三角形中线等分面积专题

三角形中线等分面积的灵活应用山东 王明华如图：线段AD 是△ABC 的中线，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，则S △ABD ＝12BD ·AE ，S △ADC ＝12DC ·AE.因为BD ＝DC ，所以S △ABD ＝S △ADC .因此，三角形的中线把△ABC 分成两个面积相等的三角形.利用这一性质，可以解决许多有关面积的问题.一、求图形的面积例1 长方形ABCD 的长为a ，宽为b ，E 、F分别是BC 和CD 的中点，DE 、BF 交于点G ，求四边形ABGD 的面积.析解：连接CG ，不难得出S △ＢＣＦ＝S △ＤＣＥ＝4ab，从而S △ＢＥＧ＝S △ＤＦＧ，由E 、F 分别是BC 和CD 的中点，可得△DGF 、△CFG 、△CEG 、△BEG 的面积相等，因此S 四边形ＡＢＧＤ=42433ab ab ab -⨯=. 二、巧算式子的值例 2 在数学活动中，小明为了求2341111122222n ++++⋅⋅⋅+的值（结果用n 表示），设计了如图2所示的几何图形.请你利用这个几何图形求2341111122222n ++++⋅⋅⋅+的值.析解：根据三角形的中线把它分成两个面积相等的三角形可知，图中三角形的面积等于1，也可以表示为234111*********n n ++++⋅⋅⋅++，因此2341111111222222n n ++++⋅⋅⋅+=-.点评：此题运用“数形结合思想”，借助三角形的面积来求数的运算，简捷、巧妙.三、巧分三角形例3 已知△ABC ，请你用两种不同的方法把它分成面积之比为1：2:3的三个三角形.析解：方法1：取BC 的中点E ，然后在BE 上取点D ，使BD 13=BE ，则AD 、AE 把△ABC 分成面积之比为1：2:3的三个三角形（如图1）.方法2：在BC 边上截取DC31=BC ，连结AD ，然后取AB 的中点P ，连结BP 、CP ，则△PAC 、△PAB 、△PBC 的面积之比为1：2: 3（如图2）.想一想：方法2中，这三个三角形的面积之比为什么是1:2:3？。

三角形的中线与面积的三个重要结论三角形的中线与三角形的面积有着密切的关系，下面就来探讨一下这个话题.一、三角形的中线与面积1、三角形的一条中线与面积如图1，AD 是三角形ABC 的中线，则ABD S 三角形=ACD S 三角形=21ABC S 三角形.证明：因为AD 是三角形的中线，所以BD=CD ，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，则ABD S 三角形=21×BD ×AE,ACD S 三角形=21×CD ×AE ，所以ABD S 三角形=ACD S 三角形， 所以ABD S 三角形=ACD S 三角形=21ABC S 三角形. 由此得到如下结论：1、等底同高的两个三角形面积相等.2、三角形的一条中线分原来三角形所成的两个三角形面积相等.2、三角形的二条中线与面积如图2，AD ，BE 是三角形ABC 的中线，则①BDF S 三角形=AEF S 三角形；②ABF S 三角形=CDFE S 四边形； ③ABF S 三角形=CDFE S 四边形=2BDF S 三角形=2AEF S 三角形=31ABC S 三角形.证明：因为AD 、BE 是三角形的中线，所以ABD S 三角形=ACD S 三角形，ABE S 三角形=BCE S 三角形， 所以BDF S 三角形+ABF S 三角形=AEF S 三角形+CDFE S 四边形---（1），AEF S 三角形+ABF S 三角形=BDF S 三角形+CDFE S 四边形——-（2），（1）—（2）得 BDF S 三角形-AEF S 三角形=AEF S 三角形-BDF S 三角形，所以BDF S 三角形=AEF S 三角形； 因为BDF S 三角形+ABF S 三角形=AEF S 三角形+CDFE S 四边形，所以ABF S 三角形=CDFE S 四边形；如图2，连接CF ，易得BDF S 三角形=CDF S 三角形=AEF S 三角形=CEF S 三角形,所以ABF S 三角形=CDFE S 四边形=2BDF S 三角形=2AEF S 三角形=31ABC S 三角形. 由此得到如下结论：1、三角形的两条中线分原来三角形所成的四个图形中，对顶的两个图形面积相等.2、三角形的两条中线分原来三角形所成的四个图形中，四边形的面积等于不对顶三角形面积的2倍.3、三角形的三条中线与面积如图3，AD ，BE,CF 是三角形ABC 的中线，设△BGD 的面积为1S ,△BGF 的面积为2S ,△AGF 的面积为3S ,△AGE 的面积为4S ,△CGE 的面积为5S ,△CGD 的面积为6S ，△ABC 的面积为S.则1S =2S =3S =4S =5S =6S =61S.证明：因为AD 是三角形ABC 的中线，所以BD=CD ，因为三角形ABD 和三角形ACD 的高相同，所以三角形ABD 的面积和三角形ACD 的面积相等，即1S +2S +3S =4S +5S +6S .因为三角形BGD 和三角形CGD 的高也是相同的，所以两个三角形的面积相等即1S =6S .所以2S +3S =4S +5S .因为三角形BGF 和三角形AGF 的高相同，BF=AF ，所以AFh BFh 2121 ，其中h 是点G 到AB 的距离，所以2S =3S ，同理可证4S =5S ，所以23S =24S ，所以3S =4S ， 所以2S =3S =4S =5S ，同理可证1S =2S =3S =6S .所以1S =2S =3S =4S =5S =6S .因为三角形ABC 的面积为S ，所以1S =2S =3S =4S =5S =6S =61S. 由此我们得到如下结论：三角形的三条中线分三角形成六个小三角形，则六个小三角形的面积相等，等于三角形面积的六分之一.二、结论在解题中的应用例1 （2015•广东省）如图4，△ABC 三边的中线AD ，BE ，CF 的公共点G ，若三角形ABC 的面积为12，则图中阴影部分面积是 .分析：这是三条中线分割三角形的情形，每一个小三角形的面积是相等，且等于原来三角形面积的61，2个就是面积的31. 解：因为三角形ABC 的面积为12，所以阴影部分的面积为31×12=4. 例2 三角形的一条中线把其面积等分，试用这条规律完成下面问题：（1）把一个三角形分成面积相等的4块（至少给出两种方法）；（2）在一块均匀的三角形草地上，恰好可放养84只羊，如图5，现被两条中线分成4块， 则四边形的一块（阴影部分）恰好可放养几只羊？分析：抓住等底同高的两个三角形面积相等,依托三角形的中线性质，完成求解.解：（1）此题的答案不是唯一的，只要分割的方法合理就可以，下面给出了几种分割方法，供同学们学习时，参考.(2)根据中线分割图形与原来三角形面积之间关系知道，四边形的面积是整个图形面积的三分之一，因为是均匀分布，所以这块面积应该有 31×84=28（只）羊. 例3 如图6 所示，在△ABC 中，已知点D ，E ，F 分别为边BC ，AD ，CE 的中点， 且ABC S =42cm ，则S 阴影等于________．解：因为点D 是BC 的中点，所以ACD ABD S S =12ABC S =12×4=2. 因为点E 是AD 的中点，所以BED S S 12ABD S =12×2=1. 所以ED S S 12ACD S =12×2=1. 所以BEC S =BED S +ED S =1+1=2,因为点F 是EC 的中点，所以S =12BEC S =12×2=1. 所以S 阴影等于1. 例4 已知三角形ABC 的面积为a ，请边阅读，边完成问题的解答：1、如图7，延长BC 到D ，使得CD=BC ，则阴影部分的面积为 .2、如图8，延长BC 到D ，使得CD=BC ，延长CA 到E ，使得AE=AC ，则阴影部分的面积为 .3、如图9，延长BC 到D ，使得CD=BC ，延长CA 到E ，使得AE=AC ，延长AB 到F ，使得AB=FB ，则阴影部分的面积为 .4、如图10，延长BC 到D ，使得CD=BC ，延长CA 到E ，使得AE=AC ，延长AB 到F ，使得AB=FB ，,连接DF ，则阴影部分的面积为 ；三角形DEF 的面积是 .分析：依据条件，结合三个结论，认真分析，就能轻松完成解答.解：1、如图7，AC是三角形ABD的中线，所以阴影面积与三角形ABC的面积相等，所以应该填a；2、如图8，当我们连接AD时，不难发现三角形ACD的面积与三角形AED的面积相等，所以阴影部分的面积为2a；3、如图9，三角形AEF的面积与三角形CDE的面积是相等，所以阴影部分的面积是4a；4、如图10，三角形BFD的面积等于三角形CDE的面积，所以阴影部分的面积为6a；三角形DEF的面积为阴影部分的面积加三角形ABC的面积，所以是7a，也就是说此时三角形的面积是原来三角形ABC面积的7倍.我们不妨把得到的三角形DEF叫做三角形ABC的膨胀三角形，当CD=BC 时，膨胀三角形的面积是原来三角形面积的7倍，这个数字7我们不妨叫做三角形DEF的膨胀系数，感兴趣的读者，可以思考当延长线段是已知边长的2倍时，膨胀三角形的面积多大，膨胀系数多大？其中一般性的规律是什么？。

