第3章随机变量及分布

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第3 章 随机变量及其分布
3.1 随机变量
3.2 离散型随机变量的概率分布 3.3 连续型随机变量的概率分布 3.4 多元随机变量 3.5 决策准则与决策树
3-1 - 1
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3.1 随机变量
例如：1. 抛掷一枚硬币,可能出现正面,反面两种结果, 于是S={正,反},规定： 1 e为正面 e S X e e为反面 0
3-1 - 5
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随机变量
说明 定义随机变量依问题的需要而定，如掷一枚 骰子,我们定义了随机变量X表示出现的点数．我 们可以定义其随机变量
1 2 3 X 4 5 6 3-1 - 6 点 数1 点 数2 点 数3 点 数4 点 数5 点 数6
; 1 出 现 偶 数 点 Y . 0 出 现 奇 数 点
从平均环数上看，甲乙两人的射击水平是一样的，但 两个人射击的环数的方差分别为
DX 8 9.2 0.3 9 9.2 0.2 10 9.2 0.5 0.76
2 2 2 2
DY 8 9.2 0.2 9 9.2 0.4 10 9.2 0.4 0.624
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二项试验(贝努利试验)
贝努利试验满足下列条件 一次试验只有两个可能结果，即“成功”和 “失败” “成功”是指我们感兴趣的某种特征 一次试验“成功”的概率为p ，失败的概率 为q =1- p，且概率p对每次试验都是相同的 试验是相互独立的，并可以重复进行n次 在 n 次试验中，“成功”的次数对应一个离 散型随机变量X
2 2
此时DX>DY，说明乙射击的水平比甲稳定。
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离散型随机变量的方差(例题分 析)
例3.2.9 书第68页例3.10。书第69页例3.11。
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数学期望的性质
1. E(C)=C,C为常数；若a≤X≤b,则a≤E(X)≤b 2. E(CX)=CE(X), C为常数; 3. E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y), a,b为常数; n n 4. ; E ( ai X i ) ai EX i
X i i
i 0,1,2,3,i S
4 .灯泡的寿命(单位：秒)，可能的寿命t是大于等于0 于是S={t:t≥0}，规定： X t t t S
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随机变量
定义 设有随机试验E的样本空间S,如果对于样本 空间中的每一个样本点e都对应一个确定的实数 X(e)，由此确定的一个定义在S上的单值函数： X=X(e),称此为随机变量。一般用大写字母X,Y,Z… ，或用希腊字母 、、、等来表示．
E ( X ) x i pi E ( X ) x i pi
i i 1
( X取 有 限 个 值 ） ( X取 无 穷 个 值 ）
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离散型随机变量的数学期望 (例题分析)
例3.2.4 书第66页例3.8
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离散型随机变量的数学期望 (例题分析)
1.离散型随机变量X的分布律为 则a等于( ) X -1 A．1/4 B．1/3 p 1/4 C． 1 ／ 2 D． 1
0
1
a
1/4
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离散型随机变量的概率分布 (例题分析)
例 3.2.3 设同种产品 100 件 , 其中 5 件是次品 , 现从中不
放回地随机取10件进行检验,求取到次品数的概率
6; 1 点 数 为 Z 6. 0 点 数 不 为
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3.2 离散型随机变量
3.2.1 离散型随机变量的概率分布
3.2.2 离散型随机变量的数学期望与方差 3.2.3 几种常见的离散型随机变量
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离散型随机变量
定义 随机变量 X 的可能取的值是有限个至多可 列个 x1 , x2, x3…,且以确定的概率取这些不同的值, 即有：P{X=xi}=Pi , i=1,2,…,则称X为离散型随机变 量。而称P{X=xi}=Pi,i=1,2,…为离散型随机变量X的概
例3.2.2 一部电梯在一周内发生故障的次数X及 相应的概率如下表
一部电梯一周发生故障的次数及概率分布
故障次数X = xi 概率P(X=xi)pi
0 0.10
1 0.25
2 0.35
3

(1) 确定的值 (2) 求正好发生两次故障的概率 (3) 求故障次数多于一次的概率 (4) 最多发生一次故障的概率
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离散型随机变量的概率分布 (例题分析)
解：(1) 由于0.10+0.25+0.35+ =1
所以， =0.30
(2) P(X=2)=0.35
(3) P(X>1)=0.35+0.30=0.65
(4)P(X< 2)=0.10+0.25=0.35
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2008年考题
率函数或概率分布。
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离散型随机变量的概率分布
X = xi P(X =xi)=pi x1 ，x2 ，… ，xn p1 ，p2 ，… ，pn
离散型随机变量也可以用下面的表格来表示
由定义知：pi0 （i=1,2,…)；
p
i 1
n
i
1
说明：1.判断一个变量是否为随机变量只需验证这 两条。 2.一个离散型随机变量的统计规律须知道X 的所有可能取值及每一个可能取值的概率。
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二项分布(不讲)
定理 设在n 重Bernoulli试验中,P(A)=p,则事件 A恰好发生k次的概率为：
P X k C p q
k n k
k n k
(k 0, 1, 2, ,n )
式中：C n
n! k!(n k )!
