高考数学二轮复习 第一篇 求准提速 基础小题不失分 第6练 函数的概念、图象和性质练习 文

限时速解训练九 三角函数图象与性质(建议用时40分钟)一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的) 1．函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin x2cos x 2的最小正周期是( )A.π4 B.π2 C ．πD ．2π解析：选C.函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin x2cos x 2＝12|sin x |的最小正周期T ＝π，故选C.2．设函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4(x ∈R )的图象为C ，则下列表述正确的是( ) A ．点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0是C 的一个对称中心B ．直线x ＝π2是C 的一条对称轴C ．点⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，0是C 的一个对称中心 D ．直线x ＝π8是C 的一条对称轴解析：选D.令2x ＋π4＝k π，k ∈Z 得x ＝－π8＋k π2，k ∈Z ，所以函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＋k π2，0，k ∈Z ，排除A 、C.令2x ＋π4＝π2＋k π，k ∈Z 得x ＝π8＋k π2，k ∈Z ，所以函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的对称轴为x ＝π8＋k π2，k ∈Z ，排除B ，故选D.3．(2016·江西八所重点学校联考)函数f (x )＝A sin ωx (A >0，ω>0)的部分图象如图所示，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 017)的值为( )A. 2 B ．3 2 C ．6 2D ．－ 2解析：选A.由图象可得，A ＝2，T ＝8，2πω＝8，ω＝π4，∴f (x )＝2sin π4x ，∴f (1)＝2，f (2)＝2，f (3)＝2，f (4)＝0，f (5)＝－2，f (6)＝－2，f (7)＝－2，f (8)＝0，而2 017＝8×252＋1，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 017)＝ 2.4．函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)(ω≠0)对任意x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4等于( ) A ．2或0 B ．－2或2 C ．0 D ．－2或0解析：选B.由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 得x ＝π4是函数f (x )的一条对称轴，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝±2，故选B.5．若函数y ＝f (x )的最小正周期为π，且图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称，则f (x )的解析式可以是( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋5π6B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6C ．y ＝2sin 2x －1D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6 解析：选D.依次判断各选项，A 项周期不符；B 项函数图象不关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0成中心对称；C错，因为y ＝2sin 2x －1＝－cos 2x ，同样点⎝⎛⎭⎪⎫π3，0不是图象的对称中心，故选D.6．已知ω＞0，函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递增，则ω的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，74C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，94 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，74 解析：选D.函数y ＝cos x 的单调递增区间为[－π＋2k π，2k π]，其中k ∈Z .依题意，则有－π＋2k π≤ωπ2＋π4＜ωx ＋π4＜ωπ＋π4≤2k π(ω＞0)得4k －52≤ω≤2k －14，由⎝ ⎛⎭⎪⎫4k －52－⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －14≤0且4k －52＞0得k ＝1，因此ω的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，74，故选D.7．为了得到函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象，可将函数g (x )＝3sin 2x ＋cos 2x 的图象( )A ．向左平移π3B ．向右平移π3C ．向左平移π6D ．向右平移π6解析：选D.依题意得g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，因此为了得到函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象，可将函数g (x )的图象向右平移π6个单位长度，故选D.8．将函数f (x )＝cos 2x 的图象向右平移π4个单位后得到函数g (x )，则g (x )具有性质( )A ．最大值为1，图象关于直线x ＝π2对称B ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递增，为奇函数C ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π8，π8上单调递增，为偶函数D ．周期为π，图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫3π8，0对称解析：选B.依题意，得g (x )＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin 2x ，故函数g (x )图象的对称轴为x ＝π4＋k π2(k ∈Z )，故A 错误；因为g (－x )＝－sin 2x ＝－g (x )，故函数g (x )为奇函数，函数g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－34π，－14π上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－14π，14π上单调递增，故B 正确，C 错误；因为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫38π＝sin 34π＝22≠0，故D 错误．综上所述，故选B. 9．函数f (x )＝tan ωx (ω＞0)的图象的相邻两支截直线y ＝2所得线段长为π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值是( ) A ．－ 3 B.33C. 3D ．1解析：选C.因为f (x )＝tan ωx (ω＞0)的图象的相邻两支截直线y ＝2所得线段长为π2，所以函数f (x )的最小正周期为π2，πω＝π2，ω＝2，则f (x )＝tan 2x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝tan π3＝3，故选C.10．将函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移φ个单位，得到的图象关于原点对称，则φ的最小正值为( )A.π6 B.π3 C.5π12D.7π12解析：选A.函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移φ个单位，得到的图象对应的解析式为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2φ＋π3，因为图象关于原点对称，所以－2φ＋π3＝k π，k ∈Z ，所以φ＝π6－k π，k ∈Z ，则当k ＝0时，φ取得最小正值π6，故选A.11．若函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋π3(－2＜x ＜10)的图象与x 轴交于点A ，过点A 的直线l 与函数的图象交于B ，C 两点，则(OB →＋OC →)·OA →＝( ) A ．－32 B ．－16 C ．16D ．32解析：选D.因为当－2＜x ＜10时，0＜π6x ＋π3＜2π，故令f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋π3＝0，则π6x ＋π3＝π，解得x ＝4，由正弦函数的对称性可知点B ，C 关于点A (4,0)成中心对称，故有(OB →＋OC →)·OA →＝2OA →·OA →＝2|OA →|2＝32，故选D.12．已知函数f (x )＝sin(2x ＋α)在x ＝π12时有极大值，且f (x －β)为奇函数，则α，β的一组可能值依次为( ) A.π6，－π12 B.π6，π12 C.π3，－π6D.π3，π6解析：选D.依题意得2×π12＋α＝2k 1π＋π2，即α＝2k 1π＋π3，k 1∈Z ，A ，B 均不正确．由f (x －β)是奇函数得f (－x －β)＝－f (x －β)，即f (－x －β)＋f (x －β)＝0，函数f (x )的图象关于点(－β，0)对称，f (－β)＝0，sin(－2β＋α)＝0，sin(2β－α)＝0,2β－α＝k 2π，k 2∈Z ，结合选项C ，D 取α＝π3得β＝k 2π2＋π6，k 2∈Z ，故选D.二、填空题(把答案填在题中横线上)13．函数y ＝12sin x ＋32cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的单调递增区间是________．解析：y ＝12sin x ＋32cos x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的单调递增区间即为0≤x ＋π3≤π2与x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的交集，所以单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π614．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.若y ＝f (x －φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜φ＜π2是偶函数，则φ＝________.解析：利用偶函数定义求解．y ＝f (x －φ)＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －φ＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2φ＋π6是偶函数，所以－2φ＋π6＝π2＋k π，k ∈Z ，得φ＝－π6－k π2，k ∈Z .又0＜φ＜π2，所以k ＝－1，φ＝π3.答案：π315．将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4(ω＞0)的图象分别向左、向右各平移π4个单位长度后，所得的两个图象对称轴重合，则ω的最小值为________．解析：将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4，ω＞0的图象向左平移π4个单位后得到图象的解析式为y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ωx ＋ω－1π4，ω＞0，向右平移π4个单位后得到图象的解析式为y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ωx －ω＋1π4，ω＞0.因为平移后的对称轴重合，所以ωx ＋ω－1π4＝ωx －ω＋1π4＋k π，k ∈Z ，化简得ω＝2k ，k ∈Z ，又ω＞0，所以ω的最小值为2.答案：216．已知函数f (x )＝cos x sin 2x ，下列结论中正确的是________(填入正确结论的序号)． ①y ＝f (x )的图象关于点(2π，0)中心对称； ②y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π对称； ③f (x )的最大值为32； ④f (x )既是奇函数，又是周期函数．解析：依题意，对于①，f (4π－x )＝cos(4π－x )·sin[2(4π－x )]＝－cos x ·sin 2x ＝－f (x )，因此函数y ＝f (x )的图象关于点(2π，0)中心对称，①正确；对于②，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝22，f ⎝⎛⎭⎪⎫2π－π4＝－22，因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π4≠f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，函数y ＝f (x )的图象不关于直线x ＝π对称，②不正确；对于③，f (x )＝2sin x cos 2x ＝2(sin x －sin 3x )； 令t ＝sin x ，则y ＝2(t －t 3)，t ∈[－1,1]，y ′＝2(1－3t 2)，当－33＜t ＜33时，y ′＞0；当－1≤t ＜－33或33＜t ≤1时，y ′＜0，因此函数y ＝2(t －t 3)在[－1,1]上的最大值是 y ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤33－⎝ ⎛⎭⎪⎫333＝439，即函数f (x )的最大值是439，③不正确；对于④，f (－x )＝－f (x )，且f (2π＋x )＝2sin(2π＋x )cos 2(2π＋x )＝2sin x cos 2x ＝f (x )，因此函数f (x )既是奇函数，又是周期函数，④正确．综上所述，其中正确的结论是①④. 答案：①④。

