【数学】吉林省长春吉大附中力旺实验中学2018届高三第四次模拟考试数学(理)试题

2018-2019学年度上学期高三年级第四次模拟考试数学（理科）试题第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. ︒600sin 的值为（ ）A.21 B.23 C. 21- D . 23-2. 已知平面向量(3,1)a =r ，(,3)b x =-r ，且b a ρρ⊥，则x =( )A. –3B. –1C. 1 D . 33. 设n S 是等差数列}{n a 的前n 项和，若3531=++a a a ，则=5S ( )A ．1B ．5C ．7D ． 9 4.函数y =的定义域为（ ）A.(34,1) B. (34,∞) C.（1，+∞） D. (34,1)∪（1，+∞） 5. 设a ∈R ，则“a ＝1”是“函数xxaee a xf +-=1)(在定义域上是奇函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件6. 函数sin()(0)y x ϕϕ=π+>的部分图象如图所示，设P 是图象的最高点，,A B 是图象与x 轴的交点，则tan APB ∠=（ ）A.10B.47C.87D.87. 设变量,x y 满足约束条件20,220,0,3,x y x y x y +⎧⎪+-⎪⎨⎪⎪⎩≥≥≤≤则目标函数z x y =+的最大值为（ ）A ．23 B ．1 C ．32D ．3 8. 设,l m 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是（ ） A.若//,//,//m l m l αα则；B.若,,//m l m l αα⊥⊥则；C.若//,,//,l m l m αβαβ⊥⊥则； D .若,//,,//,//m m l l αββααβ⊂⊂则；9. 如图，AB 是圆O 的直径，C D 、是圆O 上的点，60CBA ∠=o，45ABD ∠=o，CD xOA yBC =+u u u r u u u r u u u r，则x y +的值为（ ）A ．13- B．C ．23D．10. 004cos50tan 40-= （ ） ABC．1 11. 已知等比数列{}n z 中，11z =，2z x yi =+，yi x z +-=3（其中i 为虚数单位，x y R ∈、，且0>y ），则数列{}n z 的前2019项的和为（ ）A ．i 2321+ B ．i 2321- C ．i 31- D ．i 31+ 12. 直线m y l =:（m 为实常数）与曲线E ：|ln |x y =的两个交点A ，B 的横坐标分别为21,x x ，且21x x <，曲线E 在点A ，B 处的切线PA ，PB 与y 轴分别交于点M ，N ，有下面5个结论： ①212x x +的取值集合为),22(+∞; ②△PAB 可能为等腰三角形；第9题图③若直线l 与y 轴的交点为Q ，则1||=；④当1x 是函数x x x g ln )(2+=的零点时，||（O 为坐标原点）取得最小值.其中正确结论的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分）13. 抛物线24y x =的准线方程为_____________14. 设数列}{n a 的通项公式为12-⋅=n n n a )(*N n ∈，则其前5项的和为______15. 正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，MN 是它的内切球的一条弦（我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦），P 为正方体表面上的动点，当弦MN 的长度最大时，PM PN ⋅u u u u r u u u r的取值范围为______________16. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且BC 边上的高为a 21，则当c b b c +取得最大值时，角A 的值为______________三、解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.17. （本小题满分12分）设函数x x x x f 2cos cos sin 32)(+⋅=，R x ∈（Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期；（Ⅱ）保持函数)(x f 图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍得到函数)(x g 的图象。

