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量子力学习题及解答第一章 量子理论基础1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即m λ T=b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。
解 根据普朗克的黑体辐射公式dv e chv d kThv v v 11833-⋅=πρ， （1）以及 c v =λ， （2）λρρd dv v v -=， （3）有,118)()(5-⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=kThc v v ehc cd c d d dv λλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。
本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。
但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：01151186'=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+--⋅=-kT hc kThce kT hc ehcλλλλλπρ⇒ 0115=-⋅+--kThc ekThcλλ⇒ kThcekThc λλ=--)1(5 如果令x=kThcλ ，则上述方程为 x e x =--)1(5这是一个超越方程。
首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知K m T m ⋅⨯=-3109.2λ这便是维恩位移定律。
据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。
1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。
解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv ，λh P =如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么ep E μ22= 如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0⨯，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有ph=λnmm m E c hc E h e e 71.01071.031051.021024.1229662=⨯=⨯⨯⨯⨯===--μμ在这里，利用了m eV hc ⋅⨯=-61024.1以及eV c e 621051.0⨯=μ最后，对Ec hc e 22μλ=作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。
量子场论2量子场论200六、结语及展望格点规范场论是目前探讨量子场论之非微扰(数值)解之唯一最成功的理论架构。
随着过去数年来格点手则对称的突破性进展，格点QCD或任何格点向量规范场论在原理上已经完全解决。
故此、我们可以展望在未来数年，格点QCD会随着计算机之计算效能与价格比performance/price 之迅速提升而对高能物理现象学及实验作出重要的贡献，例如、计算出B介子之衰变常数(decay constants) , 及混合参数 , 等。
但是、包括动态夸克之计算仍然是技术上的极大的挑战。
因此、我们要继续努力研究高效率的动态夸克算法。
在有限温度及化学位能之格点QCD方面，它的重要性是可以让我们从QCD第一原理出发去了解早期的宇宙、及预测目前重离子实验中可能观察到的现象，如强子物质与夸克胶子浆之间的相变及相关的物理量。
因为费米行列式变成复数，故此我们不能用传统的Monte Carlo simulation来计算观察量。
虽然最近提出的一些方法可以处理化学位能不太大的情况;，然而对温度低及化学位能高(最令人感兴趣)的领域，仍旧束手无策，极需要有突破性的进展。
如引言所述，量子场论一定是某基本理论在低能量之有效场论。
但是、不管这个基本理论究竟是超弦理论或其它未知的最终理论，它在低能量之有效理论必然是规范场论(标准模型)。
现在，大多数的理论物理学家都认为这个基本理论在很高能量时具有超对称。
故此、如何计算出超对称模型之非微扰(数值) 解是一项重要的研究课题。
虽然，最近已有一系列在各维度格点上之超对称模型[7]，然而、其数值解之可行性要视乎我们是否可以解决因费米行列式所产生之难题:(i)如何计算出包括动态费米场之有效作用量;及(ii)如何对非正实数之机率分布进行Monte Carlo simulation。
很明显地，我们必须要在理论上或技术上有所突破。