第二讲函数的图象与性质年份卷别考查角度及命题位置命题分析2018Ⅱ卷函数图象的识别·T3 1.高考对此部分内容的命题多集中于函数的概念、函数的性质及分段函数等方面，多以选择、填空题形式考查，一般出现在第5～10或第13～15题的位置上，难度一般．主要考查函数的定义域，分段函数求值或分段函数中参数的求解及函数图象的判断．2.此部分内容有时出现在选择、填空题压轴题的位置，多与导数、不等式、创新性问题结合命题，难度较大.函数奇偶性、周期性的应用·T11Ⅲ卷函数图象的识别·T72017Ⅰ卷函数单调性、奇偶性与不等式解法·T5Ⅲ卷分段函数与不等式解法·T152016Ⅰ卷函数的图象判断·T7Ⅱ卷函数图象的对称性·T12函数及其表示授课提示：对应学生用书第5页[悟通——方法结论]求解函数的定义域时要注意三式——分式、根式、对数式，分式中的分母不为零，偶次方根中的被开方数非负，对数的真数大于零．底数大于零且不大于1．解决此类问题的关键在于准确列出不等式(或不等式组)，求解即可．确定条件时应先看整体，后看部分，约束条件一个也不能少．[全练——快速解答]1．(2016·高考全国卷Ⅱ)以下函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lg x的定义域和值域相同的是( )A．y＝x B．y＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝1x解析：函数y ＝10lg x的定义域与值域均为(0，＋∞)．结合选项知，只有函数y ＝1x的定义域与值域均为(0，＋∞)．应选D.答案：D2．(2018·某某名校联考)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x －4)，x >2，e x，－2≤x ≤2，f (－x )，x <－2，那么f (－2 017)＝( )A ．1B ．eC ．1eD ．e 2解析：由题意f (－2 017)＝f (2 017)，当x ＞2时，4是函数f (x )的周期，所以f (2 017)＝f (1＋4×504)＝f (1)＝e.答案：B3．函数f (x )＝x －1ln (1－ln x )的定义域为________．解析：由函数解析式可知，x 需满足⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥01－ln x >0x >01－ln x ≠1，解得1<xf (x )＝x －1ln (1－ln x )的定义域为(1，e)．答案：(1，e)4．(2017·高考全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x，x >0，那么满足f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12>1的x 的取值X 围是__________．解析： 当x ≤0时，原不等式为x ＋1＋x ＋12>1，解得x >－14，∴－14<x ≤0.当0<x ≤12时，原不等式为2x＋x ＋12>1，显然成立．当x >12时，原不等式为2x＋2x －12>1，显然成立．综上可知，x 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准那么，列出不等式或不等式组，然后求出解集即可．2．分段函数问题的5种常见类型及解题策略 常见类型 解题策略求函数值弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套〞的函数值，要从最内层逐层往外计算求函数最值 分别求出每个区间上的最值，然后比较大小解不等式根据分段函数中自变量取值X 围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值X 围的大前提求参数 “分段处理〞，采用代入法列出各区间上的方程利用函数性质求值必须依据条件找到函数满足的性质，利用该性质求解函数图象及应用授课提示：对应学生用书第5页[悟通——方法结论]1．作函数图象有两种基本方法：一是描点法、二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换等．2．利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点．(1)(2017·高考全国卷Ⅰ)函数y ＝sin 2x1－cos x的部分图象大致为( )解析：令函数f (x )＝sin 2x 1－cos x ，其定义域为{x |x ≠2k π，k ∈Z }，又f (－x )＝sin (－2x )1－cos (－x )＝－sin 2x 1－cos x ＝－f (x )，所以f (x )＝sin 2x1－cos x 为奇函数，其图象关于原点对称，故排除B ；因为f (1)＝sin 2 1－cos 1>0，f (π)＝sin 2π1－cos π＝0，故排除A 、D ，选C.答案：C(2)(2017·高考全国卷Ⅲ)函数y ＝1＋x ＋sin xx2的部分图象大致为( )解析：法一：易知函数g (x )＝x ＋sin xx2是奇函数，其函数图象关于原点对称，所以函数y ＝1＋x ＋sin xx2的图象只需把g (x )的图象向上平移一个单位长度，结合选项知选D.法二：当x →＋∞时，sin x x 2→0,1＋x →＋∞，y ＝1＋x ＋sin xx2→＋∞，故排除选项B.当0<x <π2时，y ＝1＋x ＋sin xx2>0，故排除选项A 、C.选D.答案：D由函数解析式识别函数图象的策略[练通——即学即用]1．(2018·高考全国卷Ⅲ)函数y ＝－x 4＋x 2＋2的图象大致为( )解析：法一：ƒ′(x )＝－4x 3＋2x ，那么ƒ′(x )＞0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－22∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22，ƒ(x )单调递增；ƒ′(x )＜0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞，ƒ(x )单调递减． 应选D.法二：当x ＝1时，y ＝2，所以排除A ，B 选项．当x ＝0时，y ＝2，而当x ＝12时，y ＝－116＋14＋2＝2316＞2，所以排除C 选项．应选D. 答案：D 2．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫21＋e x －1cos x 的图象的大致形状是( )解析：∵f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫21＋e x －1cos x ，∴f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋e －x －1cos(－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋e x －1cosx ＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数，其图象关于原点对称，可排除选项A ，C ，又当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，e x >e 0＝1，21＋ex －1<0，cos x >0，∴f (x )<0，可排除选项D ，应选B.答案：B3．(2018·某某调研)函数f (x )的图象如下图，那么f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝ln|x |xB ．f (x )＝e xxC ．f (x )＝1x2－1D ．f (x )＝x －1x解析：由函数图象可知，函数f (xf (x )＝x －1x，那么当x →＋∞时，f (x )→＋∞，排除D ，应选A.答案：A函数的性质及应用授课提示：对应学生用书第6页[悟通——方法结论]1．判断函数单调性的一般规律对于选择、填空题，假设能画出图象，一般用数形结合法；而对于由基本初等函数通过加、减运算或复合运算而成的函数常转化为基本初等函数单调性的判断问题；对于解析式为分式、指数函数式、对数函数式等较复杂的函数，用导数法；对于抽象函数，一般用定义法．2．函数的奇偶性(1)确定函数的奇偶性，务必先判断函数的定义域是否关于原点对称．(2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称．3．记住几个周期性结论(1)假设函数f(x)满足f(x＋a)＝－f(x)(a>0)，那么f(x)为周期函数，且2a是它的一个周期．(2)假设函数f(x)满足f(x＋a)＝1f(x)(a>0)，那么f(x)为周期函数，且2a是它的一个周期．(1)(2017·高考全国卷Ⅱ)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是( )A．(－∞，－2) B．(－∞，1)C．(1，＋∞)D．(4，＋∞)解析：由x2－2x－8>0，得x>4或x<－2.因此，函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的定义域是(－∞，－2)∪(4，＋∞)．注意到函数y＝x2－2x－8在(4，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性知，f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(4，＋∞)．答案：D(2)(2017·高考全国卷Ⅰ)函数f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．假设f(1)＝－1，那么满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值X围是( )A．[－2,2] B．[－1,1]C．[0,4] D．[1,3]解析：∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．∵f(1)＝－1，∴f(－1)＝－f(1)＝1.故由－1≤f(x－2)≤1，得f(1)≤f(x－2)≤f(－1)．又f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，∴－1≤x－2≤1，∴1≤x≤3.答案：D(3)(2018·高考全国卷Ⅲ)函数ƒ(x )＝ln(1＋x 2－x )＋1，ƒ(a )＝4，那么ƒ(－a )＝________.解析：∵ƒ(x )＋ƒ(－x )＝ln(1＋x 2－x )＋1＋ln(1＋x 2＋x )＋1＝ln(1＋x 2－x 2)＋2＝2，∴ƒ(a )＋ƒ(－a )＝2，∴ƒ(－a )＝－2. 答案：－21．掌握判断函数单调性的常用方法数形结合法、结论法(“增＋增〞得增、“减＋减〞得减及复合函数的“同增异减〞)、定义法和导数法．2．熟知函数奇偶性的3个特点(1)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称． (2)确定函数的奇偶性，务必先判断函数的定义域是否关于原点对称． (3)对于偶函数而言，有f (－x )＝f (x )＝f (|x |)．3．周期性：利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在区间上的问题，转化到区间上求解．4．注意数形结合思想的应用．[练通——即学即用]1．(2018·某某模拟)以下函数中，既是奇函数又在(0，＋∞)上单调递增的是( ) A ．y ＝e x＋e －xB ．y ＝ln(|x |＋1)C ．y ＝sin x |x |D ．y ＝x －1x解析：选项A 、B 显然是偶函数，排除；选项C 是奇函数，但在(0，＋∞)上不是单调递增函数，不符合题意；选项D 中，y ＝x －1x 是奇函数，且y ＝x 和y ＝－1x在(0，＋∞)上均为增函数，故y ＝x －1x在(0，＋∞)上为增函数，所以选项D 正确．答案：D2．(2018·某某八中摸底)函数y ＝f (x )在区间[0,2]上单调递增，且函数f (x ＋2)是偶函数，那么以下结论成立的是( )A ．f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (1)D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72 解析：因为函数f (x ＋2)是偶函数， 所以f (x ＋2)＝f (－x ＋2)， 即函数f (x )的图象关于x ＝2对称． 又因为函数y ＝f (x )在[0,2]上单调递增， 所以函数y ＝f (x )在区间[2,4]上单调递减． 因为f (1)＝f (3)，72>3>52，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (3)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52， 即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52. 答案：B授课提示：对应学生用书第116页一、选择题1．