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1.8 函数y=Asin （ωx φ）的图象课后导练基础达标1.函数y=3sin3x 的图象可看成是y=3sinx 的图象按下列哪种变换得到（ ）A.横坐标不变,纵坐标变为原来的31倍B.纵坐标不变,横坐标变为原来的31倍C.横坐标不变,纵坐标变为原来的3倍D.纵坐标不变,横坐标变为原来的3倍解析:ω的变化是纵坐标不变,横坐标变为原来的ω1(31)倍. 答案:B2.要得到y=sin2x 的图象，只要将函数y=sin （2x-3π)的图象（ ） A.向左平移3π个单位 B.向右平移3π个单位C.向左平移6π个单位D.向右平移6π个单位解析:y=sin2x=sin ［2(x+6π)-3π］,∴只需将y=sin(2x-3π)左移6π个单位.答案:C3.要得到y=2sin2x 的图象只要把y=sin2x 的图象按下列哪种变换得到（ ） A.横坐标不变,纵坐标变为原来的2倍B.横坐标不变,纵坐标变为原来的21倍 C.纵坐标不变,横坐标变为原来的21倍D.纵坐标不变,横坐标变为原来的2倍解析:y=sinx 变为y=Asinx,只要横坐标不变,纵坐标变为原来的A 倍. 答案:A4.把函数y=sin(2x+4π)的图象向右平移8π个单位，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的21，则所得图象的函数是（ ） A.y=sin(4x+83π) B.y=sin(4x+8π)C.y=sin4xD.y=sinx 解析:将y=sin(2x+4π)向右平移8π，得y=sin ［2(x-8π)+4π］，即y=sin2x 的图象，再把y=sin2x 的图象上各点的横坐标缩短到原来的21，就得到y=sin2(2x)，即y=sin4x 的图象. 答案:C5.已知函数y=f(x)，将f(x)的图象上的每一点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图象沿着x 轴向左平移2π个单位，这样得到的是y=21sinx 的图象.那么函数y=f(x)的解析式是（ ）A.f(x)=21sin(2x -2π)B.f(x)=21sin(2x+2π) C.f(x)=21sin(2x +2π) D.f(x)=21sin(2x-2π)解析:对函数y=21sinx 的图象作相反的变换，利用逆向思维寻求应有的结论.把y=21sinx的图象沿x 轴向右平移2π个单位，得到解析式y=21sin(x-2π)的图象，再使它的图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的21，就得到解析式y=21sin(2x-2π)的图象.答案：D6.(1)要得到函数y=sinx 的图象,需把函数y=21sinx 的图象上所有点的________坐标________到原来的________倍.________坐标不变.(2)要得到函数y=cosx 的图象,需把函数y=3cosx 图象上所有点________的坐标________到原来的________倍,_______坐标不变. 答案:(1)纵 伸长 2 横 (2)纵 缩短 31横 7.把函数y=sin(x+4π)的图象上所有的点向_______平行移动____________个长度单位,可得到函数y=sin(x+8π)的图象.答案:右 8π8.将函数y=43sin 34x 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的21,纵坐标不变,那么新图象对应的函数的值域是_____________,周期是_________________. 答案:［-34,43］ 43π 9.求函数y=sin(2x-6π)的对称中心和对称轴方程. 解析:设A=2x-6π,则函数y=sinA 对称中心为(k π,0), 即2x-6π=k π,x=2πk +12π,对称轴方程为2x-6π=2π+k π,x=3π+π2k . 所以y=sin(2x-6π)的对称中心为(2πk +12π,0),对称轴为x=3π+π2k(k∈Z ).10.函数y=3sin(2x+3π)表示一种简谐振动，求它的振幅、周期、频率、相位、初相.解析:振幅A=3,ω=2,∴周期T=ωπ2=22π=π.频率f=π11=T ,相位为2x+3π,令x=0,得初相φ=3π.综合运用11.把函数y=sin(ωx+φ)（其中φ为锐角）的图象向右平移8π个单位，或向左平移83π个单位都可使对应的新函数成为奇函数.则原函数的一条对称轴方程是（ ）A.x=2π B.x=4π C.x=-8π D.x=85π解析:将函数y=sin(ωx+φ)的图象向右平移8π个单位后，得函数y=sin ［ω(x-8π)+φ］,为奇函数.根据奇函数的性质，由函数的定义域为R ，知sin ［ω(0-8π)+φ］=0（即f(0)=0）.∴ω(-8π)+φ=0,φ=8ωπ.将函数y=sin(ωx+φ)向左平移83π个单位后，得函数y=sin ［ω(x+83π)+φ］,也是奇函数，所以sin ［ω(0+83π)+φ］=0，将φ=8ωπ代入，得sin(83ωπ+8ωπ)=0.∴ω2π=k π,ω=2k(k∈Z ).∵φ∈(0,2π),∴ω=2,且φ=4π.又正弦函数图象的对称轴过取得最值的点，设2x+4π=k π+2π， 则x=2πk +8π，当k=1时，x=85π， 即x=85π是函数y=sin(2x+4π)的一条对称轴方程. 答案:D12.(2005福建高考) 函数y=sin(ωx+φ)(x∈R ,ω>0,0≤φ<2π)的部分图象如右图,则（ ）A.ω=2π,φ=4π B.ω=3π,φ=6πC.ω=4π,φ=4πD.ω=4π,φ=45π 解析:4T=2,∴T=8.ω=T π2=4π.将点（1，1）代入y=sin （4πx+φ）中.1=sin(4π+φ),∴4π+φ=2π,φ=4π. 答案:C13.右图是周期为2π的三角函数y=f(x)的图象，那么f(x)可以写成（ ）A.sin(1+x)B.sin(-1-x)C.sin(x-1)D.sin(1-x) 解析:方法一：由题图可以看出，f(x)的图象是由y=sinx 的图象向左平移π-1个单位而得到的，所以在y=sinx 中，把x 换成［x+(π-1)］就得到f(x)，即f(x)=sin ［x+(π-1)］=sin ［π+(x-1)］=-sin(x-1)=sin(1-x).方法二：f(x)的图象也可以看成是由y=sinx 的图象向右平移π+1个单位而得到的，即在sinx 中，把x 换成［x-(π+1)］就得到f(x)，所以f(x)=sin ［x-(π+1)］=sin ［-π+(x-1)］=-sin ［π-(x-1)］=-sin(x-1)=sin(1-x).方法三：由图可以看出f(1)=0,f(0)>0，从给出的四个选项中，同时满足这两个条件的函数不是sin(1+x)，因为sin(1+1)≠0；也不是sin(-1-x)，因为sin(-1-1)≠0；也不是sin(x-1)，因为sin(0-1)=sin(-1)=-sin1<0.而sin(1-x)同时满足sin(1-1)=sin0=0和sin(1-0)=sin1>0. 答案：D14.(2005天津高考) 函数y=Asin(ωx+φ)(ω＞0,|φ|＜2π,x∈R )的部分图象如图所示，则函数表达式是（ ）A.y=-4sin(8πx+4π) B.y=4sin(8πx-4π) C.y=-4sin(8πx-4π) D.y=4sin(8πx+4π)解析:特殊点法.把(-2,0),(2,-4)代入A 、B 、C 、D 检验可知.答案：A 15.如下图，已知正弦函数y=Asin(ωx+φ)(A ＞0)的一个周期的图象，则函数y 的解析式为___________.解析：依图和题意知41T=(43)25()47(πππ=---,∴T=3π,即ω=T π2=32. 当x=25π-时,y=0；当x=47π-时,y=A ；当x=0时，y=-3-.∴⎪⎩⎪⎨⎧==⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-==+-⨯=+-⨯.2,35.3sin ,])47(32sin[,0])25(32sin[A A A A A πϕϕϕπϕπ解得故y=2sin(32x+35π). 答案：y=2sin(32x+35π)拓展探究16.已知某海滨浴场的海浪高度y （米）是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作：y=f(t).下表是某日各时的浪高数据： t(小时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24y(米) 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5 经长期观测，y=f(t)的曲线可近似地看成函数y=Acos ωt+b.（1）根据以上数据，求出函数y=Acos ωt+b 的最小正周期T 、振幅A 及函数表达式； （2）依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据（1）的结论，判断一天内上午8时至晚上20时之间，有多少时间可供冲浪者进行运动? 解析： （1）∵A=25.05.1-=21，而A+b=1.5, ∴b=1.再据T=12，得ω=6π. ∴y=21cos 6πt+1. （2）由y>1⇒21cos 6πt+1>1,∴cos6πt>0.∴2k π-2π<6πt<2k π+2π. ∴12k -3<t<12k+3.当k=1时，t∈(9,15)满足题目要求.9—15时，有6小时可供冲浪者进行运动.。
