江苏13大市2013年高三历次考试数学试题分类汇编19：坐标系与参数方程

【推荐】江苏13大市2013年高三历次测验数学试题分类汇编6：数列————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：【推荐】江苏省13大市2013年高三历次考试数学试题分类汇编6：数列一、填空题1 ．（扬州市2012-2013学年度第一学期期末检测高三数学试题）如图所示:矩形的一边在轴上,另两个顶点、在函数的图像上,若点的坐标为),矩形的周长记为,则____.【答案】2162 ．（南京市、淮安市2013届高三第二次模拟考试数学试卷）已知数列{n a }的通项公式为72n a n =+,数列{n b }的通项公式为2n b n =.若将数列{n a },{n b }中相同的项按从小到大的顺序排列后看作数列{n c },则9c 的值为_____.【答案】9613 ．（徐州、宿迁市2013届高三年级第三次模拟考试数学试卷）已知n S 是等差数列{}n a 的前n项和,若77S =,1575S =,则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前20项和为____.【答案】55;4 ．（镇江市2013届高三上学期期末考试数学试题）在等比数列中,为其前项和,已知,,则此数列的公比为______.【答案】 3;5 ．（江苏省泰州市2012-2013学年度第一学期期末考试高三数学试题）各项均为正数的等比数列{}n a 中,若11a ≥,22a ≤,33a ≥,则4a 的取值范围是_________【答案】⎥⎦⎤⎢⎣⎡8,296 ．（2012-2013学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学试题）在1和9之间插入三个正数,使这五个数成等比数列,则插入的三个数的和为______.【答案】433+7 ．（镇江市2013届高三上学期期末考试数学试题）观察下列等式:31×2×12=1-122, 31×2×12+42×3×122=1-13×22, 31×2×12+42×3×122+53×4×123=1-14×23,,由以上等式推测到一个一般的结论:对于n ∈N *,31×2×12+42×3×122++n ＋2n n ＋1×12n =______. 【答案】()nn 2111⋅+-8 ．（江苏省泰州、南通、扬州、宿迁、淮安五市2013届高三第三次调研测试数学试卷）过点(1 0)P -，作曲线C :e x y =的切线,切点为1T ,设1T 在x 轴上的投影是点1H ,过点1H 再作曲线C 的切线,切点为2T ,设2T 在x 轴上的投影是点2H ,,依次下去,得到第1n +()n ∈N 个切点1n T +.则点1n T +的坐标为______.【答案】()e n n ，9 ．（江苏省泰州、南通、扬州、宿迁、淮安五市2013届高三第三次调研测试数学试卷）已知实数a 1,a 2,a 3,a 4满足a 1+a 2+a 30=,a 1a 42+a 2a 4-a 20=,且a 1>a 2>a 3,则a 4的取值范围是______.【答案】()1515 22---+，10．（江苏省苏锡常镇四市2013届高三教学情况调研(一)数学试题）设n S ,n T 分别是等差数列{}n a ,{}n b 的前n 项和,已知2142n n S n T n +=-,*n N ∈, 则1011318615a ab b b b +=++_______.【答案】417811．（苏州市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）某厂去年的产值为1,若计划在今后五年内每年的产值比上年增长10%,则从今年起到第五年这五年内,这个厂的总产值约为_________.(保留一位小数,取)【答案】6.612．（南通市2013届高三第一次调研测试数学试卷）若S n 为等差数列{a n }的前n 项和,S 9=-36,S 13=-104,则a 5与a 7的等比中项为________.【答案】答案:42±.本题主要考查等差数列的基本概念及其简单运算.法一 用性质.S 9=9a 5= -36,S 13= 13a 7= -104,于是a 5= -4,a 7= -8,等比中项为42±. 法二 用基本量.S 9=9a 1+36d = -36,S 13=13a 1+78d = -104,解得a 1=4,d = -2.下同法一.13．（常州市2013届高三教学期末调研测试数学试题）已知数列{}n a 满足143a =,()*11226n n a n N a +-=∈+,则11ni ia =∑=______. 【答案】2324n n ⋅--14．（江苏省无锡市2013届高三上学期期末考试数学试卷）等差数列{a n }的公差为-2,且a 1,a 3,a 4成等比数列,则a 20=_______________.【答案】30-15．（南京市、盐城市2013届高三第三次模拟考试数学试卷）已知数列{a n }的通项公式为a n =-n +p ,数列{b n }的通项公式为b n =2n -5.设c n =⎩⎨⎧a n ，a n ≤b n ，b n ，a n ＞b n ，若在数列{c n }中,c 8>c n (n ∈N*,n ≠8),则实数p 的取值范围是________.【答案】(12,17)16．（南京市、盐城市2013届高三年级第一次模拟考试数学试题）在等差数列{}n a 中, 若9753=++a a a , 则其前9项和的值为 .【答案】2717．（连云港市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）正项等比数列{a n }中,311a a =16,则22212log log a a +=______.【答案】4;18．（苏北三市（徐州、淮安、宿迁）2013届高三第二次调研考试数学试卷）已知等比数列}{n a 的前n 项和为n S ,若62,256382-==S a a a a ,则1a 的值是_____.【答案】2-19．（南京市、淮安市2013届高三第二次模拟考试数学试卷）设数列{n a }是公差不为0的等差数列,S 为其前n 项和,若22221234a a a a +=+,55S =,则7a 的值为_____.【答案】920．（江苏省泰州、南通、扬州、宿迁、淮安五市2013届高三第三次调研测试数学试卷）各项均为正数的等比数列{}n a 中,211a a -=.当3a 取最小值时,数列{}n a 的通项公式a n =______.【答案】12n -21．（扬州、南通、泰州、宿迁四市2013届高三第二次调研测试数学试卷）设数列{a n }满足:()()*3118220()n n n n a a a a a n ++=---=∈N ，,则a 1的值大于20的概率为____.【答案】1422．（2012-2013学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学试题）已知数列{}n a 的通项公式为21n a n =-,则数据1a ,2a ,3a ,4a ,5a 的方差为_____.【答案】823．（江苏省盐城市2013届高三年级第二次模拟考试数学试卷）若等比数列{}n a 满足43=-m a 且244a a a m m =-(*N m ∈且4>m ),则51a a 的值为________.【答案】1624．（扬州市2012-2013学年度第一学期期末检测高三数学试题）数列满足,,且 =2,则的最小值为____.【答案】二、解答题25．（江苏省苏锡常镇四市2013届高三教学情况调研(一)数学试题）设数列{}n a 的各项均为正数,其前n 项的和为n S ,对于任意正整数m ,n ,222(1)1m n m n S a S +=+-恒成立.(1)若11a =,求2a ,3a ,4a 及数列{}n a 的通项公式; (2)若4212(1)a a a a =++,求证:数列{}n a 成等比数列.【答案】26．（江苏省泰州市2012-2013学年度第一学期期末考试高三数学试题）已知数列16n a n =-,(1)15n n b n =--,其中*n N ∈(1)求满足1n a +=n b 的所有正整数n 的集合 (2)n ≠16,求数列nnb a 的最大值和最小值 (3)记数列{}n n a b 的前 n 项和为n S ,求所有满足22m n S S =(m<n)的有序整数对(m,n)【答案】(1)a n +1=|b n |,n -15=|n -15|,当n ≥15时,a n +1=|b n |恒成立,当n <15时,n -15=-(n -15) ,n =15 n 的集合{n |n ≥15,n ∈N *}(2)nn a b =1615)1(---n n n(i)当n>16时,n 取偶数n n a b =1615--n n =1+161-n 当n=18时(n n a b )max =23无最小值 n 取奇数时n n a b =-1-161-nn=17时(nna b )min =-2无最大值 (ii)当n<16时,n na b =16)15()1(---n n n当n 为偶数时n n a b =16)15(---n n =-1-161-n n=14时(n n a b )max =-21(n n a b )min =-1413 当n 奇数n n a b =1615--n n =1+161-n , n=1 , (n n a b )max =1-151=1514, n =15,(nna b )min =0 综上,n n a b 最大值为23(n =18)最小值-2(n =17) (3)n≤15时,b n =(-1)n-1(n-15),a 2k -1b 2k -1+a 2k b 2k =2 (16-2k )≥0,n >15时,b n =(-1)n(n -15),a 2k -1b 2k -1+a 2k b 2k =2 (2k -16) >0,其中a 15b 15+a 16b 16=0 ∴S 16=S 14 m =7, n =827．（常州市2013届高三教学期末调研测试数学试题）已知数列{}n a 是等差数列,12315a a a ++=,数列{}n b 是等比数列,12327b b b =.(1)若1243,a b a b ==.求数列{}n a 和{}n b 的通项公式;(2)若112233,,a b a b a b +++是正整数且成等比数列,求3a 的最大值.【答案】解:(1)由题得225,3a b ==,所以123a b ==,从而等差数列{}n a 的公差2d =,所以21n a n =+,从而349b a ==,所以13n n b -=(2)设等差数列{}n a 的公差为d ,等比数列{}n b 的公比为q ,则15a d =-,13b q=,35a d =+,33b q =. 因为112233,,a b a b a b +++成等比数列,所以2113322()()()64a b a b a b +⋅+=+=.设1133a b m a b n+=⎧⎨+=⎩,*,m n N ∈,64mn =, 则3553d m q d q n ⎧-+=⎪⎨⎪++=⎩,整理得,2()5()800d m n d m n +-++-=.解得2(10)362n m m n d -++--=(舍去负根).35a d =+,∴要使得3a 最大,即需要d 最大,即n m -及2(10)m n +-取最大值.*,m n N ∈,64mn =,∴当且仅当64n =且1m =时,n m -及2(10)m n +-取最大值.从而最大的637612d +=, 所以,最大的3737612a +=28．（2012-2013学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学试题）已知数列{}n b 满足112b =,112(2,*)n nb n n N b -+=≥∈. (1)求2b ,3b ,猜想数列{}n b 的通项公式,并用数学归纳法证明;(2)设n n x b =,1n n y b +=,比较x x 与yy 的大小.【答案】[来源:学科网]29．（徐州、宿迁市2013届高三年级第三次模拟考试数学试卷）已知数列{}n a 满足:12(0)a a a =+≥,12n n a aa +=+,*n ∈N . ⑴若0a =,求数列{}n a 的通项公式;⑵设1n n n b a a +=-,数列{}n b 的前n 项和为n S ,证明:1n S a <.【答案】⑴若0a =时,12a =,12n n a a +=,所以212n n a a +=,且0n a >. 两边取对数,得1lg 22lg lg n n a a +=+, 化为11lg lg2(lg lg2)2n n a a +=++, 因为1lg lg22lg2a =+,所以数列{lg lg2}n a +是以2lg2为首项,12为公比的等比数列 所以11lg lg22()lg22n n a -=+,所以2212n n a --=⑵由12n n a a a +=+,得212n n a a a +=+,① 当2n ≥时,212n n a a a -=+,②①-②,得1112()()n n n n n n a a a a a a ++--=-+, 由已知0n a >,所以1n n a a +-与1n n a a --同号因为21a a =+,且0a >,所以222212(2)(1)330a a a a a a -=-=>++++恒成立, 所以210a a -<,所以10n n a a +-< 因为1n n n b a a +=-,所以1()n n n b a a +=--, 所以21321[()()()]n n n S a a a a a a +=----+++11111()n n a a a a a ++=--=-<30．（南京市、盐城市2013届高三第三次模拟考试数学试卷）如图，一颗棋子从三棱柱的一个顶点沿棱移到相邻的另一个顶点的概率均为13，刚开始时，棋子在上底面点A 处，若移了n 次后，棋子落在上底面顶点的概率记为p n ．（1）求p 1，p 2的值； （2）求证：i =1∑n14P i －1＞n 2n ＋1．【答案】解（1）p 1＝23，ABCDEF（第23题）p 2＝23×23＋13×(1－23)＝59． ……………………2分（2）因为移了n 次后棋子落在上底面顶点的概率为p n ，故落在下底面顶点的概率为1－p n ．于是移了n ＋1次后棋子落在上底面顶点的概率为p n +1＝23p n ＋13(1－p n )＝13p n ＋13．…………………… 4分 从而p n +1－12＝13(p n －12)．所以数列{p n －12}是等比数列，其首项为16，公比为13．所以p n －12＝16×(13)n －1．即p n ＝12＋12×13n ． (6)分用数学归纳法证明：①当n ＝1时，左式＝14×23－1＝35，右式＝12，因为35＞12，所以不等式成立．当n ＝2时，左式＝14×23－1＋14×59－1＝7855，右式＝43，因为7855＞43，所以不等式成立．②假设n ＝k (k ≥2)时，不等式成立，即i =1∑k14P i －1＞k 2k ＋1．