB e e =+，122CD e e =-， 若A ，B ，D 三点共线，求k 的值．解：()()1212122)34BD CD CB e e e e e e =-=--+=-∵A ，B ，D 三点共线，∴AB 与BD 共线，即存在实数λ，使得AB BD λ=，即是12122(4)e ke e e λ+=-. 由向量相等的条件，得24k λλ=⎧⎨=-⎩，∴8k =-． A B C D E例4、P67 (1)例4(2)P69 10四、课堂练习：导学：P29 1、2五、小结：理解两向量共线（平行）的充要条件，并会判断两个向量是否共线．。

2.2.4 向量共线定理教学目标：1．理解两个向量共线的含义，并能运用它们证明简单的几何问题；2．培养学生在学习向量共线定理的过程中能够相互合作,在不断探求新知识中，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力.教学重点：共线向量定理的应用.教学难点：共线向量定理的应用.教学过程：一、问题情境问题1 上一节中蚂蚁自西向东3秒钟的位移对应的向量为3a ，记b ＝3a ，b 与a 共线吗？aO A（给出线性表示：如果b λ=a (a ≠0)，则称向量b 可以用非零向量a 线性表示）二、学生活动问题2 对于向量a 和b ，如果有一个实数λ，使得b λ=a ，那么a 与b 共线吗？ （可以引导学生从λ的不同取值来探讨）（若有向量a 和b ，实数λ，使b λ=a ，则由实数与向量积的定义知：a 与b 为共线向量）问题3 如果向量a 和b 共线，是否存在一个实数λ，使b λ=a ？（若a ≠0，a 与b 共线且|b |:|a |μ=，则当a 与b 同向时b μ=a ；当a 与b 反向时b =-μa ，从而向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b λ=a .）三、构建教学1．整理归纳向量共线定理．B D A CE 如果有一个实数λ，使b λ=a (a ≠0)，那么b 与a 是共线向量；反之，如果b 与a (a ≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b λ= a.2．对定理的理解与证明问题4 为什么要求a 是非零的？b 可以为0吗？若a ＝0，则a , b 总共线，而b ≠0时，则不存在实数λ，使b λ=a 成立；而b = a ＝0时，不管λ取什么值，b λ=a 总成立，λ不唯一.问题5：结合问题2，3的探求，能不能完善定理证明（可以让学生大胆尝试证明，对证明的程序和方法老师要及时给予指导）？四、教学运用1. 例题.例1 如图，E D ,分别为ABC ∆的边AB和AC 中点，求证：→--BC 与→--DE 共线，并将→--DE 用→--BC 线性表示.例2 判断下列各题中的向量是否共线：（1）a =4e 1-25e 2，b =e 1-110e 2；（2）a = e 1＋e 2，b =2 e 1-2 e 2，且1e ，2e 共线．例3 如图2-2-11，ABC ∆中，C 为直线AB 上一点，−→−AC λ=)1(-≠−→−λCB 求证：λλ++=−→−−→−−→−1OB OA OC . 例题提高：上例所证的结论λλ++=−→−−→−−→−1OB OA OC 表明：起点为O ，终点为直线AB 上一点C 的向量−→−OC 可以用,−→−OA −→−OB 表示，那么两个不共线的向量,−→−OA −→−OB 可以表示平面内任一向量吗？ 2．练习．（1）已知向量a =2e 1-2e 2，b =-3（e 2-e 1），求证：a 与b 是共线向量．（2）已知4MP =e 12+e 2 ,2PQ =e 1＋e 2，求证：M ，P ，Q 三点共线．（3）如图，在△ABC 中，12CD AE DA EB ==，记,BC a CA b ==，求证： 13DE （b －a ）． 五、要点归纳与方法小结本节课学习了以下内容:1．两个向量共线的含义；2．两个向量共线（平行）的充要条件；3．能判断两个向量共线. ABDC E。