参考数据：[1]关于量子场论之基本概念，读者可参阅教科书 A. Zee,"Quantum Field Theory"(Princeton University Press, 2003)[2] S. Weinberg, "Dreams of a Final Theory" (Pantheon Books, 1992)[3] 关于格点规范场论之基本原理及方法，读者可参阅: H.J. Rothe,"Lattice Gauge Field Theories, An Introduction", Second edition (World Scientific, 1997); 及I. Montvay and G. Munster,"QuantumFields on a Lattice"(Cambridge University Press, 1994).[4] Ting-Wai Chiu (赵挺伟), Phys. Rev. Lett. 90, 071601 (2003); Phys. Lett. B 552, 97 (2003); hep-lat/0303008.[5] 关于格点费米场之最近回顾，读者可参阅:Ting-Wai Chiu (赵挺伟),"Recent Development of Domain-Wall/Overlap Fermions for Lattice QCD", Plenary talk at Lattice 2003, hep-lat/0310043.[6] 关于有限温度及化学能之格点QCD的最近回顾，读者可参阅: S.D. Katz, "Lattice QCD atfinite T and μ", Plenary talk at Lattice 2003, hep-lat/0310051.[7] 关于格点超对称之最近回顾，读者可参阅: David B. Kaplan, "Recent Developments in Lattice Supersymmetry", Plenary talk at Lattice 2003, hep-lat/0309099.量子场论是量子力学和经典场论相结合的物理理论，已被广泛的应用于粒子物理学和凝聚态物理学中。
第二章习题解答p.522.1.证明在定态中，几率流与时间无关。
证：对于定态，可令)]r ()r ()r ()r ([m 2i ]e )r (e )r (e )r (e )r ([m2i )(m 2i J e)r ( )t (f )r ()t r (**Et iEt i **Et i Et i **Etiψψψψψψψψψψψψψψψ∇-∇=∇-∇=∇-∇===-----）（）（，可见t J 与无关。
2.2 由下列定态波函数计算几率流密度：ikr ikr e re r -==1)2( 1)1(21ψψ从所得结果说明1ψ表示向外传播的球面波，2ψ表示向内(即向原点) 传播的球面波。
解：分量只有和r J J 21在球坐标中 ϕθθϕθ∂∂+∂∂+∂∂=∇sin r 1e r 1e r r 0r mrk r mr k r r ik r r r ik r r m i r e rr e r e r r e r m i mi J ikr ikr ikr ikr30202201*1*111 )]11(1)11(1[2 )]1(1)1(1[2 )(2 )1(==+----=∂∂-∂∂=∇-∇=--ψψψψ r J 1与同向。
表示向外传播的球面波。
rmrk r mr k r )]r 1ik r 1(r 1)r 1ik r 1(r 1[m 2i r )]e r 1(r e r 1)e r 1(r e r 1[m 2i )(m2i J )2(3020220ik r ik r ik r ik r *2*222-=-=---+-=∂∂-∂∂=∇-∇=--ψψψψ可见，r J与2反向。
表示向内(即向原点) 传播的球面波。
补充：设ikx e x =)(ψ，粒子的位置几率分布如何？这个波函数能否归一化？∞==⎰⎰∞∞dx dx ψψ*∴波函数不能按1)(2=⎰∞dx x ψ方式归一化。
其相对位置几率分布函数为 12==ψω表示粒子在空间各处出现的几率相同。
量子考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 量子力学的创始人是：A. 牛顿B. 爱因斯坦C. 普朗克D. 薛定谔答案：C2. 量子力学中，粒子的状态由什么描述？A. 位置B. 动量C. 波函数D. 能量答案：C3. 海森堡不确定性原理表明：A. 粒子的位置和动量可以同时准确测量B. 粒子的位置和动量不能同时准确测量C. 粒子的位置和能量可以同时准确测量D. 粒子的动量和能量可以同时准确测量答案：B4. 量子力学中的泡利不相容原理适用于：A. 电子B. 质子C. 中子D. 所有基本粒子答案：A5. 量子纠缠是指：A. 两个粒子之间的经典相互作用B. 两个粒子之间的量子相互作用C. 两个粒子之间的引力相互作用D. 两个粒子之间的电磁相互作用答案：B6. 量子力学中的薛定谔方程是一个：A. 线性方程B. 非线性方程C. 微分方程D. 代数方程答案：C7. 量子力学中的隧道效应是：A. 粒子通过势垒的概率不为零B. 粒子通过势垒的概率为零C. 粒子通过势垒的概率为一D. 粒子通过势垒的概率为负答案：A8. 量子力学中的叠加态是指：A. 粒子同时处于多个状态B. 粒子只处于一个状态C. 粒子处于确定的状态D. 粒子处于随机的状态答案：A9. 量子力学中的测量问题涉及：A. 粒子的测量结果B. 粒子的测量过程C. 粒子的测量设备D. 粒子的测量结果和过程答案：D10. 量子力学中的退相干是指：A. 量子态的相干性消失B. 量子态的相干性增强C. 量子态的相干性不变D. 量子态的相干性随机变化答案：A二、填空题（每题2分，共20分）1. 量子力学中的波粒二象性表明，粒子既表现出______的性质，也表现出______的性质。
答案：波动；粒子2. 量子力学中的德布罗意波长公式为：λ = ______ / p，其中λ表示波长，p表示动量。
答案：h / p3. 量子力学中的能级是______的，这是由量子力学的______决定的。
