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齐次线性方程组解的结构⏹齐次线性方程组解的结构⏹非齐次线性方程组解的结构齐次线性方程组解的结构⏹齐次线性方程组解的性质⏹应用举例齐次线性方程组解的结构设齐次线性方程组为00221122221211212111n mn m m n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 即 齐次线性方程组解的性质Ax齐次线性方程组解的结构性质1的和仍是解向量.齐次线性方程组的两个解向量0 Ax 齐次线性方程组解的性质设X 1,X 2为齐次线性方程组AX =0的两个解向量,则有AX 1=0,AX 2=0,证因为A (X 1+X 2)即X 1+X 2为方程组AX =0的解向量.=AX 1+AX 2=0，齐次线性方程组解的结构性质2以常数k 仍为解向量.齐次线性方程组的一个解向量乘0 Ax 注：解向量的任意线性组合仍为解向量.因为性质1和性质2可知, 所以齐次线性方程组解向量的任意线性组合仍为其解向量.齐次线性方程组解的结构性质2以常数k 仍为解向量.齐次线性方程组的一个解向量乘0 Ax 注：解向量的任意线性组合仍为解向量.齐次线性方程组解的结构1. α1, α2, …, αk 是线性无关的;2.方程组Ax =0的任意一个解向量均可由α1,定义Ax =0的一组解向量,α2, …, αk 线性表出,则称α1, α2, …, αk 是齐次方程组Ax =0的一个基础解系.设α1, α2, …, αk 是齐次线性方程组并且齐次线性方程组解的结构2.基础解系中含有多少个解向量?与R(A)有何关系?1.方程组是否总有基础解系?0 Ax齐次线性方程组解的结构定理1齐次线性方程组的系数0 Ax 并且基础解系含有n -r 个解向量.方程组有基础解系, n r A R )(矩阵A 的秩时, 齐次线性方程组解的结构齐次线性方程组解的结构(用定义构造法找出一个基础解系即可)证n r A R )(1.因为所以A 中至少有一个r 阶子式不为零,按照上节定理2的分析,并且可以化为:不妨设A 中位于左上角的r 阶子式不为零,0 Ax 方程组有无穷多解,齐次线性方程组解的结构nn r r n rn r r ,r rn n r r ,n n r r ,x x x x x c x c xx c x c x x c x c x11112112211111齐次线性方程组解的结构写成向量形式nrn n n r r ,r r ,r ,r r ,r r ,r ,n r r r x c c c x c c c x c c c x x x x x x100010001212222211112112121 说明方程组任意解均可由α1, α2,…, αn-r 线性表出.齐次线性方程组解的结构， 0,,0,0,1 ， 0,,0,1,01,,0,0,0 ， 2.代入得到方程的n-r 个解向量:0 Ax 逐次令自由变量为n r r x x x ,,,21齐次线性方程组解的结构100,,010,001212,2,22,121,1,21,11 rn n n r n r r r r r r r r c c c c c c c c c齐次线性方程组解的结构由1. 2. 说明:它可以看成是在n -r 个n -r 维基本单位向量：0 Ax 的一个基础解系.中的每个向量上添加r 个分量而得到的,所以线性无关.α1, α2,…, αn -r 就是方程组(1,0,…,0)T ,(0,1,…,0)T ,…,(0,0,…,1)T齐次线性方程组解的结构推论设齐次方程组m ,,,i x a n j j ij 2101 (2)（因秩为n-r ,所以任n-r 个线性无关的解向量必为基）的系数矩阵的秩为r <n ，则任意的n -r 个线性无关的解向量都是它的基础解系. 证齐次线性方程组解的结构利用此推论证明一组解向量是否是基础解系时,个即可.)(A R n 并且它们的个数是只要证明它们是线性无关的,注。
D =)()()(0)()()(0011111213231222113312211312a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a k k k k k k k k ------------按第一列展开，再将各列的公因子提出来D =)()()()()()(1213231222113312211312a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a k k k k k k k k ------------=(a 2－a 1)(a 3－a 1)…(a k －a 1)2232232111---k kk k ka a a a a a得到的k －1阶范德蒙德行列式，由归纳假设知其值为∏≤<≤-ki j j ia a2)(于是 D =(a 2－a 1)(a 3－a 1)…(a k －a 1)∏≤<≤-ki j j ia a2)(=∏≤<≤-ki j j ia a1)(因此，对于任意正整数n ≥2，范德蒙德行列式的展开式都成立。
