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高中数学三角函数及反三角函数图像性质、知识点总结高中数学中，三角函数及反三角函数是重要的内容之一。
在学习这一部分知识时，需要掌握其图像性质以及相关的知识点。
下面将对这些内容进行总结。
一、三角函数的图像性质1. 正弦函数（sin）的图像性质：- 周期性：sin函数的周期为2π，即在每个周期内，函数的图像重复出现；- 奇函数性质：sin函数关于原点对称；- 取值范围：sin函数的取值范围为[-1,1]，即函数的值始终在该区间内波动。
2. 余弦函数（cos）的图像性质：- 周期性：cos函数的周期为2π；- 偶函数性质：cos函数关于y轴对称；- 取值范围：cos函数的取值范围也为[-1,1]。
3. 正切函数（tan）的图像性质：- 周期性：tan函数的周期为π；- 奇函数性质：tan函数关于原点对称；- 无界性：tan函数的值域为实数集，即函数在某些点无界。
二、三角函数的知识点1. 基本正弦函数的性质：- 特殊角的正弦值：0°、90°、180°、270°和360°对应的正弦值分别为0、1、0、-1和0；- 正弦函数的增减性：在0°到180°的区间上，sin函数是单调递增的；- 正弦函数的奇偶性：sin(-x)=-sin(x)，即sin函数关于原点对称。
2. 基本余弦函数的性质：- 特殊角的余弦值：0°、90°、180°、270°和360°对应的余弦值分别为1、0、-1、0和1；- 余弦函数的增减性：在0°到180°的区间上，cos函数是单调递减的；- 余弦函数的奇偶性：cos(-x)=cos(x)，即cos函数关于y轴对称。
3. 基本正切函数的性质：- 特殊角的正切值：0°、90°、180°和270°对应的正切值分别为0、无穷大、0和无穷大；- 正切函数的周期性：tan(x+π)=tan(x)，即tan函数的周期是π。
三角函数的图像与性质三角函数是高中数学中的重要概念之一，它们在数学和物理中有广泛的应用。
通过研究三角函数的图像和性质，我们可以更好地理解它们的特点和变化规律。
本文将从正弦函数、余弦函数和正切函数三个方面介绍它们的图像与性质。
一、正弦函数的图像与性质正弦函数是最基本的三角函数之一，它的图像可以通过单位圆的边界上的点来画出。
在单位圆上，以圆心为原点，与正x轴的交点为A，从A点逆时针旋转一个角度θ，与半径OA的交点为P，那么点P的纵坐标y就表示正弦函数的值。
从单位圆上的任一点开始，逆时针方向绕单位圆运动，所走过的角度与此时正弦函数的值是一一对应关系。
正弦函数的性质如下：1. 周期性：正弦函数的周期为360度或2π（弧度），即sin(x+360°)=sin(x)。
2. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即sin(-x)=-sin(x)。
3. 定义域和值域：正弦函数的定义域为所有实数，值域介于-1和1之间，即-1≤sin(x)≤1。
4. 单调性：正弦函数在一个周期内是周期递增递减的。
5. 对称轴：正弦函数图像关于直线y=0对称。
二、余弦函数的图像与性质余弦函数与正弦函数非常相似，它们的主要区别在于相位差。
余弦函数的图像可以通过单位圆的边界上的点来画出。
在单位圆上，以圆心为原点，与正x轴的交点为A，从A点逆时针旋转一个角度θ，与半径OA的交点为P，那么点P的横坐标x就表示余弦函数的值。
从单位圆上的任一点开始，逆时针方向绕单位圆运动，所走过的角度与此时余弦函数的值是一一对应关系。
余弦函数的性质如下：1. 周期性：余弦函数的周期为360度或2π（弧度），即cos(x+360°)=cos(x)。
2. 偶性：余弦函数是偶函数，即cos(-x)=cos(x)。
3. 定义域和值域：余弦函数的定义域为所有实数，值域介于-1和1之间，即-1≤cos(x)≤1。
4. 单调性：余弦函数在一个周期内是周期递增递减的。
(2) /(航+如型三角函数的奇偶性（i ） g （x ） = /沏（颜+如（x€ R）(x)为偶函数匕鼠U 力（而+ 出=j4sin （-<at + 炉）（x W 氏）0 sin 曲匚*0=。
（工 W R ）7Tcos 卯=。
