4.示范教案(4.2.1 直线与圆的位置关系 第2课时)

数学与信息科学学院教案课题直线与圆的位置关系专业数学与应用数学指导教师吕晓亚班级2008级3班姓名甘露学号20080241153课题：4.2.1直线和圆的位置关系一、教学目标：1．知识目标：能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系，并解决相关的问题．2．能力目标：通过理论联系实际培养学生建模能力，培养学生数形结合思想与方程的思想．3．情感目标：通过学生的自主探究，培养学生学习的主动性和合作交流的学习习惯.二、教学重点：重点：用代数和几何两种方法判断直线和圆的位置关系．三、教学难点：难点：学生对用方程组的解来判断直线与圆的位置关系方法的理解．四、教学方法：1．教法：讲解法、探索法2．学法：探究发现法3．教学活动：师生互动课型：新授课课时安排：第一课时教学用具：彩色粉笔、多媒体课件五、教学过程1、复习引入首先复习直线的一般式方程：0Ax（A、B不能同时为0）和圆的By=++C一般式方程：2222++++=+->，前面我们x y Dx Ey F D E F0(40)都是单独研究的直线和圆，大家思考一下：如果把直线和圆放入同一个平面研究，直线和圆会有怎样的位置关系呢？初中，我们已学过了直线和圆的位置关系；今天，我们将进一步学习直线和圆的位置关系.学习新知前，让学生观察直线和圆放入同一个平面的动画图象，帮助同学们回忆起直线和圆的三种位置关系：相离、相切、相交.2、探究新知再让同学们仔细观察一组圆心到直线的距离d 与圆的半径r 的大小关系不断变化的一组图象.提出问题1:针对相离、相切、相交这三种直观的位置关系，观察图像，能否用数学量来判断这三种位置关系呢？学生可能一时不知道怎么答.引导性的提出问题2：三种位置关系下，直线与圆的公共点个数分别在发生哪些改变？d 和r 的大小关系是怎样变化的？待同学们归纳出新知：可以用交点个数和d 与r 的大小关系判断直线和圆的位置关系.根据这两个思路，带着学生进入例题的讲解.3、例题讲解例1如图1，已知直线l ：360x y +-=和圆心为C 的圆 : 22240x y y +--=,判断直线 l 与圆的位置关系；如果相交，求它们交点的坐标．分析：方法一，判断直线l 与圆的位置关系，就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解．解法一：由直线 l 与圆的方程联立，得：消去y 得： ， 因为： = 1 > 0.所以，直线 l 与圆相交，有两个公共点．分析：方法二，可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系，判断直线与圆的位置关系．解法二：圆22240x y y +--=可化为22(1)5xy -+=其圆心C 的坐标为（0，1）C （0，1）到直线 l 的距离：22360,240.x y x y y +-=⎧⎨+--=⎩2(3)412∆=--⨯⨯d ==<2320x x -+=图1所以，直线 l 与圆相交，有两个公共点.由 2320x x -+=，解得 ： 122,1x x ==,把 12x =代入直线方程得：10y =;21x =代入直线方程得：23y =; 所以，直线 l 与圆有两个交点，它们的坐标分别是：A （2，0），B （1，3）例题小结：1、两种判断直线和圆的位置关系的方法：（1）代数法:根据直线与圆的联立方程组的公共解个数判断：0,0,∆<∆∆>相离;=0,相切；相交．（2）几何法:根据圆心到直线的距离d 与圆的半径r 的大小关系判断：d>r ,相离；d=r ,相切； d<r ,相交．2、如果问题只要求判断直线和圆的位置关系，建议选几何法判断；如果要求出交点坐标，建议选代数法求解.4、巩固练习练习：判断直线20x y --=和圆2220x y x +-=的位置关系，如果相交，求出交点坐标．5、课时小结本节课学习了以下内容：1、两种判断直线和圆的位置关系的方法：（1）代数法：根据直线与圆的联立方程组的公共解个数判断；0,0,∆<∆∆>相离;=0,相切；相交（2）几何法:根据圆心到直线的距离d 与圆的半径r 的大小关系判断. d r >,相离；d r =,相切；d r <,相交.2、要求出交点坐标，用代数法；只判断位置关系，用几何法.3、点出数形结合的思想，要学生注重对这种思想的采用.6、课后作业(1)P132习题4.2A组：2，3，5．(2)选做B组：3．(3)思考：一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径长为30km的圆形区域. 已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？(4)预习下一节圆与圆的位置关系．六、板书设计。

4.2.1 直线与圆的位置关系一、教学目标:1、知识与技能:（1）理解直线与圆的位置关系的种类；（2）会利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离；（3）会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．2、过程与方法:通过学习直线与圆的位置关系，掌握解决问题的方法――几何法、代数法。

3、情感态度与价值观:让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想．二、教学重、难点:重点：直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法．难点：用坐标法判断直线与圆的位置关系．三、教学方法与手段：1、教学方法：讲解法、讨论法、探究法、演示法2、教学手段：多媒体、几何画板四、教学过程：1、提出问题，情境导入教师利用多媒体展示如下问题：问题1：一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛的中心为圆心，半径为30km的圆形区域，已知小岛中心位于轮船正西70km处，港口位于小岛中心正北40km处。

