长春市吉大附中中学疫情期间网课质量检测·数学答案

疫情期间数学试题及答案一、选择题（每题3分，共15分）1. 一个数的平方根是4，这个数是______。

A. 16B. -16C. 8D. 42. 以下哪个选项不是同类项？A. 3x^2B. -2x^2C. 5x^2D. 7y3. 一个圆的半径是5，那么它的面积是______。

A. 25πB. 50πC. 100πD. 125π4. 函数y = 2x + 3的斜率是______。

A. 2B. 3C. -2D. -35. 如果一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么它的斜边长是______。

A. 5B. 6C. 7D. 8二、填空题（每题2分，共10分）6. 一个数的立方根是2，这个数是______。

7. 如果一个三角形的内角和为180°，那么一个等边三角形的每个内角是______。

8. 一个数的相反数是-5，这个数是______。

9. 一个数的绝对值是4，这个数可以是______或______。

10. 一个正数的平方是16，这个数是______或______。

三、计算题（每题5分，共20分）11. 计算下列表达式的值：(3x - 2y)(3x + 2y)。

12. 解方程：2x - 5 = 3x + 1。

13. 化简并求值：(2a + 3b)(2a - 3b)，当a = 1，b = 2时。

14. 计算下列多项式的乘积：(x^2 - 4)(x^2 + 4)。

四、解答题（每题10分，共20分）15. 一个长方形的长是15米，宽是10米，求它的周长和面积。

16. 一个直角三角形的斜边长是13厘米，一条直角边长是5厘米，求另一条直角边的长度。

五、应用题（每题15分，共30分）17. 一个工厂在疫情期间需要生产口罩，每天可以生产2000个口罩。

如果工厂需要在30天内生产至少60000个口罩，那么工厂每天至少需要生产多少个口罩？18. 一家超市在疫情期间推出了一项促销活动，每购买100元的商品，顾客可以得到20元的折扣。

2022-2023学年吉林省长春市长春吉大附中实验学校高一上学期10月月考数学试题一、单选题1．已知集合{}2|0A x x x =+=，则1-与集合A 的关系为（ ）A ．1A -⊆B ．1A -C ．1A -∈D ．1A -∉【答案】C【分析】化简集合A ，根据元素与集合关系求解.【详解】因为{}2|0{0,1}A x x x =+==-，所以1A -∈， 故选：C2．命题“1(0,),10x x ∃∈+∞+<”的否定为（ ）A ．1(0,),10x x∃∈+∞+≥B ．1(,0),10x x∃∈-∞+<C ．1(0,),10x x ∀∈+∞+≥D ．1(,0),10x x∀∈-∞+<【答案】C【分析】根据特称命题的否定：存在改任意并否定结论即可得答案.【详解】由特称命题否定为全称命题知：原命题的否定为1(0,),10x x∀∈+∞+≥.故选：C3．下列函数中与函数()1f x x 是同一函数的是（ ） A ．2()1x f x x=-B ．21()1x g x x -=+C ．()f x =D ．()1g x =【答案】D【分析】对于A 、B ：定义域不同，即可判断； 对于C ：定义域相同，但解析式不同，即可判断；对于D ：定义域相同，解析式也相同，即可判断是同一函数. 【详解】函数()1f x x 的定义域为R.对于A ：2()1x f x x=-的定义域为{}|0x x ≠，故与函数()1f x x 不是同一函数.故A 错误；对于B ：21()1x g x x -=+的定义域为{}|1x x ≠-，故与函数()1f x x 不是同一函数.故B错误；对于C ：2()(1)f x x =-的定义域为R ，但是2()(1)1f x x x =-=-，故与函数()1f x x 不是同一函数.故C 错误；对于D ：33()1g x x =-的定义域为R ，且33()11g x x x =-=-，故与函数()1f x x 是同一函数.故D 正确. 故选：D.4．设x ，y 都是实数，则“1x >且5y >”是“6x y +>且5xy >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由不等式性质及特殊值法判断条件间的推出关系，结合充分必要性的定义即可确定答案.【详解】由1x >且5y >，必有6x y +>且5xy >； 当6x y +>且5xy >时，如12x =，12y =不满足1x >，故不一定有1x >且5y >． 所以“1x >且5y >”是“6x y +>且5xy >”的充分不必要条件． 故选：A ．5．某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是15，11，9.若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数的最大值是（ ） A ．5 B ．6C ．7D ．8【答案】C【分析】将问题转化为韦恩图问题，结合题意设出未知数，列出方程，求出答案.【详解】如图所示，由题意得：1511920a b c x b d e x c e f x a b c d e f x +++=⎧⎪+++=⎪⎨+++=⎪⎪++++++=⎩①②③④，++①②③得：222335a b c d e f x ++++++=⑤，-⑤④得：215b c e x +++=，要想这三天都开车上班的职工人数的最大，即x 最大，只需b c e ++最小， 当0b c e ++=时，152x =不合题意，舍去； 当1b c e ++=时，7x =，满足要求，故这三天都开车上班的职工人数的最大值是7. 故选：C6．不等式()273x x +≥-的解集为（ ） A ．(]1,3,2⎡⎫-∞-⋃-+∞⎪⎢⎣⎭B ．13,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．(]1,2,3⎡⎫-∞-⋃-+∞⎪⎢⎣⎭D ．12,3⎡--⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A【分析】解一元二次不等式即可.【详解】()273x x +≥-可变形为22730x x ++≥， 令22730x x ++=，得13x =-，212x =-，所以3x ≤-或21x ≥-，即不等式的解集为(]1,3,2⎡⎫-∞-⋃-+∞⎪⎢⎣⎭.故选：A.7．集合A ，B ，C 是全集U 的子集，且满足A B A C ⋃=⋃，则（ ） A ．A B A C ⋂=⋂ B ．B C = C ．()()U U A B A C ⋂=⋂ D ．()()UUAB AC =【答案】C【分析】令C A B =，结合韦恩图及排除法判断不合要求的选项，即可得正确答案. 【详解】若C A B =，如下图示，由图知：A B A C ⋂=⋂、B C =、()()UUA B A C =不成立，A 、B 、D 排除；故选：C8．若函数2()21f x ax x =--在区间(0,1)内恰有一个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,1)-∞-B ．(1,1)-C ．(0,1)D ．(1,)+∞【答案】D【分析】分类讨论0a =和0a ≠两种情况，再利用零点存在性定理和二次函数的图象性质列不等式求解即可.【详解】当0a =时，()1f x x =--，此时()f x 只有一个零点，零点为-1，不符合要求； 当0a ≠时，函数()f x 为二次函数，()010f =-<，利用零点存在性定理和二次函数的图象性质得()1220f a =->，解得1a >. 故选：D.二、多选题9．图中矩形表示集合U ，两个椭圆分别表示集合,M N ，则图中的阴影部分可以表示为( )A ．()UM N B ．()U N M ⋂ C ．()UM N M ⎡⎤⋂⋃⎣⎦ D ．()UM N M ⎡⎤⋃⋃⎣⎦【答案】AD【分析】分析图中阴影部分，结合集合交并补运算即可得到答案． 【详解】易知图中阴影部分为M 和UN 的并集，故A 正确；又()UM N M ⎡⎤⋃⋃⎣⎦也可表示图中阴影部分，故D 也正确；选项B ：()U N M ⋂表示的区域如图：选项C ：()UM N M U ⎡⎤⋂⋃=⎣⎦；故AD 符合题意，BC 不符题意．故选：AD ．10．某同学在研究函数2()||1x f x x =+时，分别给出下面四个结论，其中正确的结论是（ ）A ．函数()f x 的定义域是RB ．函数()f x 的值域为[0,)+∞C ．函数()f x 在上R 单调递增D ．方程()2f x =有实根【答案】ABD【分析】由解析式确定定义域，利用奇偶性、单调性定义判断()f x 的性质，进而判断各选项的正误.【详解】由20x ≥且||11x +≥知：定义域R x ∈， 22()()()||1||1x x f x f x x x --===-++，即()f x 为偶函数，当0x ≥时2()1x f x x =+，令210x x >≥，则2221122121212112()()()()011(1)(1)x x x x x x x x f x f x x x x x ++--=-=>++++，所以[0,)+∞上()f x 递增， 又∵()00f =,()1121f x x x =++-+，当x 趋近于+∞时，f (x )趋近于+∞， ∴函数()f x 的值域为[0,)+∞由偶函数的对称性知()f x 在(],0∞-上递减，根据对称性其值域为[0,)+∞， 综上，()f x 在R 上的值域为[0,)+∞，故A 、B 正确，C 错误； 由上分析知()f x 与2y =有交点，即()2f x =有实根，D 正确. 故选：ABD11．已知函数=()y f x 的定义域为D ，若存在区间[,]a b D ⊆，使得{=(),[,]}=[,]y y f x x a b a b ∈∣，则称区间[,]a b 为函数=()y f x 的“和谐区间”.下列说法正确的是（ ）A ．[1,0]-是函数2()=2f x x x -的一个“和谐区间”B ．[1,3]-是函数2()=2f x x x -的一个“和谐区间”C ．[0,2]是函数3()=12f x x -的一个“和谐区间” D ．2,25⎡⎤⎢⎥⎣⎦是函数3()=12f x x -的一个“和谐区间”【答案】BC【分析】利用“和谐区间”的定义，逐一判断即可.【详解】对于A 选项：2()=2f x x x -，当[1,0]x ∈-时，[0,3]y ∈，不满足题意，错误； 对于B 选项：2()=2f x x x -，当[]1,3x ∈-时，[1,3]y ∈-，满足题意，正确； 对于C 选项：3()=12f x x -，当[]0,2x ∈时，[0,2]y ∈，满足题意，正确； 对于D 选项：3()=12f x x -，当2,25x ∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，[0,2]y ∈，不满足题意，错误. 故选：BC.12．下面结论正确的是（ ） A ．若0,0a b >>，则22ab a ba b +≥+ B ．若0a b >>，则22c c a b≤C ．若00a b >>，，且1353b a a b +++=，则3a b +的最小值为3D ．若00a b >>，，则162b aa a b++的最小值6【答案】BCD【分析】由不等式的性质和基本不等式逐个判断命题是否正确【详解】若0,0a b >>，由基本不等式+a b ≥()24a b ab +≥，∴22a b aba b+≥+，A 选项错误； 若0a b >>，有11a b <，当0c ，则22=c c a b ；当0c ≠时，20c >，22c c a b <， ∴22c c a b≤，B 选项正确；若00a b >>，，3a b +≥∴()2312a b ab +≤，()21123aba b ≥+， 由1353b a a b +++=，则3335+33123a b a b a b ab a b+++=+≥+，令3a b t +=，则有512+3t t ≥，即215360t t -+≤，解得312t ≤≤，即3312a b ≤+≤，∴3a b +的最小值为3，当13,22a b ==时取最小值，故C 正确；若00a b >>，，则16216=22622b a a b aa ab a a b+++-≥=++，当且仅当=2b a 时等号成立，162b aa a b++最小值为6，选项D 正确.故选：BCD三、填空题13．已知函数()f x 由下表给出，若()0(1)(3)(4)f x f f f =+⋅，则0x =______.【答案】2【分析】函数表示的列表法， 由已知算出()0f x ，再对照表格得到0x . 【详解】()0(1)(3)(4)=1123f x f f f =+⋅+⨯=，则02x = 故答案为：214．函数()2f x x =_______________． 【答案】[2,)-+∞【分析】设0)t t =≥，用换元法转化为求二次函数在某个区间的值域．【详解】设0)t t =≥，则21x t =-，所以22117222()48y t t t =+-=+-，因为0t ≥，所以当0=t 时，min 117288y =-=-，所以函数()2f x x =[2,)-+∞.故答案为：[2,)-+∞． 15．不等式213x x+≤的解集为________． 【答案】()[),01,-∞⋃+∞【分析】移项通分后转化为一元二次不等式后可得所求的解. 【详解】不等式213x x +≤可化为10xx -≤，也就是()100x x x ⎧-≤⎨≠⎩， 故0x <或1≥x ，故答案为：()[),01,-∞⋃+∞.16．已知函数()f x 在R 上有定义，且(0)=0f .若对任意给定的实数()1212,x x x x ≠，均有()()()()11221221+<+x f x x f x x f x x f x 恒成立，则不等式(+1)(12)<0x f x -的解集是______.【答案】11,2-⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】由题意易知函数()f x 在R 上单调递减，讨论x 与1-大小关系，再结合(0)=0f ，利用单调性即可列出不等式组，则可解出答案.【详解】因为对任意给定的实数()1212,x x x x ≠，恒有()()()()11221221+<+x f x x f x x f x x f x ， 即()()()1212<0x x f x f x --⎡⎤⎣⎦成立，所以函数()f x 在R 上单调递减，又(0)=0f ， 所以不等式(+1)(12)<0x f x -等价于()+1<012>0=(0)x f x f -⎧⎨⎩或()+1>012<0=(0)x f x f -⎧⎨⎩， 等价于+1<012<0x x -⎧⎨⎩或+1>012>0x x -⎧⎨⎩，解得：11<<2x -，所以不等式(+1)(12)<0x f x -的解集为11,2-⎛⎫ ⎪⎝⎭.故答案为：11,2-⎛⎫ ⎪⎝⎭四、解答题17．已知全集U ＝{x |x ≤4}，集合A ＝{x |－2<x <3}，B ＝{x |－3≤x ≤2}，求A ∩B ，()U A B ⋃，()U A B ⋂.【答案】{|22}x x -<≤，{|2x x ≤或34}x ≤≤，{}|23x x <<. 【分析】根据集合的交并补运算性质即可得出答案.【详解】解：因为全集U ＝{x |x ≤4}，集合A ＝{x |－2<x <3}，B ＝{x |－3≤x ≤2}， 则{2UA x x =≤-∣或}34x ≤≤，{3UB x x =<-∣或}24x <≤，所以A ∩B ＝{x |－2<x ≤2}；()UA B ⋃＝{x |x ≤2，或3≤x ≤4}；()U A B ⋂＝{x |2<x <3}.18．已知函数()=+bf x ax x，点(1,6)(2,6)A B 、是图象上的两点.(1)求a ，b 的值；(2)判断并证明函数()f x 在(0,)+∞上的单调性.【答案】(1)=2,=4a b(2)()f x在区间(上单调递减，在区间)∞上单调递增；证明见解析【分析】（1）将A B 、两点带入函数，即可列出方程组，则可求出答案；（2）利用对勾函数的性质即可判断出函数()f x 在区间(0,)+∞上的单调性，再利用单调性的定义证明即可.【详解】(1)将(1,6)(2,6)A B 、带入函数得： +=62+=62a b b a ⎧⎪⎨⎪⎩解得：=2=4a b ⎧⎨⎩； (2)()f x在区间(上单调递减，在区间)∞上单调递增；证明：由（1）知4()=2+f x x x，12,(0,+)x x ∀∈∞，且12x x <，则()()()()1212121212122244=2+2+=x x x x f x f x x x x x x x ----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当120<<x x 时，120x x -<，122<0x x -，120x x >， 此时()()120f x f x ->，即()()12f x f x >， 所以()f x在区间(上单调递减；12<x x 时，120x x -<，122>0x x -，120x x >， 此时()()12<0f x f x -，即()()12f x f x <， 所以()f x在区间)∞上单调递增.19．已知集合{27},{3421}A xx B x m x m =≤≤=-+≤≤-∣∣，且B ≠∅. (1)若:q “,x B x A ∃∈∈”是真命题，求实数m 的取值范围. 【答案】32m ≥【分析】根据B ≠∅得到m 1≥，根据“,x B x A ∃∈∈”是真命题，得到A B ⋂≠∅，利用A B =∅时m 的范围即可得到A B ⋂≠∅时m 的范围. 【详解】B ≠∅，则3421m m -+≤-，解得m 1≥， “,x B x A ∃∈∈”是真命题，则A B ⋂≠∅，若A B =∅，则212m -<或347m -+>，解得32m <，因为m 1≥，所以312m ≤<，所以当A B ⋂≠∅，32m ≥， 综上所述32m ≥.20．己知函数()f x 在[2,)+∞上有定义，且满足2)1f x =+. (1)求函数()f x 的解析式；(2)若[2,)∃∈+∞x ，对[1,1]a ∀∈-均有()22f x m am <-+成立，求实数m 的取值范围.【答案】(1)()2()212f x x x x =+-≥(2)1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】(1)换元法和配凑法可求函数解析式.(2)依题意，min 2(2)f m m x a <-+，设1(2)g m m a a =-+，则()0g a >在区间内恒成立，用一次函数性质求解.【详解】(1)))222)1121f x ⎡⎤=+==-⎣⎦，∴()22()12+1f x x x x =-=-，又22≥， ∴()2()212f x x x x =+-≥.(2)[2,)∃∈+∞x ，对[1,1]a ∀∈-均有()22f x m am <-+成立，()2()212f x x x x =+-≥在[2,)+∞上单调递增，min ()(2)1f x f ==，依题意有对[1,1]a ∀∈-均有122m am <-+成立， 即()210g a ma m =-++>在[1,1]a ∈-时恒成立，∴210210m m m m -++>⎧⎨++>⎩，解得113m -<<，∴实数m 的取值范围是1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭.21．某单位决定投资64000元建一仓库（长方体状），高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价800元；两侧墙砌砖，每米长造价900元；顶部每平方米造价400元.设铁栅长为x 米，一堵砖墙长为y 米.假设该笔投资恰好全部用完. (1)写出y 关于x 的表达式；(2)求出仓库顶部面积S 的最大允许值是多少？为使S 达到最大，那么正面铁栅应设计为多长？ 【答案】(1)3204(080)29xy x x -=<<+(2)最大允许值是100平方米，此时正面铁棚应设计为15米【分析】（1）根据总投资额列出等式，化简即可得到出y 关于x 的表达式; （2）列出仓库顶部面积S 的表达式，进行变形，利用基本不等式求得其最大值，可得答案.【详解】(1)因为铁栅长为x 米，一堵砖墙长为y 米，所以由题意可得800290040064000x y xy +⨯+=，即492320x y xy ++=，解得320429x y x -=+， 由于0x >且0y >，可得080x <<，所以y 关于x 的表达式为3204(080)29x y x x -=<<+； (2)()33822932042929x x S xy x x x x -+-==⋅=⋅++ ()169291699338338222292929x x x x x x x x +-⨯⎛⎫=⋅-=-=- ⎪+++⎝⎭ ()169916991692178292929x x x x ⨯⨯=--=-+-++ ()(169917829178210029x x ⨯⎡⎤=-++-⎢⎥+⎣⎦, 当且仅当16992929x x ⨯+=+时，即当15203x y =⎧⎪⎨=⎪⎩时，等号成立. 因此，仓库面积S 的最大允许值是100平方米，此时正面铁棚应设计为15米. 22．已知函数2()(12)2f x ax a x =---.(1)若对任意x ∈R ，都有()3f x x ≥--成立，求实数a 的取值范围；(2)解关于x 的不等式()0f x <，其中实数a ∈R .【答案】(1)[]0,1(2)>0a 时，不等式解集为12,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭；0a =时，不等式解集为()2,-+∞；102a -<<时，不等式解集为()1,2,a ⎛⎫-∞⋃-+∞ ⎪⎝⎭；12a =-时，不等式解集为()(),22,-∞-⋃-+∞； 1<2a -时，不等式解集为()1,2,a ⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭.【分析】（1）问题转化为2+2+10ax ax ≥恒成立，对二次项系数分类讨论；（2）含参一元二次型不等式，对二次项系数，对两根的大小进行讨论，计算解集.【详解】(1)2()(12)23f x ax a x x =---≥--恒成立，即2+2+10ax ax ≥恒成立，当0a =时，有10≥，满足题意；当0a ≠时，依题意有()20Δ240a a a >⎧⎪⎨=-≤⎪⎩，解得01a <≤， ∴实数a 的取值范围为[]0,1(2)当0a ≠时，方程()()2(12)2210ax a x x ax ---=+-=，解得2x =-或1x a=， 不等式2()(12)2<0f x ax a x =---当0a =时，20x --<，解得>2x -；当>0a 时，10a>，解得12<<x a -； 当102a -<<时，12a <-，解得1<x a 或2x >-； 当12a =-时，12a =-，解得2x ≠-； 当1<2a -时，1>2a -，解得1x a>或<2x -. 综上：>0a 时，不等式解集为12,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭；0a =时，不等式解集为()2,-+∞；102a -<<时，不等式解集为()1,2,a ⎛⎫-∞⋃-+∞ ⎪⎝⎭；12a =-时，不等式解集为()(),22,-∞-⋃-+∞； 1<2a -时，不等式解集为()1,2,a ⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭.。

