三角函数图像及其性质

常见三角函数图像及其性质三角函数介绍正弦函数主词条：正弦函数格式：sin（θ）作用：在直角三角形中，将大小为θ（单位为弧度）的角对边长度比斜边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是csc（θ）的倒数函数图像：波形曲线值域：[]1,1-余弦函数主词条：余弦函数格式：cos（θ）作用：在直角三角形中，将大小为（单位为弧度）的角邻边长度比斜边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是sec（θ）的倒数函数图像：波形曲线值域：[]1,1-正切函数主词条：正切函数格式：tan（θ）作用：在直角三角形中，将大小为θ（单位为弧度）的角对边长度比邻边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是cot（θ）的倒数。

函数图像：上图平面直角坐标系反映值域：()∞-∞，+余切函数主词条：余切函数格式：cot（θ）作用：在直角三角形中，将大小为θ（单位为弧度）的角邻边长度比对边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是tan（θ）的倒数值域：()∞-∞，+正割函数主词条：正割函数格式：sec（θ）作用：在直角三角形中，将斜边长度比大小为θ（单位为弧度）的角邻边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是cos（θ）的倒数函数图像：上图平面直角坐标系反映值域：(][)∞-1-，1∞，+余割函数主词条：余割函数格式：csc（θ）作用：在直角三角形中，将斜边长度比大小为θ（单位为弧度）的角对边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是sin（θ）的倒数值域：(][)∞-1-∞，+，1。

