浙江省中考数学总复习 阶段检测7 圆试题

浙教版2021年中考数学总复习《圆》一、选择题1.如图，在⊙O中与∠1一定相等的角是( )A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠52.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB=40°，则∠A的度数为（）A.60°B.50°C.40°D.30°3.如图，⊙O中，ABDC是圆内接四边形，∠BOC=110°，则∠BDC的度数是（）A.110°B.70°C.55°D.125°4.如图，四边形ABCD内接于半圆O，已知∠ADC=140°，则∠AOC的大小是（）A.40°B.60°C.70°D.80°5.如图，AB是⊙O的直径，直线PA与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点C，连接BC．若∠P=40°，则∠ABC的度数为（）A．20° B．25° C．40° D．50°6.阅读理解：如图1，在平面内选一定点O，引一条有方向的射线Ox，再选定一个单位长度，那么平面上任一点M的位置可由∠MOx的度数θ与OM的长度m确定，有序数对（θ，m）称为M点的“极坐标”，这样建立的坐标系称为“极坐标系”．应用：在图2的极坐标系下，如果正六边形的边长为2，有一边OA在射线Ox上，则正六边形的顶点C的极坐标应记为（）A．（60°，4）B．（45°，4）C．（60°，2）D．（50°，2）7.已知⊙O的半径为r,其内接正六边形,正四边形,正三角形的边长分别为a,b,c,则a:b:c值为（）A.1：2：3B.3：2：1C.1：：D.：：18.如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且=，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC，若∠ABC=105°，∠BAC=25°，则∠E的度数为（）A．45° B．50° C．55° D．60°二、填空题9.将面积为32π的半圆围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为．10.“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，CD为的直径，弦AB⊥CD于E，CE=1寸，AB=10寸，求直径CD的长”。

2021年浙江中考数学真题汇编——专题7圆一．选择题〔共7小题〕1．〔2021•衢州〕扇形的半径为6，圆心角为150°，那么它的面积是〔 〕 A ．32πB ．3πC ．5πD ．15π2．〔2021•金华〕如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，以该三角形的三条边为边向形外作正方形，正方形的顶点E ，F ，G ，H ，M ，N 都在同一个圆上．记该圆面积为S 1，△ABC 面积为S 2，那么S 1S 2的值是〔 〕A ．5π2B ．3πC ．5πD ．11π23．〔2021•绍兴〕如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，点P 在AB ̂上，那么∠BPC 的度数为〔 〕A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°4．〔2021•嘉兴〕平面内有⊙O 和点A ，B ，假设⊙O 半径为2cm ，线段OA ＝3cm ，OB ＝2cm ，那么直线AB 与⊙O 的位置关系为〔 〕 A ．相离B ．相交C ．相切D ．相交或相切5．〔2021•丽水〕如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥OA 于点E ，连结OC ，OD ．假设⊙O 的半径为m ，∠AOD ＝∠α，那么以下结论一定成立的是〔 〕A．OE＝m•tanαB．CD＝2m•sinαC．AE＝m•cosαD．S△COD=12m2•sinα6．〔2021•湖州〕如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC=√3，点P是AD边上的一个动点，连结BP，点C关于直线BP的对称点为C1，当点P运动时，点C1也随之运动．假设点P从点A运动到点D，那么线段CC1扫过的区域的面积是〔〕A．πB．π+3√34C．3√32D．2π7．〔2021•湖州〕如图，点O是△ABC的外心，∠A＝40°，连结BO，CO，那么∠BOC的度数是〔〕A．60°B．70°C．80°D．90°二．填空题〔共5小题〕8．〔2021•杭州〕如图，⊙O的半径为1，点P是⊙O外一点，且OP＝2．假设PT是⊙O的切线，T为切点，连结OT，那么PT＝．9．〔2021•宁波〕抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如图，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D，延长AC，BD交于点P．假设∠P＝120°，⊙O的̂的长为cm．〔结果保存π〕半径为6cm，那么图中CD10．〔2021•台州〕如图，将线段AB绕点A顺时针旋转30°，得到线段AC．假设AB＝12，̂长度为．〔结果保存π〕那么点B经过的路径BC11．〔2021•温州〕假设扇形的圆心角为30°，半径为17，那么扇形的弧长为．12．〔2021•温州〕如图，⊙O与△OAB的边AB相切，切点为B．将△OAB绕点B按顺时针方向旋转得到△O′A′B，使点O′落在⊙O上，边A′B交线段AO于点C．假设∠A′＝25°，那么∠OCB＝度．三．解答题〔共8小题〕13．〔2021•衢州〕如图，在△ABC中，CA＝CB，BC与⊙A相切于点D，过点A作AC的垂线交CB的延长线于点E，交⊙A于点F，连结BF．〔1〕求证：BF是⊙A的切线．〔2〕假设BE＝5，AC＝20，求EF的长．14．〔2021•衢州〕如图1，点C是半圆O的直径AB上一动点〔不包括端点〕，AB＝6cm，过点C作CD⊥AB交半圆于点D，连结AD，过点C作CE∥AD交半圆于点E，连结EB．牛牛想探究在点C运动过程中EC与EB的大小关系．他根据学习函数的经验，记AC＝xcm，EC＝y1cm，EB＝y2cm．请你一起参与探究函数y1、y2随自变量x变化的规律．通过几何画板取点、画图、测量，得出如下几组对应值，并在图2中描出了以各对对应值为坐标的点，画出了不完整图象．x……y1……y2……〔1〕当x＝3时，y1＝．〔2〕在图2中画出函数y2的图象，并结合图象判断函数值y1与y2的大小关系．〔3〕由〔2〕知“AC取某值时，有EC＝EB〞．如图3，牛牛连结了OE，尝试通过计算EC，EB的长来验证这一结论，请你完成计算过程．̂上存在点E，满足AÊ=CD̂，15．〔2021•宁波〕如图1，四边形ABCD内接于⊙O，BD为直径，AD连结BE并延长交CD的延长线于点F，BE与AD交于点G．〔1〕假设∠DBC＝α，请用含α的代数式表示∠AGB．〔2〕如图2，连结CE，CE＝BG．求证：EF＝DG．〔3〕如图3，在〔2〕的条件下，连结CG，AD＝2．①假设tan∠ADB=√32，求△FGD的周长．②求CG的最小值．16．〔2021•台州〕如图，BD是半径为3的⊙O的一条弦，BD＝4√2，点A是⊙O上的一个动点〔不与点B，D重合〕，以A，B，D为顶点作▱ABCD．〔1〕如图2，假设点A是劣弧BD̂的中点．①求证：▱ABCD是菱形；②求▱ABCD的面积．〔2〕假设点A运动到优弧BD̂上，且▱ABCD有一边与⊙O相切．①求AB的长；②直接写出▱ABCD对角线所夹锐角的正切值．17．〔2021•温州〕如图，在平面直角坐标系中，⊙M经过原点O，分别交x轴、y轴于点A 〔2，0〕，B〔0，8〕，连结AB．直线CM分别交⊙M于点D，E〔点D在左侧〕，交x轴于点C〔17，0〕，连结AE．〔1〕求⊙M的半径和直线CM的函数表达式；〔2〕求点D，E的坐标；〔3〕点P在线段AC上，连结PE．当∠AEP与△OBD的一个内角相等时，求所有满足条件的OP的长．18．〔2021•金华〕在扇形AOB中，半径OA＝6，点P在OA上，连结PB，将△OBP沿PB折叠得到△O′BP．̂所在的圆相切于点B．〔1〕如图1，假设∠O＝75°，且BO′与AB①求∠APO′的度数．②求AP的长．̂相交于点D，假设点D为AB̂的中点，且PD∥OB，求AB̂的长．〔2〕如图2，BO′与AB19．〔2021•丽水〕如图，在△ABC中，AC＝BC，以BC为直径的半圆O交AB于点D，过点D作半圆O的切线，交AC于点E．〔1〕求证：∠ACB＝2∠ADE；̂的长．〔2〕假设DE＝3，AE=√3，求CD̂所对的圆周角，∠ACD＝30°．20．〔2021•湖州〕如图，AB是⊙O的直径，∠ACD是AD〔1〕求∠DAB的度数；〔2〕过点D作DE⊥AB，垂足为E，DE的延长线交⊙O于点F．假设AB＝4，求DF的长．2021年浙江中考数学真题汇编——专题7圆参考答案与试题解析一．选择题〔共7小题〕1．【解答】解：扇形面积=150π×62360=15π，应选：D ． 2．【解答】解：如图，设AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a ， 那么a 2+b 2＝c 2，① 取AB 的中点为O ， ∵△ABC 是直角三角形， ∴OA ＝OB ＝OC ，∵圆心在MN 和HG 的垂直平分线上， ∴O 为圆心，连接OG ，OE ，那么OG ，OE 为半径， 由勾股定理得：r 2=(a +b 2)2+(a 2)2=c 2+(c 2)2，② 由①②得a ＝b ， ∴a 2=c 22， ∴S 1=54πc 2，∴S 2=12ab =c 24，∴S 1S 2=54πc 2÷c 24=5π，应选：C ．3．【解答】解：连接OB 、OC ，如图，∵正方形ABCD内接于⊙O，∴BC弧所对的圆心角为90°，∴∠BOC＝90°，∴∠BPC=12∠BOC＝45°．应选：B．4．【解答】解：⊙O的半径为2cm，线段OA＝3cm，OB＝2cm，即点A到圆心O的距离大于圆的半径，点B到圆心O的距离等于圆的半径，∴点A在⊙O外，点B在⊙O上，∴直线AB与⊙O的位置关系为相交或相切，应选：D．5．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，CD⊥OA，∴CD＝2DE，∵⊙O的半径为m，∠AOD＝∠α，∴DE＝OD•sinα＝m•sinα，∴CD＝2DE＝2m•sinα，应选：B．6．【解答】解：如图，当P与A重合时，点C关于BP的对称点为C′，当P与D重合时，点C关于BP的对称点为C″，∴点P从点A运动到点D，那么线段CC1扫过的区域为：扇形BC'C''和△BCC''，在△BCD中，∵∠BCD＝90°，BC=√3，CD＝1，∴tan∠DBC=√3=√33，∴∠DBC＝30°，∴∠CBC″＝60°，∵BC＝BC''∴△BCC''为等边三角形，∴S扇形BC′C″=120×π×(√3)2360=π，作C''F⊥BC于F，∵△BCC''为等边三角形，∴BF=12BC=√32，∴C''F＝tan60°×√32=32，∴S△BCC''=12×√3×32=3√34，∴线段CC1扫过的区域的面积为：π+3√3 4．