专题01 三角形六大重难题型一．中线分周长（分类讨论）1．如图，已知BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，且△ABD的周长为12，则△BCD的周长是10．试题分析：先根据三角形的中线、线段中点的定义可得AD＝CD，再根据三角形的周长公式即可求出结果．答案详解：解：∵BD是△ABC的中线，即点D是线段AC的中点，∴AD＝CD．∵AB＝5，△ABD的周长为12，∴AB+BD+AD＝12，即5+BD+AD＝12．解得BD+AD＝7．∴BD+CD＝7．则△BCD的周长是BC+BD+CD＝3+7＝10．所以答案是：10．2．已知AD是△ABC的中线，若△ABD与△ACD的周长分别是17和15，△ABC的周长是22，则AD的长为5．试题分析：根据三角形的周长公式列式计算即可得解．答案详解：解：∵△ABD与△ACD的周长分别是17和15，∴AB+BC+AC+2AD＝17+15＝32，∵△ABC的周长是22，∴AB+BC+AC＝22，∴2AD＝32﹣22＝10，∴AD＝5．所以答案是：5．3．如图所示，AD是△ABC的中线．若AB＝7cm，AC＝5cm，则△ABD和△ADC的周长的差为2 cm．试题分析：根据三角形中线的定义得到BD＝CD，求得△ABD和△ACD的周长差＝（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC，于是得到结论．答案详解：解：∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD，∴△ABD和△ACD的周长差＝（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC，∵AB＝7cm，AC＝5cm，∴△ABD和△ACD的周长差＝7﹣5＝2cm．所以答案是：2．二．中线之等分面积4．如图，已知△ABC中，点D、E分别是边BC、AB的中点．若△ABC的面积等于8，则△BDE的面积等于（）A．2B．3C．4D．5试题分析：根据三角形的面积公式即可得到结论．答案详解：解：∵点D是边BC的中点，△ABC的面积等于8，∴S△ABD=12S△ABC＝4，∵E是AB的中点，∴S△BDE=12S△ABD=12×4＝2，所以选：A．5．已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4cm2，则阴影部分的面积为1cm2．试题分析：易得△ABD，△ACD为△ABC面积的一半，同理可得△BEC的面积等于△ABC面积的一半，那么阴影部分的面积等于△BEC的面积的一半．答案详解：解：∵D为BC中点，根据同底等高的三角形面积相等，∴S△ABD＝S△ACD=12S△ABC=12×4＝2（cm2），同理S△BDE＝S△CDE=12S△BCE=12×2＝1（cm2），∴S△BCE＝2（cm2），∵F为EC中点，∴S△BEF=12S△BCE=12×2＝1（cm2）．所以答案是1．三．三角形的高的辨别6．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，点E在CD上，则图中以AD为高的三角形有6个．试题分析：由于AD⊥BC于D，图中共有6个三角形，它们都有一边在直线CB上，由此即可确定以AD为高的三角形的个数．答案详解：解：∵AD⊥BC于D，而图中有一边在直线CB上，且以A为顶点的三角形有6个，∴以AD为高的三角形有6个．所以答案是：6．7．如图，△ABC中，BC边所在直线上的高是线段AD．试题分析：根据三角形的高的概念解答即可．答案详解：解：△ABC中，BC边所在直线上的高是线段AD，所以答案是：AD四．多边形的内角和与外角和8．若一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是五边形．试题分析：根据多边形的内角和公式求出边数即可．答案详解：解：设多边形的边数是n，则（n﹣2）•180°＝540°，解得n＝5，所以答案是：五．9．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的值是（）A．240°B．360°C．540°D．720°试题分析：根据四边形的内角和及三角形的外角定理即可求解．答案详解：解：如图，AC、DF与BE分别相交于点M、N，在四边形NMCD中，∠MND+∠CMN+∠C+∠D＝360°，∵∠CMN＝∠A+∠E，∠MND＝∠B+∠F，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°，所以选：B．10．一个多边形的内角和等于1260°，从它的一个顶点出发，可以作对角线的条数是（）A．4B．6C．7D．9试题分析：设这个多边形的边数为n，根据多边形的内角和定理得到（n﹣2）×180°＝1260°，然后解方程即可．答案详解：解：设这个多边形的边数为n，∴（n﹣2）×180°＝1260°，解得n＝9，∴这个多边形为九边形；从这个多边形的一个顶点出发共有：9﹣3＝6（条）．所以选：B．五．三角形的内角和11．如图，在△ABC中，D是AC上一点，E是AB上一点，BD，CE相交于点F，∠A＝60°，∠ABD＝20°，∠ACE＝35°，则∠EFD的度数是（）A．115°B．120°C．135°D．105°试题分析：由△ABD的内角和为180°，可以求∠ADB，由△AEC内角和为180°，可以求∠AEC，再根据四边形AEFD内角和为360°，可求∠EFD．答案详解：解：在△AEC中，∠A+∠ACE+∠AEC＝180°，∴∠AEC＝180°﹣∠A﹣∠ACE＝180°﹣60°﹣35°＝85°，在△ABD中，∠A+∠ABD+∠ADB＝180°，∴∠ADB＝180°﹣∠A﹣∠ABD＝180°﹣60°﹣20°＝100°，在四边形AEFD中，∠A+∠AEC+∠ADB+2∠EFD＝360°，∴∠EFD＝360°﹣∠A﹣∠AEC﹣∠ADB＝360°﹣60°﹣85°﹣100°＝115°，所以选：A．