高一数学课程教案平面向量的共线与垂直关系的判定与应用高一数学课程教案：平面向量的共线与垂直关系的判定与应用引言：在高中数学中，平面向量是一个重要的概念。

了解平面向量的性质与关系，对于学生理解数学知识的整体框架具有重要作用。

本教案将重点介绍平面向量的共线与垂直关系的判定与应用，以帮助学生更好地理解与应用相关知识。

一、平面向量共线与垂直关系的判定1. 共线关系的判定共线向量指的是方向相同或相反的向量，即它们的起点与终点在同一直线上。

判定共线向量，可以通过以下两种方法进行：- 方法一：向量共线的定义根据向量共线的定义，若向量A，A共线，则存在非零实数A，使得A=AA。

换言之，A与A的坐标分量之比相等。

因此，我们可以通过计算向量坐标分量之比来判断向量的共线关系。

- 方法二：向量共线的判定定理向量共线的判定定理指出，若向量A，A不共线，则向量A与向量A，A共线当且仅当存在实数A，使得A=AA+A。

通过判断向量A与向量A，A之间是否满足这个关系，我们可以判断共线关系。

2. 垂直关系的判定垂直向量指的是两个向量的夹角为90°的向量。

判定垂直向量，可以通过以下两种方法进行：- 方法一：向量垂直的定义根据向量垂直的定义，向量A与向量A垂直，当且仅当A·A=0，即两个向量的数量积为零。

因此，可以通过计算向量的数量积来判断两个向量的垂直关系。

- 方法二：向量垂直的判定定理向量垂直的判定定理指出，向量A与向量A垂直，当且仅当有A1，A2∈A，使得A=A1A+A2A。

通过判断向量A是否满足这个关系，我们可以判断垂直关系。

二、平面向量共线与垂直关系的应用1. 平行四边形的性质平行四边形是具有两组相对平行边的四边形。

在平行四边形中，如果一对对角线的交点与其中一条对角线的中点重合，那么这两条对角线所代表的向量是共线向量。

通过共线向量的性质，我们可以解决平行四边形相关的证明与计算问题。

2. 角平分线的性质角平分线是将一个角等分为两个相等的角的线段。

向量共线的条件讲课教案第一章：向量共线的概念引入1.1 教学目标：(1) 了解向量共线的定义及其数学表达。

(2) 理解向量共线的直观含义及其在几何中的应用。

1.2 教学内容：(1) 向量共线的定义：如果两个非零向量a 和b，存在一个实数λ，使得a = λb，这两个向量叫做共线向量。

(2) 向量共线的数学表达：a // b 或者a 和b 共线。

(3) 向量共线的直观含义：在几何中，如果两个向量共线，它们表示的直线是平行的或者重合的。

1.3 教学方法：(1) 通过几何图形引导学生直观地理解向量共线的概念。

(2) 通过实例让学生理解向量共线的数学表达。

1.4 教学活动：(1) 利用投影仪展示几何图形，引导学生直观地理解向量共线的概念。

(2) 利用具体例子，让学生理解向量共线的数学表达。

(3) 学生进行小组讨论，分享自己对向量共线的理解和例子。

(4) 教师进行讲解和解答学生的疑问。

第二章：向量共线的判定条件2.1 教学目标：(1) 学会使用向量共线的判定条件判断两个向量是否共线。

(2) 理解向量共线的判定条件的数学推导过程。

2.2 教学内容：(1) 向量共线的判定条件：如果两个向量a 和b 都为零向量或者不为零向量，并且它们的坐标成比例，这两个向量共线。

(2) 向量共线的判定条件的数学推导过程：通过向量的线性组合和坐标表示，推导出向量共线的判定条件。

2.3 教学方法：(1) 通过数学推导引导学生理解向量共线的判定条件。

(2) 通过实例让学生学会使用向量共线的判定条件判断两个向量是否共线。

2.4 教学活动：(1) 教师引导学生进行数学推导，理解向量共线的判定条件。

(2) 利用具体例子，让学生学会使用向量共线的判定条件判断两个向量是否共线。

(3) 学生进行小组讨论，分享自己对向量共线的判定条件的理解和例子。

(4) 教师进行讲解和解答学生的疑问。

第三章：向量共线的应用3.1 教学目标：(1) 学会使用向量共线解决实际问题。

向量共线关系教案教案标题：向量共线关系教案一、教学目标：1. 理解向量共线的概念，并能够判断两个向量是否共线。

2. 掌握判断向量共线的方法和技巧。

3. 能够应用向量共线的概念解决实际问题。

二、教学内容：1. 向量共线的定义和判断方法。

2. 向量共线的性质和特点。

3. 向量共线的应用。

三、教学过程：第一步：导入新知1. 引入向量的概念，复习向量的表示方法和运算规则。

2. 引出向量共线的概念，通过示例向学生展示共线向量的特点。

第二步：向量共线的判断方法1. 教师介绍向量共线的几种判断方法，包括向量的数乘关系、向量的坐标关系和向量的夹角关系。

2. 通过具体的例题，引导学生掌握判断向量共线的方法和技巧。

第三步：向量共线的性质和特点1. 教师讲解共线向量的性质和特点，包括共线向量的模长比例关系、方向相同或相反等。

2. 引导学生通过实例理解和应用共线向量的性质。

第四步：向量共线的应用1. 教师引导学生通过向量共线的概念解决实际问题，如力的平衡问题、平面几何问题等。

2. 学生进行个别或小组练习，巩固向量共线的应用能力。

四、教学资源：1. 教科书或课件：包含向量共线相关知识的教材或课件。

2. 示例和练习题：提供向量共线判断的示例和相关练习题。

五、教学评估：1. 教师通过课堂练习、小组讨论等方式，检查学生对向量共线的理解和应用能力。

2. 布置作业，要求学生解决一些实际问题，检验他们对向量共线的掌握程度。

六、教学延伸：1. 引导学生深入研究向量共线的相关知识，拓展应用领域。

2. 引导学生进行实际问题的建模和解决，培养他们的创新思维和问题解决能力。

七、教学反思：1. 教师根据学生的学习情况和反馈，及时调整教学策略，确保教学效果。

2. 教师对教案进行反思和总结，为今后的教学提供参考和改进。

向量共线的条件与轴上向量坐标运算教案教案标题：向量共线的条件与轴上向量坐标运算教学目标：1.理解向量共线的概念及其条件；2.能够运用向量的基本性质进行轴上向量的坐标运算；3.能够解决与向量共线和轴上向量坐标运算相关的问题。

