苏北老四所县中2013届高三新学期调研考试数学试卷

江苏省（泰州、南通、扬州、宿迁、淮安）五市2013届高三第三次调研测试数学试卷1 . 已知集合A 2, 1 , B 1,2 ，则AUB▲_.【答案】（2,2）2.设复数z 满足（3 4i ）z 5 0 （ i 是虚数单位），则复数z 的 模为 ▲ 【答案】13 . 右图是一个算法流程图，则输出的S 的值是 ▲ .【答案】2400 4.“ M N ”是 “ log ?” log 2 N ” 成立的 ▲ 条件.（从“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”中选择一个正确的填写）【答案】必要不充分 5.根据某固定测速点测得的某时段内过往的100辆机动车的行驶速度（单位：km/h ）绘制的频率分布 直方图如右图所示•该路段限速标志牌提示机动车辆正常行驶速度为 60 km/h~120 km/h ，则该时 段内非正常行驶的机动车辆数为 ▲ .【答案】152、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70 分.（第 3 题）频率6. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线x 2py（p 0）上纵坐标为1的一点到焦点的距离为3，则焦点到准线的距离为【答案】47.从集合1,2,3 4 , , ,7,8 9中任取两个不同的数, 则其中一个数恰是另一个数的的概率为【答案】2 在平面直角坐标系xOy中，设点P为圆C : (x 1)2y 4上的任意一点，点Q (2 a，a 3)(a R)，则线段PQ长度的最小值为▲.【答案】5 29. 函数f(x) Asin( x ) (A 0 , 0 , 0< 2 )在R 上的部分图象如图所示，贝U f(2013)的值为▲.【答案】.口210.各项均为正数的等比数列a n中，a2 a1 1 .当a s取最小值时，数列a n的通项公式a n= _ ▲__【答案】2n 111.已知函数f(x) a x 2x 1，x> 0,是偶函数，直线y t与函数yx bx c, x 0f(x)的图象自左向右依次交于四个不同点A, B , C , D •若AB BC，则实数t的值为▲.【答案】7412.过点P( 1, 0)作曲线C : y e x的切线，切点为T，设人在x轴上的投影是点已，过点曲线C的切线，切点为T2，设T2在x轴上的投影是点H2，…，依次下去，得到第n 1 (n N)个切点T n!.则点T n!的坐标为▲【答案】n,e n13.在平面四边形ABCD中，点E, F分别是边AD, BC的中点，且AB 1 , EF 2 , CD .3 .…uuu ULT uuu urn ，亠若AD BC 15，贝y AC BD的值为▲【答案】1314. 已知实数a1, a2, a3, a4满足a1 a2 a3 0, a1a42a2a4 a2 0，且a1 a2 a3,贝U a4的取值范围是▲.1 5【答案】丄丄5,2 2二、解答题15. 如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是矩形，四条侧棱长均相等.(1)求证：AB //平面PCD ;(2)求证：平面PAC 平面ABCD .证明：(1)在矩形ABCD中，AB//CD ,又AB 平面PCD ,CD 平面PCD ,所以AB //平面PCD . ......... 6分(2)如图，连结BD，交AC于点0，连结PO ,在矩形ABCD中，点0为AC, BD的中点，又PA PB PC PD,故PO AC PO BD ,又ACI BD O ,AC, BD 平面ABCD ,所以POABCD ,又PO 平面PAC ,所 以平面 PAC平面ABCD .•…14分14分17.某单位设计的两种密封玻璃窗如图所示：图 1是单层玻璃，厚度为 8 mm ;图2是双层中空玻璃，厚度均为4mm ,中间留有厚度为 x 的空气隔层.根据热传导知识，对于厚度为 d 的均匀介质，12分16.在厶ABC 中，角A , B , C 所对的边分别为b , c.已知si nC ,22 2b ac ~2 2 ~2 ■cab(1)求角B 的大小; (2)设 T2 2 2sin A sin B sin C ，求T 的取值范围.解：(1 )在厶ABC 中,si nC b 2 2sin A sinC c 2 2 a ~~2a2c2accosB ccosB bcosCsin C cosB sin BcosC '2sin AcosB 因为 sinC sin B cosC 因为si nA sin 2 A 所以 sinBcosC sin C cosB sin(B 0 ,所以cos Bsin 2 B sin 2 Ccos2C)2sin AcosB sinCcosB ,C) sin A ,cos2 A)(1 cos2C) 1 cos2Acos11分两侧的温度差为T ,单位时间内，在单位面积上通过的热量Q k」，其中k为热d传导系数.假定单位时间内，在单位面积上通过每一层玻璃及空气隔层的热量相等. (注：玻璃的热传导系数为4 10 3 J mm/o C，空气的热传导系数为2.5 10 4 J mm/°C •)(1)设室内，室外温度均分别为T1, T2，内层玻璃外侧温度为T，外层玻璃内侧温度为T2 ,且T T T2 T2 •试分别求出单层玻璃和双层中空玻璃单位时间内，在单位面积上通过的热量(结果用T , T2及x表示)；(2)为使双层中空玻璃单位时间内，在单位面积上通过的热量只有单层玻璃的4%,应如何设计x的大小？（第17 题）Q2，Q iQ2解：(1)设单层玻璃和双层中空玻璃单位时间内，在单位面积上通过的热量分别为Qi，10 310 3T i T2T T28T T22 000，4 000 x 2 000（2 ）由4%.2.5 10 4 T1T234 10 3xT1 T1T1T2T2 T2 4x44 10 3 2.5104 4 10 3 T1 T1T1T2T2 T24x434 10 2.510434 104 42x 1 4%时，解得x12（mm）.答：当x 12 mm时，双层中空玻璃通过的热量只有单层玻璃的14分18.如图，在平面直角坐标系率为子.2xOy中，椭圆a2每1(a b 0)的右焦点为F(1,0)，离心 b分别过O , F的两条弦(1)求椭圆的方程；(2)求证：直线AC , AB , CD相交于点BD的斜率之和为定值.(1)解：由题意，得c 1, ea 4，故 a a 22 ,从而 b 2 a 2 c 2 1,2所以椭圆的方程为牙 y 2 1.①(2)证明: 设直线 AB 的方程为ykx , ②直线CD 的方程为y k(x 1)③••…7分由①②得，点A , B 的横坐标为：子，由①③得， 点 C , D 的横坐标为2k 2；2(k 2—1)则直线AC , BD 的斜率之和为kx 1 k(1 x 3) kx 2 k(1 x 4)x X 3 X 2 X 4k (X 1 X 3 1)(X 2 X 4) (X 1 X 3)(X 2 X 4 1)(X i X3XX 2 X 4)k 2(X 1X 2 X 3X 4) (X 1 X 2) (X 3 X 4)(X 1 X 3)(X 2 X 4)16分19. 已知数列 a.是首项为1,公差为d 的等差数列，数列b n 是首项为1,公比为q(q 1)22k 2122 2 2(k1) 22 224k22k 1 2k 12k 1(X 1 X 3)(X 2X 4)k记 A(xi, kx i ) , B(x 2, kx 2), C(x 3, k(1 X 3)) , D(X 4,k(1X 4)),13分b n所以b na n n 1q 1 (n的等比数列.(1)若a 5 b 5 , q 3，求数列a . b 的前n 项和;(2)若存在正整数k(k >2)，使得a k b k .试比较a .与b 的大小，并说明理由.解：(1 )依题意，a 5 b 5 b 1q 511 34 81 , 故 d a | a1581 1 420 ,a n1 20( n 1)20n 令 S n 1 121 3 41 32(20n 19) 则3S n 1 3 21 32(20n 39) ①②得，2S n 1+20 3 323n11+203(1 n31 」(20n1 3(29 20n) 3n 29 ,(20n 29) 3n 29(2) 因为a< b k ,所以1 (k 1)d q k1，即故a n1 (n k 1q 11)3 k 119 ,(20n 19) 3n ,所n 1 19) 3n3n(20n 19) 3n ,②3n1 ,q 1 k 1(k 1)n 2 n 3q q q 1k 2 k 3(n 1) q q q111分(i)当1n k时, 由q 1知b n a n q 1n 2n 3k 2k 3k 1(k n) q q q 1 (n 1) q q qq 1 k 1(k n)(n 1)q n 2 (n1)(k n 1n)q2 n 2(q 1) q (k n)(n 1)k 116分(k 1) q (n 1) q k 1 10 ,(ii)当n k时，由q 1知13分b n a n (k 1) q n(n k)(k 1)(n k)q k(n k)(k k 21)q综上所述,k(q 1) q 2(n k)n k 时，a n g ；当n k 时，a n b n ;当n 1, k 时，a n b n.（注：仅给出“ 1 n k时，a n b n ；n k 时，a n b n ” 得 2 分.)20.设f (x)是定义在(0, )的可导函数，且不恒为 0,记g n (x)丄^(nN ).若对定义 x域内的每一个x ，总有g n (x) 0，则称f(x)为“ n 阶负函数”；若对定义域内的每一个 x ，总有g n (X )> 0，则称f (x)为“ n 阶不减函数” (g n (x)为函数g n (x)的导函数).(1) 若f(x)耳 -x(x 0)既是“1阶负函数”，又是“ 1阶不减函数”，求实数a 的x x取值范围； (2)对任给的“ 2阶不减函数” f (x)，如果存在常数c ，使得f (x) c 恒成立，试判 断f(x)是否为“ 2阶负函数”？并说明理由.解：(i )依题意，g -(x) 他 -a 4 -4T I 在(0，)上单调递增，(2)①先证 f (x)w 0 :若不存在正实数x 0 ，使得g 2(x 。