1.8 函数y=Asin （ωx+φ）的图象课堂导学三点剖析1.求y=Asin(ωx+φ)的振幅,周期,频率,相位及初相 【例1】 用五点法作出函数y=2sin(x-3π)+3的图象，并指出它的周期、频率、相位、初相、最值及单调区间.思路分析：本题考查y=Asin(ωx+φ)的基本概念,注意辨别初相与相位. 解：列表如下：x3π 65π 34π 611π37π x-3π 02π π 123π 2π y 3 5313描点作图，如下图：周期T=2π，频率f=T 1=π21，相位x-3π，初相-3π，最大值5，最小值1，单调减区间［2k π+65π,2k π+611π］(k∈Z ),单调增区间［2k π-6π,2k π+65π］(k∈Z ).友情提示y=Asin(ωx+φ)+k 沿y 轴方向平移，所以函数最值发生变化.（1）用五点法作函数y=Asin(ωx+φ)+k 的图象，五个点应是使函数取得最大值、最小值以及曲线与x 轴的交点.（2）用五点法作函数y=Asin(ωx+φ)+k 的图象的步骤是： 第一步：列表x ωϕ-ωϕωπ-2 ωϕωπ- ωϕωπ-23 ωϕωπ-2 ωx+φ 0 2ππ 23π 2π ykA+kkk-Ak注意：由ωx+φ=0、2π、π、23π、2π先求出x ，再由ωx+φ的值求出y 的值.第二步：在同一坐标系中描出各点.第三步：用光滑的曲线连接这些点，而成图象.各个击破 类题演练 1 已知函数y=3sin(2x+3π). (1)求出它的周期;(2)用“五点法”作出一个周期的简图； （3）指出函数的单调区间. 解析:(1)周期为:T=22π=π. (2)列表. 2x+3π 02π π23π 2πx6π-12π 3π 127π 65π y 0 3-3描点连线（如下图）（3）可见在一个周期内,函数在［12π,127π］上递减,又因函数的最小正周期为π,所以函数的递减区间为［k π+12π,k π+127π］(k∈Z ).同理,增区间为［k π-125π,k π+12π］(k∈Z ).变式提升 1如右图，已知y 1=Asin(ωx+φ)的一个周期的图象. （1）写出y 1的解析式；（2）若y 2与y 1的图象关于直线x=2对称，写出y 2的解析式； （3）指出y 2的周期、频率、振幅和初相. 解析:（1）由题图易知：A=2,T=7-(-1)=8,ω=82ππ=2T =4π. ∴y 1=2sin(4πx+φ)，将点（-1，0）代入得 2sin(-4π+φ)=0.∴φ=4π.∴y 1=2sin(4πx+4π).（2）作出与y 1的图象关于直线x=2对称的图象，可以看出y 2的图象相当于将y 1的图象向右平移2个单位得到的.∴y 2=2sin ［4π(x-2)+4π］=2sin(4πx-4π). （3）由（2）知，y 2的周期T=42ππ=8，频率f=811=T ，振幅A=2,初相φ=-4π.2.由y=sinx 到y=Asin(ωx+φ)以及由y=cosx 到y=Acos(ωx+φ)的图象变换【例2】 要得到函数y=sin(2x-3π)的图象，只要将y=sin 21x 的图象（ ）A.先把每个x 的值扩大4倍，y 值不变，再向右平移3π个单位B.先把每个x 的值缩小4倍，y 值不变，再向左平移3π个单位C.先把每个x 的值扩大4倍，y 值不变，再向左平移6π个单位D.先把每个x 的值缩小4倍，y 值不变，再向右平移6π个单位解析:21x→2x，先缩小4倍，又∵-3π＜0，∴右移23π=6π.答案:D 友情提示 y=sin21x 变换成y=sin2x 是把每个x 值缩小4倍，有的同学错认为是扩大4倍，这样就错选A 或C ；再把y=sin2x 变换成y=sin(2x-3π)，即变为y=sin2(x-6π)，则应当向右平移6π，有的同学认为是平移3π，这样导致错选A 或B ；也有的同学左右平移方向搞错，导致出错. 类题演练 2 作出函数y=3cos(2x-4π)的图象,并说明这个图象可以由y=cosx 的图象经过怎样的变化得到?解析:①列出五个关键点如下: 2x-4π 02π π23π 2πx8π 83π 85π 87π 89π y 3 0-3②描点作图.③以π为周期把所得图象向左,右扩展,得 y=3cos(2x-4π)的图象. 这个图象可以由y=cosx 的图象先向右平移4π个单位,再将图象上每一点的横坐标压缩到原来的21,每一点的纵坐标伸长到原来的3倍而得到. 变式提升 2使函数y=f(x)图象上每一点的纵坐标保持不变,横坐标缩小到原来的21倍,然后再将其图象沿x 轴向左平移6π个单位得到的曲线与y=sin2x 的图象相同,则f(x)的表达式为（ ） A.y=sin(4x-3π) B.y=sin(x-6π)C.y=sin(4x+3π)D.y=sin(x-3π)解析:据题意,y=sin2x −−−−−→−个单位向右平移6πy=sin2(x-6π)=sin(2x-3π)y=sin(x-3π). 答案:D3.根据图象写出函数的解析式 【例3】 如下图所示,函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象上相邻的最高点与最低点的坐标分别为(125π,3)和(1211π,-3). 求该函数的解析式.思路分析：根据相邻的最高点与最低点确定2T从而确定ω;由点的坐标满足图象解析式,代入得出φ.解:依题意知A=3,设最小正周期为T,则12512112ππ-=T =2π,∴T=π,又T=ωπ2, ∴ω=2.∴函数解析式为y=3sin(2x+φ).∵点(125π,3)在图象上, ∴3=3sin(2×125π+φ)⇒sin(65π+φ)=1.⇒65π+φ=2k π+2π⇒φ=2k π-3π,k∈Z . ∴y=3sin(2x+2k π-3π).故y=3sin(2x-3π)为所求. 友情提示这类问题的求解难点是φ的确定,除以上方法外,常用移轴方法:做平移,使移轴公式为x=x′+6π,y=y′,则易知函数在新坐标系中的方程是y′=3sin2x′,而x′=x -6π. ∴所求函数y=3sin ［2(x-6π)］,而平移时,方向与符号易出错.类题演练 3如下图,某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足y=Asin(ωx+φ)+b ，(1)求这段时间的最大温差; (2)写出这段曲线的函数解析式. 解析:(1)20°. (2)A=10,b=20. ∵2T=14-6=8, ∴T=16. ∴16=ωπ2, ∴ω=8π. ∴y=10sin(8πx+φ)+20. 由五点法知,10sin(8π×6+φ)+20=10.即8π×6+φ=23π,∴φ=43π.∴y=10sin(8πx+43π)+20,x∈［6,14］.变式提升 3如右图,它是函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),|φ|<π的图象,根据图中数据,写出该函数解析式.解析:由图象知,A=5,T=3π,于是ω=32,所以y=5sin(32x+φ). 将最高点坐标(4π,5)代入y=5sin(32x+φ),得5sin(6π+φ)=5.∴6π+φ=2k π+2π,∴φ=2k π+3π,(k∈Z ),取φ=3π. ∴该函数的解析式为y=5sin(32x+3π).。
1.8 函数y ＝Asin(ωx＋φ)的图像1．“五点法”画函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像利用“五点法”作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R (其中A ＞0，ω＞0)的简图，先分别令ωx ＋φ＝____________，列表求出长度为一个周期的闭区间上的五个关键点的坐标，再描点，并用平滑的曲线连接作出一个周期上的图像，最后向左、右分别扩展，即可得到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R 的简图．2．A 、ω、φ的意义函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R (其中A ＞0，ω＞0)，在这里常数A 叫____，T ＝2πω叫____，f ＝1T ＝ω2π叫____，ωx ＋φ叫____，φ叫____． 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (其中ω＞0，A ＞0)的最大值为____，最小值为____，周期为__．预习交流1函数y ＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π3，x ∈R 的值域是________，周期是________，振幅是________，初相是________．3.A ，ω，φ对函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图像的影响 (1)φ对函数y ＝sin(x ＋φ)图像的影响(2)ω对函数y ＝sin(ωx ＋φ)图像的影响(ω＞0且ω≠1)(3)A 对函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图像的影响(A ＞0)准确认识理解“图像变换法”由y ＝sin x 到y ＝sin(x ＋φ)的图像变换称为相位变换；由y ＝sin x 到y ＝sin ωx 的图像变换称为周期变换；由y ＝sin x 到y ＝A sin x 的图像变换称为振幅变换．预习交流2将函数y ＝sin x 的图像向左平移π4个单位，再向上平移2个单位，所得图像的函数解析式是( )．A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋2B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－2C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4－2D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋2 4．