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初中数学如何使用中线定理计算三角形的面积要使用中线定理计算三角形的面积，需要已知三角形的三条边的长度。
中线定理的表达式为：S = (1/4) * √(2a² + 2b² - c²) * √(2a² - 2b² + c²)其中，S表示三角形的面积，a、b、c表示三角形的三条边的长度。
具体计算步骤如下：1. 已知三个边的长度。
假设已知的边长为a、b、c。
2. 计算两条中线的长度。
根据中线定理，三角形的中线长度分别为：m₁ = 1/2 * √(2b² + 2c² - a²)m₂ = 1/2 * √(2a² + 2c² - b²)3. 根据中线定理的表达式，将已知的边长和中线长度代入：S = (1/4) * √(2a² + 2b² - c²) * √(2a² - 2b² + c²)4. 根据已知的边长和中线长度，进行计算：S = (1/4) * √(2a² + 2b² - c²) * √(2a² - 2b² + c²)5. 使用计算器或手动计算，得到三角形的面积。
以上步骤适用于已知三个边的长度，想要通过中线定理计算三角形的面积。
根据已知的数据和需要计算的面积，计算两条中线的长度，代入中线定理的表达式进行计算，可以得到三角形的面积。
需要注意的是，计算出来的面积是三角形的面积，单位为平方单位。
当计算面积时，需要确保边长和中线长度的单位一致。
总结起来，使用中线定理计算三角形的面积需要已知三个边的长度。
通过计算两条中线的长度，代入中线定理的表达式进行计算，可以得到三角形的面积。
根据题目给出的条件和需要，选择合适的边进行计算即可。
三角形的中线与面积的三个重要结论三角形的中线与三角形的面积有着密切的关系，下面就来探讨一下这个话题.一、三角形的中线与面积1、三角形的一条中线与面积如图1，AD 是三角形ABC 的中线，则ABD S 三角形=ACD S 三角形=21ABC S 三角形.证明：因为AD 是三角形的中线，所以BD=CD ，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，则ABD S 三角形=21×BD ×AE,ACD S 三角形=21×CD ×AE ，所以ABD S 三角形=ACD S 三角形， 所以ABD S 三角形=ACD S 三角形=21ABC S 三角形. 由此得到如下结论：1、等底同高的两个三角形面积相等.2、三角形的一条中线分原来三角形所成的两个三角形面积相等.2、三角形的二条中线与面积如图2，AD ，BE 是三角形ABC 的中线，则①BDF S 三角形=AEF S 三角形；②ABF S 三角形=CDFE S 四边形； ③ABF S 三角形=CDFE S 四边形=2BDF S 三角形=2AEF S 三角形=31ABC S 三角形.证明：因为AD 、BE 是三角形的中线，所以ABD S 三角形=ACD S 三角形，ABE S 三角形=BCE S 三角形， 所以BDF S 三角形+ABF S 三角形=AEF S 三角形+CDFE S 四边形---（1），AEF S 三角形+ABF S 三角形=BDF S 三角形+CDFE S 四边形——-（2），（1）—（2）得 BDF S 三角形-AEF S 三角形=AEF S 三角形-BDF S 三角形，所以BDF S 三角形=AEF S 三角形； 因为BDF S 三角形+ABF S 三角形=AEF S 三角形+CDFE S 四边形，所以ABF S 三角形=CDFE S 四边形；如图2，连接CF ，易得BDF S 三角形=CDF S 三角形=AEF S 三角形=CEF S 三角形,所以ABF S 三角形=CDFE S 四边形=2BDF S 三角形=2AEF S 三角形=31ABC S 三角形. 由此得到如下结论：1、三角形的两条中线分原来三角形所成的四个图形中，对顶的两个图形面积相等.2、三角形的两条中线分原来三角形所成的四个图形中，四边形的面积等于不对顶三角形面积的2倍.3、三角形的三条中线与面积如图3，AD ，BE,CF 是三角形ABC 的中线，设△BGD 的面积为1S ,△BGF 的面积为2S ,△AGF 的面积为3S ,△AGE 的面积为4S ,△CGE 的面积为5S ,△CGD 的面积为6S ，△ABC 的面积为S.则1S =2S =3S =4S =5S =6S =61S.证明：因为AD 是三角形ABC 的中线，所以BD=CD ，因为三角形ABD 和三角形ACD 的高相同，所以三角形ABD 的面积和三角形ACD 的面积相等，即1S +2S +3S =4S +5S +6S .因为三角形BGD 和三角形CGD 的高也是相同的，所以两个三角形的面积相等即1S =6S .所以2S +3S =4S +5S .因为三角形BGF 和三角形AGF 的高相同，BF=AF ，所以AFh BFh 2121 ，其中h 是点G 到AB 的距离，所以2S =3S ，同理可证4S =5S ，所以23S =24S ，所以3S =4S ， 所以2S =3S =4S =5S ，同理可证1S =2S =3S =6S .所以1S =2S =3S =4S =5S =6S .因为三角形ABC 的面积为S ，所以1S =2S =3S =4S =5S =6S =61S. 由此我们得到如下结论：三角形的三条中线分三角形成六个小三角形，则六个小三角形的面积相等，等于三角形面积的六分之一.二、结论在解题中的应用例1 （2015•广东省）如图4，△ABC 三边的中线AD ，BE ，CF 的公共点G ，若三角形ABC 的面积为12，则图中阴影部分面积是 .分析：这是三条中线分割三角形的情形，每一个小三角形的面积是相等，且等于原来三角形面积的61，2个就是面积的31. 解：因为三角形ABC 的面积为12，所以阴影部分的面积为31×12=4. 例2 三角形的一条中线把其面积等分，试用这条规律完成下面问题：（1）把一个三角形分成面积相等的4块（至少给出两种方法）；（2）在一块均匀的三角形草地上，恰好可放养84只羊，如图5，现被两条中线分成4块， 则四边形的一块（阴影部分）恰好可放养几只羊？分析：抓住等底同高的两个三角形面积相等,依托三角形的中线性质，完成求解.解：（1）此题的答案不是唯一的，只要分割的方法合理就可以，下面给出了几种分割方法，供同学们学习时，参考.(2)根据中线分割图形与原来三角形面积之间关系知道，四边形的面积是整个图形面积的三分之一，因为是均匀分布，所以这块面积应该有 31×84=28（只）羊. 例3 如图6 所示，在△ABC 中，已知点D ，E ，F 分别为边BC ，AD ，CE 的中点， 且ABC S =42cm ，则S 阴影等于________．解：因为点D 是BC 的中点，所以ACD ABD S S =12ABC S =12×4=2. 因为点E 是AD 的中点，所以BED S S 12ABD S =12×2=1. 所以ED S S 12ACD S =12×2=1. 所以BEC S =BED S +ED S =1+1=2,因为点F 是EC 的中点，所以S =12BEC S =12×2=1. 所以S 阴影等于1. 例4 已知三角形ABC 的面积为a ，请边阅读，边完成问题的解答：1、如图7，延长BC 到D ，使得CD=BC ，则阴影部分的面积为 .2、如图8，延长BC 到D ，使得CD=BC ，延长CA 到E ，使得AE=AC ，则阴影部分的面积为 .3、如图9，延长BC 到D ，使得CD=BC ，延长CA 到E ，使得AE=AC ，延长AB 到F ，使得AB=FB ，则阴影部分的面积为 .4、如图10，延长BC 到D ，使得CD=BC ，延长CA 到E ，使得AE=AC ，延长AB 到F ，使得AB=FB ，,连接DF ，则阴影部分的面积为 ；三角形DEF 的面积是 .分析：依据条件，结合三个结论，认真分析，就能轻松完成解答.解：1、如图7，AC是三角形ABD的中线，所以阴影面积与三角形ABC的面积相等，所以应该填a；2、如图8，当我们连接AD时，不难发现三角形ACD的面积与三角形AED的面积相等，所以阴影部分的面积为2a；3、如图9，三角形AEF的面积与三角形CDE的面积是相等，所以阴影部分的面积是4a；4、如图10，三角形BFD的面积等于三角形CDE的面积，所以阴影部分的面积为6a；三角形DEF的面积为阴影部分的面积加三角形ABC的面积，所以是7a，也就是说此时三角形的面积是原来三角形ABC面积的7倍.我们不妨把得到的三角形DEF叫做三角形ABC的膨胀三角形，当CD=BC 时，膨胀三角形的面积是原来三角形面积的7倍，这个数字7我们不妨叫做三角形DEF的膨胀系数，感兴趣的读者，可以思考当延长线段是已知边长的2倍时，膨胀三角形的面积多大，膨胀系数多大？其中一般性的规律是什么？。