以下四个函数： ①y ＝3－x ；②y ＝2x －1(x >0)；③y ＝x 2＋2x －10；④y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x ≤0)，1x(x >0).其中定义域与值域相同的函数的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：①y ＝3－x 的定义域和值域均为R ，②y ＝2x －1(x >0)的定义域为(0，＋∞)，值域为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，③y ＝x 2＋2x －10的定义域为R ，值域为[－11，＋∞)，④y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x ≤0)，1x(x >0)的定义域和值域均为R ，所以定义域与值域相同的函数是①④，共有2个，应选B.答案：B2．设定义在R 上的奇函数y ＝f (x )满足对任意的x ∈R ，都有f (x )＝f (1－x )，且当x ∈[0，12]时，f (x )＝(x ＋1)，那么f (3)＋f (－32)的值为( )A ．0B ．1C ．－1D ．2解析：由于函数f (x )是奇函数，所以f (x )＝f (1－x )⇒f (x )＝－f (x ＋1)⇒f (x ＋1)＝－f (x )⇒f (x ＋2)＝f (x )，所以f (3)＝f (1)＝f (1－1)＝f (0)＝0，f (－32)＝f (12)＝32f (3)＋f (－32)＝－1.答案：C3．函数f (x )＝1＋ln ()x 2＋2的图象大致是( )解析：因为f (0)＝1＋ln 2>0，即函数f (x )的图象过点(0，ln 2)，所以排除A 、B 、C ，选D.答案：D4．(2017·高考某某卷)奇函数f (x )在R 上是增函数，g (x )＝xf (x )．假设a ＝g (－log 2 5.1)，b ＝g (2)，c ＝g (3)，那么a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．b <a <cD ．b <c <a解析：奇函数f (x )在R 上是增函数，当x >0时，f (x )>f (0)＝0，当x 1>x 2>0时，f (x 1)>f (x 2)>0，∴x 1f (x 1)>x 2f (x 2)，∴g (x )在(0，＋∞)上单调递增，且g (x )＝xf (x )是偶函数，∴a ＝g (－log 2 5.1)＝g (log 2 5.1)．易知2<log 2 5.1<3,1<2<2，由g (x )在(0，＋∞)上单调递增，得g (2)<g (log 2 5.1)<g (3)，∴b <a <c ，应选C.答案：C5．(2018·某某模拟)函数f (x )＝e xx 的图象大致为( )解析：由f (x )＝e x x ，可得f ′(x )＝x e x －e x x 2＝(x －1)e x x2， 那么当x ∈(－∞，0)和x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．又当x <0时，f (x )<0，应选B.答案：B6．定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，那么( )A ．f (－25)<f (11)<f (80)B ．f (80)<f (11)<f (－25)C ．f (11)<f (80)<f (－25)D ．f (－25)<f (80)<f (11)解析：因为f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (x －8)＝f (x )，所以函数f (x )是以8为周期的周期函数，那么f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)．由f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x －4)＝－f (x )，得f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)．因为f (x )在区间[0,2]上是增函数，f (x )在R 上是奇函数，所以f (x )在区间[－2,2]上是增函数，所以f (－1)<f (0)<f (1)，即f (－25)<f (80)<f (11)．答案：D7．(2018·某某模拟)函数f (x )＝ex －1＋4x －4，g (x )＝ln x －1x ，假设f (x 1)＝g (x 2)＝0，那么( )A ．0<g (x 1)<f (x 2)B ．f (x 2)<g (x 1)<0C ．f (x 2)<0<g (x 1)D ．g (x 1)<0<f (x 2) 解析：易知f (x )＝e x －1＋4x －4，g (x )＝ln x －1x在各自的定义域内是增函数，而f (0)＝e －1＋0－4＝1e －4<0，f (1)＝e 0＋4×1－4＝1>0，g (1)＝ln 1－11＝－1<0，g (2)＝ln 2－12＝ln 2e f (x 1)＝g (x 2)＝0，所以0<x 1<1,1<x 2<2，所以f (x 2)>f (1)>0，g (x 1)<g (1)<0，故g (x 1)<0<f (x 2)．答案：D8．函数f (x )＝(x 2－2x )·sin(x －1)＋x ＋1在[－1,3]上的最大值为M ，最小值为m ，那么M ＋m ＝( )A ．4B ．2C ．1D ．0 解析：f (x )＝[(x －1)2－1]sin(x －1)＋x －1＋2，令t ＝x －1，g (t)＝(t 2－1)sin t ＋t ，那么y ＝f (x )＝g (t)＋2，t ∈[－2,2]．显然M ＝g (t)max ＋2，m ＝g (t)min ＋2.又g (t)为奇函数，那么g (t)max ＋g (t)min ＝0，所以M ＋m ＝4，应选A.答案：A9．g (x )是定义在R 上的奇函数，且当x <0时，g (x )＝－ln(1－x )，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 3，x ≤0，g (x )，x >0，假设f (2－x 2)>f (x )，那么x 的取值X 围是( ) A ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)B ．(－∞，1)∪(2，＋∞)C ．(－2,1)D ．(1,2)解析：因为g (x )是定义在R 上的奇函数，且当x <0时，g (x )＝－ln(1－x )，所以当x >0时，－x <0，g (－x )＝－ln(1＋x )，即当x >0时，g (x )＝ln(1＋x )，那么函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 3，x ≤0，ln (1＋x )，x >0，作出函数f (x )的图象，如图：由图象可知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 3，x ≤0，ln (1＋x )，x >0在(－∞，＋∞)上单调递增． 因为f (2－x 2)>f (x )，所以2－x 2>x ，解得－2<x <1，应选C.答案：C10．(2018·高考全国卷Ⅱ)ƒ(x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足ƒ(1－x )＝ƒ(1＋x )．假设ƒ(1)＝2，那么ƒ(1)＋ƒ(2)＋ƒ(3)＋…＋ƒ(50)＝( )A ．－50B ．0C ．2D ．50解析：∵ƒ(x )是奇函数，∴ƒ(－x )＝－ƒ(x )，∴ƒ(1－x )＝－ƒ(x －1)．由ƒ(1－x )＝ƒ(1＋x )，∴－ƒ(x －1)＝ƒ(x ＋1)，∴ƒ(x ＋2)＝－ƒ(x )，∴ƒ(x ＋4)＝－ƒ(x ＋2)＝－[－ƒ(x )]＝ƒ(x )，∴函数ƒ(x )是周期为4的周期函数．由ƒ(x )为奇函数得ƒ(0)＝0.又∵ƒ(1－x )＝ƒ(1＋x )，∴ƒ(x )的图象关于直线x ＝1对称，∴ƒ(2)＝ƒ(0)＝0，∴ƒ(－2)＝0.又ƒ(1)＝2，∴ƒ(－1)＝－2，∴ƒ(1)＋ƒ(2)＋ƒ(3)＋ƒ(4)＝ƒ(1)＋ƒ(2)＋ƒ(－1)＋ƒ(0)＝2＋0－2＋0＝0，∴ƒ(1)＋ƒ(2)＋ƒ(3)＋ƒ(4)＋…＋ƒ(49)＋ƒ(50)＝0×12＋ƒ(49)＋ƒ(50)＝ƒ(1)＋ƒ(2)＝2＋0＝2.应选C.答案：C11．定义在R 上的函数f (x )对任意0<x 2<x 1都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<1，且函数y ＝f (x )的图象关于原点对称，假设f (2)＝2，那么不等式f (x )－x >0的解集是( )A ．(－2,0)∪(0,2)B ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(0,2)D ．(－2,0)∪(2，＋∞) 解析：由f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<1， 可得[f (x 1)－x 1]－[f (x 2)－x 2]x 1－x 2<0.令F (x )＝f (x )－x ，由题意知F (x )在(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数，又是奇函数，且F (2)＝0，F (－2)＝0，所以结合图象，令F (x )>0，得x <－2或0<x <2，应选C.答案：C12．(2018·某某三市联考)函数f (x )＝e |x |，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ e x ，x ≤4，4e 5－x ，x >4对任意的x ∈[1，m ](m >1)，都有f (x －2)≤g (x )，那么m 的取值X 围是( )A ．(1,2＋ln 2) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，72＋ln 2 C ．(ln 2,2] D.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，72＋ln 2 解析：作出函数y 1＝e |x －2|和y ＝g (x )的图象，如下图，由图可知当x＝1时，y 1＝g (1)，又当x ＝4时，y 1＝e 2<g (4)＝4e ，当x >4时，由ex －2≤4e 5－x ，得e 2x －7≤4，即2x －7≤ln 4，解得x ≤72＋ln 2，又m >1，∴1<m ≤72＋ln 2.答案：D二、填空题13．设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝________.解析：由题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－12. 答案：－1214．假设函数f (x )＝x (x －1)(x ＋a )为奇函数，那么a ＝________.解析：法一：因为函数f (x )＝x (x －1)(x ＋a )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )对x ∈R 恒成立，所以－x ·(－x －1)(－x ＋a )＝－x (x －1)(x ＋a )对x ∈R 恒成立，所以x (a －1)＝0对x ∈R 恒成立，所以a ＝1.法二：因为函数f (x )＝x (x －1)(x ＋a )为奇函数，所以f (－1)＝－f (1)，所以－1×(－1－1)×(－1＋a )＝－1×(1－1)×(1＋a )，解得a ＝1.答案：115．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ (1－2a )x ＋3a ，x <1，2x －1，x ≥1的值域为R ，那么实数a 的取值X 围是________．解析： 当x ≥1时，f (x )＝2x －1≥1，∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ (1－2a )x ＋3a ，x <1，2x －1，x ≥1的值域为R ，∴当x <1时，(1－2a )x ＋3a 必须取遍(－∞，1)内的所有实数，那么⎩⎪⎨⎪⎧ 1－2a >0，1－2a ＋3a ≥1，解得0≤a ＜12. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12 16．如图放置的边长为1的正方形PABC 沿x 轴滚动，点B 恰好经过原点，设顶点P (x ，y )的轨迹方程是y ＝f (x )，那么对函数y ＝f (x )有以下判断：①函数y ＝f (x )是偶函数；②对任意的x ∈R ，都有f (x ＋2)＝f (x －2)；③函数y ＝f (x )在区间[2,3]上单调递减；④函数y ＝f (x )在区间[4,6]上是减函数．其中判断正确的序号是________．解析：如图，从函数y ＝f (x )的图象可以判断出，图象关于y 轴对称，每4个单位图象重复出现一次，在区间[2,3]上，随x 增大，图象是往上的，在区间[4,6]上图象是往下的，所以①②④正确，③错误．答案：①②④。