应选：B．7．【解答】解：∵点O为△ABC的外心，∠A＝40°，∴∠A=12∠BOC，∴∠BOC＝2∠A＝80°，应选：C．二．填空题〔共5小题〕8．【解答】解：∵PT是⊙O的切线，T为切点，∴OT⊥PT，在Rt△OPT中，OT═1，OP═2，∴PT═√OP2−OT2═√22−12═√3，故：PT═√3．9．【解答】解：如下图，连接OC，OD，OP，∵AC，BD分别与⊙O相切于点C，D，故∠OCP ＝∠ODP ＝90°，又OC ＝OD ，OP ＝OP ，那么Rt △OCP ≌Rt △ODP 〔HL 〕．∵∠CPD ＝120°，∴∠OPC ＝∠OPD ＝60°，∴∠COP ＝∠DOP ＝30°，∴∠COD ＝60°．∴CD ̂的长为l CD ̂=nπr 180=60°×π×6180=2π． 故答案为：2π．10．【解答】解：BC ̂长度=30π⋅12180=2π， 故答案为：2π．11．【解答】解：根据弧长公式可得：l =nπr 180=30⋅π⋅17180=176π． 故答案为：176π．12．【解答】解：∵⊙O 与△OAB 的边AB 相切，∴OB ⊥AB ，∴∠OBA ＝90°，连接OO ′，如图，∵△OAB 绕点B 按顺时针方向旋转得到△O ′A ′B ，∴∠A ＝∠A ′＝25°，∠ABA ′＝∠OBO ′，BO ＝BO ′，∵OB ＝OO ′，∴△OO ′B 为等边三角形，∴∠OBO ′＝60°，∴∠ABA ′＝60°，∴∠OCB ＝∠A +∠ABC ＝25°+60°＝85°．故答案为85．三．解答题〔共8小题〕13．【解答】解：〔1〕证明：连接AD ，如图，∵CA ＝CB ，∴∠CAB ＝∠ABC ．∵AE ⊥AC ，∴∠CAB +∠EAB ＝90°．∵BC 与⊙A 相切于点D ，∴∠ADB ＝90°．∴∠ABD +∠BAD ＝90°．∴∠BAE ＝∠BAD ．在△ABF 和△ABD 中，{AB =AB ∠BAE =∠BAD AF =AD，∴△ABF ≌△ABD 〔SAS 〕．∴∠AFB ＝∠ADB ＝90°．∴BF 是⊙A 的切线．〔2〕由〔1〕得：BF ⊥AE ，∵AC ⊥AE ，∴BF ∥AC ．∴△EFB ∽△EAC ．∴BE CE =BF CA ，∵BE ＝5，CB ＝AC ＝20，∴CE ＝EB +CB ＝20+5＝25，∴525=BF 20．∴BF ＝4．在Rt △BEF 中，EF =√BE 2−BF 2=√52−42=3．14．【解答】解：〔1〕当x ＝3时，点C 和圆心O 重合，此时CE 为半圆O 的半径，∵AB ＝6，∴EC ＝y 1cm ＝3cm ，∴y 1＝3，故答案为：3；〔2〕函数y 的图象如图：由图象得：当0＜x ＜2时，y 1＜y 2，当x ＝2时，y 1＝y 2，当2＜x ＜6时，y 1＞y 2；〔3〕〕连接OD ，作EH ⊥AB 于H ，由〔2〕知时，有EC ＝EB ，∵AC ＝2，AB ＝6cm ，∴OA ＝OD ＝OE ＝OB ＝3cm ，OC ＝1cm ，∵CD ⊥AB ，∴CD =√OD 2−OC 2=2√2，设OH ＝m ，那么CH ＝1+m ，∵EH ⊥AB ，∴EH =√32−m 2=√9−m 2，∵CE ∥AD ，∴∠DAC ＝∠ECH ，∵∠DCA ＝∠EHC ＝90°，∴△DAC ∽△ECH ，∴CD AC =EH CH ，即2√22=√9−m 21+m ， ∴m 1＝1，m 2=−73〔不合题意，舍去〕，∴HB ＝3﹣1＝2，EH =√OE 2−OH 2=2√2，∴EC =√EH 2+CH 2=√8+4=2√3，EB =√EH 2+HB 2=√8+4=2√3， ∴EC ＝EB ．15．【解答】解：〔1〕∵BD 为⊙O 的直径，∴∠BAD ＝90°，∵AÊ=CD ̂， ∴∠ABG ＝∠DBC ＝α，∴∠AGB ＝90°﹣α；〔2〕∵BD 为⊙O 的直径，∴∠BCD＝90°，∴∠BEC＝∠BDC＝90°﹣α，∴∠BEC＝∠AGB，∵∠CEF＝180°﹣∠BEC，∠BGD＝180°﹣∠AGB，∴∠CEF＝∠BGD，又∵CE＝BG，∠ECF＝∠GBD，∴△CFE≌△BDG(ASA)，∴EF＝DG；〔3〕①如图，连接DE，∵BD为⊙O的直径，∴∠A＝∠BED＝90°，在Rt△ABD中，tan∠ADB=√32，AD＝2，∴AB=√32,AD=√3，∵AÊ=CD̂，∴AÊ+DÊ=CD̂+DÊ，即AD̂=CÊ，∴AD＝CE，∵CE＝BG，∴BG＝AD＝2，∵在Rt△ABG中，sin∠AGB=ABBG=√32,∴∠AGB＝60°，AG=12BG＝1，∴EF＝DG＝AD﹣AG＝1，∵在Rt △DEG 中，∠EGD ＝60°，∴EG =12DG =12，DE =√32DG =√32,在Rt △FED 中，DF =√EF 2+DE 2=√72,∴FG +DG +EF =5+√72， ∴△FGD 的周长为5+√72； ②如图，过点C 作CH ⊥BF 于H ，∵△BDG ≌△CFE ，∴BD ＝CF ，∠CFH ＝∠BDA ，∵∠BAD ＝∠CHF ＝90°，∴△BAD ≌△CHF (AAS )，∴FH ＝AD ，∵AD ＝BG ,∴FH ＝BG ,∵∠BCF ＝90°,∴∠BCH +∠HCF ＝90°,∵∠BCH +∠HBC ＝90°,∴∠HCF ＝∠HBC ,∵∠BHC ＝∠CHF ＝90°,∴△BHC ∽△CHF ,∴BH CH =CH FH ,设GH ＝x ,∴BH ＝2﹣x ，∴CH2＝2(2﹣x)，在Rt△GHC中，CG2＝GH2+CH2,∴CG2＝x2+2(2﹣x)＝(x﹣1)2+3，当x＝1时，CG2的最小值为3，∴CG的最小值为√3．16．【解答】〔1〕①证明：∵AD̂=AB̂,∴AD＝AB,∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是菱形．②解：连接OA交BD于J,连接OC．∵AD̂=AB̂,∴OA⊥BD,∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD,∴A,O,C共线，在Rt△OJD中，DJ＝BJ＝2√2,OD＝3,∴OJ=√OD2−DJ2=√32−(2√2)2=1,∴AJ＝OA＝OJ＝3﹣1＝2,∵四边形ABCD是菱形，∴AJ＝CJ＝2,∴S菱形ABCD=12•AC•BD=12×4×4√2=8√2．〔2〕①解：当CD与⊙O相切时，连接AC交BD于H,连接OH,OD,延长DO交AB于P ,过点A 作AJ ⊥BD 于J ．∵CD 是⊙O 的切线，∴OD ⊥CD ,∵CD ∥AB ,∴DP ⊥AB ,∴P A ＝PB ,∴DB ＝AD ＝4√2,∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DH ＝BH ＝2√2,∴OH ⊥BD ,∴∠DHO ＝∠DPB ＝90°,∵∠ODH ＝∠BDP ,∴△DHO ∽△DPB ,∴DH DP =DO DB =OH PB ,∴2√2DP =4√2=1PB, ∴DP =163,PB =4√23, ∴AB ＝2PB =8√23,当BC 与⊙O 相切时，同法可证AB ＝BD ＝4√2．综上所述，AB 的长为4√2或8√23． ②解：如图3﹣1中，过点A 作AJ ⊥BD 于J ．∵12•AB •DP =12•BD •AJ , ∴AJ =329,∴BJ =√AB 2−AJ 2=(8√23)2−(329)2=8√29, ∴JH ＝BH ＝BJ ＝2√2−8√29=10√29, ∴tan ∠AHJ =AJ HJ =32910√29=8√25, 如图3﹣2中，同法可得▱ABCD 对角线所夹锐角的正切值为8√25，综上所述，▱ABCD 对角线所夹锐角的正切值为8√25， 17．【解答】解：〔1〕∵点M 是AB 的中点，那么点M 〔1,4〕， 那么圆的半径为AM =√(2−1)2+42=√17，设直线CM 的表达式为y ＝kx +b ，那么{17k +b =0k +b =4，解得{k =−14b =174， 故直线CM 的表达式为y =−14x +174；〔2〕设点D 的坐标为〔x ，−14x +174〕，由AM =√17得：〔x ﹣1〕2+〔−14x +174−4〕2＝〔√17〕2，解得x ＝5或﹣3，故点D 、E 的坐标分别为〔﹣3,5〕、〔5,3〕；〔3〕过点D 作DH ⊥OB 于点H ，那么DH ＝3，BH ＝8﹣5＝3＝DH ， 故∠DBO ＝45°，由点A 、E 的坐标，同理可得∠EAP ＝45°；由点A 、E 、B 、D 的坐标得，AE =√(5−2)2+(0−3)2=3√2， 同理可得：BD ＝3√2，OB ＝8，①当∠AEP ＝∠DBO ＝45°时，那么△AEP 为等腰直角三角形，EP ⊥AC ，故点P 的坐标为〔5,0〕，故OP ＝5；②∠AEP ＝∠BDO 时，∵∠EAP ＝∠DBO ，∴△EAP ∽△DBO ，∴AE BD =AP BO ，即√23√2=APBO =AP8，解得AP ＝8，故PO ＝10；③∠AEP ＝∠BOD 时，∵∠EAP ＝∠DBO ， ∴△EAP ∽△OBD ，∴AE OB =APBD ，即3√28=3√2，解得AP =94， 那么PO ＝2+94=174， 综上，OP 为5或10或174．18．【解答】解：〔1〕①如图1中，∵BO′是⊙O的切线，∴∠OBO′＝90°,由翻折的性质可知，∠OBP＝∠PBO′＝45°,∠OPB＝∠BPO′,∵∠AOB＝75°,∴∠OPB＝∠BPO′＝180°﹣75°﹣45°＝60°,∴∠OPO′＝120°,∴∠APO′＝180°﹣∠OPO′＝180°﹣120°＝60°．②如图1中，过点B作BH⊥OA于H,在BH上取一点F,使得OF＝FB,连接OF．∵∠BHO＝90°,∴∠OBH＝90°﹣∠BOH＝15°,∵FO＝FB,∴∠FOB＝∠FBO＝15°,∴∠OFH＝∠FOB+∠FBO＝30°,设OH＝m,那么HF=√3m,OF＝FB＝2m,∵OB2＝OH2+BH2,∴62＝m2+(√3m+2m)2,∴m=3√6−3√22或−3√6−3√22〔舍弃〕，∴OH=3√6−3√22,BH=3√2+3√62,在Rt△PBH中，PH=BHtan60°=√6+3√22,∴P A＝OA﹣OH﹣PH＝6−3√6−3√22−√6+3√22=6﹣2√6．(2)如图2中，连接AD,OD．∵AD̂=BD̂,∴AD＝BD,∠AOD＝∠BOD,由翻折的旋转可知，∠OBP＝∠PBD,∵PD∥OB,∴∠DPB＝∠OBP,∴∠DPB ＝∠PBD ,∴DP ＝DB ＝AD ,∴∠DAP ＝∠APD ＝∠AOB ,∵AO ＝OD ＝OB ,AD ＝DB ,∴△AOD ≌△BOD ,∴∠OBD ＝∠OAD ＝∠AOB ＝2∠BOD ,∵OB ＝OD ,∴∠OBD ＝∠ODB ＝2∠DOB ,∴∠DOB ＝36°,∴∠AOB ＝72°，∴AB ̂的长=72π⋅6180=12π5。

