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三角形的中线与面积的三个重要结论三角形的中线与三角形的面积有着密切的关系，下面就来探讨一下这个话题.一、三角形的中线与面积1、三角形的一条中线与面积如图1，AD 是三角形ABC 的中线，则ABD S 三角形=ACD S 三角形=21ABC S 三角形.证明：因为AD 是三角形的中线，所以BD=CD ，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，则ABD S 三角形=21×BD ×AE,ACD S 三角形=21×CD ×AE ，所以ABD S 三角形=ACD S 三角形， 所以ABD S 三角形=ACD S 三角形=21ABC S 三角形. 由此得到如下结论：1、等底同高的两个三角形面积相等.2、三角形的一条中线分原来三角形所成的两个三角形面积相等.2、三角形的二条中线与面积如图2，AD ，BE 是三角形ABC 的中线，则①BDF S 三角形=AEF S 三角形；②ABF S 三角形=CDFE S 四边形； ③ABF S 三角形=CDFE S 四边形=2BDF S 三角形=2AEF S 三角形=31ABC S 三角形.证明：因为AD 、BE 是三角形的中线，所以ABD S 三角形=ACD S 三角形，ABE S 三角形=BCE S 三角形， 所以BDF S 三角形+ABF S 三角形=AEF S 三角形+CDFE S 四边形---（1），AEF S 三角形+ABF S 三角形=BDF S 三角形+CDFE S 四边形——-（2），（1）—（2）得 BDF S 三角形-AEF S 三角形=AEF S 三角形-BDF S 三角形，所以BDF S 三角形=AEF S 三角形； 因为BDF S 三角形+ABF S 三角形=AEF S 三角形+CDFE S 四边形，所以ABF S 三角形=CDFE S 四边形；如图2，连接CF ，易得BDF S 三角形=CDF S 三角形=AEF S 三角形=CEF S 三角形,所以ABF S 三角形=CDFE S 四边形=2BDF S 三角形=2AEF S 三角形=31ABC S 三角形. 由此得到如下结论：1、三角形的两条中线分原来三角形所成的四个图形中，对顶的两个图形面积相等.2、三角形的两条中线分原来三角形所成的四个图形中，四边形的面积等于不对顶三角形面积的2倍.3、三角形的三条中线与面积如图3，AD ，BE,CF 是三角形ABC 的中线，设△BGD 的面积为1S ,△BGF 的面积为2S ,△AGF 的面积为3S ,△AGE 的面积为4S ,△CGE 的面积为5S ,△CGD 的面积为6S ，△ABC 的面积为S.则1S =2S =3S =4S =5S =6S =61S.证明：因为AD 是三角形ABC 的中线，所以BD=CD ，因为三角形ABD 和三角形ACD 的高相同，所以三角形ABD 的面积和三角形ACD 的面积相等，即1S +2S +3S =4S +5S +6S .因为三角形BGD 和三角形CGD 的高也是相同的，所以两个三角形的面积相等即1S =6S .所以2S +3S =4S +5S .因为三角形BGF 和三角形AGF 的高相同，BF=AF ，所以AFh BFh 2121 ，其中h 是点G 到AB 的距离，所以2S =3S ，同理可证4S =5S ，所以23S =24S ，所以3S =4S ， 所以2S =3S =4S =5S ，同理可证1S =2S =3S =6S .所以1S =2S =3S =4S =5S =6S .因为三角形ABC 的面积为S ，所以1S =2S =3S =4S =5S =6S =61S. 由此我们得到如下结论：三角形的三条中线分三角形成六个小三角形，则六个小三角形的面积相等，等于三角形面积的六分之一.二、结论在解题中的应用例1 （2015•广东省）如图4，△ABC 三边的中线AD ，BE ，CF 的公共点G ，若三角形ABC 的面积为12，则图中阴影部分面积是 .分析：这是三条中线分割三角形的情形，每一个小三角形的面积是相等，且等于原来三角形面积的61，2个就是面积的31. 解：因为三角形ABC 的面积为12，所以阴影部分的面积为31×12=4. 例2 三角形的一条中线把其面积等分，试用这条规律完成下面问题：（1）把一个三角形分成面积相等的4块（至少给出两种方法）；（2）在一块均匀的三角形草地上，恰好可放养84只羊，如图5，现被两条中线分成4块， 则四边形的一块（阴影部分）恰好可放养几只羊？分析：抓住等底同高的两个三角形面积相等,依托三角形的中线性质，完成求解.解：（1）此题的答案不是唯一的，只要分割的方法合理就可以，下面给出了几种分割方法，供同学们学习时，参考.(2)根据中线分割图形与原来三角形面积之间关系知道，四边形的面积是整个图形面积的三分之一，因为是均匀分布，所以这块面积应该有 31×84=28（只）羊. 例3 如图6 所示，在△ABC 中，已知点D ，E ，F 分别为边BC ，AD ，CE 的中点， 且ABC S =42cm ，则S 阴影等于________．解：因为点D 是BC 的中点，所以ACD ABD S S =12ABC S =12×4=2. 因为点E 是AD 的中点，所以BED S S 12ABD S =12×2=1. 所以ED S S 12ACD S =12×2=1. 所以BEC S =BED S +ED S =1+1=2,因为点F 是EC 的中点，所以S =12BEC S =12×2=1. 