2024-2025学年吉林省吉大附中九年级数学第一学期开学学业质量监测模拟试题题号一二三四五总分得分A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）若一组数据1、a 、2、3、4的平均数与中位数相同，则a 不可能．．．是下列选项中的（）A ．0B ．2.5C ．3D ．52、（4分）在平行四边形ABCD 中，∠A 的平分线把BC 边分成长度是3和4的两部分，则平行四边形ABCD 的周长是()A ．22B ．20C ．22或20D ．183、（4分）下列调查：（1）为了检测一批电视机的使用寿命；（2）为了调查全国平均几人拥有一部手机；（3）为了解本班学生的平均上网时间；（4）为了解中央电视台春节联欢晚会的收视率．其中适合用抽样调查的个数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4、（4分）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，点D 在AB 上，AD BD =，若3AC =，4BC =，则CD 的长是（）A ．125B ．512C ．52D ．255、（4分）甲乙两人匀速从同一地点到1511米处的图书馆看书，甲出发5分钟后，乙以51米/分的速度沿同一路线行走．设甲乙两人相距s （米），甲行走的时间为t （分），s 关于t 的函数图象的一部分如图所示．下列结论正确的个数是（）（1）t ＝5时，s ＝151；（2）t ＝35时，s ＝451；（3）甲的速度是31米/分；（4）t ＝12.5时，s ＝1．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6、（4分）下列计算正确的是（）A +=B ．2-=C ．）2＝2D ．37、（4分）如图，在RtΔABC 中，∠C=90°，BC=6，AC=8，则AB 的长度为（）A ．7B ．8C ．9D ．108、（4分）如图，ABC ∆为等边三角形，AE CD =，AD 、BE 相交于点P ，BQ AD ⊥于点Q ，且4PQ =，1PE =，则AD 的长为（）A ．7B ．8C ．9D ．10二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）计算：________．10、（4分）铁路部门规定旅客免费携行李箱的长宽高之和不超过160cm ，某厂家生产符合该规定的行李箱，已知行李箱的高为20cm ，长与宽之比为3:2，则该行李箱宽度的最大值是_______.11、（4分）如图，已知：∠MON=30°，点A 1、A 2、A 3在射线ON 上，点B 1、B 2、B 3…在射线OM 上，△A 1B 1A 2、△A 2B 2A 3、△A 3B 3A 4…均为等边三角形，若OA 1=a ，则△A 6B 6A 7的边长为______．12、（4分）如图，在△ABC 中，AB=9cm ，AC=12cm ，BC=15cm ，M 是BC 边上的动点，MD ⊥AB ，ME ⊥AC ，垂足分别是D 、E ，线段DE 的最小值是____________cm ．13、（4分）如图，两个反比例函数y ＝2x 和y ＝4x 在第一象限内的图象依次是C 2和C 1，设点P 在C 1上，PC ⊥x 轴于点C ，交C 2于点A ，PD ⊥y 轴于点D ，交C 2于点B ，则四边形PAOB 的面积为_________．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）已知：如图，四边形ABCD 是菱形，AB ＝AD .求证：(1)AB ＝BC ＝CD ＝DA(2)AC ⊥DB(3)∠ADB ＝∠CDB ，∠ABD ＝∠CBD ，∠DAC ＝∠BAC ，∠DCA ＝∠BCA15、（8分）如图，直线l 1：y=12x-4分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，与直线l 2交于点C （-2，m ）．点D 是直线l 2与y 轴的交点，将点A 向上平移3个单位，再向左平移8个单位恰好能与点D 重合．（1）求直线l 2的解析式；（2）已知点E （n ，-2）是直线l 1上一点，将直线l 2沿x 轴向右平移．在平移过程中，当直线l 2与线段BE 有交点时，求平移距离d 的取值范围．16、（8分）如图，直线l 是一次函数y ＝kx +b 的图象．（1）求出这个一次函数的解析式．（2）根据函数图象，直接写出y ＜2时x 的取值范围．17、（10分）如图①，在△ABC 中，∠ACB 是直角，∠B =60°，AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线，AD 、CE 相交于点F ．（1）请你判断并写出FE 与FD 之间的数量关系（不需证明）；（2）如图②，如果∠ACB 不是直角，其他条件不变，那么在（1）中所得的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．18、（10分）如图，一张矩形纸片,4,9ABCD AB AD ==.点F 在这张矩形纸片的边BC 上，将纸片折叠，使FB 落在射线FD 上，折痕为GF ，点,A B 分别落在点,A B ''处，（1）若40ADF ∠=︒，则DGF ∠的度数为°;（2）若73AG =,求B D '的长.B 卷（50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（4分）将矩形ABCD 折叠，使得对角线的两个端点A．C 重合，折痕所在直线交直线AB 于点E，如果AB=4，BE=1，则BC 的长为______.20、（4分）如图，直线AB ，IL ，JK ，DC ，相互平行，直线AD ，IJ 、LK 、BC 互相平行，四边形ABCD 面积为18，四边形EFGH 面积为11，则四边形IJKL 面积为____.21、（4分）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝6，点F 是BC 的中点，点D 是AB 的中点，连接AF 和DF ，若△DBF 的周长是11，则AB ＝_____．22、（4分）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，AC ＝24，BD ＝10，DE ⊥BC ，垂足为点E ，则DE ＝_______．23、（4分）分解因式：m 2﹣9m ＝_____．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（8分）解下列各题：（1）分解因式：()()263a b a b -+-；（2）已知2x y +=，3xy =-，求32232x y x y xy ++的值.25、（10分）如图，四边形ABCD 是正方形，点E 是BC 边上任意一点，∠AEF =90°，且EF 交正方形外角的平分线CF 于点F ．求证：AE=EF ．26、（12分）如图，AD 是△ABC 的角平分线，线段AD 的垂直平分线分别交AB 和AC 于点E 、F ，连接DE 、DF ．(1)试判定四边形AEDF 的形状，并证明你的结论．(2)若DE ＝13，EF ＝10，求AD 的长．(3)△ABC 满足什么条件时，四边形AEDF 是正方形？一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、C【解析】解：这组数据1、a、2、1、4的平均数为：（1+a+2+1+4）÷5=（a+10）÷5=0.2a+2，（1）将这组数据从小到大的顺序排列后为a，1，2，1，4，中位数是2，平均数是0.2a+2，∵这组数据1、a、2、1、4的平均数与中位数相同，∴0.2a+2=2，解得a=0，符合排列顺序．（2）将这组数据从小到大的顺序排列后为1，a，2，1，4，中位数是2，平均数是0.2a+2，∵这组数据1、a、2、1、4的平均数与中位数相同，∴0.2a+2=2，解得a=0，不符合排列顺序．（1）将这组数据从小到大的顺序排列后1，2，a，1，4，中位数是a，平均数是0.2a+2，∵这组数据1、a、2、1、4的平均数与中位数相同，∴0.2a+2=a，解得a=2.5，符合排列顺序．（4）将这组数据从小到大的顺序排列后为1，2，1，a，4，中位数是1，平均数是0.2a+2，∵这组数据1、a、2、1、4的平均数与中位数相同，∴0.2a+2=1，解得a=5，不符合排列顺序．（5）将这组数据从小到大的顺序排列为1，2，1，4，a，中位数是1，平均数是0.2a+2，∵这组数据1、a、2、1、4的平均数与中位数相同，∴0.2a+2=1，解得a=5；符合排列顺序；综上，可得：a=0、2.5或5，∴a不可能是1．故选C．本题考查中位数；算术平均数．2、C【解析】试题解析：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，则∠DAE=∠AEB．∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE，∴∠BAE=∠BEA，∴AB=BE，BC=BE+EC，如图，①当BE=3，EC=4时，平行四边形ABCD的周长为：2（AB+AD）=2（3+3+4）=1．②当BE=4，EC=3时，平行四边形ABCD的周长为：2（AB+AD）=2（4+4+3）=2．故选C．考点：平行四边形的性质．3、C【解析】试题分析：根据对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查可分析出答案．解：（1）为了检测一批电视机的使用寿命适用抽样调查；（2）为了调查全国平均几人拥有一部手机适用抽样调查；（3）为了解本班学生的平均上网时间适用全面调查；（4）为了解中央电视台春节联欢晚会的收视率适用抽样调查；故选C．4、C【解析】根据勾股定理求出斜边长，根据直角三角形的性质解答．【详解】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∴=5，∵∠ACB=90°，AD=BD，∴CD=12AB=52，故选C．本题考查的是勾股定理、直角三角形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 1+b 1=c 1．5、D 【解析】结合图像可以判断（1）（2）是否正确；由图象可知5t =时，150s =米，根据速度=路程÷时间，即可得到甲行走的速度；由图可以列出在时间为5至15范围内的函数：31t ＝51（t ﹣5），再计算即可得到答案.【详解】由图象可知，当t ＝5时，s ＝151，故（1）正确；当t ＝35时，s ＝451，故（2）正确；甲的速度是151÷5＝31米/分，故（3）正确；令31t ＝51（t ﹣5），解得，t ＝12.5，即当t ＝12.5时，s ＝1，故（4）正确；故选D ．本题考查读图能力和一元一次函数的应用，解题的关键是能够读懂图中的信息.6、C 【解析】利用二次根式的加减运算及立方根的定义，逐一分析四个选项的正误即可得出结论．【详解】解：A +3∴选项A 不正确；B 、=∴选项B 不正确；C 、）2＝2，∴选项C 正确；D 3，∴选项D 不正确．故选C ．本题考查了立方根、算式平方根以及二次根式的加减，利用排除法逐一分析四个选项的正误是解题的关键．7、D 【解析】根据勾股定理即可得到结论．【详解】在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=6，AC=8，∴AB==10，故选D ．本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．8、C 【解析】分析：由已知条件，先证明△ABE≌△CAD 得∠BPQ＝60°，可得BP＝2PQ＝8，AD＝BE．则易求．【详解】解：∵△ABC 为等边三角形，∴AB＝CA，∠BAE＝∠ACD＝60°；又∵AE＝CD，在△ABE 和△CAD 中，AB CA BAE ACD AE CD ⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝∴△ABE≌△CAD（SAS）；∴BE＝AD，∠CAD＝∠ABE；∴∠BPQ＝∠ABE＋∠BAD＝∠BAD＋∠CAD＝∠BAE＝60°；∵BQ⊥AD，∴∠AQB＝10°，则∠PBQ＝10°−60°＝30°∵PQ＝3，∴在Rt△BPQ 中，BP＝2PQ＝8；又∵PE＝1，∴AD＝BE＝BP＋PE＝1．故选：C ．本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、含有30°的直角三角形的性质，解题的关键是证明△BAE ≌△ACD ．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、1【解析】根据算术平方根和立方根定义，分别求出各项的值，再相加即可．【详解】2==-527=+=.故答案为1．本题考核知识点：算术平方根和立方根.解题关键点：熟记算术平方根和立方根定义，仔细求出算术平方根和立方根．10、56cm 【解析】设长为3x ，宽为2x ，再由行李箱的长、宽、高之和不超过160cm ，可得出不等式，解出即可．【详解】解：设长为3x ，宽为2x ，由题意，得：5x+20≤160，解得：x ≤28，故行李箱宽度的最大值是28×2=56cm ．故答案为：56cm ．本题考查了一元一次不等式的应用，解答本题的关键是仔细审题，找到不等关系，建立不等式．11、32a【解析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3，以及A 2B 2=2B 1A 2，得出A 3B 3=4B 1A 2=4，A 4B 4=8B 1A 2=8，A 5B 5=16B 1A 2…进而得出答案．【详解】如图所示：∵△A 1B 1A 2是等边三角形，∴A 1B 1=A 2B 1，∠3=∠4=∠12=60°，∴∠2=120°，∵∠MON=30°，∴∠1=180°-120°-30°=30°，又∵∠3=60°，∴∠5=180°-60°-30°=90°，∵∠MON=∠1=30°，∴OA 1=A 1B 1=a ，∴A 2B 1=a ，∵△A 2B 2A 3、△A 3B 3A 4是等边三角形，∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，∵∠4=∠12=60°，∴A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3，B 1A 2∥B 2A 3，∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，∴A 2B 2=2B 1A 2，B 3A 3=2B 2A 3，∴A 3B 3=4B 1A 2=4a ，A 4B 4=8B 1A 2=8a ，A 5B 5=16B 1A 2=16a ，以此类推：A 6B 6=32B 1A 2=32a ．故答案是：32a ．考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出A 3B 3=4B 1A 2，A 4B 4=8B 1A 2，A 5B 5=16B 1A 2进而发现规律是解题关键．12、7.2【解析】试题分析：根据勾股定理的逆定理求出∠A=90°，根据矩形的判定得出四边形ADME 是矩形，根据矩形的性质得出DE=AM ，求出AM 的最小值即可．解：∵在△ABC 中，AB=6cm ，AC=1cm ，BC=10cm ，∴BC 2=AB 2+AC 2，∴∠A=90°，∵MD ⊥AB ，ME ⊥AC ，∴∠A=∠ADM=∠AEM=90°，∴四边形ADME 是矩形，∴DE=AM ，当AM ⊥BC 时，AM 的长最短，根据三角形的面积公式得：AB×AC=BC×AM ，∴6×1=10AM ，AM=4.1（cm ），即DE 的最小值是4.1cm ．故答案为4.1．考点：矩形的判定与性质；垂线段最短；勾股定理的逆定理．13、2【解析】根据反比例函数k 值的几何意义即可求解.【详解】∵C 2：y ＝2x 过A,B 两点，C 1：y ＝4x 过P 点∴S △ACO =S △BOD =1，S 矩形DPCO =4,∴S 四边形PAOB =4-1-1=2此题主要考查反比例函数的图像和性质，解题的关键是熟知反比例函数k值的几何意义.三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】（1）根据菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形即可解答；（2）利用SSS证明△ADO≌△CDO，可得：∠AOD＝∠COD，又因为∠AOD＋∠COD＝180°，所以∠AOD＝∠COD＝90°即可得出AC⊥DB；（3）由△ADO≌△CDO，再根据全等三角形对应角相等，两直线平行，内错角相等即可解答.【详解】证明：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CD，AD＝CB.又∵AB＝AD，∴AB＝BC＝CD＝DA.(2)在△ADO和△CDO中，∵DA＝DC，DO＝DO，AO＝CO，∴△ADO≌△CDO.∴∠AOD＝∠COD.∵∠AOD＋∠COD＝180°，∴∠AOD＝∠COD＝90°.∴AC⊥DB.(3)∵△ADO≌△CDO，∴∠ADB＝∠CDB，∠DAC＝∠DCA.∵AB∥CD，AD∥CB，∴∠ADB＝∠CBD，∠CDB＝∠ABD，∠DAC＝∠BCA，∠DCA＝∠BAC.∴∠ADB＝∠CDB，∠ABD＝∠CBD，∠DAC＝∠BAC，∠DCA＝∠BCA.本题考查平行四边的性质、菱形性质、全等三角形的判定和性质、平行线的性质等，解题关键是熟练掌握以上性质.15、（1）直线l2的解析式为y=4x+3；（2）74≤d≤214．【解析】（1）根据平移的方向和距离即可得到A（8，0），D（0，3），再根据待定系数法即可得到直线l2的解析式；（2）根据一次函数图象上点的坐标特征，即可得到E（4，-2），再根据y=12x-4中，令x=0，则y=-4，可得B（0，-4），依据直线l2与线段BE有交点，即可得到平移距离d的取值范围．【详解】（1）∵将点A向上平移3个单位，再向左平移8个单位恰好能与点D重合，∴点A离y轴8个单位，点D离x轴3个单位，∴A （8，0），D （0，3），把点C （-2，m ）代入l 1：y=12x-4，可得m=-1-4=-5，∴C （-2，-5），设直线l 2的解析式为y=kx+b ，把D （0，3），C （-2，-5），代入可得352b k b --+⎧⎨⎩＝＝，解得43k b ⎧⎨⎩＝＝，∴直线l 2的解析式为y=4x+3；（2）把E （n ，-2）代入直线l 1：y=12x-4，可得-2=12n-4，解得n=4，∴E （4，-2），在y=12x-4中，令x=0，则y=-4，∴B （0，-4），设直线l 2沿x 轴向右平移后的解析式为y=4（x-n ）+3，当平移后的直线经过点B （0，-4）时，-4=4（0-n ）+3，解得n=74；当平移后的直线经过点E （4，-2）时，-2=4（4-n ）+3，解得n=214．∵直线l 2与线段BE 有交点，∴平移距离d 的取值范围为：74≤d≤214．本题主要考查了一次函数图象与几何变换，解题时注意：若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k 值相同．16、（1）y ＝12x +1；（1）x ＜1【解析】（1）将（﹣1，0）、（1，1）两点代入y ＝kx +b ，解得k ，b ，可得直线l 的解析式；（1）根据函数图象可以直接得到答案．【详解】解：（1）将点（﹣1，0）、（1，1）分别代入y ＝kx +b ，得：22,20.k b k b +=⎧⎨-+=⎩，解得121k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩．所以，该一次函数解析式为：y ＝12x +1；（1）由图象可知，当y ＜1时x 的取值范围是：x ＜1．故答案为（1）y ＝12x +1；（1）x ＜1.本题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，利用代入法是解答此题的关键．17、（1）FE=FD （2）答案见解析【解析】（1）先在AC 上截取AG=AE ，连结FG ，利用SAS 判定△AEF ≌△AGF ，得出∠AFE=∠AFG ，FE=FG ，再利用ASA 判定△CFG ≌△CFD ，得到FG=FD ，进而得出FE=FD ；（2）先过点F 分别作FG ⊥AB 于点G ，FH ⊥BC 于点H ，则∠FGE=∠FHD=90°，根据已知条件得到∠GEF=∠HDF ，进而判定△EGF ≌△DHF （AAS ），即可得出FE=FD ．也可以过点F 作FG ⊥AB 于G ，作FH ⊥BC 于H ，作FK ⊥AC 于K ，再判定△EFG ≌△DFH （ASA ），进而得出FE=FD ．【详解】（1）FE 与FD 之间的数量关系为：FE=FD ．理由：如图，在AC 上截取AG=AE ，连结FG ，∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠1=∠2，在△AEF 与△AGF 中12()AG AE AF AF ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝公共边，∴△AEF ≌△AGF （SAS ），∴∠AFE=∠AFG ，FE=FG ，∵∠B=60°，AD ，CE 分别是∠BAC ，∠BCA 的平分线，∴2∠2+2∠3+∠B=180°，∴∠2+∠3=60°，又∵∠AFE 为△AFC 的外角，∴∠AFE=∠CFD=∠AFG=∠2+∠3=60°，∴∠CFG=180°-60°-60°=60°，∴∠GFC=∠DFC ，在△CFG 与△CFD 中，()34GFC DFC FC FC ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝公共边＝，∴△CFG ≌△CFD （ASA ），∴FG=FD ，∴FE=FD ；（2）结论FE=FD 仍然成立．如图，过点F 分别作FG ⊥AB 于点G ，FH ⊥BC 于点H ，则∠FGE=∠FHD=90°，∵∠B=60°，且AD ，CE 分别是∠BAC ，∠BCA 的平分线，∴∠2+∠3=60°，F 是△ABC 的内心，∴∠GEF=∠BAC+∠3=∠1+∠2+∠3=60°+∠1，∵F 是△ABC 的内心，即F 在∠ABC 的角平分线上，∴FG=FH ，又∵∠HDF=∠B+∠1=60°+∠1，∴∠GEF=∠HDF ，在△EGF 与△DHF 中，90GEF HDF FGE FHD FG FH ＝＝＝＝∠∠⎧⎪∠∠︒⎨⎪⎩，∴△EGF ≌△DHF （AAS ），∴FE=FD ．本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角性质，角平分线的性质以及三角形内角和定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应边相等进行推导．18、（1）70；（2）1【解析】（1）根据折叠可得∠BFG=∠GFB′,再根据矩形的性质可得∠DFC=40°，从而∠BFG=70°即可得到结论；(2)首先求出GD=9-73=203，由矩形的性质得出AD ∥BC ，BC=AD=9，由平行线的性质得出∠DGF=∠BFG ，由翻折不变性可知，∠BFG=∠DFG ，证出∠DFG=∠DGF ，由等腰三角形的判定定理证出DF=DG=203，再由勾股定理求出CF ，可得BF ，再利用翻折不变性，可知FB′=FB ，由此即可解决问题．【详解】（1）根据折叠可得∠BFG=∠GFB′,∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴∠DGF=∠BFG ，∠ADF=∠DFC ，∵40ADF ∠=︒∴∠DFC=40°∴∠BFD=140°∴∠BFG=70°∴∠DGF=70°;（2）∵AG=73，AD=9，∴GD=9-73=203，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，BC=AD=9，∴∠DGF=∠BFG ，由翻折不变性可知，∠BFG=∠DFG ，∴∠DFG=∠DGF ，∴DF=DG=203，∵CD=AB=4，∠C=90°，∴在Rt △CDF 中，由勾股定理得：163CF ===，∴BF=BC-CF=9-1611=33，由翻折不变性可知，FB=FB′=113，∴B′D=DF-FB′=203-113=1．本题是四边形综合题，考查了矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、等腰三角形的判定、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用翻折不变性解决问题．一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、或【解析】分类讨论：当点E在线段AB上，连结CE，根据折叠的性质得到AE=CE=3，然后在Rt△BCE 中，利用勾股定理计算BC；当点E在线段AB的延长线上，连结CE，根据折叠的性质得AE=CE=5，在Rt△BCE中，根据勾股定理计算BC．【详解】当点E在线段AB上,如图1,连结CE,∵AB=4，BE=1，∴AE=3，∵将矩形ABCD折叠，使得对角线的两个端点A.C重合，∴AE=CE=3，在Rt△BCE中,BC===；当点E在线段AB的延长线上，如图2，连结CE，∵AB=4，BE=1，∴AE=5，∵将矩形ABCD折叠，使得对角线的两个端点A.C重合，∴AE=CE=5，在Rt△BCE中,BC===，∴BC 的长为.本题考查折叠问题，分情况解答是解题关键.20、1【解析】由平行四边形的性质可得EHB EIH S S ∆∆=，AEF EFJ S S ∆∆=，DFG FKG S S ∆∆=，GCH GHL S S ∆∆=，由面积和差关系可求四边形IJKL 面积．【详解】解：//AB IL ，//IJ BC ，∴四边形EIHB 是平行四边形，EHB EIH S S ∆∆∴=，同理可得：AEF EFJ S S ∆∆=，DFG FKG S S ∆∆=，GCH GHL S S ∆∆=，∴四边形IJKL 面积=四边形EFGH 面积-（四边形ABCD 面积-四边形EFGH 面积）11(1811)4=--=，故答案为：1．本题考查了平行四边形的判定与性质，由平行四边形的性质得出EHB EIH S S ∆∆=是解题的关键．21、1【解析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE=DF=12AB ，EF=12BC ，然后代入数据计算即可得解．【详解】解：∵AF ⊥BC ，BE ⊥AC ，D 是AB 的中点，∴DE=DF=12AB ，∵AB=AC ，AF ⊥BC ，∴点F 是BC 的中点，∴BF=FC=3，∵BE ⊥AC ，∴EF=12BC=3，∴△DEF 的周长=DE+DF+EF=AB+3=11，∴AB=1，故答案为1．本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记各性质是解题的关键．22、12013【解析】试题分析：根据菱形性质得出AC ⊥BD ，AO=OC=12，BO=BD=5，根据勾股定理求出AB ，根据菱形的面积得出S 菱形ABCD =12×AC×BD=AB×DE ，代入求出即可．【详解】∵四边形ABCD 是菱形，AC=24，BD=10，∴AC ⊥BD ，AO=OC=12AC=12，BO=12BD=5，在Rt △AOB 中，由勾股定理得：AB=13，∵S 菱形ABCD =12×AC×BD=AB×DE ，∴12×24×10=13DE ，∴DE=12013，故答案为12013．本题考查的是菱形的性质及等面积法，掌握菱形的性质，灵活运用等面积法是解题的关键.23、m （m ﹣9）【解析】直接提取公因式m 即可．【详解】解：原式＝m （m ﹣9）．故答案为：m （m ﹣9）此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是正确找出公因式．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（1）()()3221a b a b --+；（2）－12【解析】（1）()()263a b a b --和都含有因数3a-b （），利用提取公因式法即可解答（2）先提取公因式xy ，再根据完全平方公式进行二次分解，然后代入数据计算即可得解．【详解】解：（1）()()263a b a b -+-()()321a b a b =--+⎡⎤⎣⎦()()3221a b a b =--+.（2）∵2x y +=，3xy =-，∴32232x y x y xy ++()222xy x xy y =++()2xy x y =+，34=-⨯，12=-.本题考查因式分解，熟练掌握运算法则是解题关键.25、见解析【解析】截取BE ＝BM ，连接EM ，求出AM ＝EC ，得出∠BME ＝45°，求出∠AME ＝∠ECF ＝135°，求出∠MAE ＝∠FEC ，根据ASA 推出△AME 和△ECF 全等即可．【详解】证明：在AB 上截取BM ＝BE ，连接ME ，∵∠B ＝90°，∴∠BME ＝∠BEM ＝45°，∴∠AME ＝135°∵CF 是正方形ABCD 的外角的角平分线，∴∠ECF=90°+∠DCF=90°+1902⨯︒=135°＝∠ECF ，∵∠AEF =90°∴∠AEB+CEF∠=90°又∠AEB+MAE ∠=90°，∴MAE CEF ∠=∠∵AB ＝BC ，BM ＝BE ，∴AM ＝EC ，在△AME 和△ECF 中MAE CEF AM EC AME ECF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AME ≌△ECF （ASA ），∴AE ＝EF ．本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，角平分线的定义，关键是推出△AME ≌△ECF ．26、（1）四边形AEDF 是菱形，证明见解析；（2）24；（3）当△ABC 中∠BAC=90°时，四边形AEDF 是正方形；【解析】（1）由∠BAD=∠CAD ，AO=AO ，∠AOE=∠AOF=90°证△AEO ≌△AFO ，推出EO=FO ，得出平行四边形AEDF ，根据EF ⊥AD 得出菱形AEDF ；（2）由（1）知菱形AEDF 对角线互相垂直平分，故AO=12AD=4，根据勾股定理得EO=3，从而得到EF=6；（3）根据有一个角是直角的菱形是正方形可得∠BAC=90°时，四边形AEDF 是正方形．【详解】(1)四边形AEDF是菱形，∵AD平分∠BAC，∴∠1=∠2，又∵EF⊥AD，∴∠AOE=∠AOF=90°∵在△AEO和△AFO中∵12AO AOAOE AOF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AEO≌△AFO（ASA），∴EO=FO，∵EF垂直平分AD，∴EF、AD相互平分，∴四边形AEDF是平行四边形又EF⊥AD，∴平行四边形AEDF为菱形；(2)∵EF垂直平分AD，AD=8，∴∠AOE=90°，AO=4，在RT△AOE中，∵AE=5，∴=3，由(1)知，EF=2EO=6；(3)当△ABC中∠BAC=90°时，四边形AEDF是正方形；∵∠BAC=90°，∴四边形AEDF是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）．本题考查了菱形的判定和正方形的判定，解题的关键是掌握邻边相等的平行四边形是菱形，有一个角是直角的菱形是正方形．。