2022年春浙教版九年级数学中考一轮复习《圆》综合复习训练题（附答案）1．如图，CB为⊙O的切线，点B为切点，CO的延长线交⊙O于点A，若∠A＝25°，则∠C的度数是（）A．25°B．30°C．35°D．40°2．如图，BC是⊙O的直径，A，D是⊙O上的两点，连接AB，AD，BD，若∠ADB＝70°，则∠ABC的度数是（）A．20°B．70°C．30°D．90°3．如图，在⊙O中，∠BAC＝15°，∠ADC＝20°，则∠ABO的度数为（）A．70°B．55°C．45°D．35°4．如图，AB是⊙O的直径，点C和点D是⊙O上位于直径AB两侧的点，连接AC，AD，BD，CD，若⊙O的半径是13，BD＝24，则sin∠ACD的值是（）A．B．C．D．5．如图，点P是以AB为直径的半圆上的动点，CA⊥AB，PD⊥AC于点D，连接AP，设AP＝x，P A﹣PD＝y，则下列函数图象能反映y与x之间关系的是（）A．B．C．D．6．如图，点A，B，C在⊙O上，∠A＝60°，∠C＝70°，OB＝9，则的长为．7．如图，△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，OD⊥AC于点D，连接BD，半径OE⊥BC，连接EA，EA⊥BD于点F．若OD＝2，则BC＝．8．如图，AC是⊙O的直径，B，D是⊙O上的点，若⊙O的半径为3，∠ADB＝30°，则的长为．9．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，边长AB＝2，则扇形AOB的面积为．10．如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，且点B是的中点，BD交OC于点E，∠AOC ＝100°，∠OCD＝35°，那么∠OED＝．11．如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，以AB为直径的⊙O交AC，BC于点E，D，连接DE，F是CD上一点，满足∠CEF＝∠CDE．（1）求证：EF是⊙O的切线．（2）过点D作DG⊥AB于点G，AG＝8，BG＝2，求AC的长．12．如图，四边形ABCD为菱形，以AD为直径作⊙O交AB于点F，连接DB交⊙O于点H，E是BC上的一点，且BE＝BF，连接DE．（1）求证：DE是⊙O的切线．（2）若BF＝2，DH＝，求⊙O的半径．13．如图，在▱ABCD中，AD＝2AB，以点A为圆心、AB的长为半径的⊙A恰好经过BC的中点E，连接DE，AE，BD，AE与BD交于点F．（1）求证：DE与⊙A相切．（2）若AB＝6，求BF的长．14．如图，△ABC内接于⊙O，AD与BC是⊙O的直径，延长线段AC至点G，使AG＝AD，连接DG交⊙O于点E，EF∥AB交AG于点F．（1）求证：EF与⊙O相切．（2）若EF＝2，AC＝4，求扇形OAC的面积．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，以AD为直径的⊙O与边BC相切于点E，与边AC相交于点G，且＝，连接GO并延长交⊙O于点F，连接BF．（1）求证：①AO＝AG．②BF是⊙O的切线．（2）若BD＝6，求图形中阴影部分的面积．16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AC上一点，过B，C，D三点的⊙O交AB 于点E，连接ED，EC，点F是线段AE上的一点，连接FD，其中∠FDE＝∠DCE．（1）求证：DF是⊙O的切线．（2）若D是AC的中点，∠A＝30°，BC＝4，求DF的长．17．如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为点E，以AE为直径的⊙O与边CD 相切于点F，连接BF交⊙O于点G，连接EG．（1）求证：CD＝AD+CE．（2）若AD＝4CE，求tan∠EGF的值．18．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点O在△ABC的内部，⊙O经过B，C 两点，交AB于点D，连接CO并延长交AB于点G，以GD，GC为邻边作▱GDEC．（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由．（2）若点B是的中点，⊙O的半径为2，求的长．19．如图，M，N是以AB为直径的⊙O上的点，且＝，弦MN交AB于点C，BM平分∠ABD，MF⊥BD于点F．（1）求证：MF是⊙O的切线；（2）若CN＝3，BN＝4，求CM的长．20．如图，点M是矩形ABCD的边AD延长线上一点，以AM为直径的⊙O交矩形对角线AC于点F，在线段CD上取一点E，连接EF，使EC＝EF．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若cos∠CAD＝，AF＝6，MD＝2，求FC的长．21．如图，BE是⊙O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，连接AE，AD，DE，过点A 作射线交BE的延长线于点C，使∠EAC＝∠EDA．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若CE＝AE＝2，求阴影部分的面积．22．如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径，过点A的切线与CD的延长线相交于点P．且∠APC＝∠BCP（1）求证：∠BAC＝2∠ACD；（2）过图1中的点D作DE⊥AC，垂足为E（如图2），当BC＝6，AE＝2时，求⊙O的半径．23．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，直线MN与⊙O相切于点C，过点B作BD ⊥MN于点D．（1）求证：∠ABC＝∠CBD；（2）若BC＝4，CD＝4，则⊙O的半径是．24．如图，点P为正方形ABCD的对角线AC上的一点，连接BP并延长交CD于点E，交AD的延长线于点F，⊙O是△DEF的外接圆，连接DP．（1）求证：DP是⊙O的切线；（2）若tan∠PDC＝，正方形ABCD的边长为4，求⊙O的半径和线段OP的长．参考答案1．解：如图：连接OB，∵∠A＝25°，∴∠COB＝2∠A＝2×25°＝50°，∵BC与⊙O相切于点B，∴∠OBC＝90°，∴∠C＝90°﹣∠BOC＝90°﹣50°＝40°．故选：D．2．解：连接AC，如图，∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∵∠ACB＝∠ADB＝70°，∴∠ABC＝90°﹣70°＝20°．故选：A．3．解：连接OA、OC，∵∠BAC＝15°，∠ADC＝20°，∴∠AOB＝2（∠ADC+∠BAC）＝70°，∵OA＝OB（都是半径），∴∠ABO＝∠OAB＝（180°﹣∠AOB）＝55°．故选：B．4．解：∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∵⊙O的半径是13，∴AB＝2×13＝26，由勾股定理得：AD＝10，∴sin∠B＝＝＝，∵∠ACD＝∠B，∴sin∠ACD＝sin∠B＝，故选：D．5．设：圆的半径为R，连接PB，则sin∠ABP＝，∵CA⊥AB，即AC是圆的切线，则∠P AD＝∠PBA＝α，则PD＝AP sinα＝x×＝x2，则y＝P A﹣PD＝﹣x2+x，图象为开口向下的抛物线，故选：C．6．解：连接OA，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠C＝70°，∴∠OAB＝∠OAC﹣∠BAC＝70°﹣60°＝10°，∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB＝10°，∴∠AOB＝180°﹣10°﹣10°＝160°，则的长＝＝8π，故答案为：8π．7．解：∵OD⊥AC，∴AD＝DC，∵BO＝CO，∴AB＝2OD＝2×2＝4，∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∵OE⊥BC，∴∠BOE＝∠COE＝90°，∴＝，∴∠BAE＝∠CAE＝∠BAC＝90°＝45°，∵EA⊥BD，∴∠ABD＝∠ADB＝45°，∴AD＝AB＝4，∴DC＝AD＝4，∴AC＝8，∴BC＝＝＝4．故答案为：4．8．解：由圆周角定理得，∠AOB＝2∠ADB＝60°，∴∠BOC＝180°﹣60°＝120°，∴的长＝＝2π，故答案为：2π．9．解：∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，∴∠AOB＝60°，∵OA＝OB，∴△AOB是等边三角形，∴OA＝OB＝AB＝2，∴扇形AOB的面积＝＝，故答案为：．10．解：连接OB．∵＝，∴∠AOB＝∠BOC＝50°，∴∠BDC＝∠BOC＝25°，∵∠OED＝∠ECD+∠CDB，∠ECD＝35°，∴∠OED＝60°，故答案为60°．11．（1）证明：如图，连接OE，∵四边形ABDE是⊙O的内接四边形，∴∠A+∠EDB＝180°，∵∠CDE+∠EDB＝180°，∴∠A＝∠CDE，∵∠CEF＝∠CDE，∴∠A＝∠CEF，∴EF∥AB，∴∠FEO＝∠AOE，∵AO＝EO，∠BAC＝45°，∴∠OAE＝∠OEA＝45°，∴∠OEF＝∠AOE＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∴OE⊥EF，∵OE为⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线；（2）解：如图，连接OD，过点C作CM⊥AB于点M，∵DG⊥AB，∴∠DGO＝90°，∵AB＝AG+BG＝8+2＝10，∴OD＝OB＝5，∴OG＝OB﹣BG＝5﹣2＝3，在Rt△DGO中，DG＝＝＝4，在△BDG和△BCM中∠BGD＝∠BMC＝90°，∴tan B＝＝＝2，∴CM＝2BM，∵∠AMC＝90°，∠BAC＝45°，∴AM＝CM＝2BM，∵AB＝AM+BM＝10，∴AM＝CM＝，在Rt△AMC中，∠AMC＝90°，∴AC＝＝．12．（1）证明：如图1，连接DF，∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA，AD∥BC，∠DAB＝∠C，∵BF＝BE，∴AB﹣BF＝BC﹣BE，即AF＝CE，∴△DAF≌△DCE（SAS），∴∠DF A＝∠DEC，∵AD是⊙O的直径，∴∠DF A＝90°，∴∠DEC＝90°∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠DEC＝90°，∴OD⊥DE，∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；（2）解：如图2，连接AH，∵AD是⊙O的直径，∴∠AHD＝∠DF A＝90°，∴∠DFB＝90°，∵AD＝AB，DH＝，∴DB＝2DH＝2，在Rt△ADF和Rt△BDF中，∵DF2＝AD2﹣AF2，DF2＝BD2﹣BF2，∴AD2﹣AF2＝DB2﹣BF2，∴AD2﹣（AD﹣BF）2＝DB2﹣BF2，∴，∴AD＝5．∴⊙O的半径为．13．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AB＝CD，∵EC＝EB，∴BC＝2BE＝2CE，∵AD＝2AB，∴AB＝BE，∴AB＝BE＝AE，∴△ABE是等边三角形，∴∠ABE＝∠AEB＝60°，∵AB∥CD，∴∠C＝180°﹣∠ABE＝120°，∵CD＝AB，AB＝BE＝CE，∴CD＝CE，∴∠CED＝（180°﹣∠C）＝30°，∴∠AED＝180°﹣∠AEB﹣∠CED＝90°，∴DE⊥AE，∵AE是⊙A的半径，∴DE与⊙A相切．（2）如图，作BM⊥AE于M．∵△AEB是等边三角形，∴AE＝AB＝6，∵AD∥BC，∴△ADF∽△EBF，∴＝＝2，∴AF＝2EF，∴AF＝AE＝4，∵BM⊥AE，BA＝BE，∴AM＝ME＝AE＝3，∴FM＝1，BM＝＝＝3，在Rt△BFM中，BF＝＝2．14．（1）证明：如图1，连接OE，∵OD＝OE，∴∠D＝∠OED，∵AD＝AG，∴∠D＝∠G，∴∠OED＝∠G，∴OE∥AG，∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∵EF∥AB，∴∠BAF+∠AFE＝180°，∴∠AFE＝90°，∵OE∥AG，∴∠OEF＝180°﹣∠AFE＝90°，∴OE⊥EF，∴EF与⊙O相切；（2）解：如图2，连接OE，过点O作OH⊥AC于点H，∴CH＝，∵∠OHF＝∠HFE＝∠OEF＝90°，∴四边形OEFH是矩形，∴，在Rt△OHC中，OC＝＝＝4，∵OA＝AC＝OC＝4，∴△AOC是等边三角形，∴∠AOC＝60°，∴S扇形OAC＝＝．15．解：（1）证明：①如图1，连接OE，∵⊙O与BC相切于点E，∴∠OEB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠OEB，∴AC∥OE，∴∠GOE＝∠AGO，∵，∴∠AOG＝∠GOE，∴∠AOG＝∠AGO，∴AO＝AG；②由①知，AO＝AG，∴∠AO＝OG＝AG，∴△AOG是等边三角形，∴∠AGO＝∠AOG＝∠A＝60°，∴∠BOF＝∠AOG＝60°，由①知，∠GOE＝∠AOG＝60°，∴∠EOB＝180°﹣∠AOG﹣∠GOE＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠FOB＝∠EOB，∵OF＝OE，OB＝OB，∴△OFB≌△OEB（SAS），∴∠OFB＝∠OEB＝90°，∴OF⊥BF，∵OF是⊙O的半径，∴BF是⊙O的切线；（2）如图2，连接GE，∵∠A＝60°，∴∠ABC＝90°﹣∠A＝30°，∴OB＝2OE，设⊙O的半径为r，∵OB＝OD+BD，∴6+r＝2r，∴r＝6，∴AG＝OA＝6，AB＝2r+BD＝18，∴AC＝AB＝9，∴CG＝AC﹣AG＝3，由（1）知，∠EOB＝60°，∵OG＝OE，∴△OGE是等边三角形，∴GE＝OE＝6，根据勾股定理得，CE＝＝＝3，∴S阴影＝S梯形GCEO﹣S扇形OGE＝（6+3）×﹣＝．16．解：（1）连接BD，∵∠ACB＝90°，点B，D在⊙O上，∴BD是⊙O的直径，∠BCE＝∠BDE，∵∠FDE＝∠DCE，∠BCE+∠DCE＝∠ACB＝90°，∴∠BDE+∠FDE＝90°，即∠BDF＝90°，∴DF⊥BD，又∵BD是⊙O的直径，∴DF是⊙O的切线．（2）如图，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，∴AB＝2BC＝2×4＝8，∴＝4，∵点D是AC的中点，∴，∵BD是⊙O的直径，∴∠DEB＝90°，∴∠DEA＝180°﹣∠DEB＝90°，∴，在Rt△BCD中，＝＝2，在Rt△BED中，BE＝＝＝5，∵∠FDE＝∠DCE，∠DCE＝∠DBE，∴∠FDE＝∠DBE，∵∠DEF＝∠BED＝90°，∴△FDE∽△DBE，∴，即，∴．17．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∵AE⊥BC，∴AD⊥OA，∵AO是⊙O的半径，∴AD是⊙O的切线，又∵DF是⊙O的切线，∴AD＝DF，同理可得CE＝CF，∵CD＝DF+CF，∴CD＝AD+CE．（2）解：连接OD，AF相交于点M，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC．∵AD＝4CE，∴设CE＝t，则AD＝4t，∴BE＝3t，AB＝CD＝5t，∴在Rt△ABE中，AE＝＝4t，∴OA＝OE＝2t，∵DA，DF是⊙O的两条切线，∴∠ODA＝∠ODF，∵DA＝DF，∠ODA＝∠ODF，∴AF⊥OD，∴在Rt△OAD中，tan∠ODA＝，∵∠OAD＝∠AMD＝90°，∴∠EAF＝∠ODA，∵，∴∠EGF＝∠EAF，∴∠ODA＝∠EGF，∴tan∠EGF＝．18．解：（1）DE是⊙O的切线；理由：连接OD，∵∠ACB＝90°，CA＝CB，∴∠ABC＝45°，∴∠COD＝2∠ABC＝90°，∵四边形GDEC是平行四边形，∴DE∥CG，∴∠EDO+∠COD＝180°，∴∠EDO＝90°，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（2）连接OB，∵点B是的中点，∴＝，∴∠BOC＝∠BOD，∵∠BOC+∠BOD+∠COD＝360°，∴∠COB＝∠BOD＝135°，∴的长＝＝π．19．证明：（1）连接OM，∵OM＝OB，∴∠OMB＝∠OBM，∵BM平分∠ABD，∴∠OBM＝∠MBF，∴∠OMB＝∠MBF，∴OM∥BF，∵MF⊥BD，∴OM⊥MF，即∠OMF＝90°，∴MF是⊙O的切线；（2）如图，连接AN，ON∵＝，∴AN＝BN＝4∵AB是直径，＝，∴∠ANB＝90°，ON⊥AB∴AB＝＝4∴AO＝BO＝ON＝2∴OC＝＝＝1∴AC＝2+1，BC＝2﹣1∵∠A＝∠NMB，∠ANC＝∠MBC ∴△ACN∽△MCB∴∴AC•BC＝CM•CN∴7＝3•CM∴CM＝20．（1）证明：连接OF，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，∴∠CAD+∠DCA＝90°，∵EC＝EF，∴∠DCA＝∠EFC，∵OA＝OF，∴∠CAD＝∠OF A，∴∠EFC+∠OF A＝90°，∴EF⊥OF，∵OF是半径，∴EF是⊙O的切线；（2）连接MF，∵AM是直径，∴∠AFM＝90°，在Rt△AFM中，cos∠CAD＝＝，∵AF＝6，∴＝，∴AM＝10，∵MD＝2，∴AD＝8，在Rt△ADC中，cos∠CAD＝＝，∴＝，∴AC＝，∴FC＝﹣6＝21．（1）证明：连接OA，过O作OF⊥AE于F，∴∠AFO＝90°，∴∠EAO+∠AOF＝90°，∵OA＝OE，∴∠EOF＝∠AOF＝AOE，∵∠EDA＝AOE，∵∠EAC＝∠EDA，∴∠EAC＝∠AOF，∴∠EAO+∠EAC＝90°，∵∠EAC+∠EAO＝∠CAO，∴∠CAO＝90°，∴OA⊥AC，∴AC是⊙O的切线；（2）解：∵CE＝AE＝2，∴∠C＝∠EAC，∵∠EAC+∠C＝∠AEO，∴∠AEO＝2∠EAC，∵OA＝OE，∴∠AEO＝∠EAO，∴∠EAO＝2∠EAC，∵∠EAO+∠EAC＝90°，∴∠EAC＝30°，∠EAO＝60°，∴△OAE是等边三角形，∴OA＝AE，∠EOA＝60°，∴OA＝2，∴S扇形AOE＝＝2π，在Rt△OAF中，OF＝OA•sin∠EAO＝2＝3，∴S△AOE＝AE•OF＝3＝3，∴阴影部分的面积＝2π﹣3．22．（1）证明：作DF⊥BC于F，连接DB，∵AP是⊙O的切线，∴∠P AC＝90°，即∠P+∠ACP＝90°，∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，即∠PCA+∠DAC＝90°，∴∠P＝∠DAC＝∠DBC，∵∠APC＝∠BCP，∴∠DBC＝∠DCB，∴DB＝DC，∵DF⊥BC，∴DF是BC的垂直平分线，∴DF经过点O，∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，∵∠BDC＝2∠ODC，∴∠BAC＝∠BDC＝2∠ODC＝2∠OCD；（2）解：∵DF经过点O，DF⊥BC，∴FC＝BC＝3，在△DEC和△CFD中，，∴△DEC≌△CFD（AAS）∴DE＝FC＝3，∵∠ADC＝90°，DE⊥AC，∴DE2＝AE•EC，则EC＝＝，∴AC＝2+＝，∴⊙O的半径为．23．（1）证明：连接OC，∵MN为⊙O的切线，∴OC⊥MN，∵BD⊥MN，∴OC∥BD，∴∠CBD＝∠BCO．又∵OC＝OB，∴∠BCO＝∠ABC，∴∠CBD＝∠ABC．；（2）解：连接AC，在Rt△BCD中，BC＝4，CD＝4，∴BD＝＝8，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠CDB＝90°，∵∠ABC＝∠CBD，∴△ABC∽△CBD，∴＝，即＝，∴AB＝10，∴⊙O的半径是5，故答案为5．24．（1）连接OD，∵正方形ABCD中，CD＝BC，CP＝CP，∠DCP＝∠BCP＝45°，∴△CDP≌△CBP（SAS），∴∠CDP＝∠CBP，∵∠BCD＝90°，∴∠CBP+∠BEC＝90°，∵OD＝OE，∴∠ODE＝∠OED，∠OED＝∠BEC，∴∠BEC＝∠OED＝∠ODE，∴∠CDP+∠ODE＝90°，∴∠ODP＝90°，∴DP是⊙O的切线；（2）∵∠CDP＝∠CBE，∴tan，∴CE＝，∴DE＝2，∵∠EDF＝90°，∴EF是⊙O的直径，∴∠F+∠DEF＝90°，∴∠F＝∠CDP，在Rt△DEF中，，∴DF＝4，∴＝＝2，∴，∵∠F＝∠PDE，∠DPE＝∠FPD，∴△DPE∽△FPD，∴，设PE＝x，则PD＝2x，∴，解得x＝，∴OP＝OE+EP＝．。