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0)的性质预习交流3函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称中心和对称轴各有什么特点？答案：1．0，π2，π，3π2，2π2．振幅 周期 频率 相位 初相 A ＋b －A ＋b 2πω预习交流1：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－15，152π3 15－π3预习交流2：D4．R [－A ，A ]2π|ω| k π＋π2，k ∈Z k π＋π2－φω k π，k ∈Z ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－φω，0 2k π－π2 2k π＋π2 2k π＋π2 2k π＋3π2预习交流3：提示：对称中心为图像与x 轴的交点坐标，在对称轴处图像位于最高点或最低点，也可以说函数在对称轴处取得最大值或最小值．1．用“五点法”作正弦函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像用“五点法”作出函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的简图，并指出这个函数的振幅、周期、频率、初相和单调区间．用“五点法”作出函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4的图像，并指出它的振幅、周期、频率、初相、相位．“五点法”作图，要抓住要害，即要抓住五个关键点，使函数式中的ωx＋φ分别取0，π2，π，3π2，2π，然后求出相应的x ，y 值，作出图像．2．图像变换用两种方法将函数y ＝sin x 的图像变换为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4的图像．思路分析：变换过程可以先平移后伸缩，也可以先伸缩后平移．将函数y ＝f (x )的图像上每一点的纵坐标变为原来的12，再将横坐标变为原来的12，最后将整个图像向左平移π3个单位，可得y ＝sin x 的图像，求函数f (x )的解析式．思路分析：逆向思考解答此问题．函数y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的图像可以看作把函数y ＝12sin 2x 的图像向__________平移__________个单位得到．由y ＝sin x 的图像，通过变换可得到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的图像，其变化途径有两条：(1)y ＝sin x ――→相位变换y ＝sin(x ＋φ)――→周期变换y ＝sin(ωx ＋φ)――→振幅变换y ＝A sin(ωx ＋φ)．(2)y ＝sin x ――→周期变换y ＝sin ωx ――→相位变换y ＝sin(ωx ＋φ)――→振幅变换y ＝A sin(ωx ＋φ)．3．根据图像确定函数解析式如图，它是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的图像，由图中条件写出该函数的解析式．1．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(0＜φ＜2π，A ＞0，ω＞0)的部分图像如图所示，则f (0)的值是__________．2．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2，x ∈R )的部分图像如图所示，求函数表达式．由图像确定函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式，主要从以下三个方面来考虑：(1)A 的确定：根据图像的“最高点，最低点”确定A ；(2)ω的确定：结合图像先求周期T ，然后由T ＝2πω(ω＞0)确定ω；(3)φ的确定：常用的方法有： ①代入法：把图像上的一个已知点或图像与x 轴的交点代入(此时，A ，ω已知)求解．(此时要注意交点在上升区间还是在下降区间上)②五点法：确定φ的值时，往往以寻找“五点”中的第一个“零点”⎝ ⎛⎭⎪⎫－φω，0作为突破口．“五点”中的ωx ＋φ的值具体如下：“第一点”(即图像上升时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝0；“第二点”(即图像的“峰点”)为ωx ＋φ＝π2；“第三点”(即图像下降时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝π； “第四点”(即图像的“谷点”)为ωx ＋φ＝3π2；“第五点”为ωx ＋φ＝2π.4．y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的性质及综合应用已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ－π6＋1(0＜φ＜π，ω＞0)为偶函数，且函数y ＝f (x )图像的两相邻对称轴间的距离为π2.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8的值； (2)将函数y ＝f (x )的图像向右平移π6个单位后，再将得到的图像上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图像，求g (x )的单调递减区间．思路分析：(1)首先求出ω，φ的值，再求出f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8的值；(2)求出y ＝g (x )的解析式，再确定单调递减区间．设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π＜φ＜0)，y ＝f (x )图像的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ；(2)求函数f (x )的单调递增区间．(1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)为偶函数⇔φ＝k π＋π2(k ∈Z )；为奇函数⇔φ＝k π(k ∈Z )．同理，函数y ＝A cos(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)为偶函数⇔φ＝k π(k ∈Z )；为奇函数⇔φ＝k π＋π2(k ∈Z )．(2)求y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的单调区间时，首先把x 的系数化为正的，再利用整体代换，即把ωx ＋φ代入相应不等式中，求解相应的变量x 的范围．答案：活动与探究1：解：(1)列表：列表时2x ＋π3取值分别为0，π2，π，3π2，2π，再求出相应的x 值和y 值.(2)描点：在直角坐标系中描出点⎝ ⎛⎭⎪⎫－6，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，⎝ ⎛⎭⎪⎫3，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2，⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，0.(3)连线：用平滑的曲线顺次连接各点所得图像如下图所示．利用这类函数的周期性，我们可以把上面所得到的简图向左、右扩展，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，x ∈R 的简图(图略)． 这个函数的振幅是2，周期是T ＝2π2＝π，频率是f ＝1T ＝1π，初相是π3.函数的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π12，k π＋7π12(k ∈Z )． 同理，递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z )．(2)描点：在直角坐标系中描出点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2，－3，⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2，0， (3)连线：将所得五点用光滑的曲线连起来，如图所示．这样就得到了函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4在一个周期内的图像，再将这部分图像向左或向右扩展就得到函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4，x ∈R 的图像．这个函数的振幅为3，周期是T ＝2π12＝4π，频率f ＝1T ＝14π，初相为－π4，相位是12x －π4.活动与探究2：解：方法一：(先平移后伸缩)y ＝sin x 的图像y＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图像y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π4的图像――――――――――→横坐标不变纵坐标伸长为原来的2倍y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π4的图像．