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现代控制理论第二章

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浙大控制考研-现代控制理论(浙大)第二章

浙大控制考研-现代控制理论(浙大)第二章

1 A2t 2 2!
1 k
Aktk
)
b0
t 0 x(0) b0
x(t) (I At 1 A2t 2 1 Akt k )x(0)
2!
k
eAt I At 1 A2t 2 1 Akt k
2!
k
矩阵指数函数
Φ(t) 状态转移矩阵
x(t) eAtx(0) 描述了状态向量由初始状态x(0)向任意时 刻状态 x(t)转移的内在特性。
eAt I At 1 A2t 2 1 Akt k
2!
k
1）根据状态转移矩阵的定义求解：
eAt I At 1 A2t 2 1 Akt k
2!
k!
对所有有限的t值来说，这个无穷级数都是收敛的 。
求出的解不是解析形式，适合于计算机求解。
例：求解系统状态方程 解：
x1
x2
0 0
-11
6
-6 -11 5
试计算状态转移矩阵 eAt .
解: 1) 特征值
1 1
I A 6 -11 6 1 2 3 0
6 11 5
1 1,2 2,3 3
2) 计算特征向量：
1 1 1 p1 0, p2 2, p3 6
1 4 9
3) 构造变换阵P：
1 1 1 P 0 2 6
(A B)3 A3 B3 3A2B 3AB 2
(9) x Px Φ(t) P-1Φ(t)P P-1eAtP
证明：非奇异线性变换
x Px
n n非奇异矩阵 另一组状态变量
x Px
x P1AP x x(t) eP1AP x(0)
x Ax APx 新的系统矩阵 新的状态转移矩阵
Ax
eAt x(0) Φ(t)x(0)

现代控制理论-02

现代控制理论-02

3. 状态转移矩阵是可逆的，且 Φ −1 (t ) = Φ(−t )
根据 Φ (t + s ) = Φ (t )Φ ( s )
x2 = e A(t2 −t1 ) x1 = Φ(t2 − t1 ) x1
x x(t0) x(t1) x(t2)
x1 = e A(t1−t0 ) x0 = Φ(t1 − t0 ) x0
2. 对任意的t和s，Φ (t + s ) = Φ (t )Φ ( s )
Φ(t )Φ(s) = e At e As 1 2 2 1 A t + L)(I + As + A2 s 2 + L) 2! 2! 1 ⎞ 1 1 1 ⎞ ⎛1 ⎛1 = I + A(t + s) + A2 ⎜ t 2 + ts + s 2 ⎟ + A3 ⎜ t 3 + t 2 s + ts 2 + s 3 ⎟ + L 2! ⎠ 2! 2! 3! ⎠ ⎝ 3! ⎝ 2! 1 2 1 3 2 = I + A(t + s) + A (t + s) + A (t + s) 3 + L 2! 3! = e A(t + s) = Φ(t + s) = ( I + At +
故
e
At
1 −1 1 (T DT ) 2 t 2 + L + (T −1 DT ) n t n + L 2! n! 1 −1 2 2 1 −1 n n −1 −1 = T IT + T DTt + T D Tt + L + T D Tt + L n! 2! 1 1 ⎛ ⎞ = T −1 ⎜ I + Dt + D 2t 2 + L + D nt n + L⎟T n! 2! ⎝ ⎠ =e

现代控制理论(第二章)

现代控制理论(第二章)