2013年江苏省南通、扬州、泰州、宿迁四市高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答卷卡的相应位置上．1．（5分）（2013•南通二模）在平面直角坐标系中，已知向量=（2，1），向量=（3，5），则向量的坐标为（1，4）．考点：平面向量的坐标运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：由=，代入坐标即可运算．解答：解：∵=（2，1），=（3，5），∴==（3，5）﹣（2，1）=（1，4）故答案为：（1，4）点评：本题主要考查了向量的坐标运算，属于基础试题2．（5分）（2013•南通二模）设集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}，B={x|x2﹣5x≥0}，则A∩（∁R B）=（0，3]．考点：交、并、补集的混合运算．分析：由题意，可先解一元二次不等式，化简集合A，B，再求出B的补集，再由交的运算规则解出A∩（∁R B）即可得出正确答案．解答：解：由题意B={x|x2﹣5x≥0}={x|x≤0或x≥5}，故∁R B={x|0＜x＜5}，又集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}={x|﹣1≤x≤3}，∴A∩（∁R B）=（0，3]．故答案为（0，3]．点评：本题考查交、并、补的混合运算，属于集合中的基本计算题，熟练掌握运算规则是解解题的关键．3．（5分）（2013•南通二模）设复数z满足|z|=|z﹣1|=1，则复数z的实部为．考点：复数求模．专题：计算题．分析：利用复数的运算法则和模的计算公式即可得出．解答：解：设z=a+bi（a，b∈R）．∵复数z满足|z|=|z﹣1|=1，∴，解得．∴复数z的实部为．故答案为．点评：熟练掌握复数的运算法则和模的计算公式是解题的关键．4．（5分）（2013•南通二模）设f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f （x）=x+e x（e为自然对数的底数），则f（ln6）的值为ln6﹣6．考点：函数奇偶性的性质；函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：由x＜0时的解析式，先求出f（﹣ln6），再由f （x）是定义在R上的奇函数，f（﹣x）=﹣f （x），得到答案．解答：解：∵当x＜0时，f （x）=x+e x，∴f（﹣ln6）=﹣ln6+e ln6=6﹣ln6又∵f （x）是定义在R上的奇函数，∴f（ln6）=﹣f（﹣ln6）=ln6﹣6故答案为：ln6﹣6点评：本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，函数的值，其中熟练掌握奇函数的定义f（﹣x）=﹣f（x），是解答的关键．5．（5分）（2013•南通二模）某篮球运动员在7天中进行投篮训练的时间（单位：分钟）用茎叶图表示（如图），图中左列表示训练时间的十位数，右列表示训练时间的个位数，则该运动员这7天的平均训练时间为72分钟．考点：茎叶图；众数、中位数、平均数．专题：概率与统计．分析：先由茎叶图写出所有的数据，求出所有数据和，再利用和除以数据的个数，得到该运动员的平均训练时间．解答：解：有茎叶图知，天中进行投篮训练的时间的数据为64，65，67，72，75，80，81；∴该运动员的平均训练时间为：=72．故答案为：72．点评：解决茎叶图问题，关键是能由茎叶图得到各个数据，再利用公式求出所求的值．6．（5分）（2013•南通二模）根据如图所示的伪代码，最后输出的S的值为145．考点：伪代码．专题：图表型．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出满足条件S=1+4+7+10+13+…+28时，S的值．解答：解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出满足条件S=1+4+7+10+13+…+28值．∵S=1+4+7+10+13+…+28=145，故输出的S值为145．故答案为：145．点评：本题考查的知识点是伪代码，其中根据已知分析出循环的循环变量的初值，终值及步长，是解答的关键．7．（5分）（2013•南通二模）在平面直角坐标系xOy中，设椭圆与双曲线y2﹣3x2=3共焦点，且经过点，则该椭圆的离心率为．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据题意，双曲线y2﹣3x2=3焦点坐标为F1（﹣2，0），F2（2，0）．然后根据椭圆的定义，结合两点的距离公式得2a=|AF1|+|AF2|=4，从而a=2，可得c，可得该椭圆的离心率．解答：解：∵双曲线y2﹣3x2=3，即，∴双曲线的焦距为4，∴c=2，焦点坐标为F1（0，﹣2），F2（0，2），∵椭圆经过点A，∴根据椭圆的定义，得2a=|AF1|+|AF2|=+=4，可得a=2，所以离心率e===．故答案为：．点评：本题给出椭圆的焦点和椭圆上一点的坐标，求椭圆的基本量，着重考查了椭圆的标准方程和简单几何性质，属于基础题．8．（5分）（2013•南通二模）若将一个圆锥的侧面沿一条母线剪开，其展开图是半径为2cm的半圆，则该圆锥的高为cm．考点：点、线、面间的距离计算．专题：空间位置关系与距离．分析：根据半圆的周长等于圆锥底面圆的周长求出底面圆的半径，再根据圆锥的轴截面图形求高即可．解答：解：设圆锥的底面圆半径为r，则2πr=2π⇒r=1cm，∴h==cm．故答案是．点评：本题考查圆锥的侧面展开图及圆锥的轴截面．9．（5分）（2013•南通二模）将函数的图象上每一点向右平移1个单位，再将所得图象上每一点的横坐标扩大为原来的倍（纵坐标保持不变），得函数y=f（x）的图象，则f（x）的一个解析式为．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：由左加右减上加下减的原则，可确定函数平移后的函数解析式，利用伸缩变换推出所求函数解析式．解答：解：图象上的每一点向右平移1个单位，得到函数，再将所得图象上每一点的横坐标扩大为原来的倍（纵坐标保持不变），得到函数的图象，函数y=f（x）的图象，则f（x）的一个解析式为．故答案为：．点评：本题主要考查三角函数的平移与伸缩变换．三角函数的平移原则为左加右减上加下减．10．（5分）（2013•南通二模）函数f（x）=（x﹣1）sinπx﹣1（﹣1＜x＜3）的所有零点之和为4．考点：数列的求和；函数的零点．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：画出图象，可看出交点的个数，并利用对称性即可求出．解答：解：由（x）=（x﹣1）sinπx﹣1=0（﹣1＜x＜3）可得sinπx=令g（x）=sinπx，h（x）=，（﹣a＜x＜3）则g（x），h（x）都是关于（1，0）点对称的函数故交点关于（1，0）对称又根据函数图象可知，函数g（x）与h（x）有4个交点，分别记为A，B，C，D则x A+x B+x C+x D=4故答案为：4点评：熟练掌握数形结合的思想方法和函数的对称性是解题的关键11．（5分）（2013•南通二模）设α，β∈（0，π），且，．则cosβ的值为﹣．考点：二倍角的正切；两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的求值．分析：由tan的值，利用二倍角的正切函数公式求出tanα的值大于1，确定出α的范围，进而sinα与cosα的值，再由sin（α+β）的值范围求出α+β的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cos（α+β）的值，所求式子的角β=α+β﹣α，利用两角和与差的余弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值．解答：解：∵tan=，∴tanα==＞1，∴α∈（，），∴cosα==，sinα==，∵sin（α+β）=＜，∴α+β∈（，π），∴cos（α+β）=﹣，则cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=﹣×+×=﹣．故答案为：﹣点评：此考查了二倍角的正切函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．12．（5分）（2013•南通二模）设数列{a n}满足：，则a1的值大于20的概率为．考点：古典概型及其概率计算公式；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．专题：计算题．分析：由给出的等式得到数列递推式，说明数列是等差数列或等比数列，求出a3=8时对应的a1的值，则a1的值大于20的概率可求．解答：解：∵（a n+1﹣a n﹣2）（2a n+1﹣a n）=0，∴a n+1﹣a n﹣2=0或2a n+1﹣a n=0，分别取n=1，2．则a3﹣a2=2，a2﹣a1=2或a2=2a3，a1=2a2．当a3=8时，a2=6或a2=16，当a2=6时，a1=4或a1=12，当a2=12时，a1=10或a1=24，∴a1的值大于20的概率为．故答案为．点评：本题考查了等差数列和等比数列的通项公式，考查了古典概型及其概率计算公式，解答此题的关键是不能把数列看做等差数列或等比数列独立的求解，此题虽是基础题但容易出错．13．（5分）（2013•南通二模）设实数x1，x2，x3，x4，x5均不小于1，且x1•x2•x3•x4•x5=729，则max{x1x2，x2x3，x3x4，x4x5}的最小值是9．考点：进行简单的合情推理；函数的值．专题：新定义．分析：先根据基本不等式得x1x2+x3x4≥2，即取定一个x5后，x1x2，x3x4不会都小于，及x2x3+x4x5≥2+≥2，再研究使三个不等式等号都成立的条件，即可得出max{x1x2，x2x3，x3x4，x4x5}的最小值．解答：解：∵x1x2+x3x4≥2，即取定一个x5后，x1x2，x3x4不会都小于，同样x2x3+x4x5≥2，+≥2，使三个不等式等号都成立，则x1x2=x3x4=，x2x3=x4x5=，x1=x5即x1=x3=x5，x2=x4 x1x2=x2x3=x3x4=x4x5所以729=x13×x22=，（x1x2）3=729×x2x2最小为1，所以x1x2最小值为9，此时x1=x3=x5=9 x2=x4=1．故答案为：9．点评：本题主要考查了进行简单的合情推理及基本不等式的应用，属于中档题．14．（5分）（2013•南通二模）在平面直角坐标系xOy中，设A（﹣1，1），B，C是函数图象上的两点，且△ABC为正三角形，则△ABC的高为2．考点：点到直线的距离公式．专题：综合题．分析：设B、C为直线y=kx+b（k＜0，b＞0）与y=的交点，联立方程组⇒kx2+bx﹣1=0．设B（x1，y1），C（x2，y2），利用韦达定理，结合△ABC为正三角形，可求得k及|AD|，从而可得答案．解答：解：设B、C为直线y=kx+b（k＜0，b＞0）与y=的交点，由得kx2+bx﹣1=0．设B（x1，y1），C（x2，y2），则x1+x2=﹣，y1+y2=+==b，设BC的中点为D，则D（﹣，）．因为A（﹣1，1），依题意，k AD•k BC=﹣1，即•k=﹣1，由于k＜0，故1﹣k≠0，∴b=（b＞0）．∵|BC|=|x1﹣x2|=•=•=•∴d A﹣BC=|BC|，即=×|BC|=×2•，即=ו，解得：k=．∵b=＞0，∴k=，k2=，∴d A﹣BC======2．故△ABC的高为2．故答案为：2．点评：本题考查韦达定理与点到直线的距离公式，考查方程思想与等价转化思想的综合运用，属于难题．二、解答题：本大题共6小题，共90分.请把答案写在答题卡相应的位置上.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）（2013•南通二模）已知△ABC的内角A的大小为120°，面积为．（1）若AB=，求△ABC的另外两条边长；（2）设O为△ABC的外心，当时，求的值．考点：余弦定理；平面向量数量积的运算；正弦定理．专题：计算题；解三角形；平面向量及应用．分析：（1）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，由三角形的面积公式及已知AB，可求b，c，然后再利用余弦定理可求（2）由（1）可知BC，利用余弦定理可求b，设BC的中点为D，则，结合O为△ABC的外心，可得，从而可求解答：解：（1）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，于是，所以bc=4．…（3分）因为，所以．由余弦定理得．…（6分）（2）由得b2+c2+4=21，即，解得b=1或4．…（8分）设BC的中点为D，则，因为O为△ABC的外心，所以，于是．…（12分）所以当b=1时，c=4，；当b=4时，c=1，．…（14分）点评：本题主要考查了三角形的面积公式及余弦定理的应用．还考查了向量的基本运算及性质的应用．16．（14分）（2013•南通二模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，BC∥平面PAD，∠PBC=90°，∠PBA≠90°．求证：（1）AD∥平面PBC；（2）平面PBC⊥平面PAB．考点： 直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定． 专题： 空间位置关系与距离． 分析： （1）由BC ∥平面PAD ，利用线面平行的性质定理即可得到BC ∥AD ，再利用线面平行的判定定理即可证明AD ∥平面PBC ； （2）自P 作PH ⊥AB 于H ，由平面PAB ⊥平面ABCD ，可得PH ⊥平面ABCD ．于是BC ⊥PH ．又BC ⊥PB ，可得BC ⊥平面PAB ，进而得到面面垂直． 解答： 证明：（1）因为BC ∥平面PAD ，而BC ⊂平面ABCD ，平面ABCD ∩平面PAD=AD ， 所以BC ∥AD ．因为AD ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ， 所以AD ∥平面PBC ．（2）自P 作PH ⊥AB 于H ，因为平面PAB ⊥平面ABCD ，且平面PAB ∩平面ABCD=AB ， 所以PH ⊥平面ABCD ．因为BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥PH ． 因为∠PBC=90°，所以BC ⊥PB ，而∠PBA ≠90°，于是点H 与B 不重合，即PB ∩PH=H ． 因为PB ，PH ⊂平面PAB ，所以BC ⊥平面PAB ． 因为BC ⊂平面PBC ，故平面PBC ⊥平面PAB ． 点评： 本题综合考查了线面、面面垂直的判定与性质定理，线面平行的判定与性质定理，需要较强的推理能力和空间想象能力． 17．（14分）（2013•南通二模）为稳定房价，某地政府决定建造一批保障房供给社会．计划用1 600万元购得一块土地，在该土地上建造10幢楼房的住宅小区，每幢楼的楼层数相同，且每层建筑面积均为1 000平方米，每平方米的建筑费用与楼层有关，第x 层楼房每平方米的建筑费用为（kx+800）元（其中k 为常数）．经测算，若每幢楼为5层，则该小区每平方米的平均综合费用为1 270元．（每平方米平均综合费用=）．（1）求k 的值；（2）问要使该小区楼房每平方米的平均综合费用最低，应将这10幢楼房建成多少层？