方法二：(先伸缩后平移)y ＝sin x 的图像y ＝sin 3x 的图像y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π4的图像―――――――――→纵坐标伸长为原来的2倍横坐标不变y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4的图像．活动与探究3：解：将y ＝sin x 的图像向右平移π3个单位得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的图像，把所得图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3的图像，再把y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3的图像上所有点的纵坐标变为原来的2倍得到y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3的图像．∴f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3.迁移与应用：右 π8解析：y ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4＝12sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π8， ∴由y ＝12sin 2x 的图像向右平移π8个单位便得到y ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4的图像．活动与探究4：解：由图像知，A ＝3. ∵T 2＝5π6－π3＝π2，∴T ＝π. ∴ω＝2πT＝2.∴y ＝3sin(2x ＋φ)．下面求φ.方法一：(单调性法)∵点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0在递减的区间上，∴2π3＋φ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋2k π，3π2＋2k π，k ∈Z . 由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝0，得2π3＋φ＝π＋2k π，k ∈Z ， ∴φ＝2k π＋π3，k ∈Z .又∵|φ|＜π，∴φ＝π3.方法二：(最值点法)将最高点坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，3代入y ＝3sin(2x ＋φ)，得3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＋φ＝3.∴φ＋π6＝π2＋2k π，k ∈Z .∴φ＝2k π＋π3，k ∈Z .又∵|φ|＜π，∴φ＝π3.方法三：(起始点法)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像一般由“五点法”作出，而起始点的横坐标x 正是由ωx ＋φ＝0解得的，故只要找出起始点的横坐标x ，就可以迅速求得初相φ.由图像求得x 0＝－π6.故φ＝－ωx 0＝－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π3.方法四：(平移法)由图像知，将y ＝3sin 2x 的图像沿x 轴向左平移π6个单位，就得到本题图像，故φ＝2×π6＝π3.综上，所求函数的解析式为y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 迁移与应用：1.62 解析：由题图知A ＝2，T 4＝7π12－π3＝π4， ∴T ＝π，ω＝2ππ＝2.∴2×π3＋φ＝2k π＋π，k ∈Z .∴φ＝2k π＋π3，k ∈Z .∵0＜φ＜2π，令k ＝0，得φ＝π3.∴函数解析式为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. ∴f (0)＝2sin π3＝62.2．解：由图像知A ＝4，T2＝6－(－2)＝8，∴T ＝16.从而2πω＝16，∴ω＝π8.由π8×6＋φ＝k π，k ∈Z 得φ＝k π－3π4，k ∈Z . ∵|φ|＜π2，令k ＝1，得φ＝π4.∴函数f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋π4.活动与探究5：解：(1)∵f (x )为偶函数，∴φ－π6＝k π＋π2(k ∈Z )，∴φ＝k π＋2π3，k ∈Z .又∵0＜φ＜π，∴φ＝2π3，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π2＋1＝2cos ωx ＋1. 又函数y ＝f (x )的图像的两相邻对称轴间的距离为π2，∴2πω＝2×π2，∴ω＝2. 故f (x )＝2cos 2x ＋1，因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2×π8＋1＝2＋1.(2)将f (x )的图像向右平移π6个单位后，得到f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6的图像，再将所得图像上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4－π6的图像． 所以g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4－π6＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4－π6＋1＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3＋1. 当2k π≤x 2－π3≤2k π＋π(k ∈Z )，即4k π＋2π3≤x ≤4k π＋8π3(k ∈Z )时，g (x )单调递减．因此g (x )的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π＋2π3，4k π＋8π3(k ∈Z )． 迁移与应用：解：(1)由2×π8＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，得φ＝k π＋π4，k ∈Z ，∵－π＜φ＜0，令k ＝－1得φ＝－3π4.∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4. (2)由2k π－π2≤2x －3π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8，k ∈Z .∴函数的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z )．1．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π5的周期、振幅各是( )．A ．4π，－2B ．4π，2C ．π，2D ．π，－22．要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3的图像，只需将y ＝sin 2x 的图像( )． A ．向左平移π6个单位B ．向右平移π6个单位C ．向右平移π3个单位D ．向左平移π3个单位3．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω＞0)的最小正周期为π，则该函数图像( )． A ．关于直线x ＝π3对称B ．关于直线x ＝π4对称C ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称D ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称4．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3在[0，π]上的单调减区间是__________．5．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)上的最高点为(2，2)，该最高点到相邻的最低点间曲线与x 轴交于一点(6,0)，求函数解析式，并求函数在x ∈[－6,0]上的值域．答案：1．B 2.D3．D 解析：由题意知ω＝2，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 当x ＝π3时，f (x )＝0，所以f (x )关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称． 当x ＝π4时，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π3＝cos π3＝12， 所以f (x )不关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称，也不关于直线x ＝π4对称． 4.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12 解析：由2k π＋π2≤2x ＋π3≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π12≤x ≤k π＋7π12，k ∈Z ， ∵x ∈[0，π]，∴函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3在[0，π]上的递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12. 5．解：由题意知A ＝2，T4＝6－2＝4，∴T ＝16. 又2πω＝16，∴ω＝π8. 又π8×6＋φ＝π＋2k π，k ∈Z ， ∴φ＝2k π＋π4，k ∈Z .∵|φ|＜π2，令k ＝0，得φ＝π4，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋π4.∵x ∈[－6,0]，∴π8x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π4.∴f (x )∈[－2，1]．∴函数在x∈[－6,0]上的值域是[－2，1]．。
