高考数学课后限时集训24平面向量的概念及线性运算文(含解析)北师大版

2025北师大版高中数学一轮复习课件（新高考新教材）第1节 平面向量的概念及线性运算领航备考路径新课标核心考点2020202120222023Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷1.平面向量的概念与线性运算 第3题 第3题2.平面向量坐标运算 第10题 第4题第3题3.平面向量的数量积第7题 第15题 第13题4.复数第2题第2题第2题第1题第2题第2题第2题第1题优化备考策略考情分析:平面向量和复数在高考中每年必考,一般情况下各命制一道客观题,复数多为选择题,且题号比较靠前,属于简单的保分题,主要考查复数的基本概念、四则运算.平面向量的考查则相对灵活,题型多变,难度不等.主要考点有平面向量的数量积及其应用、平面向量的坐标运算及线性运算等.平面向量有时也作为工具,与平面几何、解三角形、解析几何等知识综合呈现.复习策略:1.复数部分:本部分知识不用研究过难过深,能准确地进行复数的四则运算,并熟练记忆复数的模、共轭、实部、虚部、纯虚数等概念,明确复数的几何意义,还要关注一元二次方程复数根的问题.2.平面向量部分:(1)本部分知识较为琐碎,需要通过梳理分类,构建完整的知识体系,记忆相关的概念、公式和结论.(2)重视向量“数”“形”兼备的特点,解题时要注意数形结合思想和转化化归的数学思想.(3)重视向量的工具作用,复习时要了解并体会向量与其他知识交汇命题的特点.(4)向量数量积公式及其变形是本部分知识的重点,要理清各个知识点间的联系.掌握常用的解题技巧与规律.课标解读1.通过力和力的分析等实例,了解向量的实际背景,理解平面向量和相等向量的含义,理解向量的几何表示.2.通过实例,掌握向量的加、减运算,并理解其几何意义.3.通过实例,掌握向量的数乘运算,并理解其几何意义,以及两个向量共线的含义.4.理解向量的线性运算性质及其几何意义.1 强基础 固本增分知识梳理1.向量的有关概念 名称定义备注向量既有 又有 的量统称为向量;向量a 的大小称为向量a 的 (或称 ) 记作|a |零向量长度为 的向量称为零向量 记作0或单位向量长度等于 的向量,称为单位向量 与非零向量a 共线的单位向量为一个与之同向,另一个反向,这两个单位向量互为相反向量大小 方向长度模1个单位长度名称定义备注平行向量(共线向量)方向 或 的非零向量称为平行向量(共线向量)零向量与任意向量平行相等向量长度 且方向 的向量称为相等向量两向量只有相等或不相等,不能比较大小相反向量长度 且方向 的向量称为相反向量零向量的相反向量仍是零向量相同相反相等相同相等相反微点拨1.注意0与0的区别,0是一个向量,0是一个实数,且|0|=0,一个向量是零向量的充要条件是其模等于0.2.单位向量有无数个,它们的模相等,都等于1,但方向不一定相同.3.零向量和单位向量是两个特殊的向量,它们的模是确定的,但是方向不确定,因此在解题时要注意它们的特殊性.4.任意一组平行向量都可以平移到同一直线上.微思考向量平行与直线平行有何不同?提示向量平行与向量共线是完全相同的一个概念,指两个向量的方向相同或相反,亦即向量所在的直线可以平行,也可以重合;但直线平行不包含直线重合的情况.2.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算,称为向量的加法三角形法则平行四边形法则交换律: a +b = 结合律:(a +b )+c = b +a a +(b +c )向量运算定义法则(或几何意义)运算律减法三角形法则—数乘λ(μa)= ;(λ+μ)a= ;λ(a+b)=________ (λ,μ为实数)相同相反(λμ)a　λa+μaλa+λb向量a减向量b等于向量a加上向量b的相反向量求实数λ与向量a的乘积的运算称为向量的数乘当λ>0时,向量λa的方向与向量a的方向 ;当λ<0时,向量λa的方向与向量a的方向 ;当λ=0时,0a=0;|λa|= |λ||a|微点拨1.两个向量的和仍然是一个向量.2.利用三角形法则时,两向量要首尾相连,利用平行四边形法则时,两向量要有相同的起点.3.当两个向量共线时,三角形法则仍然适用,而平行四边形法则不再适用.微思考共线向量定理中为什么规定a ≠0?提示 (1)若将条件a ≠0去掉,即当a =0时,显然a 与b 共线;(2)当a =0时,若b ≠0,则不存在实数λ,使得b =λa ,但此时向量a 与b 共线;(3)当a =0时,若b =0,则对任意实数λ,都有b =λa ,与有唯一一个实数λ矛盾.因此限定a ≠0的目的是保证实数λ的存在性和唯一性.3.共线(平行)向量基本定理给定一个非零向量b ,则对于任意向量a ,a ∥b 的充要条件是存在唯一一个实数λ,使　. a =λb微点拨三点共线的几个等价关系A,P,B三点共线⇔常用结论自主诊断√ × √ ×题组一基础自测1.思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”).(1)|a |与|b |是否相等与a ,b 的方向无关.( )(2)若向量a 与b 同向,且|a |>|b |,则a >b .( )(3)起点不同,但方向相同且模相等的向量是相等向量.( )3.已知a,b是两个不共线的向量,若向量b-t a与 共线,则实数t= .题组二连线高考CC A.-3 B.-2 C.2 D.32 研考点 精准突破考点一 平面向量的基本概念例1(1)(多选题)(2024·吉林实验繁荣学校模拟)下列命题正确的有( )ADA.方向相反的两个非零向量一定共线B.单位向量都相等C.若两个向量相等,则它们的起点相同,终点相同D.