高中数学 三角函数的图像与性质

高中数学教案：三角函数的性质与图像三角函数是高中数学中的重要内容，不仅在数学中有广泛的应用，而且在物理、工程等领域也起着重要的作用。

掌握三角函数的性质与图像对于学生来说至关重要。

本文将围绕三角函数的性质与图像展开讲解，分为两个部分进行说明。

一、三角函数的性质1. 周期性：正弦函数(sin)和余弦函数(cos)是周期性函数，周期为2π（或360°），即f(x+2π) = f(x)。

这意味着函数曲线在每个周期内会重复出现相同的形态。

2. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即f(-x) = -f(x)，而余弦函数是偶函数，即f(-x) = f(x)。

奇偶性可以通过图像上的对称关系进行判断。

3. 正交关系：正弦和余弦函数之间存在正交关系，即∫sin(x)cos(x)dx = 0。

这意味着两者之间不存在直接的线性相关性。

4. 单调递增与递减：根据定义域内正弦和余弦函数的增减特点可以得知，在某些区间内它们是单调递增或递减的。

5. 平移变换：改变函数的相位(shift)可以使得函数图像水平方向上发生移动，例如sin(x+π/2)与cos(x)的图像是一样的。

二、三角函数的图像1. 正弦函数的图像：正弦函数是一条连续波浪线，它在原点处取得最小值0，在每个周期内起伏变化。

其振幅决定了在y轴上最高点和最低点之间的距离，而周期决定了在x轴上一个完整波浪长度。

通过控制振幅和周期，可以改变正弦函数在坐标平面上的形态。

2. 余弦函数的图像：余弦函数类似于正弦函数，也是一条连续波浪线。

它与正弦函数之间存在相位差π/2，即cos(x)=sin(x+π/2)，所以他们图像上只有水平方向发生了移动。

除此之外，余弦函数具有与正弦函数相似的性质和特点。

3. 正切函数的图像：正切函数(tan)是一个无界且周期为π（或180°）的曲线。

它在定义域内有无数个渐近线（垂直或水平），并且存在奇点(pi/2 + k*pi, k为整数)，奇点处不能成立该点的函数值。

一．正弦、余弦、正切函数图象和性质函数正弦函数Rxxy∈=,sin余弦函数Rxxy∈=,cos正切函数tan,2y x x kππ=≠+有界性有界有界无界定义域),(+∞-∞),(+∞-∞|,2x x k k Zππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭值域]1,1[-当时，)(22Zkkx∈+=ππ1max=y当时，)(22Zkkx∈+-=ππ1min-=y]1,1[-当时，)(2Zkkx∈=π1max=y当时，)(2Zkkx∈+=ππ1min-=y),(+∞-∞周期性是周期函数，最小正周期π2=T是周期函数，最小正周期π2=T Tπ=奇偶性奇函数，图象关于原点对称偶函数，图象关于轴对称y奇函数，图象关于原点对称单调性在)(],22,22[Zkkk∈++-ππππ上是单调增函数在)(],223,22[Zkkk∈++ππππ上是单调减函数在上)(],22,2[Zkkk∈++ππππ是单调增函数在上是单)(],2,2[Zkkk∈+πππ调减函数在(,),()22k k k Zππππ-++∈上是单调增函数对称轴)(,2Zkkx∈+=ππ)(,Zkkx∈=π对称中心)()0,(Zkk∈π)()0,2(Zkk∈+ππ(,0) ()2kk Zπ∈正弦函数、余弦函数、正切函数的图像（一）三角函数的性质　1、定义域与值域　2、奇偶性 （1）基本函数的奇偶性 奇函数：y＝sinx，y＝tanx； 偶函数：y＝cosx. （2）型三角函数的奇偶性 （ⅰ）g（x）＝（x∈R）g（x）为偶函数 由此得； 同理，为奇函数 . （ⅱ）为偶函数；为奇函数.　3、周期性 （1）基本公式 （ⅰ）基本三角函数的周期 y＝sinx，y＝cosx的周期为； y＝tanx，y＝cotxa 的周期为 . （ⅱ）型三角函数的周期的周期为 ；的周期为 .　（2）认知 （ⅰ）型函数的周期的周期为 ；的周期为. （ⅱ） 的周期的周期为；的周期为. 均同它们不加绝对值时的周期相同，即对y ＝ 的解析式施加绝对值后，该函数的周期不变.注意这一点与（ⅰ）的区别. （ⅱ）若函数为 型两位函数之和，则探求周期适于“最小公倍数法”. （ⅲ）探求其它“杂”三角函数的周期，基本策略是试验――猜想――证明.　（3）特殊情形研究 （ⅰ）y ＝tanx －cotx 的最小正周期为； （ⅱ）的最小正周期为 ； （ⅲ）y ＝sin 4x ＋cos 4x 的最小正周期为. 由此领悟“最小公倍数法”的适用类型，以防施错对象.4、单调性 （1）基本三角函数的单调区间（族） 依从三角函数图象识证“三部曲”： ①选周期：在原点附近选取那个包含全部锐角，单调区间完整，并且最好关于原点对称的l l t i si t i ri 一个周期； ②写特解：在所选周期内写出函数的增区间（或减区间）； ③获通解：在②中所得特解区间两端加上有关函数的最小正周期的整数倍，即得这一函数的增区间族（或减区间族） 循着上述三部曲，便可得出课本中规范的三角函数的单调区间族. 揭示：上述“三部曲”也适合于寻求简单三角不等式的解集或探求三角函数的定义域. （2）y ＝ 型三角函数的单调区间 此类三角函数单调区间的寻求“三部曲”为 ①换元、分解：令u ＝ ，将所给函数分解为内、外两层：y ＝f （u ），u ＝ ； ②套用公式：根据对复合函数单调性的认知，确定出f （u ）的单调性，而后利用（1）中公式写出关于u 的不等式； ③还原、结论：将u ＝ 代入②中u 的不等式，解出x 的取值范围，并用集合或区间形成结论. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：()ϕω+=x A y sin （A 、＞0）ω定义域R RR值域]1,1[+-]1,1[+-R R[]A A ,-周期性 π2π2ππωπ2奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数当非奇非偶,0≠ϕ当奇函数,0=ϕ单调性]22,22[ππππk k ++-上为增函数；]223,22[ππππk k ++上为减函数（）Z k ∈()]2,12[ππk k -；上为增函数()]12,2[ππ+k k 上为减函数（）Z k ∈⎪⎭⎫⎝⎛++-ππππk k 2,2上为增函数（）Z k ∈上为减函()()ππ1,+k k 数（）Z k ∈⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--+--)(212),(22A k A k ωϕππωϕππ上为增函数；⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--+-+)(232),(22A k A k ωϕππωϕππ上为减函数（）Z k ∈注意：①与的单调性正好相反；与的单调性也同样相反.一般x y sin -=x y sin =x y cos -=x y cos =地，若在上递增（减），则在上递减（增）.)(x f y =],[b a )(x f y -=],[b a ②与的周期是.x y sin =x y cos =π⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠∈Z k k x R x x ,21|ππ且{}Z k k x R x x ∈≠∈,|π且xy cot =xy tan =xy cos =xy sin =③或（）的周期.)sin(ϕω+=x y )cos(ϕω+=x y 0≠ωωπ2=T 的周期为2（，如图，翻折无效）.2tanx y =ππωπ2=⇒=T T ④的对称轴方程是（），对称中心（）；的对称轴方)sin(ϕω+=xy 2ππ+=k x Z k ∈0,πk )cos(ϕω+=x y 程是（），对称中心（）；的对称中心（）.πk x =Z k ∈0,21ππ+k )tan(ϕω+=x y 0,2πk xx y x y 2cos )2cos(2cos -=--=−−−→−=原点对称⑤当·；·.αtan ,1tan =β)(2Z k k ∈+=+ππβααtan ,1tan -=β)(2Z k k ∈+=-ππβα⑥与是同一函数,而是偶函数，则x y cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛++=ππk x y 22sin )(ϕω+=x y )cos()21sin()(x k x x y ωππωϕω±=++=+=.⑦函数在上为增函数.（×） [只能在某个单调区间单调递增.若在整个定义域，x y tan =R 为增函数，同样也是错误的].x y tan =⑧定义域关于原点对称是具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：一是定义)(x f 域关于原点对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数：，奇函数：)()(x f x f =-）)()(x f x f -=-奇偶性的单调性：奇同偶反. 例如：是奇函数，是非奇非偶.（定义域不x y tan =)31tan(π+=x y 关于原点对称）奇函数特有性质：若的定义域，则一定有.（的定义域，则无此性质）x ∈0)(x f 0)0(=f x ∉0⑨x y sin =不是周期函数；为周期函数（）；x y sin =π=T 是周期函数（如图）；为周期函数（）；xy cos =x y cos =π=T 的周期为（如图），并非所有周期函数都有最小正周期，例如：212cos +=x y π.R k k x f x f y ∈+===),(5)(⑩ 有.abb a b a y =+++=+=ϕϕαβαcos )sin(sin cos 22y b a ≥+22二、形如的函数：sin()y A x ωϕ=+1、几个物理量：A―振幅；―频率（周期的倒数）；―相位；―初相；1f T=x ωϕ+ϕ2、函数表达式的确定：A 由最值确定；由周期确定；由图象上的特殊点sin()y A x ωϕ=+ωϕ确定，如，()sin()(0,0f x A x A ωϕω=+>>||ϕ<＝_____（答：）；()f x 15()2sin(23f x x π=+y=cos |x|图象3．函数Bx A y ++=)sin(ϕω），（其中00>>ωA 最大值是，最小值是，周期是，最小正周期B A +A B -ωπ2=T ||2ωπ=T 频率是，相位是，初相是；其图象的对称轴是直线，凡πω2=f ϕω+x ϕ)(2Z k k x ∈+=+ππϕω是该图象与直线的交点都是该图象的对称中心。

高中数学：三角函数一、概述三角函数是高中数学的一个重要组成部分，是解决许多数学问题的关键工具。

它涉及的角度、边长、面积等，都是几何和代数的核心元素。

通过学习三角函数，我们可以更好地理解图形的关系，掌握数学的基本概念。

二、三角函数的定义三角函数是以角度为自变量，角度对应的边长为因变量的函数。

常用的三角函数包括正弦函数（sine）、余弦函数（cosine）和正切函数（tangent）。

这些函数的定义如下：1、正弦函数：sine（θ） = y边长 / r （其中，θ是角度，r是从原点到点的距离）2、余弦函数：cosine（θ） = x边长 / r3、正切函数：tangent（θ） = y边长 / x边长三、三角函数的基本性质1、周期性：正弦函数和余弦函数都具有周期性，周期为 2π。