三角函数图像及其性质1.任意角的概念：我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，一条射线没作任何旋转，称它形成了一个零角. 2.弧度制：把长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记为1rad .弧度与角度的换算关系：3602rad ，180rad ，10.01745180radrad ，180157.305718rad.扇形公式：在弧度制下，设半径为r ，圆心角为02的扇形的弧长为l ，扇形面积为S ，则（1）lr ；（2）21122Srlr .3.终边相同的角的表示：所有与角终边相同的角，连同角在内，可以构成一个集合：360,k kZ 或2,k k Z .4.象限角的范围：第一象限角：36090360,x k x k k Z 或22,2x kxk k Z 第二象限角：90360180360,x k x k k Z 或22,2xk x k k Z 第三象限角：180360270360,x k x k k Z 或322,2xk x k kZ 第四象限角：2703601360,x k xkkZ 或3221,2xkxk k Z5.任意角的三角函数的定义：设是一个任意大小的角，的终边上任意一点P 的坐标是,x y ，它与原点的距离为220r r xy，则：（1）比值y r叫做角的正弦，记作sin，即siny r；（2）比值x r叫做的余弦，记作cos，即cosx r；（3）比值y x叫做的正切，记作tan，即tany x.6.同角三角函数的基本关系：（1）商数关系：cossin tan；（2）平方关系：1cos sin 22.7..三角函数诱导公式：奇变偶不变，符号看象限.8.常用角的三角函数值643223sin0212223101123222101tan3313不存在不存在9.正、余弦函数、正切函数的图象及其性质一览表函数正弦函数sin yx余弦函数cos yx图象定义域R Rcos2322-2--32-21-1O y x2322-2--32-21-1O y x值域1,11,1最值当22xk k Z 时，max 1y 当22xkkZ 时，min1y 当2x k k Z 时，max 1y 当21xk kZ 时，min1y 周期性周期函数，最小正周期2T周期函数，最小正周期2T 奇偶性奇函数，图象关于原点对称偶函数，图象关于y 轴对称单调性增区间2,222k k k Z 减区间32,222k kkZ增区间21,2k k k Z 减区间2,21k k kZ对称中心,0k kZ,02k k Z对称轴,2xkkZ,xk kZ函数tan y x定义域,2x xk kZ 或,22kkkZ值域R周期性周期函数，最小正周期T 奇偶性奇函数，图象关于原点对称单调性增区间,22k k k Z对称中心,02k kZ图象10.三角函数sin y x 图象变换到siny A x 的两种变换过程：sin sin sinsin yxy xyxy A x平移伸缩（横）伸缩（纵）相位变换周期变换振幅变换.①00sin sin y xyx，横坐标向左平移个单位，横坐标向右平移个单位；②11101sin sin y x y x ，横坐标缩短到原来的倍，横坐标伸长到原来的倍；③101sin sin A A A A yxy A x，纵坐标伸长到原来的倍，纵坐标缩短到原来的倍sin sin sin sin yxy A xyA xy A x振幅变换相位变换周期变换.①101sin sin A A A A y xy A x ，纵坐标伸长到原来的倍，纵坐标缩短到原来的倍；Oyx2-32--232②11101sin sin y A x y A x ，横坐标缩短为原来的倍，横坐标伸长为原来的倍③00sin sinyA xyA x，横坐标向左平移个单位，横坐标向右平移个单位.11.三角函数sin 0,0yA x A 中各参数的名称：A 为振幅，2叫做最小正周期，2f叫做频率，x叫做相位，叫做初相.12.两角和与差相关公式：:cos cos cossin sin C:coscos cossin sinC ，结构特征：①结构：CC SS ；②正负号相对.（2）:sinsin coscos sinS，:sinsin coscos sinS ，结构特征：①结构：CSCS ；②正负号不变.（3）tan tan :tan 1tan tan T，tan tan :tan1tantan T. 13.辅助角公式：22sin cos sin a x b xab x，其中22cosa ab，22sinb ab）.14.正切公式变形：tan tan tan 1tan tan ，tantan tan 1tan tan.15.二倍角公式：22222:cos2cossin2cos112sinC （升幂公式，升幂缩角）变形：21cos2cos2，21cos2sin2（降幂公式，降幂扩角）.21cos22cos，21cos22sin.2:sin 22sin cos S ，222tan :tan 21tanT .16.正弦定理的概念：在一个三角形中，各边和它所对的角的正弦的比相等（设ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，则2sin sin sin a b c R ABC（其中R 为ABC 的外接圆的半径长）. 变式：（1）2sin a R A ，2sin b R B ，2sin cR C ；（2）sin 2a AR，sin 2b BR，sin 2c CR.正弦定理的适用条件：（1）两角及其一边；（2）两边与一边所对的角.17.余弦定理的概念：三角形中任何一边的平方等于其它两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦乘积的两倍，即2222cos abcbc A ，2222cos b ac ac B ，2222cos c abab C . 变式：222cos 2bcaA bc ，222cos 2acbBac ，222cos 2a bcCab .结论：（1）当222ab c 时，则cos 0C ，C 为直角；（2）当222a b c 时，则cos 0C，C 为钝角；（3）当222a bc 时，则cos 0C ，C 是锐角.余弦定理的适用条件：（1）两边及其夹角；（2）三边. 18.三角形的面积公式：111sin sin sin 222ABCSbc Aac Bab C ，适用条件：两边及其夹角.19.利用正弦定理解三角形解的个数的判断：在ABC 中，已知角A 和边a 、b .