(1)
若初始时刻 时的状态给定为
则式(1)有唯一确定解：
若初始时刻从
开始，即
(2) 则其解为：
证明： 级数形式
和标量微分方程求解类似，先假设式(1)的解
(3) 为 的矢量幂
(4) 代入式(1)得：
(5)
既然式(4)是式(1)的解，则式(5)对任意时刻 都成立，故 的同次 幂项的系数应相等，有：
在式(4)中，令
e t e 2 t e t 2 e 2 t
x ( t ) L 1 ( s I A ) 1 x ( 0 ) L 1 ( s I A ) 1 B ( s ) U
s3
1
sIA1bU(s)(s1)(s2)
2
(s1)s(s2)1 01s
(s1)(s2) (s1)(s2)
eAtPeAtP1Pe0 1t
e0 2tP111
1et 20
02 1 e2t1 1
et e2t 2 1 2et e2t
et e2t
et 2e2t1 12et 2e2t et 2e2t
3）用拉氏变换法求解 e A tL 1 (s I A ) 1
s3
sIA1 2s
11 s3
(s
1)(s 2
或
（1）
即
2.5.2 Z 变换法
（2）
对于线性定常离散系统的状态方程，也可以来用 Z 变换法来求解。
设定常离散系统的状态方程是：
对上式两端进行 Z 变换，有： 或
线性时变系统的非齐次状态方程为：
且
的元素在时间区间
（17） 内分段连续，则其解为：
（18）
证明 线性系统满足叠加原理，故可将式(17)的解看成由初始状态

《现代控制理论》第三版 第二章.习题答案

《现代控制理论》第三版 第二章.习题答案

2－7. 证明 2－3 中，状态方程的解： 1. 即当u(t ) K (t )，x(0 ) x0时
x(t ) e At x0 e At BK , 式中K 与u(t )同维的常数矢量。
x e x0 e A( t ) BK ( )d
At 0 t
e x0 e A( t ) ( )d BK
得 1 0; 2 1.
1 0 据 1 I A P P 1 1 0 1 0
得到 P 1 0 1 ；
T
0 0 P2 0 得 到 根 据 2 I A P2 1 1
1 0 1 1 1 于是T ， P2 ， T 1 1 1 1 于是 T 1 0 e 1 G (T ) e AT T T T T e 1 0 e t T T e 0 K At H (T ) e dtB dt 0 0 1 et 1 0 1 0
1
e At 0 (t ) I 1 (t ) A
1 2cos 2t 2 4sin 2t
sin 2t 2cos 2t
1 1 （2） A 4 1
1 22 1 33 A t A t 2! 3! 直接法： 7 3 t 2 13 3 2 1 5 , t t t t t 2! 6 6 2 28 3 t 13 3 2 4 4 , 1 5 t t t t t 6 2! 6 e At I At
y 2 x1 x2
1 1 0 x1 K x x 2 1 0 x2 0 即 x1 y 2 1 x2 0 u1 u 1 2

现代控制理论 2-0

现代控制理论 2-0

∫
t
0
e − Aτ f (τ )dτ =
e [ x(0) + ∫ e
At 0 At
t
− Aτ
f (τ )dτ ] + ∫ e A( t −τ ) Bu (τ )dτ
t1 − Aτ
当t = t1时，有 x(t1 ) = e [ x(0) + ∫ e
0
f (τ )dτ ] + ∫ e A( t −τ ) Bu (τ )dτ
λ − 1 0 det[λI − A] = det = (λ − 1)(λ + 3) = 0 λ + 3 2 λ1 = 1, λ2 = −3 0 0 rank [λ1 I − AMb] = rank 2 4 − 4 rank [λ2 I − AMb] = rank 0 系统能控。 1 =2 1 0 1 =2 0 1
0
t1
∫
t1
0
e − Aτ f (τ )dτ为一个确定的值，仅仅相当于把系统
原来的初态改变了一确定的常值。所以在讨论系统 的能控性时，不考虑系统存在的确定性干扰。
第二章 系统的可观性和可控性
(三)能控性判据
判据一： 判据一：若系统能控，则能控性矩阵
Qc = [B AB A 2 B ... A n −1 B ] 满秩，即
第二章 系统的可观性和可控性
现代控制理论基础
主讲人: 主讲人:荣军 mail:rj1219 163. 1219@ E-mail:rj1219@
第二章 系统的可观性和可控性
2-1 能能控性及其判据
－、线性定常系统的能观测性及其判据 －、线性定常系统的能观测性及其判据
线性定常系统状态方程为 x = Ax + Bu 其中x、u分别为n、 r维向量，A、B为满足矩阵运算的常值矩阵。若给定系统的 一个初始状态x0和任一状态x1,如果在的有限时刻tf>0,定义在 时间区间[0，tf]的输入u（t）使状态x(0)＝x0转移到x(tf)＝ x1 ，则称系统状态完全是能控的； 如果系统对任意一个初始状态都能控，则称系统是状态完全 能控的，简称系统是状态能控的或系统是能控的。

