2.4二阶张量标准形

二阶张量与四阶张量双点积的结果二阶张量与四阶张量双点积的结果导语：在数学和物理学中，张量是一种用于描述物理量或几何概念的数学工具。

而二阶张量和四阶张量则是最常见的两种形式。

本文将探讨二阶张量与四阶张量之间的双点积运算，以及该运算的结果。

一、什么是二阶张量和四阶张量1. 二阶张量：二阶张量是一种具有两个索引的张量。

它的表达式通常为 Tij，其中i和j是两个索引的取值范围。

二阶张量可以表示为一个二维矩阵，其中每个元素代表了对应位置上的物理量或几何概念的值。

应力张量、应变张量和惯性张量都是二阶张量的实例。

2. 四阶张量：四阶张量是一种具有四个索引的张量。

它的表达式通常为Tijkl，其中i、j、k和l是四个索引的取值范围。

四阶张量可以表示为一个四维矩阵，其中每个元素代表了对应位置上的物理量或几何概念的值。

弹性张量、扭转刚度张量和应力-应变敏感度张量都是四阶张量的实例。

二、二阶张量与四阶张量双点积的定义1. 双点积的定义：双点积是一种张量之间的运算，用于将两个张量相互作用。

对于二阶张量与四阶张量的双点积，其定义如下：Bijkl = Aijmn * Cmnkl其中，Bijkl、Aijmn和Cmnkl分别表示双点积的结果、二阶张量和四阶张量的元素。