则n ＝k ＋1时，左式＝i =1∑k14P i －1＋14P k +1－1＞k 2k ＋1＋14(12＋12×13k +1)－1＝k 2k ＋1＋3k +13k +1＋2．要证k 2k ＋1＋3k +13k +1＋2≥(k ＋1)2k ＋2，只要证3k +1 3k +1＋2≥(k ＋1)2k ＋2－k 2k ＋1．只要证3k +13k +1＋2≥k 2＋3k ＋1 k 2＋3k ＋2．只要证2 3k +1≤1k 2＋3k ＋1．只要证3k +1≥2k 2＋6k ＋2．因为k ≥2，所以3k +1＝3(1＋2)k ≥3(1＋2k ＋4C 2k )＝6k 2＋3＝2k 2＋6k ＋2＋2k (2k －3)＋1＞2k 2＋6k＋2，所以k 2k ＋1＋3k +1 3k +1＋2≥(k ＋1)2k ＋2．[来源:Z#xx#]即n ＝k ＋1时，不等式也成立．由①②可知，不等式i =1∑n14P i －1＞n 2n ＋1对任意的n ∈N *都成立． (10)分31．（南通市2013届高三第一次调研测试数学试卷）已知数列{a n }中,a 2=1,前n 项和为S n ,且1()2n n n a a S -=. (1)求a 1;(2)证明数列{a n }为等差数列,并写出其通项公式; (3)设1lg 3n n na b +=,试问是否存在正整数p ,q (其中1<p <q ),使b 1,b p ,b q 成等比数列?若存在,求出所有满足条件的数组(p ,q );若不存在,说明理由.【答案】解:(1)令n =1,则a 1=S 1=111()2a a -=0 (2)由1()2n n n a a S -=,即2n n naS =, ① 得 11(1)2n n n a S +++=. ② ②-①,得 1(1)n n n a na +-=. ③ 于是,21(1)n n na n a ++=+. ④ ③+④,得212n n n na na na +++=,即212n n n a a a +++=又a 1=0,a 2=1,a 2-a 1=1,所以,数列{a n }是以0为首项,1为公差的等差数列. 所以,a n =n -1(3)假设存在正整数数组(p ,q ),使b 1,b p ,b q 成等比数列,则lg b 1,lg b p ,lg b q 成等差数列,于是,21333p qp q =+ 所以,213()33q p p q =-(☆). 易知(p ,q )=(2,3)为方程(☆)的一组解当p ≥3,且p ∈N*时,112(1)224333p p p p p p +++--=<0,故数列{23pp}(p ≥3)为递减数列, 于是2133p p -≤323133⨯-<0,所以此时方程(☆)无正整数解.综上,存在唯一正整数数对(p ,q )=(2,3),使b 1,b p ,b q 成等比数列注 在得到③式后,两边相除并利用累乘法,得通项公式并由此说明其为等差数列的,亦相应评分.但在做除法过程中未对n ≥2的情形予以说明的,扣1分.本题主要考查等差数列与等比数列的基础知识及基本运算,考查创新能力.两个基本数列属C 能要求,属高考必考之内容,属各级各类考试之重点.第(3)问中,若数列{a n }为等差数列,则数列{n a k }(k >0且k ≠1)为等比数列;反之若数列{a n }为等比数列,则数列{log a n a }(a >0且a ≠1)为等差数列.第(3)问中,如果将问题改为“是否存在正整数m ,p ,q (其中m <p <q ),使b m ,b p ,b q 成等比数列?若存在,求出所有满足条件的数组(m ,p ,q );若不存在,说明理由.”那么,答案仍然只有唯一组解.此时,在解题时,只须添加当m ≥2时,说明方程组无解即可,其说明思路与原题的解题思路基本相同.对于第(2)问,在得到关系式:1(1)n n n a na +-=后,亦可将其变形为11n n an a n +=-,并进而使用累乘法(迭乘法),先行得到数列{a n }的通项公式,最后使用等差数列的定义证明其为等差数列亦可.但需要说明n ≥2.考虑到这是全市的第一次大考,又是考生进入高三一轮复习将近完成后所进行的第一次大规模的检测,因而在评分标准的制定上,始终本着让学生多得分的原则,例如本题中的第(1)问4分,不设置任何的障碍,基本让学生能得分.32．（江苏省盐城市2013届高三年级第二次模拟考试数学试卷）已知数列}{n a 满足21=a ,)1(11+-=++n a a n n n .(1)证明:n a n >(3≥n );(2)证明:243234<++++n n .盐城市2013届高三年级第二次模拟考【答案】(1)因为122,2,a a ==所以33235 3.a a =-=>假设当1n k =+时,因为112922k k ka k k k k k ++>>⋅≥>+,所以,111 1.k k k a a k k ++=-->+由数学归纳法知,当3n ≥时n a n > (2)由(1)知,10,nn n a a n -=->得1n n a n ->,所以1.n n a n ->所以()121,n n n a n n ---->即()121,n nn a n n -->-+所以121n n n a n n -->-+,以此类推,得3412234n a n =>++++,问题得证33．（江苏省盐城市2013届高三年级第二次模拟考试数学试卷）设n S 是各项均为非零实数的数列{}n a 的前n 项和,给出如下两个命题上:命题p :{}n a 是等差数列;命题q :等式1113221111+++=+++n n n a a bkn a a a a a a 对任意n (*N n ∈)恒成立,其中b k ,是常数. ⑴若p 是q 的充分条件,求b k ,的值;⑵对于⑴中的k 与b ,问p 是否为q 的必要条件,请说明理由;⑶若p 为真命题,对于给定的正整数n (1>n )和正数M,数列{}n a 满足条件M a a n ≤++2121,试求n S 的最大值.【答案】解:(1)设}{na 的公差为d ,则原等式可化为12231111111111,n n n kn b d a a a a a a a a ++⎛⎫+-+-++-= ⎪⎝⎭所以11111n n nd kn b d a a a a +++⋅=, 即()10k n b -+=对于n N *∈恒成立,所以1,0.k b ==(2)当1,0k b ==时,假设p 是否为q 的必要条件,即“若1223111111n n n na a a a a a a a +++++=①对于任意的()n n N *∈恒成立,则}{n a 为等差数列”. 当1n =时,121211a a a a =显然成立当2n ≥时,12231111111n nn n a a a a a a a a -+-+++=②,由①-②得, 111111n n n n n n a a a a a ++⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,即()111n n na n a a +--=③. 当2n =时,1322a a a +=,即1a 、2a 、3a 成等差数列,当3n ≥时,()()1112n n n a n a a ----=④,即112n n n a a a -+=+.所以}{n a 为等差数列,即p 是否为q 的必要条件(3)由2211n a a M ++≤,可设11cos ,sin n a r a r θθ+==,所以r M ≤.设}{na 的公差为d,则11sin cos n a a nd r r θθ+-==-,所以sin cos r r d nθθ-=,所以sin cos sin n r r a r nθθθ-=-,()()()11cos 1sin 22n n a a n n n S r θθ+++-==()()()222112122n n M M n ++-≤⋅=+,所以n S 的最大值为()2212M n +34．（镇江市2013届高三上学期期末考试数学试题）一位幼儿园老师给班上(3)k k ≥个小朋友分糖果.她发现糖果盒中原有糖果数为0a ,就先从别处抓2块糖加入盒中,然后把盒内糖果的12分给第一个小朋友;再从别处抓2块糖加入盒中,然后把盒内糖果的13分给第二个小朋友;,以后她总是在分给一个小朋友后,就从别处抓2块糖放入盒中,然后把盒内糖果的11n +分给第(1,2,3,)n n k =个小朋友.如果设分给第n 个小朋友后(未加入2块糖果前)盒内剩下的糖果数为n a .(1) 当3k =,012a =时,分别求123,,a a a ;(2) 请用1n a -表示n a ;令(1)n n b n a =+,求数列{}n b 的通项公式;(3)是否存在正整数(3)k k ≥和非负整数0a ,使得数列{}n a ()n k ≤成等差数列,如果存在,请求出所有的k 和0a ,如果不存在,请说明理由.【答案】解:(1)当3k =,012a =时, ()()72212001=+-+=a a a , ()()62312112=+-+=a a a ,()()62412223=+-+=a a a (2)由题意知:()()()212112111++=++-+=---n n n n a n n a n a a ,即()()n na a n a n n n n 22111+=+=+--, (1)n n b n a =+,12,n n b b n -∴-=112102,22,2.n n n n b b n b b n b b ---∴-=-=--=累加得()()12220+=+=-n n n n b b n , 又00a b=,∴()01a n n b n ++=(3)由()01a n n b n ++=,得1++=n a n a n , 若存在正整数(3)k k ≥和非负整数0a ,使得数列{}n a ()n k ≤成等差数列, 则1322a a a +=, 即00001(1)3220243a a a a ⎛⎫+++=+⇒= ⎪⎝⎭, 当00=a 时, n a n =,对任意正整数(3)k k ≥,有{}n a ()n k ≤成等差数列 [注:如果验证012,,a a a 不能成等差数列,不扣分]【说明】本题主要考查数列的定义、通项求法;考查反证法;考查递推思想;考查推理论证能力;考查阅读理解能力、建模能力、应用数学解决问题能力.本题还可以设计:如果班上有5名小朋友,每个小朋友都分到糖果,求0a 的最小值.35．（南京市、盐城市2013届高三第三次模拟考试数学试卷）记等差数列{a n }的前n 项和为S n .(1)求证:数列{S nn}是等差数列;(2)若a 1=1,且对任意正整数n ,k (n >k ),都有S n ＋k +S n －k =2S n 成立,求数列{a n }的通项公式;(3)记b n =a a n (a >0),求证:b 1＋b 2＋…＋b n n ≤b 1＋b n2.【答案】解(1)设等差数列{a n }的公差为d ,则S n =na 1+n (n －1)2d ,从而S n n =a 1+n －12d . 所以当n ≥2时,S n n -S n －1n －1=(a 1+n －12d )-(a 1+n －22d )=d2.即数列{S nn}是等差数列(2)因为对任意正整数n ,k (n >k ),都有S n ＋k +S n －k =2S n 成立, 所以S n ＋1+S n －1=2S n ,即数列{S n }是等差数列 设数列{S n }的公差为d 1,则S n =S 1+(n -1)d 1=1+(n -1)d 1, 所以S n =[1+(n -1)d 1]2,所以当n ≥2时,a n =S n -S n -1=[1+(n -1)d 1]2-[1+(n -2)d 1]2=2d 21n -3d 21+2d 1, 因为{a n }是等差数列,所以a 2-a 1=a 3-a 2,即(4d 21-3d 21+2d 1)-1=(6d 21-3d 21+2d 1)-(4d 21-3d 21+2d 1),所以d 1=1,即a n =2n -1.又当a n =2n -1时,S n =n 2,S n ＋k +S n －k =2S n 对任意正整数n ,k (n >k )都成立, 因此a n =2n -1(3)设等差数列{a n }的公差为d ,则a n =a 1+(n -1)d ,b n =a a n ,所以b n b n －1=a a n -a n －1=a d, 即数列{b n }是公比大于0,首项大于0的等比数列 记公比为q (q >0).以下证明:b 1+b n ≥b p +b k ,其中p ,k 为正整数,且p +k =1+n . 因为(b 1+b n )-(b p +b k )=b 1+b 1q n -1-b 1q p -1-b 1q k -1=b 1(q p -1-1)( q k -1-1). 当q >1时,因为y =q x为增函数,p -1≥0,k -1≥0, 所以q p -1-1≥0,q k -1-1≥0,所以b 1+b n ≥b p +b k . 当q =1时,b 1+b n =b p +b k .当0<q <1时,因为y =q x为减函数,p -1≥0,k -1≥0, 所以q p -1-1≤0,q k -1-1≤0,所以b 1+b n ≥b p +b k . 综上,b 1+b n ≥b p +b k ,其中p ,k 为正整数,且p +k =1+n 所以n (b 1+b n )=(b 1+b n )+(b 1+b n )++(b 1+b n ) ≥(b 1+b n )+(b 2+b n -1)+(b 3+b n -2)++(b n +b 1) =(b 1+b 2++b n )+(b n +b n -1++b 1), 即b 1＋b 2＋…＋b n n ≤b 1＋b n236．（江苏省无锡市2013届高三上学期期末考试数学试卷）已知数列{a n }中,a 1=2,n∈N +,a n >0,数列{a n }的前n 项和S n ,且满足1122n n n a S S ++=-.(Ⅰ)求{S n }的通项公式;(Ⅱ)设{b k }是{S n )中的按从小到大顺序组成的整数数列. (1)求b 3;(2)存在N(N∈N +),当n≤N 时,使得在{S n }中,数列{b k }有且只有20项,求N 的范围.【答案】37．（江苏省泰州、南通、扬州、宿迁、淮安五市2013届高三第三次调研测试数学试卷）已知数列{}n a 是首项为1,公差为d 的等差数列,数列{}n b 是首项为1,公比为(1)q q >的等比数列.(1)若55a b =,3q =,求数列{}n n a b ⋅的前n 项和;(2)若存在正整数(2)k k ≥,使得k k a b =.试比较n a 与n b 的大小,并说明理由.