12．如图，△ABC中，∠BAC＞∠B，∠C＝70°，将△ABC折叠，使得点B与点A重合，折痕PD 分别交AB、BC于点D、P，当△APC中有两个角相等时，∠B的度数为（）A．35°或20°B．20°或27.5°C．35°或25°或32.5°D．35°或20°或27.5°试题分析：分三种情况，利用三角形的内角和定理、等腰三角形的性质先求出∠APC的度数，再利用折叠的性质和三角形的内角和定理求出∠B．答案详解：解：由折叠的性质知：∠BPD＝∠APD=12∠BP A，∠BDP＝∠ADP＝90°．当AP＝AC时，∠APC＝∠C＝70°，∵∠BPD=12（180°﹣∠APC）＝55°，∴∠B＝90°﹣55°＝35°；当AP＝PC时，∠P AC＝∠C＝70°，则∠APC＝40°．∵∠BPD=12（180°﹣∠APC）＝70°，∴∠B＝90°﹣70°＝20°；当PC＝AC时，∠APC＝∠P AC，则∠APC＝55°．∵∠BPD=12（180°﹣∠APC）＝62.5°，∴∠B＝90°﹣62.5°＝27.5°．所以选：D．13．如图，∠ABD，∠ACD的角平分线交于点P，若∠A＝48°，∠D＝10°，则∠P的度数为（）A．19°B．20°C．22°D．25°试题分析：延长PC交BD于E，根据角平分线的定义可得∠1＝∠2，∠3＝∠4，再根据三角形的内角和定理可得∠A+∠1＝∠P+∠3，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠5，整理可得∠P=12（∠A﹣∠D），然后代入数据计算即可得解．答案详解：解：如图，延长PC交BD于E，∵∠ABD，∠ACD的角平分线交于点P，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，由三角形的内角和定理得，∠A+∠1＝∠P+∠3①，在△PBE中，∠5＝∠2+∠P，在△DCE中，∠5＝∠4﹣∠D，∴∠2+∠P＝∠4﹣∠D②，①﹣②得，∠A﹣∠P＝∠P+∠D，∴∠P=12（∠A﹣∠D），∵∠A＝48°，∠D＝10°，∴∠P=12（48°﹣10°）＝19°．所以选：A．14．如图，在△ABC中，∠B＝28°，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数是（）A．42°B．46°C．52°D．56°试题分析：根据折叠得出∠D＝∠B＝28°，根据三角形的外角性质得出∠1＝∠B+∠BEF，∠BEF ＝∠2+∠D，求出∠1＝∠B+∠2+∠D即可．答案详解：解：∵∠B＝28°，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，∴∠D＝∠B＝28°，∵∠1＝∠B+∠BEF，∠BEF＝∠2+∠D，∴∠1＝∠B+∠2+∠D，∴∠1﹣∠2＝∠B+∠D＝28°+28°＝56°，所以选：D．15．如图，将△ABC沿DE、HG、EF翻折，三个顶点均落在点O处，若∠1＝131°，则∠2的度数为（）A．49°B．50°C．51°D．52°试题分析：先根据折叠性质得：∠HOG＝∠B，∠DOE＝∠A，∠EOF＝∠C，根据三角形内角和为180°和周角360°求出结论．答案详解：解：由折叠得：∠HOG＝∠B，∠DOE＝∠A，∠EOF＝∠C，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠HOG+∠DOE+∠EOF＝180°，∵∠1+∠2+∠HOG+∠DOE+∠EOF＝360°，∴∠1+∠2＝180°，∵∠1＝131°，∴∠2＝180°﹣131°＝49°，所以选：A．16．如图，在△ABC中，∠1＝100°，∠C＝80°，∠2=12∠3，BE平分∠ABC交AD于E，求∠4的度数．试题分析：首先根据三角形的外角的性质求得∠3，再根据已知条件求得∠2，进而根据三角形的内角和定理求得∠ABD，再根据角平分线的定义求得∠ABE，最后根据三角形的外角的性质求得∠4．答案详解：解：∵∠1＝∠3+∠C，∠1＝100°，∠C＝80°，∴∠3＝20°，∵∠2=12∠3，∴∠2＝10°，∴∠ABC＝180°﹣100°﹣10°＝70°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝35°，∵∠4＝∠2+∠ABE，∴∠4＝45°．17．如果在直角三角形中，一个锐角是另一个锐角的3倍，那么这个三角形中最小的一个角等于22.5度．试题分析：在直角三角形中，设最小的锐角的度数为x，则另一个锐角的度数则为3x．由“直角三角形的两个锐角互余”的性质知，x+3x＝90°．通过解方程即可求得x的值．答案详解：解：在直角三角形中，设最小的锐角的度数为x，则另一个锐角的度数则为3x．则x+3x＝90°，即4x＝90°，解得，x＝22.5°，即这个直角三角形中最小的一个角等于22.5°．所以答案是：22.5．六．新定义类18．新定义：在△ABC中，若存在最大内角是最小内角度数的n倍（n为大于1的正整数），则称△ABC为“n倍角三角形”．例如，在△ABC中，若∠A＝90°，∠B＝60°，则∠C＝30°，因为∠A最大，∠C最小，且∠A＝3∠C，所以△ABC为“3倍角三角形”．（1）在△DEF中，若∠E＝40°，∠F＝60°，则△DEF为“2倍角三角形”．（2）如图，在△ABC中，∠C＝36°，∠BAC、∠ABC的角平分线相交于点D，若△ABD为“6倍角三角形”，请求出∠ABD的度数．试题分析：（1）根据三角形内角和定理求出∠D，根据n倍角三角形的定义判断；（2）根据角平分线的定义、三角形内角和定理求出∠ADB，n倍角三角形的定义分情况讨论计算，得到答案．