三角形中线定理的证明与应用三角形中线定理是初中数学中的重要内容之一，它对于理解和应用三角形的性质具有重要意义。
本文将通过证明三角形中线定理，并探索其在实际问题中的应用。
三角形中线是连接三角形两边中点的线段。
三角形中线定理表明，连接三角形两边中点的中线长度等于第三边的一半。
下面我们来证明这个定理。
证明：设△ABC为任意三角形，D、E分别为AB和AC上的中点，则连接BD、CE所得的线段即为△ABC的中线。
我们要证明BD = CE= 0.5AC。
首先，根据平行四边形的性质，我们可以得出三角形ADE是一个平行四边形。
因此，AD∥BE且AD = BE。
同样地，我们可以得出三角形ABD是一个平行四边形。
因此，BD∥AC且BD = 0.5AC。
接下来，我们需要证明△ABC与△AED相似。
根据平行线与等角定理，我们可以得出∠CAD = ∠DAE。
同样地，∠CAB = ∠ADE。
因此，根据AA相似定理，△ABC与△AED相似。
根据相似三角形的性质，我们可以得出BD/AD = AC/DE。
由于AD = DE（平行四边形ADE的性质），我们可以得出BD = 0.5AC。
同理可证，CE = 0.5AC。
综上所述，我们证明了三角形中线定理。
三角形中线定理在几何学中具有重要的应用价值。
下面我们来探索一些实际问题中的应用。
首先，我们思考一个问题：在△ABC中，若AC = 10 cm，BD = 6 cm，且BD是AC的中线，求BC的长度。
根据中线定理，BD = 0.5AC。
代入已知条件，我们可以得到6 = 0.5 * 10。
解方程，可得BC = 8 cm。
接下来，我们考虑一个与三角形中线定理相关的面积问题：在△ABC中，若AD是BC的中线，且△ABC的面积为12 cm²，求△ABD的面积。
根据中线定理，我们知道AD = 0.5BC。
由于BD = 0.5AC（中线定理的推论），我们可以得出△ABD和△ABC的高相等，即他们对应的底边长（即AD和BC）的比值为1∶2。
“三角形中线的应用”教材学情分析：学生在学习了三角形、平行四边形之后，掌握了全等三角形、平行四边形及特殊的平行四边形的相关性质和判定，可以证明简单的线段相等和角相等以及相关的方法.但对较复杂的几何证明题，大多数的学生还是显得力不从心.有些学生因此还产生困惑：定义、性质、定理都会背，就是不会做题，一遇到稍复杂的几何题就无从下手.通过深入了解发现，有很多同学对于几何证明题中许多辅助线的作法及相关规律没有掌握，不能灵活应用.其实在几何中，一些特殊的线或线段，就能给我们提示思考方法和解题思路，掌握这些特殊线或线段的应用，对于我们提高解题能力、总结解题方法、解决实际问题都有很大帮助.“三角形中线的应用”就是巧妙利用三角形中线（有时候是中点）的性质和特点，归纳总结与三角形中线有关题型的解题方法.教学目标：知识与技能：理解三角形中线的定义、性质.过程与方法：让学生在解题过程中掌握三角形中线的应用规律，归纳几何解题的技巧. 情感态度与价值观：学生在合作交流中，培养有条理的思维方法，积累数学活动经验，体验用中线的相关性质解决问题后的成功感.教学重难点：重点：应用三角形中线相关性质解题.难点：结合不同条件，在具体题目中应用中线、中点的特点作辅助线.教学设计思想：三角形的中线，很可能大多数学生只知道中线把对边分成两条相等的线段，可能还有部分学生会想到中线分三角形为两个面积相等的三角形.本节课是想让学生通过具体的问题，归纳在特殊的三角形中的中线的特点及其应用.有些题目有些难度，在课前把学案发给学生，让他们通过预习探究先解决简单的问题，不能解决的问题在课堂上通过老师的点拨和几何画板的演示，让学生找出解决问题的思路和方法，最后进行总结归纳.教学过程： 复习引入：已知△ABC 中，AD 是中线，你能得到哪些结论？老师：根据图形说你能得到哪些结论，说得越多越好.学生：1、线段BD =线段CD2、△ABD 与△ACD 的面积相等. 以上两条是学生最容易想到的，其实在特殊三角形中， 三角形的中线还有很多特殊的性质，看来还是要通过具体的问题，让学生在解决实际问题的过程中去归纳总结.应用精选：１、一根长为a 的木棍AB 斜靠在墙上，设木棍的中点为P ，当木棍A 端下滑时： （１）点P 到点O 的距离是否变化，为什么？DB 图１（２）当木棍滑到什么位置时，△ABC 的面积最大？ 先让学生独立思考，第一问难度不大，主要是想让学生归纳：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.在特殊的三角形中，中线还有更特殊的性质. 学生一：点P 到点O 的距离不变，根据是在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半. 第二问有一定的难度，通过几何画板演示，当线段AB 在滑动的过程中，△AOB 的面积变化情况.同进提醒同学们注意，在 线段AB 滑动过程中，线段AB 是不会变化的，把它当三角形的 底边，观察AB 边上高OC 的变化情况.学生二：当OC 与中线OP 重合时，即AB 与墙面成450时，三角形的面积最大.点评： 本题主要是想让学生注意在直角三角形中，斜边上的中线的特殊性.２、在Rt △ABC 中，AB =AC ，∠BAC =90°，O 为BC 的中点，M 、N 是AB 、AC 上的动点，且AN =BM .判断△OMN 的形状，并证明你的结论.通过前一题应该有启发：有斜边上的中点，联想到斜 边上的中线.所以辅助线问题应该是能够解决.学生一：△OMN 是等腰三角形.因为有斜边上的中点，连接AO ，就可以证明△AON 与△BOM 全等，从而得到OM =ON.学生二：还可以证明∠MON =900，从而证明△OMN 是等腰直角三角形. 点评：学生通过上题可能掌握了直角三角形中斜边上的中线性质， 但在等腰直角三角形中，斜边上的中线还有“三线合一”的性质.３、在□ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O 点，且BD =2AB ，E 、F 分别是OA 、BC 的中点.（１）求证：EF =BF（２）如果AC =BD ，G 是BD 上的一点，且BD ：GD =4：1，试判断四边形EBFG 的形状，并说明理由. 老师：本题要充分利用平行四边形的性质，再结合E 、F 是中点这一条件，在相关三角形中就会有中线，再利用三角形中线的性质来解决问题. 学生分析思路： 学生一：平行四边形的对角线互相平分，所以OB =OD ，且BD =2AB ，得到AB =OB ，那么BE 为等腰△ABO 的底边上的中线，所以BE ⊥AO ，进一步得到△BEC 为直角三角形，EF 为斜边BC 上的中线， 从而得到：EF =BF 学生二：在平行四边形基础上，AC =BD ，所以四边形ABCD 是距形.又因为BD ：GD =4：1，可以得到G点为OD 的中点，那么EG 为△AOD 的中位线，结合第一问的结论，可以得到四边形EBFG 是菱形. 点评： 本题是想充分利用等腰三角形底边上的中线的性质， B A B 图2M 图3 F C 图4FB 图5得到垂直.