【答案】解:(1)依题意,5145511381a b b q -===⨯=,故5181120514a a d --===-, 所以120(1)2019n a n n =+-=-,令2111213413(2019)3n n S n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅, ① 则213 13213(2039)3(2019)3n n n S n n -=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅+-⋅, ② ①-②得,()2121+20333(2019)3n n n S n --=⨯++⋅⋅⋅+--⋅, 13(13)1+20(2019)313n n n --=⨯--⋅-(2920)329n n =-⋅-, 所以(2029)3292n n n S -⋅+=(2)因为k k a b =,所以11(1)k k d q-+-=,即111k q d k --=-,故111(1)1k n q a n k --=+--,又1n n b q -=, 所以1111(1)1k n n n q b a qn k --⎡⎤--=-+-⎢⎥-⎣⎦()()111(1)1(1)11n k k q n q k --⎡⎤=-----⎣⎦- ()()23231(1)1(1)11n n k k q k q q q n q q q k -----⎡⎤=-++⋅⋅⋅++--++⋅⋅⋅++⎣⎦- (ⅰ)当1n k <<时,由1q >知 ()()232311()1(1)1n n k k n n n q b a k n q q q n q q q k ------⎡⎤-=-++⋅⋅⋅++--++⋅⋅⋅+⎣⎦- 211()(1)(1)()1n n q k n n q n k n q k ---⎡⎤<-----⎣⎦- 22(1)()(1)1n q q k n n k ----=-- 0<,(ⅱ)当n k >时,由1q >知 ()()231231(1)()11n n k k k n n q b a k q q q n k q q q k ------⎡⎤-=-++⋅⋅⋅+--++⋅⋅⋅++⎣⎦- 121(1)()()(1)1k k q k n k q n k k q k ---⎡⎤>-----⎣⎦- 22(1)()k q q n k -=-- 0>,综上所述,当1n k <<时,n n a b >;当n k >时,n n a b <;当1 n k =，时,n n a b =. (注:仅给出“1n k <<时,n n a b >;n k >时,n n a b <”得2分.)[来源:学*科*网]38．（南通市2013届高三第一次调研测试数学试卷）解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.已知数列{a n }满足:1*1122,1()n a n a a a a n -+=-=+∈N . (1)若1a =-,求数列{a n }的通项公式;(2)若3a =,试证明:对*n ∀∈N ,a n 是4的倍数.【答案】解:(1)当1a =-时,1114,(1)1n a n a a -+=-=-+.令1n n b a =-,则115,(1)n b n b b +=-=-.因15b =-为奇数,n b 也是奇数且只能为1-, 所以,5,1,1,2,n n b n -=⎧=⎨-≥⎩即4,1,0, 2.n n a n -=⎧=⎨≥⎩(2)当3a =时,1114,31n a n a a -+==+ 下面利用数学归纳法来证明:a n 是4的倍数. 当1n =时,1441a ==⨯,命题成立;设当*()n k k =∈N 时,命题成立,则存在t ∈N*,使得4k a t =, [来源:学科网]1414(1)1313127(41)1k a t t k a ---+∴=+=+=⋅-+27(41)14(277)m m =⋅++=+,其中,4(1)14544434(1)4(1)4(1)44C 4(1)C 4C 4t t r r t rt t t t m --------=-⋅++-⋅+-⋅,m ∴∈Z ,∴当1n k =+时,命题成立.∴由数学归纳法原理知命题对*n ∀∈N 成立39．（南京市、盐城市2013届高三年级第一次模拟考试数学试题）若数列是首项为,公差为6的等差数列;数列的前项和为.(1)求数列和的通项公式;(2)若数列是等比数列, 试证明: 对于任意的, 均存在正整数, 使得, 并求数列的前项和;(3)设数列满足, 且中不存在这样的项, 使得“与”同时成立(其中2≥k , *∈N k ), 试求实数的取值范围.南京市、盐城市2013届高三年级第一次模拟考试 数学附加题部分(本部分满分40分,考试时间30分钟)【答案】解: (1)因为是等差数列,所以而数列的前项和为,所以当时,,又,所以(2)证明:因为是等比数列,所以,即,所以对任意的,由于, 令,则,所以命题成立数列的前项和(3)易得,由于当时,,所以①若,即,则,所以当时,是递增数列,故由题意得,即,解得, ②若,即,则当时,是递增数列,,故由题意得,即,解得③若,即, 则当时,是递减数列, 当时,是递增数列,则由题意,得,即,解得综上所述,的取值范围是或40．（镇江市2013届高三上学期期末考试数学试题）已知函数()ln(2)f x x ax =-+在区间(0,1)上是增函数.(1)求实数a 的取值范围;(2)若数列{}n a 满足1(0,1)a ∈,1ln(2)n n n a a a +=-+,n ∈N* ,证明101n n a a +<<<.【答案】解:(1) 函数()ln(2)f x x ax =-+在区间(0,1)上是增函数.∴()021≥+--='a x x f 在区间(0,1)上恒成立, x a -≥∴21,又()xx g -=21在区间(0,1)上是增函数 ()11=≥∴g a 即实数a 的取值范围为1≥a(2)先用数学归纳法证明10<<n a . 当1=n 时,1(0,1)a ∈成立, 假设k n =时,10<<k a 成立,当1+=k n 时,由(1)知1=a 时,函数()()x x x f +-=2ln 在区间(0,1)上是增函数∴()()k k k k a a a f a +-==+2ln 1 ∴()()()1102ln 0=<<=<f a f f k ,即101<<+k a 成立, ∴当*∈N n 时,10<<n a 成立 [来源:学科网]下证1+<n n a a . ()101,ln 2ln10.n n n n a a a a +<<∴-=->=1+<∴n n a a . 综上101<<<+n n a a41．（苏北三市（徐州、淮安、宿迁）2013届高三第二次调研考试数学试卷）已知数列}{n a 满足),(12121*21N n na a a n n n ∈+-=+且.31=a (1) 计算432,,a a a 的值,由此猜想数列}{n a 的通项公式,并给出证明;(2) 求证:当2≥n 时,.4n nnn a ≥徐州市2012—2013学年度高三第一次质量检【答案】⑴24a =,35a =,46a =,猜想:*2()n a n n =∈+N①当1n =时,13a =,结论成立;②假设当*(1,)n k k k =∈N ≥时,结论成立,即2k a k =+, 则当1n k =+时,22111111=(2)(+2)+1=+3=(+1)+22222k k k a a ka k k k k k +=-+-+, 即当1n k =+时,结论也成立,由①②得,数列{}n a 的通项公式为*2()n a n n =∈+N ⑵原不等式等价于2(1)4n n+≥. 证明:显然,当2n =时,等号成立;当2n >时,01222222(1)C C C ()C ()n n n n nn n nn n n +=++++012233222C C C ()C ()n n n n n n n+++≥ 0122222>C C C ()54n n nn n n++=->, 综上所述,当2n ≥时,4nn na n ≥42．（扬州市2012-2013学年度第一学期期末检测高三数学试题）已知数列的前项和为.(Ⅰ)若数列是等比数列,满足,是,的等差中项,求数列的通项公式;(Ⅱ)是否存在等差数列,使对任意都有?若存在,请求出所有满足条件的等差数列;若不存在,请说明理由. [来源:]【答案】解:(Ⅰ)设等比数列的首项为,公比为,依题意,有即由得,解得或.当时,不合题意舍;当时,代入(2)得,所以,(Ⅱ)假设存在满足条件的数列,设此数列的公差为,则方法1: ,得对恒成立,则解得或此时,或.故存在等差数列,使对任意都有.其中, 或方法2:令,,得,令,得,①当时,得或,若,则,,,对任意都有;若,则,,,不满足.②当时,得或, 若,则,,,对任意都有;若,则,,,不满足. 综上所述,存在等差数列,使对任意都有.其中,或43．（苏北三市（徐州、淮安、宿迁）2013届高三第二次调研考试数学试卷）已知,0,0<>b a 且,0≠+b a 令,,11b b a a ==且对任意正整数k ,当≥+k k b a 时,;43,412111k k k k k b b b a a =-=++当0<+k k b a 时,.43,214111k k k k k a a b a b =+-=++ (1) 求数列}{n n b a +的通项公式;(2) 若对任意的正整数n ,0<+n n b a 恒成立,问是否存在b a ,使得}{n b 为等比数列?若存在,求出b a ,满足的条件;若不存在,说明理由; (3) 若对任意的正整数,0,<+n n b a n 且,43122+=n n b b 求数列}{n b 的通项公式.【答案】⑴当0n n a b +≥时,11124n n n a a b +=- 且134n n b b +=, 所以111131()2442n n n n n n n a b a b b a b +++=-+=+, [来源:学科网]又当0n n a b +<时,11142n n n b a b +=-+且134n n a a +=,113111()4422n n n n n n n a b a a b a b +++=-+=+,因此,数列{}n n b a +是以b a +为首项,12为公比的等比数列,所以,n n b a +11()2n a b -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⑵因为0n n a b +<,所以n n a a 431=+,所以134n n a a -⎛⎫= ⎪⎝⎭,11()2n n n b a b a -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭1113()24n n a b a --⎛⎫⎛⎫=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,假设存在a ,b ,使得{}n b 能构成等比数列,则1b b =,224b a b -=,34516b ab -=, 故2245()()416b a b ab --=,化简得0=+b a ,与题中0a b +≠矛盾, 故不存在a ,b 使得{}n b 为等比数列 ⑶因为0n n a b <+且12243+=n n b b ,所以121222141--+-=n n n b a b 所以1243+n b 21212121211113142444n n n n n a b a b b -----=-+=-+-所以2121212131()()44n n n n b b a b +----=-+,由⑴知,2221211()2n n n a b a b ---⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭,所以222121132n n n a b b b -+-+⎛⎫-=- ⎪⎝⎭)()(321213112----+-+=n n n b b b b b b246241111132222n a b b -⎡⎤+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦11114()141139414n n a b a b b b --⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎡⎤++⎛⎫⎝⎭⎢⎥=-=--⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦-⎢⎥⎣⎦, 22133()114434n n n a b b b b +⎡⎤+⎛⎫==--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦,所以,1224()11,943()1-1,434n n na b b n b a b b n -⎧⎡⎤+⎛⎫⎪⎢⎥-- ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎪⎣⎦=⎨⎡⎤⎪+⎛⎫⎢⎥⎪- ⎪⎢⎥⎝⎭⎪⎣⎦⎩．为奇数时,为偶数时44．（扬州、南通、泰州、宿迁四市2013届高三第二次调研测试数学试卷）设无穷数列{}n a 满足:n *∀∈Ν,1n n a a +<,n a *∈N .记*1()n n n a n a b a c a n +==∈N ，.(1)若*3()n b n n =∈N ,求证:1a =2,并求1c 的值;(2)若{}n c 是公差为1的等差数列,问{}n a 是否为等差数列,证明你的结论.数学II(附加题)【答案】【解】(1)因为n a *∈N ,所以若11a =,则113a a a ==矛盾,若113a a a =≥,可得113a ≥≥矛盾,所以12a = 于是123a a a ==,从而121136a a c a a a +==== (2){}n a 是公差为1的等差数列,证明如下:12n n a a n +>⇒≥时,1n n a a ->,所以11()n n n m a a a a n m -+⇒+-≥≥, ()m n <11111(1)n n a a n n a a a a ++++⇒++-+≥,即11n n n n c c a a ++--≥,由题设,11n n a a +-≥,又11n n a a +-≥, 所以11n n a a +-=,即{}n a 是等差数列45．（连云港市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）已知数列{a n }中,a 2=a (a 为非零常数),其前n 项和S n 满足:S n =n (a n －a 1)2(n ∈N*).(1)求数列{a n }的通项公式;(2)若a =2,且21114m n a S -=,求m 、n 的值;(3)是否存在实数a 、b ,使得对任意正整数p ,数列{a n }中满足n a b p +≤的最大项恰为第3p-2项?若存在,分别求出a 与b 的取值范围;若不存在,请说明理由.【答案】(1)证明:由已知,得a 1=S 1=1⋅(a 1－a 1)2=0,∴S n =na n2, 则有S n +1=(n +1)a n +12,∴2(S n +1-S n )=(n +1)a n +1-na n ,即(n -1)a n +1=na n n ∈N*, ∴na n +2=(n +1)a n +1,两式相减得,2a n +1=a n +2+a n n ∈N*, 即a n +1-a n +1=a n +1-a n n ∈N*, 故数列{a n }是等差数列.又a 1=0,a 2=a ,∴a n =(n -1)a(2)若a =2,则a n =2(n -1),∴S n =n (n -1). 由21114m n a S -=,得n 2-n +11=(m -1)2,即4(m -1)2-(2n -1)2=43, [来源:Z 。