量子场论笔记WangHongyuJune22,20111Why Quantum Field Theory is So Difficult?The key point对于量子场论有两种比较容易的理解，一是标准量子力学的相对论形式：传统量子力学是非相对论的，为了处理高能量粒子的运动，必须引入相对论效应，将量子力学改写成协变形式；然而在这修改过程中必然出现反粒子问题和粒子对的产生过程，于是原来针对单粒子的量子力学转变成了粒子数可变（随时增减）体系的量子力学，为了处理粒子数的改变，需要使用将原来的波函数改写成算符，这就是所谓“二次量子化”过程，完成了二次量子化的量子理论被看作量子场论。
第二种理解要更加简单而直接：许多物理体系都是场体系，例如光本身就是一种电磁场，为了研究其量子效应，需要按照量子力学的原则对电磁场运动方程进行量子化。
由于场是全空间分布的连续目标，其量子力学理论将是具有无穷自由度体系的量子理论；为了求解这样的体系，需要对自由度进行分解，得到的平面波解称为粒子或者量子，而这种理论就是量子场论。
1.1量子化我们采用第二种理解。
和传统量子力学一样，量子场论也是基于量子化的手续，比较流行的方案包括正则量子化手续和路径积分量子化。
在大部分情况下，两种手续都要交替使用。
正则量子化的基本手续就是写出场的拉格朗日量，定义正则坐标和正则动量，引入正则坐标和正则动量之间的对易关系：[ϕ(x,t),Π(x′,t)]=iδ3(x−x′)原则上就完成了正则量子化步骤。
在实践中，由于自由度之间可能存在复杂的耦合，上述量子化需要对独立的正则动量来完成，因此首先要分解出独立的自由度。
对于连续存在于平直空间的的场，最简单的方法是进行傅立叶分解。
对场变量的傅立叶分解得到一系列平面波态，而自由场的哈密顿变成所有平面波哈密顿的和。
对每个平面波态求解得到其能量和动量，结果表明每个态的能量和动量都是分立的，于是将这种平面波态称为“粒子”。
peskin量子场论答案以下是关于Peskin量子场论的一些答案，希望对你有所帮助：1. Peskin量子场论是什么？Peskin量子场论是关于粒子物理学的重要教材之一，是研究现代粒子物理学的基础。
该书主要介绍了量子场论的相关理论和实践方法，涉及到广泛的物理学领域，如宇宙学、量子电动力学、强作用等。
2. Peskin量子场论的主要内容（1）量子力学基础知识：薛定谔方程、量子态、量子测量等。
（2）场的基本概念：经典场、量子场、相互作用等。
（3）费曼图及其应用：包括第一、二、三类费曼图的构造、重正化等。
（4）量子电动力学：介绍了电磁相互作用和标量场和电子场的耦合等。
（5）弱相互作用：介绍了由Z和W玻色子介导的弱相互作用等。
（6）强作用：介绍了夸克、反夸克和强子以及它们之间的相互作用等。
3. Peskin量子场论的重要性Peskin量子场论全面且深入地探讨了量子场论的理论基础以及实现方法，是理解现代粒子物理学的重要教材。
通过学习该书，可以更好地掌握量子场论的基本概念和方法，从而深入理解现代物理学的各个领域。
此外，Peskin量子场论对研究人员也有一定的参考价值，它提供了丰富的物理学问题和理论模型，为科学研究提供了一定的指导。
4. 学习Peskin量子场论需要什么基础？学习Peskin量子场论需要先掌握高等数学、微积分、线性代数等数学工具，然后再学习量子力学和基本物理概念，同时了解粒子物理学的基本知识。
此外，电磁学、热力学等基础物理学知识也是学习Peskin量子场论的前提。
5. Peskin量子场论的发展趋势随着科技的发展和人类对物质本质的认识不断深入，粒子物理学的研究也在不断发展。
未来，Peskin量子场论也将随之发展，为科学界提供更多的理论基础和实践方法，为探究物质本质提供更多的帮助。
量子力学习题-2答案1. 设t=0时，粒子的状态为]cos [sin )(212kx kx A x +=ψ求此时粒子的平均动量和平均动能。
解：]cos )2cos 1([]cos [sin )(2121212kx kx A kx kx A x +-=+=ψ]cos 2cos 1[2kx kx A +-= )]()(1[2212221ikx ikx kx i kx i e e e e A --++--=ηηππ21][2221212212210⋅++--=--ikx ikx kx i kx i x i e e e e e A 可见，动量n p 的可能值为ηηηηk k k k -- 2 2 0动能μ22n p 的可能值为μμμμ2 2 2 2 022222222ηηηηk k k k 对应的几率n ω应为： ηπ2)1616 16 16 4(22222⋅A A A A A ηπ2)81 81 81 81 21(A ⋅ 上述的A 为归一化常数，可由归一化条件，得ηηππω222)1644(1222⋅=⋅⨯+==∑A A A nn ∴ ηπ/1=A∴ 动量p 的平均值为02162162162216202222=⋅⨯-⋅⨯+⋅⨯-⋅⨯+==∑ηηηηηηηηππππωA k A k A k A k p p nnn∑==n n n p p T ωμμ22222812281202222⨯⨯+⨯⋅+=μμηηk k μ8522ηk =2. 证明在分立的能量本征态下动量平均值为0。
证：设定态波函数的空间部分为ψ，则有为求的平均值，我们注意到坐标算符与的对易关系： 。
这里已用到最基本的对易关系，由此3. 在z σ表象中，求x σ的本征态。
