2021届中考数学总复习阶段检测7 圆【含答案】

浙教版2021年中考数学总复习《圆》一、选择题1.如图，在⊙O中与∠1一定相等的角是( )A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠52.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB=40°，则∠A的度数为（）A.60°B.50°C.40°D.30°3.如图，⊙O中，ABDC是圆内接四边形，∠BOC=110°，则∠BDC的度数是（）A.110°B.70°C.55°D.125°4.如图，四边形ABCD内接于半圆O，已知∠ADC=140°，则∠AOC的大小是（）A.40°B.60°C.70°D.80°5.如图，AB是⊙O的直径，直线PA与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点C，连接BC．若∠P=40°，则∠ABC的度数为（）A．20° B．25° C．40° D．50°6.阅读理解：如图1，在平面内选一定点O，引一条有方向的射线Ox，再选定一个单位长度，那么平面上任一点M的位置可由∠MOx的度数θ与OM的长度m确定，有序数对（θ，m）称为M点的“极坐标”，这样建立的坐标系称为“极坐标系”．应用：在图2的极坐标系下，如果正六边形的边长为2，有一边OA在射线Ox上，则正六边形的顶点C的极坐标应记为（）A．（60°，4）B．（45°，4）C．（60°，2）D．（50°，2）7.已知⊙O的半径为r,其内接正六边形,正四边形,正三角形的边长分别为a,b,c,则a:b:c值为（）A.1：2：3B.3：2：1C.1：：D.：：18.如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且=，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC，若∠ABC=105°，∠BAC=25°，则∠E的度数为（）A．45° B．50° C．55° D．60°二、填空题9.将面积为32π的半圆围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为．10.“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，CD为的直径，弦AB⊥CD于E，CE=1寸，AB=10寸，求直径CD的长”。

单元检测七 圆(时间：120分钟 总分：120分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．如图，量角器外缘边上有A ，P ，Q 三点，它们所表示的读数分别是180°，70°，30°，则∠P AQ 的大小为( )A ．10° B．20° C．30° D．40°2．图中圆与圆之间不同的位置关系有( )A ．2种B ．3种C ．4种D ．5种3．如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC ＝4 cm ，以点C 为圆心，以2 cm 的长为半径作圆，则⊙C 与AB 的位置关系是( )A ．相离B ．相切C ．相交D ．相切或相交4．如图，⊙O 1，⊙O 2，⊙O 3两两相外切，⊙O 1的半径r 1＝1，⊙O 2的半径r 2＝2，⊙O 3的半径r 3＝3，则△O 1O 2O 3是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．锐角三角形或钝角三角形 5．如图，P A ，P B 是⊙O 的切线，AC 是⊙O 的直径，∠P ＝40°，则∠BAC 的度数是( )A ．40° B．30° C．20° D．10°6．已知圆锥的底面半径为1 cm ，母线长为3 cm ，则圆锥的侧面积是( )A ．6 cm 2B ．3π cm 2C ．6π cm 2D ．3π2cm 27．如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O，已知弦心距OM ＝3，则此正六边形的边长为( )A ．3B ．4C ．5D ．68．在Rt△ABC 中，斜边AB ＝4，∠B＝60°，将△ABC 绕点B 按顺时针方向旋转60°，顶点C 运动的路线长是( )A ．π3B ．2π3C ．πD ．4π39．如图是一个有盖子的圆柱体水杯，底面周长为6π cm ，高为18 cm ，若盖子与杯体的重合部分忽略不计，则制作10个这样的水杯至少需要的材料是( )A ．108π cm 2B ．1 080π cm 2C ．126π cm 2D ．1 260π cm 210．如图，在直角坐标系中，四边形OABC 为正方形，顶点A ，C 在坐标轴上，以边AB 为弦的⊙M 与x 轴相切，若点A 的坐标为(0,8)，则圆心M 的坐标为( )A ．(4,5)B ．(－5,4)C ．(－4,6)D ．(－4,5) 二、填空题(每小题3分，共24分)11．如图，从⊙O 外一点A 引圆的切线AB ，切点为B ，连接AO 并延长交圆于点C ，连接BC ．若∠A＝26°，则∠ACB 的度数为__________．12．如图，宽为2 cm 的刻度尺在圆上移动，当刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆的两个交点处的读数恰好为“2”和“8”(单位：cm)，则该圆的半径为__________cm.13．如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 都在⊙O 上，连接CA ，CB ，DC ，DB ．已知∠D＝30°，BC ＝3，则AB 的长是__________．14．如图，⊙O 1，⊙O 2的直径分别为2 cm 和4 cm ，现将⊙O 1向⊙O 2平移，当O 1O 2＝__________ cm 时，⊙O 1与⊙O 2相切．15．某盏路灯照射的空间可以看成如图所示的圆锥，它的高AO ＝8米，母线AB 与底面半径OB 的夹角为α，tan α＝43，则圆锥的底面积是__________平方米(结果保留π)．16．如图，在半径为5，圆心角等于45°的扇形AOB 内部作一个正方形CDEF ，使点C 在OA 上，点D ，E 在OB 上，点F 在AB 上，则阴影部分的面积为__________(结果保留π)．17．如图，在锐角△ABC 中，AC 是最短边，以AC 中点O 为圆心，12AC 长为半径作⊙O，交BC 于E ，过点O 作OD∥BC 交⊙O 于点D ，连接AD ，DC ．若∠DAO＝65°，则∠B＋∠BAD ＝____________.18．如图，正方形ABCD 中，E 是BC 边上一点，以E 为圆心，EC 为半径的半圆与以A 为圆心，AB 为半径的圆弧外切，则S 四边形ADCE ∶S 正方形ABCD 的值为__________．三、解答题(共66分)19．(6分)如图，A，P，B，C是半径为8的⊙O上的四点，且满足∠BAC＝∠A P C＝60°.(1)求证：△ABC是等边三角形；(2)求圆心O到BC的距离OD．20．(6分)如图，已知AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接BC，AC，过点C作直线CD⊥AB于D，点E是AB上一点，直线CE交⊙O于点F，连接BF，与直线CD交于点G.求证：BC2＝BG·BF.21．(8分)已知在△ABC中，以AC边为直径的⊙O交BC于点D，在劣弧AD上取一点E 使∠EBC＝∠DEC，延长BE依次交AC于点G，交⊙O于点H.(1)求证：AC⊥BH；(2)若∠ABC＝45°，⊙O的直径等于10，BD＝8，求CE的长．22．(8分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，P为BC的中点，动点Q从点P出发，沿射线P C方向以2 cm/s的速度运动，以P为圆心，P Q的长为半径作圆．设点Q运动的时间为t s.(1)当t＝1.2时，判断直线AB与⊙P的位置关系，并说明理由；(2)已知⊙O为△ABC的外接圆，若⊙P与⊙O相切，求t的值．23. (9分)如图，C是以AB为直径的⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为点D．(1)求证：AC平分∠BAD；(2)过点O 作线段AC 的垂线OE ，垂足为点E(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)； (3)若CD ＝4，AC ＝45，求垂线段OE 的长．24. (9分)如图，在△ABC 中，点D 在AC 上，DA=DB ，∠C=∠DBC ，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点E ，F 是⊙O 上的点，且AF BF .(1)求证：BC 是⊙O 的切线；(2)若sin C ＝35，AE ＝32，求sin F 的值和AF 的长．25．(10分)如图，点D 在⊙O 的直径AB 的延长线上，点C 在⊙O 上，且AC ＝CD ，∠ACD ＝120°.(1)求证：CD 是⊙O 的切线；(2)若⊙O 的半径为2，求图中阴影部分的面积．26．(10分)如图，BD 为⊙O 的直径，AB ＝AC ，AD 交BC 于点E ，AE ＝2，ED ＝4.(1)求证：△ABE∽△ADB； (2)求AB 的长；(3)延长DB 到F ，使得BF ＝BO ，连接FA ，试判断直线FA 与⊙O 的位置关系，并说明理由．参考答案一、1.B 如图，由圆周角与圆心角的关系，可得∠BAP ＝35°，∠BAQ ＝15°， ∴∠PAQ ＝20°.故选B.2．A3．B 如图，过点C 作CD ⊥AB 于D .∵∠B ＝30°，BC ＝4 cm ， ∴CD ＝2 cm ，即点C 到AB 的距离等于⊙C 的半径． 故⊙C 与AB 相切，故选B.4．B 由题意，可得O 1O 2＝3，O 2O 3＝5，O 1O 3＝4. ∵32＋42＝52，∴△O 1O 2O 3是直角三角形．故选B. 5．C ∵PA ，PB 是⊙O 的切线，∴PA ＝PB ，OA ⊥PA .∴∠PAB ＝∠PBA ＝12(180°－∠P )＝70°，∠PAC ＝90°.∴∠BAC ＝∠PAC －∠PAB ＝20°. 6．B 7.D 8.B 9.D 10.D 二、11.32° 12.134如图，EF ＝8－2＝6(cm)，DC ＝2 cm ，设OF ＝R ，则OD ＝R －2.在Rt△ODF 中，OD 2＋DF 2＝OF 2，∴(R －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝R 2，∴R ＝134.13．6 14.1或315．36π 由题意可知△AOB 为直角三角形，tan α＝AO OB ，即43＝8OB，解得OB ＝6，所以底面⊙O 的面积为πR 2＝π·62＝36π. 16.58π－32如图，连接OF ，∵∠AOB ＝45°，∠CDO ＝90°， ∴OD ＝CD .又∵四边形CDEF 是正方形， ∴CD ＝EF ＝DE .设正方形的边长为x ，则OE ＝2x ，EF ＝x ，在Rt△OEF 中，OE 2＋EF 2＝OF 2，(2x )2＋x 2＝(5)2， 则x ＝1，∴S 阴影＝S 扇形AOB －S △COD －S 正方形CDEF ＝45360π(5)2－12×1×1－12＝58π－32.17．65° 18.58三、19.(1)证明：在△ABC 中，∵∠BAC ＝∠APC ＝60°，∠APC ＝∠ABC ，∴∠ABC ＝60°，∴∠ACB ＝180°－∠BAC －∠ABC ＝180°－60°－60°＝60°，∴△ABC 是等边三角形．(2)解：如图，连接OB ，则OB ＝8，∠OBD ＝30°.又∵OD ⊥BC 于D ，∴OD ＝12OB ＝4.20．证明：∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°. 又CD ⊥AB ，∴∠BCD ＝∠A . 又∠A ＝∠F ，∴∠BCG ＝∠F .又∠CBG ＝∠FBC ，∴△BCG ∽△BFC . ∴BC BG ＝BF BC.∴BC 2＝BG ·BF .21．解：(1)证明：连接AD (如图)，∵∠DAC ＝∠DEC ，∠EBC ＝∠DEC ， ∴∠DAC ＝∠EBC .又∵AC 是⊙O 的直径， ∴∠ADC ＝90°.∴∠DCA ＋∠DAC ＝90°.∴∠EBC ＋∠DCA ＝90°.