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1.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．(2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．(3)函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．2．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．【知识拓展】求函数定义域常见结论：(1)分式的分母不为零；(2)偶次根式的被开方数不小于零；(3)对数函数的真数必须大于零；(4)指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1；(k∈Z)；(5)正切函数y＝tan x，x≠kπ＋π2(6)零次幂的底数不能为零；(7)实际问题中除要考虑函数解析式有意义外，还应考虑实际问题本身的要求．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)对于函数f：A→B，其值域是集合B.()(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．()(3)映射是特殊的函数．()(4)若A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|，其对应是从A到B的映射．()(5)分段函数是由两个或几个函数组成的．()1．函数y ＝2x －3＋1x －3的定义域为()A ．[32，＋∞)B ．(－∞，3)∪(3，＋∞)C ．[32，3)∪(3，＋∞)D ．(3，＋∞)2．(教材改编)若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是()3．下列函数中，与函数y ＝x ＋1是相等函数的是()A ．y ＝(x ＋1)2B ．y ＝3x3＋1C ．y ＝x2x＋1D ．y ＝x2＋14．已知f (1x)＝x 2＋5x ，则f (x )＝________.5．已知函数f (x )＝2x ＋1，若f (a )＝5，则实数a 的值为________．题型一函数的概念例1有以下判断：①f (x )＝|x |x 与g (x )＝1(x ≥0)－1(x <0)表示同一函数；②函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的交点最多有1个；③f (x )＝x 2－2x ＋1与g (t )＝t 2－2t ＋1是同一函数；④若f (x )＝|x －1|－|x |，则0))21((=f f 其中正确判断的序号是________．(1)下列所给图象是函数图象的个数为()A ．1B ．2C ．3D ．4(2)下列各组函数中，表示同一个函数的是()A ．y ＝x －1和y ＝x 2－1x ＋1B ．y ＝x 0和y ＝1C ．f (x )＝x 2和g (x )＝(x ＋1)2D ．f (x )＝(x )2x 和g (x )＝x (x )2题型二函数的定义域问题命题点1求函数的定义域例2(1)函数f(x)＝1－2x＋1x＋3的定义域为()A．(－3,0]B．(－3,1]C．(－∞，－3)∪(－3,0]D．(－∞，－3)∪(－3,1](2)若函数y＝f(x)的定义域为[0,2]，则函数g(x)＝f(2x)x－1的定义域是________引申探究本例(2)中，若将“函数y＝f(x)的定义域为[0,2]”改为“函数y＝f(x＋1)的定义域为[0,2]”，则函数g(x)＝f(2x)x－1的定义域为________________．命题点2已知函数的定义域求参数范围例3(1)若函数f (x )＝2221x ax a +--的定义域为R ，则a 的取值范围为________．(2)若函数y ＝ax ＋1ax 2＋2ax ＋3的定义域为R ，则实数a 的取值范围是________．(1)已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为()A ．(－1,1)B ．(－1，－12)C ．(－1,0)D ．(12，1)(2)若函数y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是()A ．(0，34]B ．(0，34)C ．[0，34]D ．[0，34)题型三求函数解析式例4(1)已知函数f (x －1)＝11x ，则函数f (x )的解析式为.(2)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，则f (x )＝________.(3)已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f (1x)·x －1，则f (x )＝________.