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第5讲三角函数的图象与性质1．正弦、余弦、正切函数的图象与性质函数y＝sin x y＝cos x y＝tan x图象定义域R R{x|x≠kπ＋π2，k∈Z}值域[－1，1][－1，1]R函数的最值最大值1，当且仅当x＝2kπ＋π2，k∈Z最小值－1，当且仅当x＝2kπ－π2，k∈Z最大值1，当且仅当x＝2kπ，k∈Z最小值－1，当且仅当x＝2kπ－π，k∈Z无最大值和最小值单调性增区间[k·2π－π2，k·2π＋π2(k∈Z)]减区间[k·2π＋π2，k·2π＋3π2](k∈Z)增区间[k·2π－π，k·2π](k∈Z)减区间[k·2π，k·2π＋π](k∈Z)增区间(k·π－π2，k·π＋π2)(k∈Z)奇偶性奇函数偶函数奇函数周期性周期为2kπ，k≠0，k∈Z，最小正周期为2π周期为2kπ，k≠0，k∈Z，最小正周期为2π周期为kπ，k≠0，k∈Z，最小正周期为π对称性对称中心(kπ，0)，k∈Z⎝⎛⎭⎫kπ＋π2，0，k∈Z⎝⎛⎭⎫kπ2，0，k∈Z对称轴x＝kπ＋π2，k∈Zx＝kπ，k∈Z无对称轴零点kπ，k∈Z kπ＋π2，k∈Zkπ，k∈Z2.周期函数的定义对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期；函数y＝A sin(ωx ＋φ)和y＝A cos(ωx＋φ)的周期均为T＝2π|ω|；函数y＝A tan(ωx＋φ)的周期为T＝π|ω|.3．对称与周期正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一个周期；正切曲线相邻的两个对称中心之间的距离是半个周期．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)y＝cos x在第一、二象限内是减函数．()(2)若y＝k sin x＋1，x∈R，则y的最大值是k＋1.()(3)若非零实数T是函数f(x)的周期，则kT(k是非零整数)也是函数f(x)的周期．()(4)函数y＝sin x图象的对称轴方程为x＝2kπ＋π2(k∈Z)．()(5)函数y＝tan x在整个定义域上是增函数．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)×(5)×函数y＝tan 3x的定义域为()A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪x≠3π2＋3kπ，k∈ZB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪x≠π6＋kπ，k∈ZC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪x≠－π6＋kπ，k∈ZD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪x≠π6＋kπ3，k∈Z解析：选D.由3x ≠π2＋k π(k ∈Z )，得x ≠π6＋k π3，k ∈Z .故选D.(2017·高考全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝cos(x ＋π3)，则下列结论错误的是( )A ．f (x )的一个周期为－2πB ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称C ．f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6D ．f (x )在(π2，π)单调递减解析：选D.根据函数解析式可知函数f (x )的最小正周期为2π，所以函数的一个周期为－2π，A 正确；当x ＝8π3时，x ＋π3＝3π，所以cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝－1，所以B 正确；f (x ＋π)＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π＋π3＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋4π3，当x ＝π6时，x ＋4π3＝3π2，所以f (x ＋π)＝0，所以C 正确；函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3在⎝⎛⎭⎫π2，23π上单调递减，在⎝⎛⎭⎫23π，π上单调递增，故D 不正确．所以选D.函数y ＝3－2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的最大值为__________，此时x ＝________．解析：函数y ＝3－2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的最大值为3＋2＝5，此时x ＋π4＝π＋2k π(k ∈Z )，即x ＝3π4＋2k π(k ∈Z )． 答案：53π4＋2k π(k ∈Z ) 函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，x ∈[0，π]的减区间为________．解析：当2k π＋π2≤x ＋π4≤2k π＋3π2，k ∈Z ，即2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z 时，函数f (x )是减函数．又x ∈[0，π]，所以f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤π4，π. 答案：⎣⎡⎦⎤π4，π三角函数的定义域和值域[典例引领](1)(2017·高考全国卷Ⅱ)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最大值是________．(2)函数y ＝lg(2sin x －1)＋1－2cos x 的定义域是________． 【解析】(1)依题意，f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34＝－cos 2x ＋3cos x ＋14＝－⎝⎛⎭⎫cos x －322＋1，因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以cos x ∈[0，1]，因此当cos x ＝32时，f (x )max ＝1.