2018年吉林省长春市高考数学四模试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合1，，则A. B. C. D.2.若复数为纯虚数，则实数a的值为A. 1B. 0C.D.3.为考察A、B两种药物预防某疾病的效果，进行动物试验，分别得到如下等高条形图：根据图中信息，在下列各项中，说法最佳的一项是A. 药物B的预防效果优于药物A的预防效果B. 药物A的预防效果优于药物B的预防效果C. 药物A、B对该疾病均有显著的预防效果D. 药物A、B对该疾病均没有预防效果4.已知的三个顶点坐标分别为，，，则向量在方向上的投影为A. B. C. D.5.设公差小于0的等差数列的前n项和为，且，则当取得最大值时n的值为A. 6B. 7C. 8D. 116.函数的部分图象如图所示，则A. B. C. D.7.如图，三棱柱中，侧棱底面，底面三角形是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是A. 与是异面直线B. 平面C. AE，为异面直线，且D. 平面8.设x，y满足约束条件若目标函数的最大值为18，则a的值为A. 3B. 5C. 7D. 99.如图所示程序框图，若输出的x为，则输入的值为A. 1B.C.D. 210.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的所有面中，最大面的面积为A.B.C.D.11.双曲线的左、右焦点分别为和，左、右顶点分别为和，过焦点与x轴垂直的直线和双曲线的一个交点为P，若是和的等比中项，则该双曲线的离心率为A. B. C. 2 D.12.已知函数，对任意的，，都有恒成立，则实数k的取值范围是A. B.C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若的展开式中的项的系数为20，则实数______．14.已知函数，则曲线在处的切线的斜率为______．15.如图，直角中，，斜边AB上的高为OC，M为OA的中点，过B点且垂直于y轴的直线交直线MC于点N，则点N的轨迹方程为______．16.半径为1的球放置于一个圆锥中，并使得球与圆锥底面相切，则圆锥体积的最小值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，已知D为BC边上一点，，若．Ⅰ求的值；Ⅱ若的面积为，求a的值．18.某省高中男生身高统计调查数据显示：全省100000名男生的身高服从正态分布，现从某校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于和之间，将测量结果按如下方式分成6组：第一组，第二组，，第六组，如图是按照上述分组方法得到的频率分布直方图．Ⅰ求该学校高三年级男生的平均身高与这50名男生中身高在以上含的人数；Ⅱ从这50名男生中身高在以上含的人中任意抽取2人，该2人身高排名从高到低在全省前130名的人数记为，求的数学期望．附：参考数据：若服从正态分布，则，，．19.已知平行四边形ABCD中，，，点E为AD的中点，点F为BD与CE的交点，现沿BE将折起至位置，使平面PBE与平面BCDE垂直，设点G为的重心．Ⅰ求证：平面FED；Ⅱ求平面BFG与平面PBE所成锐二面角的余弦值．20.在平面直角坐标系中，已知点P是离心率为的椭圆C上的点，，为椭圆C的左右焦点，且的周长为6．Ⅰ求椭圆C的标准方程；Ⅱ已知与为平面内的两个定点，方程为的直线l与椭圆C交于M，N两点，问直线AM与BN的交点是否在一条直线上，如果是，请求出该直线的方程；否则请说明理由．21.已知函数．Ⅰ当且时，试判断函数的单调性；Ⅱ若且，求证：函数在上的最小值小于；Ⅲ若在R上是单调函数，求ab的最小值．22.已知曲线C的极坐标方程为，直线l的参数方程为为参数Ⅰ求曲线C的直角坐标方程与直线l的普通方程；Ⅱ设曲线C和直线l相交于A，B两点，点P为曲线C上异于A，B的一点，求面积的最大值．23.已知函数．Ⅰ若不等式的解集为或，求实数a的值；Ⅱ若对，，求实数a的取值范围．答案和解析【答案】1. C2. D3. B4. B5. B6. B7. C8. A9. D10. C11. A12. D13.14.15. ．16.17. 解：Ⅰ在中，，可得，由，可得，，即为，，若，，有，故；Ⅱ由的面积为，得，再由余弦定理可得，可得．18. 解：Ⅰ根据频率分布直方图，得我校高三年级男生平均身高为，高于全市的平均值；由频率分布直方图知，后两组频率为，人数为，即这50名男生身高在以上含的人数为10人．，，，全省前130名的身高在cm以上，这50人中cm以上的有5人；随机变量可取0，1，2，于是，，．．19. 本小题满分12分证明：Ⅰ延长BG交PE于H，连接HD．平行四边形ABCD中，，，点E为AD的中点，点F为BD与CE的交点，现沿BE将折起至位置，使平面PBE与平面BCDE垂直，设点G为的重心．，，，平面PDE，平面分解：以E为原点，以EB为x轴，以EC为y轴，以过点E垂直于平面BCDE的直线为z轴，建立坐标系．则0，，，0，，，0，，设平面BFG的法向量y，，则，取，得，分平面PBE的法向量1，分设平面BFG与平面PBE所成锐二面角为，则．故平面BFG与平面PBE所成锐二面角的余弦值为分20. 解：由且，可得，，即椭圆的方程为．设，，联立消去x得，，即，，AM：，BN：，可得，即，解得，故直线AM与BN的交点在同一条直线上．21. 解：Ⅰ由题可得，设，则，所以当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，所以，因为，所以，即，所以函数在R上单调递増．证明Ⅱ由知在上单调递増，因为，所以，所以存在，使得，即，即，所以函数在上单调递减，在上单调递増，所以当时，．令，，则恒成立，所以函数在上单调递减，所以，所以，即当时，故函数在上的最小值小于；Ⅲ，所以，由为R上的单调函数，可知一定为单调增函数因此，令，所以，当时，，当时，，在R上为增函数，当时，与矛盾，当时，等价于，等价于，当时，，，令，，则，当，解得，当，解得，当时，，所以ab的最小值为．22. 本小题满分10分解：Ⅰ曲线C的极坐标方程为，曲线C的直角坐标方程为，直线l的参数方程为为参数，直线l：分Ⅱ设，点P到直线l的距离：，曲线C是圆心为，半径的圆，圆心到直线l的距离，，面积的最大值为分23. 解：Ⅰ当时，由题意可知，，，．经检验成立．Ⅱ令当时显然不成立；当时，，从而，即．当时，，从而，即．综上可得实数a的取值范围是．【解析】1. 解：；，且；．故选：C．可解出集合B，然后进行补集、交集的运算即可．考查列举法、描述法表示集合的概念，以及交集、补集的概念及运算．2. 解：复数为纯虚数，，，解得．故选：D．利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3. 解：由A、B两种药物预防某疾病的效果，进行动物试验，分别得到的等高条形图，知：药物A的预防效果优于药物B的预防效果．故选：B．观察等高条形图，能够求出结果．本题考查等高条形图的应用，考查数据处理能力、运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．4. 解：，，，可得，，向量在方向上的投影为，故选：B．求得向量AB，AC的坐标，再由向量的投影的定义，计算可得所求值．本题主要考查平面向量的坐标运算和向量数量积的坐标表示以及向量的投影求法，考查运算能力，属于基础题．5. 解：由题意知，，，即，．由等差数列公差小于0，从而取最大值时．故选：B．由题意知，利用通项公式可得：，可得，由等差数列公差小于0，即可得出结论．本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6. 解：根据函数的部分图象，可得，，，结合五点法作图可得，，函数，则，故选：B．由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得函数的解析式，从而求得的值．本题主要考查由函数的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，属于基础题．7. 解：A不正确，因为与在同一个侧面中，故不是异面直线；B不正确，由题意知，上底面ABC是一个正三角形，故不可能存在平面；C正确，因为AE，为在两个平行平面中且不平行的两条直线，故它们是异面直线；D不正确，因为所在的平面与平面相交，且与交线有公共点，故A平面不正确；故选：C．由题意，此几何体是一个直三棱柱，且其底面是正三角形，E是中点，由这些条件对四个选项逐一判断得出正确选项本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，解题的关键是理解清楚题设条件，根据所学的定理，定义对所面对的问题进行证明得出结论，本题考查空间想象能力以及推理谁的能力，综合性较强．8. 解：画出约束条件的可行域，如图：目标函数最大值为18，即目标函数在的交点处，目标函数z最大值为18，所以，所以．故选：A．由线性约束条件画出可行域，然后结合目标函数的最大值求出a的值．本题直接考查线性规划问题，是一道较为简单的送分题近年来高考线性规划问题高考数学考试的热点，正确作出可行域是解题的关键．9. 解：由题意知时，时，时，时，以此类推可知，解得．故选：D．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．10. 解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为三棱锥，其中D为棱的中点，，，，．可确定其最大面的面积为．故选：C．由三视图还原原几何体，可知该几何体为三棱锥，其中D为棱的中点，分别求出四个三角形的面积，比较得答案．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．11. 解：根据题意，设P的坐标为，双曲线的左、右焦点分别为和，左、右顶点分别为和，则，，，，过焦点与x轴垂直的直线和双曲线的一个交点为P，则，则有，解可得，则，若是和的等比中项，则有，则有，变形可得：，则，则该双曲线的离心率，故选：A．根据题意，设P的坐标为，由双曲线的标准方程分析可得、、、的坐标，求出P的坐标，即可得，由等比数列的性质分析可得，则有，将其变形可得，结合双曲线的性质可得，由双曲线的离心率公式计算可得答案．本题考查双曲线的几何性质，涉及双曲线的离心率公式，关键是得到关于a、b、c的等式．12. 解：根据题意，不妨设，则等价于，令，则，再设，，原不等式等价于在上恒成立，又由，则，，则有恒成立，又由，则必有，即k的取值范围为；故选：D．根据题意，不妨设，则原不等式等价于，令，则，再设，，求导，求出函数的最值即可求出k的范围本题考查函数的恒成立问题，涉及导数的性质以及应用，关键是将原问题转化为函数的最值问题．13. 解：的展开式的通项公式为，令，可得展开式中的项的系数为，故，故答案为：．在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得项的系数，再根据项的系数等于60，求得实数a的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．14. 解：，，故答案为：．求出函数的导数，计算的值即可．本题考查了切线的斜率问题，考查导数的应用，是一道基础题．15. 解：根据题意，如图建立坐标系，则，，设N的坐标为，则，设，则，，，则，则，，又由过B点且垂直于y轴的直线交直线MC于点N，则，则有，即，变形可得：；又由，则，则点N的轨迹方程为，；故答案为：，．根据题意，建立坐标系，设N的坐标为，由此分析可得A、M、B的坐标，设，由三角函数的定义分析可得、的值，由平行线的性质分析可得，即，变形即可得答案．本题考查轨迹方程的求法，涉及抛物线的定义，关键是分析得到的值．16. 解：设圆锥的高为h，底面半径为r，则当圆锥体积最小小球与圆锥侧面相切，由三角形相似可得，即，圆锥的体积．当且仅当即时取等号．故答案为：．根据三角形相似得出圆锥的底面半径和高的关系，根据体积公式和基本不等式得出答案．本题考查了圆锥的结构特征，体积公式与基本不等式的应用，属于中档题．17. Ⅰ运用余弦定理可得，由，可得，运用余弦定理化简可得，再由正弦定理即可得到所求值；Ⅱ运用三角形的面积公式可得b，再由余弦定理计算可得a的值．本题考查正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．18. Ⅰ根据频率分布直方图，得我校高三年级男生平均身高为结合频率分布直方图即可得出．由，可得，可得全省前130名的身高在cm以上，这50人中cm以上的有5人；随机变量可取0，1，2，利用超几何分布列的计算公式即可得出．本小题主要考查学生对频率分布直方图的理解以及分布列的相关知识，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19. Ⅰ延长BG交PE于H，连接HD，推导出，由此能证明平面PED．以E为原点，以EB为x轴，以EC为y轴，以过点E垂直于平面BCDE的直线为z 轴，建立坐标系利用向量法能求出平面BFG与平面PBE所成锐二面角的余弦值．本题以四棱锥为载体，考查立体几何的基础知识本题考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．20. Ⅰ由且，即可求出a，c，可得b，即可得到椭圆方程，Ⅱ设，，联立，根据韦达定理和直线方程可得，即可求出直线方程．本小题考查椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系，考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力，属于中档题21. Ⅰ先求导，再构造函数，再求导，根据函数的最值即可判断，Ⅱ等价于当时，构造函数，，求出函数的最值即可证明，Ⅲ等价于，构造函数，求导，分类讨论，求出函数的最值即可．本小题主要考查函数与导数的相关知识，以导数为工具研究函数的方法，考查学生解决问题的综合能力，属于难题．22. Ⅰ由曲线C的极坐标方程能求出曲线C的直角坐标方程；由直线l的参数方程，能求出直线的普通方程．Ⅱ设，点P到直线l的距离，再求出，由此能求出面积的最大值．本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求．23. Ⅰ根据去绝对值，求解的解析式，解集为或，即可求实数a的值；Ⅱ对a进行讨论，去绝对值，求解实数a的取值范围．本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式解法等内容本小题重点考查化归与转化思想．。

吉林省长春市2018届高三质量监测(四)数学理长春市普通高中2018届高三质量监测（四）数学试题卷（理科）考生须知：1.本试卷分试题卷和答题卡，满分150分，考试时间120分钟。

2.答题前，在答题卡指定位置上填写学校、班级、姓名和准考证号。

3.所有答案必须写在答题卡上，写在试卷上无效。

4.考试结束，只需上交答题卡。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合A={-3,-1,1,3}，B={x|x²+2x-3=0}，则A∩(全体实数B)={-3,1}。

2.若复数z=(1+i)/(1+ai)为纯虚数，则实数a的值为0.3.为考察A、B两种药物预防某疾病的效果，进行了药物A实验和药物B实验，得到等高条形图，根据图中信息，最佳的说法是：药物A、B对该疾病均有显著的预防效果。

4.已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(1,1)，B(-3,3)，C(4,2)，则向量AB在AC方向上的投影为-2/5.5.设公差小于1的等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3=11a6，则当Sn取得最大值时n的值为8.6.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,-π<φ<π)(x∈R)的部分图像如图所示，则f(π/2)=-A。

7.如图，在三棱柱ABC-A'B'C'中，侧棱AA'B'，底面三角形A'B'C'是正三角形，A1为BC中点，则下列叙述正确的是：AE，B1C1为异面直线且AE⊥B1C1.已知函数$f(x)=\frac{1}{x}$，$x\in(0,+\infty)$，求证：对于任意的正整数$n$，都有$\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{k}\geqslant\frac{n}{n+1}\cdotf(n+1)$。

证明：对于任意的正整数$n$，有begin{align*}sum_{k=1}^n\frac{1}{k}&=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\cdots +\frac{1}{n}\\geqslant\int_1^{n+1}\frac{1}{x}\mathrm{d}x\\ln(n+1)-\ln 1\\ln(n+1)end{align*}又因为$f(x)=\frac{1}{x}$在$x\in(0,+\infty)$上单调递减，所以begin{align*}f(n+1)&=\frac{1}{n+1}\\leqslant\frac{1}{k},\quad k\in[1,n]\\Rightarrow\frac{n}{n+1}\cdotf(n+1)&\leqslant\frac{n}{n+1}\cdot\frac{1}{n+1}\\frac{1}{n+1}end{align*}因此，$\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{k}\geqslant\frac{n}{n+1}\cdotf(n+1)$成立。