如果轮船沿直线返港，那么它是否会触礁危险？设计意图：让学生感受暗礁这个实际问题中所蕴含的直线与圆的位置关系，思考解决问题的方案。

通过实际问题引入，让学生体会生活中的数学，突出研究直线与圆的位置关系的重要意义。

师生活动：让学生进行讨论、交流，启发学生由图形获取判断直线与圆的位置关系的直观认知，引入新课．师：你怎么判断轮船会不会触礁？利用初中所学的平面几何知识，你能解决这个问题吗？请同学们动手试一下。

生：暗礁所在的圆与轮船航线所在直线是否相交。

师：（板书标题）这个问题，其实可以归结为直线与圆的位置关系。

2、回顾旧知、揭示课题——直线与圆的位置关系问题2：在初中，我们学习过直线与圆的位置关系，即直线与圆相交，有两个公共点，直线与圆相切，有一个公共点；直线与圆相离，没有公共点。

设计意图：从已有的知识经验出发，建立新旧知识之间的联系，构建学生学习的最近发展区，不断加深对问题的理解。

师生活动：引导学生回忆义务教育阶段判断直线与圆的位置关系的思想过程，可以展示下面的表格，使问题直观形象。

第2课时（一）导入新课思路1.一艘轮船在沿直线返回港口的途中,接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70 km处,受影响的范围是半径长为30 km的圆形区域.已知港口位于台风中心正北40 km处,如果这艘轮船不改变航线,那么它是否会受到台风的影响？图2分析：如图2,以台风中心为原点O,以东西方向为x轴,建立直角坐标系,其中,取10 km为单位长度.则台风影响的圆形区域所对应的圆心为O的圆的方程为x2+y2=9；轮船航线所在的直线l的方程为4x+7y-28=0.问题归结为圆心为O的圆与直线l有无公共点.因此我们继续研究直线与圆的位置关系.（二）推进新课、新知探究、提出问题①过圆上一点可作几条切线？如何求出切线方程？②过圆外一点可作几条切线？如何求出切线方程？③过圆内一点可作几条切线？④你能概括出求圆切线方程的步骤是什么吗？⑤如何求直线与圆的交点？⑥如何求直线与圆的相交弦的长?讨论结果：①过圆上一点可作一条切线,过圆x2+y2=r2上一点(x0,y0)的切线方程是x0x+y0y=r2；过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点(x0,y0)的切线方程是(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.②过圆外一点可作两条切线,求出切线方程有代数法和几何法.代数法的关键是把直线与圆相切这个几何问题转化为联立它们的方程组只有一个解的代数问题.可通过一元二次方程有一个实根的充要条件——Δ=0去求出k的值,从而求出切线的方程.用几何方法去求解,要充分利用直线与圆相切的几何性质,圆心到切线的距离等于圆的半径(d=r),求出k的值.③过圆内一点不能作圆的切线.④求圆切线方程,一般有三种方法,一是设切点,利用①②中的切线公式法;二是设切线的斜率,用判别式法;三是设切线的斜率,用图形的几何性质来解,即圆心到切线的距离等于圆的半径(d=r),求出k的值.⑤把直线与圆的方程联立得方程组,方程组的解即是交点的坐标.⑥把直线与圆的方程联立得交点的坐标,结合两点的距离公式来求;再就是利用弦心距、弦长、半径之间的关系来求.（三）应用示例思路1例1 过点P(-2,0)向圆x2+y2=1引切线,求切线的方程.图3点评:过圆外一点向圆可作两条切线；可用三种方法求出切线方程,其中以几何法“d=r”比较好(简便).变式训练已知直线l 的斜率为k,且与圆x 2+y 2=r 2只有一个公共点,求直线l 的方程.活动：学生思考,观察题目的特点,见题想法,教师引导学生考虑问题的思路,必要时给予提示,直线与圆只有一个公共点,说明直线与圆相切.可利用圆的几何性质求解.例2 已知圆的方程为x 2+y 2+ax+2y+a 2=0,一定点为A(1,2),要使过定点A(1,2)作圆的切线有两条,求a 的取值范围.活动：学生讨论,教师指导,教师提问,学生回答,教师对学生解题中出现的问题及时处理,利用几何方法,点A(1,2)在圆外,即到圆心的距离大于圆的半径.点评:过圆外一点可作圆的两条切线,反之经过一点可作圆的两条切线,则该点在圆外.同时注意圆的一般方程的条件.思路2例1 已知过点M(-3,-3)的直线l 被圆x 2+y 2+4y-21=0所截得的弦长为45,求直线l 的方程.活动：学生思考或讨论,教师引导学生考虑问题的思路,求直线l 的方程,一般设点斜式,再求斜率.这里知道弦长,半径也知道,所以弦心距可求,如果设出直线的方程,由点到直线的距离等于弦心距求出斜率；另外也可利用弦长公式,结合一元二次方程根与系数的关系求解.点评:解法一突出了适当地利用图形的几何性质有助于简化计算,强调图形在解题中的作用,加强了数形结合;解法二是利用直线被曲线截得的弦长公式求出斜率后求直线方程,思路简单但运算较繁.变式训练已知圆C ：x 2+(y-1)2=5,直线l:mx-y+1-m=0.(1)求证：对m ∈R ,直线l 与圆C 总有两个不同交点;(2)设l 与圆C 交于不同两点A 、B,若|AB|=17,求l 的倾斜角;(3)求弦AB 的中点M 的轨迹方程;(4)若定点P(1,1)分弦AB 为PB AP =21,求此时直线l 的方程. 例2 已知直线l:y=k(x+22)与圆O:x 2+y 2=4相交于A 、B 两点,O 为坐标原点,△ABO 的面积为S,①试将S表示成k的函数S(k),并指出它的定义域；②求S的最大值,并求出取得最大值时的k值.活动：学生审题,再思考讨论,教师提示学生欲求△ABO的面积,应先求出直线被圆截得的弦长|AB|,将|AB|表示成k的函数.图5点评：在涉及到直线被圆截得的弦长时,要巧妙利用圆的有关几何性质,如本题中的Rt△BOC,其中|OB|为圆半径,|BC|为弦长的一半.变式训练已知x,y满足x2+y2-2x+4y=0,求x-2y的最大值.例3 已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2=25,直线l：(2m+1)x+(m+1)y－7m－4=0(m∈R).(1)证明不论m取什么实数,直线l与圆恒交于两点；(2)求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程.点评：证明直线与圆恒相交,一是可以将直线与圆的方程联立方程组,进而转化为一元二次方程,根据判别式与0的大小来判断,这是通性通法,但过程繁琐,计算量大；二是说明直线过圆内一点,由此直线与圆必相交.对于圆中过A点的弦,以直径为最长,过A点与此直径垂直的弦为最短.变式训练求圆x2+y2+4x-2y+4=0上的点到直线y=x-1的最近距离和最远距离.（四）知能训练1.已知直线l:y=2x－2,圆C:x2＋y2＋2x＋4y＋1=0,请判断直线l与圆C的位置关系,若相交,则求直线l被圆C所截的线段长.点评：(1)解本题之前先要求学生指出解题思路.(2)体会垂直条件是怎样转化的,以及韦达定理的作用：处理x1,x2的对称式.在解析几何中经常运用韦达定理来简化计算.（五）拓展提升已知点P到两个定点M(－1,0)、N(1,0)距离的比为2,点N到直线PM的距离为1,求直线PN的方程.（六）课堂小结1.直线和圆位置关系的判定方法：代数法和几何法.2.直线和圆相切,这类问题主要是求圆的切线方程.求圆的切线方程主要可分为已知斜率k或已知直线上一点两种情况,而已知直线上一点又可分为已知圆上一点和圆外一点两种情况.3.直线和圆相交,这类问题主要是求弦长以及弦的中点问题.注意弦长公式和圆的几何性质.4.求与圆有关的最值问题,往往利用数形结合,因此抽象出式子的几何意义是至关重要的.（七）作业课本习题4.2 A组5、6、7. （八）反思。