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3-1 - 9
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离散型随机变量的概率分布 (例题分析)
例3.2.1 投掷一颗骰子后出现的点数是一个离散型 随机变量.写出掷一枚骰子出现点数的概率分布
概率分布
X = xi
P(X=xi)pi
1
1/6
2
1/6
3
1/6
4
1/6
5
1/6
6
1/6
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离散型随机变量的概率分布 (例题分析)
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2008年考题
5.设X与Y为两个随机变量,E(X)=3,E(Y)=-1,则 E(3X-Y)=C A． 8 B． 9 C． 10 D． 11
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几种常用的离散型概率分布
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两点分布
定义 一个离散型随机变量X只取0和1两个 可能的值,它们的概率分布为 P(X=1)=p, P(X=0)=1-p=q x 1 x 或 P( X x ) p q (0 p 1) 则称随机变量X服从参数P的 0-1分布， 记为：X~B(1,P) 若X~B(1,P)，则E(X)=p,D(X)=pq
gx P{ X x } g x p
i i i i i
i
3-1 - 21
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离散型随机变量的方差
1. 描述离散型随机变量取值的分散程度 2. 计算公式为 2 2 D( X ) ( xi ) pi
i
3. 随机变量X的每一个取值与期望值的离差平方 和的数学期望，记为 2 或D(X)
i 1 i 1
5. D(X)≥0；D(C)=0 C为常数; 6. D(CX)=C*CD(X); 7. 若X,Y相互独立，则D(aX+bY)=a*aD(X)+b*bD(Y);
3-1 - 27பைடு நூலகம்
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2009年考题
3.随机变量X的均值EX=4,方差DX=4,则E(X2)= （ ）； A．8 B． 16 C．20 D．32
4. 方差的平方根称为标准差，记为 或
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D( X )
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离散型随机变量的方差
说明 利用定义可以计算随机变量X的方差,但计算 量上较大,也可以利用下面公式计算方差.既有：
DX E( X ) EX
2
2
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离散型随机变量的方差(例题分析
)
例3.2.8 甲、乙两人射击,他们射击水平由下表给出
0.04
0.96
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二项分布(伯努利试验)
二项分布与伯努利试验有关
定义 设有随机试验E,将试验E重复独立进行n次,即： 对试验E重复进行n次,每次试验的结果出现的概率均 不依赖于其他各次试验结果.称这一系列试验为n重 独立试验. 定义 设有n重独立随机试验, 如果每次试验E的结果 仅有可能的结果：A与 A ,则称这一系列试验为n重 Bernoulli试验。
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随机变量
说明 随机变量与高等数学中函数的概念不同。 1.随机变量定义在样本空间上,函数定义在实数上 2.随机变量取值具有随机性,因试验的结果不同而取 值不同,其每个可能的取值均对应一定的概率, 但取值范围是确定的.
3.随机事件是由样本点构成的集合,故可说随机变量 是随机事件基础上的一个概念。
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离散型随机变量的数学期望 (例题分析)
例3.2.6 书第67页例3.9