小题分类练(一) 概念辨析类一、选择题1．若复数z ＝1＋i1＋a i 为纯虚数，则实数a 的值为( )A ．1B ．0C ．－12D ．－12．(2019·昆明市诊断测试)函数y ＝sin(2x －π3)的图象的一条对称轴的方程为( )A ．x ＝π12B ．x ＝π6C ．x ＝π3D ．x ＝5π123．已知a ∈R ，设函数f (x )＝ax －ln x 的图象在点(1，f (1))处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为( )A ．1－aB ．1C ．a －1D ．－14．若幂函数f (x )＝(m 2－2m ＋1)x 2m －1在(0，＋∞)上为增函数，则实数m 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．0或25．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．为了研究某城市2016年的空气质量情况，省环保局从全年的监测数据中随机抽取了30天进行统计，得到茎叶图如图所示，则该样本的中位数、众数、极差分别是( )A ．76，75，56B ．76，75，53C ．77，75，56D ．75，77，536．已知函数f (x )＝a －2xa ＋2x(a ∈R )是定义域上的奇函数，则f (a )的值等于( )A ．－13B ．3C ．－13或3D.13或37．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝Aq n＋B (q ≠0)，则“A ＝－B ”是“数列{a n }是等比数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知a ＝(1，3)，b ＝(m ，4)，若a 与b 的夹角为锐角，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，－12) B ．(－12，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，34∪⎝ ⎛⎭⎪⎫34，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，43∪⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞ 9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2|x －3|，x ≠3，a ，x ＝3，若函数y ＝f (x )－4有3个零点，则实数a 的值为( )A ．－2B ．0C ．2D ．410．椭圆x 24＋y 23＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点A ，B ，当△FAB 的周长最大时，△FAB 的面积是( )A.12B.13 C ．2D ．311．(多选)在下列四组函数中，f (x )与g (x )表示同一函数的是( )A ．f (x )＝x －1，g (x )＝x 2－1x ＋1B ．f (x )＝|x ＋1|，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥－1，－1－x ，x ＜－1C ．f (x )＝1，g (x )＝(x ＋1)0D ．f (x )＝（x ）2x，g (x )＝x（x ）212．(多选)设O 是平行四边形ABCD 的两条对角线AC ，BD 的交点，则可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的向量组是( )A.AD →与AB →B.DA →与BC →C.CA →与DC →D.OD →与OB →13．(多选)已知定义：在数列{a n }中，若a 2n －a 2n －1＝p (n ≥2，n ∈N *，p 为常数)，则称{a n }为等方差数列．下列命题正确的是( )A ．若{a n }是等方差数列，则{a 2n }是等差数列 B ．{(－1)n}是等方差数列C ．若{a n }是等方差数列，则{a kn }(k ∈N *，k 为常数)不可能是等方差数列 D ．若{a n }既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列 二、填空题14．设向量a ＝(m ，1)，b ＝(1，m )，如果向量a 与b 共线且方向相反，则m 的值为________． 15．在等比数列{a n }中，a 1＝2，前n 项和为S n ，若数列{a n ＋1}也是等比数列，则S n ＝________．16．已知样本数据a 1，a 2，…，a 2 018的方差是4，如果有b i ＝a i －2(i ＝1，2，…，2 018)，那么数据b 1，b 2，…，b 2 018的标准差为________．17．(2019·安徽黄山模拟改编)已知角θ的终边经过点P (－x ，－6)，且cos θ＝－513，则sin θ＝________，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝________．小题分类练小题分类练(一) 概念辨析类1．解析：选D.因为z 为纯虚数，所以可令z ＝1＋i1＋a i＝m i(m ∈R ，m ≠0)，则1＋i ＝m i －ma ，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，－ma ＝1，解得a ＝－1，故选D.2．解析：选D.由题意，令2x －π3＝π2＋k π(k ∈Z )，得对称轴方程为x ＝5π12＋k π2(k ∈Z )，当k ＝0时，函数y ＝sin(2x －π3)的图象的一条对称轴的方程为x ＝5π12.故选D.3．解析：选B.函数f (x )＝ax －ln x 的导数为f ′(x )＝a －1x，所以图象在点(1，f (1))处的切线斜率为a －1，又f (1)＝a ，所以切线方程为y －a ＝(a －1)(x －1)，令x ＝0，可得y ＝1，故选B.4．解析：选C.因为f (x )是幂函数，所以m 2－2m ＋1＝1，且2m －1≠0，解得m ＝0或2，又当m ＝0时，f (x )＝x －1在(0，＋∞)上为减函数，不合题意；当m ＝2时，f (x )＝x 3在(0，＋∞)上为增函数，符合题意．故选C.5．解析：选A.由茎叶图得，最中间的两个数是75，77，故中位数是75＋772＝76，众数是75，最小值是42，最大值是98，故极差是98－42＝56.故选A.6．解析：选C.因为函数f (x )＝a －2x a ＋2x 为奇函数，所以f (－x )＝a －2－x a ＋2－x ＝－a －2xa ＋2x＝－f (x )，解得a ＝±1.当a ＝1时，f (x )＝1－2x1＋2x ，所以f (a )＝f (1)＝－13；当a ＝－1时，f (x )＝－1－2x－1＋2x＝1＋2x1－2x ，所以f (a )＝f (－1)＝3.综上，f (a )＝－13或f (a )＝3，故选C. 7．解析：选B.充分性：若A ＝B ＝0，则S n ＝0，数列{a n }不是等比数列，所以充分性不成立；必要性：当数列{a n }是等比数列时，a n ＝S n －S n －1＝A (q －1)qn －1(q ≠1)，所以a 1＝Aq －A ，S 1＝Aq ＋B ，则A ＝－B ，所以必要性成立．8．解析：选D.因为a ＝(1，3)，b ＝(m ，4)，令a ·b >0，则m ＋12>0，得m >－12，当a ∥b 时，解得m ＝43，即实数m 的取值范围是m >－12且m ≠43，故选D.9．解析：选D.因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2|x －3|，x ≠3，a ，x ＝3，所以f (x )－4＝⎩⎪⎨⎪⎧2|x －3|－4，x ≠3，a －4，x ＝3，若x ≠3，则由2|x －3|－4＝0，得x ＝52或x ＝72；因为函数y ＝f (x )－4有3个零点，所以x ＝3也是f (x )－4＝0的根，即a －4＝0，a ＝4.故选D.10．解析：选D.设椭圆的右焦点为E .如图，由椭圆的定义得△FAB 的周长为|AB |＋|AF |＋|BF |＝|AB |＋(2a －|AE |)＋(2a －|BE |)＝4a ＋|AB |－|AE |－|BE |，因为|AE |＋|BE |≥|AB |，所以|AB |－|AE |－|BE |≤0，当|AB |过点E 时取等号，所以|AB |＋|AF |＋|BF |＝4a ＋|AB |－|AE |－|BE |≤4a ，即直线x ＝m 过椭圆的右焦点E 时△FAB 的周长最大，此时△FAB 的高为|EF |＝2，直线x ＝m ＝c ＝1，把x ＝1代入椭圆x 24＋y 23＝1中得y ＝±32，所以|AB |＝3，即△FAB 的面积S △FAB ＝12×3×|EF |＝12×3×2＝3，故选D.11．解析：选BD.对于A ，函数f (x )的定义域为R ，g (x )的定义域为{x |x ≠－1}，f (x )与g (x )的定义域不相同，则不是同一函数；对于B ，函数f (x )的定义域为R ，g (x )的定义域为R ，f (x )与g (x )的定义域相同，f (x )＝|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥－1，－1－x ，x ＜－1，对应关系相同，则f (x )与g (x )是同一函数；对于C ，函数f (x )的定义域为R ，g (x )的定义域为{x |x ≠－1}，f (x )与g (x )的定义域不相同，则不是同一函数；对于D ，函数f (x )＝（x ）2x ＝1(x ＞0)，g (x )＝x（x ）2＝1(x ＞0)的定义域与对应法则均相同，是同一函数．故选BD.12．解析：选AC.平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底，如图：对于A ，AD →与AB →不共线，可作为基底； 对于B ，DA →和BC →为共线向量，不可作为基底； 对于C ，CA →与DC →是两个不共线的向量，可作为基底；对于D ，OD →与OB →在同一条直线上，是共线向量，不可作为基底．13．解析：选ABD.若{a n }是等方差数列，则a 2n －a 2n －1＝p ，故{a 2n }是等差数列，故A 正确；当a n ＝(－1)n 时，a 2n －a 2n －1＝(－1)2n －(－1)2(n －1)＝0，故B 正确；若{a n }是等方差数列，则由A知{a 2n }是等差数列，从而{a 2kn }(k ∈N *，k 为常数)是等差数列，设其公差为d ，则有a 2kn －a 2k （n －1）＝d .由定义知{a kn }是等方差数列，故C 不正确；若{a n }既是等方差数列，又是等差数列，则a 2n －a 2n －1＝p ，a n －a n －1＝d ，所以a 2n －a 2n －1＝(a n －a n －1)(a n ＋a n －1)＝d (a n ＋a n －1)＝p ，若d ≠0，则a n ＋a n －1＝p d .又a n －a n －1＝d ，解得a n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫p d ＋d ，{a n }为常数列；若d ＝0，该数列也为常数列，故D 正确．14．解析：因为a与b 共线且方向相反，由共线向量定理可设a ＝λb (λ＜0)，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＝λ，1＝λm ，解得m ＝±1，由于λ＜0，所以m ＝－1.答案：－115．解析：数列{a n }是等比数列，设公比为q ，则a n ＝2q n －1，又因为{a n ＋1}也是等比数列，则(a n ＋1＋1)2＝(a n ＋1)(a n ＋2＋1)，所以a 2n ＋1＋2a n ＋1＝a n a n ＋2＋a n ＋a n ＋2， 得到a n ＋a n ＋2＝2a n ＋1，即a n (1＋q 2－2q )＝0. 所以q ＝1，即a n ＝2，所以S n ＝2n .答案：2n16．解析：因为b i ＝a i －2(i ＝1，2，…，2 018)，所以数据b 1，b 2，…，b 2 018的方差和样本数据a 1，a 2，…，a 2 018的方差相等，均是4，所以数据b 1，b 2，…，b 2 018的标准差为2.答案：217．解析：由题知角θ的终边经过点P (－x ，－6)，所以cos θ＝－xx 2＋36＝－513，解得x ＝52，所以sin θ＝－6132＝－1213，tan θ＝－6－52＝125，所以tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝tan θ＋tanπ41－tan θtanπ4＝－177.答案：－1213 －177。