∴∠BGC ＝180°－(∠EBC ＋∠DCA )＝180°－90°＝90°. ∴AC ⊥BH .(2)∵∠BDA ＝180°－∠ADC ＝90°，∠ABC ＝45°，∴∠BAD ＝45°.∴BD ＝AD .∵BD ＝8，∴AD ＝8. 又∵∠ADC ＝90°，AC ＝10，∴DC ＝AC 2－AD 2＝102－82＝6. ∴BC ＝BD ＋DC ＝8＋6＝14.又∵∠BGC ＝∠ADC ＝90°，∠BCG ＝∠ACD ， ∴△BCG ∽△ACD .∴CG DC ＝BC AC.∴CG 6＝1410.∴CG ＝425. 连接AE .∵AC 是直径，∴∠AEC ＝90°. 又∵EG ⊥AC ，∴△CEG ∽△CAE . ∴CE AC ＝CG CE .∴CE 2＝AC ·CG ＝425×10＝84. ∴CE ＝84＝221.22．解：(1)直线AB 与⊙P 相切．如图，过P 作PD ⊥AB ，垂足为D . 在Rt△ABC 中，∠ACB ＝90°， ∵AC ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，∴AB ＝AC 2＋BC 2＝10 cm. ∵P 为BC 中点，∴PB ＝4 cm.∵∠PDB ＝∠ACB ＝90°，∠PBD ＝∠ABC ， ∴△PBD ∽△ABC . ∴PD AC ＝PB AB ，即PD 6＝410. ∴PD ＝2.4(cm)．当t ＝1.2时，PQ ＝2t ＝2.4(cm)．∴PD ＝PQ ，即圆心P 到直线AB 的距离等于⊙P 的半径．∴直线AB 与⊙P 相切． (2)∵∠ACB ＝90°，∴AB 为△ABC 的外接圆的直径．∴OB ＝12AB ＝5 cm.连接OP ，如图．∵P 为BC 中点，∴OP ＝12AC ＝3 cm.∵点P 在⊙O 内部， ∴⊙P 与⊙O 只能内切． ∴5－2t ＝3或2t －5＝3. ∴t ＝1或4.∴⊙P 与⊙O 相切时，t 的值为1或4.23．解：(1)证明：连接OC ，∵CD 切⊙O 于点C ，∴OC ⊥CD . 又∵AD ⊥CD ，∴OC ∥AD . ∴∠OCA ＝∠DAC .∵OC ＝OA ，∴∠OCA ＝∠OAC .∴∠OAC ＝∠DAC .∴AC 平分∠DAB .(2)如图所示．(3)在Rt△ACD 中，CD ＝4，AC ＝45，∴AD ＝AC 2－CD 2＝(45)2－42＝8.∵OE ⊥AC ，OA ＝OC ，∴AE ＝12AC ＝2 5.∵∠OAE ＝∠CAD ，∠AEO ＝∠ADC ，∴△AEO ∽△ADC .∴OE CD ＝AE AD.∴OE ＝AE AD ×CD ＝258×4＝5，即垂线段OE 的长为 5. 24．(1)证明：∵DA ＝DB ， ∴∠DAB ＝∠DBA . 又∵∠C ＝∠DBC ，∴∠DBA ＋∠DBC ＝12×180°＝90°.∴AB ⊥BC .又∵AB 是⊙O 的直径， ∴BC 是⊙O 的切线． (2)解：如图，连接BE ，∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠AEB=90°. ∴∠EBC+∠C=90°. ∵∠ABC=90°，∴∠ABE+∠EBC=90°. ∴∠C=∠ABE.又∵∠AFE=∠ABE ， ∴∠AFE=∠C.∴sin ∠AFE=sin ∠ABE=sin C.∴sin ∠AFE=35.连接BF ，∴∠AFB=90°.在Rt △ABE 中，AB=AEsin ∠ABE=5 2.∵AF =BF ， ∴AF=BF=5.25．(1)证明：连接OC . ∵AC ＝CD ，∠ACD ＝120°， ∴∠A ＝∠D ＝30°. ∵OA ＝OC ，∴∠ACO ＝∠A ＝30°.∴∠OCD ＝∠ACD －∠ACO ＝90°. ∴CD 是⊙O 的切线． (2)解：∵∠A ＝30°， ∴∠COD ＝2∠A ＝60°.∴S 扇形OBC ＝60π×22360＝23π.在Rt△OCD 中，CD ＝OC ·tan 60°＝2 3. ∴S Rt△OCD ＝12OC ·CD ＝12×2×23＝2 3.∴图中阴影部分的面积为23－23π.26．解：(1)证明：∵AB ＝AC ， ∴∠ABC ＝∠C .∵∠C ＝∠D ，∴∠ABC ＝∠D . 又∵∠BAE ＝∠EAB ， ∴△ABE ∽△ADB .(2)∵△ABE ∽△ADB ，∴AB AD ＝AE AB，∴AB 2＝AD ·AE ＝(AE ＋ED )·AE ＝(2＋4)×2＝12， ∴AB ＝2 3.(3)直线FA 与⊙O 相切，理由如下：连接OA ，∵BD 为⊙O 的直径，∴∠BAD ＝90°，∴BD ＝AB 2＋AD 2＝12＋(2＋4)2＝43，BF ＝BO ＝12BD ＝2 3.∵AB ＝23，∴BF ＝BO ＝AB ，可证∠OAF ＝90°， ∴直线FA 与⊙O 相切．。

阶段测评(七) 圆(时间：45分钟 总分：100分)一、选择题(每题4分，共32分)1．如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠AOB ＝72°，那么∠ACB ＝( D )A ．28°B ．54°C ．18°D ．36°,(第1题图)),(第2题图)) 2．AB 是⊙O 的直径，PA 切⊙O 于点A ，PO 交⊙O 于点C.连接BC ，假设∠P ＝40°，那么∠B 等于( B )A ．20°B ．25°C ．30°D ．40° 3．如图，▱ABCD 中，∠B ＝70°，BC ＝6，以AD 为直径的⊙O 交CD 于点E ，那么弧DE 的长为( B ) A .13π B .23π C .76π D .43π ,(第3题图)),(第4题图)) 4．如图，⊙O 的半径为4，△ABC 是⊙O 的内接三角形，连接OB ，OC ，假设∠BAC 和∠BOC 互补，那么弦BC 的长度为( B )A ．3 3B ．4 3C ．5 3D ．6 3 5．如图，⊙O 的直径AB ＝4，BC 切⊙O 于点B ，OC 平行于弦AD ，OC ＝5，那么AD 的长为( B ) A .65 B .85C .75D .235,(第5题图)) ,(第6题图))6．如图，矩形ABCD 的边AB ＝1，BE 平分∠ABC ，交AD 于点E ，假设点E 是AD 的中点，以点B 为圆心，BE 为半径画弧，交BC 于点F ，那么图中阴影局部的面积是( B )A ．2－π4B .32－π4 7．一个三角形的三边长分别为5，7，8.那么其内切圆的半径为(C )A .32B .32C . 3D ．2 3 8．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3.将其绕B 点顺时针旋转一周，那么分别以BA ，BC 为半径的圆形成一圆环．该圆环的面积为( C )A .3πB ．3πC ．9πD ．6π二、填空题(每题4分，共24分)9．⊙O 的半径是5，点A 到圆心O 的距离是7，那么点A 与⊙O 的位置关系是__点A 在⊙O 外__．10．如图是小明制作的一个圆锥形纸帽的示意图．那么围成这个纸帽的纸的面积为__942__cm 2.(π取3.14)(第10题图)(第11题图)11．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝1，AB ＝2，以点A 为圆心、AC 的长为半径画弧，交AB 边于点D ，那么弧CD 的长等于__π3__．(结果保存π) 12．如图，BC 是⊙O 的直径，点A 在圆上，连接AO ，AC ，∠AOB ＝64°，那么∠ACB ＝__32°__． (第12题图)13．点P 是半径为1的⊙O 外一点，PA 切⊙O 于点A ，且PA ＝1，AB 是⊙O 的弦，AB ＝2，连接PB ，那么PB ＝__1或5__.14．如图，在直角坐标系中，⊙A 的圆心A 的坐标为(－1，0)，半径为1，点P 为直线y ＝－34x ＋3上的动点，过点P 作⊙A 的切线，切点为Q ，那么切线长PQ 的最小值是__22__．三、解答题(共44分)15．(10分)实践与操作如图，△ABC 是直角三角形，∠ACB ＝90°.(1)尺规作图：作⊙C ，使它与AB 相切于点D ，与AC 相交于点E ；(保存作图痕迹，不写作法．请标明字母)(2)在你按(1)中要求所作的图中，假设BC ＝3，∠A ＝30°，求DE ︵的长．(2)∵⊙C 切AB 于点D ，∴CD ⊥AB ，∴∠ADC ＝90°.∵∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，∴∠B ＝∠ACD ＝60°.在Rt △BCD 中，BC ＝3，∴CD ＝BC·sin B ＝3·sin 60°＝332， ∴lDE ︵＝60π·332180＝32π. 16．(10分)如图，AN 是⊙M 的直径，NB ∥x 轴，AB 交⊙M 于点C.(1)假设点A(0，6)，N(0，2)，∠ABN ＝30°，求点B 的坐标；(2)假设D 为线段NB 的中点，求证：直线CD 是⊙M 的切线．解：(1)∵A 的坐标为(0，6)，N(0，2)，∴AN ＝4.∵∠ABN ＝30°，∠ANB ＝90°，∴AB ＝2AN ＝8，∴由勾股定理可知：NB ＝AB 2－AN 2＝43，又NB ∥x 轴，∴B(43，2)；(2)连接MC ，NC.∵AN 是⊙M 的直径，∴∠ACN ＝90°，∴∠NCB ＝90°.在Rt △NCB 中，D 为NB 的中点，∴∠CND ＝∠NCD.∵MC ＝MN ，∴∠MCN ＝∠MNC ，∵∠MNC ＋∠CND ＝90°，∴∠MCN ＋∠NCD ＝90°，即M C ⊥CD ，17．(12分)如图，⊙O 的直径AB ＝6 cm ，P 是AB 延长线上的一点，过P 点作⊙O 的切线，切点为C ，连接AC. (1)假设∠CPA ＝30°，求PC 的长；(2)假设点P 在AB 的延长线上运动，∠CPA 的平分线交AC 于点M ，你认为∠CMP 的大小是否发生变化？假设变化，请说明理由；假设不变，求出∠CMP 的值．解：(1)连接OC.∵PC 是⊙O 的切线，∴∠OCP ＝90°.∵∠CPA ＝30°，OC ＝AB 2＝3， ∴tan 30°＝3PC，即PC ＝33； (2)∠CMP 的大小不发生变化．总有∠CMP ＝∠A ＋∠MPA ＝45°.理由如下：∵PM 是∠CPA 的平分线，∴∠CPM ＝∠MPA.∵OA ＝OC ，∴∠A ＝∠ACO.在△APC 中，∵∠A ＋∠ACP ＋∠CPA ＝180°，∴2∠A ＋2∠MPA ＝90°，∴∠A ＋∠MPA ＝45°，∴∠CMP ＝∠A ＋∠MPA ＝45°，即∠CMP 的大小不发生变化．18．(12分)如图，在平面直角坐标系中，直线l ：y ＝－2x －8分别与x 轴，y 轴相交于A ，B 两点，点P(0，k )是y 轴的负半轴上的一个动点，以P 为圆心，3为半径作⊙P.(1)连接PA ，假设PA ＝PB ，试判断⊙P 与x 轴的位置关系，并说明理由；(2)当k 为何值时，以⊙P 与直线l 的两个交点和圆心P 为顶点的三角形是正三角形？解：(1)⊙P 与x 轴相切．理由如下：∵y ＝－2x －8与x 轴交于A(－4，0)，与y 轴交于B(0，－8)，∴OA ＝4，OB ＝8.由题意，得OP ＝－k ，∴PB ＝PA ＝8＋k.在Rt △AOP 中，k 2＋42＝(8＋k)2，∴k ＝－3，∴OP 等于⊙P 的半径，∴⊙P 与x 轴相切；(2)设⊙P 1与直线l 交于C ，D ，连接P 1C ，P 1D.当圆心P 在线段OB 上时，作PE ⊥CD 于E.∵△P 1CD 为正三角形，∴DE ＝12CD ＝32，P 1D ＝3，∴P 1E ＝332. ∵∠AOB ＝∠P 1EB ＝90°，∠ABO ＝∠P 1BE ，△AOB ∽△P 1EB ，∴AO AB ＝P 1E P 1B ，即445＝332P 1B， ∴P 1B ＝3152，∴P 1O ＝BO －B 1P ＝8－3152， ∴P 1⎝⎛⎭⎫0，3152－8，∴k ＝3152－8； 当圆心P 2在线段OB 延长线上时，同理可得P 2⎝⎛⎭⎫0，－3152－8，∴k ＝－3152－8， ∴当k ＝3152－8或－3152－8时，以⊙P 与直线l 的两个交点和圆心P 为顶点的三角形是正三角形．。