(2)要使函数y ＝lg(2sin x －1)＋1－2cos x 有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧2sin x －1>0，1－2cos x ≥0，即⎩⎨⎧sin x >12，cos x ≤12.解得2k π＋π3≤x <2k π＋5π6，k ∈Z .即函数的定义域为⎣⎡⎭⎫2k π＋π3，2k π＋5π6，k ∈Z .【答案】 (1)1 (2)⎣⎡⎭⎫2k π＋π3，2k π＋5π6，k ∈Z(1)三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．(2)三角函数值域的不同求法 ①利用sin x 和cos x 的值域直接求．②把所给的三角函数式变换成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式求值域． ③(换元法)把sin x 或cos x 看作一个整体，转换成二次函数求值域． ④(换元法)利用sin x ±cos x 和sin x cos x 的关系转换成二次函数求值域．[通关练习]1．函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为( )A.⎣⎡⎦⎤－32，32 B.⎣⎡⎦⎤－32，3 C.⎣⎡⎦⎤－332，332 D.⎣⎡⎦⎤－332，3解析：选B.当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1， 故3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－32，3， 即此时函数f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－32，3. 2．函数y ＝lg sin x ＋cos x －12的定义域为________．解析：要使函数有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x －12≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<x <π＋2k π，－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z )， 所以2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z .所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z .答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z3．函数y ＝(4－3sin x )(4－3cos x )的最小值为________． 解析：y ＝16－12(sin x ＋cos x )＋9sin x cos x ，令t ＝sin x ＋cos x ，则t ∈[－2，2]，且sin x cos x ＝t 2－12，所以y ＝16－12t ＋9×t 2－12＝12(9t 2－24t ＋23)．故当t ＝43时，y min ＝72.答案：72三角函数的单调性(高频考点)三角函数的单调性是每年高考命题的热点，题型既有选择题也有填空题，或解答题某一问出现，难度为中档题．高考对三角函数单调性的考查有以下四个命题角度：(1)求已知三角函数的单调区间； (2)已知三角函数的单调区间求参数； (3)利用三角函数的单调性比较大小；(4)利用三角函数的单调性求值域(或最值)．(见本节例1(1)及通关练习T1)[典例引领]角度一 求已知三角函数的单调区间(2018·沈阳市教学质量检测(一))已知f (x )＝2sin 2x ＋2sin x cos x ，则f (x )的最小正周期和一个单调递减区间分别为( ) A ．2π，⎣⎡⎦⎤3π8，7π8B ．π，⎣⎡⎦⎤3π8，7π8C ．2π，⎣⎡⎦⎤－π8，3π8D ．π，⎣⎡⎦⎤－π8，3π8【解析】 f (x )＝2sin 2x ＋2sin x cos x ＝1－cos 2x ＋sin 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋1，所以T ＝2π2＝π，由π2＋2k π≤2x －π4≤3π2＋2k π(k ∈Z )得3π8＋k π≤x ≤7π8＋k π(k ∈Z )，令k ＝0得f (x )在⎣⎡⎦⎤3π8，7π8上单调递减．【答案】 B角度二 已知三角函数的单调区间求参数函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤－π2，2π3上单调递增，则ω的取值范围是________．【解析】 因为ω>0，由2k π－π2≤ωx ≤2k π＋π2，k ∈Z ，得f (x )的增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k πω－π2ω，2k πω＋π2ω，k ∈Z .因为f (x )在⎣⎡⎦⎤－π2，2π3上单调递增，所以⎣⎡⎦⎤－π2，2π3⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k πω－π2ω，2k π2＋π2ω. 所以－π2≥2k πω－π2ω且2π3≤π2ω＋2k πω，所以ω∈⎝⎛⎦⎤0，34. 【答案】 ⎝⎛⎦⎤0，34 角度三 利用三角函数的单调性比较大小已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫π7，b ＝f ⎝⎛⎭⎫π6，c ＝f ⎝⎛⎭⎫π3，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a <c <bB ．c <a <bC ．b <a <cD ．b <c <a【解析】 a ＝f ⎝⎛⎭⎫π7＝2sin 1021π，b ＝f ⎝⎛⎭⎫π6＝2sin π2＝2，c ＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝2sin 2π3＝2sin π3，因为y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤0，π2上递增，所以c <a <b .【答案】 B(1)求三角函数单调区间的两种方法①代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u (或t )，利用复合函数的单调性列不等式求解，如例2-1.