§8 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像与性质知识点一 “五点法”作图[填一填]1．“五点法”画函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像利用“五点法”作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R (其中A >0，ω>0)的简图，先分别令ωx ＋φ＝0，π2，π，3π2，2π，列表求出长度为一个周期的闭区间上的五个关键点的坐标，再描点，并用平滑的曲线连接作出一个周期上的图像，最后向左、右分别扩展，即可得到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R 的简图．[答一答]1．在用“五点法”画函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像时，依次取0，π2，π，32π，2π的是x吗？提示：不是．是ωx ＋φ这个整体．知识点二 A 、ω、φ的意义及对图像的影响[填一填]2．A 、ω、φ的意义函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R (其中A >0，ω>0)，在这里常数A 叫振幅，T ＝2πω叫周期，f＝1T ＝ω2π叫频率，ωx ＋φ叫相位，φ叫初相． 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (其中ω>0，A >0)的最大值为A ，最小值为－A ，周期为2πω.3．A ，ω，φ对函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图像的影响 (1)φ对函数y ＝sin(x ＋φ)图像的影响(2)ω对函数y ＝sin(ωx ＋φ)图像的影响(ω>0且ω≠1)(3)A 对函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图像的影响(A >0)[答一答]2．由函数y ＝sin x 的图像经过怎样的变换得到函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图像？ 提示：明确相位变换和周期变换的顺序，也要借助经验的积累．将y ＝sin x 的图像变换成y ＝sin(ωx ＋φ)的图像一般有两个途径．途径一：先相位变换，再周期变换．先将y ＝sin x 的图像向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位长度，再将得到的图像上各点的横坐标变为原来的1ω倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin(ωx ＋φ)的图像．途径二：先周期变换，再相位变换．先将y ＝sin x 的图像上各点的横坐标变为原来的1ω倍(纵坐标不变)，再将得到的图像向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|ω个单位长度，得到y ＝sin(ωx ＋φ)的图像．知识点三 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0)的性质[填一填]4．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0)的性质[答一答]3．函数y ＝sin(ωx ＋φ)的最小正周期为2πω，对吗？提示：不对．当ω>0时，最小正周期为2πω，否则，最小正周期为2π|ω|.1．对函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)中参数的物理意义的四点说明 (1)A ：它表示做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离，称为振幅． (2)T ：T ＝2πω，它表示做简谐运动的物体往复运动一次所需的时间，称为周期．(3)f ：f ＝1T ＝ω2π，它表示做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数，称为频率．(4)ωx ＋φ：称为相位；φ：当x ＝0时的相位，称为初相． 2．准确理解“变换法”作图的两种主要途径 (1)先平移后伸缩(2)先伸缩后平移类型一 五点法作图【例1】 用五点法画出函数y ＝2sin(2x ＋π3)的图像，并指出函数的单调区间．【思路探究】 五点法作图，要抓住要害，即要抓住五个关键点，使函数式中的ωx ＋φ分别取0，π2，π，32π，2π，然后求出相应的x ，y 值，作出图像．【解】 ①列表：x －π6 π12 π3 7π12 5π6 2x ＋π30 π2 π 3π2 2π y2－2列表时，2x ＋π3的取值分别为0，π2，π，3π2，2π，再求出相应的x 值和y 值．②描点．③用平滑的曲线顺次连接各点所得图像如图所示．利用这类函数的周期性，我们可以把上面所得到的简图向左、向右扩展，得到y ＝2sin(2x ＋π3)，x ∈R 的简图(图略)． 可见在一个周期内，函数在[π12，712π]上递减，又因函数的周期为π，所以函数的递减区间为[k π＋π12，k π＋7π12](k ∈Z )．同理，递增区间为[k π－512π，k π＋π12](k ∈Z )．规律方法 (1)用五点法作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像，五个点应是使函数取得最大值、最小值以及曲线与x 轴的交点．(2)用五点法作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图像的步骤是： 第一步：列表：x －φω π2ω－φω πω－φω 3π2ω－φω 2πω－φω ωx ＋φ 0 π2 π 32π 2π yA－A第二步：在同一坐标系中描出各点．第三步：用光滑曲线连接这些点，形成图像(图略)．用五点法作出函数y ＝2sin(x －π3)＋3的图像，并指出它的最小正周期、频率、相位、初相、最值及单调区间．解：(1)列表：x π3 56π 43π 116π 73π x －π3 0 π2 π 32π 2π y35313(2)描点． (3)作图如图所示：将函数在一个周期内的图像向左、向右两边扩展即得y ＝2sin(x －π3)＋3的图像(图略)．周期T ＝2π，频率f ＝1T ＝12π，相位x －π3，初相－π3，最大值5，最小值1，函数的减区间为[2k π＋56π，2k π＋116π](k ∈Z )，增区间为[2k π－π6，2k π＋56π](k ∈Z )．类型二 利用图像变换作函数图像【例2】 如何由y ＝sin x 得到函数y ＝3sin(2x －π3)的图像？【思路探究】 可以按变换顺序φ—ω—A 进行图像变换，也可以按变换顺序ω—φ—A 进行图像变换．【解】 解法一：解法二：规律方法 本题用了由函数y ＝sin x (x ∈R )的图像变换到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R )的图像的两种方法，第一种方法是先进行相位变换；第二种方法是先进行周期变换．在先进行周期变换时，我们要注意下一步的变换平移的长度．(1)要得到y ＝3sin(2x ＋π4)的图像，只需将y ＝3sin 2x 的图像( C )A ．向左平移π4个单位长度B ．向右平移π4个单位长度C ．向左平移π8个单位长度D ．向右平移π8个单位长度(2)把函数y ＝sin x 的图像上所有点的横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把图像向左平移π4个单位长度，则所得图像的解析式为( C )A ．y ＝sin(2x －π4)B ．y ＝－sin2xC ．y ＝cos 2xD ．y ＝sin(2x ＋π4)解析：(1)y ＝3sin 2x 的图像 y ＝3sin2(x ＋π8)的图像，即y ＝3sin(2x ＋π4)的图像．类型三 y ＝A sin(ωx ＋φ)型三角函数的性质【例3】 求下列各函数的周期：(1)f (x )＝sin2x ；(2)f (x )＝2sin(x 2－π6)．【思路探究】 该例的两个函数都是复合函数，我们可以通过变量替换将它们归结为基本三角函数去处理．【解】 (1)如果令X ＝2x ，则sin2x ＝sin X 是周期函数，且周期为2π.∴sin(2x ＋2π)＝sin2x ， 即sin[2(x ＋π)]＝sin2x .∴f (x )＝sin2x 的周期是π. (2)∵2sin(x 2－π6＋2π)＝2sin(x 2－π6)，即2sin[12(x ＋4π)－π6]＝2sin(x 2－π6)，∴f (x )＝2sin(x 2－π6)的周期是4π.规律方法 由上面的例题我们看到函数周期的变换仅与自变量x 的系数有关．一般地，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A 、ω、φ为常数，A ≠0，ω>0，x ∈R )的周期T ＝2πω.