人教版高中数学必修第一册全册优质课件【精品】

3．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)积、商的对数可以化为对数的和、差．( )
(2)loga(xy)＝logax·logay.( ) (3)log2(－5)2＝2log2(－5)．( )
(4)由换底公式可得 logab＝lloogg－ －22ba.(
)
[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×
针对训练 1．计算： (1)log535－2log573＋log57－log51.8； (2)log2 478＋log212－12log242－1； (3)12lg4392－43lg 8＋lg 245.
[解] (1)原式＝log5(5×7)－2(log57－log53)＋log57－log595 ＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55＝2. (2)原式＝log2 478＋log212－log2 42－log22 ＝log2 48×7×1422×2＝log221 2
＝2llgg23··l2gl3g2＝4. ②原式＝lologg55132·lologg73794＝log13 2·log3 49
1 ＝lglg312·lglg394＝－2llgg23··223llgg32＝－32.
(2)[证明] ①logab·logba＝llggab·llggab＝1. ②loganbn＝llggbann＝nnllggba＝llggab＝logab.
题型二 对数换底公式的应用 典例 2 (1)计算：①log29·log34； ②log5 2×log79 .
log531×log73 4 (2)证明：①logab·logba＝1(a>0，且 a≠1；b>0，且 b≠1)； ②loganbn＝logab(a>0，且 a≠1，n≠0)．

概念求解． 【解】 由题设可知，一方面A是集合{a，b，c， d}的子集，另一方面A又真包含集合{a，b}，故集 合A中至少含有两个元素a，b，且含有c，d两个元 素中的一个或两个． 故满足条件的集合有{a，b，c}，{a，b，d}，{a， b，c，d}．
【名师点拨】 (1)正确区分子集与真子集概 念是解题的关键．(2)写一个集合的子集时， 按子集中元素个数的多少，以一定顺序来写 不易发生重复和遗漏现象．
集合常用大写字母表示，如集合A，集合B... 元素则常用小写字母表示，如a，b...
3．集合元素的性质 (1)确定性：集合中的元素必须是确定的． 如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，
记作a ∈ A； 如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，
记作a A．
(2)互异性：集合中的元素必须是互不相同的．
子 集
是集合B中的元 素，我们就说 这两个集合有 包含关系，称
A⊆B ______
或 __B_⊇_A__
(2)设A为任何 一个集合，则 A_⊆__A；规定：
∅_集__
4.集合相等与真子集
名 称
定义
符号
集
如果
合 相
__A__⊆_B_且__B_⊆_A____， 那么就说集合A与
知新益能
1．Venn图的概念 用平面上__封__闭__曲__线___的内部代表集合，这种图 称为Venn图． 2．空集的定义 不含任何元素的集合叫做__空__集____，记作__∅___. 3．子集
名 称
定义
符号
Venn图 表示
性质
如果集合A中任
(1)A⊆B，
意一个元素都
B⊆C⇒_A_⊆__C__；
练习
1.用符号“ ”或“ ”填空

[微体验] 1．思考辨析 (1)空集可以用表示．( ) (2)空集中只有元素0，而无其余元素．( ) 答案 (1)× (2)×
2．下列四个集合中，是空集的为( )
A．{0}
B．{x|x＞8，且x＜5}
C．{x∈N|x2－1＝0}
D．{x|x＞4}
解析 满足x＞8且x＜5的实数不存在，故{x|x＞8，且x＜5}＝∅. 答案 B
答案 C B A
课堂互动探究
探究一 集合关系的判断
例 1 (1)已知集合 M＝{x|x2－3x＋2＝0}，N＝{0,1,2}，则集合 M 与 N 的关系是( )
A．M＝N
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B．N M
C．M N
D．N⊆M
解析 解方程 x2－3x＋2＝0 得 x＝2 或 x＝1，则 M＝{1,2}，
因为 1∈M 且 1∈N,2∈M 且 2∈N，所以 M⊆N.
探究二 子集、真子集问题
例 2 已知集合 A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|0＜x＜6，x∈N}，写出满足 A⊆C⊆B 的集合 C 的所有可能情况．
解 由 A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}，B＝{x|0＜x＜6，x∈N}＝{1,2,3,4,5}， 又因为 A⊆C⊆B，即{1,2}⊆C⊆{1,2,3,4,5}， 所以 C 中至少含有元素 1,2，故 C 的所有可能情况是： {1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}， {1,2,3,4,5}，共 8 个．
A．M⊆P
B．P⊆M
C．M＝P
D．M，P互不包含
解析 由于集合M为数集，集合P为点集，因此M与P互不包含． 答案 D

