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分位数回归方法及其应用

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分位数回归方法及其在金融市场风险价值预测中的应用

分位数回归方法及其在金融市场风险价值预测中的应用

分位数回归方法及其在金融市场风险价值预测中的应用分位数回归方法及其在金融市场风险价值预测中的应用摘要：随着金融市场的不断发展和变化，风险控制成为金融机构和投资者关注的重要问题。

而准确预测金融市场的风险价值对于投资和决策具有极其重要的意义。

分位数回归方法是一种有效的统计模型，通过建立条件分位数与预测变量之间的关系，能够对金融市场的风险进行准确预测和度量。

本文将介绍分位数回归方法的基本原理和应用，以及在金融市场风险价值预测中的具体应用案例。

关键词：分位数回归方法；金融市场；风险价值；预测；应用案例一、引言金融市场的风险价值预测一直是金融领域研究的热点问题之一。

投资者和金融机构希望通过有效的风险预测方法，能够更好地进行资产配置和风险控制。

分位数回归方法是近年来被广泛应用于金融领域的一种统计模型，其能够对金融市场的风险进行准确预测和度量，受到了学术界和实践界的关注。

二、分位数回归方法的基本原理分位数回归方法是一种建立条件分位数与预测变量之间关系的统计模型。

相比于传统的普通最小二乘法回归，分位数回归方法能够更好地描述不同位置上的数据分布特征。

其基本原理是将预测变量对应的条件分位数作为目标变量，通过最小化各个分位数的损失函数，建立条件分位数与预测变量之间的关系。

三、分位数回归方法在金融市场风险价值预测中的应用1. 风险价值（Value at Risk，VaR）预测分位数回归方法在金融市场的VaR预测中得到了广泛应用。

通过建立预测变量与VaR之间的条件分位数回归模型，可以对未来的风险价值进行准确预测。

例如，可以通过分位数回归方法来建立条件分位数与市场波动率、相关性等变量之间的关系，从而预测未来的VaR水平。

2. 极端值风险预测金融市场风险中的极端值风险一直备受关注。

分位数回归方法可以通过建立条件分位数与风险因子之间的关系，对极端值风险进行预测。

例如，可以通过分位数回归方法来建立条件分位数与经济指标、市场波动率等变量之间的关系，从而预测未来的极端值风险。

无条件分位数回归与应用实例

无条件分位数回归与应用实例
相互关系具有极为重大的现实意义。然而在实证研究的具体进行过程中，尽管我们只想分别了解创
院 新经费投入强度或人力投入强度与企业规模之间的关系，然而，影响企业创新经费投入强度或人力
投入强度的因素并非仅仅只有企业规模。换言之，如果我们仅仅采用创新经费投入强度对企业规模
学 进行回归，会导致估计所得的参数具有不一致性。另一方面，如果用创新投入强度对包括企业规模
经ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ做法得到的无条件分位数不是一致估计。这一点类似于在最小二乘法中即使研究者只想了解某一解
释变量对被解释变量的偏影响系数，遗漏剩余解释变量仍会导致所有系数估计的不一致性，除非遗
量 失变量与所剩变量是正交的。 还有，若从微观层面运用分位点方法检验熊彼特关于技术创新能力与企业规模之间的关系并据
数 此分别考察企业各种水平创新活动的经费投入强度或人力投入强度随企业规模的变化效应、特征及
二、无条件分位数回归的最新进展
济研
经 假设已经获得了被解释变量 以及可能影响 的 维解释变量 的观测值。我们关心的是 的
变动对 的影响。例如研究者时常关心以下条件分位数偏效应(conditional quantile partial
effects，CQPE)的估计值： (1) CQPE 的重要性在于它反映了在某一给定的
院 (robust)估计。事实上，经济学家们在如今的实证研究，特别是基于微观数据的研究中如此青睐QR
方法，并不在于它的稳健特性，而是可以借此方法考察解释变量对于被解释变量在扰动项的不同分
学 位点上的异质性影响。通常，人们在评估一项经济政策对受众群体的影响时，不但希望了解政策对
任一参与者的平均影响(average treatment effect)，更希望知道政策对位于特征分布不同位置(分布末

分位数回归

分位数回归

分位数回归及其实例一、分位数回归的概念分位数回归(Quantile Regression):是计量经济学的研究前沿方向之一，它利用解释变量的多个分位数（例如四分位、十分位、百分位等）来得到被解释变量的条件分布的相应的分位数方程。