完成下列填空：(1)函数y ＝2sin(π3－π2x )的最小正周期为4；(2)函数y ＝sin(ωx ＋π4)(ω>0)的最小正周期为2π3，则ω＝3；(3)函数y ＝4sin(3x ＋π4)＋3sin(3x －π4)的最小正周期为23π.解析：根据y ＝A sin(ωx ＋φ)最小正周期为T ＝2π|ω|.(1)T ＝2ππ2＝4，∴应填4.(2)∵2πω＝2π3，∴ω＝3，∴应填3.(3)∵4sin(3x ＋π4)与3sin(3x －π4)的最小正周期都为2π3，∴应填2π3.【例4】 (1)求函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4＋1的单调递减区间； (2)求函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4的单调递增区间． 【思路探究】 可把3x ＋π4与2x －π4分别看成一个整体，利用函数y ＝sin x 和y ＝cos x 的单调区间求解，同时注意函数的定义域．【解】 (1)∵函数y ＝sin x 的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z )，∴2k π＋π2≤3x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，∴23k π＋π12≤x ≤23k π＋5π12(k ∈Z )．故该函数的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤2k π3＋π12，2k π3＋5π12(k ∈Z )． (2)由cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4≥0， 得2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )．当2k π－π≤2x －π4≤2k π(k ∈Z )时，函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4单调递增，∴2k π－π2≤2x －π4≤2k π(k ∈Z )，∴k π－π8≤x ≤k π＋π8(k ∈Z )．故该函数的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π8，k π＋π8(k ∈Z )． 规律方法 求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ≠0，ω≠0)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法解答．解题时应注意如下几个方面：(1)把“ωx ＋φ”作为一个整体；(2)如果ω<0，那么把x 的系数化为正的；(3)A 的正负影响函数的单调性．求函数y ＝sin(－2x )的单调区间． 解：y ＝sin(－2x )＝－sin2x . 当2k π－π2≤2x ≤2k π＋π2，k ∈Z ，即k π－π4≤x ≤k π＋π4，k ∈Z 时，原函数是减函数；当2k π＋π2≤2x ≤2k π＋32π，k ∈Z ，即k π＋π4≤x ≤k π＋34π，k ∈Z 时，原函数是增函数．所以，函数y ＝sin(－2x )的单调递增区间是[k π＋π4，k π＋34π]，k ∈Z ，单调递减区间是[k π－π4，k π＋π4]，k ∈Z . 类型四 根据图像确定函数解析式【例5】 已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)在一个周期内的函数图像如图，求函数的一个解析式．【思路探究】 解决此类问题的关键在于确定参数A 、ω、φ.其基本方法是在观察图像的基础上，利用待定系数法求解．【解】 (方法一：逐一定参法)由题图可知函数的最大值为3，最小值为－ 3. ∵A >0，∴A ＝ 3.由题图易知T 2＝5π6－π3＝π2，∴T ＝π＝2πω，解得ω＝2.又∵12⎝⎛⎭⎫π3＋5π6＝7π12， ∴图像上的最高点的坐标为⎝⎛⎭⎫7π12，3， ∴3＝3sin ⎝⎛⎭⎫2×7π12＋φ，即sin ⎝⎛⎭⎫7π6＋φ＝1，可取φ＝－2π3， ∴该函数的一个解析式为y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3.(答案不唯一) (方法二：待定系数法)由题图可知A ＝3，又图像过点⎝⎛⎭⎫π3，0，⎝⎛⎭⎫5π6，0，根据五点法作图原理(以上两点可判断为“五点法作图”中的第一点与第三点)，则有⎩⎨⎧π3·ω＋φ＝0，5π6·ω＋φ＝π，解得⎩⎪⎨⎪⎧ω＝2，φ＝－2π3.∴该函数的一个解析式为y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3.(答案不唯一) (方法三：图像变换法) ∵A ＝3，T 2＝5π6－π3＝π2，∴T ＝π＝2πω，解得ω＝2，∴图像应由y ＝3sin2x 的图像向右平移π3个单位长度得到，∴该函数的一个解析式为y ＝3sin2⎝⎛⎭⎫x －π3，即y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3.(答案不唯一)规律方法 对于方法二，将若干个特殊点的坐标代入函数式，可以求得相关的待定系数A ，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点是“五点法作图”中的哪一个位置的点，并能将其坐标正确代入函数解析式得出等式．根据五点列表法原理，点的序号与式子关系如下：“第一点”(即图像上升时与x 轴的交点)的横坐标满足ωx ＋φ＝0；“第二点”[即图像的“峰点”(最高点)]的横坐标满足ωx ＋φ＝π2；“第三点”(即图像下降时与x 轴的交点)的横坐标满足ωx ＋φ＝π；“第四点”[即图像的“谷点”(最低点)]的横坐标满足ωx ＋φ＝3π2；“第五点”(即图像又上升时与x 轴的交点)的横坐标满足ωx ＋φ＝2π.当然所取的特殊点可以是五个关键点，也可以是图像上的其他点．对于方法三，运用逆向思维的方法，先确定函数的基本函数式y ＝A sin ωx ，根据图像平移规律确定相关的参数．A ，ω的值是唯一确定的，初相φ的值却不唯一，但一般取最小正值或取绝对值较小的值．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)的图像如图，则点(ω，φ)的坐标是(4，2π3)．解析：由题图可知A ＝2，T ＝2πω＝2×(5π24＋π24)＝π2，∴ω＝4.又由题图可知当x ＝－π24时，f (x )＝2，∴4×(－π24)＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，∴φ＝2k π＋2π3，k ∈Z .∵0<φ<π，∴φ＝2π3，因此点(ω，φ)的坐标是(4，2π3)．——规范解答——函数y ＝A sin(ωx ＋φ)解析式的求法【例6】 已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋m (A <0，ω>0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π，直线x ＝π6是其图像的一条对称轴，则函数的解析式可能是( )A ．y ＝4sin(2x ＋π6)B ．y ＝－2sin(2x ＋π6)＋2C ．y ＝－2sin(x ＋π3)＋2D ．y ＝2sin(2x ＋π2)＋2【审题】 先由最大值为4，最小值为0求得A ，m ，再根据最小正周期为π求得ω，最后由对称轴为x ＝π6求得φ应满足的条件．【解题】 由题意，得|A |＝y max －y min 2＝4－02＝2，∵A <0，∴A ＝－2，m ＝y max ＋y min 2＝4＋02＝2.又ω＝2πT ＝2ππ＝2，∴y ＝－2sin(2x ＋φ)＋2.由图像的对称轴方程，知2x ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )．∵直线x ＝π6是其中一条对称轴，代入得φ＝k π＋π6(k ∈Z )，∴φ可取π6.故符合条件的解析式是y ＝－2sin(2x ＋π6)＋2.【答案】 B【小结】 由函数性质或图像确定解析式的方法由性质或图像确定三角函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ，ω≠0)的解析式，在观察图像的基础上可按以下方法来确定A ，ω，φ，b .(1)A ：可由函数的最大值、最小值来确定，A ＝f (x )max －f (x )min2.(2)ω：因为T ＝2π|ω|，所以往往通过求周期T 来确定ω的值，而周期T 可以由函数的图像来确定．(3)φ：可由最高点来确定，也可由图像变换、单调性来确定，还可由“五点法”中的第一个点(－φω，k )(也叫初始点)作为突破口，但要根据图像的升降情况找准第一个点的位置．(4)b ：可由函数的最大值、最小值来确定，b ＝f (x )max ＋f (x )min2.某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如下表：(2)将y ＝f (x )图像上所有点向左平行移动θ(θ＞0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图像．若y ＝g (x )图像的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫5π12，0，求θ的最小值．解：(1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6.