2018年吉林省长春市高考数学四模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设集合A={−3, −1, 1, 3}，B={x|x2+2x−3=0}．则A∩(∁R B)=()A.{1, −3}B.{−1, −3}C.{−1, 3}D.{1, 3}2. 若复数z=1+i1+ai为纯虚数，则实数a的值为（）A.1B.0C.−12D.−13. 为考察A、B两种药物预防某疾病的效果，进行动物试验，分别得到如下等高条形图，如图所示．根据图中信息，在下列各项中，说法最佳的一项是（）A.药物B的预防效果优于药物A的预防效果B.药物A的预防效果优于药物B的预防效果C.药物A、B对该疾病均有显著的预防效果D.药物A、B对该疾病均没有预防效果4. 已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(1, 1)，B(−3, 3)，C(4, 2)，则向量AB→在AC→方向上的投影为（）A.√10B.−√10C.√22D.−√225. 设公差小于0的等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3=11a6，则当S n取得最大值时n 的值为（）A.6B.7C.8D.116. 函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0, −π2<φ<π2)(x∈R)的部分图象如图所示，则f(π3)=()A.1 2B.√32C.−12D.−√327. 如图，三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面A 1B 1C 1，底面三角形A 1B 1C 1是正三角形，E 是BC 中点，则下列叙述正确的是( ) 1与B 1E 是异面直线B.AC ⊥平面ABB 1A 1C.AE ，B 1C 1为异面直线，且AE ⊥B 1C 1D.A 1C 1 // 平面AB 1E8. 设x ，y 满足约束条件{3x −y −6≤0x −y +2≥0x ≥0,y ≥0 若目标函数z =ax +y(a >0)的最大值为18，则a 的值为（ ） A.3 B.5 C.7 D.99. 如图所示程序框图，若输出的x 为−1，则输入x 0的值为（ ）A.1B.12C.−1D.210. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的所有面中，最大面的面积为（ ）A.4√2B.4√6C.8√2D.8√611. 双曲线x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的左、右焦点分别为F1和F2，左、右顶点分别为A1和A2，过焦点F2与x轴垂直的直线和双曲线的一个交点为P，若|PA1|是|F1F2|和|A1F2|的等比中项，则该双曲线的离心率为（）A.√2B.√3C.2D.√512. 已知函数f(x)=e x，对任意的x1，x2∈R，都有f(x1)−f(x2)x1−x2<|k|⋅（f(x1)+f(x2)）恒成立，则实数k的取值范围是（）A.[−2, 2]B.(−∞, −2]∪[2, +∞)C.[−12,1 2 ]D.(−∞,−12]∪[12,+∞)二、填空题：本题共4小题，每小题5分．若(1−ax)6的展开式中的x3项的系数为20，则实数a=________．已知函数f(x)=sinx+cosx，则曲线y=f(x)在x=π12处的切线的斜率为________．如图，直角△OAB中，OA=4，斜边AB上的高为OC，M为OA的中点，过B点且垂直于y轴的直线交直线MC于点N，则点N的轨迹方程为________．半径为1的球放置于一个圆锥中，并使得球与圆锥底面相切，则圆锥体积的最小值为________．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A=60∘，已知D为BC边上一点，CD=2DB，若AD=√213b．(Ⅰ)求sinBsinC的值；(Ⅱ)若△ABC的面积为2√3，求a的值．某省高中男生身高统计调查数据显示：全省100000名男生的身高服从正态分布N(170.5, 16)，现从某校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于157.5cm和187.5cm之间，将测量结果按如下方式分成6组：第一组[157.5, 162.5)，第二组[162.5, 167.5)，…，第六组[182.5, 187.5)，如图是按照上述分组方法得到的频率分布直方图．(Ⅰ)求该学校高三年级男生的平均身高与这50名男生中身高在177.5cm 以上（含177.5cm ）的人数；(Ⅱ)从这50名男生中身高在177.5cm 以上（含177.5cm ）的人中任意抽取2人，该2人身高排名（从高到低）在全省前130名的人数记为ξ，求ξ的数学期望．（附：参考数据：若ξ服从正态分布N(μ, σ2)，则P(μ−σ<ξ≤μ+σ)=0.6826，P(μ−2σ<ξ≤μ+2σ)=0.9544，P(μ−3σ<ξ≤μ+3σ)=0.9974．已知平行四边形ABCD 中，A =60∘，AD =2AB ，点E 为AD 的中点，点F 为BD 与CE 的交点，现沿BE 将△ABE 折起至△PBE 位置，使平面PBE 与平面BCDE 垂直，设点G 为△PBE 的重心．(Ⅰ)求证：GF // 平面PED ；(Ⅱ)求平面BFG 与平面PBE 所成锐二面角的余弦值．在平面直角坐标系中，已知点P 是离心率为12的椭圆C 上的点，F 1，F 2为椭圆C 的左右焦点，且△F 1PF 2的周长为6． (Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)已知A(−2, 0)与B(2, 0)为平面内的两个定点，方程为x =my +1(m ∈R)的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，问直线AM 与BN 的交点是否在一条直线上，如果是，请求出该直线的方程；否则请说明理由．已知函数f(x)=e x −12bx 2+ax(a, b ∈R)． (Ⅰ)当a >−1且b =1时，试判断函数f(x)的单调性；(Ⅱ)若a <1−e 且b =1，求证：函数f(x)在[1, +∞)上的最小值小于12；(Ⅲ)若f(x)在R 上是单调函数，求ab 的最小值．（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分．[选修4-4坐标系与参数方程选讲]已知曲线C 的极坐标方程为ρ=4sinθ，直线l 的参数方程为{x =√32ty =1+12t（t 为参数）(Ⅰ)求曲线C的直角坐标方程与直线l的普通方程；(Ⅱ)设曲线C和直线l相交于A，B两点，点P为曲线C上异于A，B的一点，求△PAB面积的最大值．[选修4-5不等式选讲]已知函数f(x)=|x−2|．(Ⅰ)若不等式f(x−a+2)+f(x−1)≥4(a<3)的解集为{x|x≤12或x≥92}，求实数a的值；(Ⅱ)若对∀x∈R，f(x−a+2)+2f(x−1)≥1，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析2018年吉林省长春市高考数学四模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.【答案】C【考点】交、并、补集的混合运算【解析】可解出集合B，然后进行补集、交集的运算即可．【解答】B={−3, 1}；∴∁R B={x|x≠−3, 且x≠1}；∴A∩(∁R B)={−1, 3}．2.【答案】D【考点】复数的运算【解析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．【解答】解:复数z=1+i1+ai=(1+i)(1−ai) (1+ai)(1−ai)=1+a1+a2+1−a1+a2i∵复数为纯虚数，∴1+a1+a =0，1−a1+a≠0，解得a=−1.故选D．3.【答案】B【考点】进行简单的合情推理【解析】此题暂无解析【解答】解：由图表可知，药物A服用之后，患病人数与未患病人数对比明显，故药物A的预防效果优于药物B的预防效果．故选B．4.【答案】 B【考点】平面向量数量积的性质及其运算律 【解析】求得向量AB ，AC 的坐标，再由向量的投影的定义，计算可得所求值． 【解答】A(1, 1)，B(−3, 3)，C(4, 2)， 可得AB →=(−4, 2)，AC →=(3, 1)， 向量AB →在AC →方向上的投影为AB →∗AC →|AC →|=√9+1=−√10，5.【答案】 B【考点】等差数列的前n 项和 【解析】由题意知S 3=11a 6，利用通项公式可得：3a 1+3d =11(a 1+5d)，可得2a 1+13d =0，a 7+a 8=(0)由等差数列公差小于0，即可得出结论． 【解答】由题意知S 3=11a 6，∴ 3a 1+3d =11(a 1+5d)， ∴ 2a 1+13d =0， 即a 1+a 14=0， ∴ a 7+a 8=(0)由等差数列公差小于0，从而S n 取最大值时n =(7) 6.【答案】 B【考点】由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式 【解析】由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式，从而求得f(π3)的值． 【解答】根据函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0, ω>0, −π2<φ<π2)(x ∈R)的部分图象， 可得A =1，14⋅2πω=2π3−π6，∴ ω=1，结合五点法作图可得1×π6+φ=π2，∴ φ=π3，函数f(x)=sin(x +π3)， 则f(π3)=sin2π3=√32， 7.【答案】 C【考点】空间中直线与平面之间的位置关系 棱柱的结构特征 【解析】由题意，此几何体是一个直三棱柱，且其底面是正三角形，E 是中点，由这些条件对四个选项逐一判断得出正确选项 【解答】解：A ，不正确，因为CC 1与B 1E 在同一个侧面中，故不是异面直线；B ，不正确，由题意知，上底面ABC 是一个正三角形，故不可能存在AC ⊥平面ABB 1A 1； C ，正确，因为AE ，B 1C 1为在两个平行平面中且不平行的两条直线，故它们是异面直线；D ，不正确，因为A 1C 1所在的平面A 1B 1C 1与平面AB 1E 相交，且A 1C 1与交线有公共点，故A 1C 1 // 平面AB 1E 不正确. 故选C . 8.【答案】 A【考点】 简单线性规划 【解析】由线性约束条件画出可行域，然后结合目标函数的最大值．求出a 的值． 【解答】画出约束条件{3x −y −6≤0x −y +2≥0x ≥0,y ≥0 的可行域，如图：目标函数z =ax +y(a >0)最大值为18，即目标函数z =ax +y(a >0) 在{3x −y −6=0x −y +2=0的交点M(4, 6)处， 目标函数z 最大值为18，所以4a +6=18，所以a =3． 9.【答案】 D【考点】 程序框图 【解析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【解答】由题意知i =0时x =x 0， i =1时x =1−1x 0，i =2时x =1−xx 0−1，i=3时x=x0，…以此类推可知x2008=1−x0x0−1=−1，解得x=(2)10.【答案】C【考点】由三视图求体积【解析】由三视图还原原几何体，可知该几何体为三棱锥A−BCD，其中D为棱的中点，分别求出四个三角形的面积，比较得答案．