第2章 现代控制理论1PPT课件

第2章 现代控制理论1PPT课件

时不变系统状态转移矩阵Φ tt0或 Φ t是满足如下矩阵微分
方程和初始条件的解,这也是检验一个矩阵是不是状态转移
的条件。
Φ (tt0)AΦ (tt0)或 Φ (t)AΦ (t)
Φቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ(0)I
Φ (0)I
（2.5）
1Φ t在 t0的值 lim ΦtI
t0
(2)Φt对t的导 Φ 数 tA Φ tΦ tA
故可求出其解为：
t
X ( t) ( t) X ( 0 ) o ( t ) B () U d ( 2 .2 b )
式中 (t) eAt 为系统的状态转移矩阵。
对于线性时变系统非齐次状态方程，
X ( t) A ( t) X ( t) B ( t) U ( t) ( 2 3 )
类似可求出其解为
x (0 )e a t tb(u )e a (t )d 0
同样，将方程（2.1）写为 X (t)A(X t)B(U t)
在上式两边左乘eAt ，可得：
e A [X t(t) A(t) X ]d[e AX t(t) ]e A B t (tU )
dt
3
将上式由 0 积分到 t ，得
X ( t) e A X t ( 0 ) te A (t )B () U d (2 .2 a ) o
的解，X(t)=Ф (t, t0)X(0) 。 下面不加证明地给出线性时变系统状态转移矩阵的几个
重要性质： 1、 (t,t)I
2 、 ( t 2 ,t 1 ) ( t 1 ,t 0 ) ( t 2 ,t 0 )
3 、 1 (t,t0) (t0 ,t) 4、当A给定后，(t,t0) 唯一
5、计算时变系统状态转移矩阵的公式
令 x (t) b 0 b 1 t b 2 t2 b iti b iti,t 0

现代控制理论第二章

（2）在e At 定义中，用（1 ）的方法可以消去 A的n及n以上的幂次项，即 e At = I + At + 1 2 2 1 1 A t +⋯+ An −1t n −1 + An t n + ⋯ 2! ( n − 1)! n!
= α n −1 (t ) An −1 + α n − 2 (t ) An − 2 + ⋯ + α1 (t ) A + α 0 (t ) I
【例2-5】见板书
（3）α i (t )的计算公式 A的特征值互异时 α 0 (t ) 1 λ1 α1 (t ) 1 λ2 ⋮ = ⋮ ⋮ α (t ) 1 λ n −1 n
λ λ λ
பைடு நூலகம்
2 1 2 2
⋮
2 n
⋯ λ e λ1t λ2 t ⋯ λ e ⋮ ⋮ λn t n −1 ⋯ λn e
At
2.变换A为约旦标准型 （1）A特征根互异 Λ = T −1 AT 有
例2-2 ，同例2-1
e At = Te ΛtT −1
（2）A特征值有重根
J = T AT e At = Te JtT −1
0 1 0 [例2 - 3]已知A = 0 0 1 , 求e At 2 - 5 4
若
σ ω A= −ω σ
则
cos ωt sin ωt σt e = Φ(t ) = e − sin ωt cos ωt
At
2.2.4 计算
1.根据 e At 或 Φ (t ) 的定义直接计算
1 2 2 1 33 1 n n e = I + At + A t + A t ⋯ A t + ⋯ 2! 3! k! 1 0 [例2 - 1]已知A = , 求e At − 2 − 3