正切函数的周期性稍有不同，为π。

2、振幅：三角函数的振幅随着角度的变化而变化。

例如，当角度增加时，正弦函数的值也会增加。

3、相位：不同的三角函数具有不同的相位。

例如，正弦函数的相位落后余弦函数相位π/2。

4、奇偶性：正弦函数和正切函数是奇函数，余弦函数是偶函数。

5、导数：三角函数的导数与其自身函数有关。

例如，正弦函数的导数是余弦函数，余弦函数的导数是负的正弦函数。

四、三角函数的实际应用三角函数在现实生活中有着广泛的应用，包括但不限于以下几个方面：1、物理：在物理学中，三角函数被广泛应用于描述波动、振动、电磁场等物理现象。

例如，简谐振动可以用正弦或余弦函数来描述。

2、工程：在土木工程和机械工程中，三角函数被用于计算角度、长度等物理量。

例如，在桥梁设计、建筑设计等过程中，需要使用三角函数来计算最佳的角度和长度。

3、计算机科学：在计算机图形学中，三角函数被用于生成二维和三维图形。

例如，使用正弦和余弦函数可以生成平滑的渐变效果。

4、金融：在金融学中，三角函数被用于衍生品定价和风险管理。

例如，Black-Scholes定价模型就使用了正态分布（一种特殊的三角函数）。

高中数学三角函数及反三角函数图像性质、知识点总结高中数学中，三角函数及反三角函数是重要的内容之一。

在学习这一部分知识时，需要掌握其图像性质以及相关的知识点。

下面将对这些内容进行总结。

一、三角函数的图像性质1. 正弦函数（sin）的图像性质：- 周期性：sin函数的周期为2π，即在每个周期内，函数的图像重复出现；- 奇函数性质：sin函数关于原点对称；- 取值范围：sin函数的取值范围为[-1,1]，即函数的值始终在该区间内波动。

2. 余弦函数（cos）的图像性质：- 周期性：cos函数的周期为2π；- 偶函数性质：cos函数关于y轴对称；- 取值范围：cos函数的取值范围也为[-1,1]。

3. 正切函数（tan）的图像性质：- 周期性：tan函数的周期为π；- 奇函数性质：tan函数关于原点对称；- 无界性：tan函数的值域为实数集，即函数在某些点无界。

二、三角函数的知识点1. 基本正弦函数的性质：- 特殊角的正弦值：0°、90°、180°、270°和360°对应的正弦值分别为0、1、0、-1和0；- 正弦函数的增减性：在0°到180°的区间上，sin函数是单调递增的；- 正弦函数的奇偶性：sin(-x)=-sin(x)，即sin函数关于原点对称。

2. 基本余弦函数的性质：- 特殊角的余弦值：0°、90°、180°、270°和360°对应的余弦值分别为1、0、-1、0和1；- 余弦函数的增减性：在0°到180°的区间上，cos函数是单调递减的；- 余弦函数的奇偶性：cos(-x)=cos(x)，即cos函数关于y轴对称。

3. 基本正切函数的性质：- 特殊角的正切值：0°、90°、180°和270°对应的正切值分别为0、无穷大、0和无穷大；- 正切函数的周期性：tan(x+π)=tan(x)，即tan函数的周期是π。

三角函数的图像和性质课 题 三角函数的图像和性质学情分析三角函数的图象与性质是三角函数的重要内容，学生刚刚刚学到，对好多概念还 不很清楚，理解也不够透彻，需要及时加强巩固。

教学目标与 考点分析 1．掌握三角函数的图象及其性质在图象交换中的应用；2．掌握三角函数的图象及其性质在解决三角函数的求值、求参、求最值、求值域、求单调区间等问题中的应用．教学重点 三角函数图象与性质的应用是本节课的重点。