与传统的OLS 只得到均值方程相比，它可以更详细地描述变量的统计分布。

传统的线性回归模型描述了因变量的条件分布受到自变量X 的影响过程。

普通最dx--乘法是估计回归系数的最基本的方法，它描述了自变量X 对于因变量y 的均值影响。

如果模型中的随机扰动项来自均值为零而且同方差的分布，那么回归系数的最dx--乘估计为最佳线性无偏估计(BLUE)；如果近一步随机扰动项服从正态分布，那么回归系数的最dx--乘法或极大似然估计为最小方差无偏估计(M Ⅵ甩)。

但是在实际的经济生活中，这种假设常常不被满足，饲如数据出现尖峰或厚尾的分布、存在显著的异方差等情况，这时的最小二乘法估计将不再具有上述优良性且稳健性非常差。

最小二乘回归假定自变量X 只能影响因变量的条件分布的位置，但不能影响其分布的刻度或形状的任何其他方面。

为了弥补普通最dx--乘法(0Ls)在回归分析中的缺陷，Koenkel"和Pxassett 于1978年提出了分位数回归(Quantile Regression)的思想。

它依据因变量的条件分位数对自变量X 进行回归，这样得到了所有分位数下的回归模型。

因此分位数回归相比普通最小二乘回归只能描述自变量X 对于因变量y 局部变化的影响而言，更能精确地描述自变量X 对于因变量y 的变化范围以及条件分布形状的影响。

分位数回归是对以古典条件均值模型为基础的最小二乘法的延伸，用多个分位函数来估计整体模型。

中位数回归是分位数回归的特殊情况，用对称权重解决残差最小化问题，而其他的条件分位数回归则用非对称权重解决残差最小化。

一般线性回归模型可设定如下：()((0)),(0,1).x t t I t ρττ=-<∈在满足高斯-马尔可夫假设前提下，可表示如下：01122(|)...k k E y x x x x αααα=++++其中u 为随机扰动项k αααα,...,,,210为待估解释变量系数。

分位数回归及其实例

分位数回归及其实例

LP )估计其最小加权绝对偏分位数回归及其实例一、分位数回归的概念分位数回归(Quantile Regression):是计量经济学的研究前沿方向之一，它 利用解释变量的多个分位数(例如四分位、十分位、百分位等)来得到被解释变 量的条件分布的相应的分位数方程。

与传统的OLS 只得到均值方程相比，它可以更详细地描述变量的统计分布。

传统的线性回归模型描述了因变量的条件分布受到自变量 X 的影响过程。

普通最dx--乘法是估计回归系数的最基本的方法，它描述了自变量X 对于因变量y 的均值影响。

如果模型中的随机扰动项来自均值为零而且同方差的分布，那么回归系数的最dx--乘估计为最佳线性无偏估计(BLUE);如果近一步随机扰动 项服从正态分布，那么回归系数的最dx--乘法或极大似然估计为最小方差无偏估计(M 切甩)。

但是在实际的经济生活中，这种假设常常不被满足，饲如数据出 现尖峰或厚尾的分布、存在显著的异方差等情况，这时的最小二乘法估计将不再 具有上述优良性且稳健性非常差。

最小二乘回归假定自变量X 只能影响因变量的条件分布的位置，但不能影响其分布的刻度或形状的任何其他方面。

为了弥补普通最dx--乘法(OLs)在回归分析中的缺陷，Koenkel"和Pxassett 于1978年提出了分位数回归(Quantile Regression) 的思想。

它依据因变量的条 件分位数对自变量X 进行回归，这样得到了所有分位数下的回归模型。

因此分 位数回归相比普通最小二乘回归只能描述自变量X 对于因变量y 局部变化的影响而言，更能精确地描述自变量 X 对于因变量y 的变化范围以及条件分布形状 的影响。

分位数回归是对以古典条件均值模型为基础的最小二乘法的延伸， 用多个分 位函数来估计整体模型。

中位数回归是分位数回归的特殊情况， 用对称权重解决 残差最小化问题，而其他的条件分位数回归则用非对称权重解决残差最小化。

一般线性回归模型可设定如下：x(t) t( I(t 0)), (0,1).在满足咼斯-马尔可夫假设前提下，可表示如下: E(y|x) 01X12X 2...k Xk其中U 为随机扰动项0, 1, 2，…，k 为待估解释变量系数。