数据补全如下表：函数f (x )的解析式为f (x )＝5sin(2x －π6)．(2)由(1)知f (x )＝5sin(2x －π6)，故g (x )＝5sin(2x ＋2θ－π6)．因为y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)，k ∈Z . 令2x ＋2θ－π6＝k π，解得x ＝k π2＋π12－θ，k ∈Z .又函数y ＝g (x )的图像关于点(5π12，0)中心对称，因此可以令k π2＋π12－θ＝5π12，解得θ＝k π2－π3，k ∈Z . 又θ＞0，所以当k ＝1时，θ取最小值π6.一、选择题1．函数y ＝2sin(12x ＋π3)在一个周期内的三个“零点”横坐标是( B )A ．－π3，5π3，11π3B ．－2π3，4π3，10π3C ．－π6，11π6，23π6D ．－π3，2π3，5π3解析：12x ＋π3＝k π，k ∈Z ，∴x ＝2k π－23π，k ∈Z ，此时y ＝0.2．函数y ＝sin(2x ＋π3)图像的对称轴方程可能是( D )A ．x ＝－π6B ．x ＝－π12C ．x ＝π6D ．x ＝π12解析：本题主要考查正弦型曲线的特征与性质． 由2x ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z )得x ＝k π2＋π12，令k ＝0，得x ＝π12.3．函数y ＝2sin(x 2＋π5)的周期、振幅各是( B )A ．4π，－2B ．4π，2C ．π，2D ．π，－2解析：显然振幅为2，周期T ＝2π12＝4π.二、填空题4．函数y ＝2sin(2x ＋π3)在[0，π]上的单调减区间是[π12，7π12]．解析：由2k π＋π2≤2x ＋π3≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π12≤x ≤k π＋7π12，k ∈Z ，∵x ∈[0，π]，∴函数y ＝2sin(2x ＋π3)在[0，π]上的递减区间是[π12，7π12]．5．函数y ＝15sin(3x －π3)，x ∈R 的值域是[－15，15]，周期是2π3，振幅是15，初相是－π3.三、解答题6．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)的周期为π，图像的一个对称中心为(π4，0)，将函数f (x )图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得到的图像向右平移π2个单位长度后得到函数g (x )的图像．求函数f (x )与g (x )的解析式． 解：由函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的周期为π，ω>0得ω＝2，又曲线y ＝f (x )的一个对称中心为(π4，0)，φ∈(0，π)， 故f (π4)＝sin(2×π4＋φ)＝0，得φ＝π2，所以f (x )＝cos2x .将函数f (x )图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后可得y ＝cos x 的图像，再将y ＝cos x 的图像向右平移π2个单位长度后得到函数g (x )＝cos(x －π2)的图像，所以g (x )＝sin x .。
1.8 函数y=Asin （ωx+φ）的图像典题精讲1.由函数y ＝sinx 的图像经过怎样的变换得到函数y ＝sin(ωx ＋φ)（ω＞0）的图像？ 剖析：由y ＝sinx 的图像变换出y ＝sin(ωx ＋φ)的图像一般有两个途径. 途径一：先相位变换，再周期变换先将y ＝sinx 的图像向左(φ＞0)或向右（φ＜0）平移｜φ｜个单位；再将得到的图像上各点的横坐标变为原来的ω1倍（纵坐标不变），得y ＝sin(ωx ＋φ)的图像. 途径二：先周期变换，再相位变换先将y ＝sinx 的图像上各点的横坐标变为原来的ω1倍（纵坐标不变）；再将得到的图像沿x 轴向左(φ＞0)或向右（φ＜0）平移ωϕ||个单位，便得y ＝sin(ωx ＋φ)的图像.疑点是这两种途径在平移变换中，为什么沿x 轴平移的单位长度不同？其突破口是化归到由函数y=f(x)的图像经过怎样的变换得到函数y=f(ωx+φ)的图像.只有区别开这两个途径，才能灵活进行图像变换.若按途径一有：先将y=f(x)的图像向左(φ＞0)或向右（φ＜0）平移｜φ｜个单位，得函数y=f(x+φ)的图像；再将函数y=f(ωx)的图像上各点纵坐标不变，横坐标变为原来的ω1倍，得y=f(ωx+φ）的图像. 若按途径二有：先将y=f(x)的图像上各点纵坐标不变，横坐标变为原来的ω1倍，得函数y=f(ωx)的图像；再将函数y=f(ωx)的图像上各点沿x 轴向左(φ＞0)或向右（φ＜0）平移ωϕ||个单位，得y=f(ωx+φ）的图像.若将y=f(x)的图像上各点纵坐标不变，横坐标变为原来的ω1倍(ω＞0)，得函数y=f(ωx)的图像；再将函数y=f(ωx)的图像上各点沿x 轴向左(φ＞0)或向右（φ＜0）平移|φ|个单位，得到y=f ［ω(x+φ)］的图像，即函数y=f(ωx+ωφ)的图像，而不是函数y=f(ωx+φ)的图像.例如：由函数y ＝sinx 的图像经过怎样的变换得到函数y ＝sin(2x ＋3π)的图像？ 方法1：（先相位变换，再周期变换）先将y ＝sinx 的图像向左平移3π个单位得函数y ＝sin(x ＋3π)；再将函数y ＝sin(x ＋3π)图像上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的21倍，得y＝sin(2x ＋3π)的图像.方法2：（先周期变换，再相位变换）先将f(x)=sinx 的图像上各点纵坐标不变，横坐标变为原来的21倍，得函数f(x)=sin2x 的图像；再将函数f(2x)=sin2x 的图像上各点沿x 轴向左平移6π个单位，得f ［2(x+6π)］=sin2(x+6π)的图像，即函数y=sin(2x+3π)的图像.在方法2中，得到函数f(2x)=sin2x 的图像后，如果把f(2x)=sin2x 图像沿x 轴向左平移3π个单位，得f ［2（x+3π)］=sin2(x+3π)的图像，即函数y=sin(2x+32π)的图像，而不是函数y ＝sin(2x ＋3π)的图像. 由以上可见，利用变换法作y ＝Asin(ωx ＋φ)的图像时，通常先进行相位变换，后进行周期变换，这样可避免出错.由于容易出错，因此是高考题和模拟题的热点之一. 例如：(2006江苏高考卷，4)为了得到函数y=2sin(3x +6π),x∈R 的图像，只需把函数y=2sinx,x∈R 的图像上所有的点（ ）A.向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变）B.向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变）C.向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）D.向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）思路解析：先将y=2sinx,x∈R 的图像向左平移6π个单位长度，得到函数y=2sin(x+6π),x∈R的图像，再把所得图像上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）得到函数y=2sin(3x +6π),x∈R 的图像. 答案：C2.如何求型如y=Asin(ωx+φ)+b(ω＜0)函数的单调递增区间?以y=2sin(3π-2x)+1为例说明.剖析：复合函数的单调性的复合规律为：若函数y=f(u)与u=g(x)的增减性相同(相反)，则y=f\[g(x)\]是增(减)函数，可概括为“同增异减”.函数y=2sin(3π-2x)+1的定义域是R. 函数y=2sin(3π-2x)+1是复合函数，y=f(u)＝2u+1，u=sin(3π-2x).则要求函数y=2sin(3π-2x)+1的单调递增区间，需求u=sin(3π-2x)的单调递增区间.函数u=sin(3π-2x)又是复合函数，u=sint ，t=3π-2x.则要求函数u=sin(3π-2x)的单调递增区间，需求函数u=sint 的单调递减区间.则正确的解法是：令2k π+2π≤3π-2x≤2k π+23π(k∈Z )，∴2k π+2π-3π≤-2x≤2k π+23π-3π (k∈Z ).∴2672262-+≥≥-+ππππk x k .∴2672-+ππk ≤x≤2672-+ππk , 即-k π-127π≤x≤-k π-12π.∴函数的单调递增区间是［-k π-127π,-k π-12π］（k∈Z ）. 由此可见原解法求出的区间是函数的单调递减区间.原解法的错误是求复合函数的单调区间时，错误地判断了构成复合函数的内层函数的单调性.综上所得,在求函数y=Asin(ωx+φ)+b 的单调区间时，一定注意其中的参数A 和ω的符号，特别是当A 和ω是负数时，容易出错，其突破口是化归到如何求复合函数的单调区间，这样才不会出错，进而避免：看起来题会，做起来不对，出考场后悔. 典题精讲例1已知函数y=3sin （21x-4π）， （1）用“五点法”画函数的图像；（2）说出此图像是由y=sinx 的图像经过怎样的变换得到的； （3）求此函数的周期、振幅、初相；（4）求此函数的对称轴、对称中心、单调递增区间. 思路分析：五点法画函数y=3sin （21x-4π）的图像时，应先找出五个关键点，这五个点应该是使函数取得最大值、最小值以及曲线与x 轴相交的点，找出它们的方法是利用整体思想，由ωx+φ＝0，2π，π，23π，2π来确定对应x 的值.求函数的对称轴、对称中心、单调递增区间也是应用整体策略来解决.