(1)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )的解析式；(2)已知一次函数f (x )满足f (f (x ))＝4x －1，求f (x )；(3)已知f (x )＋3f (－x )＝2x ＋1，求f (x )．2．分类讨论思想在函数中的应用典例(1)已知实数a≠0，函数f(x)＝2x＋a，x<1，－x－2a，x≥1，若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________________．(2)(2019·长春模拟)已知函数f(x)＝2x，x>0，x＋1，x≤0.若f(a)＋f(1)＝0，则实数a＝________.1．下列各组函数中，表示同一函数的是()A．y＝x2－9x－3与y＝x＋3B．y＝2x－1与y＝x－1C．y＝x0(x≠0)与y＝1(x≠0)D．y＝2x＋1，x∈Z与y＝2x－1，x∈Z2．(2015·重庆)函数f(x)＝log2(x2＋2x－3)的定义域是()A．[－3,1]B．(－3,1)C．(－∞，－3]∪[1，＋∞)D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)3．若二次函数g(x)满足g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，则g(x)的解析式为() A．g(x)＝2x2－3x B．g(x)＝3x2－2xC ．g (x )＝3x 2＋2xD ．g (x )＝－3x 2－2x4．(2015·陕西)设f (x )＝1－x ，x ≥0，2x，x ＜0，则f (f (－2))等于()A ．－1 B.14C.12D.325．(2016·安徽六校联考)已知函数f (x )＝x |x |，若f (x 0)＝4，则x 0的值为()A ．－2B ．2C ．－2或2D.2*6.(2016·唐山期末)已知f (x )＝(1－2a )x ＋3a ，x <1，ln x ，x ≥1的值域为R ，那么a 的取值范围是()A ．(－∞，－1]B ．(－1，12)C ．[－1，12)D ．(0，12)7．(2016·济南模拟)已知函数f(1－x1＋x)＝x，则f(2)＝________.8．设函数f(x)＝113e,1,,1,x xx x-⎧<⎪⎨⎪⎩≥则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是________________．9．(2015·浙江)已知函数f(x)＝x＋2x－3，x≥1，lg(x2＋1)，x＜1，则f(f(－3))＝________，f(x)的最小值是________．*10.设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，下列关于高斯函数的说法正确的有________．①[－x ]＝－[x ]；②x －1<[x ]≤x ；③∀x ，y ∈R ，[x ]＋[y ]≤[x ＋y ]；④∀x ≥0，y ≥0，[xy ]≤[x ][y ]；⑤离实数x 最近的整数是－[－x ＋12]．11．已知f (x )是二次函数，若f (0)＝0，且f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求函数f (x )的解析式．12．已知f(x)＝f(x＋1)，－2<x<0，2x＋1，0≤x＜2，x2－1，x≥2.(1)求f(－32)的值；(2)若f(a)＝4且a>0，求实数a的值．。
函数的表示高一数学知识点函数的表示函数是数学中的一种重要概念，对于高一学生来说，理解和掌握函数的表示方法是非常关键的数学知识点之一。
本文将介绍常见的函数表示方式，包括文字描述、符号表示和图像表示。
一、文字描述法文字描述法是最基本的函数表示方式之一。
通过用自然语言来描述函数的特征和性质，可以简单明了地表达函数的规律。
例如，对于函数y = 2x + 1，我们可以用文字描述为：函数y等于2乘以x再加1。
二、符号表示法符号表示法是一种常用的函数表示方式，用数学符号和表达式来表示函数的关系。
常见的函数表示符号包括等式、不等式、代数式等等。
1. 函数等式表示函数等式表示是一种常见的函数表示方式，可用于表示函数的映射关系。
例如，函数y = 2x + 1就是一种函数等式表示。
其中，x表示自变量，y表示因变量，2x + 1表示函数的规律。
2. 函数不等式表示函数不等式表示常用于表示函数的定义域、值域以及不等式关系。
例如，对于函数y = x^2，我们可以用不等式|x| ≤ 1来表示其定义域为[-1, 1]。
3. 函数代数式表示函数代数式表示是基于代数式的表达方式，常用于表示函数的表达式和方程。
例如，函数y = ax^2 + bx + c就是一种函数代数式表示，其中a、b、c为常量。
三、图像表示法图像表示法通过绘制函数的图像来展示函数的特征和规律。