答案详解：解：（1）在△DEF中，∠E＝40°，∠F＝60°，则∠D＝180°﹣∠E﹣∠F＝80°，∴∠D＝2∠E，∴△DEF为“2倍角三角形”，所以答案是：2；（2）∵∠C＝36°，∴∠BAC+∠ABC＝180°﹣36°＝144°，∵∠BAC、∠ABC的角平分线相交于点D，∴∠DAB=12∠BAC，∠DBA=12∠ABC，∴∠DAB+∠DBA=12×144°＝72°，∴∠ADB＝180°﹣72°＝108°，∵△ABD为“6倍角三角形”，∴∠ADB＝6∠ABD或∠ADB＝6∠BAD，当∠ADB＝6∠ABD时，∠ABD＝18°，当∠ADB＝6∠BAD时，∠BAD＝18°，则∠ABD＝180°﹣108°﹣18°＝54°，综上所述，∠ABD的度数为18°或54°．19．在△ABC中，若存在一个内角角度是另外一个内角角度的n倍（n为大于1的正整数），则称△ABC为n倍角三角形．例如，在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝75°，∠C＝25°，可知∠B＝3∠C，所以△ABC为3倍角三角形．（1）在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝60°，则△ABC为2倍角三角形；（2）若锐角三角形MNP是3倍角三角形，且最小内角为α，请直接写出α的取值范围为22.5°＜α＜30°．（3）如图，直线MN与直线PQ垂直相交于点O，点A在射线OP上运动（点A不与点O重合），点B在射线OM上运动（点B不与点O重合）．延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线所在的直线分别相交于E、F，若△AEF为4倍角三角形，求∠ABO的度数．试题分析：（1）由∠A＝80°，∠B＝60°，可求∠C的度数，发现内角之间的倍数关系，得出答案，（2）△DEF是3倍角三角形，必定有一个内角是另一个内角的3倍，然后根据这两个角之间的关系，分情况进行解答，（3）首先证明∠EAF＝90°，分两种情形分别求出即可．答案详解：解：（1）∵∠A＝80°，∠B＝60°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝40°，∴∠A＝2∠C，∴△ABC为2倍角三角形，所以答案是：2；（2）∵最小内角为α，∴3倍角为3α，由题意可得：3α＜90°，且180°﹣4α＜90°，∴最小内角的取值范围是22.5°＜α＜30°．所以答案是22.5°＜α＜30°．（3）∵AE 平分∠BAO ，AF 平分∠AOG ，∴∠EAB ＝∠EAO ，∠OAF ＝∠F AG ，∴∠EAF ＝∠EAO +∠OAF =12（∠BAO +∠OAG ）＝90°，∵△EAF 是4倍角三角形，∠F 显然大于∠E ,∴∠E =14×90°或15×90°， ∵AE 平分∠BAO ，OE 平分∠BOQ ，∴∠E =12∠ABO ，∴∠ABO ＝2∠E ，∴∠ABO ＝45°或36°．20．在△ABC 中，若存在一个内角角度，是另外一个内角角度的n 倍（n 为大于1的正整数），则称△ABC 为n 倍角三角形．例如，在△ABC 中，∠A ＝80°，∠B ＝75°，∠C ＝25°，可知∠B ＝3∠C ，所以△ABC 为3倍角三角形．（1）在△ABC 中，∠A ＝55°，∠B ＝25°，则△ABC 为 4 倍角三角形；（2）若△DEF 是3倍角三角形，且其中一个内角的度数是另外一个内角的余角的度数的13，求△DEF 的最小内角；（3）若△MNP 是2倍角三角形，且∠M ＜∠N ＜∠P ＜90°，请直接写出△MNP 的最小内角的取值范围．试题分析：（1）由∠A ＝55°，∠B ＝25°，可求∠C 的度数，发现内角之间的倍数关系，得出答案，（2）△DEF 是3倍角三角形，必定有一个内角是另一个内角的3倍，然后根据这两个角之间的关系，分情况进行解答，（3）可设未知数表示2倍角三角形的各个内角，然后列不等式组确定最小内角的取值范围． 答案详解：解：（1）∵∠A ＝55°，∠B ＝25°，∴∠C ＝180°﹣∠A ﹣∠B ＝100°，∴∠C ＝4∠B ，所以答案是：4（2）设最小的内角为x °，则3倍角为3x °①当最小的内角的度数是3倍内角的余角的度数的13时， 即：x =13（90°﹣3x ），解得：x ＝15°②3倍内角的度数是最小内角的余角的度数的13时， 即：3x =13（90°﹣x ），解得：x ＝9°，因此，△DEF 的最小内角是9°或15°．（3）设∠M 的度数为x ，则其它的两个角分别为2x ，（180°﹣3x ），由∠M ＜∠N ＜∠P ＜90°可得：2x ＜90°且180°﹣3x ＜90°且2x ≠180°﹣3x∴30°＜x ＜45°且x ≠36°．答：△MNP 的最小内角的取值范围是30°＜x ＜45°且x ≠36°．21．若△ABC 中刚好有∠B ＝2∠C ，则称此三角形为“可爱三角形”，并且∠A 称作“可爱角”．现有一个“可爱且等腰的三角形”，那么聪明的同学们知道这个三角形的“可爱角”应该是（ ）A ．45°或36°B ．72°或36°C ．45°或72°D ．45°或36°或72° 试题分析：分设三角形底角为α，顶角为2α或设三角形的底角为2α，顶角为α，根据三角形的内角和为180°，得出答案．答案详解：解：①设三角形底角为α，顶角为2α，则α+α+2α＝180°，解得：α＝45°，②设三角形的底角为2α，顶角为α，则2α+2α+α＝180°，解得：α＝36°，∴2α＝72°，∴三角形的“可爱角”应该是45°或72°，所以选：C．22．若三角形满足一个角α是另一个角β的3倍，则称这个三角形为“智慧三角形”，其中α称为“智慧角”．在有一个角为60°的“智慧三角形”中，“智慧角”是60或90度．试题分析：根据“智慧三角形”及“智慧角”的意义，列方程求解即可．答案详解：解：在有一个角为60°的三角形中，①当另两个角分别是100°、20°时，“智慧角”是60°；②α+β＝120°且α＝3β，∴α＝90°．，即“智慧角”是90°．所以答案是：60或90．。