解：在z σ表象中，x σ的矩阵表示为ψψE H =p ϖi x H []()μμi j j j i i p i xV p p x H x ηϖ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=∑2,,[]ij j i i p x δη=,[]()()0,=-=-===ψψψψμψψψψμψψμψψi ii i i i i Ex E x i Hx H x i H x i p p ηηηx σ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0110设x σ的本征矢（在z σ表象中）为，则有可得， 所以则 ； 则 。
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第一章预备知识§1 粒子和场以现有的实验水平，确认能够以自由状态存在的各种最小物质，统称为粒子.电子、光子、中子、质子等是最早认识的一批粒子，陆续发现了大量的粒子、介子和共振态,粒子的数目达数百种，它们是物质存在的一种形式。
场是物质存在的另一种形式，这种形式主要特征在于场是弥散于全空间的，全空间充满着各种不同的场,它们互相渗透和相互作用着。
按量子场论观点，每一种粒子对应一种场，场的激发表现为粒子的出现,不同激发态表现为粒子的数目和状态不同,场的退激发，表现为粒子的湮沒.场的相互作用可以引起激发态的改变，表现为粒子的各种反应过程，也就是说场是物质存在的更基本的形式,粒子只是场处于激发态时的表现。
1. 四种相互作用目前已确定的粒子之间的相互作用有四种，即在经典物理中人们早已认识到了的引力相互作用和电磁相互作用，以及在原子核物理的研究中才逐步了解的强相互作用和弱相互作用。
四种相互作用的比较见表1.1表1。
1 四种相互作用的比较电磁相互作用的强度是以精确结构常数2317.2973104137.036e cαπ-===⨯来表征的，可以同时参与四种相互作用的粒子（例如质子p ）为代表,通过典型的反应过程的比较研究,确定各种作用强度的大小.2. 粒子的属性不同粒子有不同的内禀属性，这些属性不因粒子产生的来源和运动状态而改变. 最重要的属性有:质量m ，粒子的质量是指静止质量，以能量为单位,它和能量E 和动量→P 的关系为42222c m c p E =-电量Q ，粒子的电荷是量子化的，电荷的最小单位是质子的电荷。
教材：M.E.Peskin ,D.V .Schroeder ,An Introduction to Quantum Field Theory参考书：L.H.Ryder,Quantum Field TheoryA Brife Review and Introduction Ⅰ、Review 1、经典力学)x (x212V m L -=其中：),(q q L L =；x∂∂=Lp ⇒ L p xH -= 其中：),(q p H H = 正则框架：],[],[H p qH p H q pHq=∂∂-==∂∂=2、量子力学ij j i i p q δ=],[3、相对论量子力学 过渡理论① K-G Eq ： ()022=+∂φm 描述spin-zero ② Dirac Eq ：()0=-∂ψγμμm i 描述 spin-1/2 ③ Maxwell Eq ：0=∂μνμF 描述 spin-14、量子场论基础Action ：⎰⎰==L x d dtL S 4 其中：),(φφμ∂=L L222121φφφμμm scalarreal -∂∂=-L0=S δ ⇒ Euler-Lagrange Eq ：()0=∂∂-∂∂∂∂φφμμL LMomentum Density Conjugate ：)()(x x φπ ∂∂=L Hamiltonian ：L H -=)()(x x φπ ；正则量子化：)()](),([)3(y x i y x -=δπφ Real Scalar Field ：()[])exp()exp(2)(p p 33ipx a ipx a p d x ++-=⎰πφ ； 其中：())'p p (2],[)3(3p'p -=+δπa a ；Hamiltonian ：())(2p p p 33零点能C a a E p d +=⎰+πH>+0|p a 场粒子性5、量子电动力学Int Maxwell Dirac QEDL L L L++= ⇒ ()μμμνμνμμψγψψγψA e F F m p QED---=41LDef ：the Gauge Derivative ：μμμieA D +∂=()μνμνμμψγψF F m D QED 41--=L Local Gauge Transformation ：()ψαψ)(ex p x i → and )(1x eA A αμμμ∂-→5、微扰量子场论IHH H +=0；I H 为弱耦合Feynman Diagram：Feynman Rule for QED：S-Matrix：>-=<⎰∞∞-i x d i T f S I if |}exp{|4H iT S +=1 1=+SS()M i p k k k k iT p p i i ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+>=<∑21)4(421212,||...,δπQED 过程：(1) -+-+→μμe e(2)Compton ScatteringSpin Sums ：∑∑==-⋅=+⋅=2,12,1)()()()(s ss s s s mp p vp v m p p u p u γγ)()()(221*k k k g k k +-→∑μνλλνλμεε Wald Identity ：⇒ 0)(=k k μμMⅡ、Introductions7、圈图()⎰24412~p p d π 发散 ⇒ 重整化8、非阿贝尔规范场理论Weak Interactions and Strong