常用的图像表示方式包括直角坐标系上的函数图像、极坐标系上的函数图像等。
1. 直角坐标系上的函数图像直角坐标系上的函数图像是最常见的函数表示方式之一。
通过在平面直角坐标系上绘制自变量和因变量的关系，可以直观地展示函数的变化规律。
例如，对于函数y = sin(x)，我们可以在直角坐标系上绘制正弦曲线。
2. 极坐标系上的函数图像极坐标系上的函数图像常用于表示周期性函数，通过在极坐标系上绘制自变量和因变量的关系，可以更准确地展示函数的周期性特征。
例如，对于函数r = a + bcosθ，我们可以在极坐标系上绘制螺旋线。
高二上学期数学第二章知识点在高二上学期的数学学习中，数学第二章的内容是我们需要重点掌握的。
该章节主要涵盖了函数与方程的相关知识，下面将逐一介绍其中的几个重要知识点。
一、函数及其表示方法1. 函数的定义：函数是一种映射关系，将一个集合的元素（自变量）对应到另一个集合的元素（因变量）。
2. 函数的表示方法：常用的表示方法有函数表达式、函数图像、函数关系式等。
3. 性质：函数可以是一对一的映射（每个自变量对应唯一的因变量）或多对一的映射（多个自变量对应同一个因变量）。
二、一次函数1. 定义：一次函数是最简单的一种函数，其函数表达式为y =kx + b，其中k和b为常数。
2. 斜率和截距：斜率k表示函数图像的倾斜程度，截距b表示函数与y轴的交点位置。
3. 性质：一次函数的图像为一条直线，其图像的斜率等于函数表达式中的系数k。
4. 直线方程：一次函数的函数表达式可以通过给定的两点坐标求得。
三、二次函数1. 定义：二次函数是一个含有二次项（x²）的函数，其函数表达式一般形式为y = ax² + bx + c，其中a、b和c为常数且a≠0。
2. 抛物线性质：二次函数的图像为一个抛物线，其开口方向由二次项系数a的正负决定。
3. 零点和顶点：二次函数的零点是函数图像与x轴交点的横坐标，顶点是抛物线的最高或最低点。
4. 求解方法：可以通过配方法、图像法和因式分解等方式求解二次方程。
四、指数函数1. 定义：指数函数是以底数为常数的数学函数，形式为y = a^x，其中a为底数。
2. 指数函数的性质：指数函数的图像与x轴交于点(0,1)，并且随着自变量x的增大，函数值呈现指数增长的趋势。
3. 对数函数：指数函数的反函数被称为对数函数，常用的对数函数有以10为底的常用对数函数和以e（自然对数的底数）为底的自然对数函数。
五、幂函数1. 定义：幂函数是一种以自变量为指数的函数，形式为y = x^a，其中a为指数，可以是分数、小数或负数。
函数及其表示方法1.函数的概念：一般的，设A ，B 是 非空实数集，如果按照某种确定的 对应关系f ，使对于集合A 中的 每一个实数，在集合B 中都有 唯一确定的实数)(x f y =和x 对应，那么就称 f 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作 )(x f y = ， 其中 x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做 定义域 ，与x 的值相对应的y 值叫做 函数值 ，函数值的集合 叫做函数的 值域，显然，值域是集合B 的子集。
注意： ○1“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”； ○2函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x 对应的函数值，一个数，而不是f 乘x ． 2.构成函数的三要素： 值域 , 定义域 , 对应关系 .3. 函数相等:若两个函数的 定义域 相同,且 对应关系 在本质上也是相同的,则称两个函数相等。
4、函数的三种表示方法（1）解析法:_用解析式把把x 与y 的对应关系表述出来，最常见的一种表示函数关系的方法。
举例：如222321,,2,6y x x S r C r S t ππ=++===等。
优点：⎩⎨⎧函数值；意一个自变量所对应的可以通过解析式求出任量间的关系；简明，全面地概括了变（2）列表法：用表格的方式把x 与y 的对应关系一一列举出来.比较少用.举例： 如：平方表，三角函数表，利息表，列车时刻表，国民生产总值表等。
优点：不需要计算，就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值。
（3）图象法：在坐标平面中用曲线的表示出函数关系，比较常用，经常和解析式结合起来理解函数的性质.优点：直观形象地表示自变量的变化。
5、分段函数：在函数的定义域内，对于自变量x 的不同取值区间不同的对应关系，这样的函数通常叫做 分段函数 。
