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【优质课件】高中数学人教B版必修四3.1.3《两角和与差的正切》(1)优秀课件.ppt

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人教B版高中数学必修四课件高一：3-1-3两角和与差的正切

人教B版高中数学必修四课件高一：3-1-3两角和与差的正切

如 tanα＋tanβ＋tanαtanβtan(α＋β)＝tan(α＋β)， tan(α＋β)－tanα－tanβ＝tanαtanβtan(α＋β)， 1－tanαtanβ＝tatannα＋α＋taβnβ， 1＋tanαtanβ＝tatannα－α－taβnβ.
• 4．运用三角公式解题时注意五个基本环节：
• 一元二次方程mx2＋(2m－3)x＋(m－2)＝0的
两根为tanα、tanβ.求证：tan(α＋β)的值不小 于－
[解析] ∵一元二次方程有两个根， ∴Δ≥0，即(2m－3)2－4m(m－2)≥0， 解得 m≤94. 由韦达定理得 tanα＋tanβ＝3－m2m， tanαtanβ＝m－2 2.
[正解] 由于 sinα－sinβ＝－23<0，所以－π2<α－β<0.
由①2＋②2，得 cos(α－β)＝59，
所以
sin(α－β)＝－2
14 9.
所以
tan(α－β)＝－2
14 5.
一、选择题
1．(2009·全国Ⅰ)已知 tanα＝4，cotβ＝13，则 tan(α＋β)
＝
7 A.11
B．－171
()
7 C.13
D．－173
[答案] B
[解析] ∵cotβ＝13，∴tanβ＝3 ∴tan(α＋β)＝1t－antαa＋nαt·atannββ＝1－4＋4×3 3＝－171.
2.ttaann110055°°－ ＋11的值等于
3 A. 3 C. 3
B．－
3 3
D．－ 3
[答案] C
()
3．已知 tan(α＋β)＝25，tanβ－π4＝14，那么 tanα＋π4的 值是
tan2π－β＝csoinsπ2π2－－ββ＝csoins－－ββ＋＋π2π2 ＝csoinsββ＝cotβ.

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课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通
典例剖析
例 1 计算：(1) 11＋ －ttaann1155°°； (2) ccooss1155°°－ ＋ssiinn1155°°； (3) tan17°＋tan28°＋tan17°·tan28°. 剖析 本题主要考查两角和与差的正切公式，重点考查逆
用、变式的能力．
(2)原式＝1＋33－33ttaann7755°°＝tan(30°－75°)＝－1. (3)原式＝tan(60°－105°)＝－1.
例 2 已知 tanα＝2，tanβ＝3，且 α，β 都是锐角，求 α＋β 的值．
剖析 先利用 tanα、tanβ 的值，求出 tan(α＋β)的值，再由 确定的范围求出角 α＋β 的值．
解析 tan(α＋β)＝1t－anαta＋nαttaannββ＝1－2＋2×3 3＝－1. ∵α，β 都是锐角，∴0<α＋β<π. ∴α＋β＝34π.
规律技巧 求角的大小，应先求其某个三角函数值，然后 再根据附加条件求出角的值．
变式训练 2 若 A，B 是△ABC 的内角，并且(1＋tanA)(1
tanα－tanβ 2．tan(α－β)＝ 1＋tanαtanβ .
思考探究 两角和与差的正切公式对任意的 α，β 均成立吗？ 提示 不是的．在两角和的正切公式中，使用的条件是：α， β，α＋β≠kπ＋π2(k∈Z)；使用两角差的正切公式时条件是：α， β，α－β≠kπ＋π2(k∈Z).
自测自评
解析 (1)原式＝1t－an4ta5n°4＋5°ttaann1155°°＝tan(45°＋15°)＝tan60°
＝ 3. (2)原式＝11－ ＋ttaann1155°°＝1t＋an4ta5n°4－5°ttaann1155°°