专题03 三角形的中线与面积【专题解读】在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线．由“等底同高”可知，三角形的一条中线能把这个三角形分成面积相等的两部分．利用这一性质，再进行适当拓展延伸，我们还可解决许多其他的等分点问题．反过来，在解决许多有关多边形(如三角形、四边形等)的面积问题时，如果我们能够快速地联想到“三角形的中线等分三角形面积”这一性质，那么往往可以事半功倍．思维索引例1．(1)如图，△ABC 中，D 为AB 的中点，E 为DF 的中点．①作出△AED 中的高AH ；②连接BF ，当AH ＝4，DF ＝5时，求△BDF 面积．DABECF(2)如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12，BC ＝9，AB ＝15，若动点P 从点C 开始，按C →A →B →C 的路径运动，且速度为每秒3个单位，设运动的时间为t 秒． ①当t ＝ 时，CP 把△ABC 的面积分成相等的两部分；②当t ＝5时，CP 把△ABC 分成的两部分面积之比是S △APC ︰S △BPC ＝ ； ③当t ＝ 时，△BPC 的面积为18．ACBB CA备用图例2．如图1，在△ABC 中，中线AM 可以将△ABC 分成两个面积相等的三角形，即S △ABM ＝S △ACM ．(1)请在图2，图3中，用两种不同的方法将图中的四边形ABCD 分成4个面积相等的小三角形； (2)如图4，在四边形ABCD 的边上找到一点E ，使得线段AE 将四边形ABCD 分为面积相等的两部分．DABCC BADM AB CDABC图1图2图3图4例3．(1)已知：△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，P 是AD 上的一点，若△ABC 的面积为s ，①当点P 是AD 的中点(即PD ＝21AD )时，△PBC 的面积＝ (用含s 的代数式表示)； ②当PD ＝31AD 时，△PBC 的面积＝ (用含s 的代数式表示)；③当PD ＝n1AD 时，△PBC 的面积＝ (用含s 、n 的代数式表示)． A PC(2)如图，△ABC 的面积为12cm 2．D 是AB 边的中点，E 为AC 边上一点，且AE ＝2EC ．O 为DC 与BE 的交点．若△DBO 的面积为acm 2，△CEO 的面积为bcm 2，求a －b ．OE BDCA例4．(1)如图1，在△ABD 中，BE 是△ABD 的中线，则有S △ABE ＝ S △ABD ．(2)在四边形ABCD 中，E 是AD 边上的动点，分别连接AC 、BD 、EB 和EC ，设△EBC 的面积为S 1，△ABC 的面积为S 2，△DBC 的面积为S 3． ①如图2，当AE ＝21AD 时，试探究S 1，S 2，S 3之间的关系，并写出求解过程； ②如图3，当AE ＝n1AD (n 表示正整数)时，试探究S 1，S 2，S 3之间的关系． (直接给出答案，不必求解过程)DABEC CBADEBAD E 图3图2图1素养提升1．如图，在△ABC 中，E 、F 分别是AD 、CE 边的中点，且24BEF S cm ∆=，则ABC S ∆为（ ）A .21cmB . 22cmC . 28cmD . 216cm2．如图，在△ABC 中E 是BC 上的一点，EC=2BE ，点D 是AC 的中点，设△ABC ，△BEF 的面积分别为,ABC BEF S S ∆∆，且12ABC S ∆=，则BEF S ∆=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．如图，三角形ABC 内的线段BD 、CE 相交于点F ，已知FB=FD ，FC=2FE .若△BFC 的面积为2，则四边形AEFD 的面积等于（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7CABDBB第1题图 第2题图 第3题图4．如图，△ABC 三边的中线AF ，BD ，CE 的公共点为G ，若12ABC S ∆=，则图中△BEG 与△CDG 的面积和是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5BCBFB第4题图 第5题图 第6题图5．如图，G 为△ABC 内一点，连接AG 、BG 、CG 并延长分别交边BC 、AC 、AB 于点F 、D 、E ，则把△ABC 分成六个小三角形，其中四个小三角形面积已在图上标明，则△ABC 的面积为（ ） A ．300 B ．315 C ．279 D ．3426．如图，AE 、BD 是△ABC 的两条中线，AE 、BD 交于F ，则△BEF 和△AFD 面积的大小关系是_______________.7．如图，△ABC 的中线BD 、CE 相交于点G ，GF ⊥BC ，且AB=6，BC=5，AC=3，GF=2，则四边形ADGE 的面积是_________.8．如图，在△ABC 中，点D 是BC 边上任意一点，点F 是线段AD 的中点，点E 、点G 分别为BF 与CF 的中点，则:ABC EFGD S S ∆四边形=_____________.9．如图，在△ABC 中，已知点D 、E 、F 分别是BC 、AD 、BE 上的中点，且△ABC 的面积为122cm ，则△ABF 的面积为___________2cm .EDFGCABFEB第7题图 第8题图 第9题图10．如图，在长方形ABCD 中，AB=8cm ，BC=6cm ，点E 是CD 边上的一点，且DE=2cm ，动点P 从A 点出发，以2cm /s 的速度沿A →B →C →E 运动，最终到达点E .当△APE 的面积等于202cm 时，则点P 运动的时间________________s .CDFEBC第10题图 第11题图11．如图，已知△ABC ，请你用两种不同的方法把它分成面积之比为1：2：3的三个三角形。