角A 的情形边的情况解的个数角A 的情形边的情况解的个数A 为锐角sin ab A 无解A 为锐角a b 一解sin ab A一解90180A a b 一解sin b Aab两解ab无解20.相关角的概念：（1）视角：观察物体时，两条视线之间所成的角（可看作是两条射线所成的角）；（2）俯角：由上到下观察物体时，视线与水平线所成的不超过90的正角；（3）仰角：由下往上观察物体时，视线与水平线所成的不超过90的正角；（4）方向角：一般是以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角；（5）方位角：以观测者的位置为中心，正北方向为起始方向顺时针旋转的小于360的正角.【典型例题】【例1】以下四个命题：①第一象限的角一定不是负角；②小于90的角是锐角；③锐角一定是第一象限角；④第二象限角一定是钝角.其中不正确的命题各数是（）.1A 个.2B 个.3C 个.4D 个【练习】下列命题是真命题的是（）.A 三角形的内角必定是第一、第二象限角.B 第一象限角必定是锐角.C 不相等的角终边一定不相同.36090,18090,D k kZk kZ【例2】已知是第三象限角，则2所在的象限是（）.A 第一或第二象限.B 第二或第三象限.C 第一或第三象限.D 第二或第四象限【练习】已知为第二象限角，则3为.【点评】可采用定义或象限法来进行判断.用定义法判断就是将角的范围用不等式进行表示，然后将所求角的范围进行分类讨论就可判断所求角的具体位置；象限法就是借助平面直角坐标系，将每个象限进行平分，平分数看n中的分母n ，将每个象限分成n 等份，从x 轴上方区域起始按逆时针的方向依次标上1、2、3、4、1、2、3、4、，数字表示所在象限，而对应数字所在象限即为角n所在的象限.【例3】4弧度的角所在象限是（）.A 第一象限.B 第二象限.C 第三象限.D 第四象限【练习】1120是第象限角.【点评】先应该把对应角在0360或02范围内终边的角找出来，再判断新角的范围极为所求范围，注意角以弧度制出现时，有时可以用近似值 3.14代替.【例4】若集合18045,2k M x xkZ ，集合45,Nx x k kZ ，则（）.A M Nü.B M NY .C MN.D MN【练习】集合21,M x xn nZ，集合41,N x x k k Z ，M 与N 之间的关系是（）.A M Nü.B M N Y .C M N.D MN 或MN【点评】利用列举法或将集合中的元素化成结构的表达式，再观察式子不同结构的范围之间是否存在包含关系.【例5】已知3,2P 为角终边上的一点，则cos 的值为（）2.3A 3.5B 313.13C 313.13D 【练习】若3cos2，且的终边过点,2P x ，则是第象限角，x.【点评】根据三角函数的定义求即可.【例6】若角的终边过点3,4P t t （0t且tR ），则2sin cos 的值是（）2.5A .1B 2.5C 2.5D 【练习】已知角的终边在直线3yx 上，则10sin3cos.【点评】利用定义求角的三角函数值时，注意参数的符号对三角函数值的影响. 【知识点4】三角函数值符号与角的位置关系【例7】已知costan 0，那么角是（）.A 第一或第二象限角.B 第二或第三象限角.C 第三或第四象限角.D 第一或第四象限角【练习】若sin0且tan 0，则是（）.A 第一象限角.B 第二象限角.C 第三象限角.D 第四象限角【点评】考察三角函数值符号与角的象限位置关系，三角函数值与角的象限位置关系如下：第一象限第二象限第三象限第四象限sincostan由三角函数值的正负来判断角的象限，可将余弦看作是角的终边上点的横坐标，将正弦看作是角的终边上点的纵坐标，将正切看作是角终边点的纵坐标与横坐标的比值，利用三角函数值的符号可以快速锁定角的象限. 【例8】已知,2，3sin 5，则tan. 【练习】若4sin5，tan0，则cos.【点评】同一个角的正弦、余弦、正切三者之间知道其中一个可以求出其它两个函数的值，叫做“知一求二”，具体做法是先根据已知的函数值确定角的象限，再确定所求函数值的符号（一般是未求的正弦或余弦的符号），再利用同角的平方关系或商数关系求出相应的值. 【例9】已知在ABC 中，12cot 5A，则cos A（）12.13A 5.13B 5.13C 12.13D 【点评】同角三角函数的两个基本关系推论：（1）平方关系：222tansin1tan ，221cos1tan；（2）倒数关系：1cottan（k 且2k，kZ ）.【例10】已知tan 2，求：（1）sin 2cos sin3cos；（2）221sincos 2sincos；（3）22sinsin cos 2cos.【练习】（1）已知tan 1，则4sin 2cos 5cos 3sin .（2）已知tan 2，则222sin 3sincos2cos.【点评】“弦化切”的思想主要应用于以下两种情况：（1）弦的分式齐次式，若分子与分母中的弦均为n 次，则分子与分母同时除以cosn，将弦化为切进行计算；（2）弦的二次整式，直接除以221sincos，先将弦的二次整式变为分式，然后分子与分母同时除以2cos即可实现“弦化切”．【例11】sin 210（）.3A 3.2B 1.2C 1.2D 【练习】sin 585的值为（）2.2A 2.2B 2.2C 2.2D 【点评】理解诱导公式的口诀“奇变偶不变，符号看象限”，将任意角的三角函数转化为锐角三角函数的流程图如下：任意正角的三角函数任意角的三角函数角的三角函数02锐角三角函数负角公式三公式一公式二或公式四正角公式一【例12】sin 1200cos1290cos 1020sin 1050tan945.【练习】174319tancos cos6662023tansin36.【点评】诱导公式的综合求值.【例12】已知21sin，那么cos 的值为（）21.A 21.B 23.C 23.D 【练习】已知4log sin81，且0,2，则tan等于（）522.A 522.B 552.C 552.D 【点评】考察同角三角函数之间的关系，按照“定位定号定值”三个步骤进行，但是要注意复合角含有Z kk 2时，首先应该用诱导公式进行化简，化为简单角的三角函数，再选择合适的公式求解.【例13】已知336cos，则65cos .【练习】已知416sin x，则xx 65cos67sin2.【点评】在复合角的三角函数化简中，若复角的形式不是以Z kk 2的形式出现，那么这时就不能用诱导公式直接化简，这时应该把已知的复角看作一个整体，并观察已知角与所求角之间的关系，一般是将已知角与未知角相加或相减，一般是以互补或互余的形式出现，再用诱导公式将未知角用已知角整体进行代换，并进行计算.