分位数回归估计课件

分位数回归估计课件
对模型假设的依赖
在某些情况下，分位数回归的结果可能对模型假设的违背较为敏感。
分位数回归与其他方法的比较
与普通最小二乘法的比较
普通最小二乘法只关注数据的均值和方差，而 分位数回归可以提供更全面的信息。
与核密度估计的比较
核密度估计主要用于探索性数据分析，而分位 数回归主要用于因果关系推断。
与决策树和随机森林的比较
这些方法主要用于分类问题，而分位数回归主要用于回归问题。
05 分位数回归的未来发展
分位数回归的理论研究
01
深入研究分位数回归的理论基础，包括其假设、性 质和限制条件，以完善其理论体系。
02
探讨分位数回归与其他统计方法的结合，如混合模 型、贝叶斯方法等，以拓展其应用范围。
03
针对分位数回归的统计推断问题，研究更有效的推 断方法和理论。
灵活性
可以估计多个分位数，而不仅 仅是均值。
无分布假设
不需要假定误差项服从特定的 分布，比如正态分布。
刻画异质性
可以更好地捕捉数据的异质性 ，提供更全面的信息。
分位数回归的缺点
计算复杂度
相对于普通最小二乘法，计算成本较高。
解释性
分位数回归的系数较难解释，不如普通最小二乘法直观。
对离群值的敏感性
离群值可能会对分位数回归的结果产生较大影响。
$Y = Xbeta + epsilon$，其中$Y$是因变量，$X$是自变量，$beta$是待估 计的参数，$epsilon$是误差项。
非线性分位数回归模型
通过引入非线性函数或变换，使得模型能够更好地拟合非线性关系。
分位数回归的估计方法
最小二乘法
通过最小化残差平方和来估计参数。
迭代加权最小二乘法