拓展一 判断相同函数例1、下列函数f （x ）与g （x ）是表示同一个函数的是？ （ ）A. f ( x ) = (x －1) 0；g ( x ) = 1 ;B. f ( x ) = x ； g ( x ) = 2x C ．f ( x ) = x 2；f ( x ) = (x + 1) 2 、D. f ( x ) = | x | ；g ( x ) = 2x 拓展二 函数的判断例2、下列函数图像中不能作为函数y=f(x)的图像的是 （ ）拓展三 求函数的定义域函数定义域的一般求法（开偶次方根，分式，零次幂）例3、（1） ()x x f 2=+()01+x （2）1()(12)(1)f x x x =-+；(3)()4f x x =-复合函数求定义域若)(u f y =，又)(x g u =，且)(x g 值域与)(u f 定义域的交集不空，则函数)]([x g f y =叫x 的复合函数，其中)(u f y =叫外层函数，)(x g u =叫内层函数，简而言之，所谓复合函数就是由一些初等函数复合而成的函数。
高一数学必修一函数的表示法（完整）1.2函数及其表示§1.2.2函数的表示法1教学目的：1．掌握函数的解析法、列表法、图象法三种主要表示方法．2．培养数形结合、分类讨论的数学思想方法，掌握分段函数的概念教学重点：解析法、图象法．教学难点：作函数图象教学过程：一、复习引入：1．函数的定义是什么？函数的图象的定义是什么？2．在中学数学中，画函数图象的基本方法是什么？3．用描点法画函数图象，怎样避免描点前盲目列表计算？怎样做到描最少的点却能显示出图象的主要特征？二、讲解新课：函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法和图象法三种.⑴解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式.222例如，=60t，A=r，S=2rl,y=a某+b某+c(a0),y=某2(某2)等等都是用解析式表示函数关系的.优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值.中学阶段研究的函数主要是用解析法表示的函数.⑵列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系.D优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值.⑶图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系.C例如，气象台应用自动记录器描绘温度随时间变化的曲线，课本中我国人口出生率变化的曲线，工厂的生产图象，股市走向图等都是用图象法表示函数B关系的.优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，这A样使得我们可以通过图象来研究函数的某些性质.三、例题讲解例1某种笔记本每个5元，买某{1,2,3,4}个笔记本的钱数记为y （元），试写出以某为自变量的函数y的解析式，并画出这个函数的图像解：这个函数的定义域集合是{1,2,3,4}，函数的解析式为y=5某，某{1,2,3,4}.它的图象由4个孤立点A(1，5)B(2，10)C(3，15)D(4，20)组成，如图所示例2国内投寄信函（外埠），每封信函不超过20g付邮资80分，超过20g而不超过40g付邮资160分，依次类推，每封某g(0320,某(60,80],400,某(80,100].这个函数的图象是5条线段（不包括左端点），都平行于某轴，如图所示.这一种函数我们把它称为分段函数4003202401608020406080100某某例3画出函数y=|某|=某某0,的图象.某0.解：这个函数的图象是两条射线，分别是第一象限和第二象限的角平分线，如图所示.说明：①再次说明函数图象的多样性；y②从例4和例5看到，有些函数在它的定义域中，对于自变量某的不同取值范围，对应法则不同，这样的函数通常称为分段函数.注意某某0分段函数是一个函数，而不是几个函数.y=1某<0某③注意：并不是每一个函数都能作出它的图象，如狄利克雷{（Dirichlet）函数D(某)=1，某是有理数，.0，某是无理数,我们就作不出它的图象.某例4作出分段函数y某1某2的图像解：根据“零点分段法”去掉绝对值符号，即：y某2(2某1)3y某1某2=2某12某1某1作出图像如下例5作出函数y某列表描点：K'L'M'N'G'O'P'Q'(-5.0，-5.2)(-4.0，-4.3)(-3.0，-3.3)(-2.0，-2.5)(-1.0，-2.0)(-0.4，-3.0)(-0.3，-4.0)(-0.2，-5.0)QPOGNMLK(0.2，5.0)(0.3，4.0)(0.4，3.0)(1.0，2.0)(2.0，2.5)(3.0，3.3)(4.0，4.3)(5.0，5.2)某1的图象某2补充：1．作函数y=|某-2|(某＋1)的图像分析显然直接用已知函数的解析式列表描点有些困难，除去对其函数性质分析外，我们还应想到对已知解析式进行等价变形．解：(1)当某≥2时，即某-2≥0时，1086Q4KLMGNPO2-10-5510-2N'M'L'K'G'O'-4P'Q'-619y(某2)(某1)某2某2(某)224当某＜2时，即某-2＜0时，-10-5864251019y(某2)(某1)某2某2(某)2.24219某2某24∴y219某2某24-2-4-665432这是分段函数，每段函数图象可根据二次函数图象作出-6-4-2124682．