【解答】由三视图还原原几何体如图，该几何体为三棱锥A−BCD，其中D为棱的中点，S△ABD=12×2×4=4，S△BDC=12×2×4=4，S△ABC=12×4√2×4=8√2，S△ADC=12×4√3×2√2=4√6．可确定其最大面的面积为8√2．11.【答案】A【考点】双曲线的特性【解析】根据题意，设P的坐标为(m, n)，由双曲线的标准方程分析可得F1、F2、A1、A2的坐标，求出P的坐标，即可得|PF2|=b2a，由等比数列的性质分析可得|PA1|2=|F1F2||A1F2|，则有b4a2+(a+c)2=2c(a+c)，将其变形可得b2=a2，结合双曲线的性质可得c=√2a，由双曲线的离心率公式计算可得答案．【解答】根据题意，设P的坐标为(m, n)，双曲线x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的左、右焦点分别为F1和F2，左、右顶点分别为A1和A2，则F1(−c, 0)，F2(c, 0)，A1(−a, 0)，A2(a, 0)，过焦点F2与x轴垂直的直线和双曲线的一个交点为P，则m=c，则有c2a2−n2b2=1，解可得n=±b2a，则P(c, ±b2a)，|PF2|=b2 a若|PA1|是|F1F2|和|A1F2|的等比中项，则有|PA1|2=|F1F2||A1F2|，则有b4a2+(a+c)2=2c(a+c)，变形可得：b2=a2，则c=√2a，则该双曲线的离心率e=ca=√2，12.【答案】D【考点】函数恒成立问题【解析】根据题意，不妨设x1<x2，则原不等式等价于e x1−e x2e1+e2μ>|k|(x1−x2)，令t=x2−x1，则t>0，再设g(t)=|k|t−e t−1e t+1，(t>0)，求导，求出函数的最值即可求出k的范围【解答】根据题意，不妨设x1<x2，则f(x1)−f(x2)x1−x2<|k|⋅（f(x1)+f(x2)）等价于e x1−e x2e x1+e x2>|k|(x1−x2)，令t=x2−x1，则t>0，再设g(t)=|k|t−e t−1e t+1，(t>0)，原不等式等价于g(t)>0在(0, +∞)上恒成立，又由g(0)=0，则g′(t)=|k|−2e t(e t+1)2，(t>0)，则有|k|≥2et(e t+1)2恒成立，又由2e t(e t+1)2=2e te2t+2e t+1=2e t+1e t+2<12，则必有|k|≥12，即k的取值范围为(−∞,−12]∪[12,+∞)；二、填空题：本题共4小题，每小题5分．【答案】−1【考点】二项式定理的应用【解析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得x3项的系数，再根据x3项的系数等于60，求得实数a的值．【解答】(1−ax)6的展开式的通项公式为T r+1=C6r⋅(−a)r⋅x r，令r=3，可得展开式中的x3项的系数为(−a)3 C63=−20a3=20，故a=−1，【答案】√22【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】求出函数的导数，计算f′(π12)的值即可．【解答】f′(x)=cosx −sinx ， f′(π12)=cos π12−sin π12=√22， 【答案】y 2=8x(x ≠0)． 【考点】 轨迹方程 【解析】根据题意，建立坐标系，设N 的坐标为(x, y)，由此分析可得A 、M 、B 的坐标，设∠OBA =∠COA =θ，由三角函数的定义分析可得|AC|、|BC|的值，由平行线的性质分析可得|AM||NB|=|AC||BC|，即2x=√4+y 2−y 2√4+y y 2√4+y ，变形即可得答案．【解答】根据题意，如图建立坐标系，则A(4, 0)，M(2, 0)， 设N 的坐标为(x, y)，则B(0, y)，y ≠0 设∠OBA =∠COA =θ，则|OA|=4，|OB|=|y|，|AB|=√4+y 2， 则cosθ=√4+y 2，则|BC|=ycosθ=2√4+y 2，|AC|=√4+y 2−22，又由过B 点且垂直于y 轴的直线交直线MC 于点N ，则BN // OA ，则有|AM||NB|=|AC||BC|，即2x=√4+y 2−24+y y 24+y ，变形可得：y 2=8x ；又由y ≠0，则x ≠0，则点N 的轨迹方程为y 2=8x ，(x ≠0)； 【答案】8π 【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台） 【解析】根据三角形相似得出圆锥的底面半径和高的关系，根据体积公式和基本不等式得出答案． 【解答】设圆锥的高为ℎ，底面半径为r ，则当圆锥体积最小小球与圆锥侧面相切， 由△AOE ∼△ACF 可得1r=√(ℎ−1)2−12ℎ，即r =√ℎ2−2ℎ，∴ 圆锥的体积V =13πr 2ℎ=πℎ23(ℎ−2)=π3[(ℎ−2)+4ℎ−2+4]≥8π3．当且仅当ℎ−2=2即ℎ=4时取等号．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．【答案】(Ⅰ)在△ABC中，A=60∘，可得a2=b2+c2−2bccos60∘=b2+c2−bc，由∠ADB+∠ADC=π，可得cos∠ADB+cos∠ADC=0，CD=2DB，即为CD=23a，BD=13a，若AD=√213b，a2 9+21b29−c2a3∗√21b34a29+21b29−b22∗2a3∗√21b3=0，有c=2b，故sinBsinC =bc=12；(Ⅱ)由△ABC的面积为S=12b⋅2b⋅sin60∘=√32b2=2√3，得b=2，再由余弦定理可得a2=b2+c2−2bccos60∘=b2+c2−bc=b2+4b2−2b2=3b2=12，可得a=2√3．【考点】三角形求面积【解析】(Ⅰ)运用余弦定理可得a2=b2+c2−2bccos60∘=b2+c2−bc，由∠ADB+∠ADC=π，可得cos∠ADB+cos∠ADC=0，运用余弦定理化简可得c=2b，再由正弦定理即可得到所求值；(Ⅱ)运用三角形的面积公式可得b，再由余弦定理计算可得a的值．【解答】(Ⅰ)在△ABC中，A=60∘，可得a2=b2+c2−2bccos60∘=b2+c2−bc，由∠ADB+∠ADC=π，可得cos∠ADB+cos∠ADC=0，CD=2DB，即为CD=23a，BD=13a，若AD=√213b，a2 9+21b29−c2a3∗√21b34a29+21b29−b22∗2a3∗√21b3=0，有c=2b，故sinBsinC =bc=12；(Ⅱ)由△ABC的面积为S=12b⋅2b⋅sin60∘=√32b2=2√3，得b=2，再由余弦定理可得a2=b2+c2−2bccos60∘=b2+c2−bc =b2+4b2−2b2=3b2=12，可得a=2√3．【答案】(Ⅰ)根据频率分布直方图，得我校高三年级男生平均身高为x=160×0.02×5+165×0.04×5+170×0.06×5+175×0.04×5+180×0.02×5+185×0.02×5=171.5，∴高于全市的平均值170.5；由频率分布直方图知，后两组频率为0.2，∴人数为0.2×50=10，即这50名男生身高在177.5cm以上（含177.5 cm）的人数为10人．(II)∵P(170.5−3×4<ξ≤170.5+3×4)=0.9974，∴P(ξ≥182.5)=1−0.99742=0.0013，∴0.0013×100 000=130，全省前130名的身高在182.5 cm以上，这50人中182.5 cm以上的有5人；∴随机变量ξ可取0，1，2，于是P(ξ=0)=∁52∁102=29，P(ξ=1)=∁51∁51∁102=59，P(ξ=2)=∁52∁102=29．Eξ=0×29+1×59+2×29=(1)【考点】频率分布直方图正态分布的密度曲线【解析】(Ⅰ)根据频率分布直方图，得我校高三年级男生平均身高为x=160×0.02×5+165×0.04×5+170×0.06×5+175×0.04×5+180×0.02×5+185×0.02×(5)结合频率分布直方图即可得出．(II)由P(170.5−3×4<ξ≤170.5+3×4)=0.9974，可得P(ξ≥182.5)=1−0.99742=0.0013，可得全省前130名的身高在182.5 cm以上，这50人中182.5 cm以上的有5人；随机变量ξ可取0，1，2，利用超几何分布列的计算公式即可得出．【解答】(Ⅰ)根据频率分布直方图，得我校高三年级男生平均身高为x=160×0.02×5+165×0.04×5+170×0.06×5+175×0.04×5+180×0.02×5+185×0.02×5=171.5，∴高于全市的平均值170.5；由频率分布直方图知，后两组频率为0.2，∴人数为0.2×50=10，即这50名男生身高在177.5cm以上（含177.5 cm）的人数为10人．(II)∵P(170.5−3×4<ξ≤170.5+3×4)=0.9974，∴P(ξ≥182.5)=1−0.99742=0.0013，∴0.0013×100 000=130，全省前130名的身高在182.5 cm以上，这50人中182.5 cm以上的有5人；∴随机变量ξ可取0，1，2，于是P(ξ=0)=∁52∁102=29，P(ξ=1)=∁51∁51∁102=59，P(ξ=2)=∁52∁102=29．Eξ=0×29+1×59+2×29=(1)【答案】（本小题满分1证明：(Ⅰ)延长BG 交PE 于H ， 连接HD ．∵ 平行四边形ABCD 中，A =60∘， AD =2AB ，点E 为AD 的中点， 点F 为BD 与CE 的交点，现沿BE 将△ABE 折起至△PBE 位置，使平面PBE 与平面BCDE 垂直， 设点G 为△PBE 的重心．∴ BGGH =2，BFFD =2，∴ GF // HD ，∵ HD ⊂平面PDE ， ∴ GF // 平面PED ．（2）以E 为原点，以EB 为x 轴，以EC 为y 轴，以过点E 垂直于平面BCDE 的直线为z 轴，建立坐标系．则B(2, 0, 0)，D(−1, √3, 0)，G(1, 0, √33)，BD →=(−3, √3, 0)，BG →=(−1, 0, √33)， 设平面BFG 的法向量n →=(x, y, z)，则{n →∗BD →=−3x +√3y =0n →∗BG →=−x +√33z =0 ，取x =1，得n →=(1, √3,√3)， 平面PBE 的法向量m →=(0, 1, 0)．设平面BFG 与平面PBE 所成锐二面角为θ， 则cosθ=|n →∗m →||n →|∗|m →|=21=√217． 故平面BFG 与平面PBE 所成锐二面角的余弦值为√217．【考点】二面角的平面角及求法 【解析】(Ⅰ)延长BG 交PE 于H ，连接HD ，推导出GF // HD ，由此能证明GF // 平面PED ．（2）以E 为原点，以EB 为x 轴，以EC 为y 轴，以过点E 垂直于平面BCDE 的直线为z 轴，建立坐标系．利用向量法能求出平面BFG 与平面PBE 所成锐二面角的余弦值． 【解答】（本小题满分1证明：(Ⅰ)延长BG 交PE 于H ，连接HD ．∵ 平行四边形ABCD 中，A =60∘， AD =2AB ，点E 为AD 的中点， 点F 为BD 与CE 的交点，现沿BE 将△ABE 折起至△PBE 位置，使平面PBE 与平面BCDE 垂直， 设点G 为△PBE 的重心．∴ BGGH =2，BFFD =2，∴ GF // HD ，∵ HD ⊂平面PDE ， ∴ GF // 平面PED ．（2）以E 为原点，以EB 为x 轴，以EC 为y 轴，以过点E 垂直于平面BCDE 的直线为z 轴，建立坐标系． 则B(2, 0, 0)，D(−1, √3, 0)，G(1, 0, √33)，BD →=(−3, √3, 0)，BG →=(−1, 0, √33)， 设平面BFG 的法向量n →=(x, y, z)，则{n →∗BD →=−3x +√3y =0n →∗BG →=−x +√33z =0 ，取x =1，得n →=(1, √3,√3)， 平面PBE 的法向量m →=(0, 1, 0)．