2. 双点积的运算规则：二阶张量与四阶张量的双点积运算规则如下：- 对于二阶张量Aijmn的第i和j索引与四阶张量Cmnkl的第m和n 索引，进行求和运算。

- 将运算结果放入双点积的结果张量Bijkl的第i和j索引。

- 对于二阶张量Aijmn的第m和n索引与四阶张量Cmnkl的第k和l 索引，进行求和运算。

- 将运算结果放入双点积的结果张量Bijkl的第k和l索引。

三、二阶张量与四阶张量双点积的结果二阶张量与四阶张量的双点积的结果是一个四阶张量。

它的表达式为Bijkl，其中i、j、k和l是四个索引的取值范围。

该四阶张量的元素代表了二阶张量和四阶张量相互作用后得到的物理量或几何概念的值。

第二章：二阶张量1. ij T ij ji i j j i i j T T T ;=⊗=⊗=⊗T g g T g g g g ij i j ij i j T ; T =⋅⋅=⋅⋅g T g g T g2. T =T.u u.TT ij ij ij ij j i j i i j j i ( = T T u ;T T u )⋅⊗==⊗⋅=u.T u g g g T.u g g u g 3.i .j det()T =T行列式不等于零的二阶张量定义为正则二阶张量 正则二阶张量存在逆张量：1-⋅T T =G 4.主不变量①1)()()ζ⋅⋅⨯⋅⋅⨯⋅⨯⋅=⋅⨯T u (v w)+u (T v w)+u (v T w )u (v w)（1.()::i i Tr T ζ====T T G G T)()()i j k ijk S u v w ⋅⋅⨯⋅⋅⨯⋅⨯⋅=T u (v w)+u (T v w)+u (v T w )（m m mijk .i mjk .j imk .k ijm S T T T εεε=++由于mik imkmmmiik .i mik.i imk.k iimS T T T εεεεε=-⇓=++=当i,j,k 当中有两个相等时，0iik S = 当i j k ≠≠时i j k m ijk .i .j .k ijk not sum ijk .m ijk S (T T T )T εε=++=②2)[)][()(]()[()]()ξ⋅⋅⋅⨯⋅⋅⨯⋅⋅⋅⨯⋅=⋅⨯T u (T v w +u T v T w)+T u (v T w u v w （2......122123323113.1.2.1.2.2..3.2..3.3.1.3.1112233.1.2.2..3.3.1223311.1.2.2..3.3.111()22ij l mi j i l lm i j i j l j T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T TTTTT T ζδ==-=-+-+-=++注意：ij ijklm lmkδδ=是张量的分量张量T 行列式中各阶主子式之和)[)][()(]()[()]i j k ijk S u v w ⋅⋅⋅⨯⋅⋅⨯⋅⋅⋅⨯⋅=T u (T v w +u T v T w)+T u (v T w （ 其中......()m n m n n mijk i j mnk j k imn k i mjn S T T T T T T εεε=++..........()0m n m n n m iik i i mnk i k imn k i min m n i i mnk m n i i nmk iik S T T T T T T T T T T S εεεεε=++===-=当i,j,k 当中有两个相等时，0iik S = 当i j k ≠≠时 (122123323113).1.2.1.2.2..3.2..3.3.1.3.12()()i j j i j k k j k i i k ijk i j i j j k j k k i k i ijk not sumijkijkijkS T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T εεζε=-+-+-=-+-+-=③()[()()]det()()⋅⋅⋅⨯⋅=⋅⨯T u T v T w T u v w...()[()()]()()()i j k l m nl m n ijkl m n lmn T T T u v w det u v w det εε⋅⋅⋅⨯⋅===⋅⨯T u T v T w T T u v w ④()()det()()T T -⋅⨯⋅=⨯T v T w T v w()[()()]det()()[()()]det()()T⋅⋅⋅⨯⋅=⋅⨯⋅⋅⋅⨯⋅=⋅⨯T u T v T w T u v w u T T v T w T u v w由于上式对任意矢量u 都成立[()()]det()()()()det()()T T-⋅⋅⨯⋅=⨯⋅⨯⋅=⨯T T v T w T v w T v T w T T v w⑤主不变量与矩之间的关系*1*2..*3...()()()ii i kk i i j kj k i Tr T Tr T T Tr T T T ζζζ===⋅==⋅⋅=T T T T T T2212112212ij k li j j i kl .i .j .i .j .i .j *T T (T T T T )[()]ζδζζ==-=-3.....................*3***13121611()()661(()23)6ijk l m nlmn i j ki j k j k i k i j j i k i k j k j i i j k i j k i j k i j k i j k i j k e e T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T ζζζζζ==++-++=+- 二阶张量标准形 1. 特征值、特征向量 λ⋅=T v v ()λ-⋅=T G v 01111232221233331230.........T T T T T T T T T λλλ--=-特征方程 321230λζλζλζ-+-= 特征根是不变量2. 实对称二阶张量标准形 1. 特征根是实根*************; ; ()0 () λλλλλλλλ⋅=⋅=⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅-⋅=⇒=⋅-=⇒=N v N v v v N v v v v N v v v v v N v v 0v v2. 特征向量互相正交1112222112112212121212 ; ; ()00λλλλλλ⋅=⋅=⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅-⋅=⇒⋅=N v v N v v v N v v v v N v v v v v v v 3. 不存在约当链如果λ是n 重根，但不存在相应的特征向量12,v v ,使1122 ; λλ⋅=⋅=T v v T v v则一定存在约当链11221λλ⋅=⋅=+T v v T v v v然而对对称张量112212112121211110λλλλ⋅=⋅=+⇓⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅+⋅⇓⋅=N v v N v v v v N v v v v N v v v v v v v这是不可能的。