②图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间．[提醒] 要注意求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时ω的符号，若ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数．同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域． (2)利用单调性确定ω的范围的方法对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷． (3)利用单调性比较大小的方法首先利用诱导公式把已知角转化为同一区间内的角且函数名称相同，再利用其单调性比较大小．[通关练习]1．函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间是( )A.⎣⎡⎦⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )B.⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )C.⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )D.⎝⎛⎭⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )解析：选B.由k π－π2<2x －π3<k π＋π2(k ∈Z )得，k π2－π12<x <k π2＋5π12(k ∈Z )，所以函数f (x )＝tan(2x －π3)的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )．2．(2018·浙江宁波质检)已知函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最小值为－2，则ω的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－∞，－92∪[6，＋∞) B.⎝⎛⎦⎤－∞，－92∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞ C ．(－∞，－2]∪[6，＋∞) D ．(－∞，－2]∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞解析：选D.当ω>0时，由题意知－π3ω≤－π2，即ω≥32；当ω<0时，由题意知π4ω≤－π2，所以ω≤－2.综上可知，ω的取值范围是(]－∞，－2∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞. 3．已知函数g (x )＝－cos ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，则g (x )的单调递增区间为________．解析：g (x )＝－cos ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3＝－cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3，欲求函数g (x )的单调递增区间， 只需求y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递减区间． 由2k π≤2x －π3≤2k π＋π，k ∈Z ，得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3，k ∈Z .故所给函数的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )． 因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，所以函数g (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π2，－π3，⎣⎡⎦⎤π6，π2.答案：⎣⎡⎦⎤－π2，－π3，⎣⎡⎦⎤π6，π2三角函数的奇偶性、周期性及对称性(高频考点)三角函数的奇偶性、周期性及对称性是每年高考命题的热点，题型既有选择题也有填空题，或在解答题某一问出现，难度为中档题．高考对三角函数单调性的考查有以下三个命题角度： (1)三角函数的周期性与奇偶性； (2)三角函数的对称轴或对称中心； (3)三角函数的奇偶性与单调性．[典例引领]角度一 三角函数的周期性与奇偶性(2018·贵阳市监测考试)下列函数中，以π2为最小正周期的奇函数是( )A ．y ＝sin 2x ＋cos 2xB ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π2C ．y ＝sin 2x cos 2xD ．y ＝sin 22x －cos 22x【解析】 A 中，y ＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，为非奇非偶函数，故A 错；B 中，y＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π2＝cos 4x ，为偶函数，故B 错；C 中，y ＝sin 2x cos 2x ＝12sin 4x ，最小正周期为π2且为奇函数，故C 正确；D 中，y ＝sin 22x －cos 22x ＝－cos 4x ，为偶函数，故D 错． 【答案】 C角度二 三角函数的对称轴或对称中心函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象与函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象( )A ．有相同的对称轴但无相同的对称中心B ．有相同的对称中心但无相同的对称轴C ．既有相同的对称轴也有相同的对称中心D ．既无相同的对称中心也无相同的对称轴【解析】 由2x －π6＝k π＋π2，k ∈Z ，可解得函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的对称轴为x ＝k π2＋π3，k ∈Z .由x －π3＝k π，k ∈Z ，可解得函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π3的对称轴为x ＝k π＋π3，k ∈Z .