函数的表示方法
函数的表示方法主要有三种，即解析法、列表法和图象法。解析法是用数学表达式表示两个变 量之间的对应关系；列表法是通过列表给出部分自变量与函数的对应值；图象法是用图象表示 两个变量之间的对应关系。
函数的基本性质
函数的单调性
函数的奇偶性
函数的周期性
函数的单调性是指函数在某个 区间上的增减情况。如果对于 区间I上的任意两个自变量的值 x1、x2，当x1<x2时，都有 f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x) 在区间I上是增函数；如果对于 区间I上的任意两个自变量的值 x1、x2，当x1<x2时，都有 f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x) 在区间I上是减函数。
，记作A=B。
空集
不含任何元素的集合叫做空集， 记作∅。空集是任何集合的子集 ，是任何非空集合的真子集。
集合的基本运算
01 并集
由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集 合，叫做集合A与集合B的并集，记作A∪B。
02 交集
由所有既属于集合A又属于集合B的元素所组成的 集合，叫做集合A与集合B的交集，记作A∩B。
平面外一条直线与此平面内的一 条直线平行，则该直线与此平面 平行。
平面与平面平行的判定
一个平面内的两条相交直线与另 一个平面平行，则这两个平面平 行。
平行直线的性质
平行于同一直线的两条直线互相 平行；平行线间距离相等；平行 线间同位角、内错角相等。
直线与直线平行的判定
同位角相等，或内错角相等，或 同旁内角互补。
02
基本初等函数（Ⅰ）
指数函数
1 2ห้องสมุดไป่ตู้3
指数函数的概念
形如y=a^x（a>0且a≠1）的函数叫做指数函数 。

解析 ∵A∩B＝{1}，∴1∈B.∴1－4＋m＝0，即m＝3.
D．{1,5}
∴B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{1,3}．
答案 C (3)集合A＝{(x，y)|x＞0}，B＝{(x，y)|y＞0}，求A∩B并说明其几何意义．
(3)图形语言：
、
.阴影部分为 A∪B.
(4)性质：A∪B＝_____B_∪__A____，A∪A＝___A_____，A∪∅＝___A_____，A∪
B＝A⇔___B_⊆__A______，A____⊆____A∪B.
[微体验]
1．集合A＝{1,2,3,4}，B＝{1,3,5,7}，则A∪B＝( )
(1)两集合用列举法给出：①依定义，直接观察求并集；②借助Venn图 写并集． (2)两集合用描述法给出：①直接观察，写出并集；②借助数轴，求出 并集． (3)一个集合用描述法，另一个用列举法：①直接观察，找出并集；② 借助图形，观察写出并集． 提醒：若两个集合中有相同元素，在求其并集时只能算作一个．
A．{1,3}
B．{1,2,3,4,5,7}
C．{5,7}
D．{2,4,5,7}
解析 集合A与B所有的元素是1,2,3,4,5,7，A∪B＝{1,2,3,4,5,7}． 答案 B
2．已知集合A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|0＜x＜3}，则A∪B＝( )
A．{x|－1＜x＜3}
B．{x|－1＜x＜0}
(3)图形语言：
，阴影部分为 A∩B.
(4)性质：A∩B＝_____B_∩__A____，A∩A＝____A____，A∩∅＝____∅____， A∩B＝A⇔____A_⊆_B______，(A∩B)____⊆____(A∪B)，(A∩B)____⊆____A，