江苏省13大市2013届高三上学期期末数学试题分类汇编导数及其应用1、（南通市2013届高三期末）曲线2(1)1()e (0)e 2x f f x f x x '=-+在点(1，f (1))处的切线方程为 ▲ ．答案：1e 2y x =-． 2、（苏州市2013届高三期末）过坐标原点作函数ln y x =图像的切线，则切线斜率为 ． 答案：1e3、（泰州市2013届高三期末）曲线y=2lnx 在点（e,2）处的切线与y 轴交点的坐标为 (0,0)4、（扬州市2013届高三期末）已知函数xmx x f -=ln )(（R m ∈）在区间],1[e 上取得最小值4，则=m ▲ ． e 3-5、（常州市2013届高三期末）第八届中国花博会将于2013年9月在常州举办，展览园指挥中心所用地块的形状是大小一定的矩形ABCD ，BC a =，CD b =．a ，b 为常数且满足b a <.组委会决定从该矩形地块中划出一个直角三角形地块AEF 建游客休息区（点E ，F 分别在线段AB ，AD 上），且该直角三角形AEF 的周长为（2l b >），如图．设AE x =，△AEF 的面积为S ．（1）求S 关于x 的函数关系式；（2）试确定点E 的位置，使得直角三角形地 块AEF 的面积S 最大，并求出S 的最大值． 解：（1）设AF y =，则22x y x y l +++=，整理，得222()l lxy l x -=-．………3分 2(2)4(12)l l x S lx x xy --==，](0,x b ∈． …………………………………4分（2）()()]22'222422222,(0,4224l x lx l l S x l x l x b x l x l ⎛⎫⎛⎫-+-+=⋅=-⋅-∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭∴当222b l -≤时，'0S >，S 在](0,b 递增，故当x b =时，()()max 24bl b l S b l -=-； 当222b l ->时，在220,2x l ⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝⎭上，'0S >，S 递增，在22,2x l b ⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝⎭上，'0S <，S 递减，故当222x l -=时，2max 3224S l -=.6、（连云港市2013届高三期末）（连云港市2013届高三期末）某单位决定对本单位职工实行年医疗费用报销制度,拟制定年医疗总费用在2万元至10万元(包括2万元和10万元)的报销方案,该方案要求同时具备下列三个条件：①报销的医疗费用y (万元)随医疗总费用x (万元)增加而增加；②报销的医疗费用不得低于医疗总费用的50%；③报销的医疗费用不得超过8万元.(1)请你分析该单位能否采用函数模型y ＝0.05(x 2+4x +8)作为报销方案；(2)若该单位决定采用函数模型y ＝x -2ln x +a (a 为常数)作为报销方案，请你确定整数a 的值．(参考数据：ln2≈0.69，ln10≈2.3)【解】(1)函数y =0.05(x 2+4x +8)在[2,10]上是增函数，满足条件①， ……………2分 当x =10时,y 有最大值7.4万元,小于8万元,满足条件③. ………………………4分但当x =3时,y =2920<32,即y ≥x2不恒成立,不满足条件②,故该函数模型不符合该单位报销方案. ………………………6分(2)对于函数模型y =x -2ln x +a ，设f (x )= x -2ln x +a ，则f ´(x )=1-2x =x －2x≥0.所以f (x )在[2，10]上是增函数，满足条件①，由条件②，得x -2ln x +a ≥x 2，即a ≥2ln x -x2在x ∈[2，10]上恒成立，令g (x )=2ln x -x 2，则g ´(x )=2x －12=4－x2x，由g ´(x )>0得x <4，∴g (x )在(0，4)上增函数，在(4，10)上是减函数.∴a ≥g (4)=2ln4-2=4ln2-2. ………………10分 由条件③，得f (10)=10-2ln10+a ≤8，解得a ≤2ln10-2. ……………………12分 另一方面，由x -2ln x +a ≤x ，得a ≤2ln x 在x ∈[2，10]上恒成立, ∴a ≤2ln2,综上所述，a 的取值范围为[4ln2-2，2ln2]，所以满足条件的整数a 的值为1. ……………14分7、（南京市、盐城市2013届高三期末）对于定义在区间D 上的函数()f x , 若任给0x D ∈, 均有0()f x D ∈, 则称函数()f x 在区间D 上封闭.试判断()1f x x =-在区间[2,1]-上是否封闭, 并说明理由； 若函数3()1x ag x x +=+在区间[3,10]上封闭, 求实数a 的取值范围； 若函数3()3h x x x =-在区间[,](,)a b a b Z ∈上封闭, 求,a b 的值.解: (1)()1f x x =-在区间[2,1]-上单调递增,所以()f x 的值域为[-3,0]………2分 而[-1,0][2,1]⊄-,所以()f x 在区间[2,1]-上不是封闭的……………… 4分 (2)因为33()311x a a g x x x +-==+++, ①当3a =时,函数()g x 的值域为{}3[3,10]⊆,适合题意……………5分 ②当3a >时,函数()g x 在区间[3,10]上单调递减,故它的值域为309[,]114a a++,由309[,]114a a ++[3,10]⊆,得303119104aa +⎧≥⎪⎪⎨+⎪≤⎪⎩,解得331a ≤≤,故331a <≤……………………7分 ③当3a <时,在区间[3,10]上有33()3311x a a g x x x +-==+<++,显然不合题意 …………………8分 综上所述, 实数a 的取值范围是331a ≤≤……………………………9分(3)因为3()3h x x x =-,所以2()333(1)(1)h x x x x '=-=+-, 所以()h x 在(,1)-∞-上单调递减,在(1,1)-上递增,在(1,)+∞上递增.①当1a b <≤-时,()h x 在区间[,]a b 上递增,所以()()h a ah b b ≥⎧⎨≤⎩,此时无解………10分②当111a b ≤--<≤且时,因max ()(1)2h x h b =-=>,矛盾,不合题意…………11分 ③当11a b ≤->且时,因为(1)2,(1)2h h -==-都在函数的值域内,故22a b ≤-⎧⎨≥⎩,又33()3()3a h a a a b h b b b ⎧≤=-⎨≥=-⎩,解得202202a a b b -≤≤≥⎧⎨≤≤≤⎩或或,从而22a b =-⎧⎨=⎩ ………12分 ④当11a b -≤<≤时,()h x 在区间[,]a b 上递减,()()h b ah a b≥⎧⎨≤⎩ (*),而,a b Z ∈,经检验,均不合(*)式……………………………13分⑤当111a b -<≤≥且时,因min ()(1)2h x h a ==-<,矛盾,不合题意…………14分 ⑥当1b a >≥时,()h x 在区间[,]a b 上递增,所以()()h a ah b b≥⎧⎨≤⎩,此时无解 ……………15分综上所述,所求整数,a b 的值为2,2a b =-=…………………16分8、（南通市2013届高三期末）某公司为一家制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，其周长为4米，这种薄板须沿其对角线折叠后使用．如图所示，()ABCD AB AD >为长方形薄板，沿AC 折叠后，AB '交DC 于点P ．当△ADP 的面积最大时最节能，凹多边形ACB PD '的面积最大时制冷效果最好． （1）设AB =x 米，用x 表示图中DP 的长度，并写出x 的取值范围； （2）若要求最节能，应怎样设计薄板的长和宽？ （3）若要求制冷效果最好，应怎样设计薄板的长和宽？ABCD（第17题）B 'P解：（1）由题意，AB x =，2BC x =-．因2x x >-，故12x <<． …………2分设DP y =，则PC x y =-．因△ADP ≌△CB P '，故PA PC x y ==-．由 222PA AD DP =+，得 2221()(2)2(1)x y x y y x -=-+⇒=-，12x <<．……5分（2）记△ADP 的面积为1S ，则11(1)(2)S x x=-- ………………………………………………………………6分23()222x x=-+≤-，当且仅当2x =∈(1，2)时，S 1取得最大值．……………………………………8分 故当薄板长为2米，宽为22-米时，节能效果最好． ……………………9分 （3）记△ADP 的面积为2S ，则221114(2)(1)(2)3()22S x x x x x x=-+--=-+，12x <<．…………………………10分于是，33222142(2)022x S x x x x-+'=--==⇒=．……………………………11分 关于x 的函数2S 在3(1,2)上递增，在3(2,2)上递减．所以当32x =时，2S 取得最大值． …………………………13分故当薄板长为32米，宽为322-米时，制冷效果最好． ………………………14分9、（徐州、淮安、宿迁市2013届高三期末）已知函数).1,0(ln )(2≠>-+=a a a x x a x f x （1） 求函数)(x f 在点))0(,0(f 处的切线方程；（2） 求函数)(x f 单调区间；（3） 若存在]1,1[,21-∈x x ，使得e e x f x f (1)()(21-≥-是自然对数的底数），求实数a 的取值范围. ⑴因为函数2()ln (0,1)x f x a x x a a a =->≠+，所以()ln 2ln x f x a a x a '=-+，(0)0f '=，…………………………………………2分 又因为(0)1f =，所以函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为1y =． …………4分 ⑵由⑴，()ln 2ln 2(1)ln x x f x a a x a x a a '=-=-++．因为当0,1a a >≠时，总有()f x '在R 上是增函数， ………………………………8分 又(0)0f '=，所以不等式()0f x '>的解集为(0,)∞+，故函数()f x 的单调增区间为(0,)∞+．………………………………………………10分 ⑶因为存在12,[1,1]x x ∈-，使得12()()e 1f x f x --≥成立，而当[1,1]x ∈-时，12max min ()()()()f x f x f x f x --≤，所以只要max min ()()e 1f x f x --≥即可．……………………………………………12分 又因为x ，()f x '，()f x 的变化情况如下表所示：x(,0)-∞0 (0,)∞+ ()f x '-+()f x减函数极小值增函数所以()f x 在[1,0]-上是减函数，在[0,1]上是增函数，所以当[1,1]x ∈-时，()f x 的最小值()()min 01f x f ==，()f x 的最大值()max f x 为()1f -和()1f 中的最大值．因为11(1)(1)(1ln )(1ln )2ln f f a a a a a aa--=--=--+++， 令1()2ln (0)g a a a a a =-->，因为22121()1(1)0g a a a a '=-=->+，所以1()2ln g a a a a=--在()0,a ∈+∞上是增函数．而(1)0g =，故当1a >时，()0g a >，即(1)(1)f f >-；当01a <<时，()0g a <，即(1)(1)f f <-．………………………………………14分所以，当1a >时，(1)(0)e 1f f --≥，即ln e 1a a --≥，函数ln y a a =-在(1,)a ∈+∞上是增函数，解得e a ≥；当01a <<时，(1)(0)e 1f f ---≥，即1ln e 1a a +-≥，函数1ln y a a=+在(0,1)a ∈上是减函数，解得10ea <≤．综上可知，所求a 的取值范围为1(0,][e,)ea ∈∞+U ．………………………………16分10、（泰州市2013届高三期末）已知函数f(x)=(x-a)2()x b -,a,b 为常数， （1）若a b ≠,求证：函数f(x)存在极大值和极小值（2）设（1）中 f(x) 取得极大值、极小值时自变量的分别为12,x x ，令点A 11(,()x f x )，B 22(,()x f x ),如果直线AB 的斜率为12-，求函数f(x)和/()f x 的公共递减区间的长度 （3）若/()()f x mf x ≥对于一切x R ∈ 恒成立，求实数m,a,b 满足的条件解：（1）[])2(3)()(/b a x b x x f +--= …………………………………………………1分b a ≠Θ32b a b +≠∴0)(,=∴x f 有两不等 b 和32ba + ∴f （x ）存在极大值和极小值 ……………………………….……………………………4分（2）①若a =b ，f （x ）不存在减区间②若a >b 时由（1）知x 1=b ，x 2=32ba + ∴A （b ,0）B ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+9)(2,322b a b a 21329)(22-=-+-∴b b a b a ∴)(3)(22b a b a -=- 23=-∴b a○3当a <b 时 x 1=32ba +,x 2=b 。