此时每平方米的平均综合费用为多少元？考点：函数模型的选择与应用． 分析：（1）求出每幢楼为5层时的所有建筑面积，算出所有建筑费，直接由每平方米平均综合费用=列式求出k 的值；（2）设小区每幢为n （n ∈N*）层时，每平方米平均综合费用为f （n ），同样利用题目给出的每平方米平均综合费用的关系式列出f （n ）的表达式，然后利用基本不等式求出f （n ）的最小值，并求出层数． 解答： 解：（1）如果每幢楼为5层，那么所有建筑面积为10×1000×5平方米， 所有建筑费用为[（k+800）+（2k+800）+（3k+800）+（4k+800）+（5k+800）]×1000×10，所以，1270=，解之得：k=50．（2）设小区每幢为n （n ∈N*）层时，每平方米平均综合费用为f （n ），由题设可知 f （n ）==+25n+825≥2+825=1 225（元）．当且仅当=25n ，即n=8时等号成立．答：该小区每幢建8层时，每平方米平均综合费用最低，此时每平方米平均综合费用为1225元． 点评： 本题考查了函数模型的选择及应用，考查了学生的数学建模能力和计算能力，是中档题．18．（16分）（2013•南通二模）已知函数f （x ）=（m ﹣3）x 3+9x ．（1）若函数f （x ）在区间（﹣∞，+∞）上是单调函数，求m 的取值范围； （2）若函数f （x ）在区间[1，2]上的最大值为4，求m 的值．考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值． 专题： 计算题；综合题；导数的综合应用． 分析： （1）函数f （x ）在R 上是单调函数，说明y=f'（x ）在（﹣∞，+∞）上恒大于等于0或恒小于等于0，根据f'（x ）=3（m ﹣3）x 2+9得f'（0）=9＞0，从而得到只有f'（x ）≥0在R 上恒成立，由此建立关于m 的不等式即可解出实数m 的取值范围．（2）根据（1）的结论，当m ≥3时f （x ）在R 上为增函数，当m ＜3时在区间，上单调递减，在区间单调递增．再根据m 的取值结合函数的单调性建立关于m 的方程，解得m=﹣2符合题意，得到本题答案．解答： 解：（1）求导数，得f'（x ）=3（m ﹣3）x 2+9∵f'（0）=9＞0，∴f （x ）在区间（﹣∞，+∞）上只能是单调增函数． …（3分）又∵f'（x ）=3（m ﹣3）x 2+9≥0在区间（﹣∞，+∞）上恒成立，∴，解之可得m ≥3，即m 的取值范围是[3，+∞）． …（6分）（2）由（1）的结论，得当m ≥3时，f （x ）在[1，2]上是增函数，所以[f （x）]max=f （2）=8（m﹣3）+18=4，解得m=＜3，不合题意舍去．…（8分）当m＜3时，f'（x）=3（m﹣3）x2+9=0，解之得．所以f （x）的单调区间为：在区间，上单调递减，在区间单调递增．…（10分）①当，即时，得，∴f （x）在区间[1，2]上单调增，可得[f （x）]max=f（2）=8（m﹣3）+18=4，m=，不满足题设要求．②当，即0＜m＜时，可得[f （x）]max=舍去．③当，即m≤0时，则，∴f （x）在区间[1，2]上单调减，可得[f （x）]max=f （1）=m+6=4，m=﹣2，符合题意综上所述，m的值为﹣2．…（16分）点评：本题给出三次多项式函数，讨论了函数的单调性，已知函数在区间[1，2]上的最大值为4的情况下求参数m的值．着重考查了利用导数研究函数的单调性、三次多项式函数在闭区间上最值的求法等知识，属于中档题．19．（16分）（2013•南通二模）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y2=r2和直线l：x=a（其中r和a均为常数，且0＜r＜a），M为l上一动点，A1，A2为圆C与x轴的两个交点，直线MA1，MA2与圆C的另一个交点分别为P、Q．（1）若r=2，M点的坐标为（4，2），求直线PQ方程；（2）求证：直线PQ过定点，并求定点的坐标．考点：直线与圆的位置关系；恒过定点的直线．专题：计算题；直线与圆．分析：（1）通过r=2，M点的坐标为（4，2），求出A1（﹣2，0），A2（2，0）．然后推出P、Q坐标，即可求直线PQ方程；（2）证明法一：设A1（﹣r，0），A2（r，0）．设M（a，t），求出直线MA1的方程，直线MA1的方程，通过直线与圆的方程联立，求出直线PQ的方程，然后说明经过定点，求定点的坐标．法二：设得A1（﹣r，0），A2（r，0）．设M（a，t），求出直线MA1的方程，与圆C的交点P设为P（x1，y1）．求出直线MA2的方程，与圆C的交点Q设为Q（x2，y2）．点P（x1，y1），Q（x2，y2）在曲线[（a+r）y﹣t（x+r）][（a﹣r）y﹣t（x﹣r）]=0上，有P（x1，y1），Q（x2，y2）在圆C上，求出公共弦方程，说明经过定点，求定点的坐标．解答：解：（1）当r=2，M（4，2），则A1（﹣2，0），A2（2，0）．直线MA1的方程：x﹣3y+2=0，解得．…（2分）直线MA2的方程：x﹣y﹣2=0，解得Q（0，﹣2）．…（4分）由两点式，得直线PQ方程为：2x﹣y﹣2=0．…（6分）（2）证法一：由题设得A1（﹣r，0），A2（r，0）．设M（a，t），直线MA1的方程是：y=（x+r），直线MA1的方程是：y=（x﹣r）．…（8分）解得．…（10分）解得．…（12分）于是直线PQ的斜率k PQ=，直线PQ的方程为．…（14分）上式中令y=0，得x=，是一个与t无关的常数．故直线PQ过定点．…（16分）证法二：由题设得A1（﹣r，0），A2（r，0）．设M（a，t），直线MA1的方程是：y=（x+r），与圆C的交点P设为P（x1，y1）．直线MA2的方程是：y=（x﹣r）；与圆C的交点Q设为Q（x2，y2）．则点P（x1，y1），Q（x2，y2）在曲线[（a+r）y﹣t（x+r）][（a﹣r）y﹣t（x﹣r）]=0上，…（10分）化简得（a2﹣r2）y2﹣2ty（ax﹣r2）+t2（x2﹣r2）=0．①又有P（x1，y1），Q（x2，y2）在圆C上，圆C：x2+y2﹣r2=0．②①﹣t2×②得（a2﹣r2）y2﹣2ty（ax﹣r2）﹣t2（x2﹣r2）﹣t2（x2+y2﹣r2）=0，化简得：（a2﹣r2）y﹣2t（ax﹣r2）﹣t2 y=0．所以直线PQ的方程为（a2﹣r2）y﹣2t（ax﹣r2）﹣t2 y=0．③…（14分）在③中令y=0得x=，故直线PQ过定点．…（16分）点评：不考查直线与圆的位置关系，直线系方程的应用，考查计算能力与转化思想．20．（16分）（2013•南通二模）设无穷数列{a n}满足：∀n∈N*，a n＜a n+1，．记．（1）若，求证：a1=2，并求c1的值；（2）若{c n}是公差为1的等差数列，问{a n}是否为等差数列，证明你的结论．考点：等差数列与等比数列的综合；等差关系的确定．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（1）根据已知条件排除a1=1、a1≥3即可证得a1=2，，通过计算可得a2=3，故=b2，代入数值可求得；（2）由a n+1＞a n⇒n≥2时，a n＞a n﹣1，由此可推得a n≥a m+（n﹣m）（m＜n），从而，即c n+1﹣c n≥a n+1﹣a n，又{c n}是公差为1的等差数列，所以1≥a n+1﹣a n，又a n+1﹣a n≥1，故a n+1﹣a n=1，由此可判断{a n}是否为等差数列；解答：（1）因为，所以若a1=1，则矛盾，若，可得1≥a1≥3矛盾，所以a1=2．于是，从而．（2）{a n}是公差为1的等差数列，证明如下：a n+1＞a n⇒n≥2时，a n＞a n﹣1，所以a n≥a n﹣1+1⇒a n≥a m+（n﹣m），（m＜n），即c n+1﹣c n≥a n+1﹣a n，由题设，1≥a n+1﹣a n，又a n+1﹣a n≥1，所以a n+1﹣a n=1，即{a n}是等差数列．点评：本题考查等差数列的判定及通项公式，考查学生的逻辑推理能力，难度较大．选做题：本大题包括A，B，C，D共4小题，请从这4题中选做2小题．每小题0分，共20分．请在答题卡上准确填涂题目标记．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21．（10分）（2013•南通二模）如图，AB是⊙O的直径，C，F是⊙O上的两点，OC⊥AB，过点F 作⊙O的切线FD交AB的延长线于点D．连接CF交AB于点E．求证：DE2=DB•DA．考点：与圆有关的比例线段．专题：证明题．分析：欲证DE2=DB•DA，由于由切割线定理得DF2=DB•DA，故只须证：DF=DE，也就是要证：∠CFD=∠DEF，这个等式利用垂直关系通过互余角的转换即得．解答：证明：连接OF．因为DF切⊙O于F，所以∠OFD=90°．所以∠OFC+∠CFD=90°．因为OC=OF，所以∠OCF=∠OFC．因为CO⊥AB于O，所以∠OCF+∠CEO=90°．（5分）所以∠CFD=∠CEO=∠DEF，所以DF=DE．因为DF是⊙O的切线，所以DF2=DB•DA．所以DE2=DB•DA．（10分）点评：本题考查的与圆有关的比例线段、切线的性质、切割线定理的运用．属于基础题．22．（10分）（2013•南通二模）选修4﹣2：矩阵与变换设曲线2x2+2xy+y2=1在矩阵（m＞0）对应的变换作用下得到的曲线为x2+y2=1，求矩阵M 的逆矩阵M﹣1．考点：逆变换与逆矩阵．专题：计算题．分析：确定点在矩阵对应的变换作用下得到点坐标之间的关系，利用变换前后的方程，即可求得矩阵M；再求出对应行列式的值，即可得到M的逆矩阵．解答：解：设曲线2x2+2xy+y2=1上任一点P（x，y）在矩阵M对应的变换下的像是P'（x'，y'），由，得因为P'（x'，y'）在圆x2+y2=1上，所以（mx）2+（nx+y）2=1，化简可得（m2+n2）x2+2nxy+y2=1．…（3分）依题意可得m2+n2=2，2n=2，m=1，n=1或m=﹣1，n=1，而由m＞0可得m=1，n=1．…（6分）故，故矩阵M的逆矩阵M﹣1=．…（10分）点评：本题考查矩阵与变换，考查逆矩阵的求法，确定变换前后坐标之间的关系是解题的关键．23．（2013•南通二模）选修4﹣4：坐标系与参数方程在平面直角坐标xOy中，已知圆，圆．（1）在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别求圆C1，C2的极坐标方程及这两个圆的交点的极坐标；（2）求圆C1与C2的公共弦的参数方程．考点：简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化．专题：直线与圆．分析：（1）利用x=ρcosθ，y=ρsinθ，以及x2+y2=ρ2，直接写出圆C1，C2的极坐标方程，求出圆C1，C2的交点极坐标；（2）求出两个圆的直角坐标，直接写出圆C1与C2的公共弦的参数方程．解答：解：（1）圆C1的极坐标方程为ρ=2，圆C2的极坐标方程为ρ=4cosθ，由得，故圆C1，C2交点坐标为圆．…（5分）（2）由（1）得，圆C1，C2交点直角坐标为，故圆C1与C2的公共弦的参数方程为…（10分）注：第（1）小题中交点的极坐标表示不唯一；第（2）小题的结果中，若未注明参数范围，扣（2分）．点评：本题考查简单曲线的极坐标方程，直线的参数方程的求法，极坐标与直角坐标的互化，考查计算能力．24．（2013•南通二模）选修4﹣5：不等式选讲若正数a，b，c满足a+b+c=1，求的最小值．考点：一般形式的柯西不等式．专题：计算题．分析：利用柯西不等式，即可求得的最小值．解答：解：∵正数a，b，c满足a+b+c=1，∴（）[（3a+2）+（3b+2）+（3c+2）]≥（1+1+1）2，即当且仅当a=b=c=时，取等号∴当a=b=c=时，的最小值为1．点评：本题考查求最小值，解题的关键是利用柯西不等式进行求解，属于中档题．必做题：本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．（10分）（2013•南通二模）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B⊥平面ABC，AB⊥AC，且AB=AC=A1B=2．（1）求棱AA1与BC所成的角的大小；（2）在棱B1C1上确定一点P，使二面角P﹣AB﹣A1的平面角的余弦值为．考点：用空间向量求平面间的夹角；异面直线及其所成的角；二面角的平面角及求法．专题：空间角．分析：（1）因为AB⊥AC，A1B⊥平面ABC，所以以A为坐标原点，分别以AC、AB所在直线分别为x轴和y轴，以过A，且平行于BA1的直线为z轴建立空间直角坐标系，由AB=AC=A1B=2求出所要用到的点的坐标，求出棱AA1与BC上的两个向量，由向量的夹角求棱AA1与BC 所成的角的大小；（2）设棱B1C1上的一点P，由向量共线得到P点的坐标，然后求出两个平面PAB与平面ABA1的一个法向量，把二面角P﹣AB﹣A1的平面角的余弦值为转化为它们法向量所成角的余弦值，由此确定出P点的坐标．解答：解：（1）如图，以A为原点，AC、AB所在直线分别为x轴和y轴建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），C（2，0，0），B（0，2，0），A1（0，2，2），B1（0，4，2），，．所以==，所以向量与所成的角为，故AA1与棱BC所成的角是．（2）设P为棱B1C1上的点，由，得P（2λ，4﹣2λ，2）．设平面PAB的法向量为=（x，y，z），，，由，得，取x=1，得z=﹣λ，故=（1，0，﹣λ）．而平面ABA1的一个法向量是=（1，0，0），则=，解得，即P为棱B1C1中点，其坐标为P（1，3，2）．点评：本题考查了异面直线所成的角，考查了二面角的平面角的求法，解答的关键是首先建立正确的空间右手系，然后准确计算出一些点的坐标，此题是中档题．26．（10分）（2013•南通二模）设b＞0，函数，记F（x）=f′（x）（f′（x）是函数f（x）的导函数），且当x=1时，F（x）取得极小值2．（1）求函数F（x）的单调增区间；（2）证明|[F（x）]n|﹣|F（x n）|≥2n﹣2（n∈N*）．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；二项式定理的应用． 专题： 计算题；综合题；导数的综合应用． 分析：（1）将f'（x ）求导数并化简得，然后再求F （x ）的导数得，由F'（1）=0并结合a ＞0建立关于a 、b 的方程组，解之即可得到a=b=1，进而可得F （x ）的单调增区间为（1，+∞）．（2）利用二项式定理将不等式左边展开合并，得|[F （x ）]n|﹣|F （x n）|=，利用基本不等式证出，由此即可证出原不等式对任意的n ∈N *恒成立．解答：解：（1）根据题意，得．于是，若a ＜0，则F'（x ）＜0，与F （x ）有极小值矛盾，所以a ＞0．令F'（x ）=0，并考虑到x ＞0，可知仅当时，F （x ）取得极小值．所以解得a=b=1．…（4分）故，由F'（x ）＞0，得x ＞1，所以F （x ）的单调增区间为（1，+∞）．（2）因为x ＞0，所以记得g （x ）=根据基本不等式，得，∴将此式代入g （x ）表达式，可得，因此，|[F （x ）]n|﹣|F （x n）|≥2n﹣2（n ∈N *）．…（10分）点评： 本题给出基本初等函数，在已知当x=1时函数取得极小值2的情况下求函数F （x ）的单调增区间，并依此证明不等式恒成立．着重考查了基本初等函数的性质、利用导数研究函数的单调性、二项式定理和不等式的证明等知识，属于中档题．。