“若A,B,C,D是不共线的四点,且 ”⇔“四边形AB CD是平行四边形”解析对于A,方向相同或相反的两个非零向量为共线向量,故A正确;对于B,单位向量的模为1,但是方向不一定相同,故B错误;对于C,若两个向量相等,它们的起点不一定相同,终点也不一定相同,故C错误;对于D,若A,B,C,D是(2)设a,b都是非零向量,下列四个条件中,使 成立的充分条件是( )C A.a=-b B.a∥bC.a =2bD.a∥b且|a|=|b|解析由 ,知a与b方向相同.A选项中两向量是相反向量,错误;B选项中两向量可能同向,也可能反向,错误;C选项中两向量同向,正确;D选项中两向量可能同向也可能反向,错误.[对点训练1]给出下列命题:①若|a|=|b|,则a=b或a=-b;②有向线段 表示相反向量;③两条有公共终点的有向线段表示的向量是平行向②　量;④a=b的充要条件是|a|=|b|,且a∥b.其中真命题的序号是 . 解析①不正确.两个向量的模相等,方向可以是任意的;②正确.③不正确.终点相同,起点是任意的,不一定是平行向量;④不正确.当a∥b且方向相反时,即使|a|=|b|,也不能得到a=b.综上所述,真命题的序号是②.考点二 平面向量的线性运算(多考向探究预测)考向1向量加、减法的几何意义D考向2向量的线性运算BA.3m-2nB.-2m+3nC.3m+2nD.2m+3n考向3根据向量线性运算求参数D[对点训练2](1)(2024·云南曲靖模拟)已知向量a,b,c在正方形网格中的位置如图,则c=( ) A.2a+b B.2a-bC.-a+2bD.a-2bC解析如图,根据向量的线性运算的几何意义,可得c=-a+2b.B2r+3s=( )A.1B.2C.3D.4C考点三 共线向量定理及其应用例5设两个非零向量a与b不共线.(2)试确定实数k,使k a+b和a+k b共线.(2)解由于a,b不共线,易知向量a+k b为非零向量.∵k a+b与a+k b共线,∴存在实数λ,使k a+b=λ(a+k b),即k a+b=λa+λk b.∴(k-λ)a=(λk-1)b.∵a,b是不共线的两个非零向量,∴k-λ=λk-1=0,∴k2-1=0,∴k=±1.变式探究1故当m=7时,A,B,D三点共线.变式探究2(变条件)若将本例(2)中的“共线”改为“反向共线”,则k为何值?解由于a,b不共线,易知向量a+k b为非零向量.因为k a+b与a+k b反向共线,所以存在实数λ(λ<0),使k a+b=λ(a+k b),所以 所以k=±1.又λ<0,k=λ,所以k=-1.故当k=-1时,两向量反向共线.[对点训练3]设e1,e2是两个不共线的向量,若向量m=-e1+ke2(k∈R)与向量n=e2-2e 1共线,则k=( )DA.0B.1C.2D.解析由e1,e2不共线易知向量n=e2-2e1为非零向量.若向量m=-e1+k e2(k∈R)与向量n=e2-2e1共线,则存在实数λ,使m=λn,∴-e1+k e2=λ(e2-2e1)=-2λe1+λe2,本 课 结 束。

课后限时集训(二十四) 平面向量的概念及线性运算(建议用时：40分钟) A 组 基础达标一、选择题1．下列各式中不能化简为PQ →的是( ) A.AB →＋(PA →＋BQ →) B ．(AB →＋PC →)＋(BA →－QC →) C.QC →－QP →＋CQ → D ．PA →＋AB →－BQ →D [AB →＋(PA →＋BQ →)＝AB →＋BQ →＋PA →＝PA →＋AQ →＝PQ →；(AB →＋PC →)＋(BA →－QC →)＝(AB →＋BA →)＋(PC →－QC →)＝PC →＋CQ →＝PQ →； QC →－QP →＋CQ →＝PC →＋CQ →＝PQ →； PA →＋AB →－BQ →＝PB →－BQ →， 显然由PB →－BQ →得不出PQ →， 所以不能化简为PQ →的式子是D ．]2．(2019·某某调研)设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内的任意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →等于( )A.OM →B ．2OM →C ．3OM →D ．4OM →D [由题意可得OA →＋OC →＝2OM →，OB →＋OD →＝2OM →， ∴OA →＋OB →＋OC →＋OD →＝4OM →.]3．已知向量a ，b 不共线，且c ＝λa ＋b ，d ＝a ＋(2λ－1)b ，若c 与d 共线反向，则实数λ的值为( )A ．1B ．－12C ．1或－12D ．－1或－12B [由于c 与d 共线反向，则存在实数k 使c ＝kd (k ＜0)，于是λa ＋b ＝k [a ＋(2λ－1)b ]．整理得λa ＋b ＝k a ＋(2λk －k )B ．由于a ，b 不共线，所以有⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k ，2λk －k ＝1，整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－12.又因为k ＜0，所以λ＜0，故λ＝－12.]4．在平行四边形ABCD 中，点E 为CD 的中点，BE 与AC 的交点为F ，设AB →＝a ，AD →＝b ，则向量BF →＝( )A.13a ＋23b B ．－13a －23bC ．－13a ＋23bD ．13a －23b C [由△CEF ∽△ABF ，且E 是CD 的中点得CE AB ＝EF BF ＝12，则BF →＝23BE →＝23(BC →＋CE →)＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →－12AB →＝－13a ＋23b ，故选C.] 5．