当k ＝0时，函数有相同的对称轴．由2x －π6＝k π，k ∈Z ，可解得函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2＋π12，0，k ∈Z .由x －π3＝k π＋π2，k ∈Z ，可解得函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π3的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π＋5π6，0，k ∈Z .故两个函数没有相同的对称中心，故选A. 【答案】 A角度三 三角函数的奇偶性与单调性(2018·广州市综合测试(一))已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)(ω>0，0<φ<π)是奇函数，直线y ＝2与函数f (x )的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为π2，则( )A ．f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π4上单调递减B ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π8，3π8上单调递减C ．f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π4上单调递增D ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π8，3π8上单调递增【解析】 f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋φ＋π4，因为0<φ<π且f (x )为奇函数，所以φ＝3π4，即f (x )＝－2sin ωx ，又直线y ＝2与函数f (x )的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为π2，所以函数f (x )的最小正周期为π2，由2πω＝π2，可得ω＝4，故f (x )＝－2sin 4x ，由2k π＋π2≤4x ≤2k π＋3π2，k ∈Z ，即k π2＋π8≤x ≤k π2＋3π8，k ∈Z ，令k＝0，得π8≤x ≤3π8，此时f (x )在⎝⎛⎭⎫π8，3π8上单调递增．【答案】 D三角函数的奇偶性、对称性和周期问题的解题思路(1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx 的形式，而偶函数一般可化为y ＝A cos ωx ＋b 的形式．(2)周期的计算方法：利用函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)，y ＝A cos(ωx ＋φ)(ω>0)的周期为2πω，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0)的周期为πω求解．(3)解决对称性问题的关键：熟练掌握三角函数的对称轴、对称中心．[提醒] 对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0，0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断．[通关练习]1．已知f (x )＝sin x ＋3cos x (x ∈R )，函数y ＝f (x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|≤π2的图象关于直线x ＝0对称，则φ的值为( ) A.π2 B.π3 C.π4D.π6解析：选D.f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，y ＝f (x ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋φ的图象关于x ＝0对称，即f (x ＋φ)为偶函数． 所以π3＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，即φ＝k π＋π6，k ∈Z ，又因为|φ|≤π2，所以φ＝π6，故选D.2．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω>0)的最小正周期为4π，则该函数的图象( )A ．关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称B ．关于点⎝⎛⎭⎫5π3，0对称C ．关于直线x ＝π3对称D ．关于直线x ＝5π3对称解析：选B.函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω>0)的最小正周期是4π，而T ＝2πω＝4π，所以ω＝12， 即f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6.函数f (x )的对称轴为x 2＋π6＝π2＋k π，解得x ＝23π＋2k π(k ∈Z )；函数f (x )的对称中心的横坐标为x 2＋π6＝k π，解得x ＝2k π－13π(k ∈Z )．所以f (x )的对称中心为⎝⎛⎭⎫5π3，0.3．(2018·揭阳模拟)已知函数f (x )是周期为2的奇函数，当x ∈[0，1)时，f (x )＝lg(x ＋1)，则f ⎝⎛⎭⎫2 0165＋lg 18＝________．解析：因为当x ∈[0，1)时，f (x )＝lg(x ＋1)， f ⎝⎛⎭⎫45＝lg 95， 又因为函数f (x )是周期为2的奇函数， 所以f ⎝⎛⎭⎫2 0165＝f ⎝⎛⎭⎫－45＝－f ⎝⎛⎭⎫45＝－lg 95， 所以f ⎝⎛⎭⎫2 0165＋lg 18＝lg 18－lg 95＝lg 10＝1. 答案：1奇偶性对于y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ≠0)，若为奇函数，则φ＝k π(k ∈Z )；若为偶函数，则φ＝π2＋k π(k ∈Z )．对于y ＝A cos(ωx ＋φ)(A ≠0)，若为奇函数，则φ＝π2＋k π(k ∈Z )；若为偶函数，则φ＝k π(k ∈Z )．对于y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ≠0)，若为奇函数，则φ＝k2π(k ∈Z )．