徐州市2012–––2013学年度高三第一次质量检测数学Ⅰ参考公式：球的表面积为24R S π=，其中R 表示球的半径。

一、填空题：本大题共14题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题纸相应位置上．．．．．．．．.． 1.已知全集},3,2,1,0{=U 集合},3,2,1{},1,0{==B A 则=B A C U I )( ▲ . 2.已知i 是虚数单位，实数b a ,满足,10))(43(i bi a i =++则=-b a 43 ▲ .3.一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出了如图所示的频率分布直方图，现要从这10000人中再用分层抽样的方法抽出100人作进一步调查，则月收入在)3000,2500[（元）内应抽出 ▲ 人.4.如图是一个算法的流程图，若输入n 的值是10，则输出S 的值是 ▲ .5.若一个长方体的长、宽、高分别为3、2、1，则它的外接球的表面积是 ▲ .6.从0，1，2，3这四个数字中一次随机取两个数字，若用这两个数字组成无重复数字的两位数，则所得两位数为偶数的概率是 ▲ . 7.已知等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，若62,256382-==S a a a a ，则1a 的值是 ▲.（第3题图）（第4题图8.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的右焦点为,F 若以F 为圆心的圆05622=+-+x y x 与此双曲线的渐近线相切，则该双曲线的离心率为 ▲ .9.由命题“02,2≤++∈∃m x x R x ”是假命题，求得实数m 的取值范围是),(+∞a ，则实数a的值是 ▲ .10.已知实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+++≥≥0,12,0k y x x y x （k 为常数），若目标函数y x z +=2的最大值是311，则实数k 的值是 ▲ . 11.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈=]3,1(,2329]1,0[,3)(x x x x f x ，当]1,0[∈t 时，]1,0[))((∈t f f ，则实数t 的取值范围是 ▲ .12.已知角ϕ的终边经过点)1,1(-P ，点),(),,(2211y x B y x A 是函数)0)(sin()(>+=ωϕωx x f 图象上的任意两点，若2)()(21=-x f x f 时，21x x -的最小值为3π，则)2(πf 的值是 ▲ .13.若对满足条件)0,0(3>>=++y x xy y x 的任意y x ,，01)()(2≥++-+y x a y x 恒成立，则实数a 的取值范围是 ▲ . 14.如图，在等腰三角形ABC 中，已知F E A AC AB ,,120,1︒===分别是边AC AB ,上的点，且,,n m ==其中),1,0(,∈n m 若BC EF ,的中点分别为,,N M 且,14=+n m则的最小值是 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题．．纸指定的区域内作答．．．．．．．．．，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分14分）在△ABC ，已知.sin sin 3)sin sin )(sin sin sin (sin C B A C B C B A =-+++ （1） 求角A 值；（2） 求C B cos sin 3-的最大值.AB MNEF第14题图16.（本小题满分14分）如图，在四棱柱1111D C B A ABCD -中，已知平面⊥C C AA 11平面,ABCD 且3===CA BC AB ,1==CD AD .（1） 求证：;1AA BD ⊥（2） 若E 为棱BC 的中点，求证：//AE 平面11D DCC .17.（本小题满分14分）如图，两座建筑物CD AB ,的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是9cm 和15cm ，从建筑物AB 的顶部A 看建筑物CD 的视角︒=∠45CAD . (1) 求BC 的长度；(2) 在线段BC 上取一点(P 点P 与点C B ,不重合），从点P 看这两座建筑物的视角分别为,,βα=∠=∠DPC APB 问点P 在何处时，βα+最小？18.（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x E 的焦距为2，且过点1A E CD B A1D1B 1C 第16题ABDCPβ α第17题图)26,2(. （1） 求椭圆E 的方程；（2） 若点A ，B 分别是椭圆E 的左、右顶点，直线l 经过点B 且垂直于x 轴，点P 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，直线AP 交l 于点.M（ⅰ）设直线OM 的斜率为,1k 直线BP 的斜率为2k ，求证：21k k 为定值；（ⅱ）设过点M 垂直于PB 的直线为m . 求证：直线m 过定点，并求出定点的坐标.19. （本小题满分16分）已知函数).1,0(ln )(2≠>-+=a a a x x a x f x （1） 求函数)(x f 在点))0(,0(f 处的切线方程； （2） 求函数)(x f 单调区间；（3） 若存在]1,1[,21-∈x x ，使得e e x f x f (1)()(21-≥-是自然对数的底数），求实数a的取值范围.20. （本小题满分16分）已知,0,0<>b a 且,0≠+b a 令,,11b b a a ==且对任意正整数k ，当0≥+k k b a 时，;43,412111k k k k k b b b a a =-=++当0<+k k b a 时，.43,214111k k k k k a a b a b =+-=++ （1） 求数列}{n n b a +的通项公式；（2） 若对任意的正整数n ，0<+n n b a 恒成立，问是否存在b a ,使得}{n b 为等比数列？若存在，求出b a ,满足的条件；若不存在，说明理由； （3） 若对任意的正整数,0,<+n n b a n 且,43122+=n n b b 求数列}{n b 的通项公式.徐州市2012–––2013学年度高三第一次质量检测数学Ⅱ（附加题）21.【选做题】本题包括A 、B 、C 、D四小题，请选定其中两题，并在答题卡指定区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A[选修4—1 ：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，AB 是⊙O 的一条切线，切点为,B 直线ADE ,CGE CFD ,都是⊙O 的割线，已知.AB AC =求证：AC FG //B. [选修4—2 ：矩阵与变换]（本小题满分10分）若圆1:22=+y x C 在矩阵)0,0(00>>⎥⎦⎤⎢⎣⎡=b a b a A 对应的变换下变成椭圆,134:22=+y x E 求矩阵A 的逆矩阵1-A .C. [选修4—4 ：坐标系与参数方程]（本小题满分10分） 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为θθθ(sin 22,cos 22⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=r y r x 为参数,)0>r ,以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为,1)4sin(=+πθρ若圆C上的点到直线l 的最大距离为3，求r 的值. D. [选修4—5 ：不等式选讲]（本小题满分10分）已知实数z y x ,,满足,2=++z y x 求22232z y x ++的最小值.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22.(本小题满分10分)如图,已知抛物线x y C 4:2=的焦点为,F 过F 的直线l 与抛物线C 交于),(),0)(,(22111y x B y y x A >两点,T 为抛物线的准线与x 轴的交点.第21—A 题图(1) 若,1=⋅TB TA 求直线l 的斜率； (2) 求ATF ∠的最大值.23.（本小题满分10分） 已知数列}{n a 满足),(12121*21N n na a a n n n ∈+-=+且.31=a （1） 计算432,,a a a 的值，由此猜想数列}{n a 的通项公式，并给出证明；（2） 求证：当2≥n 时，.4n nnn a ≥徐州市2012—2013学年度高三第一次质量检测数学Ⅰ试题参考答案与评分标准一、填空题1．{2,3} 2．0 3．25 4．54 5．6π 6．597．2- 89．1 10．3- 11．37[log ,1]3 12．2 13．37(,]6-∞ 14．7二、解答题15．⑴因为(sin sin sin )(sin sin sin )3sin sin A B C B C A B C +++-=，由正弦定理，得()()3a b c b c a bc +++-=，…………………………………………2分所以222b c a bc +-=，所以2221cos 22b c a A bc +-==，………………………………4分因为(0,)A ∈π，所以3A π=．…………………………………………………………6分⑵ 由3A π=，得23B C π+=cos B C-2cos()3B B π=--1(cos)2B B B=--sin()6Bπ=+，……………………………………10分因为23Bπ<<，所以666Bππ5π<<+，……………………………………………12分当62Bππ=+，即3Bπ=cosB C-的最大值为1．……………………14分16．⑴在四边形ABCD中，因为BA BC=，DA DC=，所以BD AC⊥，……………2分又平面11AAC C⊥平面ABCD，且平面11AAC C I平面ABCD AC=，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥平面11AA C C，………………………………………4分又因为1AA⊂平面11AA C C，所以1BD AA⊥．………………………………………7分⑵在三角形ABC中，因为AB AC=，且E为BC中点，所以BCAE⊥，………9分又因为在四边形ABCD中，AB BC CA===，1DA DC==，所以60ACB∠=︒，30ACD∠=︒，所以BCDC⊥，所以AE P DC，…………12分因为DC⊂平面11DDCC，AE⊄平面11DDCC，所以AE P平面11DDCC．…14分17．⑴作AE⊥CD，垂足为E，则9CE=，6DE=，设BC x=，则tan tantan tan()1tan tanCAE DAECAD CAE DAECAE DAE∠∠∠=∠∠=-∠⨯∠++…………………2分961961x xx x==-⋅+，化简得215540x x--=，解之得，18x=或3x=-（舍）答：BC的长度为18m．………………………………………………………………6分⑵设BP t=，则18(018)CP t t=-<<，2291516266(27)18tan()9151813518135118t tt tt t t tt tαβ-===-----⋅-++++++．………………………8分设227()18135tf tt t=--++，222542723()(18135)t tf tt t-⨯'=-++，令()0f t'=，因为018t<<，得27t=，当27)t∈时，()0f t'<，()f t是减函数；当27,18)t∈-时，()0f t'>，()f t是增函数，所以，当27t=时，()f t取得最小值，即tan()αβ+取得最小值，………12分因为2181350t t--<+恒成立，所以()0f t<，所以tan()0αβ<+，(,)2αβπ∈π+，因为tan y x =在(,)2ππ上是增函数，所以当27t =时，αβ+取得最小值． 答：当BP为27)m 时，αβ+取得最小值． ……………………………14分 18．⑴由题意得22c = ，所以1c =，又222312a b =+，…………………………………2分 消去a 可得，422530b b --=，解得23b =或212b =-（舍去），则24a =，所以椭圆E 的方程为22143x y +=．……………………………………………………4分⑵（ⅰ）设111(,)(0)P x y y ≠，0(2,)M y ，则012y k =，1212yk x =-，因为,,A P B 三点共线，所以10142y y x =+， 所以，20111221142(2)2(4)y y y k k x x ==--，8分 因为11(,)P x y 在椭圆上，所以22113(4)4y x =-，故211221432(4)2y k k x ==--为定值．10分（ⅱ）直线BP 的斜率为1212y k x =-，直线m 的斜率为112m x k y -=, 则直线m 的方程为1012(2)x y y x y --=-，…………………………………………12分 111101111222(2)4(2)2x x x y y x y x y y y x ---=-+=-++2211111122(4)4(2)x x y x y x y --+=++ 2211111122(4)123(2)x x x x y x y --+-=++=111122x x x y y --+=112(1)x x y -+，所以直线m 过定点(1,0)-． ………………………………………………………16分 19．⑴因为函数2()ln (0,1)x f x a x x a a a =->≠+，所以()ln 2ln x f x a a x a '=-+，(0)0f '=，…………………………………………2分 又因为(0)1f =，所以函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为1y =． …………4分 ⑵由⑴，()ln 2ln 2(1)ln x x f x a a x a x a a '=-=-++．因为当0,1a a >≠时，总有()f x '在R 上是增函数， ………………………………8分 又(0)0f '=，所以不等式()0f x '>的解集为(0,)∞+，故函数()f x 的单调增区间为(0,)∞+．………………………………………………10分⑶因为存在12,[1,1]x x ∈-，使得12()()e 1f x f x --≥成立， 而当[1,1]x ∈-时，12max min ()()()()f x f x f x f x --≤，所以只要max min ()()e 1f x f x --≥即可．……………………………………………12分 又因为x ，()f x '，()f x 的变化情况如下表所示：所以()f x 在[1,0]-上是减函数，在[0,1]上是增函数，所以当[1,1]x ∈-时，()f x 的最小值()()min 01f x f ==，()f x 的最大值()max f x 为()1f -和()1f 中的最大值．因为11(1)(1)(1ln )(1ln )2ln f f a a a a a aa--=--=--+++， 令1()2ln (0)g a a a a a =-->，因为22121()1(1)0g a a a a '=-=->+，所以1()2ln g a a a a=--在()0,a ∈+∞上是增函数．而(1)0g =，故当1a >时，()0g a >，即(1)(1)f f >-；当01a <<时，()0g a <，即(1)(1)f f <-．………………………………………14分 所以，当1a >时，(1)(0)e 1f f --≥，即ln e 1a a --≥，函数ln y a a =-在(1,)a ∈+∞上是增函数，解得e a ≥；当01a <<时，(1)(0)e 1f f ---≥，即1ln e 1a a+-≥，函数1ln y a a =+在(0,1)a ∈上是减函数，解得10ea <≤． 综上可知，所求a 的取值范围为1(0,][e,)ea ∈∞+U ．………………………………16分20．⑴当0n n a b +≥时，11124n n n a a b +=- 且134n n b b +=，所以111131()2442n n n n n n n a b a b b a b +++=-+=+，……………………………………2分又当0n n a b +<时，11142n n n b a b +=-+且134n n a a +=，113111()4422n n n n n n n a b a a b a b +++=-+=+，…………………………………………4分因此，数列{}n n b a +是以b a +为首项，12为公比的等比数列， 所以，n n b a +11()2n a b -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．………………………………………………………5分⑵因为0n n a b +<，所以n n a a 431=+，所以134n n a a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，11()2n n n b a b a -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭1113()24n n a b a --⎛⎫⎛⎫=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，…………………………………8分假设存在a ，b ，使得{}n b 能构成等比数列，则1b b =，224b a b -=，34516b ab -=， 故2245()()416b a b ab --=，化简得0=+b a ，与题中0a b +≠矛盾， 故不存在a ，b 使得{}n b 为等比数列． ……………………………………………10分 ⑶因为0n n a b <+且12243+=n n b b ，所以121222141--+-=n n n b a b 所以1243+n b 21212121211113142444n n n n n a b a b b -----=-+=-+-所以2121212131()()44n n n n b b a b +----=-+，……………………………………………12分由⑴知，2221211()2n n n a b a b ---⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，所以222121132n n n a b b b -+-+⎛⎫-=- ⎪⎝⎭)()(321213112----+-+=n n n b b b b b b Λ246241111132222n a b b -⎡⎤+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L11114()141139414n n a b a b b b --⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤++⎛⎫⎝⎭⎢⎥=-=--⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦-⎢⎥⎣⎦，…………………………………13分22133()114434nn n a b b b b +⎡⎤+⎛⎫==--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，………………………………………………14分所以，1224()11,943()1-1,434n n n a b b n b a b b n -⎧⎡⎤+⎛⎫⎪⎢⎥-- ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎪⎣⎦=⎨⎡⎤⎪+⎛⎫⎢⎥⎪- ⎪⎢⎥⎝⎭⎪⎣⎦⎩．为奇数时,为偶数时…………………………………16分徐州市2012—2013学年度高三第一次质量检测数学Ⅱ试题参考答案与评分标准21．A ．因为AB 为切线，AE 为割线，所以2AB AD AE =⋅，又因为AC AB =，所以2AD AE AC ⋅=．……………………………………………4分 所以AD AC AC AE=，又因为EAC DAC ∠=∠，所以ADC △∽ACE △， 所以ADC ACE ∠=∠，又因为ADC EGF ∠=∠，所以EGF ACE ∠=∠，所以GF AC P ．………………………………………………………………………10分 B ．设点(,)P x y 为圆C ：221x y +=上任意一点，经过矩阵A 变换后对应点为(,)P x y '''，则00a x ax x b y by y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以,x ax y by '=⎧⎨'=⎩．…………………………………………2分 因为点(,)P x y '''在椭圆E ：22143x y =+上，所以2222143a xb y =+，………………4分 又圆方程为221x y +=，故221,41,3a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即224,3,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，又0a >，0b >，所以2a =，b =所以200⎡⎤=⎢⎣A ，……………………………………………………………………6分所以11020-⎡⎤⎢⎥⎢=⎢⎢⎣A ．…………………………………………………………………10分 C ．因为圆C的参数方程为cos ,sin x r y r θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（θ为参数，0r >），消去参数得，()2220x y r r ⎛⎛+++=> ⎝⎭⎝⎭，所以圆心C ⎛ ⎝⎭，半径为r ，……3分 因为直线l 的极坐标方程为sin()14ρθπ+=，化为普通方程为x y +=6分 圆心C到直线x y +=2d ==，……………………8分又因为圆C 上的点到直线l 的最大距离为3，即3d r +=，所以321r =-=．…10分D．由柯西不等式，2222222()))1x y z z ⎡⎤⎡⎤++++⋅++⎢⎥⎣⎦⎣⎦≤，……5分 因为2x y z =++，所以222242311x y z ++≥，1z ==，即6412,,111111x y z ===时，等号成立， 所以22223x y z ++的最小值为2411．…………………………………………………10分 22．⑴因为抛物线24y x =焦点为()1,0F ，(1,0)T -．当l x ⊥轴时，(1,2)A ，(1,2)B -，此时0TA TB =u u r u u r g ，与1TA TB =u u r u u r g 矛盾，……………2分所以设直线l 的方程为(1)y k x =-，代入24y x =，得2222(24)0k x k x k -=++， 则212224k x x k=++，121x x =， ①所以2212121616y y x x ==，所以124y y =-，②…4分 因为1TA TB =u u r u u r g ，所以1212(1)(1)1x x y y =+++，将①②代入并整理得，24k =，所以2k =±.………………………………………………………………………………6分⑵因为10y >，所以11211tan 114y y ATF y x ∠==++111114y y =+≤，当且仅当1114y y =，即12y =时，取等，所以4ATF π∠≤，所以ATF ∠的最大值为4π.……………………10分 23．⑴24a =，35a =，46a =，猜想：*2()n a n n =∈+N ．……………………………2分①当1n =时，13a =，结论成立；②假设当*(1,)n k k k =∈N ≥时，结论成立，即2k a k =+， 则当1n k =+时，22111111=(2)(+2)+1=+3=(+1)+22222k k k a a ka k k k k k +=-+-+， 即当1n k =+时，结论也成立，由①②得，数列{}n a 的通项公式为*2()n a n n =∈+N ．5分⑵原不等式等价于2(1)4n n+≥．证明：显然，当2n =时，等号成立；当2n >时，01222222(1)C C C ()C ()n n n n n n n n n n n +=++++L 012233222C C C ()C ()n n n n n n n+++≥ 0122222>C C C ()54n n n n n n ++=->， 综上所述，当2n ≥时，4n n na n ≥．…………………………………………………10分。