在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AD 为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若AO →＝λAB →＋μBC →，则λ＋μ等于( )A ．1B ．12 C.13D ．23D [∵AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →，∴2AO →＝AB →＋13BC →，即AO →＝12AB →＋16BC →.故λ＋μ＝12＋16＝23.]6．已知点O ，A ，B 不在同一条直线上，点P 为该平面上一点，且2OP →＝2OA →＋BA →，则( )A ．点P 在线段AB 上B ．点P 在线段AB 的反向延长线上C ．点P 在线段AB 的延长线上D ．点P 不在直线AB 上B [因为2OP →＝2OA →＋BA →，所以2AP →＝BA →，所以点P 在线段AB 的反向延长线上，故选B ．] 7．如图所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若DE →＝λAB →＋μAD →(λ，μ为实数)，则λ2＋μ2＝( )A.58 B ．14 C ．1D ．516A [DE →＝12DA →＋12DO →＝12DA →＋14DB →＝12DA →＋14(DA →＋AB →)＝14AB →－34AD →，所以λ＝14，μ＝－34，故λ2＋μ2＝58，故选A.]二、填空题8．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB →＋AD →＝λAO →，则λ＝________.2 [因为ABCD 为平行四边形，所以AB →＋AD →＝AC →＝2AO →. 已知AB →＋AD →＝λAO →，故λ＝2.]9．(2019·某某模拟)设e 1与e 2是两个不共线向量，AB →＝3e 1＋2e 2，CB →＝k e 1＋e 2，CD →＝3e 1－2k e 2，若A ，B ，D 三点共线，则k 的值为________．－94 [由题意，A ，B ，D 三点共线，故必存在一个实数λ，使得AB →＝λBD →. 又AB →＝3e 1＋2e 2，CB →＝k e 1＋e 2，CD →＝3e 1－2k e 2， 所以BD →＝CD →－CB →＝3e 1－2k e 2－(k e 1＋e 2) ＝(3－k )e 1－(2k ＋1)e 2，所以3e 1＋2e 2＝λ(3－k )e 1－λ(2k ＋1)e 2，又因为e 1与e 2 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧3＝λ3－k ，2＝－λ2k ＋1，解得k ＝－94.]10．下列命题正确的是________．(填序号)①向量a ，b 共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使b ＝λa ； ②在△ABC 中，AB →＋BC →＋CA →＝0；③不等式||a |－|b ||≤|a ＋b |≤|a |＋|b |中两个等号不可能同时成立； ④只有方向相同或相反的向量是平行向量；⑤若向量a ，b 不共线，则向量a ＋b 与向量a －b 必不共线． ⑤ [易知①②③④错误．∵向量a 与b 不共线，∴向量a ，b ，a ＋b 与a －b 均不为零向量．若a ＋b 与a －b 共线，则存在实数λ使a ＋b ＝λ(a －b )，即(λ－1)a ＝(1＋λ)b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ－1＝0，1＋λ＝0，此时λ无解，故假设不成立，即a ＋b 与a －b 不共线．]B 组 能力提升1．O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足：OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，λ∈[0，＋∞)，则P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A ．外心 B ．内心 C ．重心D ．垂心B [作∠BAC 的平分线AD ． 因为OP →＝OA →＋λAB →|AB →|＋AC →|AC →|，所以AP →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|＝λ′·AD →|AD →|(λ′∈[0，＋∞))，所以AP →＝λ′|AD →|·AD →，所以AP →∥AD →，所以P 的轨迹一定通过△ABC 的内心， 故选B ．]2．设O 在△ABC 的内部，D 为AB 的中点，且OA →＋OB →＋2OC →＝0，则△ABC 的面积与△AOC的面积的比值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6B [如图，∵D 为AB 的中点，则OD →＝12(OA →＋OB →)，又OA →＋OB →＋2OC →＝0，∴OD →＝－OC →，∴O 为CD 的中点，又∵D 为AB 中点，∴S △AOC ＝12S △ADC ＝14S △ABC ，则S △ABCS △AOC＝4.]3．(2019·某某调研)如图，在平行四边形ABCD 中，O 是对角线AC ，BD 的交点，N 是线段OD 的中点，AN 的延长线与CD 交于点E ，若AE →＝mAB →＋AD →，则实数m 的值为________．