2020-2021中考数学专题复习分类练习圆的综合综合解答题含答案解析一、圆的综合1．图1和图2，半圆O的直径AB=2，点P（不与点A，B重合）为半圆上一点，将图形延BP折叠，分别得到点A，O的对称点A′，O′，设∠ABP=α．（1）当α=15°时，过点A′作A′C∥AB，如图1，判断A′C与半圆O的位置关系，并说明理由．（2）如图2，当α= °时，BA′与半圆O相切．当α= °时，点O′落在上．（3）当线段BO′与半圆O只有一个公共点B时，求α的取值范围．【答案】（1）A′C与半圆O相切；理由见解析；（2）45；30；（3）0°＜α＜30°或45°≤α＜90°．【解析】试题分析：（1）过O作OD⊥A′C于点D，交A′B于点E，利用含30°角的直角三角形的性质可求得DE+OE=A′B=AB=OA，可判定A′C与半圆相切；（2）当BA′与半圆相切时，可知OB⊥A′B，则可知α=45°，当O′在上时，连接AO′，则可知BO′=AB，可求得∠O′BA=60°，可求得α=30°；（3）利用（2）可知当α=30°时，线段O′B与圆交于O′，当α=45°时交于点B，结合题意可得出满足条件的α的范围．试题解析：（1）相切，理由如下：如图1，过O作OD过O作OD⊥A′C于点D，交A′B于点E，∵α=15°，A′C∥AB，∴∠ABA′=∠CA′B=30°，∴DE=A′E ，OE=BE ，∴DO=DE+OE=（A′E+BE ）=AB=OA ，∴A′C 与半圆O 相切；（2）当BA′与半圆O 相切时，则OB ⊥BA′，∴∠OBA′=2α=90°，∴α=45°，当O′在上时，如图2，连接AO′，则可知BO′=AB ，∴∠O′AB=30°，∴∠AB O′=60°，∴α=30°，（3）∵点P ，A 不重合，∴α＞0，由（2）可知当α增大到30°时，点O′在半圆上，∴当0°＜α＜30°时点O′在半圆内，线段BO′与半圆只有一个公共点B ；当α增大到45°时BA′与半圆相切，即线段BO′与半圆只有一个公共点B ．当α继续增大时，点P 逐渐靠近点B ，但是点P ，B 不重合，∴α＜90°，∴当45°≤α＜90°线段BO′与半圆只有一个公共点B ．综上所述0°＜α＜30°或45°≤α＜90°．考点：圆的综合题．2．已知O e 的半径为5，弦AB 的长度为m ，点C 是弦AB 所对优弧上的一动点． ()1如图①，若m 5=，则C ∠的度数为______o ；()2如图②，若m 6=．①求C ∠的正切值；②若ABC V 为等腰三角形，求ABC V 面积．【答案】()130；()2C ∠①的正切值为34；ABC S 27=V ②或43225. 【解析】【分析】 ()1连接OA ，OB ，判断出AOB V 是等边三角形，即可得出结论；()2①先求出10AD =，再用勾股定理求出8BD =，进而求出tan ADB ∠，即可得出结论；②分三种情况，利用等腰三角形的性质和垂径定理以及勾股定理即可得出结论．【详解】()1如图1，连接OB ，OA ，OB OC 5∴==，AB m 5==Q ，OB OC AB ∴==，AOB ∴V 是等边三角形，AOB 60∠∴=o ，1ACB AOB 302∠∠∴==o ， 故答案为30；()2①如图2，连接AO 并延长交O e 于D ，连接BD ，AD Q 为O e 的直径，AD 10∴=，ABD 90∠=o ，在Rt ABD V 中，AB m 6==，根据勾股定理得，BD 8=， AB 3tan ADB BD 4∠∴==， C ADB ∠∠=Q ，C ∠∴的正切值为34； ②Ⅰ、当AC BC =时，如图3，连接CO 并延长交AB 于E ，AC BC =Q ，AO BO =，CE ∴为AB 的垂直平分线，AE BE 3∴==，在Rt AEO V 中，OA 5=，根据勾股定理得，OE 4=，CE OE OC 9∴=+=，ABC 11S AB CE 692722∴=⨯=⨯⨯=V ； Ⅱ、当AC AB 6==时，如图4，连接OA 交BC 于F ，AC AB =Q ，OC OB =，AO ∴是BC 的垂直平分线，过点O 作OG AB ⊥于G ， 1AOG AOB 2∠∠∴=，1AG AB 32==， AOB 2ACB ∠∠=Q ，ACF AOG ∠∠∴=，在Rt AOG V 中，AG 3sin AOG AC 5∠==， 3sin ACF 5∠∴=， 在Rt ACF V 中，3sin ACF 5∠=， 318AF AC 55∴==， 24CF 5∴=， ABC 111824432S AF BC 225525∴=⨯=⨯⨯=V ； Ⅲ、当BA BC 6==时，如图5，由对称性知，ABC 432S 25=V ．【点睛】圆的综合题，主要圆的性质，圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，三角形的面积公式，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．3．如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，A ，B 为切点，∠APB=60°，连接PO 并延长与⊙O 交于C 点，连接AC 、BC ．（Ⅰ）求∠ACB 的大小；（Ⅱ）若⊙O 半径为1，求四边形ACBP 的面积．【答案】（Ⅰ）60°；（Ⅱ）33【解析】分析：（Ⅰ）连接AO，根据切线的性质和切线长定理，得到OA⊥AP，OP平分∠APB，然后根据角平分线的性质和三角形的外角的性质，30°角的直角三角形的性质，得到∠ACB的度数；（Ⅱ）根据30°角的直角三角形的性质和等腰三角形的性质，结合等底同高的性质求三角形的面积即可．详解：（Ⅰ）连接OA，如图，∵PA、PB是⊙O的切线，∴OA⊥AP，OP平分∠APB，∴∠APO=12∠APB=30°，∴∠AOP=60°，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠ACO=12AOP=30°，同理可得∠BCP=30°，∴∠ACB=60°；（Ⅱ）在Rt△OPA中，∵∠APO=30°，∴33，OP=2OA=2，∴OP=2OC，而S△OPA=123∴S△AOC=12S△PAO=34，∴S△ACP=33，4∴四边形ACBP的面积=2S△ACP=33．点睛：本题考查了切线的性质，解直角三角形，等腰三角形的判定，熟练掌握切线的性质是解题的关键．4．已知：如图，△ABC中，AC=3，∠ABC=30°．（1）尺规作图：求作△ABC的外接圆，保留作图痕迹，不写作法；（2）求（1）中所求作的圆的面积．【答案】（1）作图见解析；（2）圆的面积是9π．【解析】试题分析：（1）按如下步骤作图：①作线段AB的垂直平分线；②作线段BC的垂直平分线；③以两条垂直平分线的交点O为圆心，OA长为半圆画圆，则圆O即为所求作的圆．如图所示（2）要求外接圆的面积，需求出圆的半径，已知AC＝3，如图弦AC所对的圆周角是∠ABC=30°，所以圆心角∠AOC=60°，所以∆AOC是等边三角形，所以外接圆的半径是3故可求得外接圆的面积．（2）连接OA，OB．∵AC=3，∠ABC=30°，∴∠AOC=60°，∴△AOC是等边三角形，∴圆的半径是3，∴圆的面积是S=πr2=9π．5．函数是描述客观世界运动变化的重要模型，理解函数的本质是重要的任务。

2020-2021中考数学圆的综合的综合复习含详细答案一、圆的综合1．如图，⊙M交x轴于B、C两点，交y轴于A，点M的纵坐标为2．B（﹣33，O），C（3，O）．（1）求⊙M的半径；（2）若CE⊥AB于H，交y轴于F，求证：EH=FH．（3）在（2）的条件下求AF的长．【答案】（1）4；（2）见解析;（3）4．【解析】【分析】（1）过M作MT⊥BC于T连BM，由垂径定理可求出BT的长，再由勾股定理即可求出BM的长；（2）连接AE，由圆周角定理可得出∠AEC=∠ABC，再由AAS定理得出△AEH≌△AFH，进而可得出结论；（3）先由（1）中△BMT的边长确定出∠BMT的度数，再由直角三角形的性质可求出CG 的长，由平行四边形的判定定理判断出四边形AFCG为平行四边形，进而可求出答案．【详解】（1）如图（一），过M作MT⊥BC于T连BM，∵BC是⊙O的一条弦，MT是垂直于BC的直径，∴BT=TC=123∴124；（2）如图（二），连接AE，则∠AEC=∠ABC，∵CE⊥AB，∴∠HBC+∠BCH=90°在△COF中，∵∠OFC+∠OCF=90°，∴∠HBC=∠OFC=∠AFH，在△AEH和△AFH中，∵AFH AEHAHF AHE AH AH∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEH≌△AFH（AAS），∴EH=FH；（3）由（1）易知，∠BMT=∠BAC=60°，作直径BG，连CG，则∠BGC=∠BAC=60°，∵⊙O的半径为4，∴CG=4，连AG，∵∠BCG=90°，∴CG⊥x轴，∴CG∥AF，∵∠BAG=90°，∴AG⊥AB，∵CE⊥AB，∴AG∥CE，∴四边形AFCG为平行四边形，∴AF=CG=4．【点睛】本题考查的是垂径定理、圆周角定理、直角三角形的性质及平行四边形的判定与性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．2．如图1，直角梯形OABC中，BC∥OA，OA=6，BC=2，∠BAO=45°．（1）OC的长为；（2）D是OA上一点，以BD为直径作⊙M，⊙M交AB于点Q．当⊙M与y轴相切时，sin∠BOQ=；（3）如图2，动点P以每秒1个单位长度的速度，从点O沿线段OA向点A运动；同时动点D以相同的速度，从点B沿折线B﹣C﹣O向点O运动．当点P到达点A时，两点同时停止运动．过点P作直线PE∥OC，与折线O﹣B﹣A交于点E．设点P运动的时间为t （秒）．求当以B、D、E为顶点的三角形是直角三角形时点E的坐标．【答案】（1）4；（2）35；（3）点E的坐标为（1，2）、（53，103）、（4，2）．【解析】分析：（1）过点B作BH⊥OA于H，如图1（1），易证四边形OCBH是矩形，从而有OC=BH，只需在△AHB中运用三角函数求出BH即可．（2）过点B作BH⊥OA于H，过点G作GF⊥OA于F，过点B作BR⊥OG于R，连接MN、DG，如图1（2），则有OH=2，BH=4，MN⊥OC．设圆的半径为r，则MN=MB=MD=r．在Rt△BHD中运用勾股定理可求出r=2，从而得到点D与点H重合．易证△AFG∽△ADB，从而可求出AF、GF、OF、OG、OB、AB、BG．设OR=x，利用BR2=OB2﹣OR2=BG2﹣RG2可求出x，进而可求出BR．在Rt△ORB中运用三角函数就可解决问题．（3）由于△BDE的直角不确定，故需分情况讨论，可分三种情况（①∠BDE=90°，②∠BED=90°，③∠DBE=90°）讨论，然后运用相似三角形的性质及三角函数等知识建立关于t的方程就可解决问题．详解：（1）过点B作BH⊥OA于H，如图1（1），则有∠BHA=90°=∠COA，∴OC∥BH．∵BC∥OA，∴四边形OCBH是矩形，∴OC=BH，BC=OH．∵OA=6，BC=2，∴AH=0A﹣OH=OA﹣BC=6﹣2=4．∵∠BHA=90°，∠BAO=45°，∴tan∠BAH=BHHA=1，∴BH=HA=4，∴OC=BH=4．故答案为4．（2）过点B作BH⊥OA于H，过点G作GF⊥OA于F，过点B作BR⊥OG于R，连接MN、DG，如图1（2）．由（1）得：OH=2，BH=4．∵OC与⊙M相切于N，∴MN⊥OC．设圆的半径为r，则MN=MB=MD=r．∵BC ⊥OC ，OA ⊥OC ，∴BC ∥MN ∥OA ．∵BM =DM ，∴CN =ON ，∴MN =12（BC +OD ），∴OD =2r ﹣2，∴DH =OD OH -=24r -．在Rt △BHD 中，∵∠BHD =90°，∴BD 2=BH 2+DH 2，∴（2r ）2=42+（2r ﹣4）2．解得：r =2，∴DH =0，即点D 与点H 重合，∴BD ⊥0A ，BD =AD ．∵BD 是⊙M 的直径，∴∠BGD =90°，即DG ⊥AB ，∴BG =AG ．∵GF ⊥OA ，BD ⊥OA ，∴GF ∥BD ，∴△AFG ∽△ADB ， ∴AF AD =GF BD =AG AB =12，∴AF =12AD =2，GF =12BD =2，∴OF =4，∴OG同理可得：OB AB ，∴BG =12AB ．设OR =x ，则RG x ．∵BR ⊥OG ，∴∠BRO =∠BRG =90°，∴BR 2=OB 2﹣OR 2=BG 2﹣RG 2，∴（2﹣x 2=（）2﹣（x ）2．解得：x ，∴BR 2=OB 2﹣OR 2=（2）2=365，∴BR在Rt △ORB 中，sin ∠BOR =BR OB35． 故答案为35． （3）①当∠BDE =90°时，点D 在直线PE 上，如图2．此时DP =OC =4，BD +OP =BD +CD =BC =2，BD =t ，OP =t ． 则有2t =2．解得：t =1．则OP =CD =DB =1．