解：（1）列表21x-4π2π π23π 2πx 2π 23π 25π 27π 29π y3-3描点：在直角坐标系中描出下列各点（2π，0），（23π，3），（25π，0），（27π，-1），（29π，0）；连线：将所得五点用光滑的曲线连接起来，得到的所求函数的图像如图1-7-1所示.图1-7-1这样就得到了函数y=3sin （21x-4π）在一个周期内的图像，再将这部分向左或向右平移4k π（k∈Z ），得到函数y=3sin （21x-4π）的图像.（2）方法一：（相位变换在周期变换的前面） ①把y=sinx 的图像上所有的点向右平移4π个单位，得到y=sin （x-21）的图像；②把y=sin （x-4π）的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到y=sin （2x -4π）的图像； ③将y=sin （21x-4π）的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），就得到y=3sin （21x-4π）的图像.方法二：（周期变换在平移变换的前面）①把y=sinx 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到y=sin （21x ）的图像； ②把y=sin （21x ）的图像上所有的点向右平移2π个单位，得到y=sin 21（x-2π）=sin （2x -4π）的图像；③将y=sin （21x-4π）的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），就得到y=3sin （21x-4π）的图像.（3）周期T=ωπ2=212π=4π，振幅A=3，初相是-4π.（4）令21x-4π=2π+k π，解得x=23π+2k π，k∈Z ，即函数的对称轴是直线x=23π+2k π(k∈Z ).令21x-4π=k π，解得x=2k π+2π，k∈Z ， 即对称中心为（2π+2k π，0）(k∈Z ).令-2π+2k π≤21x-4π≤2π+2k π，解得-2π+4k π≤x≤23π+4k π，k∈Z .即函数的单调递增区间为［-2π+4k π，23π+4k π］（k∈Z ）.绿色通道：（1）对于函数y=Asin （ωx+φ），应明确A 、ω决定“形变”，φ决定“位变”，A 影响值域，ω影响周期，A 、ω、φ影响单调性.当选用“伸缩在前，平移在后”的变换顺序时，一定注意针对x 的变化，向左或向右平移||ωϕ个单位； (2)画y=Asin （ωx+φ）的图像常用五点法和变换法；(3)求三角函数周期的一般方法是：先将函数转化为y=Asin(ωx+φ)的形式，再利用公式T=ωπ2进行求周期，有时还利用图像法求周期；④对于函数y=Asin （ωx+φ）+B 的单调性、对称性的研究，运用整体策略处理，把ωx+φ看作一个整体，化归为正弦函数y=sinx 来讨论，问题自然就迎刃而解. 变式训练1(2006福建高考卷，理9)已知函数f(x)=2sin ωx(ω＞0)在区间［-3π,4π］上的最小值是-2，则ω的最小值等于（ ）A.32B.23C.2D.3 思路解析：方法一：根据函数f(x)=2sin ωx(ω＞0)图像的大致位置,得4T ≤3π,又T=ωπ2，所以有2ω≥3，即ω≥23.方法二：（代入验证法）当ω＝32时，f(x)=2sin(32x)，画图像得在区间［-3π, 4π］上的最小值是f(-3π)=2sin(94π-)＞-2，故排除A ；当ω＝23时，f(x)=2sin(23x)，画图像得在区间［-3π, 4π］上的最小值是f(-3π)=-2，故排除C 、D.答案：B变式训练2(2005天津高考卷，文8)要得到函数y=2cosx 的图像，只需将函数y=2sin(2x+4π)的图像上所有的点的（ ） A.横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变）,再向左平行移动8π个单位长度B.横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），再向右平行移动4π个单位长度C.横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动4π个单位长度D.横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动8π个单位长度思路解析：由于y=2cosx=2(x+2π)，则将函数y=2sin(2x+4π)的图像上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=2sin （x+4π)的图像；再将函数y=2sin （x+4π)的图像向左平行移动4π个单位长度得到函数y=2sin(x+2π),即函数y=2cosx 的图像.答案：C变式训练3(2005全国高考卷Ⅰ，理17)设函数f(x)=sin(2x+φ)(-π＜φ＜0),y=f(x)图像的一条对称轴是直线x=8π. （1）求φ；（2）求函数y=f(x)的单调增区间；（3）画出函数y=f(x)在区间［0,π］上的图像.思路分析：正弦型函数y=Asin(ωx+φ)的图像与其对称轴交点的纵坐标是函数的最值. 解：（1）∵x=8π是函数y=f(x)的图像的对称轴， ∴sin(2×8π+φ)=±1. ∴4π+φ=k π+2π,k∈Z . ∴φ=k π+4π,k∈Z .∵-π＜φ＜0，∴-π＜k π+4π＜0. ∴45-＜k ＜41-.∴k=-1. ∴φ=-43π. （2）由（1）知y=sin(2x-43π). 令2k π-2π≤2x -43π≤2k π+2π,k∈Z , ∴k π+8π≤x≤k π+85π,k∈Z ,即函数y=sin(2x-43π)的单调递增区间是［k π+8π,k π+85π］(k∈Z ). （3）由y=sin(2x-43π)知： x 08π83π 85π 87π πy22--1 0 1 022-故函数y=f(x)在区间［0,π］上的图像如图1-7-2所示.图1-7-2例2(2005福建高考卷，理6)函数y=sin(ωx+φ)(x∈R ,ω＞0,0≤φ＜2π)的部分图像如图1-7-3，则（ ）图1-7-3A.ω=2π,φ=4π B.ω=3π,φ=6π C.ω=4π,φ=4π D.ω=4π,φ=45π思路解析：由图像得T=4(3-1)，∴T=8.∴ω=T π2=4π.点(1,1)在函数图像上，则有1=sin(4π+φ)，0≤φ＜2π.∴4π+φ＝2π.∴φ=4π. 答案：C绿色通道：已知f(x)=Asin(ωx+φ)(A ＞0,ω＞0)的一段图像,求其表达式，其步骤： (1)求A ：图像最上方的点的纵坐标为A 的值，或图像最下方的点的纵坐标的相反数为A 的值.(2)求ω：一般由图像可知周期T,如相邻两个对称中心（或对称轴）的距离为半个周期.再由T=ωπ2求出ω.(3)求φ：确定φ时,若能求出离原点最近的右侧图像上升(或下降)的零点的横坐标x 0,则令ωx+φ=0(或ωx+φ=π)即可求出φ.有时还可利用已知点(例如最高点或最低点)确定ω与φ.若对A 、ω的符号或对的范围有所要求,则可利用诱导公式通过变换使其符合要求. 变式训练已知函数y=Asin(ωx+φ）（A ＞0,ω＞0,|φ|＜2π)的图像的一个最高点为(2,22)，由这个最高点到相邻最低点的图像与x 轴的交点为(6,0)，试求这个函数的解析式.思路分析：抓住函数y=Asin(ωx+φ）的图像的特征是解本题的关键.解：已知图像最高点为（2，22），∴A=22.又根据题意知从最高点到相邻最低点的图像与x 轴的交点为(6,0)，∴4T =6-2=4，即T=16.∴ω=T π2=8π.将y=22sin(8πx+φ)代入最高点坐标，得22=22sin(8π×2+φ).∴sin(4π+φ)=1.∵|φ|＜2π,∴φ=4π.∴函数的解析式为y=22sin(8πx+4π). 问题探究问题试探讨如何求三角函数的周期？导思：思路1：从定义上分析；思路2：从周期函数的图像上分析；思路3：利用常见的结论.探究：确定三角函数的周期有如下方法：（1）定义法：根据周期函数的定义求周期.关键是找到一个实数T ，使得对任意实数x ，总有f(x+T)=f(x)成立. 例如：求函数y=2sin(2x -6π）的周期. 解：f(x+4π)=2sin［21(x+4π)-6π］=2sin(2x +2π-6π)=2sin(2x -6π)=f(x),∴y=2sin(2x -6π)的周期是4π.定义法是求周期的通性通法，带有一定的普遍性.（2）图像法：画出三角函数的图像，如果图像每隔“一段”就重复出现，则这一段就是一个周期.这种求函数周期的方法称为图像法. 例如：求函数y=|sin2x|的周期.解：画函数y=|sin2x|的图像，如图1-7-4所示.图1-7-4函数y=|sin2x|的图像每隔2π就重复出现，则函数y=|sin2x|的周期是2π. 利用图像法可得如下结论：(A ＞0,ω＞0)①函数y=|Asin(ωx+φ）|的周期是ωπ； ②函数y=|Acos(ωx+φ）|的周期是ωπ；③函数y=|Atan(ωx+φ）|的周期是ωπ.（3）公式法：利用常见的公式（结论），求得三角函数的周期.这种求三角函数周期的方法称为公式法.常见的结论：①一般地，函数y=Asin(ωx+φ)（其中A 、ω、φ为常数，A≠0，ω＞0）的周期T=ωπ.如y=2sin(2x+65π)的周期T=2π=π. ②一般地，函数y=Acos(ωx+φ)（其中A 、ω、φ为常数，A≠0，ω＞0）的周期T=ωπ2.如y=-2cos(3x+6π)周期T=3π.③一般地，函数y=Atan(ωx+φ)（其中A 、ω、φ为常数，A≠0，ω＞0）的周期T=ωπ2.如y=-2tan(4x+6π)周期T=4π. 这三种求周期的方法在高考试题中都经常出现，应引起我们的重视.。