3．对分段函数的四点说明 (1)分段函数在各段上自变量的取值范围不可能有公共部分． (2)分段函数是一个函数，只是各段上对应法则不同而已． (3)图象：分段函数的图象由几部分构成，有的可以是光滑的曲线，有的 也可以是一些孤立的点、线段、射线、直线等． (4)求值关键：求分段函数的某些函数值的关键是“分段归类”，即自变 量的取值属于哪一段，就用哪一段的解析式，一定要坚持定义域优先的 原则．
Байду номын сангаас
答案 C
知识点2 分段函数
(1)前提：在函数的定义域内． (2)条件：在自变量x的不同取值范围内，有着_不__同__的__对__应__关__系_______. (3)结论：这样的函数称为分段函数．
[微体验]
1．下列图象是函数 y＝xx2－，1x，＜x0≥，0 的图象的是(
)
解析 由于f(0)＝0－1＝－1，所以函数图象过点(0，－1)；当x＜0时，y＝ x2，则函数图象是开口向上的抛物线y＝x2在y轴左侧的部分．因此只有图 象C符合． 答案 C
[变式探究] 将本例(2)中的已知条件改为 f1x＝1－x x2呢？
解 方法一：换元法．设 t＝1x，则 x＝1t (t≠0)，
1 代入 f1x＝1－x x2，得 f(t)＝1－t1t 2＝t2－t 1.故 f(x)＝x2－x 1(x≠0，且 x≠±1)．
1 方法二：∵f1x＝1－x x2＝1x2x－1，∴f(x)＝x2－x 1(x≠0，且 x≠±1)．
y＝m2mx，x－0≤10x≤m1，0，x>10. 由 y＝16m，可知 x>10. 令 2mx－10m＝16m，解得 x＝13(立方米)． 答案 A
随堂本课小结
1．如何求函数的解析式 求函数的解析式的关键是理解对应关系f的本质与特点(对应关系就是对自变量 进行对应处理的操作方法，与用什么字母表示无关)，应用适当的方法，注意 有的函数要注明定义域．主要方法有：代入法、待定系数法、换元法、解方 程组法(消元法)． 2．如何作函数的图象 一般地，作函数图象主要有三步：列表、描点、连线．作图象时一般应先确 定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式，然后列表描出图象，画图 时要注意一些关键点，如与坐标轴的交点，端点的虚实问题等．

例如：1∈N， -5 ∈ Z, Q 1.5 N
四、集合的表示方法
1、列举法
就是将集合中的元素一一列举出来并放在大括号内表示集合的方法
注意：1、元素间要用逗号隔开； 2、不管次序放在大括号内。
例如：book中的字母组成的集合表示为：｛ｂ，ｏ，o，ｋ｝｛ｂ，ｏ，ｋ｝ 一次函数y=x+3与y=-2x+6的图像的交点组成的集合。｛1,4｝｛（1,4）｝
的关系f则成为对应法则，则上面两个例子中，对应法则分别是“乘以10再加20” 和“平方后乘以”
1 乘以10再加20 30
2
40
3
50
4
60
5
70
6
80
7
90
8
100
1 平方后乘以4.94.9
1.5
？
2
？
3
？
5
？
6
？
7
？
8
？
二、映射
通过上面的两个例子，我们说明了什么是函数，上面的两个例子都是研究的 数值的情况，那么进一步扩展，如果集合A和集合B不是数值，而是其他类型的 集合，则这种对应关系就称为映射。具体定义如下：
7、判断下列表示是否正确:
(1)a {a}; (2) {a} ∈{a,b};
(3){a,b} {b,a}; (4){-1,1}{-1,0,1}
(5)0;
(6) {-1,1}.
集合与集合的运算
1、交集
一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合，称为A与B的交集， 记作A∩B，即
A∩B={x|x∈A，且x∈B} A∩B可用右图中的阴影部分来表示。
⑴ A={1,2,3} , B={1,2,3,4,5};