2023-2024学年吉林省长春市长春吉大附中实验学校高一下学期7月期末考试数学试题❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.样本数据5，7，4，6，12，10，11，9的第70百分位数为()A.7B.9C.D.102.已知向量，其中，且，则向量与的夹角是()A. B. C. D.3.从一批产品既有正品也有次品中随机抽取三件产品，设事件“三件产品全不是次品”，事件“三件产品全是次品”，事件“三件产品有次品，但不全是次品”，则下列结论中不正确．．．的是()A.A与C互斥B.B与C互斥C.A、B、C两两互斥D.A与B对立4.已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是()A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则5.已知正四棱台的上、下底面边长分别为1和2，且，则该棱台的体积为()A. B. C. D.6.在中，角的对边分别为，已知三个向量，共线，则的形状为()A.等边三角形B.钝角三角形C.有一个角是的直角三角形D.等腰直角三角形7.一个电路如图所示，A、B、C、D、E、为6个开关，其闭合的概率均为，且是相互独立的，则灯亮的概率是()A. B. C. D.8.庑殿图是中国古代传统建筑中的一种屋顶形式，多用于宫殿、坛庙、重要门楼等高级建筑上，庑殿的基本结构包括四个坡面，坡面相交处形成5根屋脊，故又称“四阿殿”或“五脊殿”．图2是根据庑殿顶构造的多面体模型，底面ABCD是矩形，且四个侧面与底面的夹角均相等，则A. B.C. D.二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.设为复数，下列命题正确的是()A. B.C.若，则为纯虚数D.若，且，则10.某企业对目前销售的A，B，C，D四种产品进行改造升级，经过改造升级后，企业营收实现翻番，现统计了该企业升级前后四种产品的营收占比，得到如下饼图：下列说法正确的是()A.产品升级后，产品A的营收是升级前的4倍B.产品升级后，产品B的营收是升级前的2倍C.产品升级后，产品C的营收减少D.产品升级后，产品B､营收的总和占总营收的比例不变11.如图，在社会实践活动中，李明同学设计了一款很“萌”的圆台形台灯，台灯内装有两个相切且球心均在圆台的轴上的球形灯泡，上、下两灯泡的球面分别与圆台的上、下底面相切，且都与圆台的侧面相切，若上、下两球形灯泡的半径分别为1和9，则()A.圆台形台灯的母线所在直线与下底面所成角的大小为B.圆台形台灯的母线长为C.圆台形的上、下底面半径之积为9D.圆台形台灯的侧面积大于2800三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