∵DE ∥OC ，∴△BDE ∽△BCO ，∴DE OC =BD BC =12，∴DE =2，∴EP =2， ∴点E 的坐标为（1，2）．②当∠BED =90°时，如图3．∵∠DBE =OBC ，∠DEB =∠BCO =90°，∴△DBE ∽△OBC ，∴BEBC =2DB BE OB ∴，∴BE ． ∵PE ∥OC ，∴∠OEP =∠BOC ．∵∠OPE =∠BCO =90°，∴△OPE ∽△BCO ， ∴OEOB =OP BC，2t ，∴OE ．∵OE+BE=OB=255，∴t+55t=25．解得：t=53，∴OP=53，OE=55，∴PE=22OE OP-=103，∴点E的坐标为（51033，）．③当∠DBE=90°时，如图4．此时PE=PA=6﹣t，OD=OC+BC﹣t=6﹣t．则有OD=PE，EA=22PE PA+=2（6﹣t）=62﹣2?t，∴BE=BA﹣EA=42﹣（62﹣2t）=2t﹣22．∵PE∥OD，OD=PE，∠DOP=90°，∴四边形ODEP是矩形，∴DE=OP=t，DE∥OP，∴∠BED=∠BAO=45°．在Rt△DBE中，cos∠BED=BEDE=22，∴DE=2BE，∴t=22（t﹣22）=2t﹣4．解得：t=4，∴OP=4，PE=6﹣4=2，∴点E的坐标为（4，2）．综上所述：当以B、D、E为顶点的三角形是直角三角形时点E的坐标为（1，2）、（51033，）、（4，2）．点睛：本题考查了圆周角定理、切线的性质、相似三角形的判定与性质、三角函数的定义、平行线分线段成比例、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，还考查了分类讨论的数学思想，有一定的综合性．3．如图，⊙O的半径为6cm，经过⊙O上一点C作⊙O的切线交半径OA的延长于点B，作∠ACO的平分线交⊙O于点D，交OA于点F，延长DA交BC于点E．（1）求证：AC∥OD；（2）如果DE⊥BC，求»AC的长度．【答案】（1）证明见解析；（2）2π．【解析】试题分析：（1）由OC=OD，CD平分∠ACO，易证得∠ACD=∠ODC，即可证得AC∥OD；（2）BC切⊙O于点C，DE⊥BC，易证得平行四边形ADOC是菱形，继而可证得△AOC是等边三角形，则可得：∠AOC=60°，继而求得弧AC的长度．试题解析：（1）证明：∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC．∵CD平分∠ACO，∴∠OCD=∠ACD，∴∠ACD=∠ODC，∴AC∥OD；（2）∵BC切⊙O于点C，∴BC⊥OC．∵DE⊥BC，∴OC∥DE．∵AC∥OD，∴四边形ADOC 是平行四边形．∵OC=OD，∴平行四边形ADOC是菱形，∴OC=AC=OA，∴△AOC是等边三角形，∴∠AOC=60°，∴弧AC的长度=606180π⨯=2π．点睛：本题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、菱形的判定与性质以及弧长公式．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．4．定义：有一个角是其邻角一半的圆内接四边形叫做圆内倍角四边形．（1）如图1，四边形ABCD内接于⊙O，∠DCB﹣∠ADC=∠A，求证：四边形ABCD为圆内接倍角四边形；（2）在（1）的条件下，⊙O半径为5．①若AD为直径，且sinA=45，求BC的长；②若四边形ABCD中有一个角为60°，且BC=CD，则四边形ABCD的面积是；（3）在（1）的条件下，记AB=a，BC=b，CD=c，AD=d，求证：d2﹣b2=ab+cd．【答案】（1）见解析；（2）①BC＝6，②7534或754；（3）见解析【解析】【分析】（1）先判断出∠ADC=180°﹣2∠A．进而判断出∠ABC=2∠A，即可得出结论；（2）①先用锐角三角函数求出BD，进而得出AB，由（1）得出∠ADB=∠BDC，即可得出结论；②分两种情况：利用面积和差即可得出结论；（3）先得出BE=BC=b，DE=DA=b，进而得出CE=d﹣c，再判断出△EBC∽△EDA，即可得出结论．【详解】（1）设∠A=α，则∠DCB=180°﹣α．∵∠DCB﹣∠ADC=∠A，∴∠ADC=∠DCB﹣∠A=180°﹣α﹣α=180°﹣2α，∴∠ABC=180°﹣∠ADC=2α=2∠A，∴四边形ABCD是⊙O内接倍角四边形；（2）①连接BD．∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD=90°．在Rt△ABD中，AD=2×5=10，sin∠A=45，∴BD=8，根据勾股定理得：AB=6，设∠A=α，∴∠ADB=90°﹣α．由（1）知，∠ADC=180°﹣2α，∴∠BDC=90°﹣α，∴∠ADB=∠BDC，∴BC=AB=6；②若∠ADC=60°时．∵四边形ABCD是圆内接倍角四边形，∴∠BCD=120°或∠BAD=30°．Ⅰ、当∠BCD=120°时，如图3，连接OA，OB，OC，OD．∵BC=CD，∴∠BOC=∠COD，∴∠OCD=∠OCB=12∠BCD=60°，∴∠CDO=60°，∴AD是⊙O 的直径，（为了说明AD是直径，点O没有画在AD上）∴∠ADC+∠BCD=180°，∴BC∥AD，∴AB=CD．∵BC=CD，∴AB=BC=CD，∴△OAB，△BOC，△COD是全等的等边三角形，∴S四边形ABCD=3S△AOB 32753．Ⅱ、当∠BAD=30°时，如图4，连接OA，OB，OC，OD．∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠BCD=180°﹣∠BAD=150°．∵BC =CD ，∴∠BOC =∠COD ，∴∠BCO =∠DCO =12∠BCD =75°，∴∠BOC =∠DOC =30°，∴∠OBA =45°，∴∠AOB =90°．连接AC ，∴∠DAC =12∠BAD =15°． ∵∠ADO =∠OAB ﹣∠BAD =15°，∴∠DAC =∠ADO ，∴OD ∥AC ，∴S △OAD =S △OCD ． 过点C 作CH ⊥OB 于H ．在Rt △OCH 中，CH =12OC =52，∴S 四边形ABCD =S △COD +S △BOC +S △AOB ﹣S △AOD =S △BOC +S △AOB =1522⨯×5+12×5×5=754． 故答案为：7534或754；（3）延长DC ，AB 交于点E ．∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∴∠BCE =∠A =12∠ABC ． ∵∠ABC =∠BCE +∠A ，∴∠E =∠BCE =∠A ，∴BE =BC =b ，DE =DA =b ，∴CE =d ﹣c ． ∵∠BCE =∠A ，∠E =∠E ，∴△EBC ∽△EDA ，∴CE BC AE AD =，∴d c b a b d-=+，∴d 2﹣b 2=ab +cd ．【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了圆的内接四边形的性质，新定义，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解答本题的关键．5．如图，已知在△ABC中，AB=15，AC=20，tanA=12，点P在AB边上，⊙P的半径为定长.当点P与点B重合时，⊙P恰好与AC边相切；当点P与点B不重合时，⊙P与AC边相交于点M和点N．（1）求⊙P的半径；（2）当AP=65时，试探究△APM与△PCN是否相似，并说明理由．【答案】（1）半径为35；（2）相似，理由见解析.【解析】【分析】（1）如图，作BD⊥AC，垂足为点D，⊙P与边AC相切，则BD就是⊙P的半径，利用解直角三角形得出BD与AD的关系，再利用勾股定理可求得BD的长；（2）如图，过点P作PH⊥AC于点H，作BD⊥AC，垂足为点D，根据垂径定理得出MN=2MH，PM=PN，再利用勾股定理求出PH、AH、MH、MN的长，从而求出AM、NC的长，然后求出AMMP、PNNC的值，得出AMMP=PNNC，利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似即可证明.【详解】（1）如图，作BD⊥AC，垂足为点D，∵⊙P与边AC相切，∴BD就是⊙P的半径，在Rt△ABD中，tanA= 1BD2AD ，设BD=x，则AD=2x，∴x2+(2x)2=152，解得：5∴半径为5（2）相似，理由见解析，如图，过点P作PH⊥AC于点H，作BD⊥AC，垂足为点D，∴PH垂直平分MN，∴PM=PN ，在Rt △AHP 中，tanA=12PH AH =， 设PH=y ，AH=2y ，y 2+（2y ）2=（65）2解得：y=6（取正数），∴PH=6，AH=12，在Rt △MPH 中，MH=()22356-=3，∴MN=2MH=6，∴AM=AH-MH=12-3=9，NC=AC-MN-AM=20-6-9=5，∴3535AM MP ==，35PN NC =， ∴AM MP =PN NC， 又∵PM=PN ，∴∠PMN=∠PNM ，∴∠AMP=∠PNC ，∴△AMP ∽△PNC.【点睛】本题考查了解直角三角形、垂径定理、相似三角形的判定与性质等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线、灵活应用相关的性质与定理是解题的关键.6．如图，已知四边形ABCD 是矩形，点P 在BC 边的延长线上，且PD=BC ，⊙A 经过点B ，与AD 边交于点E ，连接CE .（1）求证：直线PD 是⊙A 的切线；（2）若5sin ∠P=23，求图中阴影部份的面积（结果保留无理数）．【答案】（1）见解析；（2）20-4π.【解析】分析：（1）过点A作AH⊥PD，垂足为H，只要证明AH为半径即可.（2）分别算出Rt△CED的面积，扇形ABE的面积，矩形ABCD的面积即可.详解：（1）证明：如图，过A作AH⊥PD，垂足为H，∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AD∥BC，∠PCD=∠BCD=90°，∴∠ADH=∠P，∠AHD=∠PCD=90°，又PD=BC，∴AD=PD，∴△ADH≌△DPC，∴AH=CD，∵CD=AB，且AB是⊙A的半径，∴AH=AB,即AH是⊙A的半径，∴PD是⊙A的切线.（2）如图，在Rt△PDC中，∵sin∠P=23CDPD，5，令CD=2x，PD=3x，由由勾股定理得：（3x）2-(2x)252，解得：x=2，∴CD=4，PD=6，∴AB=AE=CD=4，AD=BC=PD=6，DE=2，∵矩形ABCD的面积为6×4=24，Rt△CED的面积为12×4×2=4，扇形ABE的面积为12π×42=4π，∴图中阴影部份的面积为24-4-4π=20-4π.点睛：本题考查了全等三角形的判定，圆的切线证明，三角形的面积，扇形的面积，矩形的面积.7．如图，已知⊙O的半径为1，PQ是⊙O的直径，n个相同的正三角形沿PQ排成一列，所有正三角形都关于PQ对称，其中第一个△A1B1C1的顶点A1与点P重合，第二个△A 2B 2C 2的顶点A 2是B 1C 1与PQ 的交点，…，最后一个△A n B n C n 的顶点B n 、C n 在圆上．如图1，当n=1时，正三角形的边长a 1=_____；如图2，当n=2时，正三角形的边长a 2=_____；如图3，正三角形的边长a n =_____（用含n 的代数式表示）．3831343n 【解析】 分析：（1）设PQ 与11B C 交于点D ，连接1B O ，得出OD=1A D -O 1A ，用含1a 的代数式表示OD ，在△O 1B D 中，根据勾股定理求出正三角形的边长1a ；（2）设PQ 与2B 2C 交于点E ，连接2B O ，得出OE=1A E-O 1A ，用含2a 的代数式表示OE ，在△O 2B E 中，根据勾股定理求出正三角形的边长2a ；（3）设PQ 与n B n C 交于点F ，连接n B O ，得出OF=1A F-O 1A ，用含an 的代数式表示OF ，在△O n B F 中，根据勾股定理求出正三角形的边长an ． 本题解析：(1)易知△A 1B 1C 1的高为323 ∴a 13.