13 [由N 是OD 的中点，得AN →＝12AD →＋12AO → ＝12AD →＋14(AD →＋AB →)＝34AD →＋14AB →， 又因为A ，N ，E 三点共线， 故AE →＝λAN →，即mAB →＋AD →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫34AD →＋14AB →，又AB →与AD →不共线， 所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝14λ，1＝34λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝13，λ＝43，故实数m ＝13.]4．如图，直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠DAB ＝90°，AD ＝AB ＝4，CD ＝1，动点P 在边BC 上，且满足AP →＝mAB →＋nAD →(m ，n 均为正实数)，则1m ＋1n的最小值为________．7＋434 [AC →＝AD →＋DC →＝14AB →＋AD →， BC →＝AC →－AB →＝－34AB →＋AD →，设BP →＝λBC →＝－3λ4AB →＋λAD →(0≤λ≤1)，则AP →＝AB →＋BP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3λ4AB →＋λAD →.因为AP →＝mAB →＋nAD →，所以m ＝1－3λ4，n ＝λ.所以1m ＋1n＝44－3λ＋1λ＝λ＋4－3λ2＋4λ ＝128－⎣⎢⎡⎦⎥⎤3λ＋4＋64λ＋4≥128－23×64＝7＋434. 当且仅当3(λ＋4)＝64λ＋4，即(λ＋4)2＝643时取等号．]。

课时规范练24 平面向量的概念及线性运算基础巩固组1.下列关于平面向量的说法正确的是()A.零向量是唯一没有方向的向量B.平面内的单位向量是唯一的C.方向相反的向量是共线向量,共线向量不一定是方向相反的向量D.共线向量就是相等向量2.设a,b都是非零向量,下列四个条件中,一定能使=0成立的是()A.a⊥bB.a∥bC.a=2bD.a=-b3.设D为△ABC所在平面内一点,=3,则()A.=-B.C.D.4.已知向量a与b不共线,=a+m b,=n a+b(m,n∈R),则共线的条件是()A.m+n=0B.m-n=0C.mn+1=0D.mn-1=05.设E,F分别是正方形ABCD的边AB,BC上的点,且AE=AB,BF=BC.如果=m+n(m,n为实数),那么m+n 的值为()A.-B.0C.D.16.设向量a,b不共线,=2a+p b,=a+b,=a-2b.若A,B,D三点共线,则实数p的值是()A.-2B.-1C.1D.27.如图所示,平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,点M是线段OD的中点,设=a,=b,则=.(结果用a,b表示)8.已知A,B,C为圆O上的三点,若),则的夹角为.9.设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=AB,BE=BC.若=λ1+λ2(λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为.10.设两个非零向量a与b不共线.(1)若=a+b,=2a+8b,=3(a-b),求证:A,B,D三点共线;(2)试确定实数k,使k a+b和a+k b共线.综合提升组11.在△ABC中,D是AB边上的一点,=λ,||=2,||=1.若=b,=a,则用a,b表示为()A.a+bB.a+bC.a+bD.a+b12.在△ABC中,O为其内部一点,且满足+3=0,则△AOB和△AOC的面积比是()A.3∶4B.3∶2C.1∶1D.1∶313.在△ABC中,点O在线段BC的延长线上,且与点C不重合,若=x+(1-x),则实数x的取值范围是()A.(-∞,0)B.(0,+∞)C.(-1,0)D.(0,1)14.已知D为△ABC边BC的中点,点P满足=0,=λ,则实数λ的值为.创新应用组15.(2018河北衡水中学九模,10)若非零向量a,b满足|a-b|=|b|,则下列不等式恒成立的为()A.|2b|>|a-2b|B.|2b|<|a-2b|C.|2a|>|2a-b|D.|2a|<|2a-b|16.如图,为单位向量,夹角为120°,的夹角为45°,||=5,用表示.参考答案课时规范练24 平面向量的概念及线性运算1.C对于A,零向量是有方向的,其方向是任意的,故A不正确;对于B,单位向量的模为1,其方向可以是任意方向,故B不正确;对于C,方向相反的向量一定是共线向量,共线向量不一定是方向相反的向量,故C正确;对于D,由共线向量和相等向量的定义可知D不正确.故选C.2.D由+=0,得=-=0,即b=-·a,则向量a,b共线且方向相反,故选D.3.A=+=++=+=+ (-)=-+.故选A.4.D由=a+mb,=na+b(m,n∈R)共线,得a+mb=λ(na+b)=λna+λb,∵向量a与b不共线,∴即mn-1=0,故选D.5.C如图,=++=-+-=-+- (+)=-+.∵=m+n,∴m=-,n=,∴m+n=.故选C.6.B∵=a+b,=a-2b,∴=+=2a-b.又A,B,D三点共线,∴,共线.设=λ,则2a+pb=λ(2a-b).即2=2λ,p=-λ.解得λ=1,p=-1.7. a+b 由题可知,=+=+=+=b+ (a-b)= a+b.8.90°由= (+),得O为BC的中点,则BC为圆O的直径,即∠BAC=90°,故与的夹角为90°.9. =+=+=+ (-)=-+,∵=λ1+λ2,∴λ1=-,λ2=,因此λ1+λ2=.10.(1)证明∵=a+b,=2a+8b,=3(a-b),∴=+=2a+8b+3(a-b)=2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5.∴,共线.又它们有公共点B,∴A,B,D三点共线.