作出函数y|某2某3|的函数图像解：y2-1-2-3-4某2某32(某2某3)22某2某302某2某302步骤：（1）作出函数y=某2某3的图象（2）将上述图象某轴下方部分以某轴为对称轴向上翻折（上方部分不变），即得y=|某2某3|的图象23四、课后练习一、选择题1.已知一次函数的图象过点(1,0)和(0,1)，则此一次函数的解析式为()＝－某＝某＋12＝某－1＝－某＋12.已知函数f(某－1)＝某－3，则f(2)的值为()A.－2B.6C.1D.03.已知f(某)＝2，g(某)＝某＋1，则f(g(某))的表达式是()某－12某＋2某某2某＋2某f(1)＝0f(n＋1)＝f(n)＋3，n∈N2某2某－11某－1224.已知函数y＝某，则f(3)等于()D.二、填空题5.已知函数f(某)的图象如图所示，则此函数的定义域是，值域是.6.已知f(某)与g(某)分别由下表给出某f(某)14233241某g(某)13213442那么f(g(3))＝.4三、解答题7.解答下列问题：2(1)若f(某＋1)＝2某＋1，求f(某)；某(2)若函数f(某)＝，f(2)＝1，又方程f(某)＝某有唯一解，求f(某).a某＋b8.作下列各函数的图象：(1)y＝2某2－4某－3(0≤某＜3)；9.已知函数2某，(某≤－1)f(某)＝1，(－1＜某≤1)－2某，(某＞1)(1)求f(某)的定义域、值域；.＝|某－1|；作出这个函数的图象.5(2)y(2)课后作业参考答案一、选择题1.112.B3.A[f(g(某))＝＝2.]4.f(2)＝f(1＋1)＝f(1)＋3＝0＋3＝3，2(某＋1)－1某＋2某∴f(3)＝f(2＋1)＝f(2)＋3＝3＋3＝6.选二、填空题5.［-3,3］［-2,2］6.【答案】1由表可得g(3)＝4，∴f(g(3))＝f(4)＝1.三、解答题7.【解析】(1)令t＝某＋1，则某＝t－1，∴f(t)＝2(t－1)＋1＝2t －4t＋3.∴f(某)＝2某－4某＋3.2(2)由f(2)＝1得＝1，即2a＋b＝2；2a＋b某11－b由f(某)＝某得＝某变形得某(－1)＝0，解此方程得：某＝0或某＝.又因为方程有唯a某＋ba某＋ba1－b1一解，所以＝0，解得b＝1，代入2a＋b＝2得a＝，a22某所以所求解析式为f(某)＝.某＋28.【解析】(1)∵0≤某＜3，∴这个函数的图象是抛物线2y＝2某－4某－3介于0≤某＜3之间的一段弧(如图(1)).某－1某≥1(2)所给函数可写成分段函数y＝1－某某＜1222是端点为(1,0)的两条射线(如图(2)).9.【解析】(1)f(某)的定义域为{某|某≤－1}∪{某|－1＜某≤1}∪{某|某＞1}＝{某|某≤－1或－1＜某≤1或某＞1}＝R，f(某)的值域为{y|y≤－2}∪{1}∪{y|y＜－2}＝{y|y≤－2或y＝1}，∴f(某)的定义域为R，值域为{y|y≤－2或y＝1}.(2)根据解析式分段作图如图6。
题型一 求函数值【例1】若函数()f x 满足(21)1f x x -=+，则(1)f = ．【例2】（2006年安徽高考）函数()f x 对于任意实数x 满足条件1(2)()f x f x +=，若(1)5f =-，则((5))f f = ．【例3】若函数2(21)2f x x x +=-，则(3)f = ．【例4】已知函数22(),1x f x x R x =∈+. （1）求1()()f x f x +的值；（2）计算：111(1)(2)(3)(4)()()()234f f f f f f f ++++++.【例5】已知,a b 为常数，若22()43,()1024,f x x x f ax b x x =+++=++求5a b -的值．【例6】若函数2()f x x =，则对任意实数12,x x ，下列不等式总成立的是（ ）A ．12()2x x f +≤12()()2f x f x + B ．12()2x x f +<12()()2f x f x + C ．12()2x x f +≥12()()2f x f x + D ．12()2x x f +>12()()2f x f x +典例分析板块二.函数的表示法【例7】（2006．台湾）将正整数18分解成两个正整数的乘积有：118⨯，29⨯，36⨯三种，又36⨯是这三种分解中两数的差最小的，我们称36⨯为18的最佳分解．当p q ⨯()p q ≤是正整数n 的最佳分解时，我们规定函数()p F n q =，例如31(18)62F ==，下列有关函数()F n 的叙述，正确的序号为 （把你认为正确的序号都写上）⑴(4)1F =；⑵3(24)8F =；⑶1(27)3F =；⑷若n 是一个质数，则()F n 1n=；⑸若n 是一个完全平方数，则()1F n =【例8】设函数3(100)(),(89).[(5)](100)x x f x f f f x x -≥⎧=⎨+<⎩求【例9】（2001上海理，1）设函数f （x ）＝812,(,1]log ,(1,)x x x -⎧∈-∞⎪⎨∈+∞⎪⎩，则满足f （x ）=14的x 值为 。