【例14】12sin2cos 2等于（）.s i n 2c o sA .cos 2sin 2B .s i n 2c o s 2C .sin 2cos2D 【练习】化简212sin 20cos160sin1601sin 20.【点评】化简复杂的三角函数式中，一般情况下二次根式下均能开出来，在化简时注意：大角化小角，化异角为同角，最终化为锐角，利用锐角来进行计算，同时也应注意被开方式的正负的讨论. 【例15】若cos cos3f xx ，那么sin 30f 的值为（）.0A .1B .1C 3.2D 【练习】已知cos cos2f x x ，则12f.【点评】在复合型的三角函数求值中，常规做法就是将函数解析式求出，另一方面就是将起关键作用的变量x 求出来，再代值计算即可.【知识点4】三角函数的周期【例16】函数最小正周期是. 【练习】函数2()sin24f x x的最小正周期是.【点评】求三角函数最小正周期的方法很多：（1）定义法；（2）公式法；（3）枚举法：将三角函数的周期由大到小()sin cos f x x x一次排列，每次减半；（4）最小公倍数原理：当复合型的三角函数中含有一个或多个简单三角函数时，原函数的最小正周期取这些简单三角函数最小正周期的最小公倍数；（5）结论：函数s i n yA x、cos 0,0y A x A 、2sin yA x 、2cos0,0y A x A 的最小正周期T ，函数tany A x、2tan0,0yA xA的最小正周期T.【例17】函数1cos y x 的图象（）.A 关于x 轴对称.B 关于原点对称.C 关于y 轴对称.D 关于直线2x对称【练习】设函数sin 22f xx，xR ①最小正周期为的奇函数；②最小正周期为的偶函数；③最小正周期为2的奇函数；④最小正周期为2的偶函数.正确命题的序号是.【点评】熟悉奇（偶）函数图象的特征，并可用多种方法来判断函数的奇偶性，充分利用性质来进行判断，奇函数奇函数奇函数，偶函数偶函数偶函数，奇函数奇函数偶函数，偶函数偶函数偶函数，奇函数偶函数奇函数. 【例18】已知函数sin03f xx的最小正周期为，则该函数的图象（）.A 关于点,03对称.B 关于直线4x 对称.C 关于点,04对称.D 关于直线3x对称【练习】函数sin 23yx的图象的对称轴方程可以是（）.6A x.12B x.6C x .12D x【点评】在考虑三角函数的对称中心与对称轴时，应将x 看成一个整体，再将对应的x 代入看是否满足条件.【例19】若函数sin 2cos 2y x a x 的图象关于直线6x 对称，则a . 【练习】若函数sin 2cos2yxa x 的图象关于直线4x对称，则a.【点评】若三角函数中有参数，而且对称轴或对称中心已知，则可以利用特殊值，但是选特殊值时对应角一般选择特殊角较好，方便计算.【例20】下列关系式中正确的是（）.s i n 11c o s 10si n A .sin168sin11cos10B .s i n 11s i n 168c oC .sin168cos10sin11D 【练习】若tan 4f xx，则（）.011A f f f .011B f f f .11C f f f.11D ff f 【点评】三角函数比较大小一般是利用三角函数的单调性，首先要区分所考察数的正负，再将所考察的数化为的三角函数值，最终是利用诱导公式将这些数变为锐角三角函数，借助相应函数在锐角范围内的单调性进行大小比较.【例21】函数sin y x 的一个单调增区间是（）.,44A 3.,44B 3.,2C 3.,22D 【练习】下列函数中，周期为，且在,42上为减函数的是（）.s i n 22A y x.cos 22B y x .s i n 2C yx.cos 2D yx【点评】判断函数在某区间上的单调性，一般是将x当作一个整体u ，先算出x的范围，再画出对应的简单函数（由对应的函数名决定），观察函数在对应范围内的图象进而可以判断单调性. 【例22】函数12log 2sin 2yx 的单调减区间是（）.,4A k k k Z .,2B k k k Z .2,24C kk kZ.2,22D k kkZ【练习】函数2sin 23y x 的单调增区间是（）5.,1212A k k k Z511.,1212B k kk Z.,36C kkkZ 2.,63D kkkZ【点评】求复合型三角函数的单调区间，当对变量x 无限制时，首先要考虑函数的定义域，或者先确定所考察的一次三角函数的范围，将x 当作一个整体u ，并作出对应的简单三角函数的图象（由对应的函数名决定），确定x的范围再解出自变量x 范围即为所求，其实有些时候直接套即结论即可. 【例23】函数2sin 3f xx，,0x 的单调增区间是（）5.,6A 5.,66B .,03C .,06D 【练习】函数2sin 23yx在0,上的单调减区间是.【点评】求复合型的三角函数在某固定区间上的单调区间，有两种做法：（1）先将所考察的在对自变量x 无限制条件下对应的单调区间求出来，然后再将此区间与定义域取交集即可得到，但此法由于不知道对应的k 值，单调区间与定义域的交集不太方便确定；（2）将x当作一个整体u ，先根据定义域确定变量ux 的范围I ，并作出关于变量u 的简单三角函数（图象由函数名称决定），确定变量u 范围后再求出自变量x 的范围即可.应用以上两种方法应注意最好将变量x 的系数化为正数.【例24】当x时，函数32cos 24yx取到最大值，当x时，函数32cos 24yx取到最小值.【练习】已知函数sin20y a x b a 的最大值为3，最小值为1，则a ，b.【点评】对于函数sin0,0yA xb A，当对自变量无约束时，max y A b ，min y A b .【例25】函数2sin 213y x 在区间0,2上值域为. 【练习】函数1sin 224yx在区间0,2上的最大值是，最小值是.【点评】求函数siny A x在固定区间上的最值，首先根据定义域确定x 的范围D ，然后作出正弦函数在区间D 的图象，根据图象确定最大值和最小值，还可以确定对应的相位值，进而可以确定相应的自变量的取值.【例26】已知44x，则函数2cos sin f x x x 的最小值是（）21.4A 21.4B 21.4C 21.4D 【练习】（1）函数23sin cos f x x x 的最大值是.