所以S 阴影等于1. 例4 已知三角形ABC 的面积为a ，请边阅读，边完成问题的解答：1、如图7，延长BC 到D ，使得CD=BC ，则阴影部分的面积为 .2、如图8，延长BC 到D ，使得CD=BC ，延长CA 到E ，使得AE=AC ，则阴影部分的面积为 .3、如图9，延长BC 到D ，使得CD=BC ，延长CA 到E ，使得AE=AC ，延长AB 到F ，使得AB=FB ，则阴影部分的面积为 .4、如图10，延长BC 到D ，使得CD=BC ，延长CA 到E ，使得AE=AC ，延长AB 到F ，使得AB=FB ，,连接DF ，则阴影部分的面积为 ；三角形DEF 的面积是 .分析：依据条件，结合三个结论，认真分析，就能轻松完成解答.解：1、如图7，AC是三角形ABD的中线，所以阴影面积与三角形ABC的面积相等，所以应该填a；2、如图8，当我们连接AD时，不难发现三角形ACD的面积与三角形AED的面积相等，所以阴影部分的面积为2a；3、如图9，三角形AEF的面积与三角形CDE的面积是相等，所以阴影部分的面积是4a；4、如图10，三角形BFD的面积等于三角形CDE的面积，所以阴影部分的面积为6a；三角形DEF的面积为阴影部分的面积加三角形ABC的面积，所以是7a，也就是说此时三角形的面积是原来三角形ABC面积的7倍.我们不妨把得到的三角形DEF叫做三角形ABC的膨胀三角形，当CD=BC 时，膨胀三角形的面积是原来三角形面积的7倍，这个数字7我们不妨叫做三角形DEF的膨胀系数，感兴趣的读者，可以思考当延长线段是已知边长的2倍时，膨胀三角形的面积多大，膨胀系数多大？其中一般性的规律是什么？。
初中数学知识点归纳之三角形中
位线
1.三角形中线:连接三角形两边中点的线段称为三角形中线。
2、三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的'一半。
提示：
(1)一个三角形有三条中线，它们又组成一个新的三角形。
每条中线都与第三条边有对应的位置关系和数量关系。
（三角形的中位线不仅可以证明直线平行，也可以证明线段的倍分关系）；
(2)三角形中的中线和三角形的中线不同，要用各自的定义来区分。
3、三角形中位线定理的作用：
位置关系:可以证明两条直线平行。
数量关系:可以证明线段的加倍关系。
常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：
结论1:三条中线组成一个三角形，其周长是原三角形的一半。
结论二:三条中线把原来的三角形分成四个全等的三角形。
结论三:三条中线把原来的三角形分成三个面积相等的平行四边形。
结论4:三角形的一条中线和与之相交的中线等分。
结论五:三角形中任意两条中线之间的夹角等于这个夹角所对应的三角形的顶角。
三角函数已知一角一边和该角对应的中线求面积三角函数已知一角一边和该角对应的中线求面积是一道典型的几何题目。
在学习初中数学中的三角函数时，这道题目是非常重要的一环。
它既考验了学生们的三角函数知识，同时也考验了他们的几何直觉和推理能力。
在本文中，我们将深入探讨这道题目的解法和相关知识。
题目描述三角函数已知一角一边和该角对应的中线求面积，具体的题目描述如下：已知△ABC中，∠A=30°，BC=4 cm，AD为角A的中线（其中D为BC的中点）。
求△ABC的面积。
解题思路这道题目要求我们求解的是一个三角形的面积，因此我们需要用到三角形的面积公式，即：△ABC = 1/2 * AB * AC * sin∠BAC现在我们已知了角A，边BC和角A对应的中线AD的长度。
因此，我们需要确定边AC和∠BAC的大小，进而求解三角形的面积。
根据中线定理，我们可以得知，角A对应的中线AD把BC分为两个等分线段：BD = CD = BC / 2 = 4 / 2 = 2 cm又因为△ABD和△ACD是直角三角形，因此我们可以使用三角函数来计算出AC和∠BAC的大小。
首先，我们可以用正弦函数求解∠BAC的大小，即：sin∠BAC = BD / AB = 2 / AB∠BAC = arcsin(2/AB)现在我们已经求出了∠BAC的大小，接下来我们可以用余弦函数求解AC的长度，即：cos∠BAC = AC / ABAC = AB * cos∠BAC代入公式得：AC = AB * cos(arcsin(2/AB))将cos(arcsin(x))转化为√(1-x²)，得到：AC = AB * √(1 - (2/AB)²)现在我们已知了AC和∠BAC的大小，我们可以将它们带入到三角形的面积公式中，求解出△ABC的面积：△ABC = 1/2 * AB * AC * sin∠BAC代入公式得：△ABC = 1/2 * AB * AB * √(1 - (2/AB)²) * 2/AB化简公式得：△ABC = AB² * √(1 - (2/AB)²) / 2此时我们已经求得了△ABC的面积，但是还需要求出AB的长度。
引言概述：三角形是一个基础的几何图形，而四等分三角形则是对三角形进行特定划分的一种方法。
本文将探讨三角形四等分的不同方法，并详细介绍每种方法的原理和具体步骤。
通过了解这些方法，读者将能够更好地理解和应用于实际问题中。
正文内容：一、方法一：使用垂线和中位线1.使用垂线将三角形的一边分成两等分。
2.在垂线的交点上做一条中位线。
3.连接垂线的交点和中位线的中点，这样就将三角形分为四个等面积的小三角形。
二、方法二：使用角平分线和中位线1.使用角平分线将一个角分成两等分。