浙教版初三圆测试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 圆的半径为3，则圆的周长是（）。

A. 18πB. 6πC. 9πD. 3π2. 已知圆的直径为10，那么这个圆的面积是（）。

A. 25πB. 50πC. 100πD. 200π3. 在圆中，弦AB所对的圆心角的度数是60°，则弦AB的长度是（）。

A. 3B. 6C. 9D. 124. 圆内接四边形ABCD中，若∠A=∠C=90°，则四边形ABCD是（）。

A. 矩形B. 菱形C. 平行四边形D. 梯形5. 已知圆的半径为5，点P到圆心O的距离为3，则点P与圆的位置关系是（）。

A. 在圆内B. 在圆上C. 在圆外D. 无法确定二、填空题（每题2分，共10分）6. 圆的面积公式为：________。

7. 圆的周长公式为：________。

8. 圆的内接四边形对角互补，即∠A + ∠C = ∠B + ∠D = ________。

9. 已知圆的半径为r，弧长为l，则扇形的面积为________。

10. 点P在圆上，若OP=r，则点P是圆的________。

三、计算题（每题5分，共20分）11. 已知圆的半径为7，求圆的周长。

12. 已知圆的直径为14，求圆的面积。

13. 在圆中，弦AB的长度为8，弦AB所对的圆心角为120°，求弦AB 所对的圆心角的弧度。

14. 已知圆内接四边形ABCD，其中∠A=∠C=90°，AB=6，CD=8，求四边形ABCD的面积。

四、解答题（每题15分，共30分）15. 已知点P在圆O上，OP=10，PA=6，PB=8，求圆O的半径r。

16. 已知圆的半径为r，圆心角α，求扇形的弧长l。

答案：一、选择题1. A2. B3. C4. A5. A二、填空题6. πr²7. 2πr8. 180°9. 1/2lr 10. 圆心三、计算题11. 圆的周长为14π。

12. 圆的面积为7π。

浙江省2023年中考数学真题(圆）一选择题1．如图.⊙O的圆心O与正方形的中心重合,已知⊙O的半径和正方形的边长都为4,则圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值为（）．A．√2B．2C．4+2√2D．4−2√22．如图在⊙O中半径OA.OB互相垂直点C在劣弧AB上．若∠ABC=19°则∠BAC=（）A．23°B．24°C．25°D．26°3．如图四边形ABCD内接于⊙O ,BC//AD.AC⊥BD.若∠AOD=120°，AD=√3则∠CAO的度数与BC的长分别为（）A．10°1B．10°√2C．15° 1D．15°√2二填空题4．若扇形的圆心角为40°半径为18 则它的弧长为。

5．如图圆锥形烟囱帽的底面半径为30cm母线长为50cm则烟囱帽的侧面积为cm2．（结果保留π）6．如图 四边形ABCD 内接于圆O 若∠D =100° 则∠B 的度数是 .7．如图 六边形ABCDEF 是⊙O 的内接正六边形 设正六边形ABCDEF 的面积为S 1 △ACE 的面积为S 2 则S 1S 2= ．8．如图 在Rt △ABC 中 ∠C =90° E 为AB 边上一点 以AE 为直径的半圆O 与BC 相切于点D 连接AD BE =3，BD =3√5．P 是AB 边上的动点 当△ADP 为等腰三角形时 AP 的长为 ．9．如图 点A 是⊙O 外一点 AB AC 分别与⊙O 相切于点B C 点D 在BDC⌢上 已知∠A =50° 则∠D 的度数是 。

10．如图在△ABC中AB=AC=6cm △BAC=50° 以AB为直径作半圆交BC于点D 交AC 于点E 则弧DE的长为cm.11．一副三角板ABC和DEF中∠C=∠D=90°，∠B=30°，∠E=45°，BC=EF=12．将它们叠合在一起边BC与EF重合CD与AB相交于点G（如图1）此时线段CG的长是现将△DEF绕点C(F)按顺时针方向旋转（如图2）边EF与AB相交于点H 连结DH 在旋转0°到60°的过程中线段DH扫过的面积是。

2019年浙江省中考数学分类汇编专题:圆（解析版）一、单选题1.若扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的弧长为（）A. B. C. D.【答案】C【考点】弧长的计算【解析】【解答】解：把已知数导入弧长公式即可求得：。

故答案为：C。

【分析】求弧长，联想弧长公式，代入数字即可。

2.如图，已知⊙O上三点A，B，C，半径OC=1，∠ABC=30°，切线PA交OC延长线于点P，则PA的长为（）A. 2B.C.D.【答案】B【考点】圆周角定理，切线的性质【解析】【解答】解：连接OA∵∠ABC=30°弧AC=弧AC∴∠AOC=2∠ABC=60°∵AP是圆O的切线，∴OA⊥AP∴∠OAP=90°∴AP=OAtan60°=1× =故答案为：B【分析】连接OA，利用圆周角定理可求出∠AOC的度数，再根据切线的性质，可证△AOP是直角三角形，然后利用解直角三角形求出PA的长。

3.如图，△ABC内接于⊙O，∠B=65°，∠C=70°，若BC=2 ，则的长为（）A. πB. πC. 2πD. π【答案】A【考点】圆周角定理，弧长的计算【解析】【解答】解：连接OC、OB，∵∠A=180°-∠ABC-∠ACB∴∠A=180°-65°-70°=45°∵弧BC=弧BC∴∠BOC=2∠A=2×45°=90°∵OB=OC在Rt△OBC中，∠OBC=45°∴OC=BCsin45°= =2∴弧BC的长为：故答案为：A【分析】利用三角形内角和定理求出∠A，再根据圆周角定理，求出∠BOC的度数，就可证得△BOC是等腰直角三角形，利用解直角三角形求出OC的长，然后利用弧长公式计算可求出弧BC的长。

4.如图，等边三角形ABC的边长为8，以BC上一点O为圆心的圆分别与边AB，AC相切，则⊙O的半径为（）A. 2B. 3C. 4D. 4-【答案】A【考点】切线的性质，解直角三角形的应用，切线长定理【解析】【解答】解：设AB、AC的切点分别为D、E，连结OD、OE，如图，∵AB、AC与⊙O相切于点D、E，∴AD=AE，∠ODB=∠OEC=90°，又∵△ABC是边长为8的等边三角形，∴AB=AC=BC=8，∠B=60°，∴BD=CE，∵OD=OE，∴△ODB≌△OEC（SAS），∴OB=OC= BC=4，在Rt△ODB中，∴sin60°= ，即OD=OBsin60°=4× =2 ，∴⊙O的半径为2 .故答案为：A.【分析】设AB、AC的切点分别为D、E，连结OD、OE，根据切线的性质和切线长定理得AD=AE，∠ODB=∠OEC=90°，由等边三角形性质得AB=AC=BC=8，∠B=60°，等量代换可得BD=CE，根据全等三角形判定SAS 得△ODB≌△OEC，再由全等三角形性质得OB=OC=4，在Rt△ODB中，根据锐角三角函数正弦定义即可求得答案.5.已知圆锥的底面半径为5cm，母线长为13cm，则这个圆锥的侧面积是（）A. 60πcm2B. 65πcm2C. 120πcm2D. 130πcm2【答案】B【考点】圆锥的计算【解析】【解答】解：设圆锥母线为R，圆锥底面半径为r，∵R=13cm，r=5cm，∴圆锥的侧面积S= ·2 r.R= ×2 ×5×13=65 （cm2）.故答案为：B.【分析】根据圆锥侧面展开图为扇形，再由扇形面积计算即可求得答案.6.如图，已知正五边形ABCDE内接于⊙O，连结BD，则∠ABD的度数是（）A. 60°B. 70°C. 72°D. 144°【答案】C【考点】正多边形和圆【解析】【解答】解：∵五边形ABCDE为正五边形，∴∠ABC=∠C= (5−2)×180°=108°，∵CD=CB，∴∠CBD== (180°−108°)=36°，∴∠ABD=∠ABC-∠CBD=72°，故答案为：C.【分析】由正多边形的内角和公式可求得∠ABC和∠C的度数，又由等边对等角可知∠CBD=∠CDB，从而可求得∠CBD，进而求得∠ABD。