推荐-高中数学人教B版必修4课件3.1.3 两角和与差的正切

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=
5-3 1+5×3
=
18.
tan
2������
+
π 4
=
1+tan2������ 1-tan2������
=
1-47 1+47
=
131.
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随堂练习
UITANG LIANXI
探究一
探究二
探究三
探究四
探究三给值求角问题
如,tan25°+tan20°+tan25°tan20°=tan(25°+20°)·(1-tan25°tan20°)+tan25°t an20°=tan45°(1-tan25°·tan20°)+tan25°tan20°=1-tan25°tan20°+tan25°tan20° =1.所以在处理问题时,要注意观察式子的特点,巧妙运用公式或其变形,使 变换过程简单明了.
【例 3】已知 tan(α-β)=12,tanβ=-17,α,β∈(0,π),求 2α-β 的值.
分析:已知 α-β 及 β 角的正切,要求 2α-β 的正切,必须通过角变
换,2α-β=α+(α-β),α=(α-β)+β,故需先求出 α 角的正切. 解:因为 tanβ=-17,tan(α-β)=12, 所以 tanα=tan[(α-β)+β]=1ta-tna(n������(-������������-)���+���)ttaann������������ =1-1212×-17-17 = 13, tan(2α-β)=tan[(α-β)+α]=1ta-tna(n������(-������������-)���+���)ttaann������������ =112-13+×1312=1.

课件8：3.1.3 两角和与差的正切

课件8：3.1.3 两角和与差的正切

【解】
(1)原式＝t1a＋n 6ta0n°6－0°ttaann
15° 15°
＝tan(60°－0°＝
3＝1ta－n t2a3n°23＋°ttaann
37° 37°
，
所以 tan 23°＋tan 37°＝ 3－ 3tan 23°tan 37°，
所以 tan 23°＋tan 37°＋ 3tan 23°tan 37°＝ 3.

1．公式的适用范围
素养提升
由正切函数的定义可知 α、β、α＋β(或 α－β)的终边不能落在
y 轴上，即它们不能为 kπ＋2π(k∈Z)． 2．公式的逆运用
一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常数值代换，
如 tan4π＝1，tanπ6＝ 33，tanπ3＝ 3等．
特别要注意
tan(4π＋α)＝11＋ －ttaann
3－ tan
3tan Btan Btan C－1
C＝－
3，
又 0°＜A＜180°，所以 A＝120°.
由 tan C＝tan[π－(A＋B)]＝ttaannAAt＋antBan－B1＝
tan 3tan
A＋tan B A＋ 3tan
＝ B
33，
又 0°＜C＜180°，所以 C＝30°，B＝30°.
所以△ABC 是顶角为 120°的等腰三角形．
方法归纳 利用和差角公式判断三角形形状时，应考虑借助同名三角函数 之间的关系判断三角形内角的关系或者求出内角大小，进而判 断三角形形状，注意三角形内角和 A＋B＋C＝180°这一隐含 条件的运用．
跟踪训练 如图所示，在△ABC 中，AD⊥BC，垂足为 D， 且 BD∶DC∶AD＝2∶3∶6，求∠BAC 的度数．
当堂检测 1．已知 tan α＝4，cot β＝13，则 tan(α＋β)＝( )

课件3：3.1.3 两角和与差的正切

课件3：3.1.3 两角和与差的正切

根据 α，β 的任意性， 得 tan(α－β)＝1t－ antαan＋αttaann((－－ββ))＝1t＋ antαan－αttaannββ.
4.两角和与差的正切公式的变形形式较多，例如： tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)， tan αtan β＝1－tatnanα(＋α＋taβn)β＝tatnanα(－α－taβn)β－1. 这些变式在解决某些问题时是十分方便的．
A.－2
B.－12
1 C.2
D.2
解析 tan α＝tanπ4－4π－α ＝11－ ＋ttaann4π4π－ －αα ＝11－ ＋33＝－12.
2.已知 A＋B＝45°，则(1＋tan A)(1＋tan B)的值为( B )
A.1
B.2
C.－2
D.不确定
解析 (1＋tan A)·(1＋tan B) ＝1＋(tan A＋tan B)＋tan Atan B ＝1＋tan(A＋B)(1－tan Atan B)＋tan Atan B ＝1＋1－tan Atan B＋tan Atan B ＝2.
2.公式 T(α±β)的逆用 一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换，
如 tan 4π＝1，tan π6＝ 33，tan π3＝ 3等，
要特别注意
tan4π＋α＝11＋－ttaann
αα，tanπ4－α＝11－＋ttaann
α α.
3.公式 T(α±β)的变形应用 见到 tan α±tan β，tan αtan β 时，要有灵活应用公式 T(α±β) 的意识.学会对公式 T(α±β)进行变形应用，就不难想到解题 思路.
解：由已知得tan tan
α＋tan β＝－3 α·tan β＝4

高中数学人教B版必修四3.1.3《两角和与差的正切》ppt课件(1)