【例10】（2006山东 文2）设1232,2()((2))log (1) 2.x e x f x f f x x -⎧⎪=⎨-≥⎪⎩＜，则的值为，（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3题型二 求函数解析式一、定义法：【例11】设23)1(2+-=+x x x f ，求)(x f .【例12】设函数()23,(2)()f x x g x f x =++=，则()g x 的表达式是（ ）A ．21x +B ．21x -C ．23x -D ．27x +【例13】设21)]([++=x x x f f ，求)(x f .【例14】设33221)1(,1)1(xx x x g x x x x f +=++=+，求)]([x g f .【例15】设)(sin ,17cos )(cos x f x x f 求=.二、待定系数法：【例16】如果反比例函数的图象经过点(1,2)-，那么这个反比例函数的解析式为【例17】在反比例函数ky x=的图象上有一点P ，它的横坐标m 与纵坐标n 是方程2420t t --=的两个根，则k =【例18】已知1392)2(2+-=-x x x f ，求)(x f .三、换元（或代换）法：【例19】已知函数1()1xf x x-=+. 求：（1）(2)f 的值； （2）()f x 的表达式【例20】（1）已知1)f x =+，求()f x 及2()f x ； （2）已知()3()21f x f x x +-=+，求()f x .【例21】已知22111(),x x f x x x++=+求()f x ．【例22】设x x f 2cos )1(cos =-，求)(x f .【例23】设()f x 满足1()()af x bf cx x+=（其中,,a b c 均不为0，且a b ≠±），求()f x ．四、反解函数法：【例24】已知2)(21+=-x a f x ，求)(x f .五、特殊值法：【例25】设)(x f 是定义在N 上的函数，满足1)1(=f ，对于任意正整数y x ,，均有xy y x f y f x f -+=+)()()(，求)(x f .六、累差法：【例26】若af 1lg)1(=，且当),0(,lg )()1(,21*∈-=-≥-N x a a x f x f x x 满足时，求)(x f .七、归纳法：【例27】已知a f N x x f x f =*∈+=+)1()(),(212)1(且，求)(x f .八、微积分法：【例28】设2)1(,cos )(sin 22=='f x x f ，求)(x f .九、其他综合问题【例29】（1）已知3311()f x x x x +=+，求()f x ；（2）已知2(1)lg f x x+=，求()f x ；（3）已知()f x 是一次函数，且满足3(1)2(1)217f x f x x +--=+，求()f x ；（4）已知()f x 满足12()()3f x f x x+=，求()f x 。
【例30】（2006重庆理21）已知定义域为R 的函数f (x )满足f (f (x )－x 2+x )=f (x )－x 2+x 。
（Ⅰ）若f (2)=3,求f (1)；又若f (0)=a ,求f (a )；（Ⅱ）设有且仅有一个实数x 0，使得f (x 0)= x 0。
求函数f (x )的解析表达式。
【例31】已知函数()y f x =的图象关于直线1x =-对称，且当(0,)x ∈+∞时，有1(),f x x=则当(,2)x ∈-∞-时，()f x 的解析式为（ ）A ．1x -B ．12x --C ．12x +D ．12x -+【例32】（05全国卷I ）已知二次函数()f x 的二次项系数为a ，且不等式()2f x x >-的解集为(1,3)．⑴方程()60f x a +=有两个相等的根，求()f x 的解析式； ⑵若()f x 的最大值为正数，求a 的取值范围．题型三 分段函数【例33】画出下列函数的图象：（1）|2|y x =-；（2）|1||24|y x x =-++.【例34】函数()[]f x x =的函数值表示不超过x 的最大整数，例如[ 3.5]4-=-，[2.1]2=，当(2.5,3]x ∈-时，写出()f x 的解析式，并作出函数的图象.【例35】画出下列函数的图象．（1）y ＝x 2－2，x ∈Z 且｜x ｜2≤；（2）y ＝－22x ＋3x ，x ∈（0，2］；（3）y ＝x ｜2－x ｜； （4）3232232x y x x x ⎧⎪⎨⎪⎩≤≥＜－，＝－－＜－．．【例36】已知函数22()2x f x x x +⎧⎪=⎨⎪⎩(1)(12)(2)x x x --<<≤≥，⑴ 求()f π； （2） 若()3f a =，求a ； ⑶ 作出此函数的图象．