证毕 例1.14 计算n 阶三对角行列式：D n =2112000002100012100012------解 由行列式的性质1.4，将D n 的第一列的每个元看成两个元之和，得D n =21001200000210012000011-----+2112000002100012100011------第一个行列式按第一列展开；第二个行列式从第一行开始依次加到下一行，得D n =D n －1+11100000100011000011---=D n －1+1 反复利用上面的递推公式，得到D n =D n －1+1=D n －2+2=…=D 1+n －1=2+n －1=n +1例1.15 计算n 阶行列式D n =n a bbba b bb a21 (a i ≠b , i =1,2,…,n ) 解 对于这个行列式，采用一种“加边”的技巧。
线性代数求齐次线性方程组的通解设齐次线性方程组为：ax+by+cz=0dx+ey+fz=0gx+hy+iz=0（1）若方程组存在唯一解，则齐次线性方程组的通解为：解设$A=\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}$, $\boldsymbol X=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$则上式可表示为：$A\boldsymbol X=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$解得：$A\boldsymbol X=\boldsymbol 0$即$\boldsymbol X=A^{-1}\boldsymbol 0$当$A^{-1}$存在时，有$\boldsymbol X=\boldsymbol 0$即$x=0,y=0,z=0$则齐次线性方程组的通解为：$x=0,y=0,z=0$（2）若方程组无解，则齐次线性方程组无通解。
（3）若方程组有无穷多解，则齐次线性方程组的通解为：解设$x_1=x,x_2=y,x_3=z$则有$x_1ax_2+bx_2+cz_3=0$将等式左右两端同除以$a$得：$x_1+\frac{b}{a}x_2+\frac{c}{a}x_3=0$令$x_1=t,x_2=\alpha t,x_3=\beta t$代入上式可得：$t+\frac{b}{a}\alpha t+\frac{c}{a}\beta t=0$解得$t=0$此时原方程有无穷多解，由$t=0$及$x_1=x,x_2=y,x_3=z$结合可求得：$\alpha x+\beta y+\gamma z=0$则齐次线性方程组的通解为：$\alpha x+\beta y+\gamma z=0$。
线性代数齐次线性方程组解的结构线性代数中，齐次线性方程组是由一系列未知数的线性方程组成，其中所有方程的右边都为零。
齐次线性方程组的解的结构是线性无关的向量的线性组合，它们构成了解空间。
首先，考虑一个例子：```2x+3y-z=04x-y+2z=03x+2y=0```我们可以将这个齐次线性方程组写成矩阵的形式：```23-14-12320xyz```将这个矩阵进行行变换，得到阶梯形矩阵如下：```0-7400-2xyz```由阶梯形矩阵可知，z是自由变量，而x和y是基础变量。
基础变量是由自由变量表示的。
因此，解的结构可以用自由变量和基础变量的关系表示。
设z=k，则有：```-7y+4z=0-2z=0```由此可得到z=0.5k，y=-0.5k。
最后，带入原方程组得到x=0.25k。
因此，解的结构可以表示为：```x=0.25ky=-0.5k```可以看出，解是一个形如k倍数的向量，其中k为任意实数。
这说明齐次线性方程组的解空间是一个无限维空间，其中解向量是在基础解向量上的线性组合。
总结起来，齐次线性方程组解的结构可以通过以下步骤得到：1.将方程组写成矩阵形式；2.将矩阵进行行变换，得到阶梯形矩阵；3.根据阶梯形矩阵的形式，确定基础变量和自由变量；4.根据自由变量和基础变量的关系，得到解的表达式。
需要注意的是，齐次线性方程组的解空间要么是一个零向量，要么是一个由基础解向量生成的无限维空间。
这就是齐次线性方程组解的结构。