教案课题名称：4.2.1直线与圆的位置关系一、教学目标1、知识与技能（1）理解直线与圆的位置的种类；（2）利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离；（3）会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．2、过程与方法设直线l ：0=++c by ax ，圆C ：022=++++F Ey Dx y x ，圆的半径为r ，圆心)2,2(E D --到直线的距离为d ，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：（1）当r d >时，直线l 与圆C 相离；（2）当r d =时，直线l 与圆C 相切；（3）当r d <时，直线l 与圆C 相交；3、情态与价值观让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想．二、教学重点、难点：重点：直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法．难点：用坐标法判直线与圆的位置关系．四、教学过程设计复习提问：1、点与圆有几种位置关系？2、若将点改成直线 ，那么直线与圆的位置关系又如何呢？1、直线 与圆的位置关系：观察右边的三个图形：直线与圆分别有多少个公共点？1、如图1，直线与圆_______公共点，那么这条直线与圆_________。

2、如图2，直线与圆有______公共点时，那么直线与圆________。

此时，这条直线叫做圆的_______，这个公共点叫做_______。

3、如图3，直线与圆有_______公共点时，那么直线与圆________。

此时，这条直线叫做________。

.O a b.A .O c . F .E.O二、学生动手画出圆心到直线的距离d 与半径r 比较，得出结论：1、当d>r 时，直线与圆相离；2、当d=r 时，直线与圆相切；3、当d<r 时，直线与圆相交 。