江苏省2014届一轮复习数学试题选编27：概率（学生版）填空题1 ．（南京市、盐城市2013届高三年级第一次模拟考试数学试题）袋中装有2个红球, 2个白球, 除颜色外其余均相同, 现从中任意摸出2个小球, 则摸出的两球颜色不同的概率为 .2 ．（江苏省徐州市2013届高三考前模拟数学试题）在集合{|,1,2,,10}6n M x x n π===中任取一个元素,所取元素恰好满足方程1cos 2x =的概率是________. 3 ．（南京市、淮安市2013届高三第二次模拟考试数学试卷）盒子中有大小相同的3只白球、2只黑球,若从中随机地摸出两只球,则两只球颜色相同的概率是______.4 ．（江苏省盐城市2013届高三年级第二次模拟考试数学试卷）现有在外观上没有区别的5件产品,其中3件合格,2件不合格,从中任意抽检2件,则一件合格,另一件不合格的概率为________.5 ．（2011年高考（江苏卷））从1,2,3,4这四个数中一次随机取两个数,则其中一个数是另一个的两倍的概率是______6 ．（常州市2013届高三教学期末调研测试数学试题）已知某拍卖行组织拍卖的10幅名画中,有2幅是膺品.某人在这次拍卖中随机买入了一幅画,则此人买入的这幅画是膺品的事件的概率为______.7 ．（2012年江苏理）现有10个数,它们能构成一个以1为首项,3-为公比的等比数列,若从这10个数中随机抽取一个数,则它小于8的概率是____.8 ．（苏州市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）有5个数成公差不为零的等差数列,这5个数的和为15,若从这5个数中随机抽取一个数,则它小于3的概率是_______.9 ．（江苏省连云港市2013届高三上学期摸底考试（数学）（选修物理））在4次独立重复试验中,随机事件A 恰好发生l 次的概率不大于其恰好发生两次的概率,则事件A 在一次试验中发生的概率p 的取值范围是___________________.10．（徐州、宿迁市2013届高三年级第三次模拟考试数学试卷）已知数字发生器每次等可能地输出数字1或2中的一个数字,则连续输出的4个数字之和能被3整除的概率是___.11．（2009高考(江苏)）现有5根竹竿，它们的长度（单位：m ）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m 的概率为___★___.12．（江苏省泰州市2012-2013学年度第一学期期末考试高三数学试题）如图,ABCD 是4⨯5的方格纸,向此四边形ABCD 内抛撒一粒豆子,则豆子恰好落在阴影部分内的概率为_______________13．（江苏省苏锡常镇四市2013届高三教学情况调研(一)数学试题）正四面体的四个面上分别写有数字0,1,2,3,把两个这样的四面体抛在桌面上,则露在外面的6个数字恰好是2,0,1,3,0,3的概率为________.14．（江苏省徐州市2013届高三上学期模底考试数学试题）在大小相同的4个小球中,2个是红球,2个是白球,若从中随机抽取2个球,则所抽取的球中至少有一个红球的概率是________.15．（江苏省泰州、南通、扬州、宿迁、淮安五市2013届高三第三次调研测试数学试卷）从集合{}1 2 3 4 5 6 7 8 9，，，，，，，，中任取两个不同的数,则其中一个数恰是另一个数的3倍的概率为______.16．（江苏省连云港市2013届高三上学期摸底考试（数学）（选修物理））已知一组抛物线2y ax bx c =++,其中a 为1、3、5、7中任取的一个数,b 为2、4、6、8中任取的一个数,从这些抛物线中任意抽取两条,它们在与直线12x =交点处的切线相互平行的概率是_________________.17．（江苏省苏南四校2013届高三12月月考试数学试题）一个质地均匀的正四面体(侧棱长与底面边长相等的正三棱锥)骰子四个面上分别标有1,2,3,4这四个数字,抛掷这颗正四面体骰子,观察抛掷后能看到的数字.若连续抛掷两次,两次朝下面上的数字之积大于6的概率是______.18．（2013江苏高考数学）现在某类病毒记作n m Y X ,其中正整数m ,n (7≤m ,9≤n )可以任意选取,则n m ，都取到奇数的概率为____________.19．（苏北三市（徐州、淮安、宿迁）2013届高三第二次调研考试数学试卷）从0,1,2,3这四个数字中一次随机取两个数字,若用这两个数字组成无重复数字的两位数,则所得两位数为偶数的概率是_____.20．（江苏省2013届高三高考压轴数学试题）从集合{-1,1,2,3}中随机选取一个数记为m,从集合{-1,1,2}中随机选取一个数记为n,则方程22x ym n+=1表示双曲线的概率为________.21．（江苏省扬州市2013届高三下学期5月考前适应性考试数学（理）试题）已知某一组数据8,9,11,12,x,若这组数据的平均数为10,则其方差为______.若以连续掷两次骰子得到的点数nm,分别作为点P的横、纵坐标,则点P在直线4x y+=上的概率为______.22．（连云港市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）在数字1、2、3、4四个数中,任取两个不同的数,其和大于积的概率是___.23．（江苏省淮安市2013届高三上学期第一次调研测试数学试题）连续抛掷一个骰子(一种各面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)两次,则出现向上点数之和大于9的概率是___________.24．（江苏省南京市四区县2013届高三12月联考数学试题）若将一颗质地均匀的骰子(一种各面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具),先后抛掷两次,则出现向上的点数之和为6的概率是____25．（江苏省盐城市2013届高三10月摸底考试数学试题）已知甲、乙、丙三人在3天节日中值班,每人值班1天,那么甲排在乙前面值班的概率是________.26．（江苏省徐州市2013届高三期中模拟数学试题）在闭区间 [-1,1]上任取两个实数,则它们的和不大于1的概率是_______________.27．（江苏省南京市2013届高三9月学情调研试题（数学）WORD版）有3个兴趣小组,甲､乙两位同学各参加其中一个小组,且他们参加各个兴趣小组是等可能的,则甲､乙两位同学参加同一个兴趣小组的概率为_______.28．（苏州市第一中学2013届高三“三模”数学试卷及解答）有一个容量为66的样本,数据的分组[1.5,3.5)[3.5,5.5)[5.5,7.5)[7.5,9.5)[9.5,11.5)频数 6 14 16 20 10 根据样本的频率分布估计,数据落在[5.5,9.5)的概率约是________.29．（扬州市2012-2013学年度第一学期期末检测高三数学试题）先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6),骰子朝上的面的点数分别为x,y,则x y 2=的概率为_____.30．（2013江苏高考数学）抽样统计甲、乙两位设计运动员的5此训练成绩(单位:环),结果如下:31．（江苏省2013届高三高考模拟卷（二）（数学） ）在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4的四个小球,这些小球除标注的数字外完全相同.现从中随机取出2个小球,则取出的小球标注的数字之和为5的概率是_______.32．（2012-2013学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学试题）在不等式组031y x x y x ⎧⎪≤⎪<≤⎨⎪⎪>⎩所表示的平面区域内所有的格点(横、纵坐标均为整数的点称为格点)中任取3个点,则该3点恰能成为一个三角形的三个顶点的概率为______.33．（江苏省南通市、泰州市、扬州市、宿迁市2013届高三第二次调研（3月）测试数学试题）设数列{a n }满足：()()*3118220()n n n n a a a a a n ++=---=∈N ，，则a 1的值大于20的概率为 ▲ ．34．（2010年高考（江苏））盒子中有大小相同的3只小球,1只黑球,若从中随机地摸出两只球,两只球颜色不同的概率是____35．（南京市、盐城市2013届高三第三次模拟考试数学试卷）在一个盒子中有分别标有数字1,2,3,4,5的5张卡片,现从中一次取出2张卡片,则取到的卡片上的数字之积为偶数的概率是________.36．（苏北老四所县中2013届高三新学期调研考试）当A ，B ∈{1，2，3}时，在构成的不同直线Ax －By ＝0中，任取一条，其倾斜角小于45︒的概率是___________37．（江苏省无锡市2013届高三上学期期中考试数学试题）某学校有两个食堂,甲,乙,丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐,则他们在同一个食堂用餐的概率为___________.解答题38．（2010年高考（江苏））某厂生产甲、乙两种产品,生产甲产品一等品80%,二等品20%;生产乙产品,一等品90%,二等品10%.生产一件甲产品,如果是一等品可获利4万元,若是二等品则要亏损1万元;生产一件乙产品,如果是一等品可获利6万元,若是二等品则要亏损2万元.设生产各种产品相互独立(1)记x(单位:万元)为生产1件甲产品和件乙产品可获得的总利润,求x 的分布列 (2)求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率39．（2012年江苏理）设ξ为随机变量,从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条,当两条棱相交时,0ξ=;当两条棱平行时,ξ的值为两条棱之间的距离;当两条棱异面时,1ξ=. (1)求概率(0)P ξ=;(2)求ξ的分布列,并求其数学期望()E ξ.40．（江苏省苏锡常镇四市2013届高三教学情况调研(一)数学试题）(1)山水城市镇江有“三山”——金山、焦山、北固山,一位游客游览这三个景点的概率都是0.5,且该游客是否游览这三个景点相互独立,用ξ表示这位游客游览的景点数和没有游览的景点数差的绝对值,求ξ的分布列和数学期望;(2)某城市有n (n 为奇数,3n ≥)个景点,一位游客游览每个景点的概率都是0.5,且该游客是否游览这n 个景点相互独立,用ξ表示这位游客游览的景点数和没有游览的景点数差的绝对值,求ξ的分布列和数学期望.41．（苏北老四所县中2013届高三新学期调研考试）如图，已知面积为1的正三角形ABC 三边的中点分别为D 、E 、F ，从A ，B,C,D ，E ，F 六个点中任取三个不同的点，所构成的三角形的面积为X （三点共线时，规定X=0）（1）求1()2P X ≥；（2）求E （X ）42．（苏州市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）设10件同类型的零件中有2CB件不合格品,从所有零件中依次不放回地取出3件,以X表示取出的3件中不合格品的件数.(1)求“第一次取得正品且第二次取得次品”的概率;E X.(2)求X的概率分布和数学期望()43．（江苏省南京市2013届高三9月学情调研试题（数学）WORD版）在一个盒子中有大小一样的7个球,球上分别标有数字1,1,2,2,2,3,3.现从盒子中同时摸出3个球,设随机变量X为摸出的3个球上的数字和.(1)求概率P(X≥7);(2)求X的概率分布列,并求其数学期望E(X).2013届高三学情调研卷44．（江苏省扬州市2013届高三下学期5月考前适应性考试数学（理）试题）某高校设计了一个实验学科的实验考查方案:考生从6道备选题中一次性随机抽取3题,按照题目要求独立完成全部实验操作.规定:至少正确完成其中2题的便可提交通过.已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成,2道题不能完成.(1)求出甲考生正确完成题数的概率分布列,并计算数学期望; (2)若考生乙每题正确完成的概率都是23,且每题正确完成与否互不影响.试从至少正确完成2题的概率分析比较两位考生的实验操作能力.45．（江苏省无锡市2013届高三上学期期末考试数学试卷）某银行的一个营业窗口可办理四类业务,假设顾客办理业务所需的时间互相独立,且都是整数分钟,经统计以往100位顾客办理业务所需的时间(t),结果如下:注:银行工作人员在办理两项业务时的间隔时间忽略不计,并将频率视为概率. (Ⅰ)求银行工作人员恰好在第6分钟开始办理第三位顾客的业务的概率;(Ⅱ)用X 表示至第4分钟末已办理完业务的顾客人数,求X 的分布列及数学期望.46．（2009高考(江苏)）对于正整数n ≥2，用n T 表示关于x 的一元二次方程220xax b ++=有实数根的有序数组(,)a b 的组数，其中{},1,2,,a b n ∈（a 和b 可以相等）；对于随机选取的{},1,2,,a b n ∈（a 和b 可以相等），记n P 为关于x 的一元二次方程220x ax b ++=有实数根的概率。