=上7T+一1左 e Z ）由此得 2 ,同理，式夫4皿皈+双相的 为奇函数 =顺@=0/3=上网海2)（ii ）飙# =+劭SwR]妖N = .Aa 式题+钠为偶函数见双t")；就= 式以+如为奇函数7T=中=无产+ — (k e Z)3、周期性(1)基本公式(ii) 〃皈+⑺+氏型三角函数的周期竺y =+ G + 5 =加+中出 的周期为何；（一）三角函数的性质1、定义域与值域2、奇偶性(1)基本函数的奇偶性奇函数：y = sinx y= tanx ； 偶函数：y=cosx.(i )基本三角函数的周期的周期为；丁.y=sinx , y=cosx 的周期为 之并 ；y = tanx , y = cotx4-212yy=cotxy=tanx 3-32X 03 27 3,y=cosx-5-4 .7223 2322 5 2“如血的+朗+9=心服如+沟+用的周期为何.（2）认知⑴A =1/W +创型函数的周期y = |月劭（枷+或）| j = A 匚。
5（西+励|（ii ）若函数为,（收斗劭 型两位函数之和，则探求周期适于“最小公倍数法”. （iii ）探求其它“杂”三角函数的周期，基本策略是试验一一猜想一一证明.（3）特殊情形研究JT(i ) y = tanx — cotx 的最小正周期为27T（ii ） y=卜由H+|M 幻的最小正周期为，；7T（iii ） y = sin 4x + cos 4x 的最小正周期为，. _由此领悟“最小公倍数法”的适用类型，以防施错对象 .4、单调性（1）基本三角函数的单调区间（族）依从三角函数图象识证“三部曲”：①选周期：在原点附近选取那个包含全部锐角，单调区间完整，并且最好关于原点对称的 一个周期；②写特解：在所选周期内写出函数的增区问（或减区问）；③获通解：在②中所得特解区间两端加上有关函数的最小正周期的整数倍，即得这一函数 的增区间族（或减区间族）循着上述三部曲，便可得出课本中规范的三角函数的单调区间族 .揭示：上述“三部曲”也适合于寻求简单三角不等式的解集或探求三角函数的定义域（2） y=/（而+初 型三角函数的单调区问的周期为y = （助+切1_r= |达匚祖（姗+阖| 的周期为 7T(ii) > = 1/(耽+如+同3=0)的周期1y 二|金£血（为工卜8］妣+3）+甘¥ = |例如（而+5+上］ J = |总二加侬大+的+. 的周期为祠；,7T的周期为:. 均同它们不加绝对值时的周期相同，即对 数的周期不变.注意这一点与（i ）的区别.y=八加+◎+上的解析式施加绝对值后，该函此类三角函数单调区间的寻求“三部曲”为 ①换元、分解：令u =z 中,将所给函数分解为内、外两层：y = f (u) , u =®x+卯;②套用公式：根据对复合函数单调性的认知，确定出 f (u)的单调性，而后利用(1)中公 式写出关于u 的不等式；③还原、结论：将u =^+W 代入②中u 的不等式，解出x 的取值范围，并用集合或区间 形成结论.正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质:/y sinx y cosxy tanxy cotxy Asin x(A 、 >0)定义域 R R x | x R 且 x k 1 ,k Zx| x R 且x k ,k ZR值域 [1, 1][1, 1]R RA, A周期性 2 22奇偶性奇函数 偶函数奇函数 奇函数当 0,非奇非偶 当0,奇函数单调性[2 2k , —2k ] 2上为增函 数； [2 2k ,3——2k ] 2上为减函 数(k Z )[2k 1 , 2k ]上为增函 数[2k , 2k 1 ]上为减函数(k Z )一k ,一 k 2 2 上为增函数(k Z )k , k 1上为减函数(k Z )2k2(A),2k -2( A)上为增函数；2k 一------ 2— (A), 2k------ 2——(A)上为减函数(k Z )注意：①y sinx 与y sinx 的单调性正好相反；y cosx 与y cosx 的单调性也同样相反.一般 地，若y f(x)在［a,b ］上递增(减)，则y f (x)在［a,b ］上递减(增)y忖n x 与y cosx 的周期是.