第一章：矢量和张量重要矢量等式：()()()⨯⨯=⋅-⋅c a b b c a a c b 指标记法：哑指标求和约定 自由指标规则 协变基底和逆变基底：张量概念i i'i'i β=g g i'i'i i β=g gi'i'i i v v β= i i 'i 'iv v β= i'j'i'j'k l ij..k'l'i j k'l'..kl T T ββββ= i i i i v v ==v g g ..kl i j ij k l T =⊗⊗⊗T g g g g度量张量ij i i i j i i g =⊗=⊗=⊗G g g g g g g⋅=⋅=⋅=⋅=v G G v vT G G T T.j kj i ik T T g =张量的商法则lm ijk T(i,j,k,l,m )S U = ijk...lm T(i,j,k ,l,m )T =置换符号i i ir s t j j j ijk ijk ijkr s t rst rst rstk k kr s t e e δδδδδδεεδδδδ=== ijk j k j k jk ist s t t s st δδδδδδ=-2ijk k ijt t δδ= 6ijk ijk δ=置换张量i j k ijk ijk i j k εε=⊗⊗=⊗⊗εg g g g g gijk i j k ijk ()e ε=⋅⨯=g g gijkijki j k ()ε=⋅⨯=g g g ()::()i j k ijk ijk i j k a b a b εε⨯===⊗=⊗a b g g a b εεa b第二章： 二阶张量重要性质：T =T.u u.T 主不变量1.()i i Tr T ζ==T 212i j l ml m .i .j T T ζδ= 3()det ζ=T1()()(())(())()ζ⋅⋅⨯⋅⋅⨯⋅⨯⋅=⋅⨯T u v w +u T v w +u v T w u v w2)[)][()(]()[()]()ξ⋅⋅⋅⨯⋅⋅⨯⋅⋅⋅⨯⋅=⋅⨯T u (T v w +u T v T w)+T u (v T w u v w （()[()()]det()()⋅⋅⋅⨯⋅=⋅⨯T u T v T w T u v w标准形1. 特征值、特征向量λ⋅=T v v ()λ-⋅=T G v 0 321230λζλζλζ-+-= 2. 实对称二阶张量标准形123112233i iλλλ=⋅⊗=⊗+⊗+⊗N N g g g g g g g g 3. 正交张量（了解方法）12112233(cos()sin())(sin()cos())ϕϕϕϕ=+⊗+-+⊗+⊗R e e e e e e e e4. 反对称二阶张量的标准形21123μμμ=⊗-⊗=⨯Ωe e e e e G⋅=⨯Ωu ωu31:2μ=-=⨯ωεΩe u=-⋅Ωεω 5. 正则张量极分解 =⋅=⋅T R U V R第三章 张量函数概念：各项同性张量函数、解析函数 计算 e T sin()T 重要定理：1. Hamilton-Cayley 定理：32321231230λςλςλςςςς-+-=⇒-+-=T T T G 0 2.对称各向同性张量函数表示定理：2012()f k k k ==++H N G N N ；其中T T ;==H H N N ；而系数i k 是N 的主不变量的函数。

二阶张量的定义二阶张量是线性代数中的一个重要概念。

在数学和物理学领域中，二阶张量被广泛应用于描述物质的性质、力学系统的行为以及电磁场的传播等问题。

本文将介绍二阶张量的定义和一些基本性质，以及其在实际应用中的意义。

我们来定义二阶张量。

在线性代数中，一个二阶张量可以被视为一个二维矩阵，它具有两个索引，通常用小写字母的下标表示。

一个二阶张量可以用以下形式表示：T_ij其中，i和j是张量的两个索引，可以取1、2、3等整数值。

这个二阶张量有四个分量，分别是T_11、T_12、T_21、T_22。

这些分量可以对应于矩阵的四个元素。

二阶张量的分量具有特定的变换规律。

当坐标系发生变换时，二阶张量的分量也会相应地发生变化。

具体而言，对于一个二阶张量T_ij，在坐标系变换下，其分量会按照以下规则进行变换：T_ij' = R_i^k * R_j^l * T_kl其中，T_ij'是变换后的二阶张量的分量，R_i^k和R_j^l是坐标系变换矩阵。

这个变换规律保证了二阶张量在不同坐标系下的表示是相容的。

二阶张量具有一些重要的性质。

首先，二阶张量可以进行加法和数乘运算，即两个二阶张量可以相加，一个二阶张量可以与一个标量相乘。

其次，二阶张量还可以进行张量积运算，即两个二阶张量可以进行分量乘积并相加的运算。

这些运算使得二阶张量具有了更强大的描述能力。

在实际应用中，二阶张量有着广泛的应用。

在物质力学中，二阶张量可以描述物质的应力和应变。

通过应力张量和应变张量的组合，可以得到物质的弹性模量和刚度矩阵等重要性质。

此外，在电磁学中，电磁场的张量表示也是一个二阶张量，可以用来描述电磁场的分布和传播。

二阶张量还在图像处理、机器学习等领域中有着重要的应用，例如图像的卷积运算和神经网络的权重矩阵等。

总结起来，二阶张量是线性代数中的一个重要概念，用于描述具有两个索引的二维矩阵。

二阶张量具有特定的变换规律和运算性质，可以用于描述物质的性质、力学系统的行为以及电磁场的传播等问题。

二阶张量与四阶张量双点积的结果摘要：1.引言2.二阶张量与四阶张量的定义与性质3.双点积的定义与性质4.二阶张量与四阶张量双点积的结果及其应用5.结论正文：【引言】在数学和物理学中，张量是一种重要的概念，它可以描述空间中的多维数据。