2013年普通高等学校统一考试试题（江苏卷）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分。

请把答案填写在答题卡相印位置上。

1、函数)42sin(3π+=x y 的最小正周期为 ▲2、设2)2(i z -=（i 为虚数单位），则复数z 的模为 ▲3、双曲线191622=-y x 的两条渐近线的方程为 ▲4、集合}1,0,1{-共有 ▲ 个子集5、右图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是 ▲ （流程图暂缺）6、抽样统计甲、乙两位设计运动员的5此训练成绩（单位：环），结果如下：运动员 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次甲 87 91 90 89 93乙 89 90 91 88 92则成绩较为稳定（方程较小）的那位运动员成绩的方差为 ▲7、现在某类病毒记作n m Y X ，其中正整数m ，n （7≤m ，9≤n ）可以任意选取，则n m ，都取到奇数的概率为 ▲8、如图，在三棱柱ABC C B A -111中，F E D ，，分别是1AA AC AB ，， 的中点，设三棱锥ADE F -的体积为1V ，三棱柱ABC C B A -111的体 积为2V ，则=21:V V ▲ 9、抛物线2x y =在1=x 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D （包含三角形内部和边界）。

若点),(y x P 是区域D 内的任意一点，则y x 2+的取值范围是 ▲ 10、设E D ，分别是ABC ∆的边BC AB ，上的点，AB AD 21=，BC BE 32=， 若AC AB DE 21λλ+=（21λλ，为实数），则21λλ+的值为 ▲ 11、已知)(x f 是定义在R 上的奇函数。

当0>x 时，x x x f 4)(2-=，则不等式x x f >)(的解集用区间表示为 ▲12、在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为)0,0(12222>>=+b a b y a x ，右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为1d ，F 到l 的距离为2d ， 若126d d =，则椭圆C 的离心率为 ▲13、在平面直角坐标系xOy 中，设定点),(a a A ，P 是函数x y 1=（0>x ）图象上一动点，若点A P ，之间的最短距离为22，则满足条件的实数a 的所有值为 ▲14、在正项等比数列}{n a 中，215=a ，376=+a a ，则满足n n a a a a a a 2121>+++的最大正整数n 的值为 ▲A BC1ADE F 1B 1C二、解答题：本大题共6小题，共计90分。

【推荐】江苏省13大市2013年高三历次考试数学试题分类汇编9：直线与圆一、填空题1 ．（江苏省盐城市2013届高三年级第二次模拟考试数学试卷）过点)3,2(且与直线1l :0=y 和2l :x y 43=都相切的所有圆的半径之和为________. 【答案】422 ．（连云港市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）如图,点A ,B 分别在x 轴与y 轴的正半轴上移动,且AB =2,若点A 从(3,0)移动到(2,0),则AB 中点D 经过的路程为______.【答案】π12; 3 ．（常州市2013届高三教学期末调研测试数学试题）在平面直角坐标系xOy 中,圆C :224x y +=分别交x 轴正半轴及y 轴负半轴于M ,N 两点,点P 为圆C 上任意一点,则PM PN ⋅的最大值为______.【答案】 442+4 ．（南京市、盐城市2013届高三第三次模拟考试数学试卷）在平面直角坐标系xOy 中,已知圆C :x 2+y 2-(6-2m )x -4my +5m 2-6m =0,直线l 经过点(1,0).若对任意的实数m ,定直线l 被圆C 截得的弦长为定值,则直线l 的方程为________.【答案】2x +y -2=05 ．（江苏省泰州、南通、扬州、宿迁、淮安五市2013届高三第三次调研测试数学试卷）在平面直角坐标系xOy 中,设点P 为圆C :22(1)4x y -+=上的任意一点,点Q (2a ,3a -) (a ∈R ),则线段PQ 长度的最小值为______. 【答案】52-6 ．（苏州市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）在平面直角坐标系xOy 中,x yBB´A A´ OD D´ (第13题图)已知直线360x y +-=与圆22(3)(1)2x y -+-=交于A ,B 两点,则直线OA 与直线OB 的倾斜角之和为________.【答案】60︒7 ．（镇江市2013届高三上学期期末考试数学试题）从直线3480x y ++=上一点P 向圆22:2210C x y x y +--+=引切线,PA PB ,,A B 为切点,则四边形PACB 的周长最小值为______. 【答案】224+;8 ．（南京市、淮安市2013届高三第二次模拟考试数学试卷）在平面直角坐标系xOy 中,设过原点的直线与圆C:22(3)(1)4x y -+-=交于M 、N 两点,若MN 23≥,则直线的斜率k的取值范围是______. 【答案】3[0,]49 ．（徐州、宿迁市2013届高三年级第三次模拟考试数学试卷）已知曲线C :()(0)a f x x a x=>+,直线l :y x =,在曲线C 上有一个动点P ,过点P 分别作直线l 和y 轴的垂线,垂足分别为,A B .再过点P 作曲线C 的切线,分别与直线l 和y 轴相交于点,M N ,O 是坐标原点.若ABP △的面积为12,则OMN △的面积为____. 【答案】4 10．（江苏省无锡市2013届高三上学期期末考试数学试卷）定义一个对应法则f:P(rn,n)→p '(m,2|n|).现有直角坐标平面内的点A(-2,6)与点B(6,-2),点M 是线段AB 上的动点,按定义的对应法则f:M→M'.当点M 在线段AB 上从点A 开始运动到点B 时,点M 的对应点M'经过的路线的长度为_________. 【答案】8511．（南通市2013届高三第一次调研测试数学试卷）已知直线y =ax +3与圆22280x y x ++-=相交于A ,B 两点,点00(,)P x y 在直线y =2x 上,且PA =PB ,则0x 的取值范围为________.【答案】 答案:(1,0)(0,2)-.本题主要考查直线与圆的有关知识.圆心C (-1,0)到直线l :y =ax +3的距离为2|3|31a d a -=<+,解得a >0或a <34-. 由PA =PB ,CA =CB ,得PC ⊥l ,于是1PC k a=-,进而可求出x 0的取值范围.12．（江苏省泰州市2012-2013学年度第一学期期末考试高三数学试题）已知点P(t,2t)( 0t≠)是圆C:221x y +=内一点,直线 tx+2ty=m 圆C 相切,则直线x+y+m=0与圆C 的关系是________________【答案】相交13．（2012-2013学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学试题）已知圆22:()()1(0)C x a y a a -+-=>与直线3y x =相交于P ,Q 两点,若090PCQ ∠=,则实数a =______. 【答案】5214．（江苏省无锡市2013届高三上学期期末考试数学试卷）已知圆C l :22(1)(1)1x y ++-=,圆C 2与圆C 1关于直线x-y-l =0对称,则圆C 2的方程为.【答案】22(2)(2)1x y -++=15．（镇江市2013届高三上学期期末考试数学试题）直线1:240l x y +-=与 2:(2)10l mx m y +--=平行,则实数m =______. 【答案】32; 16．（江苏省苏锡常镇四市2013届高三教学情况调研(一)数学试题）若对于给定的正实数k ,函数()k f x x=的图像上总存在点C ,使得以C 为圆心,1为半径的圆上有两个不同的点到原点O 的距离为2,则k 的取值范围是_________. 【答案】9(0,)2 二、解答题17．（扬州、南通、泰州、宿迁四市2013届高三第二次调研测试数学试卷）在平面直角坐标系xOy 中,已知圆C :x 2+y 2=r 2和直线l :x =a (其中r 和a 均为常数,且0 < r < a ),M 为l 上一动点,A 1,A 2为圆C 与x 轴的两个交点,直线MA 1,MA 2与圆C 的另一个交点分别为P 、Q .(1)若r =2,M 点的坐标为(4,2),求直线PQ 方程;(2)求证:直线PQ 过定点,并求定点的坐标.【答案】【解】(1)当r =2,M (4,2),则A 1(-2,0),A 2(2,0).直线MA 1的方程:x -3y +2=0,解224320x y x y ⎧+=⎨-+=⎩，得()8655P ， 直线MA 2的方程:x -y -2=0,解22420x y x y ⎧+=⎨--=⎩，得()02Q -， 由两点式,得直线PQ 方程为:2x -y -2=0(2)证法一:由题设得A 1(-r ,0),A 2(r ,0) .设M (a ,t ),直线MA 1的方程是:y = t a +r (x +r ),直线MA 1的方程是:y = t a －r (x -r ) 解222()x y r t y x r a r ⎧+=⎪⎨=+⎪+⎩，得()222222()2()()()r a r rt tr a r P a r t a r t +-+++++， 解222()x y r t y x r a r ⎧+=⎪⎨=-⎪-⎩，得()222222()2()()()rt r a r tr a r Q a r t a r t -----+-+， 于是直线PQ 的斜率k PQ =2at a 2－t 2－r 2,直线PQ 的方程为()2222222222()()2()()tr a r r a r rt at y x a r t a t r a r t ++--=-++--++ 上式中令y = 0,得x =r 2a ,是一个与t 无关的常数.故直线PQ 过定点()20r a ， 证法二:由题设得A 1(-r ,0),A 2(r ,0) .设M (a ,t ),直线MA 1的方程是:y =t a +r (x +r ),与圆C 的交点P 设为P (x 1,y 1) . 直线MA 2的方程是:y =ta －r (x -r );与圆C 的交点Q 设为Q (x 2,y 2) .则点P (x 1,y 1) ,Q (x 2,y 2)在曲线[(a +r )y -t (x +r )][(a -r )y -t (x -r )]=0上,化简得 (a 2-r 2)y 2-2ty (ax -r 2)+t 2(x 2-r 2)=0. ①又有P (x 1,y 1) ,Q (x 2,y 2)在圆C 上,圆C :x 2+y 2-r 2=0.②① -t 2×②得 (a 2-r 2)y 2-2ty (ax -r 2)-t 2(x 2-r 2) -t 2( x 2+y 2-r 2)=0,化简得:(a 2-r 2)y -2t (ax -r 2) -t 2 y =0.所以直线PQ 的方程为(a 2-r 2)y -2t (ax -r 2)-t 2 y =0. ③在③中令y = 0得 x = r 2a ,故直线PQ 过定点()20r a ，。