同时也提醒学生注意，当在一个三角形中有两边的中点时，就要想到三角形的中位线性质.４、已知AD为△ABC的中线，求证：AB+AC＞2AD.老师：通过此题的辅助线的作法，归纳思路.就是利用中线的特点构造全等三角形.学生：延长AD到E，使DE=AD，连接CE，得到△ABD全等于△ECD，把AB转化到△ACE中来，再利用三角形三边之间的关系可以得到：AB+AC＞2AD老师：题中的辅助线也可以通过过C点作AB的平行线与AD的延长线相交得到.探究：菱形ABCD中，∠A=110°，E、F分别是AB、BC的中点，EH⊥CD，求∠FHC的度数.本题有一定的难度，根据学生探究情况，适当提示，连接EF并延长，与DC的延长线相交于G点.再观察有没有全等三角形.学生：连接EF并延长，与DC的延长线相交于点G，即可证明EF=GF，而EH⊥CD，所以在Rt△EHG中，HF为斜边上的中线，FH=FG，从而把∠FHC转化到∠G上来.再利用菱形的相关性质，得到∠B=700，∠BEF=∠BFE=550 ，所以∠G=550 ，∠FHC=550老师：本题作辅助线的基本思想是把中线延长一倍，寻找全等三角形.但在实际操作过程中，可能是通过延长来达到这个目的.所以要灵活掌握，活学活用.以上几个例题都是充分利用三角形的中线的性质，特别是等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形中线的特点，掌握相关作辅助线的作法，达到化难为易的目的.５、已知AD是△ABC的中线，BE是△ABD的中线.△ABC的面积等于20，BD=５，求Ｅ点到BC的距离.（本题难度不大，学生应该能够解决.）学生：因为AD是△ABC的中线，所以△ABD的面积等于10，又BE是△ABD的中线，△BDE的面积等于5，且BD=5，所以图中BD边上的高h=2.而E点到BC的距离即为h的长度.点评：本题即是利用三角形的中线把三角形的分成两个面积相等的三角形，原理是等底等高.６、已知O点是△ABC的重心.AO⊥CO，且AO=3，CO=4，求BO的长.老师：根据重心的定义及性质来思考.学生：因三角形的重心是三角形三条中线的交点，所以延长BO与AC边的交点D就是AC边的中点.且AO⊥CO，OD就是直角三角形斜边上的中线，所以OD=12AC=52.根据重心的性质，OB=2OD，所以EB C图6图7D图8图9BO =5.点评： 本题利用重心的定义及性质，结合直角三角形斜边上的中线的特点来解题.难度并不大.主要是培养学生逆向思维的方法，学生都知道三角形三条中线相交一点，这点叫重心，如果先知道重心，那么延长BO 与AC 边的交点就应当是AC 边的中点，培养学生逆向思维的方法.（延长BO 与AC 的交点就是AC 边的中点）归纳小结：复习引入时的提问，学生当时归纳三角形中线的特点肯定有不完整的地方，现在通过 解决以上的题目，基本上能完整归纳出三角形中线的特点.特别是等腰三角形底边上的中线、直角三角形斜边上的中线以及等腰直角三角形斜边上中线的性质，在以上题目中有较多的应用.具体为：1、线段BD =线段CD2、△ABD 与△ACD 的面积相等.3、等腰三角形中底边的中线垂直于底边（三线合一）.4、直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半.5、等腰直角三角形斜边上的中线分原直角三角形为两个 等腰直角三角形.6、重心的应用.课后反思：本节课是想通精选例题，集中了三角形中线的应用，让学生掌握中线在解题中的一些技巧.在复习引入时让学生回答由三角形中线得到哪些结论时，一般学生都只能得到中线平分某一边，或是中线分三角形得到两个面积相等的三角形.这时老师不必先补充还有哪些性质，可通过解决精选例题逐步来回答这些问题.本节课精选的例题要想在一节课内完成有一定的困难， 必须让学生在课前通过小组合作学习分析前三题的解题思路，在课堂上再通过学生发言、老师点拨，进一步完善前 三题的解题过程.第4题后的探究题有一定的难度，通过对比第4题的辅助线的作法，实际上课时也还学生提出另 外的辅助线的作法，即延长HF 与EB 的延长线相交于点 G ，如右图. 并让一名学生上台展示完整的解题过程. 通过本节课学生对三角形中线应用的探究，能够形成 一定的技能，提高了解题的能力，加深了对三角形中线的认识，达到了教学目标.宜都市西湖中学 黄 勇D B 图１图10。
初中数学如何使用三角形的面积和中线解决实际问题解决与三角形的面积和中线相关的实际问题，我们需要掌握计算三角形面积和中线的方法。
在本文中，我们将深入探讨如何使用三角形的面积和中线解决实际问题，并通过具体的例题来帮助读者更好地理解和掌握这些方法。
首先，让我们回顾一下计算三角形面积和中线的方法。
对于一个任意三角形ABC，如果a、b、c分别表示三角形的三条边的长度，m_a、m_b、m_c分别表示三角形的三条中线的长度，则三角形的面积可以通过以下公式计算：面积= 1/2 * m_a * h_a其中，m_a表示由顶点A到边BC的中线的长度，h_a表示从顶点A到边BC的垂直距离，也就是三角形的高度。
利用这个公式，我们可以解决许多实际问题，比如确定三角形的面积和中线等。
接下来，我们将通过一些具体的例题来演示如何使用三角形的面积和中线解决实际问题。
例题1：在图中，已知三角形ABC的三个顶点分别为A(2, 3)，B(5, 6)和C(8, 2)，求三角形ABC 的面积和顶点A到边BC的中线的长度。
解析：根据题目中的已知条件，我们可以利用坐标平面上两点之间的距离公式来计算三角形ABC的边长。
首先，我们可以计算边AB的长度：AB = √((5-2)² + (6-3)²) = √(9 + 9) = √18同样地，我们可以计算边BC和AC的长度：BC = √((8-5)² + (2-6)²) = √(9 + 16) = √25 = 5AC = √((8-2)² + (2-3)²) = √(36 + 1) = √37通过计算，我们可以得到三角形ABC的边长为√18、5和√37。
接下来，我们可以利用三角形的面积公式来计算三角形ABC的面积：s = (√18 + 5 + √37)/2面积= √(s(s-√18)(s-5)(s-√37))通过计算，我们可以得到三角形ABC的面积。
第5讲例说三角形中线等分面积的应用如图1，线段AD 是△ABC 的中线，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，则S △ABD ＝12BD ·AE ，S △ADC ＝12DC ·AE ，因为BD ＝DC ，所以S △ABD ＝S △ADC 。
因此，三角形的中线把△ABC 分成两个面积相等的三角形.利用这一性质，可以解决许多有关面积的问题。
一、求图形的面积例1、如图2，长方形ABCD 的长为a ，宽为b ，E 、F 分别是BC 和CD 的中点，DE 、BF 交于点G ，求四边形ABGD 的面积.分析：因为E 、F 分别是BC 和CD 的中点，则连接CG 后，可知GF 、GE 分别是△DGC 、△BGC 的中线，而由S △ＢＣＦ=S △ＤＣＥ=4ab，可得S △ＢＥＧ=S △ＤＦＧ，所以△DGF 、△CFG 、△CEG 、△BEG 的面积相等，问题得解。
解：连接CG ，由E 、F 分别是BC 和CD 的中点，所以S △ＢＣＦ=S △ＤＣＥ=4ab，从而得S △ＢＥＧ=S △ＤＦＧ，可得△DGF 、△CFG 、△CEG 、△BEG 的面积相等且等于31×4ab =12ab ，因此S 四边形ＡＢＧＤ=ab －4×12ab =32ab。