2.使用另一个角平分线将另一个角分成两等分。
3.在两个角平分线的交点上做一条中位线。
4.连接两个角平分线的交点和中位线的中点，这样就将三角形分为四个等面积的小三角形。
三、方法三：使用中心连线法1.找到三角形的重心（重心是三角形三条中线的交点）。
2.在重心处做一条任意方向的线段，直到与三角形两个顶点相交。
3.连接三角形的两个顶点和与重心连线的交点，这样就将三角形分为四个等面积的小三角形。
四、方法四：使用等角三等分法1.将一个角三等分。
2.将另一个角三等分。
3.将最后一个角三等分。
4.连接相邻三等分线的交点，这样就将三角形分为四个等面积的小三角形。
五、方法五：使用相似三角形法1.找到三角形内部的一个点，称为连接点，与三角形三边相交。
2.连接连接点和三角形三个顶点。
3.将三角形分为四个小三角形。
4.通过相似三角形的性质，利用已知比例计算出分割后的小三角形的面积比例。
总结：三角形4等分有几种方法引言概述：三角形是几何学中最基本的图形之一，而其等分问题一直以来都是一个有趣而富有挑战性的题目。
在本文中，我们将研究三角形的等分问题，并探讨存在的不同方法。
正文内容：I.传统几何方法A.连接三角形的中心点1.在三角形上找到三种中心点：重心、外接圆心和内切圆心2.将中心点两两连线，产生的线段与边界的交点即为等分点B.利用角平分线1.通过每个角的角平分线，将三角形分成六个小三角形2.这些小三角形的交点即为等分点II.矢量法A.利用向量相加平均法1.将三角形的三个顶点用向量表示2.分别对三个顶点所代表的向量进行相加并平均化，得到等分点B.使用内切圆的切线向量1.连接三角形的中心点和内切圆心2.通过内切圆的切线向量，找到等分点III.使用平行线A.平行于某边的线1.构造一个平行于某一边的线段2.这条线段将三角形分成两个小三角形，等分点位于两个小三角形的交点处B.逆似干法1.构造一个逆似干线段2.这个线段将三角形分成三个小三角形，等分点位于三个小三角形的交点处IV.利用相似三角形A.根据三角形相似的性质，找到等分点1.如将三角形内任意画一条线段，并与三角形的边界产生交点2.利用相似三角形的性质，找到等分点V.通过三角函数A.利用正弦定理和它的逆定理1.利用已知边长和对应的角，计算出其他两边的长度2.根据所得到的边长和角度，找到等分点B.利用余弦定理和它的逆定理1.利用已知边长和对应的角，计算出其他两边的长度2.根据所得到的边长和角度，找到等分点总结：通过本文的介绍，我们了解了不同的方法来等分一个三角形。
专题03 三角形的中线与面积【专题解读】在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线．由“等底同高”可知，三角形的一条中线能把这个三角形分成面积相等的两部分．利用这一性质，再进行适当拓展延伸，我们还可解决许多其他的等分点问题．反过来，在解决许多有关多边形(如三角形、四边形等)的面积问题时，如果我们能够快速地联想到“三角形的中线等分三角形面积”这一性质，那么往往可以事半功倍．思维索引例1．(1)如图，△ABC 中，D 为AB 的中点，E 为DF 的中点．①作出△AED 中的高AH ；②连接BF ，当AH ＝4，DF ＝5时，求△BDF 面积．DABECF(2)如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12，BC ＝9，AB ＝15，若动点P 从点C 开始，按C →A →B →C 的路径运动，且速度为每秒3个单位，设运动的时间为t 秒． ①当t ＝ 时，CP 把△ABC 的面积分成相等的两部分；②当t ＝5时，CP 把△ABC 分成的两部分面积之比是S △APC ︰S △BPC ＝ ； ③当t ＝ 时，△BPC 的面积为18．ACBB CA备用图例2．如图1，在△ABC 中，中线AM 可以将△ABC 分成两个面积相等的三角形，即S △ABM ＝S △ACM ．(1)请在图2，图3中，用两种不同的方法将图中的四边形ABCD 分成4个面积相等的小三角形； (2)如图4，在四边形ABCD 的边上找到一点E ，使得线段AE 将四边形ABCD 分为面积相等的两部分．DABCC BADM AB CDABC图1图2图3图4例3．(1)已知：△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，P 是AD 上的一点，若△ABC 的面积为s ，①当点P 是AD 的中点(即PD ＝21AD )时，△PBC 的面积＝ (用含s 的代数式表示)； ②当PD ＝31AD 时，△PBC 的面积＝ (用含s 的代数式表示)；③当PD ＝n1AD 时，△PBC 的面积＝ (用含s 、n 的代数式表示)． A PC(2)如图，△ABC 的面积为12cm 2．D 是AB 边的中点，E 为AC 边上一点，且AE ＝2EC ．O 为DC 与BE 的交点．若△DBO 的面积为acm 2，△CEO 的面积为bcm 2，求a －b ．OE BDCA例4．(1)如图1，在△ABD 中，BE 是△ABD 的中线，则有S △ABE ＝ S △ABD ．(2)在四边形ABCD 中，E 是AD 边上的动点，分别连接AC 、BD 、EB 和EC ，设△EBC 的面积为S 1，△ABC 的面积为S 2，△DBC 的面积为S 3． ①如图2，当AE ＝21AD 时，试探究S 1，S 2，S 3之间的关系，并写出求解过程； ②如图3，当AE ＝n1AD (n 表示正整数)时，试探究S 1，S 2，S 3之间的关系． (直接给出答案，不必求解过程)DABEC CBADEBAD E 图3图2图1素养提升1．