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1.4 素数、合数与分解素因数（2）班级姓名学号【学习目标/难点重点】1.理解因数和分解素因数的意义，2.初步掌握分解素因素的方法．【学习过程】一、课前预习：1.素因数、分解素因数：素因数：．分解素因数：．2.分解素因数的方法有：．3.短除法分解素因数的步骤：1），2），3） .二、新课学习：1.把21，48，60，105分解素因数.2.小结：分解素因数的方法及步骤方法1：方法2：3.练习：填空1）63的因数有（）。
2）84分解素因数是（）。
3）A＝2×2×3×3×5，B＝2×3×3×5×7。
A和B公有的素因数有（）。
4.拓展1）如果a＝2×3×5，那么a的因数共有（）个，其中素数有（）。
2）把85、51、33、91、65、77这六个数分成两组，每组三个数，使每组中三个数的乘积相等，这两组数应分别是（）和（）三、课堂小结分解素因数方法四、课堂检测：数学习题册习题1.4课课精练一、填空题2.18的因数有，其中奇数有，偶数有，素数有，合数有.3.24和32公有的素因数有，公有的因数有.4.写出二种分解素因数的方法 .二、选择题6.下列分解素因数正确的是（）A.42＝2×21B.48＝1×2×2×2×2×3C.24＝4×6D.62＝2×317.A=2×2×3×5，B=2×2×3×7，A与B相同的素因数是（）A.2B.2和3C.2，3，5，7D.2，2和38.下列说法中，正确的是（）A.1是素数；B.1是合数；C.1即是素数又是合数；D.1即不是素数也不是合数.三、分解素因数9.用“短除法”分解素因数：1）28 2）42 3）364）68 5）54 6）108提高题：1.如果732⨯⨯=a ，那么a 的所有的因数中合数有 .2.把144分解成两个因数相乘的形式，并且使这两个因数的和是25，则这两个因数分别 是 和 .3.一个数分解素因数后，它的素因数各不相同，并且正好是10以内的所有素数，则这个数是 .4.有三个小朋友，他们的年龄恰好一个比一个大1岁，并且他们的年龄的乘积是210，求这三个小朋友的年龄。
素数、合数与分解素因数引言在数学中，素数和合数是基本的概念。
素数是只能被1和自身整除的正整数，而合数则是除了1和自身外还能被其他正整数整除的正整数。
分解素因数是将一个正整数表示为若干个素数的乘积的过程。
本文将详细介绍素数、合数以及分解素因数的相关概念、性质及应用。
素数定义素数（Prime Number），也称质数，是指大于1且只能被1和自身整除的正整数。
性质•2是最小的素数。
•素数只有两个因子：1和它本身。
•质因子只有两个：1和它本身。
判断方法判断一个数字是否为素数有多种方法，其中常见且简单的方法是试除法。
试除法即从2开始，依次用2、3、4…逐个去除待判断数字n，如果n能被其中任何一个小于n的数字整除，则n不是素数；如果n不能被任何一个小于n的数字整除，则n 为素数。
应用•加密算法：许多加密算法（如RSA）依赖于大质量随机素数的产生。
•素性检验：在计算机科学中，常用于判断一个数字是否为素数。
合数定义合数（Composite Number）是指除了1和自身外还能被其他正整数整除的正整数。
性质•0和1既不是素数也不是合数。
•合数可以分解为若干个素数的乘积。
判断方法判断一个数字是否为合数有多种方法，其中一种简单且常用的方法是试除法。
试除法即从2开始，依次用2、3、4…逐个去除待判断数字n，如果n能被其中任何一个小于n的数字整除，则n为合数；如果n不能被任何一个小于n的数字整除，则n为素数。
应用•数论研究：在许多数论问题中，需要对合数进行分析和研究。
•加密算法：一些加密算法（如RSA）要求选择两个大质量随机合数作为公钥和私钥。
分解素因数定义分解素因数是将一个正整数表示为若干个素数的乘积的过程。
例如，将12分解为2*2*3。
方法分解素因子有多种方法，其中最常用且简单的方法是试除法。
1.找到一个能整除待分解的数n的最小素数p。
2.将n除以p得到商q和余数r。
3.如果r为0，则p是n的一个素因数，将p记录下来，并继续将q分解为素因数。
分解素因数（二）内容分析分解素因数是六年级数学上学期第一章第二节内容，主要包含素数、合数的概念以及分解素因数，公因数与最大公因数，公倍数与最小公倍数这三大块内容，这节课主要讲解公倍数与最小公倍数，重点是最小公倍数的概念，难点是最小公倍数在实际问题中的综合运用．通过这节课的学习一方面为我们后面学习分数奠定基础，另一方面用所学知识解决实际问题，加强学生对数学学习的兴趣．知识结构模块一：公倍数与最小公倍数知识精讲1、公倍数与最小公倍数公倍数：几个整数公有的倍数叫做它们的公倍数；最小公倍数：几个整数公有的倍数中，最小的一个叫做它们的最小公倍数．2、最小公倍数的求法求两个整数的最小公倍数，只要取它们所有公有的素因数，再取它们各自剩余的素因数，将这些数连乘，所得的积就是这两个数的最小公倍数；如果两个整数中某一个数是另一个数的倍数，那么这个数就是它们的最小公倍数；如果两个数互素，那么它们的乘积就是它们的最小公倍数．