归纳与小结：三、例题讲解例1 ：如图，已知直线L:063=-+y x 和圆心为C 的圆04222=--+y y x ,判断直线L 与圆的位置关系；如果相交，求它们交点的坐标.解法一：圆04222=--+y y x 可化为5)1(22=-+y x . 其圆心C 的坐标为（0，1），半径长为5 ，点C （0，1）到直线L 的距离所以，直线 l 与圆相交，有两个公共点．解法二：由直线 l 与圆的方程，得：消去y ，得： = 1 > 0510513|6103|22<=+-+⨯=d ⎩⎨⎧=--+=-+.042,06322y y x y x 214)3(2⨯⨯--=∆0232=+-x x所以，直线 l 与圆相交，有两个公共点．所以，直线 l 与圆有两个交点，它们的坐标分别是：A （2，0），B （1，3）四、课堂小结直线与圆的位置关系的判断方法有两种：①代数法：通过直线方程与圆的方程所组成的方程组，根据解的个数来研究，若有两组不同的实数解，即⊿＞０，则相交；若有两组相同的实数解，即⊿＝０，则相切；若无实数解，即⊿＜０，则相离． ②几何法：由圆心到直线的距离d 与半径r 的大小来判断：当d<r 时，直线与圆相交；当d=r 时，直线与圆相切；当d>r 时，直线与圆相离．五、课堂练习1.判断直线 与圆 的位置关系.2.已知直线 ，圆C ： 试判断直线l 与圆C 有无公共点，有几个公共点.由 ，解得： 0232=+-x x 1,221==x x 把 代入方程①，得 ； ,221==x x 01=y 把 代入方程① ，得． 1,221==x x 32=y 0243=++y x 0222=-+x y x 6:+=x y l .04222=--+y y x六、课后练习试解本节引言中的问题.七、课后作业习题4.2 A组1、3、5八、板书设计在教学中我把黑板分为三部分，把知识要点写在左侧，中间多媒体展示，右边实例应用直线与圆的位置关系【教学目标】１．能根据给定的直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系．２．通过直线与圆的位置关系的学习，体会用代数方法解决几何问题的思想．３．通过本节内容的学习，进一步体会到用坐标法解决几何问题的优越性，逐步养成自觉应用坐标法解决几何问题的习惯．【教学重难点】教学重点：直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法．教学难点：用坐标法判直线与圆的位置关系．【教学过程】情景导入、展示目标问题：一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛的中心为圆心，半径为30km的圆形区域。

设计者：高2014级数学备课组课题
名称
§4.2.1 直线与圆的位置关系第1~3课时课型问题解决课
课程标准1、能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系。

2、能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；
3、在平面解析几何初步的学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想。

学习目标
重点难点重点：1、判断直线与圆的位置关系；
2、能用直线和圆的方程解决一些简单的问题。

难点：直线与圆的方程的应用。

知
识
树
学习过程
学习内容（任务）及问题学习活动及行为【模块一】直线与圆的位置关系的判定
问题1、初中学过的平面几何中，直线与圆的位置关系有几类？
我们是怎样判断直线与圆的位置关系的？
问题2、通过学习教科书的例1第1问，你能总结一下判断直
P平分时，求出直线被点。