(2)设△A 1B 1C 1的高为h ，则A 2O ＝1－h ，连结B 2O ，设B 2C 2与PQ 交于点F ，则有OF ＝2h －1. ∵B 2O 2＝OF 2＋B 2F 2，∴1＝(2h －1)2＋2212a ⎛⎫ ⎪⎝⎭ . ∵h ＝32a 2，∴1＝32－1)2＋14a 22， 解得a 2＝8313. (3)同(2)，连结B n O ，设B n C n 与PQ 交于点F ，则有B n O 2＝OF 2＋B n F 2， 即1＝(nh －1)2＋212n a ⎛⎫ ⎪⎝⎭. ∵h 3a n ，∴1＝14a n 2＋2312n na ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ ，解得a n ＝24331n n + .8．如图，在⊙O 中，直径AB ⊥弦CD 于点E ，连接AC ，BC ，点F 是BA 延长线上的一点，且∠FCA ＝∠B .(1)求证：CF 是⊙O 的切线；(2)若AE ＝4，tan ∠ACD ＝3，求FC 的长．【答案】（1）见解析【解析】分析：（1）利用圆周角定理以及等腰三角形的性质得出∠OCF=90°，进而得出答案； （2）根据正切的性质求出EC 的长，然后利用垂径定理求出圆的半径，再根据等边三角形的性质，利用勾股定理求出即可．详解：(1)证明：连接OC.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∴∠OCB ＋∠ACO ＝90°.∵OB ＝OC ，∴∠B ＝∠OCB.又∵∠FCA ＝∠B ，∴∠FCA ＝∠OCB ，∴∠FCA ＋∠ACO ＝90°，即∠FCO ＝90°，∴FC ⊥OC ，∴FC 是⊙O 切线．(2)解：∵AB ⊥CD ，∴∠AEC ＝90°，∴EC=AE 43tan ACE 3∠== 设OA ＝OC ＝r ，则OE ＝OA －AE ＝r －4.在Rt △OEC 中，OC 2＝OE 2＋CE 2，即r 2＝(r －4)2＋32，解得r ＝8.∴OE ＝r －4＝4＝AE.∵CE ⊥OA ，∴CA ＝CO ＝8，∴△AOC 是等边三角形，∴∠FOC ＝60°，∴∠F ＝30°.在Rt △FOC 中，∵∠OCF ＝90°，OC ＝8，∠F ＝30°，∴OF ＝2OC ＝16，∴FC 22OF OC 83-=.点睛：此题主要考查了切线的判定、垂径定理的推论以及勾股定理等知识，得出BC的长是解题关键．9．四边形ABCD内接于⊙O，点E为AD上一点，连接AC，CB，∠B=∠AEC．（1）如图1，求证：CE=CD；（2）如图2，若∠B+∠CAE=120°，∠ACD=2∠BAC，求∠BAD的度数；（3）如图3，在（2）的条件下，延长CE交⊙O于点G，若tan∠BAC= 53，EG=2，求AE的长．【答案】（1）见解析；（2）60°；（3）7.【解析】试题分析：(1)利用圆的内接四边形定理得到∠CED=∠CDE.(2) 作CH⊥DE于H, 设∠ECH=α，由（1）CE=CD，用α表示∠CAE，∠BAC，而∠BAD=∠BAC+∠CAE.（3）连接AG，作GN⊥AC，AM⊥EG，先证明∠CAG=∠BAC，设NG=3m，可得AN=11m，利用直角n AGM,n AEM，勾股定理可以算出m的值并求出AE长.试题解析：（1）解：证明：∵四边形ABCD内接于⊙O.∴∠B+∠D=180°，∵∠B=∠AEC，∴∠AEC+∠D=180°，∵∠AEC+∠CED=180°，∴∠D=∠CED，∴CE=CD．（2）解：作CH⊥DE于H．设∠ECH=α，由（1）CE=CD，∴∠ECD=2α，∵∠B=∠AEC，∠B+∠CAE=120°，∴∠CAE+∠AEC=120°，∴∠ACE=180°﹣∠AEC﹣∠ACE=60°，∴∠CAE=90°﹣∠ACH=90°﹣（60°+α）=30°﹣α，∠ACD=∠ACH+∠HCD=60°+2α，∵∠ACD=2∠BAC，∴∠BAC=30°+α，∴∠BAD=∠BAC+∠CAE=30°+α+30°﹣α=60°．（3）解：连接AG，作GN⊥AC，AM⊥EG，∵∠CED=∠AEG，∠CDE=∠AGE，∠CED=∠CDE，∴∠AEG=∠AGE，∴AE=AG，∴EM=MG=1EG=1，2∴∠EAG=∠ECD=2α，∴∠CAG=∠CAD+∠DAG=30°﹣α+2α=∠BAC，∵tan ∠BAC =5311， ∴设NG=53m ，可得AN =11m ，AG =22AG AM -=14m ， ∵∠ACG =60°，∴CN=5m ，AM =83m ，MG =22AG AM -=2m =1， ∴m =12， ∴CE=CD =CG ﹣EG =10m ﹣2=3， ∴AE =22AM EM +=221+43（）=7．10．已知：如图1，∠ACG=90°，AC=2，点B 为CG 边上的一个动点，连接AB ，将△ACB 沿AB 边所在的直线翻折得到△ADB ，过点D 作DF ⊥CG 于点F ．（1）当BC=23 时，判断直线FD 与以AB 为直径的⊙O 的位置关系，并加以证明； （2）如图2，点B 在CG 上向点C 运动，直线FD 与以AB 为直径的⊙O 交于D 、H 两点，连接AH ，当∠CAB=∠BAD=∠DAH 时，求BC 的长．【答案】（1）直线FD 与以AB 为直径的⊙O 相切，理由见解析；（2）22 .【解析】试题分析：（1）根据已知及切线的判定证明得，直线FD 与以AB 为直径的⊙O 相切； （2）根据圆内接四边形的性质及直角三角形的性质进行分析，从而求得BC 的长． 试题解析：（1）判断：直线FD 与以AB 为直径的⊙O 相切．证明：如图，作以AB 为直径的⊙O ；∵△ADB 是将△ACB 沿AB 边所在的直线翻折得到的，∴△ADB ≌△ACB ，∴∠ADB=∠ACB=90°．∵O 为AB 的中点，连接DO ，∴OD=OB=AB，∴点D在⊙O上．在Rt△ACB中，BC=，AC=2；∴tan∠CAB==，∴∠CAB=∠BAD=30°，∴∠ABC=∠ABD=60°，∴△BOD是等边三角形．∴∠BOD=60°．∴∠ABC=∠BOD，∴FC∥DO．∵DF⊥CG，∴∠ODF=∠BFD=90°，∴OD⊥FD，∴FD为⊙O的切线．（2）延长AD交CG于点E，同（1）中的方法，可证点C在⊙O上；∴四边形ADBC是圆内接四边形．∴∠FBD=∠1+∠2．同理∠FDB=∠2+∠3．∵∠1=∠2=∠3，∴∠FBD=∠FDB，又∠DFB=90°．∴EC=AC=2．设BC=x，则BD=BC=x，∵∠EDB=90°，∴EB=x．∵EB+BC=EC，∴x+x=2，解得x=2﹣2，∴BC=2﹣2．11．如图所示，AB 是半圆O 的直径，AC 是弦，点P 沿BA 方向，从点B 运动到点A ，速度为1cm/s ，若10AB cm ，点O 到AC 的距离为4cm ．（1）求弦AC 的长；（2）问经过多长时间后，△APC 是等腰三角形．【答案】（1）AC=6；（2）t=4或5或145s 时，△APC 是等腰三角形； 【解析】 【分析】（1）过O 作OD ⊥AC 于D ，根据勾股定理求得AD 的长，再利用垂径定理即可求得AC 的长；（2）分AC=PC 、AP=AC 、AP=CP 三种情况求t 值即可.【详解】（1）如图1，过O 作OD ⊥AC 于D ，易知AO=5，OD=4，从而AD==3，∴AC=2AD=6；（2）设经过t 秒△APC 是等腰三角形，则AP=10﹣t①如图2，若AC=PC ，过点C 作CH ⊥AB 于H ，∵∠A=∠A ，∠AHC=∠ODA=90°，∴△AHC ∽△ADO ，∴AC ：AH=OA ：AD ，即AC ：=5：3，解得t=s ， ∴经过s 后△APC 是等腰三角形； ②如图3，若AP=AC ，由PB=x ，AB=10，得到AP=10﹣x ，又∵AC=6，则10﹣t=6，解得t=4s ，∴经过4s 后△APC 是等腰三角形；③如图4，若AP=CP ，P 与O 重合，则AP=BP=5，∴经过5s 后△APC 是等腰三角形．综上可知当t=4或5或s 时，△APC 是等腰三角形．【点睛】本题是圆的综合题，解决问题利用了垂径定理，勾股定理等知识点，解题时要注意当△BPC 是等腰三角形时，点P 的位置有三种情况．12．如图所示，ABC ∆内接于圆O ，CD AB ⊥于D ；（1）如图1，当AB 为直径，求证：OBC ACD ∠=∠；（2）如图2，当AB 为非直径的弦，连接OB ，则（1）的结论是否成立？若成立请证明，不成立说明由；（3）如图3，在（2）的条件下，作AE BC ⊥于E ，交CD 于点F ，连接ED ，且2AD BD ED =+，若3DE =，5OB =，求CF 的长度．【答案】（1）见解析；（2）成立；（3）145【解析】【分析】 （1）根据圆周角定理求出∠ACB=90°，求出∠ADC=90°，再根据三角形内角和定理求出即可；（2）根据圆周角定理求出∠BOC=2∠A ，求出∠OBC=90°-∠A 和∠ACD=90°-∠A 即可； （3）分别延长AE 、CD 交⊙O 于H 、K ，连接HK 、CH 、AK ，在AD 上取DG=BD ，延长CG 交AK 于M ，延长KO 交⊙O 于N ，连接CN 、AN ，求出关于a 的方程，再求出a 即可．【详解】（1）证明：∵AB 为直径，∴ACB 90∠=︒， ∵CD AB ⊥于D ， ∴ADC 90∠=︒，∴OBC A 90∠∠+=︒，A ACD 90∠∠+=︒，∴OBC ACD ∠∠=；（2）成立，证明：连接OC ，由圆周角定理得：BOC 2A ∠∠=，∵OC OB =，∴()()11OBC 180BOC 1802A 90A 22∠∠∠∠=︒-=︒-=︒-， ∵ADC 90∠=︒，∴ACD 90A ∠∠=︒-，∴OBC ACD ∠∠=；（3）分别延长AE 、CD 交⊙O 于H 、K ，连接HK 、CH 、AK ，∵AE BC ⊥，CD BA ⊥，∴AEC ADC 90∠∠==︒，∴BCD CFE 90∠∠+=︒，BAH DFA 90∠∠+=︒，∵CFE DFA ∠∠=，∴BCD BAH ∠∠=，∵根据圆周角定理得：BAH BCH ∠∠=，∴BCD BAH BCH ∠∠∠==，∴由三角形内角和定理得：CHE CFE ∠∠=， ∴CH CF =，∴EH EF =，同理DF DK =，∵DE 3=，∴HK 2DE 6==，在AD 上取DG BD =，延长CG 交AK 于M ，则AG AD BD 2DE 6=-==，BC GC =，∴MCK BCK BAK ∠∠∠==，∴CMK 90∠=︒，延长KO 交⊙O 于N ，连接CN 、AN ，则NAK 90CMK ∠∠=︒=，∴CM //AN ，∵NCK ADK 90∠∠==︒，∴CN //AG ，∴四边形CGAN 是平行四边形，∴AG CN 6==，作OT CK ⊥于T ，则T 为CK 的中点，∵O 为KN 的中点， ∴1OT CN 32==， ∵OTC 90∠=︒，OC 5=，∴由勾股定理得：CT 4=，∴CK 2CT 8==，作直径HS ，连接KS ，∵HK 6=，HS 10=，∴由勾股定理得：KS 8=， ∴3tan HSK tan HAK 4∠∠==， ∴1tan EAB tan BCD 3∠∠==， 设BD a =，CD 3a =， ∴AD BD 2ED a 6=+=+，11DK AD a 233==+， ∵CD DK CK +=， ∴13a a 283++=， 解得：9a 5=， ∴113DK a 235=+=， ∴2614CF CK 2DK 855=-=-=． 【点睛】本题考查了垂径定理、解直角三角形、等腰三角形的性质、圆周角定理、勾股定理等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键，综合性比较强，难度偏大．13．如图，AB 是O e 的直径，DF 切O e 于点D ，BF DF ⊥于F ，过点A 作AC //BF 交BD 的延长线于点C .（1）求证：ABC C ∠∠=；（2）设CA 的延长线交O e 于E BF ，交O e 于G ，若¼DG的度数等于60o ，试简要说明点D 和点E 关于直线AB 对称的理由.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）作辅助线，连接OD，由DF为⊙O的切线，可得OD⊥DF，又BF⊥DF，AC∥BF，所以OD∥AC，∠ODB=∠C，由OB=OD得∠ABD=∠ODB，从而可证∠ABC=∠C；（2）连接OG，OD，AD，由BF∥OD，»GD=60°，可求证»BG=»»==60°，由平行线GD AD的性质及三角形的内角和定理可求出∠OHD=90°，由垂径定理便可得出结论．【详解】（1）连接OD，∵DF为⊙O的切线，∴OD⊥DF．∵BF⊥DF，AC∥BF，∴OD∥AC∥BF．∴∠ODB=∠C．∵OB=OD，∴∠ABD=∠ODB．∴∠ABC=∠C．（2）连接OG，OD，AD，DE，DE交AB于H，∵BF∥OD，∴∠OBG=∠AOD，∠OGB=∠DOG，∴»»GD AD==»BG．