教学方法导入法、讲授法、归纳总结法1．“五点法”描图(1)y ＝sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,0)，)1,2(π，(π，0)，)1,23(-π，(2π，0)．(2)y ＝cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,1)，)0,2(π，(π，－1)，)0,23(π，(2π，1)．2．三角函数的图象和性质 函数 性质 y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x定义域R R{x |x ≠k π＋π2，k ∈Z }图象值域[－1,1][－1,1]R(1)周期性函数y＝A sin(ωx＋φ)和y＝A cos(ωx＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为π|ω|.(2)奇偶性三角函数中奇函数一般可化为y＝A sin ωx或y＝A tan ωx，而偶函数一般可化为y＝A cos ωx＋b的形式．三种方法求三角函数值域(最值)的方法：(1)利用sin x、cos x的有界性；(2)形式复杂的函数应化为y＝A sin(ωx＋φ)＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；(3)换元法：把sin x或cos x看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．双基自测1．函数)3cos(π+=x y ，x ∈R ( )．A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既不是奇函数也不是偶函数D ．既是奇函数又是偶函数2．函数)4tan(x y -=π的定义域为( )． A ．},4|{Z k k x x ∈-≠ππ B ．},42|{Z k k x x ∈-≠ππ C ．},4|{Z k k x x ∈+≠ππD ．},42|{Z k k x x ∈+≠ππ3．)4sin(π-=x y 的图象的一个对称中心是( )．A ．(－π，0)B ．)0,43(π-C ．)0,23(πD ．)0,2(π4．函数f (x )＝cos )62(π+x 的最小正周期为________．考向一 三角函数的周期【例1】►求下列函数的周期：(1))23sin(x y ππ-=；(2))63tan(π-=x y考向二 三角函数的定义域与值域(1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．(2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目：①形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)；②形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．【例2】►(1)求函数y ＝lg sin 2x ＋9－x 2的定义域． (2)求函数y ＝cos 2x ＋sin x )4|(|π≤x 的最大值与最小值．【训练2】 (1)求函数y ＝sin x －cos x 的定义域；(2))1cos 2lg(sin )4tan(--=x xx y π的定义域(3)已知)(x f 的定义域为]1,0[，求)(cos x f 的定义域.考向三 三角函数的单调性求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的单调区间时，只需把ωx ＋φ看作一个整体代入y ＝sin x 的相应单调区间内即可，若ω为负则要先把ω化为正数． 【例3】►求下列函数的单调递增区间．(1))23cos(x y -=π，(2))324sin(21x y -=π，(3))33tan(π-=x y .【训练3】 函数f (x )＝sin )32(π+-x 的单调减区间为______．考向四 三角函数的对称性正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形．正切函数的图象只是中心对称图形，应熟记它们的对称轴和对称中心，并注意数形结合思想的应用． 【例4】►(1)函数y ＝cos )32(π+x 图象的对称轴方程可能是( )．A ．x ＝－π6B ．x ＝－π12C ．x ＝π6D ．x ＝π12(2)若0＜α＜π2，)42sin()(απ++=x x g 是偶函数，则α的值为________．【训练4】 (1)函数y ＝2sin(3x ＋φ))2|(|πϕ<的一条对称轴为x ＝π12，则φ＝________.(2)函数y ＝cos(3x ＋φ)的图象关于原点成中心对称图形．则φ＝________.难点突破——利用三角函数的性质求解参数问题含有参数的三角函数问题，一般属于逆向型思维问题，难度相对较大一些．正确利用三角函数的性质解答此类问题，是以熟练掌握三角函数的各条性质为前提的，解答时通常将方程的思想与待定系数法相结合．【示例】► 已知函数f (x )＝sin )3(πω+x (ω＞0)的单调递增区间为]12,125[ππππ+-k k (k ∈Z )，单调递减区间为]127,12[ππππ++k k (k ∈Z )，则ω的值为________．练一练：1、已知函数)33sin()(π+=x x f（1）判断函数的奇偶性；（2）判断函数的对称性．2、设函数)0)(2sin()(<<-+=ϕπϕx x f 的图象的一条对称轴是直线8π=x ，则=ϕ______．课后练习：三角函数的图象与性质·练习题一、选择题(1)下列各命题中正确的是 [ ](2)下列四个命题中，正确的是 [ ]A．函数y=ctgx在整个定义域内是减函数B．y=sinx和y=cosx在第二象限都是增函数C．函数y=cos(-x)的单调递减区间是(2kπ-π，2kπ)(k∈Z)(3)下列命题中，不正确的是 [ ]D．函数y=sin|x|是周期函数(4)下列函数中，非奇非偶的函数是 [ ](5)给出下列命题：①函数y=-1-4sinx-sin2x的最大值是2②函数f(x)=a+bcosx(a∈R且b∈R-)的最大值是a-b以上命题中正确命题的个数是 [ ]A．1B．2C．3D．4[ ] A．sinα＜cosα＜tgαB．cosα＞tgα＞sinαC．sinα＞tgα＞cosαD．tgα＞sinα＞cosα(7)设x为第二象限角，则必有 [ ][ ]二、填空题(9)函数y=sinx+sin|x|的值域是______．的值是______．(11)设函数f(x)=arctgx的图象沿x轴正方向平移2个单位，所得到的图象为C，又设图象C1与C关于原点对称，那么C1所对应的函数是______．(12)给出下列命题：①存在实数α，使sinαcosα=1⑤若α，β是第一象限角，α>β则tgα＞tgβ其中正确命题的序号是______．三、解答题(14)已知函数y=cos2x+asinx-a2+2a+5有最大值2，试求实数a的值．答案与提示一、(1)B (2)D (3)D (4)B (5)D (6)D (7)A (8)D提示(2)y=ctgx在(kπ，kπ+π)(k∈Z)内是单调递减函数．y=cos(-x)=cosx在[2kπ-π，2kπ](k∈Z)上是增函数，而在[2kπ，2kπ+π]上是减函数．(3)可画出y=sin |x|图象验证它不是周期函数或利用定义证之．(5)①=-y(sinx+2)2+3 sinx=-1时，y max=2②当cosx=-1时，f(x)max=a-b∴cosα＜sinα＜tgα二、(9)[-2，2] (10)2或3 (11)y=arctg(x+2) (12)③④提示(11)C：y＝arctg(x-2)，C1：-y=arctg(-x-2)，∴y=arctg(x+2)由390°＞45°，但tg390°=tg30°＜tg45°，故⑤不正确．综上，③④正确．三、。