例2、在如图3至图5中，△ABC 的面积为a ．（1）如图2, 延长△ABC 的边BC 到点D ，使CD =BC ，连结DA ．若△ACD 的面积为S 1，则S 1=________（用含a 的代数式表示）；（2）如图3，延长△ABC 的边BC 到点D ，延长边CA 到点E ，使CD =BC ，AE =CA ，连结DE ．若△DEC 的面积为S 2，则S 2=__________（用含a 的代数式表示），并写出理由；（3）在图4的基础上延长AB 到点F ，使BF =AB ，连结FD ，FE ，得到△DEF （如图6）．若阴影部分的面积为S 3，则S 3=__________（用含a 的代数式表示）．发现：像上面那样，将△ABC 各边均顺次延长一倍，连结所得端点，得到△DEF （如图6），此时，我们称△ABC 向外扩展了一次．可以发现，扩展一次后得到的△DEF 的面积是原来△ABC 面积的_______倍．图1图2图4F 图5图3应用：去年在面积为10m 2的△ABC 空地上栽种了某种花卉．今年准备扩大种植规模，把△ABC 向外进行两次扩展，第一次由△ABC 扩展成△DEF ，第二次由△DEF 扩展成△MGH （如图5）．求这两次扩展的区域（即阴影部分）面积共为多少m 2？分析：从第1个图可以发现AC 就是△ABD 的中线，第2个图通过连接DA ，可得到△ECD 的中线DA ，后面扩展的部分都可以通过这样的方法得到三角形的中线，从而求出扩展部分的面积，发现规律。
9．微专题：巧用三角形的中线求长度和面积◆类型一求线段长【方法点拨】由中线得线段相等，再结合中线这条公共边相等解题．如图，BD为△ABC 的中线，则AD＝CD，C△ABD－C△BCD＝AB－BC.1．如图，已知△ABC的周长为21cm，AB＝6cm，BC边上的中线AD＝5cm，△ABD 的周长为15cm，求AC的长．◆类型二求面积【方法点拨】(1)中线把三角形分成两个面积相等的三角形．如图①，若BD为△ABC的中线，则S△ABD＝S△BCD.若DE为△BCD的中线，则S△BDE＝S△CDE＝12S△BCD＝14S△ABC.图①图②(2)若题中有中点，求面积，要考虑在三角形中连接中线，利用①中的性质求解，如T4.(3)同一三角形被不同中线分成的三角形面积也相等．如图②，BD，AE均为△ABC的中线，则S△ABD＝S△BCD＝S△ABE＝S△ACE＝12S△ABC.2．如图，AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，S△AEC＝3cm2，则S△ABC＝________．第2题图第3题图3．如图，D、E分别是△ABC边AB、BC上的点，AD＝2BD，BE＝CE，设△ADC的面积为S1，△ACE的面积为S2.若S△ABC＝12，则S1＋S2＝________．4．如图①，已知AD为△ABC中BC边上的中线．(1)试说明：S△ADB＝S△ADC；(2)如图②，若O为AD的中点，连接BO和CO，设△ABC的面积为S，△ABO的面积为S1，用含S的代数式表示S1，并说明理由；(3)如图③，学校有一块面积为40m2的三角形空地ABC，按图③所示分割，其中点D、E、F分别是线段BC、AD、EC的中点，拟计划在△BEF内栽种花卉，其余地方铺草坪，则栽种花卉(阴影部分)的面积是________m2.参考答案与解析1．解：∵AB＝6cm，AD＝5cm，△ABD的周长为15cm，∴BD＝15－6－5＝4(cm)．∵AD 是BC边上的中线，∴BC＝8cm.∵△ABC的周长为21cm，∴AC＝21－6－8＝7(cm)．2．12cm2 3.144．解：(1)作AE⊥BC.∵S△ADB＝12BD·AE，S△ADC＝12CD·AE，又AD为△ABC中BC边上的中线，∴BD＝CD，∴S△ADB＝S△ADC.(2)由(1)可知S△ADB＝S△ADC，同理S△ABO＝S△DBO＝12S△ADB，∴S△ABO＝14S△ABC，即S1＝14S.(3)10解析：S△BEF＝12S△BEC＝12(S△BDE＋S△CDE)＝14(S△ABD＋S△ACD)＝14S△ABC.。
三角形中线与面积的关系
三角形中线与面积的关系
1.基本原理：三角形的面积和边的长度是有关系的，即三角形的面积受边的长度影响而变化。
2.三角形三边相等时：当三条边相等，即为三角形的时候，此时三角形的面积是和边的长度成正比的，即若边的长度增加，三角形的面积也会增加；同理，若边的长度减小，三角形的面积也会减小。
3.三角形任意两边相等时：当三角形任意两边相等时，三角形的面积和边的长度也是成正比的，即若边的长度增加，三角形的面积也会增加，同时若边的长度减小，三角形的面积也会减小。
4.三角形三边长度不一样时：当三角形三边长度不一样时，三角形的面积和边的长度也不再成正比，而是按照海伦公式计算。
海伦公式：S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]－在该公式中，S表示三角形的面积，a、b、c分别表示三角形的三条边，p表示三角形的半周长，p=（a+b+c）/2。
换句话说，只有当半周长发生变化时，三角形的面积才会发生变化，而且变化不是简单的成正比变化，而是通过海伦公式而不同程度变化。
5.结论：根据以上结论，可以得出结论，三角形的面积和边的长度有关系，当三角形的三边长度都相等时，三角形的面积和边的长度成正比；当三角形的任意两边长度相等时，三角形的面积和边的长度也成正比；而当边长度不相等时，三角形的面积不再和边长度成正比，而是通过海伦公式而不同程度变化。
一、中线等分三角形面积我们知道：对称轴平分轴对称图形的面积、过对称中心的直线平分中心对称图形的面积.下面研究的是“三角形的中线平分三角形面积”的用法.解法归一：遇等分多边形面积题目时，最常用的方法是把多边形先转化为三角形，再借助中线等分三角形面积来解决.例3 -1 -1 （1）你用三种不同的方法把图3-l-l①~图3-l -1③中△ABC的面积四等分．图3-l-l①图3-l-1②图3-l-1③交流分享：三角形中线等分三角形面积！连续使用中线，可把一个三角形的面积n等分.（2）请你在图3-1-1④~3-1-1⑥中用三种不同的方法把梯形ABCD的面积二等分.图3-l-2④图3-l -2⑤图3-l -2⑥交流分享：（1）先把多边形转化为三角形，再利用中线，可等分一个多边形的面积；（2）借助一腰中点，把梯形转化为一个与它面积相等的三角形，是梯形常用的辅助线之一.例3-1-2 （1）如图3-1-2①，过点A画一条平分△ABC面积的直线；（2）如图3-1-2②，已知l1∥l2，点E、F在l1上，点G，H在l2上，试说明△EGO与△FHO面积相等的理由；（3）如图3-1-2③，点M在△ABC的边上，过点M画一条平分三角形面积的直线，写出画法．图3-1-2①图3-1-2②图3-1-2③交流分享：解决（3）需要把（1）、（2）结合起来用.即从图中给定的一点等分图形的面积时，先用中线找出一种分割法，再在此基础上利用“平行线下的同底等高面积相等”进行等积转化，根据定点的不同，可得不同的面积等分线.体验与感悟03-11、定义：“把一个平面图形的面积分成相等的两部分的直线叫做这个图形的一条面积等分线．”（1）三角形的中线、高线、角平分线分别所在的直线一定是三角形的面积等分线的是__________；（2）平行四边形的一条面积等分线是________；（3）请你尝试用不少于三种方法画出下列图形面积等分线．分享交流：当进行多边形的面积问题探究遇到困难时，将它转化为三角形，再去思考，常有奇效.2、如图3-1-2，已知△ABC 的面积为a.延长△ABC 的边BC 到点D ，延长边CA 到点E ，延长边AB 到点F,使CD=BC ，AE=CA ，BF=AB,连接DE 、DF 、FE ，得到△DEF ，此时我们称△ABC 向外扩展了一次．可以发现，扩展一次后得到的△DEF 的面积是原来△ABC 面积的____________倍．扩展了n 次后得到的△DEF 的面积是原来△ABC 面积的____________倍．图 3-1-3 图3-1-4①3、如图3-1-4中，E 、G 、F 、H 分别为任意四边形ABCD 的边AD 、AB 、BC 、CD 的中点. （1）在图3-1-4①中，四边形EBFD 的面积与四边形ABCD 的面积关系是 ；（2）在图3-1-4②中，如果阴影部分的面积为20，则S 1+S 2+S 3+S 4= __________．图3-1-4②4、定义：我们把被三角形一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”.如图3-1-5①，在△ABC 中，CD 是边上的中线，那么△ACD 和△BCD 是“友好三角形”，并且BCD ACD S S △△=.应用：如图3-1-5②，在矩形ABCD 中，AB=4，BC=6，点E 在AD 上，点F 在BC 上，AE=BF ，AF 与BE 交于点O.（1）求证：△AOB 与△AOE 是“友好三角形”；（2）连接OD ，若△AOE 和△DOE 是“友好三角形”，求四边形CDOF 的面积.图3-1-5① 图3-1-5②探究：在△ABC 中，∠A=30°，AB=4，点D 在线段AB 上，连接CD ，△ACD 和△BCD 是“友好三角形”，将△ACD 沿CD 所在直线翻折，得到CD A '△，若CDA '△与△ABC 重合部分的面积等于△ABC 面积的41，请直接写出△ABC 的面积.提醒：遇等分多边形面积怎么下手？。