浙江中考数学考点专题复习----专题七《圆》●中考点击 考点分析：内容要求 1、圆、等圆、等弧等概念及圆的对称性，点和圆的位置关系以及其有关概念 Ⅰ 2、弧、弦、圆心角、弦心距四者之间的关系，能根据具体条件确定这四者之间的关系Ⅱ 3、圆的性质及圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征，灵活运用圆周角的知识进行有关的推理论证及计算Ⅱ 4、垂径定理的应用及逆定理的应用，会添加与之相关的辅助线 Ⅱ 5、圆与三角形和圆内接四边形的知识及综合运用Ⅱ命题预测：本专题主要考查圆的重要性质以及和圆有关的角、线段、环长和面积的计算，另外也会考查圆与勾股定理、相似三角形知识的综合应用．其中，点和圆、直线和圆的位置关系的判断以及和圆有关的简单计算一般以选择填空题形式考查；有关圆与图形的相似、三角函数、函数等知识的综合应用一般是以证明、阅读理解、探索存在等解答题的形式考查．从2005和2006年各地区中考试题中有关圆的考查内容占分比例分析，课改区一般占到10%左右，而非课改区以往对这一部分较为看重，前几年一般占到20%以上，但近年已降至14%左右，不难看出正逐步向课改区靠拢，而且难度也有所降低．预测2008年中考这部分内容的考查会更加贴近生活，重视实用，同时强调基础，突出能力的考查．●难题透视例1如图7-1，在中，弦平行于弦BC ，若80AOC ∠=，则DAB ∠=____度． 【考点要求】本题主要考查圆中圆心角与圆周角之间的关系．【思路点拔】∵∠B=12∠AOC ，80AOC ∠= ∴∠B=40° ∵AD ∥BC∴DAB ∠=∠B =40°【答案】填：40【方法点拨】本题部分学生不能很快发现所求角与已知角之间的关系．突破方法：抓住题中的所在条件，如本题中的两条弦平行，由此可将∠DAB 转化为∠ABC ，然后再利用圆周角与圆心的角关系求解．解题关键：本题要求学生要熟悉同弧所对的圆周角与圆心角之间的关系，即同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，同时还要根据平行线的性质进行解题．例2如图8-2，AB 是的⊙O 的直径，BC 、CD 、DA 是⊙O 的弦，且BC=CD=DA ，则∠BCD=（ ）A ．1000B ．1100C ．1200D ．1350【考点要求】本题考查了圆中弧、弦、圆心（周）角之间的关系，以及直径所对的弧是半圆等基本知识．【思路点拔】∵AB 是的⊙O 的直径ADC B O图7-1图7-2∴ACB 度数是1800 ∵BC=CD=DA ∴BC =CD =DA ∵∠BCD=001(18060)2=1200 【答案】选填C【方法点拨】本题要求学生要能比较熟悉圆中的弧、弦和圆心角之间的有关系，即同圆中相等的弦所对的弧相等，所对的圆心角也相等，同时还要知道直径是圆的一条特殊的弦，其所对的圆心角等于180°，以及圆心角与圆周角之间的关系，综合运用这些知识，容易理解要求某个圆周角，只需求得其所对的弧的度数．例3已知：AB 和CD 为⊙O 的两条平行弦，⊙O 的半径为5cm ，AB=8cm ，CD=6cm ，求AB 、CD 间的距离是 ．【考点要求】本题考查圆中弦、弦心距等与弦有关的计算问题． 【思路点拔】由于圆内的的两条弦均小于圆的直径，因此可确定出圆中的两条平行弦的位置关系有两种：一是位于圆心的同侧；二是位于圆心的异侧．如图8-3：过O 作EF ⊥AB ，分别交AB 、CD 于E 、F ，则AE=4㎝，CF=3㎝，由勾股定理可求出OE=3㎝，OF=4㎝．故当AB 、CD 在圆心异侧时，距离为7㎝，在圆心同侧时，距离为1㎝． 【答案】填：7㎝或1㎝【方法点拨】本题难点有两个：一是有不少学生容易只考虑其中的一种情形，而忽视另一情形；二是辅助线的添加．突破方法：一般几何填空题中，如果不配图，在自己作图时，应全面考虑各种可能情况．圆中与弦有关的计算或证明问题，往往需要连结半径和弦心距，以构造直角三角形，从而应用勾股定理进行计算．例4用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，如图7-5图是水平放置的破裂管道有水部分的截面． （1）请你补全这个输水管道的圆形截面； （2）若这个输水管道有水部分的水面宽AB ＝16cm ，水面最深地方的高度为4cm ，求这个圆形截面的半径．【考点要求】本题考查圆内心的确定，及与弦有关计算问题，同时考查学生动手操作图形的能力和利用基本知识解决简单问题的能力．【思路点拔】（1）正确作出图形，如图7-6并做答． （2）过O 作OC ⊥AB 于D ，交弧AB 于C ，∵OC ⊥AB ， ∴BD ＝21AB ＝21×16＝8cm ． 由题意可知，CD ＝4cm ．设半径为x cm ，则OD ＝（x －4）cm ． 在Rt △BOD 中，由勾股定理得：OD 2＋BD 2＝OB 2， ∴( x －4)2＋82＝x 2．图7-5B A (A)(B)CD E F 图7-3图7-6∴x ＝10．【答案】这个圆形截面的半径为10cm ． 【方法点拨】这是一道作图与解答相结合的中考题，部分学生不会补全整个圆面或者补全之后不知如何进行计算．突破方法：补全圆面的关键在于确定圆心，然后再利用勾股定理进行计算．解题关键：确定圆心时，主要根据圆的定义，取弧上的两条弦，作出两条弦的垂直平分线，交点即为圆心，然后连结半径构造直角三角形．例5如图7-7，有一木制圆形脸谱工艺品，H 、T 两点为脸谱的耳朵，打算在工艺品反面两耳连线中点D 处打一小孔．现在只有一块无刻度单位的直角三角板（斜边大于工艺品的直径），请你用两种不同的方法确定点D 的位置（画出图形表示），并且分别说明理由．【考点要求】本题考查线段垂直平分线知识，通过对圆中弦的中点的确定，考查学生综合运用知识的能力．【思路点拔】方法一：画弦的垂直平分线常用的依据是根据垂径定理，如图7-8中，图①，画TH 的垂线L 交TH 于D ，则点D 就是TH 的中点．方法二：利用全等三角形，如图②，分别过点T 、H 画HC ⊥TO ，TE ⊥HO ，HC 与TE 相交于点F ，过点O 、F 画直线L 交HT 于点D ，由画图知，Rt △HOC ≌Rt △TOE ，易得HF=TF ，又OH=OT ，所以点O 、F 在HT 的中垂线上，所以HD=TD 了，则点D 就是HT 的中点．方法三：如图③，（原理同方法二）图7-7 图7-8 ③②①D L H TO 反面D L H T O 反面反面O T H L C EF GD【答案】见图．【方法点拨】这一道题有一定的开放性，题目中只提供了一块无刻度单位的直角三角板（斜边大于工艺品的直径），工具的限至使用学生思维不易完全打开．突破方法： 充分利用三角板直角，可画垂直线段，从而能够根据垂径定理或者构造全等的直角三角形来确定弦的中点．例6如图7-9，AB 是⊙O 的直径，BD 是⊙O 的弦，延长BD 到点C ，使DC =BD ，连接AC 交⊙O 与点F ．（1）AB 与AC 的大小有什么关系?为什么?（2）按角的大小分类， 请你判断△ABC 属于哪一类三角形，并说明理由．【考点要求】本题考查与圆有关的性质在三角中的应用． 【思路点拔】（1）（方法1）连接DO ，∵OD 是△ABC的中位线，∴DO ∥CA ，∵∠ODB ＝∠C ，∴OD ＝BO ，∴∠OBD ＝∠ODB ，∴∠OBD ＝∠ACB ，∴AB ＝AC（方法2）连接AD ， ∵AB 是⊙O 的直径，∴AO ⊥BC ， ∵BD ＝CD ，∴AB ＝AC（方法3）连接DO ∵OD 是△ABC 的中位线，∴OD=21AC ，OB=OD=21AB ，∴AB=AC （2） 连接AD ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°∴∠B ＜∠ACB ＝90°．∠C ＜∠ACB ＝90°．∴∠B 、∠C 为锐角 ∵AC 和⊙O 交于点F ，连接BF ，∴∠A ＜∠BFC ＝90°．∴△ABC 为锐角三角形 【答案】（1）AB ＝AC ；（2）△ABC 为锐角三角形【方法点拨】部分学生第（1）题会做出判断，但不知如何证明，而第（2）题又容易将问题结果简单、特殊化，易错误的判断为等边三角形．突破方法：判断或证明线段的大小关系时，一般结论是相等，在同一个三角形中可根据等角对等边证明，如果在两个三角形中，往往会根据三角形全等证明，同时还要看清题目要求，如本题就是要求按角的大小分类进行判断，而不是边的大小关系．解题关键：证明同一个三角形中的两边相等，一般根据等角对等边进行证明． 例7如图7-13，已知AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为H ． （1）求证：AH ·AB =AC 2；（2）若过A 的直线与弦CD （不含端点）相交于点E ，与⊙O 相交于点F ，求证：AE ·AF =AC 2；（3）若过A 的直线与直线CD 相交于点P ，与⊙O 相交于点Q ，判断AP ·AQ =AC 2是否成立(不必证明)．【考点要求】本题考查与圆有关的三角形相似问题，是一道几何综合证明题．【思路点拔】（1）连结CB ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB =90°． 而∠CAH =∠BAC ，∴△CAH ∽△BAC ． ∴ACAH AB AC ， 即AH ·AB =AC 2 ． （2）连结FB ，易证△AHE ∽△AFB ， ∴ AE ·AF =AH ·AB ，图7-9OFD C B A 图7-13∴ AE ·AF =AC 2 ．(也可连结CF ，证△AEC ∽△ACF ) （3）结论AP ·AQ =AC 2成立． 【答案】 （3）结论AP ·AQ =AC 2成立． 【规律总结】等积式的证明往往要转化为比例式进行，部分学生不知改写为何种比例式比较合适．突破方法：把等积式转化为比例式时，要结合图形书写，如证明AH ·AB =AC 2时，可将其先转化为ACAHAB AC，然后从比例式中对应边的比容易看出证明的目标为△CAH ∽△BAC ，从而使得解题变得有的放矢．解题关键：证明圆中的等积式或比例式问题时，往往会利用三角形的相似，因为圆中容易证明角相等．●难点突破方法总结在求解有关圆的中考试题，尤其是难题时，应尽量注意巧妙而又快速地找到其突破口，把题目由繁化简，变难为易．归纳下来，有这样几个方面值得考生们注意：1.掌握解题的关键点．（1）有直径，常作其所对的圆周角；（2）有切线，常将切点与圆心连结起来；（3）有关弦的问题，常需作弦心距．联系垂径定理和直角三角形中的勾股定理；（4）研究两圆位置关系时，常作公切线和连心线；（5）有关切线的判定问题，根据题目条件，主要是两条思路，连半径证明垂直，或者是作垂直证明半径．2.重视基本定理与基本图形相结合，计算与推理相结合，灵活运用各种方法．3.重视数学思想方法的应用．运用分析法、演绎法、截补法，结合方程思想、分类讨论思想、数形结合思想解有关圆的应用题，探索开放性题和方案设计． ●拓展演练 一、选择题 1．已知⊙O 的半径为5cm ，A 为线段OP 的中点，当OP=6cm ，点A 与⊙O 的位置关系时（ ） A ．点A 在⊙O 内 B ．点A 在⊙O 上 C ．点A 在⊙O 外 D ．不能确定2．已知⊙O 1与⊙O 2的半径分别为3cm 和4cm ，圆心距=10cm ，那么⊙O 1与⊙O 2的位置关系是（ ）A ．内切B ．相交C ．外切D ．外离 3．下列语句中正确的有（ ）①相等的圆心角所对的弧相等 ②平分弦的直径垂直于弦 ③长度相等的两条弧是等弧 ④ 经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．已知圆的半径为6．5cm ，如果一条直线和圆心的距离为9cm ，那么这条直线和这个圆的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．相交或相离 5．如图，点P 是⊙O 的直径BA 延长线上一点，PC 与⊙O 相切于点C ，CD ⊥AB ，垂足为D ，连结AC ．BC ．OC ，那么下列结论中：①PC 2=PA ·PB ；②PC ·OC =OP ·CD ；③OA 2=OD ·OP ．正确的有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个6．AB 是⊙O 的直径，点D ．E 是半圆的三等分点，AE ．BD 的 延长线交于点C ，若CE=2，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．43π－3B ．23π C ．π－D ．π二、填空题7．直角三角形的两条边长分别为6和8，那么这个三角形的外接圆半径等于．8．如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，且CD⊥AB，BC=6，AC=8，则sin∠ABD 的值是9．用48m长的竹篱笆在空地上，围成一个绿化场地，现有两种设计方案，一种是围成正方形场地；另一种是围成圆形场地．现请你选择，围成（圆形．正方形两者选一）场地的面积较大．10．某落地钟钟摆的摆长为0．5m，来回摆动的最大夹角为20°，已知在钟摆的摆动过程中，摆锤离地面的最低高度为am，最大高度为bm，则b a-= m（不取近似值）．11．如图，圆锥的底面半径为6cm，高为8cm，则将该圆锥沿母线剪开后所得扇形对应的圆心角为12．“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”此问题的实质就是解决下面的问题：“如图8，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE=1，AB=10，求CD的长”．根据题意可得CD的长为．三、解答题13．如图，在△ABC中，∠C=900，AC=8，AB=10，点P在AC上，AP=2，若⊙O的圆心在线段BP上，且⊙O与AB．AC都相切，求⊙O的半径．14．已知: 如图，AB是⊙O的直径，⊙O过AC的中点D，DE切⊙O于点D，交BC于点E．(1)求证: DE⊥BC; (2)如果CD=4，CE=3，求⊙O的半径．15．如图所示，外切于P点的⊙O1和⊙O2是半径为3cm的等圆，连心线交⊙O1于点A，交⊙O2于点B，AC与⊙O2相切于点C，连接PC，求PC的长．ODECBA16．如图，已知：C是以AB为直径的半圆O上一点，CH⊥AB于点H，直线AC与过B点的切线相交于点D，E为CH中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交直线AB于点G．（1）求证：点F是BD中点；（2）求证：CG是⊙O的切线；（3）若FB=FE=2，求⊙O的半径．17．已知：AB为⊙O的直径，P为AB弧的中点．（1）若⊙O′与⊙O外切于点P（见图甲），AP．BP的延长线分别交⊙O′于点C．D，连接CD，则△PCD是三角形；（2）若⊙O′与⊙O相交于点P．Q（见图乙），连接AQ．BQ并延长分别交⊙O′于点E．F，请选择下列两个问题中的一个．．作答：问题一：判断△PEF的形状，并证明你的结论；问题二：判断线段AE与BF的关系，并证明你的结论．我选择问题，结论：．●专题七《圆》习题答案1.【答案】A [点拨：根据圆的定义及点和圆的位置关系进行分析]2.【答案】D [点拨：根据圆与圆的位置关系进行判断]3.【答案】A [点拨：这是一道概念辨析题，正确理解等弧的概念是解此类题目的关键．等弧只能在同圆中，长度相等或度数相等的两条弧都不能判断是等弧，因此①③ 都是错误的，圆内任意两条直径都互相平分，但不一定垂直，故②不正确]4.【答案】C [点拨：根据已知条件圆心到直线的距离为9cm ，大于圆的半径6.5cm ，所以直线与圆相离]5.【答案】D [点拨：由题目已知条件，容易证明△PCA ∽△PBC ．△OCD ∽△OPC ，所以PC PB PA PC =，PC CD OP OC =，OC OPOD OC=，又由于OA=OC ，从而可推得三个结论全部正确] 6.【答案】A [点拨：∵AE ED DB ==，∴ ∠A=∠ABC=600，∴△ABC 是等边三角形，又 AB 是⊙O 的直径，∴∠AEB=900 ，即 BE ⊥AE ，∴AC=2CE=4=AB ， ∴S 阴=S 扇形OBE －S ▲ABE =43π－3]7.【答案】5 [点拨：直角三角形外接圆的圆心在斜边的中点上，且半径等于斜边的一半] 8.【答案】45[由已知已知AB 是⊙O 的直径，得∠ACB=90O ，AB 垂直平分CD ，∴△BCD 为等腰三角形，∴∠ABD=∠ABC ，∴sin ∠ABD=sin ∠ABC=45AC AB =]9.【答案】圆 [点拨：用同样长度的材料，圆形场地的面积较大] 10.【答案】0.5(1cos10)-︒ [点拨：根据垂径定理计算]11.【答案】216o [226810l =+=（cm ），C=2πr=12π，∴n=00180216CLπ=] 12.【答案】26 [点拨：由垂径定理可知，CD 平分弦AB ，所以152AE AB ==，设⊙O 的半径为R ，连结OA ，在Rt △AOE 中，222AO AE OE =+，所以2225(1)R R =+-，解之，得R=13，所以CD=2R=26] 13.【答案】解：由题意，BC=22AB AC -=6， 过O 分别作OD ⊥AB ，OE ⊥OE ，则D ．E分别是AB ．AC与⊙O相切的切点，则AD=AE ，OD=OE ，，,OE CP BC CP ⊥⊥又，∴BCP △∽△OEP ，∴EP=OE ，设OE=x ，则BD =AB -AD =AB -AE =10-(2+x )=8-x ，OB =BP-OP =2，∴(8-x )2+x 2=2(6-x )2 ，∴x =1，∴⊙O 的半径为1 14.【答案】解：（1）连结OD ．∵DE 切⊙O 于点D ，∴DE ⊥OD ， ∴∠ODE =900 ，又∵AD =DC ， AO =OB ，∴OD //BC ，∴∠DEC =∠ODE =900，∴DE ⊥BC（2）连结BD ．∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB =900 ，∴BD ⊥AC ， ∴∠BDC =900 ，又∵DE ⊥BC ， △Rt CDB ∽△Rt CED ，∴CE DC DC BC =， ∴BC=3163422==CE DC 又∵OD=21BC ，∴OD =3831621=⨯， 即⊙O 的半径为38． 15.【答案】解：设PC =x cm ，BC =y cm ， 连结BC ，则∠BCP =90o ，AC 2=AP ·AB ， ∴AC =62，又∠ACP =∠CBP ，∴△ACP ∽△ABC ，2PC BC x AC AB∴=，即y=①2AB PB +=2又PC ，即236x y +=2②， 由①、②得，x=23，y=26( x=-23，y=-26（舍去），∴PC =23cm16.【答案】解：（1）∵CH ⊥AB ，DB ⊥AB ，∴△AEH ∽△AFB ，△ACE ∽△ADF∴FDCEAF AE BF EH ==，∵HE ＝EC ，∴BF ＝FD （2）方法一：连接CB ．OC ，∵AB 是直径， ∴∠ACB ＝90°，∵F 是BD 中点，∴∠BCF =∠CBF =90°－∠CBA =∠CAB =∠ACO ，∴∠OCF =90°，∴CG 是⊙O 的切线 方法二：可证明△OCF ≌△OBF（3）解：由FC =FB =FE 得：∠FCE=∠FEC ，可证得：FA ＝FG ，且AB ＝BG ，由切割线定理得：[2＋FG ]2＝BG ×AG =2BG 2 ①在Rt △BGF 中，由勾股定理得：BG 2＝FG 2－BF 2 ②由①、②得：FG 2－4FG －12=0，解之得：FG 1＝6，FG 2＝－2（舍去）∴AB ＝BG ＝24，∴⊙O 半径为22。