第14讲 三角函数的图像与性质负责人:戴茵霞一、知识梳理：（一）正弦函数x y sin =，余弦函数x y cos =，正切函数x y tan =的图象和性质： 函数 y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x图象定义域 x ∈R x ∈R ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠∈Z k k x R x x ,2|ππ且 值域[－1,1][－1,1]R单调性递增区间是[2k π－π2，2k π＋π2] (k ∈Z)， 递减区间是[2k π＋π2，2k π＋3π2] (k ∈Z)递增区间是[2k π－π，2k π](k ∈Z)，递减区间是[2k π，2k π＋π](k ∈Z)递增区间是()Z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+-,2,2ππππ最值11min max -==y y11min max -==y y无最大值 和最小值 奇偶性 奇函数偶函数奇函数对称性对称中心 ()Z k k ∈,0,πZ k k ∈⎪⎭⎫⎝⎛+,0,2ππ Z k k ∈⎪⎭⎫⎝⎛,0,2π 对称轴 Z k k x ∈+=,2ππZ k k x ∈=,π无对称轴最小正 周期2π 2π π（二）)sin(ϕω+=x A y 图象的性质： 1、简谱运动的有关概念对于简谱运动)sin(ϕω+=x A y )),0[,0,0(+∞∈>>x A ω，振幅是A ，最小正周期是||2ωπ=T ,频率是T1，相位是ϕω+x ，初相是ϕ； 2、三角函数图象的变换⑴平移变换：()ϕ+=→=x y x y sin sin ⑵伸缩变换：x y x y ωsin sin =→= ⑶上下平移：()()b x f y x f y +=→= ⑷综合应用)sin()sin(sin )2()sin()sin()1(sin ϕωϕωωϕωϕ+=→+=→=+=→+=→=x A y x y xy x y x y x y3、)sin(ϕω+=x A y 图象的性质：讨论)sin(ϕω+=x A y 图象的性质，通常用换元法，设ϕω+=x t ，再结合x y sin =的性质求之. 4、由y ＝A sin(ωx ＋ϕ)的图象求其函数解析式：与“五点”作图法对应； 5、对于函数b x A y ++=)sin(ϕω)0,0(>>ωA ，有)(21min max y y A -=，)(21min max y y b +=. 二、例题分析：题型一：三角函数的定义域1.若10,lg(sin )2x y x π<<=-+则函数 ） A.[ππ32,3) B.)65,6(ππ C.)65,3[ππ D.),65(ππ题型二：三角函数的值域 2.求下列函数的值域：① 【2017课标II ，理14】函数()23sin 4f x x x =-（0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的最大值是 。

三角函数的图像和性质三角函数是高中数学中的重要内容，它在几何图形的变化和数学模型的建立中扮演着重要角色。

本文将探讨三角函数的图像和性质，通过分析正弦函数、余弦函数和正切函数的特点，帮助读者更好地理解和运用三角函数。

正弦函数是一种周期为2π的连续函数，可表示为：y = sin(x)。

它的图像是一个连续的波动曲线，波峰和波谷在x轴上均匀分布。

正弦函数的图像关于y轴对称，且满足以下性质：在区间[0,2π]上，正弦函数的值在[-1,1]之间变化；当x为0、π、2π等整数倍π时，正弦函数的值为0；当x为π/2、3π/2等奇数倍π时，正弦函数的值为1或-1。

图像的振幅表示波动幅度的大小，振幅越大，波动幅度越大；图像的周期反映波动的重复规律，周期越小，波动重复得越快。

余弦函数是一种周期为2π的连续函数，可表示为：y = cos(x)。

它的图像与正弦函数类似，也是一个连续的波动曲线，但相位不同。

余弦函数的图像关于y轴对称，且满足以下性质：在区间[0,2π]上，余弦函数的值在[-1,1]之间变化；当x为0、2π等整数倍π时，余弦函数的值为1；当x为π、3π等奇数倍π时，余弦函数的值为-1；当x为π/2、3π/2等奇数倍π时，余弦函数的值为0。