中线等分三角形面积以中线等分三角形面积为题，我们将探讨如何通过中线等分三角形的面积。
在开始之前，让我们先回顾一下中线以及面积的概念。
中线是连接三角形一个顶点和对边中点的线段。
每个三角形都有三条中线，它们交叉于一个共同的点，称为重心。
重心是三角形的一个特殊点，它将三角形分成六个小三角形，其中每个小三角形的面积都相等。
面积是一个平面图形所占据的空间大小的度量。
对于三角形来说，我们可以使用基础公式：面积等于底乘以高的一半。
而对于等边三角形，我们可以使用特定的公式：面积等于边长的平方乘以根号三除以四。
现在，我们来探讨如何通过中线等分三角形的面积。
假设我们有一个任意的三角形ABC，我们的目标是找到三条中线，然后将三角形分成六个面积相等的小三角形。
我们需要找到三角形的三个顶点，并确定它们的坐标。
然后，我们可以使用坐标几何的方法来计算中线的端点坐标。
对于每条中线，我们可以通过将对边的两个顶点坐标相加，然后除以2来获得中线的中点坐标。
一旦我们找到了三条中线的中点坐标，我们可以使用这些坐标来构建三个新的小三角形。
每个小三角形由重心和两个中点组成。
然后，我们可以使用三角形面积公式来计算每个小三角形的面积。
为了证明这六个小三角形的面积是相等的，我们可以使用几何证明或者向量证明。
对于几何证明，我们可以通过将三角形的顶点连接起来，形成一系列平行四边形，并利用平行四边形的性质来证明这六个小三角形的面积相等。
对于向量证明，我们可以使用向量的线性组合来表示每个小三角形的面积，并证明它们相等。
总结一下，通过找到三角形的中线，我们可以将三角形分成六个面积相等的小三角形。
这可以通过计算每个小三角形的面积来实现，使用三角形面积公式以及中点坐标的计算。
通过几何证明或向量证明，我们可以证明这六个小三角形的面积相等。
在实际应用中，等分三角形的面积可以有多种用途。
例如，在建筑设计中，我们可以通过等分三角形的面积来平衡结构的重量分布，从而提高建筑物的稳定性。
三角形中线的几种用法一、加倍法加倍法是三角形中线的最基本最常见的用法，其基本思路是：把三角形一边的中线延长，并截取中线长，得到二倍的三角形的中线长，利用三角形全等或中心对称，证明有关线段（或角）的相等及不等关系．基本模式是：如图1，已知：△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，延长AD 至E ，使DE=AD ，则有：△ADC ≌△EDB ，BE ∥AC ，BE=AC ．例题 已知：如图2，AD 为△ABC 的中线，BE 交AC 于E ，交AD 于F ，且AE=EF ， 求证：AC=B Ｆ．证明：延长AD 至H ，使DH=AD ，则△ACD ≌HBD(SAS)，AC=BH ，∠HAC=∠H ∵AE=EF ，∴∠AFE=∠AEF ，由∠BFH=∠AFE 得∠BFH=∠H ，∴BF=BH ，∴AC=BF ．ͼ 1E DC BAͼ 2H FE DCBA二、利用三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分来解决有关面积的求解问题基本模式是：若AD 为△ABC 中线，则S △ABD=S △ADC=21S △ABC ．例题 已知：如图3，△ABC 中，M 是AB 中点，MD ⊥BC ，EC ⊥BC ，S △ABC=24，求S △BDE ． 解：连接MC ，由题意知：DM ∥EC ，∴S △DME=S △DMC ，又∵M 为AB 中点，∴S △BCM=21S △ABC ，∴S △BDE=S △BCM=21S △ABC=12．三、关于“直角三角形斜边上中线等于斜边一半”的用法基本模式：如果CD 是Rt △ACB 斜边AB 上的中线，则有：CD=21AB ．例题 已知：如图4，∠ABC=∠ADC=90°，点M 、N 分别是对角线AC 、BD 的中点， 求证：MN ⊥BD ．证明：连结BM 、DM ，则由∠ABC=90°，M 为AC 的中点，得：BM=21AC ， 同理：由∠ADC=90°， M 为AC 的中点，得：MD=21AC ，∴BM=DM ，由N 为BD 中点及等腰三角形三线合一性质，得MN ⊥BD ．四、关于三角形重心问题的应用基本模式是：若O 为△ABC 的三条中线AD 、BE 、CF 的交点（即△ABC 的重心），则有OD OA =OE OB =OF OC =12．例题 已知：如图5，线段PQ 过△ABC 的重心M ，P 、Q 分别内分AB 、AC 的比值为p 、q ，求p 1+q 1．解：作射线AM 交BC 于D 点，分别过B 、C 两点作PQ 的平行线交AM 于G 、F ，∵M 为△ABC 的重心，∴DB=DC ，MD AM=2：1，∴△BDG ≌△DCF ，∴DG=DF ．。
三角形中点定理的证明与应用三角形中点定理是几何学中的一个重要定理，它描述了一个三角形中三条边中点所形成的线段等于原三角形面积的一半。
本文将给出该定理的证明，并介绍一些定理的应用。
首先，我来介绍一下三角形中点定理的几何图形。
设三角形ABC的三个顶点分别为A、B、C，三边分别为a、b、c。
连接AB、BC、CA的中点分别为D、E、F，如下图所示。
B/\/ \D /____\ E/\ /\/ \ / \/____\/____\A F C根据题目要求，我们需要证明线段DE等于三角形ABC的面积的一半。
为了证明这个结论，我们可以先求出三角形DEF 的面积，再证明它与三角形ABC的面积相等。
首先，我们知道线段DF是AC的中点，线段DE是BC的中点，所以根据中点定理，得知DF等于AC的一半，DE等于BC的一半。
设AC的长度为m，BC的长度为n，则DF的长度为m/2，DE的长度为n/2。
接下来，我们考虑三角形DEF的高EF。
如果我们能够找到与EF垂直的边，且与EF的两个端点分别在AB、AC或BC上，那么根据三角形的面积公式，我们就能求出三角形DEF的面积了。
我们发现，线段AF与线段EF垂直，并且它们的交点F正好是三角形ABC的高，所以我们只需求出AF的长度即可。
由于D是AB的中点，所以AD等于AB的一半，即AD=m/2。
同理，由于E是BC的中点，所以BE等于BC的一半，即BE=n/2。
由于AC与BC是两边等长的直角三角形的斜边，所以根据勾股定理，可以得知AC²=AB²+BC²。
代入AB的长度为2AD，BC的长度为2BE，简化后得到AC²=4AD²+4BE²，也就是m²=n²+4AD²。
再考虑三角形ABF，同样使用勾股定理，可以得到AB²=AF²+BF²。
代入AB的长度为2AD，BF的长度为EF的一半（因为BF是AB的中点），简化后得到4AD²=AF²+EF²。
中线等分面积定理1. 三角形中的情况- 在三角形中，三角形的中线将三角形分成面积相等的两个部分。
- 证明：设 ABC，AD是BC边上的中线（BD = DC）。