2024-2025学年吉林省长春市吉大附中实验学校高一（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A={1,2,3}，B={x||x−1|>1}，则A∩B=( )A. {2,3}B. {2}C. {3}D. ⌀2.已知幂函数f(x)=(2m2−m)x m−12在区间(0,+∞)上单调递增，则m=( )A. −2B. 1C. −12D. −13.已知命题“∀x∈R，4x2+(a−2)x+1>0”是假命题，则实数a的取值范围为( )A. (−∞,0]∪[4,+∞)B. (−∞,−2]∪[6,+∞)C. [0,4]D. (−2,6)4.函数f(x)=x33x−3−x的图像大致为( )A. B.C. D.5.对于实数a、b、c有如下命题①若a>b则ac>bc；②若ac2>bc2则a>b；③若a<b<0则a2>ab>b2；④若a>b，1a >1b则a>0，b<0.其中正确的有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个6.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=x2+2x，若f(3−2a)>f(a)，则实数a的取值范围是( )A. (−∞,−1)B. (−∞,1)C. (−1,+∞)D. (1,+∞)7.若两个正实数x，y满足4x+y=2xy，且不等式x+y4<m2−m有解，则实数m的取值范围是( )A. −1<m<2B. m<−2或m>1C. −2<m<1D. m<−1或m>28.已知函数f(x)=x3+2x+12x+1，若实数a，b满足f(a2)+f(2b2−3)=2，则a1+b2的最大值为( )A. 324B. 2 C. 524D. 724二、多选题：本题共3小题，共18分。