（2）函数cos22sin f x x x 的值域为（）.3,1A .2,2B 3.3,2C 3.2,2D 【点评】形如2sin sin ya xb xc ，应将sin x t 替代转化为二次函数2y atbt c ，利用求二次函数的方法来求其最值，由于sin x 的有界性，换元过程中要注意根据自变量x 的取值范围确定中间变量t 的范围作为新函数的定义域，如果换元前二次项和一次项函数名不同，先将二次项转化为一次项同名函数，再换成以一次项为变量的二次函数求解. 【例27】方程2sin2103x在区间0,的实数解为.【练习】（2008年浙江卷理）在同一直角坐标系中，函数3cos0,222x yx 的图象与直线12y的交点个数是（）.0A .1B .2C .4D 【点评】在求方程sin x a 的根（或根的个数）可以转化为函数sin y x的图象与函数y a 的图象的公共点问题，但首先还是将相位x视为一个整体，然后求出相位的范围D ，画出正弦曲线在区间D 的图象，并作出两个函数，观察两者的图象，若有必要可将交点处的相位值求出，进而可以求出相应自变量x 的值.【例28】已知函数sin y x（0，）的图象如下图所示，则.【练习】若函数s i n f x x的图象（部分）如上图所示，则和的取值是（）.1A ，3.1B ，31.2C ，61.2D ，6【点评】在函数sin y A x的参数确定后再来确定初相的值，一般有两种情况，一是对的取值没有约束，这时我们可以取最高点、最低点或对称中心点，最高点的相位为2，最低点的相位为2，对称中心点的相位要视该点处的单调性而言，若附近的图象是上升的，则该对称中心点所对应的相位为0，否则为，然后解出即可；二是对的取值有约束，则选择上述关键点中的一点，注意在对应相位后加上2kkZ ，求出值（代数式中含k ），将有关值的代数式代入约束条件解出k ，再将k 值代入值的代数式即可.【例29】函数tan cos y x x 的部分图象是（）（2009年海南卷理）342-11O y x（2004年辽宁卷）23-31O y x【练习】函数tan sin tan sin y x xx x 在区间3,22内的图象大致是【点评】利用解析式辨别三角函数的图象，若解析式中含有绝对值符号，一般要去绝对值符号，将解析式化简，再根据解析式识别函数图象；若绝对值中的对象是两个代数式之差，在比较两个式子之差的符号时，一般要注意两者的符号，若符号一致，再可借助三角函数线来比较大小，也可以采用中间值等方法比较大小. 【例30】为了得到函数sin 23yx的图象，只需把函数sin 26yx的图象.A 向左平移4个长度单位.B 向右平移4个长度单位.C 向左平移2个长度单位.D 向右平移2个长度单位【练习】（1）函数s i n 23y x 的图象经怎样平移后所得的图象关于点,012中心对称（）.A 向左平移12.B 向左平移6.C 向右平移6.D 向右平移12（2）为了得到函数2sin 26x y，xR 的图象，只需将函数2sin yx ，xR 的图象上所有的点（）.A 向左平移6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短为原来的13倍（纵坐标不变）.B 向右平移6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短为原来的13倍（纵坐标不变）.C 向左平移6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）.D 向右平移6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短为原来的3倍（纵坐标不变）【点评】当1时，由函数1sinyA x的图象变换到函数2sin y A x12的图象，平移量为12，而不是12.【例31】为了得到函数cos 3yx的图象，只需将函数sin y x 的图象（）.A 向左平移6个单位长度.B 向右平移6个单位长度.C 向左平移56个单位长度.D 向右平移56个单位长度322OyxA322OyxB322Oyx C322OyxDA2322OyxB3222OyxC322-2O yxD-2322O yx【练习】已知函数sin,04f xxxR 的最小正周期为，为了得到函数cos g x x 的图象，只要将y f x 的图象（）.A 向左平移8个单位长度.B 向右平移8个单位长度.C 向左平移4个单位长度.D 向右平移4个单位长度【点评】在三角函数图象变换中，函数图象平移一般是在同名函数中进行，所以首先应该将异名函数转化为同名函数，同时注意的值对平移量的影响. 【例32】已知函数sin0,0,2f xA x A的图象在y 轴上的截距为1，它在y 轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为0,2x 和03,2x .（1）求函数f x 的解析式；（2）将f x 图象上所有点的横坐标缩短到原来的13倍（纵坐标不变），然后再将所得图象向x 轴正方向平移3个单位长度，得到函数yg x 的图象，求函数g x 的解析式，并求函数g x 在区间0,的最大值与最小值及对应的x 值.【练习】已知函数sin3f xxa （其中0，aR ），且函数y f x 在y 轴右侧第一个最高点的横坐标为6.（1）求的值；（2）如果f x 在5,36上的最小值为3，求a 的值.【点评】求函数sin0,0y A xb A 的解析式分三个步骤：（1）求A 、b ：maxmin2y y A ，maxmin2y y b；（2）求2T：找准关键点或关键线（对称中心点、最值点、对称轴），根据它们横坐标之差与周期之间的关系可计算出最小正周期T ，从而可求出；（3）求初相：选择合适的关键点（若是对称中心点注意该点附近的单调性决定它的相位值，一般找最值点较好，基本上相位值是确定的），若对无约束，则可在0,2与关键点处的相位与之匹配，从而算出的值；若是对有约束，找合适的关键点算出初相的表达式（含变量k ，k Z ），将表达式代入约束条件解出k 便可得出的值.【例33】tan20tan403tan20tan40. 【练习】（1）若34，则1tan 1tan的值等于（）.1A .1B .2C .2D （2）1tan11tan 21tan 44.【点评】当t a n t a n 与tantan同时在一个代数式中存在时，一般是将前者进行恒等变形tan tan tan1tan tan，一般情况可以将消去.【例34】已知、3,4，3sin5，12sin413，则cos4.【练习】已知、都是锐角，4cos5，3cos5，则sin.