浙教版初中九年级同步检测卷 测卷七：圆的基本知识（3.1~3.2）一、选择题（每小题3分，共30分） 1.下列说法正确的是…… ( )A ．弦是直径B ．弧是半圆C ．直径是弦D ．半径是弦 2.下列确定圆的方法正确的是…… ( )A.平面上三个点能确定一个圆B.已知圆心和半径能确定一个圆的位置和大小C.四边形的四个顶点能确定一个圆D.平行四边形的四个顶点能确定一个圆 3. 已知⊙O 的半径是4，OP =3，则点P 与⊙O 的位置关系是（ ） A ．点P 在圆内 B ．点P 在圆上 C ．点P 在圆外 D ．不能确定 4. 将叶片图案旋转l80°后，得到的图形是()5.直角三角形的外心在……（ ）A ．三角形内部B ．三角形外部C ．三角形的直角顶点D ．斜边的中点6.如图，将△ABC 绕点A 逆时针旋转一定角度，得到△ADE ，若∠CAE =65°，∠E =70°，且AD ⊥BC ，则∠BAC 的度数为……（ ） A ．60°B ．75°C ．85°D ．90°B'C BB7.如图，△ABC是直角三角形，BC 是斜边现将△ABP 绕点A 逆时针旋转后，能与△ACP′重合，已知AP =3，则PP′的长度为……………………………………………………（ ）A ．B ．C ． D．8. 如图，△ABC 由△A ′B ′C ′绕O 点旋转180°后得到，则下列结论不成立的是（ ） A ．点A 与点A ′是对应点 B ．BO =B ′O C ．∠ACB =∠C ′A ′B ′ D ．AB ∥A ′B ′ 9.如图，Rt ABC ∆中，∠C ＝90°，AC =3,BC =4,以点C 为圆心，r 为半径画圆，要使圆与线段AB 有两个公共点，则r 的值不可能是……（ ） A ．135 B ．145 C ．3 D ．16510.如图，在方格纸上△DEF 是由△ABC 绕定点P 顺时针旋转得到的．如果用（2,1）表示方格纸上A 点的位置，（1,2）表示B 点的位置，那么点P 的位置为……（ ） A. (5,2) B. (2,5) C. (2,1) D.(1,2)二、填空题（每小题3分，共18分）11.等边三角形绕其外接圆圆心至少旋转 °后才能与本身重合.12.直角三角形的两条直角边长分别是6cm 和8cm,则其外接圆的直径为 cm. 13.⊙O 的面积为16π，若OP =5，则点P 与⊙O 的位置关系是 .14.如图，在等边△ABC 中，AB ＝6，D 是BC 的中点，将△ABD 绕点A 旋转后得到△ACE ，那么线段DE 的长度为 ．A BCD B ’ 1C ’D ’ 第9题图第10题图CABAB15.如图，将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转到矩形A ’B ’C ’D ’的位置，旋转角为α (0︒<α<90︒).若∠1=110︒，则∠α= °.16.已知⊙O 的半径为2,点P 到圆心的距离OP =m ,且关于x的方程2210x m -+-=有实数根,则点P 与⊙O 的位置关系是 . 三、解答题（共52分）17．(本题4分)画出⊿ABC 绕点O 旋转180°后所得的图形．18.(本题6分) 如图，A ，B 是⊙O 上两点(AB 不是直径)，在⊙O 上找一点P ，使⊿ABP 是等腰三角形．利用尺规作图，找出所有点P ．19．(本题6分)根据下列条件,说明过A ,B ,C 三点能否作圆能否作圆,并简要说明理由. (1)AB =2, BC =2, CA =3；(2)AB , BC , CA (3)(0,0)A , (1,2)B , (2,1)C .20.(本题6分) 如图，在△ABC 中，∠BAC =50°，将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转后得△AB 1C 1．当B 1B ∥AC 时，求∠BAC 1的大小．B21.(本题6分)如图,小明家房前有一个空地,空地上有三棵桃树A ,B ,C .小明想造一个圆形的花坛,并使三棵树均在花坛的边上.(1)用尺规作图作出花坛的轮廓线；(2)若AB =8m,AC =6m,且∠BAC =90°,求该花坛的面积.22.(本题6分) 如图，△ABC 是直角三角形，延长AB 到点E ，使BE =BC ，在BC 上取一点F ，使BF =AB ，连接EF ，△ABC 旋转后能与△FBE 重合，请回答： （1）旋转中心是点 ，旋转的最小角度是 度； （2）AC 与EF 的位置关系如何，并说明理由．23.(本题10分) 如图，在直角坐标系中，A （0，4），B （﹣3，0）． （1）①画出线段AB 关于y 轴对称线段AC ；②将线段CA 绕点C 顺时针旋转一个角，得到对应线段CD ，使得AD ∥x 轴，请画出线段CD ； （2）判断四边形ABCD 的形状： ．（3）若直线y =kx 平分（1）中四边形ABCD 的面积，求实数k 的值．附加题24.（本题10分）附加题已知，点O是等边△ABC内的任一点，连接OA，OB，OC.（1）如图1，已知∠AOB=150°，∠BOC=120°，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC.①∠DAO的大小是 °；②用等式表示线段OA，OB，OC之间的数量关系，并证明；（2）设∠AOB=α，∠BOC=β.①当α，β满足什么关系时，OA+OB+OC有最小值？请在图2中画出符合条件的图形，并说明理由；②若等边△ABC的边长为1，直接写出OA+OB+OC的最小值.参考答案：一、选择题二、填空题11．120︒12. 1013．314．15．20︒16.圆上或圆内三、解答题17.略18略19．（1）能；（2）不能；（3）能20．∵B1B∥AC，∴∠ABB1=∠BAC=50°．∵由旋转的性质可知：∠B1AC1=∠BAC=50°，AB=AB1．∴∠ABB 1=∠AB 1B =50°．∴∠BAB 1=80°∴∠BAC 1=∠BAB 1﹣∠C 1AB 1=80°50°=30°．21．（1）略；（2）25π 22. （1）B ，90；（2）AC ⊥EF 理由如下：延长EF 交AC 于点D 由旋转可知∠C =∠E ∵∠ABC =90°∴∠C +∠A =90°∴∠E +∠A =90°∴∠ADE =90°∴AC ⊥EF ． 23.24. （1）①90°.②线段OA ，OB ，OC 之间的数量关系是222OA OB OC +=. ∵△BOC 绕点C 按顺时针方向旋转60°得△ADC ，∴△ADC ≌△BOC ，∠OCD =60°. ∴CD = OC ,∠ADC =∠BOC =120°, AD = OB .∴△OCD 是等边三角形. ∴OC =OD =CD ，∠COD =∠CDO =60°. ∵∠AOB =150°，∠BOC =120°， ∴∠AOC =90°.∴∠AOD =30°，∠ADO =60°. ∴∠DAO =90°,可得结论（2）①如图2，当α=β=120°时，OA +OB +OC 有最小值. 作图如图2的实线部分.如图2，将△AOC 绕点C 按顺时针方向旋转60°得△A ’O ’C ，连接OO ’. 当四点B ，O ，O ’，A ’共线时.OA +OB +OC = O’A’+OB +OO’ =BA ’ 值最小.。