InteractionsWeak Interactions ：Beta Decay ：e e p n ν++→- → Four Fermion Theoryψψψψ~IL不可重整Strong Interactions ：π介子理论：(Yukawa Theory)弱电统一理论（Weinberg-Salam Model ）：)1()2(U SU ⨯0≠w mWNπ整理与2011-2-26Chapter 6 Functional MethodsPath Intergral Methods (1-dimensional))x (2p 2V mH +=时间演化算符：>>=<-=<a a b b a b b a t x t x x iH x T x x U ,|,|)/ex p(|);,( 满足：HU U Ti =∂∂⎰∑⋅=⋅=)](exp[)]([)](exp[);,(phase i t x phase i T x x U pathAllb a DClassical Path ：0=S δ 猜想：⎰=)/exp()]([);,( iS t x T x x U b a D 双缝实验：x bDetectorPath 1：T mv S 21121= ；TDv =1 ；T mD S 221=Path 1：T mv S 22221= ；TdD v +=2 ；T d D m S 2)(22+=联立两式，D d << ⇒ 21v v ≅ 可得德布罗意关系： d T mDd p = ⇒ λh=p验证：⎰=)/exp()]([);,( iS t x T x x U b a D 计算积分：⎰-=TV m dt S 02))x (x 21( 离散化 ∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--++k k k k k x x V x x m )2()(2121εεεεkk x x dt T -=≅→+1x0 ；；∏⎰⎰⎰⎰⎰∞∞--=⋯⋯=k k n C dx C C dx C dx C dx C t x D )()(1)()()()(1)]([121εεεεεε ),',()]2'(2)'(exp[)(' )]2(2)(exp[)()(1),,(22εεεεεεεε-+--=+--=⎰∏⎰∞∞-∞∞-T x x U x x V ix x m i C dx x x V ix x m i C dx C T x x U a b b k k b k b k b a展开：);(])'(21)'(1[ ])(1][2)(exp[)('),,(2222εεεε-⋯⋯∂∂-+∂∂-+⨯⋯⋯+--=⎰∞∞-T x x U x x x x x x x V ix x m i C dx T x x U b a bb b b b k b b a利用积分公式：b b d πξξ=-⎰)ex p(2；0)exp(2=-⎰ξξξb d ；bb b d πξξξ21)ex p(22=-⎰ εim b -= ； im b-=πεπ2 ； mi b ε=21);,()](2)(1[2)(1);,(222εεεεεπε-+∂∂+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=T x x U x m i x V i im C T x x U b a b b b a O 得：imC -=επε 2)(),,()](2[),,(),,(222T x x U x V x m i T x x U T x x U b a b bb a b a +∂∂-=--⇒εε 取极限：0→ε ⇒ ),,(),,(T x x HU T x x U Ti b a b a =∂∂故而：⎰=)/exp()]([);,( iS t x T x x U b a D 可使之满足同样的方程和初始条件，因此：⎰=)/exp()]([);,( iS t x T x x U b a D整理于2011-3-1推广到多自由度的情况：}{i q q = ；}{i p p =>-=<a b b a q iHT q T q q U |)ex p(|);,(；插入中间态：1||=><⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∏⎰k k i i k q q dq 分析两种情况： ①：)(q f H =])(exp[22)()(|)(|1111∑∏⎰∏-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=->=<++++i ik i k i k i i k i k i k ii k ikk k k q q p i dp q q f qq q f q q f q πδ②：)(p f H =])(exp[)(2|)(|11∑∏⎰-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>=<++i i k i k i k k iikk k q q p i p f dp q p f q π⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∏⎰⎰++k i k k k ik i k i k ki ik ik b a p q q H q q p i dp dq T q q U ),2()(exp 2);,(11,επFunctional Quantization of Scalar Field)()()(x x p x q ii φπφ∂∂=→→L)()(2121)(2122φφπφπφφφμμV V +∇+=-=-∂∂=L