【点评】在求复合角或单角的三角函数值时，并不一定要将复合角利用和差公式展开，有时这样做往往弄巧成拙，首先应将所求角利用两个已知的复合角来进行表示（即凑角），然后利用同角三角函数的基本关系，将所需的三角函数值求出，最后再利用和差公式将所求角的三角函数式展开求值即可. 【例35】在ABC 中，如果cos cos sin sin A B A B ，则这个三角形一定是（）.A 直角三角形.B 锐角三角形.C 钝角三角形.D 不能确定【练习】在ABC 中，若2cos sin sin B A C ，则ABC 的形状一定是（）等腰直角三角形直角三角形等腰三角形等边三角形【点评】在三角形形状的判断中，要注意给出的已知式结构，选择合适的和差公式进行展开与合并，由于三角形的三个内角之和为，因此有时要将三个角转化为两个角来进行判断，可以结合诱导公式与和差公式进行，充分体现了三角形中“以多化少”思想的应用. 【例36】设、0,2，5sin5，10sin10，则的值为（）3.4A .4B 3.4C .4D 或34【练习】设1tan7，1tan3，、0,2，则2.【点评】由已知值求角，一般只需要将所求复角的某个三角函数值求出，但是在求角时，首先应该根据角的三角函数值确定角的精确范围，一般要借助特殊角的同名三角函数值来比较，然后再由单角的范围确定复角的粗略范围，进而可以根据复角的三角函数值和范围求出角的值. 【例37】已知33,22a ，sin,cos44x x b，f x a b .（1）求函数f x 的单调减区间；（2）若函数yg x 与函数yf x 关于直线1x对称，求当40,3x时，y g x 的最大值..A .B .C .D【练习】已知函数sin 2f x x ，cos 26g x x，直线x t t R 与函数f x 、g x 的图象交于M 、N 两点.（1）当4x时，求MN 的最大值；（2）求MN 在0,2t时的最大值.【点评】将题中的函数式根据定义求出并统一化为是处理三角函数题的关键.【例37】44cossin88等于（）.0A 2.2B .1C 2.2D 【练习】2tan151tan 15的值为（）3.3A .3B .23C 3.6D 【点评】二倍角正切的变形：22tan 12tan1tan 21tan21tan 2，21tan 2tantan 2.【例38】若ABC 的内角A 满足2sin 23A，则sin cos A A （）15.3A 15.3B 5.3C 5.3D 【练习】（1）已知1sin cos5，且324，则cos2. （2）设02x ，且1sin 2sin cos xx x ，则（）.0A x 7.44B x 5.44C x3.22D x【点评】21sin 2sin cos xx x，注意由sin 2x 计算sin cos xx 的值时要讨论代数式sin cos xx 的符号.【例39】cos20cos40cos80.【练习】sin 6sin 42sin 66sin 78.【点评】以弦的乘积形式出现，一般是二倍角正弦公式的应用，先观察角与角之间的二倍关系，在式子的基础上乘以最小角的正弦或余弦，连环滚动运用倍角公式进行计算.【例39】设函数22sin cos 2cos 0f x x x x 的最小正周期为23.（1）求的值；（2）若函数g x 的图象是由y f x 的图象向右平移2个单位长度得到，求y g x 的单调增区间.sin y A x b【练习】已知函数2()3sin 22sin f x x x ．（1）求函数()f x 的最大值；（2）求函数()f x 的零点的集合.【点评】先经历二倍角变换中的降幂扩角，主要是将式子次数化为一次，另外将角统一，再通过辅助角变换即可将函数式统一化为sin y A x b ，即可利用相关知识求解.【例40】满足条件4a，32b ，45A的ABC 的个数是（）.A 一个.B 两个.C 无数个.D 不存在【练习】满足条件18a ，22b ，30A 的ABC 的个数是.【点评】在已知两边与一边所对的角判断三角形解的个数时，首先应观察已知角的属性：锐角、直角还是钝角，在直角或钝角的前提下，该角一定为三角形中的最大内角，由“大角对大边”定理，只需比较两条已知边长即可；在锐角前提条件下，只需将a 与sin b A 和b 三者进行大小比较，便可以得到相应结果. 【例41】在ABC 中，若::4:5:6b c ca a b，则sin :sin :sin A B C（）.6:5:4A .7:5:3B .3:5:7C .4:5:6D 【练习】在ABC 中，若::1:3:5a b c ，则2sin sin sin A BC.【点评】在解三角形中，边与边的比值可以直接化为相应的角的正弦的比值进行，类似地，相应的角的正弦值之比也可以化为相应的边长之比，从而实现“边角互化”，但是要注意互化的过程中，替换的边或角的正弦值的次数要相同. 【例42】在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若3c o s c o s b c A a C，则co s A .【练习】（2008年山东卷）已知a 、b 、c 是ABC 的内角A 、B 、C 所对的边，向量3,1m，cos ,sin n A A ，若m n ，且cos cos sin a B b A c C ，则角B .【点评】在利用边角互化的问题中，关键要弄清求的是角还是边，若是求角，一般是以边化角为主，若是出现边的平方，则是以角化边为主，但同时也应注意在边化角的过程和差角公式的应用以及内角和定理的应用实现以多化少的目的. 【例43】以21，21，7为三条边的三角形一定是（）.A 锐角三角形.B 直角三角形.C 钝角三角形.D 不能构成三角形【练习】若ABC 的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C ，则ABC （）.A 一定是锐角三角形.B 一定是直角三角形.C 一定是钝角三角形.D 可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形【点评】在判断三角形的属性时，一般是考虑最大的角的属性，而最大角可以由“大边对大角”确定，角的属性可以由余弦公式确定. 【例44】在ABC 中，若sin sin sin cos cos B C ABC，则ABC 是（）.A 等腰三角形.B 等腰直角三角形.C 直角三角形.D 等边三角形【练习】已知ABC 中，（）.A 等腰三角形.B 等腰直角三角形.C 直角三角形.D 等边三角形【点评】在准确判断三角形形状时，将已知式化为整式，然后观察能否利用和差公式进行合并，若出现三个角，一般要将三个角的问题转化为两个角的问题求解.。