高中数学人教B版必修四3.1.3《两角和与差的正切》ppt课件(1)
【 思 路 点 拨 】 注 意 逆 用 公 式 tan(α ＋ β) ＝ 1t－antαa＋nαttaannββ，在(1)中可将 1 替换为 tan45°再进行解答．
【解】 (1)原式＝1t＋ant4a5n°4－5°ttaann7755°°＝tan(45°－75°)＝
－
3 3.
(2) 因为 (1＋ tan1°)(1＋tan44°) ＝ 1＋tan1°＋ tan44°＋
＝1－3 13×2 12＝1. 因为 tanβ＝－17，β∈(0，π)， 所以 β∈(π2，π) 所以 α－β∈(－π，0)． 由 tan(α－β)＝12＞0，得 α－β∈(－π，－π2)， 所以 2α－β∈(－π，0)，又 tan(2α－β)＝1， 所以 2α－β＝－34π.
【点评】 通过先求角的某个三角函数值来求角，在选取函 数时，遵照以下原则： ①已知正切函数值，选正切函数； ②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数．若角的范围是 (0，π2)，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较
当 A 为钝角时，sinA＝35＜ 23，∴A＞120°. 又∵cosB＝153＜12，∴B＞60°， ∴A＋B＞180°与三角形内角和等于 180°矛盾． ∴cosC＝1665.
方法感悟
1．公式 Tα±β 应用时要注意的问题 (1)公式的适用范围 由正切函数的定义可知 α、β、α＋β(或 α－β)的终边不 能落在 y 轴上，即它们不能为 kπ＋π2(k∈Z)． (2)公式的逆运用 一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常数值代
“tanα·tanβ”两个整体，常考虑 tan(α±β)的变形公式．
变式训练 1 化简求值： (1)tan10°＋tan50°＋ 3tan10°tan50°； (2)1＋3－3ttaann1155°°；

高中数学两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)优秀课件ppt


探 究
你能根据 C( ) , C( )及诱导公式,推 导出用任意角 , 的正弦、余弦值 ),sin( ) 的公式吗? 表示 sin(
cos(α+β)=cosαcosβ- sinαsinβ cos[( -α )+β ] cos( )cos sin( )sin 2 2 2 称为差角的正弦公式。 简记为Sα -β sin(α-β)=sinαcosβ- cosαsinβ 换元
由以上解答可以看到，在本题的条件下 有 sin ( ) cos( ) 。那么对于任意角，此 4 4 等式成立吗？若成立，你会用几种方法证明？



练习： 3 1,已知cos= 5 , ∈( 2,), 4 3 3 10 求 sin(+ 3 )的值。 12 2,已知sin＝ 13 ,是第三象限角， 12 5 3 求cos( 6 +)的值。
2sin x
③ 2 cos x




6 3 6 sin x 2 2 sin x 2 2 cos x 6 3
2 cos x
化简:
①
②
2 2 2(sin x cos x) 2( 2 sin x 2 cos x) 2sin( x ) 2cos x 4 4
⑵
α sin α cosα tan α
6 2 6 2 6 2 4 4 4 00 300 450 600 900 1800 2700
cos75 ⑶ sin75° ⑷ tan15
2 3
150 750
例题讲解
3 例1 已 知si n , 是 第 四 象 限 角 , 5 求 si n ( ), cos( ), tan ( )的 值. 4 4 4