2024−2025学年吉大附中实验高二数学上学期第一次月考试卷一、单选题（本大题共8小题）1．在空间直角坐标系Oxyz 中，已知点()1,3,5P ，点()1,3,5Q --则（）A ．点P 和点Q 关于x 轴对称B ．点P 和点Q 关于y 轴对称C ．点P 和点Q 关于z 轴对称D ．点P 和点Q 关于原点中心对称2．向量()()2,1,3,1,2,9a x b y ==- ，若a∥b ，则（）A ．1x y ==B ．11,22x y ==-C ．13,62x y ==-D ．12,63x y =-=3．直三棱柱111ABC A B C -中，若1,,CA a CB b CC c === ，则1A B =（）A ．a b c +-r r rB ．a b c -+r r rC ．a b c-++ D ．a b c-+- 4．下列可使非零向量,,a b c构成空间的一组基底的条件是（）A ．,,a b c两两垂直B ．b cλ= C ．a mb nc =+D ．0a b c ++= 5．已知2b a c =+，则直线0ax by c ++=恒过定点（）A ．(1,2)-B ．(1,2)C ．(1,2)-D ．(1,2)--6．已知1C ：2222416160x y x y +++-=，2C ：22228840x y x y ++--=，则两圆的位置关系为（）A ．相切B ．外离C ．相交D ．内含7．已知点P 为椭圆22:11612x y C +=上任意一点，直线l 过22:430M x y x +-+= 的圆心且与M 交于,A B 两点，则PA PB ⋅的取值范围是（）A ．[]3,35B ．[]2,34C ．[]2,36D ．[]4,368．已知圆221:2470C x y x y +---=和圆222:(3)(1)12C x y +++=交于两点，点P 在圆1C 上运动，点Q 在圆2C 上运动，则下列说法正确的是（）A ．圆1C 和圆2C 关于直线8650x y +-=对称B ．圆1C 和圆2C 的公共弦长为C ．PQ 的取值范围为0,5⎡+⎣D ．若M 为直线80-+=x y 上的动点，则PM MQ +的最小值为二、多选题（本大题共3小题）9．已知向量()1,2,0a =- ，()2,4,0b =-，则下列正确的是（）A ．//a bB ．a b⊥C ．2b a = D ．a 在b方向上的投影向量为()1,2,0-10．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图，把三片这样的达·芬奇方砖拼成组合，把这个组合再转换成空间几何体．若图中每个正方体的棱长为1，则下列结论正确的是（）A ．122CQ AB AD AA =--+ B ．点1C 到直线CQ 的距离是3C ．3CQ = D ．异面直线CQ 与BD 所成角的正切值为411．已知实数,x y 满足方程22410x y x +-+=，则下列说法正确的是（）A ．y x -的最大值为2B ．22x y +的最大值为7+C ．yx 的最大值为2D ．x y +的最小值为2三、填空题（本大题共3小题）12．O 为空间任意一点，若3148OP OA OB tOC =++，若ABCP 四点共面，则t =．13．已知点()2,0A -和点()2,0B ，P 是动点，且直线AP 与BP 的斜率之积等于34-，则动点P 的轨迹方程为．14．已知点P 为圆221:(5)4C x y -+=上位于第一象限内的点，过点P 作圆222:2C x y ax +-220(25)a a a +-+=<<的两条切线,PM PN ，切点分别为M N 、，直线,PM PN 分别交x 轴于(1,0),(4,0)A B 两点，则||||PA PB =，||MN =．四、解答题（本大题共5小题）15．分别求满足下列各条件的椭圆的标准方程．(1)已知椭圆的离心率为23e =，短轴长为(2)椭圆C 与2212x y +=有相同的焦点，且经过点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，求椭圆C 的标准方程.16．已知圆心为C 的圆经过点()()1,4,3,6A B ，且圆心C 在直线340x y -=上．(1)求圆C 的方程；(2)已知直线l 过点()1,1且直线l 截圆C 所得的弦长为2，求直线l 的一般式方程．17．如图，四边形ABCD 与四边形ADEF 均为等腰梯形，//BC AD ，//EF AD ，4=AD ，AB =2BC EF ==，AF FB ⊥平面ABCD ，M 为AD 上一点，且FM AD ⊥，连接BD 、BE 、BM .(1)证明：⊥BC 平面BFM ；(2)求平面ABF 与平面DBE 的夹角的余弦值.18．已知圆()222:0O x y r r +=>与圆22:220E x y x y +--=内切．(1)求r 的值．(2)直线:1l y kx =+与圆O 交于,M N 两点，若7OM ON ⋅=-，求k 的值；(3)过点E 作倾斜角互补的两条直线分别与圆O 相交，所得的弦为AB 和CD ，若AB CD λ=，求实数λ的最大值．19．已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA a = ，OB b = ，则AOB ∠叫做向量a ，b的夹角，记作,a b .定义a 与b 的“向量积”为：a b ⨯是一个向量，它与向量a ，b 都垂直，它的模sin ,a b a b a b ⨯=⋅.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PD ⊥底面ABCD ，4DP DA ==，E 为AD上一点，AD BP ⨯=.(1)求AB 的长；(2)若E 为AD 的中点，求二面角P EB A --的余弦值；(3)若M 为PB 上一点，且满足AD BP EM λ⨯=，求λ.参考答案1．【答案】B【详解】由题得点P 与点Q 的横坐标与竖坐标互为相反数，纵坐标相同，所以点P 和点Q 关于y 轴对称,故选：B.2．【答案】C【分析】利用空间向量平行列出关于,x y 的方程组，解之即可求得,x y 的值.【详解】因为a b ∥，所以a b λ=，由题意可得()()()2,1,31,2,9,2,9x y y λλλλ=-=-，所以2,12,39,x y λλλ=⎧⎪=-⎨⎪=⎩则131632x y λ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩.故选C.【思路导引】根据题目条件a∥b列出关于,x y 的方程组，解方程组即可得到答案.3．【答案】D【详解】()11111A A B B a b B A B c CC C CB =+=-+=-+--+.故选：D ．4．【答案】A【详解】由基底定义可知只有非零向量,,a b c不共面时才能构成空间中的一组基底.对于A ，因为非零向量,,a b c 两两垂直，所以非零向量,,a b c不共面，可构成空间的一组基底，故A 正确；对于B ，b c λ=，则,b c 共线，由向量特性可知空间中任意两个向量是共面的，所以a 与,b c 共面，故B 错误；对于C ，由共面定理可知非零向量,,a b c共面，故C 错误；对于D ，0a b c ++=即a b c =-- ，故由共面定理可知非零向量,,a b c 共面，故D 错误.故选：A.5．【答案】A【分析】由题意可得(1)(2)0a x b y -++=，可得定点坐标.【详解】因为2b a c =+，所以2c b a =-，由0ax by c ++=，可得(2)0ax by b a ++-=，所以(1)(2)0a x b y -++=，当1,2x y ==-时，所以(11)(22)0a b -+-+=对,a b 为任意实数均成立,故直线过定点(1,2)-.故选A.6．【答案】C【详解】因为22221:22416160,2880C x y x y x y x y +++-=+++-=可化为()()221425x y +++=,则()11,4C --，半径15r =，因为22222:228840,4420C x y x y x y x y ++--=++--=可化为()()222210x y ++-=，则()22,2C -，半径2r =则12C C ==，因为122155r r r r -=<+=.故选：C.7．【答案】A【详解】22:430M x y x +-+= ，即()2221x y -+=，则圆心(2,0)M ，半径为1.椭圆方程22:11612x y C +=，2216,12a b ==,则22216124,2c a b c =-=-==，则圆心(2,0)M 为椭圆的焦点，由题意AB 的圆的直径，且2AB =如图，连接PM ，由题意知M 为AB 中点，则MA MB =-，可得()()()()PA PB PM MA PM MB PM MB PM MB⋅=+⋅+=-+ 2221PM MB PM =-=- .点P 为椭圆22:11612x y C +=上任意一点，则min 2PM a c =-= ，max 6PM a c =+=，由26PM ≤≤，得21PA PB PM ⋅=- []3,35∈.故选：A.8．【答案】D【详解】对于A ，221:2470C x y x y +---=和圆222:(3)(1)12C x y +++=，圆心和半径分别是()()12121,2,3,1,C C R R --==，则两圆心中点为11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，若圆1C 和圆2C 关于直线8650x y +-=对称，则直线是12C C 的中垂线，但两圆心中点11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭不在直线8650x y +-=上，故A 错误；对于B ，1C 到直线8650x y ++=的距离81255102d ++==，故公共弦长为=B 错误；对于C，圆心距为5，当点P 和Q 重合时，PQ 的值最小，当12,,,P Q C C 四点共线时，PQ的值最大为5+故PQ的取值范围为0,5⎡+⎣，C 错误；对于D ，如图，设1C 关于直线80-+=x y 对称点为(),A m n，则21,11280,22n mm n -⎧=-⎪⎪-⎨++⎪-+=⎪⎩解得6,9,m n =-⎧⎨=⎩即1C 关于直线80-+=x y 对称点为()6,9A -，连接2AC 交直线于点M ，此时PM MQ +最小，122PM MQ MC MC C A +≥+-=-==即PM MQ +的最小值为，D 正确.故选：D.9．【答案】ACD【详解】ABC 选项，由题意得2b a =，故//a b 且2b a = ，AC 正确，B 错误；D 选项，a 在b方向上的投影向量为()01,2,a b b bb-⋅--⋅⋅==-，D 正确.故选：ACD 10．【答案】ABC【详解】依题意得12CQ CB BQ AD BA =+=-+()11222AD AA AB AB AD AA =-+-=--+ ，故A 正确；如图，以1A 为坐标原点，建立空间直角坐标系，111(0,1,0),(1,1,0),(1,0,0),(0,1,1),(1,1,1),(1,1,1),B C D Q C E -------(1,1,1),(0,1,1),(1,0,1)G B D -----，对于BC ，1(1,2,1),(1,2,2)QC CQ =--=-，所以2221(2)23CQ =+-+= ，设173QC CQ m CQ⋅==-，则点1C 到直线CQ 的距离221495693d QC m --=BC 正确；对于D ，因为(1,2,2),(1,1,0)CQ BD ---==，所以2cos ,61442CQ BD 〈〉++⋅，所以tan ,17CQ BD 〈〉= 所以异面直线CQ 与BD 所成角的正切值为17D 错误．故选：ABC ．11．【答案】ABD【详解】根据题意，方程22410x y x +-+=，即22(2)3x y -+=，表示圆心为(2,0)，半径为3对于A ，设y x z -=，即0x y z -+=，直线0x y z -+=与圆22(2)3x y -+=有公共点，所以|2|311z +≤+6262z --≤≤-则z y x =-的最大值为62，故A 正确；对于B ，设22t x y =+，其几何意义为圆22(2)3x y -+=上的点到原点的距离，所以t 的最大值为23+，故22x y +的最大值为22(23)73t =+=+B 正确；对于C ，设yk x=，则0kx y -=，直线0kx y -=与圆22(2)3x y -+=有公共点，则≤k ≤≤y x 的最大值为C 错误；对于D ，设m x y =+，作出图象为正方形，作出圆22(2)3x y -+=，如图，由图象可知，正方形与圆有公共点A 时，m 有最小值2即x y +的最小值为2，故D 正确；故选：ABD 12．【答案】18/0.125【详解】空间向量共面的基本定理的推论：OP xOA yOB zOC =++，且A 、B 、C 不共线，若A 、B 、C 、P 四点共面，则1x y z ++=，因为O 为空间任意一点，若3148OP OA OB tOC =++ ，且A 、B 、C 、P 四点共面，所以，31148t ++=，解得18t =.故答案为：18.13．【答案】221(2)43x y x +=≠±【详解】设动点P 的坐标为(,)x y ，又()2,0A -，()2,0B ，所以AP 的斜率(2)2AP y k x x =≠-+，BP 的斜率(2)2BP y k x x =≠-，由题意可得3(2)224y y x x x ⨯=-≠±+-，化简，得点P 的轨迹方程为221(2)43x y x +=≠±.故答案为：221(2)43x y x +=≠±14．【答案】2,【详解】圆2C 的标准方程为22()2(2)x a y a a -+=->，圆心()2,0C a ，则2PC 为APB ∠的角平分线，所以22AC PA BC PB=．设()00,P x y ，则()220054x y -+=，所以2PA PB=，则222AC BC =，即()124a a -=-，解得3a =，则222:(3)1C x y -+=，所以点N 与()4,0B 重合，此时221,30C M MAC =∠=，可得5,22M ⎛ ⎝⎭，所以MN =．故答案为：2；15．【答案】(1)22114480x y +=或22114480y x +=；(2)22143x y +=.【详解】（1）由题得222212328c a a b b a b c c ⎧=⎪=⎧⎪⎪⎪=⇒=⎨⎨⎪⎪=+=⎩⎪⎪⎩所以椭圆的标准方程为22114480x y +=或22114480y x +=.（2）椭圆2212x y +=满足1c ==，故该椭圆焦点坐标为()1,0±，因为椭圆C 与2212x y +=有相同的焦点，且经过点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以可设椭圆C 方程为22221x y a b +=，且22222231211a b a b ⎧⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭+=⎨⎪⎪=+⎩，解得4241740a a -+=，故()()224140a a --=，解得214a =（舍去）或24a =，故2213b a =-=.所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=.16．【答案】(1)()()224310x y -+-=(2)10x -=或512170x y +-=【详解】（1）由题意()()1,4,3,6A B ，则AB 的中点为(2,5)，且64131AB k -==-，故线段AB 中垂线的斜率为1-，则中垂线的方程为5(2)y x -=--，即70x y +-=，联立34070x y x y -=⎧⎨+-=⎩，解得43x y =⎧⎨=⎩，即圆心()4,3C ，则半径r CA ===故圆C 的方程为()()224310x y -+-=.（2）当直线斜率不存在时，直线l 的方程为1x =，圆心(4,3)C 到直线的距离为3，由半径r =则直线l 截圆C 所得的弦长2=，满足题意；当直线l 斜率存在时，设直线l 方程为1(x 1)y k -=-，化为一般式得10kx y k -+-=，由直线l 截圆C 所得的弦长2，半径r =1.则圆心到直线的距离3d ==，又圆心(4,3)，由点到直线的距离公式得3d =，解得512k =-，故直线l 方程为51(1)12y x -=--，化为一般式方程为：512170x y +-=.综上所述，直线l 的方程为10x -=或512170x y +-=.17．【答案】(1)证明见详解；【分析】（1）根据线面垂直的性质，结合线面垂直的判定定理、平行线的性质进行证明即可；（2）作EN AD ⊥，垂足为N ，根据平行四边形和矩形的判定定理，结合（1）的结论，利用勾股定理，因此可以以BM ，BC ，BF 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.【详解】（1）因为FB ⊥平面ABCD ，又AD ⊂平面ABCD ，所以FB AD ⊥.又FM AD ⊥，且FB FM F ⋂=，所以AD ⊥平面BFM .因为//BC AD ，所以⊥BC 平面BFM .（2）作EN AD ⊥，垂足为N .则//FM EN .又//EF AD ，所以四边形FMNE 是平行四边形，又EN AD ⊥，所以四边形FMNE 是矩形，又四边形ADEF 为等腰梯形，且4=AD ，2EF =，所以1AM =.由（1）知AD ⊥平面BFM ，所以BM AD ⊥.又AB =，所以1BM =.在Rt AFM中，FM ==在Rt FMB中，3FB ==所以.由上可知，能以BM ，BC ，BF 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示空间直角坐标系.则(1,1,0)A --，(0,0,0)B ，(0,0,3)F ，(1,3,0)D -，(0,2,3)E ，所以，(1,1,0)AB =，(0,0,3)BF = ，(1,3,0)BD =- ，(0,2,3)BE =，设平面ABF 的法向量为()111,,m x y z = ，由0m AB m BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得1110,0,x y z +=⎧⎨=⎩可取(1,1,0)m =- .设平面BDE 的法向量为()222,,n x y z =，由00n BD n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得222230,230,x y y z -+=⎧⎨-+=⎩，可取(9,3,2)n = .因此，cos ,m n m n m n ⋅==.依题意可知，平面ABF 与平面DBE的夹角的余弦值为18．【答案】(1)r =(2)1k =±；(3)max λ=【详解】（1）由题意得0,0，()()2222220112x y x y x y +--=⇒-+-=，故圆心()1,1E ，圆E的半径为因为()()2201012-+-=，故0,0在圆E 上，所以圆O的半径r >OE r =r =（2）由（1）知22:8O x y +=，联立()2222812701x y k x kx y kx ⎧+=⇒++-=⎨=+⎩，设()()1122,,,M x y N x y ，则()22Δ42810k k =++>恒成立，且12122227,11k x x x x k k +=-=-++，所以()2222121212222721811111k k k y y k x x k x x k k k -=+++=--+=+++，所以221212222718681711O k k x x y O y k k kM N ⋅=---+=-+==+++- ，解得1k =±.（3）如图，因为直线AB和直线CD 倾斜角互补，所以当直线AB 斜率不存在时，此时直线CD 的斜率也不存在，此时AB CD =，1AB CDλ==，当直线AB 的斜率为0时，直线CD 的斜率为0，不满足倾斜角互补，当直线AB 斜率存在且不为0时，设直线():11AB y k x -=-即10kx y k --+=，圆心O 到直线AB的距离为d =故AB ===由直线AB 方程得直线CD 的方程为()11y k x -=--即10kx y k +--=，同理得CD =则AB CD λ==当0k >，AB CD λ===，因为对勾函数()1f x x x=+在0,1上单调递减，在1,+∞上单调递增，所以0x >时，()())[)1,2,f x f ∞∞⎡∈+=+⎣，所以0k >时[)17212,k k ∞⎛⎫+-∈+ ⎪⎝⎭，故4411,1372k k ⎛⎤+∈ ⎥⎛⎫⎝⎦+- ⎪⎝⎭，所以1,3λ⎛= ⎝⎦，当0k <，AB CDλ==由上知0k <时()[)17216,k k ∞⎡⎤⎛⎫-+-+∈+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故()431,14172k k ⎡⎫-∈⎪⎢⎡⎤⎛⎫⎣⎭-+-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以,12λ⎫=⎪⎢⎪⎣⎭.综上，max 233λ=.19．【答案】(1)2(2)13-(3)10【分析】（1）首先说明PBC ∠为直线AD 与PB 所成的角，即,AD BP PBC =∠，设()0AB x x =>，根据所给定义得到方程，解得即可；（2）在平面ABCD 内过点D 作DF BE ⊥交BE 的延长线于点F ，连接PF ，PFD ∠为二面角P EB D --的平面角，由锐角三角函数求出cos PFD ∠，设二面角P EB A --的平面角为θ，则πPFD θ=-∠，利用诱导公式计算可得；（3）依题意可得EM ⊥平面PBC ，在平面PDC 内过点D 作DN PC ⊥，垂足为N ，即可证明DN ⊥平面PBC ，在平面PBC 内过点N 作//MN BC 交PB 于点M ，在DA 上取点E ，使得DE MN =，连接EM ，即可得到四边形DEMN 为平行四边形，求出DN，即可得解.【详解】（1）因为底面ABCD 为矩形，PD ⊥底面ABCD ，所以//AD BC ，BC DC ⊥，又BC ⊂底面ABCD ，所以PD BC ⊥，又PD DC D = ，,PD DC ⊂平面PDC ，所以BC ⊥平面PDC ，又PC ⊂平面PDC ，所以BC PC ⊥，所以PBC ∠为直线AD 与PB 所成的角，即,AD BP PBC =∠，设()0AB x x =>，则PC ==PB ，在Rt PBC 中s n i PCPBC PB∠=，又AD BP ⨯= =2x =（负值已舍去），所以2AB =；（2）在平面ABCD 内过点D 作DF BE ⊥交BE 的延长线于点F ，连接PF ，因为PD ⊥底面ABCD ，BF ⊂底面ABCD ，所以PD BF ⊥，又DF PD D = ，,DF PD ⊂平面PDF ，所以BF ⊥平面PDF ，又PF ⊂平面PDF ，所以BF PF ⊥，所以PFD ∠为二面角P EB D --的平面角，因为E 为AD 的中点，所以π2sin4DF ==PF ==，所以1cos 3DF PFD PF ∠==，设二面角P EB A --的平面角为θ，则πPFD θ=-∠，所以()1cos cos πcos 3PFD PFD θ=-∠=-∠=-，即二面角P EB A --的余弦值为13-；（3）依题意()AD BP AD ⨯⊥ ，()AD BP BP ⨯⊥ ，又AD BP EM λ⨯= ，所以EM AD ⊥，EM BP ⊥，又//AD BC ，所以EM BC ⊥，又PB BC B = ，,PB BC ⊂平面PBC ，所以EM ⊥平面PBC ，在平面PDC 内过点D 作DN PC ⊥，垂足为N ，由BC ⊥平面PDC ，DN ⊂平面PDC ，所以BC DN ⊥，又PC BC C = ，,PC BC ⊂平面PBC ，所以DN ⊥平面PBC ，在平面PBC 内过点N 作//MN BC 交PB 于点M ，在DA 上取点E ，使得DE MN =，连接EM ，所以//DE MN 且DE MN =，所以四边形DEMN 为平行四边形，所以EM DN =，又5DN ==，即5EM = ，所以10455AD BP EMλ⨯===.【关键点拨】本题关键是理解并应用所给定义，第三问关键是转化为求DN.。