例题解析【例1】用短除法求18和24的最大公因数和最小公倍数．【难度】★【答案】6；72．【解析】 2 18 243 9 123 4∴18与24的最大公因数是2×3=6；最小公倍数是2×3×3×4=72．【总结】本题考察了用短除法求两个数的最大公因数和最小公倍数．【例2】用分解素因数的方法求24和90的最大公因数和最小公倍数．【难度】★【答案】6；360．【解析】因为24=2×2×2×3，90=2×3×3×5；所以18与24的最大公因数是2×36；最小公倍数是2×2×2×3×3×5=360．【总结】本题考察了用分解素因数法求两个数的最大公因数和最小公倍数．【例3】求下列各组数的最小公倍数．（1）8和15；（2）9和45；（3）19和21．【难度】★【答案】（1）8和15的最大公因数是1；8和15的最小公倍数是120；2/ 15（2）9和45的最大公因数是9；9和45的最小公倍数是45； （3）19和21的最大公因数是1；19和21的最小公倍数是399． 【解析】（1）（3）互素的两个数最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积；（2） 成倍数关系的两个数，最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数；【总结】本题考察了求两个特殊关系的数的最大公因数和最小公倍数的方法．【例4】若2235m =⨯⨯⨯，2337n =⨯⨯⨯，则m 、n 的最小公倍数为___________． 【难度】★ 【答案】1260【解析】m 、n 的最小公倍数是：（2×3）×2×5×3×7=1260． 【总结】本题考察了用分解素因数法求两个数的最大公因数和最小公倍数．【例5】求10，12和15的最小公倍数． 【答案】60【解析】 2 10 12 15 3 5 6 15 5 5 2 5 1 2 1∴10、12、15的最小公倍数是：2×3×5×1×2×1=60． 【总结】本题考察了求三个数的最大公因数和最小公倍数的方法．【例6】已知三个连续奇数的和是15，那么这三个奇数的最小公倍数是多少？ 【答案】105【解析】设三个数为22n n n -+，，． 则：2215n n n -+++=解得：5n =，这三个数是：3，5，7． ∴3、5、7的最小公倍数是：3×5×7=105． 【总结】本题考察了求三个数的最小公倍数的方法．4 / 15【例7】两个数的积是144，它们的最小公倍数是36，这两个数各是多少？ 【答案】4和36．【解析】由已知得：这两个数的最大公因数是4；设这两个数是4a ，4b (a 、b 互素)，则44144a b ⨯=．所以9ab =．因为a 、b 互素，所以a =1×4=4，b =9×4=36． 即这两个数是9、36．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数、最大公倍数和它们乘积的关系：两个数的最小公倍数与最大公倍数的乘积等于这两个数的乘积．【例8】甲、乙两户人家相邻而居，甲每6天去超市购物一次，乙每7天去同一家超市 购物一次，元旦这一天两户人家都去这家超市购物，再经过多少天他们又会在同一天都去超市？【答案】42天【解析】6与7的最小公倍数是42．答：再经过42天他们又会在同一天都去超市． 【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．【例9】幼儿园一个班买书，如买35本，平均分给每个小朋友差一本；如买56本，平均分给每个小朋友后还剩2本；如买69本，平均分给每个小朋友则差3本．这个班的小朋友最多有几人？师生总结1、求最小公倍数的方法有哪些？2、求两个数和三个数的最小公倍数的方法有什么不同？【难度】★★★ 【答案】18人【解析】35+1=36，56-2=54，69+3=72，而36、54、72的最大公因数是18． 答：这个班的小朋友最多有18人． 【总结】本题考察了两个数的最大公因数的应用．1、 两数的最大公因数与最小公倍数的关系已知数a 和数b ，两数的最大公因数为m ，最小公倍数为n ，则：a b m n ⨯=⨯【例10】求下列各组数的最大公因数和最小公倍数．（1）48和18；（2）27和81．【难度】★【答案】（1）48，18的最大公因数是6，最小公倍数是144； （2）27，81的最大公因数是27，最小公倍数是81． 【解析】（1）一般求两数的最大公因数和最小公倍数，用短除法，（2）成倍数关系的两个数，最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数．例题解析知识精讲模块二：最大公因数与最小公倍数综合6 / 15【总结】本题考察了求两个数的最大公因数和最小公倍数的方法．【例11】求下列各组数的最大公因数和最小公倍数．