设平面BFG 与平面PBE 所成锐二面角为θ， 则cosθ=|n →∗m →||n →|∗|m →|=21=√217． 故平面BFG 与平面PBE 所成锐二面角的余弦值为√217．【答案】（1）由e =12且2a +2c =6， 可得a =2，c =1，即椭圆的方程为x 24+y 23=(1)（2）设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)，联立{x 24+y 23=1x =my +1 消去x 得，(3m 2+4)y 2+6my −9=0，即y 1+y 2=−6m 3m 2+4，y 1y 2=−93m 2+4， AM:y =y 1x1+2(x +2)①，BN:y =y 2x 2−2(x −2)②，可得y 1x 1+2(x+2)y 2x 2−2(x−2)=1， 即x+2x−2=y 2(x 1+2)y1(x 2−2)=y 2(my 1+3)y 1(my 2−1)=my 1y 2+3y 2my 1y 2−y 1=−9m 3m 2+4−18m3m 2+4−3y 1−9m3m 2+4−y 1=3，解得x =4，故直线AM 与BN 的交点在同一条直线x =4上． 【考点】 椭圆的定义 【解析】(Ⅰ)由e =12且2a +2c =6，即可求出a ，c ，可得b ，即可得到椭圆方程，(Ⅱ)设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)，联立{x 24+y 23=1x =my +1 ，根据韦达定理和直线方程可得x+2x−2=y 2(x 1+2)y 1(x 2−2)=3，即可求出直线方程．【解答】（1）由e =12且2a +2c =6， 可得a =2，c =1，即椭圆的方程为x 24+y 23=(1)（2）设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)，联立{x 24+y 23=1x =my +1 消去x 得，(3m 2+4)y 2+6my −9=0，即y 1+y 2=−6m 3m 2+4，y 1y 2=−93m 2+4， AM:y =y 1x 1+2(x +2)①，BN:y =y 2x 2−2(x −2)②，可得y 1x 1+2(x+2)y 2x 2−2(x−2)=1， 即x+2x−2=y 2(x 1+2)y1(x 2−2)=y 2(my 1+3)y 1(my 2−1)=my 1y 2+3y 2my 1y 2−y 1=−9m 3m 2+4−18m3m 2+4−3y 1−9m3m 2+4−y 1=3，解得x =4，故直线AM 与BN 的交点在同一条直线x =4上． 【答案】(Ⅰ)由题可得f′(x)=e x −x +a ，设g(x)=e x −x +a ，则g′(x)=e x −1，所以当x >0时g′(x)>0，g(x)在(0, +∞)上单调递增， 当x <0时g′(x)<0，g(x)在(−∞, 0)上单调递减， 所以g(x)≥g(0)=1+a ，因为a >−1，所以1+a >0，即f′(x)>0， 所以函数f(x)在R 上单调递増．证明(Ⅱ)由（1）知g(x)在[1, +∞)上单调递増， 因为a <1−e ，所以g(1)=e −a +1<0，所以存在t ∈(1, +∞)，使得g(t)=0，即e t −t +a =0，即a =t −e t ， 所以函数f(x)在[1, t)上单调递减，在(t, +∞)上单调递増，所以当x ∈[1, +∞)时，f(x)min =f(t)=e t −12t 2+at =e t −12t 2+t(t −e t )=e t(1−t)+12t2．令ℎ(x)=e x(1−x)+12x2，x>1，则ℎ′(x)=x(1−e x)<0恒成立，所以函数ℎ(x)在(1, +∞)上单调递减，所以ℎ(x)<e(1−1)+12=12，所以e t(1−t)+12t2<12，即当x∈[1, +∞)时f(x)min<12，故函数f(x)在[1, +∞)上的最小值小于12；(Ⅲ)x)=e x−12bx2+ax，所以f′(x)=e x−bx+a，由f(x)为R上的单调函数，可知f(x)一定为单调增函数因此f′(x)=e x−bx+a≥0，令m(x)=e x−bx+a，所以m′(x)=e x−b，当b=0时，ab=0，当b<0时，m′(x)>0，m(x)在R上为增函数，当x→−∞时，m(x)→−∞与m(x)≥0矛盾，当b>0时，m′(x)>0等价于x>lnb，m′(x)<0等价于x<lnb，当x=lnb时，m(x)min=b−blnb+a≥0，ab≥b2lnb−b2，b>0令φ(x)=x2lnx−x2，x>0，则φ′(x)=2(2lnx−1)，当φ′(x)>0，解得x>√e，当φ′(x)<0，解得0<x<√e，当x=√e时，φ(x)min=−e2，所以ab的最小值为−e2．【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】(Ⅰ)先求导，再构造函数，再求导，根据函数的最值即可判断，(Ⅱ)等价于当x∈[1, +∞)时，f(x)min=f(t)=e t(1−t)+12t2．构造函数ℎ(x)=e x(1−x)+12x2，x>1，求出函数的最值即可证明，(Ⅲ)等价于f′(x)=e x−bx+a≥0，构造函数m(x)=e x−bx+a，求导，分类讨论，求出函数的最值即可．【解答】(Ⅰ)由题可得f′(x)=e x−x+a，设g(x)=e x−x+a，则g′(x)=e x−1，所以当x>0时g′(x)>0，g(x)在(0, +∞)上单调递增，当x<0时g′(x)<0，g(x)在(−∞, 0)上单调递减，所以g(x)≥g(0)=1+a，因为a>−1，所以1+a>0，即f′(x)>0，所以函数f(x)在R上单调递増．证明(Ⅱ)由（1）知g(x)在[1, +∞)上单调递増， 因为a <1−e ，所以g(1)=e −a +1<0，所以存在t ∈(1, +∞)，使得g(t)=0，即e t −t +a =0，即a =t −e t ， 所以函数f(x)在[1, t)上单调递减，在(t, +∞)上单调递増，所以当x ∈[1, +∞)时，f(x)min =f(t)=e t −12t 2+at =e t −12t 2+t(t −e t )=e t (1−t)+12t 2．令ℎ(x)=e x (1−x)+12x 2，x >1，则ℎ′(x)=x(1−e x )<0恒成立， 所以函数ℎ(x)在(1, +∞)上单调递减，所以ℎ(x)<e(1−1)+12=12， 所以e t (1−t)+12t 2<12，即当x ∈[1, +∞)时f(x)min <12， 故函数f(x)在[1, +∞)上的最小值小于12； (Ⅲ)x)=e x −12bx 2+ax ，所以f′(x)=e x −bx +a ，由f(x)为R 上的单调函数，可知f(x)一定为单调增函数 因此f′(x)=e x −bx +a ≥0， 令m(x)=e x −bx +a ， 所以m′(x)=e x −b ， 当b =0时，ab =0，当b <0时，m′(x)>0，m(x)在R 上为增函数， 当x →−∞时，m(x)→−∞与m(x)≥0矛盾，当b >0时，m′(x)>0等价于x >lnb ，m′(x)<0等价于x <lnb ， 当x =lnb 时，m(x)min =b −blnb +a ≥0，ab ≥b 2lnb −b 2，b >0 令φ(x)=x 2lnx −x2，x >0， 则φ′(x)=2(2lnx −1)，当φ′(x)>0，解得x >√e ，当φ′(x)<0，解得0<x <√e ， 当x =√e 时，φ(x)min =−e2， 所以ab 的最小值为−e2．（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分．[选修4-4坐标系与参数方程选讲] 【答案】（本小题满分1(Ⅰ)∵ 曲线C 的极坐标方程为ρ=4sinθ，∴ 曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2−4y =0， ∵ 直线l 的参数方程为{x =√32ty =1+12t （t 为参数）， ∴ 直线l:x −√3y +√3=(0) (Ⅱ)设P(2cosθ, 2+2sinθ)， 点P 到直线l 的距离：d =|2cosθ−2√3sinθ−√3|2=|4sin(θ−π6)+√3|2≤2+√32， 曲线C 是圆心为C(0, 2)，半径r =12√16=2的圆， 圆心C(0, 2)到直线l 的距离d′=√3+√3|1+3=√32， ∴ |AB|=2√22−(√32)2=√13，∴ △PAB 面积的最大值为S =12×|AB|×d max =12×√13×(2+√32)=4√13+√394．【考点】参数方程与普通方程的互化 【解析】(Ⅰ)由曲线C 的极坐标方程能求出曲线C 的直角坐标方程；由直线l 的参数方程，能求出直线的普通方程．(Ⅱ)设P(2cosθ, 2+2sinθ)，点P 到直线l 的距离d =|2cosθ−2√3sinθ−√3|2≤2+√32，再求出|AB|=√13，由此能求出△PAB 面积的最大值． 【解答】（本小题满分1(Ⅰ)∵ 曲线C 的极坐标方程为ρ=4sinθ，∴ 曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2−4y =0， ∵ 直线l 的参数方程为{x =√32ty =1+12t （t 为参数）， ∴ 直线l:x −√3y +√3=(0) (Ⅱ)设P(2cosθ, 2+2sinθ)， 点P 到直线l 的距离： d =|2cosθ−2√3sinθ−√3|2=|4sin(θ−π6)+√3|2≤2+√32， 曲线C 是圆心为C(0, 2)，半径r =12√16=2的圆， 圆心C(0, 2)到直线l 的距离d′=√3+√3|√1+3=√32， ∴ |AB|=2√22−(√32)2=√13，∴ △PAB 面积的最大值为S =12×|AB|×d max =12×√13×(2+√32)=4√13+√394． [选修4-5不等式选讲] 【答案】（1）当a <3时，|x −a|+|x −3|={a +3−2x,x ≤a3−a,a <x <32a −x −3,x ≥3由题意可知，2x −a −3≥4，x ≥7+a 2=92，∴ a =(2) 经检验成立．（2）令g(x)=f(x −a +2)+2f(x −1)=|x −a|+2|x −3| 当a =3时显然不成立；当a <3时，g(x)={a +6−3x,x ≤a6−a −x,a <x <33x −a −6,x ≥3 ，从而g(x)≥3−a ≥1，即a ≤(2)当a >3时，g(x)={a +6−3x,x ≤3−6+a +x,a <x <33x −a −6,x ≥a ，从而g(x)≥a −3≥1，即a ≥(4)综上可得实数a 的取值范围是(−∞, 2]∪[4, +∞)． 【考点】分段函数的应用 【解析】(Ⅰ)根据a <3去绝对值，求解f(x)的解析式，解集为{x|x ≤12或x ≥92}，即可求实数a 的值；(Ⅱ)对a 进行讨论，去绝对值，求解实数a 的取值范围． 【解答】（1）当a <3时，|x −a|+|x −3|={a +3−2x,x ≤a3−a,a <x <32a −x −3,x ≥3由题意可知，2x −a −3≥4，x ≥7+a 2=92，∴ a =(2) 经检验成立．（2）令g(x)=f(x −a +2)+2f(x −1)=|x −a|+2|x −3| 当a =3时显然不成立；当a <3时，g(x)={a +6−3x,x ≤a6−a −x,a <x <33x −a −6,x ≥3 ，从而g(x)≥3−a ≥1，即a ≤(2)当a >3时，g(x)={a +6−3x,x ≤3−6+a +x,a <x <33x −a −6,x ≥a ，从而g(x)≥a −3≥1，即a ≥(4)综上可得实数a 的取值范围是(−∞, 2]∪[4, +∞)．。