第2课时导入新课思路1.一艘轮船在沿直线返回港口的途中,接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70 km处,受影响的范围是半径长为30 km的圆形区域.已知港口位于台风中心正北40 km处,如果这艘轮船不改变航线,那么它是否会受到台风的影响？图2分析：如图2,以台风中心为原点O,以东西方向为x轴,建立直角坐标系,其中,取10 km为单位长度.则台风影响的圆形区域所对应的圆心为O的圆的方程为x2+y2=9；轮船航线所在的直线l的方程为4x+7y-28=0.问题归结为圆心为O的圆与直线l有无公共点.因此我们继续研究直线与圆的位置关系.推进新课新知探究提出问题①过圆上一点可作几条切线？如何求出切线方程？②过圆外一点可作几条切线？如何求出切线方程？③过圆内一点可作几条切线？④你能概括出求圆切线方程的步骤是什么吗？⑤如何求直线与圆的交点？⑥如何求直线与圆的相交弦的长?讨论结果：①过圆上一点可作一条切线,过圆x2+y2=r2上一点(x0,y0)的切线方程是x0x+y0y=r2；过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点(x0,y0)的切线方程是(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.②过圆外一点可作两条切线,求出切线方程有代数法和几何法.代数法的关键是把直线与圆相切这个几何问题转化为联立它们的方程组只有一个解的代数问题.可通过一元二次方程有一个实根的充要条件——Δ=0去求出k的值,从而求出切线的方程.用几何方法去求解,要充分利用直线与圆相切的几何性质,圆心到切线的距离等于圆的半径(d=r),求出k的值.③过圆内一点不能作圆的切线.④求圆切线方程,一般有三种方法,一是设切点,利用①②中的切线公式法;二是设切线的斜率,用判别式法;三是设切线的斜率,用图形的几何性质来解,即圆心到切线的距离等于圆的半径(d=r),求出k的值.⑤把直线与圆的方程联立得方程组,方程组的解即是交点的坐标.⑥把直线与圆的方程联立得交点的坐标,结合两点的距离公式来求;再就是利用弦心距、弦长、半径之间的关系来求.应用示例思路1例1 过点P(-2,0)向圆x2+y2=1引切线,求切线的方程.图3解:如图3,方法一:设所求切线的斜率为k,则切线方程为y=k(x+2),因此由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=,1),2(22y x x k y 得x 2+k 2(x+2)2=1. 上述一元二次方程有一个实根,Δ=16k 4-4(k 2+1)(4k 2-1)=12k 2-4=0,k=±33, 所以所求切线的方程为y=±33(x+2). 方法二:设所求切线的斜率为k,则切线方程为y=k(x+2),由于圆心到切线的距离等于圆的半径(d=r),所以d=21|2|k k +=1,解得k=±33. 所以所求切线的方程为y=±33(x+2). 方法三：利用过圆上一点的切线的结论.可假设切点为(x 0,y 0),此时可求得切线方程为x 0x+y 0y=1.然后利用点(-2,0)在切线上得到-2x 0=1,从中解得x 0=-21. 再由点(x 0,y 0)在圆上,所以满足x 02+y 02=1,既41+y 02=1,解出y 0=±23. 这样就可求得切线的方程为22102320+--±=+-x y , 整理得y=±33(x+2). 点评:过圆外一点向圆可作两条切线；可用三种方法求出切线方程,其中以几何法“d=r”比较好(简便).变式训练已知直线l 的斜率为k,且与圆x 2+y 2=r 2只有一个公共点,求直线l 的方程.活动：学生思考,观察题目的特点,见题想法,教师引导学生考虑问题的思路,必要时给予提示,直线与圆只有一个公共点,说明直线与圆相切.可利用圆的几何性质求解.图4解:如图4,方法一:设所求的直线方程为y=kx+b,由圆心到直线的距离等于圆的半径,得 d=21||k b +=r,∴b=±r 21k +,求得切线方程是y=kx±r 21k +.方法二:设所求的直线方程为y=kx+b,直线l 与圆x 2+y 2=r 2只有一个公共点,所以它们组成的方程组只有一组实数解,由⎪⎩⎪⎨⎧=++=222,ry x b kx y ,得x 2+k 2(x+b)2=1,即x 2(k 2+1)+2k 2bx+b 2=1,Δ=0得b=±r 21k +,求得切线方程是y=kx±r 21k +.例2 已知圆的方程为x 2+y 2+ax+2y+a 2=0,一定点为A(1,2),要使过定点A(1,2)作圆的切线有两条,求a 的取值范围.活动：学生讨论,教师指导,教师提问,学生回答,教师对学生解题中出现的问题及时处理,利用几何方法,点A(1,2)在圆外,即到圆心的距离大于圆的半径.解:将圆的方程配方得(x+2a )2+(y+1)2=4342a -,圆心C 的坐标为(－2a ,－1),半径r=4342a -, 条件是4－3a 2＞0,过点A(1,2)所作圆的切线有两条,则点A 必在圆外,即22)12()21(+++a ＞4342a -. 化简,得a 2+a+9＞0,由⎪⎩⎪⎨⎧>->++,034,0922a a a 解得－332＜a ＜332,a ∈R . 所以－332＜a ＜332. 故a 的取值范围是(－332,332).点评:过圆外一点可作圆的两条切线,反之经过一点可作圆的两条切线,则该点在圆外.同时注意圆的一般方程的条件.思路2例1 已知过点M(-3,-3)的直线l 被圆x 2+y 2+4y-21=0所截得的弦长为45,求直线l 的方程. 活动：学生思考或讨论,教师引导学生考虑问题的思路,求直线l 的方程,一般设点斜式,再求斜率.这里知道弦长,半径也知道,所以弦心距可求,如果设出直线的方程,由点到直线的距离等于弦心距求出斜率；另外也可利用弦长公式,结合一元二次方程根与系数的关系求解.解法一：将圆的方程写成标准形式有x 2+(y+2)2=25,所以圆心为(0,-2),半径为5.