(2)解∵ka+b与a+kb共线,∴存在实数λ,使ka+b=λ(a+kb),即ka+b=λa+λkb,∴(k-λ)a=(λk-1)b.∵a,b是不共线的两个非零向量,∴k-λ=λk-1=0.∴k2-1=0,∴k=±1.11.A由题意,得CD是∠ACB的平分线,则=+=+=+(-)=+=a+b,故选A.12.D如图,在△ABC中,M为AC的中点,则+=2,又由++3=0,则有2=-3,从而可得B,O,M三点共线,且2OM=3BO.由2OM=3BO可得,==,有S△AOB+S△BOC=S△ABC.又由S△AOB=S△ABM-S△AOM=S△CBM-S△COM=S△CBO,则S△AOB=S△ABC,则=.13.A设=λ(λ>1),则=+=+λ=(1-λ)+λ.又=x+(1-x),所以x+(1-x)=(1-λ)+λ.所以λ=1-x>1,解得x<0.14.-2因为D是BC的中点,则+=2.由++=0,得=.又=λ,所以点P是以AB,AC为邻边的平行四边形的第四个顶点,因此=+=2=-2,所以λ=-2.15.A若两向量共线,则由于向量a,b非零,且|a-b|=|b|,∴必有a=2b;代入可知只有A,C满足;若两向量不共线,结合向量模的几何意义,可以构造如图所示的△ACO,使其满足OB=AB=BC;令=a,=b,则=a-b,∴=a-2b且|a-b|=|b|;又BA+BC>AC,∴|a-b|+|b|>|a-2b|,∴|2b|>|a-2b|.故选A.16.解以,为邻边,为对角线构造平行四边形OECD,把向量在,方向上进行分解,如图,设=λ,=μ,λ>0,μ>0,则=λ+μ.∵||=||=1,∴λ=||,μ=||,在△OEC中,∠E=60°,∠OCE=75°,由==,得||==,||==,∴λ=,μ=,∴=+.。

第章平面向量、数系的扩充与复数的引入第一节平面向量的概念及线性运算[考纲传真](教师用书独具)1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和两个向量相等的含义，理解向量的几何表示.2.掌握向量加法、减法的运算，理解其几何意义.3.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.4.了解向量线性运算的性质及其几何意义．(对应学生用书第69页)[基础知识填充]1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫作向量，向量的大小叫作向量的长度(或模)．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算a 是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b ＝λa ，则向量b 与a 共线． [知识拓展]1．若P 为线段AB 的中点，O 为平面内任一点，则OP →＝12(OA →＋OB →)．2.OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为实数)，若点A ，B ，C 共线，则λ＋μ＝1.[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．( ) (2)BA →＝OA →－OB →.( )(3)向量AB →与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上．( ) (4)已知a ，b 是两个非零向量，当a ，b 共线时，一定有b ＝λa (λ为常数)，反之也成立．( )[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√2．在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，且|AB →|＝|BC →|，那么四边形ABCD 为( )A ．平行四边形B ．菱形C ．长方形D ．正方形B [AB →＝DC →，则四边形ABCD 为平行四边形．又|AB →|＝|BC →|，则四边形ABCD 为菱形，故选B ．]3．D 是△ABC 的边AB 的中点，则向量CD →等于( )A ．－BC →＋12BA →B ．－BC →－12BA → C ．BC →－12BA →D ．BC →＋12BA →A [如图，CD →＝CB →＋BD →＝CB →＋12BA → ＝－BC →＋12BA →.]4．(教材改编)已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则DC →＝________，BC →＝________(用a ，b 表示)． b －a －a －b [如图，DC →＝AB →＝OB →－OA →＝b －a ，BC →＝OC →－OB →＝－OA →－OB →＝－a －b .]5．已知a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，则λ＝________. －13 [由已知得a ＋λb ＝－k (b －3a )， 所以⎩⎨⎧λ＝－k ，3k ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－13，k ＝13.](对应学生用书第70页)给出下列四个命题：【导学号：79140145】①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC →是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ； ④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b . 其中正确命题的序号是( )A ．