高三数学第二轮复习知识点高三学生即将面临着人生中最重要、最紧张的考试——高考。

而数学作为其中一门科目，在高考中具有举足轻重的地位。

为了帮助大家更好地复习数学，提高分数，下面将介绍高三数学第二轮复习的重要知识点。

一、函数与方程函数与方程是数学中最基础的概念之一。

在高考中，函数的概念和性质经常出现，并且与方程密切相关。

1. 函数的定义：函数是一个输入与输出之间的关系，即对于每一个输入，都有唯一的输出。

2. 函数的性质：包括奇偶性、周期性、单调性等。

要熟悉不同类型函数的图像特征。

3. 方程的解法：要掌握一元一次方程、一元二次方程及其根的性质，熟练运用因式分解、配方法、求根公式等方法解题。

二、向量与几何1. 向量的概念与性质：熟悉向量的定义、加减法、数量积、向量夹角等基本性质，还要了解向量与坐标、平移、旋转等几何关系。

2. 几何与解析几何的转化：能够灵活地在几何图形和解析几何之间转化，掌握几何意义下的向量运算。

三、三角与三角函数1. 三角函数的定义与性质：熟悉三角函数的定义及其周期性、奇偶性等基本性质。

要能够准确地绘制各个三角函数的图像。

2. 三角函数的应用：要能够熟练地运用三角函数解决各种与角度有关的问题，如三角方程、三角不等式等。

四、导数与微分1. 导数的定义：理解导数的定义，即函数在某一点的切线斜率。

2. 导数的性质：了解导数的性质，如可导必连续、导数的运算法则等。

3. 微分的概念与应用：理解微分的概念，能够应用微分解决实际问题，如求函数的最值、曲线的切线方程等。

五、概率与统计1. 概率的基本概念：理解事件、样本空间、随机事件、概率等基本概念。

2. 概率的计算：掌握加法原理、乘法原理、全概率公式等概率计算的方法。

3. 统计分析：学会收集、整理、分析数据，掌握数据的分布特征及统计量的计算方法等。

这些是高三数学第二轮复习的主要知识点，掌握这些知识将为考生在高考中取得好成绩打下坚实的基础。

在复习过程中，我们需要注重巩固基础知识，多做一些题目进行练习。

2021年高考数学二轮复习第一篇求准提速基础小题不失分第7练基本初等函数练习文[明考情]基本初等函数是函数性质的载体，是高考的命题热点，多以选择题形式出现，中档难度，有时出现在选择或填空的最后一题. [知考向]1.幂、指数、对数的运算与大小比较.2.基本初等函数的性质.3.分段函数.4.基本初等函数的综合应用.考点一 幂、指数、对数的运算与大小比较 方法技巧 幂、指数、对数的大小比较方法 (1)单调性法.(2)中间值法.1.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x，x ＜0，f x －1＋1，x ≥0，则f (2 016)等于( )A.2 014B.4 0292C.2 015D.4 0352答案 D解析 f (2 016)＝f (2 015)＋1＝…＝f (0)＋2 016＝f (－1)＋2 017＝2－1＋2 017＝4 0352.2.(xx·全国Ⅲ)已知a ＝，b ＝，c ＝，则( ) A.b <a <cB.a <b <cC.b <c <aD.c <a <b答案 A解析 因为a ＝，b ＝，由函数y ＝2x在R 上为增函数知b <a ；又因为a ＝＝，c ＝＝，由函数y ＝在(0，＋∞)上为增函数知a <c .综上得b <a <c .故选A.3.设12＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12a＜1，那么( )A.a a ＜a b ＜b aB.a a ＜b a ＜a bC.a b ＜a a ＜b aD.a b＜b a＜a a答案 C解析 由于指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x是减函数，由已知12＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＜1，得0＜a ＜b ＜1.当0＜a ＜1时，y ＝a x 为减函数，所以a b ＜a a ，排除A ，B ；又因为幂函数y ＝x a在第一象限内为增函数，所以a a ＜b a，故选C.4.(xx·浙江)已知a ＞b ＞1.若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a，则a ＝________，b ＝________.答案 4 2解析 设log b a ＝t ，则t ＞1，因为t ＋1t ＝52，解得t ＝2，所以a ＝b 2， ① 因此a b＝b a⇒b 2b＝，②解得b ＝2，a ＝4.5.已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a ＝f (log 47)，b ＝f ()，c ＝f (0.2－0.6)，则a ，b ，c 的大小关系是________.答案 c ＜b ＜a解析 ＝－log 23＝－log 49，b ＝f ()＝f (－log 49)＝f (log 49)，log 47＜log 49，0.2－0.6＝＝＝5125＞532＝2＞log 49，又f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，故f (x )在[0，＋∞)上是减函数，所以f (0.2－0.6)＜f ()＜f (log 47)，即c ＜b ＜a .考点二 基本初等函数的性质方法技巧 (1)指数函数的图象过定点(0，1)，对数函数的图象过定点(1，0).(2)应用指数函数、对数函数的单调性，要注意底数的范围，底数不同的尽量化成相同的底数. (3)解题时要注意把握函数的图象，利用图象研究函数的性质.6.已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，a ≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )A.a >1，c >1B.a >1，0<c <1C.0<a <1，c >1D.0<a <1，0<c <1 答案 D解析 由对数函数的性质得0＜a ＜1，因为函数y ＝log a (x ＋c )的图象在c ＞0时是由函数y ＝log a x 的图象向左平移c 个单位得到的，所以根据题中图象可知0＜c ＜1.故选D. 7.(xx·银川市兴庆区一模)设函数f (x )＝2x1＋2x －12，[x ]表示不超过x 的最大整数，则y ＝[f (x )]的值域是( ) A.{0，1} B.{0，－1} C.{－1，1} D.{1，1}答案 B解析 ∵f (x )＝12－12x ＋1，分析可得－12＜f (x )＜12，∴[f (x )]＝{0，－1}.8.(xx·全国Ⅱ)函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是( ) A.(－∞，－2) B.(－∞，1) C.(1，＋∞) D.(4，＋∞)答案 D解析 由x 2－2x －8＞0，得x ＞4或x ＜－2. 设t ＝x 2－2x －8，则y ＝ln t 为增函数.要求函数f (x )的单调递增区间，即求函数t ＝x 2－2x －8的单调递增区间. ∵函数t ＝x 2－2x －8的单调递增区间为(4，＋∞)， ∴函数f (x )的单调递增区间为(4，＋∞). 故选D.9.已知函数f (x )＝x －4＋9x ＋1，x ∈(0，4)，当x ＝a 时，f (x )取得最小值b ，则函数g (x )＝a |x +b |的图象为( )答案 A解析当x∈(0，4)时，f(x)＝x＋1＋9x＋1－5≥1(当且仅当x＝2时取等号)，∴a＝2，b＝1.∴g(x)＝2|x+1|的图象关于直线x＝－1对称，且在[－1，＋∞)上为增函数，故选A.10.(xx·钦州一模)已知函数f(x)＝|lg(x－1)|，若1＜a＜b且f(a)＝f(b)，则a＋2b的取值范围为( )A.(3＋22，＋∞)B.[3＋22，＋∞)C.(6，＋∞)D.[6，＋∞)答案 C解析由图象易知b＞2，1＜a＜2，∴－lg(a－1)＝lg(b－1)，则a＝bb－1，则a＋2b＝bb－1＋2b＝2b2－bb－1＝2(b－1)2＋3(b－1)＋1b－1＝2(b－1)＋1b－1＋3≥22＋3，当且仅当b＝22＋1时取等号.∵b＞2，∴a＋2b＝bb－1＋2b＞6.考点三分段函数方法技巧(1)分段函数求函数值：先范围，再代入.(2)分段函数在整个定义域上的单调性：一定要注意定义域的分界点处函数值的大小关系.11.(xx·山东)设f (x )＝⎩⎨⎧x ，0<x <1，2(x －1)，x ≥1，若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 等于( )A.2B.4C.6D.8 答案 C解析 若0＜a ＜1，由f (a )＝f (a ＋1)，得a ＝2(a ＋1－1)， ∴a ＝14，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝f (4)＝2×(4－1)＝6.若a ≥1，由f (a )＝f (a ＋1)，得2(a －1)＝2(a ＋1－1)，无解.综上，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a＝6.故选C.12.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋3，x ≤0，3－x ，x ＞0，则方程f (x )＋1＝0的实根的个数为( )A.0B.1C.2D.3 答案 C解析 依题意得当x ≤0时，x 2＋4x ＋3＋1＝0， 解得x ＝－2；当x ＞0时，3－x ＋1＝0，得x ＝4. 因此原方程的实根的个数是2.13.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2－x －14，x ≤1，log a x －1，x ＞1是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1 答案 B解析 由对数函数的定义，可得a ＞0，且a ≠1.又函数f (x )在R 上单调，而二次函数y ＝ax 2－x －14的图象开口向上，所以函数f (x )在R 上单调递减，故有⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，12a≥1，a ×12－1－14≥log a1－1，解得14≤a ≤12.14.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≥2，(x －1)3，x ＜2，若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是( )A.(－1，1)B.(0，1)C.(0，1]D.(－1，0) 答案 B解析 由题意知，函数f (x )＝2x在[2，＋∞)上是减函数，且0＜f (x )≤1，f (x )＝(x －1)3在(－∞，2)上是增函数，且f (x )＜1，若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则0＜k ＜1.15.(xx·全国Ⅲ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x，x >0，则满足f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12>1的x 的取值范围是___.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞ 解析 由题意知，可对不等式分x ≤0，0＜x ≤12，x ＞12三段讨论.当x ≤0时，原不等式为x ＋1＋x ＋12＞1，解得x ＞－14，∴－14＜x ≤0.当0＜x ≤12时，原不等式为2x＋x ＋12＞1，显然成立.当x ＞12时，原不等式为2x＋＞1，显然成立.综上可知，x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞. 考点四 基本初等函数的综合应用要点重组 函数y ＝a x和y ＝log a x (a ＞0，a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称.方法技巧 基本初等函数与不等式的交汇问题是高考的热点，突破此类问题在于准确把握函数的图象和性质.16.已知函数f (x )＝e x －1，g (x )＝－x 2＋4x －3，若存在f (a )＝g (b )，则实数b 的取值范围为( ) A.[1，3]B.(1，3)C.[2－2，2＋2]D.(2－2，2＋2)答案 D解析 函数f (x )＝e x －1的值域为(－1，＋∞)，g (x )＝－x 2＋4x －3的值域为(－∞，1]，若存在f (a )＝g (b )，则需g (b )＞－1，即－b 2＋4b －3＞－1，所以b 2－4b ＋2＜0，解得2－2＜b ＜2＋ 2.17.已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m |－1(m 为实数)为偶函数.记a ＝f (log 0.53)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( )A.a ＜b ＜cB.a ＜c ＜bC.c ＜a ＜bD.c ＜b ＜a 答案 C 解析 由f (x )＝2|x －m |－1是偶函数，得m ＝0，则f (x )＝2|x |－1.当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝2x－1单调递增，又a ＝f (log 0.53)＝f (|log 0.53|)＝f (log 23)，c ＝f (0)，且0＜log 23＜log 25，则f (0)＜f (log 23)＜f (log 25)， 即c ＜a ＜b ，故选C.18.设a ，b ，c 分别是方程2x＝，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝log 2x 的实数根，则( )A.c ＜b ＜aB.a ＜b ＜cC.b ＜a ＜cD.c ＜a ＜b答案 C解析 因为2a＝＞0，所以0＜a ＜1.