因为直线l 被圆x 2+y 2+4y-21=0所截得的弦长为45,所以弦心距为22)52(5-=5,圆心到直线的距离为5,由于直线过点M(-3,-3),所以可设直线l 的方程为y+3=k(x+3),即kx-y+3k-3=0. 根据点到直线的距离公式,圆心到直线的距离为5,因此d=1|332|2+-+k k =5,两边平方整理得2k 2-3k-2=0,解得k=21,k=2. 所以所求的直线l 的方程为y+3=21(x+3)或y+3=2(x+3),即x+2y+9=0或2x-y+3=0. 解法二：设直线l 和已知圆x 2+y 2+4y-21=0的交点为A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),直线l 的斜率为k,由于直线过点M(-3,-3),所以可设直线l 的方程为y+3=k(x+3),即y=kx+3k-3.代入圆的方程x 2+y 2+4y-21=0,并整理得(1+k 2)x 2+2k(3k-1)x+(3k-1)2-25=0.结合一元二次方程根与系数的关系有x 1+x 2=21)13(2k k k +--,x 1·x 2=22125)13(k k +--. ① |AB|==-+=-+-=-+-22122212221221221))(1()()()()(x x k x x k x x y y x x ]4))[(1(212212x x x x k •-++因为|AB|=45,所以有(1+k 2)［(x 1+x 2)2-4x 1·x 2］=80. ② 把①式代入②式,得(1+k 2){［21)13(2kk k +--］2-422125)13(k k +--}=80.经过整理,得2k 2-3k-2=0,解得k=21,k=2.所以所求的直线l 的方程为y+3=21(x+3)或y+3=2(x+3),即x+2y+9=0或2x-y+3=0.点评:解法一突出了适当地利用图形的几何性质有助于简化计算,强调图形在解题中的作用,加强了数形结合;解法二是利用直线被曲线截得的弦长公式求出斜率后求直线方程,思路简单但运算较繁.变式训练已知圆C ：x 2+(y-1)2=5,直线l:mx-y+1-m=0.(1)求证：对m ∈R ,直线l 与圆C 总有两个不同交点;(2)设l 与圆C 交于不同两点A 、B,若|AB|=17,求l 的倾斜角;(3)求弦AB 的中点M 的轨迹方程;(4)若定点P(1,1)分弦AB 为PB AP =21,求此时直线l 的方程. 解:(1)判断圆心到直线的距离小于半径即可,或用直线系过定点P(1,1)求解;点P(1,1)在圆内.(2)利用弦心距、半径、弦构成的直角三角形求弦长,得m=±3,所以α=3π或32π. (3)设M 的坐标为(x,y),连结CM 、CP,因为C(0,1),P(1,1),|CM|2+|PM|2=|CP|2,所以x 2+(y-1)2+(x-1)2+(y-1)2=1,整理得轨迹方程为x 2+y 2-x-2y+1=0(x≠1).(4)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),由PB AP =21,得21212++x x =1. ① 又由直线方程和圆的方程联立消去y,得(1+m 2)x 2-2m 2x+m 2-5=0, (*) 故x 1+x 2=2212m m +,② 由①②,得x 1=2213m m ++,代入(*),解得m=±1. 所以直线l 的方程为x-y=0或x+y-2=0.例2 已知直线l:y=k(x+22)与圆O:x 2+y 2=4相交于A 、B 两点,O 为坐标原点,△ABO 的面积为S,①试将S 表示成k 的函数S(k),并指出它的定义域；②求S 的最大值,并求出取得最大值时的k 值.活动：学生审题,再思考讨论,教师提示学生欲求△ABO 的面积,应先求出直线被圆截得的弦长|AB|,将|AB|表示成k 的函数.图5解:①如图5所示,直线的方程为kx-y+22k=0(k≠0),点O 到l 之间的距离为|OC|=1||222+k k ,弦长|AB|=22222221141842||||k k k k OC OA +-=+-=-， ∴△ABO 的面积S=21|AB|·|OC|=2221)1(24k k k +-•， ∵|AB|＞0,∴-1＜k ＜1(k≠0).∴S(k)=`2221)1(24k k k +-•(-1＜k ＜1且k≠0).②△ABO 的面积S=21|OA|·|OB|sin ∠AOB=2sin ∠AOB, ∴当∠AOB=90°时,S max =2,此时|OC|=2,|OA|=2,即1||222+k k =2,∴k=±33. 点评：在涉及到直线被圆截得的弦长时,要巧妙利用圆的有关几何性质,如本题中的Rt △BOC,其中|OB|为圆半径,|BC|为弦长的一半.变式训练已知x,y 满足x 2+y 2-2x+4y=0,求x-2y 的最大值.活动:学生审题,再思考讨论,从表面上看,此问题是一个代数,可用代数方法来解决.但细想后会发现比较复杂,它需把二次降为一次.教师提示学生利用数形结合或判别式法.解法一:(几何解法)：设x-2y=b,则点(x,y)既在直线x-2y=b 上,又在圆x 2+y 2-2x+4y=0上,即直线x-2y=b 和圆x 2+y 2-2x+4y=0有交点,故圆心(1,-2)到直线的距离小于或等于半径, 所以5|5|b -≤5.所以0≤b≤10,即b 的最大值是10.解法二:(代数解法)：设x-2y=b,代入方程x 2+y 2-2x+4y=0,得(2y+b)2+y 2-2(2y+b)+4y=0,即5y 2+4by+b 2-2b=0.由于这个一元二次方程有解,所以其判别式Δ=16b 2-20(b 2-2b)=40b-4b 2≥0,即b 2-10b≤0,0≤b≤10.所以求出b 的最大值是10.点评:比较两个解法,我们可以看到,数形结合的方法难想但简单,代数法易想但较繁,要多练习以抓住规律.例3 已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2=25,直线l ：(2m+1)x+(m+1)y －7m －4=0(m ∈R ).(1)证明不论m 取什么实数,直线l 与圆恒交于两点；(2)求直线被圆C 截得的弦长最小时l 的方程.