②③B ．①②C ．③④D ．②④ A [①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同． ②正确．∵AB →＝DC →，∴|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →， 又A ，B ，C ，D 是不共线的四点， ∴四边形ABCD 为平行四边形； 反之，若四边形ABCD 为平行四边形， 则AB →∥DC →且|AB →|＝|DC →|，∴AB →＝DC →. ③正确．∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同， 又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同， ∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c .④不正确．当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件．综上所述，正确命题的序号是②③.故选A ．]①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0； ②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0； ③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0. 假命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3D [向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.](1)(2015·全国卷Ⅰ)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( )A ．AD →＝－13AB →＋43AC → B ．AD →＝13AB →－43AC → C ．AD →＝43AB →＋13AC →D ．AD →＝43AB →－13AC →(2)已知D 为三角形ABC 的边BC 的中点，点P 满足P A →＋BP →＋CP →＝0，AP →＝λPD →，则实数λ的值为________．(1)A (2)－2 [(1)AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋13BC →＝AC →＋13(AC →－AB →)＝43AC →－13AB →＝－13AB →＋43AC →.故选A ．(2)因为D 为边BC 的中点，所以PB →＋PC →＝2PD →，又P A →＋BP →＋CP →＝0， 所以P A →＝PB →＋PC →＝2PD →， 所以AP →＝－2PD →，与AP →＝λPD →比较，得λ＝－2.]所在平面内的任意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →等于( ) A ．OM → B ．2OM → C ．3OM →D ．4OM →(2)(2017·河南三市联考)在锐角△ABC 中，CM →＝3MB →，AM →＝xAB →＋yAC →，则xy ＝________.【导学号：79140146】(1)D (2)3 [因为M 是平行四边形ABCD 对角线AC ，BD 的交点，所以OA →＋OC →＝2OM →，OB →＋OD →＝2OM →，所以OA →＋OB →＋OC →＋OD →＝4OM →. (2)由题设可得CA →＋AM →＝3(AB →－AM →)， 即4AM →＝3AB →＋AC →，亦即AM →＝34AB →＋14AC →， 则x ＝34，y ＝14.故xy ＝3.]设两个非零向量a 与b 不共线，(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线；(2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．[解] (1)证明：∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )， ∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b ) ＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →. ∴AB →，BD →共线，又∵它们有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线． (2)∵k a ＋b 和a ＋k b 共线， ∴存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )， 即k a ＋b ＝λa ＋λk b ，∴(k －λ)a ＝(λk －1)b . ∵a ，b 是两个不共线的非零向量， ∴k －λ＝λk －1＝0，∴k 2－1＝0，∴k ＝±1.[跟踪训练] (1)已知向量AB ＝a ＋3b ，BC ＝5a ＋3b ，CD ＝－3a ＋3b ，则( )A ．A ，B ，C 三点共线 B ．A ，B ，D 三点共线 C ．A ，C ，D 三点共线D ．B ，C ，D 三点共线(2)(2017·广东七校联考)已知向量i ，j 不共线，且AB →＝i ＋m j ，AD →＝n i ＋j ，m ≠1，若A ，B ，D 三点共线，则实数m ，n 应满足的条件是( ) A ．m ＋n ＝1B ．m ＋n ＝－1C ．mn ＝1D ．mn ＝－1(1)B (2)C [(1)∵BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋6b ＝2(a ＋3b )＝2AB →， ∴BD →，AB →共线，又有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线．故选B ．(2)因为A ，B ，D 三点共线，所以AB →∥AD →，存在非零实数λ，使得AB →＝λAD →，即i ＋m j ＝λ(n i ＋j )，所以(1－λn )i ＋(m －λ)j ＝0，又因为i 与j 不共线，所以⎩⎨⎧1－λn ＝0，m －λ＝0，则mn ＝1，故选C ．]。