【例37】作出函数()|2||1|f x x x =--+的图象．【例38】已知1,0()1,0x f x x ≥⎧=⎨-<⎩，则不等式(2)(2)5x x f x ++⋅+≤的解集是 ．【例39】函数x y x x=+的图象是（ ）【例40】设2,(10)()[(6)],(10)x x f x f f x x -≥⎧=⎨+<⎩，则(5)f 的值为（ ）A ．10B ．11C ．12D ．13【例41】设函数11(0),2()1(0).x x f x x x ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩，若()f a a >，则实数a 的取值范围是 ．【例42】若函数234(0)()(0)0(0)x x f x x x π⎧->⎪==⎨⎪<⎩，则((0))f f = ．【例43】已知函数21(0)()2(0)x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，若()10f x =，则x = ．【例44】由函数的解析式，求函数值⑴已知函数2()352f x x x =-+，求(1)f ，1f a ⎛⎫⎪⎝⎭，(1)f x +；⑵已知1(0)()π(0)0(0)x x f x x x +>⎧⎪==⎨⎪<⎩，求{}[(1)]f f f -； ⑶已知()f x 的定义域为{}0x x >，且()()()f x y f x f y =+，若(9)8f =，求(3)f ．【例45】已知f (x)=33x x-+⎪⎩ (,1)(1,)x x ∈-∞∈+∞，求f [f (0)]的值.题型三 实际应用问题【例46】经市场调查，某商品在近100天内，其销售量和价格均是时间t 的函数，且销售量近似地满足关系ｇ（t ）＝－13 t ＋1093 （t ∈N *，0＜t ≤100)，在前40天内价格为f （t ）＝14 t ＋22（t ∈N *，0≤t ≤40），在后60天内价格为f （t ）＝－12 t ＋52（t ∈N *，40＜t ≤100)，求这种商品的日销售额的最大值(近似到1元).【例47】某中学高一年级学生李鹏，对某蔬菜基地的收益作了调查，该蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示，试解答下列问题.(1)写出图一表示的市场售价间接函数关系P ＝f （t ）.写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q ＝g （t ）；(2)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大?(注：市场售价和种植成本的单位：元／102kg ，时间单位：天)【例48】季节性服装当季节即将来临时，价格呈上升趋势，设某服装开始时定价为10元，并且每周(7天)涨价2元，5周后开始保持20元的价格平稳销售；10周后当季节即将过去时，平均每周削价2元，直到16周末，该服装已不再销售.(1)试建立价格P与周次t之间的函数关系式.(2)若此服装每件进价Q与周次t之间的关系为Q＝－0.125（t－8）2＋12，t∈[0，16]，t∈N*试问该服装第几周每件销售利润L最大?【例49】如图，有一块边长为a的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，写出体积V以x为自变量的函数式是_____，这个函数的定义域为_______．【例50】某商场做活动，某款玩具小熊的单价是5元，买x（x∈{1,2,3,4,5}）个玩具小熊需要y元．试用函数的三种表示法表示函数()=．y f x【例51】如图，在边长为4的正方形ABCD 的边上有一动点P ，从点B 开始，沿折线BCD向点A 运动．设点P 移动的距离为x ，ABP ∆的面积为y ，求函数()y f x =及其定义域，并根据所求函数画出函数图象．x yP A B CD【例52】如右图所示，在平行四边形ABCD 中，60DAB ∠=︒，5AB =，3BC =，点P 从起点D 出发，沿DC ，CB 向终点B 匀速运动，设点P 所走过的路程为x ，点P 所经过的线段与线段AD 、AP 所围成的图形的面积为y ，y 随x 变化而变化，在下列图象中，能正确反映y 与x 的函数关系的是（ ）【例53】如图，铁路线上AB 长100千米，工厂C 到铁路的距离CA 为20千米．现打算从AB 上某一点D 处向C 修一条公路，已知铁路每吨每千米的运费与公路每吨每千米的运费之比为3:5．为了使原料从供应站B 到工厂C 的运费最少， D 点应选在何处？PCD C B【例54】如图，动点P从单位正方形ABCD顶点A开始，顺次经C、D绕边界一周，当x表示点P的行程，y表示PA之长时，求y关于x的解析式，并求f(52)的值．【例55】（2003北京春，理文21）某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出。