函数的基本性质 高考试题1.(2013年北京卷,文3)以下函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是( ) (A)y=1x(B)y=e -x解析:y=1x是奇函数,选项A 错;y=e -x 是指数函数,非奇非偶,选项B 错;y=lg|x|是偶函数,但在(0,+∞)上单调递增,选项D 错;只有选项C 是偶函数且在(0,+∞)上单调递减.应选C. 答案:C2.(2012年陕西卷,文2)以下函数中,既是奇函数又是增函数的为( )(A)y=x+1 (B)y=-x 3 (C)y=1x(D)y=x|x|解析:若为奇函数,排除A,若为增函数,排除B 、C,应选D. 答案:D3.(2010年北京卷,文6)给定函数①y=12x ,②y=12log (x+1),③y=|x-1|,④y=2x+1,其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是( ) (A)①② (B)②③ (C)③④ (D)①④解析:显然幂函数y=12x 及指数型函数y=2x+1在(0,1)上单调递增,对于y=12log (x+1)可看作是y=12log u,u=x+1的复合函数,由复合函数的单调性知y=12log (x+1)在(0,1)上递减,对函数y=|x-1|,其图象是偶函数y=|x|的图象向右平移一个单位得到,y=|x|在(-1,0)上递减,则y=|x-1|在(0,1)上递减.应选B. 答案:B4.(2012年浙江卷,文10)设a>0,b>0,e 是自然对数的底数( ) (A)若e a +2a=e b +3b,则a>b (B)若e a +2a=e b +3b,则a<b (C)若e a -2a=e b -3b,则a>b (D)若e a -2a=e b -3b,则a<b解析:设函数f(x)=e x +2x,易知函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,又因为a>0,b>0,则当e a +2a=e b +3b 时,一定有e a +2a>e b +2b,此时a>b.应选A. 答案:A5.(2012年安徽卷,文13)若函数f(x)=|2x+a|的单调递增区间是[3,+∞),则a= .解析:函数的图象是以,02a⎛⎫- ⎪⎝⎭为端点的2条射线组成,所以-2a=3,a=-6. 答案:-6考点二 函数的奇偶性1.(2013年山东卷,文3)已知函数f(x)为奇函数,且当x>0时,f(x)=x 2+1x,则f(-1)等于( ) (A)2 (B)1 (C)0 (D)-2 解析:因x>0时f(x)=x 2+1x. 所以f(1)=1+1=2,又f(x)为奇函数,所以f(-1)=-f(1)=-2. 应选D. 答案:D2.(2013年湖南卷,文4)已知f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且f(-1)+g(1)=2,f(1)+g(-1)=4,则g(1)等于( ) (A)4 (B)3 (C)2 (D)1解析:由题意:f(x)是奇函数,g(x)是偶函数, 得f(-1)=-f(1),g(-1)=g(1),()()()()112,114,f g f g -+=⎧⎪⎨+-=⎪⎩⇒()()()()112,114,f g f g -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 解得g(1)=3. 应选B. 答案:B3.(2013年天津卷,文7)已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递增.若实数a 满足f(log 2a)+f(12log a)≤2f(1),则a的取值范围是( ) (A)[1,2] (B)10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ (C)1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦(D)(0,2] 解析:由题得f(log 2a)+f(-log 2a)≤2f(1), 即f(log 2a)≤f(1), 则-1≤log 2a ≤1, 所以12≤a ≤2,应选C. 答案:C4.(2012年广东卷,文4)以下函数为偶函数的是( ) (A)y=sin x (B)y=x 3 (C)y=e x 21x +解析:选项A 、B 为奇函数,选项C 为非奇非偶函数,对于D 有()21x -+21x +=f(x). 答案:D5.(2012年天津卷,文6)以下函数中,既是偶函数,又在区间(1,2)内是增函数的为( ) (A)y=cos 2x,x ∈R (B)y=log 2|x|,x ∈R 且x ≠0(C)y=2x xe e --,x ∈R(D)y=x3+1,x∈R解析:函数y=log2|x|为偶函数,且当x>0时,函数y=log2|x|=log2x为增函数,所以在(1,2)上也为增函数.应选B.答案:B6.(2011年上海卷,文15)以下函数中,既是偶函数,又在区间(0,+∞)上单调递减的函数是( )(A)y=x-2(B)y=x-1(C)y=x2(D)y=1 3 x解析:选项为偶函数的是A、C,其中y=x2在(0,+∞)上是单调递增函数.应选A.答案:A7.(2010年山东卷,文5)设f(x)为定义在R上的奇函数.当x≥0时,f(x)=2x+2x+b(b为常数),则f(-1)等于( )(A)-3 (B)-1 (C)1 (D)3解析:因为f(x)为定义在R上的奇函数,所以有f(0)=20+2×0+b=0,解得b=-1,所以当x≥0时,f(x)=2x+2x-1,即f(-1)=-f(1)=-(21+2×1-1)=-3.应选A.答案:A8.(2013年江苏卷,11)已知f(x)是定义在R上的奇函数.当x>0时,f(x)=x2-4x,则不等式f(x)>x的解集用区间表示为.解析:设x<0,则-x>0,f(-x)=x2+4x,所以x<0时,f(x)=-x2-4x.所以f(x)=224,0,4,0. x x xx x x⎧-≥⎨--<⎩当x≥0时,由x2-4x>x,解得x>5,当x<0时,由-x2-4x>x,解得-5<x<0,故不等式的解集为(-5,0)∪(5,+∞).答案:(-5,0)∪(5,+∞)9.(2012年重庆卷,文12)函数f(x)=(x+a)(x-4)为偶函数,则实数a= .解析:因为函数f(x)=(x+a)(x-4)为偶函数,所以f(-x)=f(x),由f(x)=(x+a)(x-4)=x 2+(a-4)x-4a, 得x 2-(a-4)x-4a=x 2+(a-4)x-4a, 即a-4=0,a=4. 答案:410.(2011年湖南卷,文12)已知f(x)为奇函数,g(x)=f(x)+9,g(-2)=3,则f(2)= .解析:g(-2)=f(-2)+9=3, 则f(-2)=-6, 又f(x)为奇函数, 所以f(2)=-f(-2)=6. 答案:611.(2011年广东卷,文12)设函数f(x)=x 3cos x+1.若f(a)=11,则f(-a)= .解析:f(a)+f(-a)=a 3cos a+1+(-a)3cos (-a)+1=2,而f(a)=11,故f(-a)=2-f(a)=2-11=-9. 答案:-9考点三 函数的周期性1.(2013年湖北卷,文8)x 为实数,[x]表示不超过x 的最大整数,则函数f(x)=x-[x]在R 上为( ) (A)奇函数 (B)偶函数 (C)增函数 (D)周期函数解析:因为f(x+1)=(x+1)-[x+1] =(x+1)-([x]+1)=x-[x]=f(x). 所以f(x)是周期函数,应选D. 答案:D2.(2011年大纲全国卷,文10)设f(x)是周期为2的奇函数,当0≤x ≤1时,f(x)=2x(1-x),则f 52⎛⎫- ⎪⎝⎭等于( )(A)-12 (B)-14 (C)14 (D)12解析:f 52⎛⎫- ⎪⎝⎭=f 522⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=f 12⎛⎫- ⎪⎝⎭=-f 12⎛⎫⎪⎝⎭ =-2×12×112⎛⎫- ⎪⎝⎭=-12.应选A. 答案:A3.(2013年江苏卷,1)函数y=3sin π24x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小正周期为 .解析:T=2π2=π. 答案:π4.(2013年大纲全国卷,文13)设f(x)是以2为周期的函数,且当x ∈[1,3)时,f(x)=x-2,则f(-1)= . 解析:f(-1)=f(-1+2)=f(1)=1-2=-1. 答案:-15.(2012年浙江卷,文16)设函数f(x)是定义在R 上的周期为2的偶函数,当x ∈[0,1]时,f(x)=x+1,则f 32⎛⎫⎪⎝⎭= .解析:f 32⎛⎫ ⎪⎝⎭=f 322⎛⎫- ⎪⎝⎭=f 12⎛⎫- ⎪⎝⎭=f 12⎛⎫⎪⎝⎭=12+1=32. 答案:326.(2012年江苏卷,10)设f(x)是定义在R 上且周期为2的函数,在区间[-1,1]上,f(x)= 1,10,2,01,1ax x bx x x +-≤<⎧⎪+⎨≤≤⎪+⎩其中a,b ∈R .若f 12⎛⎫ ⎪⎝⎭=f 32⎛⎫⎪⎝⎭,则a+3b 的值为 .解析:由题意f 12⎛⎫ ⎪⎝⎭=f 32⎛⎫ ⎪⎝⎭=f 12⎛⎫⎪⎝⎭,所以2232b=-12a+1,∴32a+b=-1①又f(-1)=f(1),∴b=-2a,②解①②得a=2,b=-4,∴a+3b=-10.答案:-10模拟试题考点一函数的单调性1.(2012辽宁协作体模拟)已知f(x)是定义在实数集R上的增函数,且f(1)=0,函数g(x)在(-∞,1]上为增函数,在[1,+∞)上为减函数,且g(4)=g(0)=0,则集合{x|f(x)g(x)≥0}等于( )(A){x|x≤0或1≤x≤4}(B){x|0≤x≤4}(C){x|x≤4}(D){x|0≤x≤1或x≥4}解析:画出函数f(x)和g(x)的草图如下图,由图可知当f(x)g(x)≥0时,x的取值范围是x≤0或1≤x≤4,即{x|f(x)g(x)≥0}={x|x≤0或1≤x≤4}.应选A.答案:A2.(2013重庆高三(上)期末测试)“函数x(0,+∞)上是增函数”的充分不必要条件是a∈ .解析:x(0,+∞)上是增函数,故需要2-a>0,即a<2,而要求充分不必要条件,则填集合(-∞,2)的一个子集即可.答案:(-∞,t)(t<2)考点二函数的奇偶性1.(2012广东佛山模拟)已知函数f(x)=()()120,210,xxxx-⎧-≥⎪⎨-<⎪⎩则该函数是( )(A)偶函数,且单调递增 (B)偶函数,且单调递减(C)奇函数,且单调递增 (D)奇函数,且单调递减解析:当x>0时,f(x)=1-2-x,这时-x<0,所以f(-x)=2-x-1,于是f(-x)=-f(x);当x<0时,f(x)=2x-1,这时-x>0,所以f(-x)=1-2x,于是也有f(-x)=-f(x).又f(0)=0,故函数f(x)是一个奇函数;又因为当x>0时,f(x)=1-2-x单调递增,当x<0时,f(x)=2x-1也单调递增,所以f(x)单调递增.应选C.答案:C2.(2011浙江省“百校联盟”交流联考卷)定义在R上的奇函数f(x)满足:当x>0时,f(x)=2010x+log2010x,则在R上方程f(x)=0的实根个数为( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:因为f(x)是R上的奇函数,所以f(0)=0.当x>0时,函数y=2010x 与函数y=-log2010x有一个交点,知2010x+log2010x=0有唯一的实根.由奇函数性质知,当x<0时,也有唯一一个根使f(x)=0,所以f(x)=0在R上有3个实数根.答案:C考点三函数基本性质的综合应用1.(2013浙江宁波高三第一学期期末)函数f(x)=15,0,51,0,xxxx-⎧-≥⎪⎨-<⎪⎩则该函数为( )(A)单调递增函数,奇函数(B)单调递增函数,偶函数(C)单调递减函数,奇函数(D)单调递减函数,偶函数解析:当x>0时,-x<0,则f(-x)=5-x-1=-f(x);当x<0时,-x>0,则f(-x)=1-5x=-f(x),又f(0)=0,所以函数f(x)为奇函数,易知函数在(0,+∞)递增,故函数在定义域内递增.应选A.答案:A2.(2012北京朝阳模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意的x∈R,都有f(x+2)=f(x).当0≤x≤1时,f(x)=x2.若直线y=x+a与函数y=f(x)的图象在[0,2]内恰有两个不同的公共点,则实数a的值是( )(A)0 (B)0或-12(C)-14或-12(D)0或-14解析:∵f(x+2)=f(x),∴T=2.又0≤x≤1时,f(x)=x2,可画出函数y=f(x)在一个周期内的图象如下图.显然a=0时,y=x与y=x2在[0,2]内恰有两个不同的公共点.另当直线y=x+a与y=x2(0≤x≤1)相切时也恰有两个不同公共点,由题意知y'=(x2)'=2x=1,∴x=12.∴A11,24⎛⎫⎪⎝⎭,又A点在y=x+a上,∴a=-14.综上知选D.答案:D3.(2012浙江台州模拟)函数y=f(x-1)为奇函数,y=f(x+1)为偶函数(定义域均为R).若0≤x<1时,f(x)=2x,则f(10)= .解析:依题意得f(-x-1)=-f(x-1),f(-x+1)=f(x+1),所以f(x+4)=-f(x),f(x+8)=f(x),故函数周期为8.f(10)=f(2)=f(1+1)=f(1-1)=f(0)=1.答案:1综合检测1.(2013重庆一中第一次摸底)已知定义在R 上的函数f(x)满足f(1)=1,f(x+2)=()1f x 对任意x ∈R 恒成立,则f(2011)等于( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 解析:由f(x+2)=()1f x , 得f(-1+2)=()1f x -, 即f(1)f(-1)=1, 而f(1)=1,故f(-1)=1, 且f(x+4)=()12f x +=f(x),∴f(2011)=f(503×4-1)=f(-1)=1.应选A. 答案:A2.(2012茂名二模)已知减函数f(x)的定义域是R ,m,n ∈R ,假如不等式f(m)-f(n)>f(-m)-f(-n)成立,那么在以下给出的四个不等式中,准确的是( )(A)m+n<0 (B)m+n>0 (C)m-n<0 (D)m-n>0解析:将f(m)-f(n)>f(-m)-f(-n)变形为f(m)+f(-n)>f(-m)+f(n),当m<n 时,-n<-m,则有f(m)>f(n)且f(-n)>f(-m),反之亦成立.应选C. 答案:C3.(2012琼海一模)已知定义在R 上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=a x -a -x +2(a>0且a ≠1),若g(2)=a,则f(2)等于( ) (A)2 (B)174(C)154(D)a 2 解析:由题意得f(-x)+g(-x)=g(x)-f(x)=a -x -a x+2, 联立f(x)+g(x)=a x -a -x+2,求解得g(x)=2,f(x)=a x -a -x .故a=2,f(2)=22-2-2=4-14=154.应选C. 答案:C1.已知3()4f x ax bx =+-其中,a b 为常数，若(2)2f -=，则(2)f 的值等于( ) A 2- B 4- C 6- D 10-答案：D解析：令3()()4F x f x ax bx =+=+，则3()F x ax bx =+为奇函数(2)(2)46,(2)(2)46,(2)10F f F f f -=-+==+=-=-。