江苏省13大市2013年高三历次考试数学试题分类汇编19：坐标系与参数方程一、解答题1 ．（江苏省无锡市2013届高三上学期期末考试数学试卷）选修4-4:坐标系与参数方程 已知在极坐标系下,圆C:p= 2cos(2πθ+)与直线l :ρsin(4πθ+点M 为圆C 上的动点.求点M 到直线l 距离的最大值.2 ．（苏州市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）(选修4—4:坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中,椭圆221164x y +=的右顶点为A ,上顶点为B ,点P 是第一象限内在椭圆上的一个动点,求PAB ∆面积S 的最大值.3 ．（江苏省苏锡常镇四市2013届高三教学情况调研(一)数学试题）(选修4—4:坐标系与参数方程)已知直线的参数方程21x ty =-⎧⎪⎨=+⎪⎩(为参数),圆C 的极坐标方程:2sin 0ρθ+=.[来源:学科网](1)将直线的参数方程化为普通方程,圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)在圆C 上求一点P ,使得点P 到直线的距离最小.4 ．（南通市2013届高三第一次调研测试数学试卷）选修4-4:坐标系与参数方程已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点,极轴与x 轴的正半轴重合.曲线C 的极坐标方程为2222cos 3sin 3+=ρθρθ,直线l的参数方程为,1x y t⎧=⎪⎨=+⎪⎩(t 为参数,t ∈R).试在曲线C 上求一点M ,使它到直线l 的距离最大.5 ．（苏北三市（徐州、淮安、宿迁）2013届高三第二次调研考试）[选修4—4 :坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的参数方程为θθθ(sin 22,cos 22⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=r y r x 为参数,)0>r ,以O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为,1)4sin(=+πθρ若圆C 上的点到直线l 的最大距离为3,求r 的值.6 ．（南京市、盐城市2013届高三第三次模拟考试数学试卷）选修4—4:坐标系与参数方程已知圆C 的极坐标方程为ρ=4cos(θ-π6),点M 的极坐标为(6,π6),直线l 过点M ,且与圆C 相切,求l 的极坐标方程.7 ．（连云港市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）8 ．（2012-2013学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学试题）(选修4—4:坐标系与参数方程)已知曲线C 的参数方程,2sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩(θ为参数),直线l 的极坐标方程:sin()14πρθ-=.直线l 与曲线C交于M ,N 两点,求MN 的长.9 ．（江苏省盐城市2013届高三年级第二次模拟考试数学试卷）(选修4-4:坐标系与参数方程)已知圆C 的参数方程为⎩⎨⎧+==2sin cos θθy x (θ为参数),以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为1cos sin =+θρθρ,求直线l 截圆C 所得的弦长.10．（南京市、盐城市2013届高三年级第一次模拟考试数学试题）(选修4—4:坐标系与参数方程)在极坐标系中, A 为曲线22cos 30ρρθ+-=上的动点, B 为直线cos sin 70ρθρθ+-=上的动点, 求AB 的最小值.11．（扬州市2012-2013学年度第一学期期末检测高三数学试题）C. 选修 4 - 4:坐标系与参数方程 已知椭圆C :221169x y +=与x 正半轴、y 正半轴的交点分别为,A B ,动点P 是椭圆上任一点,求PAB ∆面积的最大值.12．（常州市2013届高三教学期末调研测试数学试题）选修4—4:坐标系与参数方程已知曲线1C 的极坐标方程为cos 13πρθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,曲线2C 的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,判断两曲线的位置关系.13．（徐州、宿迁市2013届高三年级第三次模拟考试数学试卷）选修4-4:坐标系与参数方程在极坐标系中,已知直线2cos sin 0(0)a a ρθρθ=>++被圆4sin ρθ=截得的弦长为2,求a 的值.14．（镇江市2013届高三上学期期末考试数学试题）(选修4—4:坐标系与参数方程)求圆3cos ρθ=被直线22,14x t y t=+⎧⎨=+⎩(是参数截得的弦长.15．（扬州、南通、泰州、宿迁四市2013届高三第二次调研测试数学试卷）选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标xOy 中,已知圆221:4C x y +=,圆222:(2)4C x y -+=.(1)在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别求圆12,C C 的极坐标方程及这两个圆的交点的极坐标;(2)求圆12C C 与的公共弦的参数方程.江苏省13大市2013年高三历次考试数学试题分类汇编19：坐标系与参数方程参考答案一、解答题1 ．（江苏省无锡市2013届高三上学期期末考试数学试卷）选修4-4:坐标系与参数方程【答案】2 ．（苏州市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）(选修4—4:坐标系与参数方程)【答案】4 ．（江苏省苏锡常镇四市2013届高三教学情况调研(一)数学试题）(选修4—4:坐标系与参数方程)【答案】4 ．（南通市2013届高三第一次调研测试数学试卷）选修4-4:坐标系与参数方程【答案】解:曲线C 的普通方程是2213x y += 直线l的普通方程是0x =设点M的直角坐标是,sin )θθ,则点M 到直线l 的距离是因为)4≤+≤πθ,所以 当πsin()14θ+=-,即ππ2π(42k k θ+=-∈Z),即3π2π(4k k θ=-∈Z)时,d 取得最大值.==θθ综上,点M的极坐标为7π)6时,该点到直线l 的距离最大 注 凡给出点M的直角坐标为(,不扣分. 5 ．（苏北三市（徐州、淮安、宿迁）2013届高三第二次调研考试数学试卷）[选修4—4 :坐标系与参数方程]【答案】因为圆C的参数方程为cos ,2sin x r y r θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(θ为参数,0r >),消去参数得,()2220x y r r ⎛⎛+++=> ⎝⎭⎝⎭,所以圆心C ⎛ ⎝⎭,半径为r , 因为直线l 的极坐标方程为sin()14ρθπ+=,化为普通方程为x y +圆心C到直线x y +2d ==,又因为圆C 上的点到直线l 的最大距离为3,即3d r +=,所以321r =-=6 ．（南京市、盐城市2013届高三第三次模拟考试数学试卷）选修4—4:坐标系与参数方程解 以极点为原点,极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系,则圆C 的直角坐标方程为(x - 3)2+(y -1)2=4, 点M 的直角坐标为(3 3,3) 当直线l 的斜率不存在时,不合题意.设直线l 的方程为y -3=k (x -33), 由圆心C (3,1)到直线l 的距离等于半径2.故|23k －2|k 2＋1=2 解得k =0或k =3.所以所求的直线l 的直角坐标方程为y =3或3x -y -6=0 所以所求直线l 的极坐标方程为ρsin θ=3或ρsin(π3-θ)=37 ．（连云港市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）解:曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程为x 2+y 2-4x =0, 即(x -2)2+y 2=4 直线l 的普通方程方程为y =x -m , 则圆心到直线l 的距离d =4－(142)2=22, 所以|2－0－m |2=22,即|m -2|=1,解得m =1,或m =38 ．（2012-2013学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学试题）(选修4—4:坐标系与参数方程)【答案】9 ．（江苏省盐城市2013届高三年级第二次模拟考试数学试卷）(选修4-4:坐标系与参数方程)【答案】圆C 的方程为 1)2(22=-+y x ;直线l 的方程为 1=+y x . 故所求弦长为22120=-+=d10．（南京市、盐城市2013届高三年级第一次模拟考试数学试题）(选修4—4:坐标系与参数方程)【答案】解:圆的方程可化为()2214x y ++=,所以圆心为()1,0-,半径为2 又直线方程可化为70x y +-=所以圆心到直线的距离d 故min ()AB=211．（扬州市2012-2013学年度第一学期期末检测高三数学试题）C. 选修4 - 4:坐标系与参数方程 【答案】C. 选修 4 - 4:坐标系与参数方程 解:依题意(4,0)A ,(0,3)B ,5AB =,直线AB :143x y+=,即34120x y +-= 设点P 的坐标为(4cos ,3sin )θθ,则点P 到直线AB 的距离是|34cos 43sin 12|12|)1|554d θθπθ⋅+⋅-==+-, 当sin()14πθ+=-时,max d =所以PAB ∆面积的最大值是max 11)2S AB d =⋅=+ 12．（常州市2013届高三教学期末调研测试数学试题）选修4—4:坐标系与参数方程【答案】解:将曲线12,C C 化为直角坐标方程得: 1:20C x +=, 222:220C x y x y +--= 即()()222:112C x y -+-=, 圆心到直线的距离d >∴曲线12C C 与相离. 13．（徐州、宿迁市2013届高三年级第三次模拟考试数学试卷）选修4-4:坐标系与参数方程【答案】直线的极坐标方程化为直角坐标方程为20x y a =++,圆的极坐标方程化为直角坐标方程为224x y y =+,即22(2)4x y -=+ , 因为截得的弦长为2,所以圆心(0,2)=因为0a >,所以2a14．（镇江市2013届高三上学期期末考试数学试题）(选修4—4:坐标系与参数方程)【答案】解:将极坐标方程转化成直角坐标方程: 3cos ρθ=即:223x y x +=,即2239()24x y -+=; 22,14,x t y t =+⎧⎨=+⎩ 即:23x y -=, 0d , 即直线经过圆心,所以直线截得的弦长为315．（扬州、南通、泰州、宿迁四市2013届高三第二次调研测试数学试卷）选修4-4:坐标系与参数方程【答案】【解】(1)圆1C 的极坐标方程为=2ρ, 圆2C 的极坐标方程为4cos ρθ=,由24cos ρρθ=⎧⎨=⎩，得π=23ρθ=±，,故圆12C C ，交点坐标为圆()()ππ2233-，，，(2)由(1)得,圆12C C ，交点直角坐标为(1(1，, 故圆12C C 与的公共弦的参数方程为1(x y t t =⎧⎪⎨=⎪⎩，．注:第(1)小题中交点的极坐标表示不唯一;第(2)小题的结果中,若未注明参数范围,扣2分.。

广东省13大市2013届高三上期末考数学文试题分类汇编 坐标系与参数方程1、（东莞市2013届高三上学期期末）在直角坐标系xOy 中，圆以C 的参数方程是3cos 1sin x y θθ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩(θ为参数)，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 则 圆心C 的极坐标是 ． 答案：)6,2(π2、（佛山市2013届高三上学期期末）在极坐标系中，直线l 过点(1,0)且与直线3πθ=（ρ∈R ）垂直，则直线l 极坐标方程为 ． 答案：2sin()16πρθ+=（或2cos()13πρθ-=、cos 3sin 1ρθρθ+=） 3、（广州市2013届高三上学期期末）已知圆C 的参数方程为2x y cos ,sin ,θθ⎧=⎨=+⎩(θ为参数), 以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为1sin cos ρθρθ+=, 则直线l 截圆C 所得的弦长是 . 答案：24、（惠州市2013届高三上学期期末）直线2cos 1ρθ=与圆2cosρθ=相交的弦长为 ．【解析】直线1cos 2=θρ与圆θρcos 2=的普通方程为1)1(1222=+-=y x x 和，圆心到直线的距离为21211=-，所以弦长为3)21(122=- 5、（江门市2013届高三上学期期末）以直角坐标系Oxy 的坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系) , (θρ（πθ20<≤），曲线C 的极坐标方程是2=ρ，正六边形ABCDEF 的顶点都在C 上，且A 、B 、C 、D 、E 、F 依逆时针次序排列。

若点A 的极坐标为)3, 2(π，则点B 的直角坐标为 ． 答案：)3 , 1(-6、（茂名市2013届高三上学期期末）已知曲线C 的参数方程为2cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩ (θ为参数)，则曲线C 上的点到直线3x-4y+4=0的距离的最大值为 。

答案：37、（汕头市2013届高三上学期期末）已知直线4sin cos :=-θρθρl ，圆θρcos 4:=C ，则直线l 与圆C 的位置关系是________.（相交或相切或相离？）答案：相交8、（增城市2013届高三上学期期末）曲线⎩⎨⎧+==1t y t x （t 为参数且0>t ）与曲线⎩⎨⎧+==12cos cos θθy x （θ为参数）的交点坐标是 ． 答案：（1,2）11、（珠海市2013届高三上学期期末）在直角坐标系x O y 中，已知曲线1C ：⎩⎨⎧-=+=t y t x 212 , (为参数）与曲线2C ：⎩⎨⎧==θθsin 3cos 3y x ,（θ为参数）相交于两个点A 、B ，则线段AB 的长为 .答案：4。