《现代控制理论》课后习题答案2


( sI − A) −1 =
1 adj( sI − A) det( sI − A)
(1)
式（1）中的 adj( sI − A) 和 det( sI − A) 可分别写成以下形式：
adj( sI − A) = H n −1s n −1 + H n − 2 s n − 2 + " + H 0 det( sI − A) = s + an −1s
故
Φ (t ) = α 0 (t ) I + α1 (t ) A + α 2 (t ) A2
⎡ −2tet + e 2t ⎢ = ⎢ −2(1 + t )et + 2e 2t ⎢ −2(2 + t )et + 4e 2t ⎣
(3t + 2)et − 2e 2t (3t + 5)et − 4e 2t (3t + 8)et − 8e 2t
n n −1
(2) (3) (4)
+ " + a0
，可得 将式（1）两边分别左乘 det( sI − A)( sI − A) ，并利用式（2）和（3）
Is n + an −1 Is n −1 + " + a0 I = H n −1s n + ( H n − 2 − AH n−1 ) s n − 2 + " + ( H 0 − AH1 )s − AH 0
e jt = a0 (t ) + a1 (t ) j ， e − jt = a0 (t ) − a1 (t ) j
而
e jt = cos t + j sin t ， e− jt = cos t − j sin t 因此， a0 (t ) = cos t ， a1 (t ) = sin t 。由此得到状态转移矩阵 ⎡ cos t sin t ⎤ Φ (t ) = e At = a0 (0) I + a1 (t ) A = ⎢ ⎥ ⎣ − sin t cos t ⎦

现代控制理论基础第二章习题答案

第二章 状态空间表达式的解3-2-1 试求下列矩阵A 对应的状态转移矩阵φ（t ）。

（1） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=2010A （2） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=0410A （3） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=2110A （4） ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=452100010A （5）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0000100001000010A （6）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=λλλλ000100010000A 【解】：（1） （2） （3） （4）特征值为：2,1321===λλλ。

由习题3-1-7(3)得将A 阵化成约当标准型的变换阵P 为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=421211101P ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-1211321201P线性变换后的系统矩阵为：（5）为结构四重根的约旦标准型。

（6）虽然特征值相同，但对应着两个约当块。

或}0100010000{])[()(1111----⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=-=Φλλλλs s s s L A sI L t 3-2-2 已知系统的状态方程和初始条件 （1）用laplace 法求状态转移矩阵； （2）用化标准型法求状态转移矩阵； （3）用化有限项法求状态转移矩阵； （4）求齐次状态方程的解。

【解】：（1） （2）特征方程为： 特征值为：2,1321===λλλ。

由于112==n n ，所以1λ对应的广义特征向量的阶数为1。

求满足0)(11=-P A I λ的解1P ，得：0110000000312111=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--P P P ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0011P 再根据0)(22=-P A I λ，且保证1P 、2P 线性无关，解得：对于当23=λ的特征向量，由0)(33=-P A I λ容易求得： 所以变换阵为：[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==110010001321P P P P ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-1100100011P 线性变换后的系统矩阵为：（3）特征值为：2,1321===λλλ。