在众多张量中，二阶张量和四阶张量是常见的两种类型。

双点积作为一种运算方式，常用于张量的计算中。

本文将探讨二阶张量与四阶张量双点积的结果及其应用。

【二阶张量与四阶张量的定义与性质】二阶张量是指具有两个分量的张量，通常用T 表示，其形式为T = a_ij，其中a_ij 表示张量的第i 行第j 列元素。

四阶张量是指具有四个分量的张量，通常用T 表示，其形式为T = a_ijkl，其中a_ijkl 表示张量的第i 行第j 列第k 行第l 列元素。

双点积是张量运算中的一种，表示为A·B = A_ijB_ij，其中A_ij 表示张量A 的第i 行第j 列元素，B_ij 表示张量B 的第i 行第j 列元素。

双点积满足交换律、分配律和结合律等性质。

【双点积的定义与性质】双点积在张量运算中具有重要作用，它满足以下性质：1.A·B = B·A（交换律）2.(A + B)·C = A·C + B·C（分配律）3.(A·B)·C = A·(B·C)（结合律）【二阶张量与四阶张量双点积的结果及其应用】在实际应用中，二阶张量与四阶张量双点积的结果有多种计算方法。

例如，在物理学中，双点积常用于计算质点之间的相互作用能、惯性矩等。

在数学中，双点积可用于求解偏微分方程、线性代数等问题。

【结论】二阶张量与四阶张量双点积在数学和物理学等领域具有广泛的应用。

各章要点第一章：矢量和张量指标记法：哑指标求和约定 ：同一项中出现一对相同的协、逆变指标则对该指标求和 自由指标规则：同一项中只能出现一次，不同项中保持在同一水平线上 协变基底和逆变基底：ki k i i x ∂∂==∂ξ∂ξr g e j j i i ⋅=δg giik k x∂ξ=∂g e123 ===g g g 张量概念i i'i'i =βg g i'i'ii =βg g i k i k j j''''ββ=δ i'i'i i v v =β ii 'i 'iv v =β i 'j'i 'j'k l ij ..k 'l'i j k 'l'..kl T T =ββββ i i i i v v ==v g g ..kl ij ijk l T =⊗⊗⊗T g g g g 度量张量ij i i i j i i g =⊗=⊗=⊗G g g g g g g⋅=⋅=⋅=⋅=v G G v v T G G T T.j kj i ik T T g =张量的商法则lm ijk T(i,j,k,l,m)S U = ijk...lmT(i,j,k,l,m)T = 置换符号312n 1n123n i i i i i 123n 1n i i i ...i A a a a ......a a e -- i j k Lmnijk .L.m .n a a a e e A = i j k .L .m .n ijk Lmn a a a e e A =置换张量i j k ijk ijk i j k =ε⊗⊗=ε⊗⊗εg g g g g gijk i j k ()e ε=⋅⨯=g g gijk ijk i j k ()ε=⋅⨯=g g gi j k ijk ijk i j k a b a b ()::()⨯=ε=ε=⊗=⊗a b g g a b εεa b广义δ符号i ii r s tj j j ijk ijk ijk r s t rst rst rst k k k r s te e δδδδδδ==εε=δδδδijk j k j k jk ist s t t s st δ=δδ-δδδijk k ijt t 2δ=δijk ijk 6δ=性质：是张量重要矢量等式：()()()⨯⨯=⋅-⋅a b c a c b a b c第二章： 二阶张量重要性质：T =T.u u.T 主不变量i 1.i Tr()T ζ==T i j l m2l m .i .j 1T T 2ζ=δ 3det()ζ=T1()()(())(())()⋅⋅⨯⋅⋅⨯⋅⨯⋅=ζ⋅⨯T u v w +u T v w +u v T w u v w2)[)][()(]()[()]()⋅⋅⋅⨯⋅⋅⨯⋅⋅⋅⨯⋅=ξ⋅⨯T u (T v w +u T v T w)+T u (v T w u v w （ ()[()()]det()()⋅⋅⋅⨯⋅=⋅⨯T u T v T w T u v w 标准形1. 特征值、特征向量⋅=λT v v ()-λ⋅=T G v 0 321230λ-ζλ+ζλ-ζ= 2. 实对称二阶张量标准形i 123i 112233=⋅⊗=λ⊗+λ⊗+λ⊗N N g g g g g gg g 3. 正交张量（了解方法）12112233(cos()sin())(sin()cos())=ϕ+ϕ⊗+-ϕ+ϕ⊗+⊗R e e e e e e e e4. 反对称二阶张量的标准形21123=μ⊗-μ⊗=μ⨯Ωe e e e e G⋅=⨯Ωu ωu31:2=-=μ⨯ωεΩe u=-⋅Ωεω5. 正则张量极分解=⋅=⋅T R U V R第三章 张量函数概念：各项同性张量函数、解析函数 计算 e T ， sin()T 重要定理：1. Hamilton-Cayley 定理：32321231230λ-ζλ+ζλ-ζ=⇒-ζ+ζ-ζ=T T T G 0 2.对称各向同性张量函数表示定理：2012f ()k k k ==++H N G N N ；其中T T ;==H H N N ；而系数i k 是N 的主不变量的函数。