三角函数图像与性质
三角函数是基本的初等函数之一，它以角度为自变量，以任意角度的终边与单位圆或其比值的交点坐标为因变量。

接下来看看常见三角函数的图像和性质。

三角函数的图像
三角函数的性质
1.正弦函数
在直角三角形中，任意一锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA，即sinA=∠A的对边/斜边。

正弦值在[2kπ-π/2,2kπ+π/2](k∈Z)随角度增大(减小)而增大(减小)，在[2kπ+π/2,2kπ+3π/2](k∈Z)随角度增大(减小)而减小(增大)。

图像：波形曲线
值域：[-1,1]
定义域：R
2.余弦函数
在Rt△ABC(直角三角形)中，∠C=90°(如图所示)，∠A的余弦是它的邻边比三角形的斜边，即cosA=b/c，也可写为
cosa=AC/AB。

余弦函数：f(x)=cosx(x∈R)。

余弦值在[2kπ-π,2kπ](k∈Z)随角度增大(减小)而增大(减小)，在[2kπ,2kπ+π](k∈Z)随角度增大(减小)而减小(增大)。

图像：波形曲线
值域：[-1,1]
定义域：R
3.正切函数
在Rt△ABC(直角三角形)中，∠C=90°，AB是∠C的对边c，BC是∠A的对边a，AC是∠B的对边b，正切函数就是
tanB=b/a，即tanB=AC/BC。

正切值在[kπ-π/2,kπ+π/2](k∈Z)随角度增大(减小)而增大(减小)。

图像：右图平面直角坐标系反映
定义域：{x|x≠(π/2)+kπ,k∈Z}
值域：实数集R。

高中数学三角函数及反三角函数图像性质、知识点总结高中数学中，三角函数及反三角函数是重要的内容之一。

在学习这一部分知识时，需要掌握其图像性质以及相关的知识点。

下面将对这些内容进行总结。

一、三角函数的图像性质1. 正弦函数（sin）的图像性质：- 周期性：sin函数的周期为2π，即在每个周期内，函数的图像重复出现；- 奇函数性质：sin函数关于原点对称；- 取值范围：sin函数的取值范围为[-1,1]，即函数的值始终在该区间内波动。

2. 余弦函数（cos）的图像性质：- 周期性：cos函数的周期为2π；- 偶函数性质：cos函数关于y轴对称；- 取值范围：cos函数的取值范围也为[-1,1]。

3. 正切函数（tan）的图像性质：- 周期性：tan函数的周期为π；- 奇函数性质：tan函数关于原点对称；- 无界性：tan函数的值域为实数集，即函数在某些点无界。

二、三角函数的知识点1. 基本正弦函数的性质：- 特殊角的正弦值：0°、90°、180°、270°和360°对应的正弦值分别为0、1、0、-1和0；- 正弦函数的增减性：在0°到180°的区间上，sin函数是单调递增的；- 正弦函数的奇偶性：sin(-x)=-sin(x)，即sin函数关于原点对称。

2. 基本余弦函数的性质：- 特殊角的余弦值：0°、90°、180°、270°和360°对应的余弦值分别为1、0、-1、0和1；- 余弦函数的增减性：在0°到180°的区间上，cos函数是单调递减的；- 余弦函数的奇偶性：cos(-x)=cos(x)，即cos函数关于y轴对称。

3. 基本正切函数的性质：- 特殊角的正切值：0°、90°、180°和270°对应的正切值分别为0、无穷大、0和无穷大；- 正切函数的周期性：tan(x+π)=tan(x)，即tan函数的周期是π。

三角函数的图像与性质三角函数是数学中的一类重要的函数，包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan），以及它们的倒数函数（csc，sec，cot）。

下面是关于三角函数的一些图像与性质：1. 正弦函数（sin）的图像：正弦函数是一个周期函数，它的图像在一个周期内呈现出振荡的形式，取值范围在-1到1之间。

当自变量取0、π/2、π、3π/2等特殊值时，正弦函数的值为0、1、0、-1，分别对应于函数的最小值、最大值、0点和最大负值。

2. 余弦函数（cos）的图像：余弦函数也是一个周期函数，它的图像与正弦函数的图像非常相似，只是相位差了π/2。

余弦函数的取值范围也在-1到1之间，当自变量取0、π/2、π、3π/2等特殊值时，余弦函数的值依次为1、0、-1、0。

3. 正切函数（tan）的图像：正切函数的图像在每个周期上有无穷多个交点，它的值可以为任何实数。

正切函数与正弦函数和余弦函数之间存在着一定的关系，即tan(x) =sin(x) / cos(x)。

当自变量取π/2、3π/2、5π/2等特殊值时，正切函数的值为正无穷大；取-π/2、-3π/2、-5π/2等特殊值时，正切函数的值为负无穷大。

4. 三角函数的周期性：正弦函数、余弦函数和正切函数都是周期函数，它们的周期分别为2π、2π和π。

这意味着，当自变量增加一个周期时，函数的值将重复出现。

例如，sin(x + 2π) = sin(x)。

5. 三角函数的奇偶性：正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，正切函数是奇函数。

奇函数的图像关于原点对称，即f(-x) = -f(x)；偶函数的图像关于y轴对称，即f(-x) =f(x)。

这些是关于三角函数图像与性质的一些基本信息，三角函数在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。