第二章现代控制理论状态空间表达式

diL R1 R1 R2 R2 = uC − iL + e(t ) dt L( R1 + R2 ) L( R1 + R2 ) L( R1 + R2 )
即
(2-11)
(3) 列出状态空间描述iL 1 − ( R + R )C 1 2 R1 L( R1 + R2 ) − R1 1 ( R1 + R2 )C uC ( R1 + R2 )C (2-12) + e(t ) R1 R2 iL R2 − L( R + R ) L( R1 + R2 ) 1 2
§2.1 状态空间描述的概念 2.1.2 控制系统的状态空间描述举例
例2-1 R-L-C系统，求其状态空间描述
R
u
L i
C
uC
解 (1) 确定状态变量 选择电容两端电压 uC (t )、电感通过的电流 i (t ) (2) 列写微分方程并化为一阶微分方程组 基尔霍夫（Kirchhoff）电压定律，
(2-13)
令
1 − ( R + R )C 1 2 A= R1 L( R + R ) 1 2
1 ( R + R )C 2 b= 1 R2 L( R + R ) 1 2
−
R1 ( R1 + R2 )C R1 R2 − L( R1 + R2 )
n 维列向量，状态向量
a12 a1n a22 a2 n an 2 ann
n×n方阵，系统矩阵(或状态矩阵)， 反映系统状态的内在联系
§2.1 状态空间描述的概念
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U(s)
1 s 1 1 s
Y(s)
2.5 由系统方块图导出状态空间描述
方块图导出状态空间模型的步骤 （1）将系统方块图中的每一环节都分解为积分环节和 惯性环节的组合。 （2）以所有惯性环节和积分环节的输出作为状态变量 的拉氏变换。 （3）列出所有惯性环节和积分环节输入输出的拉氏变 换关系式。 （4）对所有（3）中的拉氏变换关系式求拉氏反变换 得到一阶微分方程组。 （5）把（4）中的一阶微分方程组化成向量矩阵表示 的状态方程与输出方程。
例2.7
2.5 由系统方块图导出状态空间描述
（一）方块图方法的思路 当系统的描述以方块图形式给出时，常常无须求 出系统的总传递函数和状态变量图，可以直接由方块 图导出其相应的状态空间模型. 方法：把系统中二阶以上的环节化为由惯性环节 和积分环节组成。
2.5 由系统方块图导出状态空间描述
（二）典型二阶系统状态空间描述
2.6
习题课
2.7 系统状态空间描述与传递函数
设线性连续定常系统的状态空间模型为
x Ax Bu y C x Du
对以上两式分别做拉氏变换,得
sX s AX s BU s
Y s CX s DU s
从以上两式中消去 X s , 则
s a1 s
n 1

k1 s s1

k2 s s2

kn s sn
k i lim W s s s i
例2.5
s si
2.3 系统的频域描述化为状态空间描述
（二）控制系统传递函数的极点为重根 （1） 传递函数的极点为一个重根
W s Y s U s k 11 k 12 k 1n s s1
2.1 系统状态空间描述的概念
例2.2 e(t)为输入变量，u2(t)为输出变量，求状态空间描述。
uc
R1 C
i
iC
e(t)
L
iL
R2
u2
2. 1 系统状态空间描述的概念
系统的状态空间模型: 线性连续定常系统的状态空间模型为
x Ax Bu
y C x Du
其中,
yR
uR
m
r
2. 2 系统的微分方程——状态空间描述
（二） 常微分方程模型中含输入函数的导数
y
n n 1
a1 y
a n 1 y a n y
(n)
例2.4：
b0 u
b1 u
( n 1 )
bn 1u bn u
y 18 192 y 640 y 160 u 640 u y
n 1
n 1
s bn s s
bn s

可得系统的方块图，得到系统的变量图.
2.4 根据状态变量图列写状态空间描述
列写状态空间描述的步骤： （1）对传递函数进行处理 （2）画系统对应的方块图 （3）画系统的状态变量图 （4）依据状态变量图,列写出系统状态方程与输出方 程
s a1 s
n 1
,
线性定常系统的状态空间表达式为
x Ax Bu y Cx Du
2.3 系统的频域描述化为状态空间描述
（一）控制系统传递函数的极点两两相异时
Y s W s U s b1 s
n n 1
bn 1 s bn a n 1 s a n
分两种情况： （1）高阶微分方程右侧不含微分项 （2）高阶微分方程右侧含微分项
2. 2 系统的微分方程——状态空间描述
（一） 常微分方程模型中不含输入函数的导数
y
例2.3：
n
a1 y
n 1
a n 1 y a n y b n u
y 6 11 y 6 y 6 u y
1
n 1
n
n
s U s a1 s s a 2 s s a n s
s
n
n
Y s s b1 s
1