HL⎰⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-∇-->=-<T T a b x d i V x d i iHT x 04224exp )()(2121exp |)exp(|)(L D D D φφφπφππφφφCorrelation Functions ：Consider the functional formula ：⎥⎦⎤⎢⎣⎡>ΩΩ<⎰⎰-T TH H x d i x x x x T LD 42121exp )()(~|)()(|φφφφφ ⎰⎰⎰⎰===)x ()x ,()x ()x ,(21202101)x ()x ()x ()(φφφφφφφφx x x D D D DIf 0201x x < then we have ：[][][]>+-<⨯>--><--<⎰⎰a b T x iH x x iH x T iH D D φφφφφφφφφφ|)(ex p ||)(ex p ||)(ex p |)x ()x ()x ()x (011101022202221121With the completeness relation ：1||=><⎰i i i D φφφ：[][][]{}>--=<>+-----<a H H b a s s b iHT x x T iHT T x iH x x iH x T iH φφφφφφφφ|)exp()()()exp(||)(exp )x ()(exp )x ()(exp |210110102202Thus we obtain the simple formula ：{}⎰⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡>=ΩΩ<---∞→T T T T i T H H x d i x d i x x x x T L D L D 4421)1(21exp exp )()(|)()(|limφφφφφφεT-T01x 02x整理于2011-3-6Functional Derivatives and Generating FunctionalThe functional derivative obeys the basic axiom (In four dimensions)：i j j j i ij j ik k x x x x =∂∂=∑δδδ⇒ )()()()()()()(4)4(x y y yJ d x J y x y J x J φφδδδδδ=-=⎰Example ：[][])()()()()()(exp )()()(exp )(444x V y V y J y d x J y y yJ d i x i y y yJ d i x J μμμμδδφφφδδ-∂=∂=⎰⎰⎰ （表面项相当于变分常数）Generationg Functional of correlation ：Def ：()[]⎰⎰+=)()(exp ][4x x J x d J Z φφL D So that ：()[]⎰⎰+=-φφφφδδδδJ x d i x x J Z x J x J i L D 421212ex p )()(][)()()(Therefore the two-point function is ：21021][)()(10|)()(|0=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛->=<J J Z x J i x J i Z x x T δδδδφφFor free scalar field ：222121φφφμμm -∂∂=L⇒ ⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛--∂==φφ)(212244m x d x d S L Therefore ：()()⎰⎰⎰+⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-∂-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-∂-)()()()()(2121)4(2244224x x J y x x i m x y d x d J i m x d x φδφεφφφεφWith the Gaussian intergration formulae ：)2exp(2)exp(22aJ a Jx axdx π=+-⎰∞∞- ⇒ ⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅⋅--∞∞-∞∞-⎰⎰J JA A x J x A x dx dx dx nT n 1212121exp det )2(21exp ......