本条目或章节存有多项争议或问题。

请协助改善本条目或在讨论页针对议题发表看法。

∙类似爱好者站点。

自2010年12月起标示本模板。

∙品质低劣，需要完全重写。

自2010年12月起标示本模板。

∙可能需要进行清理，以符合维基百科的质量标准。

自2010年12月起标示本模板。

目录[隐藏]∙ 1 背景知识∙ 2 方法的选择∙ 3 例子∙ 4 方法细节∙ 5 张量密度∙ 6 张量阶∙7 参阅o7.1 记法常规o7.2 基础o7.3 应用∙8 外部链接∙9 参考书籍∙10 张量软件[字的列表来表述。

最后，象二次型这样的量需要用多维数组来表示。

后面这些量只能视为张量。

实际上，张量的概念相当广泛，可以用于上面所有的例子；标量和向量是张量的特殊情况。

区别标量和向量以及区别这两者和更一般的张量的特征是表示它们的数组的指标的个数。

这个个数称为张量的阶。

这样，标量是0阶张量(不需要任何指标)，而向量是一阶张量。

张量的另外一个例子是广义相对论中的黎曼曲率张量，它是维度为<4,4,4,4>(3个空间维度 + 时间维度 = 4个维度)的4阶张量。

它可以当作256个分量(256 = 4 × 4 × 4 × 4)的矩阵(或者向量，其实是个4维数组)。

只有20个分量是互相独立的，这个事实可以大大简化它的实际表达。

[编辑]方法细节有几种想象和操作张量的等价方法；只有熟悉了这个课题，其内容是等价的这个事实才会变得明显。

现代(无分量)方法把张量首先视为抽象对象，表达了多线性概念的某种确定类型。

其著名的性质可以从其定义导出，作为线性映射或者更一般的情况；而操作张量的规则作为从线性代数到多重线性代数的推广出现。

这个处理方法在高等的研究中大量的取代了基于分量的方法，其方式是更现代的无分量向量方法在基于分量的方法用于给出向量概念的基本引例之后就取代了传统的基于分量的方法。

可以说，口号就是“张量是某个张量空间的元素”。

第2章 二阶张量研究定义在空间一个固定点（张量的元素是实常数，i g 也是常数）上的二阶张量随坐标系转动的不同形式，不涉及与另一个张量的关系，也不涉及张量运动。

2.1 二阶张量与矩阵的对应分量同一坐标系：j i ijj i i ij ij i j i ij T T T T g g g g g g g g T ====∙∙ 另一坐标系：j i j i j i i i j i j i j i j i T T T T ''''''''∙'''∙'''''====g g g g g g g g● 对应不同坐标的分量不同：,,,jj i i iji j iji j i i jj T T T T T T T T ''''∙∙''''∙∙≠≠≠≠● 对应不同并矢的分也不同：iji i j i ij T T T T ≠≠≠∙∙● 指标满足升降：mm mniji mj im iim nj T T g g T g T g ∙∙===转置()()()()jiijTTijTiTjTj i i j ijijTT TT ∙∙====T g g g g g g g gi jj ii j jiji ij ji i j T T T T ∙∙====g g g g g g g g 分量指标互换 jijii jijij i j ii j i T T T T ∙∙====g g g g g g g g 并矢指标交换一般情况混变分量的转置≠系数矩阵的转置对称 T=N Nji ij N N =、ji ij N N =、i j i j N N ∙∙=、j i j i N N ∙∙=N u u