1
b1 s s b n 1 s
b n 1 s
s s1
1 d
n
s
s1
n 1
i 1
k 1 i lim
s s1
i 1 ! ds i 1
W s s s
n 1
例2.6
2.3 系统的频域描述化为状态空间描述
（2）传递函数的极点为k个重根 此时系统的状态空间模型由k 个中的系统并联而成。 （3）传递函数的极点既有单极点，又有重极点. 此时系统的状态空间模型由所有的单极点系统和所有 的重极点系统并联而成.系统的状态矩阵为约当标准型.
U(s)
1 s
Y(s)
K
2.4 根据状态变量图列写状态空间描述
（二）一阶系统的状态空间描述
T y y Ku
Y s U s K Ts 1
U(s)
1 T
K
1 s
Y(s)
1 T
2.4 根据状态变量图列写状态空间描述
（三）n阶系统的状态空间描述 设n阶系统的传递函数为 1 n 1 n b1 s b n 1 s bn s Y s 1 n 1 n U s 1 a 1 s a n 1 s ans
y 18 192 y 640 y 0 0 u 160 u 640 u y u
2.3 系统的频域描述化为状态空间描述
由传递函数——状态空间描述
W s
Y s U s

b1 s
n
n 1
b n 1 s b n a n 1 s a n
证明
本章内容结束！
y
(n)
a1 y
( n 1 )
a n 1 y a n y b0 u
(n)
b1 u
( n 1 )
bn 1u bn u
线性定常系统的状态空间表达式为
x Ax Bu y Cx Du
如何建立2个数学模型系数之间的关系？
第二章 状态方程和输出方程
2.1 系统状态空间描述的概念
例2.1 RLC网络
R L
i u
C
uc
2.1 系统状态空间描述的概念
状态变量：能够完整地、确定地描述系统的时域行为 的最小一组变量。 状态向量：以状态变量为元素所组成的向量。 状态空间：以n维状态变量为坐标轴组成的n维正交空 间。 状态方程与输出方程： 在状态空间中建立的描述系统性能的数学模型。
2.4 根据状态变量图列写状态空间描述
（一） 状态变量图的概念 状态变量图是由积分器、放大器和加法器构 成的控制系统图形表示。 状态变量图是系统相应方块图的拉氏反变换 图形。 方法：在选择系统的状态变量时，选择系统 中的独立储能元件的储能变量作为状态变量， 即在状态变量图中，选择积分器的输出作为状 态变量，进而导出系统的状态空间模型。
Y s U s b1 s
1
b n 1 s
1
n 1
bn s
n n
1 a1 s
1 a1 s
1
a n 1 s
1 a n 1 s
2
n 1
ans
ans
令： s U s 则：
为输入向Байду номын сангаас;
为输出向量; 为状态向量.
xR
n
A , B , C , D 为恰当维数的实矩阵.
2. 1 系统状态空间描述的概念
D
u
x
B


A
x

C
x Ax Bu y Cx Du
y
2. 2 系统的微分方程——状态空间描述
描述系统输入输出之间的关系的高阶微分方程：
G s Y s U s C sI A B D
1
系统的极点和系统状态空间模型中状态矩阵的特征值是一致的
2.7 系统状态空间描述与传递函数
对同一个系统，选择不同的状态变量，可以得到 不同的状态空间模型，这些模型之间可以相互转换 （系统的状态空间描述不是惟一的）。 对同一个系统，选择不同的状态变量，可以得到 不同的状态空间模型，这些模型对应的传递函数是相 同的（系统的传递函数是惟一的）。