活动：学生先思考,然后讨论,教师引导学生考虑问题的方法,由于直线过定点,如果该定点在圆内,此题便可解得.最短的弦就是与过定点与此直径垂直的弦.解:(1)证明：因为l 的方程为(x+y －4)+m(2x+y －7)=0.因为m ∈R ,所以⎩⎨⎧=-+=-+.04,072y x y x ,解得⎩⎨⎧==,1,3y x 即l 恒过定点A(3,1).因为圆心C(1,2),｜AC ｜=5＜5(半径),所以点A 在圆C 内,从而直线l 恒与圆C 相交于两点.(2)弦长最小时,l ⊥AC,由k AC =－21,所以l 的方程为2x －y －5=0. 点评：证明直线与圆恒相交,一是可以将直线与圆的方程联立方程组,进而转化为一元二次方程,根据判别式与0的大小来判断,这是通性通法,但过程繁琐,计算量大；二是说明直线过圆内一点,由此直线与圆必相交.对于圆中过A 点的弦,以直径为最长,过A 点与此直径垂直的弦为最短.变式训练求圆x 2+y 2+4x-2y+4=0上的点到直线y=x-1的最近距离和最远距离.解:圆方程化为(x+2)2+(y-1)2=1,圆心(-2,1)到直线y=x-1的距离为d=22)1(1|112|-+---=22,所以所求的最近距离为22-1,最远距离为22+1.知能训练1.已知直线l:y=2x －2,圆C:x 2＋y 2＋2x ＋4y ＋1=0,请判断直线l 与圆C 的位置关系,若相交,则求直线l 被圆C 所截的线段长.活动:请大家独立思考,多想些办法.然后相互讨论,比较解法的不同之处.学生进行解答,教师巡视,掌握学生的一般解题情况.解法一：由方程组⎩⎨⎧=++++-=.0142,2222x x y x x y 解得⎩⎨⎧-=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==,4,154,53y x y x 或 即直线l 与圆C 的交点坐标为(53,－54)和(－1,－4),则截得线段长为558. 解法二：由方程组(略)消去y,得5x 2＋2x －3=0, 设直线与圆交点为A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则AB 中点为(-51,-512), 所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=•-=+,53,522111x x y x 得(x 1-x 2)2=2564, 则所截线段长为|AB|=(1+k 2)(x 1-x 2)2=558. 解法三：圆心C 为(－1,－2),半径r=2,设交点为A 、B,圆心C 到直线l 之距d=552,所以5542||22=-=d r AB .则所截线段长为|AB|=558. 点评:前者直接求交点坐标,再用两点距离公式求值；后者虽然也用两点距离公式,但借用韦达定理,避免求交点坐标.解法三利用直线与圆的位置关系,抓住圆心到直线之距d 及圆半径r 来求解.反映了抓住本质能很快接近答案的特点.显然,解法三比较简洁.2.已知直线x+2y-3=0交圆x 2+y 2+x-6y+F=0于点P 、Q,O 为原点,问F 为何值时,OP ⊥OQ? 解:由⎪⎩⎪⎨⎧=+-++=-+06,03222F y x y x y x 消去y,得5x 2+10x+4F-27=0,所以x 1x 2=5274-F ,x 1+x 2=-2. 所以y 1y 2=51249)(34)3)(3(212121F x x x x x x +=++-=--. 因为OP ⊥OQ,所以x 1x 2+y 1y 2=0,即5125274F F ++-=0.所以F=3. 点评：(1)解本题之前先要求学生指出解题思路.(2)体会垂直条件是怎样转化的,以及韦达定理的作用：处理x 1,x 2的对称式.在解析几何中经常运用韦达定理来简化计算.拓展提升已知点P 到两个定点M(－1,0)、N(1,0)距离的比为2,点N 到直线PM 的距离为1,求直线PN 的方程.解:设点P 的坐标为(x,y),由题设有||||PN PM =2,即22)1(y x ++=2·22)1(y x +-, 整理得x 2+y 2－6x+1=0. ① 因为点N 到PM 的距离为1,|MN|=2,所以∠PMN=30°,直线PM 的斜率为±33. 直线PM 的方程为y=±33(x+1). ② 将②代入①整理,得x 2－4x+1=0.解得x 1=2+3,x 2=2－3.代入②得点P 的坐标为(2+3,1+3)或(2－3,－1+3)；(2+3,－1－3)或(2－3,1－3).直线PN 的方程为y=x －1或y=－x+1.课堂小结1.直线和圆位置关系的判定方法：代数法和几何法.2.直线和圆相切,这类问题主要是求圆的切线方程.求圆的切线方程主要可分为已知斜率k 或已知直线上一点两种情况,而已知直线上一点又可分为已知圆上一点和圆外一点两种情况.3.直线和圆相交,这类问题主要是求弦长以及弦的中点问题.注意弦长公式和圆的几何性质.4.求与圆有关的最值问题,往往利用数形结合,因此抽象出式子的几何意义是至关重要的. 作业课本习题4.2 A 组5、6、7.设计感想本节课是研究直线与圆的位置关系的第二课时,以学生进行自主探索学习为主线,沿用研究问题的科学方法,首先观察探索、寻找规律,最后严格推理求解,很好地体现新课程理念.在教学过程中,打破传统课堂模式,首先由问题引入,强调研究直线与圆的位置关系的重要意义,充分激发学生求知欲望,接着学生回顾刚学过的直线与圆的位置关系的有关知识,并设计两个思路的例题从不同的侧面探索研究,自主地进行学习.例题设置目的在于“以点带面,举一反三”.以直线与圆的位置关系来加深体会数与形的内在联系,比较求解所截线段长的方法,目的在于强化思维的灵活性,突出数形结合思想,在解决问题的过程中,使思路更加清晰、条理更清楚.这样有利于突出教学重点,突破教学难点.本节课除了设置两道巩固练习外,还精心编制多道为教学进一步延伸的问题,给学生课后继续进行自主探索创设问题情境,关注学生的持续学习,培养其自学能力,同时也为后续的教学作好铺垫.充分地体现学生的主体地位.教师关注学生发展的差异,帮助有困难的学生.还通过展示学生探索的成果,促进师生之间互相交流,让学生获得成就感,激发学习的兴趣.。