函数图象的对称中心、对称轴(1)求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的函数图象的对称轴或对称中心时，都是先把“ωx ＋φ”看作一个整体，然后根据y ＝sin x 和y ＝cos x 图象的对称轴或对称中心进行求解． (2)在判断对称轴或对称中心时，用以下结论可快速解题：设y ＝f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，g (x )＝A cos(ωx ＋φ)，x ＝x 0是对称轴方程⇔f (x 0)＝±A ，g (x 0)＝±A ；(x 0，0)是对称中心⇔f (x 0)＝0，g (x 0)＝0. 易错防范(1)闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性；含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响．(2)要注意求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时A 和ω的符号，尽量化成ω>0时的情况，避免出现增减区间的混淆．1．f (x )＝tan x ＋sin x ＋1，若f (b )＝2，则f (－b )＝( ) A ．0 B ．3 C ．－1D ．－2解析：选A.因为f (b )＝tan b ＋sin b ＋1＝2， 即tan b ＋sin b ＝1.所以f (－b )＝tan(－b )＋sin(－b )＋1 ＝－(tan b ＋sin b )＋1＝0.2．(2018·南昌市第一次模拟)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π2)的周期为π，若f (α)＝1，则f ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析：选B.因为函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0， 0<φ<π2)的周期为π，所以T ＝2πω＝π，得ω＝2，从而由f (α)＝1，得A sin(2α＋φ)＝1，f ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝A sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫α＋3π2＋φ＝A sin []3π＋（2α＋φ）＝－A sin(2α＋φ)＝－1.3．最小正周期为π且图象关于直线x ＝π3对称的函数是( )A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3解析：选B.由函数的最小正周期为π，可排除C.由函数图象关于直线x ＝π3对称知，该直线过函数图象的最高点或最低点，对于A ，因为sin ⎝⎛⎭⎫2×π3＋π3＝sin π＝0，所以选项A 不正确．对于D ，sin ⎝⎛⎭⎫2×π3－π3＝sin π3＝32，所以D 不正确，对于B ，sin ⎝⎛⎭⎫2×π3－π6＝sinπ2＝1，所以选项B 正确，故选B.4．(2017·高考全国卷Ⅲ)函数f (x )＝15sin(x ＋π3)＋cos(x －π6)的最大值为( )A.65 B ．1 C.35D.15解析：选A.因为cos(x －π6)＝cos[(x ＋π3)－π2]＝sin(x ＋π3)，所以f (x )＝65sin(x ＋π3)，于是f (x )的最大值为65，故选A.5．(2018·石家庄教学质量检测(二))已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π12，f ′(x )是f (x )的导函数，则函数y ＝2f (x )＋f ′(x )的一个单调递减区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤π12，7π12 B.⎣⎡⎦⎤－5π12，π12 C.⎣⎡⎦⎤－π3，2π3D.⎣⎡⎦⎤－π6，5π6解析：选A.由题意，得f ′(x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π12，所以y ＝2f (x )＋f ′(x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π12＋2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π12＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π12＋π4＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.由2k π＋π2≤2x ＋π3≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得k π＋π12≤x ≤k π＋7π12(k ∈Z )，所以y ＝2f (x )＋f ′(x )的一个单调递减区间为⎣⎡⎦⎤π12，7π12，故选A. 6．比较大小：sin ⎝⎛⎭⎫－π18________sin ⎝⎛⎭⎫－π10.解析：因为y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤－π2，0上为增函数且－π18＞－π10，故sin ⎝⎛⎭⎫－π18＞sin ⎝⎛⎭⎫－π10.答案：＞7．若函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6的最小正周期为T ，T ∈(1，3)，则正整数ω的最大值为________．解析：因为T ＝2πω，T ∈(1，3)，所以1<2πω<3，即2π3<ω<2π.所以正整数ω的最大值为6. 答案：68．已知f (x )＝sin 2x －3cos 2x ，若对任意实数x ∈⎝⎛⎦⎤0，π4，都有|f (x )|<m ，则实数m 的取值范围是________．解析：因为f (x )＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，x ∈⎝⎛⎦⎤0，π4，所以⎝⎛⎭⎫2x －π3∈⎝⎛⎦⎤－π3，π6，所以2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈(－3，1]，所以|f (x )|＝|2sin ⎝⎛⎪⎪2x －π3）<3，所以m ≥ 3.