吉林省长春市吉大附中实验学校2024届八年级数学第二学期期末学业质量监测试题 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题(每小题3分,共30分)1．估计(2153)3-⨯的结果在（ ）.A ．8至9之间B ．9至10之间C ．10至11之间D ．11至12之间2．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a ﹣b ，x ﹣y ，x +y ，a +b ，x 2﹣y 2，a 2﹣b 2分别对应下列六个字：华、爱、我、中、游、美，现将（x 2﹣y 2）a 2﹣（x 2﹣y 2）b 2因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）A ．我爱美B ．中华游C ．爱我中华D ．美我中华3．二次根式2a -中字母a 的取值范围是（ ）A ．a ≥0B ．a ≤0C ．a ＜0D ．a ≤﹣24．要使式子3x -+在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ）A ．3x >-B ．3x <C ．3x -D ．3x5．在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝c ，∠A ＝30°，则AC ＝（ ）A ．12cB ．32cC ．2cD ．3c6．下列多项式能用完全平方公式进行分解因式的是（ ）A ．21x +B ．224x x ++C ．221x x -+D ．21x x ++7．不等式的解集是( ) A ． B ． C ． D ． 8．下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（ ）．A ．12，1B ．2，3，4C ．4，5，6D ．8，13，59．点（a ，﹣1）在一次函数y ＝﹣2x +1的图象上，则a 的值为（ ）A ．a ＝﹣3B ．a ＝﹣1C ．a ＝1D ．a ＝210．下列命题是假命题的是（ ）A ．四边都相等的四边形为菱形B ．对角线互相平分的四边形为平行四边形C ．对角线相等的平行四边形为矩形D ．对角线互相垂直且相等的四边形为正方形二、填空题(每小题3分,共24分)11．如图，函数y=ax+4和y=bx 的图象相交于点A ，则不等式bx≥ax+4的解集为_____．12．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝9，点P 为AD 边上点，沿BP 折叠△ABP ，点A 的对应点为E ，若点E 到矩形两条较长边的距离之比为1：4，则AP 的长为_____．13．甲乙两人同时开车从A 地出发，沿一条笔直的公路匀速前往相距400千米的B 地，1小时后，甲发现有物品落在A 地，于是立即按原速返回A 地取物品，取到物品后立即提速25%继续开往B 地（所有掉头和取物品的时间忽略不计），甲乙两人间的距离y 千米与甲开车行驶的时间x 小时之间的部分函数图象如图所示，当甲到达B 地时，乙离B 地的距离是_____．14．有8个数的平均数是11，还有12个数的平均数是12，则这20个数的平均数是_________．15．在五边形ABCDE 中，若440A B C D ∠+∠+∠+∠=︒，则E ∠=______︒.16．将反比例函数(0,0)k y k x x=<<的图像绕着原点O 顺时针旋转45°得到新的双曲线图像1C （如图1所示），直线l x ⊥轴，F 为x 轴上的一个定点，已知，图像1C 上的任意一点P 到F 的距离与直线l 的距离之比为定值，记为e ，即(1)PF e PH>．（1）如图1，若直线l 经过点B (1,0),双曲线1C 的解析式为2312y x =±-，且2e =，则F 点的坐标为__________． （2）如图2，若直线l 经过点B (1,0), 双曲线2C 的解析式为28816y x x =±--，且(5,0)F ，P 为双曲线2C 在第一象限内图像上的动点，连接PF ，Q 为线段PF 上靠近点P 的三等分点，连接HQ ，在点P 运动的过程中，当3HQ HP =时，点P 的坐标为__________．17．某市出租车白天的收费起步价为10元，即路程不超过3km 时收费10元，超过部分每千米收费2元，如果乘客白天乘坐出租车的路程为()3xkm x > ，乘车费为y 元，那么y 与x 之间的关系式为__________________．18．如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为（1，3）、（n ，3），若直线y=2x 与线段AB 有公共点，则n 的值可以为_____．（写出一个即可）三、解答题(共66分)19．（10分）某校八年级学生数学科目期末评价成绩是由完成作业、单元检测、期末考试三项成绩构成的，如果期末评价成绩80分以上（含80分），则评为“优秀”．下面表中是小张和小王两位同学的成绩记录：完成作业 单元检测 期末考试小张 70 90 80小王 60 75（1）若按三项成绩的平均分记为期末评价成绩，请计算小张的期末评价成绩；（2）若按完成作业、单元检测、期末考试三项成绩按1：2：m 的权重，小张的期末评价成绩为81分，则小王在期末（期末成绩为整数）应该最少考多少分才能达到优秀？20．（6分）数学问题：用边长相等的正三角形、正方形和正六边形能否进行平面图形的镶嵌？问题探究：为了解决上述数学问题，我们采用分类讨论的思想方法去进行探究．探究一：从正三角形、正方形和正六边形中任选一种图形，能否进行平面图形的镶嵌？第一类：选正三角形．因为正三角形的每一个内角是60°，所以在镶嵌平面时，围绕某一点有6个正三角形的内角可以拼成一个周角，所以用正三角形可以进行平面图形的镶嵌．第二类：选正方形．因为正方形的每一个内角是90°，所以在镶嵌平面时，围绕某一点有4个正方形的内角可以拼成一个周角，所以用正方形也可以进行平面图形的镶嵌．第三类：选正六边形．(仿照上述方法，写出探究过程及结论)探究二：从正三角形、正方形和正六边形中任选两种图形，能否进行平面图形的镶嵌？第四类：选正三角形和正方形在镶嵌平面时，设围绕某一点有x个正三角形和y个正方形的内角可以拼成个周角．根据题意，可得方程60x+90y＝360整理，得2x+3y＝1．我们可以找到唯一组适合方程的正整数解为32 xy=⎧⎨=⎩.镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着3个正三角形和2个正方形的内角可以拼成一个周角，所以用正三角形和正方形可以进行平面镶嵌第五类：选正三角形和正六边形．(仿照上述方法，写出探究过程及结论)第六类：选正方形和正六边形，(不写探究过程，只写出结论)探究三：用正三角形、正方形和正六边形三种图形是否可以镶嵌平面？第七类：选正三角形、正方形和正六边形三种图形．(不写探究过程，只写结论)，21．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．（1）求证：AE=DF；（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出t的值，如果不能，说明理由；（3）在运动过程中，四边形BEDF能否为正方形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．22．（8分）如图，直线y=﹣2x+7与x轴、y轴分别相交于点C、B，与直线y=32x相交于点A．(1)求A点坐标；(2)求△OAC 的面积；(3)如果在y 轴上存在一点P ，使△OAP 是以OA 为底边的等腰三角形，求P 点坐标；(4)在直线y=﹣2x+7上是否存在点Q ，使△OAQ 的面积等于6？若存在，请求出Q 点的坐标，若不存在，请说明理由．23．（8分）在ABC △中，D ，E ，F 分别是三边BC ，AB ，AC 上的中点，连接AD ，DE ，DF ，EF ，已知:6:5BC AD =．（1）观察猜想：如图，当90ADC ︒∠≠时，①四边形AEDF 的对角线EF 与AD 的数量关系是________；②四边形AEDF 的形状是_______；（2）数学思考：如图，当90ADC ︒∠=时，（1）中的结论①，②是否发生变化？若发生变化，请说明理由；（3）拓展延伸：如图，将上图的点A 沿AD 向下平移到A '点，使得BA C 90︒'∠=，已知E '，F '分别为A B '，A C '的中点，求四边形A E DF '''与四边形EE F F ''的面积比．24．（8分）解一元二次方程：22510x x -+=.25．（10分）我市某中学对学校倡导的“压岁钱捐款活动”进行抽样调查，得到一组学生捐款的数据，下图是根据这组数据绘制的统计图，图中从左到右长方形的高度之比为2:4:5:8:6.又知此次调查中捐款20元和25元的学生一共28人.（1）他们一共调查了多少学生？（2）写出这组数据的中位数、众数；（3）若该校共有2000名学生，估计全校学生大约捐款多少元？26．（10分）如图，有一块边长为40米的正方形绿地ABCD ，在绿地的边BC 上的E 处装有健身器材，BE ＝9米．有人为了走近路，从A 处直接踏过绿地到达E 处，小明想在A 处树立一个标牌“少走■米，踏之何忍”．请你计算后帮小明在标牌的■处填上适当的数．参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、C【解题分析】<，再根据不等式的性质求出的先把无理数式子进行化简，化简到的形式，再根据 2.2361范围．【题目详解】3,<因为4.999696<5 5.00014321<，因为 2.2361<,所以13.4166<.所以310.4166所以10至11之间.故选：C.【题目点拨】考查了无理数的估值，先求出无理数的范围是关键，在结合不等式的性质就可以求出的范围．2、C【解题分析】将原式进行因式分解即可求出答案．【题目详解】解：原式=（x2-y2）（a2-b2）=（x-y）（x+y）（a-b）（a+b）由条件可知，（x-y）（x+y）（a-b）（a+b）可表示为“爱我中华”故选C．【题目点拨】本题考查因式分解的应用，涉及平方差公式，提取公因式法，并考查学生的阅读理解能力．3、B【解题分析】根据被开方数是非负数，可得答案．【题目详解】由题意，得﹣2a≥1，解得a≤1．故选B．【题目点拨】本题考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式的被开方数是是非负数是解题的关键.4、D【解题分析】直接利用二次根式有意义的条件得出答案.【题目详解】解：根据二次根式有意义的条件得：-x+3≥0，解得：3x.故选：D.【题目点拨】本题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键.5、B【解题分析】根据直角三角形的性质得到BC=12AB=12c，根据勾股定理计算即可．【题目详解】解：∵∠C=90°，∠A=30°，∴BC=12AB=12c，由勾股定理得，AC，故选：B．【题目点拨】本题考查的是直角三角形的性质、勾股定理，掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．6、C【解题分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可得到结果.【题目详解】解：A选项为偶次方和1的和，不能因式分解；B选项不能因式分解；C选项x2-2x+1=（x-1）2，可以因式分解；D 选项不能因式分解.故选C.【题目点拨】本题题考查了因式分解一运用公式法，熟练掌握完全平方公式以及因式分解的概念是解本题的关键.7、D【解题分析】两边同时乘以3，即可得到答案.【题目详解】 解：，解得：；故选择：D.【题目点拨】本题考查了解不等式，解题的关键是掌握不等式的解法.8、A【解题分析】根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一分析即可．【题目详解】A 选项：222112(2)+==，故可以构成直角三角形；B 选项：22223134+=≠，故不能构成直角三角形；C 选项：222456+≠，故不能构成直角三角形；D 选项：2228513+≠，故不能构成直角三角形；故选：A ．【题目点拨】考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．9、C【解题分析】把点A （a ，﹣1）代入y ＝﹣2x +1，解关于a 的方程即可．【题目详解】解：∵点A （a ，﹣1）在一次函数y ＝﹣2x +1的图象上，∴﹣1＝﹣2a +1，解得a ＝1，故选C ．【题目点拨】此题考查一次函数图象上点的坐标特征；用到的知识点为：点在函数解析式上，点的横坐标就适合这个函数解析式． 10、D【解题分析】根据矩形、平行四边形、菱形、正方形的判定定理判断即可.【题目详解】A 、根据菱形的判定定理可知是真命题；B 、根据平行四边形的判定定理可知是真命题；C 、根据矩形的的判定定理可知是真命题；D 、根据正方形的判定定理可知是假命题.故选D【题目点拨】本题考查假命题的定义，涉及了矩形、平行四边形、菱形、正方形的判定定理.二、填空题(每小题3分,共24分)11、x≥2【解题分析】根据一元一次函数和一元一次方程的关系，从图上直接可以找到答案.【题目详解】解：由bx≥ax+4，即函数y=bx 的图像位于y=ax+4的图像的上方，所对应的自变量x 的取值范围，即为不等式bx≥ax+4的解集.【题目点拨】本题参数较多，用代数的方法根本不能解决，因此数形结合成为本题解答的关键.12、53【解题分析】分点E 在矩形内部，EM ：EN ＝1：4，或EM ：EN ＝4：1，点E 在矩形外部，EN ：EM ＝1：4，三种情况讨论，根据折叠的性质和勾股定理可求AP 的长度．【题目详解】解：过点E作ME⊥AD，延长ME交BC与N，∵四边形ABCD是矩形∴AD∥BC，且ME⊥DA∴EN⊥BC且∠A＝90°＝∠ABC＝90°∴四边形ABNM是矩形∴AB＝MN＝5，AM＝BN若ME：EN＝1：4，如图1∵ME：EN＝1：4，MN＝5∴ME＝1，EN＝4∵折叠∴BE＝AB＝5，AP＝PE在Rt△BEN中，BN＝22BE EN-＝3∴AM＝3在Rt△PME中，PE2＝ME2+PM2AP2＝（3﹣AP）2+1解得AP＝5 3若ME：EN＝4：1，则EN＝1，ME＝4，如图2 在Rt△BEN中，BN22BE EN-6∴AM＝6在Rt△PME中，PE2＝ME2+PM2AP2＝（6﹣AP）2+16解得AP＝56 3若点E在矩形外，如图∵EN：EM＝1：4∴EN＝53，EM＝203在Rt△BEN中，BN22BE EN102∴AM102在Rt△PME中，PE2＝ME2+PM2AP2＝（AP﹣23）2+（203）2解得：AP＝2故答案为53，563，2【题目点拨】本题考查矩形的性质、折叠的性质和勾股定理，注意分情况讨论是解题关键.13、1【解题分析】结合题意分析函数图象：线段OC对应甲乙同时从A地出发到A返回前的过程，此过程为1小时；线段CD对应甲返回走到与乙相遇的过程（即甲的速度大于乙的速度）；线段DE对应甲与乙相遇后继续返回走至到达A地的过程，因为速度相同，所以甲去和回所用时间相同，即x＝2时，甲回到A地，此时甲乙相距120km，即乙2小时行驶120千米；线段EF对应甲从A地重新出发到追上乙的过程，即甲用（5﹣2）小时的时间追上乙，可列方程求出甲此时的速度，进而求出甲到达B地的时刻，再求出此时乙所行驶的路程．【题目详解】解：∵甲出发到返回用时1小时，返回后速度不变，∴返回到A 地的时刻为x ＝2，此时y ＝120，∴乙的速度为60千米/时，设甲重新出发后的速度为v 千米/时，列得方程：（5﹣2）（v ﹣60）＝120，解得：v ＝100，设甲在第t 小时到达B 地，列得方程：100（t ﹣2）＝10解得：t ＝6，∴此时乙行驶的路程为：60×6＝360（千米），乙离B 地距离为：10﹣360＝1（千米）．故答案为：1．【题目点拨】本题考查了一次函数与一元一次方程的应用，关键是把条件表述的几个过程对应图象理解清楚，再找出对应x 和y 表示的数量关系．14、11.1【解题分析】根据平均数的公式求解即可，8个数的和加12个数的和除以20即可．【题目详解】解：根据平均数的求法：共8+12=20个数，这些数之和为8×11+12×12=232， 故这些数的平均数是23220=11.1． 故答案为：11.1．【题目点拨】 本题考查的是样本平均数的求法，12n x x x x n++⋯+=，熟练掌握加权平均数公式是解答本题的关键． 15、100【解题分析】根据五边形内角和即可求解.【题目详解】∵五边形的内角和为（5-2）×180°=540°，∴∠E=540°-（A B C D ∠+∠+∠+∠）=540°-440°=100°， 故填100.【题目点拨】此题主要考查多边形的内角和，解题的关键是熟知多边形的内角和公式.16、F (4,0) 1312(,3)55P 【解题分析】 （1）令y=0求出x 的值，结合e=2可得出点A 的坐标，由点B 的坐标及e=2可求出AF 的长度，将其代入OF=OB+AB+AF 中即可求出点F 的坐标；（2）设点P 的坐标为（x ，28816x x --），则点H 的坐标为（1，28816x x --），由Q 为线段PF 上靠近点P 的三等分点，可得出点Q 的坐标为（x+53x -，2288163x x --），利用两点间的距离公式列方程解答即可； 【题目详解】解：（1）如图：当y=0时，±23120x -，解得：x 1=2，x 2=-2（舍去），∴点A 的坐标为（2，0）．∵点B 的坐标为（1，0），∴AB=1．∵e=2，∴2AF AB=， ∴AF=2，∴OF=OB+AB+AF=4，∴F 点的坐标为（4，0）．故答案为：（4，0）．（2）设点P 的坐标为（x ），则点H 的坐标为（1．∵点Q 为线段PF 上靠近点P 的三等分点，点F 的坐标为（5，0），∴点Q 的坐标为（x+53x -）．∵点H 的坐标为（1），，∴（x+53x --1）2+）2x-1）]2， 化简得：15x 2-48x+39=0，解得：x 1=135，x 2=1（舍去），∴点P 的坐标为（135，5）．故答案为：（135，5）． 【题目点拨】本题考查了两点间的距离、解一元二次方程以及反比例函数的综合应用，解题的关键是：（1）利用特殊值法（点A 和点P 重合），求出点F 的坐标；（2）设出点P 的坐标，利用两点间的距离公式找出关于x 的一元二次方程； 17、24y x =+【解题分析】根据乘车费用=起步价+超过3千米的付费得出．【题目详解】解：依题意有：y=10+2（x-3）=2x+1．故答案为：y=2x+1．【题目点拨】根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．本题乘车费用=起步价+超过3千米的付费18、1【解题分析】【分析】由直线y=1x 与线段AB 有公共点，可得出点B 在直线上或在直线右下方，利用一次函数图象上点的坐标特征，即可得出关于n 的一元一次不等式，解之即可得出n 的取值范围，在其内任取一数即可得出结论．【题目详解】∵直线y=1x 与线段AB 有公共点，∴1n≥3，∴n≥32，故答案为：1．【题目点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，用一次函数图象上点的坐标特征，找出关于n的一元一次不等式是解题的关键．三、解答题(共66分)19、（1）80分；（2）小王在期末应该至少考85分才能达到优秀．【解题分析】分析：（1）小张期末评价成绩=（小张完成作业分+小张的单元检测+小张期末考试分）÷3，（2）先根据小张期末评价成绩及小张三项成绩求出期末考试成绩的权重．因为期末评价成绩至少80分才是优秀，所以根据题意依据小王的期末评价成绩80分来计算他的期末考试成绩即可．详解：（1）小张的期末评价成绩=7090803++=80，答：小张的期末评价成绩是80分；（2）依题意得，70×112m +++90×212m+++80×m12m++=81解得：m=7，经检查，m=7是所列方程的解．设小王期末考试分数为x，依题意列方程得60×110+75×210+710x=80，解得：x=8427≈85，答：小王在期末应该至少考85分才能达到优秀．点睛：本题考查的知识点是平均数和加权平均数的计算，比较基础，注意计算准确.20、详见解析【解题分析】根据题意列出二元一次方程或三元一次方程，求出方程的正整数解，即可得出答案．【题目详解】解：第五类：设x个正三角形，y个正六边形，则60x+10y＝360，x+2y＝6，正整数解是22xy=⎧⎨=⎩或41xy=⎧⎨=⎩，即镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着2个正三角形和2个正六边形（或4个正三角形和1个正六边形）的内角可以拼成一个周角，所以用正三角形和正六边形可以进行平面镶嵌；第六类：设x个正方形，y个正六边形，则90x+10y+＝360，3x+4y＝1，此方程没有正整数解，即镶嵌平面时，不能在一个顶点周围围绕着正方形和正六边形的内角拼成一个周角，所以不能用正方形和正六边形进行平面镶嵌；第七类：设x个正三角形，y个正方形，z个正六边形，则60x+90y+10z＝360，2x+3y+4z＝1，正整数解是121xyz=⎧⎪=⎨⎪=⎩，即镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着1个正三角形、2个正方形、1个正六边的内角可以拼成一个周角，所以用正三角形、正方形、正六边形可以进行平面镶嵌．【题目点拨】本题考查了平面镶嵌和三元一次方程、二元一次方程的解等知识点，能求出每个方程的正整数解是解此题的关键．21、（1）证明见解析；（2）当t=10时，四边形AEFD是菱形；（3）四边形BEDF不能为正方形，理由见解析.【解题分析】（1）由已知条件可得RT△CDF中∠C=30°，即可知DF=12CD=AE=2t；（2）由（1）知DF∥AE且DF=AE，即四边形ADFE是平行四边形，若构成菱形，则邻边相等即AD=AE，可得关于t的方程，求解即可知；（3）四边形BEDF不为正方形，若该四边形是正方形即∠EDF=90°，即DE∥AB，此时AD=2AE=4t，根据AD+CD=AC 求得t的值，继而可得DF≠BF，可得答案．【题目详解】(1)∵Rt△ABC中,∠B=90°,∠A=60°，∴∠C=90°−∠A=30°.又∵在Rt△CDF中,∠C=30°，CD=4t∴DF=12CD=2t，∴DF=AE；(2)∵DF ∥AB ，DF=AE ，∴四边形AEFD 是平行四边形，当AD=AE 时，四边形AEFD 是菱形，即60−4t=2t ，解得：t=10，即当t=10时，四边形AEFD 是菱形；(3)四边形BEDF 不能为正方形，理由如下：当∠EDF=90°时,DE ∥BC.∴∠ADE=∠C=30°∴AD=2AE∵CD=4t ，∴DF=2t=AE ，∴AD=4t ，∴4t+4t=60，∴t=152时,∠EDF=90° 但BF≠DF ，∴四边形BEDF 不可能为正方形。