因为⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＝＝－b ＞0，所以b ＜0.因为⎝ ⎛⎭⎪⎫12c ＝log 2c ＞0，所以1＜c ＜2.所以b ＜0＜a ＜1＜c . 19.已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋x x ，x ＜0，log x ，x ＞0，则f (x )≥－2的解集是( )A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－13∪[4，＋∞) B.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－13∪(0，4]C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－13，0∪[4，＋∞)D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－13，0∪(0，4] 答案 B解析 当x ＜0时，f (x )≥－2，即1＋x x ≥－2，可转化为1＋x ≤－2x ，得x ≤－13；当x ＞0时，f (x )≥－2，即≥－2，可转化为≥，解得0＜x ≤4. 综上可知不等式的解集为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－13∪(0，4]. 20.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x，x ≤0，且关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________. 答案 (1，＋∞)解析 画出函数y ＝f (x )与y ＝a －x 的图象如图所示，所以a >1.1.函数f (x )＝ax ＋b(x ＋c )2的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A.a >0，b >0，c <0B.a <0，b >0，c >0C.a <0，b >0，c <0D.a <0，b <0，c <0 答案 C解析 由f (x )＝ax ＋b (x ＋c )2及图象可知，x ≠－c ，－c ＞0，则c ＜0；当x ＝0时，f (0)＝bc 2＞0，所以b ＞0；当f (x )＝0时，ax ＋b ＝0，所以x ＝－ba＞0，所以a ＜0，故选C.2.如果函数y ＝a 2x＋2a x－1(a >0且a ≠1)在区间[－1，1]上的最大值是14，则a 的值为( ) A.13 B.1 C.3 D.13或3 答案 D解析 令a x＝t ，则y ＝a 2x＋2a x －1＝t 2＋2t －1＝(t ＋1)2－2.当a >1时，因为x ∈[－1，1]，所以t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a，a ，又函数y ＝(t ＋1)2－2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a，a 上单调递增，所以y max ＝(a ＋1)2－2＝14，解得a ＝3(负值舍去)；当0<a <1时，因为x ∈[－1，1]，所以t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a ，又函数y ＝(t ＋1)2－2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a 上单调递增，则y max ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12－2＝14，解得a ＝13(负值舍去).综上知a ＝3或a ＝13.3.已知函数f (x )＝log a 1－xb ＋x (0＜a ＜1)为奇函数，当x ∈(－1，a ]时，函数f (x )的值域为(－∞，1]，则实数a ＋b 的值为____________. 答案2解析 因为奇函数的定义域关于原点对称， 所以由1－x b ＋x ＞0，得－b ＜x ＜1，且b ＝1.所以f (x )＝log a 1－x1＋x(0＜a ＜1).又g (x )＝1－x x ＋1＝－1＋2x ＋1在(－1，a ]上单调递减，因为0＜a ＜1，所以f (x )在(－1，a ]上单调递增. 又因为函数f (x )的值域是(－∞，1]，故g (a )＝a ， 即a 2＋a ＝1－a ，解得a ＝2－1，所以a ＋b ＝ 2.4.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln (x ＋1)，x ＞0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是________.答案 [－2，0]解析 由y ＝|f (x )|的图象知，①当x ＞0时，只有当a ≤0时，才能满足|f (x )|≥ax . ②当x ≤0时，y ＝|f (x )|＝|－x 2＋2x |＝x 2－2x . 故由|f (x )|≥ax ，得x 2－2x ≥ax . 当x ＝0时，不等式为0≥0成立. 当x ＜0时，不等式等价于x －2≤a . 因为x －2＜－2，所以a ≥－2. 综上可知，a ∈[－2，0].解题秘籍 (1)基本初等函数的图象可根据特殊点及函数的性质进行判定.(2)与指数函数、对数函数有关的复合函数的性质，可使用换元法，解题中要优先考虑函数的定义域.(3)数形结合是解决方程不等式的重要工具，指数函数、对数函数的底数要讨论.1.函数f (x )＝a x＋log a (x ＋1)在[0，1]上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为( ) A.14 B.12 C.2 D.4 答案 B解析 当a ＞1时，由a ＋log a 2＋1＝a ，得log a 2＝－1，所以a ＝12，与a ＞1矛盾；当0＜a ＜1时，由1＋a ＋log a 2＝a ，得log a 2＝－1，所以a ＝12.2.已知实数a ，b 满足12＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫22b ＞14，则( )A.b ＜2b －aB.b ＞2b －aC.a ＜b －aD.a ＞b －a答案 B解析 ∵12＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫22b ＝＞14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122，∴1＜a ＜b2＜2， ∴b 2－4(b －a )＝b 2－4b ＋4a ＞b 2－4b ＋4≥0，∴b 2＞4(b －a )，∴b ＞2b －a ，故选B.3.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 2x －1，x ＞0，f (2－x )，x ≤0，则f (0)等于( )A.－1B.0C.1D.3答案 B解析 f (0)＝f (2－0)＝log 22－1＝1－1＝0.4.(xx·揭东区校级月考)函数y ＝(0≤x ＜3)的值域是( )A.(0，1]B.(e －3，e] C.[e －3，1]D.[1，e] 答案 B解析 ∵y ＝＝(0≤x ＜3)，当0≤x ＜3时，－3＜－(x －1)2＋1≤1，∴e －3＜≤e 1，即e －3＜y ≤e，∴函数y 的值域是(e －3，e].5.(xx·河东区模拟)函数f (x )＝|x －2|－ln x 在定义域内零点的个数为( )A.0B.1C.2D.3答案 C解析 由题意，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，由函数零点的定义，f (x )在(0，＋∞)内的零点即是方程|x －2|－ln x ＝0的根.令y 1＝|x －2|，y 2＝ln x (x ＞0)，在一个坐标系中画出两个函数的图象.由图得两个函数图象有两个交点，故方程有两个根，即对应函数有两个零点.6.已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ (x －a )2，x ≤0，x ＋1x＋a ，x ＞0，若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围为( ) A.[－1，2]B.[－1，0]C.[1，2]D.[0，2] 答案 D解析 当x ＞0时，f (x )＝x ＋1x＋a 在x ＝1时取得最小值2＋a ，由题意知当x ≤0时，f (x )＝(x－a )2应该是递减的，则a ≥0，此时最小值为f (0)＝a 2，因此a 2≤a ＋2，解得0≤a ≤2，故选D.7.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ e x ＋a ，x ≤0，2x －1，x ＞0(a ∈R )，若函数f (x )在R 上有两个零点，则a 的取值范围是( )A.(－∞，－1)B.(－∞，0)C.(－1，0)D.[－1，0) 答案 D解析 当x ＞0时，f (x )＝2x －1.令f (x )＝0，解得x ＝12；当x ≤0时，f (x )＝e x ＋a ，此时函数f (x )＝e x ＋a 在(－∞，0]上有且仅有一个零点，等价转化为方程e x ＝－a 在(－∞，0]上有且仅有一个实根，而函数y ＝e x 在(－∞，0]上的值域为(0，1]，所以0＜－a ≤1，解得－1≤a ＜0.故选D.8.(xx·武汉模拟)若函数f (x )＝a e x －x －2a 有两个零点，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，1e B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e C.(－∞，0)D.(0，＋∞) 答案 D解析 函数f (x )＝a e x －x －2a 的导函数f ′(x )＝a e x －1，当a ≤0时，f ′(x )≤0恒成立，函数f (x )在R 上单调，不可能有两个零点；当a ＞0时，令f ′(x )＝0，得x ＝ln 1a ，函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，ln 1a 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1a ，＋∞上单调递增，∴f (x )的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1a ＝1－ln 1a－2a ＝1＋ln a －2a . 令g (a )＝1＋ln a －2a (a ＞0)，则g ′(a )＝1a－2. 当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，g (a )单调递增， 当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞时，g (a )单调递减， ∴g (a )max ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－ln 2＜0， ∴f (x )的最小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1a ＜0，函数f (x )＝a e x －x －2a 有两个零点. 综上，实数a 的取值范围是(0，＋∞).9.已知幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)(n ∈Z )的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，那么n 的值为__________.答案 1解析 由于f (x )为幂函数，所以n 2＋2n －2＝1，解得n ＝1或n ＝－3，经检验，只有n ＝1符合题意.10.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1，x ＞0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________.答案 (0，1)解析 画出f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1，x ＞0，－x 2－2x ，x ≤0的图象，如图，由于函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，结合图象得0＜m ＜1，即m ∈(0，1).11.已知f (x )＝ax －1 980，g (x )＝ln x a (a ∈R )，若在x ∈N *上恒有f (x )g (x )≥0，则实数a 的取值范围是__________.答案 [44，45]解析 由x ∈N *，x a >0⇒a >0，两函数零点为1 980a ，a ，由题意得两零点之间无正整数，因为44×45＝1 980，所以当0<a <44时，1 980a>45，不满足题意； 当a >45时，0<1 980a<44，不满足题意； 当44≤a ≤45时，44≤1 980a≤45，满足题意. 12.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ，x ≤0，log 2x ，x ＞0，则函数y ＝f (f (x ))－1的零点个数为________.答案 2解析 ①当x ≤0时，y ＝f (f (x ))－1＝f (2x )－1＝log 22x－1＝x －1，令x －1＝0，则x ＝1，显然与x ≤0矛盾，所以当x ≤0时，y ＝f (f (x ))－1无零点.②当x＞0时，分两种情况：当x＞1时，log2x＞0，y＝f(f(x))－1＝f(log2x)－1＝log2(log2x)－1，令log2(log2x)－1＝0，得log2x＝2，解得x＝4；当0＜x≤1时，log2x≤0，y＝f(f(x))－1＝f(log2x)－1＝－1＝x－1，令x－1＝0，解得x＝1.综上，函数y＝f(f(x))－1的零点个数为2.。