答案：[3，＋∞)9．(2017·高考北京卷)已知函数f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3－2sin x cos x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求证：当x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4时，f (x )≥－12. 解：(1)f (x )＝32cos 2x ＋32sin 2x －sin 2x ＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin(2x ＋π3)．所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)证明：因为－π4≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π3≤5π6.所以sin(2x ＋π3)≥sin(－π6)＝－12.所以当x ∈[－π4，π4]时，f (x )≥－12.10．(2018·合肥市第二次教学质量检测)已知函数f (x )＝sin ωx －cos ωx (ω>0)的最小正周期为π.(1)求函数y ＝f (x )图象的对称轴方程； (2)讨论函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的单调性．解：(1)因为f (x )＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4，且T ＝π，所以ω＝2.于是，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4.令2x －π4＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋3π8(k ∈Z )，即函数f (x )图象的对称轴方程为x ＝k π2＋3π8(k ∈Z )．(2)令2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z )．注意到x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以令k ＝0，得函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤0，3π8；同理，其单调递减区间为⎣⎡⎦⎤3π8，π2.1．已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪tan ⎝⎛⎭⎫12x －π6，则下列说法正确的是( )A ．f (x )的周期是π2B ．f (x )的值域是{y |y ∈R ，且y ≠0}C ．直线x ＝5π3是函数f (x )图象的一条对称轴D ．f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎦⎤2k π－2π3，2k π＋π3，k ∈Z解析：选 D.函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪tan ⎝⎛⎭⎫12x －π6的周期为T ＝π12＝2π，故A 错误；函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪tan ⎝⎛⎭⎫12x －π6的值域为[0，＋∞)，故B 错误；当x ＝5π3时，12x －π6＝2π3≠k π2，k ∈Z ，即x ＝5π3不是f (x )的对称轴，故C 错误；令k π－π2<12x －π6≤k π，k ∈Z ，解得x ∈⎝⎛⎦⎤2k π－2π3，2k π＋π3，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调减区间为⎝⎛⎦⎤2k π－2π3，2k π＋π3，k ∈Z ，故D 正确．2．(2018·武汉市武昌区调研考试)若f (x )＝cos 2x ＋a cos ⎝⎛⎭⎫π2＋x 在区间⎝⎛⎭⎫π6，π2上是增函数，则实数a 的取值范围为( ) A ．[－2，＋∞) B ．(－2，＋∞) C ．(－∞，－4)D ．(－∞，－4]解析：选D.f (x )＝1－2sin 2x －a sin x ，令sin x ＝t ，t ∈⎝⎛⎭⎫12，1，则g (t )＝－2t 2－at ＋1，t ∈⎝⎛⎭⎫12，1，因为f (x )在⎝⎛⎭⎫π6，π2上单调递增，所以－a4≥1，即a ≤－4，故选D.3．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)，x ∈R .若函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，则ω的值为( ) A.12 B ．2 C.π2D.π2解析：选D.因为f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数图象关于直线x ＝ω对称，所以f (ω)必为一个周期上的最大值，所以有ω·ω＋π4＝2k π＋π2，k ∈Z ，所以ω2＝π4＋2k π，k ∈Z ，又ω－(－ω)≤12·2πω，ω>0，即ω2≤π2，即ω2＝π4，所以ω＝π2.4．(2018·湖南省湘中名校联考)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数，若f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6对x ∈R 恒成立，且f ⎝⎛⎭⎫π2>f (π)，则f (x )的单调递增区间是( )A.⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )B.⎣⎡⎦⎤k π，k π＋π2(k ∈Z )C.⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )D.⎣⎡⎦⎤k π－π2，k π(k ∈Z )解析：选C.因为f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6对x ∈R 恒成立，即⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝1，所以φ＝k π＋π6(k ∈Z )．