根据三角形面积公式S=(1)/(2)ah（a为底，h为这条底边对应的高）。
对于 ABD和 ACD，它们的高都是A到BC边的距离h， ABD的底BD和 ACD的底DC相等，因为BD = DC。
所以S_{ ABD}=(1)/(2)BD× h，S_{ ACD}=(1)/(2)DC× h，又因为BD = DC，所以S_{ ABD}=S_{ ACD}。
2. 平行四边形中的情况（拓展）- 平行四边形的一条对角线将平行四边形分成面积相等的两个三角形。
- 证明：设平行四边形ABCD，对角线AC。
对于 ABC和 ADC，因为平行四边形对边平行且相等，AB = DC，它们的高（AB与DC间的距离）相等。
根据三角形面积公式S=(1)/(2)ah，可得S_{ ABC}=S_{ ADC}。
1. 计算面积比例- 例1：在 ABC中，AD是中线，E是AD的中点，连接BE、CE，求S_{ ABE}:S_{ ABC}。
- 解：因为AD是中线，所以S_{ ABD}=S_{ ACD}=(1)/(2)S_{ ABC}。
又因为E是AD的中点，所以S_{ ABE}=(1)/(2)S_{ ABD}，那么S_{ ABE}=(1)/(2)×(1)/(2)S_{ ABC}=(1)/(4)S_{ ABC}，所以S_{ ABE}:S_{ ABC}=1:4。
2. 证明面积相等关系- 例2：已知四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连接EF，AC交EF于O点，证明S_{ AOE}=S_{ COF}。
- 设S_{ AOE}=x，S_{ EOC}=y，S_{ COF}=z，S_{ FOD}=w。
- 由S_{ ADF}=S_{ ACF}可得x + w=z + w，即x = z，所以S_{ AOE}=S_{ COF}。
已知三角形中线求面积问题1. 问题描述已知一个三角形ABC，求其面积。
但是与通常的题目不同，我们这里只给出了三角形的中线，而没有给出顶点的坐标或者边长等信息。
2. 解题思路要解决这个问题，我们可以利用中线的性质和已知条件来推导出三角形ABC的面积。
首先，我们需要了解一下中线的性质。
在一个三角形ABC中，连接顶点A和边BC的中点D得到一条中线AD。
同样地，连接B和AC的中点E得到另一条中线BE，连接C和AB的中点F得到第三条中线CF。
根据性质可知：•中线AD平分边BC，并且AD = 0.5 * BC•中线BE平分边AC，并且BE = 0.5 * AC•中线CF平分边AB，并且CF = 0.5 * AB基于以上性质，我们可以推导出以下结论：•由于AD是BC的一半，所以BC = 2 * AD•同理，AC = 2 * BE, AB = 2 * CF接下来，我们需要找到一个方法将已知条件转化为可计算面积的信息。
考虑到已知条件只有三个中线AD、BE和CF，我们可以通过构造一个平行四边形来得到更多的信息。
我们可以将中线AD和BE延长，使其相交于点G。
这样，我们就得到了一个平行四边形ABGD。
由于AD和BE是三角形ABC的中线，所以AG = GD = 0.5 * BC, BG = GE = 0.5 * AC。
根据平行四边形的性质，对角线互相平分，并且对角线互相等长。
所以AG = GD, BG = GE。
结合之前的推导结果，我们可以得出：AG = GD = 0.5 * BC = AD BG = GE = 0.5 * AC = BE由于三角形ABC是平行四边形ABGD的一半面积，所以三角形ABC的面积等于平行四边形ABGD的面积除以2。
3. 具体计算步骤根据以上推导结果，我们可以得出求解已知三角形中线求面积问题的具体计算步骤：1.输入三个中线AD、BE、CF的长度。
2.计算BC、AC和AB的长度：BC = 2 * AD, AC = 2 * BE, AB = 2 * CF。
初中数学如何使用三角形的中线计算三角形的面积三角形的中线是连接三角形的一个顶点和对边中点的线段。
利用三角形的中线，我们可以计算三角形的面积。
下面是使用三角形中线计算三角形面积的步骤：假设已知一个三角形ABC，其中三个顶点分别为A、B、C，对应的边长分别为a、b、c，对应的内角分别为∠A、∠B、∠C。
步骤1：确定已知的边长和角度。
在这个例子中，我们已知三角形ABC的边长a、b、c。
步骤2：根据三角形的性质，对于任意三角形ABC，它的三条中线AD、BE、CF都会交于一个点G，该点被称为三角形的重心。
步骤3：计算三角形的面积。
根据三角形的面积公式，我们可以计算三角形的面积。
对于三角形ABC，假设中线AD的长度为m，则三角形的面积为：面积= m × h ÷ 2其中h为与底边平行并通过顶点A的线段，也就是从顶点A到对边BC的距离。
步骤4：计算中线的长度。
三角形的中线可以通过以下方式计算：-对于任意三角形ABC，中线AD的长度可以通过以下关系计算：AD = 1/2 * sqrt(2b^2 + 2c^2 - a^2)。
-同样地，BE和CF的长度也可以通过类似的关系计算。
步骤5：计算高度。
高度h可以通过以下方式计算：-对于任意三角形ABC，高度h可以通过以下关系计算：h = 2/3 * sqrt(s * (s - a) * (s - b) * (s - c)) / a，其中s为三角形的半周长。
需要注意的是，中线的长度和高度的计算公式是基于三角形的边长的，所以在计算之前需要先确定边长的数值。
通过以上步骤，我们可以利用三角形的中线计算出三角形的面积。
这种计算方法适用于所有三角形，无论是直角三角形、等边三角形还是一般三角形。
需要注意的是，计算时需要注意单位和精度，以确保计算结果准确。
巧用中线轻松求面积根据等底同高的三角形面积相等，我们得到三角形的中线具有一个重要的性质：“三角形的中线把三角形分成面积相等的三角形”.利用中线的这个性质我们可以快速地解决与面积相关的一类问题.例1如图1，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，连接EB，EC，CF⊥BE于点F.若BE=9，CF=8，求△ACE的面积.解析：因为CF⊥BE于点F，所以S△BCE=12BE•CF=12×9×8=36.因为AD是△ABC的中线，所以BD=CD.所以S△EBD=S△ECD=12S△EBC=18.因为E是AD的中点，所以S△ACE=S△ECD=18.例2 如图2，在△ABC中，已知D为BC上一点，E，F分别为AD，BE的中点，且S△ABC=13.求△CEF的面积.解析：因为E为AD的中点，所以S△BDE=12S△ABD，S△CDE=12S△ACD.所以S△BEC=S△BDE+S△CDE=12S△ABC=132.又因为F为BE的中点，所以S△EFC=12S△BEC=134.例3如图3，已知△ABC的面积为36，点D，E分别在边BC，AC上，且BD=CD，CE=2AE，AD与BE相交于点F，若△AEF的面积为3，则图中阴影部分的面积为.图3 图4解析：方法1：如图4，连接CF.因为△AEF与△CEF等高，CE=2AE，所以S△CEF=2S△AEF=6.因为BD=CD，所以S△ABD=S△AC D=12S△ABC=18.所以S△CFD= S△ACD-S△AEF-S△CEF=18-3-6=9.所以S△BFD=S△CFD=9.故填9．方法2：观察图形发现△ABD与△ABE的公共部分是△ABF，因此有S△ABD-S△ABE=（S△ABF+S△BDF）-（S△ABF+S△AFE）=S△BDF-S△AFE.因为BD=CD，所以S△ABD=12S△ABC=18.因为CE=2AE，所以S△ABE=13S△ABC=12.所以S△BDF-S△AFE= S△ABD-S△ABE=18-12=6. 所以S△BDF=3+6=9.故填9.图1图2第1 页共1 页。
第5讲例说三角形中线等分面积的应用如图1，线段AD 是△ABC 的中线，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，则S △ABD ＝12BD·AE ，S △ADC ＝12DC·AE ，因为BD ＝DC ，所以S △ABD ＝S △ADC 。