（1）4、8和12；（2）15、75和90．【难度】★【答案】（1）4，8，12的最大公因数是4，最小公倍数是24； （2）15，75，90的最大公因数是15，最小公倍数是450． 【解析】均用短除法或分解素因数法等可求得；【总结】本题考察了求三个数的最大公因数和最小公倍数的方法．【例12】如果甲数235=⨯⨯，乙数237=⨯⨯，那么甲数与乙数的最大公因数是________， 最小公倍数是_________． 【难度】★【答案】6， 210；【解析】最大公因数是：2×3=6；最小公倍数是：（2×3）×5×7=210． 【总结】本题考察了用分解素因数法求两个数的最大公因数和最小公倍数．【例13】已知甲、乙两数的最大公因数是3，最小公倍数是30，甲数是6，乙数是多少？ 【答案】15【解析】 设另一个数是x ， 则：6 x =3×30 解得：x =15 答：乙数是15．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数、最大公倍数和它们乘积的关系：两个数的最小公倍数与最大公倍数的乘积等于这两个数的乘积．【例14】判断下列说法是否正确，对的打“√”，错的打“×”，并说明理由． （1）两个数的公倍数的个数是有限的． ( ) （2）30是15和10的最小公倍数．()（3）如果较大数能被较小数整除，那么较小数就是这两个数的最大公因数，较大数就是这两个数的最小公倍数．( )（4）不相同的两个数的最小公倍数一定比它们的最大公因数大．( )【答案】（1）×；（2）√；（3）√；（4）√．【解析】（1）错误，两个数的倍数就是这两个数最小公倍数的倍数，有无限个；（2）正确；（3）正确；（4）正确；【总结】本题考察了两个数的最小公倍数、最大公倍数的相关概念．【例15】两个数的最大公因数是4，最小公倍数是252，其中一个是28，另一个是多少？【答案】另一个数是36．【解析】设另一个数是x，则：28x=4×252．解得：x=36．答：乙数是36．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数、最大公倍数和它们乘积的关系：两个数的最小公倍数与最大公倍数的乘积等于这两个数的乘积【例16】已知两个数的最大公因数是6，最小公倍数是144，求这两个数的和是多少？【答案】120或66．【解析】设这两个数是6a，6b(a、b互素)，则：6ab=144∴ab=24=1×24=3×8；当a=1，b=24，这两个数是6、144，和为：6+144=120；当a=3，b=8，这两个数是18、48，和为：18+48=66；【总结】本题考察了两个数的最小公倍数、最大公倍数的相关概念．【例17】两个数的最小公倍数是140，最大公因数是4，且小数不能整除大数，这两个数分别是多少？【答案】20和28【解析】设这两个数是4a，4b(a、b互素)，则：4ab=140．8 / 15∴ab =35=1×35=5×7，∵小数不能整除大数 ∴a =5，b =7，这两个数是20、28．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数、最大公倍数的相关概念．【例18】张三、李四、王五三位同学分别发出新年贺卡x 、y 、z 张．如果已知x 、y 、z 的最小公倍数为60，x 和y 的最大公因数为4，y 和z 的最大公因数为3，那么张三发出的新年贺卡共有多少张？ 【难度】★★★ 【答案】20或4．【解析】设4123x a y b z c ===，，（a ，b ，c 为素数），则12abc =60． 所以abc =5=1×1×5．（1）a =5，这三个数是20，12，3； （2）b =5，这三个数是4，60，3； （3）c =5，这三个数是4，12，151； 答：张三发出的新年贺卡为20张或4张．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数、最大公倍数的相关概念．【习题1】如果数a 能被数b 整除，则a 和b 的最大公约数是______，最小公倍数是______． 【难度】★ 【答案】b ， a ．【解析】两个数成倍数关系，最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数； 【总结】本题考察了成倍数关系的两个数的最大公因数和最小公倍数的求法．【习题2】自然数b 的最小倍数__________它的最大约数．（填大于、小于或等于）随堂检测【难度】★【答案】等于【解析】自然数的最大因数是它本身，最小倍数是它本身，所以相等；【总结】本题考察了因数和倍数的相关概念；【习题3】11和15的最大公因数是________，最小公倍数是________．【难度】★【答案】1；165．【解析】互素的两个数，最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积；【总结】本题考察了互素的两个数的最大公因数和最小公倍数的求法．