解题方法及提分突破训练:面积法专题用面积法解几何问题是一种重要的数学方法,在初中数学中有着广泛的应用，这种方法有时显得特别简捷，有出奇制胜、事半功倍之效.一．真题链接1。

（2012 济南模拟)圆柱的底面周长为2π，高为1，则圆柱的侧面展开图的面积为2。

（2012•东营）如图,在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 在坐标原点，边OA 在x 轴上,OC 在y 轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC 关于点O 位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC 面积的41 ,那么点B′的坐标是（ ）A. (—2，3） B 。

（2，—3） C 。

（3，-2）或（—2，3) D.(-2,3）或（2，-3） 3．（2012 呼和浩特）如图是某几何体的三视图及相关数据（单位：cm),则该几何体的侧面积为 cm ．4。

(2012•潍坊）如图，三角形ABC 的两个顶点B 、C 在圆上，顶点A 在圆外，AB 、AC 分别交圆于E 、D 两点，连接EC 、BD ． (1）求证：△ABD ∽△ACE ；(2)若△BEC 与△BDC 的面积相等,试判定三角形ABC 的形状5.（2012•宜宾）如图，在四边形ABCD 中,DC ∥AB,CB ⊥AB,AB=AD ，CD=21，AB ，点E 、F 分别为AB 、AD 的中点，则△AEF 与多边形BCDFE 的面积之比为( ) A 。

71 B 。

61 C 。

51 D 。

41二名词释义平面几何中讲的面积公式以及由面积公式推出的与面积计算有关的性质定理，不仅可用于计算面积,而且用它来证明平面几何题有时会收到事半功倍的效果。

运用面积关系来证明或计算平面几何题的方法，称为面积方法，它是几何中的一种常用方法。

用归纳法或分析法证明平面几何题，其困难在添置辅助线。

面积法的特点是把已知和未知各量用面积公式联系起来，通过运算达到求证的结果。

所以用面积法来解几何题，几何元素之间关系变成数量之间的关系，只需要计算，有时可以不添置补助线,即使需要添置辅助线，也很容易考虑到。

第5讲例说三角形中线等分面积的应用如图1，线段AD 是△ABC 的中线，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，则S △ABD ＝12BD ·AE ，S △ADC ＝12DC ·AE ，因为BD ＝DC ，所以S △ABD ＝S △ADC 。

因此，三角形的中线把△ABC 分成两个面积相等的三角形.利用这一性质，可以解决许多有关面积的问题。

一、求图形的面积例1、如图2，长方形ABCD 的长为a ，宽为b ，E 、F 分别是BC 和CD 的中点，DE 、BF 交于点G ，求四边形ABGD 的面积.分析：因为E 、F 分别是BC 和CD 的中点，则连接CG 后，可知GF 、GE 分别是△DGC 、△BGC 的中线，而由S △ＢＣＦ=S △ＤＣＥ=4ab，可得S △ＢＥＧ=S △ＤＦＧ，所以△DGF 、△CFG 、△CEG 、△BEG 的面积相等，问题得解。

解：连接CG ，由E 、F 分别是BC 和CD 的中点，所以S △ＢＣＦ=S △ＤＣＥ=4ab，从而得S △ＢＥＧ=S △ＤＦＧ，可得△DGF 、△CFG 、△CEG 、△BEG 的面积相等且等于31×4ab =12ab ，因此S 四边形ＡＢＧＤ=ab －4×12ab =32ab。

例2、在如图3至图5中，△ABC 的面积为a ．（1）如图2, 延长△ABC 的边BC 到点D ，使CD =BC ，连结DA ．若△ACD 的面积为S 1，则S 1=________（用含a 的代数式表示）；（2）如图3，延长△ABC 的边BC 到点D ，延长边CA 到点E ，使CD =BC ，AE =CA ，连结DE ．若△DEC 的面积为S 2，则S 2=__________（用含a 的代数式表示），并写出理由；（3）在图4的基础上延长AB 到点F ，使BF =AB ，连结FD ，FE ，得到△DEF （如图6）．若阴影部分的面积为S 3，则S 3=__________（用含a 的代数式表示）．发现：像上面那样，将△ABC 各边均顺次延长一倍，连结所得端点，得到△DEF （如图6），此时，我们称△ABC 向外扩展了一次．可以发现，扩展一次后得到的△DEF 的面积是原来△ABC 面积的_______倍．图1图2图4F 图5图3应用：去年在面积为10m 2的△ABC 空地上栽种了某种花卉．今年准备扩大种植规模，把△ABC 向外进行两次扩展，第一次由△ABC 扩展成△DEF ，第二次由△DEF 扩展成△MGH （如图5）．求这两次扩展的区域（即阴影部分）面积共为多少m 2？分析：从第1个图可以发现AC 就是△ABD 的中线，第2个图通过连接DA ，可得到△ECD 的中线DA ，后面扩展的部分都可以通过这样的方法得到三角形的中线，从而求出扩展部分的面积，发现规律。