因为f ⎝⎛⎭⎫π2>f (π)，所以sin(π＋φ)>sin(2π＋φ)， 即sin φ<0，所以φ＝－56π＋2k π(k ∈Z )，所以f (x )＝sin(2x －56π)，所以由三角函数的单调性知2x －5π6∈[2k π－π2，2k π＋π2](k ∈Z )，得x ∈[k π＋π6，k π＋2π3](k ∈Z )即为f (x )的单调递增区间，故选C. 5．已知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4.(1)求函数f (x )图象的对称轴方程； (2)求f (x )的单调递增区间； (3)当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，求函数f (x )的最大值和最小值．解：(1)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，令2x ＋π4＝k π＋π2，k ∈Z ，则x ＝k π2＋π8，k ∈Z .所以函数f (x )图象的对称轴方程是x ＝k π2＋π8，k ∈Z .(2)令2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，则k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .故f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .(3)当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，3π4≤2x ＋π4≤7π4， 所以－1≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4≤22，所以－2≤f (x )≤1，所以当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，函数f (x )的最大值为1，最小值为－ 2.6．已知a >0，函数f (x )＝－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1.(1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间．解：(1)因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6.所以sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1， 所以－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]．所以f (x )∈[b ，3a ＋b ]， 又因为－5≤f (x )≤1，所以b ＝－5，3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5. (2)由(1)得，f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1，g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋7π6－1＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1，又由lg g (x )>0，得g (x )>1，所以4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1>1，所以sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6>12，所以2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ，其中当2k π＋π6<2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，g (x )单调递增，即k π<x ≤k π＋π6，k ∈Z ，所以g (x )的单调增区间为⎝⎛⎦⎤k π，k π＋π6，k ∈Z .又因为当2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z 时，g (x )单调递减，即k π＋π6<x <k π＋π3，k ∈Z .所以g (x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z .。
三角函数的图象与性质(解析版)三角函数的图象与性质(解析版)三角函数是数学中重要的函数之一，它们在解析几何、物理、工程等领域中具有广泛的应用。
本文将对三角函数的图象与性质进行解析，便于读者更好地理解与掌握三角函数的特点。
一、正弦函数的图象与性质正弦函数是最基本的三角函数之一，它的图象是一条连续的波浪线。
我们可以通过数学方法推导出正弦函数的周期性、奇偶性和对称性等性质。
1. 图象特点：正弦函数的图象是一条在坐标平面上连续波动的曲线。
它的振幅表示峰值与谷值之间的差距，周期则代表两个峰值或谷值之间的距离。
2. 周期性：正弦函数的一个周期内，曲线的形状相同，并且可以无限延伸。
周期为2π，即当x增加2π时，曲线的形状重复出现。
3. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即f(x) = -f(-x)。
这意味着当自变量x取负值时，函数值会发生变号。
4. 对称性：正弦函数关于原点对称，即f(x) = -f(x + π)。
这意味着以原点为对称中心，曲线的左右两侧完全相同。
二、余弦函数的图象与性质余弦函数也是常见的三角函数之一，它的图象是一条连续的波浪线。
与正弦函数相似，余弦函数也有周期性、奇偶性和对称性等特点。
1. 图象特点：余弦函数的图象是一条波动的曲线，与正弦函数相比，它的最高点与最低点位置不同。
余弦函数的振幅表示波峰与波谷之间的差距，周期代表两个波峰或波谷之间的距离。
2. 周期性：余弦函数的周期也是2π，当自变量x增加2π时，曲线的形状重复出现。
3. 奇偶性：余弦函数是偶函数，即f(x) = f(-x)。
这意味着当自变量x取负值时，函数值保持不变。
4. 对称性：余弦函数关于y轴对称，即f(x) = f(π - x)。
这意味着以y轴为对称中心，曲线的左右两侧完全相同。
三、正切函数的图象与性质正切函数是三角函数中的另一个重要函数，它的图象是一条连续的波动曲线。
我们也可以通过数学方法推导出正切函数的周期性、奇偶性和对称性等性质。