与正弦函数相比，余弦函数的图像整体上向右平移了π/2。

正切函数是一种周期为π的连续函数，可表示为：y = tan(x)。

它的图像是一系列无穷多的连续曲线，存在垂直于x轴的渐近线。

正切函数的图像关于原点对称，并且在每个周期内有无穷多个渐近线。

正切函数在某些点上没有定义，当x为π/2、3π/2等奇数倍π时，函数值不存在。

正切函数的图像在每个π的间隔中，会有一个垂直渐近线，图像在这些点上出现突变。

除了正弦函数、余弦函数和正切函数外，还有诸如余切函数、正割函数和余割函数等与三角函数相关的函数。

它们在图像和性质上也有一些特点，但本文主要关注正弦函数、余弦函数和正切函数的图像和性质。

综上所述，三角函数的图像和性质在数学中起着重要作用。

1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质第2课时 正、余弦函数的性质1．掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的性质：周期性、奇偶性，了解其图象的对称性． 2．掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的单调性，会结合它们的图象说出单调区间，并能根据单调性比较大小．3．掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的最大值、最小值，会求简单三角函数的值域或最值，并能指出取得最大(小)值时自变量x 的值的集合．1．正弦函数的图象与性质正弦函数的图象与性质如下表所示：____当x ＝____________时，y 取最大值1正弦曲线是中心对称图形，其所有的对称中心坐标为(k π，0)(k ∈Z )，即正弦曲线与x 轴的所有交点；正弦曲线也是轴对称图形，其所有的对称轴方程是x ＝k π＋π2(k ∈Z )，所有对称轴垂直于x 轴，且与正弦曲线交点的纵坐标是正弦函数的最大(小)值．【做一做1】 已知函数y ＝sin x ，x ∈R ，则下列说法不正确的是( ) A ．定义域是RB ．最大值与最小值的和等于0C ．在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是减函数 D ．最小正周期是2π2．余弦函数的图象与性质余弦函数的图象与性质如下表所示：__当x ＝________时，y 取最大值1余弦曲线是中心对称图形，其所有的对称中心坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0(k ∈Z )，即余弦曲线与x 轴的所有交点；余弦曲线也是轴对称图形，其所有的对称轴方程是x ＝k π(k ∈Z )，所有对称轴垂直于x 轴，且与余弦曲线交点的纵坐标是余弦函数的最大(小)值．【做一做2】 已知函数y ＝cos x ，x ∈R ，则下列说法错误的是( ) A ．值域为[－1,1]B ．是奇函数C ．在定义域上不是单调函数D ．在[0，π]上是减函数答案：1．R [－1,1] 2k π＋π2(k ∈Z ) 2k π－π2(k ∈Z ) 2π 奇 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2【做一做1】 C2．R 2k π(k ∈Z ) 2k π＋π(k ∈Z ) 2π 偶 [(2k －1)π，2k π] [2k π，(2k ＋1)π]【做一做2】 B正、余弦函数的性质与图象的关系剖析：(1)定义域是R ，反映在图象上是所有垂直于x 轴的直线与图象有且只有一个交点．(2)正、余弦函数的单调性，反映在图象上是曲线的上升与下降的情况．(3)正、余弦函数的周期性，反映在图象上是曲线有规律地重复出现．相邻两对称中心的间隔是半个周期，相邻两对称轴的间隔也是半个周期，相邻的对称中心与对称轴的间隔是四分之一个周期．(4)正、余弦函数的奇偶性，反映在图象上是曲线关于原点或y 轴对称，即sin(－x )＝－sin x ，cos(－x )＝cos x .(5)正、余弦函数的最大值和最小值，反映在图象上，就是曲线的最高点和最低点．题型一 判断三角函数的奇偶性 【例1】 判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝sin x cos x ；(2)f (x )＝1＋sin x －cos 2x1＋sin x.分析：先判断函数的定义域是否关于原点对称，再判断f (－x )与f (x )的关系，进而可确定函数的奇偶性．反思：1.判断函数奇偶性的依据是函数奇偶性的定义，定义域关于原点对称是函数有奇偶性的前提．另外还要注意诱导公式在判断f (x )与f (－x )之间关系时的应用．2．本例(2)中，易忽视f (x )的定义域，违背定义域优先的原则，而进行非等价变形，得f (x )＝sin x (1＋sin x )1＋sin x＝sin x ，从而导致结果错误．题型二 求三角函数的单调区间【例2】 求函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π4的单调递减区间． 反思：求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，利用整体思想，把ωx ＋φ看成一个整体，借助于正弦函数的单调区间来解决．题型三 求三角函数的值域(最值) 【例3】 求下列函数的值域： (1)y ＝3－2cos 2x ，x ∈R ；(2)y ＝cos 2x ＋2sin x －2，x ∈R .分析：(1)将2x 看成一个整体，利用余弦函数的值域求得；(2)把sin x 看成一个整体，利用换元法转化为求二次函数的值域．反思：求三角函数的值域的方法：①化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋b (A ＞0)，则其值域为[－A ＋b ，A ＋b ]．如本例(1)小题；②把sin x 或cos x 看成一个整体，利用换元法转化为求二次函数在闭区间上的值域，如本例(2)小题．题型四 比较三角函数值的大小 【例4】 比较下列各组数的大小： (1)sin 194°与cos 160°；(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π8与sin ⎝⎛⎭⎪⎫cos 3π8.分析：(1)先将异名三角函数化为同名三角函数，并且利用诱导公式化到同一单调区间上．(2)先比较sin 3π8与cos 3π8的大小，然后利用正弦函数单调性求解．反思：比较三角函数值大小的步骤：①异名函数化为同名函数；②利用诱导公式把角化到同一单调区间上；③利用函数的单调性比较大小．题型五 易错辨析易错点 忽视x 的系数是－1【例5】 求y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 的单调递增区间．错解：令π3－x ＝t ，∵y ＝sin t 的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )， ∴2k π－π2≤π3－x ≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得－2k π－π6≤x ≤－2k π＋56π，即2k π－π6≤x ≤2k π＋5π6(k ∈Z )，即y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋5π6(k ∈Z )． 错因分析：在π3－x 中，x 的系数－1是负数，应整体代入正弦函数的单调递减区间，求原函数的单调递增区间．答案：【例1】 解：(1)定义域为R .f (－x )＝sin(－x )cos(－x )＝－sin x cos x ＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．(2)要使函数有意义，自变量x 的取值应满足1＋sin x ≠0， ∴sin x ≠－1.∴x ≠2k π＋32π，k ∈Z .∴函数的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ∈R ，且x ≠2k π＋3π2，k ∈Z .f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1＋sin π2－cos2π21＋sinπ2＝1，但f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2无意义，∴函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数． 【例2】 解：由于函数y ＝2sin x 的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z )． 令2k π＋π2≤3x ＋π4≤2k π＋3π2，得2k π3＋π12≤x ≤2k π3＋5π12(k ∈Z )． 故所求的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π3＋π12，2k π3＋5π12(k ∈Z )． 【例3】 解：(1)∵－1≤cos 2x ≤1，∴－2≤－2cos 2x ≤2. ∴1≤3－2cos 2x ≤5，即1≤y ≤5.∴函数y ＝3－2cos 2x ，x ∈R 的值域为[1,5]．(2)y ＝cos 2x ＋2sin x －2＝－sin 2x ＋2sin x －1＝－(sin x －1)2.∵－1≤sin x ≤1，∴函数y ＝cos 2x ＋2sin x －2，x ∈R 的值域为[－4,0]． 【例4】 解：(1)sin 194°＝sin(180°＋14°)＝－sin 14°， cos 160°＝cos(180°－20°)＝－cos 20°＝－sin 70°. ∵0°＜14°＜70°＜90°，∴sin 14°＜sin 70°， 从而－sin 14°＞－sin 70°，即sin 194°＞cos 160°. (2)∵cos 3π8＝sin π8，∴0＜cos 3π8＜sin 3π8＜1.而y ＝sin x 在(0,1)内递增，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3π8＜sin ⎝⎛⎭⎪⎫sin 3π8. 【例5】 正解：∵y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3，∴要求原函数的单调递增区间，只需求y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的单调递减区间．令2k π＋π2≤x －π3≤2k π＋3π2(k ∈Z )，∴2k π＋5π6≤x ≤2k π＋116π(k ∈Z )．∴y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 的单调递增区间是 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋5π6，2k π＋116π(k ∈Z )．1．函数y ＝sin 2cos xx+是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数也不是偶函数2．下列关系式中正确的是( ) A ．sin 11°＜cos 10°＜sin 168°B ．sin 168°＜sin 11°＜cos10°C ．sin 11°＜sin 168°＜cos 10°D ．sin 168°＜cos 10°＜sin11°3．函数y ＝sin 2x －cos x 的值域是__________． 4．函数y ＝3－2π32cos 33x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的最大值为____________，此时自变量x 的取值集合是__________．5．求函数y ＝π2sin 4x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的单调递增区间．答案：1．A 定义域为R ，f (－x )＝sin()2cos()x x -+-＝sin 2cos xx-+＝－f (x )，则f (x )是奇函数．2．C ∵sin 168°＝sin(180°－168°)＝sin 12°，cos 10°＝sin 80°， sin 11°＜sin 12°＜sin 80°， ∴sin 11°＜sin 168°＜cos 10°.3.51,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦设cos x ＝t ，－1≤t ≤1，则y ＝1－cos 2x －cos x ＝－t 2－t ＋1＝21524t ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭. 由于－1≤t ≤1，则有－1≤y ≤54. 4．5 {x |x ＝3k π＋π，k ∈Z } 当2πcos 33x ⎛⎫+⎪⎝⎭＝－1时，y max ＝3－2×(－1)＝5.此时x 的取值集合为{x |x ＝3k π＋π，k ∈Z }． 5．解：y ＝π2sin 4x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝π2sin 4x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.令2k π＋π2≤x －π4≤2k π＋3π2 (k ∈Z )，得 2k π＋3π4≤x ≤2k π＋7π4(k ∈Z )．函数y ＝π2sin 4x ⎛⎫-⎪⎝⎭的递增区间为 3π7π2π,2π44k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z )．。