第四章 平面向量与复数第一节 平面向量的概念及线性运算课时规范练 A 组——基础对点练1．①有向线段就是向量，向量就是有向线段； ②向量a 与向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； ③向量AB →与向量CD →共线，则A ，B ，C ，D 四点共线； ④如果a ∥b ，b ∥c ，那么a ∥c . 以上命题中正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．0解析：①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段；②不正确，若a 与b 中有一个为零向量时也互相平行，但零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反；③不正确，共线向量所在的直线可以重合，也可以平行； ④不正确，当b ＝0时，a 与c 不一定平行， 故正确命题的个数为0. 答案：D2．(2020·威海模拟)设a ，b 不共线，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数p 的值为( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2答案：B3．已知向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( ) A ．B ，C ，D B ．A ，B ，C C ．A ，B ，DD ．A ，C ，D 解析：因为BD →＝BC →＋CD →＝－5a ＋6b ＋7a －2b ＝2a ＋4b ＝2(a ＋2b )＝2AB →，所以A ，B ，D 三点共线． 答案：C4．已知a ，b 是两个非零向量，且|a ＋b |＝|a |＋|b |，则下列说法正确的是( )A ．a ＋b ＝0B ．a ＝bC ．a 与b 共线反向D ．存在正实数λ，使a ＝λb解析：由已知得，向量a 与b 为同向向量，即存在正实数λ，使a ＝λb . 答案：D5．在下列选项中，“a ∥b ”的充分不必要条件是( ) A ．a ，b 都是单位向量 B ．|a |＝|b | C ．|a ＋b |＝|a |－|b |D ．存在不全为零的实数λ，μ，使λa ＋μb ＝0解析：a ，b 都是单位向量，但方向可能既不相同，又不相反，故A 错误；|a |＝|b |，但方向不定，故B 错误；|a ＋b |＝|a |－|b |，若a ，b 都是非零向量，则a ，b 反向共线，且|a |＞|b |；若a ，b 中恰有一个零向量，则a ≠0，b ＝0；若a ＝b ＝0，则a ，b 也符合|a ＋b |＝|a |－|b |，所以“|a ＋b |＝|a |－|b |”⇒“a ∥b ”，而“a ∥b ”“|a ＋b |＝|a |－|b |”，故C 正确；D 选项中“存在不全为零的实数λ，μ，使λa ＋μb ＝0”⇔“a ∥b .” 答案：C6．已知a ＝(3，－2)，b ＝(－2，1)，c ＝(7，－4)，则( ) A ．c ＝a ＋2b B ．c ＝a －2b C ．c ＝2b －a D ．c ＝2a －b解析：设c ＝x a ＋y b ，所以(7，－4)＝(3x －2y ，－2x ＋y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝7，－2x ＋y ＝－4，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2，所以c ＝a －2b .答案：B7.如图所示，已知AB 是圆O 的直径，点C 、D 是半圆弧的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →＝( )A ．a －12bB ．12a －bC ．a ＋12bD ．12a ＋b解析：连接OC 、OD 、CD ，由点C 、D 是半圆弧的三等分点，有∠AOC ＝∠COD ＝∠BOD ＝60°，且OA ＝OC ＝OD ，则△OAC 与△OCD 均为边长等于圆O 的半径的等边三角形，所以四边形OACD 为菱形，所以AD →＝AO →＋AC →＝12AB →＋AC →＝12a ＋b .答案：D8．在△ABC 中，点D 在AB 上，CD 平分∠ACB .若CB →＝a ，CA →＝b ，|a |＝1，|b |＝2，则CD →＝( ) A.13a ＋23b B ．23a ＋13bC.35a ＋45b D ．45a ＋35b解析：因为CD 平分∠ACB ，由角平分线定理得|AD ||DB |＝|CA ||CB |＝21，所以D 为AB 的三等分点，且AD →＝23AB →＝23(CB →－CA →)，所以CD →＝CA →＋AD →＝23CB →＋13CA →＝23a ＋13b .答案：B9．设e 1，e 2是两个不共线的向量，已知AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，若A ，B ，D 三点共线，则实数k 的值为________． 