πWhere x A J are matrixes. Therefore the two-point function ][J Z should be ：⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=)()()()()(21exp ][4x x J y y x K x x d J Z φφφφDWhere ：def ：())()()4(22y x i m y x K -+-∂-=-δεWe can check these ：)()()()()()()()()())(()()()()()4(22)4()4(224)4()4(224)4(4y x i y x D i m y x i z y y x D i m y d z x i z y i m y x yD d z x z y K y x D i y d F x F xx F F -=-+--∂⇒-=--+--∂⇒-=-+--∂-⇒-=---⎰⎰⎰δεδδεδδεδ)(y x D F - is nothing but the the Green Function of the Klein-Gordon operator.In another way,we can complete the square by introducing a shifted field ：)()()()('4y J y x D y d i x x F --≡⎰φφUsing these we have ：()()()[]⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛---+-∂-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++-∂-=)()()(21exp )(exp ' )()()(21''21exp ' )()()()(21exp ][440444224224y J y x D x yJ xd d x d i y J y x iD x J y xd d i i m x d x x J x i m x x d J Z F F φφφεφφφφεφφL D D DFree Field ：)( )()()(21exp )()(21)()(21)( )()()(21exp )()(0|)()(|0214424241442121x x D y J y x D x yJ xd d x x D x yJ d y J y x yD d x J y J y x D x yJ xd d x J x J x x T F F F F F -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--->=<⎰⎰⎰⎰δδδδδδφφFor 4φ theory ：44φλ！-=I L⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∂∂⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∂∂⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∂∂⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+--∂∂=φφφφφδδλφφφφφδδλφφφφφφφλφφφλφφφφμμμμμμμμJ m x d i x J i x d J m x d i x J i x d i J m x d i x d i J m x d i J Z 2244442244442244442242121exp ......)(!41 2121exp )(!4exp 2121exp !4exp !42121exp ][~D D D D D D Where we make ：[]⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎰⎰⎰4444)(!4exp )(exp )(exp x J i x d i x J i x d i x d i I I δδλδδφL L For the vertex ：()()()()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=-----=----⨯----⎪⎭⎫ ⎝⎛-===xd i x x D x x D x x D x x xD d i y J y x yD dy J y x yD d y J y x yD d y J y x yD d x d i J Z x J x J x J x J F F F F F FF F J 4432144444404321)()()()()()()()( )()()()(!4!4][~)()()()(λλλδδδδδδδδ整理于2011-3-71x 2x 3x 4xQuantization of the Electromagnetic Field ﹡The difficutlies of questing gauge fieldTransformation of the gauge field μA ：)(1x eA A αμμμ∂+→Lagrangian of electromagnetic ：μνμνF F 41-=LTherefore the conjugate momentum ：μμπA ∂∂=L However ：00=π so we cannot write down the commutation relations like ：)y x ()]y (),x ([)3(-=δπμννμig APath intergral formula ：()[]⎰⎰∂∂-∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=)()(2141244x A g x A x d F F x d S ννμμνμμνμνFourier Transformation ： ⇓()()[]⎰-+-=)(~)(~221244k A k k g k k A k d S ννμμνμπ However if we define ：2kk k gνμμνμν-=∆⇒ μνλνμν∆=∆∆ That means ：3=∆μνμνg Therefore ：μν∆ 不可逆。