第1讲 函数的图象与性质(小题)热点一 函数的概念与表示 1.高考常考定义域易失分点：(1)若f (x )的定义域为[m ，n ]，则在f [g (x )]中，m ≤g (x )≤n ，从中解得x 的范围即为f [g (x )]的定义域；(2)若f [g (x )]的定义域为[m ，n ]，则由m ≤x ≤n 确定的g (x )的范围即为f (x )的定义域. 2.高考常考分段函数易失分点：(1)注意分段求解不等式时自变量的取值范围的大前提；(2)利用函数性质转化时，首先判断已知分段函数的性质，利用性质将所求问题简单化. 例1 (1)(2019·宣城联考)函数y ＝－x 2＋2x ＋3lg (x ＋1)的定义域为( )A.(－1,3]B.(－1,0)∪(0,3]C.[－1,3]D.[－1,0)∪(0,3](2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≤0，4x ，x >0，则满足f (x )＋f (x －1)≥2的x 的取值范围是________.跟踪演练1 (1)(2019·黄冈调研)已知函数f (x ＋1)的定义域为(－2,0)，则f (2x －1)的定义域为( )A.(－1,0)B.⎝⎛⎭⎫－12，12C.(0,1)D.⎝⎛⎭⎫－12，0 (2)(2019·内江、眉山等六市联考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(1－x )，x <0，22x －1，x ≥0，则f (－3)＋f (log 23)等于( )A.112B.132C.152D.10热点二 函数的性质及应用 高考常考函数四个性质的应用：(1)奇偶性，具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上，其图象、函数值、解析式和单调性联系密切，研究问题时可以转化到部分(一般取一半)区间上，注意偶函数常用结论f (x )＝f (|x |)； (2)单调性，可以比较大小、求函数最值、解不等式、证明方程根的唯一性；(3)周期性，利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题转化到已知区间上求解；(4)对称性，常围绕图象的对称中心设置试题背景，利用图象对称中心的性质简化所求问题. 例2 (1)设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－πx ＋(x ＋e )2x 2＋e 2的最大值为M ，最小值为N ，则(M ＋N －1)2 019的值为( )A.1B.2C.22 019D.32 019(2)已知定义在R 上的函数f (x )满足：函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1,0)对称，且x ≥0时恒有f (x ＋2)＝f (x )，当x ∈[0,1]时，f (x )＝e x －1，则f (2 018)＋f (－2 019)＝________.跟踪演练2 (1)定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，且当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋1，0≤x <1，2－2x ，x ≥1，若对任意的x ∈[m ，m ＋1]，不等式f (1－x )≤f (x ＋m )恒成立，则实数m 的最大值为( ) A.－1 B.－12C.－13D.13(2)(2018·全国Ⅱ)已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x ).若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)等于( ) A.－50 B.0 C.2 D.50 热点三 函数的图象及应用 高考常考函数图象问题的注意点：(1)图象平移与整体放缩不改变图象的对称性，求解较复杂函数图象的对称点或对称轴时可先平移；(2)函数图象的应用主要体现为数形结合思想，通常用来解决求最值、方程的根、交点的个数等问题.注意求解两个函数图象在什么区间满足交点个数多少的问题，可以先画出已知函数的图象，再观测结果.例3 (1)(2019·全国Ⅲ)函数y ＝2x 32x ＋2－x在[－6,6]的图象大致为( )(2)(2019·淄博诊断)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ，x ≤0，ln (x ＋1)，x >0，若存在x 0∈R 使得f (x 0)≤ax 0－1，则实数a 的取值范围是( ) A.(0，＋∞)B.[－3,0]C.(－∞，－3]∪[3，＋∞)D.(－∞，－3]∪(0，＋∞)跟踪演练3 (1)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x －1x ＋1的图象大致为( )(2)(2019·沧州模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－ln |x |，x ∈(－∞，0)，－6x 2＋20x －13，x ∈[0，2]，6x ，x ∈(2，＋∞)，g (x )＝ax －2(a ∈R )满足：①当x <0时，方程f (x )＝g (x )无解；②当x >0时，至少存在一个整数x 0使f (x 0)≥g (x 0).则实数a 的取值范围为________.真题体验1.(2019·全国Ⅰ，理，5)函数f (x )＝sin x ＋xcos x ＋x 2在[－π，π]上的图象大致为( )2.(2019·全国Ⅲ，理，11)设f (x )是定义域为R 的偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，则( )A.f ⎝⎛⎭⎫log 314>322f -⎛⎫ ⎪⎝⎭>232f -⎛⎫ ⎪⎝⎭B.f ⎝⎛⎭⎫log 314>232f -⎛⎫ ⎪⎝⎭>322f -⎛⎫⎪⎝⎭C.322f -⎛⎫ ⎪⎝⎭>232f -⎛⎫ ⎪⎝⎭>f ⎝⎛⎭⎫log 314 D.232f -⎛⎫ ⎪⎝⎭>322f -⎛⎫ ⎪⎝⎭>f ⎝⎛⎭⎫log 314 3.(2019·全国Ⅱ，理，14)已知f (x )是奇函数，且当x <0时，f (x )＝－e ax .若f (ln 2)＝8，则a ＝________. 押题预测1.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(8－x )，x ≤5，f (x －5)，x >5，则f (2 019)等于( )A.2B.log 26C.log 27D.32.已知函数f (x )＝1ln (x ＋1)－x，则y ＝f (x )的图象大致为( )3.设函数y ＝f (x )(x ∈R )为偶函数，且∀x ∈R ，满足f ⎝⎛⎭⎫x －32＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋12，当x ∈[2,3]时，f (x )＝x ，则当x ∈[－2,0]时，f (x )等于( ) A.|x ＋4| B.|2－x | C.2＋|x ＋1|D.3－|x ＋1|A 组 专题通关1.设函数f (x )＝log 2(x －1)＋2－x ，则函数f ⎝⎛⎭⎫x 2的定义域为( ) A.(1,2] B.(2,4] C.[1,2) D.[2,4)2.(2019·汉中联考)下列函数中，既是奇函数又在区间(0,1)上递减的函数是( ) A.y ＝tan x B.y ＝x －3 C.y ＝cos xD.y ＝⎝⎛⎭⎫13|x |3.如图①，在矩形MNPO 中，动点R 从点N 出发，沿N →P →O →M 方向运动至点M 处停止.设点R 运动的路程为x ，△MNR 的面积为y ，若y 关于x 的函数图象如图②所示，则当x ＝9时，点R 应运动到点( )A.N 处B.P 处C.O 处D.M 处4.若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≥1，－x 2＋ax ＋1，x <1在R 上是增函数，则a 的取值范围为( )A.[2,3]B.[2，＋∞)C.[1,3]D.[1，＋∞)5.(2019·内江、眉山等六市联考)若f (x )是R 上的奇函数，且x 1，x 2∈R ，则“x 1＋x 2＝0”是“f (x 1)＋f (x 2)＝0”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.(2019·甘肃、青海、宁夏联考)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋2＋a ，x ≤1，12log (x ＋1)，x >1有最大值，则a 的取值范围为( ) A.(－5，＋∞) B.[－5，＋∞) C.(－∞，－5)D.(－∞，－5]7.(2019·济南模拟)已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2＋x x 2＋1＋1，则f (x )的最大值与最小值的和为( )A.0B.1C.2D.48.(2019·福建适应性练习)下列四个函数：①y ＝x sin x ；②y ＝x cos x ；③y ＝x |cos x |；④y ＝x ·2x 的图象(部分)如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是( )A.④①②③B.①④②③C.③④②①D.①④③②9.已知函数f (x )＝1－2x1＋2x ，实数a ，b 满足不等式f (2a ＋b )＋f (4－3b )>0，则下列不等式恒成立的是( ) A.b －a <2 B.a ＋2b >2 C.b －a >2D.a ＋2b <210.函数y ＝1－ln|x |1＋ln|x |·sin x 的部分图象大致为( )11.(2019·广东省六校联考)已知f (x )＝log a (a －x ＋1)＋bx (a >0，a ≠1)是偶函数，则一定有( )A.b ＝12且f (a )>f ⎝⎛⎭⎫1a B.b ＝－12且f (a )<f ⎝⎛⎭⎫1a C.b ＝12且f ⎝⎛⎭⎫a ＋1a >f ⎝⎛⎭⎫1b D.b ＝－12且f ⎝⎛⎭⎫a ＋1a <f ⎝⎛⎭⎫1b 12.定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，当x ∈[0,1]时，f (x )＝－2x ＋1，设函数g (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x －1|(－1<x <3)，则函数f (x )与g (x )的图象所有交点的横坐标之和为( ) A.2 B.4 C.6 D.813.函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是________.14.(2018·全国Ⅲ)已知函数f (x )＝ln(1＋x 2－x )＋1，f (a )＝4，则f (－a )＝________.15.(2017·全国Ⅲ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x >0，则满足f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12>1的x 的取值范围是____. 16.已知函数f (x )是奇函数，当x <0时，f (x )＝－x 2＋x .若不等式f (x )－x ≤2log a x (a >0且a ≠1)对∀x ∈⎝⎛⎦⎤0，22恒成立，则实数a 的取值范围是________. B 组 能力提高17.(2019·焦作模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋ax ，x ≤1，a 2x －7a ＋14，x >1，若∃x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，使得f (x 1)＝f (x 2)，则实数a 的取值范围是( ) A.[2,3]∪(－∞，－5] B.(－∞，2)∪(3,5) C.[2,3]D.[5，＋∞)18.(2018·天津)已知a ∈R ，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋a －2，x ≤0，－x 2＋2x －2a ，x >0.若对任意x ∈[－3，＋∞)，f (x )≤|x |恒成立，则a 的取值范围是________.。