解析：因为AB →＝2e 1＋k e 2，BD →＝CD →－CB →＝(2e 1－e 2)－(e 1＋3e 2)＝e 1－4e 2， 由A ，B ，D 三点共线，得AB →∥BD →， 所以2e 1＋k e 2＝λ(e 1－4e 2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2，－4λ＝k ，则k ＝－8.答案：－810．若a 与b 不共线，已知下列各向量：①a 与－2b ；②a ＋b 与a －b ；③a ＋b 与a ＋2b ；④a －12b 与12a －14b .其中可以作为基底的是________(填序号)．解析：对于①，因为a 与b 不共线，所以a 与－2b 不共线；对于②，假设a ＋b 与a －b 共线，则有a ＋b ＝λ(a －b )，所以λ＝1且λ＝－1，矛盾．所以a ＋b 与a －b 不共线；对于③，同理a ＋b 与a ＋2b 不共线；对于④，因为a －12b ＝2⎝⎛⎭⎫12a －14b ，所以a －12b 与12a －14b 共线．由基底的定义知，①②③都可以作为基底，④不可以． 答案：①②③B 组——素养提升练11．已知向量a ＝(2，3)，b ＝(－1，2)，若m a ＋n b 与a －2b 共线，则mn 等于( )A ．－12B ．12C ．－2D ．2解析：因为向量a ＝(2，3)，b ＝(－1，2)，所以a －2b ＝(4，－1)，m a ＋n b ＝(2m －n ，3m ＋2n )， 因为m a ＋n b 与a －2b 共线，所以4(3m ＋2n )－(－1)(2m －n )＝0，所以m n ＝－12.答案：A12．若点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足5AM →＝AB →＋3AC →，则△ABM 与△ABC 的面积比为( ) A.15 B ．25C.35D ．45解析：如图所示，设AB 的中点为D ，由5AM →＝AB →＋3AC →，得3AM →－3AC →＝2AD →－2AM →，所以CM →＝23MD →，所以C ，M ，D 三点共线，且MD →＝35CD →，所以△ABM 与△ABC 公共边AB 上的两高之比为3∶5，则△ABM 与△ABC 的面积比为35.13．(2020·湖南省八校联考)如图，在△ABC 中，点D 在线段BC 上，且满足BD＝12DC ，过点D 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AM →＝mAB →，AN →＝nAC →，则( )A ．m ＋n 是定值，定值为2B ．2m ＋n 是定值，定值为3 C.1m ＋1n是定值，定值为2 D.2m ＋1n是定值，定值为3 解析：法一：如图，过点C 作CE 平行于MN 交AB 于点E .由AN →＝nAC →可得AC AN ＝1n ，所以AE EM ＝AC CN ＝1n －1，由BD ＝12DC 可得BM ME ＝12，所以AMAB ＝AE ＋EM AE ＋EM ＋MB ＝AE EM ＋1AE EM ＋1＋MB EM ＝1n －1＋11n －1＋1＋12＝nn ＋n －12＝2n 3n －1，因为AM →＝mAB →，所以m ＝2n 3n －1，整理可得2m ＋1n ＝3.法二：因为M ，D ，N 三点共线，所以AD →＝λAM →＋(1－λ)AN →.又AM →＝mAB →，AN →＝nAC →，所以AD →＝λm AB →＋(1－λ)nAC → ①，又BD →＝12DC →，所以AD →－AB →＝12AC →－12AD →，所以AD →＝13AC →＋23AB → ②，由①②知λm ＝23，(1－λ)n ＝13，所以2m ＋1n＝3，故选D.14.如图，四边形ABCD 是正方形，延长CD 至点E ，使得DE ＝CD .若动点P 从点A 出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到点A ，其中AP →＝λAB →＋μAE →(λ，μ∈R )，下列判断正确的是( )A ．满足λ＋μ＝2的点P 必为BC 的中点B ．满足λ＋μ＝1的点P 有且只有一个C ．满足λ＋μ＝a (a ＞0)的点P 最多有3个D ．λ＋μ的最大值为3 答案：D15．(2020·海口模拟)在△ABC 中，∠A ＝60°，∠A 的平分线交BC 于点D ，若AB ＝4，且AD →＝14AC →＋λAB →(λ∈R )，则AD 的长为________． 解析：因为B ，D ，C 三点共线，所以14＋λ＝1，解得λ＝34，过点D 分别作AC ，AB 的平行线交AB ，AC 于点M ，N ，则AN →＝14AC →，AM →＝34AB →，经计算得AN ＝AM ＝3，AD ＝3 3.答案：3 316．(2020·长沙模拟)矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝2，P 为矩形内部一点，且AP ＝1，若AP →＝xAB →＋yAD →，则3x ＋2y 的取值范围是________．解析：以点A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴建立平面直角坐标系(图略)，则A (0，0)，B (3，0)，D (0，2)，根据AP →＝xAB →＋yAD →可知，P (3x ，2y )，因为AP ＝1，所以(3x )2＋(2y )2＝1，x ＞0，y ＞0，那么(3x ＋2y )2＝(3x )2＋(2y )2＋2×3x ×2y ＝1＋2×(3x )×(2y )，而2×3x ×2y ≤(3x )2＋(2y )2＝1，所以1＜(3x ＋2y )2≤2，即3x ＋2y 的取值范围是(1，2]． 答案：(1，2]。