直线和圆的位置关系（第2课时）【教学目标】一、知识目标1.探索切线与过切点半径之间的关系；2.掌握切线的性质和判定定理；3.能判断一条直线是否为圆的切线。

二、过程目标1.在操作过程中体会到判定切线的两个重要点；2.运用两个定理进行恰当的逻辑推理，解决相关的数学问题；三、情感、态度目标1.说出切线在解决直线与圆的相关问题的作用，克服学习畏难情绪；2.体会学习的乐趣，逐渐树立获取解题思路和方法的类比与归纳意识。

【教学重点】1.切线的性质和判定的应用。

【教学难点】1.判定切线的证明方法。

【教学过程】一、回顾设计意图：让学生回忆直线与圆的几种位置关系，使学生的知识在最近发展区，并由此引出课题，时间约2分钟。

（1）通过回顾，思考：如何判定直线与圆相切？ 答：1、根据直线与圆的公共点的个数；（定义法）2、根据直线到圆心的距离与半径的大小关系；（数量法） 设计意图：加深学生对相切的判定方法，为下面的学习作好铺垫。

（2）操作题：已知⊙O 如图所示，完成下列任务并回答问题。

1.在⊙O 上取一点为A ，连结OA ； 2.作直线OA l 垂足于A 。

回答下列问题：1.圆心O 到直线l 的距离是多少？答：即OA 的长度；2.直线l 和⊙O 有什么位置关系？答：相切。

因为圆心到直线的距离等于半径。

设计意图：通过动手操作和思考，使得学生对于判定定理的两个要素有更深的体会，并能从中总结出定理。

二、归纳总结（1）操作题从一个新的角度来判断一条直线与圆相切的位置关系，即从圆的半径和直线的某种位置关系来推导直线与圆是否相切，同学们试着总结这条半径和直线满足什么样的位置关系？试着用一句话总结。

答：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

必须同时满足两个要素：一、过半径的外端；二、与半径垂直。

设计意图：锻炼学生的总结和观察能力。

（2）判定直线与圆相切你学习了哪几种方法？答：1、根据直线与圆的公共点的个数；（定义法）2、根据直线到圆心的距离与半径的大小关系；（数量法）3、经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

24.2.2直线与圆的位置关系（第二课时）一、教与学目标1、探索切线的性质与判定。

2、通过应用切线的性质与判定，提高推理判断能力。

二、教与学重点和难点重点：直线与圆相切的判定条件与圆的切线的性质。

难点：直线与圆相切的判定与性质的应用。

三、教与学方法自主探究，合作交流四、教与学过程（一）复习回顾1.直线与圆的位置关系包括：、、。

2.直线与圆的位置关系的区别方法包括种：（a）根据________________的个数来判断；（b）根据_______ __的关系来判断。

若d r,则直线与圆相交；若d r,则直线与圆相切；若d r,则直线与圆相离。

下面，我们重点研究直线和圆相切的情况，观看课件问题导入。

（二）探究新知探究一探索直线与圆相切的另一种判定方法1、由圆心到直线的距离等于半径逆推可知：在⊙O中，经过半径OA的外端点A，作直线l⊥OA，则圆心O到直线l的距离等于半径r，直线l与⊙O相切。

经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线切线需满足两条：①经过半径外端；②垂直于这条半径．2、由此我们可以得到直线是圆的切线的三个判定方法：⑴与圆有惟一公共点的直线是圆的切线；⑵与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；⑶经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

3、学以致用[例1]已知直线AB经过⊙O上的一点C，并且OA=OB，CA=CB，求证：直线AB是⊙O的切线。

思路分析：如图，由于直线AB经过⊙O上一点C，所以连结OC，只要证明OC⊥AB即可.证明：连结OC，∵OA=OB，CA=CB，∴OC是等腰△OAB底边，AB上的中线.∴AB⊥OC又∵点C在⊙O上，∴AB是⊙O的切线.[例2]已知：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,以O为圆心，OD为半径作⊙O。

求证：⊙O与AC相切。

思考：例1与例2的证法有何不同?探究二探索直线与圆相切的性质1、如图，直线ｌ与⊙O相切于点A，OA是过切点的半径，直线ｌ与半径OA是否一定垂直？你能说明理由吗？一定垂直。