【优质赛课】数学人教B必修4：3.1.3 两角和与差的正切 课件

tan 45 和 tan 去计算？
tan( ) tan tan 1 tan 1 tan tan
分子和差，符号同， 分母 1 乘积，符号反
小结 构造角：用已知角表示未知角 ：
例如 α=（α+β）-β （α+β）=2 α- （α-β）
已知 tan 2 α 和tan （α-β），
求tan （α+β）的值，
tan （α+β）= tan [ 2 α- （α-β）]利用两角差 的正切公式展开.
4、课堂小结 两角和与差的正切公式推导及其运用。
恳请专家批评指正，谢谢！
高中数学人教B版必修四
两角和与差的正切公式
一、明确目标 知识与方法 ①会由两角和与差的正弦、余弦公式推导其正切公式， 并运用其解决简单的化简问题。 过程目标： ①通过公式的推导，提高学生恒等变形能力和逻辑
推理能力； ②通过公式的灵活运用，培养学生的数学思想方法. 情感、态度、价值观目标 ①使学生体会“联想转化、数形结合、分类讨论”的 数学思想； ②培养学生大胆猜想、敢于探索、勇于置疑、 严谨、求实的科学态度.
2.要使tanα有意义,当且仅当_____________________
余弦口诀：余余正正符号反 正弦口诀：正余余正符号同
2、讲解新课： 创设情境 在两角和与差的正弦,余弦公式的基础上,你能用
tan 和 tan 表示出 tan( ) 和 tan( ) 吗？
例如 tan tan( ) ，它的值能否用
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＝2，
∴tanA＋tanB＝1－tanAtanB．
∴tan(A＋B)＝1t－anAta＋nAttaannBB＝1.
6．已知 α、β 均为锐角，且 sinα＝ 55，cosβ＝ 1100，求 tan(α －β)的值．
[解析] ∵sinα＝ 55，cosβ＝ 1100，且 α、β 均为锐角， ∴cosα＝ 1－ 552＝255，sinβ＝ 1－ 11002＝31010， ∴tanα＝csoinsαα＝12，tanβ＝csoinsββ＝3， ∴tan(α－β)＝1t＋anαta－nαttaannββ＝1＋12－12×3 3＝－1.
成才之路 ·数学
人教B版 ·必修4
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第三章 三角恒等变换
第三章
3.1 和角公式 3.1.3 两角和与差的正切
1 课前自主预习
2 课堂典例讲练
4 思想方法技巧
3 易错疑难辨析
5 课时作业
课前自主预习
坐在教室里，需要一个合适视角才 能看清楚黑板；在足球比赛中，若你从 所守球门附近带球过人沿直线推进，要 想把球准确地踢进大门去，需要确定一 个最佳位置，这些实际生活中的问题可 不是仅仅一个角度就可以解决的，其中 涉及到至少两个角度的因素，只有把问 题分析全面，才能稳操胜券．
－5397 tanC＝－tan(A＋B)＝－1t－anAta＋nAttaannBB
＝－1－34＋34×153153＝－5397.
• 5．已知(1＋tanA)(1＋tanB)＝2，则tan(A＋ B)＝________.
• [答[解案析]] 1∵(1＋tanA)(1＋tanB)＝1＋tanA＋tanB＋tanAtanB
•给值求角
已知 tanα、tanβ 是方程 6x2－5x＋1＝0 的两根， 且 0<α<π2，π<β<32π，求 α＋β 的值．
[解析] 由已知得 tanα＋tanβ＝56，且 tanαtanβ＝16，∴tan(α 5
＋β)＝1t－anαta＋nαttaannββ＝1－6 16＝1.
∵0<α<π2，∴π<β<32π， ∴π<α＋β<2π， ∴α＋β＝54π.
＝tan(45°－15°)＝tan30°＝
3 3.
已知 sinα＝－35，α 是第四象限角，求 tanα－π4， tanα－π2的值． [分析] 已知 sinα 的值，求 tanα－π4用两角差的正切公式， 而求 tanα－π2则只能用诱导公式来做．
B． 3
C．－
3 3
• [答案] D
D．－ 3
[ 解 析 ] 11－＋ttaann7755°°＝ 1t－an4ta5n°4＋5°ttaann7755°°＝ tan(45°＋ 75°) ＝
tan120°＝tan(180°－60°)＝－tan60°＝－ 3.
3．已知 tan(α＋β)＝25，tanβ－π4＝14，那么 tanα＋π4的值是
(1)已知 tanθ＝12，tanφ＝13，且 θ、φ 都是锐角，求 θ＋φ；
(2)已知 tanα＝2，tanβ＝3，且 α、β 都是锐角，求 α＋β.
[解析]
(1)tan(θ＋φ)＝1t－anθta＋nθttaannφφ＝1－12＋12×13 13＝1.
∵0°<θ<90°，0°<φ<90°，0°<θ＋φ<180°
在 0°～180°间正切值等于 1 的角只有 45°，
∴θ＋φ＝45°.
(2)tan(α＋β)＝1t－anαta＋nαttaannββ＝1－2＋2×3 3＝－1. 又 0°<α<90°，0°<β<90°，0°<α＋β<180°， ∴α＋β＝135°.