-(k Z),对称中心(k ,0); y cos( x )的对称轴方); y tan( x )的对称中心(工,0).,02③ y sin( x )或 y cos( x )0)的周期T 2y tan x 的周期为2 2 (T _ T 2，如图，翻折无效)④y sin( x )的对称轴方程是x k 程是x k (k Z ),对称中心(ky cos2x 原点对称 y cos( 2x) cos2x⑤ 当 tan tan 1, k ,(k Z) ; tan tan 1, k ,(k Z).⑥y cosx 与y s in x _ 2k是同一函数，而y ( x )是偶函数，则2 1 、，、y ( x ) sin( x k ) cos( x).2⑦函数y tanx 在R 上为增函数.(耳［只能在某个单调区间单调递增 .若在整个定义域,y tanx 为增函数，同样也是错误的］.⑧定义域关于原点对称是f (x)具有奇偶性的必要不充分条件.(奇偶性的两个条件：一是定义域 关于原点对称(奇偶都要)，二是满足奇偶性条件，偶函数：f( x) f(x),奇函数：f( x) f(x)) 奇偶性的单调性：奇同偶反.例如：y tanx 是奇函数，y tan(x 1)是非奇非偶.(定义域不 3 关于原点对称)奇函数特有性质：若0 x 的定义域，则f(x)一定有f(0) 0. (0 x 的定义域，则无此性质)⑨y sinx 不是周期函数；y sinx 为周期函数(T )； y cosx 是周期函数(如图)；y cosx 为周期函数(T )；y cos2x1的周期为(如图)，并非所有周期函数都有最小正周期,2y f (x) 5 f (x k),k R . ⑩ y a cos bsinVa 2 b 2sin( ) cos b 有 Va 2 b 2 y .、形如y Asin( x )的函数:11、几个物理量：A 一振幅；f 1—频率(周期的倒数)；x 一相包； 一初相；2、函数y Asin( x )表达式的确定：A 由最值确定； 由周期确定； 由图象上的特殊点确定，如 f(x) Asin( x )(A 0,0, | 3.函数 y Asin( x ) B (其中 A 0,0)最大值是A B,最小值是B A,周期是T —,最小正周期T 六频率是f「相位是x,初相是；其图象的对称轴是直线x k 7k Z),凡| "^0的图象如图所小，则f (x)(答：f(x)152sin(-2x -));y=| cos2x+1/2|图象是该图象与直线y B 的交点都是该图象的对称中心4、研究函数y Asin( x )性质的方法：类比于研究y sin x 的性质，只需将y Asin( x ) 中的x 看成y sinx 中的x,但在求y Asin( x )的单调区间时，要特别注意 A 和 的 符号，通过诱导公式先将 化正。
三角函数的图像与性质三角函数是高中数学中非常重要的一部分内容，它们在物理、工程、计算机科学等领域都有广泛的应用。
在学习三角函数时，我们需要了解它们的图像与性质，以便更好地理解它们的含义和用法。
本文将介绍三角函数的图像与性质，帮助读者更好地掌握这一知识点。
正弦函数（sin）正弦函数是最常见的三角函数之一，它描述了一个周期性变化的曲线。
正弦函数的图像是一个连续的波浪线，它在区间[-1,1]之间取值，且呈现周期性。
具体来说，当自变量的取值为0时，正弦函数的值为0；当自变量的取值为90°（或π/2）时，正弦函数的值为1；当自变量的取值为180°（或π）时，正弦函数的值再次为0；以此类推。
正弦函数的图像可以帮助我们观察周期性变化的现象，并用于解决相关问题，如天体运动、声音传播等。
余弦函数（cos）余弦函数也是一种常见的三角函数，它与正弦函数非常相似，但在图像上有一定的差异。
余弦函数的图像也是一个周期性变化的曲线，它在区间[-1,1]之间取值。
与正弦函数不同的是，当自变量的取值为0时，余弦函数的值为1；当自变量的取值为90°（或π/2）时，余弦函数的值为0；当自变量的取值为180°（或π）时，余弦函数的值再次为-1。
余弦函数的图像可以帮助我们观察周期性的振动现象，如弹簧的伸缩、机械摆动等。
正切函数（tan）正切函数是三角函数中的另一个重要概念，它描述了一个不断增大或减小的曲线。
正切函数的图像在某些点和正弦函数、余弦函数的图像相交，但在其他点上却有明显的区别。
正切函数的图像可以帮助我们观察角度的变化和斜率的变化，如坡度、天文观测等。