分位数回归方法及其在金融市场风险价值预测中应用的研究

分位数回归方法及其在金融市场风险价值预测中应用的研究

摘要在这个经济全球化的社会，各国间的金融市场逐步走入融合，相互间的联系不断加深。

但是市场在带动了资本流动，加快了资源配置效率的同时，也给各国金融市场带来了触手可及的危险。

2007年，美国因为房地产而引发了次贷危机，并且导致了全球性的金融危机。

在此之前，金融市场也并非一帆风顺，一直处于动荡之中。

由于金融市场在市场经济运营中的地位日渐明显，所以金融风险逐渐成为了金融界的各行专业人士关注的热点。

此外，由于金融产品的创新，政府的放松管制，高风险衍生金融工具的迅速扩大，导致金融市场风险的增加。

因此怎样有效的衡量、控制风险已经成为了金融领域需要探讨研究和实践的中心内容了。

这些问题的研究对我国金融市场的稳定和发展至关重要。

金融风险度量指标VaR应运而生，在全球得到了普遍的应用和推广，是风险管理的核心内容，也成为了国际通用的指标。

有力的开发和应用VaR，对金融风险的防范和管理具有重要的意义。

本文将采用分位数回归方法来计算VaR，直接对模型进行评估。

本文的研究内容主要是从分位数回归法，企业金融风险，VaR在金融风险中的应用，VaR计算值的方法等几个大方面进行阐述。

研究成果将为金融市场风险测量提供一个新的、有效的方法，进而为金融风险预测和管理提供一定的参考。

关键词：VaR；金融风险；金融市场；分位数回归AbstractIn this society with economic globalization, the financial markets in the world becomes increasingly integrated, and the mutual contacts have grown stronger. But when the market drives the capital flows and speeds up the efficiency of resource allocation, it also brings risks to the world's financial markets. As we know, in 2007, the real estate had caused the subprime mortgage crisis in the United States, and this crisis also leaded to a serious global financial crisis. In fact, before this crisis, the financial market is also not going well. Because of the important role of the financial market in the market economy, the financial risk is one of the main topics in the field of finance. Moreover, due to the innovation of financial products, the relaxed financial controls, and the increase in derivative financial products, the financial risks have been enlarged. How to effectively measure and control the risk has become the core of the financial research and practice. To study these problems is very important for the stability and development of China's financial market.The financial risk measurement index VaR appears in 1993. Since then it is used widely in the world, becomes the core content of risk management, and becomes a universal index used to measure risk. It is important to develop and apply VaR to prevent and manage financial risk. In this paper, we use quantile regression to calculate the VaR, and then evaluate the model directly. The main contents of this paper are quantile regression method, enterprise financial risk, the application of VaR in financial risk, the calculation methods of VaR. The main results of this paper will provide a new and effect method to measure financial risk, and then will provide the reference for the forecast and management of financial risk.Key words: VaR; Financial risk; Finance markets;Quantile Regression目录第一章 引言 (1)1.1研究背景及意义 (1)1.2研究的内容 (1)1.3国内外研究的现状 (2)1.3.1国内研究现状 (2)1.3.2国外研究现状 (3)1.4研究内容 (3)1.5研究的创新点 (3)第二章 分位数回归 (5)2.1分位数回归的概念 (5)2.1.1分位数回归的定义 (5)2.1.2分位数回归的工作原理 (5)2.2分位数回归参数的估算法 (6)2.2.1点估法 (6)2.2.2区估法 (6)第三章 金融市场风险 (7)3.1风险的定义 (7)3.2金融风险的定义 (8)3.3金融风险的分类 (8)3.4金融风险的特点 (9)3.4.1传染性和破坏性 (9)3.4.2不规律性与隐藏性 (10)3.4.3敏感性和可控制性 (10)3.4.4缺乏市场表现力 (10)3.4.5隐蔽的积聚性 (11)3.4.6复杂的体制内生性 (11)3.5金融市场风险 (13)3.5.1金融市场风险管理的背景 (13)3.5.2金融市场的主要特征 (13)3.5.3金融市场风险管理 (14)3.6市场风险测度的理论意义 (16)3.6.1对市场交易量的影响 (17)3.6.2对产品的定位，交易，缩小相互差价的影响 (17)3.6.3对产品价位调整的速度影响 (17)3.6.4对市场价位波动性影响 (17)3.7关于风险测度的现实意义 (18)3.7.1对金融机构进行的有效风险管理 (18)3.7.2其他市场参与者参与风险管理 (18)3.7.3一般工商企业进行的风险管理 (19)3.8金融市场风险的测度方法 (19)第四章 关于风险价值（VaR） (21)4.1 VaR的含义 (21)4.2 VaR的产生背景 (22)4.3 对VaR计算的主要方法 (23)4.3.1参数法 (23)4.3.2非参数法 (24)4.3.3计算方法的优缺点 (25)4.4 VaR的应用 (27)4.4.1风险测量 (27)4.4.2风险管理 (27)4.5 VaR模型在我国金融市场风险管理中的意义 (28)4.5.1对我国货币的市场良好发展有利 (29)4.5.2对我国金融界的竞争力整体上的一个提升 (29)4.5.3银行在对不良资产处理时出现新风险的掌控 (30)第五章 分位数回归的VaR非参数模型和分位数估计 (32)5.1 分位数回归的VaR参数模型和非参数模型 (32)5.1.1稳健非参数的VaR模型 (33)5.1.2Monte Carlo的模拟 (36)5.2关于实证研究 (39)结论 (44)参考文献 (45)个人简历、在学期间发表的学术论文与研究成果 (47)致 谢 (48)第一章引言1.1研究背景及意义与金融业相伴而生的就是金融风险，因为金融风险的不可避免性，客观存在性，所以要对金融的监管机制进行相应的创新，为金融市场的稳定，发展提供保障。

第7章 分位数回归模型的理论与应用


ˆ 估计的中位数回归系数估计量 β (0.5) ，从而得到 yt 的中位数回归估计量
ˆ ˆ (0.5)t X t ) X t ' β (y (0.5) 。
3. 分位数回归
ˆ ( )t 表示 yt 的分位数回归估计量，则对于 Koenker 和 Bassett(1978)证明，若用 y
以检查函数（ check function） w 为权数， yt 对任意值 的加权离差绝对值和
（1）独立同分布假设下的参数渐近分布 Koenker 和 Bassett(1978)在独立同分布假设下得出分位数回归系数渐近服从正态 分布，可以表述为在弱条件下：
ˆ ) ~ N (0, (1 )s 2 J 1 ) n ( ( ) ( ) ( )
(5) (6)
其中
J lim (
4. 分位数回归（Quantile Regression）模型的估计 由于目标函数（15.3） Q
ˆ ) ˆ ) ( y t X β ( ) ( ) ˆ(1 )( yt X β ˆ
t: yt X ( ) T T
t: yt X ( )
E ( yt )
a
b ( y - )