高中数学课件三角函数ppt课件完整版目录•三角函数基本概念与性质•三角函数诱导公式与恒等式•三角函数的加减乘除运算•三角函数在解三角形中的应用•三角函数在数列和概率统计中的应用•总结回顾与拓展延伸PART01三角函数基本概念与性质三角函数的定义及性质三角函数的定义正弦、余弦、正切等函数在直角三角形中的定义及在各象限的性质。

特殊角的三角函数值0°、30°、45°、60°、90°等特殊角度下各三角函数的值。

诱导公式利用周期性、奇偶性等性质推导出的三角函数诱导公式。

正弦、余弦函数的图像及其特点，如振幅、周期、相位等。

三角函数图像周期性图像变换正弦、余弦函数的周期性及其性质，如最小正周期等。

通过平移、伸缩等变换得到其他三角函数的图像。

030201三角函数图像与周期性正弦、余弦函数的值域为[-1,1]，正切函数的值域为R 。

值域在各象限内，正弦、余弦函数的单调性及其变化规律。

单调性利用三角函数的性质求最值，如振幅、周期等参数对最值的影响。

最值问题三角函数值域和单调性PART02三角函数诱导公式与恒等式诱导公式及其应用诱导公式的基本形式01通过角度的加减、倍角、半角等关系，将任意角的三角函数值转化为基本角度（如0°、30°、45°、60°、90°）的三角函数值。