【习题4】求2520和5940的最大公因数和最小公倍数．【答案】最大公因数是180，最小公倍数是83160．【解析】因为2520=2×2×2×3×3×5×7；5940=2×2×3×3×3×5×11；所以2520与5940的最大公因数是：2×2×3×3×5=180；最小公倍数是：（2×2×3×3×5）×2×7×3×11=83160．【总结】本题考察了用分解素因数法求两个较大数的最大公因数和最小公倍数．【习题5】一个电子原钟，每整点响一次铃，每走9分钟亮一次灯，已知中午12时整，它既响铃又亮灯，那么下一次既响铃又亮灯是什么时候？【答案】15:00【解析】因为60与9的最小公倍数是180，而180分钟=3小时，12+3=15．答：那么下一次既响铃又亮灯在15:00．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．【习题6】已知两个互素的数的最小公倍数是33，求这两个数的和．【答案】34或14【解析】因为33=1×33=3×11．（1）这两个数可能是1和33，此时和为34；（2）这两个数可能是3和11，此时和为14；【总结】本题考察了互素的两个数的最小公倍数的求法．【习题7】在上海火车站，地铁1号线每隔3分钟发车，轨道交通3号线每隔5分钟发车．如果地铁1号线和轨道交通3号线早上6:00同时发车，至少再过多少时间它们又同时发车？【答案】15分钟【解析】3与5的最小公倍数是15．答：至少再过15分钟它们又同时发车．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．【习题8】用96朵红花和72朵黄花扎成花束，如果每个花束里红花朵数相同，黄花朵数也相同，每个花束里至少有几朵花？【答案】7朵【解析】因为96与72的最大公因数是24，所以（96+72）÷24=7朵．答：每个花束里至少有7朵花．【总结】本题考察了两个数的最大公因数的应用．【习题9】若一块长方形绿地，长120米，宽30米，要在它的四周和四个角种树，且每相邻两棵树之间的距离相等，那么最少需要种多少棵树？【答案】10棵【解析】120与30的最大公因数是30，2（120+30）÷30=10棵．答：最少需要种10棵树．【总结】本题考察了两个数的最大公因数的应用．10/ 15【习题10】被10除余2，被11除余3，被12除余4，被13除余5的最小自然数是多少？【难度】★★★【答案】8572【解析】由题意可知：这个自然数加8是10、11、12、13的公倍数；又10、11、12、13这四个数的最小公倍数是8580，所以8580-8=8572．答：这个自然数最小是8572．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．【习题11】一筐苹果，2个一拿，3个一拿，4个一拿，5个一拿都正好拿完而没有剩余，那么这筐苹果最少应有多少个？【难度】★★★【答案】60个【解析】2、3、4、5这四个数的最小公倍数是60．答：这筐苹果最少应有60个．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．【习题12】小明7月和8月参加了钢琴和美术的培训，两项培训都是从7月1日开始，钢琴课每上一次休息4天，美术课每上一次休息6天，请问整个暑假中有几天是两项培训在同一天进行的？【难度】★★★【答案】12天【解析】4与6的最下公倍数是12，31×2÷12=5…2．答：整个暑假中有5天是两项培训在同一天进行的．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．课后作业【作业1】写出下列各组数的最小公倍数：12 / 151与299（ ） 12与36（ ） 12与13（ ） 13与52（ ） 10与14（ ） 21与49（ ） 6与15（）22与66（）25与35（）【难度】★【答案】299； 36； 156； 52； 70； 147； 30； 66； 175； 【解析】 略【作业2】已知甲数357A =⨯⨯⨯，乙数37A =⨯⨯，若甲、乙两数的最大公因数是42，求A的值． 【难度】★ 【答案】2【解析】由已知得：甲数和乙数的最大公因数是：3×7×A=42， 解得：A =2．【总结】本题考察用分解素因数法求两个数最大公因数．【作业3】已知两个数的积是100，它们的最大公因数是5，试求这两个数的最小公倍数． 【答案】20【解析】 设这两个数的最小公倍数是x ， 则：5x =100 解得：x =20答：这两个数的最小公倍数是20．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数、最大公倍数和它们乘积的关系：两个数的最小公倍数与最大公倍数的乘积等于这两个数的乘积．【作业4】两个数的最大公因数是42，最小公倍数是2940，且这两个数的和是714，这两个数各是多少？