如图，在△ABC 中，E 、F 分别是AD 、CE 边的中点，且24BEF S cm ∆=，则ABC S ∆为（ ）A .21cmB . 22cmC . 28cmD . 216cm2．如图，在△ABC 中E 是BC 上的一点，EC=2BE ，点D 是AC 的中点，设△ABC ，△BEF 的面积分别为,ABC BEF S S ∆∆，且12ABC S ∆=，则BEF S ∆=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．如图，三角形ABC 内的线段BD 、CE 相交于点F ，已知FB=FD ，FC=2FE .若△BFC 的面积为2，则四边形AEFD 的面积等于（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7CABDBB第1题图 第2题图 第3题图4．如图，△ABC 三边的中线AF ，BD ，CE 的公共点为G ，若12ABC S ∆=，则图中△BEG 与△CDG 的面积和是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5BCBFB第4题图 第5题图 第6题图5．如图，G 为△ABC 内一点，连接AG 、BG 、CG 并延长分别交边BC 、AC 、AB 于点F 、D 、E ，则把△ABC 分成六个小三角形，其中四个小三角形面积已在图上标明，则△ABC 的面积为（ ） A ．300 B ．315 C ．279 D ．3426．如图，AE 、BD 是△ABC 的两条中线，AE 、BD 交于F ，则△BEF 和△AFD 面积的大小关系是_______________.7．如图，△ABC 的中线BD 、CE 相交于点G ，GF ⊥BC ，且AB=6，BC=5，AC=3，GF=2，则四边形ADGE 的面积是_________.8．如图，在△ABC 中，点D 是BC 边上任意一点，点F 是线段AD 的中点，点E 、点G 分别为BF 与CF 的中点，则:ABC EFGD S S ∆四边形=_____________.9．如图，在△ABC 中，已知点D 、E 、F 分别是BC 、AD 、BE 上的中点，且△ABC 的面积为122cm ，则△ABF 的面积为___________2cm .EDFGCABFEB第7题图 第8题图 第9题图10．如图，在长方形ABCD 中，AB=8cm ，BC=6cm ，点E 是CD 边上的一点，且DE=2cm ，动点P 从A 点出发，以2cm /s 的速度沿A →B →C →E 运动，最终到达点E .当△APE 的面积等于202cm 时，则点P 运动的时间________________s .CDFEBC第10题图 第11题图11．如图，已知△ABC ，请你用两种不同的方法把它分成面积之比为1：2：3的三个三角形。
三角形是小学数学中比较基础的一个概念，而且在几何学中，它的应用非常广泛。
对于三角形的分类，学生们在之前的学习中应该已经了解了不少。
今天，我们要探究的是三角形周长和面积的计算公式。
一、三角形周长的计算公式我们都应该知道，周长是指一个封闭图形的边界线的长度。
对于三角形而言，它是三条边的长度之和。
因此，三角形的周长公式为：周长 = 边1 + 边2 + 边3在实际的计算过程中，我们需要先知道三角形每一条边的长度，然后再按照上述公式进行计算即可。
这个公式很简单，但是在日常的应用中却是非常重要的，因为它为我们计算固定形状的三角形提供了一个非常便捷的途径。
二、三角形面积的计算公式面积是指一个平面图形所占据的空间面积。
对于三角形而言，它的面积可以用它的底和高来计算。
底是指三角形的任意一条边，高是指从底向顶点所做的垂线，也就是高定理。
三角形的面积可以用以下公式进行计算：面积 = 底 × 高 ÷ 2在实际应用中，我们可以通过多种方式求得三角形的高，例如利用三角形的相似性质，或者使用勾股定理等。
对于底和高的确定，也是非常关键的一步，因为长和宽的精确度直接影响到最终的结果。
当然，在实际应用中，我们也可以使用其他方法来计算三角形的面积，例如海龙公式等，但这些方法都需要比较高深的数学知识。
三、三角形周长与面积的关系在课堂上，老师经常会出一些涉及三角形周长和面积的计算题目，例如给出一个三角形的周长和高，要求计算其面积。
这种题目的解答需要我们对三角形的周长与面积的关系有一定的了解。
实际上，对于固定形状的三角形而言，它的周长和面积是成正比的，也就是说，当三角形面积增大的时候，边长也会随之增大。
这个性质在实际应用中非常有用，因为如果我们知道三角形的周长或面积，就可以推算出另外一个值，从而可以方便地进行计算。
四、三角形周长和面积的应用实例1.三角形的平分线在三角形中，平分线有两种形态：角平分线和边平分线。
其中，角平分线是一个角的两条所穿过三角形相对边的中线；边平分线是三角形中一个角的平分线所穿过另外两条边的中线。
等分点面积比-概述说明以及解释1.引言1.1 概述等分点面积比是指在一个给定的图形中，将其等分成多个部分，每个部分的面积比相等的现象。
这一概念在几何学和数学中有着重要的应用和意义。
等分点面积比是几何问题中一种具有美感和对称性的现象，常见于各类图形的划分和分割中。
通过将一个图形等分成多个部分，每个部分的面积比相等，我们可以获得一种视觉上的均衡和谐。