N ⋅=⋅反对称 T=-ΩΩij ji ΩΩ=-、ijjiΩΩ=-、i i jjΩΩ∙∙=-、jj i iΩΩ∙∙=-，Ωu u Ω⋅-=⋅行列式的值 定义：i jT∙=T det ， iji jjiij T g g T T g T 2===∙∙， ij g G =ji ij T T =、jiijTT =、jj iiT T ∙∙=、i iT tr ∙=T ，()i iiiS T tr ∙∙+=+S T ，()S T S T ⋅⋅=⋅tr ，():Ttr ⋅=T ST S二阶张量与矢量的点积—矢量线性变换=⋅w T u ， ii jjw T u ∙=⋅，⋅≠⋅T u u T2.2 正则与退化的二阶张量定理：任意二阶张量将一个线性相关的矢量集映射为线性相关的矢量集 【设矢量集()i u 线性相关，则存在不全为零的实数()i α使：1()()I i i i α==∑u 0,()11()()()()I Ii i i i i i αα===⋅=⋅∑∑0T u T u , 所以()i ⋅T u 也线性相关】定理：[][],,det ,,⋅⋅⋅=T u T v T w T u v w[det T 为两个平行六面体的体积比，三维空间中3个矢量是否线性相关取决与它们的混合积是否为零] 正则与退化det 0≠T 正则二阶张量；否则为退化的二阶张量(1) T 为正则⇔()i u (i =1,2,3) 性无关，则()i ⋅T u 也线性无关。

一、知识总结1 张量概念1.1 指标记法哑标和自由指标的定义及性质自由指标：在每一项中只出现一次，一个公式中必须相同。

性质：在表达式或方程中自由指标可以出现多次，但不得在同项内重复出现两次。

哑标：一个单项式内，在上标（向量指标）和下标（余向量指标）中各出现且仅出现一次的指标。

性质：哑标可以把多项式缩写成一项；自由指标可以把多个方程缩写成一个方程。

例：333323213123232221211313212111B x A x A x A B x A x A x A B x A x A x A =++=++=++ (1.1)式(1.1)可简单的表示为下式：i j ij B x A =(1.2)其中：i 为自由指标，j 为哑标。

特别区分，自由指标在同一项中最多出现一次，表示许多方程写成一个方程；而哑标j 则在同项中可出现两次，表示遍历求和。

在表达式或者方程中自由指标可以出现多次，但不得在同项中出现两次。

1.2 Kronecker 符号定义ij δ为：⎩⎨⎧≠==j i ji ij ,0,1δ(1.3)ij δ的矩阵形式为：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100010001ij δ (1.4)可知3ij ij ii jj δδδδ===。

δ符号的两指标中有一个与同项中其它因子的指标相同时，可把该因子的重指标换成δ的另一个指标，而δ符号消失。

如：ij jk ikij jk kl ilδδδδδδδ==(1.5)ij δ的作用：更换指标、选择求和。

1.3 Ricci 符号为了运算的方便，定义Ricci 符号或称置换符号：⎪⎩⎪⎨⎧-=其余情况为奇排列为偶排列,0,,,1,,,1k j i k j i l ijk(1.6)图1.1 i,j,k 排列图ijk l 的值中，有3个为1，3个为-1，其余为0。

Ricci 符号（置换符号）是与任何坐标系都无关的一个符号，它不是张量。

1.4 坐标转换图1.2 坐标转换如上图所示，设旧坐标系的基矢为i e ，新坐标系的基矢为'i e 。