吉林省吉大附中实验学校2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题A．．C．．4．米斗是古代官仓、米行等用来称量粮食的器具，鉴于其储物功能以及吉祥富足的寓意，现今多在超市、粮店等广泛使用如图为一个正四棱台形米斗（忽略其厚度）下底面正方形边长分别为30cm，侧棱长为511cm，若将该米斗盛满大米（沿着上底面刮平后不溢出），设每立方分米的大米重0.8千克，则该米斗盛装大米约（A．6.6千克5．已知ABC的外接圆圆心为上的投影向量为（A．34CB6．在ABC中，内角AA．20237．如图，在直角梯形N分别为AD，BC的中点，将程中，有下列命题：①1M N的最小值为1A．1B．28．如图，在ABC中，内角A，B，C ()3cos cos2sina C c Ab B+=，D是 的是（）是等边三角形A．ABC共圆C．四边形ABCD 9．设有两条不同的直线∥，n A．若mα⊂，n B．若mα∥，m C．若m n∥，m D．若αβ二、多选题10．已知向量a ，A ．α截正方体的截面可能是正五边形B ．当E ，F 分别是,AB BC 25∶47C ．当E ，F 分别是,AD AB D ．当F 是BC 中点时，满足三、填空题13．已知()1,2sin a θ= ，b 14．若复数3(,12a ia R i i+∈+为虚数单位15．如图，一倒立的圆锥和一个底面圆直径为截面为等腰直角三角形，圆柱的轴截面为矩形，柱内液体体积为V 2，则12V V 四、双空题16．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别是线段1AA ，11A D 的中点，E 是线段1CC 上的动点，过M ，N ，E 的平面α截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面面积记为S .当E 为线段1CC 的中点时，S =______；当E 在线段1CC （包括端点）上运动时，S 的取值范围是______.(1)求证：PD EF ⊥；(2)求三棱锥P EFD -的体积；(3)求二面角P EF D --的余弦值．19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为ABCD ，且22PA PD a ==，设E ，F 分别为PC ，BD (1)求证：//EF 平面PAD ；(2)求证：平面PAB ⊥平面PDC ；(3)求直线EF 与平面ABCD 所成角的大小．20．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，(1)求B ；(2)若DC AD =，2BD =，求ABC 的面积的最大值.21．如图，圆锥PO 的底面直径和高均是a ，过PO 上的一点O '作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱．（1）若O '是PO 的中点，求圆锥挖去圆柱剩下几何体的表面积和体积；（2）当OO '为何值时，被挖去的圆柱的侧面积最大？并求出这个最大值．22．某农场有一块等腰直角三角形的空地ABC ，其中斜边BC 的长度为400米，为迎接“五一”观光游，欲在边界BC 上选择一点P ，修建观赏小径,PM PN ，其中,M N 分别在边界,AB AC 上，小径,PM PN 与边界BC 的夹角都是60︒，区域PMB 和区域PNC 内种植郁金香，区域AMPN 内种植月季花．(1)判断观赏小径PM 与PN 的长度之和是否为定值？若是请求出定值，若不是请说明理由；(2)为深度体验观赏，准备在月季花区域内修建小径MN ，当点P 在何处时，三条小径PM PN MN ,,的长度之和最小？(3)求郁金香区域面积之和的最小值．参考答案：易知四边形11AAC C 为等腰梯形，且分别过点1A 、1C 在平面1AAC 由等腰梯形的几何性质可得所以，11Rt Rt AA E CC F △≌△因为11//A C AC ，易知11EA C ∠故四边形11A C FE 为矩形，则所以，221115A E AA AE =-=所以，该米斗的体积为13V =所以，该米斗所盛大米的质量为故选：C.5．A【分析】先根据已知条件分析出△量的定义即可求得.【详解】因为△ABC 的外接圆圆心为【点睛】本题考查命题的直接判断与应用，用，属于中档题.8．D【分析】根据正弦定理，求得3sin B A ；由圆内接四边形的性质得到D ，结合余弦定理，可判定定理求得x ，得出12sin ABCD S D ⎛=- ⎝四边形【详解】对于A ，因为3(cos cos a C c +3(sin cos sin cos )2sin sin A C C A B B +=⋅，即3sin()3sin 2sin sin A C B B +==⋅由sin 0B ≠，可得3sin 2B =，所以B 又因为sin sin A B =，可得a b =．所以对于B ，在ADC △中，因为2DC =，所以436521cos 2262D +-==-⨯⨯，所以D 四点A ，B ，C ，D 共圆，故B 正确；对于CD ，等边ABC 中，设AC x =，在ADC △中，由余弦定理得2AC AD =由于6AD =，2DC =，可得226x =+∴截面为五边形1D HEFJ ，记正方体棱长为截面1D HEFJ 下侧的体积为1132V =⨯另侧体积为：21675141V V -=-=正方体C ．截面α为图中等腰梯形11EFB D ，此时取AP ⊄ 平面α,1B F ⊂平面αD.当E 在CD 上时，设,ED x CD =由2124ED EF x =⇒+2(2=当E 在AD 上时，()1maxmin||ED AD EF AB =当E 在BC 上时，()1minmax||ED CD EF CF=答题空2解：①当点E与MN平行，即交线为1C B②当点E 与C 重合时，延长MN 延长NM 与DA 的延长线交于点如图，则面积等于13O CO 的面积减去为1:3，面积为：3171229-⨯③当点E 在线段1CC （不包括端点时）长交11D C 于点2O ，与DC 的延长线交于点则六边形24MNO EFO 即为截面E 与1C 重合时面积最小，故取值范围为故答案为：33，9,332⎡⎤⎢⎥⎣⎦17．（1）3m =；（2）4m =或【分析】（1）可得出(2,CA m =- 得出||CA CB +取最小值时m 的值；（2）根据题意即可得出(m -【详解】解：（1）由题意，CA于是(3,5)CA CB m +=--，所以2||(3)25CA CB m +=-+≥所以||CA CB +的最小值为5，此时3m =；（2）由cos ,|||CA CBCA CB CA ⋅<>=⋅得2855(2)410m m -+=-+⨯，化简得28480m m +-=，解得【点睛】本题考查了根据点的坐标求向量坐标的方法，量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题．18．(1)证明见解析因为PE PF DE DF ==,，所以有PG EF DG EF ⊥⊥,，所以PGD ∠即为二面角P -又由（1）得PD ⊥平面PEF 故PD PG ⊥,而22,EF PG =故2cos 32PG PGD DG ∠===即二面角P EF D --的余弦值为19．(1)详见解析；20．(1)π6(2)843-【分析】（1）利用三角形内角和，正弦定理即可求出角（2）利用向量加法，余弦定理和基本不等式求出最大值.【详解】（1）由题意，在ABC 中，3sin cos c B a b =-∵sin sin sin a b cA B C==，A B C ++=∴3sin sin sin sin cos C B A B =-∴()3sin cos sin 0B B C -=，∵sin 0C ≠，0πB <<∴3sin cos 0B B -=，可得tan （2）由题意及（1）得在ABC 中，π6B =，DC AD = ，∴D 为边AC 的中点，24BD =。