绝密★启用前浙教版2019中考数学复习专题之圆综合题题号一总分得分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分解答题（共40小题）1．如图，△BCD内接于⊙O，直径AB经过弦CD的中点M，AE交BC的延长线于点E，连接AC，∠EAC＝∠ABD＝30°．（1）求证：△BCD是等边三角形；（2）求证：AE是⊙O的切线；（3）若CE＝2，求⊙O的半径．2．（1）如图1，在面积为6的△ABC中，BC＝3，AB＝4，AC＝5，求△ABC内切圆O的半径r的值．（2）如图2，若面积为S的四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆），各边长分别为AB＝a、BC＝b、CD＝c、AD＝d，求四边形的内切圆半径r的值．（3）若一个n边形（n为不小于3的整数）存在内切圆，且面积为S，各边长分别为a1、a2、……、a n，合理猜想其求内切圆半径r的公式（不需说明理由）3．在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝9cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以每秒2cm的速度移动，同时点Q从点D出发沿DA边向点A以每秒1cm的速度移动，P、Q其中一点到达终点时，另一点随之停止运功．设运动时间为t秒．回答下列问题：（1）如图1，几秒后△APQ的面积等于20cm2．（2）如图1，在运动过程中，若以Q为圆心，DQ为半径的⊙Q与AC相切，求t值．（3）如图2，若以P为圆心，PQ为半径作⊙P．①在运动过程中，是否存在这样的t值，使⊙P正好与四边形ABCD的一边（或边所在的直线）相切？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．②若⊙P与四边形BCQP至多有两个共公点，请直接写出t的取值范围．4．如图，四边形OABC是矩形，点A的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，6），点P从点O出发，沿OA以每秒1个单位长度的速度向点A出发，同时点Q从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，当点P与点A重合时运动停止．设运动时间为t秒．（1）当t＝2时，线段PQ的中点坐标为．（2）当△CBQ与△P AQ相似时，求t的值；（3）连接OB，若以PQ为直径作⊙M，则在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得⊙M与OB相切，若存在，求出时间t；若不存在，请说明理由．5．我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”．（1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是“十字形”的有．（2）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，且CB＝CD①证明：四边形ABCD是“十字形”；②若AB＝2．∠BAD＝60°，∠BCD＝90°，求四边形ABCD的面积．（3）如图2．A、B、C、D是半径为1的⊙O上按逆时针方向排列的四个动点，AC与BD交于点E，若∠ADB﹣∠CDB＝∠ABD﹣∠CBD．满足AC+BD＝3，求线段OE的取值范围．6．如图，⊙O的直径AB＝26，P是AB上（不与点A，B重合）的任一点，点C，D为⊙O上的两点．若∠APD＝∠BPC，则称∠DPC为直径AB的“回旋角”．（1）若∠BPC＝∠DPC＝60°，则∠DPC是直径AB的“回旋角”吗？并说明理由；（2）猜想回旋角”∠DPC的度数与弧CD的度数的关系，给出证明（提示：延长CP交⊙O于点E）；（3）若直径AB的“回旋角”为120°，且△PCD的周长为24+13，直接写出AP的长．7．如图1，线段AB是圆O的直径，弦CD⊥AB于点H，点M是弧CBD上任意一点，AH＝4，CD ＝16．（1）求圆O的半径r的长度；（2）求tan∠CMD；（3）如图2，直径BM交直线CD于点E，直线MH交圆O于点N，连接BN交CE于点F，求HE•HF的值．8．问题提出：（1）如图①，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC＝5，则△ABC的外接圆半径R的值为．问题探究：（2）如图②，⊙O的半径为13，弦AB＝24，M是AB的中点，P是⊙O上一动点，求PM的最大值．问题解决：（3）如图③所示，AB、AC、BC是某新区的三条规划路其中，AB＝6km，AC＝3km，∠BAC＝60°，弧BC所对的圆心角为60°．新区管委会想在弧BC路边建物资总站点P，在AB、AC路边分别建物资分站点E、F．也就是，分别在弧BC、线段AB和AC上选取点P、E、F．由于总站工作人员每天要将物资在各物资站点间按P→E→F→P的路径进行运输，因此，要在各物资站点之间规划道路PE、EF和FP．为了快捷环保和节约成本要使得线段PE、EF、FP之和最短，试求此时AP 的值（各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计）．9．如图1，AB是⊙O的直径，点C是平圆上的任意一点，连结AC，BC，过点B作O的切线交AC 的延长线于点D，取DB中点G，在BG上截取BE＝BG，连结AE交BC于点F．（1）当∠CGB＝60°时，求弧的度数．（2）当AE∥CG时，连结GF，请判断四边形AFGC的形状，并说明理由．（3）如图2，设AE交⊙O于点H，连结BH，CH，若AB＝6．①点C在整个运动过程中，当AC与△BCH中的一边相等时，求出所有满足条件的BE的长．②作点H关于BC的对称点H′，当点H′恰好落在AB上时，求△ACH′和△BHH′的面积之比（请直接写出答案）10．已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，点D是弧AC上的一点，连接AD、BD，AC交BD 于点F，DE⊥AB于点E，交AC于点P，∠ABD＝∠CBD＝∠CAD．（1）求证：P A＝PD；（2）判断AP与PF是否相等，并说明理由；（3）当点C为半圆弧的中点，请写出BF与AD的关系式．并说明理由．11．问题呈现：阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD ＝AB+BD．下面是运用“截长法”证明CD＝AB+BD的部分证明过程．证明：如图2，在CB上截取CG＝AB，连接MA，MB，MC和MG∵M是的中点，∴MA＝MC……请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；实践应用：（1）如图3，已知△ABC内接于⊙O，BC＞AB＞AC，D是的中点，依据阿基米德折弦定理可得图中某三条线段的等量关系为；（2）如图4，已知等腰△ABC内接于⊙O，AB＝AC，D为上一点，连接DB，∠ACD＝45°，AE ⊥CD于点E，△BCD的周长为4+2，BC＝2，请求出AC的长．12．已知A、B、C三点不在同一直线上．（1）若点A、B、C均在半径为R的⊙O上，①如图①，当∠A＝135°时，求∠BOC的度数；②如图②，当∠A为锐角时，求证：sin A＝；（2）若定长线段BC的两个端点分别在∠MAN的两边AM、AN（B、C均与A不重合）上滑动，如图③，当∠MAN＝60°，BC＝2时，分别作BP⊥AM，CP⊥AN，交点为P，试探索在整个滑动过程中，P、A两点间的距离是否保持不变？请说明理由．13．如图，△ABC的内接三角形，P为BC延长线上一点，∠P AC＝∠B，AD为⊙O的直径，过C作CG⊥AD于E，交AB于F，交⊙O于G．（1）判断直线P A与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）求证：AG2＝AF•AB；（3）求若⊙O的直径为10，AC＝2，求AE的长．14．阅读与探究请阅读下列材料，完成相应的任务：下面是该定理的证明过程．已知：如图1，四边形ABCD内接于⊙O．求证：AB•DC+AD•BC＝AC•BD证明：如图2，作∠BAE＝∠CAD，交BD于点E，∵＝，∴∠ABE＝∠ACD，∴△ABE∽△ACD，∴＝，∴AB•DC＝AC•BE，∵＝，∴∠ACB＝∠ADE．（）※∵∠BAE＝∠CAD，∴∠BAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC，即∠BAC＝∠EAD，∴△ABC∽△AED，∵AD•BC＝AC•ED，∴AB•DC+AD•BC＝AC•BE+AC•ED＝AC（BE+ED）＝AC•BD．任务：（1）托勒密定理的逆命题是．（2）将上面证明过程中标“※“这一步的理由写在下面的横线上．（3）如图3，已知正五边形ABCDE内接于⊙O，AB＝1，求对角线BD的长．15．如图，已知在△ABP中，C是BP边上一点，P A是⊙O的切线，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且交BP于点E．（1）求证：∠P AC＝∠PBA；（2）过点C作CF⊥AD，垂足为点F，延长CF交AB于点G，若AG•AB＝8，AF：FD＝1：3，GF ＝1①求CF的长；②求cos∠ACE的值．16．如图，△ABC内接于⊙O，BC＝2，AB＝AC，点D为上的动点，且cos∠ABC＝．（1）求AB的长度；（2）在点D的运动过程中，弦AD的延长线交BC延长线于点E，问AD•AE的值是否变化？若不变，请求出AD•AE的值；若变化，请说明理由；（3）在点D的运动过程中，过A点作AH⊥BD，求证：BH＝CD+DH．17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的⊙O分别交AB，AC于点E，F，连接OF交AD于点G．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）设AB＝x，AF＝y，试用含x，y的代数式表示线段AD的长；（3）若BE＝8，sin B＝，求DG的长，18．如图，∠BAO＝90°，AB＝8，动点P在射线AO上，以P A为半径的半圆P交射线AO于另一点C，CD∥BP交半圆P于另一点D，BE∥AO交射线PD于点E，EF⊥AO于点F，连结BD，设AP＝m．（1）求证：∠BDP＝90°．（2）若m＝4，求BE的长．（3）在点P的整个运动过程中．①当AF＝3CF时，求出所有符合条件的m的值．②当tan∠DBE＝时，直接写出△CDP与△BDP面积比．19．已知：点C为⊙O的直径AB上一动点，过点C作CD⊥AB，交⊙O于点D和点E，连接AD、BD，∠DBA的角平分线交⊙O于点F．（1）若DF＝BD，求证：GD＝GB；（2）若AB＝2cm，在（1）的条件下，求DG的值；（3）若∠ADB的角平分线DM交⊙O于点M，交AB于点N．当点C与点O重合时，＝；据此猜想，当点C在AB（不含端点）运动过程中，的值是否发生改变？若不变，请求其值；若改变，请说明理由．20．如图（1），AB是⊙O的直径，且AB＝10，C是⊙O上的动点，AC是弦，直线EF和⊙O相切于点C，AD⊥EF，垂足为D．（1）求证：∠DAC＝∠BAC；（2）若AD和⊙O相切于点A，AD的长为（直接写出答案）；（3）若把直线EF向上平移，如图（2），EF交⊙O于G、C两点，题中的其他条件不变，这时与∠DAC相等的角是否存在？若存在，找出相等的角并说明理由；若不存在，请说明理由．21．如图1，等腰△ABC中，AC＝BC，点O在AB边上，以O为圆心的圆经过点C，交AB边于点D，EF为⊙O的直径，EF⊥BC于点G，且D是的中点．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）如图2，延长CB交⊙O于点H，连接HD交OE于点P，连接CF，求证：CF＝DO+OP；（3）在（2）的条件下，连接CD，若tan∠HDC＝，CG＝4，求OP的长．22．定义：如果一个四边形的两条对角线相等且相互垂直，则称这个四边形为“等垂四边形”．如图1，四边形ABCD中，若AC＝BD，AC⊥BD，则称四边形ABCD为“等垂四边形．根据等垂四边形对角线互相垂直的特征可得等垂四边形的一个重要性质：等垂四边形的面积等于两条对角线乘积的一半．根据以上信息解答下列问题：（1）矩形“等垂四边形”（填“是”或“不是”）；（2）如图2，已知⊙O的内接四边形ABCD是等垂四边形，若⊙O的半径为6，∠ADC＝60°，求四边形ABCD的面积；（3）如图3，已知⊙O的内接四边形ABCD是等垂四边形，作OM⊥AD于M．请猜想OM与BC的数量关系，并证明你的结论．23．已知：BD为⊙O的直径，O为圆心，点A为圆上一点，过点B作⊙O的切线交DA的延长线于点F，点C为⊙O上一点，且AB＝AC，连接BC交AD于点E，连接AC．（1）如图1，求证：∠ABF＝∠ABC；（2）如图2，点H为⊙O内部一点，连接OH，CH若∠OHC＝∠HCA＝90°时，求证：CH＝DA；（3）在（2）的条件下，若OH＝6，⊙O的半径为10，求CE的长．24．如图，已知AB是⊙O的直径，且AB＝4，点C在半径OA上（点C与点O、点A不重合），过点C作AB的垂线交⊙O于点D．连接OD，过点B作OD的平行线交⊙O于点E，交CD的延长线于点F．（1）若点E是的中点，求∠F的度数；（2）求证：BE＝2OC；（3）设AC＝x，则当x为何值时BE•EF的值最大？最大值是多少？25．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC 与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB点F，连接BE．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）求证：PC＝PF；（3）若tan∠ABC＝，AB＝14，求线段PC的长．26．如图，AB是⊙O的直径，点C，D分别在两个半圆上（不与点A、B重合），AD、BD的长分别是关于x的方程x2（m2﹣10m+225）＝0的两个实数根．（1）求m的值；（2）连接CD，试探索：AC、BC、CD三者之间的等量关系，并说明理由；（3）若CD＝7，求AC、BC的长．27．如图，扇形OAB的半径OA＝3，圆心角∠AOB＝90°，点C是上异于A、B的动点，过点C 作CD⊥OA于点D，作CE⊥OB于点E，连接DE，点G、H在线段DE上，且DG＝GH＝HE．（1）求证：四边形OGCH是平行四边形；（2）当点C在上运动时，在CD、CG、DG中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段的长度；（3）若CD＝x，直接写出CD2+3CH2的结果．28．如图，已知A（﹣5，0）、B（﹣3，0），点C在y轴的正半轴上，∠CBO＝45°，CD∥AB，∠CDA＝90°点，P从点Q（4，0）出发，沿x轴向左以每秒1个单位长度的速度运动，运动时间ts．（1）求点C的坐标；（2）当∠BCP＝15°时，且△OPC中最长边是最短边的2倍，求t的值；（3）以点P为圆心，PC为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．29．（1）如图①，∠ACB＝∠ADB＝90°，那么点D在经过A，B，C三点的圆上吗？若在请画出经过A，B，C，D的圆（不写画法，保留画痕），若不在，请说明理由．（2）如图②，如果∠ACB＝∠ADB＝α（α≠90°）（点C，D在AB的同侧），猜想：点D还在经过A，B，C三点的圆上吗？（只写出你的猜想，不需证明．）（3）若四边形ABCD中，AD∥BC，∠CAD＝90°，点E在边AB上，CE⊥DE．（i）作∠ADF＝∠AED，交CA的延长线于点F（如图③），求证：DF为Rt△ACD的外接圆的切线．（ii）如图④，点G在BC的延长线上，∠BGE＝∠BAC，已知sin∠AED＝，AD＝1，求DG的长．．30．如图，AB为⊙O的直径，点C为AB延长线上一点，动点P从点A出发沿AC方向以1cm/s的速度运动，同时动点Q从点C出发以相同的速度沿CA方向运动，当两点相遇时停止运动，过点P作AB的垂线，分别交⊙O于点M和点N，已知⊙O的半径为cm，AC＝8cm，设运动时间为t 秒．（1）求证：NQ＝MQ；（2）填空：①当t＝时，四边形AMQN为菱形；②当t＝时，NQ与⊙O相切．31．我们规定：平面内点A到图形G上各个点的距离的最小值称为该点到这个图形的最小距离d，点A到图形G上各个点的距离的最大值称为该点到这个图形的最大距离D，定义点A到图形G的距离跨度为R＝D﹣d．（1）①如图1，在平面直角坐标系xOy中，图形G1为以O为圆心，2为半径的圆，直接写出以下各点到图形G1的距离跨度：A（1，0）的距离跨度；B（﹣，）的距离跨度；C（﹣3，﹣2）的距离跨度；②根据①中的结果，猜想到图形G1的距离跨度为2的所有的点组成的图形的形状是．（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，图形G2为以D（﹣1，0）为圆心，2为半径的圆，直线y ＝k（x﹣1）上存在到G2的距离跨度为2的点，求k的取值范围．（3）如图3，在平面直角坐标系xOy中，射线OP：y＝x（x≥0），⊙E是以3为半径的圆，且圆心E在x轴上运动，若射线OP上存在点到⊙E的距离跨度为2，直接写出圆心E的横坐标x E 的取值范围．32．如图，CD为⊙O的直径，直线AB与⊙O相切于点D，过C作CA⊥CB，分别交直线AB于点A 和B，CA交⊙O于点E，连接DE，且AE＝CD．（1）如图1，求证：△AED≌△CDB；（2）如图2，连接BE分别交CD和⊙O于点F，G，连接CG，DG．i）试探究线段DG与BF之间满足的等量关系，并说明理由．ii）若DG＝，求⊙O的周长（结果保留π）33．【回归课本】我们曾学习过这样的基本事实：①线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；②同弧所对的圆周角相等．【初步体验】如图，已知△ABC，用没有刻度的直尺和圆规作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹，并对作图中涉及到的点用字母进行标注．（1）在图①中AC边上找点D，使DB+DC＝AC；（2）在图②中作△BCE，使∠BEC＝∠BAC，CE＝BE．