吉林省长春市吉林大学附属中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若为虚数单位，则复数等于（）（A）（B）（C）（D）参考答案：D2. 已知函数在其定义域上单调递减，则函数的单调增区间是A. B. C.D.参考答案：D3. 设α、β是两个不同的平面，a、b是两条不同的直线，给出下列四个命题，其中真命题是（）A．若a∥α，b∥α，则a∥bB．若a∥α，b∥β，则α∥βC．若a⊥α，b⊥β，a⊥b，则α⊥βD．若a、b在平面α内的射影互相垂直，则a⊥b参考答案：C 【分析】A选项用空间中直线的位置关系讨论；B选项用面面平行的条件进行讨论；C选项用面面垂直的判定定理进行判断；D选项用线线的位置关系进行讨论，【解答】解：A选项不正确，a∥α，b∥α，两直线的位置关系可能是平行，相交、异面B选项不正确，两个平面平行于同一条直线，两平面的位置关系可能是平行或者相交．C选项正确，由b⊥β，a⊥b可得出β∥a或β?a，又a⊥α故有α⊥βD选项不正确，本命题用图形说明，如图三棱锥P﹣ABC中，侧棱PB垂直于底面，PA，PC两线在底面上的投影垂直，而两线不垂直．故选C【点评】本题考查平面与平面之间的位置关系，考查了面面垂直的判定面面平行的判定，考查了空间想像能力．4. 已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离为A. B. C.3 D.5参考答案：A略5. 将正三棱柱截去三个角(如右图所示A、B、C分别是△GHI三边的中点)得到的几何体如下图，则该几何体按右图所示方向的左视图(或称左视图)为参考答案：A截前的左视图是一个矩形，截后改变的只是B，C，F方向上的6. 函数f(x)的定义域为D，若对于任意的x1、x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)≤f(x2)，则称函数f(x)在D上为非减函数．设函数f(x)在[0,1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①f(0)＝0；②；③．则等于()A. B. C．1 D.参考答案：D7.设函数，若，且，则mn的取值范围是（）A． B． C． D．参考答案：答案：A8. 某一简单几何体的三视图如图2所示,该几何体的外接球的表面积是( ) A. 13π B. 16π C. 25π D. 27π参考答案：C9. 某次数学测试后从两个班中各随机的抽取10名学生的数学成绩，作出它们的茎叶图如图所示，已知甲班的中位数为，标准差为，乙班的中位数为，标准差为，则由茎叶图可得（）A．B．C．D．参考答案：A10. （04年全国卷Ⅱ理）在坐标平面内，与点A(1，2)距离为1，且与点B(3，1)距离为2的直线共有（A）1条（B）2条（C）3条（D）4条参考答案：答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在数列中，，则____________.参考答案：-1略12. 若函数f（x）=，则函数f（x ）的定义域是．参考答案：{x|x＜1且x≠0}【考点】函数的定义域及其求法．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】要使函数有意义，则需1﹣x＞0，且lg（1﹣x）≠0，解得即可得到定义域．【解答】解：要使函数有意义，则需1﹣x＞0，且lg（1﹣x）≠0，即有x＜1且x≠0．则定义域为{x|x＜1且x≠0}．故答案为：{x|x＜1且x≠0}．【点评】本题考查函数的定义域的求法，注意分式分母不为0，对数的真数大于0，考查运算能力，属于基础题．13. 已知正四面体A-BCD，它的内切球（与四个面都相切的球)半径为r，外接球（过正四面体的四个顶点的球）的半径为R，则=________参考答案：314. (14)如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0，4)，(2，0)，(6，4)，f’(x)为的导函数，则f(1) +f (4)= 。