，得 dy - dy 。运用于式（1）
dy = -

a
b
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
=- =
( y ) f ( y )
-

dy
( y ) f ( y )


-
f ( y)d y f ( y)dy


-

( y ) f ( y)dy
( y ) f ( y)dy a

分位数回归理论及其应用共3篇

分位数回归理论及其应用共3篇分位数回归理论及其应用1分位数回归理论及其应用分位数回归是一种重要的统计方法，可以有效地应用于对数据进行分析和建模。

本文将介绍分位数回归理论的概念、方法和应用，并通过实际案例来说明其在实践中的运用。

一、分位数回归理论概述分位数回归是通过对分位数进行建模，而不是对中心点（如平均数或中位数）进行建模的回归分析。

该方法可以帮助我们更好地理解数据的分布情况。

通常情况下，我们关注的是中位数或平均数，因为它们代表了数据集中的位置信息。

但是，在某些情况下，这些中心点可能无法提供足够的信息，或者它们可能无法很好地描述分布情况。

分位数回归方法就是通过对数据进行分位数的建模来解决这些问题。

分位数回归给出了不同分位数对自变量的响应，可以确定不同分位数下因变量与自变量之间的关系。

二、分位数回归方法1.示例数据在了解分位数回归方法之前，我们先介绍数据集。

假设我们有一组来自UNICEF的数据集，记录了不同国家儿童死亡率和GDP（卫生）支出的信息。

这些数据明显不是线性的，因为它们不能用单独的直线来描述。

2.分位数回归假设我们希望了解死亡率与GDP支出之间的关系。

我们可以在不同的分位数水平下，对死亡率和GDP支出之间的关系进行建模。

这个过程被称为分位数回归。

在本例中，我们将使用分位数水平为0.25、0.5和0.75。

我们可以首先在0.25和0.75分位数水平下建立模型，确定死亡率与GDP支出之间的关系。

然后，我们在0.5分位数水平下建立模型，确定这两个变量之间的中心关系。

3.结果分析在分位数回归分析后，我们可以得到以下结果。

在0.25分位数水平下，我们发现GDP支出与死亡率呈现负相关；在0.75分位数水平下，我们发现GDP支出与死亡率呈现正相关，这意味着一些经济条件较好的国家的死亡率可能会上升。