【深入探究】小明运用上述基本事实解决了下面一个问题：（3）如图③，已知线段a和等边△ABC，作△BCM，使∠BMC＝∠BAC，BM+CM＝a．他的做法是：1画△ABC的外接圆；2以A为圆心、AB长为半径画⊙A；3以C为圆心、a为半径画弧与⊙A交于点F；4连接CF与△ABC的外接圆交于点M，则△BCM是要画的三角形．请你给出证明，并直接写出这样的点M有个．（4）请你仿照小明的做法解决下面的问题：如图④，已知线段b和△ABC，作△BCN，使∠BNC＝∠BAC，BN﹣CN＝b．34．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AC的中点，过点A、D作⊙O，⊙O与AB交于点E，AE是⊙O的直径，AD是⊙O的一条弦，且∠A+∠CDB＝90°，AD：AE＝4：5，BC＝6．（1）求证：直线BD与⊙O相切；（2）下面是根据题中条件求直径AE长的过程，阅读后请按要求解决下列问题：解法1．∵AE是⊙O的直径，∴∠ADE＝90°＝∠C，∴DE∥BC又∵D是AC的中点，∴＝＝＝，∴E是AB的中点，∴DE＝BC＝3．在Rt△ADE中，设AD＝4x，AE＝5x，∴（4x）2+32＝（5x）2，解之得：x1＝1，x2＝﹣1（舍去），∴AE＝5x＝5，即⊙O的直径为5．解法2．∵∠A+∠CDB＝90°，又∵∠A+∠CBA＝90°，∴∠CDB＝∠CBA，∠C＝∠C，∴△DCB∽△BCA，∴＝，∴BC2＝DC•AC，又∵AC＝2DC＝2AD，∴BC2＝AD•2AD，AD＝AE，62＝2×（AE）2，AE＝．以上两种解法结果不同，那么问题出在哪里呢？①下列说法正确的是A．解法1有错B．解法2有错C．解法1、2都有错D．解法1、2都没错，但题中条件“AD：AE＝4：5”是多余的②在①中若你选择的是A、B、C中一个，请说明错在哪里？若你选的是D，请删去“AD；AE＝4：5”这个条件，求出⊙O的直径．35．已知：△ABC内接于⊙O，直径AM平分∠BAC．（1）如图1，求证AB＝AC；（2）如图2，弦FG分别交AB、AC于点D、E，AE＝BD，当∠ADE+∠DEC＝90°时，连接CD，直径AM分别交DE、CD、BC于N、H、R，若CD⊥AB，求证：∠NDC＝∠ACB；（3）在（2）的条件下，若DE长为，求△ACH的面积．36．如图，在⊙O中，直径AB＝4，点C在⊙O上，且∠AOC＝60°，连接BC，点P在BC上（点P不与点B，C重合），连接OP并延长交⊙O于点M，过P作PQ⊥OM交于点Q．（1）求BC的长；（2）当PQ∥AB时，求PQ的长；（3）点P在BC上移动，当PQ的长取最大值时，试判断四边形OBMC的形状，并说明理由．37．已知，AB、AC是圆O的两条弦，AB＝AC，过圆心O作OH⊥AC于点H．（1）如图1，求证：∠B＝∠C；（2）如图2，当H、O、B三点在一条直线上时，求∠BAC的度数；（3）如图3，在（2）的条件下，点E为劣弧BC上一点，CE＝6，CH＝7，连接BC、OE交于点D，求BE的长和的值．38．如图，半圆O的直径MN＝6cm，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝6cm，半圆O以1cm/s的速度从左向右运动，在运动过程中，点M、N始终在直线BC上，设运动时间为t（s），当t＝0s时，半圆O在△ABC的左侧，OC＝4cm．（1）当t为何值时，△ABC的一边所在的直线与半圆O所在的圆相切？（2）当△ABC的一边所在的直线与半圆O所在圆相切时，如果半圆O与直线MN围成的区域与△ABC三边围成的区域有重叠部分，求重叠部分的面积．39．在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C所对的边，我们称关于x的一元二次方程ax2﹣bx ﹣c＝0为“△ABC的☆方程”．根据规定解答下列问题：（1）“△ABC的☆方程”ax2﹣bx﹣c＝0的根的情况是（填序号）；①有两个相等的实数根；②有两个不相等的实数根；③没有实数根．（2）如图，AC为⊙O的直径，点D为⊙O上的一点，∠ADC的平分线交⊙O于点B，求“△ABC 的☆方程”ax2﹣bx﹣c＝0的解；（3）若x＝﹣c是“△ABC的☆方程”ax2﹣bx﹣c＝0的一个根，其中a，b，c均为正整数，且ac ﹣4b＜0，求①求b的值；②求“△ABC的☆方程”的另一个根．40．探究与应用．试完成下列问题：（1）如图①，已知等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，点O为AB的中点，作∠POQ＝90°，分别交AC、BC于点P、Q，连结PQ、CO，求证：AP2+BQ2＝PQ2；（2）如图②，将等腰Rt△ABC改为任意直角三角形，点O仍为AB的中点，∠POQ＝90°，试探索上述结论AP2+BQ2＝PQ2是否仍成立；（3）通过上述探究（可直接运用上述结论），试解决下面的问题：如图③，已知Rt△ABC中，∠C ＝90°，AC＝6，BC＝8，点O为AB的中点，过C、O两点的圆分别交AC、BC于P、Q，连结PQ，求△PCQ面积的最大值．参考答案与试题解析一．解答题（共40小题）1．如图，△BCD内接于⊙O，直径AB经过弦CD的中点M，AE交BC的延长线于点E，连接AC，∠EAC＝∠ABD＝30°．（1）求证：△BCD是等边三角形；（2）求证：AE是⊙O的切线；（3）若CE＝2，求⊙O的半径．【分析】（1）由AB是⊙O的直径，M是CD的中点知AB⊥CD，BD＝BC，结合∠ABD＝∠ABC＝30°，即∠CBD＝60°即可得证；（2）先证AE∥CD，由AB⊥CD知AE⊥AB，据此即可得证；（3）由AB是直径知∠ACB＝∠ACE＝90°，由∠EAC＝30°知AE＝2CE＝4，∠ABE＝30°知BE ＝2AE＝8，根据勾股定理可得直径AB的长，从而得出答案．【解答】证明：（1）∵AB是⊙O的直径，M是CD的中点，∴AB⊥CD，∴BD＝BC，∴∠ABD＝∠ABC＝30°，即∠CBD＝60°，∴△BCD是等边三角形；（2）∵∠EAC＝∠ABD，∠ABD＝∠ACD，∴∠EAC＝∠ACD，∴AE∥CD，由（1）知AB⊥CD，∴AE⊥AB，∵点A在⊙O上，∴∴AE是⊙O的切线；（3）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACE＝90°，∵∠EAC＝30°，∴AE＝2CE＝4，在Rt△EAB中，∠ABE＝30°，∴BE＝2AE＝8，∴AB＝＝＝4，∴⊙O的半径为2．【点评】本题是圆的综合问题，解题的关键是掌握等边三角形的判定、圆心角定理、圆周角定理和勾股定理等知识．2．（1）如图1，在面积为6的△ABC中，BC＝3，AB＝4，AC＝5，求△ABC内切圆O的半径r的值．（2）如图2，若面积为S的四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆），各边长分别为AB＝a、BC＝b、CD＝c、AD＝d，求四边形的内切圆半径r的值．（3）若一个n边形（n为不小于3的整数）存在内切圆，且面积为S，各边长分别为a1、a2、……、a n，合理猜想其求内切圆半径r的公式（不需说明理由）【分析】（1）由S＝S△BOC+S△AOC+S△AOB＝•BC•r+•AC•r+•AB•r＝•r•（BC+AC+AB）即可得；（2）由S＝S△AOB+S△BOC+S△COD+S△AOD＝•AB•r+•BC•r+•CD•r+•AD•r＝•r•（AB+BC+CD+AD）即可得；（3）根据（1）（2）的结论可得．【解答】解：（1）∵S＝S△BOC+S△AOC+S△AOB＝•BC•r+•AC•r+•AB•r＝•r•（BC+AC+AB），∴r＝＝＝1；（2）如图所示，连接OA，OB，OC，OD，∵S＝S△AOB+S△BOC+S△COD+S△AOD＝•AB•r+•BC•r+•CD•r+•AD•r＝•r•（AB+BC+CD+AD），∴r＝＝；（3）由（1）（2）知，内切圆半径r＝．【点评】本题是圆的综合问题，解题的关键是掌握三角形和四边形及多边形的内切圆的性质，割补法求多边形的面积等知识点．3．在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝9cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以每秒2cm的速度移动，同时点Q从点D出发沿DA边向点A以每秒1cm的速度移动，P、Q其中一点到达终点时，另一点随之停止运功．设运动时间为t秒．回答下列问题：（1）如图1，几秒后△APQ的面积等于20cm2．（2）如图1，在运动过程中，若以Q为圆心，DQ为半径的⊙Q与AC相切，求t值．（3）如图2，若以P为圆心，PQ为半径作⊙P．①在运动过程中，是否存在这样的t值，使⊙P正好与四边形ABCD的一边（或边所在的直线）相切？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．②若⊙P与四边形BCQP至多有两个共公点，请直接写出t的取值范围．【分析】（1）S△APQ＝AQ•AP＝•（9﹣t）•2t＝20，即可求解；（2）当⊙Q与AC相切，DQ＝AD＝，即可求解；（3）分圆与CD边相切、圆与BC相切两种情况求解即可．【解答】解：AP＝2t，DQ＝2t，AQ＝9﹣t，BP＝12﹣2t，（1）S△APQ＝AQ•AP＝•（9﹣t）•2t＝20，解得：t＝4或5；（2）当⊙Q与AC相切，DQ＝AD＝，则t＝；（3）①当圆与BC边相切时，PB＝PQ，AP＝2t，AQ＝9﹣t，PB＝12﹣2t，则：PQ2＝AP2+AQ2＝（2t）2+（9﹣t）2＝PB2＝（12﹣2t）2，解得：t═﹣15+12（负值已舍去），当圆与CD相切时，PB＝12﹣2t，AQ＝9﹣t，AP＝2t，则：PB＝PQ，PQ2＝（2t）2+（9﹣t）2＝PB2＝（12﹣2t）2，解得：t＝；故：DQ为半径的⊙Q与AC相切，t＝或﹣15+12；②当t＝0时，圆与矩形有2个交点当t≠0时，⊙P与四边形BCQP至多有两个共公点，当圆与CQ相切时，∠QDC+DQC＝90，QP A+AQP＝90，∴∠DCQ＝∠AQP，∴tan∠DCQ＝tan∠AQP，即：，，解得：t＝﹣3，不合题意，当圆与BC相切时，PB＝PQ，即：12﹣2t＝，解得：t＝﹣15+12（负值已舍去），故：⊙P与四边形BCQP至多有两个共公点时，t的取值范围为：0＜t＜﹣15+12．【点评】本题考查了圆的综合题：圆的切线垂直于过切点的半径；利用勾股定理计算线段的长．4．如图，四边形OABC是矩形，点A的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，6），点P从点O出发，沿OA以每秒1个单位长度的速度向点A出发，同时点Q从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，当点P与点A重合时运动停止．设运动时间为t秒．（1）当t＝2时，线段PQ的中点坐标为（，2）．（2）当△CBQ与△P AQ相似时，求t的值；（3）连接OB，若以PQ为直径作⊙M，则在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得⊙M与OB相切，若存在，求出时间t；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据点P，Q的运动速度找出当t＝2时，点P，Q的坐标，再利用中点坐标公式即可求出此时线段PQ的中点坐标；（2）根据点P，Q的运动速度找出运动时间为t秒时，P A，QA，QB，CB的值，由∠B＝∠A＝90°，可得出当＝或＝时，△CBQ与△P AQ相似，代入各线段的值即可求出t值；（3）找出当运动时间为t（0≤t≤3）秒时点M的坐标，进而可得出点M在直线y＝2x﹣3上，设直线y＝2x﹣3与x轴交于点E，与线段AB交于点F，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点F 的坐标，由矩形的性质结合点A，C的坐标可得出点B的坐标，进而可得出直线OB的解析式，结合直线EF的解析式可得出EF∥OB，过点A作AD⊥OB于点D，AD交直线EF于点M，则点M 为线段AD的中点，此时⊙M与OB相切．由直线OB的解析式、AD⊥OB结合点A的坐标可得出直线AD的解析式，联立直线AD，EF的解析式成方程组，通过解方程组可求出M的坐标，由点M的纵坐标可得出t的值，此题得解．【解答】解：（1）当t＝2时，点P的坐标为（2，0），点Q的坐标为（3，4），∴线段PQ的中点坐标为（，），即（，2）．故答案为：（，2）．（2）当运动时间为t（0≤t≤3）秒时，点P的坐标为（t，0），点Q的坐标为（3，2t），∴P A＝3﹣t，QA＝2t，QB＝6﹣2t，CB＝3．∵∠B＝∠A＝90°，∴当＝或＝时，△CBQ与△P AQ相似．当＝时，＝，解得：t1＝，t2＝（不合题意，舍去）；当＝时，＝，解得：t＝．综上所述：t的值为或．（3）当运动时间为t（0≤t≤3）秒时，点P的坐标为（t，0），点Q的坐标为（3，2t），∴点M的坐标为（，t）．∵t＝×2﹣3，∴点M在直线y＝2x﹣3上．设直线y＝2x﹣3与x轴交于点E，与线段AB交于点F，则点F的坐标为（3，3），∴点F为线段AB的中点．∵四边形OABC是矩形，点A的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，6），∴点B的坐标为（3，6），∴直线OB的解析式为y＝2x，∴直线OB∥直线EF．过点A作AD⊥OB于点D，AD交直线EF于点M，如图所示．∵直线OB∥直线EF，∴MF为△ABD的中位线，∴点M为线段AD的中点，∴此时⊙M与OB相切．∵AD⊥OB，点A的坐标为（3，0），∴直线AD的解析式为y＝﹣（x﹣3），即y＝﹣+．联立直线AD，EF的解析式成方程组，得：，解得：，∴点M的坐标为（，），∴t＝，∴在运动过程中，存在某一时刻t，使得⊙M与OB相切，此时t的值为．【点评】本题考查了线段的中点坐标、相似三角形的判定、解分式方程、待定系数法求一次函数解析式、平行线的性质、三角形的中位线以及切线的性质，解题的关键是：（1）根据点P，Q的速度找出当t＝2时点P，Q的坐标；（2）利用相似三角形的判定找出关于t的方程；（3）根据切线的性质结合三角形的中位线找出点M的位置．5．我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”．（1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是“十字形”的有菱形，正方形．（2）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，且CB＝CD①证明：四边形ABCD是“十字形”；②若AB＝2．∠BAD＝60°，∠BCD＝90°，求四边形ABCD的面积．（3）如图2．A、B、C、D是半径为1的⊙O上按逆时针方向排列的四个动点，AC与BD交于点E，若∠ADB﹣∠CDB＝∠ABD﹣∠CBD．满足AC+BD＝3，求线段OE的取值范围．【分析】（1）利用“十字形”的定义判断即可；（2）①连接AC和BD，运用垂直平分线的判定即可；②先判断出∠ADB+∠CAD＝∠ABD+∠CAB，进而判断出∠AED＝∠AEB＝90°，即：AC⊥BD，再判断出四边形OMEN是矩形，进而得出OE2＝2﹣（AC2+BD2），设AC＝m，列出二次函数分析即可．【解答】解：（1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有菱形、正方形的对角线互相垂直，故答案为：菱形、正方形；（2）①如图1，连接AC，BD∵AB＝AD，且CB＝CD∴AC是BD的垂直平分线，∴AC⊥BD，∴四边形ABCD是“十字形”；②如图2∵∠ADB+∠CBD＝∠ABD+∠CDB，∠CBD＝∠CDB＝∠CAB，∴∠ADB+∠CAD＝∠ABD+∠CAB，∴180°﹣∠AED＝180°﹣∠AEB，∴∠AED＝∠AEB＝90°，∴AC⊥BD，过点O作OM⊥AC于M，ON⊥BD于N，连接OA，OD，∴OA＝OD＝1，OM2＝OA2﹣AM2，ON2＝OD2﹣DN2，AM＝AC，DN＝BD，四边形OMEN是矩形，∴ON＝ME，OE2＝OM2+ME2，∴OE2＝OM2+ON2＝2﹣（AC2+BD2）设AC＝m，则BD＝3﹣m，∵⊙O的半径为1，AC+BD＝3，∴1≤m≤2，OE2＝＝，∴≤OE2≤，∴≤OE≤．【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了新定义，平行四边形，矩形，菱形，正方形的性质，能合理添加辅助线，构造二次函数模型分析线段的最值是解题的关键．6．如图，⊙O的直径AB＝26，P是AB上（不与点A，B重合）的任一点，点C，D为⊙O上的两点．若∠APD＝∠BPC，则称∠DPC为直径AB的“回旋角”．（1）若∠BPC＝∠DPC＝60°，则∠DPC是直径AB的“回旋角”吗？并说明理由；（2）猜想回旋角”∠DPC的度数与弧CD的度数的关系，给出证明（提示：延长CP交⊙O于点E）；（3）若直径AB的“回旋角”为120°，且△PCD的周长为24+13，直接写出AP的长．【分析】（1）由∠BPC＝∠DPC＝60°结合平角＝180°，即可求出∠APD＝60°＝∠BPC，进而可说明∠DPC是直径AB的回旋角；（2）延长CP交圆O于点E，连接OD，OC，OE，由“回旋角”的定义结合对顶角相等，可得出∠APE＝∠APD，由圆的对称性可得出∠E＝∠D，由等腰三角形的性质可得出∠E＝∠C，进而可得出∠D＝∠C，利用三角形内角和定理可得出∠COD＝∠CPD，即“回旋角”∠CPD的度数＝的度数；（3）①当点P在半径OA上时，在图3中，过点F作CF⊥AB，交圆O于点F，连接PF，则PF＝PC，利用（2）的方法可得出点P，D，F在同一条直线上，由直径AB的“回旋角”为120°，可得出∠APD＝∠BPC＝30°，进而可得出∠CPF＝60°，即△PFC是等边三角形，根据等边三角形的性质可得出∠CFD＝60°．连接OC，OD，过点O作OG⊥CD于点G，则∠COD＝120°，根据等腰三角形的性质可得出CD＝2DG，∠DOG＝∠COD＝60°，结合圆的直径为26可得出CD＝13，由△PCD的周长为24+13，可得出DF＝24，过点O作OH⊥DF于点H，在Rt △OHD和在Rt△OHD中，通过解直角三角形可得出OH，OP的值，再根据AP＝OA﹣OP可求出AP的值；②当点P在半径OB上时，用①的方法，可得：BP＝3，再根据AP＝AB﹣BP可求出AP的值．综上即可得出结论．。