2021—2022学年下学期高一年级线上学习效果检测数学学科试卷第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数()()2i 1i z b b =-∈R 的实部与虚部相等，则b 的值为（）A ．﹣2B ．﹣1C ．1D ．22．设向量a ，b不平行，向量a b λ+ 与12a b - 平行，则实数λ=（）A ．12B ．12-C ．2D ．﹣23．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2cos c a B =，则三角形一定是（）A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形4．已知平面向量a ，b ，满足()25a a b ⋅-= ，且1a = ，3b =r ，则向量a 与向量b的夹角余弦值为（）A ．1B ．﹣1C ．12D ．12-5．若函数sin 2y x =的图象向右平移4π个单位得到()y f x =的图象，则（）A ．()cos 2f x x=B ．()sin 2f x x =C ．()cos 2f x x=-D ．()sin 2f x x=-6．在等腰梯形ABCD 中，2AB CD -= ，M 为BC 的中点，则AM =（）A ．3122+AB ADB ．3142AB AD+C ．3144AB AD+D ．1324AB AD+7．已知复数z 满足202320222021i 4i 3i z =-，则z =（）A ．43i+B ．43i-C ．34i+D ．34i-8．骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A （前轮），圆D （后轮）ABE ，BEC ，ECD 均是边长为4的等边三角形．设点P 为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，AC BP ⋅的最小值为（）A ．12B ．24C ．36D ．18二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．已知复数12z i =+（其中i 为虚数单位），则以下说法正确的有（）A ．复数z 的虚部为2iB ．z =C ．复数z 的共轭复数12iz =-D ．复数z 在复平面内对应的点在第一象限10．已知向量()2,1a =-，()4,2b =- ，()1,2c = ，则（）A ．a b ∥B ．b c⊥ C ．a c= D ．λ∃，R μ∈，使得c a bλμ=+r r r11．已知ABC 的内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，下列四个命题中正确的命题是（）A ．若cos cos cos a b cA B C==，则ABC 一定是等边三角形B ．若cos cos a A b B =，则ABC 一定是等腰三角形C ．若cos cos b C B b +=，则ABC 一定是等腰三角形D ．若2220a b c +->，则ABC 一定是锐角三角形12．在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，其外接圆半径为R ，内切圆半径为2r =，满足cos cos cos a A b B c C R ++=，ABC 的面积3ABC S =△，则（）A ．3a b c ++=B ．R =C ．6sin sin sin 4A B C ++=D ．sin 2sin 2sin 21A B C ++=第Ⅱ卷（非选择题，共40分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在ABC 中，60A =︒，a =b =，则B =______．14．某船开始在A 点看见灯塔B 在南偏东30°方向，后来船沿南偏东60°的方向航行12km 后，到达C 点，看见灯塔B 在正西方向，则这时船与灯塔的距离是______km ．15．已知函数()()()sin 0,0,02πf x A x A ωϕωϕ=+>><<的部分图象如图所示，则ϕ的值为______．16．已知复数1z ，2z 满足11i 2z -+=，223i 8z +-=，则12z z -的最小值为______．四、解答题：本题共2个小题，每小题10分，共20分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且)cos cos b A a B =-．(1)求B ；(2)若1b =，ABC 的面积为12，求ABC 的周长．18．“我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一块麦田里玩，几千万的小孩子，附近没有一个大人，我是说……除了我”《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田．假设霍尔顿在一块成凸四边形ABCD 的麦田里成为守望者，如图所示，为了分割麦田，他将BD 连接，设ABD △中边BD 所对的角为A ，BCD △中边BD 所对的角为C ，经测量已知2AB BC CD ===，AD =(1)霍尔顿发现无论BD cos A C -为一个定值，请你验证霍尔顿的结论，并求出这个定值；(2)霍尔顿发现麦田的生长与土地面积的平方呈正相关，记ABD △与BCD △的面积分别为1S 和2S ，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求出2212S S 的最大值．【分析】先利用复数乘法公式得到22i z b =+，进而得到22b =，从而得解.【详解】()2i 1i 22i z b b =-=+，因为实部与虚部相等，故22b =，解得：1b =.故选：C.2．D 【分析】由平行关系得到方程组，求出2λ=-.【详解】因为向量a b λ+ 与12a b - 平行，所以1,02a b k a k λ⎛⎫+=-≠ ⎪⎝⎭ ，即112k k λ=⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得：2λ=-故选：D 3．C 【分析】先利用正弦定理将已知的式子统一成角的形式，再利用三角函数恒等变换公式化简变形即可判断三角形的形状【详解】因为2cos c a B =，所以由正弦定理得sin 2sin cos C A B =,所以()()sin sin 2sin cos A B A B A B π⎡⎤-+=+=⎣⎦，所以sin cos cos sin 2sin cos A B A B A B +=，所以sin cos cos sin 0A B A B -=，所以in 0()s A B -=，因为,(0,)A B π∈，所以(,)A B ππ-∈-，所以0A B -=，所以A B =，所以ABC 为等腰三角形，故选：C【分析】利用平面向量数量积运算法则求得22cos ,5a a b a b -⋅=，将1a = ，3b =r 代入即可求解答案.【详解】()22222cos ,5a a b a a b a a b a b ⋅-=-⋅=-⋅=，因为1a =，3b =r ，所以23cos ,5a b -=，解得：cos ,1=- a b 故选：B 5．C 【分析】根据图象平移的方法求解即可【详解】函数sin 2y x =的图象向右平移4π个单位，得到的图象对应的函数为：()sin 2()sin(2)cos 242f x x x x ππ=-=-=-.故选：C 6．A 【分析】作图，分析图中的几何关系，用基底的方法表示AM即可.【详解】依题意作上图，2BC BA AD DC AB AD AB AB AD =++=-++=+，()11312222AM AB BC AB AB AD AB AD =+=++=+，故选：A.7．D 【分析】将202320222021i 4i 3i z =-两边同时除以2021i 化简，即可得答案.【详解】由202320222021i 4i 3i z =-可得：2i 4i 3z =-，即34i z =-故选：D.8．A 【分析】建立平面直角坐标系，设出()8,P θθ+，利用坐标求出AC BP ⋅的最小值【详解】以A 为坐标原点，AD 所在直线为x 轴，垂直AD 为y 轴建立平面直角坐标系，则()((0,0,,A C B ，设()8,P θθ+，[)0,2πθ∈则((6,6cos sin AC BP θθ⋅=⋅-π366sin 1212sin 243θθθ⎛⎫=++-=++ ⎪⎝⎭，当πsin 13θ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，AC BP ⋅ 取得最小值，最小值为12.故选：A 9．CD 【分析】根据复数的概念求出A 选项，B 选项，利用复数模长公式求解z =C 选，利用共轭复数的概念求解共轭复数；D 选项，写出复数z 在复平面内的点的坐标，进而判断其在第一象限.【详解】复数z 的虚部为2，A 错误；z =B 错误；复数z 的共轭复数12i z =-，C 正确；复数z 在复平面内对应的点为()1,2，故复数z 在复平面内对应的点在第一象限，D 正确.故选：CD 10．ABC 【分析】A 选项，利用12210x y x y -=验证向量平行；B 选项，利用12120x x y y +=验证向量垂直；C 选项，利用模长公式求出a c =；D 选项，列出方程组，发现方程组无解，故不存在λ，R μ∈，使得c a b λμ=+r r r.【详解】因为()()22140⨯--⨯-=，故a b∥，A 正确；因为41220-⨯+⨯=，所以b c ⊥，B 正确；a ==c =a c = ，C 正确；因为c a b λμ=+r r r，所以()()()1,22,14,2λμ=-+-，即12422λμλμ=-⎧⎨=-+⎩，无解，故不存在λ，R μ∈，使得c a b λμ=+r r r ，D 错误.故选：ABC 11．A 【分析】由正弦定理化边为角变形判断AB ，举特例判断C ，由余弦定理及锐角三角形的定义判断D ．【详解】由正弦定理sin sin sin a b cA B C ==，若cos cos cos a b c A B C==，则tan tan tan A B C ==，,,A B C 为三角形内角，所以A B C ==，三角形是等边三角形，A 正确；若cos cos a A b B =，由正弦定理得sin cos sin cos A A B B =，即sin 2sin 2A B =，,(0,π)A B ∈，则22A B =或22πA B +=，即A B =或π2A B +=，三角形为等腰三角形或直角三角形，B 错；例如b =π3C =，π6B =，满足cos cos b C B b +=，但此时ABC 不是等腰三角形，C 错；2220a b c +->时，由余弦定理可得222cos 02a b c C ab+-=>，即C 为锐角，但,A B 是否都是锐角，不能保证，因此该三角形不一定是锐角三角形，D 错．故选：A ．【点睛】易错点睛：本题考查三角形形状的判断，解题时利用正弦定理、余弦定理进行边角转换后再进行变形判断是常用方法，解题时注意三角函数性质的正确应用，如选项B ，在由sin 2sin 2A B =得结论时不能直接得出22A B =，否则会出现漏解，在判断三角形形状时，锐角三角形需要三个内角都是锐角，直角三角形只有一个角是直角，钝角三角形只有一个角是钝角，它们判断方法有一些区别，这些是易错点．12．ACD 【分析】根据三角形中内切圆、外接圆的性质，利用正弦定理及三角形面积公式，依次判断各项正误.【详解】∵在ABC 中，内切圆半径为2r =，1()32ABC S a b c r a b c =++⋅=++=△，故A 项正确；又cos cos cos a A b B c C R ++=，由正弦定理得2sin cos 2sin cos 2sin cos R A A R B B R C C R ++=，整理得：sin 2sin 2sin 21A B C ++=，故D 项正确；∴[][]sin ()sin ()sin 21A B A B A B A B C ++-++--+=，即2sin()cos()2sin()cos()1A B A B A B A B +--++=，又sin()sin A B C +=，则[]2sin cos()cos()1C A B A B --+=，故4sin sin sin 1A B C =，又211sin 2sin 2sin sin 2sin sin sin 22ABC S ab C R A R B C R A B C ==⋅⋅=△故2132R =，R =B 项不正确.因为3a b c ++=，R =，由正弦定理的2sin sin sin a b cR A B C++==++故sin sin sin 4A B C ++=，故C 项正确.故选：ACD.13．45°##π4【分析】根据已知条件，采用正弦定理即可求解.【详解】由正弦定理得sin sin sin sin 2a b b A B A B a=⇒===，a b > ，A B ∴>，060B ∴<< ，45B ∴= .故答案为：45°.14．【分析】根据题意画出图形，运用正弦定理求解即可.【详解】根据题意，画出如下图的示意图：所以有30,,12,120A C AB BC AC B ∠=∠===∠=o o，利用正弦定理可得：112sin 2sin sin sin BC AC AC ABC A B B⨯⋅∠=⇒=∠∠∠故答案为：15．π3【分析】根据函数图象求出A ，及最小正周期，进而求出2ω=，代入特殊点坐标，求出ϕ的值.【详解】由图象可知：1A =，最小正周期ππ2π36T ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，因为0ω>，所以2ππω=，解得：2ω=，将ππ63,12⎛⎫-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，即π,112⎛⎫ ⎪⎝⎭代入解析式得：πsin 2112ϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，解得：π2π,3k k Z ϕ=+∈，因为02πϕ<<，所以π3ϕ=，故答案为：π316．1【分析】在复平面内，根据复数的几何意义，结合圆与圆的位置关系分析即可【详解】根据复数的几何意义可得，11i 2z -+=，则1z 在复平面内是以(1,-1)为圆心，2为半径的圆上，223i 8z +-=，则2z 在复平面内是以()2,3-为圆心，8为半径的圆上，又两圆心间的距5=，故12z z -的最小值为852=1--故答案为：117．(1)π4B =2+【分析】（1）利用正弦定理得到cos 2B =，从而求出π4B =；（2）利用面积公式求出ac =而用余弦定理求出1a c ++，求出周长.【详解】（1）由正弦定理得：)sin cos sin cos B A C A B =-，即()sin cos cos sin sin cos B A B A B A C B +=+=，因为()sin sin B A C +=，所以sin cos C C B=因为()0,πC ∈，所以sin 0C ≠，故cos 2B =，因为()0,πB ∈，所以π4B =（2）由面积公式得：111sin 222ac B ac =，解得：ac =由余弦定理得：()222222cos 22a c ac b a c b B ac ac +--+-==将ac =1b =代入，求得：1a c +=，故ABC 的周长为2a cb ++=18．(1)12(2)232【分析】（1）在ABD ∆和BCD ∆中分别对BD 使用余弦定理，可推出,A C 的关系，即可得出cos A C -是一个定值；（2）求出2212S S +的表达式，利用二次函数的基本性质以及余弦函数值的取范围，可得出2212S S +的最大值.(1)在ABD ∆中，由余弦定理得248cos 12cos BD A A =+-=-，在BCD ∆中，由余弦定理得2448cos BD C =+-，128s 8cos A C =--，则)8cos 4A C -=，1cos 2A C -=；(2)1122S A A =⨯⨯=Q ，2122sin 2sin 2S C C =⨯⨯=，则222222128sin 4sin 128cos 4cos S S A C A C +=+=--，由（1）知：1cos 2C A =-，代入上式得：22222121128cos 416cos 4112S S A A A A ⎫+=---=-++⎭，配方得：222122316cos 82S S A ⎛+=--+ ⎝⎭，∴当cos A =2212S S +取到最大值232.。