2012-2013学年江苏省苏北老四所县中高三（下）第一次调研数学试卷
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．
∴
2．（5分）（2011•上海模拟）已知等比数列{a n}的公比为正数，且a3•a9=2a5，a2=1，则a1=．
，则有
解得
故答案为．
3．（5分）用一组样本数据8，x，10，11，9来估计总体的标准差，若该组样本数据的平均数为10，则总
∴
s=
故答案为：
4．（5分）（2010•江苏模拟）阅读下列算法语句：
Read S←1
For I from 1 to 5 step 2
S←S+I
End for
PrintS
End
输出的结果是10．
5．（5分）当A，B∈{1，2，3}时，在构成的不同直线Ax﹣By=0中，任取一条，其倾斜角小于45°的概率
是．
P=
故答案为：
6．（5分）已知正方形ABCD的坐标分别是（﹣1，0），（0，1），（1，0），（0，﹣1），动点M满足：
则MA+MC=．
，∵，∴
整理，得
∴
故答案为
7．（5分）过平面区域内一点P作圆O：x2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，记∠APB=α，
则当α最小时cosα=．
（
=，
故答案为：。

2012~2013学年度第一学期期中考试高三数学（选修历史）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分。

请把答案填写在答题卡的相应位置上．．．．．．．．．。

1.已知集合A={-1,0,1}，B={0,1,2,3}，则A ∩B= ▲ 。

2.命题“∀x ∈（1,2），x 2 ＞1”的否定是 ▲ 。

3.设a ，b ∈R ，a+bi=i4-3i -2（i 为虚数单位），则a+b= ▲ 。

4.在等差数列{a n }中，已知该数列前10项的和为S 10=120，那么a 5+a 6= ▲ 。

5.已知a =（1,2m ），b =（2，-m ），则“m=1”是“a ⊥b ”的 ▲ 条件。

（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”之一）6.设直线y=3x+b 是曲线y=e x 的一条切线，则实数b 的值是 ▲ 。