这种现象可以展示出几何学中的对称性和平衡性，给人一种美的享受和审美感受。
在数学研究中，等分点面积比也有重要的应用。
通过研究等分点面积比，我们可以探索各类图形和形状的特性和规律。
例如，在三角形的研究中，等分点面积比可以帮助我们理解三角形的性质和相关定理，如中线定理和高线定理等。
对于其他复杂的图形，通过等分点面积比的计算和研究，我们可以更深入地了解其内在结构和性质。
另外，等分点面积比还在实际应用中发挥着重要作用。
在建筑设计、绘画艺术和景观规划等领域，等分点面积比被广泛运用。
通过将空间和物体按照一定的规律和比例进行划分，可以使整体形态更具美感和和谐性。
而在科学研究中，等分点面积比的计算方法也有助于解决一些实际问题，例如地理测量、材料科学中的材料分析和识别等。
综上所述，等分点面积比作为一个重要的几何概念，在理论研究和实际应用中都具有重要意义。
通过研究等分点面积比的定义和计算方法，我们可以更好地理解图形的性质和规律，同时也可以运用到实际问题中，提升设计和科学研究的效果。
未来，随着科技的发展和研究的深入，我们相信等分点面积比的应用将会更加广泛，为我们的生活和学术研究带来更多的启示和帮助。
1.2文章结构1.2 文章结构本文共分为三个部分，即引言、正文和结论。
下面将对每个部分的内容进行简要介绍：引言部分（Introduction）主要包括概述、文章结构以及目的三个方面。
在概述部分，将介绍等分点面积比的背景和重要性，概括其定义与意义。
随后，文章结构部分将给出本文的整体框架，说明各个章节的内容分布和逻辑关系。
第5讲例说三角形中线等分面积的应用如图1，线段AD 是△ABC 的中线，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，则S △ABD ＝12BD ·AE ，S △ADC ＝12DC ·AE ，因为BD ＝DC ，所以S △ABD ＝S △ADC 。
因此，三角形的中线把△ABC 分成两个面积相等的三角形.利用这一性质，可以解决许多有关面积的问题。
一、求图形的面积例1、如图2，长方形ABCD 的长为a ，宽为b ，E 、F 分别是BC 和CD 的中点，DE 、BF 交于点G ，求四边形ABGD 的面积.分析：因为E 、F 分别是BC 和CD 的中点，则连接CG 后，可知GF 、GE 分别是△DGC 、△BGC 的中线，而由S △ＢＣＦ=S △ＤＣＥ=4ab，可得S △ＢＥＧ=S △ＤＦＧ，所以△DGF 、△CFG 、△CEG 、△BEG 的面积相等，问题得解。
解：连接CG ，由E 、F 分别是BC 和CD 的中点，所以S △ＢＣＦ=S △ＤＣＥ=4ab，从而得S △ＢＥＧ=S △ＤＦＧ，可得△DGF 、△CFG 、△CEG 、△BEG 的面积相等且等于31×4ab =12ab ，因此S 四边形ＡＢＧＤ=ab －4×12ab =32ab。
例2、在如图3至图5中，△ABC 的面积为a ．（1）如图2, 延长△ABC 的边BC 到点D ，使CD =BC ，连结DA ．若△ACD 的面积为S 1，则S 1=________（用含a 的代数式表示）；（2）如图3，延长△ABC 的边BC 到点D ，延长边CA 到点E ，使CD =BC ，AE =CA ，连结DE ．若△DEC 的面积为S 2，则S 2=__________（用含a 的代数式表示），并写出理由；（3）在图4的基础上延长AB 到点F ，使BF =AB ，连结FD ，FE ，得到△DEF （如图6）．若阴影部分的面积为S 3，则S 3=__________（用含a 的代数式表示）．发现：像上面那样，将△ABC 各边均顺次延长一倍，连结所得端点，得到△DEF （如图6），此时，我们称△ABC 向外扩展了一次．可以发现，扩展一次后得到的△DEF 的面积是原来△ABC 面积的_______倍．图1图2图4F 图5图3应用：去年在面积为10m 2的△ABC 空地上栽种了某种花卉．今年准备扩大种植规模，把△ABC 向外进行两次扩展，第一次由△ABC 扩展成△DEF ，第二次由△DEF 扩展成△MGH （如图5）．求这两次扩展的区域（即阴影部分）面积共为多少m 2？分析：从第1个图可以发现AC 就是△ABD 的中线，第2个图通过连接DA ，可得到△ECD 的中线DA ，后面扩展的部分都可以通过这样的方法得到三角形的中线，从而求出扩展部分的面积，发现规律。
直角三角形斜边上的中线上的中点的平方-概述说明以及解释1.引言1.1 概述:直角三角形是初中数学课程中的重要概念，其中的中线和中点也是我们经常接触到的概念。
本文将围绕直角三角形斜边上的中线上的中点的平方展开研究，通过对中线的性质和中点的平方与斜边的关系进行深入分析，探讨其中存在的特性和规律。
通过本文的阐述，希望读者能对直角三角形中线上中点的平方特性有更深入的理解，并能在实际问题中灵活运用这一特性。
1.2 文章结构本文主要分为引言、正文和结论三个部分。
引言部分将概述本文所要讨论的内容，并介绍文章的结构和目的。
正文部分将主要分为三个小节，分别介绍直角三角形的定义、中线的概念和性质以及中点的平方与斜边关系。
结论部分将对直角三角形中线上中点的平方特性进行总结，并讨论其应用和展望。
通过这样的结构安排，读者可以清晰地了解本文的主要内容和结构，帮助他们更好地理解论述的内容。
1.3 目的目的部分:本文旨在探讨直角三角形斜边上的中线上的中点的平方与斜边长度的关系，通过对中线和中点的概念和性质进行分析，从而揭示直角三角形中线上中点的特性。