因此，三角形的中线把△ABC 分成两个面积相等的三角形.利用这一性质，可以解决许多有关面积的问题。
一、求图形的面积例1、如图2，长方形ABCD 的长为a ，宽为b ，E 、F 分别是BC 和CD 的中点，DE 、BF 交于点G ，求四边形ABGD 的面积.分析：因为E 、F 分别是BC 和CD 的中点，则连接CG 后，可知GF 、GE 分别是△DGC 、△BGC 的中线，而由S △ＢＣＦ=S △ＤＣＥ=4ab，可得S △ＢＥＧ=S △ＤＦＧ，所以△DGF 、△CFG 、△CEG 、△BEG 的面积相等，问题得解。
解：连接CG ，由E 、F 分别是BC 和CD 的中点，所以S △ＢＣＦ=S △ＤＣＥ=4ab，从而得S △ＢＥＧ=S △ＤＦＧ，可得△DGF 、△CFG 、△CEG 、△BEG 的面积相等且等于31×4ab =12ab ，因此S 四边形ＡＢＧＤ=a b －4×12ab =32ab。
例2、在如图3至图5中，△ABC 的面积为a ．（1）如图2, 延长△ABC 的边BC 到点D ，使CD =BC ，连结DA ．若△ACD 的面积为S 1，则S 1=________（用含a 的代数式表示）；（2）如图3，延长△ABC 的边BC 到点D ，延长边CA 到点E ，使CD =BC ，AE =CA ，连结DE ．若△DEC 的面积为S 2，则S 2=__________（用含a 的代数式表示），并写出理由；（3）在图4的基础上延长AB 到点F ，使BF =AB ，连结FD ，FE ，得到△DEF （如图6）．若阴影部分的面积为S 3，则S 3=__________（用含a 的代数式表示）．发现：像上面那样，将△ABC 各边均顺次延长一倍，连结所得端点，得到△DEF（如图1图2图4F 图5 图3图6），此时，我们称△ABC 向外扩展了一次．可以发现，扩展一次后得到的△DEF 的面积是原来△ABC 面积的_______倍．应用：去年在面积为10m 2的△ABC 空地上栽种了某种花卉．今年准备扩大种植规模，把△ABC 向外进行两次扩展，第一次由△ABC 扩展成△DEF ，第二次由△DEF 扩展成△MGH （如图5）．求这两次扩展的区域（即阴影部分）面积共为多少m 2？分析：从第1个图可以发现AC 就是△ABD 的中线，第2个图通过连接DA ，可得到△ECD 的中线DA ，后面扩展的部分都可以通过这样的方法得到三角形的中线，从而求出扩展部分的面积，发现规律。
解：（1）由CD=BC ，可知AC 就是△ABD 的中线，中线AC 将△ABD 的分成两个三角形△ABC 、△ACD ，这两个三角形等底等高，所以它们的面积相等；所以S 1=a ；（2）若连接DA ，则DA 就是△ECD 的中线，中线AD 将△ECD 分成△CDA 、△EDA ，它们的面积相等；所以S 2=2a ；（3）根据以上分析，可知△BFD 、△CED 、△EAF 面积都为2a ；所以S 2=6a ；发现：由题意可知扩展一次后的△DEF 的面积是S △DEF =S 3+S △ABC =6a +a =7a ；即扩展一次后的△DEF 的面积是原来△ABC 面积的7倍。
应用：由以上分析可知 扩展一次后S 总1=7a ， 扩展二次后S 总2=S 总1=72a ， 扩展三次后S 总3=S 总2=73a ， 拓展区域的面积：（72－1）×10=480（m 2）说明：本题是从一个简单的图形入手，逐步向复杂的图形演变，引导我们逐步进行探索，探索出有关复杂图形的相关结论，这是我们研究数学问题的一种思想方法：从特殊到一般的思想。
所以我们在平时的学习中，要注意领会数学思想和方法，使自己的思维不断升华。
二、巧分三角形例3、如图7，已知△ABC ，请你用两种不同的方法把它分成面积之比为1:2:3的三个三角形.分析：可以把三角形先两等份，再把其中一个再两等份，所以联想到作三角形的中线。
解：方法1：取BC 的中点E ，然后在BE 上取点D ，使BD 13BE ，则AD 、AE 把△ABC 分成面积之比为1:2:3的三个三角形（如图8）.图6HM 图7图8图954321方法2：在BC 边上截取DC 31=BC ，连结AD ，然后取AB 的中点P ，连结BP 、CP ，则△PAC 、△PAB 、△PBC 的面积之比为1:2: 3（如图9）.想一想：方法2中，这三个三角形的面积之比为什么是1:2:3？ 二、巧算式子的值例2 在数学活动中，小明为了求2341111122222n ++++⋅⋅⋅+的值（结果用n 表示），设计了如图10所示的几何图形.请你利用这个几何图形求2341111122222n ++++⋅⋅⋅+的值. 分析：由数据的特征：后面的数为前面一个数的21，联想到将三角形的面积不断的平分，所以可以构造如图10的图形进行求解。
解：如图10，设大三角形的面积为1，然后不断的按顺序作出各个三角形的中线，根据三角形的中线把它分成两个面积相等的三角形可知，图中三角形除了最后一个小三角形，其余部分的面积为234111111222222n n ++++⋅⋅⋅++， 因此2341111111222222n n ++++⋅⋅⋅+=-.说明：此题运用“数形结合思想”，借助三角形的面积来求数的运算，简捷、巧妙.三角形内角和定理及外角性质的应用三角形三个内角的和等于180°，这是三角形内角和定理．三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角，这是三角形外角性质．三角形内角和定理及外角性质应用广泛，下面以例说明． 一、求三角形的内角例2 (08太原)在△ABC 中，∠B =40°，∠C =80°，则∠A 的度数为( ) A ．30° B ．40° C ．50° D ．60° 解：由三角形内角和定理，得∠A =180°-∠B -∠C =180°-40°-80°=60°，答案选D ． 例3 (08东营)如图1，已知∠1=100°，∠2=140°，那么∠3=＿＿． 解：∠4=180°-∠1=180°-100°=80°， ∠5=180°-∠2=180°-140°=40°，由三角形内角和定理，得∠3=180°-∠4-∠5=180°-80°-40°=60°，答案选D ． 图1 说明：在求出∠4=80°后，也可根据三角形外角性质，得∠2=∠4+∠3，所以∠3=∠2-∠4=140°-80°=60°．二、判断三角形的形状例1 (08陕西)一个三角形三个内角的度数之比为2:3:7，这个三角形一定是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．锐角三角形 D ．钝角三角形 解：设三个内角分别为2k ，3k ，5k ，由三角形内角和定理，得图10CBA21O D Al 1l 2BC 21312CB l 2l 1AD E (a ∥b )b a 122121C B D A 122k +3k +5k =180°．解得k =15°，所以2k =30°，3k =45°，7k =105°，所以这个三角形是钝角三角形，答案选C ．三、求角平分线的夹角例4 (08沈阳)已知△ABC 中，∠A =60°，∠ABC 、∠ACB 的平分线交于点O ，则∠BOC 的度数为＿＿．解：如图2，由BO 平分∠ABC ，得∠1=12∠ABC ； 由CO 平分∠ACB ，得∠2=12∠ACB ．所以∠1+∠2=12(∠ABC +∠ACB )=12(180°-∠A ) 图2=12(180°-60°)=60°． 四、求三角形的外角例5 (08贵州)如图5，直线l 1∥l 2，AB ⊥l 1，垂足为D ，BC 与直线l 2相交于点C ，若∠1=30°，则∠2=＿＿＿．解：如图6，延长AB 交l 2于点E ．因为l 1∥l 2，由两直线平行，内错角相等，得∠BEC =∠3． 由AB ⊥l 1，得∠3=90°．所以∠BEC =90°． 