2018届吉林省吉大附中高三第四次模拟考试数学（理）试卷（解析版）第Ⅰ卷（客观题 60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有．．一项．．是符合题目要求的，请将正确选项涂在答题卡上）.1. 己知全集，集合，，则( )A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据补集的定义，可求出；根据交集定义即可求出。

详解：因为所以所以所以选 B点睛：本题考查了集合交集、补集的基本运算，属于简单题。

2. 若复数，则( )A. 1B.C.D. 3【答案】C【解析】分析：利用共轭复数，求出，根据复数模的定义即可求出。

详解：所以所以选 C点睛：本题考查了复数的综合运算、共轭复数和复数模的定义与应用，属于简单题。

3. 命题“若，则”的逆否命题是( )A. 若，则或B. 若，则C. 若或，则D. 若或，则【答案】D【解析】原命题“若则”的逆否命题为“若则”，所以命题“若，则”的逆否命题是若或，则故选．4. 设，向量，，且，则( )A. 0B. 1C. 2D. -2【答案】A【解析】分析：根据的垂直关系，可求出；根据的平行关系，可求出，进而求出的值。

详解：因为，所以因为，所以所以，所以所以选 A点睛：本题考查了向量平行与垂直的坐标运算，主要是熟练正确记忆坐标间的关系，属于简单题。

5. 圆与圆的位置关系为( )A. 内切B. 相交C. 外切D. 相离【答案】B【解析】试题分析：两圆的圆心距为，半径分别为，，所以两圆相交．故选C．考点：圆与圆的位置关系．视频6. 设为不重合的平面，为不重合的直线，则下列命题正确的是( )A. 若，，，则B. 若，，，则C. 若，，，则D. 若，，，则【答案】D【解析】对于A，,时，若，则，但题目中无条件，故A也不一定成立；对于B，,.显然不成立；对于C，由面面平行的判定，一个面经过另一个面的垂线，仅有不能得到或，故不正确．对于D，，则，又，则，结论成立；故选D7. 设是一个正整数，已知的展开式中第四项的系数为，函数与的图象所围成的区域如图中阴影部分所示，任取，，则点恰好落在阴影部分内的概率为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：根据题意得解得：k=4或（舍去），解方程组，解得：x=0或4 ∴阴影部分的面积为，，所以点（x,y)恰好落在阴影区域内的概率为.考点：1.二项式定理； 2.几何概型.8. 为培养学生分组合作能力，现将某班分成三个小组，甲、乙、丙三人分到不同组.某次数学建模考试中三人成绩情况如下:在组中的那位的成绩与甲不一样，在组中的那位的成绩比丙低，在组中的那位的成绩比乙低.若甲、乙、丙三人按数学建模考试成绩由高到低排序，则排序正确的是( )A. 甲、丙、乙B. 乙、丙、甲C. 乙、丙、甲D. 丙、乙、甲【答案】C【解析】因为在组中的那位的成绩与甲不一样，在组中的那位的成绩比乙低．所以甲、乙都不在B组，所以丙在B组. 假设甲在A组，乙在C组，由题得甲、乙、丙三人按数学建模考试成绩由高到低排序是乙、丙、甲.假设甲在C组，乙在A组，由题得矛盾，所以排序正确的是乙、丙、甲.故选C.9. 在如下图所示的空间直角坐标系中，一个四面体的顶点坐标分别是，，，，给出编号①②③④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为( )A. ①和②B. ③和①C. ④和③D. ④和②【答案】D【解析】视频10. 某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是( )A. B.C. D.【答案】B【解析】试题分析：从程序框图可以看出，输入的函数是奇函数且有零点，则即可输出该函数．因此答案等价于判断哪个函数是奇函数且有零点．假设输入答案A中的函数，显然A中函数为奇函数，但没有零点，所以不能输出函数；答案B中的函数是奇函数且存在零点0，所以输出函数为．故选B．同理答案C、D不符合题意．故选B．考点：?程序框图的应用；?函数的奇偶性；?函数的零点问题．【易错点睛】对于程序框图问题，多属于容易题目．问题多出在：没看清判断框中的条件，从而导致出错，特别是题目是填写判断框中的语句，对于变量是否取等号的问题，最易出错，望同学们能细心．11. 抛物线的焦点与双曲线右焦点重合，又为两曲线的一个公共交点，且，则双曲线的实轴长为( )A. 1B. 2C.D. 6【答案】B【解析】分析：根据抛物线定义和线段关系，先求出P点坐标，再代入双曲线方程，得到的关系；根据公共焦点，得出c的值；根据双曲线中；联立方程组，即可求出的值。