通过深入研究直角三角形的性质，我们可以更好地理解三角形的内在关联，并在实际问题中应用相关知识。
文章旨在向读者展示直角三角形的一种特殊性质，并为读者提供对几何学的深入理解和应用。
2.正文2.1 直角三角形的定义直角三角形是指一个三角形其中一个角是90度的三角形。
在直角三角形中，有一个边被称为斜边，它位于直角的对面。
另外两条边被称为直角边，它们位于直角的两侧。
直角三角形的性质是其中一个角是90度，另外两个角的和为90度。
根据直角三角形的定义，可以推导出许多重要的性质和定理，这些性质和定理对于解决与直角三角形有关的问题非常重要。
在本篇文章中，我们将研究直角三角形斜边上的中线上的中点的平方与斜边的关系。
2.2 中线的概念和性质在直角三角形中，如果我们连接直角边上的顶点和斜边上的中点，就可以得到一个中线。
例说三角形中线等分面积的应用丄 BD-AE , S A ADC = -DC-AE ,因为 BD = DC ,所以2 2三角形的中线把厶 ABC 分成两个面积相等的三角形 •利用这一性质，可以解决许多有关面积的问题。
、求图形的面积例1、如图2，长方形ABCD 的长为a ,宽为b , E 、F 分别是BC 和CD 的中点，DE 、 BF 交于点G ,求四边形 ABGD 的面积.」分析：因为E 、F 分别是BC 和CD 的中点，则连接 CG 后，可知 ab GF 、GE 分别是△ DGC 、△ BGC 的中线，而由 S ABCF =S ADCE =，可 _4图2 得S ABEG =S ADFG ，所以△ DGF 、△ CFG 、A CEG 、△ BEG 的面积相等， 问题得解。
ab解：连接CG ,由E 、F 分别是BC 和CD 的中点，所以S ABCF =S ADCE =，从而得S A4 1 ab abBEG =S ADFG ，可得△ DGF 、△ CFG 、△ CEG >△ BEG的面积相等且等于 X =—，因此3 4 12」 ab 2abS 四边形 ABGD =a b — 4 X —= -------- 。
12 3例2、在如图3至图5中，△ ABC 的面积为a（1）如图2,延长△ ABC 的边BC 到点D ,使CD=BC ,连结DA .若厶ACD 的面积为 3, 则S 1=_____________ （用含a 的代数式表示）；（2）如图3，延长△ ABC 的边BC 到点D ，延长边CA 到点E ,使CD=BC , AE=CA ，连结 DE .若△ DEC 的面积为S 2,则S 2= ___________ （用含a 的代数式表示），并写出理由;如图1，线段AD 是厶ABC 的中线，过点A 作AE 丄BC ,垂足为 E ,则 S A ABD =S A ABD = S A ADC 。
因此，图1（3）在图4的基础上延长 AB 到点F ，使BF=AB ，连结FD , FE ，得到△ DEF （如图6）.若阴影部分的面积为 &,则S 3= ____________ （用含a 的代数式表示）发现：像上面那样，将△ ABC 各边均顺次延长一倍，连结所得端点，得到△DEF （如ABCD图3图4A I图5图6),此时，我们称厶ABC 向外扩展了一次•可以发现，扩展一次后得到的△ DEF 的面积是原来△ ABC 面积的 _______ 倍.应用：去年在面积为 10m 2的厶ABC 空地上栽种了某种花卉.今年准备扩大种植规模， 把厶ABC 向外进行两次扩展，第一次由厶ABC 扩展成△ DEF ，第二次由△ DEF 扩展成△ MGH (如图5).求这两次扩展的区域(即阴影部分)面积共为多少m 2?分析：从第1个图可以发现AC 就是△ ABD 的中线，第2个图通过连接DA ，可得到厶ECD 的中线DA ，后面扩展的部分都可以通过这样的方法得到三角形的中线，从而求出扩展部分 的面积，发现规律。
解：(1 )由CD=BC ，可知AC 就是△ ABD 的中线，中线 AC 将厶ABD 的分成两个三角 形厶ABC 、△ ACD ，这两个三角形等底等高，所以它们的面积相等；所以 S^a ；(2)若连接 DA ,贝U DA 就是△ ECD 的中线，中线AD 将厶ECD 分成△ CDA 、△ EDA , 它们的面积相等；所以 S 2=2a ；(3)根据以上分析，可知△ BFD 、△ CED 、△ EAF 面积都 为2a ;所以S 2=6a ;发现：由题意可知扩展一次后的△ DEF 的面积是 S ^DEF = S 3+S AABc =6a+a=7a ;即扩展一次后的厶DEF 的面积是原来 △ ABC 面积的7倍。
应用：由以上分析可知 扩展一次后S 总i =7a , 扩展二次后S 总2=S 总i =72a , 扩展三次后S 总3=S 总2=7‘a ,拓展区域的面积：(72- 1) X1O=48O (m 2)说明：本题是从一个简单的图形入手，逐步向复杂的图形 演变，引导我们逐步进行探索，探索出有关复杂图形的相关结 论，这是我们研究数学问题的一种思想方法：从特殊到一般的思想。
中，要注意领会数学思想和方法，使自己的思维不断升华。
、巧分三角形例3、如图7,已知△ ABC ，请你用两种不同的方法把它分成面积之比为 1:2:3的三个三角形•分析：可以把三角形先两等份，再把其中一个再两等份，所以联想到作三角形的中线。