7.在△ABC 中，a=14，b=76，B=60°，则边c= ▲ 。

8.动点P （a ，b ）在不等式组 表示的平面区域内部及其边界上运动，则ω =4-a 3-b a +的取值范围 ▲ 。

9.下列四个命题;①函数f （x ）=xsinx 是偶函数；②函数f （x ）=sin 4x-cos 4x 的最小正周期是π；③把函数f （x ）=3sin （2x+3π）的图像向右平移6π个单位长度可以得到f （x ）=3sin2x 的图像；④函数f （x ）=sin （x-2π）在区间[0，π]上是减函数。

其中是真命题的是 ▲ 。

（写出所有真命题的序号），10.函数y=log a （x+3）-1（a ＞0，且a ≠1）的图像恒过定点A ，若点A 在直线mx+ny+1=0上，其中mn ＞0，则n2m 1+的最小值是 ▲ 。

11.已知数列{a n }满足a 1=1，a 2=2，对于任意的正整数n 都有a n ·a n+1≠1，a n a n+1 a n+2 = a n +a n+1+a n+2，则S 2012= ▲ 。

江苏省四校联考2013届高三上学期期中考试数学试卷注意事项：1．本试卷由填空题和解答题两部分组成．满分160分，考试时间为120分钟．2．答题前请您务必将自己的学校，姓名，考试号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上规定的地方．3．答题时必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的规定位置，在其他位置做大一律无效．第I 卷（填空题）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 1. 已知i 是虚数单位，复数z = 12i34i+-，则 | z | = ．2. 若函数()f x =是偶函数，则实数a 的值为 ________．3. 已知集合{}m P ,1-=，⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-=431x x Q ，若∅≠Q P ，则整数=m ． 4. 已知向量a 的模为2，向量e 为单位向量，)(-⊥，则向量a 与e 的夹角大小为 ． 5. 若命题“R x ∈∀，02≥+-a ax x ”为真命题，则实数a 的取值范围是 ． 6. 已知三角形的一边长为5，所对角为60，则另两边长之和的取值范围是________．7. 已知数列{a n }为等差数列，若561aa <-，则数列{|a n |}的最小项是第_____项．8. 已知θ是第二象限角，且4sin 5θ=，则tan()24θπ-的值为________． 9. 已知函数()y f x =在点(2,(2))f 处的切线为由y =2x -1，则函数2()()g x x f x =+在点(2,(2))g 处的切线方程为 ．10. 等差数列{}n a 中，已知158≥a ，139≤a ，则12a 的取值范围是 . 11. 在锐角△ABC 中，tan A = t + 1，tan B = t - 1，则t 的取值范围是 ．12. 在平面直角坐标系xOy 中，点P 是第一象限内曲线y = - x 3 + 1上的一个动点，以点P 为切点作切线与两个坐标轴交于A ，B 两点，则△AOB 的面积的最小值为 ．13. 已知等差数列{},{}n n a b 的前n 项和分别为n S 和n T ，若7453n n S n T n +=+，且2n na b 是整数，则n 的值为 ．14. 若关于x 的方程3x e x kx -=有四个实数根，则实数k 的取值范围是 ．第II 卷（解答题）二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、求证过程或演算步骤． 15. （本小题满分14分）已知πsin()410A +=，ππ(,)42A ∈． （Ⅰ）求cos A 的值；（Ⅱ）求函数5()cos 2sin sin 2f x x A x =+的值域．16. （本小题满分14分）设(,1)a x =，(2,1)b =-，(,1)c x m m =--（,x m ∈∈R R ）． （Ⅰ）若a 与b 的夹角为钝角，求x 的取值范围； （Ⅱ）解关于x 的不等式a c a c +<-．17. （本小题满分15分）随着机构改革开作的深入进行，各单位要减员增效，有一家公司现有职员2a 人（140＜2a ＜420，且a 为偶数)，每人每年可创利b 万元. 据评估，在经营条件不变的前提下，每裁员．．．1人，则留岗职员每人每年．．．．多创利0.01b 万元，但公司需付下岗职员每人每年0.4b 万元的生活费，并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的43，为获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？18. （本小题满分15分） 已知函数()ln f x x x =．（I ）求函数()f x 的单调递减区间；（II ）若2()6f x x ax ≥-+-在(0,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围； （III ）过点2(,0)A e --作函数()y f x =图像的切线，求切线方程．19. （本小题满分16分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差,50,053=+≠S S d 且1341,,a a a 成等比数列． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n a b 是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和n T .20. （本小题满分16分）已知函数2()(1)xf x e x ax =++．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线与x 轴平行，求a 的值； （Ⅱ）求函数()f x 的极值．附加卷21. （本小题满分10分）已知a 为整数，a 2是偶数，求证：a 也是偶数．22. （本小题满分10分）已知曲线()21ln 2222x y x x =++++在点A 处的切线与曲线()sin 2,22y x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭在点B 处的切线相同,求ϕ的值.23. （本小题满分10分）数列{}n a 的前n 项和为n S ，存在常数A ，B ，C ，使得2n n a S An Bn C +=++对任意正整数n 都成立．若数列{}n a 为等差数列，求证：3A －B ＋C ＝０．24. （本小题满分10分）已知函数x x x x x f 2)1ln()1(2)(2--++=，[)+∞∈,0x ，求)(x f 的最大值.参考答案1.5 ；2.2 ；3. 0 ；4.3π； 5.[0,4]； 6.(]10,5 ； 7.6 ； 8.31； 9. 6x -y -5=0 ； 10.(]7,∞- ； 11.()+∞,2 ； 12.4233 ； 13. 15 ； 14．()0,3e - ；15. 解：（Ⅰ）因为ππ42A <<，且πsin()4A +=所以ππ3π244A <+<，πcos()4A +=． 因为ππππππcos cos[()]cos()cos sin()sin 444444A A A A =+-=+++31021025=-+=．所以3cos 5A =． (6)（Ⅱ）由（Ⅰ）可得4sin 5A =． 所以5()cos 2sin sin 2f x x A x =+212sin 2sin x x =-+2132(sin )22x =--+，x ∈R ． 因为sin [1,1]x ∈-，所以，当1sin 2x =时，()f x 取最大值32；当sin 1x =-时，()f x 取最小值3-．所以函数()f x 的值域为3[3,]2-． ……………………14分16. （1）由题知：210a b x ⋅=-<，解得12x <；又当2x =-时，a 与b 的夹角为π， 所以当a 与b 的夹角为钝角时， x 的取值范围为1(,2)(2,)2-∞-⋃-．…………………6分（2）由a c a c +<-知，0a c ⋅<，即(1)[(1)]0x x m ---<；……………………8分当2m <时，解集为{11}x m x -<<；………………………………10分 当2m =时，解集为空集；………………………………12分当2m >时，解集为{11}x x m <<-．………………………………14分17. 解答：设裁员x 人，可获得的经济效益为y 万元，则ab x a x bbx bx b x a y 2])70(2[1004.0)01.0)(2(2+---=-+-= ……7分 依题意 .21070,4202140.202432<<<<≤<∴⋅≥-a a ax a x a 又 （1）当y a x a aa ,70,14070,2700-=≤<≤-<时即取到最大值；（2）当y ax a a a ,2,210140,270=<<>-时即取到最大值；……………13分 答：当70<a<140，公司应裁员为a 70,-经济效益取到最大值 当140a 210,<<公司应裁员为a,2经济效益取到最大值……………14分18. 解答：（Ⅰ）'()ln 1f x x =+'()0f x ∴<得ln 1x <-2分10x e ∴<<∴函数()f x 的单调递减区间是1(0,)e； 4分（Ⅱ）2()6f x x ax ≥-+-即6ln a x x x≤++设6()ln g x x x x =++则2226(3)(2)'()x x x x g x x x+-+-== 7分当(0,2)x ∈时'()0g x <，函数()g x 单调递减； 当(2,)x ∈+∞时'()0g x >，函数()g x 单调递增；∴()g x 最小值(2)5ln 2g =+∴实数a 的取值范围是(,5ln 2]-∞+； 10分（Ⅲ）设切点00(,)T x y 则0'()AT k f x =∴00002ln ln 11x x x x e=++即200ln 10e x x ++= 设2()ln 1h x e x x =++，当0x >时'()0h x >∴()h x 是单调递增函数13分∴()0h x =最多只有一个根，又2222111()ln 10h e e e e =⨯++=∴021x e = 由0'()1f x =-得切线方程是210x y e++=. 15分19. 解：（Ⅰ）依题意得⎪⎩⎪⎨⎧+=+=⨯++⨯+)12()3(5025452233112111d a a d a d a d a …………………………………………3分 解得⎩⎨⎧==231d a ， …………………………………………5分1212)1(23)1(1+=+=-+=-+=∴n a n n d n a a n n 即，．……………………………7分（Ⅱ）13-=n nna b ，113)12(3--⋅+=⋅=n n n n n a b …………………………………………8分 123)12(37353-⋅+++⋅+⋅+=n n n T n n n n n T 3)12(3)12(3735333132⋅++⋅-++⋅+⋅+⋅=- ……………………10分n n n n T 3)12(3232323212+-⋅++⋅+⋅+=--nnn n n 323)12(31)31(3231⋅-=+---⋅+=- ∴n n n T 3⋅= . ……………………………16分20. 解析：（1）22()(12)[(2)1]x x f x e x ax x a e x a x a '=++++=++++．因为曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线与x 轴平行，所以 (2)0f '=，即2(2)[42(2)1]0f e a a '=++++=所以 3a =-． ……………4分（2）()(1)(1)xf x e x a x '=+++,令()0f x '=,则1--=a x 或1-=x ……5分①当11a +=，即0a =时，2()(1)0x f x e x '=+≥，函数()y f x =在()-∞+∞，上为增函数，函数无极值点； …………7分 ②当(1)1a -+<-，即0a >时．所以 当1x a =--时，函数有极大值是1(2)a e a --+，当1x =-时，函数有极小值是2ae-； ………11分 ③当(1)1a -+>-，即0a <时．所以 当1x =-时，函数有极大值是e，当1x a =--时，函数有极小值是1(2)a e a --+． ………15分综上所述，当0a =时函数无极值；当0a >时，当1x a =--时，函数有极大值是1(2)a e a --+，当1x =-时，函数有极小值是2ae-；当0a <时，当1x =-时，函数有极大值是2ae-，当1x a =--时，函数有极小值是1(2)a e a --+． ………16分21.假设a 是奇数，设a=2k+1(k ∈Z),则a 2=4k 2+4k+1,………………6分∵k ∈Z ，∴4k 2为偶数，4k 为偶数，∴4k 2+4k+1为奇数， ……8分从而a 2为奇数，这与a 2为偶数矛盾，∴假设不成立． ……………10分22.k 切=y ’=2221≥+++x x ,当且仅当x+2=1x+2,即x+2=1,x=-1时，取等号…2分 又k 切=y ’=2)2cos(2≤+ϕx ，∴k 切=2，此时切点A(-1,-1),切线l ：y=2x+1…5分由)2cos(2ϕ+x =2得)2cos(ϕ+x =1，∴)2sin(ϕ+x =0，从而B(21-,0) …7分 ∴)1sin(ϕ+-=0, ϕ+-1=k π,Z k ∈,∴ϕ=k π+1,Z k ∈ …………………9分 又22πϕπ<<-，∴ϕ= 123. 因为{}n a 为等差数列，设公差为d ，由2n n a S An Bn C +=++，得2111(1)(1)2a n d na n n d An Bn C +-++-=++，…………2分即2111()()()022dd A n a B n a d C -++-+--=对任意正整数n 都成立．…4分所以1110,210,20,d A a d B a d C ⎧-=⎪⎪⎪+-=⎨⎪--=⎪⎪⎩所以30A B C -+=． …………10分24. 证明：由2()2(1)ln(1)2f x x x x x =++--得()2ln(1)2f x x x '=+-，………2分令()2ln(1)2g x x x =+-，则22()211x gx x x -'=-=++， 当10x -<<时，()0g x '>，()g x 在(1 0)-，上为增函数； 当x ＞0时，()0g x '<，()g x 在(0)+∞，上为减函数， 所以()g x 在x=0处取得极大值，且(0)0g =， ………6分 故()0f x '≤（当且仅当0x =时取等号），所以函数()f x 为[)0+∞，上的减函数， ………8分则()(0)0f x f =≤，即()f x 的最大值为0． ………10分。