名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 _N__ __N__＋_或__N_*_ _Z__
_Q__
_R__
[题型探究] 题型一 集合的基本概念 例1 下列每组对象能否构成一个集合： (1)我们班的所有高个子同学； 解 “高个子”没有明确的标准，因此不能构成集合. (2)不超过20的非负数； 解 任给一个实数x，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”， 即“0≤x≤20”与“x＞20或x＜0”，两者必居其一，且仅居其一，故 “不超过20的非负数”能构成集合；
[预习导引]
1.元素与集合的概念 (1)集合：把一些能够 确定的不同的对象看成一个整体，就说这个 整体是由这些对象的全体 构成的集合(或集). (2)元素：构成集合的 每个对象 叫做这个集合的元素. (3)集合元素的特性： 确定性、 互异性 .
2.元素与集合的关系
关系
概念
记法
如果 a是集合A 的元素， 属于
[即时达标]
1.下列能构成集合的是( C ) A.中央电视台著名节目主持人 C.上海市所有的中学生
B.我市跑得快的汽车 D.香港的高楼
【解析】A、B、D中研究的对象不确定，因此不能构成集合.
2.已知1∈{a2，a}，则a＝__-_1___.
【解析】当a2＝1时，a＝±1，但a＝1时，a2＝a，由元素的互异性 知a＝－1.
【解析】深圳不是省会城市，而广州是广东省的省会.
4.已知① 5∈R；②13∈Q；③0∈N；④π∈Q；⑤－3∉Z.
【解析】序号 Biblioteka 否构成集合理由(1)
能
其中的元素是“三条边相等的三角形”
“难题”的标准是模糊的、不确定的，所以
(2)
不能

函数与方程
函数与方程的基本概念
包括函数定义、函数值、自变量、因 变量等概念的介绍。
函数的表示方法
解析法、列表法、图象法等表示方法 的特点和适用范围。
函数的性质
单调性、奇偶性、周期性等性质的定 义和判断方法。
方程与不等式的解法
一元一次方程、一元二次方程、分式 方程等方程和不等式的解法，以及函 数与方程的联系。
对数函数
对数函数的定义与性质
01
介绍对数函数的基本概念、性质，包括底数、对数的定义和运
算规则。
对数函数的图像与性质
02
通过图像展示对数函数的增减性、奇偶性、周期性等性质，帮
助学生直观理解函数特点。
对数函数的应用
03
列举对数函数在生活中的实际应用，如音量的分贝计算、地震
震级的计算等，培养学生运用数学知识解决问题的能力。
数列的项与通项公式
数列中的每一个数称为数列的项；表示数列第n项的公式称为数列 的通项公式。
数列的表示方法
列表法、图象法和通项公式法。
等差数列和等比数列
等差数列的定义与性质
从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的一种数列。
等比数列的定义与性质
从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数的一种数列。
正切函数、余切函数的图象和性质 三角函数的最值问题
三角恒等变换
两角和与差的正弦、余弦 公式
半角公式及其应用
二倍角公式及其应用 积化和差与和差化积公式
解三角形及其应用举例
01
正弦定理及其应用
02
余弦定理及其应用
03
解三角形的常用方法：面积法、正弦定理 法、余弦定理法等
04
解三角形的实际应用举例：测量、航海、 地理等问题

方程x2＋x－m＝0有实数根”，其否定形式是
﹁p：存在实数m，使得x2＋x－m＝0没有实数根．
1
注意到当Δ＝1＋4m<0时，即m<－ 时，一元二次方程
4
没有实数根，所以﹁p是真命题．
(2)这一命题的否定形式是﹁q：∀x∈R，都有x2＋x＋
1 2 3
2
1>0，由x ＋x＋1＝(x＋ ) ＋ >0知．﹁q是真命题．
又f(x)＝(x－1)2＋4，∴f(x)min＝4，∴m>4.
所以，所求实数m的取值范围是(4，＋∞)．
规律方法
(1)对任意的实数x，a>f(x)恒成立，只需a>f(x)max.
若存在一个实数x0，使a>f(x0)成立，只需a>f(x)min.
(2)有关恒成立的问题，一是转化为二次函数，
利用数形结合求解，二是利用分离参数法求解.
即m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.
要使m>－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，
只需m>－4即可．
故存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒
成立，此时，只需m>－4.
(2)不等式m－f(x0)>0可化为m>f(x0)，若存在一个实数
x0，使不等式m>f(x0)成立，只需m>f(x)min.
π
∵sinx＋cosx＝ 2sin(x＋4)≤ 2恒成立，
∴﹁r 是假命题．
题型三
例3
含有一个量词的命题的否定
写出下列命题的否定，并判断其真假：
(1)p：不论m取何实数，方程x2＋x－m＝0必有实数根；
(2)q：存在一个实数x0，使得x＋x0＋1≤0；