诱导公式的推导02利用三角函数的周期性、对称性、奇偶性等性质，通过逻辑推理和数学归纳法等方法推导出诱导公式。

诱导公式的应用03在解三角函数的方程、求三角函数的值、证明三角恒等式等方面有广泛应用。

例如，利用诱导公式可以简化计算过程，提高解题效率。

恒等式及其证明方法恒等式的基本形式两个解析式之间的一种等价关系，即对于某个变量或一组变量的取值范围内，无论这些变量取何值，等式都成立。

恒等式的证明方法通常采用代数法、几何法或三角法等方法进行证明。

其中，代数法是通过代数运算和变换来证明恒等式；几何法是通过几何图形的性质和关系来证明恒等式；三角法是通过三角函数的性质和关系来证明恒等式。

1.3.2 三角函数的图像与性质一、三角函数的性质1. 几何法作图第一步：列表.首先在单位圆中画出正弦线和余弦线.在直角坐标系的x 轴上任取一点，以为圆心作单位圆，从这个圆与x 轴的交点A 起把圆分成几等份，过圆上的各分点作x 轴的垂线，可以得到对应于角，，,…，2π的正弦线及余弦线（这等价于描点法中的列表）.第二步：描点.我们把x 轴上从0到2π这一段分成几等份，把角x 的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与x 轴上相应的点x 重合，则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点.第三步：连线.用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象.将y=sinx 的图象向左平移即得y=cosx 的图象2．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）（1）正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0,0) (,1) (π,0) (,-1) (2π,0) 1O 1O 6,0π3π2π2π2π23π（2）余弦函数y=cosx x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1) (,0) (π,-1) (,0) (2π,1)3. 正弦函数的性质（1）定义域：正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R分别记作： y ＝sin x ，x ∈R y ＝cos x ，x ∈R（2）值域正弦函数、余弦函数的值域都是［－1，1］.其中正弦函数y =sin x ,x ∈R①当且仅当x ＝＋2k π，k ∈Z 时，取得最大值1.②当且仅当x ＝－＋2k π，k ∈Z 时，取得最小值－1.而余弦函数y ＝cos x ，x ∈R①当且仅当x ＝2k π，k ∈Z 时，取得最大值1.②当且仅当x ＝(2k ＋1)π，k ∈Z 时，取得最小值－1.（3）周期性正弦函数、余弦函数都是周期函数，2k π(k ∈Z 且k ≠0)都是它的周期，最小正周期是2π.函数及函数（其中A ，为常数，且）的周期（4）奇偶性y ＝sin x 为奇函数，y ＝cos x 为偶函数正弦曲线关于原点O 对称,余弦曲线关于y 轴对称（5）单调性 正弦函数在每一个闭区间［－＋2k π，＋2k π］(k ∈Z )上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间［＋2k π，＋2k π］(k ∈Z )上都是减函数，其值从1减小到－1.余弦函数在每一个闭区间［(2k －1)π，2k π］(k ∈Z )上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间［2k π，(2k ＋1)π］(k ∈Z )上都是减函数，其值从1减小到－1.二、正切函数的图象和性质1. 正切函数图象的作法在的区间作出它的图象2π23π2π2πR x ),x sin(A y ∈+=ϕωR x ),x cos(A y ∈+=ϕωωφ0,0A >≠ωωπ2T =2π2π2π23π⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,2ππ，且的图象，称“正切曲线”正切函数的性质： 1. 定义域： 2. 值域：R3. 当时，当时4. 周期性：5. 奇偶性：奇函数6. 单调性：在开区间内，函数单调递增h(mm)与时间t(s)之间的函数关系如图所示(1)求该函数的周期；（2）求t ＝10s 时钟摆的高度.【解析】R x x y ∈=tan ()z k k x ∈+≠ππ2⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠z k k x x ,2|ππz k k k x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+∈2,πππ0>y z k k k x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈πππ,20<y π=T ()x x tan tan -=-z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++-ππππ2,2解：（1）由图象知，周期为1.5s(2)故高度为20mm.2. 利用正弦函数和余弦函数的图象，求满足下列条件的x 的集合：；【解析】（1）解：作出正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象：由图形可以得到，满足条件的x 的集合为：（2）解：作出余弦函数y=cosx ，x ∈[0，2π]的图象：3. 求使下列函数取得最大值的自变量x 的集合，并说出最大值是什么.(1)y ＝cos x ＋1，x ∈R ；(2)y ＝sin2x ，x ∈R .【解析】解：(1)使函数y ＝cos x ＋1，x ∈R 取得最大值的x 的集合，就是使函数y ＝cos x ，x ∈R 取得最大值的x 的集合｛x ｜x ＝2k π，k ∈Z ｝.函数y ＝cos x ＋1，x ∈R 的最大值是1＋1＝2.(2)令Z ＝2x ，那么x ∈R 必须并且只需Z ∈R ，且使函数y ＝sin Z ，Z ∈R 取得最大值的Z 的集合是｛Z ｜Z ＝＋2k π，k ∈Z ｝由2x ＝Z ＝＋2k π，得x ＝＋k π即使函数y ＝sin2x ，x ∈R 取得最大值的x 的集合是｛x ｜x ＝＋k π，k ∈Z ｝.函数y ＝sin2x ，x ∈R 的最大值是1.4. 求下列函数的定义域：(1)y ＝ (2)y＝【解析】(10)(16 1.5)(1)20f f f =+⨯==21sin )1(≥x 21cos )2(≤x Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++,265,26ππππ2π2π4π4π11sin x +x cos解：(1)由1＋sin x ≠0，得sin x ≠－1即x ≠＋2k π(k ∈Z )∴原函数的定义域为｛x ｜x ≠＋2k π，k ∈Z ｝(2)由cos x ≥0得－＋2k π≤x ≤＋2k π(k ∈Z )∴原函数的定义域为［－＋2k π，＋2k π］(k ∈Z )5. (1)函数y ＝sin(x ＋)在什么区间上是增函数?(2)函数y ＝3sin(－2x )在什么区间上是减函数?【解析】解：(1)函数y ＝sin x 在下列区间上是增函数：2k π－＜x ＜2k π＋(k ∈Z )∴函数y ＝sin(x ＋)为增函数，当且仅当2k π－＜x ＋＜2k π＋即2k π－＜x ＜2k π＋(k ∈Z )为所求.(2)∵y ＝3sin(－2x )＝－3sin(2x －)由2k π－≤2x －≤2k π＋得k π－≤x ≤k π＋(k ∈Z )为所求.或：令u ＝－2x ，则u 是x 的减函数又∵y ＝sin ｕ在［2k π－，2k π＋］(k ∈Z )上为增函数，∴原函数y ＝3sin(－2x )在区间［2k π－，2k π＋］上递减.设2k π－≤－2x ≤2k π＋解得k π－≤x ≤k π＋(k ∈Z )∴原函数y ＝3sin(－2x )在［k π－，k π＋］(k ∈Z )上单调递减.23π23π2π2π2π2π4π3π2π2π4π2π4π2π3π4π3π3π2π3π2π12π125π3π2π2π3π2π2π2π3π2π12π125π3π12π125π6. 求函数的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性. 【解析】由得， 所求定义域为 值域为R ，周期，是非奇非偶函数在区间上是增函数.7. 观察正切曲线写出满足下列条件的x 的值的范围：tanx ＞0.【解析】画出y ＝tanx 在（－，）上的图象，不难看出在此区间上满足tanx ＞0的x 的范围为：0＜x ＜结合周期性，可知在x ∈R ，且x ≠k π＋上满足的x 的取值范围为（k π，k π＋）（k ∈Z ） ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=33tan πx y 233πππ+≠-k x 1853ππ+≠k x ∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠∈z k k x R x x ,1853,|ππ且3π=T ()z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+-1853,183ππππ2π2π2π2π2π。