一、中线等分三角形面积我们知道：对称轴平分轴对称图形的面积、过对称中心的直线平分中心对称图形的面积.下面研究的是“三角形的中线平分三角形面积”的用法.解法归一：遇等分多边形面积题目时，最常用的方法是把多边形先转化为三角形，再借助中线等分三角形面积来解决.例3 -1 -1 （1）你用三种不同的方法把图3-l-l①~图3-l -1③中△ABC的面积四等分．图3-l-l①图3-l-1②图3-l-1③交流分享：三角形中线等分三角形面积！连续使用中线，可把一个三角形的面积n等分.（2）请你在图3-1-1④~3-1-1⑥中用三种不同的方法把梯形ABCD的面积二等分.图3-l-2④图3-l -2⑤图3-l -2⑥交流分享：（1）先把多边形转化为三角形，再利用中线，可等分一个多边形的面积；（2）借助一腰中点，把梯形转化为一个与它面积相等的三角形，是梯形常用的辅助线之一.例3-1-2 （1）如图3-1-2①，过点A画一条平分△ABC面积的直线；（2）如图3-1-2②，已知l1∥l2，点E、F在l1上，点G，H在l2上，试说明△EGO与△FHO面积相等的理由；（3）如图3-1-2③，点M在△ABC的边上，过点M画一条平分三角形面积的直线，写出画法．图3-1-2①图3-1-2②图3-1-2③交流分享：解决（3）需要把（1）、（2）结合起来用.即从图中给定的一点等分图形的面积时，先用中线找出一种分割法，再在此基础上利用“平行线下的同底等高面积相等”进行等积转化，根据定点的不同，可得不同的面积等分线.体验与感悟03-11、定义：“把一个平面图形的面积分成相等的两部分的直线叫做这个图形的一条面积等分线．”（1）三角形的中线、高线、角平分线分别所在的直线一定是三角形的面积等分线的是__________；（2）平行四边形的一条面积等分线是________；（3）请你尝试用不少于三种方法画出下列图形面积等分线．分享交流：当进行多边形的面积问题探究遇到困难时，将它转化为三角形，再去思考，常有奇效.2、如图3-1-2，已知△ABC 的面积为a.延长△ABC 的边BC 到点D ，延长边CA 到点E ，延长边AB 到点F,使CD=BC ，AE=CA ，BF=AB,连接DE 、DF 、FE ，得到△DEF ，此时我们称△ABC 向外扩展了一次．可以发现，扩展一次后得到的△DEF 的面积是原来△ABC 面积的____________倍．扩展了n 次后得到的△DEF 的面积是原来△ABC 面积的____________倍．图 3-1-3 图3-1-4①3、如图3-1-4中，E 、G 、F 、H 分别为任意四边形ABCD 的边AD 、AB 、BC 、CD 的中点. （1）在图3-1-4①中，四边形EBFD 的面积与四边形ABCD 的面积关系是 ；（2）在图3-1-4②中，如果阴影部分的面积为20，则S 1+S 2+S 3+S 4= __________．图3-1-4②4、定义：我们把被三角形一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”.如图3-1-5①，在△ABC 中，CD 是边上的中线，那么△ACD 和△BCD 是“友好三角形”，并且BCD ACD S S △△=.应用：如图3-1-5②，在矩形ABCD 中，AB=4，BC=6，点E 在AD 上，点F 在BC 上，AE=BF ，AF 与BE 交于点O.（1）求证：△AOB 与△AOE 是“友好三角形”；（2）连接OD ，若△AOE 和△DOE 是“友好三角形”，求四边形CDOF 的面积.图3-1-5① 图3-1-5②探究：在△ABC 中，∠A=30°，AB=4，点D 在线段AB 上，连接CD ，△ACD 和△BCD 是“友好三角形”，将△ACD 沿CD 所在直线翻折，得到CD A '△，若CDA '△与△ABC 重合部分的面积等于△ABC 面积的41，请直接写出△ABC 的面积.提醒：遇等分多边形面积怎么下手？。