∵»GD=60°，∴»BG=»»GD AD==60°，∴∠ABC=∠C=∠E=30°，∵OD//CE∴∠ODE=∠E=30°．在△ODH 中，∠ODE=30°，∠AOD=60°，∴∠OHD=90°，∴AB ⊥DE ．∴点D 和点E 关于直线AB 对称．【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理及垂径定理，解答此题的关键是作出辅助线，利用数形结合解答．14．如图，已知AB 是⊙O 的直径，直线CD 与⊙O 相切于C 点，AC 平分∠DAB ． （1）求证：AD ⊥CD ；（2）若AD ＝2，AC=6，求⊙O 的半径R 的长．【答案】（1）证明见解析（2）32【解析】试题分析：（1）连接OC ，由题意得OC ⊥CD ．又因为AC 平分∠DAB ，则∠1=∠2=12∠DAB ．即可得出AD ∥OC ，则AD ⊥CD ； （2）连接BC ，则∠ACB =90°，可证明△ADC ∽△ACB ．则2AD AC AC R ，从而求得R ． 试题解析：（1）证明：连接OC ，∵直线CD 与⊙O 相切于C 点，AB 是⊙O 的直径，∴OC ⊥CD ．又∵AC 平分∠DAB ，∴∠1=∠2=12∠DAB ． 又∠COB =2∠1=∠DAB ，∴AD ∥OC ，∴AD ⊥CD ．（2）连接BC ，则∠ACB =90°，在△ADC 和△ACB 中∵∠1=∠2，∠3=∠ACB =90°，∴△ADC ∽△ACB ．∴2AD AC AC R= ∴R =2322AC AD = 15．如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，点E 在CB 的延长线上，连结AC 、AE ，∠ACB =∠BAE =45°．（1）求证：AE 是⊙O 的切线；（2）若AB=AD ，AC =32，tan ∠ADC=3，求BE 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）52BE = 【解析】试题分析：（1）连接OA 、OB ，由圆周角定理得出∠AOB=2∠ACB=90°，由等腰直角三角形的性质得出∠OAB=∠OBA=45°，求出∠OAE=∠OAB+∠BAE=90°,即可得出结论；（2）过点A 作AF ⊥CD 于点F,由AB=AD ，得到∠ACD =∠ACB =45°，在Rt △AFC 中可求得AF ＝3，在Rt △AFD 中求得DF ＝1，所以AB ＝AD ＝10 ，CD = CF +DF =4，再证明△ABE ∽△CDA ，得出BE AB DA CD=，即可求出BE 的长度； 试题解析： （1）证明：连结OA ，OB ，∵∠ACB =45°，∴∠AOB =2∠ACB = 90°，∵OA=OB ，∴∠OAB =∠OBA =45°，∵∠BAE =45°，∴∠OAE =∠OAB +∠BAE =90°，∴OA ⊥AE ．∵点A 在⊙O 上，∴AE 是⊙O 的切线．（2）解：过点A 作AF ⊥CD 于点F ，则∠AFC =∠AFD =90°． ∵AB=AD ， ∴AB u u u r =AD u u u r∴∠ACD =∠ACB =45°，在Rt △AFC 中，∵AC =∠ACF =45°，∴AF=CF=AC ·sin ∠ACF =3，∵在Rt △AFD 中， tan ∠ADC=3AF DF =， ∴DF =1，∴AB AD ==且CD = CF +DF =4，∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∴∠ABE =∠CDA ，∵∠BAE =∠DCA ，∴△ABE ∽△CDA ， ∴BE AB DA CD =，∴=∴5 BE ．2。

20XX年高中测试高中试题试卷科目：年级：考点：监考老师：日期：2021年 中考数学 专题复习：圆一、选择题（本大题共10道小题）1. 如图，圆锥的底面半径r ＝6，高h ＝8，则圆锥的侧面积是( )A ．15πB ．30πC ．45πD ．60π2. (2019•广元)如图，AB ，AC 分别是⊙O 的直径和弦，OD AC ⊥于点D ，连接BD ，BC ，且10AB =，8AC =，则BD 的长为A ．5B ．4C ．13D ．4.83. 如图，在△MBC 中，∠MBC ＝90°，∠C ＝60°，MB ＝2 3，点A 在MB上，以AB 为直径作⊙O 与MC 相切于点D ，则CD 的长为( )A. 2B. 3C ．2D ．34.如图，⊙O的半径为4，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC，若∠BAC 与∠BOC互补，则弦BC的长为( )A. 33B. 43C. 53D. 635. 如图，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE交于点F，下列三角形中，外心不是点O的是()A．△ABE B．△ACFC．△ABD D．△ADE6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝23，以点B为圆心，BC的长为半径作弧，交AB于点D，若点D为AB的中点，则阴影部分的面积是( )A. 23－23πB. 43－23πC. 23－43πD.23π7. 如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm.若不计容器壁厚度，则球的半径为( )A ．5 cmB ．6 cmC ．7 cmD ．8 cm8. 2019·宁波 如图所示，在矩形纸片ABCD 中，AD ＝6 cm ，把它分割成正方形纸片ABFE 和矩形纸片EFCD 后，分别裁出扇形BAF 和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则AB 的长为( )A ．3.5 cmB ．4 cmC ．4.5 cmD ．5 cm9. 如图，C 为扇形OAB 的半径OB 上一点，将△OAC 沿AC 折叠，点O 恰好落在AB︵上的点D 处，且BD ︵l ∶AD ︵l ＝1∶3(BD ︵l 表示BD︵的长)．若将此扇形OAB 围成一个圆锥，则圆锥的底面半径与母线长的比为( )A ．1∶3B ．1∶πC ．1∶4D ．2∶910. 2017·衢州运用图变化的方法研究下列问题：如图AB 是⊙O 的直径，CD ，EF 是⊙O 的弦，且AB ∥CD ∥EF ，AB ＝10，CD ＝6，EF ＝8，则图阴影部分的面积是( )图A.252πB ．10πC ．24＋4πD ．24＋5π二、填空题（本大题共7道小题）11. 如图，在平面直角坐标系中，已知C(3，4)，以点C 为圆心的圆与y 轴相切．点A ，B 在x 轴上，且OA ＝OB.P 为⊙C 上的动点，∠APB ＝90°，则AB 长的最大值为________．12. 2019·随州如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，点C 在AMB ︵上．若∠OBA ＝50°，则∠C 的度数为________．13. (2019•海南)如图，O 与正五边形ABCDE 的边AB 、DE 分别相切于点B 、D ，则劣弧BD 所对的圆心角BOD 的大小为__________度．14. 如图，AB ，CD是半径为5的⊙O 的两条弦，AB ＝8，CD ＝6，MN 是⊙O的直径，AB ⊥MN 于点E ，CD ⊥MN 于点F ，P 为EF 上的任意一点，则PA ＋PC 的最小值为________．15. 如图，⊙M 的圆心为M (－2，2)，半径为2，直线AB 过点A (0，－2)，B (2，0)，则⊙M 关于y 轴对称的⊙M ′与直线AB 的位置关系是________．16. 如图，已知A ，B ，C 为⊙O 上的三个点，且AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝120°，点P 从点A 出发，沿AMB ︵向点B 运动，连接CP 与弦AB 相交于点D ，当△ACD 为直角三角形时，AMP ︵的长为________．17. 如图，AB ，AC 分别为⊙O 的内接正四边形与内接正三角形的一边，而BC 恰好是⊙O 内接正n 边形的一边，则n 等于________．三、解答题（本大题共4道小题）18. 如图，AB 是⊙O 的直径，C 为BD ︵的中点，CF 为⊙O 的弦，且CF ⊥AB ，垂足为E ，连接BD 交CF 于点G ，连接CD ，AD ，BF. (1)求证：△BFG ≌△CDG ； (2)若AD ＝BE ＝2，求BF 的长．19.如图，△ABC 内接于⊙O ，∠B ＝60°，CD 是⊙O 的直径，P 是CD 的延长线上一点，且AP＝AC.(1)求证：P A是⊙O的切线；(2)若PD＝5，求⊙O的直径．20. 如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交△ABC的外接圆⊙O于点D，连接BD，过点D作直线DM，使∠BDM＝∠DAC.求证：直线DM是⊙O的切线．21. 如图，直线AB经过⊙O上的点C，直线AO与⊙O交于点E和点D，OB与⊙O交于点F，连接DF，DC.已知OA＝OB，CA＝CB.(1)求证：直线AB是⊙O的切线；(2)求证：∠CDF＝∠EDC；(3)若DE ＝10，DF ＝8，求CD 的长．2021年 中考数学 专题复习：圆-答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】D[解析] 圆锥的高、母线和底面半径构成直角三角形，其中r ＝6，h＝8，所以母线长为10，所以圆锥的侧面积＝πrl ＝π×6×10＝60π.故选D.2. 【答案】C【解析】∵AB 为直径，∴90ACB ∠=︒，∴6BC ===， ∵OD AC ⊥，∴142CD AD AC ===，在Rt CBD △中，BD ==C ．3. 【答案】C[解析] 在Rt △BCM 中，∠MBC ＝90°，∠C ＝60°，∴∠BMC ＝30°，∴BC ＝12MC ，即MC ＝2BC.由勾股定理，得MC2＝BC2＋MB2.∵MB ＝2 3，∴(2BC)2＝BC2＋12，∴BC ＝2.∵AB 为⊙O 的直径，且AB ⊥BC ，∴BC 为⊙O的切线．又∵CD也为⊙O的切线，∴CD＝BC＝2.4. 【答案】B 【解析】如解图，延长CO交⊙O于点A′，连接A′B.设∠BAC＝α，则∠BOC＝2∠BAC＝2α，∵∠BAC＋∠BOC＝180°，∴α＋2α＝180°，∴α＝60°.∴∠BA′C＝∠BAC ＝60°，∵CA′为直径，∴∠A′BC＝90°，则在Rt△A′BC中，BC＝A′C·sin∠BA′C＝2×4×32＝43.5. 【答案】B6. 【答案】A【解析】设BC＝x，∵D为AB的中点，∴AB＝2BC＝2x,∴在Rt△ABC中，由勾股定理有(2x)2－x2＝(23)2，解得x＝2，又∵sin A＝BC AB＝12，∴∠A＝30°，∠B＝60°，∴S阴影＝S△ABC－S扇形BCD＝12×2×23－60×π×22360＝23－23π.7. 【答案】A[解析] 作出该球轴截面的示意图如图所示．依题意，得BE＝2 cm，AE＝CE＝4 cm.设OE＝x cm，则OA＝(2＋x)cm.∵OA2＝AE2＋OE2，∴(2＋x)2＝42＋x2，解得x＝3，故该球的半径为5 cm.8. 【答案】B9. 【答案】D10. 【答案】A [解析] 如图作直径CG ，连接OD ，OE ，OF ，DG .∵CG 是⊙O 的直径，∴∠CDG ＝90°，则DG ＝CG2－CD2＝8.又∵EF ＝8，∴DG ＝EF ，∴DG ︵＝EF ︵，∴S 扇形ODG ＝S 扇形OEF .∵AB ∥CD ∥EF ，∴S △OCD ＝S △ACD ，S △OEF ＝S △AEF ，∴S 阴影＝S 扇形OCD ＋S 扇形OEF ＝S 扇形OCD ＋S 扇形ODG ＝S 半圆＝12π×52＝252π.二、填空题（本大题共7道小题）11. 【答案】1612. 【答案】40°13. 【答案】144【解析】五边形ABCDE 是正五边形，∴(52)1801085E A -⨯︒∠=∠==︒．∵AB 、DE 与O 相切，∴90OBA ODE ∠=∠=︒，∴(52)1809010810890144BOD ∠=-⨯----=︒︒︒︒︒︒，故答案为：144．14. 【答案】7 2 [解析] 如图，连接OB ，OC ，BC ，则BC 的长即为P A ＋PC 的最小值．