在0.5分位数水平下，我们可以看到两种情况都可能发生，因为这是分布的中心位置。

这种方法允许我们更灵活地研究不同分位数下的自变量与因变量之间的关系。

分位数回归参数估计 -回复

分位数回归参数估计-回复在统计学中，分位数回归是一种参数估计方法，它可以通过考虑不同分位数的条件来分析数据。

通过对分位数回归进行了解和应用，我们可以更好地理解数据分布和预测潜在变量。

本文将介绍分位数回归的基本概念、估计方法和应用领域。

1. 什么是分位数回归？分位数回归是对传统最小二乘回归的一种扩展。

最小二乘回归通过最小化残差的平方和来估计最佳拟合线。

然而，最小二乘回归对异常值非常敏感，并且只能估计条件均值。

与之不同，分位数回归通过考虑不同分位数的条件，估计出分位数的条件值。

这种方法可以更全面地分析数据和变量的特征。

2. 如何估计分位数回归参数？估计分位数回归参数通常采用最小分位数回归方法。

该方法通过最小化分位数损失函数来估计参数。

分位数损失函数是真实值与预测值的加权绝对差之和。

通过这种方法，可以估计出多个分位数的条件值。

3. 分位数回归的应用领域有哪些？分位数回归广泛应用于经济学、金融学、医学等领域。

在经济学中，分位数回归可以用于评估因变量在不同经济条件下的变化情况。

在金融学中，分位数回归可以用于预测股市的不同分位数的回报率。

在医学中，分位数回归可以用于评估患者病情的严重程度。

4. 如何解释分位数回归系数？与最小二乘回归类似，分位数回归系数可以表示自变量对因变量的影响。

然而，不同之处在于，分位数回归系数表示的是特定分位数的条件影响。

例如，在50分位数回归中，系数表示对应分位数中自变量的影响大小。

5. 分位数回归与传统回归的优势和劣势是什么？分位数回归相比于传统回归具有一些优势。

首先，分位数回归对异常值不敏感，能够更好地应对极端观测值。

其次，分位数回归可以估计多个分位数的条件值，提供全面的数据分析结果。

然而，分位数回归也存在一些劣势。

首先，它相对计算复杂，需要更多的计算资源。

其次，分位数回归对样本大小和数据分布有一定要求，可能在某些情况下表现不佳。

结论：分位数回归是一种对传统最小二乘回归的扩展方法，能够更全面地分析数据分布和预测潜在变量。

计量分位数回归 eviews课件


（4.7.3）中条件关系式 z 为 yi y，当 yi y 时，I(yi y) = 1，否则
取值为0。 12
相应地，经验分位数为：
qN ( ) inf{ y : FN ( y) } ，0 1
（4.7.6）
式（4.7.3）可以等价地表示为下面的形式：
qN
(
)
arg
min
i:
yi
7
中位数是一个特殊的分位数，它表示一种分 布的中心位置。中位数回归是分位数回归的 一种特殊情况，其他分位数则可以用来描述 一种分布的非中心位置。第p个百分位数表 示因变量的数值低于这一百分位数的个数占 总体的p%.因此，分位数可以指定分布中的 任何一个位置。
8
4.7.1 分位数回归的基本思想和系数估计
V yi xiβ (1 ) yi xiβ
i: yi xiβ
i: yi xiβ
F(y)的 分位数可以由最小化关于 的目标函数得到，即：
q(
)
arg
min
y
y
dF
(
y)
(1
)
y
y
dF
(
y)
（4.7.3）
arg min ( y )dF ( y)
其中，argmin{}函数表示取函数最小值时 的取值， (u) u( I(u < 0)) 称为检查函数（check function），依
假设随机变量 Y 的概率分布为：
F( y) Prob(Y y) Y 的 分位数定义为满足 F(y) 的最小 y 值，即：
（4.7.1）
q( ) inf{ y : F( y) } ，0 1
（4.7.2）
9
图4.7.1 cs 变量的累积分布函数F(y) 图4.7.2 cs 变量的分位数分布函数q()
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从1997-2004年， 506 articles on QR published
分位数回归的发展



Heteroscedasticity Robustness Censoring Sample selection Binary response models Panel data Time series
分位数回归参数的估计方法（区间估计）
依据目前的文献，区间估计方法也可分为三种： 1.直接估计法(Direct Estimation Method)，见Koenker和Bassett (1982)以及Koenker和Machado (1999)。该方法依据估计出来的 回归分位系数的渐进正态性来计算置信区间。比较有代表性的是 Sparsity算法，它是一种最直接且运算速度也最快的算法，但该 算法得到的估计值对于随机项为独立同分布这一假设十分敏感。 2. 秩得分法(Rank Score Method)，见Koenker(1994)。秩得分法算 法比较简单，但是对于大型数据处理效率较慢。 3. 重复抽样法(Resampling method)，见He和Hu (2002)。该方法使 用了MCMB(Markov Chain Marginal Bootstrap)算法，这种算法能 够进行高效率的运算，大大节省了运算时间。重复抽样法能够克 服直接法和秩得分法的缺陷，但是对于小样本时计算出的参数估 计值不够稳定。
分位数回归的思想



How to “go further” ? 分位数回归的思想最早是由Koenker and Bassett (1978)提出的。它是对古典条件均值 模型为基础的最小二乘的拓展。 普通最小二乘法是利用因变量的条件均值来建 模，通过使残差平方和达到最小来获得回归参 数的估计。 分位数回归则利用因变量的条件分位数来建模 ，通过最小化加权的残差绝对值之和来估计回 归参数。它可以称之为“加权的最小一乘回归 法”。
i 1


样本中位数是最小化残差绝对值和的解，即
F (1/ 2) arg min yi
1
R
i 1

对于其他的第
分位数,我们可以求解下式：
i{i: yi }
min Rp [

等价的表示为：

yi
i{i: yi }
(1 ) y ]
第二部分：应用实例分析

主要结合应用实例，介绍如何利用统计 软件实现分位数回归，如何对研究结果 进行解释和分析。
分位数回归模型的软件计算


目前，计算分位数回归的统计软件主要有SAS 以及R。 Estimation in SAS：

Estimation in R （)
分位数的概念

定义：设随机变量 Y 的分布函数为
则 Y 的第 分位数为
F ( y) P(Y y)
F 1 ( ) inf{ y : F ( y) }
F 其中中位数可以表示为 (1/ 2)。
1
分位数回归思想的数学公式化
对于 Y 的一组随机样本 { y1 , y2 ,, yn }，样本均 n 值是 min ( yi ) 2 的最优解。