1解：方法1:取BC 的中点E ,然后在BE 上取点D ，使BD BE,则AD 、AE 把厶ABC3分成面积之比为1:2:3的三个三角形(如图 8)所以我们在平时的学习1方法2:在BC 边上截取DC = BC ,连结AD ，然后取AB 的中点P ,连结BP 、CP ,3则厶PAC 、A PAB 、△ PBC 的面积之比为 1:2: 3 （如图9）.想一想：方法2中，这三个三角形的面积之比为什么是 1:2:3 ?二、巧算式子的值1 1 1例2在数学活动中，小明为了求丄 4, ■ 4.2 2 2n 表示），设计了如图10所示的几何图形1111 1234n 的值•2 2 2 2 2 值（结果用几何图形求 11，联想到将2三角形的面积不断的平分，所以可以构造如图10的图形进行求解。
解：如图10，设大三角形的面积为 1，然后不断的按顺序作出各个三角形的中线， 根据 三角形的中线把它分成两个面积相等的三角形可知，图中三角形除了最后一个小三角形， 其111111 余部分的面积为 -■ -2 ■ -3 ■ —4，2 22 23 242n 2n用吐1 1 1 1 1 1 因此2尹歹尹 歹一？n .说明：此题运用 数形结合思想”借助三角形的面积来求数的运算，简捷、巧妙分析： 由数据的特征：后面的数为前面一个数的 三角形内角和定理及外角性质的应用三角形三个内角的和等于 180°这是三角形内角和定理.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于与它不相 邻的任何一个内角，这是三角形外角性质.三角形内角和定理及外角性质应用广泛，下面以例说明. 一、求三角形的内角例2 （08太原）在厶ABC 中，/ B=40° / C=80°则/ A 的度数为（） A . 30° B . 40°C . 50°D . 60解：由三角形内角和定理，得/A=180 ° / B- / C=180 °40°80°60 °答案选 D .例3 （08东营）如图1,已知/ 1=100° / 2=140 °那么/ 3= 解：/ 4=180 ° / 仁 180°-100 °=80° , / 5=180 ° / 2=180 °- 140°=40° , 由三角形内角和定理，得/ 3=180 ° / 4- / 5=180 ° 80° 40° =60° 答案选 D . 说明：在求出/ 4=80°后，也可根据三角形外角性质，得 / 2= / 4+ / 3,所以/ 3= / 2-/ 4=140 ° 80°=60° .二、判断三角形的形状例1 （08陕西）一个三角形三个内角的度数之比为 2:3:7,这个三角形一定是（）A •直角三角形B .等腰三角形C .锐角三角形D .钝角三角形解：设三个内角分别为 2k , 3k , 5k ，由三角形内角和定理，得2k+3k+5k=180 °解得k=15 °所以2k=30 ° 3k=45° 7k=105 °所以这个三角形是钝角 三角形，答案选C .三、求角平分线的夹角例4 （08沈阳）已知△ ABC 中，/ A=60° / ABC 、/ ACB 的平分线交于点 O,则/ BOC 的度数为 ____ .1解：如图2,由BO 平分/ ABC ，得/ 1= / ABC ;21 由 CO 平分 / ACB ，得/ 2=/ ACB .21 1 所以/ 1 + / 2=( / ABC + / ACB) =(180 ° / A)221 =（180°- 60°） =60°2四、求三角形的外角例5 （08贵州）如图5,直线I 1//I 2, AB 丄h ，垂足为D , BC 与直线I ?相交于点C ,若 / 1=30 ° 贝U / 2= ____ .解：如图6,延长AB 交I 2于点E .因为I 1/ I 2，由两直线平行，内错角相等，得/ BEC= / 3.由 AB 丄 h ，得/ 3=90° 所以/ BEC=90 °由三角形外角性质，得 / 2= / BEC+Z 1=90 °+30 °120 °全等三角形水平测试（1 ）湖北薛建辉一、试试你的身手1.如图所示，沿直线 AC 对折，△ ABC W^ ADC 重合，则△ ABC^ _________ , AB 的对应边 是 ________ , AC 的对应边是 ____________ ，/ BCA 勺对应角是 __________ .D~C Bl 2D B1汇l 2图5 说明：本题也可延长 五、比较角的大小例5 （08凉山）下列四个图形中/ 2大于/ CB 交I 1于点F ，构造△ FBD 进行求解，完成请同学们完成. C解：A 选项中，利用两直线平行，内错角相等及对顶角相等，可得 根据三角形的外角性质， 选项中，由对顶角相等，/仁/2; B 选项， 可得 / 2大于/ 1. C 选项中的/ 2与/ 1的大小关系无法确定； D 可得 /仁/2 •答案选B .图2AI 1CA l 1图61的是()AC2.如图所示，△ ACB2A DEF 其中A 与D C 与E 是对应顶点，贝U CB 的对应边是 ___________Z ABC 的对应角是 _________ .3. △ ABC 和.；A B C 冲，若 AB =AB , BC =BC ，则需要补充条件 . ABC 三. ABC4•如图所示，AB CD 相交于 Q 且AO= OB 观察图形，图中已具备的另一相等的条件是 ________ ，联想到SAS 只需补充条件 ___________ ，则有△ A03A _________ . 5•如图所示，有一块三角形镜子，小明不小心破裂成I 、n 两块，现需配成同样大小的一 块•为了方便起见，需带上 _________ 块，其理由是 ___________ .6•如图所示，若只有AD£ BD 于点D 这个条件，要证△ ABD^A ACD 则需补充的条件是 ______ 或 __________ 或 __________7.