过点C 作CH ⊥AB 于点H ，则四边形EFCH 为矩形，∴CH ＝EF ，EH ＝CF .根据垂径定理，得BE ＝12AB ＝4，CF ＝12CD ＝3，∴OE ＝OB2－BE2＝52－42＝3，OF ＝OC2－CF2＝52－32＝4， ∴CH ＝EF ＝OE ＋OF ＝3＋4＝7，BH ＝BE ＋EH ＝BE ＋CF ＝4＋3＝7.在Rt △BCH 中，由勾股定理，得BC ＝7 2，则P A ＋PC 的最小值为7 2.15. 【答案】相交 [解析] ∵⊙M 的圆心为M (－2，2)，则⊙M 关于y 轴对称的⊙M ′的圆心为M ′(2，2)．因为M ′B ＝2>点M ′到直线AB 的距离，所以直线AB 与⊙M ′相交．16. 【答案】43π或2π [解析] 易得⊙O 的半径为2，∠A ＝30°.要使△ACD 为直角三角形，分两种情况：①当点P 位于AMB ︵的中点时，∠ADC ＝90°，△ACD 为直角三角形，此时∠ACP ＝60°，可得∠AOP ＝120°，所以AMP ︵的长为120π×2180＝43π；②当∠ACP ＝90°时，△ACD 为直角三角形，此时∠AOP ＝180°，所以AMP ︵的长为180π×2180＝2π.综上可得，AMP ︵的长为43π或2π.17. 【答案】12 [解析] 连接OA ，OB ，OC ，如图．∵AB ，AC 分别为⊙O 的内接正四边形与内接正三角形的一边，∴∠AOB ＝90°，∠AOC ＝120°，∴∠BOC ＝∠AOC －∠AOB ＝30°，∴n ＝360°30°＝12，即BC 恰好是⊙O 内接正十二边形的一边．三、解答题（本大题共4道小题）18. 【答案】解：(1)证明：∵C 为BD ︵的中点，∴CD ︵＝BC ︵.∵AB 是⊙O 的直径，且CF ⊥AB ，∴BC ︵＝BF ︵，∴CD ︵＝BF ︵，∴CD ＝BF.在△BFG 和△CDG 中，⎩⎨⎧∠F ＝∠CDG ，∠FGB ＝∠DGC ，BF ＝CD ，∴△BFG ≌△CDG(AAS)．(2)解法一：如图①，连接OF.设⊙O 的半径为r.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°.在Rt △ADB 中，BD2＝AB2－AD2，即BD2＝(2r)2－22.在Rt △OEF 中，OF2＝OE2＋EF2，即EF2＝r2－(r －2)2.由(1)知CD ︵＝BC ︵＝BF ︵，∴BD ︵＝CF ︵，∴BD ＝CF ，∴BD2＝CF2＝(2EF)2＝4EF2，即(2r)2－22＝4[r2－(r －2)2]，解得r ＝1(不合题意，舍去)或r ＝3，∴BF2＝EF2＋BE2＝32－(3－2)2＋22＝12，∴BF ＝2 3.解法二：如图②，连接OC ，交BD 于点H.∵C 是BD ︵的中点，∴OC ⊥BD ，∴DH ＝BH.∵OA ＝OB ，∴OH ＝12AD ＝1.∵∠COE ＝∠BOH ，∠OEC ＝∠OHB ＝90°，OC ＝OB ， ∴△COE ≌△BOH(AAS)，∴OE ＝OH ＝1，∴OC ＝OB ＝OE ＋BE ＝3.∵CF ⊥AB ，∴CE ＝EF ＝OC2－OE2＝32－12＝2 2，∴BF ＝BE2＋EF2＝22＋（2 2）2＝2 3.19. 【答案】解：(1)证明：如图，连接OA .∵∠B ＝60°，∴∠AOC ＝2∠B ＝120°.又∵OA ＝OC ，∴∠OAC＝∠OCA＝30°.又∵AP＝AC，∴∠P＝∠OCA＝30°，∴∠OAP＝∠AOC－∠P＝90°，∴OA⊥P A.又∵OA是⊙O的半径，∴P A是⊙O的切线．(2)在Rt△OAP中，∵∠P＝30°，∴PO＝2OA＝OD＋PD.又∵OA＝OD，∴PD＝OD＝OA.∵PD＝5，∴2OA＝2PD＝2 5，∴⊙O的直径为2 5.20. 【答案】证明：如图，作直径DG，连接BG.∵点E是△ABC的内心，∴AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC.∵∠G＝∠BAD，∠BDM＝∠DAC，∴∠BDM＝∠G.∵DG为⊙O的直径，∴∠GBD＝90°，∴∠G＋∠BDG＝90°，∴∠BDM＋∠BDG＝90°，即∠MDG＝90°.又∵OD是⊙O的半径，∴直线DM是⊙O的切线．21. 【答案】解：(1)证明：如图，连接OC.∵OA＝OB，AC＝CB，∴OC⊥AB.又∵点C在⊙O上，∴直线AB是⊙O的切线．(2)证明：∵OA＝OB，AC＝CB，∴∠AOC＝∠BOC.∵OD＝OF，∴∠ODF＝∠OFD.∵∠AOB＝∠ODF＋∠OFD＝∠AOC＋∠BOC，∴∠BOC＝∠OFD，∴OC∥DF，∴∠CDF＝∠OCD.∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，∴∠CDF＝∠EDC.(3)如图，过点O作ON⊥DF于点N，延长DF交AB于点M.∵ON⊥DF，∴DN＝NF＝4.在Rt△ODN中，∵∠OND＝90°，OD＝5，DN＝4，∴ON＝OD2－DN2＝3.由(2)知OC∥DF，∴∠OCM＋∠CMN＝180°.由(1)知∠OCM＝90°，∴∠CMN＝90°＝∠OCM＝∠MNO，∴四边形OCMN是矩形，∴CM＝ON＝3，MN＝OC＝5.在Rt△CDM中，∵∠DMC＝90°，CM＝3，DM＝DN＋MN＝9，∴CD＝DM2＋CM2＝92＋32＝310.。

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阶段检测7 圆一、选择题（本大题有１0小题，每小题４分，共40分.请选出各小题中唯一的正确选项，不选、多选、错选,均不得分）１.在公园的O处附近有E、F、G、H四棵树,位置如图所示(图中小正方形的边长均相等)现计划修建一座以O为圆心,OＡ为半径的圆形水池,要求池中不留树木,则E、Ｆ、G、H四棵树中需要被移除的为（ )A．E、Ｆ、Ｇ B.F、G、H C.G、H、E Ｄ.Ｈ、E、Ｆ第1题图第２题图第4题图第５题图第６题图2．如图所示,AＢ是⊙Ｏ的直径,点C为⊙O外一点,CA，CD是⊙O的切线，A,D为切点,连结BD,AD。

若∠ACD=３0°,则∠DBＡ的大小是( )Ａ．15° B.30° C.６０°Ｄ．75°3.已知正六边形的边长为２，则它的内切圆的半径为（ )Ａ.1 Ｂ。

错误! C．2 D．2错误!４．如图,圆O通过五边形ＯAＢＣD的四个顶点.若错误!＝1５０°，∠A=６5°,∠D=60°,则错误!的度数为何?（ )Ａ．２5°Ｂ．40° C.５０° D.55°5．如图,有一圆O通过△ABC的三个顶点．若∠B＝7５°，∠Ｃ=６0°，且错误!的长度为4π,则BC的长度为何?( )A.８ B．8错误! C.1６ D．16错误!6．如图，△ＡBC的顶点均在⊙Ｏ上,若∠Ａ＝3６°，则∠BOＣ的度数为( )Ａ.１8° B.３6° C．60° D.72°7．如图,I是△ＡBC的内心,AＩ的延长线和△AＢＣ的外接圆相交于点D，连结ＢＩ、BD、DC。

2020-2021中考数学圆的综合的综合复习含答案解析一、圆的综合1．（类比概念）三角形的内切圆是以三个内角的平分线的交点为圆心，以这点到三边的距离为半径的圆，则三角形可以称为圆的外切三角形，可以得出三角形的三边与该圆相切．以此类推，如图1，各边都和圆相切的四边形称为圆外切四边形（性质探究）如图1，试探究圆外切四边形的ABCD两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系猜想结论：（要求用文字语言叙述）写出证明过程（利用图1，写出已知、求证、证明）（性质应用）①初中学过的下列四边形中哪些是圆外切四边形（填序号）A：平行四边形：B：菱形：C：矩形；D：正方形②如图2，圆外切四边形ABCD，且AB=12，CD=8，则四边形的周长是．③圆外切四边形的周长为48cm，相邻的三条边的比为5：4：7，求四边形各边的长．【答案】见解析.【解析】【分析】（1）根据切线长定理即可得出结论；（2）①圆外切四边形是内心到四边的距离相等，即可得出结论；②根据圆外切四边形的对边和相等，即可求出结论；③根据圆外切四边形的性质求出第四边，利用周长建立方程求解即可得出结论．【详解】性质探讨：圆外切四边形的对边和相等，理由：如图1，已知：四边形ABCD的四边AB，BC，CD，DA都于⊙O相切于G，F，E，H．求证：AD+BC=AB+CD．证明：∵AB，AD和⊙O相切，∴AG=AH，同理：BG=BF，CE=CF，DE=DH，∴AD+BC=AH+DH+BF+CF=AG+BG+CE+DE=AB+CD，即：圆外切四边形的对边和相等．故答案为：圆外切四边形的对边和相等；性质应用：①∵根据圆外切四边形的定义得：圆心到四边的距离相等．∵平行四边形和矩形不存在一点到四边的距离相等，而菱形和正方形对角线的交点到四边的距离相等．故答案为：B，D；②∵圆外切四边形ABCD ，∴AB +CD =AD +BC ．∵AB =12，CD =8，∴AD +BC =12+8=20，∴四边形的周长是AB +CD +AD +BC =20+20=40． 故答案为：40；③∵相邻的三条边的比为5：4：7，∴设此三边为5x ，4x ，7x ，根据圆外切四边形的性质得：第四边为5x +7x ﹣4x =8x ．∵圆外切四边形的周长为48cm ，∴4x +5x +7x +8x =24x =48，∴x =2，∴此四边形的四边为4x =8cm ，5x =10cm ，7x =14cm ，8x =16cm ．【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了新定义圆的外切的性质，四边形的周长，平行四边形，矩形，菱形，正方形的性质，切线长定理，理解和掌握圆外切四边形的定义是解答本题的关键．2．如图，AB 为⊙O 的直径，点E 在⊙O 上，过点E 的切线与AB 的延长线交于点D ，连接BE ，过点O 作BE 的平行线，交⊙O 于点F ，交切线于点C ，连接AC （1）求证：AC 是⊙O 的切线；（2）连接EF ，当∠D= °时，四边形FOBE 是菱形．【答案】（1）见解析；（2）30. 【解析】 【分析】（1）由等角的转换证明出OCA OCE ∆∆≌，根据圆的位置关系证得AC 是⊙O 的切线. （2）根据四边形FOBE 是菱形，得到OF=OB=BF=EF ，得证OBE ∆为等边三角形，而得出60BOE ∠=︒，根据三角形内角和即可求出答案. 【详解】（1）证明：∵CD 与⊙O 相切于点E ， ∴OE CD ⊥，∴90CEO ∠=︒， 又∵OC BE P ，∴COE OEB ∠=∠，∠OBE=∠COA ∵OE=OB ，∴OEB OBE ∠=∠， ∴COE COA ∠=∠， 又∵OC=OC ，OA=OE ， ∴OCA OCE SAS ∆∆≌（）， ∴90CAO CEO ∠=∠=︒， 又∵AB 为⊙O 的直径， ∴AC 为⊙O 的切线；（2）解：∵四边形FOBE 是菱形， ∴OF=OB=BF=EF ， ∴OE=OB=BE ，∴OBE ∆为等边三角形， ∴60BOE ∠=︒， 而OE CD ⊥， ∴30D ∠=︒． 故答案为30． 【点睛】本题主要考查与圆有关的位置关系和圆中的计算问题，熟练掌握圆的性质是本题的解题关键.3．如图，在平面直角坐标系xoy 中，E （8,0），F(0 , 6)． （1）当G(4，8)时，则∠FGE= °（2）在图中的网格区域内找一点P ，使∠FPE=90°且四边形OEPF 被过P 点的一条直线分割成两部分后，可以拼成一个正方形．要求：写出点P 点坐标，画出过P 点的分割线并指出分割线（不必说明理由，不写画法）．【答案】（1）90；（2）作图见解析，P （7，7），PH 是分割线． 【解析】试题分析：（1）根据勾股定理求出△FEG 的三边长，根据勾股定理逆定理可判定△FEG 是直角三角形，且∠FGE="90" °．（2）一方面，由于∠FPE=90°，从而根据直径所对圆周角直角的性质，点P在以EF为直径的圆上；另一方面，由于四边形OEPF被过P点的一条直线分割成两部分后，可以拼成一个正方形，从而OP是正方形的对角线，即点P在∠FOE的角平分线上，因此可得P（7，7），PH是分割线．试题解析：（1）连接FE，∵E（8,0），F(0 , 6)，G(4，8)，∴根据勾股定理，得FG=，EG=，FE=10．∵，即．∴△FEG是直角三角形，且∠FGE=90 °．（2）作图如下：P（7，7），PH是分割线．考点：1．网格问题；2．勾股定理和逆定理；3．作图（设计）；4．圆周角定理．4．如图，在锐角△ABC中，AC是最短边．以AC为直径的⊙O，交BC于D，过O作OE∥BC，交OD于E，连接AD、AE、CE．