思维特训(十一)几何图形的面积等分方法点津面积等分基本模型：1．三角形的中线把三角形面积等分；2．夹在两条平行线间的距离相等，同底等高的两个三角形面积相等；3．过平行四边形对角线中点(对称中心)的任意一条直线把平行四边形面积等分．典题精练类型一作一个图形的面积等于已知图形1．(1)如图11－S－1①，已知直线m∥n，点A，B在直线n上，点C，P在直线m上．①写出图①中面积相等的三角形：________；②当点P在直线m上移动到任一位置时，总有________与△ABC的面积相等；(2)如图11－S－1②，已知一个五边形ABCDE，你能否过点E作一条直线交BC(或其延长线)于点M，使四边形ABME的面积等于五边形ABCDE的面积？图11－S－1类型二等分面积2．阅读下列材料：小明遇到一个问题：AD是△ABC的中线，M为BC边上任意一点(不与点D重合)，过点M作一直线，使其等分△ABC的面积．他的作法是：如图11－S－2①，连接AM，过点D作DN∥AM交AC于点N，作直线MN，直线MN即为所求直线．请你参考小明的作法，解决下列问题：(1)如图②，在四边形ABCD中，AE平分四边形ABCD的面积，M为CD边上一点，过点M作一直线MN，使其等分四边形ABCD的面积(要求：在图②中画出直线MN，并保留作图痕迹)；(2)如图③，求作过点A的直线AE，使其等分四边形ABCD的面积(要求：在图③中画出直线AE，并保留作图痕迹)．图11－S－23．有一些几何图形可以被某条直线分成面积相等的两部分，我们将“把一个几何图形分成面积相等的两部分的直线叫做该图形的二分线”，如三角形的中线所在的直线一定是三角形的“二分线”．解决下列问题：(1)在图11－S－3①中，试用三种不同的方法分别画出平行四边形ABCD的“二分线”；(2)解决问题：兄弟俩分家时，有原来共同承包的一块平行四边形田地ABCD，现要进行平均划分，由于在这块地里有一口井P，如图②所示，为了兄弟俩都能方便使用这口井，兄弟俩在划分时犯难了，聪明的你能帮他们解决这个问题吗(画图，并说明结果)?图11－S－34．我们把能平分四边形面积的直线称为“好线”．利用下面的作图，可以得到四边形的“好线”：如图11－S－4①，在四边形ABCD中，取对角线BD的中点O，连接OA，OC，AC.显然，折线AOC能平分四边形ABCD的面积，再过点O作OE∥AC交CD于点E，则直线AE即为一条“好线”．(1)试说明：直线AE是“好线”的理由；(2)如图②，AE为一条“好线”，F为AD边上的一点，请作出经过点F的“好线”，并对画图作适当说明(不需要说明理由)．图11－S－45．自定义：在一个图形上画一条直线，若这条直线既平分该图形的面积，又平分该图形的周长，我们称这条直线为这个图形的“等分积周线”．(1)如图11－S－5①，已知△ABC，AC≠BC，过点C能否画出△ABC的一条“等分积周线”？若能，说出确定的方法；若不能，请说明理由．(2)如图②，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，EF垂直平分AD，垂足为F，交BC 于点E，已知AB＝3，BC＝8，CD＝5.求证：直线EF为四边形ABCD的“等分积周线”．(3)如图③，在△ABC中，AB＝BC＝6，AC＝8，请你作出△ABC的一条“等分积周线”EF(要求：直线EF不过△ABC的顶点，交边AC于点F，交边BC于点E)，并说明理由．图11－S－5典题讲评与答案详析1．解：(1)①图①中符合条件的三角形有：△CAB与△P AB，△BCP与△APC，△ACO 与△BPO.②△P AB(2)如图，连接EC，过点D作直线DM∥EC交BC的延长线于点M，作直线EM，直线EM即为所求的直线．2．解：(1)如图①，连接AM，过点E作EN∥AM，交AD于点N，再作直线MN即可．(2)如图②，取对角线BD的中点O，连接AO，CO，AC，过点O作OE∥AC交CD于点E，直线AE就是所求直线．3．解：(1)答案不唯一，示例如下：(2)能解决这个问题．连接AC，BD相交于点O，过点O，P作直线与DC，AB分别交于点E，F，如图所示．则一人分四边形ADEF，一人分四边形CEFB.4．解：(1)∵OE∥AC，∴S△AOE＝S△COE，∴S△AOF＝S△CEF.又∵折线AOC能平分四边形ABCD的面积，∴直线AE平分四边形ABCD的面积，即AE是“好线”．(2)连接EF，过点A作EF的平行线交CD于点G，连接FG，则FG为一条“好线”．∵AG∥EF，∴S△AGE＝S△AFG. 设AE与FG的交点是O，则S△AOF＝S△GOE.又∵AE为一条“好线”，∴FG为一条“好线”．5．解：(1)不能．理由：如图①，取AB的中点D，连接CD，则S△ADC＝S△DBC，且过点C只能画CD一条直线平分△ABC的面积．∵AC≠BC，∴AD＋AC≠BD＋BC，∴过点C不能画出△ABC的一条“等分积周线”．(2)证明：如图②，连接AE，DE，设BE＝x，∵EF垂直平分AD，∴AE＝DE，AF＝DF，S△AEF＝S△DEF.∵∠B＝∠C＝90°，AB＝3，BC＝8，CD＝5，∴在Rt△ABE和Rt△DCE中，根据勾股定理，得AB2＋BE2＝CE2＋DC2，即32＋x2＝(8－x)2＋52，解得x＝5，∴BE＝5，CE＝3，∴AB＋BE＝CE＋DC，S△ABE＝S△DCE.∴AF＋AB＋BE＝DF＋CE＋DC.∵S四边形ABEF＝S△ABE＋S△AEF，S四边形DCEF＝S△DEF＋S△DCE，∴S四边形ABEF＝S四边形DCEF，∴直线EF为四边形ABCD的“等分积周线”．(3)如图③，在AC上取一点F，使得FC＝AB＝6，在BC上取一点E，使得BE＝2，作直线EF，则直线EF是△ABC的“等分积周线”．理由：由作图可得AF＝AC－FC＝8－6＝2，在CB上取一点G，使得CG＝AF＝2.∵AB ＝BC，∴∠A＝∠C.在△ABF和△CFG中，AF＝CG，∠A＝∠C，AB＝CF，∴△ABF≌△CFG(SAS)，∴S△ABF＝S△CFG.又易得BE＝EG＝2，∴S△BFE＝S△EFG，∴S△EFC＝S四边形ABEF，AF＋AB＋BE＝CE＋CF＝10，∴直线EF是△ABC的“等分积周线”．。

中线等分三角形面积以中线等分三角形面积为题，我们将探讨如何通过中线等分三角形的面积。

在开始之前，让我们先回顾一下中线以及面积的概念。

中线是连接三角形一个顶点和对边中点的线段。

每个三角形都有三条中线，它们交叉于一个共同的点，称为重心。

重心是三角形的一个特殊点，它将三角形分成六个小三角形，其中每个小三角形的面积都相等。

面积是一个平面图形所占据的空间大小的度量。

对于三角形来说，我们可以使用基础公式：面积等于底乘以高的一半。

而对于等边三角形，我们可以使用特定的公式：面积等于边长的平方乘以根号三除以四。

现在，我们来探讨如何通过中线等分三角形的面积。

假设我们有一个任意的三角形ABC，我们的目标是找到三条中线，然后将三角形分成六个面积相等的小三角形。

我们需要找到三角形的三个顶点，并确定它们的坐标。

然后，我们可以使用坐标几何的方法来计算中线的端点坐标。

对于每条中线，我们可以通过将对边的两个顶点坐标相加，然后除以2来获得中线的中点坐标。

一旦我们找到了三条中线的中点坐标，我们可以使用这些坐标来构建三个新的小三角形。

每个小三角形由重心和两个中点组成。

然后，我们可以使用三角形面积公式来计算每个小三角形的面积。

为了证明这六个小三角形的面积是相等的，我们可以使用几何证明或者向量证明。

对于几何证明，我们可以通过将三角形的顶点连接起来，形成一系列平行四边形，并利用平行四边形的性质来证明这六个小三角形的面积相等。

对于向量证明，我们可以使用向量的线性组合来表示每个小三角形的面积，并证明它们相等。

总结一下，通过找到三角形的中线，我们可以将三角形分成六个面积相等的小三角形。

这可以通过计算每个小三角形的面积来实现，使用三角形面积公式以及中点坐标的计算。

通过几何证明或向量证明，我们可以证明这六个小三角形的面积相等。

在实际应用中，等分三角形的面积可以有多种用途。

例如，在建筑设计中，我们可以通过等分三角形的面积来平衡结构的重量分布，从而提高建筑物的稳定性。