第三部分:分位数回归的发展和应用
分位数回归的发展


最小二乘方法最早是由Adrien-Marie（1806）提出的 。 QR法最早是由Koenker和Bassett（1978）提出的。
Less than 370 articles on QR 从1978-1994年， published 从1994-1997年， 446 articles on QR published
Example : Exploห้องสมุดไป่ตู้ing the risk factors of low birthweight
Example --Exploring the risk factors of low birthweight
A quantile regression model for birthweight
Example —Risk factors for low birthweight


Low birthweight is known to be associated with * Higher infant mortality (Abreveya, 2001). * Higher health-care cost (Lewit et al. 1995). * a Wide range of subsequent health problems (Hack et al., 1995). * long-term educational attainment and even labor market outcomes (Corman and Chaikind, 1998). Investigate the facotrs influencing birthweight, especially the ones that may help reduce the incidence of low birthweight infants.
SAS codes for the birthweight model
Some conclusions for example
An Engel Curves for Food: This figure plots data taken from Ernst Engel's (1857) study of the dependence of households' food expenditure on household income
分位数回归模型的拟合优度

Koenker与Machado（1999）依据最小二乘回归中拟合 2 优度 R 的计算思想，提出了分位数回归中拟合优度的 计算方法，定义为 R1 ( ) ，且 0 R1 ( ) 1 。

R 2 依据残 差平方和度量了回归平 最小二乘回归中的
方和占总离差平方和的比重，而 R1 ( ) 则按照残差绝 对值的加权和，度量了在某个分位数 下分位数回归的 拟合效果。因此不像 反映的是整个分布的拟合情况， 描述的是在某个分位数下的局部拟合效果。
ˆ
p
n




1.单纯形算法(Simplex Method)：该算法估计出来的参 数具有很好的稳定性，但是在处理大型数据时运算的 速度会显著的降低（见Koenker and Orey，1993)。 2.内点算法(Interior Point Method)：内点算法对于那 些具有大量观察值和少量变量的数据集运算效率很高 （见Portnoy and Koenker, 1997)。 3.平滑算法 (Smoothing Method)：平滑算法在理论上 比较简单，它适合处理具有大量观察值以及很多变量 的数据集 (见Chen, 2004) 。 其他方法: 如adaptive method 等。
分位数回归参数的估计方法（点估计）

求解 ( ) argmin R ( yi xi ) 等价于求解以 i 1 下个线性规划问题： Max{ yz|Xz=(1- )Xe,z [0,1]n } z 其中 e 为单位向量。目前对上式的算法主要有 如下几种:
i
min ( yi )
R
i 1
其中 ( z) zI[0,) ( z) (1 ) zI( ,0) ( z) ， I () 为 示性函数。

对于一般线性条件均值函数 E (Y|X=x)=x ， n 通过求解 ˆ 2
argmin R
线性分位数回归模型的估计
分位数回归的基本性质
分位数回归的渐近性质
分位数回归的渐近性质
与普通线性最小二乘回归方法的比较
1.在模型假设方面：OLS法要求满足经典假设的几个条 件；QR法只要求扰动项 ei Fi 的条件下 Fi 1 ( ) 0 。 2.在计算方面：OLS法求解简单；QR法复杂，但由于计 算机技术的发展，其不难完成。 3.在估计的优良性方面：两者都有各自的优良性。由于 QR法在模型的假设方面要求较少，较容易得到满足。 特别是其估计方法（加权最小一乘估计方法）决定了 其估计具有较强的稳键性。
Example —Risk factors for low birthweight
• The research question can be rephrased as exploring the covariate effects on the lower quantiles of birthweight. • Potential covariates include ◦ Mother’s education ◦ Mother’s prenatal care ◦ Mother’s age ◦ Mother’s weight gain ◦ ... • Covariate effects on lower quantiles may differ from those on the mean or median birthweight. • Reference: Abreveya (2001) and Koenker and Hallock (2001).
分位数回归参数的显著性检验方法


在分位数回归模型中，设 ( ) (1 ( ), 2 ( )) Koenker 与Machado（1999）提出了检验假设 H : ( ) 0 0 2 q （其中 2 ( ) R ）的两个统计量： 2 q Tw ( ) 和 TLR ( ) 在原假设下都服从 从而，它们都可能用来检验回归系数的显著性。
分位数回归（QR）方法及其应用
陈建宝