【答案】这两个数是420和294．【解析】设这两个数是42a，42b(a、b互素)，则：42ab=2940，42（a+b）=714．∴ab=70，a+b=17∴a=7，b=10，这两个数是420、294．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数、最大公倍数的相关概念．【作业5】有铅笔433支、橡皮260块，平均分配给若干学生．学生人数在30～50之间，最后剩余铅笔13支、橡皮8块，问学生究竟有多少人？【答案】42人【解析】433-13=420，260-8=252，而420与252的最大公因数是84．又学生人数在30～50之间，84=2×42．答：学生有42人．【总结】本题考察了两个数的最大公因数的应用．【作业6】若一个正整数加上3能被15和20整除，那么符合条件的数中最小的数是多少？【答案】57【解析】因为15与20的最小公倍数是60，所以60－3=57．答：符合条件的数中最小的数是57．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．【作业7】一筐苹果有500多个，每次拿3个，每次拿4个，每次拿5个都恰好多一个，这筐苹果共有多少个？【答案】60个【解析】3、4、5的最小公倍数是60，而苹果有500多个，所以60×9=540个．答：这筐苹果共有540个．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．【作业8】一排电线杆每两根之间的距离是60米，现在要改为45米，如果起点的一根不动，再过多远又有一根不动？【难度】★★★【答案】180米【解析】60与45的最小公倍数是180．答：再过180米又有一根不动．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．【作业9】公共汽车总站有三条线路，第一条每8分钟发一辆车，第二条每10分钟发一辆车，第三条每16分钟发一辆车，早上6:00三条路线同时发出第一辆车，该总站发出最后一辆车是20:00．求该总站最后一次三辆车同时发出的时刻．【难度】★★★【答案】19:20【解析】8、10、16这三个数的最小公倍数是80．（20-6）×60=840分钟840÷80=10…40分钟答：该总站最后一次三辆车同时发出的时刻是19:00．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．【作业10】数23具有下列性质：被2除余1，被3除余2，被4除余3，求具有这种性质的最小三位数．【难度】★★★【答案】11【解析】由题意可知：这个自然数加1是2、3、4的公倍数；又2、3、4的最小公倍数是12．∴12-1=11答：这个自然数最小是11．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．14/ 15。
1. 4（1）素数、合数与分解素因数学习目标：1. 理解素数、合数、素因数、分解素因数的概念，掌握分解素因数的几种方法，熟练掌握用短除法分解素因数。
2. 通过学习，进一步加深对整数的认识，理解整数的多种分类方法的异同，体现分类思想。
重点：分解素因数重点：素数与分数、合数与偶数概念的辨析新课预习一、创设情景，引入新课1. 每位同学写两个整数，并写出它们的因数。
2. 提问：你写出的整数有几个因数（教师在黑板上列一张表）因数个数确定吗由此可以发现，有些整数只有一个因数，有些有2个因数，即1和本身，有些有3个、4个……知识点一：素数、合数的概念一个正整数，如果只有1和它本身这两个因数，这样的数叫做素数，也叫作质数，如果除了1和它本身以外还有别的因数，这样的数叫做合数。
例如：2,3,5,7,11,13...都是素数；4,6,8,1,12,14...都是合数。
1既不是素数，也不是合数。
这样，正整数又可以分为1，素数和合数三类。
例1：判断27，29，35和37是素数还是合数通过检查每个数的因数的个数，可以知道29，37是素数，27，35是合数。
二、层层递进、探索新知1. 讨论：1）2是素数还是合数2）是否存在这样的正整数，既是素数，又是合数3）合数与偶数、素数与奇数相同吗若不同，你能讲出区别吗（举例说明）4）整数1到底是什么“身份”你能讲清楚吗2. 判断一个100以内的数是不是素数，还可以查以下的素数表：2 3 5 7 11 13 17 19 2329 31 37 41 43 47 53 59 6167 71 73 79 83 89 97三、巩固练习1. 在自然数1到10中：奇数有哪些 1 3 5 7 9 偶数有哪些 2 4 6 8 10素数有哪些 2 3 5 7 合数有哪些 4 6 8 9 102. 下面的说法对吗1）一个合数至少有3个因数；对比如4 ，9 ，252）所有的奇数都是素数；错比如25，9 ，493）所有的偶数都是合数错比如24）在正整数中，除了素数都是合数。