吉林省实验中学2017-2018学年高三年级第四次模拟考试数学（理科）学科试卷 考试时间：120分钟 满分：150分第Ⅰ卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1． 已知集合{}()(){}1,0,1,|110M N x x x =-=+-<，则M N ⋂= （ ） A.{}1,0,1- B.[]1,1- C.{}0 D.[]0,12．已知复数,z a i a R =+∈，若2z z +=，则复数z 的共轭复数z =（ ） A ．1i + B ．1i - C ．1i -+ D ．1i --3．已知命题“R ∈∃x ，使041)2(42≤+-+x a x ”是假命题，则实数a 的取值范围是（ ） A.)0,(-∞ B.[]4,0 C.[)∞+，4 D.)40(，4.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线3y x =上， 则sin(2)3πθ+=（ ）A ．34310--B ． 43310--C ．34310-D ．43310- 5． 设函数22(2)ln ,2,()1lg(1),2,2x x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨+>⎪⎩则((311))f f =（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．36.《张丘建算经》是我国南北朝时期的一部重要数学著作，书中系统的介绍了等差数列，同类结果在三百多年后的印度才首次出现．书中有这样一个问题，大意为：某女子善于织布，后一天比前一天织的快，而且每天增加的数量相同，已知第一天织布5尺，一个月（按30天计算）总共织布585尺，问每天增加的数量为多少尺?该问题的答案为（ ） A ．12尺 B ．23尺 C ．1尺 D ．32尺7. 已知函数)6(log )(ax x f a -=在)2,3(-上是减函数，则a 的取值范围是 （ ） A ．(0,3) B ．(1,3] C ． (1,3) D ．[3,)+∞8. 当x ，y 满足不等式组22,4,72x y y x x y +≤⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩时，222kx y -≤-≤恒成立，则实数k 的取值范围是（ ）A ．1,010⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．[]1,0- C ．13,1010⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．1,05⎡⎤-⎢⎥⎣⎦9.已知正项数列{}n a 中，()2221211111,2,22,n n n n n n a a a a a n b a a -++===+≥=+，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，则40S 的值是（ ） A ．103 B ．10 C ．113D ．11 10.若正实数,x y 满足()()2242log 3log log 2x y x y +=+，则y x 3+的最小值是（ ） A ．12 B ．10 C ．8 D ．611. 已知,A B 是单位圆O 上的两点（O 为圆心），120AOB ∠=，点C 是线段AB 上不与A B 、重合的动点．MN 是圆O 的一条直径，则CM CN 的取值范围是（ ）A ．3[,0)4-B ．[1,1)-C ．1[,1)2-D ．[1,0)- 12. 已知常数 2.71828e =⋅⋅⋅，定义在[)0,+∞上的函数()f x 满足：()()2xx f x f x e '+=，11222f e⎛⎫=⎪⎝⎭，其中()f x '表示()f x 的导函数．若对任意正数a ，b 都有222311432x a b f x ae b -⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭，则实数x 的取值范围是（ ） A ．()[),06,-∞+∞ B ．[]2,6 C ．()[),04,-∞+∞ D ．[)6,+∞第Ⅱ卷二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分．）13、31(2)x e x +=⎰14、已知()():44,:210p a x a q x x -<<+--<，若p ⌝是q ⌝的充分条件，则实数a 的取值范围是__________．15.在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，若1si n s i n s in 2b B a A a C -=，且AB C ∆的面积为B a sin 2，则=B cos ______.16. 对于数列{}n a ，定义na a a Hn nn 12122-+++= 为{}n a 的“优值”，现在已知某数列{}n a 的“优值” 12+=n Hn ，记数列{}kn a n -的前n 项和为nS，若6S S n ≤对任意的n 恒成立，则实数k 的取值范围是_________．三、解答题：（本大题共6小题，其中17~21小题为必考题，每小题12分；第22~23为选考题，考生根据要求做答，每题10分）17．（本小题满分12分）已知向量()sin ,1a x =-，13cos ,2b x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，函数()()2f x a b a =+-． （1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）已知,,a b c 分别为ABC ∆内角,,A B C 的对边，其中A 为锐角，3,1a c ==，且()1f A =，求ABC ∆的面积S ．18．（本小题满分12分）已知点（1，3）是函数,0()(>=a a x f x 且1≠a ）的图象上一点，等比数列}{n a 的前n 项和为c n f -)(,数列}{n b )0(>n b 的首项为c ，且前n 项和n S 满足n S －1-n S =n S +1n S -（2n ≥）.（1）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式； （2）若数列{}11+n n b b 前n 项和为n T ，问n T >20171000的最小正整数n 是多少?19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PCD ⊥底面A B C D ,PD CD ⊥,E 为PC 中点，底面ABCD 是直角梯形，//AB CD ,ADC ∠=︒90，2AB AD PD ===,4CD =．（1）求证：//BE 平面PAD ； （2）求证：平面PBC ⊥平面PBD ；（3）设Q 为棱PC 上一点，CQ CP λ=,试确定λ的值使得二面角Q BD P --为︒45．20．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为12，右焦点(1,0)F .（1）求椭圆C 的方程；（2）点P 在椭圆C 上，且在第一象限内，直线PQ 与圆O ：222xy b +=相切于点M ，且OP OQ ⊥，求点Q 的纵坐标0y 的值．21．（本小题满分12分）已知函数()()3axf x ea R =∈的图像C 在点()()1,1P f 处切线的斜率为e ，记奇函数()(),,0g x kx b k b R k =+∈≠的图像为l ． （1）求实数,a b 的值；（2）当()2,2x ∈-时，图像C 恒在l 的上方，求实数k 的取值范围；（3）若图像C 与l 有两个不同的交点,A B ，其横坐标分别是12,x x ，设12x x <，求证：121x x ⋅<．121x x ∴<请考生在22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为3cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴）中，曲线C 的方程=4sin ρθ（1）求曲线C 的直角坐标系方程；（2）若点()3,1P ，设圆C 与直线l 交于点,A B ，求||||PA PB +的最小值. 23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数R x x x x f ∈-+-=|,32||12|)(. （1）解不等式()6f x ≤；（2）若不等式264()m m f x -<对任意R x ∈都成立，求实数m 的取值范围.吉林省实验中学2017届高三年级第二次模拟考试参考答案 一、 选择题： 1.C 2. B 3.D 4. C 5.A 6.C7.B 8.A 9.A 10.D 11.A 12.A 二、 填空题：13. 3e 8e -+ 14. []2,5- 15. 34 16. 16773⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 二、解答题：17.试题解析：（1）()()2f x a b a =+-2221sin 13sin cos 221cos 231sin 222231sin 2cos 222sin 26a a b x x x x x x x x π=+-=+++--=+-=-⎛⎫=- ⎪⎝⎭,()63k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ （2）()sin 216f A A π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 因为50,,2,2666A A ππππ⎛⎫⎛⎫∈-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以2,623A A πππ-==，又2222cos a b c bc A =+-，则2b =，从而13sin 22S bc A ==． 18. 试题解析：（1）由(1)=3f a =，()3xf x =， 等比数列}{n a 的前n 项和为c n f -)( 可得-123n n a =()()1111n n n n n n n n S S S S S S S S -----=-+=+Q ()2n ≥又0n b >,0n S >, 11n n S S -∴-=；∴数列{}nS 构成一个首相为1公差为1的等差数列，∴()111n S n n =+-⨯= ⇒ 2n S n =当2n ≥， ()221121n n n b S S n n n -=-=--=- ；21n b n ∴=-(*n N ∈)；（2）12233411111n n n T b b b b b b b b +=++++L ()1111133557(21)21n n =++++⨯⨯⨯-⨯+K 1111111111112323525722121n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭K 11122121n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭ 由1000212017n n T n =>+ 得10009n >，满足10002017n T >的最小正整数为59. 19. 试题解析：（1）令PD 中点为F ，连接EF ，AF 点,E F 分别是PD PC 、的中点， ∴EF //12CD ,EF ∴//AB . ∴四边形FABE 为平行四边形.//BE AF ∴,AF ⊂平面PAD , BE ⊄平面PAD PAD BE 面//∴（2）在梯形ABCD 中,过点B 作BH CD ⊥于H ,在BCH ∆中，1BH CH ==,045BCH ∴∠=.又在DAB ∆中，1AD AB ==,045ADB ∴∠=,045BDC ∴∠=,090DBC ∴∠=∴BD BC ⊥.面PCD ⊥面ABCD ,面PCD ⋂面ABCD CD =,PD CD ⊥,PD ⊂面PCD , PD ∴⊥面ABCD , PD BC ∴⊥,BD PD D ⋂=,BD ⊂平面PBD ,PD ⊂平面PBD ∴BC ⊥平面PBD ,BC ⊂平面PBC , ∴平面PBC ⊥平面PBD（3）作QR CD ⊥于R ，作RS BD ⊥于S ，连结QS由于QR ∥PD ，∴AB QR CD ⊥平面 ∴∠QSR 就是二面角Q BD C --的平面角60︒ ∵面PBD ⊥面ABCD ，且二面角Q BD P --为60︒∴∠QSR= 60︒ ∴ 33SR QR = ∵QR ∥PD ∴==62CQ CRCP CD- ∴=62λ-20.试题解析：（1）1,21,c a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴1c =，2a =，∴3b =，∴椭圆方程为22143x y +=． （2）①当PM x ⊥轴时，3(3,)2P ，(3,)Q t ， 由0OP OQ ⋅=，解得23t =．②当PM 不垂直于x 轴时，设00(,)P x y ，PQ 方程为00()y y k x x -=-，即000kx y kx y --+=，∵PQ 与圆O 相切，∴002||31kx y k -=+，∴2200()33kx y k -=+，∴22220000233kx y k x y k =+--， 又Q 00(,)t y kx t k -+，所以由0OP OQ ⋅=，得00000()x y kx t x ky -=+， ∴22200200()()x y kx t x ky -=+220002220000()2x kx y x k y kx y -=++22022222220000(33)33x k x k y k x y k +=+++-- 2202222200(33)123(1)(1)(3)334x k k x k x k +==+++---，∴23t =±．综上：23t =±．21.试题分析：（1）根据导数的几何意义()e f ='1，求得a ，再根据函数()x g 是奇函数，可求得0=b ；（2）根据（1）的结论，可将问题转化为()1,2,x x e kx ∀∈->恒成立，通过讨论自变量的正负，参变分离后可将问题转化为()(),0,20,,0,1,0xxe k x xx k R x e k x x ⎧<∈⎪⎪=∈∴≠⎨⎪>∈-⎪⎩时当时，有成立，这样设函数()()(),1,00,2xe h x x x=∈-，利用导数求函数的最值，即得k 的取值范围；（3）点A,B 在曲线上，设出点的坐标，经过指对互化，表示21x x ，再通过分析法证明121<x x . 试题解析：解：（ 1）()()3313,133ax a f x ae f ae e a ''=∴==⇒=， ()g x kx b =+为奇函数，0b ∴=；（2）由（1）知()xf x e =，()g x kx =，因为当()2,2x ∈-时，图像C 恒在l 的上方，所以()1,2,xx e kx ∀∈->恒成立，记()()(),1,00,2xe h x x x=∈-，则()21xx h x e x-'=，由()()01,2h x x '>⇒∈， ()h x ∴在()2,0-单调减，在(]0,1单调减，在[)1,2单调增， ()()22,0,211,22,2,0xxe k x xk e e e k x x ⎧<∈⎪⎪⎡⎫∴∈-⎨⎪⎢⎣⎭⎪>∈-⎪⎩， 综上，所求实数k 的取值范围是2211,22e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（3）由（2）知1201x x <<<，设()211x tx t =>，()1122112121,,t x x x x x x e kx e kx e e t x --==∴=⇒=，()11ln 1ln 1t t x t x t -=⇒=-，22121ln 1t x x tx t t ⎛⎫∴== ⎪-⎝⎭， 要证121x x <，即证ln 11ttt <-，令()1t μμ=>， 即证222ln 12ln 10μμμμμμ<-⇒-+<， 令()()22ln 11ϕμμμμμ=-+>，即证()0ϕμ<，()()()2122ln 222μϕμμμϕμμμ-'''=-+⇒=-=，()()1,0,μϕμϕμ'''>∴<∴在()1,+∞上单调减，()()()10,ϕμϕϕμ''∴<=∴在()1,+∞上单调减， ()()10ϕμϕ∴<=，所以，121<x x121x x ∴<22．选修4-4：坐标系与参数方程【答案】（1）()2224x y -+=（2）试题分析：（1）利用222cos ,sin ,x y x y ρθρθρ===+将曲线C 的极方程化为直角坐标方程：22(4)16x y +-= （2）利用直线参数方程几何意义得212121212||||||||()4PA PB t t t t t t t t +=+=-=+-，因此将直线参数方程与圆直角坐标方程联立方程组，利用韦达定理代入化简得||||PA PB +12+4sin 222α≥23.试题解析： （1）原不等式等价于12446x x ⎧<⎪⎨⎪-≤⎩或132226x ⎧≤≤⎪⎨⎪≤⎩或32446x x ⎧>⎪⎨⎪-≤⎩， 得1122x -≤<或2321≤≤x 或3522x <≤，∴不等式5)(≤x f 的解集为15[]22-，．（2） ∵2|)32(12||32||12|)(=---≥-+-=x x x x x f ，∴22min 164[()]2321013m m f x m m m -<=⇒--<⇒-<<.。