数学Ⅰ试题参考公式:样本数据x 1,x 2, ,x n 的方差s 2=1n ∑n i =1x i -x ()-2,其中x -=1n ∑n i =1x i .棱锥的体积公式:V =13Sh ,其中S 是锥体的底面积,h 为高.棱柱的体积公式:V =Sh ,其中S 是柱体的底面积,h 为高.(第5题)一㊁填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答㊃题卡相应位置上∙∙∙∙∙∙∙.1.函数y =3sin(2x +π4)的最小正周期为　▲　.2.设z =(2-i)2(i 为虚数单位),则复数z 的模为　▲　.3.双曲线x 216-y 29=1的两条渐近线的方程为　▲　.4.集合{-1,0,1}共有　▲　个子集.5.右图是一个算法的流程图,则输出的n 的值是　▲　.6.抽样统计甲㊁乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位:环),结果如下:运动员第1次第2次第3次第4次第5次甲8791908993乙8990918892则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为　▲　.7.现有某类病毒记作X m Y n ,其中正整数m ,n (m ≤7,n ≤9)可以任意选取,则m ,n 都取到奇数的概率为　▲　. (第8题)8.如图,在三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中,D ,E ,F 分别是AB ,AC ,AA 1的中点.设三棱锥F -ADE 的体积为V 1,三棱柱A 1B 1C 1-ABC 的体积为V 2,则V 1∶V 2=　▲　.9.抛物线y =x 2在x =1处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D (包含三角形内部与边界).若点P (x ,y )是区域D 内的任意一点,则x +2y 的取值范围是　▲　.10.设D ,E 分别是ΔABC 的边AB ,BC 上的点,AD =12AB ,BE =23BC.若→DE =λ1→AB +λ2→AC (λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为　▲　.11.已知f (x )是定义在R 上的奇函数.当x >0时,f (x )=x 2-4x ,则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为　▲　.12.在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 的标准方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),右焦点为F ,右准线为l ,短轴的一个端点为B.设原点到直线BF 的距离为d 1,F 到l 的距离为d 2.若d 2=6d 1,则椭圆C 的离心率为　▲　.13.在平面直角坐标系xOy 中,设定点A (a ,a ),P 是函数y =1x (x >0)图象上一动点.若点P ,A 之间的最短距离为22,则满足条件的实数a 的所有值为　▲　.14.在正项等比数列{a n }中,a 5=12,a 6+a 7=3.则满足a 1+a 2+ +a n >a 1a 2 a n 的最大正整数n 的值为　▲　.二㊁解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答㊃题卡指定区域∙∙∙∙∙∙内作答,解答时应写出文字说明㊁证明过程或演算步骤.15.(本小题满分14分)已知向量a =(cos α,sin α),b =(cos β,sin β),0<β<α<π.(1)若a -b =2,求证:a ⊥b;(第16题)(2)设c =(0,1),若a +b =c ,求α,β的值.16.(本小题满分14分)如图,在三棱锥S -ABC 中,平面SAB ⊥平面SBC ,AB ⊥BC ,AS =AB.过A 作AF ⊥SB ,垂足为F ,点E ,G 分别是棱SA ,SC 的中点.求证:(1)平面EFG ∥平面ABC ;(2)BC ⊥SA.17.(本小题满分14分)(第17题)如图,在平面直角坐标系xOy 中,点A (0,3),直线l :y =2x -4.设圆C 的半径为1,圆心在l 上.(1)若圆心C 也在直线y =x -1上,过点A 作圆C 的切线,求切线的方程;(2)若圆C 上存在点M ,使MA =2MO ,求圆心C 的横坐标a 的取值范围.18.(本小题满分16分)如图,游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径.一种是从A 沿直线步行到C ,另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ,然后从B 沿直线步行到C.现有甲㊁乙两位游客从A 处下山,甲沿AC 匀速步行,速度为50m/min .在甲出发2min 后,乙从A 乘缆车到B ,在B 处停留1min (第18题)后,再从B 匀速步行到C.假设缆车匀速直线运行的速度为130m/min,山路AC 长为1260m,经测量,cos A =1213,cos C =35.(1)求索道AB 的长;(2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?19.(本小题满分16分)设{a n }是首项为a ,公差为d 的等差数列(d ≠0),S n 是其前n 项的和.记b n =nS n n 2+c ,n ∈N *,其中c 为实数.(1)若c =0,且b 1,b 2,b 4成等比数列,证明:S nk =n 2S k (k ,n ∈N *);(2)若{b n }是等差数列,证明:c =0.20.(本小题满分16分)设函数f (x )=ln x -ax ,g (x )=e x -ax ,其中a 为实数.(1)若f (x )在(1,+¥)上是单调减函数,且g (x )在(1,+¥)上有最小值,求a 的取值范围;(2)若g (x )在(-1,+¥)上是单调增函数,试求f (x )的零点个数,并证明你的结论.数学Ⅰ试题参考答案一㊁填空题:本题考查基础知识㊁基本运算和基本思想方法.每小题5分,共计70分.1.π 2.5 3.y =±34x 4.8 5.3 6.2 7.2063 8.1∶24 9.[-2,12]10.12 11.(-5,0)∪(5,+¥) 12.33 13.-1,10 14.12二㊁解答题15.本小题主要考查平面向量的加法㊁减法㊁数量积㊁三角函数的基本关系式㊁诱导公式等基础知识,考查运算求解能力和推理论证能力.满分14分.解:(1)由题意得a -b 2=2,即(a -b )2=a 2-2a ㊃b +b 2=2.又因为a 2=b 2=a 2=b 2=1,所以2-2a ㊃b =2,即a ㊃b =0,故a ⊥b .(2)因为a +b =(cos α+cos β,sin α+sin β)=(0,1),所以cos α+cos β=0,sin α+sin β=1{,由此得,cos α=cos(π-β),由0<β<π,得0<π-β<π,又0<α<π,故α=π-β.代入sin α+sin β=1得,sin α=sin β=12,而α>β,所以α=5π6,β=π6.16.本小题主要考查直线与直线㊁直线与平面以及平面与平面的位置关系,考查空间想象能力和推理论证能力.满分14分.(第16题)证明:(1)因为AS =AB ,AF ⊥SB ,垂足为F ,所以F 是SB 的中点.又因为E 是SA 的中点,所以EF ∥AB.因为EF ⊄平面ABC ,AB ⊂平面ABC ,所以EF ∥平面ABC.同理EG ∥平面ABC.又EF ∩EG =E ,所以平面EFG ∥平面ABC.(2)因为平面SAB ⊥平面SBC ,且交线为SB ,又AF ⊂平面SAB ,AF ⊥SB ,所以AF ⊥平面SBC ,因为BC ⊂平面SBC ,所以AF ⊥BC.又因为AB ⊥BC ,AF ∩AB =A ,AF ,AB ⊂平面SAB ,所以BC ⊥平面SAB.因为SA ⊂平面SAB ,所以BC ⊥SA.17.本小题主要考查直线与圆的方程,考查直线与直线㊁直线与圆㊁圆与圆的位置关系等基础知识,考查运用数形结合㊁待定系数法等数学思想方法分析解决问题的能力.满分14分.(第17题)解:(1)由题设,圆心C 是直线y =2x -4和y =x -1的交点,解得点C (3,2),于是切线的斜率必存在.设过A (0,3)的圆C 的切线方程为y =kx +3,由题意,3k +1k 2+1=1,解得k =0或-34,故所求切线方程为y =3或3x +4y -12=0.(2)因为圆心在直线y =2x -4上,所以圆C 的方程为(x -a )2+[y -2(a -2)]2=1.设点M (x ,y ),因为MA =2MO ,所以x 2+(y -3)2=2x 2+y 2,化简得x 2+y 2+2y -3=0,即x 2+(y +1)2=4,所以点M 在以D (0,-1)为圆心,2为半径的圆上.由题意,点M (x ,y )在圆C 上,所以圆C 与圆D 有公共点,则2-1≤CD ≤2+1,即1≤a 2+(2a -3)2≤3.由5a 2-12a +8≥0,得a ∈R ;由5a 2-12a ≤0,得0≤a ≤125.所以点C 的横坐标a 的取值范围为0,12éëêêùûúú5.18.本小题主要考查正余弦定理㊁二次函数的最值以及三角函数的基本关系㊁两角和的正弦等基础知识,考查数学阅读能力和分析解决实际问题的能力.满分16分.解:(1)在△ABC 中,因为cos A =1213,cos C =35,所以(第18题)sin A =513,sin C =45.从而sin B =sin[π-(A +C )]=sin(A +C )=sin A cos C +cos A sin C =513×35+1213×45=6365.由正弦定理AB sin C =AC sin B ,得AB =AC sin B ×sin C =12606365×45=1040(m).所以索道AB 的长为1040m .(2)假设乙出发t 分钟后,甲㊁乙两游客距离为d ,此时,甲行走了(100+50t )m,乙距离A 处130t m,所以由余弦定理得d 2=(100+50t )2+(130t )2-2×130t ×(100+50t )×1213=200(37t 2-70t +50),因0≤t ≤1040130,即0≤t ≤8,故当t =3537(min)时,甲㊁乙两游客距离最短.(3)由正弦定理BC sin A =AC sin B ,得BC =AC sin B ×sin A =12606365×513=500(m).乙从B 出发时,甲已走了50×(2+8+1)=550(m),还需走710m 才能到达C.设乙步行的速度为v m /min,由题意得-3≤500v -71050≤3,解得125043≤v ≤62514,所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在125043,625éëêêùûúú14(单位:m /min)范围内.19.本小题主要考查等差㊁等比数列的定义㊁通项㊁求和等基础知识,考查分析转化能力及推理论证能力.满分16分.解:由题设,S n =na +n (n -1)2 d.(1)由c =0,得b n =S n n =a +n -12d.又因为b 1,b 2,b 4成等比数列,所以b 22=b 1b 4,即(a +d 2)2=a (a +32d ),化简得d 2-2ad =0.因为d ≠0,所以d =2a.因此,对于所有的m ∈N *,有S m =m 2a.从而对于所有的k ,n ∈N *,有S nk =(nk )2a =n 2k 2a =n 2S k .(2)设数列b {}n 的公差是d 1,则b n =b 1+(n -1)d 1,即nS n n 2+c =b 1+(n -1)d 1,n ∈N *,代入S n 的表达式,整理得,对于所有的n ∈N *,有(d 1-12d )n 3+(b 1-d 1-a +12d )n 2+cd 1n =c (d 1-b 1).令A =d 1-12d ,B =b 1-d 1-a +12d ,D =c (d 1-b 1),则对于所有的n ∈N *,有An 3+Bn 2+cd 1n =D. (*)在(*)式中分别取n =1,2,3,4,得A +B +cd 1=8A +4B +2cd 1=27A +9B +3cd 1=64A +16B +4cd 1,从而有7A +3B +cd 1=0,　①19A +5B +cd 1=0,②21A +5B +cd 1=0,{③由②,③得A =0,cd 1=-5B ,代入方程①,得B =0,从而cd 1=0.即d 1-12d =0,b 1-d 1-a +12d =0,cd 1=0.若d 1=0,则由d 1-12d =0,得d =0,与题设矛盾,所以d 1≠0.又因为cd 1=0,所以c =0.20.本小题主要考查导数的运算及利用导数研究函数的性质,考查函数㊁方程及不等式的相互转化,考查综合运用数学思想方法分析与解决问题及推理论证能力.满分16分.解:(1)令f ′(x )=1x -a =1-ax x <0,考虑到f (x )的定义域为(0,+¥),故a >0,进而解得x >a -1,即f (x )在(a -1,+¥)上是单调减函数.同理,f (x )在(0,a -1)上是单调增函数.由于f (x )在(1,+¥)上是单调减函数,故(1,+¥)⊆(a -1,+¥),从而a -1≤1,即a ≥1.令g′(x )=e x -a =0,得x =ln a.当x <ln a 时,g′(x )<0;当x >ln a 时,g′(x )>0.又g (x )在(1,+¥)上有最小值,所以ln a >1,即a >e .综上,有a ∈(e,+¥).(2)当a ≤0时,g (x )必为单调增函数;当a >0时,令g′(x )=e x -a >0,解得a <e x ,即x >ln a ,因为g (x )在(-1,+¥)上是单调增函数,类似(1)有ln a ≤-1,即0<a ≤e -1.结合上述两种情况,有a ≤e -1.(ⅰ)当a =0时,由f (1)=0以及f ′(x )=1x >0,得f (x )存在唯一的零点;(ⅱ)当a <0时,由于f e ()a =a -a e a =a (1-e a )<0,f ()1=-a >0,且函数f (x )在e a ,[]1上的图象不间断,所以f (x )在(e a ,1)上存在零点.另外,当x >0时,f ′(x )=1x -a >0,故f (x )在(0,+¥)上是单调增函数,所以f (x )只有一个零点.(ⅲ)当0<a ≤e -1时,令f ′(x )=1x -a =0,解得x =a -1.当0<x <a -1时,f ′(x )>0,当x >a -1时,f ′(x )<0,所以,x =a -1是f (x )的最大值点,且最大值为f a ()-1=-ln a -1.①当-ln a -1=0,即a =e -1时,f (x )有一个零点x =e .②当-ln a -1>0,即0<a <e -1时,f (x )有两个零点.实际上,对于0<a <e -1,由于f e ()-1=-1-a e -1<0,f a ()-1>0,且函数f (x )在[e -1,a -1]上的图象不间断,所以f (x )在(e -1,a -1)上存在零点.另外,当x ∈(0,a -1)时,f ′(x )=1x -a >0,故f (x )在(0,a -1)上是单调增函数,所以f (x )在(0,a -1)上只有一个零点.下面考虑f (x )在(a -1,+¥)上的情况.先证f (e a -1)=a (a -2-e a -1)<0.为此,我们要证明:当x >e 时,e x >x 2.设h (x )=e x -x 2,则h′(x )=e x -2x ,再设l (x )=h′(x )=e x -2x ,则l′(x )=e x -2.当x >1时,l′(x )=e x -2>e-2>0,所以l (x )=h′(x )在(1,+¥)上是单调增函数.故当x >2时,h′(x )=e x -2x >h′(2)=e 2-4>0,从而h (x )在(2,+¥)上是单调增函数,进而当x >e 时,h (x )=e x -x 2>h (e)=e e -e 2>0.即当x >e 时,e x >x 2.当0<a <e -1,即a -1>e 时,f (e a -1)=a -1-a e a -1=a (a -2-e a -1)<0,又f (a -1)>0,且函数f (x )在[a -1,e a -1]上的图象不间断,所以f (x )在(a -1,e a -1)上存在零点.又当x >a -1时,f ′(x )=1x -a <0,故f (x )在(a -1,+¥)上是单调减函数,所以f (x )在(a -1,+¥)上只有一个零点.综合(ⅰ),(ⅱ),(ⅲ),当a ≤0或a =e -1时,f (x )的零点个数为1,当0<a <e -1时,f (x )的零点个数为2.数学Ⅱ(附加题)21.【选做题】本题包括A ㊁B ㊁C ㊁D 四小题,请㊃选定其中两小题∙∙∙∙∙∙∙,并㊃在相应的答题区域内作答∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙.若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明㊁证明过程或演算步骤.(第21-A 题)A.[选修4-1:几何证明选讲](本小题满分10分)如图,AB 和BC 分别与圆O 相切于点D ,C ,AC 经过圆心O ,且BC =2OC.求证:AC =2AD.B.[选修4-2:矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵A =-10éëêùûú02,B =12éëêùûú06,求矩阵A -1B.C.[选修4-4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为x =t +1,y =2{t (t 为参数),曲线C 的参数方程为x =2tan 2θ,y =2tan {θ(θ为参数).试求直线l 和曲线C 的普通方程,并求出它们的公共点的坐标.D.[选修4-5:不等式选讲](本小题满分10分)已知a ≥b >0,求证:2a 3-b 3≥2ab 2-a 2b.【必做题】第22题㊁第23题,每题10分,共计20分.请在答㊃题卡指定区域∙∙∙∙∙∙内作答,解答时应(第22题)写出文字说明㊁证明过程或演算步骤.22.(本小题满分10分)如图,在直三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中,AB ⊥AC ,AB =AC =2,A 1A =4,点D 是BC 的中点.(1)求异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值;(2)求平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值.23.(本小题满分10分)设数列{a n }:1,-2,-2,3,3,3,-4,-4,-4,-4, ,(-1)k -1k , ,(-1)k -1ìîíïïïïïïïïk k 个, ,即当(k -1)k 2<n ≤k (k +1)2(k ∈N *)时,a n =(-1)k -1k.记S n =a 1+a 2+ +a n (n ∈N *).对于l ∈N *,定义集合P l ={n S n 是a n 的整数倍,n ∈N *,且1≤n ≤l }.(1)求集合P 11中元素的个数;(2)求集合P 2000中元素的个数.数学Ⅱ(附加题)参考答案21.【选做题】A.[选修4-1:几何证明选讲]本小题主要考查圆的切线性质㊁相似三角形判定与性质,考查推理论证能力.满分10分.证明:连结OD.因为AB 和BC 分别与圆O 相切于点D ,C,(第21-A 题)所以∠ADO =∠ACB =90°.又因为∠A =∠A ,所以Rt ΔADO ∽Rt ΔACB.所以BC OD =AC AD .又BC =2OC =2OD ,故AC =2AD.B.[选修4-2:矩阵与变换]本小题主要考查逆矩阵㊁矩阵的乘法,考查运算求解能力.满分10分.解:设矩阵A 的逆矩阵为a b éëêùûúc d ,则-10éëêùûúa b éëêùûúc d =10éëêùûú,即-a -b éëêùûúd =10éëêùûú,故a =-1,b =0,c =0,d =12,从而A 的逆矩阵为A -1=-100éëêêêùûúúú12,所以A -1B =-100éëêêêùûúúú1212éëêùûú06=-1-2éëêùûú03.C.[选修4-4:坐标系与参数方程]本小题主要考查参数方程与普通方程的互化以及直线与抛物线的位置关系等基础知识,考查转化问题的能力.满分10分.解:因为直线l 的参数方程为x =t +1,y =2{t (t 为参数),由x =t +1得t =x -1,代入y =2t ,得到直线l 的普通方程为2x -y -2=0.同理得到曲线C 的普通方程为y 2=2x.联立方程组y =2(x -1),y 2=2x {,解得公共点的坐标为(2,2),(12,-1).D.[选修4-5:不等式选讲]本小题主要考查利用比较法证明不等式,考查推理论证能力.满分10分.证明:2a 3-b 3-(2ab 2-a 2b )=2a (a 2-b 2)+b (a 2-b 2)=(a 2-b 2)(2a +b )=(a -b )(a +b )(2a +b ).因为a ≥b >0,所以a -b ≥0,a +b >0,2a +b >0,从而(a -b )(a +b )(2a +b )≥0,即2a 3-b 3≥2ab 2-a 2b.22.【必做题】本小题主要考查异面直线㊁二面角㊁空间向量等基础知识以及基本运算,考查运用空间向量解决问题的能力.满分10分.(第22题)解:(1)以A 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ,则A (0,0,0),B (2,0,0),C (0,2,0),D (1,1,0),A 1(0,0,4),C 1(0,2,4),所以A 1→B =(2,0,-4),C 1→D =(1,-1,-4).因为cos〈A 1→B ,C 1→D 〉=A 1→B ㊃C 1→D A 1→B C 1→D =1820×18=31010,所以异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值为31010.(2)设平面ADC 1的法向量为n 1=(x ,y ,z ),因为→AD =(1,1,0),AC →1=(0,2,4),所以n 1㊃→AD =0,n 1㊃AC →1=0,即x +y =0且y +2z =0,取z =1,得x =2,y =-2,所以,n 1=(2,-2,1)是平面ADC 1的一个法向量.取平面AA 1B 的一个法向量为n 2=(0,1,0),设平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的大小为θ.由cos θ=n 1㊃n 2n 1n 2=29×1=23,得sin θ=53.因此,平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值为53.23.【必做题】本小题主要考查集合㊁数列的概念和运算㊁计数原理等基础知识,考查探究能力及运用数学归纳法的推理论证能力.满分10分.解:(1)由数列a {}n 的定义得a 1=1,a 2=-2,a 3=-2,a 4=3,a 5=3,a 6=3,a 7=-4,a 8=-4,a 9=-4,a 10=-4,a 11=5,所以S 1=1,S 2=-1,S 3=-3,S 4=0,S 5=3,S 6=6,S 7=2,S 8=-2,S 9=-6,S 10=-10,S 11=-5,从而S 1=a 1,S 4=0×a 4,S 5=a 5,S 6=2a 6,S 11=-a 11,所以集合P 11中元素的个数为5.(2)先证:S i (2i +1)=-i (2i +1)(i ∈N *).事实上,①当i =1时,S i (2i +1)=S 3=-3,-i (2i +1)=-3,故原等式成立;。