正切函数的自变量是角度的度数，因此它的取值范围没有限制。
需要注意的是，在某些角度上，正切函数的值会趋近于无穷大。
性质与应用除了图像之外，三角函数还有许多重要的性质和应用。
其中，周期性是最基本的特征之一。
正弦函数、余弦函数的周期均为360°（或2π），而正切函数的周期为180°（或π）。
三角函数的图像和性质
1．“五点法”描图
(1)y ＝sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为
(0,0)，)1,2
(π
，(π，0)，)
1,23(
-π，(2π，0)．
(2)y ＝cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为
(0,1)，)0,2(π，(π，－1)，)0,23(π
，(2π，1)．
2．三角函数的图象和性质
(1)周期性
函数y＝A sin(ωx＋φ)和y＝A cos(ωx＋φ)的最小正周期为2π
|ω|，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周
期为π
|ω|.
(2)奇偶性
三角函数中奇函数一般可化为y＝A sin ωx或y＝A tan ωx，而偶函数一般可化为y＝A cos ωx＋b的形式．
三种方法
求三角函数值域(最值)的方法：
(1)利用sin x、cos x的有界性；
(2)形式复杂的函数应化为y＝A sin(ωx＋φ)＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；
(3)换元法：把sin x或cos x看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．
双基自测
1．函数)3cos(π
+=x y ，x ∈R ( )．
A ．是奇函数
B ．是偶函数
C ．既不是奇函数也不是偶函数
D ．既是奇函数又是偶函数
2．函数)
4
tan(x y -=π
的定义域为( )． A ．
}
,4
|{Z k k x x ∈-
≠π
π B ．},4
2|{Z k k x x ∈-≠π
π
C ．},4
|{Z k k x x ∈+
≠π
π
D ．},4
2|{Z k k x x ∈+
≠π
π
3．)4sin(π
-=x y 的图象的一个对称中心是( )．
A ．(－π，0)
B ．)0,4
3(π-
C ．)0,2
3(
π
D ．)0,2
(π
4．函数f (x )＝cos )6
2(π
+x 的最小正周期为________．
考向一 三角函数的周期
【例1】►求下列函数的周期：
(1))
2
3sin(x y π
π-=；(2))63tan(π-=x y
考向二 三角函数的定义域与值域
(1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．
(2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目：
①形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)；
②形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．
【例2】►(1)求函数y ＝lg sin 2x ＋9－x 2的定义域． (2)求函数y ＝cos 2x ＋sin x )4
|(|π
≤x 的最大值与最小值．
【训练2】 (1)求函数y ＝sin x －cos x 的定义域；
(2))1cos 2lg(sin )4tan(--=
x x
x y π
的定义域
(3)已知)(x f 的定义域为]1,0[，求)(cos x f 的定义域.
考向三 三角函数的单调性
求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的单调区间时，只需把ωx ＋φ看作一个整体代入y ＝sin x 的相应单调区间内即可，若ω为负则要先把ω化为正数． 【例3】►求下列函数的单调递增区间．
(1))23cos(x y -=π，(2))324sin(21x y -=π，(3))33tan(π
-=x y .