三角函数的图像与性质（正弦、余弦、正切）【知识点1】函数y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象性质题型1：定义域例1：求下列函数的定义域(1)xx y cos 2cos 1+=； (2)x y 2sin = 2lg(4)x -题型2：值域 例2：求下列函数值域 (1))3π2,6π(,sin 2-∈=x x y (2)y=2sin(2x-3π),x 5,46ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦(3) )3π,2π(),3π2cos(2-∈+=x x y(4)函数1)6π21cos(2++-=x y 的最大值以及此时x 的取值集合题型3：周期例3：求下列函数的周期： （1）f(x)=2sin2x (2)y=cos(123x π-) (3)y=tan(2x 4π-) （4）y=sin x 例4： 若函数()2sin(2)3f x kx π=+的最小正周期T 满足12T <<,则自然数k 的值为______.例5：若)10(sin 2)(<<=ϖϖx x f 在区间[0,]3π上的最大值是2，则ϖ=________.例6：使x y ωsin =（ω＞0）在区间[0，1]至少出现2次最大值，则ω的最小值为【 】A ．π25B ．π45C ．πD ．π23例7：设函数f(x)=2sin(25x ππ+),若对于任意的x R ∈,都有f(1x )2()()f x f x ≤≤成立，则12x x -的最小值是A.4B.2C.1D.12题型4：奇偶性 例8：函数y ＝sin （x ＋2π）（x ∈［－2π，2π］）是【 】A.增函数B.减函数C.偶函数D.奇函数例9：判断下列函数的奇偶性 (1)y=xsin(x π+) (2)y=cos 1sin x x+例10：已知函数f(x)=x 3cosx+1,若f(a)=11,则f(-a)=________ 题型5：单调性例11：函数y =21log sin(2x +4π)的单调递减区间是【 】 A.（k π－4π,k π］(k ∈Z ) B.（k π－8π,k π+8π］(k ∈Z ) C.（k π－83π,k π+8π］(k ∈ D.（k π+8π,k π+83π］(k ∈Z )例12：.求1cos()3412logx y π+=的单调区间例13：求下列函数的单调增区间(1))3π21cos(-=x y ; (2) ]0,π[),6π2sin(2-∈+=x x y ；(3))23πsin(2x y -=例14：（1）求函数y=2sin(2x-3π)的单调递减区间。

三角函数的图像与性质引言三角函数在数学中起着非常重要的作用，它们的图像与性质也是数学学习过程中的基础内容。

本文将介绍三角函数的图像和常见性质，包括正弦函数、余弦函数和正切函数。

正弦函数的图像与性质正弦函数是三角函数中最常见的函数之一，它的图像呈现周期性的波动。

正弦函数的定义域为实数集，值域为[-1, 1]。

正弦函数的图像可以用下面的公式表示：$$y = \\sin(x)$$正弦函数的图像在周期范围内呈现上升和下降的特点，其中最高点和最低点的纵坐标分别为1和-1。

正弦函数的图像以曲线方式连续无间断地进行。

正弦函数的性质包括： - 正弦函数的周期为$2\\pi$，即在每个周期内，正弦函数的图像完整地重复一次。

- 正弦函数的对称轴为x轴。

- 正弦函数的图像在$[\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}] $ 上是增函数，在$[0, \frac{\pi}{2}] $ 和$[\frac{3\pi}{2}, 2\pi] $ 上是减函数。

余弦函数的图像与性质余弦函数也是三角函数中常见的函数，它的图像与正弦函数非常相似，但是相位不同。

余弦函数的定义域为实数集，值域为[-1, 1]。

余弦函数的图像可以用下面的公式表示：$$y = \\cos(x)$$余弦函数的图像在周期范围内呈现上升和下降的特点，其中最高点和最低点的纵坐标分别为1和-1。

余弦函数的图像以曲线方式连续无间断地进行。

余弦函数的性质包括： - 余弦函数的周期为$2\\pi$，即在每个周期内，余弦函数的图像完整地重复一次。

- 余弦函数的对称轴为y轴。

- 余弦函数的图像在$[\pi, 2\pi] $ 上是增函数，在$[0, \pi] $ 上是减函数。

正切函数的图像与性质正切函数是另一个重要的三角函数，它的图像在不同的区间内有不同的特点。

正切函数的定义域是除了$\\frac{\\pi}{2} + k\\pi$（其中k是整数）的所有实数，值域是整个实数集。

三角函数的图像与性质一.正弦函数和余弦函数的图象:y=sinx打 3口正弦函数y = sin x 和余弦函数y = cos x 图象的作图方法：五点法：先取横坐标分别为0,-,兀,3-,2兀的2 2五点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。

二、正弦函数y = sin x (x G R )、 余弦函数 y = cos x (x G R )的性质：(1)定义域：都是R 。

(2)值域：1、都是［-1,1］，2、y = sin x ，当 x = 2 k -+-(k G Z )时，y 取最大值 1；当 x = 2 k -+ 3-( k G Z )时，y 取最小值一1； 2 2 3、y = cos x ，当 x = 2k - (k G Z )时，y 取最大值 1,当 x = 2k -+-(k G Z )时，y 取最小值一1。

例：(1)若函数y = a - b sin(3x + -)的最大值为3，最小值为-L 则a = , b =622——(答：a = —, b = 1或 b = —1 )；22.函数y=-2sinx+10取最小值时，自变量x 的集合是课堂练习：1、函数y = sin x - sin x 的值域是2.已知f (x )的定义域为[0, 1],求f (c os x )的定义域；(3)周期性：①y = sin x 、y = cos x 的最小正周期都是2兀；2兀②f (x ) = A sin (3x +。

和f (x ) = A cos (3x +中)的最小正周期都是T = ——。

13| 兀x例：(1)若 f (x ) = sin 一，则 f (1)+ f (2) + f (3) + .・・ + f (2003)=—(答：0)； ^3⑵.下列函数中，最小正周期为兀的是()(4)奇偶性与对称性：1、正弦函数y —sin x (x E R ) 7是奇函数，对称中心是(k 兀,0)(k E z ),对称轴是直线x — k K+-(k E Z )；2 2、余弦函数y — cos x (x E R )是偶函数，对称中心是(k K +-,0 ](k E Z ),对称轴是直线x — k R (k E Z ) I 2)(正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x 轴的直线，对称中心为图象与x 轴的交点)。