•综合应用
是否存在锐角 α 和 β，使得下列两式：(1)α＋2β ＝23π；(2)tanα2tanβ＝2－ 3同时成立？
• 已知tanα、tanβ是关于x的一元二次方程mx2 ＋(2m－3)x＋(m－2)＝0的两根，求tan(α＋β) 的最小值．
[解析] 由题意得
m≠0 Δ＝2m－32－4mm－2≥0
，解得 m≤94且 m≠0.
且 tanα＋tanβ＝－2mm－3，tanαtanβ＝m－m 2.
[解析] tanα＝tan[(α－β)＋β] ＝1t－antaαn－αβ－＋βttaannββ＝1－12＋12×－－1717＝13.
tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α] ＝1t－antaαn－αβ－＋βttaannαα＝1－12＋12×13 13＝1. 又∵β∈(0，π)，tanβ<0， ∴π2<β<π. 又 0<α<π4，∴0<2α<π2， ∴2α－β∈(－π，0)， ∴2α－β＝－34π.
[解析] 因为 sinα＝－35，α 是第四象限角，得
cosα＝ 1－sin2α＝ 1－－352＝45， tanα＝csoinsαα＝－435＝－34.
5 于是有 tanα－π4＝1t＋anαta－nαttaannπ4π4＝1－＋34－ －134＝－7.
tanα－π2＝csoinsαα－－2ππ2＝－cossinπ2π2－－αα ＝－sicnoαsα＝－ －4535＝43.
[解析] 假设存在符合题意的锐角 α 和 β， 由(1)知：α2＋β＝π3， ∴tan(α2＋β)＝1t－anα2ta＋nα2ttaannββ＝ 3，
由(2)知 tanα2tanβ＝2－ 3， ∴tanα2＋tanβ＝3－ 3， ∴tanα2，tanβ 是方程 x2－(3－ 3)x＋2－ 3＝0 的两个根， 得 x1＝1，x2＝2－ 3. ∵0<α<π2，则 0<tanα2<1， ∴tanα2≠1，即 tanα2＝2－ 3，tanβ＝1. 又∵0<β<π2，则 β＝π4，代入 α＋2β＝23π得 α＝π6. ∴存在锐角 α＝π6，β＝π4，使得(1)(2)同时成立．
∴tan(α＋β)＝1t－anαta＋nαttaannββ＝1－－2mmm－－m 23＝32－m. 又 m≤94且 m≠0， ∴tan(α＋β)的最小值为32－94＝－34.
易错疑难辨析
已知 sinα－sinβ＝－23①， cosα－cosβ＝23，②
且 α、β∈0，π2，试求 tan(α－β)的值． [错解] 由①2＋②2 得 cos(α－β)＝59.
()
A．17
B．16
C．57
D．56
• [答案] A
[解析]
tan
β
＝
tan[(α
＋
β)
－
α]
＝
tanα＋β－tan α 1＋tanα＋βtan α
＝
1＋12－12×13 13＝17，故选 A．
2．(2015·广东中山纪念中学高一期末测试)11－＋ttaann7755°°的值为
()
A．
3 3
课堂典例讲练
•三角函数式的化简与求值
•
求值
• (1)tan15°＋tan30°＋tan15°tan30°；
cos15°－sin15° (2)cos15°＋sin15°.
[解析] (1)原式 ＝tan(15°＋30°)(1－tan15°tan30°)＋tan15°tan30°
＝1－tan15°tan30°＋tan15°tan30°＝1. (2)原式＝11＋－ttaann1155°°＝1t＋an4ta5n°4－5°ttaann1155°°
又 α，β∈0，π2，所以－π2<α－β<π2.
所以 sin(α－β)＝± 1－592＝±2 914，
所以
tan(α－β)＝±2
14 5.
[辨析] 以上解题过程似乎推理严谨，无懈可击，但只要 细致观察，就可发现条件 sinα－sinβ＝－23中隐含了“α<β”这 个条件，从而上述解题错误．
感谢各位老师！
祝： 身体健康
万事如意
怎样确定两角之间的关系呢？
• 两角和与差的正切公式
tanα＋tanβ
• tan(α＋β)＝__1t－a_n_αta－_nα_ttaa_nnβ_β__________，(T(α＋β))
1＋tanαtanβ
• tan(α－β)＝__________________.(T(α－β))
1．(2015·重庆文，6)若 tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则 tan β＝
[正解] 由于 sinα－sinβ＝－23<0，所以－π2<α－β<0.
由①2＋②2，得 cos(α－β)＝59，
所以
sin(α－β)＝－2
14 9.
所以
tan(α－β)＝－2
14 5.
思想方法技巧
运用拼角技巧解题
(2015·河南南阳高一期末测试)已知 tan(α－β)＝ 12，tanβ＝－17，求 2α－β 的值．
()
A．1138
B．232
C．1232
D．138
• [答案] B
[解析] tanα＋π4＝tanα＋β－β－π4 ＝1＋25－25×14 14＝232.
4．在△ABC 中，若 tanA＝34，tanB＝153，则 tanC＝________.
[答案] [解析]