【训练3】 函数f (x )＝sin )3
2(π
+
-x 的单调减区间为______．
考向四 三角函数的对称性
正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形．正切函数的图象只是中心对称图形，应熟记它们的对称轴和对称中心，并注意数形结合思想的应用． 【例4】►(1)函数y ＝cos )32(π
+x 图象的对称轴方程可能是( )． A ．x ＝－π6 B ．x ＝－π12 C ．x ＝π6 D ．x ＝π
12
(2)若0＜α＜π2，)42sin()(απ
++=x x g 是偶函数，则α的值为________．
【训练4】 (1)函数y ＝2sin(3x ＋φ))2
|(|π
ϕ<
的一条对称轴为x ＝
π
12，则φ＝________.
(2)函数y ＝cos(3x ＋φ)的图象关于原点成中心对称图形．则φ＝________.
难点突破——利用三角函数的性质求解参数问题
含有参数的三角函数问题，一般属于逆向型思维问题，难度相对较大一些．正确利用
三角函数的性质解答此类问题，是以熟练掌握三角函数的各条性质为前提的，解答时通常将方程的思想与待定系数法相结合．
【示例】► 已知函数f (x )＝sin )3(πω+x (ω＞0)的单调递增区间为]12
,125[π
πππ+-k k (k ∈
Z )，单调递减区间为]12
7,12[π
πππ++k k (k ∈Z )，则ω的值为________．
练一练：
1、已知函数)3
3sin()(π
+=x x f
（1）判断函数的奇偶性；（2）判断函数的对称性．
2、设函数)0)(2sin()(<<-+=ϕπϕx x f 的图象的一条对称轴是直线8
π
=
x ，则
=ϕ______．
课后练习：
三角函数的图象与性质·练习题
一、选择题
(1)下列各命题中正确的
是 [ ]
(2)下列四个命题中，正确的
是 [ ]
A．函数y=ctgx在整个定义域内是减函数
B．y=sinx和y=cosx在第二象限都是增函数
C．函数y=cos(-x)的单调递减区间是(2kπ-π，2kπ)(k∈Z)
(3)下列命题中，不正确的
是 [ ]
D．函数y=sin|x|是周期函数
(4)下列函数中，非奇非偶的函数
是 [ ]
(5)给出下列命题：
①函数y=-1-4sinx-sin2x的最大值是2
②函数f(x)=a+bcosx(a∈R且b∈R-)的最大值是a-b
以上命题中正确命题的个数
是 [ ]
A．1
B．2
C．3
D．4
[ ] A．sinα＜cosα＜tgα
B．cosα＞tgα＞sinα
C．sinα＞tgα＞cosα
D．tgα＞sinα＞cosα
(7)设x为第二象限角，则必
有 [ ]
[ ]
二、填空题
(9)函数y=sinx+sin|x|的值域是______．
的值是______．
(11)设函数f(x)=arctgx的图象沿x轴正方向平移2个单位，所得到的图象为C，又设图象C1与C关于原点对称，那么C1所对应的函数是______．
(12)给出下列命题：
①存在实数α，使sinαcosα=1
⑤若α，β是第一象限角，α>β则tgα＞tgβ
其中正确命题的序号是______．
三、解答题
(14)已知函数y=cos2x+asinx-a2+2a+5有最大值2，试求实数a的值．
答案与提示
一、
(1)B (2)D (3)D (4)B (5)D (6)D (7)A (8)D
提示
(2)y=ctgx在(kπ，kπ+π)(k∈Z)内是单调递减函数．
y=cos(-x)=cosx在[2kπ-π，2kπ](k∈Z)上是增函数，而在[2kπ，2kπ+π]上是减函数．
(3)可画出y=sin |x|图象验证它不是周期函数或利用定义证之．
(5)①=-y(sinx+2)2+3 sinx=-1时，y max=2
②当cosx=-1时，f(x)max=a-b
∴cosα＜sinα＜tgα
二、(9)[-2，2] (10)2或3 (11)y=arctg(x+2) (12)③④提示
(11)C：y＝arctg(x-2)，C1：-y=arctg(-x-2)，∴y=arctg(x+2)
由390°＞45°，但tg390°=tg30°＜tg45°，故⑤不正确．
综上，③④正确．
三、。