教学重点：1.向量共线的条件；2.轴上向量坐标运算的方法。

教学难点：1.向量共线条件的证明；2.轴上向量坐标运算的灵活应用。

教学工具：1.教学板书；2.教辅资料。

教学过程：一、导入（10分钟）1.教师简要回顾向量的概念及性质，引出向量共线的概念；2.引导学生思考，什么样的向量才能称为共线？二、理论讲解（20分钟）1.向量共线的条件：a) 定义：若存在非零数$k$，使得向量$\vec{u}$和向量$\vec{v}$满足$\vec{u}=k\vec{v}$，则称$\vec{u}$和$\vec{v}$共线。

b) 条件一：向量$\vec{u}$和向量$\vec{v}$的方向相同或相反。

c) 条件二：向量$\vec{u}$和向量$\vec{v}$的长度之比为一个常数。

d) 条件三：向量$\vec{u}$和向量$\vec{v}$的线性组合为零向量。

e)学生通过教师的指导，尝试使用向量的坐标进行条件的证明。

2.轴上向量坐标运算：a) 定义：若向量$\vec{u}$与坐标轴重合，则称$\vec{u}$为轴上向量。

b)懂得$x$轴和$y$轴上向量的性质，并掌握其坐标的计算方法。

c)学生通过教师的引导，尝试解决一些具体的轴上向量和坐标的运算问题，如向量的加减、乘法等。

三、练习与讨论（30分钟）1.学生进行一些练习题的解答，教师进行批改和点评；2.学生互相讨论并交流问题，教师进行解答和指导。

四、拓展与应用（30分钟）1.对所学内容进行扩展，引导学生思考如何推广向三维空间的向量共线条件；2.提供一些真实生活中与向量共线和轴上向量坐标运算相关的问题，引导学生运用所学知识解决问题。

五、总结与作业布置（10分钟）1.教师对本节课内容进行总结，强调向量共线条件的重要性和应用价值；2.布置课后作业，要求学生运用向量共线和轴上向量坐标运算的知识解决一些练习题，并列出下节课的预习内容。

第一章：向量共线的概念引入1.1 课程背景：在之前的课程中，我们已经学习了向量的基本概念，包括向量的定义、向量的运算等。

本节课我们将学习向量共线的概念，并了解向量共线的条件。

1.2 教学目标：1. 理解向量共线的概念；2. 掌握向量共线的条件；3. 能够运用向量共线的条件解决实际问题。

1.3 教学内容：1. 向量共线的概念引入；2. 向量共线的条件讲解；3. 向量共线条件的应用实例。

第二章：向量共线的条件2.1 课程背景：在第一节课中，我们已经了解了向量共线的概念。

本节课我们将学习向量共线的条件，并能够运用这些条件判断两个向量是否共线。

2.2 教学目标：1. 掌握向量共线的条件；2. 能够判断两个向量是否共线；3. 能够运用向量共线的条件解决实际问题。

2.3 教学内容：2. 判断两个向量是否共线的实例；3. 向量共线条件的应用实例。

第三章：向量共线定理3.1 课程背景：在第二节课中，我们已经学习了向量共线的条件。

本节课我们将学习向量共线定理，并能够运用向量共线定理解决实际问题。

3.2 教学目标：1. 掌握向量共线定理；2. 能够运用向量共线定理解决实际问题；3. 能够运用向量共线定理进行证明。

3.3 教学内容：1. 向量共线定理的讲解；2. 向量共线定理的应用实例；3. 向量共线定理的证明。

第四章：向量共线的坐标表示4.1 课程背景：在第三节课中，我们已经学习了向量共线定理。

本节课我们将学习向量共线的坐标表示，并能够运用坐标表示判断两个向量是否共线。

4.2 教学目标：1. 掌握向量共线的坐标表示；2. 能够运用坐标表示判断两个向量是否共线；3. 能够运用坐标表示解决实际问题。

4.3 教学内容：1. 向量共线的坐标表示讲解；2. 判断两个向量是否共线的坐标表示实例；3. 向量共线的坐标表示应用实例。

第五章：向量共线条件的应用5.1 课程背景：在第四节课中，我们已经学习了向量共线的坐标表示。

本节课我们将学习向量共线条件的应用，并能够运用这些条件解决实际问题。