由三角形外角性质，得∠2=∠BEC +∠1=90°+30°=120°．图5 图6说明：本题也可延长CB 交l 1于点F ，构造△FBD 进行求解，完成请同学们完成．五、比较角的大小例5 (08凉山)下列四个图形中∠2大于∠1的是( )A B C D解：A 选项中，利用两直线平行，内错角相等及对顶角相等，可得∠1=∠2；B 选项，根据三角形的外角性质，可得∠2大于∠1．C 选项中的∠2与∠1的大小关系无法确定；D 选项中，由对顶角相等，可得∠1=∠2．答案选B ．全等三角形水平测试（1）湖北 薛建辉一、试试你的身手1．如图所示，沿直线AC 对折，△ABC 与△ADC 重合，则△ABC ≌__________，AB 的对应边是________，AC 的对应边是____________，∠BCA 的对应角是__________． ACBDA D2．如图所示，△ACB ≌△DEF ，其中A 与D ，C 与E 是对应顶点，则CB 的对应边是________，∠ABC 的对应角是__________．3．△ABC 和A B C '''∆中，若AB A B ''=，BC B C ''=，则需要补充条件________可得到ABC A B C '''∆≅∆4．如图所示，AB ，CD 相交于O ，且AO ＝OB ，观察图形，图中已具备的另一相等的条件是________，联想到SAS ，只需补充条件________，则有△AOC ≌△________．5．如图所示，有一块三角形镜子，小明不小心破裂成Ⅰ、Ⅱ两块，现需配成同样大小的一块．为了方便起见，需带上________块，其理由是__________． 6．如图所示，若只有AD ⊥BD 于点D 这个条件，要证△ABD ≌△ACD ，则需补充的条件是________或__________或__________．7．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝60°，将△ABC 绕着点A 顺时针旋转40°后得到△ADE ，则∠BAE 的度数为__________．二、相信你的选择1．下列说法：①全等三角形的形状相同；②全等三角形的对应边相等；③全等三角形的对应角相等；④全等三角形的周长．面积分别相等，其中正确的说法为（ ） Ａ．①②③④ Ｂ．①③④ Ｃ．①②④ Ｄ．②③④ 2．下列结论错误的是（ ）Ａ．全等三角形对应角所对的边是对应边 Ｂ．全等三角形两条对应边所夹的角是对应角 Ｃ．全等三角形是一个特殊三角形AC OD B B A C ?? A B C D A BC DEＤ．如果两个三角形都与另一个三角形全等，那么这两个三角形也全等 3．下面各条件中，能使△ABC ≌△DEF 的条件的是（ ）Ａ．AB ＝DE ，∠A ＝∠D ，BC ＝EF Ｂ．AB ＝BC ，∠B ＝∠E ，DE ＝EF ０．AB ＝EF ，∠A ＝∠D ，AC ＝DF Ｄ．BC ＝EF ，∠C ＝∠F ，AC ＝DF4．在△ABC 和△DEF 中，AB ＝DE ，∠A ＝∠D ，若证△ABC ≌△DEF ，还要补充一个条件，错误的补充方法是（ ）Ａ．∠B ＝∠E Ｂ．∠C ＝∠F Ｃ．BC ＝EF Ｄ．AC ＝DF 5．下列说法正确的是（ ）Ａ．两边一角对应相等的两个三角形全等 Ｂ．两角一边对应相等的两个三角形等 Ｃ．两个等边三角形一定全等 Ｄ．两个等腰直角三角形一定全等6．如图所示，BE ⊥AC ，CF ⊥AB ，垂足分别是E ．F ，若BE ＝CF ，则图中全等三角形有（ ） Ａ．1对 Ｂ．2对 Ｃ．3对 Ｄ．4对7．如图，AB ＝DB ，BC ＝BE ，欲证△ABC ≌△DBC ，则需补充的条件是（ ） Ａ．∠A ＝∠D Ｂ．∠E ＝∠C Ｃ．∠A ＝∠C Ｄ．∠1＝∠2 三、挑战你的技能1．如图，若∠DAB ＝∠CBA ，请你再添加一对相等的条件，使△ABD ≌△CAB ，并说明三角形全等的理由．2．（1）完成下面的证明：如图，AB ＝AC ，E ，F 分别是A C ，AB 的中点，那么△ABE ≌△ACF ． 证明：E F ，分别是AC ，AB 的中点，12AE AC ∴=，12AF AB =（ ） AB AC =，AE AF ∴= 在ABE △和ACF △中______________()______________()______________()=⎧⎪=⎨⎪=⎩，，， ABE ACF ∴≅△△．（2）根据（1）的证明，若连结BC ．请证明：△EBC ≌△FCB ．A B C D E 1 2A B C F E A B C D ABCEFAEF3．如图，已知：BE ＝DF ，AE ＝CF ，AE ∥CF ，求证：AD ∥BC ．4．如图，已知：CE ⊥AD 于E ，BF ⊥AD 于F ，（1）你能说明△BDF 和△CDE 全等吗？（2）若能，请你说明理由，若不能，在不用增加辅助线的情况下，请添加其中一个适当的条件，这个条件是__________，来说明这两个三角形全等，并写出证明过程．四、拓广探索飞翔建筑公司在扩建二汽修建厂房时，在一空旷地上发现有一个较大的圆形土丘，经分析判断很可能是一座王储陵墓，由于条件限制，无法直接度量A ，B 两点间的距离，请你用学过的数学知识，按以下要求设计测量方案． （1）画出测量方案（2）写出测量步骤（测量数据用字母表示）（3）计算AB 的距离（写出求解或推理过程，结果用字母表示）AB CE FA BC DEF A B参考答案：一、1．△ADC ，AD ，AC ，∠DCA 2．EF ，∠DFE 3．B B AC A C '''∠=∠=或 4．∠AOC =∠BOD ，OC =OD ，△BOD 5．Ⅰ，有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等 6．∠BAD =∠CAD ，AB =AC ，BD =CD 7．100° 二、1．D 2．C 3．D 4．C 5．B 6．C 7．D三、1．需要再添加的条件为：∠DBA =∠BAC （A S A ）或∠DAC =∠CBD （A S A ）或AD =BC （S A S ） 2．（1）中点定义，()()(SAS)()AE AF A A AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩已证公共角，已知 （2）证明：ABE ACF ≅△△，BE CF ∴=；又E ，F 分别为AC ，AB 的中点，12EC AC ∴=，12BF AB =，AB AC =，EC BF ∴=，在EBC △和FCB △中，BE CFBC CBEC FB =⎧⎪=⎨⎪=⎩，，EBC FCB ∴≅△△． 3．证明：AE CF ∥，AEB DFC ∴=∠∠，180180AEB DFC ∴-=-∠∠，AED BFC ∴=∠∠，BE DF =，BE EF DF EF ∴-=-，BF DE ∴=．在ADE △和CBF △中，AE CF AED BFC DE BF =⎧⎪=⎨⎪=⎩，，∠∠ADE CBF ∴≅△△，ADE CBF ∴=∠∠，AD BC ∴∥．4. （1）不能，（2）添加的条件为：BD =DC 或DF =DE 或BF =CE ．选：BD =DC ． 证明：CE AD ⊥，BF AD ⊥，90CED BFD ∴==∠∠，在CED △和BFD △中， ()()CDE BFD CDE BDF CE BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩已证对顶角相等∠∠，CED BFD ∴≅△△．四、（1）如图所示 （2）在地上找到可以直接到达点A ，B 的一点O ，在AO 的延长线上取一点以，并测得OC =OA ，在BO 的延长线上取一点在，并测得OD =OB ，这时测得CD 的长为A ，则AB 的长就是A ． （3）理由：由测法可得．OC =OA ，OD =OB ，∠COD =∠AOB ，所以△COD ≌△AOB ，所以CD =AB =A ．ABCOD。