高三第二轮知识点总结数学一、函数与导数1. 函数的概念函数是自变量与因变量之间的对应关系。

如果每个自变量对应唯一的因变量，并且每个因变量都由自变量确定，则称这种对应关系为函数。

2. 函数的性质（1）定义域：一个函数的定义域是指所有可能的自变量的取值，是函数的合法输入值的范围。

（2）值域：一个函数的值域是指所有可能的因变量的取值，是函数的合法输出值的范围。

3. 导数的概念函数的导数，简称导数，是函数在某一点处的变化率。

导数表示了函数在某一点的瞬时变化率，例如速度，加速度等。

如果函数y=f(x)在点x=x0处可导，则称函数在该点可导。

如果函数在某一点处可导，那么导数就是这个点处函数的斜率。

4. 导数的计算导数的计算是通过极限的概念来定义的。

对于一个函数y=f(x)，它的导数$f'(x)$可以通过以下公式来计算：$$f'(x) = \lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$5. 导数的性质（1）导数与函数的关系：如果函数f(x)在任意一点可导，则称f(x)是可导的。

（2）可导函数的性质：如果函数f(x)在某一点可导，则它在该点处必然连续。

6. 导数的应用导数在很多实际问题中都有着重要的应用，如切线与切线方程、极值与最优化问题、微分与微分方程等。

二、不等式1. 绝对值不等式（1）绝对值函数：$|x|$表示x的绝对值。

绝对值函数的性质有：a. $|x|\geq 0$；b. $|ab|=|a|\cdot |b|$；c. $|x-y|\leq |x|+|y|$。

（2）绝对值不等式：绝对值不等式是带有绝对值的不等式，解题时会对不等式的两边取绝对值，然后分类讨论。

2. 一元二次不等式一元二次不等式是指一元二次函数的不等式，它的解法主要通过构造零点法，求不等式的根，或者使用图像法，构造抛物线的图像来求解。

3. 二元一次不等式二元一次不等式是指两个变量的一次不等式，通常使用图像法，分析直线在坐标轴上的位置以及不等式的解集。

核心考点2 函数的图象核心知识·精归纳1.作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．2.利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点．多维题组·明技法角度1：由解析式确定函数的图象1. (2023·福州模拟)函数y ＝8ln |x |x－x 的图象大致为( A )【解析】 记y ＝f (x )＝8ln |x |x－x ，其定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，所以f (－x )＝8ln |－x |－x ＋x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫8ln |x |x －x ＝－f (x )，所以f (x )为奇函数，其图象关于原点对称，故排除B 、D ，f (e)＝8ln |e|e －e ＝8－e 2e >8－2.82e ＝8－7.84e>0，故C 错误，A 正确．故选A ．2. (2023·雁塔区校级模拟)函数f (x )＝x ln |x |e x－e－x的图象大致是( D )【解析】 对于函数f (x )，有⎩⎪⎨⎪⎧|x |>0，e x －e －x≠0，解得x ≠0，故函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}，排除A 、B 选项，令f (x )＝0可得ln|x |＝0，解得x ＝±1，即函数f (x )只有两个零点，排除C 选项．故选D ．角度2：由图象确定函数的解析式3. (2023·广东模拟)已知函数y＝f(x)部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式可能为( D )A．f(x)＝x sin 2x B．f(x)＝x sin xC．f(x)＝2|x|sin x D．f(x)＝2|x|sin 2x【解析】由图象知f(x)＝0，x∈[0，π]有三个零点经验证只有A、D满足，排除B、C选项，A中函数满足f(－x)＝－x sin(－2x)＝x sin 2x＝f(x)为偶函数，D中函数满足f(－x)＝2|－x|sin(－2x)＝－2|x|sin 2x＝－f(x)为奇函数，而图象关于原点对称，函数为奇函数，排除A．故选D．4.著名数学家华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，我们经常用函数的图象来研究函数的性质，也经常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征，如某体育品牌的LOGO为，可抽象为如图所示的轴对称的优美曲线，下列函数中，其图象大致可“完美”局部表达这条曲线的函数是_③__；(填写你认为正确的序号)①f(x)＝sin 5x2－x－2x ；②f(x)＝cos 5x2－x－2x；③f(x)＝cos 5x|2x－2－x|；④f(x)＝sin 5x|2x－2－x|.【解析】由图可知，当x→0＋时，f(x)>0，且f(x)应为偶函数，对于①，当x→0＋时，sin 5x>0,2－x－2x<0，所以f(x)<0，不符合题意；对于②，定义域为{x|x≠0}，因为f(－x)＝cos 5x2x－2－x＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，不符合题意；对于③，定义域为{x|x≠0}，因为f (－x )＝cos －5x |2－x －2x |＝cos 5x |2x －2－x |＝f (x )，所以f (x )为偶函数，且当x →0＋时，f (x )>0，符合题意；对于④，定义域为{x |x ≠0}，因为f (－x )＝－sin 5x |2－x －2x |＝－sin 5x|2x －2－x |＝－f (x )，所以f (x )为奇函数，不符合题意．故答案选③.方法技巧·精提炼1.识图的三种常用方法(1)抓住函数的性质，定性分析：①由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置； ②由函数的单调性，判断图象的变化趋势； ③由函数的奇偶性，判断图象的对称性； ④由函数的周期性，判断图象的循环往复． (2)抓住函数的特征，定量计算：从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题． (3)根据实际背景、图形判断函数图象的方法：①根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图象(定量分析)； ②根据自变量取不同值时函数值的变化、增减速度等判断函数图象(定性分析)． 2.由图象确定函数解析式的方法(1)根据已知或作出的函数图象，从最高点、最低点，分析函数的最值； (2)从图象的对称性，分析函数的奇偶性；(3)从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性； (4)从图象与x 轴的交点情况，分析函数的零点．加固训练·促提高1. (2023·陇南一模)函数f (x )＝x2ln|x |的图象大致为( C )【解析】 函数f (x )＝x2ln|x |是奇函数，排除A 、D ；当x ∈(0,1)时，函数f (x )<0，所以排除B ．故选C ．2．(2023·吉安一模)已知函数y ＝f (x )的部分图象如图所示，则此函数的解析式可能是( C )A ．y ＝ln(x 2＋1－x ) B ．y ＝1－cos x e x －e －xC ．y ＝sin x －x cos xD ．y ＝sin x －x e x【解析】 对于A ，∵ln[－x2＋1＋x ]＝ln(x 2＋1＋x )＝ln1x 2＋1－x＝－ln(x 2＋1－x )，又y ＝ln(x 2＋1－x )的定义域为R ，∴y ＝ln(x 2＋1－x )为R 上的奇函数，图象关于原点对称，与已知图象相符；当x ≥0时，y ＝x 2＋1为增函数，y ＝x 为增函数，又y ＝ln t 在(0，＋∞)上单调递增，由复合函数单调性可知：y ＝ln(x 2＋1＋x )在[0，＋∞)上单调递增，又y ＝ln(x 2＋1－x )＝－ln(x 2＋1＋x )，∴y ＝ln(x 2＋1－x )在[0，＋∞)上单调递减，与已知图象不符，A 错误；对于B ，由e x －e －x≠0得：x ≠0，∴y ＝1－cos x e x －e －x的定义域为{x |x ≠0}，与已知图象不符，B 错误；对于D ，∵sin(－x )－(－x )e －x＝－sin x ＋x e －x≠－sin x ＋x e x ，∴y ＝sin x －x e x不是奇函数，图象不关于原点对称，与已知图象不符，D 错误．故选C ．。

高考数学二轮复习考点知识讲解与提升练习考点知识09 函数的图象1．（2022年甲卷理科第5题文科第7题）函数x y x x cos )33(--=在区间]2,2[ππ-的图象大致为【答案】A【解析】设x x f x x cos )33()(--=，)()cos()33()(x f x x f x x -=--=--，所以)(x f 为奇函数，排除BD ，令1=x ，则01cos )33()1(1>-=-f ，排除C ，故选A.2.（2022年乙卷文科第8题）右图是下列四个函数中的某个函数在区间[3,3]-的大致图象，则函数是A. 3231x x y x -+=+B.321x xy x -=+ C.22cos 1x x y x =+ D.22sin 1xy x =+【答案】A【解析】由图象可知函数是奇函数，且1x =，0y ＞,排除B .由3x =，0y ＜，排除D .由3x =-,2y ＞，排除C .故选A .3.（2022年浙江卷第6题）为了得到2sin 3y x =的图象，只要把函数2sin 35y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上所有点A ．向左平移5π个单位长度 B ． 向右平移5π个单位长度 C ． 向左平移15π个单位长度 D ． 向右平移15π个单位长度【答案】D【解析】函数图象平移满足左加右减，2sin 32sin 3515y x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因此需要将函数图象向右平移15π个单位长度，可以得到2sin 3y x =的图象。

故本题选D ．1.函数图象的识辨：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势． (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性． (4)从函数的周期性，判断图象的循环往复． (5)从函数的特征点，排除不合要求的图象． 2.函数图象的画法（1）直接法：函数解析式（或变形后的解析式）是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征找出图象的关键点直接作出图象；（2）转化法：含有绝对值符号的函数，可脱掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象；（3）变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注图象变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换的顺序对变换单位及解析式的影响。