（1）求证：∠ACE=∠DCE；（2）若∠B=45°，∠BAE=15°，求∠EAO的度数；（3）若AC=4，23CDFCOESS∆∆=，求CF的长．【答案】（1）证明见解析，（2）60°；（3）43【解析】 【分析】（1）易证∠OEC =∠OCE ，∠OEC =∠ECD ，从而可知∠OCE =∠ECD ，即∠ACE =∠DCE ； （2）延长AE 交BC 于点G ，易证∠AGC =∠B +∠BAG =60°，由于OE ∥BC ，所以∠AEO =∠AGC =60°，所以∠EAO =∠AEO =60°； （3）易证12COE CAE S S =V V ，由于23CDF COE S S =V V ，所以CDF CAE S S V V =13，由圆周角定理可知∠AEC =∠FDC =90°，从而可证明△CDF ∽△CEA ，利用三角形相似的性质即可求出答案． 【详解】（1）∵OC =OE ，∴∠OEC =∠OCE ．∵OE ∥BC ，∴∠OEC =∠ECD ，∴∠OCE =∠ECD ，即∠ACE =∠DCE ； （2）延长AE 交BC 于点G ．∵∠AGC 是△ABG 的外角，∴∠AGC =∠B +∠BAG =60°． ∵OE ∥BC ，∴∠AEO =∠AGC =60°． ∵OA =OE ，∴∠EAO =∠AEO =60°．（3）∵O 是AC 中点，∴12COE CAE S S =V V ． 23CDF COE S S =V V Q，∴CDF CAE SS V V =13． ∵AC 是直径，∴∠AEC =∠FDC =90°． ∵∠ACE =∠FCD ，∴△CDF ∽△CEA ，∴CF CA =3，∴CF =3CA =43．【点睛】本题考查了圆的综合问题，涉及平行线的性质，三角形的外角的性质，三角形中线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质等知识，需要学生灵活运用所学知识．5．如图，△ABC中，∠A=45°，D是AC边上一点，⊙O经过D、A、B三点，OD∥BC．（1）求证：BC与⊙O相切；（2）若OD=15，AE=7，求BE的长．【答案】(1)见解析;(2)18.【解析】分析：（1）连接OB，求出∠DOB度数，根据平行线性质求出∠CBO=90°，根据切线判定得出即可；（2）延长BO交⊙O于点F，连接AF，求出∠ABF，解直角三角形求出BE．详解：（1）证明：连接OB．∵∠A=45°，∴∠DOB=90°．∵OD∥BC，∴∠DOB+∠CBO=180°．∴∠CBO=90°．∴直线BC是⊙O的切线．（2）解：连接BD．则△ODB是等腰直角三角形，∴∠ODB=45°，BD=OD=15，∵∠ODB=∠A，∠DBE=∠DBA，∴△DBE∽△ABD，∴BD2=BE•BA，∴（15）2=（7+BE）BE，∴BE=18或﹣25（舍弃），∴BE=18．点睛：本题考查了切线的判定，圆周角定理，解直角三角形等知识点，能综合运用定理进行推理和计算是解此题的关键，题目综合性比较强，难度偏大．6．函数是描述客观世界运动变化的重要模型，理解函数的本质是重要的任务。

2021中考数学考点综合复习专题【圆】解答题考点专项巩固复习（含解析）1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB上的中线CD为直径作⊙O，分别与AC、BC 交于点M、N．（1）过点N作NE⊥AB于点E，求证：NE是⊙O的切线；（2）连接MD，若MD＝5，BE＝4，求DE的长．2．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，△ABC的外角平分线BD交⊙O于D，DE∥AC交CB 的延长线于E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若∠A＝30°，BD＝3，求BC的长．3．如图，AB是⊙O的弦，点C为半径OA上的一点，过点C作CD⊥OA交弦AB于点E，连接BD，且DE＝DB．（1）判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由．（2）若CD＝15，BE＝10，tan A＝，求⊙O的直径．4．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，D是的中点，BD交AC于点E，F是AC延长线一点，且FE＝FB．（1）求证：FB是⊙O的切线；（2）已知AB＝2，AD＝2，求FB的长．5．如图，AC为⊙O的直径，B为AC延长线上一点，且∠BAD＝∠ABD＝30°，BC＝1，AD为⊙O 的弦，连接BD，连接DO并延长交⊙O于点E，连接BE交⊙O于点M．（1）求证：直线BD是⊙O的切线；（2）求⊙O的半径OD的长；（3）求线段BM的长．6．如图，AB是⊙O的直径，AC⊥AB，E为⊙O上的一点，AC＝EC，延长CE交AB的延长线于点D．（1）求证：CE为⊙O的切线；（2）若OF⊥AE，OF＝1，∠OAF＝30°，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）7．如图是输水管的切面，阴影部分是有水部分，其中水面AB宽10cm，水最深3cm，求输水管的半径．8．如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径．∠ACB的平分线交⊙O于点D，过点D作直线l交CA的延长线于点P，且∠ADP＝∠BCD，过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F．（1）求证：DP∥AB；（2）求证：PD是⊙O的切线；（3）若AC＝6，BC＝8，求线段PD的长．9．如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E，连接AC、OC、BC．（1）求证：∠ACO＝∠BCD；（2）若EB＝8cm，CD＝24cm，求⊙O的半径．10．如图，已知AB是⊙O的直径，直线BC与⊙O相切于点B，过点A作AD∥OC交⊙O于点D，连接CD．（1）求证：CD是⊙O的切线．（2）若AD＝4，直径AB＝12，求线段BC的长．参考答案1．（1）证明：连接ON，如图1所示：则ON＝OC，∴∠OCN＝∠ONC，∵CD是斜边AB上的中线，∴CD＝BD＝AB，∴∠OCN＝∠B，∴∠ONC＝∠B，∴ON∥AB，∵NE⊥AB，∴NE⊥ON，∴NE是⊙O的切线；（2）解：连接ND，如图2所示：∵CD为⊙O的直径，∴∠CND＝∠CMD＝90°，∵∠ACB＝90°，∴四边形MDNC为矩形，∴MD＝NC＝5，∵∠CD＝BD，∠CND＝90°，∴BN＝NC＝5，NE＝＝＝3，∵∠DNB＝∠NEB＝90°，∠B＝∠B，∴△DNB∽△NEB，∴＝，即＝，∴BD＝，∴DE＝BD﹣BE＝﹣4＝．2．解：（1）如图1，连接OD，∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠OBD．∵BD是△ABC的外角平分线，∴∠DBE＝∠OBD．∴∠DBE＝∠ODB，∴BE∥OD，∵AB是⊙O的直径，∴∠C＝90°，∵DE∥AC，∴∠DEB＝90°，∴OD⊥DE且点D在⊙O上．∴直线DE与⊙O相切；（2）如图1，连接OC，∵∠A＝30°，∴∠BOC＝60°，∵OB＝OC，∴△BOC是等边三角形．∴∠OBC＝60°，∵BE∥OD，∴∠DOB＝60°，∴∠DOB＝∠BOC，∴BD＝BC＝3．3．解：（1）BD是⊙O的切线．理由如下：连接OB，∵OB＝OA，DE＝DB，∴∠A＝∠OBA，∠DEB＝∠ABD，又∵CD⊥OA，∴∠A+∠AEC＝∠A+∠DEB＝90°，∴∠OBA+∠ABD＝90°，∴OB⊥BD，∴BD是⊙O的切线．（2）如图，过点D作DG⊥BE于点G，∵DE＝DB，∴EG＝BE＝5，∵∠ACE＝∠DGE＝90°，∠AEC＝∠GED，∴∠GDE＝∠A，∴△ACE∽△DGE，∴tan∠EDG＝tan A＝，即DG＝12，在Rt△EDG中，∵DG＝＝12，∴DE＝13，∵CD＝15，∴CE＝2，∵＝，∴AC＝，AE＝＝，∴AB＝BE+AE＝，∵OF⊥AB，∴AF＝FB＝，∵△ACE∽△AOF∴＝，∴＝，∴AO＝∴⊙O的直径为2OA＝．4．（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠D＝90°，∵，∴∠ABD＝∠DAC，∵FB＝FE，∴∠FBE＝∠FEB，又∴∠FEB＝∠AED，∴∠FBE+∠ABD＝∠AED+∠ADC＝90°，∴FB⊥OB，∴FB是⊙O的切线；（2）解：在Rt△ABD中，由勾股定理得：BD＝，∵∠ABD＝∠DAC，∠D＝∠D，∴△ADB∽△EDA，∴，∴，∴DE＝1，在Rt△AED中，由勾股定理得，AE＝＝，设FB＝FE＝x，在Rt△ABF中，由勾股定理得：，解得：x＝．即FB的长为．5．解：（1）证明：∵OA＝OD，∠BAD＝∠ABD＝30°，∴∠BAD＝∠ADO＝30°，∴∠DOB＝∠BAD+∠ADO＝60°，∴∠ODB＝∠180°﹣∠DOB﹣∠ABD＝90°，∵OD为⊙O的半径，∴直线BD是⊙O的切线；（2）∵∠ODB＝90°，∠ABD＝30°，∴OD＝OB，∵OC＝OD，∴BC＝OC＝1，∴⊙O的半径OD的长为1；（3）∵OD＝1，∴DE＝2，BD＝，∴BE＝＝，如图，连接DM，∵DE为⊙O的直径，∴∠DME＝90°，∴∠DMB＝90°，∵∠EDB＝90°，∴∠EDB＝∠DME，又∵∠DBM＝∠EBD，∴△BMD∽△BDE，∴＝，∴BM＝＝＝．∴线段BM的长为．6．（1）证明：连接OE，∵AC＝EC，OA＝OE，∴∠CAE＝∠CEA，∠FAO＝∠FEO，∵AC⊥AB，∴∠CAD＝90°，∴∠CAE+∠EAO＝90°，∴∠CEA+∠AEO＝90°，即∠CEO＝90°，∴OE⊥CD，∴CE为⊙O的切线；（2）解：∵∠OAF＝30°，OF＝1∴AO＝2；∴AF＝即AE＝；∴；∵∠AOE＝120°，AO＝2；∴；＝．∴S阴影7．解：设圆形切面的半径为r，过点O作OD⊥AB于点D，交⊙O于点E，则AD＝BD＝AB＝×10＝5cm，∵最深地方的高度是3cm，∴OD＝r﹣3，在Rt△OBD中，OB2＝BD2+OD2，即r2＝52+（r﹣3）2，解得r＝（cm），∴输水管的半径为cm．8．（1）证明：∵∠ADP＝∠BCD，∠BCD＝∠BAD，∴∠ADP＝∠BAD，∴DP∥AB；（2）证明：连接OD，如图所示：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠ACB的平分线交⊙O于点D，∴∠ACD＝∠BCD＝45°，∴∠DAB＝∠ABD＝45°，∴△DAB是等腰直角三角形，∵OA＝OB，∴OD⊥AB，∵DP∥AB，∴OD⊥PD，∴PD是⊙O的切线；（3）解：在Rt△ACB中，AB＝＝＝10，∵△DAB为等腰直角三角形，∴AD＝AB＝5，∵AE⊥CD，∴△ACE为等腰直角三角形，∴AE＝CE＝AC＝3，在Rt△AED中，DE＝＝＝4，∴CD＝CE+DE＝3+4＝7，∵∠PDA＝∠PCD，∠P＝∠P，∴△PDA∽△PCD，∴＝＝＝＝，∴PA＝PD，PC＝PD，∵PC＝PA+AC，∴PD+6＝PD，解得：PD＝．9．证明：（1）∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∠BCD与∠ACE互余，又∠ACE与∠CAE互余，∴∠BCD＝∠BAC．∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA．∴∠ACO＝∠BCD；（2）设⊙O的半径为Rcm，则OE＝OB﹣EB＝（R﹣8）cm，CE＝CD＝×24＝12cm，在Rt△CEO中，由勾股定理可得：OC2＝OE2+CE2，即R2＝（R﹣8）2+122，解得R＝13．答：⊙O的半径为13cm．10．（1）证明：连接OD，如图所示：∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD．∵AD∥CO，∴∠COD＝∠ODA，∠COB＝∠OAD．∴∠COD＝∠COB．∵OD＝OB，OC＝OC，∴△ODC≌△OBC（SAS）．∴∠ODC＝∠OBC．∵CB是圆O的切线且OB为半径，∴∠CBO＝90°．∴∠CDO＝90°．∴OD⊥CD．又∵CD经过半径OD的外端点D，∴CD为圆O的切线．（2）解：连接BD，∵AB是直径，∴∠ADB＝90°．在直角△ADB中，BD＝＝＝8，∵∠ADB＝∠OBC＝90°，且∠COB＝∠BAD，∴△ADB∽△OBC．∴＝，即＝．∴BC＝12．。