如图，在△ ABC 中，Z BAC= 60°，将△ ABC 绕着点A 顺时针旋转40°后得到△ ADE 贝VZ BAE 的度数为 ___________二、相信你的选择 1.下列说法：①全等三角形的形状相同；②全等三角形的对应边相等；③全等三角形的对 应角相等；④全等三角形的周长.面积分别相等，其中正确的说法为（）A.①②③④ E.①③④C.①②④D.②③④2•下列结论错误的是（）A.全等三角形对应角所对的边是对应边 E.全等三角形两条对应边所夹的角是对应角 C.全等三角形是一个特殊三角形________ 可得到AD.如果两个三角形都与另一个三角形全等，那么这两个三角形也全等3•下面各条件中，能使△ ABC2A DEF勺条件的是( )A. AB= DE / A=Z D, BC= EF E. AB= BC / B=Z E, DE= EF0. AB= EF, / A=Z D, AC= DF D. BG= EF, / C=Z F, AC= DF 4.在△ABC ffiA DEF中, AB= DE / A=Z D,若证△ABC^A DEF还要补充一个条件，错误的补充方法是( )A.Z B=Z EB.Z C=Z F5.下列说法正确的是（）A.两边一角对应相等的两个三角形全等C.两个等边三角形一定全等C. BC= EF D. AC= DFB.两角一边对应相等的两个三角形等D.两个等腰直角三角形一定全等6.如图所示, BE1 AC CFL AB垂足分别是E. F ,若BE= CF,则图中全等三角形有A. 1对B. 2对C. 3对D. 4对7.如图，AB= DB BC= BE,欲证△ ABC^A DBC则需补充的条件是( )A.Z A=Z DB.Z E=Z CC.Z A=Z CD.Z 1 = /2三、挑战你的技能1.如图，若Z DAB=Z CBA请你再添加一对相等的条件，使厶全等的理由.ABD^A CAB并说明三角形2. (1)完成下面的证明：如图，AB= AC, E, F分别是AC, AB的中点，那么△ ABE^A ACF 证明：；E , F分别是AC , AB的中点，1 1.AE AC , AF AB ( )2 2AB 二AC , AE 二AF在厶ABE和厶ACF中-------- 二--------- ()‘“________ = _________ ()，二△ ABE 三△ ACF ._______ =_______ ( ),（2）根据（1）的证明，若连结BC 请证明：△ EB0A FCBB3•如图，已知：BB DF, AB CF, AE// CF,求证：AD// BC4.如图，已知：CEL AD于E, BFL AD于F, (1)你能说明厶CDE全等吗？ ( 2)若能，请你说明理由，若不能，在不用增加辅助线的情况下，请添加其中一个适当的条件，这个条件是_________ ，来说明这两个三角形全等，并写出证明过程.四、拓广探索飞翔建筑公司在扩建二汽修建厂房时，在一空旷地上发现有一个较大的圆形土丘，经分析判断很可能是一座王储陵墓，由于条件限制，无法直接度量A，B两点间的距离，请你用学过的数学知识，按以下要求设计测量方案.(1) 画出测量方案(2) 写出测量步骤(测量数据用字母表示)(3) 计算AB的距离(写出求解或推理过程，结果用字母表示)参考答案：一、「△ ADC AD, AC, / DCA 2. EF, / DFE 3. N B=Z B H或AC = AC4 •上AOC/ BOD OCOD △ BOD5 .1,有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等6.Z BAD：/ CAD ABAC BD=CD 7 . 100°二、1. D 2 . C 3 . D 4 . C 5 . B 6 . C 7 . D三、1.需要再添加的条件为：/ DBA/ BAC( A S A)或/ DAC/ CBD( A S A)或AD=BC(S A S)2.AE 二AF (已证)(1)中点定义，.A — A(公共角),(SAS)AB = AC(已知)(2)证明：；△ ABE -△ ACF , BE二CF ；又寫E , F分别为AC , AB的中点，1 1EC AC , BF AB , AB = AC , EC =BF，在△ EBC 和△ FCB 中，2 2'BE = CF,BC =CB • △ EBC =△ FCB.EC = FB2. 证明：AE // CF，/ AEB 二/ DFC , 180 -/ AEB =180 -/ DFC ,/ AED =/ BFC , BE = DF , BE - EF 二DF - EF , BF 二DE .AE 二CF,在厶ADE 和△ CBF 中，AED = / BFC,^ ADE -△ CBF，二/ ADE = / CBF ,DE =BFAD // BC .3. (1)不能，(2)添加的条件为：BD=DC或DF=DE或BF=CE 选：BCDC证明：CE 丄AD , BF 丄AD , / CED =/ BFD =90 ,/ CDE 二/ BFD （已证）在厶CED 和厶BFD 中，；Z：CDE =/BDF （对顶角相等），△ CED 二△ BFD .CE 二BD四、（1 ）如图所示（2）在地上找到可以直接到达点A, B的一点O,在AO的延长线上取一点以，并测得OCOA 在BO的延长线上取一点在，并测得ODOB这时测得CD的长为A,则AB的长就是A.（3）理由：由测法可得. OCOA ODOB / COD/ AOB 所以△ CO B^ AOB 所以CCAB=A.。