2013年江苏数学高考试卷参考公式： 样本数据12,,,n x x x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑。

棱锥的体积公式：13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 为高。

棱柱的体积公式：V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 为高。

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡的相应．．．．．．位置上．．．。

1、函数3sin(2)4y x π=+的最小正周期为 ▲ 。

2、设2(2)z i =- (i 为虚数单位)，则复数z 的模为 ▲ 。

3、双曲线221169x y -=的两条渐近线的方程为 ▲ 。

4、集合{-1，0，1}共有 ▲ 个子集。

5、右图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是 ▲ 。

6、抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环），结果如下：则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为 ▲ 。

7、现有某类病毒记作为m n X Y ，其中正整数,(7,9)m n m n ≤≤可以任意选取，则,m n 都取到奇数的概率为 ▲ 。

8、如图，在三棱柱A 1B 1C 1 -ABC 中，D 、E 、F 分别为AB 、AC 、A A 1的中点，设三棱锥F-ADE 的体积为1V ，三棱柱A 1B 1C 1 -ABC 的体积为2V ，则1V ：2V = ▲ 。

9、抛物线2y x =在1x =处的切线与坐标轴围成三角形区域为D(包含三角运动员 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲 87 91 90 89 93 乙8990918892形内部与边界)。

若点P(x ，y)是区域D 内的任意一点，则2x y +的取值范围是 ▲ 。

10、设D 、E 分别是△ABC 的边AB 、BC 上的点，且12,23AD AB BE BC ==。

若12DE AB AC λλ=+(1λ、2λ均为实数)，则1λ+2λ的值为 ▲ 。

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学(江苏卷)数学Ⅰ试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．． 1．(2013江苏，1)函数π3sin 24y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期为__________． 2．(2013江苏，2)设z ＝(2－i)2(i 为虚数单位)，则复数z 的模为__________．3．(2013江苏，3)双曲线22=1169x y -的两条渐近线的方程为__________． 4．(2013江苏，4)集合{－1,0,1}共有__________个子集．5．(2013江苏，5)下图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是__________．6．(2013江苏，6)抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下：7．(2013江苏，7)现有某类病毒记作X m Y n ，其中正整数m ，n (m ≤7，n ≤9)可以任意选取，则m ，n 都取到奇数的概率为__________．8．(2013江苏，8)如图，在三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，AC ，AA 1的中点，设三棱锥F －ADE 的体积为V 1，三棱柱A 1B 1C 1－ABC 的体积为V 2，则V 1∶V 2＝__________.9．(2013江苏，9)抛物线y ＝x 2在x ＝1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D (包含三角形内部和边界)．若点P (x ，y )是区域D 内的任意一点，则x ＋2y 的取值范围是__________．10．(2013江苏，10)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，1=2AD AB ，2=3BE BC .若12DE AB AC λλ=+(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为__________．11．(2013江苏，11)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )＞x 的解集用区间表示为__________．12．(2013江苏，12)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为2222=1x y a b+(a ＞0，b ＞0)，右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B .设原点到直线BF 的距离为d 1，F 到l 的距离为d 2.若21d =，则椭圆C 的离心率为__________．13．(2013江苏，13)在平面直角坐标系xOy 中，设定点A (a ，a )，P 是函数1y x=(x ＞0)图象上一动点．若点P ，A 之间的最短距离为a 的所有值为__________．14．(2013江苏，14)在正项等比数列{a n }中，512a =，a 6＋a 7＝3.则满足a 1＋a 2＋…＋a n ＞a 1a 2…a n 的最大正整数n 的值为__________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(2013江苏，15)(本小题满分14分)已知a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，0＜β＜α＜π.(1)若|a－b|a⊥b；(2)设c＝(0,1)，若a－b＝c，求α，β的值．16．(2013江苏，16)(本小题满分14分)如图，在三棱锥S－ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB.过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证：(1)平面EFG∥平面ABC；(2)BC⊥SA.17．(2013江苏，17)(本小题满分14分)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y＝2x－4.设圆C的半径为1，圆心在l上.(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；(2)若圆C上存在点M，使MA＝2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围.18．(2013江苏，18)(本小题满分16分)如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min，在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min，山路AC长为1 260 m，经测量，cos A＝1213，cos C＝35.(1)求索道AB的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？19．(2013江苏，19)(本小题满分16分)设{a n }是首项为a ，公差为d 的等差数列(d ≠0)，S n 是其前n 项和．记2n n nS b n c=+，n ∈N *，其中c 为实数． (1)若c ＝0，且b 1，b 2，b 4成等比数列，证明：S nk ＝n 2S k (k ，n ∈N *)； (2)若{b n }是等差数列，证明：c ＝0.20．(2013江苏，20)(本小题满分16分)设函数f (x )＝ln x －ax ，g (x )＝e x－ax ，其中a 为实数． (1)若f (x )在(1，＋∞)上是单调减函数，且g (x )在(1，＋∞)上有最小值，求a 的取值范围； (2)若g (x )在(－1，＋∞)上是单调增函数，试求f (x )的零点个数，并证明你的结论．数学Ⅱ(附加题)【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 21．(2013江苏，21)A ．[选修4－1：几何证明选讲](本小题满分10分) 如图，AB 和BC 分别与圆O 相切于点D ，C ，AC 经过圆心O ，且BC ＝2OC .B ．[选修4－2：矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵A ＝ 1 00 2-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ＝1 20 6⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求矩阵A －1B .C ．[选修4－4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1,2x t y t =+⎧⎨=⎩(t 为参数)，曲线C 的参数方程为22tan 2tan x y θθ⎧=⎨=⎩(θ为参数)．试求直线l 和曲线C 的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．D ．[选修4－5：不等式选讲](本小题满分10分)已知a ≥b ＞0，求证：2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b .【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区．．．．．．域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．(2013江苏，22)(本小题满分10分)如图，在直三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝2，A 1A ＝4，点D 是BC 的中点．(1)求异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值；(2)求平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值．23．(2013江苏，23)(本小题满分10分)设数列{a n }：1，－2，－2,3,3,3，－4，－4，－4，－4，…，11(1),,(1)k k k k k ----个，…，即当1122k k k k n (-)(+)<≤(k ∈N *)时，a n ＝(－1)k －1k .记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n (n ∈N *)．对于l ∈N *，定义集合P l ＝{n |S n 是a n 的整数倍，n ∈N *，且1≤n ≤l }．(1)求集合P 11中元素的个数； (2)求集合P 2 000中元素的个数．。

【2012年高考试题】 1.【2012高考真题新课标理23】本小题满分10分)选修4—4；坐标系与参数方程 已知曲线的参数方程是，以坐标原点为极点，轴的正半轴 为极轴建立坐标系，曲线的坐标系方程是，正方形的顶点都在上， 且依逆时针次序排列，点的极坐标为 （1）求点的直角坐标； （2）设为上任意一点，求的取值范围. 2.【2012高考真题陕西理15】（坐标系与参数方程）直线与圆相交的弦长为 . 3.【2012高考真题湖南理9】 在直角坐标系xOy 中，已知曲线： (t为参数)与曲线 ：(为参数，) 有一个公共点在X轴上，则. 4.【2012高考真题上海理10】如图，在极坐标系中，过点的直线与极轴的夹角， 若将的极坐标方程写成的形式，则 。

5.【2012高考真题江西理15】（1）（坐标系与参数方程选做题）曲线C的直角坐标方程为x2＋y2-2x=0，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立积坐标系，则曲线C的极坐标方程为___________。

6.【2012高考真题辽宁理23】(本小题满分10分)选修44：坐标系与参数方程 在直角坐标中，圆，圆。

(Ⅰ)在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆的极坐标方程，并求出圆的交点坐标(用极坐标表示)； (Ⅱ)求出的公共弦的参数方程。

【答案】 （选修4：）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知射线与曲线（t为参数）相交于A，B两点，则线段AB的中点的直角坐标为 . 8.【2012高考真题安徽理13】在极坐标系中，圆的圆心到直线的距离是 9.【2012高考真题天津理12】已知抛物线的参数方程为（t为参数）,其中p>0，焦点为F，准线为. 过抛物线上一点M作的垂线，垂足为E. 若|EF|=|MF|，点M的横坐标是3，则p=_________. 【答案】2 【解析】消去参数得抛物线方程为，准线方程为，因M为抛物线上一点，所以有,又,所以三角形为等边三角形，则，解得。